$E \osajoukko \mathbb(R)^(n)$. $f$:lla sanotaan olevan paikallinen maksimi pisteessä $x_(0) \in E$, jos pisteellä $x_(0)$ on naapurusto $U$ siten, että kaikille $x \in U$ epäyhtälö $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Paikallista maksimiarvoa kutsutaan tiukka , jos lähiö $U$ voidaan valita siten, että kaikille $x \in U$:ille, jotka eroavat $x_(0)$:sta, on $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Määritelmä
Olkoon $f$ reaalifunktio avoimessa joukossa $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Sanotaan, että $f$ on paikallinen minimi pisteessä $x_(0) \in E$, jos pisteellä $x_(0)$ on naapurusto $U$ siten, että kaikille $x \in U$ epäyhtälö $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Paikallisen minimin sanotaan olevan tiukka, jos naapurusto $U$ voidaan valita siten, että kaikille $x \in U$ eroaa $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ (0)\oikea)$.

Paikallinen ääriarvo yhdistää paikallisen minimin ja paikallisen maksimin käsitteet.

Lause (välttämätön ehto differentioituvan funktion ääripäälle)
Olkoon $f$ reaalifunktio avoimessa joukossa $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Jos pisteessä $x_(0) \in E$ funktiolla $f$ on paikallinen ääriarvo myös tässä pisteessä, niin $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Nolla-differentiaali vastaa sitä tosiasiaa, että kaikki ovat yhtä suuria kuin nolla, ts. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Yksiulotteisessa tapauksessa tämä on . Merkitään $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, missä $h$ on mielivaltainen vektori. Funktio $\phi$ on määritelty riittävän pienille moduloarvoille $t$. Lisäksi suhteessa , se on differentioituva, ja $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Olkoon $f$ paikallinen maksimi x $0$. Siten funktiolla $\phi$ kohdassa $t = 0$ on paikallinen maksimi ja Fermat'n lauseen mukaan $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Saimme siis, että $df \left(x_(0)\right) = 0$, ts. funktio $f$ pisteessä $x_(0)$ on yhtä suuri kuin nolla missä tahansa vektorissa $h$.

Määritelmä
Pisteet, joissa differentiaali on yhtä suuri kuin nolla, ts. Niitä, joissa kaikki osittaiset derivaatat ovat yhtä suuret kuin nolla, kutsutaan stationaarisiksi. kriittiset kohdat funktiot $f$ ovat pisteitä, joissa $f$ ei ole differentioituva tai se on nolla. Jos piste on paikallaan, ei siitä vielä seuraa, että funktiolla on ääriarvo tässä pisteessä.

Esimerkki 1
Olkoon $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Sitten $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, joten $\left(0,0\right)$ on paikallaan oleva piste, mutta funktiolla ei ole ääriarvoa tässä pisteessä. Todellakin, $f \left(0,0\right) = 0$, mutta on helppo nähdä, että missä tahansa pisteen $\left(0,0\right)$ ympäristössä funktio saa sekä positiiviset että negatiiviset arvot.

Esimerkki 2
Funktiolla $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ on koordinaattien origo paikallaan olevana pisteenä, mutta on selvää, ettei tässä pisteessä ole ääripäätä.

Lause (riittävä ehto ääripäälle).
Olkoon funktio $f$ kahdesti jatkuvasti differentioituva avoimessa joukossa $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Olkoon $x_(0) \in E$ kiinteä piste ja $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\osittais^(2) f)(\osittais x_(i) \osittais x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Sitten

1. jos $Q_(x_(0))$ – , niin funktiolla $f$ pisteessä $x_(0)$ on paikallinen ääripää eli minimi, jos muoto on positiivinen määrätty ja maksimi jos muoto on negatiivinen-määräinen;
2. jos neliömuoto $Q_(x_(0))$ on epämääräinen, niin funktiolla $f$ pisteessä $x_(0)$ ei ole ääriarvoa.

Käytetään laajennusta Taylorin kaavan mukaan (12.7 s. 292) . Ottaen huomioon, että ensimmäisen asteen osittaiset derivaatat pisteessä $x_(0)$ ovat nolla, saadaan $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\right) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ osittainen x_(j)) \vasen(x_(0)+\theta h\oikea)h^(i)h^(j),$$ missä $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ ja $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ arvolle $h \rightarrow 0$, niin oikea puoli on positiivinen mille tahansa riittävän pienelle vektorille $h$.
Siten olemme tulleet siihen tulokseen, että jossain pisteen $x_(0)$ ympäristössä epäyhtälö $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ täyttyy, jos vain $ x \neq x_ (0)$ (laitamme $x=x_(0)+h$\oikea). Tämä tarkoittaa, että pisteessä $x_(0)$ funktiolla on tiukka paikallinen minimi, joten lauseemme ensimmäinen osa on todistettu.
Oletetaan nyt, että $Q_(x_(0))$ on epämääräinen muoto. Sitten on vektoreita $h_(1)$, $h_(2)$ siten, että $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Sitten saadaan $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ vasen[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Riittävän pienelle $t>0$:lle oikea puoli on positiivinen. Tämä tarkoittaa, että missä tahansa pisteen $x_(0)$ ympäristössä funktio $f$ saa arvot $f \left(x\right)$, jotka ovat suurempia kuin $f \left(x_(0)\right)$.
Samalla tavalla saadaan, että missä tahansa pisteen $x_(0)$ ympäristössä funktio $f$ saa arvoja, jotka ovat pienempiä kuin $f \left(x_(0)\right)$. Tämä yhdessä edellisen kanssa tarkoittaa, että funktiolla $f$ ei ole ääriarvoa pisteessä $x_(0)$.

Tarkastellaan tämän lauseen erikoistapausta kahden muuttujan funktiolle $f \left(x,y\right)$, joka on määritelty jossain pisteen $\left(x_(0),y_(0)\right) ympäristössä. $ ja joilla on jatkuvat osittaiset derivaatat ensimmäisestä ja toisesta järjestyksestä. Olkoon $\left(x_(0),y_(0)\right)$ paikallaan oleva piste ja olkoon $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\oikea), a_(22)=\frac(\osittais^(2) f)(\osittaisy^(2)) \left(x_(0), y_(0)\oikea ). $$ Sitten edellinen lause saa seuraavan muodon.

Lause
Olkoon $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Sitten:

1. jos $\Delta>0$, niin funktiolla $f$ on paikallinen ääriarvo pisteessä $\left(x_(0),y_(0)\right)$, eli minimi, jos $a_(11)> 0$ ja maksimi jos $a_(11)<0$;
2. jos $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

Algoritmi useiden muuttujien funktion ääripään löytämiseksi:

1. Löydämme kiinteitä pisteitä;
2. Löydämme 2. kertaluvun differentiaalin kaikista kiinteistä pisteistä
3. Käyttämällä useiden muuttujien funktion ääripään riittävää ehtoa, tarkastelemme toisen asteen differentiaalia kussakin paikallaan olevassa pisteessä

1. Tutki funktiota ääripäähän $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Ratkaisu

   Etsi ensimmäisen asteen osittaiset johdannaiset: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Laadi ja ratkaise järjestelmä: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(tapaukset) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ Toisesta yhtälöstä ilmaisemme $x=4 \cdot y^(2)$ — korvaa 1. yhtälön: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ oikea )^(2)-2 \cdot y=0$$ $16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Tuloksena saadaan 2 kiinteää pistettä:
   1) $y=0 \nuoli oikealle x = 0, M_(1) = \vasen(0, 0\oikea)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \vasen(\frac(1)(2), 1\oikea)$
   Tarkastetaan riittävän äärimmäisen ehdon täyttyminen:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Pisteelle $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\osittais^(2) f)(\osittais x \osittainen y) \vasen(0,0\oikea)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Kohdalle $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\osittais^(2) f)(\osittais x \osittainen y) \vasen(1,\frac(1)(2)\oikea)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, joten pisteessä $M_(2)$ on ääriarvo ja koska $A_(2)>0 $, tämä on minimi.
   Vastaus: Piste $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ on funktion $f$ minimipiste.
   

2. Tutki funktiota äärisummalle $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Ratkaisu

   Etsi kiinteät pisteet: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x - 2.$$
   Laadi ja ratkaise järjestelmä: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Oikea nuoli \begin(tapaukset)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(tapaukset) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\loppu(kirjaimet) \Oikeanuoli x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ on kiinteä piste.
   Tarkistetaan riittävän ääripääehdon täyttyminen: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\osittais x \osittais y) \vasen(-1,2\oikea)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Vastaus: ääripäitä ei ole olemassa.
   

Aikaraja: 0

Navigointi (vain työnumerot)

0/4 tehtävää suoritettu

Tiedot

Vastaa tähän tietokilpailuun testataksesi tietosi juuri lukemastasi aiheesta, Monien muuttujien funktioiden paikallinen äärimmäisyys.

Olet jo tehnyt testin aiemmin. Et voi ajaa sitä uudelleen.

Testi latautuu...

Sinun tulee kirjautua sisään tai rekisteröityä aloittaaksesi testin.

Sinun on suoritettava seuraavat testit aloittaaksesi tämän:

tuloksia

Oikeat vastaukset: 0/4

Sinun aika:

Aika on lopussa

Sait 0/0 pistettä (0 )

Pistemääräsi on kirjattu tulostaulukkoon

1. Vastauksen kanssa
2. Tarkastettu

Tehtävä 1/4

1 .

Pisteiden määrä: 1

Tutki funktiota $f$ ääripäille: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

oikein


Ei kunnolla


1. Tehtävä 2/4

   2 .

   Pisteiden määrä: 1

   Onko funktio $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

Toiminnon muutos tietyssä kohdassa ja määritellään funktion lisäyksen rajaksi argumentin lisäykseen, joka pyrkii nollaan. Löytääksesi sen, käytä johdannaistaulukkoa. Esimerkiksi funktion y = x3 derivaatta on yhtä suuri kuin y’ = x2.

Yhdistä tämä derivaatta nollaan (tässä tapauksessa x2=0).

Etsi annetun muuttujan arvo. Nämä ovat arvoja, joille tämä derivaatta on yhtä suuri kuin 0. Korvaa tätä varten lausekkeessa mielivaltaiset luvut x:n sijasta, jolloin koko lausekkeesta tulee nolla. Esimerkiksi:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1 = 1, x2 = -1

Käytä saatuja arvoja koordinaattiviivalle ja laske jokaiselle saadulle derivaatan etumerkki. Koordinaattiviivalle on merkitty pisteet, jotka otetaan origoiksi. Arvon laskemiseksi välissä korvaa mielivaltaiset arvot, jotka vastaavat kriteerejä. Esimerkiksi edelliselle funktiolle väliin -1 asti voit valita arvon -2. -1:stä 1:een voit valita 0:n ja 1:tä suuremmille arvoille 2. Korvaa nämä luvut derivaatassa ja selvitä derivaatan etumerkki. Tässä tapauksessa derivaatta x = -2 on yhtä suuri kuin -0,24, ts. negatiivinen ja tässä välissä on miinusmerkki. Jos x=0, niin arvo on yhtä suuri kuin 2, ja tälle välille laitetaan etumerkki. Jos x=1, niin derivaatta on myös yhtä suuri kuin -0,24 ja laitetaan miinus.

Jos derivaatta muuttaa etumerkkinsä miinuspisteestä plussaksi kulkiessaan koordinaattiviivan pisteen kautta, tämä on minimipiste, ja jos plussasta miinuspisteeseen, tämä on maksimipiste.

Liittyvät videot

Hyödyllisiä neuvoja

Johdannan löytämiseksi on online-palveluita, jotka laskevat vaaditut arvot ja näyttävät tuloksen. Tällaisilta sivustoilta voit löytää jopa 5 tilauksen johdannaisen.

Lähteet:

• Yksi johdannaisten laskentapalveluista
• funktion maksimipiste

Funktion maksimipisteitä yhdessä minimipisteiden kanssa kutsutaan ääripisteiksi. Näissä kohdissa funktio muuttaa käyttäytymistään. Extremat määritetään rajoitetuin numeerisin aikavälein ja ne ovat aina paikallisia.

Ohje

Paikallisten ääripäiden löytämisprosessia kutsutaan funktioksi ja se suoritetaan analysoimalla funktion ensimmäinen ja toinen derivaatta. Ennen kuin aloitat tutkimisen, varmista, että määritetty argumenttiarvoalue kuuluu sallittuihin arvoihin. Esimerkiksi funktiolle F=1/x argumentin x=0 arvo on virheellinen. Tai funktion Y=tg(x) argumentilla ei voi olla arvoa x=90°.

Varmista, että Y-funktio on differentioituva koko annetulla aikavälillä. Etsi Y:n ensimmäinen derivaatta". On selvää, että ennen paikallisen maksimipisteen saavuttamista funktio kasvaa ja maksimin läpi kulkiessaan funktio pienenee. Ensimmäinen derivaatta fysikaalisessa merkityksessään karakterisoi funktion muutosnopeutta Kun funktio kasvaa, tämän prosessin nopeus on positiivinen arvo. Kun funktio kulkee paikallisen maksimin läpi, funktio alkaa laskea ja funktion muutosprosessin nopeus tulee negatiiviseksi. funktion muutos nollasta tapahtuu paikallisen maksimin pisteessä.

Funktiolla sanotaan olevan sisäinen piste
alueilla D paikallinen maksimi(minimi), jos pisteellä on tällainen lähialue
, jokaiselle pisteelle
joka tyydyttää eriarvoisuuden

Jos funktiolla on pisteessä
paikallinen maksimi tai paikallinen minimi, sanomme, että sillä on tässä vaiheessa paikallinen ääripää(tai vain äärimmäistä).

Lause (välttämätön edellytys ääripään olemassaololle). Jos differentioituva funktio saavuttaa ääripisteen pisteessä
, sitten jokainen funktion ensimmäisen asteen osaderivaata katoaa tässä vaiheessa.

Pisteitä, joissa kaikki ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat katoavat, kutsutaan toiminnon kiinteät kohdat
. Näiden pisteiden koordinaatit löytyvät ratkaisemalla järjestelmä alk yhtälöt

.

Tarvittava ehto ääripään olemassaololle differentioituvan funktion tapauksessa voidaan muotoilla lyhyesti seuraavasti:

On tapauksia, joissa joissakin kohdissa joillakin osittaisilla derivaatoilla on äärettömät arvot tai niitä ei ole olemassa (kun taas loput ovat nolla). Tällaisia ​​pisteitä kutsutaan toiminnon kriittiset kohdat. Näitä kohtia tulee myös pitää "epäilyttävinä" ääripään suhteen samoin kuin paikallaan olevina.

Kun kyseessä on kahden muuttujan funktio, ääripään välttämättömällä ehdolla, nimittäin osittaisderivaataiden (differentiaalin) yhtäläisyys nollaan ääripäässä, on geometrinen tulkinta: tangenttitaso pintaa vastaan
ääripisteen tulee olla yhdensuuntainen tason kanssa
.

20. Riittävät edellytykset ääripään olemassaololle

Ekstreemumin olemassaolon välttämättömän ehdon täyttyminen jossain vaiheessa ei takaa ääripään olemassaoloa siellä. Esimerkkinä voidaan ottaa kaikkialla differentioituva funktio
. Sekä sen osittaiset derivaatat että itse funktio katoavat pisteessä
. Kuitenkin missä tahansa tämän pisteen naapurustossa on molempia myönteisiä (suuria
) ja negatiivinen (pienempi
) tämän funktion arvot. Siksi tässä vaiheessa määritelmän mukaan ei ole ääripäätä. Siksi on tarpeen tietää riittävät olosuhteet, joissa ääripääksi epäilty piste on tutkittavan funktion ääripiste.

Tarkastellaan kahden muuttujan funktion tapausta. Oletetaan, että funktio
on määritelty, jatkuva, ja sillä on jatkuvia osittaisia ​​derivaattoja aina toiseen kertaluokkaan asti jossakin pisteessä
, joka on funktion kiinteä piste
, eli täyttää ehdot

,
.

Otetaan käyttöön merkintä:

Lause (riittävät edellytykset ääripään olemassaololle). Anna toiminnon
täyttää yllä mainitut ehdot, nimittäin: erottuva jossain kiinteän pisteen ympäristössä
ja on kahdesti differentioituva itse pisteessä
. Sitten jos

Jos
sitten funktio
pisteessä
saavuttaa

paikallinen maksimi klo
ja

paikallinen minimi klo
.

Yleensä toimintoon
riittävä edellytys olemassaololle jossakin pisteessä
paikallinenminimi(enimmäismäärä) On positiivinen(negatiivinen) toisen differentiaalin täsmällisyys.

Toisin sanoen seuraava väite on totta.

Lause . Jos pisteessä
toimintoa varten

mille tahansa, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla samanaikaisesti
, niin tässä vaiheessa funktiolla on minimi(samanlainen enimmäismäärä, jos
).

Esimerkki 18.Etsi funktion paikalliset ääripisteet

Ratkaisu. Etsi funktion osittaiset derivaatat ja rinnasta ne nollaan:

Ratkaisemalla tämän järjestelmän löydämme kaksi mahdollista ääripistettä:

Etsitään toisen asteen osittaiset derivaatat tälle funktiolle:

Ensimmäisessä paikallaan olevassa pisteessä siis ja
Tästä syystä tarvitaan lisätutkimusta tähän kohtaan. Toiminnon arvo
tässä vaiheessa on nolla:
Edelleen,

klo

a

klo

Siksi missä tahansa pisteen ympäristössä
toiminto
ottaa arvot yhtä suuria
, ja pienempiä
, ja siksi asiaan
toiminto
määritelmän mukaan sillä ei ole paikallista ääripäätä.

Toisessa paikallaan olevassa pisteessä



siksi, siksi, koska
sitten pisteessä
funktiolla on paikallinen maksimi.

MAKSIMI- JA MINIMIPISTEET

pisteet, joissa se ottaa suurimmat tai pienimmät arvot määritelmäalueella; sellaisia ​​pisteitä kutsutaan myös absoluuttisen maksimin tai absoluuttisen minimin pisteet. Jos f on määritelty topologisessa tila X, sitten piste x 0 nimeltään paikallisen maksimin piste (paikallinen minimi), jos sellainen on olemassa x 0, että tarkasteltavana olevan toiminnon rajoittamiseksi tähän naapurustoon, piste x 0 on absoluuttinen maksimi (minimi) piste. Erottele tiukat ja ei-tiukat maksimipisteet (mini m u m a) (sekä absoluuttiset että paikalliset). Esimerkiksi piste nimeltä funktion f ei-tiukan (tiukan) paikallisen maksimin piste, jos sellainen pisteen lähialue on olemassa x 0, joka pätee kaikkiin (vastaavasti f(x) x0). )/

Äärillisulotteisilla alueilla määritetyille funktioille differentiaalilaskennassa on ehtoja ja kriteerejä sille, että tietty piste on paikallinen maksimi- (minimi)piste. Olkoon funktio f määritelty reaaliakselin laatikon x 0 tietyllä alueella. Jos x 0 - ei-tiukan paikallisen maksimin (minimi) piste ja tässä kohdassa on olemassa f"( x0), silloin se on nolla.

Jos annettu funktio f on differentioituva pisteen läheisyydessä x 0, paitsi ehkä itse tämä piste, jossa se on jatkuva, ja derivaatta f" pisteen kummallakin puolella x0 säilyttää jatkuvan merkin tällä naapurustolla, sitten jotta x0 oli tiukan paikallisen maksimin (paikallisen minimin) piste, on välttämätöntä ja riittävää, että derivaatta muuttaa etumerkkiä plussasta miinusmerkiksi, eli että f "(x)> 0 x:ssä<.x0 ja f"(x)<0 при x>x0(vastaavasti miinuksesta plussaan: f"(X) <0 klo x<x0 ja f"(x)>0 kun x>x 0). Ei kuitenkaan jokaiselle pisteen läheisyydessä differentioitavissa olevalle funktiolle x 0, tässä vaiheessa voidaan puhua derivaatan etumerkin muutoksesta. . "

Jos funktiolla f on pisteessä x 0 t johdannaisia ​​lisäksi x 0 on tiukan paikallisen maksimin piste, on välttämätöntä ja riittävää, että τ on parillinen ja että f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.

Olkoon funktio f( x 1 ..., x s] määritellään pisteen n-ulotteisessa ympäristössä ja on tässä pisteessä differentioituva. Jos x (0) on ei-tiukka paikallinen maksimi (minimi)piste, niin funktio f tässä pisteessä on nolla. Tämä ehto vastaa kaikkien funktion f 1. kertaluvun osittaisderivaataiden yhtäläisyyttä nollaan tässä pisteessä. Jos funktiolla on 2. jatkuva osittaisderivaata kohdassa x (0) , kaikki sen 1. derivaatat katoavat kohdassa x (0) ja 2. asteen differentiaali kohdassa x (0) on negatiivinen (positiivinen) neliömuoto, niin x(0) on tiukan paikallisen maksimin (minimi) piste. M. ja M. T. differentioituville funktioille tunnetaan ehdot, kun argumenttien muutoksille asetetaan tiettyjä rajoituksia: rajoitusyhtälöt täyttyvät. Monimutkaisemman rakenteen omaavan reaalifunktion maksimi (minimi) välttämättömiä ja riittäviä ehtoja tutkitaan matematiikan erikoisaloilla: esim. kupera analyysi, matemaattinen ohjelmointi(Katso myös Maksimointi ja toimintojen minimointi). Jakoputkissa määriteltyjä M.- ja m.t.-funktioita tutkitaan variaatiolaskelma yleensä, ja M. ja m.t. funktioavaruuksiin määritellyille funktioille, eli funktionaaleille, variaatiolaskenta. On myös erilaisia ​​menetelmiä M.:n ja m.t:n numeeriseen likimääräiseen löytämiseen.

Lit.: Il'in V. A., Poznya to E. G., Fundamentals of Mathematical Analysis, 3. painos, osa 1, M., 1971; KudrjavtsevL. L. D. Kudrjavtsev.

Matemaattinen tietosanakirja. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Katso, mitä "MAKSIMI- JA MINIMIPISTE" on muissa sanakirjoissa:

Diskreetti Pontryagin-maksimiperiaate aikadiskreeteille ohjausprosesseille. Tällaiselle prosessille M. p. ei välttämättä täyty, vaikka sen jatkuvalle analogille, joka saadaan korvaamalla äärellinen erooperaattori differentiaalisella ... ... Matemaattinen tietosanakirja

Lause, joka ilmaisee yhden analytiikan moduulin pääominaisuuksista. toimintoja. Olkoon f(z) p-kompleksimuuttujien säännöllinen analyyttinen tai holomorfinen funktio kompleksilukuavaruuden alueella D, joka on muu kuin vakio, M. m. s. ... ... Matemaattinen tietosanakirja

Reaaliarvoja ottavan funktion suurimmat ja vastaavasti pienimmät arvot. Kutsutaan kyseessä olevan funktion määritelmäalueen piste, jossa se ottaa maksimin tai minimin. vastaavasti maksimipiste tai minimipiste ..... Matemaattinen tietosanakirja

Katso funktion maksimi ja minimi, pisteen maksimi ja minimi... Matemaattinen tietosanakirja

Jatkuvan funktion arvo, joka on suurin tai minimi (katso Maksimi- ja Minimipisteet). Termi LE... Matemaattinen tietosanakirja

Indikaattori- (Indikaattori) Indikaattori on tietojärjestelmä, aine, laite, laite, joka näyttää muutokset missä tahansa parametrissa Forexin valuuttamarkkinakaavioiden indikaattorit, mitä ne ovat ja mistä ne voidaan ladata? Kuvaus MACD-indikaattoreista, ... ... Sijoittajan tietosanakirja

Tällä termillä on muita merkityksiä, katso Extreme (merkityksiä). Ekstreemi (latinaksi extremum extreme) on matematiikassa funktion maksimi- tai minimiarvo tietyssä joukossa. Piste, jossa ääripää saavutetaan, on ... ... Wikipedia

Differentiaalilaskenta on matemaattisen analyysin haara, joka tutkii derivaatan ja differentiaalin käsitteitä ja sitä, miten niitä voidaan soveltaa funktioiden tutkimiseen. Sisältö 1 Yhden muuttujan funktioiden differentiaalilaskenta ... Wikipedia

Lemniskaatti ja sen temppuja Bernoullin lemniskaatti on taso algebrallinen käyrä. Määritelty pisteiden paikkaksi, tuote ... Wikipedia

Eroaminen- (Divergenssi) Ero indikaattorina Kaupankäyntistrategia MACD-poikkeaman kanssa Sisältö Sisällys Osa 1. on. Osa 2. Ero miten. Divergentti on termi, jota käytetään taloustieteessä viittaamaan liikkumiseen erilaisten ... ... Sijoittajan tietosanakirja

Monien muuttujien funktiolle f(x) piste x on vektori, f'(x) on funktion f(x) ensimmäisten derivaattojen (gradientin) vektori, f ′ ′(x) on symmetrinen matriisi toisten osittaisderivaatojen (Hessen matriisi − Hesseninen) funktiot f(x).
Useiden muuttujien funktiolle optimaalisuusehdot muotoillaan seuraavasti.
Paikallisen optimaalisuuden välttämätön edellytys. Olkoon f(x) differentioituva pisteessä x * R n . Jos x * on paikallinen ääripiste, niin f'(x *) = 0.
Kuten ennenkin, pisteitä, jotka ovat yhtälöjärjestelmän ratkaisuja, kutsutaan paikallaan oleviksi. Stacionaarisen pisteen x * luonne liittyy Hessenin matriisin f′ ′(x) etumerkkimääräisyyteen.
Matriisin A etumerkkimäärä riippuu toisen muodon Q(α)= etumerkeistä< α A, α >kaikille nollasta poikkeaville α∈R n .
Tästä ja edelleen vektorien x ja y skalaaritulo on merkitty. Määritelmän mukaan

Matriisi A on positiivisesti (ei-negatiivisesti) määrätty, jos Q(α)>0 (Q(α)≥0) kaikille nollasta poikkeaville α∈R n ; negatiivisesti (ei-positiivisesti) varma, jos Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 joillekin nollasta poikkeaville arvoille α∈R n ja Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Riittävä kunto paikalliseen optimaalisuuteen. Olkoon f(x) kahdesti differentioituva pisteessä x * R n , ja f’(x *)=0 ts. x * − kiinteä piste. Sitten, jos matriisi f (x *) on positiivinen (negatiivinen) määrätty, niin x * on paikallinen minimi (maksimi) piste; jos matriisi f′′(x *) on epämääräinen, niin x * on satulapiste.
Jos matriisi f′′(x *) on ei-negatiivinen (ei-positiivisesti) definitiivinen, niin stationaarisen pisteen x * luonteen määrittämiseksi tarvitaan korkeamman asteen derivaattojen tutkimus.
Matriisin etumerkkitarkkuuden tarkistamiseen käytetään pääsääntöisesti Sylvester-kriteeriä. Tämän kriteerin mukaan symmetrinen matriisi A on positiivinen määrätty silloin ja vain, jos sen kaikki kulma-mollit ovat positiivisia. Tässä tapauksessa matriisin A kulmamolli on matriisin A elementeistä muodostetun matriisin determinantti, joka seisoo samoilla (ja ensimmäisillä) numeroilla olevien rivien ja sarakkeiden leikkauskohdassa. Jotta voidaan tarkistaa symmetrisen matriisin A negatiivinen mää- räisyys, täytyy matriisista (−A) tarkistaa positiivinen mää- räys.
Joten algoritmi useiden muuttujien funktion paikallisääripisteiden määrittämiseksi on seuraava.
1. Etsi f′(x).
2. Järjestelmä on ratkaistu

Tuloksena lasketaan kiinteät pisteet x i.
3. Etsi f′′(x), aseta i=1.
4. Etsi f′′(x i)
5. Lasketaan matriisin f′′(x i) kulmamoolit. Jos kaikki kulmamollit eivät ole nollia, niin stationaarisen pisteen x i luonteen määrittämiseksi tarvitaan korkeamman asteen derivaattojen tutkimus. Tässä tapauksessa siirtyminen kohtaan 8 suoritetaan.
Muussa tapauksessa siirry vaiheeseen 6.
6. Analysoidaan kulmamollien f′′(x i) merkit. Jos f′′(x i) on positiivinen määrätty, niin x i on paikallinen minimipiste. Tässä tapauksessa siirtyminen kohtaan 8 suoritetaan.
Muussa tapauksessa siirry kohtaan 7.
7. Matriisin -f′′(x i) kulmamollit lasketaan ja niiden etumerkit analysoidaan.
Jos -f′′(x i) − on positiivinen definiitti, niin f′′(x i) on negatiivinen definiitti ja x i on paikallinen maksimipiste.
Muuten f'(x i) on epämääräinen ja x i on satulapiste.
8. Kaikkien paikallaan olevien pisteiden i=N luonteen määrittämisen ehto tarkistetaan.
Jos se täyttyy, laskelmat on suoritettu.
Jos ehto ei täyty, oletetaan i=i+1 ja siirrytään vaiheeseen 4.

Esimerkki #1. Määritä funktion f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 paikallisääripisteet









Koska kaikki kulman alamerkit eivät ole nollia, x 2:n luonne määräytyy f′′(x) avulla.
Koska matriisi f′′(x 2) on positiivinen määrätty, x 2 on paikallinen minimipiste.
Vastaus: funktiolla f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 on paikallinen minimi pisteessä x = (5/3; 8/3).