पावर फ़ंक्शन, इसके गुण और ग्राफ़। प्रारंभिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ और बुनियादी गुण फ़ंक्शन y x के ग्राफ़ को हल करें

हम समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली चुनते हैं और भुज अक्ष पर तर्क के मानों को आलेखित करते हैं एक्स, और y-अक्ष पर - फ़ंक्शन के मान वाई = एफ(एक्स).

फ़ंक्शन ग्राफ़ वाई = एफ(एक्स)सभी बिंदुओं के सेट को कहा जाता है, जिसके लिए भुज फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित होते हैं, और निर्देशांक फ़ंक्शन के संबंधित मानों के बराबर होते हैं।

दूसरे शब्दों में, फ़ंक्शन y \u003d f (x) का ग्राफ़ विमान में सभी बिंदुओं का सेट है, निर्देशांक एक्स, परजो रिश्ते को संतुष्ट करता है वाई = एफ(एक्स).

अंजीर पर. 45 और 46 फ़ंक्शन के ग्राफ़ हैं y = 2x + 1और y \u003d x 2 - 2x.

कड़ाई से बोलते हुए, किसी को किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ (जिसकी सटीक गणितीय परिभाषा ऊपर दी गई थी) और खींचे गए वक्र के बीच अंतर करना चाहिए, जो हमेशा ग्राफ़ का केवल अधिक या कम सटीक स्केच देता है (और फिर भी, एक नियम के रूप में, संपूर्ण ग्राफ़ नहीं, बल्कि केवल उसका भाग जो समतल के अंतिम भागों में स्थित है)। हालाँकि, आगे हम आमतौर पर "चार्ट स्केच" के बजाय "चार्ट" का उल्लेख करेंगे।

ग्राफ़ का उपयोग करके, आप किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात कर सकते हैं। अर्थात्, यदि बात एक्स = एफ़ंक्शन के दायरे से संबंधित है वाई = एफ(एक्स), फिर संख्या ज्ञात करने के लिए एफ(ए)(अर्थात बिंदु पर फ़ंक्शन मान एक्स = ए) ऐसा करना चाहिए. एक भुज के साथ एक बिंदु के माध्यम से की जरूरत है एक्स = ए y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचें; यह रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्रतिच्छेद करेगी वाई = एफ(एक्स)एक बिंदु पर; इस बिंदु की कोटि, ग्राफ़ की परिभाषा के आधार पर, के बराबर होगी एफ(ए)(चित्र 47)।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स) = एक्स 2 - 2एक्सग्राफ़ (चित्र 46) का उपयोग करके हम f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, आदि पाते हैं।

एक फ़ंक्शन ग्राफ़ किसी फ़ंक्शन के व्यवहार और गुणों को स्पष्ट रूप से दर्शाता है। उदाहरण के लिए, चित्र के एक विचार से। 46 यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन y \u003d x 2 - 2xकब सकारात्मक मान लेता है एक्स< 0 और कम से एक्स > 2, नकारात्मक - 0 पर< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2xपर स्वीकार करता है एक्स = 1.

किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करने के लिए एफ(एक्स)आपको समतल के सभी बिंदु, निर्देशांक खोजने होंगे एक्स,परजो समीकरण को संतुष्ट करता है वाई = एफ(एक्स). ज्यादातर मामलों में, यह असंभव है, क्योंकि ऐसे अनगिनत बिंदु हैं। इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ़ लगभग - अधिक या कम सटीकता के साथ दर्शाया गया है। सबसे सरल बहु-बिंदु आलेखन विधि है। यह इस तथ्य में निहित है कि तर्क एक्समानों की एक सीमित संख्या दें - मान लें, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k और एक तालिका बनाएं जिसमें फ़ंक्शन के चयनित मान शामिल हों।

तालिका इस प्रकार दिखती है:

ऐसी तालिका संकलित करके, हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर कई बिंदुओं को रेखांकित कर सकते हैं वाई = एफ(एक्स). फिर, इन बिंदुओं को एक चिकनी रेखा से जोड़कर, हमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक अनुमानित दृश्य मिलता है वाई = एफ(एक्स).

हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि बहु-बिंदु आलेखन विधि बहुत अविश्वसनीय है। वास्तव में, चिह्नित बिंदुओं के बीच ग्राफ का व्यवहार और लिए गए चरम बिंदुओं के बीच के खंड के बाहर उसका व्यवहार अज्ञात रहता है।

उदाहरण 1. किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करने के लिए वाई = एफ(एक्स)किसी ने तर्क और फ़ंक्शन मानों की एक तालिका संकलित की:

संबंधित पाँच बिंदु चित्र में दिखाए गए हैं। 48.

इन बिंदुओं के स्थान के आधार पर, उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है (चित्र 48 में एक बिंदीदार रेखा द्वारा दिखाया गया है)। क्या इस निष्कर्ष को विश्वसनीय माना जा सकता है? जब तक इस निष्कर्ष का समर्थन करने के लिए अतिरिक्त विचार न हों, इसे शायद ही विश्वसनीय माना जा सकता है। भरोसेमंद।

हमारे दावे को पुष्ट करने के लिए, फ़ंक्शन पर विचार करें

गणना से पता चलता है कि बिंदु -2, -1, 0, 1, 2 पर इस फ़ंक्शन के मान उपरोक्त तालिका द्वारा वर्णित हैं। हालाँकि, इस फ़ंक्शन का ग्राफ बिल्कुल भी सीधी रेखा नहीं है (यह चित्र 49 में दिखाया गया है)। एक अन्य उदाहरण फ़ंक्शन है y = x + l + synx;इसके अर्थ भी उपरोक्त तालिका में वर्णित हैं।

ये उदाहरण दिखाते हैं कि अपने "शुद्ध" रूप में, बहु-बिंदु आलेखन विधि अविश्वसनीय है। इसलिए, किसी दिए गए फ़ंक्शन को प्लॉट करने के लिए, एक नियम के रूप में, निम्नानुसार आगे बढ़ें। सबसे पहले इस फ़ंक्शन के गुणों का अध्ययन किया जाता है, जिसकी सहायता से ग्राफ़ का एक स्केच बनाना संभव होता है। फिर, कई बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करके (जिनकी पसंद फ़ंक्शन के निर्धारित गुणों पर निर्भर करती है), ग्राफ़ के संबंधित बिंदु पाए जाते हैं। और अंत में, इस फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करके निर्मित बिंदुओं के माध्यम से एक वक्र खींचा जाता है।

हम बाद में ग्राफ़ का स्केच ढूंढने के लिए उपयोग किए जाने वाले फ़ंक्शन के कुछ (सबसे सरल और अक्सर उपयोग किए जाने वाले) गुणों पर विचार करेंगे, और अब हम ग्राफ़ बनाने के लिए कुछ सामान्य रूप से उपयोग की जाने वाली विधियों का विश्लेषण करेंगे।

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = |f(x)|

किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करना अक्सर आवश्यक होता है वाई = |एफ(एक्स)|, कहाँ एफ(एक्स) -दिया गया कार्य. याद करें कि यह कैसे किया जाता है। किसी संख्या के निरपेक्ष मान की परिभाषा के अनुसार कोई भी लिख सकता है

इसका मतलब है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=|f(x)|ग्राफ़, फ़ंक्शंस से प्राप्त किया जा सकता है वाई = एफ(एक्स)इस प्रकार है: फ़ंक्शन के ग्राफ़ के सभी बिंदु वाई = एफ(एक्स), जिनके निर्देशांक गैर-नकारात्मक हैं, उन्हें अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए; आगे, फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बिंदुओं के बजाय वाई = एफ(एक्स), नकारात्मक निर्देशांक होने पर, किसी को फ़ंक्शन के ग्राफ़ के संबंधित बिंदुओं का निर्माण करना चाहिए y = -f(x)(यानी फ़ंक्शन ग्राफ़ का हिस्सा
वाई = एफ(एक्स), जो अक्ष के नीचे स्थित है एक्स,अक्ष के चारों ओर सममित रूप से प्रतिबिंबित होना चाहिए एक्स).

उदाहरण 2एक फ़ंक्शन प्लॉट करें y = |x|

हम फ़ंक्शन का ग्राफ़ लेते हैं वाई = एक्स(चित्र 50, ए) और इस ग्राफ का हिस्सा जब एक्स< 0 (धुरी के नीचे लेटा हुआ एक्स) अक्ष के बारे में सममित रूप से परिलक्षित होता है एक्स. परिणामस्वरूप, हमें फ़ंक्शन का ग्राफ़ मिलता है y = |x|(चित्र 50, बी)।

उदाहरण 3. एक फ़ंक्शन प्लॉट करें y = |x 2 - 2x|

सबसे पहले हम फ़ंक्शन को प्लॉट करते हैं y = x 2 - 2x.इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है, जिसकी शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, परवलय के शीर्ष पर निर्देशांक (1; -1) होते हैं, इसका ग्राफ भुज अक्ष को बिंदु 0 और 2 पर काटता है। अंतराल पर (0; 2) ) फ़ंक्शन नकारात्मक मान लेता है, इसलिए ग्राफ़ का यह भाग x-अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रतिबिंबित करता है। चित्र 51 फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ दिखाता है y = |x 2 -2x |, फ़ंक्शन के ग्राफ़ के आधार पर y = x 2 - 2x

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = f(x) + g(x)

फ़ंक्शन को प्लॉट करने की समस्या पर विचार करें y = f(x) + g(x).यदि फ़ंक्शन के ग्राफ़ दिए गए हैं वाई = एफ(एक्स)और वाई = जी(एक्स).

ध्यान दें कि फ़ंक्शन का डोमेन y = |f(x) + g(х)| x के उन सभी मानों का समुच्चय है जिसके लिए दोनों फ़ंक्शन y = f(x) और y = g(x) परिभाषित हैं, यानी परिभाषा का यह डोमेन परिभाषा के डोमेन, फ़ंक्शन f(x) का प्रतिच्छेदन है ) और जी(x).

चलो अंक (एक्स 0, वाई 1) और (एक्स 0, वाई 2) क्रमशः फ़ंक्शन ग्राफ़ से संबंधित हैं वाई = एफ(एक्स)और वाई = जी(एक्स), यानी y 1 = एफ (एक्स 0), वाई 2 = जी (एक्स 0)।फिर बिंदु (x0;. y1 + y2) फ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित है वाई = एफ(एक्स) + जी(एक्स)(के लिए एफ(एक्स 0) + जी(एक्स 0) = य 1+y2),. और फ़ंक्शन के ग्राफ़ का कोई भी बिंदु वाई = एफ(एक्स) + जी(एक्स)इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है. इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ़ वाई = एफ(एक्स) + जी(एक्स)फ़ंक्शन ग्राफ़ से प्राप्त किया जा सकता है वाई = एफ(एक्स). और वाई = जी(एक्स)प्रत्येक बिंदु को प्रतिस्थापित करके ( एक्स एन, वाई 1) फ़ंक्शन ग्राफ़िक्स वाई = एफ(एक्स)डॉट (एक्स एन, वाई 1 + वाई 2),कहाँ आप 2 = जी(एक्स एन), यानी, प्रत्येक बिंदु को स्थानांतरित करके ( एक्स एन, वाई 1) फ़ंक्शन ग्राफ़ वाई = एफ(एक्स)अक्ष के अनुदिश परराशि से वाई 1 = जी (एक्स एन). इस मामले में केवल ऐसे बिंदुओं पर ही विचार किया जाता है. एक्स n जिसके लिए दोनों फ़ंक्शन परिभाषित हैं वाई = एफ(एक्स)और वाई = जी(एक्स).

फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाने की यह विधि y = f(x) + g(x) को फ़ंक्शंस के ग्राफ़ का जोड़ कहा जाता है वाई = एफ(एक्स)और वाई = जी(एक्स)

उदाहरण 4. चित्र में ग्राफ़ जोड़ने की विधि द्वारा फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाया गया है
y = x + synx.

किसी फ़ंक्शन की योजना बनाते समय y = x + synxहमने ऐसा मान लिया एफ(एक्स) = एक्स,ए जी(एक्स) = सिनएक्स.फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाने के लिए, हम भुज -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2 वाले बिंदुओं का चयन करते हैं। एफ(एक्स) = एक्स, जी(एक्स) = सिनएक्स, वाई = एक्स + सिनएक्सहम चयनित बिंदुओं पर गणना करेंगे और परिणामों को तालिका में रखेंगे।

एक फ़ंक्शन बनाएं

हम आपके ध्यान में फ़ंक्शन ग्राफ़ को ऑनलाइन प्लॉट करने की एक सेवा लाते हैं, जिसके सभी अधिकार कंपनी के हैं Desmos. फ़ंक्शंस दर्ज करने के लिए बाएं कॉलम का उपयोग करें। आप विंडो के नीचे मैन्युअल रूप से या वर्चुअल कीबोर्ड का उपयोग करके प्रवेश कर सकते हैं। चार्ट विंडो को बड़ा करने के लिए, आप बाएँ कॉलम और वर्चुअल कीबोर्ड दोनों को छिपा सकते हैं।

ऑनलाइन चार्टिंग के लाभ

प्रस्तुत कार्यों का दृश्य प्रदर्शन
बहुत जटिल ग्राफ़ बनाना
अंतर्निहित रूप से परिभाषित ग्राफ़ प्लॉट करना (उदाहरण के लिए दीर्घवृत्त x^2/9+y^2/16=1)
चार्ट को सहेजने और उनके लिए एक लिंक प्राप्त करने की क्षमता, जो इंटरनेट पर सभी के लिए उपलब्ध हो जाती है
स्केल नियंत्रण, रेखा रंग
बिंदुओं के आधार पर ग्राफ़ बनाने की क्षमता, स्थिरांक का उपयोग
एक ही समय में कार्यों के कई ग्राफ़ का निर्माण
ध्रुवीय निर्देशांक में प्लॉटिंग (r और θ(\theta) का उपयोग करें)

हमारे साथ अलग-अलग जटिलता के ग्राफ़ ऑनलाइन बनाना आसान है। निर्माण तुरन्त किया जाता है। यह सेवा फ़ंक्शन के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने, समस्याओं को हल करने के लिए चित्र के रूप में वर्ड दस्तावेज़ में उनके आगे स्थानांतरण के लिए ग्राफ़ प्रदर्शित करने, फ़ंक्शन ग्राफ़ की व्यवहारिक विशेषताओं का विश्लेषण करने के लिए मांग में है। साइट के इस पृष्ठ पर चार्ट के साथ काम करने के लिए सबसे अच्छा ब्राउज़र Google Chrome है। अन्य ब्राउज़रों का उपयोग करते समय, सही संचालन की गारंटी नहीं है।

गणित में सबसे प्रसिद्ध घातीय कार्यों में से एक घातांक है। यह निर्दिष्ट शक्ति तक बढ़ायी गयी यूलर संख्या है। एक्सेल में, एक अलग ऑपरेटर है जो आपको इसकी गणना करने की अनुमति देता है। आइए देखें कि इसे व्यवहार में कैसे उपयोग किया जा सकता है।

प्रतिपादक एक दी गई घात तक बढ़ाई गई यूलर संख्या है। यूलर संख्या स्वयं लगभग 2.718281828 है। कभी-कभी इसे नेपियर नंबर भी कहा जाता है। घातांक फ़ंक्शन इस तरह दिखता है:

जहाँ e यूलर संख्या है और n घातांक है।

एक्सेल में इस सूचक की गणना करने के लिए एक अलग ऑपरेटर का उपयोग किया जाता है - ऍक्स्प. इसके अलावा, इस फ़ंक्शन को ग्राफ़ के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। हम इन उपकरणों के साथ काम करने के बारे में आगे बात करेंगे।

विधि 1: किसी फ़ंक्शन को मैन्युअल रूप से दर्ज करके घातांक की गणना करना

EXP(संख्या)

अर्थात् इस सूत्र में केवल एक ही तर्क है। यह केवल उस डिग्री का प्रतिनिधित्व करता है जिस तक आपको यूलर संख्या बढ़ाने की आवश्यकता है। यह तर्क या तो संख्यात्मक मान के रूप में हो सकता है या डिग्री संकेतक वाले सेल के संदर्भ का रूप ले सकता है।

विधि 2: फ़ंक्शन विज़ार्ड का उपयोग करना

हालाँकि घातांक की गणना के लिए वाक्यविन्यास अत्यंत सरल है, कुछ उपयोगकर्ता इसका उपयोग करना पसंद करते हैं फ़ंक्शन विज़ार्ड. आइए एक उदाहरण से देखें कि यह कैसे किया जाता है।

यदि किसी सेल का संदर्भ जिसमें एक घातांक शामिल है, का उपयोग तर्क के रूप में किया जाता है, तो आपको कर्सर को फ़ील्ड में रखना होगा "संख्या"और शीट पर बस उस सेल का चयन करें। इसके निर्देशांक तुरंत फ़ील्ड में प्रदर्शित किए जाएंगे. उसके बाद परिणाम की गणना करने के लिए बटन पर क्लिक करें ठीक.

विधि 3: ग्राफ़ बनाना

इसके अलावा, एक्सेल में घातांक की गणना के परिणामस्वरूप प्राप्त परिणामों के आधार पर एक ग्राफ बनाने का अवसर होता है। शीट पर एक ग्राफ़ बनाने के लिए, विभिन्न डिग्री के घातांक के मानों की गणना पहले से ही होनी चाहिए। आप ऊपर वर्णित विधियों में से किसी एक का उपयोग करके उनकी गणना कर सकते हैं।

निर्देशांक अक्ष पर खंड की लंबाई सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है:

निर्देशांक तल पर खंड की लंबाई सूत्र द्वारा मांगी गई है:

त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली में किसी खंड की लंबाई ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:

खंड के मध्य के निर्देशांक (समन्वय अक्ष के लिए केवल पहले सूत्र का उपयोग किया जाता है, समन्वय तल के लिए - पहले दो सूत्र, त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली के लिए - सभी तीन सूत्र) की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है:

समारोहप्रपत्र का एक पत्राचार है य= एफ(एक्स) चरों के बीच, जिसके कारण प्रत्येक को किसी न किसी चर का मान माना जाता है एक्स(तर्क या स्वतंत्र चर) किसी अन्य चर के एक निश्चित मान से मेल खाता है, य(आश्रित चर, कभी-कभी इस मान को केवल फ़ंक्शन का मान कहा जाता है)। ध्यान दें कि फ़ंक्शन तर्क का एक मान मानता है एक्सआश्रित चर का केवल एक ही मान हो सकता है पर. हालाँकि, वही मूल्य परविभिन्न से प्राप्त किया जा सकता है एक्स.

कार्य क्षेत्रस्वतंत्र चर के सभी मान हैं (फ़ंक्शन तर्क, आमतौर पर एक्स) जिसके लिए फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है, यानी। इसका अर्थ मौजूद है. परिभाषा का क्षेत्र दर्शाया गया है डी(य). कुल मिलाकर, आप इस अवधारणा से पहले से ही परिचित हैं। किसी फ़ंक्शन के दायरे को अन्यथा मान्य मानों का डोमेन या ODZ कहा जाता है, जिसे आप लंबे समय से ढूंढ पा रहे हैं।

फ़ंक्शन रेंजइस फ़ंक्शन के आश्रित चर के सभी संभावित मान हैं। लक्षित इ(पर).

कार्य बढ़ता हैउस अंतराल पर जिस पर तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है। कार्य कम होनाउस अंतराल पर जिस पर तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है।

कार्य अंतरालस्वतंत्र चर के अंतराल हैं जिन पर आश्रित चर अपना सकारात्मक या नकारात्मक चिह्न बरकरार रखता है।

फ़ंक्शन शून्यतर्क के वे मान हैं जिनके लिए फ़ंक्शन का मान शून्य के बराबर है। इन बिंदुओं पर, फ़ंक्शन का ग्राफ़ भुज अक्ष (OX अक्ष) को काटता है। अक्सर, किसी फ़ंक्शन के शून्य खोजने की आवश्यकता का मतलब केवल समीकरण को हल करना होता है। इसके अलावा, अक्सर स्थिर चिह्न के अंतराल खोजने की आवश्यकता का मतलब असमानता को सरलता से हल करने की आवश्यकता है।

समारोह य = एफ(एक्स) कहा जाता है यहां तक की एक्स

इसका मतलब यह है कि तर्क के किसी भी विपरीत मान के लिए, सम फ़ंक्शन के मान बराबर हैं। एक सम फ़ंक्शन का ग्राफ हमेशा ऑप-एम्प के y-अक्ष के बारे में सममित होता है।

समारोह य = एफ(एक्स) कहा जाता है अजीब, यदि इसे सममित सेट पर और किसी के लिए परिभाषित किया गया है एक्सपरिभाषा के क्षेत्र से समानता पूरी होती है:

इसका मतलब यह है कि तर्क के किसी भी विपरीत मान के लिए, विषम फ़ंक्शन के मान भी विपरीत हैं। एक विषम फ़ंक्शन का ग्राफ हमेशा मूल बिंदु के बारे में सममित होता है।

सम और विषम फलनों (भुज अक्ष OX के प्रतिच्छेदन बिंदु) के मूलों का योग हमेशा शून्य के बराबर होता है, क्योंकि प्रत्येक सकारात्मक जड़ के लिए एक्सएक नकारात्मक जड़ है एक्स.

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि कुछ फ़ंक्शन का सम या विषम होना आवश्यक नहीं है। ऐसे कई कार्य हैं जो न तो सम हैं और न ही विषम हैं। ऐसे कार्यों को कहा जाता है सामान्य कार्य, और उपरोक्त कोई भी समानता या गुण उनके लिए मान्य नहीं है।

रैखिक प्रकार्यएक फ़ंक्शन कहा जाता है जिसे सूत्र द्वारा दिया जा सकता है:

एक रैखिक फलन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है और सामान्य स्थिति में ऐसा दिखता है (उस स्थिति के लिए एक उदाहरण दिया गया है जब क> 0, इस मामले में फ़ंक्शन बढ़ रहा है; अवसर के लिए क < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

द्विघात फलन का ग्राफ़ (परवलय)

परवलय का ग्राफ एक द्विघात फलन द्वारा दिया जाता है:

एक द्विघात फलन, किसी भी अन्य फलन की तरह, OX अक्ष को उन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है जो इसके मूल हैं: ( एक्स 1 ; 0) और ( एक्स 2; 0). यदि कोई मूल नहीं है, तो द्विघात फलन OX अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करता है, यदि एक मूल है, तो इस बिंदु पर ( एक्स 0; 0) द्विघात फलन केवल OX अक्ष को स्पर्श करता है, लेकिन इसे प्रतिच्छेद नहीं करता है। एक द्विघात फलन हमेशा OY अक्ष को निर्देशांक वाले एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है: (0; सी). एक द्विघात फलन (परवलय) का ग्राफ इस तरह दिख सकता है (चित्र ऐसे उदाहरण दिखाता है जो सभी संभावित प्रकार के परवलय को समाप्त नहीं करता है):

जिसमें:

यदि गुणांक ए> 0, फ़ंक्शन में य = कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी, फिर परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं;
अगर ए < 0, то ветви параболы направлены вниз.

परवलय शीर्ष निर्देशांक की गणना निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है। एक्स शीर्ष (पी- ऊपर दिए गए आंकड़ों में) एक परवलय (या वह बिंदु जिस पर वर्ग त्रिपद अपने अधिकतम या न्यूनतम मान तक पहुंचता है):

Y सबसे ऊपर है (क्यू- ऊपर दिए गए आंकड़ों में) एक परवलय या अधिकतम यदि परवलय की शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित होती हैं ( ए < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (ए> 0), वर्ग त्रिपद का मान:

अन्य कार्यों के ग्राफ़

ऊर्जा समीकरण

यहां पावर फ़ंक्शंस के ग्राफ़ के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

व्युत्क्रमानुपाती निर्भरतासूत्र द्वारा दिए गए फ़ंक्शन को कॉल करें:

संख्या के चिह्न पर निर्भर करता है कव्युत्क्रमानुपाती ग्राफ़ में दो मूलभूत विकल्प हो सकते हैं:

अनंतस्पर्शीवह रेखा है जिस पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की रेखा असीम रूप से करीब आती है, लेकिन प्रतिच्छेद नहीं करती है। ऊपर दिए गए चित्र में दिखाए गए व्युत्क्रम आनुपातिकता ग्राफ़ के लिए अनंतस्पर्शी निर्देशांक अक्ष हैं, जिनके लिए फ़ंक्शन का ग्राफ़ असीम रूप से करीब आता है, लेकिन उन्हें काटता नहीं है।

घातांक प्रकार्यआधार के साथ एसूत्र द्वारा दिए गए फ़ंक्शन को कॉल करें:

एएक घातांकीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ में दो मौलिक विकल्प हो सकते हैं (हम उदाहरण भी देंगे, नीचे देखें):

लघुगणकीय कार्यसूत्र द्वारा दिए गए फ़ंक्शन को कॉल करें:

यह इस पर निर्भर करता है कि संख्या एक से अधिक है या कम एलघुगणकीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ में दो मूलभूत विकल्प हो सकते हैं:

फ़ंक्शन ग्राफ़ य = |एक्स| निम्नलिखित नुसार:

आवधिक (त्रिकोणमितीय) कार्यों के ग्राफ़

समारोह पर = एफ(एक्स) कहा जाता है नियत कालीन, यदि ऐसी कोई गैर-शून्य संख्या मौजूद है टी, क्या एफ(एक्स + टी) = एफ(एक्स), किसी के लिए भी एक्सकार्य क्षेत्र से बाहर एफ(एक्स). यदि फ़ंक्शन एफ(एक्स) अवधि के साथ आवधिक है टी, फिर फ़ंक्शन:

कहाँ: ए, क, बीस्थिर संख्याएँ हैं, और कशून्य के बराबर नहीं, एक अवधि के साथ आवधिक भी टी 1, जो सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

आवर्त फलनों के अधिकांश उदाहरण त्रिकोणमितीय फलन हैं। यहां मुख्य त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ़ दिए गए हैं। निम्नलिखित चित्र फ़ंक्शन के ग्राफ़ का भाग दिखाता है य= पाप एक्स(पूरा ग्राफ़ बाएँ और दाएँ अनिश्चित काल तक चलता रहता है), फ़ंक्शन का ग्राफ़ य= पाप एक्सबुलाया sinusoid:

फ़ंक्शन ग्राफ़ य= क्योंकि एक्सबुलाया कोसाइन लहर. यह ग्राफ़ निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है। साइन के ग्राफ के बाद से, यह OX अक्ष के साथ बाईं और दाईं ओर अनिश्चित काल तक जारी रहता है:

फ़ंक्शन ग्राफ़ य=tg एक्सबुलाया स्पर्शरेखा. यह ग्राफ़ निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है। अन्य आवधिक कार्यों के ग्राफ़ की तरह, यह ग्राफ़ OX अक्ष के साथ बाईं और दाईं ओर अनिश्चित काल तक दोहराता है।

और अंत में, फ़ंक्शन का ग्राफ़ य=ctg एक्सबुलाया cotangentoid. यह ग्राफ़ निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है। अन्य आवधिक और त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफ़ की तरह, यह ग्राफ़ OX अक्ष के साथ बाईं और दाईं ओर अनिश्चित काल तक दोहराता है।

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भौतिकी और गणित में सीटी की सफलतापूर्वक तैयारी कैसे करें?

भौतिकी और गणित में सीटी की सफलतापूर्वक तैयारी करने के लिए, अन्य बातों के अलावा, तीन महत्वपूर्ण शर्तों को पूरा करना होगा:

सभी विषयों का अध्ययन करें और इस साइट पर अध्ययन सामग्री में दिए गए सभी परीक्षण और कार्यों को पूरा करें। ऐसा करने के लिए, आपको कुछ भी नहीं चाहिए, अर्थात्: भौतिकी और गणित में सीटी की तैयारी, सिद्धांत का अध्ययन करने और समस्याओं को हल करने के लिए हर दिन तीन से चार घंटे समर्पित करना। तथ्य यह है कि डीटी एक ऐसी परीक्षा है जहां केवल भौतिकी या गणित जानना ही पर्याप्त नहीं है, आपको विभिन्न विषयों और अलग-अलग जटिलताओं पर बड़ी संख्या में समस्याओं को जल्दी और बिना असफलता के हल करने में सक्षम होना चाहिए। उत्तरार्द्ध को हजारों समस्याओं को हल करके ही सीखा जा सकता है।
भौतिकी में सभी सूत्र और नियम, और गणित में सूत्र और विधियाँ सीखें। दरअसल, ऐसा करना भी बहुत आसान है, भौतिकी में लगभग 200 ही आवश्यक सूत्र हैं और गणित में तो उससे भी कुछ कम। इनमें से प्रत्येक विषय में जटिलता के बुनियादी स्तर की समस्याओं को हल करने के लिए लगभग एक दर्जन मानक तरीके हैं, जिन्हें सीखा भी जा सकता है, और इस प्रकार, पूरी तरह से स्वचालित रूप से और बिना किसी कठिनाई के, अधिकांश डिजिटल परिवर्तन को सही समय पर हल किया जा सकता है। उसके बाद आपको केवल सबसे कठिन कार्यों के बारे में ही सोचना होगा।
भौतिकी और गणित में रिहर्सल परीक्षण के सभी तीन चरणों में भाग लें। दोनों विकल्पों को हल करने के लिए प्रत्येक आरटी पर दो बार जाया जा सकता है। फिर से, सीटी पर, समस्याओं को जल्दी और कुशलता से हल करने की क्षमता और सूत्रों और विधियों के ज्ञान के अलावा, समय की उचित योजना बनाने, बलों को वितरित करने और सबसे महत्वपूर्ण रूप से उत्तर फॉर्म को सही ढंग से भरने में सक्षम होना भी आवश्यक है। , उत्तरों और कार्यों की संख्या, या अपने स्वयं के नाम को भ्रमित किए बिना। इसके अलावा, आरटी के दौरान, कार्यों में प्रश्न पूछने की शैली की आदत डालना महत्वपूर्ण है, जो डीटी पर एक अप्रस्तुत व्यक्ति के लिए बहुत असामान्य लग सकता है।

इन तीन बिंदुओं की सफल, मेहनती और जिम्मेदार पूर्ति, साथ ही अंतिम प्रशिक्षण परीक्षणों का जिम्मेदार अध्ययन, आपको सीटी पर एक उत्कृष्ट परिणाम दिखाने की अनुमति देगा, जो कि आपकी क्षमता की अधिकतम सीमा है।

कोई त्रुटि मिली?

यदि आपको, जैसा कि आपको लगता है, प्रशिक्षण सामग्री में कोई त्रुटि मिली है, तो कृपया इसके बारे में ई-मेल () द्वारा लिखें। पत्र में, विषय (भौतिकी या गणित), विषय या परीक्षण का नाम या संख्या, कार्य की संख्या, या पाठ (पृष्ठ) में वह स्थान इंगित करें जहां, आपकी राय में, कोई त्रुटि है। यह भी बताएं कि कथित त्रुटि क्या है। आपके पत्र पर किसी का ध्यान नहीं जाएगा, या तो त्रुटि सुधार ली जाएगी, या आपको समझाया जाएगा कि यह गलती क्यों नहीं है।

सबसे पहले, फ़ंक्शन का दायरा खोजने का प्रयास करें:

क्या आप संभाल पाओगे? आइए उत्तरों की तुलना करें:

ठीक है? बहुत अच्छा!

आइए अब फ़ंक्शन की सीमा खोजने का प्रयास करें:

मिला? तुलना करना:

क्या यह सहमत था? बहुत अच्छा!

आइए ग्राफ़ के साथ फिर से काम करें, केवल अब यह थोड़ा अधिक कठिन है - फ़ंक्शन के डोमेन और फ़ंक्शन की सीमा दोनों को ढूंढना।

किसी फ़ंक्शन का डोमेन और रेंज दोनों कैसे खोजें (उन्नत)

यहाँ क्या हुआ:

ग्राफ़िक्स के साथ, मुझे लगता है कि आपने इसे समझ लिया है। आइए अब सूत्रों के अनुसार फ़ंक्शन का डोमेन खोजने का प्रयास करें (यदि आप नहीं जानते कि यह कैसे करना है, तो इसके बारे में अनुभाग पढ़ें):

क्या आप संभाल पाओगे? चेकिंग जवाब:

, क्योंकि मूल अभिव्यक्ति शून्य से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए।
, क्योंकि शून्य से विभाजित करना असंभव है और मूल अभिव्यक्ति नकारात्मक नहीं हो सकती।
, चूंकि, क्रमशः, सभी के लिए।
क्योंकि आप शून्य से भाग नहीं दे सकते.

हालाँकि, हमारे पास अभी भी एक और क्षण है जिसका समाधान नहीं हुआ है...

मैं परिभाषा को दोहराता हूं और इस पर ध्यान केंद्रित करता हूं:

ध्यान दिया? "केवल" शब्द हमारी परिभाषा का एक बहुत ही महत्वपूर्ण तत्व है। मैं तुम्हें उंगलियों पर समझाने की कोशिश करूंगा.

मान लीजिए कि हमारे पास एक सीधी रेखा द्वारा दिया गया एक फ़ंक्शन है। . जब, हम इस मान को अपने "नियम" में प्रतिस्थापित करते हैं और उसे प्राप्त करते हैं। एक मान एक मान से मेल खाता है. हम विभिन्न मानों की एक तालिका भी बना सकते हैं और इसे सत्यापित करने के लिए दिए गए फ़ंक्शन को प्लॉट कर सकते हैं।

"देखना! - आप कहते हैं, - ""दो बार मिलते हैं!" तो शायद परवलय कोई फलन नहीं है? नही यह!

यह तथ्य कि "" दो बार घटित होता है, परवलय पर अस्पष्टता का आरोप लगाने का कोई कारण नहीं है!

तथ्य यह है कि, गणना करते समय, हमें एक गेम मिला। और गणना करते समय, हमें एक गेम मिला। तो यह सही है, परवलय एक फलन है। चार्ट पर देखो:

समझ गया? यदि नहीं, तो यहां आपके लिए गणित से दूर, वास्तविक जीवन का उदाहरण है!

मान लीजिए कि हमारे पास आवेदकों का एक समूह है जो दस्तावेज़ जमा करते समय मिले थे, जिनमें से प्रत्येक ने बातचीत में बताया कि वह कहाँ रहता है:

सहमत हूं, यह काफी यथार्थवादी है कि कई लोग एक ही शहर में रहते हैं, लेकिन एक व्यक्ति के लिए एक ही समय में कई शहरों में रहना असंभव है। यह, मानो, हमारे "परवलय" का तार्किक प्रतिनिधित्व है - कई भिन्न x एक ही y के अनुरूप हैं।

अब आइए एक उदाहरण लेकर आएं जहां निर्भरता कोई फ़ंक्शन नहीं है। मान लीजिए कि इन्हीं लोगों ने बताया कि उन्होंने किन विशिष्टताओं के लिए आवेदन किया है:

यहां हमारी स्थिति बिल्कुल अलग है: एक व्यक्ति आसानी से एक या कई दिशाओं के लिए आवेदन कर सकता है। वह है एक तत्वसेट पत्राचार में रखे गए हैं अनेक तत्वसेट. क्रमश, यह कोई फ़ंक्शन नहीं है.

आइए व्यवहार में आपके ज्ञान का परीक्षण करें।

चित्रों से निर्धारित करें कि फ़ंक्शन क्या है और क्या नहीं:

समझ गया? और यहाँ है जवाब:

फलन है - बी,ई.
कोई फ़ंक्शन नहीं - ए, बी, डी, डी।

आप पूछते हैं क्यों? हाँ, यहाँ इसका कारण बताया गया है:

सिवाय सभी आंकड़ों में में)और इ)एक के बदले अनेक हैं!

मुझे यकीन है कि अब आप किसी फ़ंक्शन को गैर-फ़ंक्शन से आसानी से अलग कर सकते हैं, बता सकते हैं कि तर्क क्या है और आश्रित चर क्या है, और तर्क का दायरा और फ़ंक्शन का दायरा भी निर्धारित कर सकते हैं। आइए अगले भाग पर चलते हैं - किसी फ़ंक्शन को कैसे परिभाषित करें?

फ़ंक्शन सेट करने के तरीके

आपको क्या लगता है इन शब्दों का मतलब क्या है? "सेट फ़ंक्शन"? यह सही है, इसका मतलब हर किसी को यह समझाना है कि इस मामले में हम किस फ़ंक्शन के बारे में बात कर रहे हैं। इसके अलावा, इस तरह से समझाएं कि हर कोई आपको सही ढंग से समझ सके और आपके स्पष्टीकरण के अनुसार लोगों द्वारा खींचे गए कार्यों के ग्राफ़ समान हों।

मेरे द्वारा ऐसा कैसे किया जा सकता है? फ़ंक्शन कैसे सेट करें?सबसे आसान तरीका, जिसका इस लेख में पहले ही एक से अधिक बार उपयोग किया जा चुका है - एक सूत्र का उपयोग करना.हम एक सूत्र लिखते हैं, और उसमें एक मान प्रतिस्थापित करके, हम मूल्य की गणना करते हैं। और जैसा कि आपको याद है, एक सूत्र एक कानून है, एक नियम जिसके अनुसार यह हमारे लिए और दूसरे व्यक्ति के लिए स्पष्ट हो जाता है कि एक एक्स कैसे वाई में बदल जाता है।

आमतौर पर, वे बिल्कुल यही करते हैं - कार्यों में हम सूत्रों द्वारा परिभाषित तैयार किए गए फ़ंक्शन देखते हैं, हालांकि, फ़ंक्शन सेट करने के अन्य तरीके भी हैं जिनके बारे में हर कोई भूल जाता है, और इसलिए प्रश्न "आप फ़ंक्शन को और कैसे सेट कर सकते हैं?" भ्रमित करता है. आइए हर चीज़ पर क्रम से नज़र डालें और विश्लेषणात्मक पद्धति से शुरुआत करें।

किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने का विश्लेषणात्मक तरीका

विश्लेषणात्मक विधि किसी सूत्र का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन का कार्य है। यह सर्वाधिक सार्वभौमिक एवं व्यापक एवं स्पष्ट तरीका है। यदि आपके पास एक सूत्र है, तो आप फ़ंक्शन के बारे में पूरी तरह से सब कुछ जानते हैं - आप उस पर मूल्यों की एक तालिका बना सकते हैं, आप एक ग्राफ बना सकते हैं, यह निर्धारित कर सकते हैं कि फ़ंक्शन कहां बढ़ता है और कहां घटता है, सामान्य तौर पर, इसका पता लगाएं पूरे में।

आइए एक फ़ंक्शन पर विचार करें. क्या फर्क पड़ता है?

"इसका मतलब क्या है?" - आप पूछना। मैं अभी समझाऊंगा.

मैं आपको याद दिला दूं कि नोटेशन में, कोष्ठक में दिए गए भाव को तर्क कहा जाता है। और यह तर्क कोई भी अभिव्यक्ति हो सकता है, जरूरी नहीं कि सरल हो। तदनुसार, जो भी तर्क (कोष्ठक में अभिव्यक्ति) है, हम उसे अभिव्यक्ति के स्थान पर लिखेंगे।

हमारे उदाहरण में, यह इस तरह दिखेगा:

किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की विश्लेषणात्मक पद्धति से संबंधित एक अन्य कार्य पर विचार करें जो परीक्षा में आपके पास होगा।

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

मुझे यकीन है कि जब आपने ऐसी अभिव्यक्ति देखी तो पहले तो आप डर गए थे, लेकिन इसमें डरावना कुछ भी नहीं है!

सब कुछ पिछले उदाहरण जैसा ही है: तर्क जो भी हो (कोष्ठक में अभिव्यक्ति), हम इसे अभिव्यक्ति में लिखेंगे। उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन के लिए.

हमारे उदाहरण में क्या किया जाना चाहिए? इसके बजाय, आपको लिखने की ज़रूरत है, और इसके बजाय -:

परिणामी अभिव्यक्ति को छोटा करें:

बस इतना ही!

स्वतंत्र काम

अब निम्नलिखित भावों का अर्थ स्वयं खोजने का प्रयास करें:

, अगर
, अगर

क्या आप संभाल पाओगे? आइए अपने उत्तरों की तुलना करें: हम इस तथ्य के आदी हैं कि फ़ंक्शन का रूप होता है

हमारे उदाहरणों में भी, हम फ़ंक्शन को इस तरह से परिभाषित करते हैं, लेकिन उदाहरण के लिए, विश्लेषणात्मक रूप से फ़ंक्शन को अंतर्निहित रूप से परिभाषित करना संभव है।

इस फ़ंक्शन को स्वयं बनाने का प्रयास करें.

क्या आप संभाल पाओगे?

यहां बताया गया है कि मैंने इसे कैसे बनाया।

हम किस समीकरण पर पहुँचे?

सही! रैखिक, जिसका अर्थ है कि ग्राफ़ एक सीधी रेखा होगी। आइए यह निर्धारित करने के लिए एक तालिका बनाएं कि हमारी रेखा में कौन से बिंदु हैं:

हम बस इसी बारे में बात कर रहे थे... एक अनेक से मेल खाता है।

आइए चित्रित करने का प्रयास करें कि क्या हुआ:

क्या हमें जो मिला है वह एक फ़ंक्शन है?

यह सही है, नहीं! क्यों? इस प्रश्न का उत्तर एक चित्र के साथ देने का प्रयास करें। तुम्हें क्या मिला?

"क्योंकि एक मान कई मानों से मेल खाता है!"

इससे हम क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?

यह सही है, एक फ़ंक्शन को हमेशा स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है, और जो फ़ंक्शन के रूप में "प्रच्छन्न" होता है वह हमेशा एक फ़ंक्शन नहीं होता है!

किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने का सारणीबद्ध तरीका

जैसा कि नाम से पता चलता है, यह विधि एक साधारण प्लेट है। हां हां। जैसा कि हम पहले ही बना चुके हैं। उदाहरण के लिए:

यहां आपने तुरंत एक पैटर्न देखा - Y, X से तीन गुना बड़ा है। और अब "बहुत अच्छा सोचो" कार्य: क्या आपको लगता है कि तालिका के रूप में दिया गया एक फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन के बराबर है?

आइए लंबे समय तक बात न करें, लेकिन आइए चित्र बनाएं!

इसलिए। हम दोनों तरीकों से दिए गए एक फ़ंक्शन को बनाते हैं:

आपको फर्क दिखता हैं? यह चिन्हित बिंदुओं के बारे में नहीं है! ज़रा बारीकी से देखें:

क्या आपने इसे अभी देखा है? जब हम फ़ंक्शन को सारणीबद्ध तरीके से सेट करते हैं, तो हम ग्राफ़ पर केवल उन बिंदुओं को प्रतिबिंबित करते हैं जो हमारे पास तालिका में हैं और रेखा (जैसा कि हमारे मामले में) केवल उनके माध्यम से गुजरती है। जब हम किसी फ़ंक्शन को विश्लेषणात्मक तरीके से परिभाषित करते हैं, तो हम कोई भी बिंदु ले सकते हैं, और हमारा फ़ंक्शन उन तक सीमित नहीं है। यहाँ एक ऐसी सुविधा है. याद करना!

फ़ंक्शन बनाने का ग्राफ़िकल तरीका

किसी फ़ंक्शन के निर्माण का ग्राफ़िकल तरीका भी कम सुविधाजनक नहीं है। हम अपना फ़ंक्शन बनाते हैं, और कोई अन्य इच्छुक व्यक्ति यह पता लगा सकता है कि किसी निश्चित x पर y किसके बराबर है, इत्यादि। ग्राफिकल और विश्लेषणात्मक तरीके सबसे आम हैं।

हालाँकि, यहां आपको यह याद रखने की आवश्यकता है कि हमने शुरुआत में क्या बात की थी - समन्वय प्रणाली में खींचा गया प्रत्येक "स्क्विगल" एक फ़ंक्शन नहीं है! याद आ गई? बस किसी मामले में, मैं फ़ंक्शन क्या है इसकी परिभाषा यहां कॉपी करूंगा:

एक नियम के रूप में, लोग आमतौर पर किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने के उन्हीं तीन तरीकों का नाम देते हैं जिनका हमने विश्लेषण किया है - विश्लेषणात्मक (सूत्र का उपयोग करके), सारणीबद्ध और ग्राफिक, पूरी तरह से भूल जाते हैं कि किसी फ़ंक्शन को मौखिक रूप से वर्णित किया जा सकता है। इस कदर? हाँ, बहुत आसान!

फ़ंक्शन का मौखिक विवरण

फ़ंक्शन का मौखिक रूप से वर्णन कैसे करें? आइए अपना हालिया उदाहरण लें - . इस फ़ंक्शन को "x का प्रत्येक वास्तविक मान इसके ट्रिपल मान से मेल खाता है" के रूप में वर्णित किया जा सकता है। बस इतना ही। कुछ भी जटिल नहीं. बेशक, आप आपत्ति करेंगे - "ऐसे जटिल कार्य हैं कि मौखिक रूप से सेट करना असंभव है!" हां, कुछ हैं, लेकिन ऐसे फ़ंक्शन भी हैं जिनका किसी सूत्र के साथ सेट करने की तुलना में मौखिक रूप से वर्णन करना आसान है। उदाहरण के लिए: "x का प्रत्येक प्राकृतिक मान उन अंकों के बीच के अंतर से मेल खाता है जिनमें वह शामिल है, जबकि संख्या प्रविष्टि में निहित सबसे बड़े अंक को न्यूनतम के रूप में लिया जाता है।" अब विचार करें कि फ़ंक्शन का हमारा मौखिक विवरण व्यवहार में कैसे कार्यान्वित किया जाता है:

किसी दी गई संख्या में सबसे बड़ा अंक - क्रमशः, - घटाया जाता है, फिर:

मुख्य प्रकार के कार्य

अब सबसे दिलचस्प बात पर चलते हैं - हम उन मुख्य प्रकार के कार्यों पर विचार करेंगे जिनके साथ आपने काम किया / काम किया और स्कूल और संस्थान के गणित के पाठ्यक्रम में काम करेंगे, यानी, हम उन्हें जानेंगे, ऐसा बोलने के लिए, और उन्हें एक संक्षिप्त विवरण दें. संबंधित अनुभाग में प्रत्येक फ़ंक्शन के बारे में और पढ़ें।

रैखिक प्रकार्य

प्रपत्र का एक फ़ंक्शन, जहां, वास्तविक संख्याएं हैं।

इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है, इसलिए एक रैखिक फ़ंक्शन का निर्माण दो बिंदुओं के निर्देशांक खोजने तक कम हो जाता है।

निर्देशांक तल पर सीधी रेखा की स्थिति ढलान पर निर्भर करती है।

फ़ंक्शन स्कोप (उर्फ तर्क सीमा) -।

मूल्यों की सीमा है.

द्विघात फंक्शन

प्रपत्र का कार्य, जहां

फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है, जब परवलय की शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित होती हैं, जब - ऊपर की ओर।

द्विघात फलन के कई गुण विवेचक के मान पर निर्भर करते हैं। विवेचक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

मान और गुणांक के सापेक्ष निर्देशांक तल पर परवलय की स्थिति चित्र में दिखाई गई है:

कार्यक्षेत्र

मानों की सीमा दिए गए फ़ंक्शन के चरम (परवलय का शीर्ष) और गुणांक (परवलय की शाखाओं की दिशा) पर निर्भर करती है

व्युत्क्रम आनुपातिकता

सूत्र द्वारा दिया गया कार्य, जहाँ

संख्या को व्युत्क्रम आनुपातिकता कारक कहा जाता है। किस मान के आधार पर, हाइपरबोला की शाखाएँ विभिन्न वर्गों में होती हैं:

कार्यक्षेत्र - ।