आसन्न का कोज्या अनुपात. त्रिकोणमितीय फलन खोजने के नियम: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट

चूँकि किसी कोण के रेडियन माप को चाप की लंबाई के माध्यम से कोण का परिमाण ज्ञात करके दर्शाया जाता है, इसलिए रेडियन माप और डिग्री माप के बीच संबंध को ग्राफिक रूप से चित्रित करना संभव है। ऐसा करने के लिए, हम निर्देशांक तल पर त्रिज्या 1 का एक वृत्त खींचते हैं ताकि इसका केंद्र मूल बिंदु पर हो। हम धनात्मक कोणों को वामावर्त दिशा में और ऋणात्मक कोणों को दक्षिणावर्त दिशा में आलेखित करेंगे।

हम हमेशा की तरह किसी कोण की डिग्री माप और रेडियन माप को वृत्त पर लगे चापों का उपयोग करके दर्शाते हैं। पी 0 - कोण की शुरुआत. बाकी तो बिन्दु हैं एक वृत्त के साथ एक कोण की भुजाओं का प्रतिच्छेदन।

परिभाषा:मूल बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या 1 के वृत्त को इकाई वृत्त कहा जाता है।

कोणों के पदनाम के अलावा, इस वृत्त की एक और विशेषता है: यह किसी भी वास्तविक संख्या को इस वृत्त के एक बिंदु के रूप में प्रस्तुत कर सकता है। यह बिल्कुल संख्या रेखा की तरह ही किया जा सकता है। यह ऐसा है मानो हम संख्या रेखा को इस प्रकार मोड़ रहे हैं कि वह एक वृत्त पर स्थित हो।

पी 0 मूल है, संख्या 0 का बिंदु। सकारात्मक संख्याएं सकारात्मक दिशा (वामावर्त) में चिह्नित हैं, और नकारात्मक संख्याएं नकारात्मक दिशा (घड़ी की दिशा) में अंकित हैं। α के बराबर एक खंड एक चाप P 0 P α है।

किसी भी संख्या को एक वृत्त पर एक बिंदु P α द्वारा दर्शाया जा सकता है, और यह बिंदु प्रत्येक संख्या के लिए अद्वितीय है, लेकिन आप देख सकते हैं कि संख्याओं का सेट α + 2πn, जहां n एक पूर्णांक है, उसी बिंदु P α से मेल खाता है।

प्रत्येक बिंदु के अपने निर्देशांक होते हैं, जिनके विशेष नाम होते हैं।

परिभाषा:संख्या α की कोज्यायूनिट सर्कल पर संख्या α के अनुरूप बिंदु का भुज कहा जाता है।

परिभाषा:संख्या की ज्या αयूनिट सर्कल पर संख्या α के अनुरूप एक बिंदु की कोटि है।

Pα (cosα, synα)।

ज्यामिति से:

एक आयताकार कोण की कोज्यात्रिभुज - कर्ण के विपरीत कोण का अनुपात। इस मामले में, कर्ण 1 के बराबर है, अर्थात कोण की कोज्या खंड OA की लंबाई से मापी जाती है।

एक समकोण त्रिभुज में एक कोण की ज्या– आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात। अर्थात्, साइन को खंड OB की लंबाई से मापा जाता है।

आइए किसी संख्या की स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाएँ लिखें।

जहाँ cos α≠0

जहाँ पाप α≠0

कुछ सूत्रों को लागू करके एक मनमाना संख्या के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल्यों को खोजने का कार्य पापα, cosα, tanα और ctgα के मूल्यों को खोजने तक कम हो जाता है, जहां 0≤α≤π/2 है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के बुनियादी मूल्यों की तालिका

α		π/6	π/4	π/3	π/2	π	2π
0°	30°	45°	60°	90°	180°	360°
पाप α
क्योंकि α				½		-1
टैन α					-
सीटीजी α	-					-	-

भावों का अर्थ खोजें.

गणित के जिन क्षेत्रों में छात्रों को सबसे अधिक परेशानी होती है उनमें से एक है त्रिकोणमिति। यह आश्चर्य की बात नहीं है: ज्ञान के इस क्षेत्र में स्वतंत्र रूप से महारत हासिल करने के लिए, आपको स्थानिक सोच, सूत्रों का उपयोग करके साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट खोजने की क्षमता, अभिव्यक्तियों को सरल बनाना और संख्या पाई का उपयोग करने में सक्षम होना चाहिए। गणना. इसके अलावा, आपको प्रमेयों को सिद्ध करते समय त्रिकोणमिति लागू करने में सक्षम होना चाहिए, और इसके लिए या तो एक विकसित गणितीय स्मृति या जटिल तार्किक श्रृंखलाओं को निकालने की क्षमता की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमिति की उत्पत्ति

इस विज्ञान से परिचित होना कोण की ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा की परिभाषा से शुरू होना चाहिए, लेकिन पहले आपको यह पता लगाना होगा कि सामान्य तौर पर त्रिकोणमिति क्या करती है।

ऐतिहासिक रूप से, समकोण त्रिभुज गणितीय विज्ञान के इस खंड में अध्ययन का मुख्य उद्देश्य रहा है। 90 डिग्री के कोण की उपस्थिति विभिन्न ऑपरेशनों को अंजाम देना संभव बनाती है जो दो पक्षों और एक कोण या दो कोणों और एक पक्ष का उपयोग करके विचाराधीन आकृति के सभी मापदंडों के मूल्यों को निर्धारित करने की अनुमति देती है। अतीत में, लोगों ने इस पैटर्न पर ध्यान दिया और इमारतों, नेविगेशन, खगोल विज्ञान और यहां तक कि कला के निर्माण में इसका सक्रिय रूप से उपयोग करना शुरू कर दिया।

प्रथम चरण

प्रारंभ में, लोग कोणों और भुजाओं के संबंध के बारे में विशेष रूप से समकोण त्रिभुजों के उदाहरण पर बात करते थे। फिर विशेष सूत्रों की खोज की गई जिससे गणित के इस खंड के रोजमर्रा के जीवन में उपयोग की सीमाओं का विस्तार करना संभव हो गया।

आज स्कूल में त्रिकोणमिति का अध्ययन समकोण त्रिभुजों से शुरू होता है, जिसके बाद छात्र भौतिकी में अर्जित ज्ञान का उपयोग करते हैं और अमूर्त त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते हैं, जो हाई स्कूल में शुरू होता है।

गोलाकार त्रिकोणमिति

बाद में, जब विज्ञान विकास के अगले स्तर पर पहुंच गया, तो गोलाकार ज्यामिति में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट वाले सूत्रों का उपयोग किया जाने लगा, जहां विभिन्न नियम लागू होते हैं, और त्रिकोण में कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री से अधिक होता है। इस खंड का अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है, लेकिन इसके अस्तित्व के बारे में जानना आवश्यक है, कम से कम इसलिए क्योंकि पृथ्वी की सतह, और किसी भी अन्य ग्रह की सतह उत्तल है, जिसका अर्थ है कि कोई भी सतह अंकन "चाप-आकार" में होगा त्रि-आयामी स्थान.

ग्लोब और धागा ले लो. धागे को ग्लोब पर किन्हीं दो बिंदुओं पर जोड़ें ताकि वह तना हुआ रहे। कृपया ध्यान दें - इसने एक चाप का आकार ले लिया है। गोलाकार ज्यामिति ऐसे रूपों से संबंधित है, जिसका उपयोग भूगणित, खगोल विज्ञान और अन्य सैद्धांतिक और व्यावहारिक क्षेत्रों में किया जाता है।

सही त्रिकोण

त्रिकोणमिति का उपयोग करने के तरीकों के बारे में थोड़ा जानने के बाद, आइए बुनियादी त्रिकोणमिति पर वापस लौटें ताकि यह समझ सकें कि साइन, कोसाइन, टेंगेंट क्या हैं, उनकी मदद से कौन सी गणना की जा सकती है और किन सूत्रों का उपयोग करना है।

पहला कदम समकोण त्रिभुज से संबंधित अवधारणाओं को समझना है। सबसे पहले, कर्ण 90 डिग्री के कोण के विपरीत भुजा है। यह सबसे लंबा है. हमें याद है कि पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, इसका संख्यात्मक मान अन्य दो पक्षों के वर्गों के योग के मूल के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, यदि दोनों भुजाएँ क्रमशः 3 और 4 सेंटीमीटर हैं, तो कर्ण की लंबाई 5 सेंटीमीटर होगी। वैसे, प्राचीन मिस्रवासियों को इसके बारे में साढ़े चार हजार साल पहले ही पता था।

शेष दो भुजाएँ, जो एक समकोण बनाती हैं, पैर कहलाती हैं। इसके अलावा, हमें यह याद रखना चाहिए कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होता है।

परिभाषा

अंत में, ज्यामितीय आधार की दृढ़ समझ के साथ, कोई व्यक्ति किसी कोण की ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा की परिभाषा की ओर मुड़ सकता है।

किसी कोण की ज्या विपरीत पाद (अर्थात वांछित कोण के विपरीत भुजा) और कर्ण का अनुपात है। किसी कोण की कोज्या आसन्न भुजा और कर्ण का अनुपात है।

याद रखें कि न तो साइन और न ही कोसाइन एक से बड़ा हो सकता है! क्यों? क्योंकि कर्ण डिफ़ॉल्ट रूप से सबसे लंबा होता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि पैर कितना लंबा है, वह कर्ण से छोटा होगा, जिसका अर्थ है कि उनका अनुपात हमेशा एक से कम होगा। इस प्रकार, यदि किसी समस्या के उत्तर में आपको 1 से अधिक मान वाली साइन या कोसाइन मिलती है, तो गणना या तर्क में त्रुटि की तलाश करें। यह उत्तर स्पष्ट रूप से ग़लत है.

अंततः, किसी कोण की स्पर्श रेखा विपरीत भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात होती है। ज्या को कोज्या से विभाजित करने पर वही परिणाम प्राप्त होगा। देखिए: सूत्र के अनुसार, हम भुजा की लंबाई को कर्ण से विभाजित करते हैं, फिर दूसरी भुजा की लंबाई से विभाजित करते हैं और कर्ण से गुणा करते हैं। इस प्रकार, हमें स्पर्शरेखा की परिभाषा के समान ही संबंध मिलता है।

कोटैंजेंट, तदनुसार, कोने से सटे पक्ष और विपरीत पक्ष का अनुपात है। एक को स्पर्श रेखा से विभाजित करने पर हमें वही परिणाम प्राप्त होता है।

इसलिए, हमने साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं पर गौर किया है, और हम सूत्रों पर आगे बढ़ सकते हैं।

सबसे सरल सूत्र

त्रिकोणमिति में आप सूत्रों के बिना काम नहीं कर सकते - इनके बिना साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंजेंट कैसे खोजें? लेकिन समस्याओं को हल करते समय बिल्कुल यही आवश्यक है।

त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करते समय आपको जो पहला सूत्र जानना आवश्यक है वह कहता है कि किसी कोण की ज्या और कोज्या के वर्गों का योग एक के बराबर होता है। यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है, लेकिन यदि आपको भुजा के बजाय कोण का आकार जानने की आवश्यकता है तो यह समय बचाता है।

कई छात्र दूसरे सूत्र को याद नहीं कर पाते हैं, जो स्कूल की समस्याओं को हल करते समय भी बहुत लोकप्रिय है: एक कोण की स्पर्शरेखा के वर्ग और एक का योग, कोण की कोज्या के वर्ग से विभाजित एक के बराबर होता है। बारीकी से देखें: यह वही कथन है जो पहले सूत्र में था, केवल पहचान के दोनों पक्षों को कोज्या के वर्ग से विभाजित किया गया था। यह पता चला है कि एक सरल गणितीय ऑपरेशन त्रिकोणमितीय सूत्र को पूरी तरह से पहचानने योग्य नहीं बनाता है। याद रखें: यह जानकर कि साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट क्या हैं, परिवर्तन नियम और कई बुनियादी सूत्र, आप किसी भी समय कागज के एक टुकड़े पर आवश्यक अधिक जटिल सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

दोहरे कोणों के सूत्र और तर्कों का योग

दो और सूत्र जो आपको सीखने की जरूरत है, वे कोणों के योग और अंतर के लिए ज्या और कोज्या के मानों से संबंधित हैं। उन्हें नीचे दिए गए चित्र में प्रस्तुत किया गया है। कृपया ध्यान दें कि पहले मामले में, साइन और कोसाइन को दोनों बार गुणा किया जाता है, और दूसरे में, साइन और कोसाइन का जोड़ीवार गुणनफल जोड़ा जाता है।

दोहरे कोण वाले तर्कों से जुड़े सूत्र भी हैं। वे पूरी तरह से पिछले वाले से व्युत्पन्न हैं - अभ्यास के रूप में, अल्फा कोण को बीटा कोण के बराबर लेकर उन्हें स्वयं प्राप्त करने का प्रयास करें।

अंत में, ध्यान दें कि साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा अल्फा की शक्ति को कम करने के लिए दोहरे कोण सूत्रों को पुन: व्यवस्थित किया जा सकता है।

प्रमेयों

बुनियादी त्रिकोणमिति में दो मुख्य प्रमेय साइन प्रमेय और कोसाइन प्रमेय हैं। इन प्रमेयों की सहायता से, आप आसानी से समझ सकते हैं कि साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा, और इसलिए आकृति का क्षेत्रफल, और प्रत्येक पक्ष का आकार, आदि कैसे ज्ञात करें।

साइन प्रमेय बताता है कि त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई को विपरीत कोण से विभाजित करने पर समान संख्या प्राप्त होती है। इसके अलावा, यह संख्या परिबद्ध वृत्त की दो त्रिज्याओं के बराबर होगी, अर्थात वह वृत्त जिसमें किसी दिए गए त्रिभुज के सभी बिंदु होंगे।

कोसाइन प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय को सामान्यीकृत करता है, इसे किसी भी त्रिकोण पर प्रक्षेपित करता है। यह पता चला है कि दोनों पक्षों के वर्गों के योग से, आसन्न कोण के दोहरे कोसाइन से गुणा किए गए उनके उत्पाद को घटाएं - परिणामी मान तीसरी तरफ के वर्ग के बराबर होगा। इस प्रकार, पाइथागोरस प्रमेय कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला बन जाता है।

लापरवाह गलती

यह जानते हुए भी कि ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या क्या हैं, अनुपस्थित-दिमाग या सरलतम गणनाओं में त्रुटि के कारण गलती करना आसान है। ऐसी गलतियों से बचने के लिए आइए सबसे लोकप्रिय गलतियों पर एक नजर डालें।

सबसे पहले, आपको अंतिम परिणाम प्राप्त होने तक भिन्नों को दशमलव में नहीं बदलना चाहिए - आप उत्तर को भिन्न के रूप में छोड़ सकते हैं जब तक कि शर्तों में अन्यथा न कहा गया हो। इस तरह के परिवर्तन को गलती नहीं कहा जा सकता, लेकिन यह याद रखना चाहिए कि समस्या के प्रत्येक चरण में नई जड़ें उभर सकती हैं, जिन्हें लेखक के विचार के अनुसार कम किया जाना चाहिए। ऐसे में आप अनावश्यक गणितीय कार्यों में अपना समय बर्बाद करेंगे। यह विशेष रूप से तीन की जड़ या दो की जड़ जैसे मूल्यों के लिए सच है, क्योंकि वे हर कदम पर समस्याओं में पाए जाते हैं। यही बात "बदसूरत" संख्याओं को पूर्णांकित करने के लिए भी लागू होती है।

इसके अलावा, ध्यान दें कि कोसाइन प्रमेय किसी भी त्रिभुज पर लागू होता है, लेकिन पाइथागोरस प्रमेय पर नहीं! यदि आप गलती से भुजाओं के गुणनफल को उनके बीच के कोण की कोज्या से दोगुना घटाना भूल जाते हैं, तो आपको न केवल पूरी तरह से गलत परिणाम मिलेगा, बल्कि आप विषय की समझ की पूरी कमी भी प्रदर्शित करेंगे। यह एक लापरवाह गलती से भी बदतर है.

तीसरा, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट के लिए 30 और 60 डिग्री के कोणों के मानों को भ्रमित न करें। इन मानों को याद रखें, क्योंकि 30 डिग्री की ज्या 60 की कोज्या के बराबर है, और इसके विपरीत। उन्हें भ्रमित करना आसान है, जिसके परिणामस्वरूप आपको अनिवार्य रूप से एक गलत परिणाम मिलेगा।

आवेदन

कई छात्रों को त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करने की कोई जल्दी नहीं है क्योंकि वे इसका व्यावहारिक अर्थ नहीं समझते हैं। एक इंजीनियर या खगोलशास्त्री के लिए साइन, कोसाइन, टेंगेंट क्या है? ये ऐसी अवधारणाएँ हैं जिनकी मदद से आप दूर के तारों की दूरी की गणना कर सकते हैं, किसी उल्कापिंड के गिरने की भविष्यवाणी कर सकते हैं, या किसी अन्य ग्रह पर एक शोध जांच भेज सकते हैं। उनके बिना, एक इमारत बनाना, एक कार डिजाइन करना, किसी सतह पर भार या किसी वस्तु के प्रक्षेपवक्र की गणना करना असंभव है। और ये तो सबसे स्पष्ट उदाहरण हैं! आख़िरकार, संगीत से लेकर चिकित्सा तक हर जगह किसी न किसी रूप में त्रिकोणमिति का उपयोग किया जाता है।

अंत में

तो आप साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा हैं। आप उनका उपयोग गणनाओं में कर सकते हैं और स्कूल की समस्याओं को सफलतापूर्वक हल कर सकते हैं।

त्रिकोणमिति का पूरा मुद्दा इस तथ्य पर आता है कि त्रिकोण के ज्ञात मापदंडों का उपयोग करके आपको अज्ञात की गणना करने की आवश्यकता है। कुल छह पैरामीटर हैं: तीन भुजाओं की लंबाई और तीन कोणों का आकार। कार्यों में एकमात्र अंतर इस तथ्य में निहित है कि अलग-अलग इनपुट डेटा दिए गए हैं।

अब आप जानते हैं कि पैरों या कर्ण की ज्ञात लंबाई के आधार पर साइन, कोसाइन, टेंगेंट कैसे खोजें। चूँकि इन शब्दों का मतलब अनुपात से अधिक कुछ नहीं है, और अनुपात एक भिन्न है, त्रिकोणमिति समस्या का मुख्य लक्ष्य एक साधारण समीकरण या समीकरणों की प्रणाली की जड़ें ढूंढना है। और यहां नियमित स्कूली गणित आपकी मदद करेगा।

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की अवधारणाएं त्रिकोणमिति की मुख्य श्रेणियां हैं - गणित की एक शाखा, और कोण की परिभाषा के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। इस गणितीय विज्ञान में महारत हासिल करने के लिए सूत्रों और प्रमेयों को याद रखने और समझने के साथ-साथ विकसित स्थानिक सोच की भी आवश्यकता होती है। इसीलिए त्रिकोणमितीय गणनाएँ अक्सर स्कूली बच्चों और छात्रों के लिए कठिनाइयाँ पैदा करती हैं। उन पर काबू पाने के लिए, आपको त्रिकोणमितीय कार्यों और सूत्रों से अधिक परिचित होना चाहिए।

त्रिकोणमिति में अवधारणाएँ

त्रिकोणमिति की बुनियादी अवधारणाओं को समझने के लिए, आपको पहले यह समझना होगा कि एक समकोण त्रिभुज और एक वृत्त में एक कोण क्या हैं, और सभी बुनियादी त्रिकोणमितीय गणनाएँ उनके साथ क्यों जुड़ी हुई हैं। एक त्रिभुज जिसका एक कोण 90 डिग्री का हो, आयताकार होता है। ऐतिहासिक रूप से, इस आकृति का उपयोग अक्सर वास्तुकला, नेविगेशन, कला और खगोल विज्ञान में लोगों द्वारा किया जाता था। तदनुसार, इस आंकड़े के गुणों का अध्ययन और विश्लेषण करके, लोग इसके मापदंडों के संबंधित अनुपात की गणना करने लगे।

समकोण त्रिभुजों से जुड़ी मुख्य श्रेणियां कर्ण और पैर हैं। कर्ण समकोण के विपरीत त्रिभुज की भुजा है। पैर, क्रमशः, अन्य दो भुजाएँ हैं। किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग सदैव 180 डिग्री होता है।

गोलाकार त्रिकोणमिति त्रिकोणमिति का एक भाग है जिसका अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है, लेकिन खगोल विज्ञान और भूगणित जैसे व्यावहारिक विज्ञान में वैज्ञानिक इसका उपयोग करते हैं। गोलाकार त्रिकोणमिति में त्रिभुज की विशेषता यह है कि इसके कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री से अधिक होता है।

त्रिभुज के कोण

एक समकोण त्रिभुज में, कोण की ज्या वांछित कोण के विपरीत पैर और त्रिभुज के कर्ण का अनुपात है। तदनुसार, कोसाइन आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात है। इन दोनों मानों का परिमाण हमेशा एक से कम होता है, क्योंकि कर्ण हमेशा पैर से लंबा होता है।

किसी कोण की स्पर्श रेखा वांछित कोण के विपरीत पक्ष और आसन्न पक्ष के अनुपात या साइन से कोसाइन के अनुपात के बराबर होती है। कोटैंजेंट, बदले में, वांछित कोण के आसन्न पक्ष का विपरीत पक्ष से अनुपात है। किसी कोण की स्पर्शरेखा को स्पर्शरेखा मान से विभाजित करके भी प्राप्त किया जा सकता है।

इकाई वृत्त

ज्यामिति में एक इकाई वृत्त वह वृत्त है जिसकी त्रिज्या एक के बराबर होती है। इस तरह के एक वृत्त का निर्माण कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में किया जाता है, जिसमें वृत्त का केंद्र मूल बिंदु के साथ मेल खाता है, और त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति एक्स अक्ष (एब्सिस्सा अक्ष) की सकारात्मक दिशा के साथ निर्धारित की जाती है। वृत्त के प्रत्येक बिंदु के दो निर्देशांक हैं: XX और YY, यानी भुज और कोटि के निर्देशांक। XX विमान में वृत्त पर किसी भी बिंदु का चयन करना, और उससे भुज अक्ष पर लंबवत को कम करना, हमें चयनित बिंदु पर त्रिज्या द्वारा गठित एक समकोण त्रिभुज मिलता है (आइए हम इसे अक्षर सी द्वारा निरूपित करें), एक लंबवत खींचा गया एक्स अक्ष (प्रतिच्छेदन बिंदु को अक्षर G द्वारा निरूपित किया जाता है), और एक खंड मूल बिंदु (बिंदु को अक्षर A द्वारा निरूपित किया जाता है) और प्रतिच्छेदन बिंदु G के बीच भुज अक्ष है। परिणामी त्रिभुज ACG एक समकोण त्रिभुज है जो इसमें अंकित है एक वृत्त, जहां AG कर्ण है, और AC और GC पैर हैं। वृत्त AC की त्रिज्या और पदनाम AG के साथ भुज अक्ष के खंड के बीच के कोण को हम α (अल्फा) के रूप में परिभाषित करते हैं। तो, cos α = AG/AC। यह देखते हुए कि AC इकाई वृत्त की त्रिज्या है, और यह एक के बराबर है, यह पता चलता है कि cos α=AG। इसी प्रकार, पाप α=CG.

इसके अलावा, इन आंकड़ों को जानने से, वृत्त पर बिंदु C के निर्देशांक को निर्धारित करना संभव है, क्योंकि cos α=AG, और syn α=CG, जिसका अर्थ है कि बिंदु C में दिए गए निर्देशांक (cos α; syn α) हैं। यह जानते हुए कि स्पर्श रेखा ज्या और कोज्या के अनुपात के बराबर है, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि tg α = y / x, और ctg α = x / y। एक नकारात्मक समन्वय प्रणाली में कोणों को ध्यान में रखते हुए, कोई यह गणना कर सकता है कि कुछ कोणों की ज्या और कोज्या मान नकारात्मक हो सकते हैं।

गणना और बुनियादी सूत्र

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन मान

इकाई वृत्त के माध्यम से त्रिकोणमितीय कार्यों के सार पर विचार करने के बाद, हम कुछ कोणों के लिए इन कार्यों के मान प्राप्त कर सकते हैं। मान नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं।

सबसे सरल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

वे समीकरण जिनमें त्रिकोणमितीय फलन के चिह्न के नीचे कोई अज्ञात मान होता है, त्रिकोणमितीय कहलाते हैं। मान के साथ पहचान पाप x = α, k - कोई भी पूर्णांक:

पाप x = 0, x = πk.
2. पाप x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk।
पाप x = -1, x = -π/2 + 2πk.
पाप x = ए, |ए| > 1, कोई समाधान नहीं.
पाप x = ए, |ए| ≦ 1, x = (-1)^k * आर्क्सिन α + πk।

मान cos x = a के साथ पहचान, जहां k कोई पूर्णांक है:

क्योंकि x = 0, x = π/2 + πk.
क्योंकि x = 1, x = 2πk.
क्योंकि x = -1, x = π + 2πk.
क्योंकि x = ए, |ए| > 1, कोई समाधान नहीं.
क्योंकि x = ए, |ए| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

मान tg x = a वाली पहचान, जहां k कोई पूर्णांक है:

tg x = 0, x = π/2 + πk.
tg x = a, x = arctg α + πk।

मान ctg x = a वाली पहचान, जहां k कोई पूर्णांक है:

खाट x = 0, x = π/2 + πk.
सीटीजी एक्स = ए, एक्स = आर्कसीटीजी α + πk।

न्यूनीकरण सूत्र

स्थिर सूत्रों की यह श्रेणी उन तरीकों को दर्शाती है जिनके साथ आप फॉर्म के त्रिकोणमितीय कार्यों से तर्क के कार्यों तक जा सकते हैं, यानी, किसी भी मूल्य के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को कोण के संबंधित संकेतकों तक कम कर सकते हैं। गणना की अधिक सुविधा के लिए 0 से 90 डिग्री तक का अंतराल।

किसी कोण की ज्या के लिए फ़ंक्शन को कम करने के सूत्र इस तरह दिखते हैं:

पाप(900 - α) = α;
पाप(900 + α) = क्योंकि α;
पाप(1800 - α) = पाप α;
पाप(1800 + α) = -sin α;
पाप(2700 - α) = -cos α;
पाप(2700 + α) = -cos α;
पाप(3600 - α) = -sin α;
पाप(3600 + α) = पाप α.

कोण की कोज्या के लिए:

cos(900 - α) = पाप α;
cos(900 + α) = -sin α;
cos(1800 - α) = -cos α;
cos(1800 + α) = -cos α;
cos(2700 - α) = -sin α;
cos(2700 + α) = पाप α;
cos(3600 - α) = cos α;
cos(3600 + α) = cos α.

उपरोक्त सूत्रों का प्रयोग दो नियमों के अधीन संभव है। सबसे पहले, यदि कोण को मान (π/2 ± a) या (3π/2 ± a) के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो फ़ंक्शन का मान बदल जाता है:

पाप से पाप तक;
कॉस से पाप तक;
टीजी से सीटीजी तक;
सीटीजी से टीजी तक.

यदि कोण को (π ± a) या (2π ± a) के रूप में दर्शाया जा सकता है तो फ़ंक्शन का मान अपरिवर्तित रहता है।

दूसरे, घटे हुए फ़ंक्शन का चिह्न नहीं बदलता है: यदि यह प्रारंभ में सकारात्मक था, तो यह वैसा ही रहता है। नकारात्मक कार्यों के साथ भी ऐसा ही है।

अतिरिक्त सूत्र

ये सूत्र अपने त्रिकोणमितीय कार्यों के माध्यम से दो घूर्णन कोणों के योग और अंतर के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान को व्यक्त करते हैं। आमतौर पर कोणों को α और β के रूप में दर्शाया जाता है।

सूत्र इस प्रकार दिखते हैं:

पाप(α ± β) = पाप α * क्योंकि β ± क्योंकि α * पाप।
कॉस(α ± β) = कॉस α * कॉस β ∓ पाप α * पाप।
tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β)।
ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β)।

ये सूत्र किसी भी कोण α और β के लिए मान्य हैं।

डबल और ट्रिपल कोण सूत्र

दोहरे और तिहरे कोण त्रिकोणमितीय सूत्र ऐसे सूत्र हैं जो क्रमशः कोण 2α और 3α के कार्यों को कोण α के त्रिकोणमितीय कार्यों से जोड़ते हैं। अतिरिक्त सूत्रों से व्युत्पन्न:

पाप2α = 2sinα*cosα.
cos2α = 1 - 2sin^2α.
tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
syn3α = 3sinα - 4sin^3α.
cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

योग से उत्पाद में संक्रमण

यह मानते हुए कि 2sinx*cosy = पाप(x+y) + पाप(x-y), इस सूत्र को सरल बनाते हुए, हम पहचान पापα + पापβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 प्राप्त करते हैं। इसी प्रकार पापα - पापβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * पाप(α − β)/2; tanα + tanβ = पाप(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = पाप(α - β) / cosα * cosβ; cosα + synα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

उत्पाद से योग तक संक्रमण

ये सूत्र किसी राशि के उत्पाद में परिवर्तन की पहचान से अनुसरण करते हैं:

पापα * पापβ = 1/2*;
cosα * cosβ = 1/2*;
पापα *cosβ = 1/2*.

न्यूनीकरण सूत्र

इन पहचानों में, साइन और कोसाइन की वर्ग और घन शक्तियों को एकाधिक कोण की पहली शक्ति के साइन और कोसाइन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

पाप^2 α = (1 - cos2α)/2;
cos^2α = (1 + cos2α)/2;
पाप^3 α = (3 * पापα - पाप3α)/4;
cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
पाप^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

सार्वभौमिक प्रतिस्थापन

सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन सूत्र आधे कोण के स्पर्शरेखा के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों को व्यक्त करते हैं।

पाप x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), x = π + 2πn के साथ;
cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), जहां x = π + 2πn;
tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), जहां x = π + 2πn;
cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), x = π + 2πn के साथ।

विशेष स्थितियां

सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के विशेष मामले नीचे दिए गए हैं (k कोई पूर्णांक है)।

साइन के लिए निजी:

पाप x मान	x मान
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk या 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk या -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk या 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk या -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk या 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk या -2π/3 + 2πk

कोज्या के लिए भागफल:

क्योंकि x मान	x मान
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

स्पर्शरेखा के लिए भागफल:

टीजी एक्स मान	x मान
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

कोटैंजेंट के लिए उद्धरण:

सीटीजी x मान	x मान
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

प्रमेयों

ज्या का प्रमेय

प्रमेय के दो संस्करण हैं - सरल और विस्तारित। सरल ज्या प्रमेय: a/sin α = b/sin β = c/sin γ। इस स्थिति में, a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और α, β, γ क्रमशः विपरीत कोण हैं।

एक मनमाना त्रिभुज के लिए विस्तारित साइन प्रमेय: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R। इस पहचान में, R उस वृत्त की त्रिज्या को दर्शाता है जिसमें दिया गया त्रिभुज अंकित है।

कोसाइन प्रमेय

पहचान इस प्रकार प्रदर्शित की जाती है: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α। सूत्र में, a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और α भुजा a के विपरीत कोण है।

स्पर्शरेखा प्रमेय

सूत्र दो कोणों की स्पर्शरेखाओं और उनके विपरीत भुजाओं की लंबाई के बीच संबंध को व्यक्त करता है। भुजाओं को a, b, c लेबल किया गया है, और संगत विपरीत कोण α, β, γ हैं। स्पर्शरेखा प्रमेय का सूत्र: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2)।

कोटैंजेंट प्रमेय

एक त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या को उसकी भुजाओं की लंबाई से जोड़ता है। यदि a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और A, B, C क्रमशः उनके विपरीत कोण हैं, r अंकित वृत्त की त्रिज्या है, और p त्रिभुज का अर्ध-परिधि है, तो निम्नलिखित पहचान मान्य हैं:

सीटीजी ए/2 = (पी-ए)/आर;
सीटीजी बी/2 = (पी-बी)/आर;
सीटीजी सी/2 = (पी-सी)/आर.

आवेदन

त्रिकोणमिति केवल गणितीय सूत्रों से जुड़ा एक सैद्धांतिक विज्ञान नहीं है। इसके गुण, प्रमेय और नियम मानव गतिविधि की विभिन्न शाखाओं द्वारा व्यवहार में उपयोग किए जाते हैं - खगोल विज्ञान, वायु और समुद्री नेविगेशन, संगीत सिद्धांत, भूगणित, रसायन विज्ञान, ध्वनिकी, प्रकाशिकी, इलेक्ट्रॉनिक्स, वास्तुकला, अर्थशास्त्र, मैकेनिकल इंजीनियरिंग, माप कार्य, कंप्यूटर ग्राफिक्स, मानचित्रकला, समुद्र विज्ञान, और कई अन्य।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट त्रिकोणमिति की मूल अवधारणाएं हैं, जिनकी सहायता से कोई त्रिभुज में कोणों और भुजाओं की लंबाई के बीच संबंधों को गणितीय रूप से व्यक्त कर सकता है, और सर्वसमिकाओं, प्रमेयों और नियमों के माध्यम से आवश्यक मात्राएँ ज्ञात कर सकता है।

मुझे लगता है कि आप इससे कहीं अधिक के पात्र हैं। यहाँ त्रिकोणमिति की मेरी कुंजी है:

गुंबद, दीवार और छत का चित्र बनाएं
त्रिकोणमितीय फलन इन तीन रूपों के प्रतिशत के अलावा और कुछ नहीं हैं।

साइन और कोसाइन के लिए रूपक: गुंबद

केवल त्रिभुजों को देखने के बजाय, एक विशिष्ट वास्तविक जीवन का उदाहरण ढूंढकर उन्हें कार्यान्वित करने की कल्पना करें।

कल्पना कीजिए कि आप एक गुंबद के बीच में हैं और एक मूवी प्रोजेक्टर स्क्रीन लटकाना चाहते हैं। आप अपनी उंगली को गुंबद पर एक निश्चित कोण "x" पर इंगित करते हैं, और स्क्रीन को इस बिंदु से निलंबित कर दिया जाना चाहिए।

आप जिस कोण को इंगित करते हैं वह निर्धारित करता है:

साइन(x) = साइन(x) = स्क्रीन की ऊंचाई (फर्श से गुंबद के बढ़ते बिंदु तक)
कोज्या(x) = cos(x) = आपसे स्क्रीन की दूरी (फर्श द्वारा)
कर्ण, आपसे स्क्रीन के शीर्ष तक की दूरी, हमेशा समान, गुंबद की त्रिज्या के बराबर

क्या आप चाहते हैं कि स्क्रीन यथासंभव बड़ी हो? इसे सीधे अपने ऊपर लटकाएं.

क्या आप चाहते हैं कि स्क्रीन आपसे यथासंभव दूर लटकती रहे? इसे सीधा लंबवत लटका दें। इस स्थिति में स्क्रीन की ऊंचाई शून्य होगी और जैसा आपने पूछा था, वह सबसे दूर लटक जाएगी।

स्क्रीन से ऊंचाई और दूरी व्युत्क्रमानुपाती होती है: स्क्रीन जितनी करीब लटकेगी, उसकी ऊंचाई उतनी ही अधिक होगी।

साइन और कोसाइन प्रतिशत हैं

अफसोस, मेरे अध्ययन के वर्षों के दौरान किसी ने भी मुझे यह नहीं समझाया कि त्रिकोणमितीय फलन साइन और कोसाइन प्रतिशत से अधिक कुछ नहीं हैं। उनका मान +100% से 0 से -100% तक, या सकारात्मक अधिकतम से शून्य से नकारात्मक अधिकतम तक होता है।

मान लीजिए कि मैंने 14 रूबल का कर चुकाया। आप नहीं जानते कि यह कितना है. लेकिन अगर आप कहते हैं कि मैंने टैक्स में 95% का भुगतान किया है, तो आप समझेंगे कि मुझे बस लूटा गया था।

पूर्ण ऊंचाई का कोई मतलब नहीं है. लेकिन यदि साइन मान 0.95 है, तो मैं समझता हूं कि टीवी आपके गुंबद के लगभग शीर्ष पर लटका हुआ है। बहुत जल्द यह गुंबद के केंद्र में अपनी अधिकतम ऊंचाई तक पहुंच जाएगा, और उसके बाद फिर से गिरावट शुरू हो जाएगी।

हम इस प्रतिशत की गणना कैसे कर सकते हैं? यह बहुत सरल है: वर्तमान स्क्रीन की ऊंचाई को अधिकतम संभव (गुंबद की त्रिज्या, जिसे कर्ण भी कहा जाता है) से विभाजित करें।

इसीलिएहमें बताया गया है कि "कोसाइन = विपरीत भुजा/कर्ण।" यह सब रुचि प्राप्त करने के बारे में है! साइन को "अधिकतम संभव से वर्तमान ऊंचाई का प्रतिशत" के रूप में परिभाषित करना सबसे अच्छा है। (यदि आपका कोण "भूमिगत" की ओर इंगित करता है तो ज्या ऋणात्मक हो जाती है। यदि कोण आपके पीछे गुंबद बिंदु की ओर इंगित करता है तो कोज्या ऋणात्मक हो जाती है।)

आइए यह मानकर गणना को सरल बनाएं कि हम इकाई वृत्त (त्रिज्या = 1) के केंद्र पर हैं। हम विभाजन को छोड़ सकते हैं और केवल ज्या को ऊंचाई के बराबर ले सकते हैं।

प्रत्येक वृत्त अनिवार्य रूप से एक एकल वृत्त है, जिसे वांछित आकार में ऊपर या नीचे बढ़ाया जाता है। इसलिए यूनिट सर्कल कनेक्शन निर्धारित करें और परिणामों को अपने विशिष्ट सर्कल आकार पर लागू करें।

प्रयोग: कोई भी कोना लें और देखें कि यह ऊंचाई से चौड़ाई का कितना प्रतिशत प्रदर्शित करता है:

साइन मान की वृद्धि का ग्राफ़ केवल एक सीधी रेखा नहीं है। पहले 45 डिग्री ऊंचाई का 70% कवर करते हैं, लेकिन अंतिम 10 डिग्री (80 डिग्री से 90 डिग्री तक) केवल 2% कवर करते हैं।

इससे आपको यह स्पष्ट हो जाएगा: यदि आप एक वृत्त में चलते हैं, तो 0° पर आप लगभग लंबवत रूप से ऊपर उठते हैं, लेकिन जैसे-जैसे आप गुंबद के शीर्ष पर पहुंचते हैं, ऊंचाई कम और कम बदलती है।

स्पर्शरेखा और छेदक. दीवार

एक दिन एक पड़ोसी ने दीवार बना दी एक दूसरे के ठीक बगल मेंआपके गुंबद तक. खिड़की से आपका दृश्य रोया और पुनर्विक्रय के लिए अच्छी कीमत!

लेकिन क्या इस स्थिति में किसी तरह जीतना संभव है?

बिलकुल हाँ। अगर हम अपने पड़ोसी की दीवार पर मूवी स्क्रीन लटका दें तो क्या होगा? आप कोण (x) को लक्षित करें और प्राप्त करें:

tan(x) = tan(x) = दीवार पर स्क्रीन की ऊंचाई
आपसे दीवार की दूरी: 1 (यह आपके गुंबद की त्रिज्या है, दीवार आपसे कहीं भी नहीं हट रही है, है ना?)
सेकेंट(x) = सेकंड(x) = गुंबद के केंद्र में आपके खड़े होने से निलंबित स्क्रीन के शीर्ष तक "सीढ़ी की लंबाई"

आइए स्पर्शरेखा, या स्क्रीन ऊंचाई के संबंध में कुछ बिंदु स्पष्ट करें।

यह 0 से शुरू होता है, और अनंत तक ऊपर जा सकता है। आप अपनी पसंदीदा फिल्म देखने के लिए एक अंतहीन कैनवास बनाने के लिए स्क्रीन को दीवार पर ऊपर और ऊपर खींच सकते हैं! (इतने बड़े के लिए, निश्चित रूप से, आपको बहुत सारे पैसे खर्च करने होंगे)।
स्पर्शरेखा ज्या का ही एक बड़ा संस्करण है! और जब आप गुंबद के शीर्ष की ओर बढ़ते हैं तो साइन में वृद्धि धीमी हो जाती है, स्पर्शरेखा बढ़ती रहती है!

सेकांसु के पास भी डींगें हांकने लायक कुछ है:

सेकेंड 1 से शुरू होता है (सीढ़ी फर्श पर है, आपसे दीवार तक) और वहां से उठना शुरू होता है
छेदक रेखा सदैव स्पर्श रेखा से अधिक लंबी होती है। आप अपनी स्क्रीन को लटकाने के लिए जिस तिरछी सीढ़ी का उपयोग करते हैं, वह स्क्रीन से अधिक लंबी होनी चाहिए, है ना? (अवास्तविक आकारों के साथ, जब स्क्रीन बहुत लंबी होती है और सीढ़ी को लगभग लंबवत रखने की आवश्यकता होती है, तो उनके आकार लगभग समान होते हैं। लेकिन फिर भी सेकेंट थोड़ा लंबा होगा)।

याद रखें, मूल्य हैं प्रतिशत. यदि आप स्क्रीन को 50 डिग्री के कोण पर लटकाने का निर्णय लेते हैं, तो tan(50)=1.19। आपकी स्क्रीन दीवार की दूरी (गुंबद की त्रिज्या) से 19% बड़ी है।

(x=0 दर्ज करें और अपना अंतर्ज्ञान जांचें - tan(0) = 0 और sec(0) = 1.)

कोटैंजेंट और कोसेकेंट। छत

अविश्वसनीय रूप से, आपके पड़ोसी ने अब आपके गुंबद पर छत बनाने का फैसला किया है। (उसे क्या दिक्कत है? जाहिर तौर पर वह नहीं चाहता कि जब वह यार्ड में नग्न घूम रहा हो तो आप उसकी जासूसी करें...)

खैर, अब समय आ गया है कि छत तक जाने का रास्ता बनाया जाए और अपने पड़ोसी से बात की जाए। आप झुकाव का कोण चुनें और निर्माण शुरू करें:

छत के आउटलेट और फर्श के बीच ऊर्ध्वाधर दूरी हमेशा 1 (गुंबद की त्रिज्या) होती है
कोटैंजेंट(x) = कोट(x) = गुंबद के शीर्ष और निकास बिंदु के बीच की दूरी
cosecant(x) = csc(x) = छत तक आपके रास्ते की लंबाई

स्पर्शरेखा और सेकेंट दीवार का वर्णन करते हैं, और COस्पर्शरेखा और सीओसेकेंट छत का वर्णन करते हैं।

इस बार हमारे सहज निष्कर्ष पिछले निष्कर्षों के समान हैं:

यदि आप कोण को 0° के बराबर लेते हैं, तो छत पर आपका निकास हमेशा के लिए रहेगा, क्योंकि यह कभी भी छत तक नहीं पहुंचेगा। संकट।
यदि आप इसे फर्श से 90 डिग्री के कोण पर बनाते हैं तो छत पर सबसे छोटी "सीढ़ी" प्राप्त होगी। कोटैंजेंट 0 के बराबर होगा (हम छत के साथ बिल्कुल भी नहीं चलते हैं, हम सख्ती से लंबवत रूप से बाहर निकलते हैं), और कोसेकेंट 1 के बराबर होगा ("सीढ़ी की लंबाई" न्यूनतम होगी)।

कनेक्शंस को विज़ुअलाइज़ करें

यदि सभी तीन मामलों को गुंबद-दीवार-छत संयोजन में खींचा जाता है, तो परिणाम निम्नलिखित होगा:

खैर, यह अभी भी वही त्रिभुज है, जिसका आकार दीवार और छत तक बढ़ गया है। हमारे पास ऊर्ध्वाधर भुजाएँ (साइन, स्पर्शरेखा), क्षैतिज भुजाएँ (कोज्या, कोटैंजेंट) और "कर्ण" (सेकेंट, कोसेकेंट) हैं। (तीरों से आप देख सकते हैं कि प्रत्येक तत्व कहां पहुंचता है। कोसेकेंट आपसे छत तक की कुल दूरी है)।

थोड़ा सा जादू. सभी त्रिभुज समान समानताएँ साझा करते हैं:

पाइथागोरस प्रमेय (a 2 + b 2 = c 2) से हम देखते हैं कि प्रत्येक त्रिभुज की भुजाएँ कैसे जुड़ी हुई हैं। इसके अलावा, सभी त्रिकोणों के लिए "ऊंचाई से चौड़ाई" का अनुपात भी समान होना चाहिए। (बस सबसे बड़े त्रिभुज से छोटे त्रिभुज की ओर बढ़ें। हां, आकार बदल गया है, लेकिन भुजाओं का अनुपात वही रहेगा)।

यह जानकर कि प्रत्येक त्रिभुज में कौन सी भुजा 1 (गुंबद की त्रिज्या) के बराबर है, हम आसानी से गणना कर सकते हैं कि "sin/cos = tan/1"।

मैंने हमेशा सरल दृश्यावलोकन के माध्यम से इन तथ्यों को याद रखने की कोशिश की है। चित्र में आप इन निर्भरताओं को स्पष्ट रूप से देखते हैं और समझते हैं कि वे कहाँ से आती हैं। यह तकनीक सूखे फॉर्मूलों को याद करने से कहीं बेहतर है।

अन्य कोणों के बारे में मत भूलना

पीएसएसटी... यह सोचकर एक ही ग्राफ पर अटके न रहें कि स्पर्शरेखा हमेशा 1 से कम होती है। यदि आप कोण बढ़ाते हैं, तो आप दीवार तक पहुंचे बिना छत तक पहुंच सकते हैं:

पायथागॉरियन कनेक्शन हमेशा काम करते हैं, लेकिन सापेक्ष आकार भिन्न हो सकते हैं।

(आपने देखा होगा कि साइन और कोसाइन अनुपात हमेशा सबसे छोटे होते हैं क्योंकि वे गुंबद के भीतर समाहित होते हैं)।

संक्षेप में कहें तो: हमें क्या याद रखने की आवश्यकता है?

हममें से अधिकांश के लिए, मैं कहूंगा कि यह पर्याप्त होगा:

त्रिकोणमिति गणितीय वस्तुओं जैसे वृत्तों और दोहराए जाने वाले अंतरालों की शारीरिक रचना की व्याख्या करती है
गुंबद/दीवार/छत सादृश्य विभिन्न त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच संबंध को दर्शाता है
त्रिकोणमितीय कार्यों का परिणाम प्रतिशत होता है, जिसे हम अपनी स्क्रिप्ट पर लागू करते हैं।

आपको 1 2 + cot 2 = csc 2 जैसे फ़ॉर्मूले याद करने की ज़रूरत नहीं है। वे केवल मूर्खतापूर्ण परीक्षणों के लिए उपयुक्त हैं जिनमें किसी तथ्य के ज्ञान को उसे समझने के रूप में पेश किया जाता है। एक मिनट का समय निकालकर गुंबद, दीवार और छत के रूप में अर्धवृत्त बनाएं, तत्वों को लेबल करें और सभी सूत्र कागज पर आपके सामने आ जाएंगे।

अनुप्रयोग: व्युत्क्रम कार्य

कोई भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन एक कोण को इनपुट पैरामीटर के रूप में लेता है और परिणाम को प्रतिशत के रूप में लौटाता है। पाप(30) = 0.5. इसका मतलब यह है कि 30 डिग्री का कोण अधिकतम ऊंचाई का 50% लेता है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को पाप -1 या आर्क्सिन के रूप में लिखा जाता है। असिन को अक्सर विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं में भी लिखा जाता है।

यदि हमारी ऊंचाई गुंबद की ऊंचाई का 25% है, तो हमारा कोण क्या है?

अनुपात की हमारी तालिका में आप एक अनुपात पा सकते हैं जहां छेदक को 1 से विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1 से छेदक (क्षैतिज से कर्ण) कोज्या से विभाजित 1 के बराबर होगा:

मान लीजिए कि हमारा सेकेंड 3.5 है, यानी। एक इकाई वृत्त की त्रिज्या का 350%. यह मान दीवार के किस झुकाव के कोण के अनुरूप है?

परिशिष्ट: कुछ उदाहरण

उदाहरण: कोण x की ज्या ज्ञात कीजिए।

एक उबाऊ काम. आइए साधारण "ज्या खोजें" को जटिल बनाते हुए "अधिकतम (कर्ण) के प्रतिशत के रूप में ऊँचाई क्या है?"

सबसे पहले, ध्यान दें कि त्रिभुज घूमता है। इसमें कुछ भी गलत नहीं है. त्रिभुज की एक ऊंचाई भी होती है, इसे चित्र में हरे रंग से दर्शाया गया है।

कर्ण किसके बराबर होता है? पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हम जानते हैं कि:

3 2 + 4 2 = कर्ण 2 25 = कर्ण 2 5 = कर्ण

अच्छा! साइन त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा या कर्ण की ऊंचाई का प्रतिशत है। हमारे उदाहरण में, साइन 3/5 या 0.60 है।

बेशक, हम कई तरीकों से जा सकते हैं। अब हम जानते हैं कि ज्या 0.60 है, हम सरलता से चाप ज्या ज्ञात कर सकते हैं:

असिन(0.6)=36.9

यहाँ एक और दृष्टिकोण है. ध्यान दें कि त्रिभुज "दीवार के सम्मुख" है, इसलिए हम ज्या के बजाय स्पर्शरेखा का उपयोग कर सकते हैं। ऊंचाई 3 है, दीवार से दूरी 4 है, इसलिए स्पर्श रेखा ¾ या 75% है। हम प्रतिशत मान से किसी कोण पर वापस जाने के लिए आर्कटैन्जेंट का उपयोग कर सकते हैं:

टैन = 3/4 = 0.75 एटन(0.75) = 36.9 उदाहरण: क्या तुम तैरकर किनारे तक आओगे?

आप एक नाव में हैं और आपके पास 2 किमी की यात्रा करने के लिए पर्याप्त ईंधन है। अब आप तट से 0.25 किमी दूर हैं। आप किनारे पर अधिकतम किस कोण पर तैर सकते हैं ताकि आपके पास पर्याप्त ईंधन हो? समस्या कथन के अतिरिक्त: हमारे पास केवल चाप कोज्या मानों की एक तालिका है।

हमारे पास क्या है? हमारे प्रसिद्ध त्रिभुज में समुद्र तट को एक "दीवार" के रूप में दर्शाया जा सकता है, और दीवार से जुड़ी "सीढ़ी की लंबाई" नाव द्वारा किनारे तक तय की जाने वाली अधिकतम संभव दूरी (2 किमी) है। एक सेकेंट प्रकट होता है.

सबसे पहले, आपको प्रतिशत पर जाना होगा। हमारे पास 2 / 0.25 = 8 है, अर्थात, हम किनारे (या दीवार) की सीधी दूरी से 8 गुना अधिक दूरी तक तैर सकते हैं।

प्रश्न उठता है: "8 का छेदक क्या है?" लेकिन हम इसका उत्तर नहीं दे सकते, क्योंकि हमारे पास केवल आर्क कोसाइन हैं।

हम सेकेंट को कोसाइन से जोड़ने के लिए अपनी पहले से प्राप्त निर्भरता का उपयोग करते हैं: "सेकंड/1 = 1/कॉस"

8 का छेदक ⅛ की कोज्या के बराबर है। एक कोण जिसकी कोज्या ⅛ है वह acos(1/8) = 82.8 के बराबर है। और यह सबसे बड़ा कोण है जिसे हम ईंधन की निर्दिष्ट मात्रा वाली नाव पर वहन कर सकते हैं।

बुरा नहीं है, है ना? गुंबद-दीवार-छत सादृश्य के बिना, मैं सूत्रों और गणनाओं के एक समूह में खो गया होता। समस्या को विज़ुअलाइज़ करने से समाधान की खोज बहुत सरल हो जाती है, और यह देखना भी दिलचस्प है कि कौन सा त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन अंततः मदद करेगा।

प्रत्येक समस्या के लिए, इस तरह सोचें: क्या मुझे गुंबद (sin/cos), दीवार (tan/sec), या छत (cot/csc) में दिलचस्पी है?

और त्रिकोणमिति बहुत अधिक मनोरंजक हो जाएगी। आपके लिए आसान गणना!

जहां एक समकोण त्रिभुज को हल करने की समस्याओं पर विचार किया गया, मैंने साइन और कोसाइन की परिभाषाओं को याद करने के लिए एक तकनीक प्रस्तुत करने का वादा किया। इसके प्रयोग से आपको हमेशा याद रहेगा कि कौन सा पक्ष कर्ण (आसन्न या विपरीत) का है। मैंने इसे लंबे समय तक नहीं टालने का फैसला किया, आवश्यक सामग्री नीचे है, कृपया इसे पढ़ें 😉

तथ्य यह है कि मैंने बार-बार देखा है कि कक्षा 10-11 के छात्रों को इन परिभाषाओं को याद रखने में कठिनाई होती है। उन्हें अच्छी तरह से याद है कि पैर कर्ण को संदर्भित करता है, लेकिन कौन सा- वे भूल जाते हैं और अस्पष्ट। एक गलती की कीमत, जैसा कि आप जानते हैं, एक परीक्षा में एक खोया हुआ अंक होता है।

जो जानकारी मैं सीधे प्रस्तुत करूंगा उसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह आलंकारिक सोच और मौखिक-तार्किक संचार के तरीकों से जुड़ा है। ठीक इसी तरह से मैं इसे एक बार और हमेशा के लिए याद रखता हूँपरिभाषा डेटा. यदि आप उन्हें भूल जाते हैं, तो प्रस्तुत तकनीकों का उपयोग करके आप उन्हें हमेशा आसानी से याद रख सकते हैं।

मैं आपको समकोण त्रिभुज में ज्या और कोज्या की परिभाषाएँ याद दिलाना चाहता हूँ:

कोज्याएक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात है:

साइनसएक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण विपरीत भुजा और कर्ण का अनुपात होता है:

तो, कोसाइन शब्द से आपका क्या संबंध है?

संभवतः हर किसी का अपना 😉 होता हैलिंक याद रखें:

इस प्रकार, अभिव्यक्ति तुरंत आपकी स्मृति में प्रकट होगी -

«… आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात».

कोसाइन निर्धारित करने की समस्या हल हो गई है।

यदि आपको समकोण त्रिभुज में ज्या की परिभाषा याद रखने की आवश्यकता है, तो कोसाइन की परिभाषा को याद करके, आप आसानी से स्थापित कर सकते हैं कि समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या विपरीत भुजा और कर्ण का अनुपात है। आख़िरकार, केवल दो पैर हैं; यदि आसन्न पैर कोसाइन द्वारा "कब्जा" कर लिया गया है, तो केवल विपरीत पैर साइन के साथ रहता है।

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बारे में क्या? उलझन तो वही है. छात्र जानते हैं कि यह पैरों का रिश्ता है, लेकिन समस्या यह याद रखना है कि कौन सा किसको संदर्भित करता है - या तो आसन्न के विपरीत, या इसके विपरीत।

परिभाषाएँ:

स्पर्शरेखाएक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण विपरीत भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात है:

कोटैंजेंटएक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण आसन्न भुजा और विपरीत भुजा का अनुपात होता है:

कैसे याद रखें? दो तरीके हैं. एक मौखिक-तार्किक संबंध का भी उपयोग करता है, दूसरा गणितीय संबंध का उपयोग करता है।

गणितीय विधि

ऐसी परिभाषा है - एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा कोण की ज्या और उसकी कोज्या का अनुपात है:

*सूत्र को याद करके, आप हमेशा यह निर्धारित कर सकते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात है।

वैसे ही।किसी न्यून कोण का कोटैंजेंट कोण की कोज्या और उसकी ज्या का अनुपात होता है:

इसलिए! इन सूत्रों को याद करके, आप हमेशा यह निर्धारित कर सकते हैं:

- एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात है

- एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण का कोटैंजेंट आसन्न भुजा और विपरीत भुजा का अनुपात होता है।

शब्द-तार्किक विधि

स्पर्शरेखा के बारे में. लिंक याद रखें:

अर्थात्, यदि आपको स्पर्शरेखा की परिभाषा को याद रखने की आवश्यकता है, तो इस तार्किक संबंध का उपयोग करके, आप आसानी से याद कर सकते हैं कि यह क्या है

"...विपरीत भुजा का आसन्न भुजा से अनुपात"

यदि हम कोटैंजेंट की बात करें तो स्पर्शरेखा की परिभाषा को याद करके आप आसानी से कोटैंजेंट की परिभाषा बता सकते हैं -

"... आसन्न भुजा का विपरीत भुजा से अनुपात"

वेबसाइट पर स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को याद रखने की एक दिलचस्प ट्रिक है " गणितीय अग्रानुक्रम " , देखना।

सार्वभौमिक विधि

आप इसे बस याद कर सकते हैं.लेकिन जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, मौखिक-तार्किक कनेक्शन के लिए धन्यवाद, एक व्यक्ति लंबे समय तक जानकारी याद रखता है, न कि केवल गणितीय जानकारी।

मुझे आशा है कि सामग्री आपके लिए उपयोगी थी।

सादर, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख

पुनश्च: यदि आप मुझे सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

छात्र के लिए पोर्टल. स्व तैयारी

त्रिकोणमिति की उत्पत्ति

प्रथम चरण

गोलाकार त्रिकोणमिति

सही त्रिकोण

परिभाषा

सबसे सरल सूत्र

दोहरे कोणों के सूत्र और तर्कों का योग

प्रमेयों

लापरवाह गलती

आवेदन

अंत में

त्रिकोणमिति में अवधारणाएँ

त्रिभुज के कोण

इकाई वृत्त

गणना और बुनियादी सूत्र

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन मान

सबसे सरल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

न्यूनीकरण सूत्र

अतिरिक्त सूत्र

डबल और ट्रिपल कोण सूत्र

योग से उत्पाद में संक्रमण

उत्पाद से योग तक संक्रमण

न्यूनीकरण सूत्र

सार्वभौमिक प्रतिस्थापन

विशेष स्थितियां

प्रमेयों

ज्या का प्रमेय

कोसाइन प्रमेय

स्पर्शरेखा प्रमेय

कोटैंजेंट प्रमेय

आवेदन

साइन और कोसाइन के लिए रूपक: गुंबद

साइन और कोसाइन प्रतिशत हैं

स्पर्शरेखा और छेदक. दीवार

कोटैंजेंट और कोसेकेंट। छत

कनेक्शंस को विज़ुअलाइज़ करें

अन्य कोणों के बारे में मत भूलना

संक्षेप में कहें तो: हमें क्या याद रखने की आवश्यकता है?

अनुप्रयोग: व्युत्क्रम कार्य

परिशिष्ट: कुछ उदाहरण

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