उदाहरण. जनसंख्या गतिशीलता का सांख्यिकीय अध्ययन।
श्रृंखला, बुनियादी और औसत गतिशीलता संकेतकों का उपयोग करके, संख्याओं में परिवर्तन का मूल्यांकन करें और अपने निष्कर्ष लिखें।
विश्लेषणात्मक संरेखण (सीधी रेखा और परवलय, ओएलएस का उपयोग करके गुणांक का निर्धारण) की विधि का उपयोग करके, घटना के विकास (कोमी गणराज्य की जनसंख्या) में मुख्य प्रवृत्ति की पहचान करें। त्रुटियों और सन्निकटन गुणांकों का उपयोग करके परिणामी मॉडलों की गुणवत्ता का मूल्यांकन करें।
चार्ट विज़ार्ड का उपयोग करके रैखिक और परवलयिक प्रवृत्ति गुणांक निर्धारित करें। 2010 के लिए बिंदु और अंतराल जनसंख्या पूर्वानुमान दें। अपने निष्कर्ष लिखें।
विश्लेषणात्मक लेवलिंग विधि a) रैखिक प्रवृत्ति समीकरण का रूप y = bt + a है 1. न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके समीकरण के पैरामीटर ज्ञात करें. हम सशर्त शुरुआत से समय गिनने की विधि का उपयोग करते हैं। एक रैखिक प्रवृत्ति के लिए न्यूनतम वर्ग समीकरणों की प्रणाली का रूप इस प्रकार है: a 0 n + a 1 ∑t = ∑y a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
हमारे डेटा के लिए, समीकरणों की प्रणाली इस प्रकार होगी: 10a 0 + 0a 1 = 10400 0a 0 + 330a 1 = -4038 पहले समीकरण से हम 0 व्यक्त करते हैं और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, हमें 0 = -12.236 मिलता है , a 1 = 1040 रुझान समीकरण: y = -12.236 t + 1040
आइए पूर्ण सन्निकटन त्रुटि का उपयोग करके प्रवृत्ति समीकरण की गुणवत्ता का मूल्यांकन करें। 5%-7% के भीतर सन्निकटन त्रुटि मूल डेटा के लिए प्रवृत्ति समीकरण के अच्छी तरह फिट होने का संकेत देती है। 
बी) एक परवलय के साथ संरेखण प्रवृत्ति समीकरण का रूप y = at 2 + bt + c 1 है। हम न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके समीकरण के पैरामीटर पाते हैं। न्यूनतम वर्ग समीकरणों की प्रणाली: a 0 n + a 1 ∑t + a 2 ∑t 2 = ∑y a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 + a 2 ∑t 3 = ∑yt a 0 ∑t 2 + a 1 ∑ टी 3 + ए 2 ∑टी 4 = ∑yt 2
हमारे डेटा के लिए, समीकरणों की प्रणाली का रूप 10a 0 + 0a 1 + 330a 2 = 10400 0a 0 + 330a 1 + 0a 2 = -4038 330a 0 + 0a 1 + 19338a 2 = 353824 है। हमें 0 = 1.258, a मिलता है। 1 = -12.236, a 2 = 998.5 रुझान समीकरण: y = 1.258t 2 -12.236t+998.5
परवलयिक प्रवृत्ति समीकरण के लिए सन्निकटन त्रुटि। 
चूँकि त्रुटि 7% से कम है, इस समीकरण को एक प्रवृत्ति के रूप में उपयोग किया जा सकता है।
परवलयिक संरेखण के लिए न्यूनतम सन्निकटन त्रुटि। इसके अलावा, निर्धारण का गुणांक R2 रैखिक की तुलना में अधिक है। इसलिए, पूर्वानुमान के लिए परवलयिक समीकरण का उपयोग करना आवश्यक है।
अंतराल पूर्वानुमान. आइए पूर्वानुमानित संकेतक की मूल माध्य वर्ग त्रुटि निर्धारित करें। 
एम = 1 - प्रवृत्ति समीकरण में प्रभावित करने वाले कारकों की संख्या। Uy = y n+L ± K जहां 
एल - लीड अवधि; y n+L - समय में (n + L)-वें बिंदु पर मॉडल के अनुसार बिंदु पूर्वानुमान; n समय श्रृंखला में प्रेक्षणों की संख्या है; Sy पूर्वानुमानित संकेतक की मानक त्रुटि है; टी टैब - महत्व स्तर α के लिए छात्र के परीक्षण का सारणीबद्ध मूल्य और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के बराबर एन-2. विद्यार्थी की तालिका का उपयोग करते हुए, हमें Ttable T तालिका (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306 प्वाइंट पूर्वानुमान, t = 10: y(10) = 1.26*10 2 -12.24*10 + 998.5 = मिलती है। 1001.89 हजार लोग 1001.89 - 71.13 = 930.76; 1001.89 + 71.13 = 1073.02 अंतराल पूर्वानुमान: टी = 9+1 = 10: (930.76;1073.02)
सूत्र (9.29) के अनुसार, रैखिक प्रवृत्ति के पैरामीटर बराबर हैं ए = 1894/11 = 172.2 सी/हेक्टेयर; बी= 486/110 = 4.418 सी/हे. रैखिक प्रवृत्ति समीकरण का रूप है:
य = 172,2 + 4,418टी, कहाँ टी = 1987 में 0 इसका मतलब है कि औसत वास्तविक और समान स्तर को अवधि के मध्य में संदर्भित किया जाता है, अर्थात। 1991 तक, 172 सी/हेक्टेयर प्रति वर्ष के बराबर; औसत वार्षिक वृद्धि 4.418 सी/हेक्टेयर प्रति वर्ष है
(9.23) के अनुसार परवलयिक प्रवृत्ति के पैरामीटर बराबर हैं बी = 4,418; ए = 177,75; सी =-0.5571. परवलयिक प्रवृत्ति समीकरण का रूप है आप= 177,75 + 4,418टी - 0.5571टी 2 ; टी= 1991 में 0। इसका मतलब है कि उपज में पूर्ण वृद्धि प्रति वर्ष औसतन 2·0.56 सी/हेक्टेयर प्रति वर्ष धीमी हो जाती है। पूर्ण वृद्धि स्वयं अब परवलयिक प्रवृत्ति का स्थिरांक नहीं है, बल्कि अवधि के लिए एक औसत मूल्य है। आरंभिक बिंदु के रूप में लिए गए वर्ष में अर्थात 1991, प्रवृत्ति 77.75 सी/हेक्टेयर के कोटि के साथ बिंदु से गुजरती है; परवलयिक प्रवृत्ति का मुक्त पद उस अवधि का औसत स्तर नहीं है। घातीय प्रवृत्ति मापदंडों की गणना सूत्र (9.32) और (9.33) एलएन का उपयोग करके की जाती है ए= 56.5658/11 = 5.1423; शक्तिशाली, हमें मिलता है ए= 171.1; एल.एन क= 2.853:110 = 0.025936; शक्तिशाली, हमें मिलता है क = 1,02628.
घातीय प्रवृत्ति समीकरण है: आप= 171.1 1.02628 टी ।
इसका मतलब है कि इस अवधि के लिए औसत वार्षिक उपज दर 102.63% थी। बिंदु K पर प्रारंभिक बिंदु है, प्रवृत्ति 171.1 c/ha की कोटि के साथ बिंदु से गुजरती है।
प्रवृत्ति समीकरणों का उपयोग करके गणना किए गए स्तर तालिका के अंतिम तीन स्तंभों में लिखे गए हैं। 9.5. जैसा कि इन आंकड़ों से देखा जा सकता है. तीनों प्रकार के रुझानों के लिए स्तरों के परिकलित मान अधिक भिन्न नहीं होते हैं, क्योंकि परवलय का त्वरण और घातांक की वृद्धि दर दोनों छोटे होते हैं। परवलय में एक महत्वपूर्ण अंतर है - 1995 के बाद से स्तरों की वृद्धि रुक गई है, जबकि एक रैखिक प्रवृत्ति के साथ स्तर बढ़ते रहते हैं, और एक घातीय प्रवृत्ति के साथ उनकी दर तेज हो जाती है। इसलिए, भविष्य के पूर्वानुमानों के लिए, ये तीन रुझान समान नहीं हैं: जब भविष्य के वर्षों में परवलय का विस्तार किया जाता है, तो स्तर सीधी रेखा और घातांक से तेजी से अलग हो जाएंगे, जैसा कि तालिका से देखा जा सकता है। 9.6. यह तालिका समान तीन रुझानों के लिए स्टेटग्राफिक्स प्रोग्राम का उपयोग करके पीसी पर समाधान का एक प्रिंटआउट दिखाती है। उनकी मुक्त शर्तों और ऊपर दी गई शर्तों के बीच अंतर को इस तथ्य से समझाया गया है कि कार्यक्रम में वर्षों को बीच से नहीं, बल्कि शुरुआत से गिना जाता है, ताकि रुझानों की मुक्त शर्तें 1986 को संदर्भित करें, जिसके लिए टी = 0। प्रिंटआउट पर घातीय समीकरण को लघुगणकीय रूप में छोड़ दिया जाता है। पूर्वानुमान 5 साल पहले से लगाया जाता है, यानी। 2001 तक। जब परवलय समीकरण में निर्देशांक (समय संदर्भ) की उत्पत्ति बदलती है, तो औसत पूर्ण वृद्धि, पैरामीटर बी।चूँकि नकारात्मक त्वरण के परिणामस्वरूप वृद्धि हर समय घटती है, और इसकी अधिकतम अवधि अवधि की शुरुआत में होती है। परवलय का एकमात्र स्थिरांक त्वरण है।
"डेटा" पंक्ति मूल श्रृंखला के स्तर को दर्शाती है; "पूर्वानुमान सारांश" का अर्थ पूर्वानुमान के लिए सारांश डेटा है। निम्नलिखित पंक्तियों में सीधी रेखा, परवलय, घातांक के समीकरण हैं - लघुगणकीय रूप में। एमई कॉलम का मतलब मूल श्रृंखला के स्तर और प्रवृत्ति स्तर (संरेखित) के बीच औसत अंतर है। एक सीधी रेखा और एक परवलय के लिए, यह विसंगति हमेशा शून्य होती है। घातांक का स्तर मूल श्रृंखला के स्तर से औसतन 0.48852 कम है। यदि वास्तविक प्रवृत्ति घातीय है तो सटीक मिलान संभव है; इस मामले में कोई संयोग नहीं है, लेकिन अंतर छोटा है। एमएई ग्राफ विचरण है एस 2 -प्रवृत्ति के सापेक्ष वास्तविक स्तरों की परिवर्तनशीलता का एक माप, जैसा कि पैराग्राफ 9.7 में चर्चा की गई है। कॉलम एमएई - निरपेक्ष मूल्य में प्रवृत्ति से स्तरों का औसत रैखिक विचलन (पैराग्राफ 5.8 देखें); कॉलम MARE - प्रतिशत के रूप में सापेक्ष रैखिक विचलन। यहां उन्हें चयनित प्रवृत्ति प्रकार की उपयुक्तता के संकेतक के रूप में प्रस्तुत किया गया है। परवलय का फैलाव और विचलन मापांक छोटा है: 1986 - 1996 की अवधि के लिए। वास्तविक स्तरों के करीब। लेकिन प्रवृत्ति प्रकार की पसंद को केवल इस मानदंड तक सीमित नहीं किया जा सकता है। वास्तव में, विकास में मंदी एक बड़े नकारात्मक विचलन, यानी 1996 में फसल की विफलता का परिणाम है।
तालिका का दूसरा भाग वर्षों के लिए तीन प्रकार के रुझानों के लिए उपज स्तर का पूर्वानुमान है; t = मूल बिंदु (1986) से 12, 13, 14, 15 और 16। 16वें वर्ष तक घातांक के लिए अनुमानित स्तर सीधी रेखा की तुलना में बहुत अधिक नहीं हैं। परवलयिक प्रवृत्ति का स्तर कम हो रहा है, और तेजी से अन्य प्रवृत्तियों से अलग हो रहा है।
जैसा कि तालिका में देखा जा सकता है। 9.4, प्रवृत्ति मापदंडों की गणना करते समय, मूल श्रृंखला के स्तरों को अलग-अलग भार - मूल्यों के साथ शामिल किया जाता है टी.पीऔर उनके वर्ग. इसलिए, प्रवृत्ति मापदंडों पर स्तर के उतार-चढ़ाव का प्रभाव इस बात पर निर्भर करता है कि कौन सा वर्ष संख्या फसल वर्ष या दुबला वर्ष है। यदि किसी वर्ष में शून्य संख्या के साथ तीव्र विचलन होता है ( टी मैं = 0), तब इसका प्रवृत्ति मापदंडों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा, लेकिन यदि यह श्रृंखला की शुरुआत और अंत पर पड़ता है, तो इसका मजबूत प्रभाव पड़ेगा। नतीजतन, एक एकल विश्लेषणात्मक संरेखण प्रवृत्ति मापदंडों को उतार-चढ़ाव के प्रभाव से पूरी तरह से मुक्त नहीं करता है, और मजबूत उतार-चढ़ाव के साथ वे बहुत विकृत हो सकते हैं, जो हमारे उदाहरण में परवलय के साथ हुआ। प्रवृत्ति मापदंडों पर उतार-चढ़ाव के विकृत प्रभाव को और अधिक खत्म करने के लिए इसे लागू करना चाहिए एकाधिक स्लाइडिंग संरेखण विधि।
इस तकनीक में यह तथ्य शामिल है कि प्रवृत्ति मापदंडों की गणना पूरी श्रृंखला के लिए तुरंत नहीं की जाती है, बल्कि स्लाइडिंग विधि का उपयोग करके की जाती है, पहले के लिए टीसमय की अवधि या क्षण, फिर 2 से अवधि के लिए टी+ 1, 3 से (टी+ 2) स्तर, आदि। यदि श्रृंखला के प्रारंभिक स्तरों की संख्या बराबर है पी,और मापदंडों की गणना के लिए प्रत्येक स्लाइडिंग बेस की लंबाई बराबर है टी,तो ऐसे गतिशील आधार टी या व्यक्तिगत पैरामीटर मानों की संख्या जो उनसे निर्धारित की जाएगी:
एल = एन + 1 - टी।
स्लाइडिंग मल्टीपल अलाइनमेंट तकनीक का उपयोग, जैसा कि उपरोक्त गणनाओं से देखा जा सकता है, केवल श्रृंखला में पर्याप्त बड़ी संख्या में स्तरों के साथ ही संभव है, आमतौर पर 15 या अधिक। आइए एक उदाहरण के रूप में तालिका 1 में डेटा का उपयोग करके इस तकनीक पर विचार करें। 9.4 - विकासशील देशों में गैर-ईंधन वस्तुओं की कीमतों की गतिशीलता, जो पाठक को फिर से एक छोटे वैज्ञानिक अध्ययन में भाग लेने का अवसर देती है। उसी उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम खंड 9.10 में पूर्वानुमान तकनीक जारी रखेंगे।
यदि हम 11-वर्ष की अवधि (11 स्तरों पर) में अपनी श्रृंखला में मापदंडों की गणना करते हैं, तो टी= 17 + 1 - 11 = 7. एकाधिक स्लाइडिंग संरेखण का अर्थ यह है कि मापदंडों की गणना के आधार में क्रमिक बदलाव के साथ, सिरों पर और बीच में अलग-अलग संकेत और परिमाण की प्रवृत्ति से विचलन के साथ अलग-अलग स्तर होंगे। इसलिए, आधार में कुछ बदलावों के साथ, मापदंडों को अधिक महत्व दिया जाएगा, दूसरों के साथ, उन्हें कम करके आंका जाएगा, और गणना आधार के सभी बदलावों पर पैरामीटर मानों के बाद के औसत के साथ, विकृतियों का पारस्परिक रद्दीकरण होगा स्तरों में उतार-चढ़ाव द्वारा प्रवृत्ति पैरामीटर।
एकाधिक स्लाइडिंग संरेखण न केवल आपको प्रवृत्ति मापदंडों का अधिक सटीक और विश्वसनीय अनुमान प्राप्त करने की अनुमति देता है, बल्कि प्रवृत्ति समीकरण के प्रकार की सही पसंद को नियंत्रित करने की भी अनुमति देता है। यदि यह पता चलता है कि अग्रणी प्रवृत्ति पैरामीटर, चलती आधारों का उपयोग करके गणना करने पर इसका स्थिरांक, यादृच्छिक रूप से उतार-चढ़ाव नहीं करता है, लेकिन व्यवस्थित रूप से इसके मूल्य को महत्वपूर्ण तरीके से बदलता है, तो इसका मतलब है कि प्रवृत्ति का प्रकार गलत तरीके से चुना गया था, यह पैरामीटर स्थिर नहीं है .
जहाँ तक एकाधिक समीकरण के दौरान मुक्त पद की बात है, इसकी कोई आवश्यकता नहीं है और, इसके अलावा, सभी आधार बदलावों पर औसत के रूप में इसके मूल्य की गणना करना गलत है, क्योंकि इस पद्धति के साथ, मूल श्रृंखला के व्यक्तिगत स्तरों को गणना में शामिल किया जाएगा। विभिन्न भारों के साथ औसत का, और समान स्तरों का योग मूल श्रृंखला की शर्तों के योग के साथ भिन्न होगा। प्रवृत्ति का मुक्त पद अवधि के स्तर का औसत मूल्य है, बशर्ते कि समय की गणना अवधि के मध्य से की जाए। आरंभ से गिनती करते समय यदि प्रथम स्तर टी मैं= 1, मुक्त पद इसके बराबर होगा: ए 0 = यू - बी((एन-1)/2). यह अनुशंसा की जाती है कि स्तरों में उतार-चढ़ाव को पर्याप्त रूप से कम करने के लिए प्रवृत्ति मापदंडों की गणना के लिए चलती आधार की लंबाई को कम से कम 9-11 स्तरों पर चुना जाए। यदि प्रारंभिक पंक्ति बहुत लंबी है, तो आधार इसकी लंबाई का 0.7 - 0.8 तक हो सकता है। प्रवृत्ति मापदंडों पर लंबी-आवधिक (चक्रीय) उतार-चढ़ाव के प्रभाव को खत्म करने के लिए, आधार बदलाव की संख्या दोलन चक्र की लंबाई के बराबर या एक से अधिक होनी चाहिए। फिर आधार की शुरुआत और अंत क्रमिक रूप से चक्र के सभी चरणों के माध्यम से "चलेंगे" और जब सभी बदलावों पर पैरामीटर का औसत होगा, तो चक्रीय दोलनों से इसकी विकृतियां एक दूसरे को रद्द कर देंगी। दूसरा तरीका यह है कि गतिशील आधार की लंबाई को चक्र की लंबाई के बराबर ले लिया जाए, ताकि आधार की शुरुआत और आधार का अंत हमेशा दोलन चक्र के एक ही चरण में हो।
चूँकि तालिका के अनुसार. 9.4, यह पहले ही स्थापित हो चुका है कि प्रवृत्ति का एक रैखिक रूप है, हम औसत वार्षिक पूर्ण वृद्धि की गणना करते हैं, अर्थात पैरामीटर बी 11-वर्षीय आधार पर स्लाइडिंग तरीके से रैखिक प्रवृत्ति समीकरण (तालिका 9.7 देखें)। इसमें पैराग्राफ 9.7 में परिवर्तनशीलता के बाद के अध्ययन के लिए आवश्यक डेटा की गणना भी शामिल है। आइए स्लाइडिंग बेस का उपयोग करके एकाधिक संरेखण की तकनीक पर करीब से नज़र डालें। आइए पैरामीटर की गणना करें बीसभी डेटाबेस के लिए:
मूल्य प्रवृत्तियों को स्पष्ट रूप से दर्शाने के लिए, एक प्रवृत्ति रेखा का उपयोग किया जाता है। तकनीकी विश्लेषण का तत्व विश्लेषण किए गए संकेतक के औसत मूल्यों की एक ज्यामितीय छवि है।
आइए देखें कि एक्सेल में चार्ट में ट्रेंड लाइन कैसे जोड़ें।
चार्ट में एक ट्रेंड लाइन जोड़ना
उदाहरण के लिए, आइए 2000 के बाद से खुले स्रोतों से औसत तेल की कीमतें लें। आइए तालिका में विश्लेषण के लिए डेटा दर्ज करें:
एक्सेल में ट्रेंड लाइन एक फिटिंग फ़ंक्शन का ग्राफ़ है। इसकी आवश्यकता क्यों है - सांख्यिकीय आंकड़ों के आधार पर पूर्वानुमान लगाना। इस प्रयोजन के लिए, रेखा का विस्तार करना और उसके मान निर्धारित करना आवश्यक है।
यदि R2 = 1 है, तो सन्निकटन त्रुटि शून्य है। हमारे उदाहरण में, रैखिक सन्निकटन के विकल्प ने कम विश्वसनीयता और खराब परिणाम दिए। पूर्वानुमान ग़लत होगा.
ध्यान!!! आप निम्न प्रकार के ग्राफ़ और चार्ट में ट्रेंडलाइन नहीं जोड़ सकते:
- पंखुड़ी;
- गोलाकार;
- सतह;
- कुंडलाकार;
- आयतन;
- संचय के साथ.
एक्सेल में ट्रेंडलाइन समीकरण
उपरोक्त उदाहरण में, रैखिक सन्निकटन को केवल एल्गोरिथ्म को चित्रित करने के लिए चुना गया था। जैसा कि विश्वसनीयता मूल्य से पता चला, चुनाव पूरी तरह से सफल नहीं था।
आपको वह प्रदर्शन प्रकार चुनना चाहिए जो उपयोगकर्ता इनपुट के रुझान को सबसे सटीक रूप से दर्शाता हो। आइए विकल्पों पर नजर डालें।
रैखिक सन्निकटन
इसकी ज्यामितीय छवि एक सीधी रेखा है। इसलिए, रैखिक सन्निकटन का उपयोग एक संकेतक को दर्शाने के लिए किया जाता है जो स्थिर दर पर बढ़ता या घटता है।
आइए 10 महीनों में प्रबंधक द्वारा संपन्न अनुबंधों की सशर्त संख्या पर विचार करें:
एक्सेल तालिका में डेटा के आधार पर, हम एक स्कैटर प्लॉट बनाएंगे (यह रैखिक प्रकार को चित्रित करने में मदद करेगा):
चार्ट का चयन करें - "ट्रेंड लाइन जोड़ें"। पैरामीटर्स में, रैखिक प्रकार का चयन करें. हम एक्सेल में सन्निकटन विश्वास मान और ट्रेंड लाइन समीकरण जोड़ते हैं (बस "पैरामीटर" विंडो के नीचे स्थित बॉक्स को चेक करें)।
हमें परिणाम मिलता है:
टिप्पणी! रैखिक प्रकार के सन्निकटन के साथ, डेटा बिंदु यथासंभव सीधी रेखा के करीब स्थित होते हैं। यह दृश्य निम्नलिखित समीकरण का उपयोग करता है:
y = 4.503x + 6.1333
- जहां 4.503 ढलान सूचकांक है;
- 6.1333 - विस्थापन;
- y - मानों का क्रम,
- एक्स - अवधि संख्या.
ग्राफ़ पर सीधी रेखा प्रबंधक के कार्य की गुणवत्ता में लगातार वृद्धि दर्शाती है। सन्निकटन का विश्वसनीयता मान 0.9929 है, जो परिकलित रेखा और मूल डेटा के बीच एक अच्छे समझौते को इंगित करता है। पूर्वानुमान सटीक होने चाहिए.
संपन्न अनुबंधों की संख्या का अनुमान लगाने के लिए, उदाहरण के लिए, अवधि 11 में, आपको समीकरण में x के बजाय संख्या 11 को प्रतिस्थापित करना होगा। गणना के दौरान, हमें पता चला कि 11वीं अवधि में यह प्रबंधक 55-56 अनुबंध समाप्त करेगा।
घातीय प्रवृत्ति रेखा
यदि इनपुट मान लगातार बढ़ती दर से बदलते हैं तो यह प्रकार उपयोगी है। शून्य या नकारात्मक विशेषताएँ होने पर घातीय फिटिंग का उपयोग नहीं किया जाता है।
आइए एक्सेल में एक घातांकीय ट्रेंड लाइन बनाएं। आइए, उदाहरण के लिए, क्षेत्र X में उत्पादक बिजली आपूर्ति के सशर्त मान लें:
हम एक शेड्यूल बना रहे हैं. एक घातांकीय रेखा जोड़ें.
समीकरण इस प्रकार दिखता है:
y = 7.6403е^-0.084x
- जहां 7.6403 और -0.084 स्थिरांक हैं;
- ई प्राकृतिक लघुगणक का आधार है।
सन्निकटन विश्वसनीयता संकेतक 0.938 था - वक्र डेटा से मेल खाता है, त्रुटि न्यूनतम है, पूर्वानुमान सटीक होंगे।
एक्सेल में लॉगरिदमिक ट्रेंड लाइन
इसका उपयोग संकेतक में निम्नलिखित परिवर्तनों के लिए किया जाता है: पहले, तेजी से वृद्धि या कमी, फिर सापेक्ष स्थिरता। अनुकूलित वक्र मात्रा के इस "व्यवहार" के लिए अच्छी तरह से अनुकूल होता है। लघुगणक प्रवृत्ति किसी नए उत्पाद की बिक्री का पूर्वानुमान लगाने के लिए उपयुक्त है जिसे अभी बाज़ार में पेश किया गया है।
प्रारंभिक चरण में, निर्माता का कार्य ग्राहक आधार को बढ़ाना है। जब किसी उत्पाद का अपना खरीदार होता है, तो उसे बनाए रखने और परोसने की आवश्यकता होती है।
आइए एक ग्राफ बनाएं और एक सशर्त उत्पाद की बिक्री का पूर्वानुमान लगाने के लिए एक लघुगणकीय प्रवृत्ति रेखा जोड़ें:
R2 का मान 1 (0.9633) के करीब है, जो न्यूनतम सन्निकटन त्रुटि को इंगित करता है। आइए आगामी अवधियों में बिक्री की मात्रा का पूर्वानुमान लगाएं। ऐसा करने के लिए, आपको समीकरण में x के स्थान पर आवर्त संख्या को प्रतिस्थापित करना होगा।
उदाहरण के लिए:
| अवधि | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| पूर्वानुमान | 1005,4 | 1024,18 | 1041,74 | 1058,24 | 1073,8 | 1088,51 | 1102,47 |
पूर्वानुमानित आंकड़ों की गणना करने के लिए, फॉर्म का एक सूत्र उपयोग किया गया था: =272.14*एलएन(बी18)+287.21। जहाँ B18 आवर्त संख्या है।
एक्सेल में बहुपद प्रवृत्ति रेखा
इस वक्र की विशेषता परिवर्तनशील वृद्धि और कमी है। बहुपदों (बहुपदों) के लिए, डिग्री निर्धारित की जाती है (अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों की संख्या से)। उदाहरण के लिए, एक चरम (न्यूनतम और अधिकतम) दूसरी डिग्री है, दो चरम सीमा तीसरी डिग्री है, तीन चरम सीमा चौथी डिग्री है।
एक्सेल में बहुपद प्रवृत्ति का उपयोग अस्थिर मात्रा के बारे में डेटा के एक बड़े सेट का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। आइए मूल्यों के पहले सेट (तेल की कीमतें) का उदाहरण देखें।
सन्निकटन विश्वसनीयता (0.9256) का ऐसा मान प्राप्त करने के लिए, इसे डिग्री 6 पर सेट करना आवश्यक था।
लेकिन यह प्रवृत्ति हमें कमोबेश सटीक पूर्वानुमान लगाने की अनुमति देती है।
23. रैखिक प्रवृत्ति मापदंडों की गणना।
मुख्य विकास प्रवृत्ति (प्रवृत्ति) समय के साथ किसी घटना के स्तर में यादृच्छिक उतार-चढ़ाव से मुक्त एक सहज और स्थिर परिवर्तन है।
कार्य विभिन्न यादृच्छिक कारकों की कार्रवाई से मुक्त होकर, श्रृंखला के स्तरों में परिवर्तन में एक सामान्य प्रवृत्ति की पहचान करना है। इस प्रयोजन के लिए, समय श्रृंखला को अंतराल विस्तार, चलती औसत और विश्लेषणात्मक संरेखण के तरीकों का उपयोग करके संसाधित किया जाता है।
*समय श्रृंखला में मुख्य प्रवृत्ति का अध्ययन करने के लिए सबसे सरल तरीकों में से एक अंतराल को बढ़ाना है। यह समय अवधि के विस्तार पर आधारित है, जिसमें गतिशीलता श्रृंखला के स्तर शामिल हैं (साथ ही, अंतराल की संख्या घट जाती है)। उदाहरण के लिए, दैनिक उत्पादन आउटपुट की एक श्रृंखला को मासिक उत्पादन आउटपुट की एक श्रृंखला द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, आदि। बढ़े हुए अंतरालों पर गणना की गई औसत, मुख्य विकास प्रवृत्ति की दिशा और प्रकृति (विकास में तेजी या मंदी) की पहचान करना संभव बनाती है।
* चलती औसत पद्धति का उपयोग करके मुख्य प्रवृत्ति की पहचान भी की जा सकती है। इसका सार इस तथ्य में निहित है कि औसत स्तर की गणना एक निश्चित संख्या से की जाती है, आमतौर पर विषम (3, 5, 7, आदि), श्रृंखला के पहले स्तरों से, फिर समान स्तरों से, लेकिन दूसरे से शुरू करके , फिर - तीसरे से शुरू करना, आदि। इस प्रकार, औसत "स्लाइड" गतिशीलता श्रृंखला के साथ, एक पद से आगे बढ़ता है।
पंक्ति के आरंभ और अंत में दो सदस्यों के लिए। यह वास्तविक कारणों की तुलना में यादृच्छिक कारणों से उतार-चढ़ाव के प्रति कम संवेदनशील है, और अधिक स्पष्ट रूप से, ग्राफ़ पर एक चिकनी रेखा के रूप में, अध्ययन के तहत अवधि में उत्पादकता वृद्धि की मुख्य प्रवृत्ति को व्यक्त करता है, जो लंबे समय की कार्रवाई से जुड़ा है। विकास के कारण और शर्तें।
किसी श्रृंखला को सुचारू करने का नुकसान वास्तविक श्रृंखला की तुलना में चिकनी श्रृंखला का "छोटा" होना है, और इसलिए जानकारी का नुकसान होता है।
समय श्रृंखला को सुचारू करने की सुविचारित विधियाँ (अंतराल का विस्तार और चलती औसत विधि) केवल घटना के विकास की सामान्य प्रवृत्ति को निर्धारित करना संभव बनाती हैं, कमोबेश यादृच्छिक और तरंग जैसी उतार-चढ़ाव से मुक्त होती हैं। हालाँकि, इन विधियों का उपयोग करके एक सामान्यीकृत सांख्यिकीय प्रवृत्ति मॉडल प्राप्त करना असंभव है।
*समय के साथ समय श्रृंखला के स्तरों में परिवर्तन की मुख्य प्रवृत्ति को व्यक्त करने वाला एक मात्रात्मक मॉडल प्रदान करने के लिए, समय श्रृंखला के विश्लेषणात्मक संरेखण का उपयोग किया जाता है।
जहां yt समय श्रृंखला के स्तर हैं जिनकी गणना समय t पर संबंधित विश्लेषणात्मक समीकरण का उपयोग करके की जाती है।
Yt के सैद्धांतिक (गणना किए गए) स्तर तथाकथित पर्याप्त गणितीय मॉडल के आधार पर निर्धारित किए जाते हैं, जो गतिशीलता श्रृंखला की मुख्य प्रवृत्ति को सर्वोत्तम रूप से दर्शाता (अनुमानित) करता है। मॉडल के प्रकार का चुनाव अध्ययन के उद्देश्य पर निर्भर करता है और यह एक सैद्धांतिक विश्लेषण पर आधारित होना चाहिए जो घटना के विकास की प्रकृति के साथ-साथ गतिशीलता की एक श्रृंखला (रेखा आरेख) के ग्राफिकल प्रतिनिधित्व को प्रकट करता है।
उदाहरण के लिए, विकास की प्रवृत्ति को व्यक्त करने वाले सबसे सरल मॉडल (सूत्र) हैं:
रैखिक फलन - सीधी रेखा yt = a0 + a1t,
जहां a0,a1 समीकरण के पैरामीटर हैं; टी - समय;
घातांकीय फलन yt = A0A1t
शक्ति फलन - द्वितीय क्रम वक्र (परवलय)
ऐसे मामलों में जहां विकास की प्रवृत्ति का विशेष रूप से सटीक अध्ययन आवश्यक है (उदाहरण के लिए, पूर्वानुमान के लिए एक प्रवृत्ति मॉडल), पर्याप्त फ़ंक्शन के प्रकार का चयन करते समय गणितीय आंकड़ों के विशेष मानदंड का उपयोग किया जा सकता है।
फ़ंक्शन मापदंडों की गणना आमतौर पर न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके की जाती है, जिसमें सैद्धांतिक और अनुभवजन्य स्तरों के बीच वर्ग विचलन के योग का न्यूनतम बिंदु समाधान के रूप में लिया जाता है:
जहां yt - बराबर (गणना) स्तर; yt - वास्तविक स्तर।
समीकरण ए, - के पैरामीटर, इस स्थिति को संतुष्ट करते हुए, सामान्य समीकरणों की एक प्रणाली को हल करके पाया जा सकता है। पाए गए रुझान समीकरण के आधार पर, समान स्तरों की गणना की जाती है। इस प्रकार, गतिशीलता की एक श्रृंखला के संरेखण में y के वास्तविक स्तरों को प्रतिस्थापित करना शामिल है, - y के सुचारू रूप से बदलते स्तरों के साथ, जो सांख्यिकीय डेटा का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है।
स्ट्रेट लेवलिंग का उपयोग, एक नियम के रूप में, उन मामलों में किया जाता है जहां पूर्ण वृद्धि व्यावहारिक रूप से स्थिर होती है, अर्थात, जब स्तर अंकगणितीय प्रगति (या इसके करीब) में बदलते हैं।
घातीय फ़ंक्शन का उपयोग करके संरेखण का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां श्रृंखला ज्यामितीय प्रगति में विकास को दर्शाती है, यानी, जब श्रृंखला वृद्धि गुणांक व्यावहारिक रूप से स्थिर होते हैं।
आइए गतिशीलता श्रृंखला को एक सीधी रेखा में संरेखित करने की "तकनीक" पर विचार करें: yt=a0+a1t
न्यूनतम वर्ग विधि के अनुसार पैरामीटर a0, a1 स्थिति के बीजगणितीय परिवर्तन द्वारा प्राप्त सामान्य समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करके पाए जाते हैं
जहां y श्रृंखला के वास्तविक (अनुभवजन्य) स्तर हैं; टी - समय (समय में किसी अवधि या क्षण की क्रमिक संख्या)।
आइए कैलकुलेटर का उपयोग करके निम्नलिखित डेटा (तालिका देखें) के आधार पर प्रवृत्ति समीकरण के मापदंडों की विस्तृत गणना का एक उदाहरण दिखाएं।
रैखिक प्रवृत्ति समीकरण y = at + b है।
1. न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके समीकरण के पैरामीटर ज्ञात करें.
न्यूनतम वर्गों के समीकरणों की प्रणाली:
ए 0 एन + ए 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
| टी | य | टी 2 | य 2 | टी वाई | वाई(टी) | (y-y cp) 2 | (y-y(t)) 2 | (टी-टी पी) 2 | (y-y(t)) : y |
| 1 | 17.4 | 1 | 302.76 | 17.4 | 12.26 | 895.01 | 26.47 | 30.25 | 0.3 |
| 2 | 26.9 | 4 | 723.61 | 53.8 | 18.63 | 416.84 | 68.39 | 20.25 | 0.31 |
| 3 | 23 | 9 | 529 | 69 | 25 | 591.3 | 4.02 | 12.25 | 0.0872 |
| 4 | 23.7 | 16 | 561.69 | 94.8 | 31.38 | 557.75 | 58.98 | 6.25 | 0.32 |
| 5 | 27.2 | 25 | 739.84 | 136 | 37.75 | 404.68 | 111.4 | 2.25 | 0.39 |
| 6 | 34.5 | 36 | 1190.25 | 207 | 44.13 | 164.27 | 92.72 | 0.25 | 0.28 |
| 7 | 50.7 | 49 | 2570.49 | 354.9 | 50.5 | 11.45 | 0.0383 | 0.25 | 0.0039 |
| 8 | 61.4 | 64 | 3769.96 | 491.2 | 56.88 | 198.34 | 20.44 | 2.25 | 0.0736 |
| 9 | 69.3 | 81 | 4802.49 | 623.7 | 63.25 | 483.27 | 36.56 | 6.25 | 0.0872 |
| 10 | 94.4 | 100 | 8911.36 | 944 | 69.63 | 2216.84 | 613.62 | 12.25 | 0.26 |
| 11 | 61.1 | 121 | 3733.21 | 672.1 | 76 | 189.98 | 222.11 | 20.25 | 0.24 |
| 12 | 78.2 | 144 | 6115.24 | 938.4 | 82.38 | 953.78 | 17.46 | 30.25 | 0.0534 |
| 78 | 567.8 | 650 | 33949.9 | 4602.3 | 567.8 | 7083.5 | 1272.21 | 143 | 2.41 |
हमारे डेटा के लिए, समीकरणों की प्रणाली का रूप है:
12ए 0 + 78ए 1 = 567.8
78ए 0 + 650ए 1 = 4602.3
पहले समीकरण से हम 0 व्यक्त करते हैं और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं
हमें 0 = 6.37, 1 = 5.88 मिलता है
नोट: कॉलम नंबर 6 y(t) के मानों की गणना प्राप्त प्रवृत्ति समीकरण के आधार पर की जाती है। उदाहरण के लिए, t = 1: y(1) = 6.37*1 + 5.88 = 12.26
प्रवृत्ति समीकरण
y = 6.37 t + 5.88आइए पूर्ण सन्निकटन त्रुटि का उपयोग करके प्रवृत्ति समीकरण की गुणवत्ता का मूल्यांकन करें।
चूँकि त्रुटि 15% से अधिक है, इसलिए इस समीकरण को प्रवृत्ति के रूप में उपयोग करना उचित नहीं है।
औसत मान: 
फैलाव 
मानक विचलन
लोच गुणांक 
लोच गुणांक 1 से कम है। इसलिए, यदि X में 1% परिवर्तन होता है, तो Y में 1% से कम परिवर्तन होगा। दूसरे शब्दों में, Y पर X का प्रभाव महत्वपूर्ण नहीं है।
निर्धारण गुणांक 
वे। 82.04% मामलों में यह डेटा परिवर्तनों को प्रभावित करता है। दूसरे शब्दों में, प्रवृत्ति समीकरण के चयन की सटीकता अधिक है
2. प्रवृत्ति समीकरण के मापदंडों के अनुमान निर्धारित करने की सटीकता का विश्लेषण.
समीकरण त्रुटि विचरण.
जहां m = 1 ट्रेंड मॉडल में प्रभावित करने वाले कारकों की संख्या है।
समीकरण की मानक त्रुटि.
3. रेखीय प्रवृत्ति समीकरण के गुणांकों के संबंध में परिकल्पनाओं का परीक्षण.
1) टी-सांख्यिकी। विद्यार्थी का टी टेस्ट.
विद्यार्थी की तालिका का उपयोग करके हम Ttable पाते हैं
टी तालिका (एनएम-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228
>
गुणांक a 0 के सांख्यिकीय महत्व की पुष्टि की गई है। पैरामीटर अनुमान 0 महत्वपूर्ण है और समय श्रृंखला में एक प्रवृत्ति है।
गुणांक 1 के सांख्यिकीय महत्व की पुष्टि नहीं की गई है।
प्रवृत्ति समीकरण गुणांकों के लिए विश्वास अंतराल.
आइए हम प्रवृत्ति गुणांकों के विश्वास अंतराल का निर्धारण करें, जो 95% की विश्वसनीयता के साथ इस प्रकार होगा:
(ए 1 - टी ओब्स एस ए 1; ए 1 + टी ओब्स एस ए 1)
(6.375 - 2.228*0.943; 6.375 + 2.228*0.943)
(4.27;8.48)
(a 0 - t obs S a 0 ;a 0 + t obs S a 0)
(5.88 - 2.228*6.942; 5.88 + 2.228*6.942)
(-9.59;21.35)
चूंकि बिंदु 0 (शून्य) आत्मविश्वास अंतराल के अंदर स्थित है, इसलिए गुणांक 0 का अंतराल अनुमान सांख्यिकीय रूप से महत्वहीन है।
2) एफ-सांख्यिकी। फिशर मानदंड. 
एफकेपी = 4.84
चूँकि F > Fkp, निर्धारण का गुणांक सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है
अवशेषों के स्वत:सहसंबंध की जाँच करना.
ओएलएस का उपयोग करके गुणात्मक प्रतिगमन मॉडल के निर्माण के लिए एक महत्वपूर्ण शर्त अन्य सभी अवलोकनों में विचलन के मूल्यों से यादृच्छिक विचलन के मूल्यों की स्वतंत्रता है। यह सुनिश्चित करता है कि किसी भी विचलन के बीच और विशेष रूप से आसन्न विचलन के बीच कोई संबंध नहीं है।
स्वसहसंबंध (क्रमिक सहसंबंध)इसे समय (समय श्रृंखला) या स्थान (क्रॉस श्रृंखला) में क्रमबद्ध प्रेक्षित संकेतकों के बीच सहसंबंध के रूप में परिभाषित किया गया है। समय श्रृंखला डेटा का उपयोग करते समय प्रतिगमन विश्लेषण में अवशेषों (विचरण) का स्वत: सहसंबंध आम है और क्रॉस-अनुभागीय डेटा का उपयोग करते समय बहुत दुर्लभ है।
आर्थिक समस्याओं में यह बहुत अधिक सामान्य है सकारात्मक स्वसहसंबंध, इसके बजाय नकारात्मक स्वसहसंबंध. ज्यादातर मामलों में, सकारात्मक ऑटोसहसंबंध मॉडल में ध्यान में नहीं रखे गए कुछ कारकों के दिशात्मक निरंतर प्रभाव के कारण होता है।
नकारात्मक स्वसहसंबंधवास्तव में इसका मतलब यह है कि एक सकारात्मक विचलन के बाद एक नकारात्मक विचलन आता है और इसके विपरीत। यदि मौसमी आंकड़ों (सर्दी-गर्मी) के अनुसार शीतल पेय की मांग और आय के बीच समान संबंध पर विचार किया जाए तो यह स्थिति उत्पन्न हो सकती है।
के बीच स्वसहसंबंध उत्पन्न करने वाले मुख्य कारण, निम्नलिखित को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:
1. विशिष्टता त्रुटियाँ. मॉडल में किसी भी महत्वपूर्ण व्याख्यात्मक चर को ध्यान में रखने में विफलता या निर्भरता के रूप की गलत पसंद आमतौर पर प्रतिगमन रेखा से अवलोकन बिंदुओं के प्रणालीगत विचलन की ओर ले जाती है, जिससे स्वत: सहसंबंध हो सकता है।
2. जड़ता. कई आर्थिक संकेतक (मुद्रास्फीति, बेरोजगारी, जीएनपी, आदि) में व्यावसायिक गतिविधि की उतार-चढ़ाव से जुड़ी एक निश्चित चक्रीय प्रकृति होती है। इसलिए, संकेतकों में परिवर्तन तुरंत नहीं होता है, बल्कि एक निश्चित जड़ता होती है।
3. मकड़ी का जाला प्रभाव. कई उत्पादन और अन्य क्षेत्रों में, आर्थिक संकेतक देरी (समय अंतराल) के साथ आर्थिक स्थितियों में बदलाव पर प्रतिक्रिया करते हैं।
4. डेटा स्मूथिंग। अक्सर, एक निश्चित लंबी अवधि के लिए डेटा उसके घटक अंतराल पर डेटा के औसत से प्राप्त किया जाता है। इससे विचाराधीन अवधि के दौरान होने वाले उतार-चढ़ाव में कुछ हद तक कमी आ सकती है, जो बदले में स्वत: सहसंबंध का कारण बन सकता है।
स्वसहसंबंध के परिणाम भी उन्हीं के समान होते हैं विषमलैंगिकता: टी- और एफ-सांख्यिकी से निष्कर्ष जो प्रतिगमन गुणांक और निर्धारण के गुणांक के महत्व को निर्धारित करते हैं, गलत हो सकते हैं।
स्वत:सहसंबंध का पता लगाना
1. ग्राफिक विधि
स्वतःसहसंबंध को ग्राफ़िक रूप से परिभाषित करने के लिए कई विकल्प हैं। उनमें से एक विचलन ई को उनकी प्राप्ति के क्षणों के साथ जोड़ता है। इस मामले में, या तो सांख्यिकीय डेटा प्राप्त करने का समय या अवलोकन की क्रम संख्या को एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और विचलन ईआई (या विचलन का अनुमान) कोर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है।
यह मानना स्वाभाविक है कि यदि विचलनों के बीच एक निश्चित संबंध है, तो स्वत: सहसंबंध होता है। निर्भरता की अनुपस्थिति सबसे अधिक संभावना स्वसहसंबंध की अनुपस्थिति का संकेत देगी।
यदि आप e i-1 पर e i की निर्भरता को आलेखित करते हैं तो स्वत:सहसंबंध अधिक स्पष्ट हो जाता है
डर्बिन-वाटसन परीक्षण.
यह मानदंड स्वसहसंबंध का पता लगाने के लिए सबसे प्रसिद्ध है।
प्रतिगमन समीकरणों का सांख्यिकीय विश्लेषण करते समय, प्रारंभिक चरण में अक्सर एक शर्त की व्यवहार्यता की जाँच की जाती है: एक दूसरे से विचलन की सांख्यिकीय स्वतंत्रता के लिए शर्तें। इस मामले में, पड़ोसी मूल्यों की असंबद्धता की जाँच की जाती है।
| य | वाई(एक्स) | ई आई = वाई-वाई(एक्स) | ई 2 | (ई आई - ई आई-1) 2 |
| 17.4 | 12.26 | 5.14 | 26.47 | 0 |
| 26.9 | 18.63 | 8.27 | 68.39 | 9.77 |
| 23 | 25 | -2 | 4.02 | 105.57 |
| 23.7 | 31.38 | -7.68 | 58.98 | 32.2 |
| 27.2 | 37.75 | -10.55 | 111.4 | 8.26 |
| 34.5 | 44.13 | -9.63 | 92.72 | 0.86 |
| 50.7 | 50.5 | 0.2 | 0.0384 | 96.53 |
| 61.4 | 56.88 | 4.52 | 20.44 | 18.71 |
| 69.3 | 63.25 | 6.05 | 36.56 | 2.33 |
| 94.4 | 69.63 | 24.77 | 613.62 | 350.63 |
| 61.1 | 76 | -14.9 | 222.11 | 1574.09 |
| 78.2 | 82.38 | -4.18 | 17.46 | 115.03 |
| 1272.21 | 2313.98 |
विचलनों के सहसंबंध का विश्लेषण करने के लिए, उपयोग करें डर्बिन-वाटसन आँकड़े:
महत्वपूर्ण मान d 1 और d 2 आवश्यक महत्व स्तर α, अवलोकनों की संख्या n = 12 और व्याख्यात्मक चर की संख्या m = 1 के लिए विशेष तालिकाओं के आधार पर निर्धारित किए जाते हैं।
यदि निम्नलिखित शर्त पूरी होती है तो कोई स्वत: सहसंबंध नहीं है:
घ 1< DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .
तालिकाओं का संदर्भ लिए बिना, आप एक अनुमानित नियम का उपयोग कर सकते हैं और मान सकते हैं कि 1.5 होने पर अवशेषों का कोई स्वत: सहसंबंध नहीं है< DW < 2.5. Поскольку 1.5 < 1.82 < 2.5, то автокорреляция остатков अनुपस्थित.
अधिक विश्वसनीय निष्कर्ष के लिए, सारणीबद्ध मूल्यों को संदर्भित करना उचित है।
n=12 और k=1 (5% महत्व स्तर) के लिए डर्बिन-वाटसन तालिका का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं: d 1 = 1.08; डी2 = 1.36.
1.08 से< 1.82 и 1.36 < 1.82 < 4 - 1.36, то автокорреляция остатков अनुपस्थित.
विषमलैंगिकता की जाँच करना.
1)अवशेषों के चित्रमय विश्लेषण द्वारा.
इस मामले में, व्याख्यात्मक चर
यदि विचलनों के बीच एक निश्चित संबंध है, तो विषमलैंगिकता उत्पन्न होती है। निर्भरता की अनुपस्थिति सबसे अधिक संभावना विषमलैंगिकता की अनुपस्थिति का संकेत देगी।
2) स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध परीक्षण का उपयोग करना.
स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध गुणांक.
आइए फीचर Y और कारक X को रैंक निर्दिष्ट करें। वर्गों d 2 के अंतर का योग ज्ञात करें।
सूत्र का उपयोग करके, हम स्पीयरमैन रैंक सहसंबंध गुणांक की गणना करते हैं। 
| टी | ई मैं | रैंक एक्स, डी एक्स | रैंक ई मैं , डी वाई | (डी एक्स - डी वाई) 2 |
| 1 | -5.14 | 1 | 4 | 9 |
| 2 | -8.27 | 2 | 2 | 0 |
| 3 | 2 | 3 | 7 | 16 |
| 4 | 7.68 | 4 | 9 | 25 |
| 5 | 10.55 | 5 | 11 | 36 |
| 6 | 9.63 | 6 | 10 | 16 |
| 7 | -0.2 | 7 | 6 | 1 |
| 8 | -4.52 | 8 | 5 | 9 | टी तालिका (एनएम-1;α/2) = (10;0.05/2) = 2.228
