गणित में समानता के बारे में सामान्य जानकारी प्राप्त करने के बाद, हम संक्षिप्त विषयों पर आगे बढ़ते हैं। इस लेख की सामग्री संख्यात्मक समानता के गुणों का एक विचार देगी।

संख्यात्मक समानता क्या है

प्राथमिक विद्यालय में पहली बार हम संख्यात्मक समानता का सामना करते हैं, जब हम संख्याओं और "समान" की अवधारणा से परिचित होते हैं। वे। सबसे आदिम संख्यात्मक समानताएं हैं: 2 = 2, 5 = 5, आदि। और अध्ययन के उस स्तर पर, हमने उन्हें "संख्यात्मक" निर्दिष्ट किए बिना, केवल समानताएं कहा, और उनमें एक मात्रात्मक या क्रमिक अर्थ रखा (जो प्राकृतिक संख्याएं ले जाती हैं)। उदाहरण के लिए, समीकरण 2 = 2 दो फूलों वाली एक छवि के अनुरूप होगा और प्रत्येक पर दो भौंरे बैठे होंगे। या, उदाहरण के लिए, दो कतारें, जहां वास्या और वान्या क्रम में दूसरे स्थान पर हैं।

जैसे ही अंकगणितीय संक्रियाओं का ज्ञान प्रकट होता है, संख्यात्मक समानताएँ अधिक जटिल हो जाती हैं: 5 + 7 \u003d 12; 6 - 1 = 5; 2 1 = 2; 21: 7 = 3, आदि। फिर समानताएँ होने लगती हैं, जिसकी रिकॉर्डिंग में विभिन्न प्रकार के संख्यात्मक भाव भाग लेते हैं। उदाहरण के लिए, (2 + 2) + 5 = 2 + (5 + 2); 4 (4 - (1 + 2)) + 12: 4 - 1 = 4 1 + 3 - 1, आदि। तब हम अन्य प्रकार की संख्याओं से परिचित होते हैं, और संख्यात्मक समानताएँ अधिक से अधिक रोचक और विविध होती जाती हैं।

परिभाषा 1

संख्यात्मक समानताएक समानता है, जिसके दोनों भाग संख्याओं और/या संख्यात्मक व्यंजकों से मिलकर बने हैं।

संख्यात्मक समानता के गुण

गणित में संख्यात्मक समानता के गुणों के महत्व को कम करना मुश्किल है: वे कई चीजों का आधार हैं, संख्यात्मक समानता के साथ काम करने के सिद्धांत, समाधान विधियों, सूत्रों के साथ काम करने के नियम और बहुत कुछ निर्धारित करते हैं। जाहिर है, वहाँ है संख्यात्मक समानता के गुणों के विस्तृत अध्ययन की आवश्यकता।

संख्यात्मक समानता के गुण बिल्कुल संगत हैं कि कैसे संख्याओं के साथ क्रियाओं को परिभाषित किया जाता है, साथ ही अंतर के माध्यम से समान संख्याओं की परिभाषा के साथ: संख्या एसंख्या के बराबर है बीकेवल जब अंतर ए-बीशून्य है। आगे प्रत्येक संपत्ति के विवरण में, हम इस संबंध का पता लगाएंगे।

संख्यात्मक समानता के मूल गुण

आइए तीन बुनियादी गुणों के साथ संख्यात्मक समानता के गुणों का अध्ययन शुरू करें जो सभी समानता में निहित हैं। हम संख्यात्मक समानता के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करते हैं:

• रिफ्लेक्सिविटी गुण: ए = ए;
• समरूपता संपत्ति: अगर ए = बी, तब बी = ए;
• पारगमन संपत्ति: अगर ए = बीऔर बी = सी, तब ए = सी, जहां ए , बी और सीमनमानी संख्या हैं।

परिभाषा 2

रिफ्लेक्सिविटी का गुण इस तथ्य को दर्शाता है कि एक संख्या स्वयं के बराबर है: उदाहरण के लिए, 6 = 6, - 3 = - 3, 4 3 7 = 4 3 7, आदि।

सबूत 1

समानता की वैधता को प्रदर्शित करना आसान है ए - ए = 0किसी भी संख्या के लिए ए:अंतर ए - एयोग के रूप में लिखा जा सकता है ए + (- ए), और संख्याओं का योग गुण हमें यह दावा करने का अवसर देता है कि कोई भी संख्या एकेवल विपरीत संख्या से मेल खाती है - ए, और उनका योग शून्य है।

परिभाषा 3

संख्यात्मक समानता के समरूपता गुण के अनुसार: यदि संख्या एसंख्या के बराबर है बी,
वह संख्या बीसंख्या के बराबर है ए. उदाहरण के लिए, 4 3 = 64 , तब 64 = 4 3 .

सबूत 2

आप इस गुण को संख्याओं के अंतर से न्यायोचित ठहरा सकते हैं। स्थिति ए = बीसमानता से मेल खाती है ए - बी = 0. आइए साबित करें कि बी - ए = 0.

चलो अंतर लिखते हैं बी ० एजैसा - (ए - बी), ऋण चिह्न से पहले कोष्ठक खोलने के नियम पर निर्भर करता है। व्यंजक के लिए नई प्रविष्टि - 0 है, और शून्य का विपरीत शून्य है। इस प्रकार, बी - ए = 0, इस तरह: बी = ए.

परिभाषा 4

संख्यात्मक समानता की पारगमनशीलता की संपत्ति बताती है कि दो संख्याएं एक दूसरे के बराबर होती हैं यदि वे एक साथ तीसरी संख्या के बराबर होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि 81 = 9 और 9 = 3 2 , तब 81 = 3 2 .

ट्रांजिटिविटी की संपत्ति भी संख्याओं के साथ संचालन के अंतर और गुणों के माध्यम से समान संख्याओं की परिभाषा से मेल खाती है। समानता ए = बीऔर बी = सीसमानता के अनुरूप ए - बी = 0और बी - सी = 0.

सबूत 3

आइए हम समानता साबित करें ए - सी = 0, जिससे संख्याओं की समानता का अनुसरण होगा एऔर सी. चूँकि किसी संख्या को शून्य में जोड़ने से वह संख्या स्वयं परिवर्तित नहीं होती है, तो एसीफॉर्म में लिखें ए + 0 - सी. शून्य के बजाय, हम विपरीत संख्याओं का योग प्रतिस्थापित करते हैं बीऔर बी, तो अंतिम अभिव्यक्ति बन जाती है: ए + (- बी + बी) - सी. आइए शर्तों को समूहीकृत करें: (ए - बी) + (बी - सी). कोष्ठक में अंतर शून्य के बराबर है, तो योग (ए - बी) + (बी - सी)शून्य है। इससे सिद्ध होता है कि जब ए - बी = 0और बी - सी = 0, समानता ए - सी = 0, कहाँ पे ए = सी.

संख्यात्मक समानता के अन्य महत्वपूर्ण गुण

ऊपर चर्चा की गई संख्यात्मक समानता के मुख्य गुण कई अतिरिक्त गुणों का आधार हैं जो अभ्यास के संदर्भ में काफी मूल्यवान हैं। आइए उन्हें सूचीबद्ध करें:

परिभाषा 5

संख्यात्मक समानता के दोनों भागों को जोड़ने (या घटाने) से, जो सत्य है, वही संख्या, हम सही संख्यात्मक समानता प्राप्त करते हैं। आइए इसे अक्षरशः लिखें: if ए = बी, कहाँ पे एऔर बीकुछ संख्याएँ हैं, तो ए + सी = बी + सीकिसी के लिए सी.

सबूत 4

औचित्य के रूप में, हम अंतर लिखते हैं (ए + सी) - (बी + सी).
इस एक्सप्रेशन को आसानी से फॉर्म में बदला जा सकता है (ए - बी) + (सी - सी).
से ए = बीशर्त से यह इस प्रकार है कि ए - बी = 0और सी - सी = 0, तब (ए - बी) + (सी - सी) = 0 + 0 = 0. यह साबित करता है कि (ए + सी) - (बी + सी) = 0, इस तरह, ए + सी = बी + सी;

परिभाषा 6

यदि सही संख्यात्मक समानता के दोनों भागों को किसी भी संख्या से गुणा किया जाता है या किसी संख्या से विभाजित किया जाता है जो शून्य के बराबर नहीं है, तो हमें सही संख्यात्मक समानता मिलती है।
आइए इसे शाब्दिक रूप से लिखें: कब ए = बी, तब ए सी = बी सीकिसी भी संख्या के लिए सी।अगर सी 0 तो और ए: सी = बी: सी.

सबूत 5

समानता सच है: ए सी - बी सी = (ए - बी) सी = 0 सी = 0, और इसका तात्पर्य उत्पादों की समानता से है एसीऔर बी सी. और एक गैर-शून्य संख्या c से भाग को 1 c के व्युत्क्रम से गुणा के रूप में लिखा जा सकता है;

परिभाषा 7

पर एऔर बी,शून्य से भिन्न और एक दूसरे के बराबर, उनके व्युत्क्रम भी समान होते हैं।
आइए लिखते हैं: जब a 0 , b ≠ 0 और ए = बी, तब 1 ए = 1 बी. चरम समानता साबित करना मुश्किल नहीं है: इस उद्देश्य के लिए, हम समानता के दोनों पक्षों को विभाजित करते हैं ए = बीउत्पाद के बराबर संख्या से एक बीऔर शून्य के बराबर नहीं।

हम कुछ गुणों को भी इंगित करते हैं जो सही संख्यात्मक समानता के संबंधित भागों के जोड़ और गुणा की अनुमति देते हैं:

परिभाषा 8

सही संख्यात्मक समानता के शब्द-दर-समय जोड़ के साथ, सही समानता प्राप्त की जाती है। यह गुण इस प्रकार लिखा गया है: if ए = बीऔर सी = डी, तब ए + सी = बी + डीकिसी भी संख्या के लिए a , b , c और डी.

सबूत 6

उपरोक्त गुणों के आधार पर इस उपयोगी संपत्ति की पुष्टि करना संभव है। हम जानते हैं कि वास्तविक समानता के दोनों पक्षों में कोई भी संख्या जोड़ी जा सकती है।
समानता की ओर ए = बीसंख्या जोड़ें सी, और समानता के लिए सी = डी- संख्या बी, परिणाम सही संख्यात्मक समानताएं होंगी: ए + सी = बी + सीऔर सी + बी = डी + बी. हम फॉर्म में आखिरी लिखते हैं: बी + सी = बी + डी. समानता से ए + सी = बी + सीऔर बी + सी = बी + डीसकर्मकता के गुण के अनुसार समानता इस प्रकार है ए + सी = बी + डी।जिसे साबित करने की जरूरत है।

यह स्पष्ट करना आवश्यक है कि शब्द दर शब्द न केवल दो वास्तविक संख्यात्मक समानताएं जोड़ना संभव है, बल्कि तीन या अधिक भी;

परिभाषा 7

अंत में, हम ऐसी संपत्ति का वर्णन करते हैं: दो सही संख्यात्मक समानता का पद-दर-वर्ष गुणन सही समानता देता है। आइए अक्षरों में लिखें: if ए = बीऔर सी = डी, तब ए सी = बी डी.

सबूत 7

इस संपत्ति का प्रमाण पिछले एक के प्रमाण के समान है। समीकरण के दोनों पक्षों को किसी भी संख्या से गुणा करें, गुणा करें ए = बीपर सी, ए सी = डीपर बी, हमें सही संख्यात्मक समानताएं मिलती हैं ए सी = बी सीऔर सी बी = डी बी. हम अंतिम को इस प्रकार लिखते हैं बी सी = बी डी. सकर्मकता का गुण समानता से संभव बनाता है ए सी = बी सीऔर बी सी = बी डीसमानता प्राप्त करें ए सी = बी डीजिसे हमें साबित करना था।

और फिर, हम स्पष्ट करते हैं कि यह गुण दो, तीन या अधिक संख्यात्मक समानता के लिए लागू होता है।
इस प्रकार, कोई लिख सकता है: if ए = बी, तब ए एन = बी एनकिसी भी संख्या के लिए एऔर बी, और कोई भी प्राकृतिक संख्या एन.

आइए स्पष्टता के लिए सभी विचारित गुणों को एकत्रित करके इस लेख को समाप्त करें:

यदि ए = बी, तो बी = ए।

यदि a = b और b = c , तो a = c ।

यदि ए = बी, तो ए + सी = बी + सी।

यदि ए = बी, तो ए सी = बी सी।

यदि ए = बी और सी ≠ 0, तो ए: सी = बी: सी।

यदि a = b , a = b , a 0 और b ≠ 0 , तो 1 a = 1 b ।

यदि a = b और c = d, तो a c = b d।

यदि a = b, तो a n = b n।

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का एक सामान्य विचार रखना गणित में समानता, हम इस मुद्दे के अधिक विस्तृत अध्ययन के लिए आगे बढ़ सकते हैं। इस लेख में, हम सबसे पहले बताएंगे कि संख्यात्मक समानताएं क्या हैं, और दूसरी बात, हम अध्ययन करेंगे।

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संख्यात्मक समानता क्या है?

संख्यात्मक समानता के साथ परिचित होना स्कूल में गणित के अध्ययन के प्रारंभिक चरण में शुरू होता है। यह आमतौर पर 1 से 9 तक की पहली संख्या ज्ञात होने के ठीक बाद ग्रेड 1 में होता है और "वही" वाक्यांश के अर्थ के बाद होता है। फिर पहली संख्यात्मक समानताएं दिखाई देती हैं, उदाहरण के लिए, 1 = 1, 3 = 3, आदि, जो इस स्तर पर आमतौर पर "संख्यात्मक" की स्पष्ट परिभाषा के बिना केवल समानताएं कहलाती हैं।

इस स्तर पर निर्दिष्ट प्रकार की समानता को मात्रात्मक या क्रमिक अर्थ दिया जाता है, जो इसमें अंतर्निहित है। उदाहरण के लिए, संख्यात्मक समीकरण 3=3 चित्र के अनुरूप है, जो एक पेड़ की दो शाखाओं को दर्शाता है, जिनमें से प्रत्येक पर 3 पक्षी बैठे हैं। या जब हमारे साथी पेट्या और कोल्या दो पंक्तियों में तीसरे स्थान पर हों।

अंकगणितीय संक्रियाओं का अध्ययन करने के बाद, संख्यात्मक समानता के अधिक विविध रिकॉर्ड दिखाई देते हैं, उदाहरण के लिए, 3+1=4, 7−2=5, 3 2=6, 8:4=2, आदि। इसके अलावा, एक और भी दिलचस्प रूप की संख्यात्मक समानताएं होने लगती हैं, जिसमें उनके भागों में विभिन्न भाग होते हैं, उदाहरण के लिए, (2+1)+3=2+(1+3) , 4 (4−(1+2))+12:4−1=4 1+3−1और जैसे। फिर अन्य प्रकार की संख्याओं के साथ एक परिचित होता है, और संख्यात्मक समानताएं अधिक से अधिक विविध हो जाती हैं।

तो, यह झाड़ी के चारों ओर हरा करने के लिए पर्याप्त है, यह संख्यात्मक समानता की परिभाषा देने का समय है:

परिभाषा।

संख्यात्मक समानताएक समानता है, जिसके दोनों भागों में संख्याएँ और/या संख्यात्मक व्यंजक हैं।

संख्यात्मक समानता के गुण

संख्यात्मक समानता के साथ काम करने के सिद्धांत उनके गुणों से निर्धारित होते हैं। और गणित में संख्यात्मक समानता के गुणों से बहुत कुछ जुड़ा हुआ है: समीकरणों को हल करने के गुणों और समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कुछ तरीकों से लेकर विभिन्न मात्राओं को जोड़ने वाले सूत्रों के साथ काम करने के नियमों तक। यह संख्यात्मक समानता के गुणों के विस्तृत अध्ययन की आवश्यकता की व्याख्या करता है।

संख्यात्मक समानता के गुण पूर्ण रूप से इस बात से सहमत हैं कि संख्याओं के साथ संचालन कैसे परिभाषित किया जाता है, और इसके साथ भी समझौता होता है अंतर के माध्यम से समान संख्याओं की परिभाषा: संख्या a, संख्या b के बराबर होती है यदि और केवल तभी जब अंतर a−b शून्य के बराबर हो। नीचे, प्रत्येक संपत्ति का वर्णन करते समय, हम इस संबंध का पता लगाएंगे।

संख्यात्मक समानता के मूल गुण

संख्यात्मक समानता के गुणों की समीक्षा तीन बुनियादी गुणों से शुरू होनी चाहिए जो बिना किसी अपवाद के सभी समानता की विशेषता हैं। इसलिए, संख्यात्मक समानता के मूल गुणयह:

• रिफ्लेक्सिविटी प्रॉपर्टी: ए = ए;
• सममिति गुण: यदि a=b , तो b=a ;
• और सकर्मकता गुण: यदि a=b और b=c , तो a=c ,

जहाँ a, b और c मनमाना संख्याएँ हैं।

संख्यात्मक समानता की रिफ्लेक्सिविटी संपत्ति इस तथ्य को संदर्भित करती है कि एक संख्या स्वयं के बराबर होती है। उदाहरण के लिए, 5=5 , −2=−2 , आदि।

यह दिखाना आसान है कि किसी भी संख्या a के लिए समानता a−a=0 सत्य है। वास्तव में, अंतर a−a को योग a+(−a) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, और संख्या जोड़ के गुणों से हम जानते हैं कि किसी भी संख्या के लिए एक अद्वितीय −a होता है, और विपरीत संख्याओं का योग शून्य के बराबर होता है। .

संख्यात्मक समानता का समरूपता गुण बताता है कि यदि संख्या a, संख्या b के बराबर है, तो संख्या b, संख्या a के बराबर है। उदाहरण के लिए, यदि 2 3 =8 (देखें), तो 8=2 3।

हम इस गुण को संख्याओं के अंतर से न्यायोचित ठहराते हैं। शर्त a=b समानता a−b=0 के संगत है। आइए हम दिखाते हैं कि b−a=0 । ऋण चिह्न से पहले कोष्ठक खोलने का नियम हमें अंतर b−a को −(a−b) के रूप में फिर से लिखने की अनुमति देता है, जो बदले में −0 के बराबर है, और शून्य के विपरीत संख्या शून्य है। इसलिए, b−a=0 , जिसका अर्थ है कि b=a ।

संख्यात्मक समानता की ट्रांजिटिविटी की संपत्ति बताती है कि दो संख्याएं बराबर होती हैं जब वे दोनों एक तीसरी संख्या के बराबर होती हैं। उदाहरण के लिए, यह समानता (देखें) और 4=2 2 का अनुसरण करता है।

यह गुण अंतर के माध्यम से समान संख्याओं की परिभाषा और संख्याओं के साथ संचालन के गुणों के अनुरूप भी है। दरअसल, समानताएं a=b और b=c समानताएं a−b=0 और b−c=0 के अनुरूप हैं। आइए दिखाते हैं कि a−c=0 , जहां से यह अनुसरण करेगा कि संख्याएं a और c बराबर हैं। चूंकि शून्य जोड़ने से संख्या नहीं बदलती है, a−c को a+0−c के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। शून्य को विपरीत संख्याओं −b और b के योग से बदल दिया जाता है, जबकि अंतिम व्यंजक a+(−b+b)−c का रूप लेता है। अब हम पदों को इस प्रकार समूहित कर सकते हैं: (a−b)+(b−c) । और कोष्ठक में अंतर शून्य हैं, इसलिए योग (a−b)+(b−c) शून्य के बराबर है। यह साबित करता है कि, शर्त के तहत a−b=0 और b−c=0, समानता a−c=0 धारण करती है, जहां से a=c ।

अन्य महत्वपूर्ण गुण

पिछले पैराग्राफ में विश्लेषण किए गए संख्यात्मक समानता के मुख्य गुणों से, मूर्त व्यावहारिक मूल्य वाले कई गुण अनुसरण करते हैं। आइए उन्हें तोड़ दें।

आइए इस गुण से शुरू करें: यदि आप एक वास्तविक संख्यात्मक समानता के दोनों भागों में समान संख्या जोड़ते हैं (या घटाते हैं), तो आपको एक वास्तविक संख्यात्मक समानता प्राप्त होती है। अक्षरों का प्रयोग करते हुए, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: यदि a=b , जहाँ a और b कुछ संख्याएँ हैं, तो a+c=b+c किसी भी संख्या c के लिए।

औचित्य के लिए, हम अंतर (a+c)−(b+c) की रचना करते हैं। इसे (a−b)+(c−c) रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। चूंकि a=b परंपरा के अनुसार, फिर a−b=0 , और c−c=0 , इसलिए (a−b)+(c−c)=0+0=0 । यह साबित करता है कि (a+c)−(b+c)=0 , इसलिए a+c=b+c ।

हम और आगे जाते हैं: यदि एक वास्तविक संख्यात्मक समानता के दोनों भागों को किसी संख्या से गुणा किया जाता है या एक गैर-शून्य संख्या से विभाजित किया जाता है, तो हमें सही संख्यात्मक समानता मिलती है। अर्थात्, यदि a=b , तो a c=b c किसी भी संख्या c के लिए, और यदि c एक गैर-शून्य संख्या है, तो a:c=b:c ।

दरअसल, a·c−b·c=(a−b)·c=0·c=0 , जिसका अर्थ है कि a·c और b·c के गुणनफल बराबर हैं। और एक गैर-शून्य संख्या c से भाग को 1/c से गुणा करने के रूप में माना जा सकता है।

संख्यात्मक समानता के विश्लेषण किए गए गुण से, एक उपयोगी परिणाम इस प्रकार है: यदि a और b शून्य और समान संख्याओं से भिन्न हैं, तो उनके व्युत्क्रम भी समान हैं। अर्थात्, यदि a≠0 , b≠0 और a=b , तो 1/a=1/b । अंतिम समानता को साबित करना आसान है: इसके लिए, मूल समानता के दोनों भागों a=b को उत्पाद a b के बराबर एक गैर-शून्य संख्या से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है।

और आइए दो और गुणों पर ध्यान दें जो हमें सही संख्यात्मक समानता के संगत भागों को जोड़ने और गुणा करने की अनुमति देते हैं।

यदि आप पदों के अनुसार सही संख्यात्मक समानताएं जोड़ते हैं, तो आपको सही समानता मिलती है। अर्थात्, यदि a=b और c=d , तो a+c=b+d किसी भी संख्या a , b , c और d के लिए।

आइए हम पहले से ज्ञात गुणों से शुरू करके, संख्यात्मक समानता की इस संपत्ति को सही ठहराते हैं। यह ज्ञात है कि हम वास्तविक समानता के दोनों भागों में कोई भी संख्या जोड़ सकते हैं। समानता a=b में हम संख्या c जोड़ते हैं, और समानता c+d में हम संख्या b जोड़ते हैं, परिणामस्वरूप हमें सही संख्यात्मक समानताएं a+c=b+c और c+b=d+b मिलती हैं, जिनमें से अंतिम हम b+c= b+d के रूप में फिर से लिखते हैं। समानता a+c=b+c और b+c=b+d से, पारगमन की संपत्ति से, समानता a+c=b+d अनुसरण करती है, जिसे सिद्ध किया जाना था।

ध्यान दें कि न केवल दो सही संख्यात्मक समानताएं, बल्कि तीन, और चार, और उनमें से किसी भी सीमित संख्या में शब्द को जोड़ना संभव है।

हम निम्नलिखित संपत्ति के साथ संख्यात्मक समानता के गुणों की समीक्षा पूरी करते हैं: यदि हम दो सही संख्यात्मक समानता शब्दों को पद से गुणा करते हैं, तो हमें सही समानता मिलती है। आइए इसे औपचारिक रूप से तैयार करें: यदि a=b और c=d , तो a c=b d ।

इस संपत्ति का प्रमाण पिछले एक के प्रमाण के समान है। हम समानता के दोनों पक्षों को किसी भी संख्या से गुणा कर सकते हैं, a=b को c से गुणा कर सकते हैं, और c=d को b से गुणा कर सकते हैं, हमें सही संख्यात्मक समानताएं a c=b c और c b=d b मिलती हैं, जिनमें से अंतिम को हम b c=b d के रूप में फिर से लिखते हैं। . फिर, ट्रांजिटिविटी की संपत्ति से, समानताएं a·c=b·c और b·c=b·d आवश्यक समानता a·c=b·d का संकेत देती हैं।

ध्यान दें कि तीन या अधिक सही संख्यात्मक समानता के पद-दर-अवधि गुणन के लिए आवाज उठाई गई संपत्ति सही है। इस कथन से यह निकलता है कि यदि a=b , तो a n =b n किसी भी संख्या a और b के लिए, और कोई भी प्राकृत संख्या n ।

इस लेख के अंत में, हम संख्यात्मक समानता के सभी विश्लेषण किए गए गुणों को एक तालिका में लिखते हैं:

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और अब इस कार्य का विस्तार से विश्लेषण करते हैं।

पिरामिड में अगले सेल पर विचार करें।

हम जानते हैं कि 11 7 का योग है और एक अन्य अज्ञात संख्या है। जाहिर है, दूसरी संख्या 4 है, इसलिए हम पहली पंक्ति में दाईं ओर के सेल को भर सकते हैं।

पिरामिड में एक खाली सेल बची है। इसमें एक संख्या होनी चाहिए, जिसमें 7 को जोड़ने पर 12 प्राप्त हो। इस प्रकार। पहली पंक्ति में बाईं ओर खाली सेल में संख्या 5 होनी चाहिए।

दूसरी पंक्ति में कोशिकाओं पर विचार करें। योग में दो संख्याएँ होनी चाहिए जिनका योग 24 के बराबर होना चाहिए। साथ ही, ध्यान दें कि दूसरे कॉलम में वांछित दो संख्याएँ प्राप्त करने के लिए, आपको किसी अज्ञात संख्या में 3 और 5 जोड़ने की आवश्यकता है, जो कि है पहली पंक्ति के मध्य कक्ष में स्थित है, अर्थात, इन दो संख्याओं का अंतर 2 के बराबर होना चाहिए। संख्या 11 और 13 इन स्थितियों के लिए उपयुक्त हैं, क्योंकि 11 + 13 \u003d 24, और दूसरी ओर 13 - 11 \ u003d 2. इस प्रकार, हम दूसरी पंक्ति की कोशिकाओं को भर सकते हैं।

और यह पहली पंक्ति में अंतिम संख्या खोजने के लिए बनी हुई है। यह संख्या प्राप्त की जा सकती है यदि इसे 3 में जोड़ा जाता है और फिर हमें 11 मिलता है। इस प्रकार। यह संख्या 8 है।