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दिनांक: 05/10/2015

व्युत्पन्न कैसे खोजें?

विभेदीकरण के नियम.

किसी भी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको केवल तीन अवधारणाओं में महारत हासिल करने की आवश्यकता है:

2. विभेदीकरण के नियम.

3. एक जटिल फलन का व्युत्पन्न।

बिल्कुल उसी क्रम में. यह एक संकेत है.)

निःसंदेह, सामान्य रूप से डेरिवेटिव के बारे में जानकारी प्राप्त करना अच्छा होगा)। डेरिवेटिव क्या है और डेरिवेटिव की तालिका के साथ कैसे काम करना है, यह पिछले पाठ में स्पष्ट रूप से समझाया गया है। यहां हम विभेदीकरण के नियमों से निपटेंगे।

विभेदन व्युत्पन्न खोजने की क्रिया है। इस शब्द के पीछे और कुछ छिपा नहीं है. वे। अभिव्यक्ति "किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें"और "एक फ़ंक्शन को अलग करें"- यह एक ही है।

अभिव्यक्ति "भेदभाव के नियम"व्युत्पन्न खोजने को संदर्भित करता है अंकगणितीय संक्रियाओं से.यह समझ आपके दिमाग में भ्रम से बचने में बहुत मदद करती है।

आइए सभी, सभी, सभी अंकगणितीय परिचालनों पर ध्यान केंद्रित करें और याद रखें। उनमें से चार हैं)। जोड़ (योग), घटाव (अंतर), गुणा (उत्पाद), और भाग (भागफल)। यहाँ वे हैं, भेदभाव के नियम:

प्लेट से पता चलता है पाँचपर नियम चारअंकगणितीय आपरेशनस। मुझे कोई कमी नहीं आई।) यह सिर्फ इतना है कि नियम 4, नियम 3 का एक प्रारंभिक परिणाम है। लेकिन यह इतना लोकप्रिय है कि इसे एक स्वतंत्र सूत्र के रूप में लिखना (और याद रखना!) समझ में आता है।

पदनामों के अंतर्गत यूऔर वीकुछ (बिल्कुल कोई भी!) कार्य निहित हैं यू(एक्स)और वी(एक्स).

आइए कुछ उदाहरण देखें. पहला - सबसे सरल वाले.

फलन y=sinx - x 2 का अवकलज ज्ञात कीजिए

हम यहाँ है अंतरदो प्राथमिक कार्य. हम नियम 2 लागू करते हैं। हम मान लेंगे कि synx एक फलन है यू, और x 2 फ़ंक्शन है वीहमें लिखने का पूरा अधिकार है:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

यह बेहतर है, है ना?) जो कुछ बचा है वह साइन और एक्स के वर्ग के डेरिवेटिव को ढूंढना है। इस प्रयोजन के लिए डेरिवेटिव की एक तालिका है। हम केवल तालिका में उन कार्यों की तलाश करते हैं जिनकी हमें आवश्यकता है ( सिनक्सऔर एक्स 2), देखें कि उनके पास कौन से व्युत्पन्न हैं और उत्तर लिखें:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

इतना ही। योग विभेदन का नियम 1 बिल्कुल वैसा ही काम करता है।

यदि हमारे पास अनेक शर्तें हों तो क्या होगा? कोई बड़ी बात नहीं।) हम फ़ंक्शन को पदों में तोड़ते हैं और प्रत्येक पद के व्युत्पन्न को दूसरों से स्वतंत्र रूप से देखते हैं। उदाहरण के लिए:

फलन y=sinx - x 2 +cosx - x +3 का अवकलज ज्ञात कीजिए

हम साहसपूर्वक लिखते हैं:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

पाठ के अंत में मैं अंतर करते समय जीवन को आसान बनाने के लिए युक्तियाँ दूँगा।)

व्यावहारिक सुझाव:

1. विभेदीकरण से पहले, देखें कि क्या मूल कार्य को सरल बनाना संभव है।

2. जटिल उदाहरणों में, हम सभी कोष्ठकों और डैश के साथ समाधान का विस्तार से वर्णन करते हैं।

3. हर में एक स्थिर संख्या के साथ भिन्नों को अलग करते समय, हम विभाजन को गुणन में बदल देते हैं और नियम 4 का उपयोग करते हैं।

गणित में भौतिक समस्याओं या उदाहरणों को हल करना व्युत्पन्न और इसकी गणना करने की विधियों के ज्ञान के बिना पूरी तरह से असंभव है। गणितीय विश्लेषण में व्युत्पन्न सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। हमने आज का लेख इस मूलभूत विषय पर समर्पित करने का निर्णय लिया। व्युत्पन्न क्या है, इसका भौतिक और ज्यामितीय अर्थ क्या है, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना कैसे करें? इन सभी प्रश्नों को एक में जोड़ा जा सकता है: व्युत्पन्न को कैसे समझें?

व्युत्पन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ

एक समारोह हो जाये एफ(एक्स) , एक निश्चित अंतराल में निर्दिष्ट (ए, बी) . बिंदु x और x0 इस अंतराल से संबंधित हैं। जब x बदलता है, तो फ़ंक्शन स्वयं बदल जाता है। तर्क बदलना - उसके मूल्यों में अंतर x-x0 . यह अंतर इस प्रकार लिखा गया है डेल्टा एक्स और इसे तर्क वृद्धि कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन या वृद्धि दो बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों के बीच का अंतर है। व्युत्पन्न की परिभाषा:

किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है, जब तर्क शून्य हो जाता है।

अन्यथा इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ऐसी सीमा खोजने का क्या मतलब है? यहाँ यह है:

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न OX अक्ष और किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के बीच के कोण की स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ: समय के संबंध में पथ का व्युत्पन्न सरलरेखीय गति की गति के बराबर है।

दरअसल, स्कूल के दिनों से ही हर कोई जानता है कि गति एक विशेष मार्ग है x=f(t) और समय टी . एक निश्चित अवधि में औसत गति:

किसी समय में गति की गति का पता लगाना टी0 आपको सीमा की गणना करने की आवश्यकता है:

नियम एक: एक स्थिरांक निर्धारित करें

स्थिरांक को व्युत्पन्न चिन्ह से निकाला जा सकता है। इसके अलावा, यह किया जाना चाहिए. गणित में उदाहरण हल करते समय इसे एक नियम के रूप में लें - यदि आप किसी अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं, तो उसे सरल बनाना सुनिश्चित करें .

उदाहरण। आइए व्युत्पन्न की गणना करें:

नियम दो: कार्यों के योग का व्युत्पन्न

दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्नों के योग के बराबर होता है। कार्यों के अंतर के व्युत्पन्न के लिए भी यही सच है।

हम इस प्रमेय का प्रमाण नहीं देंगे, बल्कि एक व्यावहारिक उदाहरण पर विचार करेंगे।

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

नियम तीन: कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न

दो भिन्न कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

उदाहरण: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

समाधान:

यहां जटिल फलनों के व्युत्पन्नों की गणना के बारे में बात करना महत्वपूर्ण है। एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मध्यवर्ती तर्क के संबंध में इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है और स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न है।

उपरोक्त उदाहरण में हमें यह अभिव्यक्ति मिलती है:

इस मामले में, मध्यवर्ती तर्क पाँचवीं घात से 8x है। ऐसी अभिव्यक्ति के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हम पहले मध्यवर्ती तर्क के संबंध में बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करते हैं, और फिर स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं।

नियम चार: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न

दो फलनों के भागफल का अवकलज ज्ञात करने का सूत्र:

हमने शुरुआत से डमी के लिए डेरिवेटिव के बारे में बात करने की कोशिश की। यह विषय उतना सरल नहीं है जितना लगता है, इसलिए सावधान रहें: उदाहरणों में अक्सर खामियां होती हैं, इसलिए डेरिवेटिव की गणना करते समय सावधान रहें।

इस और अन्य विषयों पर किसी भी प्रश्न के लिए, आप छात्र सेवा से संपर्क कर सकते हैं। थोड़े समय में, हम आपको सबसे कठिन परीक्षा को हल करने और कार्यों को समझने में मदद करेंगे, भले ही आपने पहले कभी व्युत्पन्न गणना नहीं की हो।

इस पाठ में हम विभेदन के सूत्र और नियम लागू करना सीखेंगे।

उदाहरण। फ़ंक्शंस के व्युत्पन्न खोजें।

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. नियम लागू करना मैं, सूत्र 4, 2 और 1. हम पाते हैं:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. हम समान सूत्र और सूत्र का उपयोग करके समान रूप से हल करते हैं 3.

y'=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

नियम लागू करना मैं, सूत्र 3, 5 और 6 और 1.

नियम लागू करना चतुर्थ, सूत्र 5 और 1 .

पांचवे उदाहरण में नियम के अनुसार मैंयोग का व्युत्पन्न, व्युत्पन्नों के योग के बराबर है, और हमने अभी पहले पद का व्युत्पन्न पाया है (उदाहरण 4 ), इसलिए, हम डेरिवेटिव पाएंगे 2और 3निबंधन और प्रथम के लिएसारांश हम तुरंत परिणाम लिख सकते हैं।

आइए अंतर करें 2और 3सूत्र के अनुसार शर्तें 4 . ऐसा करने के लिए, हम हर में तीसरी और चौथी घातों की जड़ों को नकारात्मक घातांक वाली घातों में बदल देते हैं, और फिर, उसके अनुसार 4 सूत्र, हम शक्तियों के व्युत्पन्न पाते हैं।

इस उदाहरण और परिणाम को देखें. क्या आपने पैटर्न पकड़ लिया? अच्छा। इसका मतलब है कि हमारे पास एक नया फॉर्मूला है और हम इसे अपनी डेरिवेटिव तालिका में जोड़ सकते हैं।

आइए छठे उदाहरण को हल करें और दूसरा सूत्र निकालें।

आइए नियम का उपयोग करें चतुर्थऔर सूत्र 4 . आइए परिणामी भिन्नों को कम करें।

आइए इस फ़ंक्शन और इसके व्युत्पन्न को देखें। बेशक, आप पैटर्न को समझते हैं और सूत्र को नाम देने के लिए तैयार हैं:

नए सूत्र सीखना!

उदाहरण।

1. तर्क की वृद्धि और फ़ंक्शन y= की वृद्धि ज्ञात करें एक्स 2, यदि तर्क का प्रारंभिक मान बराबर था 4 , और नया - 4,01 .

समाधान।

नया तर्क मान एक्स=एक्स 0 +Δx. आइए डेटा को प्रतिस्थापित करें: 4.01=4+Δx, इसलिए तर्क में वृद्धि Δх=4.01-4=0.01. किसी फ़ंक्शन की वृद्धि, परिभाषा के अनुसार, फ़ंक्शन के नए और पिछले मानों के बीच अंतर के बराबर है, अर्थात। Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). चूंकि हमारे पास एक फ़ंक्शन है y=x2, वह Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

उत्तर: तर्क वृद्धि Δх=0.01; कार्य वृद्धि Δу=0,0801.

फ़ंक्शन वृद्धि अलग तरीके से पाई जा सकती है: Δय=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण ज्ञात करें y=f(x)बिंदु पर एक्स 0, अगर एफ "(एक्स 0) = 1.

समाधान।

स्पर्शरेखा के बिंदु पर व्युत्पन्न का मान एक्स 0और स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शरेखा का मान है (व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ)। हमारे पास है: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,क्योंकि tg45°=1.

उत्तर: इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के बराबर एक कोण बनाती है 45°.

3. फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र व्युत्पन्न करें y=xn.

भेदभावकिसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने की क्रिया है।

व्युत्पन्न ढूँढते समय, उन सूत्रों का उपयोग करें जो व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर प्राप्त किए गए थे, उसी तरह जैसे हमने व्युत्पन्न डिग्री के लिए सूत्र निकाला था: (x n)" = nx n-1.

ये सूत्र हैं.

डेरिवेटिव की तालिकामौखिक योगों का उच्चारण करने से याद रखना आसान हो जाएगा:

1. किसी अचर राशि का अवकलज शून्य होता है।

2. x अभाज्य एक के बराबर है.

3. अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है।

4. एक डिग्री का व्युत्पन्न समान आधार वाली एक डिग्री द्वारा इस डिग्री के घातांक के उत्पाद के बराबर होता है, लेकिन घातांक एक कम होता है।

5. एक मूल का व्युत्पन्न दो समान मूलों से विभाजित एक के बराबर होता है।

6. x से विभाजित एक का व्युत्पन्न x वर्ग से विभाजित शून्य से एक के बराबर है।

7. ज्या का व्युत्पन्न कोज्या के बराबर है।

8. कोसाइन का व्युत्पन्न माइनस साइन के बराबर है।

9. स्पर्शरेखा का अवकलज कोज्या के वर्ग से विभाजित एक के बराबर होता है।

10. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न ज्या के वर्ग से विभाजित ऋण एक के बराबर है।

हम पढ़ाते हैं विभेदन नियम.

1. बीजगणितीय योग का व्युत्पन्न पदों के व्युत्पन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

2. किसी उत्पाद का व्युत्पन्न पहले कारक के व्युत्पन्न के उत्पाद और दूसरे कारक के उत्पाद और पहले कारक के उत्पाद और दूसरे के व्युत्पन्न के बराबर होता है।

3. "y" का व्युत्पन्न "ve" से विभाजित करने पर एक भिन्न के बराबर होता है, जिसमें अंश "y अभाज्य को "ve" से गुणा करके "y को ve अभाज्य से गुणा करने पर" और हर को "ve वर्ग" कहा जाता है।

4. सूत्र का एक विशेष मामला 3.

आइए एक साथ सीखें!

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व्युत्पन्न गणना- डिफरेंशियल कैलकुलस में सबसे महत्वपूर्ण ऑपरेशनों में से एक। नीचे सरल कार्यों के व्युत्पन्न खोजने के लिए एक तालिका दी गई है। अधिक जटिल विभेदीकरण नियमों के लिए, अन्य पाठ देखें:

• घातांकीय और लघुगणकीय फलनों के व्युत्पन्नों की तालिका

दिए गए सूत्रों को संदर्भ मान के रूप में उपयोग करें। वे विभेदक समीकरणों और समस्याओं को हल करने में मदद करेंगे। चित्र में, सरल कार्यों के व्युत्पन्न की तालिका में, उपयोग के लिए समझने योग्य रूप में व्युत्पन्न खोजने के मुख्य मामलों की एक "चीट शीट" है, इसके आगे प्रत्येक मामले के लिए स्पष्टीकरण हैं।

सरल कार्यों के व्युत्पन्न

1. किसी संख्या का व्युत्पन्न शून्य है
с´ = 0
उदाहरण:
5´ = 0

स्पष्टीकरण:
व्युत्पन्न उस दर को दर्शाता है जिस पर किसी फ़ंक्शन का तर्क बदलने पर उसका मान बदलता है। चूँकि संख्या किसी भी परिस्थिति में किसी भी तरह से नहीं बदलती है, इसलिए इसके परिवर्तन की दर हमेशा शून्य होती है।

2. एक चर का व्युत्पन्नएक के बराबर
x´ = 1

स्पष्टीकरण:
तर्क (x) में प्रत्येक वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन का मान (गणना का परिणाम) उसी राशि से बढ़ता है। इस प्रकार, फ़ंक्शन y = x के मान में परिवर्तन की दर तर्क के मान में परिवर्तन की दर के बिल्कुल बराबर है।

3. एक चर और एक गुणनखंड का व्युत्पन्न इस गुणनखंड के बराबर होता है
сx´ = с
उदाहरण:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
स्पष्टीकरण:
इस मामले में, हर बार फ़ंक्शन तर्क बदलता है ( एक्स) इसका मान (y) बढ़ जाता है साथएक बार। इस प्रकार, तर्क के परिवर्तन की दर के संबंध में फ़ंक्शन मान के परिवर्तन की दर बिल्कुल मान के बराबर है साथ.

यह कहां से इसका अनुसरण करता है
(सीएक्स + बी)" = सी
अर्थात्, रैखिक फलन y=kx+b का अंतर रेखा (k) के ढलान के बराबर है।

4. एक चर का मॉड्यूलो व्युत्पन्नइस चर के भागफल के बराबर इसके मापांक के बराबर
|x|"= एक्स / |एक्स| बशर्ते कि x ≠ 0
स्पष्टीकरण:
चूंकि एक चर का व्युत्पन्न (सूत्र 2 देखें) एकता के बराबर है, मॉड्यूल का व्युत्पन्न केवल इसमें भिन्न होता है कि मूल बिंदु को पार करने पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का मान विपरीत में बदल जाता है (ग्राफ खींचने का प्रयास करें) फ़ंक्शन y = |x| का और स्वयं देखें कि यह वास्तव में क्या मान है और अभिव्यक्ति x / |x| लौटाता है< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - एक. अर्थात्, चर x के नकारात्मक मानों के लिए, तर्क में परिवर्तन में प्रत्येक वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन का मान बिल्कुल उसी मान से घट जाता है, और सकारात्मक मानों के लिए, इसके विपरीत, यह बढ़ता है, लेकिन ठीक से वही मूल्य.

5. एक चर से एक घात का व्युत्पन्नइस शक्ति की एक संख्या के उत्पाद के बराबर और एक से कम की गई शक्ति के लिए एक चर
(x c)"= cx c-1, बशर्ते कि x c और cx c-1 परिभाषित हों और c ≠ 0
उदाहरण:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
फार्मूला याद रखना:
चर की डिग्री को एक कारक के रूप में नीचे ले जाएँ, और फिर डिग्री को एक से कम कर दें। उदाहरण के लिए, x 2 के लिए - दोनों x से आगे थे, और फिर कम हुई शक्ति (2-1 = 1) ने हमें बस 2x दिया। x 3 के लिए भी यही हुआ - हम त्रिक को "नीचे ले जाते हैं", इसे एक से कम करते हैं और एक घन के बजाय हमारे पास एक वर्ग होता है, यानी 3x 2। थोड़ा "अवैज्ञानिक" लेकिन याद रखना बहुत आसान है।

6.भिन्न का व्युत्पन्न 1/x
(1/x)" = - 1/x 2
उदाहरण:
चूँकि एक अंश को नकारात्मक घात तक बढ़ाने के रूप में दर्शाया जा सकता है
(1/x)" = (x -1)", तो आप डेरिवेटिव की तालिका के नियम 5 से सूत्र लागू कर सकते हैं
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. भिन्न का व्युत्पन्न मनमानी डिग्री के एक चर के साथहर में
(1 / x सी)"= - सी/एक्स सी+1
उदाहरण:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. जड़ का व्युत्पन्न(वर्गमूल के अंतर्गत चर का व्युत्पन्न)
(√x)" = 1 / (2√x)या 1/2 x -1/2
उदाहरण:
(√x)" = (x 1/2)" का अर्थ है कि आप नियम 5 से सूत्र लागू कर सकते हैं
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. एक मनमानी डिग्री की जड़ के तहत एक चर का व्युत्पन्न
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)