निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटि

त्रुटि सिद्धांत के तत्व

सटीक और अनुमानित संख्या

जब संपूर्ण डेटा मान (2 पेंसिल, 100 पेड़) की बात आती है तो संख्या की सटीकता आमतौर पर संदेह में नहीं होती है। हालाँकि, ज्यादातर मामलों में, जब किसी संख्या का सटीक मान इंगित करना असंभव होता है (उदाहरण के लिए, किसी वस्तु को रूलर से मापते समय, किसी उपकरण से परिणाम लेते समय, आदि), तो हम अनुमानित डेटा के साथ काम कर रहे होते हैं।

अनुमानित मान एक ऐसी संख्या है जो सटीक मान से थोड़ा भिन्न होती है और गणना में इसे प्रतिस्थापित कर देती है। किसी संख्या का अनुमानित मान उसके सटीक मान से किस हद तक भिन्न होता है, इसकी विशेषता है गलती .

त्रुटि के निम्नलिखित मुख्य स्रोत प्रतिष्ठित हैं:

1. समस्या निरूपण में त्रुटियाँ, गणित के संदर्भ में एक वास्तविक घटना के अनुमानित विवरण के परिणामस्वरूप उत्पन्न होता है।

2. विधि त्रुटियाँ, किसी दी गई समस्या को हल करने और उसे एक समान समस्या से बदलने की कठिनाई या असंभवता से जुड़ा हुआ है, जैसे कि एक ज्ञात और सुलभ समाधान पद्धति को लागू करना और वांछित के करीब परिणाम प्राप्त करना संभव है।

3. घातक त्रुटियाँ, मूल डेटा के अनुमानित मूल्यों से जुड़ा हुआ है और अनुमानित संख्याओं पर गणना के प्रदर्शन के कारण है।

4. पूर्णांकन त्रुटियाँकम्प्यूटेशनल टूल का उपयोग करके प्राप्त प्रारंभिक डेटा, मध्यवर्ती और अंतिम परिणामों के मूल्यों को पूर्णांकित करने से जुड़ा हुआ है।

निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटि

त्रुटियों को ध्यान में रखना संख्यात्मक तरीकों के अनुप्रयोग का एक महत्वपूर्ण पहलू है, क्योंकि संपूर्ण समस्या को हल करने के अंतिम परिणाम में त्रुटि सभी प्रकार की त्रुटियों की परस्पर क्रिया का उत्पाद है। इसलिए, त्रुटि सिद्धांत का एक मुख्य कार्य स्रोत डेटा की सटीकता के आधार पर परिणाम की सटीकता का आकलन करना है।

यदि एक सटीक संख्या है और उसका अनुमानित मान है, तो अनुमानित मान की त्रुटि (त्रुटि) उसके मान की उसके सटीक मान से निकटता की डिग्री है।

त्रुटि का सबसे सरल मात्रात्मक माप पूर्ण त्रुटि है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

(1.1.2-1)

जैसा कि सूत्र 1.1.2-1 से देखा जा सकता है, पूर्ण त्रुटि में मान के समान माप की इकाइयाँ होती हैं। इसलिए, पूर्ण त्रुटि के परिमाण के आधार पर अनुमान की गुणवत्ता के बारे में सही निष्कर्ष निकालना हमेशा संभव नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यदि , और हम एक मशीन के हिस्से के बारे में बात कर रहे हैं, तो माप बहुत मोटे हैं, और अगर हम जहाज के आकार के बारे में बात कर रहे हैं, तो वे बहुत सटीक हैं। इस संबंध में, सापेक्ष त्रुटि की अवधारणा पेश की गई, जिसमें पूर्ण त्रुटि का मूल्य अनुमानित मूल्य के मॉड्यूल से संबंधित है ( ).

(1.1.2-2)

सापेक्ष त्रुटियों का उपयोग विशेष रूप से सुविधाजनक है, क्योंकि वे डेटा माप की मात्राओं और इकाइयों के पैमाने पर निर्भर नहीं होते हैं। सापेक्ष त्रुटि को भिन्न या प्रतिशत में मापा जाता है। तो, उदाहरण के लिए, यदि

,ए , वह , और अगर और ,

तो फिर .

किसी फ़ंक्शन की त्रुटि का संख्यात्मक अनुमान लगाने के लिए, आपको क्रियाओं की त्रुटि की गणना के लिए बुनियादी नियमों को जानना होगा:

· संख्याओं को जोड़ते और घटाते समय संख्याओं की पूर्ण त्रुटियाँ जुड़ती हैं

· संख्याओं को गुणा और भाग करते समय उनकी सापेक्ष त्रुटियाँ एक-दूसरे से जुड़ती हैं

· किसी अनुमानित संख्या को घात तक बढ़ाते समय इसकी सापेक्ष त्रुटि को घातांक से गुणा किया जाता है

उदाहरण 1.1.2-1. दिया गया फ़ंक्शन: . यदि मान हैं, तो मान की पूर्ण और सापेक्ष त्रुटियां (अंकगणितीय परिचालन करने के परिणाम की त्रुटि) ढूंढें ज्ञात हैं, और 1 एक सटीक संख्या है और इसकी त्रुटि शून्य है।

इस प्रकार सापेक्ष त्रुटि का मान निर्धारित करने के बाद, हम निरपेक्ष त्रुटि का मान इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं , जहां मूल्य की गणना अनुमानित मूल्यों के सूत्र का उपयोग करके की जाती है

चूंकि मात्रा का सटीक मूल्य आमतौर पर अज्ञात है, गणना और उपरोक्त सूत्रों के अनुसार यह असंभव है। इसलिए, व्यवहार में, फॉर्म की अधिकतम त्रुटियों का आकलन किया जाता है:

(1.1.2-3)

कहाँ और - ज्ञात मात्राएँ जो निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटियों की ऊपरी सीमाएँ हैं, अन्यथा उन्हें - अधिकतम निरपेक्ष और अधिकतम सापेक्ष त्रुटियाँ कहा जाता है। इस प्रकार, सटीक मान इसमें निहित है:

यदि मान तो ज्ञात है , और यदि मात्रा ज्ञात हो , वह

चलो कुछ यादृच्छिक चर एमापा एनकई बार समान परिस्थितियों में। माप परिणामों ने एक सेट दिया एनअलग-अलग नंबर

पूर्ण त्रुटि- आयामी मूल्य. के बीच एनपूर्ण त्रुटि मान आवश्यक रूप से सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हैं।

मात्रा के सबसे संभावित मूल्य के लिए एआमतौर पर लिया जाता है औसतमाप परिणामों का मूल्य

.

माप की संख्या जितनी अधिक होगी, औसत मान वास्तविक मान के उतना ही करीब होगा।

पूर्ण त्रुटिमैं

.

रिश्तेदारों की गलतीमैं-वें माप को मात्रा कहा जाता है

सापेक्ष त्रुटि एक आयामहीन मात्रा है। आमतौर पर इसके लिए सापेक्ष त्रुटि को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है ई मैं 100% से गुणा करें। सापेक्ष त्रुटि का परिमाण माप की सटीकता को दर्शाता है।

औसत निरपेक्ष त्रुटिइस प्रकार परिभाषित किया गया है:

.

हम मात्रा डी के निरपेक्ष मानों (मॉड्यूल) को जोड़ने की आवश्यकता पर जोर देते हैं और मैं।अन्यथा, परिणाम समान रूप से शून्य होगा.

औसत सापेक्ष त्रुटिमात्रा कहलाती है

.

बड़ी संख्या में माप के साथ.

सापेक्ष त्रुटि को मापे गए मान की प्रति इकाई त्रुटि मान माना जा सकता है।

माप की सटीकता का आकलन माप परिणामों की त्रुटियों की तुलना करके किया जाता है। इसलिए, माप त्रुटियों को ऐसे रूप में व्यक्त किया जाता है कि सटीकता का आकलन करने के लिए केवल परिणामों की त्रुटियों की तुलना करना पर्याप्त है, मापी जा रही वस्तुओं के आकार की तुलना किए बिना या इन आकारों को लगभग जानने के बिना। अभ्यास से यह ज्ञात होता है कि किसी कोण को मापने में पूर्ण त्रुटि कोण के मान पर निर्भर नहीं होती है, और लंबाई मापने में पूर्ण त्रुटि लंबाई के मान पर निर्भर करती है। लंबाई जितनी बड़ी होगी, दी गई विधि और माप स्थितियों के लिए पूर्ण त्रुटि उतनी ही अधिक होगी। नतीजतन, परिणाम की पूर्ण त्रुटि का उपयोग कोण माप की सटीकता का आकलन करने के लिए किया जा सकता है, लेकिन लंबाई माप की सटीकता का आकलन नहीं किया जा सकता है। त्रुटि को सापेक्ष रूप में व्यक्त करने से ज्ञात मामलों में कोणीय और रैखिक माप की सटीकता की तुलना करना संभव हो जाता है।

संभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाएँ। कोई भी त्रुटि।

कोई भी त्रुटि इसे माप त्रुटि का घटक कहा जाता है जो एक ही मात्रा के बार-बार माप के दौरान यादृच्छिक रूप से बदलता है।

जब एक ही स्थिर, अपरिवर्तित मात्रा का बार-बार माप समान देखभाल के साथ और समान परिस्थितियों में किया जाता है, तो हमें माप परिणाम प्राप्त होते हैं - उनमें से कुछ एक दूसरे से भिन्न होते हैं, और उनमें से कुछ मेल खाते हैं। माप परिणामों में ऐसी विसंगतियाँ उनमें यादृच्छिक त्रुटि घटकों की उपस्थिति का संकेत देती हैं।

कई स्रोतों के एक साथ प्रभाव से यादृच्छिक त्रुटि उत्पन्न होती है, जिनमें से प्रत्येक अपने आप में माप परिणाम पर एक अगोचर प्रभाव डालता है, लेकिन सभी स्रोतों का कुल प्रभाव काफी मजबूत हो सकता है।

यादृच्छिक त्रुटियाँ किसी भी माप का अपरिहार्य परिणाम होती हैं और इनके कारण होती हैं:

ए) उपकरणों और यंत्रों के पैमाने पर रीडिंग की अशुद्धि;

बी) बार-बार माप के लिए शर्तों की गैर-पहचान;

ग) बाहरी स्थितियों (तापमान, दबाव, बल क्षेत्र, आदि) में यादृच्छिक परिवर्तन, जिसे नियंत्रित नहीं किया जा सकता;

घ) माप पर अन्य सभी प्रभाव, जिनके कारण हमारे लिए अज्ञात हैं। प्रयोग को कई बार दोहराने और प्राप्त परिणामों की संगत गणितीय प्रसंस्करण द्वारा यादृच्छिक त्रुटि की भयावहता को कम किया जा सकता है।

एक यादृच्छिक त्रुटि अलग-अलग निरपेक्ष मान ले सकती है, जिसकी किसी दिए गए माप के लिए भविष्यवाणी करना असंभव है। यह त्रुटि समान रूप से सकारात्मक या नकारात्मक हो सकती है। किसी प्रयोग में यादृच्छिक त्रुटियाँ हमेशा मौजूद रहती हैं। व्यवस्थित त्रुटियों के अभाव में, वे वास्तविक मूल्य के सापेक्ष बार-बार माप के बिखराव का कारण बनते हैं।

आइए मान लें कि एक पेंडुलम के दोलन की अवधि को स्टॉपवॉच का उपयोग करके मापा जाता है, और माप को कई बार दोहराया जाता है। स्टॉपवॉच को शुरू करने और रोकने में त्रुटियां, रीडिंग वैल्यू में त्रुटि, पेंडुलम की गति में थोड़ी असमानता - यह सब बार-बार माप के परिणामों के बिखरने का कारण बनता है और इसलिए इसे यादृच्छिक त्रुटियों के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।

यदि कोई अन्य त्रुटियाँ नहीं हैं, तो कुछ परिणाम कुछ हद तक अधिक अनुमानित होंगे, जबकि अन्य कुछ हद तक कम अनुमानित होंगे। लेकिन अगर इसके अलावा घड़ी भी पीछे हो तो सारे नतीजे कम आंके जाएंगे। यह पहले से ही एक व्यवस्थित त्रुटि है.

कुछ कारक एक ही समय में व्यवस्थित और यादृच्छिक दोनों त्रुटियों का कारण बन सकते हैं। इसलिए, स्टॉपवॉच को चालू और बंद करके, हम पेंडुलम की गति के सापेक्ष घड़ी के शुरुआती और रुकने के समय में एक छोटा अनियमित प्रसार बना सकते हैं और इस तरह एक यादृच्छिक त्रुटि उत्पन्न कर सकते हैं। लेकिन, इसके अलावा, अगर हम हर बार स्टॉपवॉच चालू करने की जल्दी में हैं और इसे बंद करने में कुछ देर कर देते हैं, तो इससे एक व्यवस्थित त्रुटि हो जाएगी।

उपकरण पैमाने के विभाजनों की गणना करते समय, किसी भवन की नींव का हिलना, हल्की हवा की गति का प्रभाव आदि, लंबन त्रुटि के कारण यादृच्छिक त्रुटियां होती हैं।

यद्यपि व्यक्तिगत माप में यादृच्छिक त्रुटियों को समाप्त करना असंभव है, यादृच्छिक घटना का गणितीय सिद्धांत हमें अंतिम माप परिणाम पर इन त्रुटियों के प्रभाव को कम करने की अनुमति देता है। नीचे दिखाया जाएगा कि इसके लिए एक नहीं, बल्कि कई माप करना आवश्यक है, और जितना छोटा त्रुटि मान हम प्राप्त करना चाहते हैं, उतना अधिक माप करने की आवश्यकता होगी।

इस तथ्य के कारण कि यादृच्छिक त्रुटियों की घटना अपरिहार्य और अपरिहार्य है, किसी भी माप प्रक्रिया का मुख्य कार्य त्रुटियों को न्यूनतम करना है।

त्रुटियों का सिद्धांत अनुभव द्वारा पुष्टि की गई दो मुख्य मान्यताओं पर आधारित है:

1. बड़ी संख्या में मापों के साथ, समान परिमाण की, लेकिन विभिन्न संकेतों की यादृच्छिक त्रुटियां, यानी परिणाम को बढ़ाने और घटाने की दिशा में त्रुटियां अक्सर होती हैं।

2. जो त्रुटियां निरपेक्ष मान में बड़ी होती हैं, वे छोटी त्रुटियों की तुलना में कम आम होती हैं, इस प्रकार, जैसे-जैसे इसका परिमाण बढ़ता है, त्रुटि होने की संभावना कम हो जाती है।

यादृच्छिक चर के व्यवहार को सांख्यिकीय पैटर्न द्वारा वर्णित किया गया है, जो संभाव्यता सिद्धांत का विषय है। संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा डब्ल्यू मैंआयोजन मैंरवैया है

कहाँ एन- प्रयोगों की कुल संख्या, एन मैं- प्रयोगों की संख्या जिसमें घटना मैंघटित। इस स्थिति में, प्रयोगों की कुल संख्या बहुत बड़ी होनी चाहिए ( एन®¥). बड़ी संख्या में मापों के साथ, यादृच्छिक त्रुटियां एक सामान्य वितरण (गाऊसी वितरण) का पालन करती हैं, जिसकी मुख्य विशेषताएं निम्नलिखित हैं:

1. मापे गए मान का वास्तविक मान से विचलन जितना अधिक होगा, ऐसे परिणाम की संभावना उतनी ही कम होगी।

2. वास्तविक मान से दोनों दिशाओं में विचलन समान रूप से संभावित है।

उपरोक्त धारणाओं से यह निष्कर्ष निकलता है कि यादृच्छिक त्रुटियों के प्रभाव को कम करने के लिए इस मान को कई बार मापना आवश्यक है। मान लीजिए हम कोई मात्रा x माप रहे हैं। इसका उत्पादन होने दीजिए एनमाप: एक्स 1 , एक्स 2 , ... एक्स एन- समान विधि और समान देखभाल का उपयोग करना। उम्मीद की जा सकती है कि संख्या डीएनप्राप्त परिणाम, जो कि कुछ काफी संकीर्ण अंतराल में हैं एक्सपहले एक्स + डीएक्स, आनुपातिक होना चाहिए:

अंतराल का आकार लिया गया डीएक्स;

माप की कुल संख्या एन.

संभावना dw(एक्स) वह कुछ मूल्य एक्सकी सीमा में स्थित है एक्सपहले एक्स + डीएक्स,को इस प्रकार परिभाषित किया गया है :

(माप की संख्या के साथ एन ®¥).

समारोह एफ(एक्स) को वितरण फलन या संभाव्यता घनत्व कहा जाता है।

त्रुटि सिद्धांत के एक अभिधारणा के रूप में, यह स्वीकार किया जाता है कि प्रत्यक्ष माप के परिणाम और उनकी यादृच्छिक त्रुटियाँ, जब उनकी संख्या बड़ी होती है, सामान्य वितरण के नियम का पालन करते हैं।

गॉस द्वारा पाया गया एक सतत यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन एक्सनिम्नलिखित रूप है:

, कहाँ ग़लत - वितरण पैरामीटर .

सामान्य वितरण का पैरामीटर m माध्य मान b के बराबर है एक्सñ एक यादृच्छिक चर, जो एक मनमाना ज्ञात वितरण फ़ंक्शन के लिए, अभिन्न द्वारा निर्धारित किया जाता है

.

इस प्रकार, मान m मापी गई मात्रा x का सबसे संभावित मान है, अर्थात। उसका सर्वोत्तम अनुमान.

सामान्य वितरण का पैरामीटर एस 2 यादृच्छिक चर के विचरण डी के बराबर है, जो सामान्य स्थिति में निम्नलिखित अभिन्न द्वारा निर्धारित किया जाता है

.

प्रसरण के वर्गमूल को यादृच्छिक चर का मानक विचलन कहा जाता है.

यादृच्छिक चर का औसत विचलन (त्रुटि) निम्नानुसार वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है

गॉसियन वितरण फ़ंक्शन से गणना की गई औसत माप त्रुटि ásñ, मानक विचलन के मान से निम्नानुसार संबंधित है:

< एस > = 0.8s.

पैरामीटर s और m एक दूसरे से इस प्रकार संबंधित हैं:

.

यदि कोई सामान्य वितरण वक्र है तो यह अभिव्यक्ति आपको मानक विचलन खोजने की अनुमति देती है।

गॉसियन फ़ंक्शन का ग्राफ़ आंकड़ों में प्रस्तुत किया गया है। समारोह एफ(एक्स) बिंदु पर खींची गई कोटि के प्रति सममित है एक्स =एम; बिंदु पर अधिकतम से होकर गुजरता है एक्स = m और बिंदु m ±s पर विभक्ति है। इस प्रकार, विचरण वितरण फ़ंक्शन की चौड़ाई को दर्शाता है, या दिखाता है कि एक यादृच्छिक चर के मान उसके वास्तविक मूल्य के सापेक्ष कितने व्यापक रूप से बिखरे हुए हैं। माप जितना अधिक सटीक होगा, व्यक्तिगत माप के परिणाम वास्तविक मूल्य के उतने ही करीब होंगे, अर्थात। मान s कम है. चित्र A फ़ंक्शन दिखाता है एफ(एक्स) एस के तीन मानों के लिए .

एक वक्र से घिरी आकृति का क्षेत्रफल एफ(एक्स) और बिंदुओं से खींची गई ऊर्ध्वाधर रेखाएँ एक्स 1 और एक्स 2 (चित्र बी) , संख्यात्मक रूप से माप परिणाम के अंतराल डी में आने की संभावना के बराबर एक्स = एक्स 1 - एक्स 2, जिसे आत्मविश्वास संभाव्यता कहा जाता है। संपूर्ण वक्र के अंतर्गत क्षेत्र एफ(एक्स) 0 से ¥ तक के अंतराल में एक यादृच्छिक चर के गिरने की संभावना के बराबर है, अर्थात।

,

चूंकि एक विश्वसनीय घटना की संभावना एक के बराबर है।

सामान्य वितरण का उपयोग करते हुए, त्रुटि सिद्धांत दो मुख्य समस्याएं उत्पन्न करता है और उनका समाधान करता है। सबसे पहले लिए गए माप की सटीकता का आकलन है। दूसरा माप परिणामों के अंकगणितीय माध्य मान की सटीकता का आकलन है।5. विश्वास अंतराल। विद्यार्थी का गुणांक.

संभाव्यता सिद्धांत हमें ज्ञात संभाव्यता के साथ अंतराल के आकार को निर्धारित करने की अनुमति देता है डब्ल्यूव्यक्तिगत माप के परिणाम पाए जाते हैं। इस संभावना को कहा जाता है आत्मविश्वास की संभावना, और संबंधित अंतराल (<एक्स>±डी एक्स)डब्ल्यूबुलाया विश्वास अंतराल।आत्मविश्वास की संभावना भी विश्वास अंतराल के भीतर आने वाले परिणामों के सापेक्ष अनुपात के बराबर है।

यदि माप की संख्या एनपर्याप्त रूप से बड़ा है, तो आत्मविश्वास की संभावना कुल संख्या के अनुपात को व्यक्त करती है एनवे माप जिनमें मापा गया मान विश्वास अंतराल के भीतर था। प्रत्येक आत्मविश्वास की संभावना डब्ल्यूइसके विश्वास अंतराल के अनुरूप है डब्ल्यू 2 80%। विश्वास अंतराल जितना व्यापक होगा, उस अंतराल के भीतर परिणाम प्राप्त करने की संभावना उतनी ही अधिक होगी। संभाव्यता सिद्धांत में, आत्मविश्वास अंतराल के मूल्य, आत्मविश्वास संभावना और माप की संख्या के बीच एक मात्रात्मक संबंध स्थापित किया जाता है।

यदि हम आत्मविश्वास अंतराल के रूप में औसत त्रुटि के अनुरूप अंतराल चुनते हैं, यानी डी ए =áD एñ, तो पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में माप के लिए यह आत्मविश्वास की संभावना से मेल खाता है डब्ल्यू 60%. जैसे-जैसे मापों की संख्या घटती जाती है, ऐसे आत्मविश्वास अंतराल (á) के अनुरूप आत्मविश्वास की संभावना बढ़ जाती है एñ ± áD एñ), घट जाती है।

इस प्रकार, एक यादृच्छिक चर के विश्वास अंतराल का अनुमान लगाने के लिए, कोई औसत त्रुटि áD के मान का उपयोग कर सकता है एñ .

यादृच्छिक त्रुटि की भयावहता को दर्शाने के लिए, दो संख्याओं को निर्दिष्ट करना आवश्यक है, अर्थात् आत्मविश्वास अंतराल का मूल्य और आत्मविश्वास संभावना का मूल्य। . संबंधित आत्मविश्वास संभाव्यता के बिना केवल त्रुटि की भयावहता का संकेत देना काफी हद तक अर्थहीन है।

यदि औसत माप त्रुटि ásñ ज्ञात है, तो विश्वास अंतराल को इस प्रकार लिखा जाता है (<एक्स>±asñ) डब्ल्यू, आत्मविश्वास संभाव्यता के साथ निर्धारित डब्ल्यू= 0,57.

यदि मानक विचलन s ज्ञात है माप परिणामों का वितरण, निर्दिष्ट अंतराल का रूप है (<एक्स>± टी डब्ल्यूएस) डब्ल्यू, कहाँ टी डब्ल्यू- आत्मविश्वास के स्तर के आधार पर गुणांक और गाऊसी वितरण का उपयोग करके गणना की जाती है।

सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली मात्रा D एक्सतालिका 1 में दिए गए हैं।

भौतिक मात्राओं का मापन.

परिचय

K-402.1 कॉम्प्लेक्स "भौतिकी" अनुशासन के अनुभाग "सॉलिड बॉडी डायनेमिक्स" के लिए शैक्षिक मानक और कार्य कार्यक्रम द्वारा प्रदान की गई प्रयोगशाला कार्यों की आवश्यक सूची का प्रतिनिधित्व करता है। इसमें प्रयोगशाला प्रतिष्ठानों का विवरण, माप की प्रक्रिया और कुछ भौतिक मात्राओं की गणना के लिए एक एल्गोरिदम शामिल है।

यदि कोई छात्र पाठ के दौरान कक्षा में किसी विशिष्ट कार्य से परिचित होना शुरू कर देता है, तो एक प्रयोगशाला कार्य को पूरा करने के लिए आवंटित दो घंटे उसके लिए पर्याप्त नहीं होंगे और वह कार्य पूरा करने के लिए सेमेस्टर शेड्यूल से पिछड़ना शुरू कर देगा। इसे खत्म करने के लिए, दूसरी पीढ़ी के शैक्षिक मानक के लिए आवश्यक है कि अनुशासन का अध्ययन करने के लिए आवंटित घंटों का 50% स्वतंत्र कार्य पर खर्च किया जाए, जो सीखने की प्रक्रिया का एक आवश्यक घटक है। स्वतंत्र कार्य का उद्देश्य ज्ञान और कौशल को समेकित और गहरा करना, व्याख्यान, व्यावहारिक और प्रयोगशाला कक्षाओं के लिए तैयारी करना, साथ ही नए ज्ञान और कौशल प्राप्त करने में छात्रों की स्वतंत्रता का विकास करना है।

विभिन्न विशिष्टताओं के लिए पाठ्यक्रम सेमेस्टर के दौरान 60 से 120 घंटे तक अनुशासन "भौतिकी" के स्वतंत्र अध्ययन के लिए प्रदान करता है। इनमें से, प्रयोगशाला कक्षाएं 20-40 घंटे या प्रति कार्य 2-4 घंटे की होती हैं। इस समय के दौरान, छात्र को: पाठ्यपुस्तकों में प्रासंगिक पैराग्राफ पढ़ना चाहिए; बुनियादी सूत्र और कानून सीखें; स्थापना और माप प्रक्रिया से परिचित हों। इंस्टॉलेशन पर काम करने की अनुमति देने के लिए, एक छात्र को इंस्टॉलेशन के उपकरण को जानना चाहिए, मापने वाले उपकरण के विभाजन मूल्य को निर्धारित करने में सक्षम होना चाहिए, माप के अनुक्रम को जानना चाहिए, माप परिणामों को संसाधित करने में सक्षम होना चाहिए और त्रुटि का मूल्यांकन करना चाहिए।

रिपोर्ट की सभी गणनाओं और तैयारी के बाद, छात्र को एक निष्कर्ष निकालना होगा, विशेष रूप से उन भौतिक कानूनों का संकेत देना होगा जिनका काम के दौरान परीक्षण किया गया था।

माप दो प्रकार के होते हैं: प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष।

प्रत्यक्ष माप वे होते हैं जिनमें किसी माप और वस्तु की तुलना की जाती है। उदाहरण के लिए, कैलीपर का उपयोग करके सिलेंडर की ऊंचाई और व्यास को मापें।

अप्रत्यक्ष माप में, एक भौतिक मात्रा का निर्धारण प्रत्यक्ष माप द्वारा पाई गई मात्राओं के साथ संबंध स्थापित करने वाले सूत्र के आधार पर किया जाता है।

माप बिल्कुल सटीक नहीं किया जा सकता. इसके रिजल्ट में हमेशा कोई न कोई त्रुटि रहती है।

मापन त्रुटियों को आमतौर पर व्यवस्थित और यादृच्छिक में विभाजित किया जाता है।

व्यवस्थित त्रुटियाँऐसे कारकों के कारण होते हैं जो एक ही माप को कई बार दोहराए जाने पर एक ही तरह से कार्य करते हैं।

व्यवस्थित त्रुटियों में योगदान आता है वाद्यया उपकरण त्रुटि, जो डिवाइस की संवेदनशीलता से निर्धारित होता है। उपकरण पर इस तरह के डेटा की अनुपस्थिति में, उपकरण त्रुटि को उपकरण के सबसे छोटे पैमाने के विभाजन की कीमत या आधी कीमत के रूप में लिया जाता है।

यादृच्छिक त्रुटियाँकई कारकों की एक साथ कार्रवाई के कारण होता है जिन्हें ध्यान में नहीं रखा जा सकता है। अधिकांश माप यादृच्छिक त्रुटियों के साथ होते हैं, जिनकी विशेषता यह है कि प्रत्येक दोहराए गए माप के साथ वे एक अलग, अप्रत्याशित मान लेते हैं।

पूर्ण त्रुटिव्यवस्थित और यादृच्छिक त्रुटियाँ शामिल होंगी:

. (1.1)

मापे गए मान का वास्तविक मान इस सीमा में होगा:

जिसे कॉन्फिडेंस इंटरवल कहा जाता है.

यादृच्छिक त्रुटि निर्धारित करने के लिए, पहले माप के दौरान प्राप्त सभी मूल्यों के औसत की गणना करें:

, (1.2)

नतीजा कहां है मैं-वां आयाम, - आयामों की संख्या।

फिर, व्यक्तिगत माप की त्रुटियाँ पाई जाती हैं

, , …, .

. (1.3)

माप परिणामों को संसाधित करते समय, छात्र वितरण का उपयोग किया जाता है। छात्र गुणांक, यादृच्छिक त्रुटि को ध्यान में रखते हुए

.

तालिका 1.1

विद्यार्थी की गुणांक तालिका

एन
0,6	0,7	0,9	0,95	0,99
	1,36	2,0	6,3	12,7	636,6
	1,06	1,3	2,9	4,3	31,6
	0,98	1,3	2,4	3,2	12,9
	0,94	1,2	2,1	2,8	8,7
…	…	…	…	…	…
	0,85	1,0	1,7	2,0	3,5
	0,84	1,0	1,7	2,0	3,4

छात्र गुणांक वास्तविक मान से अंकगणितीय माध्य के विचलन को दर्शाता है, जिसे माध्य वर्ग त्रुटि के एक अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है। छात्र का गुणांक माप की संख्या पर निर्भर करता है एनऔर विश्वसनीयता पर और तालिका में दर्शाया गया है। 1.1.

पूर्ण त्रुटि की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है

.

ज्यादातर मामलों में, यह पूर्ण नहीं, बल्कि सापेक्ष त्रुटि है जो अधिक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है

या . (1.4)

सभी गणना परिणाम तालिका में दर्ज किए गए हैं। 1.2.

तालिका 1.2

माप त्रुटि की गणना का परिणाम

नहीं।
	मिमी	मिमी	मिमी	मिमी 2	मिमी 2	मिमी	मिमी	मिमी	मिमी	मिमी	%

अप्रत्यक्ष माप की त्रुटियों की गणना

आयाम कहलाते हैं सीधा,यदि मात्राओं का मान सीधे उपकरणों द्वारा निर्धारित किया जाता है (उदाहरण के लिए, रूलर से लंबाई मापना, स्टॉपवॉच से समय निर्धारित करना, आदि)। आयाम कहलाते हैं अप्रत्यक्ष, यदि मापी गई मात्रा का मूल्य अन्य मात्राओं के प्रत्यक्ष माप के माध्यम से निर्धारित किया जाता है जो मापे जा रहे विशिष्ट संबंध से जुड़े होते हैं।

प्रत्यक्ष माप में यादृच्छिक त्रुटियाँ

निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटि.इसे क्रियान्वित किया जाये एनएक ही मात्रा का माप एक्सव्यवस्थित त्रुटि के अभाव में. व्यक्तिगत माप परिणाम इस प्रकार हैं: एक्स 1 ,एक्स 2 , …,एक्स एन. मापे गए मान का औसत मान सर्वोत्तम के रूप में चुना गया है:

पूर्ण त्रुटिएकल माप के रूप का अंतर कहा जाता है:

.

औसत निरपेक्ष त्रुटि एनइकाई माप:

(2)

बुलाया औसत निरपेक्ष त्रुटि.

रिश्तेदारों की गलतीमापी गई मात्रा के औसत मान से औसत निरपेक्ष त्रुटि का अनुपात कहलाता है:

. (3)

प्रत्यक्ष माप में उपकरण त्रुटियाँ

यदि कोई विशेष निर्देश नहीं हैं, तो उपकरण त्रुटि उसके विभाजन मूल्य (रूलर, बीकर) के आधे के बराबर है।

वर्नियर से सुसज्जित उपकरणों की त्रुटि वर्नियर डिवीजन (माइक्रोमीटर - 0.01 मिमी, कैलीपर - 0.1 मिमी) के मूल्य के बराबर है।

तालिका मानों की त्रुटि अंतिम अंक की आधी इकाई (अंतिम महत्वपूर्ण अंक के बाद अगले क्रम की पाँच इकाइयाँ) के बराबर है।

विद्युत माप उपकरणों की त्रुटि की गणना सटीकता वर्ग के अनुसार की जाती है साथउपकरण पैमाने पर दर्शाया गया है:

उदाहरण के लिए:
और
,

कहाँ यू अधिकतमऔर मैं अधिकतम- डिवाइस की माप सीमा.

डिजिटल डिस्प्ले वाले उपकरणों की त्रुटि डिस्प्ले के अंतिम अंक में से एक के बराबर होती है।

यादृच्छिक और वाद्य त्रुटियों का आकलन करने के बाद, जिसका मूल्य अधिक होता है, उसे ध्यान में रखा जाता है।

अप्रत्यक्ष माप में त्रुटियों की गणना

अधिकांश माप अप्रत्यक्ष हैं। इस मामले में, वांछित मान X कई चरों का एक फ़ंक्शन है ए,बी, सी… , जिसका मान प्रत्यक्ष माप द्वारा पाया जा सकता है: X = f( ए, बी, सी…).

अप्रत्यक्ष माप के परिणाम का अंकगणितीय माध्य इसके बराबर होगा:

X = f( ए, बी, सी…).

त्रुटि की गणना करने का एक तरीका फ़ंक्शन X = f( के प्राकृतिक लघुगणक को अलग करना है ए, बी, सी...) यदि, उदाहरण के लिए, वांछित मान X संबंध X = द्वारा निर्धारित किया जाता है , तो लघुगणक के बाद हमें मिलता है: lnX = ln ए+एल.एन बी+एलएन( सी+ डी).

इस अभिव्यक्ति का अंतर इस प्रकार है:

.

अनुमानित मानों की गणना के संबंध में सापेक्ष त्रुटि के लिए इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

 =
. (4)

पूर्ण त्रुटि की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

Х = Х(5)

इस प्रकार, त्रुटियों की गणना और अप्रत्यक्ष माप के परिणाम की गणना निम्नलिखित क्रम में की जाती है:

1) अंतिम परिणाम की गणना के लिए प्रारंभिक सूत्र में शामिल सभी मात्राओं को मापें।

2) प्रत्येक मापे गए मान के अंकगणितीय औसत मान और उनकी पूर्ण त्रुटियों की गणना करें।

3) सभी मापे गए मानों के औसत मानों को मूल सूत्र में रखें और वांछित मान के औसत मान की गणना करें:

X = f( ए, बी, सी…).

4) मूल सूत्र का लघुगणक X = f( ए, बी, सी...) और सापेक्ष त्रुटि के लिए सूत्र (4) के रूप में अभिव्यक्ति लिखें।

5) सापेक्ष त्रुटि की गणना करें  = .

6) सूत्र (5) का उपयोग करके परिणाम की पूर्ण त्रुटि की गणना करें।

7) अंतिम परिणाम इस प्रकार लिखा गया है:

एक्स = एक्स औसत एक्स

सरलतम कार्यों की पूर्ण और सापेक्ष त्रुटियाँ तालिका में दी गई हैं:

	निरपेक्ष गलती	रिश्तेदार गलती
	ए+ बी
	ए+ बी
अत्यधिक जटिल गणनाओं में अशुद्धि का आकलन करने के लिए निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटियों का उपयोग किया जाता है। इनका उपयोग विभिन्न मापों में और गणना परिणामों को पूर्णांकित करने के लिए भी किया जाता है। आइए देखें कि पूर्ण और सापेक्ष त्रुटि का निर्धारण कैसे करें। पूर्ण त्रुटि संख्या की पूर्ण त्रुटिइस संख्या और इसके सटीक मान के बीच अंतर बताएं। आइए एक उदाहरण देखें : विद्यालय में 374 विद्यार्थी हैं। यदि हम इस संख्या को 400 तक पूर्णांकित करें, तो पूर्ण माप त्रुटि 400-374=26 है। पूर्ण त्रुटि की गणना करने के लिए, आपको बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाना होगा। पूर्ण त्रुटि का एक सूत्र है. आइए हम सटीक संख्या को अक्षर A से निरूपित करें, और अक्षर a - सटीक संख्या का सन्निकटन। अनुमानित संख्या वह संख्या होती है जो सटीक संख्या से थोड़ी भिन्न होती है और आमतौर पर गणना में इसे प्रतिस्थापित कर देती है। तब सूत्र इस प्रकार दिखेगा: Δa=ए-ए. हमने ऊपर चर्चा की कि सूत्र का उपयोग करके पूर्ण त्रुटि कैसे ज्ञात की जाए। व्यवहार में, किसी माप का सटीक मूल्यांकन करने के लिए पूर्ण त्रुटि पर्याप्त नहीं है। पूर्ण त्रुटि की गणना करने के लिए मापी गई मात्रा का सटीक मान जानना शायद ही संभव है। 20 सेमी लंबी पुस्तक को मापने और 1 सेमी की त्रुटि की अनुमति देने पर, कोई भी माप को बड़ी त्रुटि के साथ मान सकता है। लेकिन यदि 20 मीटर की दीवार को मापते समय 1 सेमी की त्रुटि हुई हो, तो इस माप को यथासंभव सटीक माना जा सकता है। इसलिए, व्यवहार में, सापेक्ष माप त्रुटि का निर्धारण करना अधिक महत्वपूर्ण है। ± चिह्न का उपयोग करके संख्या की पूर्ण त्रुटि रिकॉर्ड करें। उदाहरण के लिए , वॉलपेपर के एक रोल की लंबाई 30 मीटर ± 3 सेमी है। पूर्ण त्रुटि सीमा को अधिकतम पूर्ण त्रुटि कहा जाता है। रिश्तेदारों की गलती रिश्तेदारों की गलतीवे किसी संख्या की पूर्ण त्रुटि का उस संख्या से अनुपात कहते हैं। छात्रों के साथ उदाहरण में सापेक्ष त्रुटि की गणना करने के लिए, हम 26 को 374 से विभाजित करते हैं। हमें संख्या 0.0695 मिलती है, इसे प्रतिशत में बदलें और 6% प्राप्त करें। सापेक्ष त्रुटि को प्रतिशत के रूप में दर्शाया जाता है क्योंकि यह एक आयामहीन मात्रा है। सापेक्ष त्रुटि माप त्रुटि का सटीक अनुमान है। यदि हम 10 सेमी और 10 मीटर के खंडों की लंबाई मापते समय 1 सेमी की पूर्ण त्रुटि लेते हैं, तो सापेक्ष त्रुटियाँ क्रमशः 10% और 0.1% के बराबर होंगी। 10 सेमी लंबे खंड के लिए, 1 सेमी की त्रुटि बहुत बड़ी है, यह 10% की त्रुटि है। लेकिन दस मीटर के खंड के लिए, 1 सेमी कोई मायने नहीं रखता, केवल 0.1%। व्यवस्थित एवं यादृच्छिक त्रुटियाँ हैं। व्यवस्थित वह त्रुटि है जो बार-बार माप के दौरान अपरिवर्तित रहती है। माप प्रक्रिया पर बाहरी कारकों के प्रभाव के परिणामस्वरूप यादृच्छिक त्रुटि उत्पन्न होती है और इसका मूल्य बदल सकता है। त्रुटियों की गणना के नियम त्रुटियों के नाममात्र अनुमान के लिए कई नियम हैं: संख्याओं को जोड़ते और घटाते समय, उनकी पूर्ण त्रुटियों को जोड़ना आवश्यक है; संख्याओं को विभाजित और गुणा करते समय, सापेक्ष त्रुटियों को जोड़ना आवश्यक है; जब इसे घात तक बढ़ाया जाता है, तो सापेक्ष त्रुटि घातांक से गुणा हो जाती है। दशमलव भिन्नों का उपयोग करके अनुमानित और सटीक संख्याएँ लिखी जाती हैं। केवल औसत मान लिया जाता है, क्योंकि सटीक मान अनंत तक लंबा हो सकता है। यह समझने के लिए कि इन संख्याओं को कैसे लिखा जाता है, आपको सही और संदिग्ध संख्याओं के बारे में सीखना होगा। सच्ची संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनकी रैंक संख्या की पूर्ण त्रुटि से अधिक होती है। यदि किसी अंक का अंक पूर्ण त्रुटि से कम है तो उसे संदिग्ध कहा जाता है। उदाहरण के लिए , 0.002 की त्रुटि के साथ अंश 3.6714 के लिए, सही संख्याएँ 3,6,7 होंगी, और संदिग्ध 1 और 4 होंगी। अनुमानित संख्या की रिकॉर्डिंग में केवल सही संख्याएँ बची हैं। इस मामले में अंश इस तरह दिखेगा - 3.67. हमने क्या सीखा? माप की सटीकता का आकलन करने के लिए निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटियों का उपयोग किया जाता है। पूर्ण त्रुटि एक सटीक और अनुमानित संख्या के बीच का अंतर है। सापेक्ष त्रुटि किसी संख्या की पूर्ण त्रुटि का उस संख्या से अनुपात है। व्यवहार में, सापेक्ष त्रुटि का उपयोग किया जाता है क्योंकि यह अधिक सटीक होती है। संबंधित आलेख प्रतिक्रिया साइट मानचित्र साइट के बारे में