परिभाषा 1. अभाज्य संख्या 1 से बड़ी एक प्राकृत संख्या है जो केवल स्वयं और 1 से विभाज्य है।

दूसरे शब्दों में, एक संख्या अभाज्य होती है यदि उसमें केवल दो भिन्न प्राकृत भाजक हों।

परिभाषा 2. कोई भी प्राकृत संख्या जिसके अपने और एक के अलावा अन्य भाजक हो, कहलाती है संयुक्त संख्या।

दूसरे शब्दों में, वे प्राकृत संख्याएँ जो अभाज्य नहीं हैं, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। परिभाषा 1 का तात्पर्य है कि एक भाज्य संख्या में दो से अधिक प्राकृतिक भाजक होते हैं। संख्या 1 न तो अभाज्य है और न ही भाज्य। केवल एक भाजक 1 है और इसके अलावा, अभाज्य संख्याओं के बारे में कई प्रमेय एकता के लिए मान्य नहीं हैं।

परिभाषाएँ 1 और 2 का अर्थ है कि 1 से बड़ा प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक या तो एक अभाज्य संख्या है या एक भाज्य संख्या।

नीचे 5000 तक अभाज्य संख्याएँ प्रदर्शित करने का एक कार्यक्रम है। कक्षों में भरें, "बनाएँ" बटन पर क्लिक करें और कुछ सेकंड प्रतीक्षा करें।

प्राइम नंबर टेबल

कथन 1. यदि एक पीएक अभाज्य संख्या है और एकोई पूर्णांक, फिर या तो एद्वारा विभाजित पी, या पीतथा एअपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ।

सच में। यदि एक पीअभाज्य संख्या है, तो यह केवल स्वयं से विभाज्य है और 1 यदि एसे विभाज्य नहीं है पी, तो सबसे बड़ा सामान्य भाजक एतथा पीबराबर 1. फिर पीतथा एअपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ।

कथन 2. यदि कई संख्याओं का गुणनफल ए 1 , ए 2 , ए 3 , ... एक अभाज्य संख्या से विभाज्य है पी, तो कम से कम एक संख्या ए 1 , ए 2 , ए 3 , ... से विभाज्य है पी.

सच में। यदि कोई भी संख्या से विभाज्य नहीं है पी, फिर संख्या ए 1 , ए 2 , ए 3 , ... के संबंध में अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ होंगी पी. लेकिन कोरोलरी 3 () से यह इस प्रकार है कि उनका उत्पाद ए 1 , ए 2 , ए 3 , ... के संबंध में भी सहअभाज्य है पी, जो दावे की स्थिति के विपरीत है। इसलिए, संख्याओं में से कम से कम एक संख्या से विभाज्य है पी.

प्रमेय 1. किसी भी भाज्य संख्या को हमेशा अभाज्य संख्याओं की परिमित संख्या के गुणनफल के रूप में, और इसके अलावा एक अनोखे तरीके से दर्शाया जा सकता है।

प्रमाण। रहने दो कसंयुक्त संख्या, और चलो ए 1 इसका एक भाजक है जो 1 और स्वयं से भिन्न है। यदि एक ए 1 मिश्रित है, तो इसमें 1 और . के अतिरिक्त है ए 1 और दूसरा विभक्त ए 2. यदि एक ए 2 एक भाज्य संख्या है, तो इसमें 1 और . के अतिरिक्त है ए 2 और दूसरा डिवाइडर ए 3. इस तरह से बहस करना और संख्याओं को ध्यान में रखना ए 1 , ए 2 , ए 3, ... कमी और इस श्रृंखला में पदों की एक सीमित संख्या है, हम कुछ अभाज्य संख्या तक पहुंचेंगे पीएक । फिर कके रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

मान लीजिए किसी संख्या के दो प्रसार हैं क:

जैसा के = पी 1 पी 2 पी 3 ... एक अभाज्य संख्या से विभाज्य है क्यू 1 , फिर कम से कम एक कारक, उदाहरण के लिए पी 1 से विभाज्य है क्यूएक । परंतु पी 1 अभाज्य है और केवल 1 और स्वयं से विभाज्य है। फलस्वरूप पी 1 =क्यू 1 (क्योंकि क्यू 1 ≠1)

फिर (2) से हम बहिष्कृत कर सकते हैं पी 1 और क्यू 1:

इस प्रकार, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि कोई भी अभाज्य संख्या जो एक या अधिक बार कारक के रूप में पहले विस्तार में प्रवेश करती है, दूसरे विस्तार में कम से कम उतनी ही बार प्रवेश करती है और इसके विपरीत, कोई भी अभाज्य संख्या जो एक या कई कारक के रूप में दूसरे विस्तार में प्रवेश करती है। टाइम्स भी पहले विस्तार में कम से कम कई बार प्रवेश करता है। इसलिए, कोई भी अभाज्य संख्या दोनों प्रसारों में एक समान संख्या में एक कारक के रूप में प्रवेश करती है और इस प्रकार, ये दोनों विस्तार समान हैं।■

एक समग्र संख्या का अपघटन कनिम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

(3)

कहाँ पे पी 1 , पी 2 , ... भिन्न अभाज्य संख्याएँ, α, β, γ ... पूर्णांक धनात्मक संख्याएँ।

अपघटन (3) कहा जाता है विहित अपघटनसंख्याएं।

प्राकृत संख्याओं की श्रृंखला में अभाज्य संख्याएँ असमान रूप से आती हैं। श्रृंखला के कुछ हिस्सों में उनमें से कुछ अधिक हैं, दूसरों में - कम। हम संख्या श्रृंखला के साथ जितना आगे बढ़ते हैं, अभाज्य संख्याएँ उतनी ही दुर्लभ होती हैं। सवाल यह है कि क्या कोई सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है? प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने सिद्ध किया कि अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ हैं। इसका प्रमाण हम नीचे प्रस्तुत कर रहे हैं।

प्रमेय 2. अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत होती है।

प्रमाण। मान लीजिए कि अभाज्य संख्याओं की एक सीमित संख्या है, और मान लीजिए कि सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है पी. आइए सभी नंबरों पर विचार करें पी. कथन की धारणा के अनुसार, ये संख्याएं समग्र होनी चाहिए और कम से कम एक अभाज्य संख्या से विभाज्य होनी चाहिए। आइए एक संख्या चुनें जो इन सभी अभाज्य संख्याओं का गुणनफल 1 हो:

संख्या जेडअधिक पीइसलिये 2पीपहले से ही अधिक पी. पीइनमें से किसी भी अभाज्य संख्या से विभाज्य नहीं है, क्योंकि जब उनमें से प्रत्येक से विभाजित किया जाता है, तो यह शेषफल 1 देता है। इस प्रकार हम एक अंतर्विरोध पर पहुंचते हैं। इसलिए, अनंत संख्या में अभाज्य संख्याएँ हैं।

यह प्रमेय अधिक सामान्य प्रमेय का एक विशेष मामला है:

प्रमेय 3. मान लीजिए एक समांतर श्रेणी दी गई है

तब कोई अभाज्य संख्या in एन, में भी शामिल किया जाना चाहिए एम, तो में एनअन्य प्रमुख कारकों को शामिल नहीं किया जा सकता है जो इसमें शामिल नहीं हैं एमऔर, इसके अलावा, इन प्रमुख कारकों में एनसे अधिक बार नहीं दिखाई दें एम.

विपरीत भी सही है। यदि किसी संख्या का प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड एनकम से कम एक ही बार होता है एम, तब एमद्वारा विभाजित एन.

कथन 3. रहने दो ए 1 ,ए 2 ,ए 3 ,... विभिन्न अभाज्य संख्याएँ प्रदर्शित हो रही हैं एमइसलिए

कहाँ पे मैं=0,1,...α , जे=0,1,...,β , के = 0,1,..., γ . नोटिस जो एक मैंस्वीकार α +1 मान, β जे स्वीकार करता है β +1 मान, γ कश्मीर लेता है γ +1 मान, ....

प्राकृत संख्याओं को अभाज्य और संमिश्र में विभाजित करने का श्रेय प्राचीन यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस को दिया जाता है। और यदि आप पाइथागोरस का अनुसरण करते हैं, तो प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को तीन वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: (1) - एक संख्या का समुच्चय - एक; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) भाज्य संख्याओं का समुच्चय है।

कई अलग-अलग रहस्य दूसरे सेट को छुपाते हैं। लेकिन पहले, आइए जानें कि अभाज्य संख्या क्या है। हम "गणितीय विश्वकोश शब्दकोश" खोलते हैं (यू। वी। प्रोखोरोव, प्रकाशन गृह "सोवियत विश्वकोश", 1988) और पढ़ें:

"एक अभाज्य संख्या एक धनात्मक पूर्णांक है जो उस एक से बड़ा होता है जिसमें स्वयं के अलावा कोई अन्य भाजक नहीं होता है और एक: 2,3,5,7,11,13,

प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के अध्ययन में एक अभाज्य संख्या की अवधारणा मौलिक है; अर्थात्, अंकगणित के मूल प्रमेय में कहा गया है कि 1 को छोड़कर प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है (कारकों के क्रम को ध्यान में नहीं रखा जाता है)। असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं (यूक्लिड के प्रमेय नामक यह प्रस्ताव, प्राचीन यूनानी गणितज्ञों को पहले से ही ज्ञात था, इसका प्रमाण यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक 9 में पाया जा सकता है)। पी। डिरिचलेट (1837) ने स्थापित किया कि एक अंकगणितीय प्रगति में a+bx x=1 पर। ,2,с सहअभाज्य पूर्णांकों के साथ a और b में भी अपरिमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ होती हैं।

1 से x तक की अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, तीसरी शताब्दी की सुप्रसिद्ध संख्याओं का उपयोग किया जाता है। ईसा पूर्व इ। एराटोस्थनीज की छलनी। 1 से x तक अभाज्य संख्याओं के अनुक्रम (*) पर विचार करने से पता चलता है कि जैसे-जैसे x बढ़ता है, यह औसतन दुर्लभ होता जाता है। प्राकृतिक संख्याओं की एक श्रृंखला के मनमाने ढंग से लंबे खंड होते हैं, जिनमें से एक भी अभाज्य संख्या नहीं होती है (प्रमेय 4)। इसी समय, ऐसी अभाज्य संख्याएँ हैं, जिनके बीच का अंतर 2 (तथाकथित जुड़वाँ) के बराबर है। अब तक (1987) यह अज्ञात है कि ऐसे जुड़वा बच्चों का समुच्चय परिमित है या अनंत। प्रथम 11 मिलियन प्राकृत संख्याओं में अभाज्य संख्याओं की तालिकाएँ बहुत बड़े जुड़वाँ दिखाती हैं (उदाहरण के लिए, 10,006,427 और 10,006,429)।

संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला में अभाज्य संख्याओं के वितरण की व्याख्या करना संख्या सिद्धांत में एक बहुत ही कठिन समस्या है। इसे एक फ़ंक्शन के स्पर्शोन्मुख व्यवहार के अध्ययन के रूप में प्रस्तुत किया जाता है जो एक सकारात्मक संख्या x से अधिक नहीं होने वाले अभाज्यों की संख्या को दर्शाता है। यूक्लिड के प्रमेय से यह स्पष्ट है कि at. एल. यूलर ने 1737 में जीटा फंक्शन की शुरुआत की।

उन्होंने यह भी साबित किया कि

जहां सभी प्राकृतिक संख्याओं पर योग किया जाता है, और उत्पाद को सभी अभाज्य संख्याओं पर ले लिया जाता है। यह पहचान और इसके सामान्यीकरण अभाज्य संख्याओं के वितरण के सिद्धांत में एक मौलिक भूमिका निभाते हैं। इससे आगे बढ़ते हुए, एल। यूलर ने साबित किया कि श्रृंखला और उत्पाद प्राइम पी में विचलन करते हैं। इसके अलावा, एल। यूलर ने स्थापित किया कि "कई" अभाज्य संख्याएँ हैं, क्योंकि

और साथ ही, लगभग सभी प्राकृतिक संख्याएं मिश्रित हैं, क्योंकि पर।

और, किसी के लिए (यानी, एक फ़ंक्शन के रूप में क्या बढ़ता है)। कालानुक्रमिक रूप से, अगला महत्वपूर्ण परिणाम जो चेबीशेव के प्रमेय को परिष्कृत करता है, तथाकथित है। अभाज्य संख्याओं के वितरण का स्पर्शोन्मुख नियम (जे. हैडामार्ड, 1896, Ch. La Vallee Poussin, 1896), जिसमें यह तथ्य शामिल था कि अनुपात की सीमा 1 के बराबर है। इसके बाद, गणितज्ञों के महत्वपूर्ण प्रयासों को निर्देशित किया गया था अभाज्य संख्याओं के वितरण के स्पर्शोन्मुख नियम को स्पष्ट करना। अभाज्य संख्याओं के वितरण के प्रश्नों का अध्ययन प्राथमिक विधियों और गणितीय विश्लेषण विधियों दोनों द्वारा किया जाता है।

यहाँ लेख में दिए गए कुछ प्रमेयों को सिद्ध करना समझ में आता है।

लेम्मा 1. यदि gcd(a, b)=1 है, तो ऐसे पूर्णांक x, y हैं।

प्रमाण। मान लीजिए a और b अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ हैं। सभी प्राकृत संख्याओं z के समुच्चय J पर विचार करें, जो रूप में निरूपित हो, और उसमें सबसे छोटी संख्या d चुनें।

आइए हम सिद्ध करें कि a, d से विभाज्य है। a को d से शेषफल से भाग दें: और let. चूंकि इसका रूप है, इसलिए,

हमने देखा कि।

चूँकि हमने मान लिया था कि d, J में सबसे छोटी संख्या है, इसलिए हमारे पास एक विरोधाभास है। अतः a, d से विभाज्य है।

इसी प्रकार, हम सिद्ध करते हैं कि b, d से विभाज्य है। तो डी = 1। लेम्मा सिद्ध होता है।

प्रमेय 1. यदि संख्याएँ a और b सहअभाज्य हैं और गुणनफल bx, a से विभाज्य है, तो x, a से विभाज्य है।

सबूत 1. हमें यह सिद्ध करना है कि कुल्हाड़ी b से विभाज्य है और gcd(a,b)=1, तो x, b से विभाज्य है।

लेम्मा 1 के अनुसार, x, y ऐसे हैं। तब, स्पष्ट रूप से, b से विभाज्य है।

उपपत्ति 2. सभी प्राकृत संख्याओं z के समुच्चय J पर विचार कीजिए कि zc, b से विभाज्य है। मान लीजिए d, J की सबसे छोटी संख्या है। इसे देखना आसान है। इसी प्रकार लेम्मा 1 के प्रमाण से हम सिद्ध करते हैं कि a, d से विभाज्य है और b, d से विभाज्य है।

लेम्मा 2. यदि संख्याएँ q,p1,p2,pn अभाज्य हैं और गुणनफल q से विभाज्य है, तो pi में से एक संख्या q के बराबर है।

प्रमाण। सबसे पहले, ध्यान दें कि यदि एक अभाज्य संख्या p, q से विभाज्य है, तो p=q. यह तुरंत n = 1 के लिए लेम्मा के दावे का तात्पर्य है। n=2 के लिए यह सीधे प्रमेय 1 का अनुसरण करता है: यदि p1p2 एक अभाज्य संख्या q u से विभाज्य है, तो p2 q (अर्थात) से विभाज्य है।

हम n=3 के लिए प्रमेयिका को इस प्रकार सिद्ध करते हैं। मान लीजिए p1 p2 p3 q से विभाज्य है। यदि p3 = q, तो सब कुछ सिद्ध हो जाता है। यदि, तो प्रमेय 1 के अनुसार p, p, q से विभाज्य है। इस प्रकार, हमने केस n=3 को पहले से ही माने गए केस n=2 में घटा दिया है।

इसी तरह, n=3 से हम n=4 पर जा सकते हैं, फिर n=5 पर, और सामान्य तौर पर, यह मानते हुए कि n=k लेम्मा का दावा साबित होता है, हम इसे n=k+1 के लिए आसानी से साबित कर सकते हैं। यह हमें आश्वस्त करता है कि लेम्मा सभी n के लिए सत्य है।

अंकगणित की मौलिक प्रमेय। प्रत्येक प्राकृत संख्या को अद्वितीय तरीके से अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जा सकता है।

प्रमाण। मान लीजिए कि अभाज्य गुणनखंडों में संख्या a के दो गुणनखंड हैं:

चूँकि दायाँ पक्ष q1 से विभाज्य है, समानता का बायाँ भाग भी q1 से विभाज्य होना चाहिए। लेम्मा 2 के अनुसार, संख्याओं में से एक q1 के बराबर है। आइए हम समानता के दोनों पक्षों को q1 से रद्द करें।

आइए हम q2 के लिए वही तर्क करें, फिर q3 के लिए, ची के लिए। अंत में, दाईं ओर के सभी कारक कम हो जाएंगे और 1 रहेगा। स्वाभाविक रूप से, बाईं ओर एक के अलावा कुछ भी नहीं रहेगा। इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दो विस्तार और केवल कारकों के क्रम में भिन्न हो सकते हैं। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

यूक्लिड का प्रमेय। अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत होती है।

प्रमाण। मान लें कि अभाज्य संख्याओं की श्रृंखला परिमित है, और अंतिम अभाज्य संख्या को अक्षर N से निरूपित करें। उत्पाद लिखें

आइए इसमें 1 जोड़ते हैं।

यह संख्या, एक पूर्णांक होने के कारण, कम से कम एक अभाज्य गुणनखंड होनी चाहिए, अर्थात यह कम से कम एक अभाज्य संख्या से विभाज्य होनी चाहिए। लेकिन सभी अभाज्य संख्याएँ, धारणा के अनुसार, N से अधिक नहीं होती हैं, जबकि संख्या M + 1 शेष के बिना N से कम या उसके बराबर किसी भी अभाज्य संख्या से विभाज्य नहीं है - हर बार शेषफल 1 होता है। प्रमेय सिद्ध होता है।

प्रमेय 4. अभाज्य संख्याओं के बीच भाज्य संख्याओं के भाग किसी भी लम्बाई के हो सकते हैं। अब हम सिद्ध करेंगे कि श्रृंखला में n क्रमागत भाज्य संख्याएँ होती हैं।

प्राकृतिक श्रृंखला में ये संख्याएं एक के बाद एक सीधे जाती हैं, क्योंकि प्रत्येक अगली संख्या पिछले वाले से 1 अधिक है। यह साबित करना बाकी है कि वे सभी मिश्रित हैं।

पहला नंबर

यहां तक ​​कि, चूंकि इसके दोनों पदों में 2 का गुणनखंड होता है। और 2 से बड़ी कोई भी सम संख्या भाज्य होती है।

दूसरी संख्या में दो पद हैं, जिनमें से प्रत्येक 3 का गुणज है। इसलिए, यह संख्या भाज्य है।

इसी तरह, हम यह स्थापित करते हैं कि अगली संख्या 4 का गुणज है, और इसी तरह आगे भी। दूसरे शब्दों में, हमारी श्रृंखला की प्रत्येक संख्या में एक गुणनखंड होता है जो एक और स्वयं से भिन्न होता है; इसलिए यह समग्र है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेयों के प्रमाणों का अध्ययन करने के बाद, हम लेख पर विचार करना जारी रखते हैं। अपने पाठ में, एराटोस्थनीज की छलनी का उल्लेख अभाज्य संख्याओं को खोजने के तरीके के रूप में किया गया था। आइए इसी शब्दकोश से इस विधि के बारे में पढ़ें:

"एराटोस्थनीज की चलनी एराटोस्थनीज द्वारा विकसित एक विधि है जो आपको प्राकृतिक श्रृंखला से समग्र संख्याओं को निकालने की अनुमति देती है। एराटोस्थनीज की छलनी का सार इस प्रकार है। इकाई पार हो गई है। नंबर दो सरल है। 2 से विभाज्य सभी प्राकृत संख्याओं को काट दिया जाता है। संख्या 3 - पहली असंक्रमित संख्या अभाज्य होगी। इसके अलावा, सभी प्राकृत संख्याएँ जो 3 से विभाज्य हैं, काट दी जाती हैं। संख्या 5 - अगली असंक्रमित संख्या - सरल होगी। इसी तरह की गणनाओं को जारी रखते हुए, कोई भी अभाज्य संख्याओं के अनुक्रम का एक मनमाने ढंग से लंबा खंड पा सकता है। संख्या सिद्धांत के अध्ययन के लिए सैद्धांतिक पद्धति के रूप में एराटोस्थनीज की छलनी को डब्ल्यू ब्रून (1919) द्वारा विकसित किया गया था।

यहाँ सबसे बड़ी संख्या है जिसे वर्तमान में अभाज्य माना जाता है:

इस संख्या में लगभग सात सौ दशमलव स्थान हैं। गणना जिसके द्वारा यह पाया गया कि यह संख्या अभाज्य है, आधुनिक कंप्यूटरों पर की गई थी।

"रिमेंन ज़ेटा फ़ंक्शन, -फंक्शन, एक जटिल चर का एक विश्लेषणात्मक कार्य है, σ>1 के लिए, एक बिल्कुल और समान रूप से अभिसरण डिरिचलेट श्रृंखला द्वारा निर्धारित किया जाता है:

σ>1 के लिए, यूलर उत्पाद के रूप में प्रतिनिधित्व मान्य है:

(2) जहाँ p सभी अभाज्य संख्याओं से होकर गुजरता है।

श्रृंखला (1) और उत्पाद (2) की पहचान जीटा फ़ंक्शन के मुख्य गुणों में से एक है। यह किसी को विभिन्न संबंध प्राप्त करने की अनुमति देता है जो जीटा फ़ंक्शन को सबसे महत्वपूर्ण संख्या-सैद्धांतिक कार्यों से जोड़ता है। इसलिए, संख्या सिद्धांत में जीटा फ़ंक्शन एक बड़ी भूमिका निभाता है।

ज़ेटा फ़ंक्शन को एल। यूलर (1737, प्रकाशन 1744) द्वारा एक वास्तविक चर के एक फ़ंक्शन के रूप में पेश किया गया था, जिसने उत्पाद (2) में इसके स्थान का संकेत दिया था। तब जीटा फ़ंक्शन को पी। डिरिचलेट द्वारा और विशेष रूप से पी। एल। चेबीशेव द्वारा अभाज्य संख्याओं के वितरण के कानून के अध्ययन के संबंध में सफलतापूर्वक माना गया था। हालांकि, जीटा फ़ंक्शन के सबसे गहन गुणों की खोज बी. रीमैन के काम के बाद की गई, जिन्होंने 1859 में पहली बार जीटा फ़ंक्शन को एक जटिल चर के एक फ़ंक्शन के रूप में माना, उन्होंने "ज़ेटा फ़ंक्शन" नाम भी पेश किया। पद का नाम """।

लेकिन सवाल उठता है: अभाज्य संख्याओं पर इस सारे काम के लिए क्या व्यावहारिक अनुप्रयोग है? वास्तव में, उनके लिए लगभग कोई उपयोग नहीं है, लेकिन एक ऐसा क्षेत्र है जहां आज तक अभाज्य संख्याएं और उनके गुण लागू होते हैं। यह क्रिप्टोग्राफी है। यहां, कुंजी के हस्तांतरण के बिना एन्क्रिप्शन सिस्टम में अभाज्य संख्याओं का उपयोग किया जाता है।

दुर्भाग्य से, यह वह सब है जो अभाज्य संख्याओं के बारे में जाना जाता है। अभी कई रहस्य बाकी हैं। उदाहरण के लिए, यह ज्ञात नहीं है कि दो वर्गों के रूप में निरूपित अभाज्य संख्याओं का समुच्चय अनंत है या नहीं।

"गैर-सरल प्राइम नंबर"।

मैंने अभाज्य संख्याओं के बारे में कुछ प्रश्नों के उत्तर खोजने के लिए थोड़ा शोध करने का निर्णय लिया। सबसे पहले, मैंने एक प्रोग्राम संकलित किया है जो 1,000,000,000 से कम सभी लगातार अभाज्य संख्याओं को प्रिंट करता है। इसके अलावा, मैंने एक प्रोग्राम संकलित किया है जो यह निर्धारित करता है कि दर्ज की गई संख्या अभाज्य है या नहीं। अभाज्य संख्याओं की समस्याओं का अध्ययन करने के लिए, मैंने एक ग्राफ बनाया जो एक अभाज्य संख्या के मूल्य की क्रमिक संख्या पर निर्भरता को दर्शाता है। एक और शोध योजना के रूप में, मैंने I. S. Zeltser और B. A. कोर्डेम्स्की के लेख का उपयोग करने का निर्णय लिया "मनोरंजक झुंड अभाज्य सँख्या।" लेखकों ने निम्नलिखित शोध पथों की पहचान की:

1. प्रथम हजार प्राकृत संख्याओं के 168 स्थानों पर अभाज्य संख्याएँ होती हैं। इनमें से 16 संख्याएँ पैलिंड्रोमिक हैं - प्रत्येक विपरीत के बराबर है: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929।

केवल 1061 चार-अंकीय अभाज्य संख्याएँ हैं, और उनमें से कोई भी पैलिंड्रोमिक नहीं है।

कई पाँच अंकों की सरल पैलिंड्रोमिक संख्याएँ हैं। उनमें ऐसी सुंदरियाँ शामिल हैं: 13331, 15551, 16661, 19991। निस्संदेह, इस प्रकार के झुंड हैं: ,। लेकिन ऐसे प्रत्येक झुंड में कितनी प्रतियाँ हैं?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

यह देखा जा सकता है कि संख्याओं के अंकों का योग 3 से विभाज्य है, इसलिए ये संख्याएँ स्वयं भी 3 से विभाज्य हैं।

जहाँ तक फॉर्म की संख्या का सवाल है, उनमें से संख्याएँ 72227, 75557, 76667, 78887, 79997 अभाज्य हैं।

2. पहले हजार नंबरों में पांच "क्वार्टेट" होते हैं जिनमें लगातार अभाज्य संख्याएँ होती हैं, जिनमें से अंतिम अंक क्रम 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103,) बनाते हैं। 107, 109 ), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829)।

n>3 के लिए n-अंकीय अभाज्य संख्याओं में ऐसी कितनी चौकड़ी हैं?

मेरे द्वारा लिखे गए कार्यक्रम का उपयोग करते हुए, मैंने पाया कि लेखकों द्वारा याद की गई चौकड़ी: (479, 467, 463, 461) और n = 4, 5, 6 के लिए चौकड़ी। n = 4 के लिए 11 चौकड़ी हैं।

3. नौ अभाज्य संख्याओं का एक झुंड: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 - न केवल आकर्षक है क्योंकि यह 210 के अंतर के साथ एक अंकगणितीय प्रगति है, बल्कि इसलिए भी कि यह नौ में फिट हो सकता है कोशिकाओं ताकि दो अभाज्य संख्याओं के अंतर के बराबर एक जादू वर्ग का निर्माण हो: 3119 - 2:

विचाराधीन प्रगति का अगला, दसवां सदस्य, 2089, भी एक अभाज्य संख्या है। यदि आप झुंड से संख्या 199 को हटाते हैं, लेकिन 2089 को शामिल करते हैं, तो इस रचना में झुंड एक जादुई वर्ग बना सकता है - खोज का विषय।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अभाज्य संख्याओं से युक्त अन्य जादुई वर्ग हैं:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

प्रस्तावित वर्ग उत्सुक है क्योंकि

1. यह एक 7x7 जादू वर्ग है;

2. इसमें 5x5 मैजिक स्क्वायर है;

3. एक 5x5 जादू वर्ग में एक 3x3 जादू वर्ग होता है;

4. इन सभी वर्गों की एक समान केंद्रीय संख्या है - 3407;

5. संख्या 7 में 7x7 वर्ग के अंत में शामिल सभी 49 संख्याएं;

6. 7x7 वर्ग में शामिल सभी 49 संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं;

7. 7x7 वर्ग में शामिल 49 संख्याओं में से प्रत्येक को 30n + 17 के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उपयोग किए गए प्रोग्राम मेरे द्वारा देव-सी ++ प्रोग्रामिंग भाषा में लिखे गए थे और मैं उनके पाठ परिशिष्ट में प्रदान करता हूं (.cpp एक्सटेंशन वाली फाइलें देखें)। उपरोक्त सभी के अलावा, मैंने एक प्रोग्राम लिखा है जो लगातार प्राकृतिक संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करता है (देखें भाजक 1. cpp) और एक प्रोग्राम जो केवल दर्ज की गई संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करता है (देखें भाजक 2. cpp)। चूंकि संकलित रूप में ये कार्यक्रम बहुत अधिक स्थान लेते हैं, केवल उनके पाठ दिए गए हैं। हालांकि, कोई भी उन्हें संकलित कर सकता है यदि उनके पास सही कार्यक्रम है।

अभाज्य संख्याओं की समस्या में शामिल वैज्ञानिकों की जीवनी

Euclides

(लगभग 330 ईसा पूर्व - लगभग 272 ईसा पूर्व)

पुरातनता के सबसे प्रसिद्ध गणितज्ञ के जीवन के बारे में बहुत कम विश्वसनीय जानकारी संरक्षित की गई है। ऐसा माना जाता है कि उन्होंने एथेंस में अध्ययन किया, जो प्लेटो के स्कूल द्वारा विकसित ज्यामिति के उनके शानदार आदेश की व्याख्या करता है। हालाँकि, जाहिरा तौर पर, वह अरस्तू के लेखन से परिचित नहीं था। उन्होंने अलेक्जेंड्रिया में पढ़ाया, जहां उन्होंने टॉलेमी आई सोटर के शासनकाल के दौरान अपनी शिक्षण गतिविधियों के लिए उच्च प्रशंसा अर्जित की। एक किंवदंती है कि इस राजा ने उन्हें गणित में तेजी से सफलता प्राप्त करने का एक तरीका प्रकट करने की मांग की, जिसके लिए यूक्लिड ने उत्तर दिया कि ज्यामिति में कोई शाही तरीके नहीं थे (हालांकि, इसी तरह की कहानी मेनकेम के बारे में भी बताई गई है, जिसे कथित तौर पर पूछा गया था) सिकंदर महान द्वारा उसी के बारे में)। परंपरा ने यूक्लिड की स्मृति को एक उदार और विनम्र व्यक्ति के रूप में संरक्षित किया है। यूक्लिड विभिन्न विषयों पर ग्रंथों के लेखक हैं, लेकिन उनका नाम मुख्य रूप से "बिगिनिंग्स" नामक ग्रंथों में से एक के साथ जुड़ा हुआ है। यह उन गणितज्ञों के कार्यों के संग्रह के बारे में है जिन्होंने उनसे पहले काम किया था (उनमें से सबसे प्रसिद्ध कोस के हिप्पोक्रेट्स थे), जिसके परिणाम उन्होंने सामान्यीकरण और परिश्रम की क्षमता के लिए पूर्णता के लिए लाए।

यूलर (यूलर) लियोनार्ड

(बेसल, स्विट्ज़रलैंड 1707 - सेंट पीटर्सबर्ग, 1783)

गणितज्ञ, मैकेनिक और भौतिक विज्ञानी। एक गरीब पादरी पॉल यूलर के परिवार में जन्मे। उन्होंने अपनी शिक्षा सबसे पहले अपने पिता से प्राप्त की, और 1720-24 में बेसल विश्वविद्यालय में, जहाँ उन्होंने आई. बर्नौली द्वारा गणित पर व्याख्यान में भाग लिया।

1726 के अंत में, यूलर को सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज में आमंत्रित किया गया था और मई 1727 में सेंट पीटर्सबर्ग पहुंचे। नई संगठित अकादमी में, यूलर को वैज्ञानिक गतिविधि के लिए अनुकूल परिस्थितियां मिलीं, जिससे उन्हें तुरंत गणित और यांत्रिकी का अध्ययन शुरू करने की अनुमति मिली। सेंट पीटर्सबर्ग में अपने जीवन की पहली अवधि के 14 वर्षों के दौरान, यूलर ने प्रकाशन के लिए लगभग 80 कार्य तैयार किए और 50 से अधिक प्रकाशित किए। सेंट पीटर्सबर्ग में, उन्होंने रूसी का अध्ययन किया।

यूलर ने सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज की कई गतिविधियों में भाग लिया। उन्होंने अकादमिक विश्वविद्यालय के छात्रों को व्याख्यान दिया, विभिन्न तकनीकी परीक्षाओं में भाग लिया, रूस के मानचित्रों के संकलन पर काम किया और सार्वजनिक रूप से उपलब्ध "गाइड टू अरिथमेटिक" (1738-40) लिखा। अकादमी के विशेष निर्देशों पर, यूलर ने प्रकाशन के लिए तैयार किया नौसेना विज्ञान (1749), जहाज निर्माण और नेविगेशन के सिद्धांत पर एक मौलिक कार्य।

1741 में, यूलर ने प्रशिया के राजा फ्रेडरिक द्वितीय के बर्लिन जाने के प्रस्ताव को स्वीकार कर लिया, जहां विज्ञान अकादमी का पुनर्गठन होना था। बर्लिन विज्ञान अकादमी में, यूलर ने गणित वर्ग के निदेशक और बोर्ड के एक सदस्य का पद ग्रहण किया, और इसके पहले अध्यक्ष, पी. मौपर्टुइस की मृत्यु के बाद, कई वर्षों तक (1759 से) उन्होंने वास्तव में अकादमी का निर्देशन किया। बर्लिन में अपने जीवन के 25 वर्षों के लिए, उन्होंने लगभग 300 रचनाएँ तैयार कीं, उनमें से कई बड़े मोनोग्राफ भी थे।

बर्लिन में रहते हुए, यूलर ने सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज के लिए अपने मानद सदस्य की उपाधि बरकरार रखते हुए गहनता से काम करना बंद नहीं किया। उन्होंने एक व्यापक वैज्ञानिक और वैज्ञानिक-संगठनात्मक पत्राचार किया, विशेष रूप से, उन्होंने एम। लोमोनोसोव के साथ पत्राचार किया, जिसे उन्होंने अत्यधिक महत्व दिया। यूलर ने रूसी अकादमिक वैज्ञानिक निकाय के गणितीय विभाग का संपादन किया, जहां इस समय के दौरान उन्होंने बर्लिन एकेडमी ऑफ साइंसेज के "संस्मरण" के रूप में लगभग कई लेख प्रकाशित किए। उन्होंने रूसी गणितज्ञों के प्रशिक्षण में सक्रिय रूप से भाग लिया; भविष्य के शिक्षाविद एस। कोटेलनिकोव, एस। रुमोव्स्की और एम। सोफ्रोनोव को उनके नेतृत्व में अध्ययन करने के लिए बर्लिन भेजा गया था। यूलर ने सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज को वैज्ञानिक साहित्य और इसके लिए उपकरण प्राप्त करने, अकादमी में पदों के लिए उम्मीदवारों के साथ बातचीत करने आदि में बहुत सहायता प्रदान की।

17 जुलाई (28), 1766 को यूलर और उनका परिवार सेंट पीटर्सबर्ग लौट आए। अपनी उन्नत उम्र और लगभग पूर्ण अंधेपन के बावजूद, उन्होंने अपने जीवन के अंत तक उत्पादक रूप से काम किया। सेंट पीटर्सबर्ग में अपने दूसरे प्रवास के 17 वर्षों के दौरान, उन्होंने लगभग 400 रचनाएँ तैयार कीं, उनमें से कई बड़ी पुस्तकें थीं। यूलर ने अकादमी के संगठनात्मक कार्यों में भाग लेना जारी रखा। 1776 में, वह आई. कुलिबिन द्वारा प्रस्तावित नेवा के पार एकल-आर्च पुल की परियोजना के विशेषज्ञों में से एक थे, और पूरे आयोग में से, उन्होंने अकेले ही परियोजना को व्यापक समर्थन दिया।

एक प्रमुख वैज्ञानिक और वैज्ञानिक अनुसंधान के आयोजक के रूप में यूलर की योग्यता को उनके जीवनकाल में बहुत सराहा गया। सेंट पीटर्सबर्ग और बर्लिन अकादमियों के अलावा, वह सबसे बड़े वैज्ञानिक संस्थानों के सदस्य थे: पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज, रॉयल सोसाइटी ऑफ लंदन और अन्य।

यूलर के काम की एक पहचान उसकी असाधारण उत्पादकता है। केवल उनके जीवनकाल के दौरान, उनकी लगभग 550 पुस्तकें और लेख प्रकाशित हुए थे (यूलर के कार्यों की सूची में लगभग 850 शीर्षक हैं)। 1909 में, स्विस नेचुरल साइंस सोसाइटी ने यूलर के पूर्ण कार्यों को प्रकाशित करना शुरू किया, जो 1975 में पूरा हुआ; इसमें 72 खंड हैं। यूलर का विशाल वैज्ञानिक पत्राचार (लगभग 3,000 पत्र) बहुत रुचि का है, जो अब तक केवल आंशिक रूप से प्रकाशित हुआ है।

यूलर के अध्ययन का चक्र असामान्य रूप से विस्तृत था, जिसमें समकालीन गणित और यांत्रिकी के सभी विभागों, लोच के सिद्धांत, गणितीय भौतिकी, प्रकाशिकी, संगीत सिद्धांत, मशीन सिद्धांत, बैलिस्टिक, समुद्री विज्ञान, बीमा व्यवसाय आदि शामिल थे। यूलर के कार्यों का लगभग 3/5 गणित से संबंधित हैं, शेष 2/5 मुख्य रूप से इसके अनुप्रयोगों के लिए हैं। वैज्ञानिक ने अपने परिणामों और दूसरों द्वारा प्राप्त परिणामों को कई शास्त्रीय मोनोग्राफ में व्यवस्थित किया, अद्भुत स्पष्टता के साथ लिखा और मूल्यवान उदाहरण प्रदान किए। ये हैं, उदाहरण के लिए, "यांत्रिकी, या गति का विज्ञान, विश्लेषणात्मक रूप से निर्धारित" (1736), "विश्लेषण का परिचय" (1748), "डिफरेंशियल कैलकुलस" (1755), "एक कठोर शरीर की गति का सिद्धांत" ( 1765), "सार्वभौमिक अंकगणित" (1768-69), जो 6 भाषाओं में लगभग 30 संस्करणों के माध्यम से चला गया, "इंटीग्रल कैलकुलस" (1768-94), आदि। XVIII सदी में। और आंशिक रूप से 19वीं सदी में। एक निश्चित जर्मन राजकुमारी को लिखे गए विभिन्न भौतिक और दार्शनिक मामलों पर सार्वजनिक रूप से उपलब्ध पत्रों ने अत्यधिक लोकप्रियता हासिल की। (1768-74), जो 10 भाषाओं में 40 से अधिक संस्करणों के माध्यम से चला गया। यूलर के मोनोग्राफ की अधिकांश सामग्री को तब उच्च और आंशिक रूप से माध्यमिक विद्यालयों की पाठ्यपुस्तकों में शामिल किया गया था। अब तक इस्तेमाल किए गए यूलर के सभी प्रमेयों, विधियों और सूत्रों को सूचीबद्ध करना असंभव है, जिनमें से केवल कुछ ही उनके नाम के तहत साहित्य में दिखाई देते हैं [उदाहरण के लिए, यूलर की टूटी हुई रेखा विधि, यूलर के प्रतिस्थापन, यूलर के स्थिरांक, यूलर के समीकरण, यूलर के सूत्र, यूलर का कार्य, यूलर की संख्याएं, यूलर का सूत्र - मैकलॉरिन, यूलर-फूरियर सूत्र, यूलर विशेषता, यूलर इंटीग्रल, यूलर कोण]।

"मैकेनिक्स" में यूलर ने सबसे पहले गणितीय विश्लेषण की मदद से एक बिंदु की गतिकी की व्याख्या की: एक निर्वात में और प्रतिरोध के साथ एक माध्यम में विभिन्न बलों की कार्रवाई के तहत एक बिंदु की मुक्त गति; किसी दी गई रेखा के साथ या किसी दी गई सतह के साथ एक बिंदु की गति; केंद्रीय बलों के प्रभाव में आंदोलन। 1744 में उन्होंने सबसे पहले कम से कम क्रिया के यांत्रिक सिद्धांत को सही ढंग से तैयार किया और इसके पहले अनुप्रयोगों को दिखाया। द थ्योरी ऑफ़ मोशन ऑफ़ ए रिजिड बॉडी में, यूलर ने एक कठोर शरीर की गतिज और गतिकी विकसित की और एक निश्चित बिंदु के चारों ओर इसके घूमने के लिए समीकरण दिए, जाइरोस्कोप के सिद्धांत की नींव रखी। जहाज के अपने सिद्धांत में, यूलर ने स्थिरता के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण योगदान दिया। खगोलीय यांत्रिकी (उदाहरण के लिए, चंद्रमा की गति के सिद्धांत में) और सातत्य यांत्रिकी (यूलर के रूप में और तथाकथित लैग्रेंज चर, गैस के रूप में एक आदर्श द्रव की गति के बुनियादी समीकरण) में यूलर की खोज महत्वपूर्ण हैं। पाइप, आदि में दोलन)। प्रकाशिकी में, यूलर (1747) ने एक उभयलिंगी लेंस के लिए सूत्र दिया और एक माध्यम के अपवर्तनांक की गणना के लिए एक विधि प्रस्तावित की। यूलर ने प्रकाश के तरंग सिद्धांत का पालन किया। उनका मानना ​​​​था कि विभिन्न रंग प्रकाश की विभिन्न तरंग दैर्ध्य के अनुरूप होते हैं। यूलर ने लेंस के रंगीन विपथन को खत्म करने के तरीकों का प्रस्ताव दिया और माइक्रोस्कोप के ऑप्टिकल घटकों की गणना के लिए तरीके दिए। यूलर ने गणितीय भौतिकी के लिए 1748 में शुरू किए गए कार्यों की एक विस्तृत श्रृंखला को समर्पित किया: एक स्ट्रिंग, प्लेट, झिल्ली, आदि के कंपन की समस्याएं। इन सभी अध्ययनों ने अंतर समीकरणों के सिद्धांत, विश्लेषण के अनुमानित तरीकों और विशेष के विकास को प्रेरित किया। . कार्य, अंतर ज्यामिति, आदि। यूलर की कई गणितीय खोजें इन कार्यों में सटीक रूप से निहित हैं।

गणितज्ञ के रूप में यूलर का मुख्य कार्य गणितीय विश्लेषण का विकास था। उन्होंने कई गणितीय विषयों की नींव रखी जो केवल अपनी प्रारंभिक अवस्था में थे या आई. न्यूटन, जी. लीबनिज़ और बर्नौली बंधुओं के इनफिनिटसिमल कैलकुलस में पूरी तरह से अनुपस्थित थे। इस प्रकार, यूलर एक जटिल तर्क के कार्यों को पेश करने वाले और एक जटिल चर (घातीय, लघुगणक, और त्रिकोणमितीय कार्यों) के बुनियादी प्राथमिक कार्यों के गुणों का अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति थे; विशेष रूप से, उन्होंने त्रिकोणमितीय कार्यों को घातांक से संबंधित सूत्र प्राप्त किए। इस दिशा में यूलर के कार्य ने एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत की शुरुआत को चिह्नित किया।

यूलर विविधताओं के कलन का निर्माता था, जिसका वर्णन "अधिकतम या न्यूनतम गुणों वाली घुमावदार रेखाओं को खोजने की विधि" में वर्णित है। » (1744)। जिस विधि से 1744 में यूलर ने एक कार्यात्मक, यूलर समीकरण के चरम के लिए आवश्यक शर्त प्राप्त की, वह 20 वीं शताब्दी की विविधताओं के कैलकुस के प्रत्यक्ष तरीकों का एक प्रोटोटाइप था। यूलर ने एक स्वतंत्र अनुशासन के रूप में साधारण अंतर समीकरणों के सिद्धांत का निर्माण किया और आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत की नींव रखी। यहां वह बड़ी संख्या में खोजों का मालिक है: निरंतर गुणांक के साथ रैखिक समीकरणों को हल करने की शास्त्रीय विधि, मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि, रिकाटी समीकरण के मूल गुणों की व्याख्या, अनंत श्रृंखला का उपयोग करके चर गुणांक के साथ रैखिक समीकरणों का एकीकरण, विशेष समाधान के लिए मानदंड, एकीकृत कारक का सिद्धांत, विभिन्न अनुमानित तरीके और आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए कई तकनीकें। यूलर ने अपने "इंटीग्रल कैलकुलस" में इन परिणामों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा संकलित किया।

यूलर ने शब्द के संकीर्ण अर्थ में अंतर और अभिन्न कलन को भी समृद्ध किया (उदाहरण के लिए, चर के परिवर्तन का सिद्धांत, सजातीय कार्यों पर प्रमेय, दोहरे अभिन्न की अवधारणा, और कई विशेष अभिन्नों की गणना)। "डिफरेंशियल कैलकुलस" में, यूलर ने डाइवर्जेंट सीरीज़ के इस्तेमाल की समीचीनता और श्रृंखला के सामान्यीकृत योग के लिए प्रस्तावित तरीकों में अपने दृढ़ विश्वास को उदाहरणों के साथ व्यक्त और समर्थन किया, जो कि मोड़ पर बनाए गए डाइवर्जेंट सीरीज़ के आधुनिक कठोर सिद्धांत के विचारों की आशंका है। 19वीं और 20वीं सदी। इसके अलावा, यूलर ने श्रृंखला के सिद्धांत में कई ठोस परिणाम प्राप्त किए। उन्होंने तथाकथित खोला। यूलर-मैकलॉरिन योग सूत्र, श्रृंखला के परिवर्तन का प्रस्ताव करता है जो उसके नाम को धारण करता है, बड़ी संख्या में श्रृंखलाओं का योग निर्धारित करता है, और गणित में नए महत्वपूर्ण प्रकार की श्रृंखला पेश करता है (उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय श्रृंखला)। यूलर का अध्ययन निरंतर भिन्नों के सिद्धांत और अन्य अनंत प्रक्रियाओं से जुड़ा हुआ है।

यूलर विशेष कार्यों के सिद्धांत के संस्थापक हैं। उन्होंने पहले ज्या और कोज्या को कार्यों के रूप में मानना ​​शुरू किया, न कि एक वृत्त में खंडों के रूप में। उन्होंने प्रारंभिक कार्यों के लगभग सभी शास्त्रीय विस्तार को अनंत श्रृंखला और उत्पादों में प्राप्त किया। उनके कार्यों में, -फ़ंक्शन का सिद्धांत बनाया गया था। उन्होंने अण्डाकार इंटीग्रल, हाइपरबोलिक और बेलनाकार फ़ंक्शंस, -फ़ंक्शन, कुछ θ-फ़ंक्शंस, इंटीग्रल लॉगरिदम और विशेष बहुपदों के महत्वपूर्ण वर्गों के गुणों की जांच की।

पी। चेबीशेव के अनुसार, यूलर ने उन सभी शोधों की नींव रखी जो संख्या सिद्धांत के सामान्य भाग का गठन करते हैं। इस प्रकार, यूलर ने पी. फ़र्मेट (उदाहरण के लिए, फ़र्मेट की छोटी प्रमेय) द्वारा दिए गए कई कथनों को सिद्ध किया, शक्ति अवशेषों के सिद्धांत और द्विघात रूपों के सिद्धांत की नींव विकसित की, द्विघात पारस्परिकता कानून की खोज की (लेकिन साबित नहीं हुई), और डायोफैंटाइन विश्लेषण में कई समस्याओं का अध्ययन किया। संख्याओं को शब्दों में विभाजित करने और अभाज्य संख्याओं के सिद्धांत पर काम करते हुए, यूलर विश्लेषण के तरीकों का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे, इस प्रकार विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत के निर्माता थे। विशेष रूप से, उन्होंने -फ़ंक्शन की शुरुआत की और तथाकथित को साबित किया। सभी प्राकृतिक संख्याओं से अभाज्य संख्याओं से संबंधित यूलर की पहचान।

गणित के अन्य क्षेत्रों में भी यूलर के गुण महान हैं। बीजगणित में, वह रेडिकल में उच्च डिग्री के समीकरणों के समाधान पर और दो अज्ञात में समीकरणों के साथ-साथ तथाकथित के मालिक हैं। यूलर की चार-वर्ग पहचान। यूलर ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति में महत्वपूर्ण प्रगति की, विशेष रूप से दूसरे क्रम की सतहों के सिद्धांत में। विभेदक ज्यामिति में, उन्होंने भूगणितीय रेखाओं के गुणों का विस्तार से अध्ययन किया, पहली बार वक्रों के प्राकृतिक समीकरणों को लागू किया, और सबसे महत्वपूर्ण बात, उन्होंने सतहों के सिद्धांत की नींव रखी। उन्होंने एक सतह पर एक बिंदु पर प्रमुख दिशाओं की अवधारणा की शुरुआत की, उनकी ऑर्थोगोनैलिटी को साबित किया, किसी भी सामान्य खंड की वक्रता के लिए एक सूत्र प्राप्त किया, विकास योग्य सतहों का अध्ययन करना शुरू किया, आदि; मरणोपरांत प्रकाशित एक काम (1862) में, उन्होंने आंशिक रूप से सतहों की आंतरिक ज्यामिति पर के। गॉस के शोध का अनुमान लगाया। यूलर ने टोपोलॉजी के व्यक्तिगत प्रश्नों से भी निपटा और साबित किया, उदाहरण के लिए, उत्तल पॉलीहेड्रा पर एक महत्वपूर्ण प्रमेय। गणितज्ञ यूलर को अक्सर एक शानदार "कैलकुलेटर" के रूप में वर्णित किया जाता है। वास्तव में, वह औपचारिक गणनाओं और परिवर्तनों के एक नायाब मास्टर थे; उनके कार्यों में, कई गणितीय सूत्रों और प्रतीकों को एक आधुनिक रूप मिला (उदाहरण के लिए, वह ई और के लिए पदनामों का मालिक है)। हालांकि, यूलर ने विज्ञान में कई गहरे विचारों को भी पेश किया, जो अब सख्ती से प्रमाणित हैं और शोध के विषय में गहराई की गहराई के लिए एक मॉडल के रूप में काम करते हैं।

पी. लाप्लास के अनुसार, यूलर 18वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में गणितज्ञों के शिक्षक थे।

डिरिचलेट पीटर गुस्ताव

(ड्यूरेन, अब जर्मनी, 1805 - गोटिंगेन, ibid., 1859)

उन्होंने पेरिस में अध्ययन किया, विशेष रूप से फूरियर के साथ उत्कृष्ट गणितज्ञों के साथ मैत्रीपूर्ण संबंध बनाए रखा। अपनी डिग्री प्राप्त करने के बाद, वह ब्रेसलाऊ (1826 - 1828), बर्लिन (1828 - 1855) और गोटिंगेन के विश्वविद्यालयों में प्रोफेसर थे, जहां वे वैज्ञानिक कार्ल फ्रेडरिक गॉस की मृत्यु के बाद गणित विभाग के प्रमुख बने। विज्ञान में उनका सबसे उत्कृष्ट योगदान संख्या सिद्धांत से संबंधित है, मुख्य रूप से श्रृंखला का अध्ययन। इसने उन्हें फूरियर द्वारा प्रस्तावित श्रृंखला सिद्धांत विकसित करने की अनुमति दी। उन्होंने फ़र्मेट के प्रमेय के प्रमाण का अपना संस्करण बनाया, अंकगणितीय समस्याओं को हल करने के लिए विश्लेषणात्मक कार्यों का उपयोग किया, और श्रृंखला के लिए अभिसरण मानदंड पेश किए। गणितीय विश्लेषण के क्षेत्र में उन्होंने एक फ़ंक्शन की परिभाषा और अवधारणा में सुधार किया, सैद्धांतिक यांत्रिकी के क्षेत्र में उन्होंने सिस्टम की स्थिरता के अध्ययन और क्षमता की न्यूटनियन अवधारणा पर ध्यान केंद्रित किया।

चेबीशेव पफनुति ल्वोविच

रूसी गणितज्ञ, सेंट पीटर्सबर्ग वैज्ञानिक स्कूल के संस्थापक, सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज के शिक्षाविद (1856)। चेबीशेव के कार्यों ने गणित की कई नई शाखाओं के विकास की नींव रखी।

चेबीशेव के कई काम गणितीय विश्लेषण के क्षेत्र में हैं। वह, विशेष रूप से, व्याख्यान के अधिकार के लिए एक शोध प्रबंध का विषय था, जिसमें चेबीशेव ने बीजीय कार्यों और लघुगणक में कुछ तर्कहीन अभिव्यक्तियों की अभिन्नता की जांच की। चेबीशेव ने बीजीय कार्यों के एकीकरण के लिए कई अन्य कार्यों को भी समर्पित किया। उनमें से एक (1853) में, एक अंतर द्विपद के प्रारंभिक कार्यों में अभिन्नता की स्थिति पर एक प्रसिद्ध प्रमेय प्राप्त किया गया था। गणितीय विश्लेषण में अनुसंधान का एक महत्वपूर्ण क्षेत्र ऑर्थोगोनल बहुपदों के सामान्य सिद्धांत के निर्माण पर उनका काम है। इसके निर्माण का कारण अल्पतम वर्ग विधि द्वारा परवलयिक प्रक्षेप था। क्षणों की समस्या और चतुर्भुज सूत्रों पर चेबीशेव की जांच विचारों के एक ही चक्र से जुड़ी हुई है। गणनाओं में कमी को ध्यान में रखते हुए, चेबीशेव ने समान गुणांक (अनुमानित एकीकरण) के साथ चतुर्भुज सूत्रों पर विचार करने का प्रस्ताव (1873) दिया। सैन्य वैज्ञानिक समिति के तोपखाने विभाग में चेबीशेव के लिए निर्धारित कार्यों के साथ चतुर्भुज सूत्रों और प्रक्षेप के सिद्धांत पर अनुसंधान निकटता से जुड़ा हुआ था।

संभाव्यता के सिद्धांत में, चेबीशेव को यादृच्छिक चर के विचार के लिए व्यवस्थित परिचय और संभाव्यता सिद्धांत की सीमा प्रमेयों को साबित करने के लिए एक नई तकनीक के निर्माण का श्रेय दिया जाता है - तथाकथित। क्षणों की विधि (1845, 1846, 1867, 1887)। उन्होंने बड़ी संख्या के नियम को बहुत ही सामान्य रूप में सिद्ध किया; साथ ही, उनका प्रमाण इसकी सादगी और मौलिकता में हड़ताली है। चेबीशेव ने स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग के वितरण कार्यों के सामान्य कानून के अभिसरण के लिए शर्तों का अध्ययन पूरा नहीं किया। हालांकि, ए.ए. मार्कोव चेबीशेव के तरीकों के कुछ अतिरिक्त के साथ ऐसा करने में कामयाब रहे। कठोर व्युत्पत्तियों के बिना, चेबीशेव ने n21/2 की शक्तियों में स्वतंत्र शर्तों के योग के वितरण फ़ंक्शन के स्पर्शोन्मुख विस्तार के रूप में इस सीमा प्रमेय के परिशोधन की संभावना को भी रेखांकित किया, जहां n शब्दों की संख्या है। संभाव्यता सिद्धांत पर चेबीशेव का कार्य इसके विकास में एक महत्वपूर्ण चरण है; इसके अलावा, वे आधार थे जिस पर रूसी स्कूल ऑफ प्रायिकता सिद्धांत विकसित हुआ, जिसमें पहले चेबीशेव के प्रत्यक्ष छात्र शामिल थे।

रीमैन जॉर्ज फ्रेडरिक बर्नहार्ड

(ब्रेसेलेंज़, लोअर सैक्सोनी, 1826 - सेलास्का, इंट्रा के पास, इटली 66)

जर्मन गणितज्ञ। 1846 में उन्होंने गौटिंगेन विश्वविद्यालय में प्रवेश किया: उन्होंने के। गॉस के व्याख्यानों को सुना, जिनके कई विचार बाद में उनके द्वारा विकसित किए गए थे। 1847-49 में उन्होंने बर्लिन विश्वविद्यालय में व्याख्यान में भाग लिया; 1849 में वे गौटिंगेन लौट आए, जहां गॉस के सहयोगी, भौतिक विज्ञानी डब्ल्यू. वेबर के साथ उनकी घनिष्ठ मित्रता हो गई, जिन्होंने उनमें गणितीय प्राकृतिक विज्ञान के प्रश्नों में गहरी रुचि जगाई।

1851 में उन्होंने अपने डॉक्टरेट थीसिस "एक जटिल चर के कार्यों के सामान्य सिद्धांत के मूल सिद्धांतों" का बचाव किया। 1854 से प्रिवेटडोजेंट, 1857 से गौटिंगेन विश्वविद्यालय में प्रोफेसर।

19वीं सदी के उत्तरार्ध में रीमैन के काम का गणित के विकास पर बहुत प्रभाव पड़ा। और 20वीं सदी में। अपने डॉक्टरेट शोध प्रबंध में, रीमैन ने विश्लेषणात्मक कार्यों के सिद्धांत की ज्यामितीय दिशा की नींव रखी; उन्होंने तथाकथित रीमैन सतहों की शुरुआत की, जो बहुमूल्य कार्यों के अध्ययन में महत्वपूर्ण हैं, अनुरूप मानचित्रण के सिद्धांत को विकसित किया और, इसके संबंध में, टोपोलॉजी के मूल विचार दिए, क्षेत्रों के अंदर विश्लेषणात्मक कार्यों के अस्तित्व के लिए स्थितियों का अध्ययन किया। विभिन्न प्रकार के (तथाकथित डिरिचलेट सिद्धांत), आदि। रीमैन द्वारा विकसित विधियों का व्यापक रूप से बीजीय कार्यों और इंटीग्रल के सिद्धांत पर, अंतर समीकरणों के विश्लेषणात्मक सिद्धांत पर (विशेष रूप से, हाइपरजोमेट्रिक फ़ंक्शन को परिभाषित करने वाले समीकरण) पर उनके आगे के कार्यों में व्यापक रूप से उपयोग किया गया था। विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत पर (उदाहरण के लिए, रीमैन ने अभाज्य संख्याओं के वितरण और -फ़ंक्शन के गुणों के बीच संबंध का संकेत दिया, विशेष रूप से जटिल डोमेन में इसके शून्यों के वितरण के साथ - तथाकथित रीमैन परिकल्पना, जिसकी वैधता अभी तक सिद्ध नहीं हुई है), आदि।

कई पत्रों में, रीमैन ने त्रिकोणमितीय श्रृंखला में कार्यों के विस्तार की जांच की और इसके संबंध में, रीमैन के अर्थ में अभिन्नता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों को निर्धारित किया, जो एक वास्तविक चर के सेट और कार्यों के सिद्धांत के लिए महत्वपूर्ण था। . रीमैन ने आंशिक अंतर समीकरणों को एकीकृत करने के तरीकों का भी प्रस्ताव रखा (उदाहरण के लिए, तथाकथित रीमैन इनवेरिएंट और रीमैन फ़ंक्शन का उपयोग करके)।

अपने प्रसिद्ध 1854 के व्याख्यान "ऑन द हाइपोथीसिस अंडरलाइंग ज्योमेट्री" (1867) में, रीमैन ने कार्यात्मक और टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान सहित गणितीय स्थान (उनके शब्दों में, "कई गुना") का सामान्य विचार दिया। यहां उन्होंने व्यापक अर्थों में ज्यामिति को निरंतर n-आयामी मैनिफोल्ड्स के सिद्धांत के रूप में माना, अर्थात, किसी भी सजातीय वस्तुओं का संग्रह, और सतह की आंतरिक ज्यामिति पर गॉस के परिणामों को सामान्य करते हुए, उन्होंने एक रैखिक तत्व की सामान्य अवधारणा दी। (कई गुना के बिंदुओं के बीच की दूरी का अंतर), जिससे परिभाषित होता है कि फिन्सलर रिक्त स्थान क्या कहलाता है। अधिक विस्तार से, रिमेंन ने तथाकथित रीमैनियन रिक्त स्थान पर विचार किया, यूक्लिड, लोबाचेवस्की और रीमैन की अंडाकार ज्यामिति के ज्यामिति के रिक्त स्थान को सामान्य बनाते हुए, एक विशेष प्रकार के रैखिक तत्व द्वारा विशेषता, और उनके वक्रता के सिद्धांत को विकसित किया। भौतिक अंतरिक्ष के लिए अपने विचारों के आवेदन पर चर्चा करते हुए, रीमैन ने इसके "मीट्रिक गुणों के कारणों" का सवाल उठाया, जैसे कि सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत में क्या किया गया था।

रीमैन द्वारा प्रस्तावित विचारों और विधियों ने गणित के विकास में नए रास्ते खोले और यांत्रिकी और सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत में आवेदन पाया। 1866 में तपेदिक से वैज्ञानिक की मृत्यु हो गई।

संख्याएँ भिन्न हैं: प्राकृतिक, प्राकृतिक, परिमेय, पूर्णांक और भिन्नात्मक, धनात्मक और ऋणात्मक, सम्मिश्र और अभाज्य, विषम और सम, वास्तविक, आदि। इस लेख से आप अभाज्य संख्याएँ क्या हैं, यह जान सकते हैं।

अंग्रेजी के शब्द "सरल" को किन संख्याओं का नाम दिया गया है?

बहुत बार, स्कूली बच्चे यह नहीं जानते कि गणित में सबसे सरल प्रश्नों में से एक का उत्तर कैसे दिया जाए, एक अभाज्य संख्या क्या है। वे अक्सर अभाज्य संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं के साथ भ्रमित करते हैं (अर्थात, वे संख्याएँ जिनका उपयोग लोग वस्तुओं की गिनती करते समय करते हैं, जबकि कुछ स्रोतों में वे शून्य से शुरू होते हैं, और अन्य में - एक से)। लेकिन ये दो पूरी तरह से अलग अवधारणाएं हैं। अभाज्य संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ हैं, अर्थात् पूर्णांक और धनात्मक संख्याएँ जो एक से बड़ी हों और जिनमें केवल 2 प्राकृत भाजक हों। इस मामले में, इनमें से एक भाजक एक दी गई संख्या है, और दूसरा एक इकाई है। उदाहरण के लिए, तीन एक अभाज्य संख्या है क्योंकि यह स्वयं और एक के अलावा किसी अन्य संख्या से समान रूप से विभाज्य नहीं है।

समग्र संख्या

अभाज्य संख्याओं के विपरीत भाज्य संख्याएँ होती हैं। वे प्राकृतिक भी हैं, एक से भी बड़े, लेकिन दो नहीं, बल्कि अधिक भाजक हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्याएँ 4, 6, 8, 9, आदि प्राकृतिक, संयुक्त हैं, लेकिन अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, ये ज्यादातर सम संख्याएं हैं, लेकिन सभी नहीं। लेकिन अभाज्य संख्याओं की श्रृंखला में "दो" एक सम संख्या और "पहली संख्या" है।

परिणाम को

अभाज्य संख्याओं की एक श्रृंखला बनाने के लिए, उनकी परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, सभी प्राकृतिक संख्याओं में से चयन करना आवश्यक है, अर्थात आपको विरोधाभास से कार्य करने की आवश्यकता है। इस विषय पर प्रत्येक प्राकृतिक सकारात्मक संख्याओं पर विचार करना आवश्यक है कि क्या इसमें दो से अधिक भाजक हैं। आइए एक श्रृंखला (अनुक्रम) बनाने का प्रयास करें जिसमें अभाज्य संख्याएँ हों। सूची दो से शुरू होती है, फिर तीन आती है, क्योंकि यह केवल अपने आप से और एक से विभाज्य है। संख्या चार पर विचार करें। क्या इसमें चार और एक के अलावा अन्य भाजक हैं? हाँ, वह संख्या 2 है। अतः चार एक अभाज्य संख्या नहीं है। पांच भी अभाज्य है (1 और 5 के अलावा, यह किसी अन्य संख्या से विभाज्य नहीं है), लेकिन छह विभाज्य है। और सामान्य तौर पर, यदि आप सभी सम संख्याओं का अनुसरण करते हैं, तो आप देखेंगे कि "दो" के अलावा, उनमें से कोई भी अभाज्य नहीं है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दो को छोड़कर सम संख्याएँ अभाज्य नहीं होती हैं। एक और खोज: सभी संख्याएँ जो तीन से विभाज्य हैं, स्वयं ट्रिपल को छोड़कर, चाहे सम या विषम, भी अभाज्य नहीं हैं (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, आदि)। वही उन संख्याओं पर लागू होता है जो पाँच और सात से विभाज्य हैं। उनका सारा सेट भी सरल नहीं है। आइए संक्षेप करते हैं। इसलिए, एक और नौ को छोड़कर सभी विषम संख्याएं साधारण एकल-अंक वाली संख्याओं से संबंधित होती हैं, और सम संख्याओं में से केवल "दो" होती हैं। दहाई स्वयं (10, 20,... 40, आदि) अभाज्य नहीं हैं। दो-अंकीय, तीन-अंकीय, आदि अभाज्य संख्याओं को उपरोक्त सिद्धांतों के आधार पर परिभाषित किया जा सकता है: यदि उनके पास स्वयं और एक के अलावा कोई अन्य भाजक नहीं है।

अभाज्य संख्याओं के गुणों के बारे में सिद्धांत

एक ऐसा विज्ञान है जो अभाज्य संख्याओं सहित पूर्णांकों के गुणों का अध्ययन करता है। यह गणित की एक शाखा है, जिसे उच्चतर कहा जाता है। पूर्णांकों के गुणों के अलावा, वह बीजगणितीय, अनुवांशिक संख्याओं के साथ-साथ इन संख्याओं के अंकगणित से संबंधित विभिन्न मूल के कार्यों से भी संबंधित है। इन अध्ययनों में प्राथमिक और बीजगणितीय विधियों के अलावा विश्लेषणात्मक और ज्यामितीय विधियों का भी उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से, अभाज्य संख्याओं का अध्ययन "संख्या सिद्धांत" से संबंधित है।

अभाज्य संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं के "बिल्डिंग ब्लॉक्स" हैं

अंकगणित में एक प्रमेय होता है जिसे मुख्य प्रमेय कहा जाता है। इसके अनुसार, एकता को छोड़कर किसी भी प्राकृतिक संख्या को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसके कारक अभाज्य संख्याएँ हैं, और कारकों का क्रम अद्वितीय है, जिसका अर्थ है कि प्रतिनिधित्व विधि अद्वितीय है। इसे एक प्राकृत संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन कहते हैं। इस प्रक्रिया का एक और नाम है - संख्याओं का गुणनखंडन। इसके आधार पर, प्राकृतिक संख्याओं के निर्माण के लिए अभाज्य संख्याओं को "निर्माण सामग्री", "ब्लॉक" कहा जा सकता है।

प्राइम नंबर खोजें। सादगी परीक्षण

अलग-अलग समय के कई वैज्ञानिकों ने अभाज्य संख्याओं की सूची खोजने के लिए कुछ सिद्धांत (सिस्टम) खोजने की कोशिश की। विज्ञान एटकिन की चलनी, सुंदरतम की चलनी, एराटोस्थनीज की चलनी नामक प्रणालियों को जानता है। हालांकि, वे कोई महत्वपूर्ण परिणाम नहीं देते हैं, और अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए एक साधारण परीक्षण का उपयोग किया जाता है। एल्गोरिदम भी गणितज्ञों द्वारा बनाए गए थे। उन्हें प्रारंभिक परीक्षण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, राबिन और मिलर द्वारा विकसित एक परीक्षण है। इसका उपयोग क्रिप्टोग्राफर्स द्वारा किया जाता है। कायला-अग्रवाला-सास्केन परीक्षण भी होता है। हालांकि, इसकी पर्याप्त सटीकता के बावजूद, इसकी गणना करना बहुत मुश्किल है, जिससे इसका व्यावहारिक मूल्य कम हो जाता है।

क्या अभाज्य संख्याओं के समुच्चय की कोई सीमा होती है?

यह तथ्य कि अभाज्य संख्याओं का समुच्चय अनंत है, प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक यूक्लिड द्वारा "बिगिनिंग्स" पुस्तक में लिखा गया था। उन्होंने यह कहा: "आइए एक पल के लिए कल्पना करें कि अभाज्य संख्याओं की एक सीमा होती है। फिर आइए उन्हें एक-दूसरे से गुणा करें, और उत्पाद में एक जोड़ें। इन सरल संक्रियाओं के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या अभाज्य संख्याओं की किसी भी श्रृंखला से विभाज्य नहीं हो सकती, क्योंकि शेष हमेशा एक ही रहेगा। और इसका मतलब है कि कुछ अन्य संख्याएँ हैं जो अभी तक अभाज्य संख्याओं की सूची में शामिल नहीं हैं। इसलिए, हमारी धारणा सत्य नहीं है, और इस सेट की कोई सीमा नहीं हो सकती है। यूक्लिड के प्रमाण के अलावा, अठारहवीं शताब्दी के स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर द्वारा दिया गया एक और आधुनिक सूत्र है। उनके अनुसार, योग, पहली n संख्याओं के योग का व्युत्क्रम, संख्या n की वृद्धि के साथ अनिश्चित काल तक बढ़ता है। और यहाँ अभाज्य संख्याओं के वितरण के संबंध में प्रमेय का सूत्र है: (n) n / ln (n) की तरह बढ़ता है।

सबसे बड़ी अभाज्य संख्या क्या है?

वही लियोनार्ड यूलर अपने समय के लिए सबसे बड़ी अभाज्य संख्या खोजने में सक्षम थे। यह 2 31 - 1 = 2147483647 है। हालांकि, 2013 तक, अभाज्य संख्याओं की सूची में एक और सबसे सटीक सबसे बड़ी गणना की गई - 2 57885161 - 1. इसे मेर्सन संख्या कहा जाता है। इसमें लगभग 17 मिलियन दशमलव अंक हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, अठारहवीं शताब्दी के एक वैज्ञानिक द्वारा खोजी गई संख्या इससे कई गुना छोटी है। ऐसा होना चाहिए था, क्योंकि यूलर ने यह गणना मैन्युअल रूप से की थी, लेकिन हमारे समकालीन को शायद एक कंप्यूटर ने मदद की थी। इसके अलावा, यह संख्या अमेरिकी विभागों में से एक में गणित विभाग में प्राप्त की गई थी। इस वैज्ञानिक के नाम पर दिए गए नंबर ल्यूक-लेहमर प्राइमलिटी टेस्ट से गुजरते हैं। हालांकि, विज्ञान यहीं रुकना नहीं चाहता है। इलेक्ट्रॉनिक फ्रंटियर फ़ाउंडेशन, जिसे 1990 में संयुक्त राज्य अमेरिका (EFF) में स्थापित किया गया था, ने बड़ी अभाज्य संख्याएँ खोजने के लिए एक मौद्रिक इनाम की पेशकश की है। और अगर 2013 तक उन वैज्ञानिकों को पुरस्कार दिया जाता था जो उन्हें 1 और 10 मिलियन दशमलव संख्याओं में से ढूंढते हैं, तो आज यह आंकड़ा 100 मिलियन से 1 बिलियन तक पहुंच गया है। पुरस्कार 150 से 250 हजार अमेरिकी डॉलर तक हैं।

विशेष अभाज्य संख्याओं के नाम

वे संख्याएँ जो कुछ वैज्ञानिकों द्वारा बनाए गए एल्गोरिदम के लिए धन्यवाद पाई गईं और सरलता परीक्षण पास कर लीं, विशेष कहलाती हैं। ये उनमे से कुछ है:

1. मेर्सिन।

4. कलन।

6. मिल्स एट अल।

उपरोक्त वैज्ञानिकों के नाम पर इन संख्याओं की सरलता निम्नलिखित परीक्षणों का उपयोग करके स्थापित की जाती है:

1. लुकास-लेमर।

2. पेपिना।

3. रिसेल।

4. बिलहार्ट - लेहमर - सेल्फ्रिज और अन्य।

आधुनिक विज्ञान यहीं नहीं रुकता है, और शायद निकट भविष्य में दुनिया उन लोगों के नाम जानेगी जो सबसे बड़ी अभाज्य संख्या ढूंढकर 250,000 डॉलर का पुरस्कार जीतने में सक्षम थे।

विभाजकों की सूची।परिभाषा के अनुसार, संख्या एनकेवल तभी अभाज्य है जब यह 2 और 1 और स्वयं के अलावा किसी भी पूर्णांक से समान रूप से विभाज्य नहीं है। उपरोक्त सूत्र अनावश्यक चरणों को हटाता है और समय बचाता है: उदाहरण के लिए, यह जाँचने के बाद कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, यह जाँचने की कोई आवश्यकता नहीं है कि क्या यह 9 से विभाज्य है।

• फ़्लोर (x) फ़ंक्शन x को x से कम या उसके बराबर के निकटतम पूर्णांक तक ले जाता है।

मॉड्यूलर अंकगणित के बारे में जानें।ऑपरेशन "x mod y" (मॉड लैटिन शब्द "मॉड्यूलो" के लिए छोटा है, जिसका अर्थ है "मॉड्यूल") का अर्थ है "x को y से विभाजित करें और शेष खोजें"। दूसरे शब्दों में, मॉड्यूलर अंकगणित में, एक निश्चित मूल्य तक पहुंचने पर, जिसे कहा जाता है मापांक, संख्याएं "बारी" वापस शून्य हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, एक घड़ी मॉड्यूलस 12 में समय को मापती है: यह 10, 11 और 12 बजे दिखाती है और फिर 1 पर लौट आती है।

• कई कैलकुलेटर में एक आधुनिक कुंजी होती है। इस खंड का अंत दिखाता है कि बड़ी संख्या में इस फ़ंक्शन की मैन्युअल रूप से गणना कैसे करें।

Fermat's Little Theorem के नुकसान के बारे में जानें।वे सभी संख्याएँ जिनके लिए परीक्षण की शर्तें पूरी नहीं हुई हैं, मिश्रित हैं, लेकिन शेष संख्याएँ केवल हैं संभवतसरल माने जाते हैं। यदि आप गलत परिणामों से बचना चाहते हैं, तो देखें एन"कारमाइकल नंबर" (इस परीक्षण को संतुष्ट करने वाली मिश्रित संख्याएं) और "छद्म-अभाज्य फ़र्मेट नंबर" की सूची में (ये संख्याएं केवल कुछ मानों के लिए परीक्षण की शर्तों को पूरा करती हैं ए).

यदि सुविधाजनक हो, तो मिलर-राबिन परीक्षण का उपयोग करें।हालांकि मैनुअल गणना के लिए यह विधि काफी बोझिल है, यह अक्सर कंप्यूटर प्रोग्राम में प्रयोग किया जाता है। यह स्वीकार्य गति प्रदान करता है और फर्मेट की विधि से कम त्रुटियां देता है। यदि से अधिक मानों के लिए गणना की जाती है तो एक समग्र संख्या को एक प्रमुख संख्या के रूप में नहीं लिया जाएगा ए. यदि आप बेतरतीब ढंग से विभिन्न मूल्यों का चयन करते हैं एऔर उन सभी के लिए परीक्षण एक सकारात्मक परिणाम देगा, हम काफी उच्च स्तर के विश्वास के साथ यह मान सकते हैं कि एनएक अभाज्य संख्या है।

बड़ी संख्या के लिए, मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग करें।यदि आपके पास आधुनिक कैलकुलेटर नहीं है, या यदि कैलकुलेटर इतनी बड़ी संख्या को संभालने के लिए डिज़ाइन नहीं किया गया है, तो गणना को आसान बनाने के लिए शक्ति गुणों और मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग करें। नीचे एक उदाहरण है 3 50 (\displaystyle 3^(50))मॉड 50:

• अधिक सुविधाजनक रूप में अभिव्यक्ति को फिर से लिखें: मॉड 50। मैन्युअल रूप से गणना करते समय, और सरलीकरण आवश्यक हो सकता है।
• (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25)))मॉड 50 = मॉड 50 मॉड 50) मॉड 50। यहाँ हमने मॉड्यूलर गुणन की संपत्ति को ध्यान में रखा है।
• 3 25 (\displaystyle 3^(25))मॉड 50 = 43.
• (3 25 (\displaystyle (3^(25)))मॉड 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25))मॉड 50) मॉड 50 = (43 43) (\displaystyle (43*43))मॉड 50.
• = 1849 (\displaystyle =1849)मॉड 50.
• = 49 (\displaystyle=49).

एक अभाज्य संख्या एक प्राकृतिक संख्या है जो केवल स्वयं और एक से विभाज्य है।

शेष संख्याओं को संयुक्त कहा जाता है।

सरल प्राकृतिक संख्याएं

लेकिन सभी प्राकृतिक संख्याएँ अभाज्य नहीं होती हैं।

साधारण प्राकृत संख्याएँ केवल वे होती हैं जो केवल अपने आप से और एक से विभाज्य होती हैं।

अभाज्य संख्याओं के उदाहरण:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

सरल पूर्णांक

यह इस प्रकार है कि केवल प्राकृतिक संख्याएं ही प्रमुख संख्याएं हैं।

इसका मतलब है कि अभाज्य संख्याएँ आवश्यक रूप से प्राकृतिक हैं।

लेकिन सभी प्राकृत संख्याएं भी पूर्णांक होती हैं।

इस प्रकार, सभी अभाज्य संख्याएँ पूर्णांक होती हैं।

अभाज्य संख्याओं के उदाहरण:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

सम अभाज्य संख्याएं

केवल एक सम अभाज्य संख्या है, और वह है दो।

अन्य सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।

दो से बड़ी सम संख्या अभाज्य संख्या क्यों नहीं हो सकती?

लेकिन क्योंकि दो से बड़ी कोई भी सम संख्या अपने आप विभाज्य होगी, एक से नहीं, बल्कि दो से, यानी ऐसी संख्या में हमेशा तीन भाजक होंगे, और संभवतः अधिक।