प्रतीपगमन समीकरण के गुणांकों के लिए, उनके महत्व स्तर की जाँच के अनुसार की जाती है टी -छात्र की कसौटी और कसौटी के अनुसार एफ मछुआरा। नीचे हम केवल रैखिक समीकरणों (12.1) और (12.2) के लिए प्रतिगमन संकेतकों की विश्वसनीयता के आकलन पर विचार करते हैं।

वाई = ए 0+ ए 1 एक्स(12.1)

एक्स = बी 0+बी 1 यू(12.2)

इस प्रकार के समीकरणों के लिए, उनका मूल्यांकन किया जाता है टी-छात्र की कसौटी केवल गुणांक के मान लेकिन 1 मैं बी 1 मूल्य गणना का उपयोग कर टीएफनिम्नलिखित सूत्रों के अनुसार:

कहां आर वाईएक्ससहसंबंध गुणांक, और मूल्य लेकिन 1 की गणना सूत्र 12.5 या 12.7 का उपयोग करके की जा सकती है।

मात्रा की गणना के लिए सूत्र (12.27) का उपयोग किया जाता है टीएफ, लेकिन 1प्रतिगमन समीकरण यूपर एक्स।

मूल्य बी 1 की गणना सूत्रों (12.6) या (12.8) का उपयोग करके की जा सकती है।

मात्रा की गणना के लिए सूत्र (12.29) का उपयोग किया जाता है टीएफ,जो गुणांक के महत्व के स्तर का अनुमान लगाने की अनुमति देता है बी 1प्रतिगमन समीकरण एक्सपर यू

उदाहरण।आइए हम प्रतिगमन गुणांक के महत्व के स्तर का अनुमान लगाएं लेकिन 1 मैं बीसमस्या को हल करने में प्राप्त 1 समीकरण (12.17), और (12.18) 12.1। आइए इसके लिए सूत्र (12.27), (12.28), (12.29) और (12.30) का प्रयोग करें।

प्राप्त प्रतिगमन समीकरणों के रूप को याद करें:

वाई एक्स = 3 + 0,06 एक्स(12.17)

एक्स वाई = 9+ 1 यू(12.19)

मूल्य लेकिनसमीकरण में 1 (12.17) 0.06 के बराबर है। इसलिए, सूत्र (12.27) के अनुसार गणना करने के लिए, आपको मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है एसबी वाई एक्स।समस्या की स्थिति के अनुसार, मात्रा पी= 8. सहसंबंध गुणांक की गणना भी हमारे द्वारा सूत्र 12.9 का उपयोग करके की गई है: आरएक्सवाई = 0,06 0,997 = 0,244 .

यह मात्राओं की गणना करने के लिए बनी हुई है Σ (वी पर- आप) 2 और Σ (एक्स ι -एक्स) 2 , जिसकी हमने गणना नहीं की है। तालिका 12.2 में इन गणनाओं को करना सबसे अच्छा है:

तालिका 12.2

परीक्षार्थियों की संख्या p/p	एक्स	मैं	एक्स -एक्स	(एक्स -एक्स) 2	वी पर- आप	(वी पर- आप) 2
			-4,75	22,56	- 1,75	3,06
			-4,75	22,56	-0,75	0,56
			-2,75	7,56	0,25	0,06
			-2,75	7,56	1,25	15,62
			1,25	1,56	1,25	15,62
			3,25	10,56	0,25	0,06
			5,25	27,56	-0,75	0,56
			5,25	27,56	0,25	0,06
रकम				127,48		35,6
मध्यम	12,75	3,75

हम प्राप्त मूल्यों को सूत्र (12.28) में प्रतिस्थापित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

अब मान की गणना करते हैं टीएफसूत्र (12.27) के अनुसार:

मूल्य टीएफके लिए परिशिष्ट 1 की तालिका 16 के अनुसार महत्व के स्तर के लिए जाँच की जाती है टी-छात्र की कसौटी। इस मामले में स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या 8-2 = 6 के बराबर होगी, इसलिए महत्वपूर्ण मूल्य क्रमशः समान हैं, के लिए पी 0,05 टी क्रे= 2.45 और के लिए मैं 0,01 टी क्रे=3.71. स्वीकृत रूप में, यह इस तरह दिखता है:

हम "महत्व की धुरी" का निर्माण करते हैं:

प्राप्त मूल्य टीएफ परंतुकि समीकरण (12.17) के समाश्रयण गुणांक का मान शून्य से अप्रभेद्य है। दूसरे शब्दों में, परिणामी प्रतिगमन समीकरण मूल प्रयोगात्मक डेटा के लिए अपर्याप्त है।

आइए अब गुणांक के महत्व स्तर की गणना करें बी 1. इसके लिए, मूल्य की गणना करना आवश्यक है एसबीएक्सवाईसूत्र (12.30) के अनुसार, जिसके लिए सभी आवश्यक मात्राओं की गणना पहले ही की जा चुकी है:

अब मान की गणना करते हैं टीएफसूत्र (12.27) के अनुसार:

हम तुरंत "महत्व की धुरी" का निर्माण कर सकते हैं, क्योंकि सभी प्रारंभिक ऑपरेशन ऊपर किए गए हैं:

प्राप्त मूल्य टीएफमहत्व के क्षेत्र में गिर गया, इसलिए हमें परिकल्पना को स्वीकार करना चाहिए एचइस तथ्य के बारे में कि समीकरण (12.19) के प्रतिगमन गुणांक का मान शून्य से अप्रभेद्य है। दूसरे शब्दों में, परिणामी प्रतिगमन समीकरण मूल प्रयोगात्मक डेटा के लिए अपर्याप्त है।

अरेखीय प्रतिगमन

पिछले खंड में प्राप्त परिणाम कुछ हद तक हतोत्साहित करने वाला है: हमने पाया है कि दोनों प्रतिगमन समीकरण (12.15) और (12.17) प्रयोगात्मक डेटा के लिए अपर्याप्त हैं। उत्तरार्द्ध इसलिए हुआ क्योंकि ये दोनों समीकरण सुविधाओं के बीच एक रैखिक संबंध की विशेषता रखते हैं, और हमने धारा 11.9 में दिखाया कि चर के बीच एक्सतथा यूएक महत्वपूर्ण वक्रता निर्भरता है। दूसरे शब्दों में, चर के बीच एक्सतथा यूइस समस्या में रैखिक के लिए नहीं, बल्कि वक्रतापूर्ण कनेक्शन के लिए देखना आवश्यक है। हम इसे "स्टेज 6.0" पैकेज (ए.पी. कुलैचेव द्वारा विकसित, पंजीकरण संख्या 1205) का उपयोग करके करेंगे।

कार्य 12.2. मनोवैज्ञानिक एक प्रतिगमन मॉडल चुनना चाहता है जो समस्या 11.9 में प्राप्त प्रयोगात्मक डेटा के लिए पर्याप्त है।

फेसला।इस समस्या को स्टैडिया सांख्यिकीय पैकेज में पेश किए गए वक्रीय प्रतिगमन मॉडल की एक सरल गणना द्वारा हल किया जाता है। पैकेज को इस तरह से व्यवस्थित किया जाता है कि प्रयोगात्मक डेटा को स्प्रेडशीट में दर्ज किया जाता है, जो कि आगे के काम का स्रोत है, चर के लिए पहले कॉलम के रूप में एक्सऔर चर के लिए दूसरा स्तंभ वाईफिर, मुख्य मेनू में, सांख्यिकी अनुभाग का चयन किया जाता है, इसमें एक उपखंड - प्रतिगमन विश्लेषण, इस उपधारा में फिर से एक उपखंड - वक्रतापूर्ण प्रतिगमन होता है। अंतिम मेनू में विभिन्न प्रकार के वक्रतापूर्ण प्रतिगमन के सूत्र (मॉडल) होते हैं, जिसके अनुसार आप संबंधित प्रतिगमन गुणांक की गणना कर सकते हैं और तुरंत उन्हें महत्व के लिए जांच सकते हैं। नीचे हम वक्रीय प्रतिगमन के तैयार मॉडल (सूत्रों) के साथ काम करने के केवल कुछ उदाहरणों पर विचार करते हैं।

1. पहला मॉडल - प्रदर्शक . इसका सूत्र है:

स्टेट पैकेज का उपयोग करके गणना करते समय, हमें मिलता है लेकिन 0 = 1 और लेकिन 1 = 0,022.

दिए गए मान के लिए महत्व स्तर की गणना आर= 0.535। यह स्पष्ट है कि प्राप्त मूल्य नगण्य है। इसलिए, यह प्रतिगमन मॉडल प्रयोगात्मक डेटा के लिए अपर्याप्त है।

2. दूसरा मॉडल - शक्ति . इसका सूत्र है:

गिनती करते समय और ओ = - 5.29, ए, = 7.02 और लेकिन 1 = 0,0987.

के लिए महत्व स्तर लेकिन 1 - आर= 7.02 और के लिए लेकिन 2 - पी = 0.991 जाहिर है, कोई भी गुणांक महत्वपूर्ण नहीं है।

3. तीसरा मॉडल - बहुपद . इसका सूत्र है:

यू= लेकिन 0 + लेकिन 1 एक्स + ए 2 एक्स 2+ लेकिन 3 एक्स 3

गिनती करते समय एक 0= - 29,8, लेकिन 1 = 7,28, लेकिन 2 = - 0.488 और लेकिन 3 = 0.0103। एक के लिए महत्व स्तर, - पी = 0.143, 2 के लिए - पी = 0.2 और एक के लिए, - पी = 0,272

निष्कर्ष - यह मॉडल प्रायोगिक डेटा के लिए अपर्याप्त है।

4. चौथा मॉडल - परवलय .

इसका सूत्र है: वाई \u003d ए ओ + ए एल -एक्स 1 + ए 2 एक्स 2

गिनती करते समय लेकिन 0 \u003d - 9.88, ए, \u003d 2.24 और लेकिन 1 = - 0.0839 के लिए महत्व स्तर लेकिन 1 - पी = 0.0186, के लिए लेकिन 2 - पी = 0.0201. दोनों प्रतिगमन गुणांक महत्वपूर्ण थे। इसलिए, समस्या हल हो गई है - हमने वेक्स्लर के तीसरे उप-परीक्षण को हल करने की सफलता और बीजगणित में ज्ञान के स्तर के बीच एक वक्रतापूर्ण संबंध के रूप की पहचान की है - यह एक परवलयिक प्रकार की निर्भरता है। यह परिणाम चरों के बीच वक्रीय संबंध की उपस्थिति के बारे में समस्या 11.9 को हल करने में प्राप्त निष्कर्ष की पुष्टि करता है। हम इस बात पर जोर देते हैं कि यह वक्रीय प्रतिगमन की मदद से था कि अध्ययन किए गए चर के बीच संबंध का सटीक रूप प्राप्त किया गया था।

अध्याय 13 कारक विश्लेषण

कारक विश्लेषण की बुनियादी अवधारणाएं

कारक विश्लेषण एक सांख्यिकीय विधि है जिसका उपयोग बड़ी मात्रा में प्रयोगात्मक डेटा को संसाधित करते समय किया जाता है। कारक विश्लेषण के कार्य हैं: चर की संख्या को कम करना (डेटा में कमी) और चर के बीच संबंधों की संरचना का निर्धारण करना, अर्थात। चरों का वर्गीकरण, इसलिए कारक विश्लेषण का उपयोग डेटा कमी विधि या संरचनात्मक वर्गीकरण विधि के रूप में किया जाता है।

कारक विश्लेषण और ऊपर वर्णित सभी विधियों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि इसका उपयोग प्राथमिक, या, जैसा कि वे कहते हैं, "कच्चे" प्रयोगात्मक डेटा को संसाधित करने के लिए नहीं किया जा सकता है, अर्थात। विषयों की परीक्षा से सीधे प्राप्त किया। कारक विश्लेषण के लिए सामग्री सहसंबंध है, या बल्कि, पियर्सन के सहसंबंध गुणांक, जिनकी गणना सर्वेक्षण में शामिल चर (यानी, मनोवैज्ञानिक विशेषताओं) के बीच की जाती है। दूसरे शब्दों में, सहसंबंध मैट्रिक्स, या, जैसा कि उन्हें अन्यथा कहा जाता है, अंतर्संबंध मैट्रिक्स, कारक विश्लेषण के अधीन हैं। इन मैट्रिक्स में कॉलम और पंक्तियों के नाम समान हैं, क्योंकि वे विश्लेषण में शामिल चर की सूची का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस कारण से, अंतर्संबंध मैट्रिक्स हमेशा वर्गाकार होते हैं, अर्थात। उनमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर है, और सममित, अर्थात्। मुख्य विकर्ण के संबंध में सममित स्थानों में समान सहसंबंध गुणांक होते हैं।

इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि मूल डेटा तालिका जिससे सहसंबंध मैट्रिक्स प्राप्त होता है, वर्गाकार नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, एक मनोवैज्ञानिक ने 100 विषयों - नौवीं कक्षा के छात्रों में तीन शैक्षणिक विषयों (साहित्य, गणित, भौतिकी) में बुद्धि के तीन संकेतक (मौखिक, गैर-मौखिक और सामान्य) और स्कूल ग्रेड को मापा। मूल डेटा मैट्रिक्स 100 x 6 होगा और अंतर्संबंध मैट्रिक्स 6 x 6 होगा क्योंकि इसमें केवल 6 चर हैं। इतने सारे चरों के साथ, अंतर्संबंध मैट्रिक्स में 15 गुणांक शामिल होंगे और इसका विश्लेषण करना मुश्किल नहीं होगा।

हालाँकि, कल्पना कीजिए कि क्या होगा यदि मनोवैज्ञानिक को प्रत्येक विषय से 6 नहीं, बल्कि 100 संकेतक प्राप्त हों। इस मामले में, उसे 4950 सहसंबंध गुणांकों का विश्लेषण करना होगा। मैट्रिक्स में गुणांक की संख्या की गणना सूत्र n (n + 1) / 2 द्वारा की जाती है और हमारे मामले में क्रमशः (100 × 99) / 2 = 4950 के बराबर होती है।

जाहिर है, ऐसे मैट्रिक्स का दृश्य विश्लेषण करना एक मुश्किल काम है। इसके बजाय, एक मनोवैज्ञानिक 100 × 100 सहसंबंध मैट्रिक्स (100 विषयों और 100 चर) के कारक विश्लेषण की गणितीय प्रक्रिया कर सकता है और इस तरह प्रयोगात्मक परिणामों की व्याख्या के लिए आसान सामग्री प्राप्त कर सकता है।

कारक विश्लेषण की मुख्य अवधारणा है कारक।यह एक कृत्रिम सांख्यिकीय संकेतक है जो अध्ययन की गई मनोवैज्ञानिक विशेषताओं, या अंतर्संबंधों के मैट्रिक्स के बीच सहसंबंध गुणांक की तालिका के विशेष परिवर्तनों के परिणामस्वरूप होता है। एक अंतर्संबंध मैट्रिक्स से कारकों को निकालने की प्रक्रिया को मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन कहा जाता है। गुणनखंडन के परिणामस्वरूप, सहसंबंध मैट्रिक्स से मूल चरों की संख्या के बराबर संख्या तक विभिन्न कारकों को निकाला जा सकता है। हालांकि, कारककरण के परिणामस्वरूप पहचाने जाने वाले कारक, एक नियम के रूप में, उनके मूल्य में असमान हैं।

कारक मैट्रिक्स के तत्वों को कहा जाता हैया तराजू"; और वे अध्ययन में उपयोग किए गए सभी संकेतकों के साथ दिए गए कारक के सहसंबंध गुणांक हैं। कारक मैट्रिक्स बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि यह दर्शाता है कि अध्ययन किए गए संकेतक प्रत्येक चयनित कारक से कैसे संबंधित हैं। उसी समय, कारक वजन इस संबंध के माप, या निकटता को प्रदर्शित करता है।

चूंकि कारक मैट्रिक्स (कारक) का प्रत्येक स्तंभ एक प्रकार का चर है, कारक स्वयं भी एक दूसरे के साथ सहसंबद्ध हो सकते हैं। यहां दो मामले संभव हैं: कारकों के बीच सहसंबंध शून्य के बराबर है, इस मामले में कारक स्वतंत्र (ऑर्थोगोनल) हैं। यदि कारकों के बीच सहसंबंध शून्य से अधिक है, तो इस मामले में कारकों को आश्रित (स्पष्ट) माना जाता है। हम इस बात पर जोर देते हैं कि ओर्थोगोनल कारक, तिरछे लोगों के विपरीत, कारक मैट्रिक्स के भीतर बातचीत के सरल रूप देते हैं।

ऑर्थोगोनल कारकों के उदाहरण के रूप में, एल। थर्स्टन की समस्या का अक्सर हवाला दिया जाता है, जिन्होंने विभिन्न आकारों और आकारों के कई बक्से लिए, उनमें से प्रत्येक में 20 से अधिक विभिन्न संकेतकों को मापा और उनके बीच सहसंबंधों की गणना की। अंतर्संबंधों के प्राप्त मैट्रिक्स को गुणनखंडित करने के बाद, उन्होंने तीन कारक प्राप्त किए, जिनके बीच का संबंध शून्य के बराबर था। ये कारक "लंबाई", "चौड़ाई" और "ऊंचाई" थे।

कारक विश्लेषण के सार को बेहतर ढंग से समझने के लिए, हम निम्नलिखित उदाहरण का अधिक विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

मान लीजिए कि एक मनोवैज्ञानिक छात्रों के यादृच्छिक नमूने से निम्नलिखित डेटा प्राप्त करता है:

वी 1- शरीर का वजन (किलो में);

वी 2 -विषय पर व्याख्यान और संगोष्ठियों में उपस्थिति की संख्या;

वी 3- पैर की लंबाई (सेमी में);

वी 4- विषय पर पढ़ी गई पुस्तकों की संख्या;

वी 5- हाथ की लंबाई (सेमी में);

वी 6 -विषय में परीक्षा ग्रेड ( वी- अंग्रेजी शब्द वेरिएबल - वेरिएबल से)।

इन विशेषताओं का विश्लेषण करते समय, यह मान लेना अनुचित नहीं है कि चर वी1,कश्मीर 3 और वी 5- आपस में जुड़े रहेंगे, क्योंकि व्यक्ति जितना बड़ा होगा, उसका वजन उतना ही अधिक होगा और उसके अंग उतने ही लंबे होंगे। इसका मतलब है कि इन चरों के बीच सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण सहसंबंध गुणांक होना चाहिए, क्योंकि ये तीन चर नमूने में व्यक्तियों की कुछ मौलिक संपत्ति को मापते हैं, अर्थात् उनका आकार। इसी तरह, यह संभावना है कि बीच के सहसंबंधों की गणना करते समय वी2, वी4तथा वी 6पर्याप्त रूप से उच्च सहसंबंध गुणांक भी प्राप्त किए जाएंगे, क्योंकि व्याख्यान में भाग लेने और स्व-अध्ययन अध्ययन किए जा रहे विषय में उच्च अंक प्राप्त करने में योगदान देगा।

इस प्रकार, गुणांक के संपूर्ण संभावित सरणी से, जो सहसंबद्ध विशेषताओं के युग्मों की गणना द्वारा प्राप्त किया जाता है वी 1तथा वी 2, वी टीतथा वी 3आदि, सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण सहसंबंधों के दो खंड संभावित रूप से बाहर खड़े होंगे। शेष सहसंबंध - विभिन्न ब्लॉकों में शामिल सुविधाओं के बीच, सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण गुणांक होने की संभावना नहीं है, क्योंकि अंग आकार और अकादमिक प्रदर्शन जैसी सुविधाओं के बीच संबंध यादृच्छिक प्रकृति की सबसे अधिक संभावना है। तो, हमारे 6 चरों के एक सार्थक विश्लेषण से पता चलता है कि वे, वास्तव में, केवल दो सामान्यीकृत विशेषताओं को मापते हैं, अर्थात्: शरीर का आकार और विषय में तैयारी की डिग्री।

अंतर्संबंधों के परिणामी मैट्रिक्स के लिए, अर्थात। सभी छह चरों के बीच जोड़ीवार परिकलित सहसंबंध गुणांक वी 1 - वी 6,कारक विश्लेषण लागू करने की अनुमति है। इसे कैलकुलेटर का उपयोग करके मैन्युअल रूप से भी किया जा सकता है, लेकिन इस तरह के सांख्यिकीय प्रसंस्करण की प्रक्रिया बहुत श्रमसाध्य है। इस कारण से, आमतौर पर मानक सांख्यिकीय पैकेजों का उपयोग करते हुए, कंप्यूटर पर कारक विश्लेषण वर्तमान में किया जाता है। सभी आधुनिक सांख्यिकीय पैकेजों में सहसंबंध और कारक विश्लेषण के कार्यक्रम हैं। एक कारक विश्लेषण कंप्यूटर प्रोग्राम अनिवार्य रूप से कारकों की एक छोटी संख्या (हमारे उदाहरण में दो) के संदर्भ में चर के बीच सहसंबंधों को "व्याख्या" करने का प्रयास करता है।

मान लीजिए कि, एक कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करके, हमने सभी छह चर के अंतर्संबंधों का मैट्रिक्स प्राप्त किया है और इसे कारक विश्लेषण के अधीन किया है। कारक विश्लेषण के परिणामस्वरूप, तालिका 13.1 प्राप्त हुई, जिसे "कारक मैट्रिक्स" या "फैक्टोरियल स्ट्रक्चरल मैट्रिक्स" कहा जाता है।

तालिका 13.1

चर	कारक 1	कारक 2
वी 1	0,91	0,01
वी 2	0,20	0,96
वी 3	0,94	-0,15
वी 4	0,11	0,85
वी 5	0,89	0,07
वी 6	-0,13	0,93

परंपरागत रूप से, कारकों को तालिका में स्तंभों के रूप में और चर को पंक्तियों के रूप में दर्शाया जाता है। तालिका 13.1 के स्तंभों के शीर्षक चयनित कारकों की संख्या के अनुरूप हैं, लेकिन उन्हें कारक 1 के लिए "कारक लोडिंग", या "वजन" कहना अधिक सटीक होगा, कारक 2 के लिए समान। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, कारक भार, या भार, संबंधित चर और दिए गए कारक के बीच संबंध हैं। उदाहरण के लिए, पहले कारक में पहली संख्या 0.91 का अर्थ है कि पहले कारक और चर के बीच संबंध वी 1 0.91 के बराबर है। निरपेक्ष मान में कारक भार जितना अधिक होगा, कारक के साथ उसका संबंध उतना ही अधिक होगा।

तालिका 13.1 दर्शाती है कि चर वी 1 वी 3तथा वी 5कारक 1 के साथ बड़े सहसंबंध हैं (वास्तव में, चर 3 का कारक 1 के साथ 1 के करीब संबंध है)। उसी समय, चर वी 2 ,वी 3 और 5कारक 2 के साथ 0 के करीब सहसंबंध हैं। इसी तरह, कारक 2 चर के साथ अत्यधिक सहसंबद्ध है वी2, वी4तथा वी 6और वास्तव में चर के साथ संबंध नहीं रखता वी 1,वी 3 और वी 5

इस उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि दो सहसंबंध संरचनाएं हैं, और इसलिए तालिका 13.1 में सभी जानकारी दो कारकों द्वारा निर्धारित की जाती है। अब काम का अंतिम चरण शुरू होता है - प्राप्त आंकड़ों की व्याख्या। कारक मैट्रिक्स का विश्लेषण करते समय, प्रत्येक कारक में कारक भार के संकेतों को ध्यान में रखना बहुत महत्वपूर्ण है। यदि विपरीत संकेतों वाले भार एक ही कारक में होते हैं, तो इसका मतलब है कि विपरीत संकेतों वाले चर के बीच व्युत्क्रमानुपाती संबंध है।

ध्यान दें कि सुविधा के लिए कारक की व्याख्या करते समय, इस कारक के लिए सभी भारों के संकेतों को उलटना संभव है।

कारक मैट्रिक्स यह भी दर्शाता है कि कौन से चर प्रत्येक कारक को बनाते हैं। यह मुख्य रूप से कारक भार के महत्व के स्तर के कारण है। परंपरागत रूप से, कारक विश्लेषण में सहसंबंध गुणांक का न्यूनतम महत्व स्तर 0.4 या यहां तक ​​​​कि 0.3 (पूर्ण मूल्य में) के बराबर लिया जाता है, क्योंकि कोई विशेष तालिका नहीं है जिसके द्वारा कोई कारक मैट्रिक्स में महत्व स्तर के लिए महत्वपूर्ण मान निर्धारित कर सकता है। . इसलिए, यह देखने का सबसे आसान तरीका है कि कौन से चर किसी कारक से "संबंधित" हैं, उन लोगों को ध्वजांकित करना है जिनकी लोडिंग 0.4 (या -0.4 से कम) से अधिक है। हम बताते हैं कि कंप्यूटर पैकेज में, कभी-कभी कारक वजन के महत्व का स्तर कार्यक्रम द्वारा ही निर्धारित किया जाता है और उच्च स्तर पर सेट किया जाता है, उदाहरण के लिए, 0.7।

तो, तालिका 13.1 से, यह निम्नानुसार है कि कारक 1 चर का एक संयोजन है वी 1कश्मीर 3 और वी 5(लेकिन नहीं वी1,क 4 तथा वी 6,चूंकि उनका कारक लोडिंग मोडुलो 0.4 से कम है)। इसी तरह, कारक 2 चर का एक संयोजन है वी2, वी4तथा वी6.

गुणनखंडन के परिणामस्वरूप चुना गया कारक उन चरों का एक समूह है जो विश्लेषण में शामिल उन चरों में से हैं जिनमें महत्वपूर्ण भार हैं। हालांकि, अक्सर ऐसा होता है कि एक कारक में एक महत्वपूर्ण कारक भार के साथ केवल एक चर शामिल होता है, जबकि बाकी में एक महत्वहीन कारक भार होता है। इस मामले में, कारक केवल महत्वपूर्ण चर के नाम से निर्धारित किया जाएगा।

संक्षेप में, कारक को उनके बीच के लिंक के आधार पर समूहीकरण चर (सुविधाओं) की एक कृत्रिम "इकाई" के रूप में माना जा सकता है। यह इकाई सशर्त है, क्योंकि अंतर्संबंध मैट्रिक्स के लिए गुणन प्रक्रिया की कुछ शर्तों को बदलकर, आप एक अलग कारक मैट्रिक्स (संरचना) प्राप्त कर सकते हैं। नए मैट्रिक्स में, कारकों द्वारा चर का वितरण और उनके कारक लोडिंग भिन्न हो सकते हैं।

इस संबंध में, कारक विश्लेषण में "सरल संरचना" की अवधारणा है। एक कारक मैट्रिक्स की एक सरल संरचना को कहा जाता है, जिसमें प्रत्येक चर का केवल एक कारक में महत्वपूर्ण भार होता है, और कारक स्वयं ऑर्थोगोनल होते हैं, अर्थात। एक दूसरे पर निर्भर न हों। हमारे उदाहरण में, दो सामान्य कारक स्वतंत्र हैं। एक सरल संरचना के साथ एक कारक मैट्रिक्स आपको परिणाम की व्याख्या करने और प्रत्येक कारक को एक नाम देने की अनुमति देता है। हमारे मामले में, पहला कारक "शरीर का आकार" है, दूसरा कारक "फिटनेस का स्तर" है।

पूर्वगामी कारक मैट्रिक्स की सार्थक संभावनाओं को समाप्त नहीं करता है। इससे अतिरिक्त विशेषताओं को निकाला जा सकता है, जिससे चर और कारकों के बीच संबंधों के अधिक विस्तृत अध्ययन की अनुमति मिलती है। इन विशेषताओं को कारक की "सामान्यता" और "ईजेनवैल्यू" कहा जाता है।

हालाँकि, उनका विवरण प्रस्तुत करने से पहले, हम सहसंबंध गुणांक की एक मौलिक रूप से महत्वपूर्ण संपत्ति की ओर इशारा करते हैं, जिसके कारण ये विशेषताएँ प्राप्त होती हैं। सहसंबंध गुणांक, चुकता (अर्थात, अपने आप से गुणा किया जाता है), यह दर्शाता है कि किसी विशेषता का कितना विचरण (विचरण) दो चरों के लिए सामान्य है, या, अधिक सरलता से, ये चर कितना ओवरलैप करते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, 0.9 के सहसंबंध वाले दो चर 0.9 x 0.9 = 0.81 की शक्ति के साथ ओवरलैप करते हैं। इसका अर्थ है कि दोनों चरों का 81% प्रसरण उभयनिष्ठ है, अर्थात्। मिलान। याद रखें कि कारक मैट्रिक्स में कारक लोडिंग कारकों और चर के बीच सहसंबंध गुणांक हैं, इसलिए, चुकता कारक लोडिंग किसी दिए गए चर और किसी दिए गए कारक के भिन्नताओं की समानता (या ओवरलैप) की डिग्री की विशेषता है।

यदि प्राप्त कारक एक दूसरे ("ऑर्थोगोनल" समाधान) पर निर्भर नहीं करते हैं, तो कारक मैट्रिक्स के भार से यह निर्धारित करना संभव है कि चर और कारक के लिए विचरण का कौन सा भाग सामान्य है। यह गणना करने के लिए कि प्रत्येक चर का कितना विचरण कारकों के विचरण के साथ मेल खाता है, आप बस सभी कारकों पर कारक भार के वर्गों का योग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, तालिका 13.1 से, यह निम्नानुसार है कि 0.91 × 0.91 + + 0.01 × 0.01 = 0.8282, अर्थात्। पहले चर की परिवर्तनशीलता का लगभग 82% पहले दो कारकों द्वारा "व्याख्या" किया गया है। परिणामी मान कहलाता है समानता चर, इस मामले में चर वी 1

चर में कारकों के साथ समानता के विभिन्न अंश हो सकते हैं। अधिक व्यापकता वाले चर में एक या अधिक कारकों के साथ अतिव्यापन का एक महत्वपूर्ण अंश (विचरण का एक बड़ा अनुपात) होता है। कम व्यापकता का तात्पर्य है कि चर और कारकों के बीच सभी संबंध छोटे हैं। इसका मतलब यह है कि किसी भी कारक का इस चर के साथ विचरण का अतिव्यापी हिस्सा नहीं है। कम व्यापकता यह संकेत दे सकती है कि एक चर विश्लेषण में शामिल अन्य चर से गुणात्मक रूप से भिन्न कुछ मापता है। उदाहरण के लिए, क्षमता का आकलन करने वाले कार्यों के बीच प्रेरणा के आकलन से जुड़ा एक चर क्षमता कारकों के साथ शून्य समानता के करीब होगा।

कम व्यापकता का अर्थ यह भी हो सकता है कि कोई विशेष वस्तु माप त्रुटि से अत्यधिक प्रभावित है या विषय के लिए अत्यंत कठिन है। इसके विपरीत, यह भी संभव है कि कार्य इतना सरल हो कि प्रत्येक विषय उसका सही उत्तर दे, या कार्य सामग्री में इतना अस्पष्ट हो कि विषय को प्रश्न का सार समझ में न आए। इस प्रकार, कम व्यापकता का अर्थ है कि यह चर निम्नलिखित कारणों में से एक के लिए कारकों के साथ फिट नहीं है: या तो चर एक अलग अवधारणा को मापता है, या चर में एक बड़ी माप त्रुटि है, या इसके लिए प्रतिक्रिया विकल्पों में विषयों के बीच अंतर हैं। आइटम जो सुविधा के विचरण को विकृत करता है।

अंत में, किसी कारक के प्रतिजन मूल्य जैसी विशेषता की सहायता से, कोई भी चयनित कारकों में से प्रत्येक के सापेक्ष महत्व को निर्धारित कर सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि प्रत्येक कारक कितना विचरण (विचरण) बताता है। मूल सहसंबंध मैट्रिक्स में चर के बीच 45% विचरण (ओवरलैप) की व्याख्या करने वाला कारक स्पष्ट रूप से उस से अधिक महत्वपूर्ण है जो केवल 25% विचरण की व्याख्या करता है। हालाँकि, ये तर्क स्वीकार्य हैं यदि कारक ऑर्थोगोनल हैं, दूसरे शब्दों में, एक दूसरे पर निर्भर नहीं हैं।

कारक के प्रतिजन मूल्य की गणना करने के लिए, आपको कारक लोडिंग को वर्गाकार करने और उन्हें एक कॉलम में जोड़ने की आवश्यकता है। तालिका 13.1 में दिए गए डेटा का उपयोग करके, हम यह सत्यापित कर सकते हैं कि कारक 1 का प्रतिजन मान (0.91 × 0.91 + 0.20 × 0.20 + 0.94 × 0.94 + 0.11 × 0.11 + 0.84 × 0.84 + (- 0.13) × है।

× (-0.13)) = 2.4863। यदि गुणनखंड के eigenvalue को चरों की संख्या (हमारे उदाहरण में 6) से विभाजित किया जाता है, तो परिणामी संख्या यह दर्शाएगी कि इस कारक द्वारा विचरण के किस अनुपात को समझाया गया है। हमारे मामले में, हमें 2.4863∙100%/6 = 41.4% मिलता है। दूसरे शब्दों में, कारक 1 मूल सहसंबंध मैट्रिक्स में लगभग 41% जानकारी (फैलाव) की व्याख्या करता है। दूसरे कारक के लिए समान गणना 41.5% देगी। कुल मिलाकर यह 82.9% होगा।

इस प्रकार, दो सामान्य कारक, जब संयुक्त होते हैं, तो मूल सहसंबंध मैट्रिक्स के संकेतकों में केवल 82.9% भिन्नता की व्याख्या करते हैं। "शेष" 17.1% का क्या हुआ? तथ्य यह है कि, 6 चर के बीच के सहसंबंधों पर विचार करते हुए, हमने देखा कि सहसंबंध दो अलग-अलग ब्लॉकों में आते हैं, और इसलिए यह निर्णय लिया कि सामग्री का विश्लेषण दो कारकों के संदर्भ में किया जाना चाहिए, न कि 6, साथ ही साथ संख्याओं की संख्या भी। प्रारंभिक चर। दूसरे शब्दों में, डेटा का वर्णन करने के लिए आवश्यक निर्माणों की संख्या 6 (चर की संख्या) से घटकर 2 (सामान्य कारकों की संख्या) हो गई है। गुणनखंडन के परिणामस्वरूप, मूल सहसंबंध मैट्रिक्स में जानकारी का एक हिस्सा दो-कारक मॉडल के निर्माण के लिए त्याग दिया गया था। एकमात्र शर्त जिसके तहत जानकारी खो नहीं जाती है वह छह-कारक मॉडल पर विचार करना होगा।

अर्थमिति में अंतिम परीक्षण

1. प्रतिगमन समीकरण के मापदंडों के महत्व का आकलन निम्न के आधार पर किया जाता है:

ए) टी - छात्र की कसौटी;

बी) फिशर का एफ-मानदंड - स्नेडेकोर;

ग) माध्य वर्ग त्रुटि;

d) औसत सन्निकटन त्रुटि।

2. वर्ष के लिए मोटर वाहन उद्योग में बिक्री की मात्रा (मिलियन रूबल) और उद्यमों के लाभ (मिलियन रूबल) के बीच संबंध को दर्शाने वाले समीकरण में प्रतिगमन गुणांक का अर्थ है कि बिक्री की मात्रा में वृद्धि के साथ 1 मिलियन रूबल लाभ बढ़ता है:

घ) 0.5 मिलियन रगड़ना।;

ग) 500 हजार। रगड़ना।;

डी) 1.5 मिलियन रूबल

3. सहसंबंध अनुपात (सहसंबंध सूचकांक) एक्स और के बीच संबंधों की निकटता की डिग्री को मापता हैयू:

ए) केवल निर्भरता के एक गैर-रैखिक रूप के साथ;

बी) किसी भी प्रकार की लत के साथ;

ग) केवल एक रैखिक संबंध के साथ।

4. संचार की दिशा में हैं:

ए) मध्यम;

बी) सीधे;

ग) सीधा।

5. 17 प्रेक्षणों के आधार पर एक समाश्रयण समीकरण बनाया गया:
. समीकरण के महत्व की जांच करने के लिए, हमने गणना कीमनाया मूल्यटी- आँकड़े: 3.9। आउटपुट:

ए) समीकरण a . के लिए महत्वपूर्ण है = 0,05;

b) समीकरण a = 0.01 पर महत्वहीन है;

c) समीकरण a = 0.05 पर सार्थक नहीं है।

6. ओएलएस धारणा "प्रतिगमन अवशेषों की अपेक्षा शून्य है" का उल्लंघन करने के परिणाम क्या हैं?

ए) प्रतिगमन गुणांक के पक्षपाती अनुमान;

बी) प्रतिगमन गुणांक के कुशल लेकिन असंगत अनुमान;

ग) समाश्रयण गुणांकों के अकुशल अनुमान;

d) समाश्रयण गुणांकों के असंगत अनुमान।

7. अवशेषों की विषमलैंगिकता के मामले में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

ए) टी और एफ-सांख्यिकी पर निष्कर्ष अविश्वसनीय हैं;

d) समाश्रयण समीकरण के प्राचलों के अनुमान पक्षपाती हैं।

8. स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध परीक्षण किस पर आधारित है?

ए) टी - सांख्यिकी के उपयोग पर;

सी) उपयोग पर ;

9. श्वेत परीक्षण किस पर आधारित है?

बी) एफ-सांख्यिकी के उपयोग पर;

बी) उपयोग में ;

घ) अवशेषों के चित्रमय विश्लेषण पर।

10. स्वसहसंबंध को समाप्त करने के लिए किस विधि का उपयोग किया जा सकता है?

11. अवशिष्टों के प्रसरण की स्थिरता की धारणा के उल्लंघन को क्या कहा जाता है?

ए) बहुसंकेतन;

बी) ऑटोसहसंबंध;

बी) विषमलैंगिकता;

डी) समलैंगिकता।

12. डमी वेरिएबल्स को इसमें पेश किया गया है:

ए) केवल रैखिक मॉडल में;

बी) केवल कई गैर-रेखीय प्रतिगमन में;

ग) केवल अरेखीय मॉडल में;

डी) रैखिक और गैर-रैखिक दोनों मॉडल एक रैखिक रूप में कम हो गए।

13. यदि युग्मित सहसंबंध गुणांक के मैट्रिक्स में हैं
, तो यह दिखाता है:

ए) बहुसंकेतन की उपस्थिति के बारे में;

बी) बहुसंकेतन की अनुपस्थिति के बारे में;

ग) स्वसहसंबंध की उपस्थिति के बारे में;

d) विषमलैंगिकता की अनुपस्थिति के बारे में।

14. बहुसंरेखण से छुटकारा पाने के लिए कौन सा उपाय असंभव है?

ए) नमूना आकार बढ़ाना;

डी) यादृच्छिक घटक का परिवर्तन।

15. अगर
और मैट्रिक्स A की रैंक (K-1) से कम है तो समीकरण:

ए) अधिक पहचान;

बी) पहचाना नहीं गया;

ग) सटीक रूप से पहचाना गया।

16. प्रतिगमन समीकरण इस तरह दिखता है:

लेकिन)
;

बी)
;

में)
.

17. मॉडल पहचान की समस्या क्या है?

ए) एक साथ समीकरणों की प्रणाली द्वारा दिए गए मॉडल के विशिष्ट रूप से परिभाषित पैरामीटर प्राप्त करना;

बी) प्रारंभिक सांख्यिकीय डेटा के अनुसार मॉडल के अज्ञात मापदंडों के सांख्यिकीय आकलन के लिए विधियों का चयन और कार्यान्वयन;

ग) मॉडल की पर्याप्तता की जाँच करना।

18. किसी अति-पहचान वाले समीकरण के प्राचलों का अनुमान लगाने के लिए किस विधि का उपयोग किया जाता है?

सी) डीएमएनके, केएमएनके;

19. यदि एक गुणात्मक चर हैकवैकल्पिक मान, फिर सिमुलेशन उपयोग करता है:

ए) (के -1) डमी चर;

बी) kdummy चर;

ग) (के+1) डमी चर।

20. दो संकेतों के लिंक की निकटता और दिशा का विश्लेषण निम्न के आधार पर किया जाता है:

ए) जोड़ी सहसंबंध गुणांक;

बी) निर्धारण का गुणांक;

सी) एकाधिक सहसंबंध गुणांक।

21. एक रैखिक समीकरण में एक्स = लेकिन 0 +ए 1 एक्स प्रतिगमन गुणांक दिखाता है:

ए) कनेक्शन की निकटता;

बी) "एक्स" पर निर्भर विचरण "वाई" का अनुपात;

ग) जब "X" एक इकाई से बदलता है तो औसतन कितना "Y" बदलेगा;

डी) सहसंबंध गुणांक त्रुटि।

22. अध्ययन के तहत कारक के मूल्य में परिवर्तन के कारण भिन्नता के हिस्से को निर्धारित करने के लिए किस संकेतक का उपयोग किया जाता है?

ए) भिन्नता का गुणांक;

बी) सहसंबंध गुणांक;

सी) निर्धारण का गुणांक;

डी) लोच का गुणांक।

23. लोच का गुणांक दर्शाता है:

ए) जब x 1% से बदलता है तो y का मान कितना% बदल जाएगा;

बी) इसके माप की कितनी इकाइयों से y का मान बदल जाएगा जब x 1% बदल जाएगा;

c) जब x इकाई के अनुसार बदलता है, तो y का मान कितना% बदल जाएगा। आपका माप।

24. विषमलैंगिकता का पता लगाने के लिए कौन से तरीके लागू किए जा सकते हैं?

ए) गोल्फल्ड-क्वांड्ट परीक्षण;

बी) स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध परीक्षण;

ग) डर्बिन-वाटसन परीक्षण।

25. गोल्फेल्ड-क्वांड्ट परीक्षण का आधार क्या है?

ए) टी-सांख्यिकी के उपयोग पर;

बी) एफ के उपयोग पर - सांख्यिकी;

सी) उपयोग पर ;

घ) अवशेषों के चित्रमय विश्लेषण पर।

26. अवशिष्टों के स्वतः सहसंबंध को समाप्त करने के लिए किन विधियों का उपयोग नहीं किया जा सकता है?

ए) कम से कम वर्गों की सामान्यीकृत विधि;

बी) भारित न्यूनतम वर्ग विधि;

सी) अधिकतम संभावना विधि;

डी) कम से कम वर्गों की दो-चरणीय विधि।

27. अवशेषों की स्वतंत्रता की धारणा के उल्लंघन को क्या कहा जाता है?

ए) बहुसंकेतन;

बी) ऑटोसहसंबंध;

ग) विषमलैंगिकता;

डी) समलैंगिकता।

28. विषमलैंगिकता को समाप्त करने के लिए किस विधि का उपयोग किया जा सकता है?

ए) कम से कम वर्गों की सामान्यीकृत विधि;

बी) भारित न्यूनतम वर्ग विधि;

ग) अधिकतम संभावना विधि;

डी) दो-चरण कम से कम वर्ग विधि।

30. यदि द्वाराटी-मानदंड, अधिकांश प्रतिगमन गुणांक सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण हैं, और समग्र रूप से मॉडलएफ- मानदंड महत्वहीन है, तो यह संकेत कर सकता है:

ए) बहुसंकेतन;

बी) अवशेषों के स्वत: सहसंबंध पर;

ग) अवशेषों की विषमलैंगिकता पर;

घ) यह विकल्प संभव नहीं है।

31. क्या चरों को परिवर्तित करके बहुसंरेखण से छुटकारा पाना संभव है?

ए) यह उपाय तभी प्रभावी होता है जब नमूना आकार बढ़ाया जाता है;

32. रेखीय समाश्रयण समीकरण के प्राचल का अनुमान लगाने के लिए किस विधि का उपयोग किया जा सकता है:

ए) कम से कम वर्ग विधि;

बी) सहसंबंध और प्रतिगमन विश्लेषण;

ग) विचरण का विश्लेषण।

33. डमी चर के साथ एक बहु रेखीय प्रतिगमन समीकरण का निर्माण किया गया है। व्यक्तिगत गुणांकों के महत्व की जाँच करने के लिए, हम उपयोग करते हैं वितरण:

ए) सामान्य;

बी) छात्र;

ग) पियर्सन;

d) फिशर-स्नेडेकोर।

34. अगर
और मैट्रिक्स A की रैंक (K-1) से अधिक है तो समीकरण:

ए) अधिक पहचान;

बी) पहचाना नहीं गया;

ग) सटीक रूप से पहचाना गया।

35. समीकरणों की एक सटीक पहचान योग्य प्रणाली के मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए, निम्नलिखित का उपयोग किया जाता है:

क) डीएमएनके, केएमएनके;

बी) डीएमएनके, एमएनके, केएमएनके;

36. चाउ की कसौटी आवेदन पर आधारित है:

ए) एफ - सांख्यिकी;

बी) टी - सांख्यिकी;

ग) डर्बिन-वाटसन मानदंड।

37. डमी चर निम्नलिखित मान ले सकते हैं:

डी) कोई मूल्य।

39. 20 अवलोकनों के आधार पर, एक प्रतिगमन समीकरण बनाया गया था:
. समीकरण के महत्व की जाँच करने के लिए, आँकड़ों के मूल्य की गणना की जाती है:4.2. जाँच - परिणाम:

a) समीकरण a=0.05 पर सार्थक है;

b) समीकरण a=0.05 पर सार्थक नहीं है;

c) समीकरण a=0.01 पर सार्थक नहीं है।

40. निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य नहीं है यदि अवशिष्ट विषमलैंगिक हैं?

ए) टी और एफ आंकड़ों पर निष्कर्ष अविश्वसनीय हैं;

बी) हेटेरोस्केडैस्टिसिटी डर्बिन-वाटसन आंकड़ों के निम्न मूल्य के माध्यम से प्रकट होती है;

ग) विषमलैंगिकता के साथ, अनुमान प्रभावी रहते हैं;

d) अनुमान पक्षपाती हैं।

41. चाउ परीक्षण एक तुलना पर आधारित है:

ए) फैलाव;

बी) निर्धारण के गुणांक;

ग) गणितीय अपेक्षाएं;

घ) मध्यम।

42. अगर चाउ टेस्ट में
तब माना जाता है:

ए) मॉडल की गुणवत्ता में सुधार के दृष्टिकोण से उप-अंतराल में विभाजन उपयोगी है;

बी) मॉडल सांख्यिकीय रूप से महत्वहीन है;

ग) मॉडल सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है;

घ) कि नमूने को भागों में विभाजित करने का कोई मतलब नहीं है।

43. डमी चर चर हैं:

गुण;

बी) यादृच्छिक;

बी) मात्रात्मक;

डी) तार्किक।

44. निम्नलिखित में से किस विधि का उपयोग स्वतः सहसंबंध का पता लगाने के लिए नहीं किया जा सकता है?

ए) श्रृंखला विधि;

बी) डर्बिन-वाटसन परीक्षण;

ग) स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध परीक्षण;

डी) व्हाइट का परीक्षण।

45. मॉडल का सबसे सरल संरचनात्मक रूप है:

लेकिन)

बी)

में)

जी)
.

46. ​​बहुसंकेतन से छुटकारा पाने के लिए क्या उपाय किए जा सकते हैं?

ए) नमूना आकार बढ़ाना;

बी) चरों का बहिष्करण बाकी के साथ अत्यधिक सहसंबद्ध है;

ग) मॉडल विनिर्देश में परिवर्तन;

डी) यादृच्छिक घटक का परिवर्तन।

47. अगर
और मैट्रिक्स A की रैंक (K-1) है तो समीकरण:

ए) अधिक पहचान;

बी) पहचाना नहीं गया;

बी) सटीक रूप से पहचाना गया;

48. एक मॉडल की पहचान मानी जाती है यदि:

ए) मॉडल के समीकरणों में कम से कम एक सामान्य है;

बी) प्रणाली के प्रत्येक समीकरण की पहचान की जा सकती है;

ग) मॉडल समीकरणों में कम से कम एक अज्ञात है;

d) मॉडल के समीकरणों में से कम से कम एक की पहचान की गई है।

49. अज्ञात समीकरण के प्राचलों का अनुमान लगाने के लिए किस विधि का प्रयोग किया जाता है?

क) डीएमएनके, केएमएनके;

बी) डीएमएनसी, एमएनसी;

सी) ऐसे समीकरण के पैरामीटर का अनुमान नहीं लगाया जा सकता है।

50. ज्ञान के किन क्षेत्रों के जंक्शन पर अर्थमिति उत्पन्न हुई:

ए) आर्थिक सिद्धांत; आर्थिक और गणितीय सांख्यिकी;

बी) आर्थिक सिद्धांत, गणितीय सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत;

ग) आर्थिक और गणितीय सांख्यिकी, संभाव्यता सिद्धांत।

51. बहु रेखीय प्रतिगमन समीकरण में, वितरण का उपयोग करके प्रतिगमन गुणांक के लिए विश्वास अंतराल बनाए जाते हैं:

ए) सामान्य;

बी) छात्र;

ग) पियर्सन;

d) फिशर-स्नेडेकोर।

52. 16 प्रेक्षणों के आधार पर एक युग्मित रैखिक समाश्रयण समीकरण का निर्माण किया गया। के लिएप्रतिगमन गुणांक महत्व जांच की गणना की गईटी 6ली के लिए =2.5.

a) गुणांक a=0.05 पर महत्वहीन है;

बी) गुणांक एक = 0.05 पर महत्वपूर्ण है;

c) गुणांक a=0.01 पर सार्थक है।

53. यह ज्ञात है कि मात्राओं के बीचएक्सतथायूमौजूदसकारात्मक संबंध। किस हद तकजोड़ीवार सहसंबंध गुणांक है?

ए) -1 से 0 तक;

बी) 0 से 1 तक;

सी) -1 से 1 तक।

54. बहु सहसंबंध गुणांक 0.9 है। कितने प्रतिशतपरिणामी गुण के फैलाव को सभी के प्रभाव द्वारा समझाया गया हैकारक लक्षण?

55. निम्नलिखित में से किस विधि का उपयोग विषमलैंगिकता का पता लगाने के लिए नहीं किया जा सकता है?

ए) गोल्फल्ड-क्वांड्ट परीक्षण;

बी) स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध परीक्षण;

सी) श्रृंखला विधि।

56. मॉडल का दिया गया रूप है:

ए) अंतर्जात चर से बहिर्जात चर के गैर-रेखीय कार्यों की एक प्रणाली;

बी) बहिर्जात चर से अंतर्जात चर के रैखिक कार्यों की एक प्रणाली;

ग) अंतर्जात चर से बहिर्जात चर के रैखिक कार्यों की एक प्रणाली;

डी) सामान्य समीकरणों की एक प्रणाली।

57. पुनरावर्ती सूत्रों द्वारा परिकलित आंशिक सहसंबंध गुणांक किस सीमा के भीतर बदलता है?

एक से - करने के लिए + ;

बी) 0 से 1 तक;

ग) 0 से + . तक ;

डी) -1 से +1 तक।

58. निर्धारण परिवर्तन के गुणांक के माध्यम से गणना की गई आंशिक सहसंबंध गुणांक किस सीमा के भीतर है?

एक से - करने के लिए + ;

बी) 0 से 1 तक;

ग) 0 से + . तक ;

घ) -1 से +1 तक।

59. बहिर्जात चर:

ए) आश्रित चर;

बी) स्वतंत्र चर;

61. प्रतिगमन समीकरण में एक और व्याख्यात्मक कारक जोड़ते समय, बहु सहसंबंध गुणांक:

ए) घट जाएगा

बी) वृद्धि होगी;

ग) अपना मूल्य बनाए रखें।

62. एक अतिपरवलयिक प्रतिगमन समीकरण बनाया गया था:यू= ए+ बी/ एक्स. के लिएसमीकरण का महत्व परीक्षण वितरण का उपयोग करता है:

ए) सामान्य;

बी) छात्र;

ग) पियर्सन;

d) फिशर-स्नेडेकोर।

63. पारंपरिक न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके किस प्रकार की प्रणालियों के लिए व्यक्तिगत अर्थमितीय समीकरणों के पैरामीटर पाए जा सकते हैं?

ए) सामान्य समीकरणों की एक प्रणाली;

बी) स्वतंत्र समीकरणों की एक प्रणाली;

सी) पुनरावर्ती समीकरणों की एक प्रणाली;

डी) अन्योन्याश्रित समीकरणों की एक प्रणाली।

64. अंतर्जात चर:

ए) आश्रित चर;

बी) स्वतंत्र चर;

ग) समय में पिछले बिंदुओं से दिनांकित।

65. निर्धारण के गुणांक में किस सीमा के भीतर परिवर्तन होता है?

ए) 0 से + . तक ;

बी) से - करने के लिए + ;

सी) 0 से +1 तक;

d) -l से +1 तक।

66. एक बहु रेखीय समाश्रयण समीकरण बनाया गया है। व्यक्तिगत गुणांकों के महत्व की जाँच करने के लिए, हम उपयोग करते हैं वितरण:

ए) सामान्य;

बी) छात्र;

ग) पियर्सन;

डी) फिशर-स्नेडेकोर।

67. प्रतिगमन समीकरण में एक और व्याख्यात्मक कारक जोड़ते समय, निर्धारण का गुणांक:

ए) घट जाएगा

बी) में वृद्धि होगी;

ग) अपना मूल्य बनाए रखें;

डी) कम नहीं होगा।

68. अल्पतम वर्ग विधि का सार यह है कि:

ए) अनुमान निर्धारित अनुमान से नमूना डेटा के वर्ग विचलन के योग को कम करने की स्थिति से निर्धारित होता है;

बी) अनुमान निर्धारित अनुमान से नमूना डेटा के विचलन के योग को कम करने की स्थिति से निर्धारित होता है;

सी) अनुमान नमूना भिन्नता से नमूना माध्य के वर्ग विचलन के योग को कम करने की स्थिति से निर्धारित होता है।

69. परवलय किस वर्ग के गैर-रेखीय प्रतिगमन से संबंधित है:

73. घातीय वक्र किस वर्ग के गैर-रेखीय प्रतिगमन से संबंधित है:

74. गैर-रैखिक प्रतिगमन का कौन सा वर्ग के रूप का एक कार्य करता है . से संबंधित है
:

ए) प्रतिगमन जो विश्लेषण में शामिल चर के संबंध में गैर-रैखिक हैं, लेकिन अनुमानित मापदंडों के संबंध में रैखिक हैं;

बी) अनुमानित मापदंडों पर गैर-रेखीय प्रतिगमन।

78. गैर-रैखिक प्रतिगमन का कौन सा वर्ग के रूप का एक कार्य करता है . से संबंधित है
:

ए) प्रतिगमन जो विश्लेषण में शामिल चर के संबंध में गैर-रैखिक हैं, लेकिन अनुमानित मानकों के संबंध में रैखिक हैं;

बी) अनुमानित मापदंडों पर गैर-रेखीय प्रतिगमन।

79. अतिपरवलय के रूप में समाश्रयण समीकरण में
अगर मूल्यबी >0 , तब:

ए) कारक विशेषता में वृद्धि के साथ एक्सपरिणामी विशेषता का मान परधीरे-धीरे कम करें, और एक्स→∞औसत मूल्य परके बराबर होगा ए;

बी) प्रभावी सुविधा का मूल्य परकारक विशेषता में वृद्धि के साथ धीमी वृद्धि के साथ बढ़ता है एक्स, और कम से एक्स→∞

81. लोच का गुणांक सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

ए) रैखिक समारोह;

बी) परबोलस;

ग) अतिपरवलय;

डी) घातीय वक्र;

ई) शक्ति।

82. लोच का गुणांक सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है
फॉर्म में एक रिग्रेशन मॉडल के लिए:

क) रैखिक कार्य;

बी) परबोलस;

ग) अतिपरवलय;

डी) घातीय वक्र;

ई) शक्ति।

86. समीकरण
बुलाया:

ए) एक रैखिक प्रवृत्ति

बी) परवलयिक प्रवृत्ति;

ग) अतिशयोक्तिपूर्ण प्रवृत्ति;

डी) घातीय प्रवृत्ति।

89. समीकरण
बुलाया:

ए) एक रैखिक प्रवृत्ति;

बी) परवलयिक प्रवृत्ति;

ग) अतिशयोक्तिपूर्ण प्रवृत्ति;

डी) एक घातीय प्रवृत्ति।

90. सिस्टम दृश्य बुलाया:

ए) स्वतंत्र समीकरणों की एक प्रणाली;

बी) पुनरावर्ती समीकरणों की एक प्रणाली;

सी) अन्योन्याश्रित (एक साथ, एक साथ) समीकरणों की एक प्रणाली।

93. अर्थमिति को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

ए) यह एक स्वतंत्र वैज्ञानिक अनुशासन है जो आर्थिक सिद्धांत, आर्थिक सांख्यिकी और गणितीय और सांख्यिकीय उपकरणों के आधार पर डिजाइन किए गए सैद्धांतिक परिणामों, तकनीकों, विधियों और मॉडलों के एक सेट को जोड़ती है, जो सामान्य (गुणात्मक) पैटर्न को एक विशिष्ट मात्रात्मक अभिव्यक्ति देती है। आर्थिक सिद्धांत के कारण;

बी) आर्थिक माप का विज्ञान;

सी) आर्थिक डेटा का सांख्यिकीय विश्लेषण।

94. अर्थमिति के कार्यों में शामिल हैं:

ए) राज्य और विश्लेषण प्रणाली के विकास की विशेषता वाले आर्थिक और सामाजिक-आर्थिक संकेतकों का पूर्वानुमान;

बी) प्रणाली के सामाजिक-आर्थिक विकास के लिए संभावित परिदृश्यों का अनुकरण यह पहचानने के लिए कि कुछ प्रबंधनीय मापदंडों में नियोजित परिवर्तन आउटपुट विशेषताओं को कैसे प्रभावित करेंगे;

ग) सांख्यिकीय आंकड़ों के अनुसार परिकल्पना का परीक्षण।

95. रिश्ते उनके स्वभाव से प्रतिष्ठित होते हैं:

ए) कार्यात्मक और सहसंबंध;

बी) कार्यात्मक, घुमावदार और सीधा;

ग) सहसंबंध और प्रतिलोम;

डी) सांख्यिकीय और प्रत्यक्ष।

96. एक कारक विशेषता में वृद्धि के साथ सीधे संबंध के साथ:

ए) प्रभावी संकेत कम हो जाता है;

बी) प्रभावी विशेषता नहीं बदलती है;

सी) प्रदर्शन संकेतक बढ़ता है।

97. सांख्यिकी में संघ की उपस्थिति, प्रकृति और दिशा की पहचान करने के लिए किन विधियों का उपयोग किया जाता है?

ए) औसत मूल्य;

बी) समानांतर पंक्तियों की तुलना;

ग) विश्लेषणात्मक समूहन विधि;

डी) सापेक्ष मूल्य;

डी) चित्रमय विधि।

98. दूसरों पर कुछ कारकों के प्रभाव के रूपों की पहचान करने के लिए किस विधि का उपयोग किया जाता है?

ए) सहसंबंध विश्लेषण;

बी) प्रतिगमन विश्लेषण;

ग) सूचकांक विश्लेषण;

डी) विचरण का विश्लेषण।

99. दूसरों पर कुछ कारकों के प्रभाव की ताकत को मापने के लिए किस विधि का उपयोग किया जाता है:

ए) सहसंबंध विश्लेषण;

बी) प्रतिगमन विश्लेषण;

ग) औसत की विधि;

डी) विचरण का विश्लेषण।

100. माइनस से प्लस वन की सीमा में उनके परिमाण में कौन से संकेतक मौजूद हैं:

क) निर्धारण का गुणांक;

बी) सहसंबंध अनुपात;

सी) रैखिक सहसंबंध गुणांक।

101. एक-कारक मॉडल के लिए प्रतिगमन गुणांक दिखाता है:

ए) एक इकाई द्वारा तर्क बदलने पर फ़ंक्शन कितनी इकाइयाँ बदलता है;

बी) तर्क में प्रति इकाई परिवर्तन कितने प्रतिशत फ़ंक्शन बदलता है।

102. लोच का गुणांक दर्शाता है:

ए) माप की एक इकाई द्वारा तर्क में परिवर्तन के साथ फ़ंक्शन कितने प्रतिशत बदलता है;

बी) तर्क में 1% परिवर्तन के साथ फ़ंक्शन कितने प्रतिशत बदलता है;

ग) इसके माप की कितनी इकाइयाँ, तर्क में 1% के परिवर्तन के साथ फ़ंक्शन बदलता है।

105. सहसंबंध सूचकांक का मान, 0.087 के बराबर, इंगित करता है:

ए) उनकी कमजोर निर्भरता के बारे में;

बी) एक मजबूत रिश्ता;

ग) गणना में त्रुटियां।

107. युग्म सहसंबंध गुणांक का मान, 1.12 के बराबर, इंगित करता है:

क) उनकी कमजोर निर्भरता के बारे में;

बी) एक मजबूत रिश्ता;

सी) गणना में त्रुटियों के बारे में।

109. दी गई संख्याओं में से कौन सी जोड़ी सहसंबंध गुणांक का मान हो सकता है:

111. दी गई संख्याओं में से कौन सी बहु सहसंबंध गुणांक के मान हो सकते हैं:

115. रैखिक समाश्रयण समीकरण के सही रूप को चिह्नित करें:

जैसा
;

द्वारा
;

सी)
;

डी)
.

मापदंडों का मूल्यांकन करने के बाद एतथा बी, हमने एक प्रतिगमन समीकरण प्राप्त किया है जिसके द्वारा हम मूल्यों का अनुमान लगा सकते हैं आपनिर्धारित मूल्यों द्वारा एक्स. यह मान लेना स्वाभाविक है कि आश्रित चर के परिकलित मान वास्तविक मूल्यों के साथ मेल नहीं खाएंगे, क्योंकि प्रतिगमन रेखा सामान्य रूप से केवल औसतन संबंध का वर्णन करती है। इसके चारों ओर अलग-अलग अर्थ बिखरे हुए हैं। इस प्रकार, प्रतिगमन समीकरण से प्राप्त गणना मूल्यों की विश्वसनीयता काफी हद तक प्रतिगमन रेखा के आसपास देखे गए मूल्यों के फैलाव से निर्धारित होती है। व्यवहार में, एक नियम के रूप में, त्रुटि विचरण अज्ञात है और प्रतिगमन मापदंडों के साथ-साथ टिप्पणियों से अनुमान लगाया जाता है। एतथा बी. यह मान लेना काफी तर्कसंगत है कि अनुमान प्रतिगमन अवशेषों के वर्गों के योग से संबंधित है। मात्रा सैद्धांतिक मॉडल में निहित गड़बड़ी के विचरण का एक नमूना अनुमान है . यह दिखाया जा सकता है कि एक युग्मित प्रतिगमन मॉडल के लिए

परिकलित मान से आश्रित चर के वास्तविक मान का विचलन कहाँ है।

यदि एक , फिर सभी अवलोकनों के लिए आश्रित चर के वास्तविक मान परिकलित (सैद्धांतिक) मानों के साथ मेल खाते हैं . ग्राफिक रूप से, इसका मतलब है कि सैद्धांतिक प्रतिगमन रेखा (फ़ंक्शन से निर्मित रेखा) सहसंबंध क्षेत्र के सभी बिंदुओं से गुजरती है, जो केवल सख्ती से कार्यात्मक कनेक्शन के साथ ही संभव है। इसलिए, प्रभावी संकेत परपूरी तरह से कारक के प्रभाव के कारण एक्स।

आमतौर पर, व्यवहार में, सैद्धांतिक प्रतिगमन रेखा के सापेक्ष सहसंबंध क्षेत्र के बिंदुओं का कुछ फैलाव होता है, अर्थात सैद्धांतिक लोगों से अनुभवजन्य डेटा का विचलन। यह बिखराव दोनों कारकों के प्रभाव के कारण है एक्स, अर्थात। वापसी आपपर एक्स, (इस तरह के विचरण को समझाया जाता है, क्योंकि इसे प्रतिगमन समीकरण द्वारा समझाया गया है), और अन्य कारणों की कार्रवाई (अस्पष्टीकृत भिन्नता, यादृच्छिक)। इन विचलनों का परिमाण समीकरण के गुणवत्ता संकेतकों की गणना को रेखांकित करता है।

विचरण के विश्लेषण के मूल सिद्धांत के अनुसार, आश्रित चर के वर्ग विचलन का कुल योग आपमाध्य मान से दो घटकों में विघटित किया जा सकता है: प्रतिगमन समीकरण द्वारा समझाया गया और अस्पष्टीकृत:

,

जहां - मान आप, समीकरण द्वारा परिकलित।

आइए, प्रतिगमन समीकरण द्वारा बताए गए वर्ग विचलनों के योग का वर्गों के कुल योग से अनुपात ज्ञात करें:

, कहाँ पे

. (7.6)

प्रतिगमन समीकरण द्वारा समझाया गया विचरण के भाग का परिणामी विशेषता के कुल विचरण के अनुपात को निर्धारण का गुणांक कहा जाता है। मान एक से अधिक नहीं हो सकता है और यह अधिकतम मान केवल पर ही पहुँचा जाएगा, अर्थात। जब प्रत्येक विचलन शून्य होता है और इसलिए स्कैटरप्लॉट के सभी बिंदु बिल्कुल एक सीधी रेखा पर होते हैं।

निर्धारण का गुणांक निर्भर चर के विचरण के कुल मूल्य में प्रतिगमन द्वारा समझाया गया विचरण के हिस्से को दर्शाता है . तदनुसार, मान भिन्नता (फैलाव) के अनुपात को दर्शाता है वाई,प्रतिगमन समीकरण द्वारा अस्पष्टीकृत, और इसलिए मॉडल में ध्यान में नहीं रखे गए अन्य कारकों के प्रभाव के कारण होता है। एक के करीब, मॉडल की गुणवत्ता जितनी अधिक होगी।

युग्मित रैखिक प्रतिगमन के साथ, निर्धारण का गुणांक युग्मित रैखिक सहसंबंध गुणांक के वर्ग के बराबर होता है: .

निर्धारण के इस गुणांक का मूल बहु सहसंबंध का गुणांक (सूचकांक) या सैद्धांतिक सहसंबंध अनुपात है।

यह पता लगाने के लिए कि क्या प्रतिगमन के मूल्यांकन के दौरान प्राप्त निर्धारण गुणांक का मूल्य वास्तव में के बीच के सच्चे संबंध को दर्शाता है आपतथा एक्ससंपूर्ण और व्यक्तिगत मापदंडों के रूप में निर्मित समीकरण के महत्व की जाँच करें। प्रतिगमन समीकरण का महत्व परीक्षण आपको यह पता लगाने की अनुमति देता है कि क्या प्रतिगमन समीकरण व्यावहारिक उपयोग के लिए उपयुक्त है, उदाहरण के लिए, पूर्वानुमान के लिए या नहीं।

उसी समय, मुख्य परिकल्पना को समग्र रूप से समीकरण के महत्व के बारे में सामने रखा जाता है, जो औपचारिक रूप से इस परिकल्पना को कम कर देता है कि प्रतिगमन पैरामीटर शून्य के बराबर हैं, या, क्या समान है, कि निर्धारण का गुणांक बराबर है शून्य करने के लिए:। समीकरण के महत्व के बारे में एक वैकल्पिक परिकल्पना यह परिकल्पना है कि प्रतिगमन पैरामीटर शून्य के बराबर नहीं हैं या निर्धारण गुणांक शून्य के बराबर नहीं है:।

प्रतिगमन मॉडल के महत्व का परीक्षण करने के लिए, उपयोग करें एफ-फिशर की कसौटी, वर्गों के योग (प्रति एक स्वतंत्र चर) के अनुपात के रूप में गणना की जाती है और वर्गों के अवशिष्ट योग (स्वतंत्रता की प्रति एक डिग्री) के अनुपात के रूप में गणना की जाती है:

, (7.7)

कहाँ पे कस्वतंत्र चर की संख्या है।

आश्रित चर के वर्ग विचलन के कुल योग से संबंध के अंश और हर (7.7) को विभाजित करने के बाद, एफ-मानदंड को गुणांक के रूप में समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है:

.

यदि शून्य परिकल्पना सत्य है, तो प्रतिगमन समीकरण द्वारा समझाया गया विचरण और अस्पष्टीकृत (अवशिष्ट) विचरण एक दूसरे से भिन्न नहीं होते हैं।

अनुमानित मूल्य एफ-मानदंड की तुलना एक महत्वपूर्ण मूल्य से की जाती है जो स्वतंत्र चर की संख्या पर निर्भर करता है क, और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या पर (एन-के-1). तालिका (महत्वपूर्ण) मान एफ-मानदंड - यह भिन्नताओं के अनुपात का अधिकतम मूल्य है, जो तब हो सकता है जब वे एक शून्य परिकल्पना की उपस्थिति की संभावना के दिए गए स्तर के लिए यादृच्छिक रूप से विचलन करते हैं। यदि परिकलित मान एफ-मानदंड दिए गए महत्व के स्तर पर सारणीबद्ध से अधिक है, तो कनेक्शन की अनुपस्थिति के बारे में शून्य परिकल्पना को खारिज कर दिया जाता है और इस कनेक्शन के महत्व के बारे में निष्कर्ष निकाला जाता है, यानी। मॉडल महत्वपूर्ण माना जाता है।

युग्मित प्रतिगमन मॉडल के लिए

.

रैखिक प्रतिगमन में, न केवल समग्र रूप से समीकरण के महत्व का, बल्कि इसके व्यक्तिगत गुणांकों का भी आमतौर पर अनुमान लगाया जाता है। ऐसा करने के लिए, प्रत्येक पैरामीटर की मानक त्रुटि निर्धारित की जाती है। मापदंडों के प्रतिगमन गुणांक की मानक त्रुटियां सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती हैं:

, (7.8)

(7.9)

प्रतिगमन गुणांक की मानक त्रुटियां या सूत्र (7.8,7.9) द्वारा गणना किए गए मानक विचलन, एक नियम के रूप में, सांख्यिकीय पैकेजों में प्रतिगमन मॉडल की गणना के परिणामों में दिए गए हैं।

प्रतिगमन गुणांकों की माध्य वर्ग त्रुटियों के आधार पर, सांख्यिकीय परिकल्पनाओं के परीक्षण के लिए सामान्य योजना का उपयोग करके इन गुणांकों के महत्व की जाँच की जाती है।

मुख्य परिकल्पना के रूप में, "सत्य" प्रतिगमन गुणांक के शून्य से एक महत्वहीन अंतर के बारे में एक परिकल्पना सामने रखी जाती है। इस मामले में एक वैकल्पिक परिकल्पना रिवर्स परिकल्पना है, अर्थात, "सत्य" प्रतिगमन पैरामीटर की शून्य से असमानता के बारे में। इस परिकल्पना का परीक्षण किया जाता है टी-सांख्यिकी जो है टी-छात्र वितरण:

फिर परिकलित मान टी-आँकड़ों की तुलना महत्वपूर्ण मूल्यों से की जाती है टी-छात्र वितरण तालिकाओं से निर्धारित आँकड़े। महत्वपूर्ण मान का निर्धारण महत्व स्तर के आधार पर किया जाता है α और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या, जो है (एन-के-1), एन -अवलोकनों की संख्या क- स्वतंत्र चर की संख्या। रैखिक युग्म प्रतिगमन के मामले में, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या है (पी- 2))। एक्सेल के बिल्ट-इन STUDISP फ़ंक्शन का उपयोग करके कंप्यूटर पर महत्वपूर्ण मान की गणना भी की जा सकती है।

यदि परिकलित मान टी-आंकड़े आलोचनात्मक से अधिक हैं, तो मुख्य परिकल्पना को खारिज कर दिया जाता है और यह माना जाता है कि संभावना के साथ (1-α)"सच्चा" प्रतिगमन गुणांक शून्य से काफी अलग है, जो कि संबंधित चर के रैखिक निर्भरता के अस्तित्व की एक सांख्यिकीय पुष्टि है।

यदि परिकलित मान टी-सांख्यिकी आलोचनात्मक से कम है, तो मुख्य परिकल्पना को अस्वीकार करने का कोई कारण नहीं है, अर्थात, "सच्चा" प्रतिगमन गुणांक महत्व स्तर पर शून्य से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न नहीं है α . इस मामले में, इस गुणांक के अनुरूप कारक को मॉडल से बाहर रखा जाना चाहिए।

एक विश्वास अंतराल का निर्माण करके प्रतिगमन गुणांक का महत्व स्थापित किया जा सकता है। प्रतिगमन मापदंडों के लिए विश्वास अंतराल एतथा बीनिम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

,

,

महत्व स्तर के लिए विद्यार्थी की वितरण तालिका से कहाँ निर्धारित किया जाता है α और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या (पी- 2) जोड़ीदार प्रतिगमन के लिए।

चूंकि अर्थमितीय अध्ययनों में प्रतिगमन गुणांक की स्पष्ट आर्थिक व्याख्या होती है, इसलिए विश्वास अंतराल में शून्य नहीं होना चाहिए। प्रतिगमन गुणांक के वास्तविक मूल्य में शून्य सहित सकारात्मक और नकारात्मक मान एक साथ नहीं हो सकते हैं, अन्यथा हमें गुणांक की आर्थिक व्याख्या में विरोधाभासी परिणाम मिलते हैं, जो नहीं हो सकते। इस प्रकार, गुणांक महत्वपूर्ण है यदि प्राप्त आत्मविश्वास अंतराल शून्य को कवर नहीं करता है।

उदाहरण 7.4.उदाहरण 7.1 के अनुसार:

ए) डेटा प्रोसेसिंग सॉफ्टवेयर का उपयोग करके बिक्री मूल्य पर बिक्री से लाभ की निर्भरता का एक युग्मित रैखिक प्रतिगमन मॉडल बनाएं।

b) का उपयोग करते हुए समग्र रूप से प्रतिगमन समीकरण के महत्व का आकलन करें एफ-फिशर की कसौटी α = 0.05।

सी) का उपयोग कर प्रतिगमन मॉडल गुणांक के महत्व का आकलन करें टी-छात्र की कसौटी α=0.05तथा α=0.1.

प्रतिगमन विश्लेषण के लिए हम मानक कार्यालय कार्यक्रम एक्सेल का उपयोग करते हैं। हम विश्लेषण पैकेज सेटिंग्स (चित्र 7.5) के रिग्रेशन टूल का उपयोग करके एक रिग्रेशन मॉडल तैयार करेंगे, जिसे निम्नानुसार लॉन्च किया गया है:

सर्विसडाटा विश्लेषणREGRESSIONOK.

चित्र 7.5. रिग्रेशन टूल का उपयोग करना

प्रतिगमन संवाद बॉक्स में, इनपुट अंतराल Y फ़ील्ड में, आश्रित चर वाले कक्षों की श्रेणी का पता दर्ज करें। इनपुट अंतराल X फ़ील्ड में, एक या अधिक श्रेणियों के पते दर्ज करें जिनमें स्वतंत्र चर के मान हों। पहली पंक्ति के चेकबॉक्स में लेबल सक्रिय स्थिति पर सेट होते हैं यदि कॉलम शीर्षक भी चुने जाते हैं। अंजीर पर। 7.6. रिग्रेशन टूल का उपयोग करके रिग्रेशन मॉडल की गणना का स्क्रीन फॉर्म दिखाया गया है।

चावल। 7.6. एक युग्मित प्रतिगमन मॉडल का निर्माण

रिग्रेशन टूल

रिग्रेशन टूल के संचालन के परिणामस्वरूप, निम्नलिखित रिग्रेशन विश्लेषण प्रोटोकॉल बनता है (चित्र। 7.7)।

चावल। 7.7. प्रतिगमन विश्लेषण प्रोटोकॉल

बिक्री मूल्य पर बिक्री से लाभ की निर्भरता के समीकरण का रूप है:

हम प्रतिगमन समीकरण के महत्व का अनुमान लगाएंगे एफ-फिशर की कसौटी। अर्थ एफ-फिशर की कसौटी EXCEL प्रोटोकॉल (चित्र। 7.7.) की तालिका "अवेरिएंस विश्लेषण" से ली गई है। अनुमानित मूल्य एफ-मानदंड 53,372। तालिका मूल्य एफ-महत्व स्तर पर मानदंड α=0.05और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या 4.964 है। जैसा , तो समीकरण महत्वपूर्ण माना जाता है।

अनुमानित मूल्य टी-प्रतिगमन समीकरण के गुणांकों के लिए छात्र के मानदंड परिणामी तालिका (चित्र। 7.7) में दिए गए हैं। तालिका मूल्य टी-महत्व के स्तर पर छात्र की परीक्षा α=0.05और 10 डिग्री स्वतंत्रता 2.228 है। प्रतिगमन गुणांक के लिए ए, इसलिए गुणांक एमहत्वपूर्ण नहीं है। प्रतिगमन गुणांक के लिए बी, इसलिए, गुणांक बीसार्थक।

प्रतीपगमन समीकरण के प्राचलों के महत्व का आकलन

छात्र के टी-टेस्ट का उपयोग करके रैखिक प्रतिगमन समीकरण के मापदंडों के महत्व का अनुमान लगाया गया है:

अगर टीकैल्क > टीकरोड़ है, तो मुख्य परिकल्पना स्वीकार की जाती है ( हो), प्रतिगमन मापदंडों के सांख्यिकीय महत्व को दर्शाता है;

अगर टीकैल्क< टीकरोड़ है, तो वैकल्पिक परिकल्पना स्वीकार की जाती है ( एच 1), प्रतिगमन मापदंडों के सांख्यिकीय महत्व को दर्शाता है।

कहाँ पे एम ए , एम बीमानकों की मानक त्रुटियां हैं एतथा बी:

(2.19)

(2.20)

मानदंड का महत्वपूर्ण (सारणीबद्ध) मान छात्र के वितरण (परिशिष्ट बी) की सांख्यिकीय तालिकाओं का उपयोग करके या तालिकाओं के अनुसार पाया जाता है एक्सेल(फ़ंक्शन विज़ार्ड "सांख्यिकीय" का अनुभाग):

टीकरोड़ = स्टुड्रास्प ( α = 1-पी; कश्मीर=एन-2), (2.21)

कहाँ पे कश्मीर=एन-2स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या का भी प्रतिनिधित्व करता है .

सांख्यिकीय महत्व का अनुमान रैखिक सहसंबंध गुणांक पर भी लागू किया जा सकता है

कहाँ पे श्रीसहसंबंध गुणांक के मूल्यों को निर्धारित करने की मानक त्रुटि है आर वाईएक्स

(2.23)

दूसरे खंड के विषयों पर व्यावहारिक और प्रयोगशाला कार्यों के लिए कार्यों के विकल्प नीचे दिए गए हैं।

खंड 2 . में स्व-परीक्षा के लिए प्रश्न

1. अर्थमितीय मॉडल के मुख्य घटकों और उनके सार को निर्दिष्ट करें।

2. अर्थमितीय अनुसंधान के चरणों की मुख्य सामग्री।

3. रैखिक प्रतिगमन के मापदंडों को निर्धारित करने के लिए दृष्टिकोण का सार।

4. समाश्रयण समीकरण के प्राचलों को निर्धारित करने में न्यूनतम वर्ग विधि के अनुप्रयोग का सार और विशिष्टता।

5. अध्ययन किए गए कारकों के संबंध की निकटता का आकलन करने के लिए किन संकेतकों का उपयोग किया जाता है?

6. रैखिक सहसंबंध गुणांक का सार।

7. निर्धारण के गुणांक का सार।

8. प्रतिगमन मॉडल की पर्याप्तता (सांख्यिकीय महत्व) का आकलन करने के लिए प्रक्रियाओं का सार और मुख्य विशेषताएं।

9. सन्निकटन के गुणांक द्वारा रैखिक प्रतिगमन मॉडल की पर्याप्तता का आकलन।

10. फिशर मानदंड द्वारा प्रतिगमन मॉडल की पर्याप्तता का आकलन करने के लिए दृष्टिकोण का सार। कसौटी के अनुभवजन्य और महत्वपूर्ण मूल्यों का निर्धारण।

11. अर्थमितीय अध्ययन के संबंध में "फैलाव विश्लेषण" की अवधारणा का सार।

12. रैखिक प्रतिगमन समीकरण के मापदंडों के महत्व का आकलन करने की प्रक्रिया का सार और मुख्य विशेषताएं।

13. रैखिक प्रतिगमन समीकरण के मापदंडों के महत्व का आकलन करने में छात्र के वितरण के आवेदन की विशेषताएं।

14. अध्ययन की गई सामाजिक-आर्थिक घटना के एकल मूल्यों की भविष्यवाणी करने का कार्य क्या है?

1. एक सहसंबंध क्षेत्र बनाएं और अध्ययन किए गए कारकों के संबंध समीकरण के रूप के बारे में एक धारणा तैयार करें;

2. कम से कम वर्ग विधि के मूल समीकरण लिखिए, आवश्यक परिवर्तन कीजिए, मध्यवर्ती गणनाओं के लिए एक तालिका संकलित कीजिए और रैखिक समाश्रयण समीकरण के मापदंडों को निर्धारित कीजिए;

3. एक्सेल स्प्रेडशीट की मानक प्रक्रियाओं और कार्यों का उपयोग करके की गई गणनाओं की शुद्धता को सत्यापित करें।

4. परिणामों का विश्लेषण करें, निष्कर्ष और सिफारिशें तैयार करें।

1. रैखिक सहसंबंध गुणांक के मूल्य की गणना;

2. एक फैलाव विश्लेषण तालिका का निर्माण;

3. निर्धारण के गुणांक का आकलन;

4. एक्सेल स्प्रेडशीट की मानक प्रक्रियाओं और कार्यों का उपयोग करके की गई गणनाओं की शुद्धता को सत्यापित करें।

5. परिणामों का विश्लेषण करें, निष्कर्ष और सिफारिशें तैयार करें।

4. चयनित प्रतिगमन समीकरण की पर्याप्तता का सामान्य मूल्यांकन करें;

1. सन्निकटन गुणांक के मूल्यों द्वारा समीकरण की पर्याप्तता का आकलन;

2. निर्धारण के गुणांक के मूल्यों द्वारा समीकरण की पर्याप्तता का आकलन;

3. फिशर मानदंड द्वारा समीकरण की पर्याप्तता का आकलन;

4. समाश्रयण समीकरण के प्राचलों की पर्याप्तता का सामान्य मूल्यांकन करना;

5. एक्सेल स्प्रेडशीट की मानक प्रक्रियाओं और कार्यों का उपयोग करके की गई गणनाओं की शुद्धता को सत्यापित करें।

6. परिणामों का विश्लेषण करें, निष्कर्ष और सिफारिशें तैयार करें।

1. एक्सेल स्प्रेडशीट फंक्शन विजार्ड की मानक प्रक्रियाओं का उपयोग करना ("गणितीय" और "सांख्यिकीय" अनुभागों से);

2. डेटा तैयार करना और "LINEST" फ़ंक्शन का उपयोग करने की विशेषताएं;

3. डेटा तैयार करना और "PREDICTION" फ़ंक्शन का उपयोग करने की विशेषताएं।

1. एक्सेल स्प्रेडशीट डेटा विश्लेषण पैकेज की मानक प्रक्रियाओं का उपयोग करना;

2. "रिग्रेशन" प्रक्रिया के आवेदन के डेटा और सुविधाओं की तैयारी;

3. प्रतिगमन विश्लेषण तालिका से डेटा की व्याख्या और सामान्यीकरण;

4. फैलाव विश्लेषण तालिका के डेटा की व्याख्या और सामान्यीकरण;

5. प्रतिगमन समीकरण के मापदंडों के महत्व का आकलन करने के लिए तालिका के डेटा की व्याख्या और सामान्यीकरण;

किसी एक विकल्प के अनुसार प्रयोगशाला कार्य करते समय, निम्नलिखित विशेष कार्य करना आवश्यक है:

1. अध्ययन किए गए कारकों के संबंध के समीकरण के रूप का चुनाव करें;

2. प्रतिगमन समीकरण के मापदंडों का निर्धारण करें;

3. अध्ययन किए गए कारकों के संबंध की जकड़न का आकलन करने के लिए;

4. चयनित प्रतिगमन समीकरण की पर्याप्तता का आकलन करें;

5. समाश्रयण समीकरण के प्राचलों के सांख्यिकीय महत्व का मूल्यांकन कीजिए।

6. एक्सेल स्प्रेडशीट की मानक प्रक्रियाओं और कार्यों का उपयोग करके की गई गणनाओं की शुद्धता को सत्यापित करें।

7. परिणामों का विश्लेषण करें, निष्कर्ष और सिफारिशें तैयार करें।

"अर्थमितीय अध्ययन में युग्मित रैखिक प्रतिगमन और सहसंबंध" विषय पर व्यावहारिक और प्रयोगशाला कार्य के लिए कार्य।

विकल्प 1	विकल्प 2	विकल्प 3	विकल्प 4	विकल्प 5
एक्स	आप	एक्स	आप	एक्स	आप	एक्स	आप	एक्स	आप

विकल्प 6	विकल्प 7	विकल्प 8	विकल्प 9	विकल्प 10
एक्स	आप	एक्स	आप	एक्स	आप	एक्स	आप	एक्स	आप

जोड़ी प्रतिगमनदो चर के बीच एक प्रतिगमन है

-y और x, अर्थात्।मॉडल देखें + ई

कहां पर- प्रभावी संकेत, यानी आश्रित चर; एक्स- संकेत कारक।

रेखीय प्रतिगमन को फॉर्म का समीकरण खोजने के लिए कम किया जाता है या

फॉर्म का एक समीकरण कारक x के दिए गए मानों को प्रभावी विशेषता के सैद्धांतिक मूल्यों के लिए अनुमति देता है, इसमें कारक x के वास्तविक मूल्यों को प्रतिस्थापित करता है।

एक रेखीय प्रतिगमन का निर्माण इसके मापदंडों a और b का अनुमान लगाने के लिए कम किया गया है।

रैखिक प्रतिगमन पैरामीटर अनुमान विभिन्न तरीकों से पाए जा सकते हैं।

1.

2.

पैरामीटर बीबुलाया प्रतिगमन गुणांक. इसका मूल्य दिखाता है

एक इकाई द्वारा कारक में परिवर्तन के साथ परिणाम में औसत परिवर्तन।

औपचारिक रूप से लेकिन- अर्थ पर x = 0 पर। यदि साइन-फैक्टर

शून्य मान नहीं है और नहीं हो सकता है, तो उपरोक्त

मुक्त अवधि व्याख्या, लेकिनकोई मतलब नहीं है। पैरामीटर, लेकिनशायद

कोई आर्थिक सामग्री नहीं है। आर्थिक प्रयास

पैरामीटर की व्याख्या करें, लेकिनबेतुकापन पैदा कर सकता है, खासकर जब लेकिन < 0.

केवल पैरामीटर के संकेत की व्याख्या की जा सकती है ए।यदि एक लेकिन > 0,

तो परिणाम में सापेक्ष परिवर्तन परिवर्तन की तुलना में धीमा है

पाए गए मापदंडों और संपूर्ण मॉडल की गुणवत्ता की जाँच करना:

-प्रतिगमन गुणांक (बी) और सहसंबंध गुणांक के महत्व का आकलन

-पूरे प्रतिगमन समीकरण के महत्व का आकलन करना। निर्धारण गुणांक

प्रतिगमन समीकरण हमेशा कनेक्शन की जकड़न के संकेतक के साथ पूरक होता है। पर

इस तरह के एक संकेतक के रूप में रैखिक प्रतिगमन का उपयोग करना है

रैखिक सहसंबंध गुणांक r xy . वह अलग अलग है

रैखिक सहसंबंध गुणांक सूत्र के संशोधन।

रैखिक सहसंबंध गुणांक सीमा में है: -1≤ .rxy

≤ 1. इसके अलावा, करीब आर 0 से कमजोर सहसंबंध और इसके विपरीत

r, 1 या -1 के जितना करीब होगा, सहसंबंध उतना ही मजबूत होगा, यानी। x और y की निर्भरता के करीब है

रैखिक। यदि एक आरठीक =1 या -1 सभी बिंदु एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।

यदि गुणांक प्रतिगमन बी> 0 फिर 0 । आरएक्सवाई 1 और

बी के लिए इसके विपरीत<0 -1≤.आरएक्सवाई 0. कोफ.

सहसंबंध की उपस्थिति में m / y मानों की रैखिक निर्भरता की डिग्री को दर्शाता है

किसी अन्य प्रजाति की स्पष्ट निर्भरता।

एक रेखीय फलन के चयन की गुणवत्ता का आकलन करने के लिए, रैखिक का वर्ग

सहसंबंध गुणांक

बुलाया निर्धारण गुणांक।निर्धारण गुणांक

परिणामी विशेषता y के प्रसरण के अनुपात की विशेषता है, द्वारा समझाया गया

प्रतिगमन। अनुरूप मूल्य

फैलाव के हिस्से की विशेषता है वाई,अन्य बेहिसाब के प्रभाव के कारण

कारक मॉडल में

ओएलएस अनुमति देता हैऐसे पैरामीटर अनुमान प्राप्त करें लेकिनतथा बी,कौन सा

परिणामी विशेषता के वास्तविक मूल्यों के वर्ग विचलन का योग

(वाई)गणना से (सैद्धांतिक)

न्यूनतम:

दूसरे शब्दों में, से

लाइनों के पूरे सेट में, चार्ट पर रिग्रेशन लाइन को चुना जाता है ताकि योग

बिंदुओं और इस रेखा के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी के वर्ग होंगे

न्यूनतम।

सामान्य समीकरणों की प्रणाली हल हो गई है

रैखिक प्रतिगमन मापदंडों के महत्व का अनुमान।

समग्र रूप से प्रतिगमन समीकरण के महत्व का आकलन F-मानदंड का उपयोग करके दिया जाता है

मछुआरा। इस मामले में, शून्य परिकल्पना सामने रखी गई है कि प्रतिगमन गुणांक बराबर है

शून्य, यानी ख = 0, और इसलिए कारक एक्सप्रदान नहीं करता

परिणाम पर प्रभाव वाई

एफ-मानदंड की प्रत्यक्ष गणना विचरण के विश्लेषण से पहले होती है।

इसका केंद्र वर्ग विचलन के कुल योग का विस्तार है

चर परऔसत मूल्य से परदो भागों में -

"समझाया" और "अस्पष्टीकृत":

वर्ग विचलन का कुल योग

वर्गों का योग

प्रतिगमन द्वारा समझाया गया विचलन

वर्ग विचलन का अवशिष्ट योग।

वर्ग विचलन का कोई भी योग स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से संबंधित है , टी।

ई. सुविधा की स्वतंत्र भिन्नता की स्वतंत्रता की संख्या के साथ। स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या जनसंख्या n की इकाइयों की संख्या और इससे निर्धारित स्थिरांक की संख्या से संबंधित है। अध्ययन के तहत समस्या के संबंध में, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या से पता चलता है कि कितने स्वतंत्र विचलन हैं पीसंभव के लिए आवश्यक

वर्गों के दिए गए योग का गठन।

स्वतंत्रता की प्रति डिग्री फैलाव डी।

एफ-अनुपात (एफ-मानदंड):

यदि शून्य परिकल्पना सत्य है, तो कारक और अवशिष्ट प्रसरण नहीं हैं

एक दूसरे से भिन्न। एच 0 के लिए, एक खंडन आवश्यक है ताकि

कारक विचरण अवशिष्ट एक से कई गुना अधिक हो गया। अंग्रेज़ी

सांख्यिकीविद् स्नेडेकोर ने एफ-अनुपात के महत्वपूर्ण मूल्यों की सारणी विकसित की

शून्य परिकल्पना के महत्व के विभिन्न स्तरों पर और डिग्री की एक अलग संख्या

आज़ादी। F-परीक्षण का तालिका मान अनुपात का अधिकतम मान है

प्रसरण, जो किसी दिए गए के लिए उनके यादृच्छिक विचलन के मामले में हो सकता है

शून्य परिकल्पना की उपस्थिति का संभाव्यता स्तर। एफ-अनुपात का परिकलित मूल्य

यदि o तालिका मान से अधिक है तो विश्वसनीय के रूप में पहचाना जाता है। इस मामले में, शून्य

संकेतों के संबंध की अनुपस्थिति के बारे में परिकल्पना को खारिज कर दिया जाता है और निष्कर्ष निकाला जाता है

इस संबंध का महत्व: एफ तथ्य > एफ तालिका एच 0

खारिज किया जाता है।

यदि मान सारणीबद्ध F तथ्य से कम है ‹, एफ टेबल

तब शून्य परिकल्पना की प्रायिकता किसी दिए गए स्तर से ऊपर होती है और यह नहीं हो सकती है

कनेक्शन को गुमराह करने के गंभीर जोखिम के बिना खारिज कर दिया। पर

इस मामले में, प्रतिगमन समीकरण को सांख्यिकीय रूप से महत्वहीन माना जाता है। परंतु

खारिज नहीं किया जाता है।

इसी तरह की जानकारी।