4.2. बीजगणितीय और पारलौकिक संख्याएँ

वास्तविक संख्याओं को कभी-कभी बीजीय और पारलौकिक में भी विभाजित किया जाता है।

बीजगणितीय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जो पूर्णांक गुणांक वाले बीजगणितीय बहुपदों की जड़ें हैं, उदाहरण के लिए, 4,। अन्य सभी (गैर-बीजगणितीय) संख्याओं को पारलौकिक माना जाता है। चूँकि प्रत्येक परिमेय संख्या p/q पूर्णांक गुणांक qx -p के साथ प्रथम घात के संगत बहुपद का मूल है, तो सभी पारलौकिक संख्याएँ अपरिमेय हैं।

आइए हम विचारित (प्राकृतिक, तर्कसंगत, वास्तविक) संख्याओं की विशिष्ट विशेषताओं पर प्रकाश डालें: वे केवल एक संपत्ति का मॉडल बनाते हैं - मात्रा; वे एक-आयामी हैं और सभी को एक सीधी रेखा पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे समन्वय अक्ष कहा जाता है।

5. जटिल आंकड़े

5.1. काल्पनिक संख्याएँ

1545 में इतालवी वैज्ञानिक कार्डानो द्वारा खोजी गई एक नई प्रकृति की संख्याएं अतार्किक संख्याओं से भी अधिक अजीब थीं। उन्होंने दिखाया कि समीकरणों की एक प्रणाली जिसका वास्तविक संख्याओं के सेट में कोई समाधान नहीं है, उसके समाधान इस रूप में होते हैं। आपको बस सामान्य बीजगणित के नियमों के अनुसार ऐसे अभिव्यक्तियों पर कार्य करने के लिए सहमत होने की आवश्यकता है और मान लें कि · = -।

कार्डानो ने ऐसी मात्राओं को "विशुद्ध रूप से नकारात्मक" और यहां तक ​​कि "परिष्कृत रूप से नकारात्मक" कहा, उन्हें बेकार माना और उनका उपयोग न करने का प्रयास किया।

लम्बे समय तक इन संख्याओं को असंभव, अस्तित्वहीन, काल्पनिक माना जाता रहा। डेसकार्टेस ने उन्हें काल्पनिक कहा, लीबनिज ने - "विचारों की दुनिया से एक सनकी, अस्तित्व और गैर-अस्तित्व के बीच स्थित एक इकाई।"

वास्तव में, ऐसे अंकों की सहायता से किसी भी मात्रा को मापने के परिणाम या किसी मात्रा में परिवर्तन को व्यक्त करना असंभव है।

निर्देशांक अक्ष पर काल्पनिक संख्याओं के लिए कोई स्थान नहीं था। हालाँकि, वैज्ञानिकों ने देखा कि यदि हम समन्वय अक्ष के सकारात्मक भाग पर वास्तविक संख्या बी लेते हैं और इसे गुणा करते हैं, तो हमें एक काल्पनिक संख्या बी मिलती है, जो अज्ञात कहाँ स्थित है। लेकिन यदि हम इस संख्या को दोबारा से गुणा करते हैं, तो हमें -बी मिलता है, यानी मूल संख्या, लेकिन निर्देशांक अक्ष के नकारात्मक भाग पर। तो, दो गुणा करके हमने संख्या b को धनात्मक से ऋणात्मक में फेंक दिया, और इस फेंक के ठीक बीच में संख्या काल्पनिक थी। इस प्रकार हमने वास्तविक समन्वय अक्ष के मध्य के लंबवत एक काल्पनिक समन्वय अक्ष पर बिंदुओं पर काल्पनिक संख्याओं के लिए एक स्थान पाया। काल्पनिक और वास्तविक अक्षों के बीच के तल के बिंदु कार्डानो द्वारा पाई गई संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो सामान्य रूप में a + b·i में वास्तविक संख्याएं a और काल्पनिक b·i को एक जटिल (संरचना) में समाहित करते हैं, इसलिए उन्हें कहा जाता है जटिल आंकड़े।

यह संख्या सामान्यीकरण का चौथा स्तर था।

काल्पनिक संख्याओं पर संक्रिया की तकनीक धीरे-धीरे विकसित हुई। 17वीं और 17वीं शताब्दी के मोड़ पर, अंग्रेजी गणितज्ञ ए. मोइवर के निम्नलिखित सूत्र के आधार पर, nवीं शक्तियों की जड़ों का एक सामान्य सिद्धांत बनाया गया था, पहले नकारात्मक से और फिर किसी भी जटिल संख्या से:

इस सूत्र का उपयोग करके, एकाधिक चापों की कोसाइन और साइन के लिए सूत्र प्राप्त करना भी संभव था।

लियोनहार्ड यूलर ने 1748 में एक उल्लेखनीय सूत्र निकाला:

जो घातीय फलन को त्रिकोणमितीय फलन के साथ जोड़ता है। यूलर के सूत्र का उपयोग करके, संख्या ई को किसी भी जटिल घात तक बढ़ाना संभव था। उदाहरण के लिए, यह दिलचस्प है कि... आप जटिल संख्याओं के पाप और कोस का पता लगा सकते हैं, ऐसी संख्याओं के लघुगणक की गणना कर सकते हैं, आदि।

लंबे समय तक, गणितज्ञ भी जटिल संख्याओं को रहस्यमय मानते थे और उनका उपयोग केवल गणितीय जोड़-तोड़ के लिए करते थे। इस प्रकार, स्विस गणितज्ञ बर्नौली ने अभिन्नों को हल करने के लिए जटिल संख्याओं का उपयोग किया। थोड़ी देर बाद, उन्होंने काल्पनिक संख्याओं का उपयोग करके निरंतर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरणों के समाधान व्यक्त करना सीखा। उदाहरण के लिए, किसी प्रतिरोधी माध्यम में किसी भौतिक बिंदु के दोलन के सिद्धांत में ऐसे समीकरण पाए जाते हैं।

बीजगणितीय मैट्रिक्स समूह

बीजगणितीय समापन प्रणाली

आइए बीजगणितीय संक्रिया की अवधारणा से शुरुआत करें। मान लीजिए A एक सार्वभौमिक बीजगणित है जिसमें बीजगणितीय संक्रियाओं का एक सेट है। U से प्रत्येक संक्रिया U की एक निश्चित सीमा n, nN(0) है। किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, n-ary ऑपरेशन u An से A तक की मैपिंग है...

अभाज्य संख्याओं की शक्ति

पारस्परिक रूप से अभाज्य संख्याएँ प्राकृतिक या पूर्णांक संख्याएँ होती हैं जो 1 से बड़ी सबसे बड़ी समकक्ष नहीं लगती हैं, या अन्यथा 1 से बड़ी उनकी सबसे बड़ी समकक्ष प्रतीत होती हैं। इस प्रकार, 2 और 3 - परस्पर सरल हैं, और 2 और 4 दोनों में से कोई भी नहीं हैं। (2 से विभाजित)...

ग्राफ़ और उनके कार्य

आइए फ़ंक्शंस और उनके ग्राफ़ पर बुनियादी बीजीय संचालन पर विचार करें, जैसे जोड़ और घटाव (y = f(x) ±g(x)), गुणन (y = f(x) g(x)), भाग (y = f( एक्स) / जी(एक्स)). इस प्रकार का ग्राफ़ बनाते समय, आपको इस पर विचार करना चाहिए...

सम्मिश्र संख्याएँ: उनका अतीत और वर्तमान

मध्य युग में गणित

समीकरणों की प्रणालियों में फैन चेंग पद्धति को लागू करने के लिए एक आवश्यक शर्त नकारात्मक संख्याओं की शुरूआत थी। उदाहरण के लिए, किसी सिस्टम को हल करते समय हमें एक तालिका मिलती है। अगला चरण: दाईं ओर से तीसरे कॉलम के तत्वों को पहले के तत्वों से घटाएं...

अंक ज्योतिष

पाइथागोरस ने संख्याओं को न केवल वास्तविक चीज़ों का अमूर्त विकल्प माना, बल्कि जीवित संस्थाओं को अंतरिक्ष, ऊर्जा या ध्वनि कंपन के गुणों को प्रतिबिंबित किया। संख्या, अंकगणित का प्रमुख विज्ञान...

अंक ज्योतिष

किंवदंती है कि हार्मोनिक संख्याएँ, जिनका अनुपात गोले के संगीत को जन्म देता है, पाइथागोरस द्वारा खोजे गए थे। फ्लेमरियन इस किंवदंती को इस प्रकार दोहराता है: "वे कहते हैं कि एक भट्टी से गुजरते समय, उसने हथौड़ों की आवाज़ सुनी...

चेबीशेव-हर्माइट भार के साथ चतुर्भुज सूत्रों का व्यावहारिक अनुप्रयोग

मान लीजिए कि संपूर्ण अक्ष पर एक समान भार फ़ंक्शन निर्दिष्ट किया गया है। (1.1) इस फ़ंक्शन को क्रमिक रूप से अलग करने पर, हम पाते हैं (1.2) प्रेरण द्वारा यह साबित करना आसान है कि फ़ंक्शन का क्रम n व्युत्पन्न (1.1) डिग्री n के कुछ बहुपद द्वारा इस फ़ंक्शन का उत्पाद है ...

आइए एक नई अमान्य संख्या प्रस्तुत करें जिसका वर्ग -1 है। इस संख्या को हम प्रतीक I से निरूपित करते हैं और इसे काल्पनिक इकाई कहते हैं। तो, (2.1) फिर। (2.2) 1. सम्मिश्र संख्या का बीजगणितीय रूप यदि, तो संख्या (2.3) सम्मिश्र संख्या कहलाती है...

बार-बार परिभाषित संख्यात्मक अनुक्रम

कई समस्याओं को हल करते समय, आपको अक्सर बार-बार दिए गए अनुक्रमों से निपटना पड़ता है, लेकिन, फाइबोनैचि अनुक्रम के विपरीत, इसके विश्लेषणात्मक कार्य को प्राप्त करना हमेशा संभव नहीं होता है...

उनके समाधान के लिए मापदंडों और विधियों के साथ ट्रान्सेंडैंटल समीकरण

ट्रान्सेंडैंटल समीकरण एक समीकरण है जिसमें किसी अज्ञात (चर) के ट्रान्सेंडैंटल फ़ंक्शंस (तर्कसंगत, लघुगणक, घातीय, त्रिकोणमितीय और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय) शामिल होते हैं, उदाहरण के लिए समीकरण...

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बहुत समय पहले, जब लोग कंकड़-पत्थरों से गिनने में मदद करते थे, तो वे सही आकृतियों पर ध्यान देते थे जो कंकड़-पत्थरों से बनाई जा सकती थीं। आप बस कंकड़ को एक पंक्ति में रख सकते हैं: एक, दो, तीन। यदि आप आयत बनाने के लिए उन्हें दो पंक्तियों में रखते हैं...

अद्भुत संख्याएँ

कभी-कभी पूर्ण संख्याओं को मित्रवत संख्याओं का एक विशेष मामला माना जाता है: प्रत्येक पूर्ण संख्या स्वयं के लिए अनुकूल होती है। प्रसिद्ध दार्शनिक और गणितज्ञ निकोमाचस ऑफ़ गेरास ने लिखा: "पूर्ण संख्याएँ सुंदर होती हैं। लेकिन यह ज्ञात है...

सामाजिक प्रक्रियाओं के भग्न गुण

ज्यामितीय भग्न स्थिर आकृतियाँ हैं। यह दृष्टिकोण तब तक काफी स्वीकार्य है जब तक पानी की गिरती धाराओं, धुएं के अशांत भंवर जैसी प्राकृतिक घटनाओं पर विचार करने की कोई आवश्यकता नहीं है...

पारलौकिक संख्या

एक संख्या (वास्तविक या काल्पनिक) जो पूर्णांक गुणांक वाले किसी भी बीजगणितीय समीकरण (बीजगणितीय समीकरण देखें) को संतुष्ट नहीं करती है। इस प्रकार, संख्या संख्याओं की तुलना बीजगणितीय संख्याओं से की जाती है (बीजगणितीय संख्या देखें)। टी. सीएच. का अस्तित्व सबसे पहले जे. लिउविले (1844) द्वारा स्थापित किया गया था। लिउविले का प्रारंभिक बिंदु उनका प्रमेय था, जिसके अनुसार किसी दिए गए हर के साथ एक तर्कसंगत भिन्न के किसी दिए गए अपरिमेय बीजगणितीय संख्या के सन्निकटन का क्रम मनमाने ढंग से उच्च नहीं हो सकता है। अर्थात्, यदि बीजगणितीय संख्या एडिग्री के एक अपरिवर्तनीय बीजगणितीय समीकरण को संतुष्ट करता है एनपूर्णांक गुणांकों के साथ, तो किसी भी परिमेय संख्या के लिए c केवल पर निर्भर करता है α ). इसलिए, यदि किसी दी गई अपरिमेय संख्या α के लिए कोई तर्कसंगत अनुमानों का एक अनंत सेट निर्दिष्ट कर सकता है जो किसी के लिए दी गई असमानता को संतुष्ट नहीं करता है साथऔर एन(सभी सन्निकटनों के लिए समान), फिर α टी. एच. ऐसी संख्या का एक उदाहरण देता है:

संख्याओं के अस्तित्व का एक और प्रमाण जी. कैंटर (1874) द्वारा दिया गया था, जिसमें कहा गया था कि सभी बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है (अर्थात्, सभी बीजगणितीय संख्याओं को पुनः क्रमांकित किया जा सकता है; सेट सिद्धांत देखें), जबकि सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बेशुमार है. इससे यह निष्कर्ष निकला कि संख्याओं का समुच्चय बेशुमार है, और इसके अलावा संख्याएँ सभी संख्याओं के समुच्चय का बड़ा हिस्सा बनती हैं।

निरपेक्ष संख्याओं के सिद्धांत का सबसे महत्वपूर्ण कार्य यह निर्धारित करना है कि क्या विश्लेषणात्मक कार्यों के मान जिनमें तर्क के बीजगणितीय मूल्यों के लिए कुछ अंकगणितीय और विश्लेषणात्मक गुण हैं, वास्तविक संख्याएं हैं। इस प्रकार की समस्याएँ आधुनिक गणित की सबसे कठिन समस्याओं में से हैं। 1873 में, सी. हरमाइट ने साबित किया कि नेपेरो संख्या

1882 में, जर्मन गणितज्ञ एफ. लिंडमैन ने एक अधिक सामान्य परिणाम प्राप्त किया: यदि α एक बीजीय संख्या है, तो इα - टी. एच. लिपडेमैन के परिणाम को जर्मन गणितज्ञ के. सीगल (1930) द्वारा महत्वपूर्ण रूप से सामान्यीकृत किया गया था, जिन्होंने साबित किया, उदाहरण के लिए, तर्क के बीजगणितीय मूल्यों के लिए बेलनाकार कार्यों की एक विस्तृत श्रेणी के मूल्य का अतिक्रमण। 1900 में, पेरिस में गणितीय कांग्रेस में, डी. हिल्बर्ट ने गणित की 23 अनसुलझी समस्याओं में से निम्नलिखित की ओर इशारा किया: एक पारलौकिक संख्या है α β , कहाँ α और β - बीजगणितीय संख्याएँ, और β - एक अपरिमेय संख्या, और, विशेष रूप से, संख्या ई π ट्रान्सेंडैंटल (प्रपत्र की संख्याओं के ट्रान्सेंडेंस की समस्या) α β पहली बार निजी रूप में एल. यूलर द्वारा मंचन किया गया, 1744)। इस समस्या का पूर्ण समाधान (सकारात्मक अर्थ में) केवल 1934 में ए.ओ. गेलफोंड यू द्वारा प्राप्त किया गया था। गेलफॉन्ड की खोज से, विशेष रूप से, यह पता चलता है कि प्राकृतिक संख्याओं के सभी दशमलव लघुगणक (अर्थात्, "सारणीबद्ध लघुगणक") पूर्णांक संख्याएँ हैं। संख्याओं के सिद्धांत के तरीकों को पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने वाली कई समस्याओं पर लागू किया जाता है।

लिट.:गेलफोंड ए.ओ., ट्रान्सेंडैंटल और बीजगणितीय संख्याएँ, एम., 1952।

महान सोवियत विश्वकोश। - एम.: सोवियत विश्वकोश. 1969-1978 .

देखें अन्य शब्दकोशों में "ट्रान्सेंडैंटल नंबर" क्या है:

एक संख्या जो पूर्णांक गुणांक वाले किसी भी बीजगणितीय समीकरण को संतुष्ट नहीं करती है। पारलौकिक संख्याएँ हैं: संख्या??3.14159...; किसी भी पूर्णांक का दशमलव लघुगणक जो शून्य के बाद दर्शाए गए नहीं है; संख्या e=2.71828... और अन्य... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

- (लैटिन ट्रांसकेंडर से पास, अधिक) एक वास्तविक या जटिल संख्या है जो बीजगणितीय नहीं है, दूसरे शब्दों में, एक संख्या जो पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद की जड़ नहीं हो सकती है। सामग्री 1 गुण 2 ... ...विकिपीडिया

एक संख्या जो पूर्णांक गुणांक वाले किसी भी बीजगणितीय समीकरण को संतुष्ट नहीं करती है। पारलौकिक संख्याएँ हैं: संख्या π = 3.14159...; किसी भी पूर्णांक का दशमलव लघुगणक जो शून्य के बाद दर्शाए गए नहीं है; संख्या ई = 2.71828... आदि... विश्वकोश शब्दकोश

एक संख्या जो किसी भी बीजगणित को संतुष्ट नहीं करती। पूर्णांक गुणांक के साथ समीकरण. इसमें शामिल है: संख्या पीआई = 3.14159...; किसी भी पूर्णांक का दशमलव लघुगणक जो शून्य के बाद दर्शाए गए नहीं है; संख्या ई = 2.71828... आदि... प्राकृतिक विज्ञान। विश्वकोश शब्दकोश

एक संख्या जो पूर्णांक गुणांक वाले किसी भी बहुपद का मूल नहीं है। ऐसी संख्याओं की परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक, सम्मिश्र और मूल संख्याओं के शून्य हैं। वास्तविक भागों के अस्तित्व और स्पष्ट निर्माण की पुष्टि जे. लिउविले द्वारा की गई थी... ... गणितीय विश्वकोश

एक समीकरण जो बीजगणितीय नहीं है. आमतौर पर ये घातीय, लघुगणक, त्रिकोणमितीय, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों वाले समीकरण होते हैं, उदाहरण के लिए: एक अधिक सख्त परिभाषा है: एक पारलौकिक समीकरण एक समीकरण है ... विकिपीडिया

लगभग 2.718 के बराबर एक संख्या, जो अक्सर गणित और विज्ञान में पाई जाती है। उदाहरण के लिए, जब कोई रेडियोधर्मी पदार्थ समय t के बाद क्षय होता है, तो e kt के बराबर अंश पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा का रह जाता है, जहाँ k एक संख्या है,... ... कोलियर का विश्वकोश

ई एक गणितीय स्थिरांक है, प्राकृतिक लघुगणक का आधार, एक अपरिमेय और पारलौकिक संख्या है। कभी-कभी संख्या ई को यूलर संख्या कहा जाता है (पहली तरह की तथाकथित यूलर संख्याओं के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए) या नेपियर संख्या। लोअरकेस लैटिन अक्षर "ई" द्वारा दर्शाया गया... ...विकिपीडिया

ई एक गणितीय स्थिरांक है, प्राकृतिक लघुगणक का आधार, एक अपरिमेय और पारलौकिक संख्या है। कभी-कभी संख्या ई को यूलर संख्या कहा जाता है (पहली तरह की तथाकथित यूलर संख्याओं के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए) या नेपियर संख्या। लोअरकेस लैटिन अक्षर "ई" द्वारा दर्शाया गया... ...विकिपीडिया

वास्तविक रेखा पर, बीजगणितीय संख्याओं के अलावा, एक और सेट होता है, जिसकी शक्ति पूरी रेखा की शक्ति से मेल खाती है - यह पारलौकिक संख्याओं का सेट है।

परिभाषा 6 : वह संख्या जो बीजगणितीय नहीं है, कहलाती है ट्रान्सेंडैंटल, अर्थात, एक पारलौकिक संख्या (अव्य. ट्रान्सेंडेरे - ऊपर जाना, पार करना) एक वास्तविक या जटिल संख्या है जो तर्कसंगत गुणांक वाले बहुपद (शून्य के बराबर नहीं) की जड़ नहीं हो सकती है

पारलौकिक संख्याओं के गुण:

· पारलौकिक संख्याओं का समुच्चय सतत है.

· प्रत्येक पारलौकिक वास्तविक संख्या अपरिमेय है, लेकिन इसका विपरीत सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए, एक संख्या अपरिमेय है, लेकिन पारलौकिक नहीं: यह एक बहुपद (और इसलिए बीजीय) का मूल है।

· वास्तविक पारलौकिक संख्याओं के समुच्चय का क्रम अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय के समरूपी होता है।

· लगभग किसी भी पारलौकिक संख्या की अतार्किकता का माप 2 है.

पारलौकिक संख्याओं का अस्तित्व सबसे पहले लिउविल ने सिद्ध किया था। लाउविल का पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व का प्रमाण प्रभावी है; निम्नलिखित प्रमेय के आधार पर, जो प्रमेय 5 का प्रत्यक्ष परिणाम है, पारलौकिक संख्याओं के विशिष्ट उदाहरण बनाए गए हैं।

प्रमेय 6 [3, पृ. 54].: होने देना - वास्तविक संख्या। यदि किसी प्राकृतिक के लिए एन 1 और कोई वास्तविक सी>0 तब कम से कम एक परिमेय भिन्न ऐसी (11) होती है - पारलौकिक संख्या.

सबूत:अगर बीजगणितीय था, तो वहाँ (प्रमेय 5) एक धनात्मक पूर्णांक होगा एनऔर असली सी>0 ऐसा कि किसी भी भिन्न के लिए यह होगा, और यह सत्य का खंडन करता है (11)। धारणा यह है बीजगणितीय संख्या, यानी पारलौकिक संख्या. प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

संख्याएँ जिसके लिए, किसी के लिए एन 1 और सी>0 असमानता (11) का समाधान पूर्णांकों में है एऔर बीट्रान्सेंडैंटल लिउविले नंबर कहलाते हैं।

अब हमारे पास वास्तविक संख्याएँ बनाने का एक साधन है जो बीजगणितीय नहीं हैं। एक ऐसी संख्या का निर्माण करना आवश्यक है जो मनमाने ढंग से उच्च क्रम के अनुमान की अनुमति दे।

उदाहरण:

ए- पारलौकिक संख्या.

आइए मनमाना वास्तविक लें एन 1 और सी>0. चलो कहाँ कइतना बड़ा चुना कि के.एन., तब

चूंकि मनमानी के लिए एन 1 और सी>0 आप एक ऐसा अंश पा सकते हैं जो एक पारलौकिक संख्या है।

आइए संख्या को अनंत दशमलव अंश के रूप में सेट करें: कहाँ

फिर, किसी भी जगह के लिए, . इस प्रकार, और इसका मतलब यह है कि यह मनमाने ढंग से उच्च क्रम के अनुमानों की अनुमति देता है और इसलिए बीजगणितीय नहीं हो सकता है।

1873 में, सी. हरमाइट ने संख्या की उत्कृष्टता को सिद्ध किया इ, प्राकृतिक लघुगणक के आधार।

किसी संख्या के अतिक्रमण को सिद्ध करना इदो लेम्मा की आवश्यकता है.

लेम्मा 1.अगर जी(एक्स) पूर्णांक गुणांक वाला एक बहुपद है, फिर किसी के लिए कएन इसके सभी गुणांक क-ओह व्युत्पन्न जी (क) (एक्स) में विभाजित हैं क!.

सबूत।ऑपरेटर के बाद से डी/डीएक्सरैखिक, तो यह केवल प्रपत्र के बहुपदों के लिए लेम्मा के कथन की जाँच करने के लिए पर्याप्त है जी(एक्स)=एक्सएस, एस 0.

अगर क>एस, वह जी (क) (एक्स)= 0 और क!|0.

अगर क< s , वह

द्विपद गुणांक एक पूर्णांक है और जी(क) ( एक्स) को फिर से विभाजित किया गया है क! पूरी तरह।

लेम्मा 2 (हर्माइट पहचान)।होने देना एफ(एक्स) - डिग्री का मनमाना बहुपद कवास्तविक गुणांकों के साथ,

एफ( एक्स)=एफ(एक्स)+एफ" (एक्स)+एफ"(एक्स)+ … +एफ (क) (एक्स) इसके सभी डेरिवेटिव का योग है। फिर किसी भी वास्तविक (और यहां तक ​​कि जटिल भी, लेकिन हमें अभी इसकी आवश्यकता नहीं होगी) एक्सहो गया:

सबूत।आइए भागों द्वारा एकीकृत करें:

हम अभिन्न को फिर से भागों द्वारा एकीकृत करते हैं, इत्यादि। इस प्रक्रिया को दोहराते हुए क+1 बार, हमें मिलता है:

प्रमेय 7 (हर्माइट, 1873). संख्या इ पारमार्थिक।

सबूत।आइए इस कथन को विरोधाभास से सिद्ध करें। चलिए मान लेते हैं इ - बीजगणितीय संख्या, शक्तियाँ एम. तब

ए एम इ एम + … +ए 1 इ+ए 0 =0

कुछ प्राकृतिक के लिए एमऔर कुछ संपूर्ण ए एम ,… ए 1 , ए 0 . आइए हम इसके स्थान पर हर्मिट पहचान (12) को प्रतिस्थापित करें एक्सपूर्णांक कजो 0 से मान लेता है एम; प्रत्येक समानता को गुणा करें

केअनुसार ए क, और फिर उन सभी को जोड़ें। हम पाते हैं:

चूँकि (यह हमारी विपरीत धारणा है), यह किसी भी बहुपद के लिए निकलता है एफ(एक्स) समानता संतुष्ट होनी चाहिए:

बहुपद के उपयुक्त विकल्प द्वारा एफ(एक्स) आप (13) के बाईं ओर को एक गैर-शून्य पूर्णांक बना सकते हैं, और दाईं ओर शून्य और एक के बीच होगा।

एक बहुपद पर विचार करें जहाँ एनबाद में निर्धारित किया जाएगा ( एनएन, और एनबड़ा)।

संख्या 0 बहुलता का मूल है एन-1 बहुपद एफ(एक्स), संख्या 1, 2,…, एम- बहुलता की जड़ें एन, इस तरह:

एफ (एल) (0)=0, एल=1,2,…, एन-2

एफ(एन-1) (0)=(-1) एम.एन. (एम!) एन

एफ (एल) (क)=0, एल=0,1, …, एन-1; क=1,2,…, एम

विचार करें जी( एक्स)=एक्स एन-1 (एक्स-1) एन (एक्स-2) एन … (एक्स-एम) एन - के समान एक बहुपद एफ(एक्स), लेकिन पूर्णांक गुणांक के साथ। लेम्मा 1 के अनुसार, गुणांक g ( एल) (एक्स) - पूर्णांकों से विभाज्य एल!, इसलिए, कब एल< n , व्युत्पन्न जी ( एल) (एक्स) सभी गुणांक पूर्णांक हैं जो विभाज्य हैं एन, क्योंकि जी( एल) (एक्स) g (l) से प्राप्त होता है ( एक्स) केवल ( से विभाजित करके एन-1)!. इसीलिए

कहाँ ए- एक उपयुक्त पूर्णांक, और योग चिह्न के ऊपर एक संख्या है ( एम+1) एन-1 - बहुपद की डिग्री एफ(एक्स) और, यद्यपि अनंत, गैर-शून्य व्युत्पन्नों का योग करना संभव है एफ(एक्स) बिलकुल उतना ही.

वैसे ही

कहाँ बी क- उपयुक्त पूर्णांक, क = 1, 2,…, एम.

अभी रहने दो एनएन - कोई भी पूर्णांक जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

समानता (13) पर फिर से विचार करें:

बाईं ओर के योग में, सभी पद पूर्णांक हैं, और ए क एफ(क) पर क = 1, 2,…, एमद्वारा विभाजित एन, ए ए 0 एफ(0)पर एनसाझा नहीं करता. इसका मतलब यह है कि पूरी राशि, एक पूर्णांक होने के नाते, है एनविभाज्य नहीं, अर्थात शून्य नहीं है. इस तरह,

आइए अब हम समानता के दाईं ओर का अनुमान लगाएं (13)। यह स्पष्ट है कि खंड पर और इसलिए इस खंड पर

स्थिरांक कहाँ हैं सी 0 और सी 1 पर निर्भर न रहें एन. ह ज्ञात है कि

इसलिए, पर्याप्त रूप से बड़े के लिए एन, (13) का दाहिना भाग एक से कम है और समानता (13) असंभव है।

1882 में, लिंडमैन ने किसी संख्या की शक्तियों के पारगमन पर प्रमेय को सिद्ध किया इएक गैर-शून्य बीजीय घातांक के साथ, जिससे संख्या की श्रेष्ठता सिद्ध होती है।

प्रमेय 8 (लिंडमैन) [3, पृष्ठ 58]. यदि एक बीजगणितीय संख्या है और, तो वह संख्या पारमार्थिक है।

लिंडमैन का प्रमेय हमें पारलौकिक संख्याओं का निर्माण करने की अनुमति देता है।

उदाहरण:

उदाहरण के लिए, लिंडमैन के प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि संख्या एल.एन 2 - पारलौकिक, क्योंकि 2=इ एलएन 2, और संख्या 2 बीजगणितीय है और यदि संख्या एल.एन 2 बीजगणितीय था, फिर लेम्मा द्वारा संख्या 2 एक पारलौकिक संख्या थी।

सामान्य तौर पर, किसी भी बीजगणितीय के लिए, एल.एनलिंडमैन का प्रमेय पारलौकिक है। यदि पारलौकिक, तो एल.एनउदाहरण के लिए, जरूरी नहीं कि यह एक पारलौकिक संख्या हो एलएन ई =1

यह पता चला है कि हाई स्कूल में हमने बहुत सारी पारलौकिक संख्याएँ देखी थीं - एल.एन 2,एल.एन 3,एल.एन() और इसी तरह।

यह भी ध्यान दें कि पारलौकिक संख्याएँ किसी भी गैर-शून्य बीजगणितीय संख्या के रूप की संख्याएँ हैं (लिंडेमैन-वीयरस्ट्रैस प्रमेय के अनुसार, जो लिंडेमैन प्रमेय का सामान्यीकरण है)। उदाहरण के लिए, संख्याएँ पारलौकिक हैं।

यदि पारलौकिक, तो आवश्यक नहीं कि पारलौकिक संख्याएँ, उदाहरण के लिए,

लिंडमैन के प्रमेय का प्रमाण हर्मिट की पहचान का उपयोग करके किया जा सकता है, उसी तरह जैसे परिवर्तनों में कुछ जटिलताओं के साथ पारगमन को सिद्ध किया गया था। ठीक इसी प्रकार लिंडमैन ने स्वयं इसे सिद्ध किया। लेकिन इस प्रमेय को अलग तरीके से सिद्ध किया जा सकता है, जैसा कि सोवियत गणितज्ञ ए.ओ. ने किया था। गेलफ़ॉन्ड, जिनके विचारों ने बीसवीं शताब्दी के मध्य में हिल्बर्ट की सातवीं समस्या के समाधान की ओर अग्रसर किया।

1900 में, गणितज्ञों की द्वितीय अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में, हिल्बर्ट ने जो समस्याएँ तैयार कीं, उनमें से उन्होंने सातवीं समस्या तैयार की: "यदि, क्या यह सच है कि उस रूप की संख्याएँ जहाँ, - बीजगणितीय और - अपरिमेय, पारलौकिक संख्याएँ हैं?" . इस समस्या का समाधान 1934 में गेलफॉन्ड द्वारा किया गया, जिन्होंने साबित किया कि ऐसी सभी संख्याएँ वास्तव में पारलौकिक हैं।

गेलफोंड द्वारा प्रस्तावित घातीय फ़ंक्शन के मूल्यों के अतिक्रमण का प्रमाण, प्रक्षेप विधियों के उपयोग पर आधारित है।

उदाहरण:

1) गेलफॉन्ड के प्रमेय के आधार पर, उदाहरण के लिए, यह साबित करना संभव है कि एक संख्या पारमार्थिक है, क्योंकि यदि यह बीजगणितीय अपरिमेय होती, तो चूँकि गेलफॉन्ड के प्रमेय के पीछे की संख्या 19 पारमार्थिक होती, जो सत्य नहीं है।

2) चलो एऔर बी- तर्कहीन संख्या। एक संख्या कर सकते हैं ए बीविवेकपूर्ण?

बेशक, हिल्बर्ट की सातवीं समस्या का उपयोग करके, इस समस्या को हल करना मुश्किल नहीं है। वास्तव में, संख्या पारलौकिक है (क्योंकि यह एक बीजगणितीय अपरिमेय संख्या है)। लेकिन सभी परिमेय संख्याएँ बीजगणितीय हैं, इसलिए अपरिमेय हैं। दूसरी ओर,

इसलिए, हमने बस ये संख्याएँ प्रस्तुत कीं: हालाँकि, इस समस्या को गेलफोंड के परिणाम के संदर्भ के बिना हल किया जा सकता है। आप इस प्रकार तर्क कर सकते हैं: किसी संख्या पर विचार करें। यदि यह संख्या तर्कसंगत है, तो समस्या हल हो जाती है, जैसे एऔर बीमिला। यदि यह तर्कहीन है, तो हम लेते हैं, और।

इसलिए, हमने संख्याओं के दो जोड़े प्रस्तुत किए एऔर बी, जैसे कि इनमें से एक जोड़ी बताई गई शर्त को पूरा करती है, लेकिन वह नहीं जानता कि कौन सी जोड़ी है। लेकिन ऐसी जोड़ी पेश करने की कोई ज़रूरत नहीं थी! तो यह समाधान एक अर्थ में अस्तित्व प्रमेय है।

जो, जब a = 1, हमें ज्यामितीय प्रगति का योग निर्धारित करने में मदद करता है। यह मानते हुए कि गॉस का प्रमेय सिद्ध है, आइए मान लें कि a = a 1 समीकरण (17) का मूल है, ताकि

	) = ए एन + ए		ए एन−1			ए एन−2		ए 1 + ए

इस अभिव्यक्ति को f(x) से घटाकर और पदों को पुनर्व्यवस्थित करके, हम पहचान प्राप्त करते हैं

f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x − a1 ).

(21) अब सूत्र (20) का उपयोग करके, हम प्रत्येक पद से गुणनखंड x - a 1 को अलग कर सकते हैं और फिर इसे कोष्ठक से बाहर निकाल सकते हैं, और कोष्ठक में शेष बहुपद की डिग्री एक कम हो जाएगी। पदों को पुनः समूहित करने पर हमें सर्वसमिका प्राप्त होती है

f(x) = (x − a1 )g(x),

जहाँ g(x) घात n - 1 का एक बहुपद है:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + बी1 एक्स + बी0 .

(हमें यहां b द्वारा दर्शाए गए गुणांकों की गणना करने में कोई दिलचस्पी नहीं है।) आइए हम आगे बहुपद g(x) पर भी यही तर्क लागू करें। गॉस के प्रमेय के अनुसार, समीकरण g(x) = 0 का एक मूल a2 है, इसलिए

g(x) = (x − a2 )h(x),

जहां h(x) पहले से ही n - 2 डिग्री का एक नया बहुपद है। इन तर्कों को n - 1 बार दोहराते हुए (निश्चित रूप से, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का अनुप्रयोग), हम अंततः विस्तार पर पहुंचते हैं

f(x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (एक्स − ए ).

सर्वसमिका (22) से न केवल यह निष्कर्ष निकलता है कि सम्मिश्र संख्याएँ a1, a2,

An समीकरण (17) के मूल हैं, लेकिन यह भी कि समीकरण (17) का कोई अन्य मूल नहीं है। वास्तव में, यदि संख्या y समीकरण (17) का मूल होती, तो यह (22) से अनुसरण करती

f(y) = (y − a1 )(y − a2 ) . . . (y − an ) = 0.

लेकिन हमने देखा है (पृ. 115) कि सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि उनमें से एक गुणनखंड शून्य के बराबर हो। तो, कारकों में से एक y - ar 0 के बराबर है, यानी y = ar, जिसे स्थापित करने की आवश्यकता है।

§ 6.

1. अस्तित्व की परिभाषा और प्रश्न. एक बीजगणितीय संख्या कोई भी संख्या x, वास्तविक या काल्पनिक है, जो फॉर्म के कुछ बीजगणितीय समीकरण को संतुष्ट करती है

an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0 (n > 1, an 6= 0),

130 गणितीय संख्यात्मक प्रणाली ch. द्वितीय

जहाँ संख्याएँ ai पूर्णांक हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्या 2 बीजगणितीय है, क्योंकि यह समीकरण को संतुष्ट करती है

x2 − 2 = 0.

उसी तरह, एक बीजगणितीय संख्या तीसरे, चौथे, पांचवें, जो भी डिग्री आपको पसंद हो, के पूर्णांक गुणांक के साथ किसी भी समीकरण की जड़ है, और चाहे वह रेडिकल में व्यक्त की गई हो या नहीं व्यक्त की गई हो। बीजगणितीय संख्या की अवधारणा एक तर्कसंगत संख्या की अवधारणा का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण है, जो विशेष मामले n = 1 से मेल खाती है।

प्रत्येक वास्तविक संख्या बीजगणितीय नहीं होती. यह कैंटर द्वारा बताए गए निम्नलिखित प्रमेय से निम्नानुसार है: सभी बीजगणितीय संख्याओं का सेट गणनीय है। चूँकि सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बेशुमार है, इसलिए आवश्यक रूप से ऐसी वास्तविक संख्याएँ होनी चाहिए जो बीजगणितीय न हों।

आइए हम बीजगणितीय संख्याओं के एक सेट की पुनर्गणना करने के तरीकों में से एक का संकेत दें। प्रपत्र (1) का प्रत्येक समीकरण एक धनात्मक पूर्णांक से संबद्ध है

एच = |ए | + |an−1 | + . . . + |a1 | + |ए0 | + एन,

जिसे हम संक्षिप्तता के लिए समीकरण की "ऊंचाई" कहेंगे। n के प्रत्येक निश्चित मान के लिए, ऊँचाई h के साथ फॉर्म (1) के समीकरणों की केवल एक सीमित संख्या होती है। इनमें से प्रत्येक समीकरण के अधिकतम n मूल हैं। इसलिए, ऊँचाई h के समीकरणों द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय संख्याओं की केवल एक सीमित संख्या ही हो सकती है; नतीजतन, सभी बीजगणितीय संख्याओं को एक अनुक्रम के रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है, पहले ऊंचाई 1 के समीकरणों द्वारा उत्पन्न संख्याओं को सूचीबद्ध किया जा सकता है, फिर ऊंचाई 2 आदि को सूचीबद्ध किया जा सकता है।

यह प्रमाण कि बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है, उन वास्तविक संख्याओं के अस्तित्व को स्थापित करता है जो बीजगणितीय नहीं हैं। ऐसी संख्याओं को ट्रांसेंडेंटल कहा जाता है (लैटिन ट्रांसकेंडर से - पार करना, पार करना); यूलर ने उन्हें यह नाम इसलिए दिया क्योंकि वे "बीजगणितीय विधियों की शक्ति से अधिक थे।"

पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व के बारे में कैंटर का प्रमाण रचनात्मक नहीं है। सैद्धांतिक रूप से कहें तो, सभी बीजगणितीय संख्याओं के दशमलव विस्तारों की एक काल्पनिक सूची पर निष्पादित विकर्ण प्रक्रिया का उपयोग करके एक पारलौकिक संख्या का निर्माण करना संभव होगा; लेकिन ऐसी प्रक्रिया किसी भी व्यावहारिक महत्व से रहित है और इससे कोई संख्या नहीं निकलेगी जिसका दशमलव (या किसी अन्य) अंश में विस्तार वास्तव में लिखा जा सके। पारलौकिक संख्याओं से जुड़ी सबसे दिलचस्प समस्याओं में यह साबित करना शामिल है कि निश्चित, विशिष्ट संख्याएँ (इसमें संख्याएँ p और e शामिल हैं, जिनके बारे में पृष्ठ 319-322 देखें) पारलौकिक हैं।

बीजगणितीय और पारलौकिक संख्याएँ

**2. लिउविले का प्रमेय और पारलौकिक संख्याओं का निर्माण। ट्रान्सेंडैंटल संख्याओं के अस्तित्व का प्रमाण, कैंटर से भी पहले, जे. लिउविल (1809-1862) द्वारा दिया गया था। यह वास्तव में ऐसी संख्याओं के उदाहरण बनाना संभव बनाता है। लिउविले का प्रमाण कैंटर की तुलना में अधिक कठिन है, और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि एक उदाहरण का निर्माण करना, आम तौर पर बोलना, अस्तित्व को साबित करने से अधिक कठिन है। नीचे लिउविले का प्रमाण प्रस्तुत करते समय, हमारे मन में केवल तैयार पाठक ही है, हालाँकि प्रमाण को समझने के लिए प्रारंभिक गणित का ज्ञान पूरी तरह से पर्याप्त है।

जैसा कि लिउविले ने खोजा था, अपरिमेय बीजगणितीय संख्याओं में यह गुण होता है कि उन्हें बहुत अधिक सटीकता के साथ तर्कसंगत संख्याओं द्वारा अनुमानित नहीं किया जा सकता है जब तक कि अनुमानित भिन्नों के हर को बहुत बड़ा नहीं माना जाता है।

मान लीजिए कि संख्या z पूर्णांक गुणांक वाले बीजगणितीय समीकरण को संतुष्ट करती है

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +। . . + एक xn = 0 (एक 6= 0),

लेकिन निम्न डिग्री के समान समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है। तब

वे कहते हैं कि x स्वयं घात n की एक बीजगणितीय संख्या है। उदाहरण के लिए,

संख्या z = 2, घात 2 की एक बीजगणितीय संख्या है, क्योंकि यह घात 2 के समीकरण x2 − 2 = 0√ को संतुष्ट करती है, लेकिन पहली डिग्री के समीकरण को संतुष्ट नहीं करती है; संख्या z = 3 2 घात 3 की है, क्योंकि यह समीकरण x3 − 2 = 0 को संतुष्ट करती है, लेकिन कम घात वाले समीकरण को संतुष्ट नहीं करती है (जैसा कि हम अध्याय III में दिखाएंगे)। डिग्री की बीजगणितीय संख्या n > 1

परिमेय नहीं हो सकता, क्योंकि परिमेय संख्या z = p q संतुष्ट करती है

डिग्री 1 के समीकरण qx - p = 0 को संतुष्ट करता है। प्रत्येक अपरिमेय संख्या z को एक परिमेय संख्या का उपयोग करके सटीकता की किसी भी डिग्री के साथ अनुमानित किया जा सकता है; इसका मतलब यह है कि आप हमेशा परिमेय संख्याओं का एक क्रम निर्दिष्ट कर सकते हैं

पी 1 , पी 2 , . . .

क्यू 1 क्यू 2

असीमित रूप से बढ़ते हर के साथ, जिसका अपना है

वह

पी आर → जेड. क्यू.आर

लिउविल के प्रमेय में कहा गया है: घात n > 1 की बीजगणितीय संख्या z जो भी हो, इसे युक्तिकरण द्वारा अनुमानित नहीं किया जा सकता है।

पर्याप्त रूप से बड़े हरों के लिए, असमानता आवश्यक रूप से कायम रहती है

z − p q			> क्यू एन1 +1 .

गणितीय संख्यात्मक प्रणाली

हम इस प्रमेय का प्रमाण देने जा रहे हैं, लेकिन पहले हम दिखाएंगे कि इसका उपयोग पारलौकिक संख्याओं के निर्माण के लिए कैसे किया जा सकता है। संख्या पर विचार करें

z = a1 10−1! + a2 · 10−2! + a3 · 10−3! + . . . + हूँ · 10−मी! + . . . = = 0.a1 a2 000a3 000000000000000a4 000। . . ,

जहां ai 1 से 9 तक मनमानी संख्याओं को दर्शाता है (सबसे आसान तरीका सभी ai को 1 के बराबर सेट करना होगा), और प्रतीक n!, हमेशा की तरह (पेज 36 देखें), 1 · 2 · को दर्शाता है। . . · एन। ऐसी संख्या के दशमलव विस्तार का एक विशिष्ट गुण यह है कि लंबाई में तेजी से बढ़ते शून्य के समूह इसमें शून्य के अलावा अन्य व्यक्तिगत अंकों के साथ वैकल्पिक होते हैं। आइए हम उस अंतिम दशमलव अंश को zm से निरूपित करें जो तब प्राप्त होता है जब विस्तार में हम सभी पदों को am · 10−m तक लेते हैं! सहित। तब हमें असमानता प्राप्त होती है

मान लीजिए z डिग्री n की एक बीजगणितीय संख्या थी। फिर, लिउविल असमानता (3) में मानते हुए p q = zm = 10 p m! , हमारे पास यह होना चाहिए

|z − zm | > 10 (एन+1)एम!

मी के पर्याप्त बड़े मूल्यों के लिए। अंतिम असमानता की तुलना असमानता (4) से करने पर पता चलता है

10 (एन+1)एम!		10 (एम+1)!			10 (एम+1)!−1

जिसका अर्थ है (n + 1)m! > (एम + 1)! - 1 पर्याप्त रूप से बड़े मी के लिए। लेकिन यह n से अधिक m के मानों के लिए सत्य नहीं है (पाठक को इस कथन का विस्तृत प्रमाण देने का कष्ट करें)। हम एक विरोधाभास पर पहुँच गये हैं। तो, संख्या z पारलौकिक है।

लिउविले के प्रमेय को सिद्ध करना बाकी है। आइए मान लें कि z डिग्री n > 1 की एक बीजगणितीय संख्या है जो समीकरण (1) को संतुष्ट करती है

f(zm) = f(zm) - f(z) = a1 (zm - z) + a2 (zm 2 - z2) +। . . + an (zm n − zn ).

दोनों पक्षों को zm − z से विभाजित करना और बीजगणितीय सूत्र का उपयोग करना

u n - v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 +। . . + uvn−2 + vn−1 , u - v

हम पाते हैं:

	एफ(जेडएम)	A1 + a2 (zm + z) + a3 (zm 2 + zm z + z2 ) +। . .
	zm − z
		An (zm n−1 + . . + zn−1 ). (6)

बीजगणितीय और पारलौकिक संख्याएँ

चूँकि zm, z की ओर प्रवृत्त होता है, तो पर्याप्त रूप से बड़े m के लिए परिमेय संख्या zm, z से एक से भी कम भिन्न होगी। इसलिए, पर्याप्त रूप से बड़े मी के लिए, निम्नलिखित मोटा अनुमान लगाया जा सकता है:

	एफ(जेडएम)		< |a1 | + 2|a2 |(|z| + 1) + 3|a3 |(|z| + 1)2
zm − z

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

इसके अलावा, दाईं ओर की संख्या M स्थिर है, क्योंकि प्रमाण के दौरान z नहीं बदलता है। आइए अब हम m को इतना बड़ा चुनें

भिन्न z m = p m का एक हर q m है एम से बड़ा था; तबक्यूएम

|z − zm | >	|एफ(जेडएम)|			|एफ(जेडएम)|

|एफ(जेडएम)| =							−q एन
							1 पी + . . . +ए
परिमेय संख्या zm =			समीकरण का मूल नहीं हो सकता

तब से बहुपद f(x) से गुणनखंड (x - zm) को अलग करना संभव होगा, और, इसलिए, z, n से कम डिग्री के समीकरण को संतुष्ट करेगा। तो, f(zm) 6= 0. लेकिन समानता (9) के दाईं ओर का अंश एक पूर्णांक है और, इसलिए, निरपेक्ष मान में यह कम से कम एक के बराबर है। इस प्रकार, संबंध (8) और (9) की तुलना से यह निष्कर्ष निकलता है

|z − zm | >
					क्यूएन+1

संकेतित प्रमेय की सटीक सामग्री।

पिछले कुछ दशकों में, तर्कसंगत संख्याओं द्वारा बीजगणितीय संख्याओं का अनुमान लगाने की संभावना पर शोध बहुत आगे बढ़ गया है। उदाहरण के लिए, नॉर्वेजियन गणितज्ञ ए. थ्यू (1863-1922) ने पाया कि लिउविले असमानता (3) में घातांक n + 1 को एक छोटे घातांक n 2 + 1 से बदला जा सकता है।

के. एल. सीगल ने दिखाया कि इससे भी छोटा (और भी छोटा) लेना संभव है

बड़े n के लिए) सूचक 2 n है।

ट्रान्सेंडैंटल संख्याएँ हमेशा एक ऐसा विषय रहा है जिसने गणितज्ञों का ध्यान आकर्षित किया है। लेकिन अपेक्षाकृत हाल तक, जो संख्याएँ अपने आप में दिलचस्प हैं, उनमें से बहुत कम लोग ज्ञात थे जिनका पारलौकिक चरित्र स्थापित हो चुका था। (संख्या पी के पारगमन से, जिस पर अध्याय III में चर्चा की जाएगी, यह निष्कर्ष निकलता है कि रूलर और कम्पास का उपयोग करके वृत्त को चतुष्कोणीय बनाना असंभव है।) 1900 में पेरिस इंटरनेशनल कांग्रेस ऑफ मैथमेटिक्स में अपने भाषण में, डेविड हिल्बर्ट ने प्रस्ताव रखा था तीस गणितीय

सेट का बीजगणित

ऐसी समस्याएँ जो सरल सूत्रीकरण की अनुमति देती थीं, कुछ तो काफी प्राथमिक और लोकप्रिय भी थीं, जिनमें से एक भी न केवल हल की गई थी, बल्कि उस युग के गणित के माध्यम से हल करने में भी सक्षम नहीं लगती थी। इन "हिल्बर्ट समस्याओं" का गणित के विकास की आगामी अवधि में एक मजबूत उत्तेजक प्रभाव पड़ा। उनमें से लगभग सभी को धीरे-धीरे हल किया गया था, और कई मामलों में उनका समाधान अधिक सामान्य और गहन तरीकों को विकसित करने के अर्थ में स्पष्ट रूप से व्यक्त सफलताओं से जुड़ा था। उन समस्याओं में से एक जो काफी निराशाजनक लग रही थी

सबूत है कि संख्या

पारलौकिक (या कम से कम अतार्किक) है। तीन दशकों तक किसी की ओर से इस मुद्दे पर ऐसे दृष्टिकोण का संकेत तक नहीं मिला जिससे सफलता की कोई उम्मीद खुलती। अंत में, सीगल और, उनसे स्वतंत्र रूप से, युवा रूसी गणितज्ञ ए. गेलफोंड ने कई लोगों की श्रेष्ठता को साबित करने के लिए नए तरीकों की खोज की

संख्याएँ जो गणित में मायने रखती हैं। विशेष रूप से इसकी स्थापना की गई

न केवल हिल्बर्ट संख्या 2 2 का अतिक्रमण, बल्कि एबी रूप की संख्याओं का संपूर्ण व्यापक वर्ग, जहां ए 0 और 1 से भिन्न एक बीजगणितीय संख्या है, और बी एक अपरिमेय बीजगणितीय संख्या है।

अध्याय II का परिशिष्ट

समुच्चय का बीजगणित

1. सामान्य सिद्धांत. एक वर्ग, या एक संग्रह, या वस्तुओं के एक समूह की अवधारणा गणित में सबसे मौलिक में से एक है। एक सेट को कुछ संपत्ति ("विशेषता") ए द्वारा परिभाषित किया गया है, जो कि प्रश्न में प्रत्येक वस्तु के पास होना चाहिए या नहीं होना चाहिए; वे वस्तुएँ जिनका गुण A है, समुच्चय A बनाते हैं। इस प्रकार, यदि हम पूर्णांकों पर विचार करते हैं और A का गुण "अभाज्य होना" है, तो संगत समुच्चय A में सभी अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7 शामिल हैं। . . .

गणितीय समुच्चय सिद्धांत इस तथ्य से आगे बढ़ता है कि कुछ संक्रियाओं का उपयोग करके समुच्चयों से नए समुच्चय बनाए जा सकते हैं (जिस प्रकार जोड़ और गुणन की संक्रियाओं के माध्यम से संख्याओं से नई संख्याएँ प्राप्त की जाती हैं)। सेट पर संचालन का अध्ययन "सेट बीजगणित" के विषय का गठन करता है, जिसमें सामान्य संख्यात्मक बीजगणित के साथ बहुत कुछ समान है, हालांकि कुछ मायनों में यह इससे भिन्न है। तथ्य यह है कि बीजगणितीय तरीकों को गैर-संख्यात्मक वस्तुओं, जैसे सेट, के अध्ययन के लिए लागू किया जा सकता है, इसका उदाहरण दिया गया है

सेट का बीजगणित

आधुनिक गणित में विचारों की व्यापक समानता पैदा करता है। हाल ही में यह स्पष्ट हो गया है कि सेट बीजगणित गणित के कई क्षेत्रों पर नई रोशनी डालता है, उदाहरण के लिए, माप सिद्धांत और संभाव्यता सिद्धांत; यह गणितीय अवधारणाओं को व्यवस्थित करने और उनके तार्किक संबंधों को स्पष्ट करने में भी उपयोगी है।

निम्नलिखित में, मैं वस्तुओं के एक निश्चित स्थिर सेट को निरूपित करूंगा, जिसकी प्रकृति उदासीन है, और जिसे हम सार्वभौमिक सेट (या तर्क का ब्रह्मांड) कह सकते हैं, और

ए, बी, सी, . . . I के कुछ उपसमुच्चय होंगे। यदि I सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, तो A, मान लीजिए, सभी सम संख्याओं के समुच्चय को, B सभी विषम संख्याओं के समुच्चय को, C सभी अभाज्य संख्याओं के समुच्चय को निरूपित कर सकता है, आदि। यदि I समतल पर सभी बिंदुओं के समुच्चय को निरूपित करता है, तो A किसी वृत्त के अंदर बिंदुओं का एक समुच्चय हो सकता है, B दूसरे वृत्त के अंदर बिंदुओं का एक समुच्चय हो सकता है, आदि। हमारे लिए I के साथ-साथ "को भी शामिल करना सुविधाजनक है।" खाली" सेट जिसमें कोई तत्व नहीं है। इस तरह के कृत्रिम विस्तार द्वारा अपनाया गया लक्ष्य इस स्थिति को संरक्षित करना है कि प्रत्येक संपत्ति ए के लिए I से तत्वों का एक निश्चित सेट मेल खाता है जिनके पास यह संपत्ति है। यदि A एक सार्वभौमिक रूप से मान्य संपत्ति है, जिसका एक उदाहरण (संख्याओं के मामले में) तुच्छ समानता x = x को संतुष्ट करने की संपत्ति है, तो I का संगत उपसमुच्चय I ही होगा, क्योंकि प्रत्येक तत्व में ऐसी संपत्ति होती है; दूसरी ओर, यदि A किसी प्रकार का आंतरिक रूप से विरोधाभासी गुण है (जैसे x 6 = x), तो संबंधित उपसमुच्चय में कोई भी तत्व नहीं है, यह "रिक्त" है और प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है।

वे कहते हैं कि एक समुच्चय A, समुच्चय B का एक उपसमुच्चय है, संक्षेप में, "A, B में है," या "B में A शामिल है," यदि समुच्चय A में कोई ऐसा तत्व नहीं है जो समुच्चय B में भी नहीं है। यह संबंध अंकन से मेल खाता है

ए बी, या बी ए.

उदाहरण के लिए, 10 से विभाज्य सभी पूर्णांकों का समुच्चय A, 5 से विभाज्य सभी पूर्णांकों के समुच्चय B का एक उपसमुच्चय है, क्योंकि 10 से विभाज्य प्रत्येक संख्या भी 5 से विभाज्य होती है। संबंध A B, संबंध B A को बाहर नहीं करता है। फिर, यह और वह दोनों

इसका मतलब यह है कि A का प्रत्येक तत्व B का भी एक तत्व है, और इसके विपरीत, ताकि सेट A और B में बिल्कुल समान तत्व हों।

सेटों के बीच का संबंध A B कई मायनों में संख्याओं के बीच के संबंध a 6 b की याद दिलाता है। विशेष रूप से, हम निम्नलिखित पर ध्यान देते हैं

सेट का बीजगणित

इस संबंध के निम्नलिखित गुण:

1) ए ए.

2) यदि ए बी और बी ए, तो ए = बी।

3) यदि ए बी और बी सी, तो ए सी।

इस कारण से, A B संबंध को कभी-कभी "आदेश संबंध" भी कहा जाता है। विचाराधीन संबंध और संख्याओं के बीच संबंध a 6 b के बीच मुख्य अंतर यह है कि किन्हीं दो दी गई (वास्तविक) संख्याओं a और b के बीच संबंध a 6 b या b 6 a में से कम से कम एक आवश्यक रूप से संतुष्ट होता है, जबकि संबंध के लिए ए बी सेटों के बीच एक समान कथन गलत है। उदाहरण के लिए, यदि A एक समुच्चय है जिसमें संख्याएँ 1, 2, 3,

और B एक समुच्चय है जिसमें संख्याएँ 2, 3, 4,

तो न तो संबंध A B और न ही संबंध B A धारण करता है। इस कारण से, वे कहते हैं कि उपसमुच्चय A, B, C, हैं। . . सेट I "आंशिक रूप से क्रमित" हैं, जबकि वास्तविक संख्याएँ a, b, c, हैं। . .

एक "पूरी तरह से ऑर्डर किया गया" सेट बनाएं।

ध्यान दें, वैसे, संबंध A B की परिभाषा से यह पता चलता है कि, समुच्चय I का उपसमुच्चय A जो भी हो,

संपत्ति 4) कुछ हद तक विरोधाभासी लग सकती है, लेकिन यदि आप इसके बारे में सोचते हैं, तो यह तार्किक रूप से किसी संकेत की परिभाषा के सटीक अर्थ से सख्ती से मेल खाता है। वास्तव में, संबंध ए का ही उल्लंघन होगा

वी यदि खाली सेट में कोई ऐसा तत्व है जो ए में शामिल नहीं होगा; लेकिन चूंकि खाली सेट में कोई भी तत्व नहीं है, इसलिए ऐसा नहीं हो सकता, चाहे A कुछ भी हो।

अब हम सेट पर दो ऑपरेशनों को परिभाषित करेंगे जिनमें औपचारिक रूप से संख्याओं के जोड़ और गुणा के कई बीजगणितीय गुण हैं, हालांकि उनकी आंतरिक सामग्री में वे इन अंकगणितीय ऑपरेशनों से पूरी तरह से अलग हैं। मान लीजिए A और B कुछ दो समुच्चय हैं। ए और बी के मिलन, या "तार्किक योग" से अभिप्राय एक ऐसे सेट से है जिसमें या तो ए या ए में निहित तत्व शामिल हैं

वी बी (ए और बी दोनों में निहित तत्वों सहित)। इस सेट को A + B दर्शाया गया है। 1 ए और बी के "प्रतिच्छेदन" या "तार्किक उत्पाद" से तात्पर्य एक सेट से है जिसमें ए और बी दोनों में निहित तत्व शामिल हैं। इस सेट को एबी से दर्शाया गया है।2

संक्रियाओं A + B और AB के महत्वपूर्ण बीजगणितीय गुणों में हम निम्नलिखित सूचीबद्ध करते हैं। पाठक स्वयं संचालन की परिभाषा के आधार पर उनकी वैधता की जांच करने में सक्षम होंगे:

	ए + (बी + सी) = (ए + बी) + सी. 9)
	ए(बी + सी) = एबी + एसी।		ए + (बीसी) = (ए + बी)(ए + सी)।
	संबंध A B दोनों संबंधों में से प्रत्येक के समतुल्य है

इन सभी कानूनों का सत्यापन सबसे प्राथमिक तर्क का विषय है। उदाहरण के लिए, नियम 10) बताता है कि ए या ए में निहित तत्वों का सेट सटीक रूप से सेट ए है; नियम 12) में कहा गया है कि उन तत्वों का सेट जो ए में समाहित हैं और एक ही समय में या तो बी या सी में निहित हैं, उन तत्वों के सेट के साथ मेल खाता है जो या तो ए और बी में एक साथ निहित हैं, या ए और सी में एक साथ निहित हैं। यदि हम सेट ए, बी, सी, को चित्रित करने के लिए सहमत हैं तो इस प्रकार के नियमों को सिद्ध करने में उपयोग किए जाने वाले तार्किक तर्क को आसानी से चित्रित किया जा सकता है। . . समतल पर कुछ आकृतियों के रूप में और हम बहुत सावधान रहेंगे कि जब दो सेटों के सामान्य तत्वों की उपस्थिति या, इसके विपरीत, तत्वों के एक सेट में उपस्थिति की बात आती है तो उत्पन्न होने वाली किसी भी तार्किक संभावना को न चूकें। दूसरे में समाहित नहीं है.

सेट का बीजगणित

पाठक ने निस्संदेह इस तथ्य पर ध्यान आकर्षित किया कि कानून 6), 7), 8), 9) और 12) बाह्य रूप से सामान्य बीजगणित के सुप्रसिद्ध क्रमविनिमेय, साहचर्य और वितरणात्मक नियमों के समान हैं। इसका तात्पर्य यह है कि इन कानूनों से अनुसरण करने वाले सामान्य बीजगणित के सभी नियम सेट बीजगणित में भी मान्य हैं। इसके विपरीत, नियम 10), 11) और 13) का सामान्य बीजगणित में कोई अनुरूप नहीं है, और वे सेट बीजगणित को एक सरल संरचना देते हैं। उदाहरण के लिए, सेट बीजगणित में द्विपद सूत्र सरलतम समानता तक कम हो जाता है

(ए + बी)एन = (ए + बी) · (ए + बी) . . . (ए + बी) = ए + बी,

जो कानून 11 से अनुसरण करता है)। नियम 14), 15) और 17) कहते हैं कि समुच्चयों के मिलन और प्रतिच्छेदन के संक्रियाओं के संबंध में समुच्चयों और I के गुण, जोड़ और की संख्यात्मक क्रियाओं के संक्रियाओं के संबंध में संख्या 0 और 1 के गुणों के समान हैं। गुणन. लेकिन कानून 16) का संख्यात्मक बीजगणित में कोई एनालॉग नहीं है।

सेट बीजगणित में एक और ऑपरेशन को परिभाषित करना बाकी है। मान लीजिए A सार्वभौमिक समुच्चय I का कुछ उपसमुच्चय है। तब I में A के पूरक को I के उन सभी तत्वों के समुच्चय के रूप में समझा जाता है जो A में समाहित नहीं हैं। इस समुच्चय के लिए हम अंकन A0 प्रस्तुत करते हैं। इसलिए, यदि I सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है, और A सभी अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है, तो A0 सभी भाज्य संख्याओं और संख्या 1 से युक्त समुच्चय है। A से A0 तक जाने का संचालन, जिसके लिए है साधारण बीजगणित में कोई एनालॉग नहीं, निम्नलिखित गुण हैं:

	ए + ए0 = आई.		AA0 = .
	0 = मैं.		इ0 = .

23) ए 00 = ए.

24) ए बी अनुपात बी अनुपात के बराबर है 0 अ0 .

25) (ए + बी)0 = ए0 बी0। 26) (एबी)0 = ए0 + बी0।

हम इन संपत्तियों का सत्यापन फिर से पाठक पर छोड़ते हैं।

नियम 1)-26) सेट बीजगणित का आधार हैं। उनके पास निम्नलिखित अर्थों में "द्वैत" की उल्लेखनीय संपत्ति है:

यदि 1)-26) कानूनों में से किसी एक में हम संबंधित को प्रतिस्थापित करते हैं

(उनकी प्रत्येक घटना में), तो परिणाम फिर से उन्हीं कानूनों में से एक है। उदाहरण के लिए, कानून 6) कानून 7 में जाता है), 12) 13 में), 17) 16 में), आदि। यह इस प्रकार है कि प्रत्येक प्रमेय जिसे कानून 1)-26 से प्राप्त किया जा सकता है, दूसरे से मेल खाता है, इसका "दोहरा" प्रमेय, प्रतीकों के संकेतित क्रमपरिवर्तन के माध्यम से पहले से प्राप्त किया गया। दरअसल, सबूत के बाद से

चौ. द्वितीय समुच्चय का बीजगणित 139

पहले प्रमेय में कुछ कानूनों 1-26 का क्रमिक अनुप्रयोग (तर्क के विभिन्न चरणों में) शामिल है), फिर "दोहरे" कानूनों के संबंधित चरणों में आवेदन "दोहरे" प्रमेय का प्रमाण बनेगा। (ज्यामिति में समान "द्वैत" के लिए, अध्याय IV देखें।)

2. गणितीय तर्क का अनुप्रयोग। सेट बीजगणित के नियमों का सत्यापन संबंध ए बी और संचालन ए + बी, एबी और ए0 के तार्किक अर्थ के विश्लेषण पर आधारित था। अब हम इस प्रक्रिया को उलट सकते हैं और कानूनों 1)-26) को "तर्क के बीजगणित" का आधार मान सकते हैं। आइए अधिक सटीक बनें: तर्क का वह हिस्सा जो सेट से संबंधित है, या, जो मूल रूप से समान है, विचाराधीन वस्तुओं के गुणों को कानूनों 1)-26 के आधार पर एक औपचारिक बीजगणितीय प्रणाली में घटाया जा सकता है। तार्किक "पारंपरिक ब्रह्मांड" सेट I को परिभाषित करता है; प्रत्येक संपत्ति ए एक सेट ए को परिभाषित करती है जिसमें I में वे ऑब्जेक्ट शामिल होते हैं जिनमें यह संपत्ति होती है। सामान्य तार्किक शब्दावली को सेट की भाषा में अनुवाद करने के नियम स्पष्ट हैं

निम्नलिखित उदाहरण:
"ए और बी दोनों नहीं"			(ए + बी)0, या, वही, ए0 बी0
"यह सत्य नहीं है कि A और B दोनों"			(AB)0, या, जो समान है, A0 + B0
बी'' है, या
"यदि ए तो बी"
"ए से बी अनुसरण करता है"
"कुछ A, B है"
"कोई A, B नहीं है"			एबी =
"कुछ A, B नहीं है"			एबी0 6=
"कोई ए नहीं है"

सेट बीजगणित के संदर्भ में, "बारबरा" न्यायवाक्य यह दर्शाता है कि "यदि प्रत्येक ए एक बी है और प्रत्येक बी एक सी है, तो प्रत्येक ए एक सी है" सरल रूप लेता है:

3) यदि ए बी और बी सी, तो ए सी।

इसी प्रकार, "विरोधाभास का नियम", जो बताता है कि "किसी वस्तु के पास एक साथ कुछ संपत्ति नहीं हो सकती है और न ही हो सकती है," इस प्रकार लिखा गया है:

20) एए 0 = ,

ए "बहिष्कृत मध्य का कानून", जो कहता है कि "किसी वस्तु के पास कुछ संपत्ति होनी चाहिए या नहीं होनी चाहिए," लिखा है:

19) ए + ए 0 = आई.

सेट का बीजगणित

इस प्रकार, तर्क का वह हिस्सा जो प्रतीकों +, · और 0 के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, उसे कानूनों 1)-26 के अधीन एक औपचारिक बीजगणितीय प्रणाली के रूप में माना जा सकता है। गणित के तार्किक विश्लेषण और तर्क के गणितीय विश्लेषण के विलय के आधार पर, एक नया अनुशासन बनाया गया - गणितीय तर्क, जो वर्तमान में तेजी से विकास की प्रक्रिया में है।

स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण से, उल्लेखनीय तथ्य यह है कि कथन 1)-26), सेट बीजगणित के अन्य सभी प्रमेयों के साथ, तार्किक रूप से निम्नलिखित तीन समानताओं से निकाले जा सकते हैं, ध्यान देने योग्य है:

27) ए + बी = बी + ए,

(ए + बी) + सी = ए + (बी + सी),

(ए0 + बी0 )0 + (ए0 + बी)0 = ए.

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सेट बीजगणित का निर्माण इन तीन प्रावधानों के आधार पर, यूक्लिडियन ज्यामिति की तरह, एक विशुद्ध रूप से निगमनात्मक सिद्धांत के रूप में किया जा सकता है, जिसे स्वयंसिद्ध सिद्धांतों के रूप में स्वीकार किया जाता है। यदि इन सिद्धांतों को स्वीकार किया जाता है, तो ऑपरेशन एबी और संबंध ए बी को ए + बी और ए0 के संदर्भ में परिभाषित किया गया है:

	सेट को दर्शाता है (A0 + B0 )0,
	B दर्शाता है कि A + B = B.

गणितीय प्रणाली का एक बिल्कुल अलग प्रकार का उदाहरण जिसमें सेट बीजगणित के सभी औपचारिक नियम संतुष्ट होते हैं, आठ संख्याओं 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 की प्रणाली द्वारा दिया गया है: यहां ए + बी दर्शाता है , के अनुसार

परिभाषा, a और b का सामान्य लघुतम गुणज, ab, a और b का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है, a b यह कथन है कि "b को a से विभाजित किया गया है" और a0 संख्या 30 a है। सु-

ऐसे उदाहरणों के अस्तित्व ने सामान्य बीजगणितीय प्रणालियों के अध्ययन को प्रेरित किया जो 27) के नियमों को पूरा करते हैं। ऐसी प्रणालियों को एक अंग्रेजी गणितज्ञ और तर्कशास्त्री जॉर्ज बूले (1815-1864) के नाम पर "बूलियन बीजगणित" कहा जाता है, जिनकी पुस्तक एन इन्वेस्टिगेशन ऑफ द लॉज़ ऑफ थॉट 1854 में प्रकाशित हुई थी।

3. संभाव्यता सिद्धांत के अनुप्रयोगों में से एक। सेट बीजगणित संभाव्यता सिद्धांत से निकटता से संबंधित है और हमें इसे एक नई रोशनी में देखने की अनुमति देता है। आइए सबसे सरल उदाहरण पर विचार करें: संभावित परिणामों की एक सीमित संख्या के साथ एक प्रयोग की कल्पना करें, जिसे सभी "समान रूप से संभव" माना जाता है। उदाहरण के लिए, एक प्रयोग में अच्छी तरह से फेंटे गए पूर्ण डेक से यादृच्छिक रूप से एक कार्ड निकालना शामिल हो सकता है। यदि हम किसी प्रयोग के सभी परिणामों के समुच्चय को I से निरूपित करते हैं, और A, I के कुछ उपसमुच्चय को निरूपित करता है, तो प्रयोग के परिणाम उपसमुच्चय A से संबंधित होने की प्रायिकता को अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है

p(A) = A के तत्वों की संख्या। तत्वों की संख्या I

सेट का बीजगणित

यदि हम किसी समुच्चय A में तत्वों की संख्या को n(A) से निरूपित करने के लिए सहमत हैं, तो अंतिम समानता को रूप दिया जा सकता है

हमारे उदाहरण में, यह मानते हुए कि ए क्लबों का एक उपसमूह है, हमें मिलता है
जहां n(A) = 13, n(I) = 52 और p(A) =

सेट बीजगणित के विचार संभावनाओं की गणना करते समय प्रकट होते हैं जब यह आवश्यक होता है, कुछ सेटों की संभावनाओं को जानना, दूसरों की संभावनाओं की गणना करना। उदाहरण के लिए, संभावनाओं पी(ए), पी(बी) और पी(एबी) को जानकर, आप संभावना पी(ए + बी) की गणना कर सकते हैं:

पी(ए + बी) = पी(ए) + पी(बी) - पी(एबी)।

इसे साबित करना मुश्किल नहीं होगा. हमारे पास है

n(ए + बी) = एन(ए) + एन(बी) - एन(एबी),

चूँकि A और B में एक साथ मौजूद तत्व, यानी तत्व AB, योग n(A) + n(B) की गणना करते समय दो बार गिने जाते हैं, और, इसलिए, गणना करने के लिए इस योग से n(AB) घटाना आवश्यक है n(A + B) का उत्पादन सही ढंग से किया गया था। फिर समानता के दोनों पक्षों को n(I) से विभाजित करने पर, हमें संबंध (2) प्राप्त होता है।

यदि हम I से तीन सेट A, B, C के बारे में बात कर रहे हैं तो एक अधिक दिलचस्प सूत्र प्राप्त होता है। संबंध (2) का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

पी(ए + बी + सी) = पी[(ए + बी) + सी] = पी(ए + बी) + पी(सी) - पी[(ए + बी)सी]।

पिछले पैराग्राफ से कानून (12) हमें (ए + बी)सी = एसी + बीसी देता है। यह संकेत करता है:

पी[(ए + बी)सी)] = पी(एसी + बीसी) = पी(एसी) + पी(बीसी) - पी(एबीसी)।

पहले प्राप्त संबंध में मान p[(A + B)C] और (2) से लिए गए मान p(A + B) को प्रतिस्थापित करते हुए, हम उस सूत्र पर पहुंचते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है:

पी(ए + बी + सी) = पी(ए) + पी(बी) + पी(सी) - पी(एबी) - पी(एसी) - पी(बीसी) + पी(एबीसी)। (3)

उदाहरण के तौर पर निम्नलिखित प्रयोग पर विचार करें. तीन संख्याएँ 1, 2, 3 किसी भी क्रम में लिखी गई हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि कम से कम एक अंक सही (संख्यांकन के संदर्भ में) स्थान पर होगा? मान लीजिए A क्रमपरिवर्तनों का समुच्चय है जिसमें संख्या 1 पहले स्थान पर है, B क्रमपरिवर्तनों का समुच्चय है जिसमें संख्या 2 दूसरे स्थान पर है, C क्रमपरिवर्तनों का समुच्चय है जिसमें संख्या 3 तीसरे स्थान पर है। हमें p(A + B + C) की गणना करने की आवश्यकता है। यह स्पष्ट है कि

पी(ए) = पी(बी) = पी(सी) = 2 6 = 1 3 ;

वास्तव में, यदि कोई अंक उचित स्थान पर है, तो तीन अंकों की कुल संख्या 3 · 2 · 1 = 6 संभावित क्रमपरिवर्तन में से शेष दो अंकों को पुनर्व्यवस्थित करने की दो संभावनाएँ हैं। आगे,

व्यायाम। p(A + B + C + D) के लिए उपयुक्त सूत्र प्राप्त करें और इसे 4 अंकों वाले प्रयोग पर लागू करें। संगत प्रायिकता 5 8 = 0.6250 है।

n समुच्चयों के संयोजन का सामान्य सूत्र है

पी(ए1 + ए2 +... + एन) =
	पी(ऐ) −
			पी(ऐ अज ) + पी(ऐ अज अक ) − . . . ± पी(ए1 ए2...एन), (4)
पात्र कहां हैं				सभी संभव के योग को निरूपित करें

एक, दो, तीन, युक्त संयोजन। . . , (n - 1) A1 , A2 , से अक्षर। . .

एक। यह सूत्र गणितीय प्रेरण द्वारा स्थापित किया जा सकता है - उसी प्रकार जैसे सूत्र (3) सूत्र (2) से प्राप्त हुआ था।

सूत्र (4) से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यदि n अंक 1, 2, 3, हैं। . . , n को किसी भी क्रम में लिखा जाता है, तो कम से कम एक अंक के सही स्थान पर होने की प्रायिकता बराबर है

पीएन = 1 −

और अंतिम पद के पहले + या − चिह्न है, यह इस पर निर्भर करता है कि n सम है या विषम। विशेष रूप से, n = 5 के लिए यह संभावना बराबर है

पी5 = 1 − 2! +3! −4! +5! = 30 = 0.6333. . .

हम अध्याय VIII में देखेंगे कि जैसे-जैसे n अनंत की ओर बढ़ता है, अभिव्यक्ति

1 1 1 1 एसएन = 2! −3! +4! − . . . ±एन!

सीमा 1 ई की ओर जाता है, जिसका मान, पाँच दशमलव स्थानों तक,

0.36788 के बराबर है। चूँकि सूत्र (5) से यह स्पष्ट है कि pn = 1 - Sn, यह इस प्रकार है कि n → ∞

पीएन → 1 - ई ≈ 0.63212।