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परिचय

"समीकरण वह सुनहरी कुंजी है जो सभी गणितीय तिलों को खोलती है"

एस. कोवली

स्कूल में प्राप्त गणितीय शिक्षा आधुनिक व्यक्ति के जीवन का एक बहुत ही महत्वपूर्ण हिस्सा है। हमारे आस-पास की लगभग हर चीज किसी न किसी तरह से गणित से जुड़ी हुई है। विभिन्न प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए कई व्यावहारिक समस्याओं का समाधान कम किया जाता है।

समीकरण पूरे बीजगणित पाठ्यक्रम का सबसे बड़ा विषय हैं। पिछले स्कूल वर्ष में, बीजगणित पाठों में, हम द्विघात समीकरणों से परिचित हुए। द्विघात समीकरणों का व्यापक रूप से गणित के क्षेत्र में और भौतिकी और रसायन विज्ञान के क्षेत्र में विभिन्न समस्याओं को हल करने में उपयोग किया जाता है।

गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में द्विघात समीकरणों को हल करने की बुनियादी विधियों का अध्ययन किया जाता है। हालांकि, द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए अन्य तरीके हैं, जिनमें से कुछ आपको उन्हें जल्दी, तर्कसंगत रूप से हल करने की अनुमति देते हैं।

हमने कक्षा 8-9 के 84 छात्रों के बीच दो प्रश्नों पर एक सर्वेक्षण किया:

आप द्विघात समीकरणों को हल करने की कौन-सी विधियाँ जानते हैं?

आप किसका सबसे अधिक उपयोग करते हैं?

सर्वेक्षण के परिणामों के आधार पर, निम्नलिखित परिणाम प्राप्त हुए:

परिणामों का विश्लेषण करने के बाद, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि अधिकांश छात्र विभेदक का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करते समय मूल सूत्रों का उपयोग करते हैं और द्विघात समीकरणों को हल करने के बारे में अच्छी तरह से नहीं जानते हैं।

इस प्रकार, हमने जो विषय चुना है वह प्रासंगिक है।

हम खुद के सामने लक्ष्यद्विघात समीकरणों को हल करने के गैर-पारंपरिक तरीकों का अध्ययन करना, कक्षा 8 और 9 के छात्रों को हल करने के विभिन्न तरीकों से परिचित कराना, द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एक तर्कसंगत तरीका चुनने की क्षमता विकसित करना।

इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, आपको निम्नलिखित को हल करने की आवश्यकता है कार्य:

द्विघात समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों के बारे में जानकारी एकत्र करें,

पाए गए समाधानों में महारत हासिल करने के लिए,

एक्सेल में द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक कार्यक्रम लिखें,

द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए गैर-मानक तरीकों पर पाठ या पाठ्येतर गतिविधि के लिए उपदेशात्मक सामग्री विकसित करना,

कक्षा 8-9 के छात्रों के साथ "द्विघात समीकरणों को हल करने के असामान्य तरीके" पाठ का संचालन करें।

अध्ययन का उद्देश्य: द्विघात समीकरण।

शोध का विषय: द्विघात समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीके।

हम मानते हैं कि काम का व्यावहारिक महत्व गणित के पाठों और पाठ्येतर गतिविधियों में द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए तकनीकों और विधियों के एक बैंक का उपयोग करने की संभावना में निहित है, साथ ही साथ इस सामग्री के साथ ग्रेड 8-9 में छात्रों को परिचित करना है।

अध्याय 1. द्विघात समीकरणों को हल करने की असामान्य विधियाँ

1. 1. गुणांक के गुण (ए, बी, सी)

विधि गुणांक के गुणों पर आधारित है ए, बी, सी:

अगर ए+बी+सी=0,तब = 1, =

उदाहरण:

-6x 2 + 2x +4=0,तब = 1, = =।

अगर ए-बी+सी=0,तब = -1, = -

उदाहरण:

2017x 2 + 2001x +16 = 0,तब = -1, -.

1. 1. गुणांक की निर्भरता (ए, बी, सी)

गुणांकों की निम्नलिखित निर्भरताएँ मान्य हैं: ए, बी, सी:

यदि b=a 2 +1, c=a, तो x 1 =-a; एक्स 2 \u003d -।

यदि b=-(a 2 +1), a=c, तो x 1 =a; एक्स 2 =।

यदि b=a 2 -1, c=-a, तो x 1 =-a; एक्स 2 =।

यदि b=-(a 2 -1), -a=c, तो x 1 =a; एक्स 2 \u003d -।

आइए निम्नलिखित समीकरणों को हल करें:

5x 2 + 26x + 5 = 0

एक्स 1 = -5

एक्स 2 = - 0,2.

13x 2 - 167x + 13 = 0

एक्स 1 =13 x 2 =

14x 2 + 195x - 14 = 0

एक्स 1 = - 14 x 2 =

10x 2 - 99x - 10 = 0

एक्स 1 =10 x 2 =-0,1.

1. 1. मुख्य गुणांक का "रिवर्सन"

गुणक लेकिनमुक्त शब्द से गुणा किया जाता है, जैसे कि इसे "स्थानांतरित" किया जाता है, इसलिए इसे "स्थानांतरण" विधि कहा जाता है। इसके अलावा, जड़ें वियत के प्रमेय द्वारा पाई जाती हैं। पाए गए जड़ों को पहले स्थानांतरित गुणांक से विभाजित किया जाता है, जिसके लिए हम समीकरण की जड़ों को ढूंढते हैं।

उदाहरण:

2x 2 - 3x + 1 = 0।

आइए गुणांक 2 को मुक्त अवधि में "स्थानांतरित करें", परिणामस्वरूप हमें समीकरण मिलता है

पर 2 - 3y + 2 = 0।

विएटा के प्रमेय के अनुसार

पर 1 = 2, x 1 = 2/2, x 1 = 1,

पर 2 = 1; एक्स 2 = 1/2; एक्स 2 = 0,5.

उत्तर: 0.5; एक।

1. 1. ग्राफिक समाधान विधि

यदि समीकरण a . में एक्स 2 + बीएक्स + सी= 0 दूसरे और तीसरे पदों को दाईं ओर ले जाएँ, तो हमें प्राप्त होता है a एक्स 2 = -बीएक्स-सी .

आइए निर्भरता ग्राफ बनाएं पर= कुल्हाड़ी 2 और पर= -बीएक्स-सीएक समन्वय प्रणाली में।

पहली निर्भरता का ग्राफ मूल से गुजरने वाला एक परवलय है। दूसरी निर्भरता का ग्राफ एक सीधी रेखा है।

निम्नलिखित मामले संभव हैं:

एक सीधी रेखा और एक परवलय दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकते हैं, प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज द्विघात समीकरण के मूल हैं;

रेखा और परवलय स्पर्श कर सकते हैं (केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु), अर्थात्। समीकरण का एक हल है;

सीधी रेखा और परवलय में उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होते हैं, अर्थात। द्विघात समीकरण की कोई जड़ नहीं होती है।

आइए निम्नलिखित समीकरणों को हल करें:

1) x 2 + 2x - 3 = 0

एक्स 2 \u003d - 2x + 3

एक समन्वय प्रणाली में, हम फ़ंक्शन y \u003d x 2 का एक ग्राफ और फ़ंक्शन y \u003d - 2x + 3 का एक ग्राफ बनाते हैं। चौराहे के बिंदुओं के एब्सिसास को नकारते हुए, हमें उत्तर मिलता है।

उत्तर: x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 1।

2) x 2 + 6x +9 = 0

एक्स 2 \u003d - 6x - 9

एक समन्वय प्रणाली में, हम फ़ंक्शन y \u003d x 2 का एक ग्राफ और फ़ंक्शन y \u003d -6x - 9 का एक ग्राफ बनाते हैं। स्पर्श बिंदु के भुज को निरूपित करते हुए, हमें उत्तर मिलता है।

उत्तर: एक्स = - 3।

3) 2x 2 + 4x +7=0

2x 2 = - 4x - 7

एक समन्वय प्रणाली में, हम फ़ंक्शन y \u003d 2x 2 का एक ग्राफ और फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाते हैं

परवलय y \u003d 2x 2 और सीधी रेखा y \u003d - 4x - 7 में सामान्य बिंदु नहीं हैं, इसलिए समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

1. 1. कम्पास और शासक की सहायता से द्विघात समीकरणों को हल करना

हम समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0 को हल करते हैं:

आइए बिंदुओं का निर्माण करें S(-b:2a,(a+c):2a) - वृत्त का केंद्र और बिंदु A(0,1)।

त्रिज्या SA का एक वृत्त खींचिए।

ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज मूल समीकरण के मूल हैं।

इस मामले में, तीन मामले संभव हैं:

1) वृत्त की त्रिज्या केंद्र की कोटि से अधिक होती है ( एएस>एसके, या आर>), वृत्त अक्ष को काटता है ओहदो बिंदुओं पर..B( एक्स 1 ; 0) और डी (एक्स 2 ;0), जहां एक्स 1 और एक्स 2 - द्विघात समीकरण की जड़ें ओह 2 + बीएक्स + सी = 0.

2) वृत्त की त्रिज्या केंद्र की कोटि के बराबर होती है ( एएस = एसВ, या आर =), वृत्त अक्ष को स्पर्श करता है ओहबिंदु बी पर ( एक्स 1 ; 0), जहां एक्स 1 द्विघात समीकरण का मूल है।

3) वृत्त की त्रिज्या केंद्र की कोटि से कम है ( जैसा< SВ , या आर< ), वृत्त का x-अक्ष के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, इस स्थिति में समीकरण का कोई हल नहीं है।

ए) के रूप में > SВया आर >, बी) एएस = एसВया आर =में) जैसा< SВ, या आर< .

दो समाधान एक्स 1 और एक्स 2 . एक हल एक्स 1.. कोई समाधान नहीं है।

उदाहरण 1: 2x 2 - 8x + 6 = 0.

समाधान:

आइए त्रिज्या का एक वृत्त बनाएं एसए,कहाँ पे लेकिन (0;1).

उत्तर: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3।

उदाहरण 2:एक्स 2 - 6x + 9 = 0.

समाधान: निर्देशांक खोजें S: x=3, y=5.

उत्तर: एक्स = 3।

उदाहरण 3:एक्स 2 + 4 एक्स + 5 = 0।

समाधान:वृत्त केंद्र निर्देशांक: x= - 2 और y = 3।

उत्तर: कोई जड़ नहीं

1. 1. नोमोग्राम समाधान

नोमोग्राम (ग्रीक "नोमोस" से - कानून और ग्राम), कई चर के एक फ़ंक्शन का चित्रमय प्रतिनिधित्व, जो गणना के बिना कार्यात्मक निर्भरता का पता लगाने के लिए सरल ज्यामितीय संचालन (उदाहरण के लिए, एक शासक को लागू करना) का उपयोग करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, सूत्रों का उपयोग किए बिना द्विघात समीकरण को हल करें।

यह संग्रह के पृष्ठ 83 पर रखा गया द्विघात समीकरणों को हल करने का एक पुराना और वर्तमान में भुला दिया गया तरीका है: ब्रैडिस वी.एम. "चार-आयामी गणितीय तालिकाएँ"। - एम।, "ड्रोफा", 2000। तालिका XXII। समीकरण हल करने के लिए नामांकन जेड 2 + पीजेड + क्यू = 0(परिशिष्ट 1 देखें)।

यह नॉमोग्राम द्विघात समीकरण को हल किए बिना, इसके गुणांकों द्वारा समीकरण की जड़ों को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

नॉमोग्राम का वक्रीय पैमाना सूत्रों के अनुसार बनाया गया है: ओवी= , अब =

यह मानते हुए ओएस = पी, ईडी = क्यू, ओई = ए(सभी सेमी में), समरूप त्रिभुजों से सैनऔर सीडीएफहम अनुपात प्राप्त करते हैं, जहां से प्रतिस्थापन और सरलीकरण के बाद, समीकरण z 2 + pz + q = 0 का अनुसरण करता है, और अक्षर z का अर्थ वक्रता पैमाने पर किसी भी बिंदु का लेबल है।

उदाहरण 1: जेड 2 - 9z + 8 = 0.

p पैमाने पर हम चिह्न -9 और q स्केल पर 8 चिह्न पाते हैं। हम इन चिह्नों के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं जो अंकोग्राम पैमाने के वक्र को अंक 1 और 8 पर काटती है। इसलिए, समीकरण 1 की जड़ें और 8.

उत्तर 1; आठ।

यह वह समीकरण है जिसे पृष्ठ 83 पर ब्रैडिस तालिका में हल किया गया है (देखें परिशिष्ट 1)।

उदाहरण 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.

हम इस समीकरण के गुणांक को 2 से विभाजित करते हैं, हमें समीकरण मिलता है:

जेड 2 - 4.5z + 1 = 0.नोमोग्राम जड़ें देता है जेड 1 = 4 और जेड 2 = 0,5.

उत्तर - 4; 0.5.

उदाहरण 3:एक्स 2 - 25x + 66 = 0

गुणांक p और q पैमाने से बाहर हैं। आइए प्रतिस्थापन करते हैं एक्स = 5z, हमें समीकरण मिलता है:

जेड 2 - 5z + 2.64 = 0,

जिसे नॉमोग्राम के माध्यम से हल किया जाता है।

ज़ू प्राप्त करें 1 = 0,6 और जेड 2 = 4,4,

कहाँ पे एक्स 1 = 5z 1 = 3,0 और एक्स 2 = 5z 2 = 22,0.

उत्तर: 3; 22.

उदाहरण 4:जेड 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , और ऋणात्मक मूल - p . से धनात्मक मूल घटाकर प्राप्त किया जाता है , वे। जेड 2 = - पी -1= - 5 - 1= -6।

उत्तर 1; -6.

उदाहरण 5:जेड 2 - 2z - 8 = 0,नॉमोग्राम z . का धनात्मक मूल देता है 1 =4, और ऋणात्मक z . है 2 =-पी-4=

= 2 - 4= -2.

उत्तर - 4; -2।

अध्याय 2

हमने व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले कंप्यूटर प्रोग्राम एक्सेल का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एक प्रोग्राम लिखने का निर्णय लिया। यह गणना, टेबल और आरेख बनाने, सरल और जटिल कार्यों की गणना के लिए आवश्यक है। यह माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस सुइट का हिस्सा है।

एक्सेल शीट सूत्र दिखा रही है:

द्विघात समीकरण को हल करने का एक विशिष्ट उदाहरण दिखाने वाली एक्सेल शीट एक्स 2 - 14x - 15 = 0:

अध्याय 3

विभेदक D और D1 . का उपयोग करके द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र	बहुमुखी प्रतिभा, क्योंकि बिल्कुल सभी द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है	बोझिल विवेचक वर्गों की तालिका में शामिल नहीं है
विएटा का प्रमेय	कुछ मामलों में तेजी से समाधान और समय की बचत	यदि विवेचक किसी पूर्णांक का पूर्ण वर्ग नहीं है। गैर-पूर्णांक गुणांक बी और सी।
पूर्ण वर्ग चयन	द्विपद के वर्ग में सही परिवर्तन के साथ, हम एक अपूर्ण द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं और इसलिए, जड़ें तेजी से पाई जाती हैं	समीकरण के भिन्नात्मक गुणांकों के लिए पूर्ण वर्ग के चयन की जटिलता
समूहीकरण विधि	सूत्रों को जाने बिना हल किया जा सकता है	समूहीकरण के लिए उपयुक्त शब्दों में मध्य पद को विघटित करना हमेशा संभव नहीं होता है
ग्राफिकल तरीका	किसी सूत्र की आवश्यकता नहीं है। आप किसी समीकरण के मूलों की संख्या शीघ्रता से ज्ञात कर सकते हैं	समाधान का अनुमान
गुणांक के गुण a,b,c	निर्णय की गति। बड़े गुणांक वाले समीकरणों के लिए	केवल कुछ समीकरणों के लिए उपयुक्त
मुख्य गुणांक का "रीरोल"	समाधान की गति अगर जड़ें पूर्णांक हैं	Vieta के प्रमेय का उपयोग करने के समान
नामोग्राम	दृश्यता इसे हल करने के लिए केवल एक नॉमोग्राम की आवश्यकता होती है	आपके पास हमेशा एक नॉमोग्राम नहीं होता है। समाधान अशुद्धि
एक कंपास और सीधा किनारे के साथ जड़ें ढूँढना	दृश्यता	यदि केंद्र के निर्देशांक गैर-पूर्णांक संख्याएं हैं। बड़े गुणांक वाले समीकरणों के मूल ज्ञात करना

निष्कर्ष

"अक्सर बीजगणित के एक छात्र के लिए तीन या चार अलग-अलग समस्याओं को हल करने की तुलना में एक ही समस्या को तीन अलग-अलग तरीकों से हल करना अधिक उपयोगी होता है। विभिन्न तरीकों से एक समस्या को हल करके, आप तुलना करके पता लगा सकते हैं कि कौन सा छोटा और अधिक कुशल है। इस तरह अनुभव बनाया जाता है।"

वाल्टर वारविक सॉयर

काम के दौरान, हमने द्विघात समीकरणों को हल करने (मूल खोजने) के लिए सामग्री एकत्र की और विधियों का अध्ययन किया। विभिन्न तरीकों से समीकरणों का हल परिशिष्ट 2 में प्रस्तुत किया गया है।

द्विघात समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों का अध्ययन करते हुए, हमने निष्कर्ष निकाला कि प्रत्येक समीकरण के लिए आप जड़ों को खोजने के लिए अपना सबसे कुशल और तर्कसंगत तरीका चुन सकते हैं। प्रत्येक समाधान कुछ मामलों में अद्वितीय और सुविधाजनक है। कुछ समाधान विधियां समय बचाती हैं, जो ओजीई के लिए कार्यों को हल करते समय महत्वपूर्ण है, अन्य बहुत बड़े गुणांक वाले समीकरण को हल करने में मदद करते हैं। हमने एक तालिका संकलित करके विभिन्न समाधानों की तुलना करने की कोशिश की जो प्रत्येक विधि के पेशेवरों और विपक्षों को दर्शाती है।

हमने प्रचार सामग्री विकसित की है। आप परिशिष्ट 3 में दिए गए विषय पर कार्यों के बैंक से परिचित हो सकते हैं।

Microsoft Excel का उपयोग करते हुए, हमने एक स्प्रेडशीट संकलित की है जो आपको मूल सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरण की जड़ों की स्वचालित रूप से गणना करने की अनुमति देती है।

हमने 9वीं कक्षा के छात्रों के लिए द्विघात समीकरणों को हल करने के असामान्य तरीकों पर एक पाठ का आयोजन किया। छात्रों को वास्तव में तरीके पसंद आए, उन्होंने नोट किया कि प्राप्त ज्ञान उनकी आगे की शिक्षा में उनके लिए उपयोगी होगा। पाठ का परिणाम छात्रों का काम था, जिसमें उन्होंने द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए विभिन्न विकल्प प्रस्तुत किए (देखें परिशिष्ट 4)।

काम की सामग्री का उपयोग वे लोग कर सकते हैं जो गणित से प्यार करते हैं और जो गणित के बारे में अधिक जानना चाहते हैं।

साहित्य

ब्रैडिस वी। एम। "हाई स्कूल के लिए चार अंकों की गणितीय तालिका", एम।: ड्रोफा, 2000।

विलेनकिन एन.वाई.ए. "ग्रेड 8 के लिए बीजगणित", एम।: शिक्षा, 2000।

गैलिट्स्की एम.एल. "बीजगणित में कार्यों का संग्रह", एम।: शिक्षा 2002।

ग्लेज़र जी। आई। "स्कूल में गणित का इतिहास", एम।: शिक्षा, 1982।

ज़्वाविच एल.आई. "बीजगणित ग्रेड 8", मॉस्को: मेनेमोसिन, 2002।

मकारिचेव यू.एन. "बीजगणित ग्रेड 8", मॉस्को: शिक्षा, 2015।

प्लुझानिकोव I. "द्विघात समीकरणों को हल करने के 10 तरीके" // स्कूल में गणित। - 2000.- नंबर 40।

प्रेसमैन ए.ए. "एक कम्पास और शासक का उपयोग करके द्विघात समीकरण का समाधान"//एम।, क्वांट, नंबर 4/72, पी.34।

सविन ए.पी. "एक युवा गणितज्ञ का विश्वकोश शब्दकोश",

मॉस्को: शिक्षाशास्त्र, 1989।

इंटरनेट संसाधन:

http://revolution.allbest.ru/

अनुलग्नक 1

"ब्रैडीस वी.एम. का संग्रह"

परिशिष्ट 2

"समीकरण को हर तरह से हल करना"

प्रारंभिक समीकरण:4 एक्स 2 +3x -1 = 0.

1. विवेचक D . का प्रयोग करते हुए द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र

4 एक्स 2 +3x -1 = 0

डी =बी 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, =>समीकरण की दो जड़ें हैं

एक्स 1,2 =

एक्स 1 ==

एक्स 2 ==-1

2. विएटा की प्रमेय

4 एक्स 2 +3x -1 = 0,इसे कम करने के लिए समीकरण को 4 से विभाजित करें

एक्स 2 +x - = 0

एक्स 1 = -1

एक्स 2 =

3. पूर्ण वर्ग चयन विधि

4 एक्स 2 +3x -1 = 0

(4x 2 +2*2x *+)-1=0

(2x+) 2 -=0

(2x + -) (2x + +) = 0,

(2x -)=0 (2x +2)=0

एक्स 1 = एक्स 2 = -1

4. समूहन विधि

4 एक्स 2 +3x -1 = 0

4 एक्स 2 +4x-1x-1=0

4x(x+1)-1(x+1)=0

(4x-1)(x+1)=0,उत्पाद = 0 जब कारकों में से एक = 0

(4x-1)=0 (x+1)=0

एक्स 1 = एक्स 2 = -1

5. गुणांक के गुण

4 एक्स 2 +3x -1 = 0

यदि a - b+c=0, तो = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. मुख्य गुणांक के "स्थानांतरण" की विधि

4 एक्स 2 +3x -1 = 0

आप 2 +3y - 4 = 0

विएटा का प्रमेय:

आप 1 = -4

आप 2 = 1

हम पाए गए जड़ों को मुख्य गुणांक से विभाजित करते हैं और हमारे समीकरण की जड़ें प्राप्त करते हैं:

एक्स 1 = -1

एक्स 2 =

7. कम्पास और रूलर का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने की एक विधि

4 एक्स 2 +3x -1 = 0

सूत्रों द्वारा वृत्त के केंद्र के बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें:

एक्स 1 = -1

एक्स 2 =

8. ग्राफिकल समाधान

4 एक्स 2 +3x -1 = 0

4 एक्स 2 = - 3x + 1

एक समन्वय प्रणाली में, हम फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाते हैं वाई = 4x 2 और फ़ंक्शन का ग्राफ

वाई \u003d - 3x + 1।चौराहे के बिंदुओं के एब्सिसास को नकारते हुए, हमें उत्तर मिलता है:

एक्स 1 = -1

9. नामांकित का प्रयोग करना

4 एक्स 2 +3x -1 = 0,हम समीकरण के गुणांकों को 1/4 से विभाजित करते हैं, हम समीकरण प्राप्त करते हैं

एक्स 2 +x - = 0.

नॉमोग्राम एक सकारात्मक जड़ देता है = ,

और ऋणात्मक मूल - p . से धनात्मक मूल घटाकर प्राप्त किया जाता है , वे।

एक्स 2 = - पी -=- -= -1।

10. एक्सेल में इस समीकरण का हल

परिशिष्ट 3

"विषय के लिए व्यावहारिक सामग्री

“द्विघात समीकरणों का समाधान" »

10x 2 + 2017х + 2007 = 0 -1 -200.7

-10x 2 + 7x + 3 = 0 -1 0.3

354x 2 -52x -302 = 0 1 -

100x 2 -99x-1 \u003d 0 1 -0.01

5x 2 + 9x + 4 \u003d 0 -1 -0.8

2017x 2 + एक्स -2016 = 0 -1

22x 2 +10x-12 = 0 -1

5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -

4 एक्स 2 + 2x -6s \u003d 0 1 -1.5

55x 2 -44x -11= 0 1 -0.2

6x 2 - 7x - 3 \u003d 0 -, 1.5

4 एक्स 2 -17x-15 = 0 -0.75.5

4271x 2 -4272x + 1 = 0 1,

3x 2 + 10x + 7 \u003d 0 -1, - 2

5x 2 - 11x + 2 \u003d 0 2, 0.2

2x 2 - 11x + 15 = 0 2.5, 3

4 एक्स 2 + 4x -3 \u003d 0 -1.5, 0.5

5x 2 -12x + 7 = 0 1.4, 1

2x 2 + 13x + 15 = 0 -1.5 -5

3x 2 -7x + 2 = 0 1/3 2

परिशिष्ट 4

छात्र काम करता है

एक समीकरण जो द्विघात त्रिपद है, सामान्यतः द्विघात समीकरण कहलाता है। बीजगणित के दृष्टिकोण से, यह सूत्र a*x^2+b*x+c=0 द्वारा वर्णित है। इस सूत्र में, x अज्ञात है जिसे पाया जाना है (इसे मुक्त चर कहा जाता है); ए, बी और सी संख्यात्मक गुणांक हैं। इसके घटकों के संबंध में, कई प्रतिबंध हैं: उदाहरण के लिए, गुणांक 0 के बराबर नहीं होना चाहिए।

समीकरण को हल करना: विवेचक की अवधारणा

अज्ञात x का वह मान, जिस पर द्विघात समीकरण वास्तविक समानता में बदल जाता है, ऐसे समीकरण का मूल कहलाता है। द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, आपको पहले एक विशेष गुणांक का मान ज्ञात करना होगा - विवेचक, जो माना समानता की जड़ों की संख्या दिखाएगा। विवेचक की गणना सूत्र D=b^2-4ac द्वारा की जाती है। इस मामले में, गणना का परिणाम सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य के बराबर हो सकता है।

इस मामले में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि अवधारणा की आवश्यकता है कि केवल गुणांक 0 से सख्ती से अलग हो। इसलिए, गुणांक बी 0 के बराबर हो सकता है, और इस मामले में समीकरण स्वयं एक * x ^ 2+ है सी = 0। ऐसी स्थिति में, विवेचक और मूलों की गणना के लिए सूत्रों में 0 के बराबर गुणांक मान का उपयोग किया जाना चाहिए। तो, इस मामले में विवेचक की गणना D=-4ac के रूप में की जाएगी।

एक सकारात्मक विवेचक के साथ समीकरण का समाधान

यदि द्विघात समीकरण का विवेचक धनात्मक निकला, तो हम इससे यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि इस समानता के दो मूल हैं। इन जड़ों की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. इस प्रकार, विभेदक के सकारात्मक मूल्य के साथ द्विघात समीकरण की जड़ों के मूल्य की गणना करने के लिए, उपलब्ध गुणांक के ज्ञात मूल्यों का उपयोग किया जाता है। जड़ों की गणना के लिए योग और सूत्र में अंतर के उपयोग के लिए धन्यवाद, गणना का परिणाम दो मान होंगे जो प्रश्न में समानता को सही में बदल देते हैं।

शून्य और ऋणात्मक विवेचक के साथ समीकरण का हल

यदि द्विघात समीकरण का विवेचक 0 के बराबर निकला, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि निर्दिष्ट समीकरण का एक मूल है। कड़ाई से बोलते हुए, इस स्थिति में, समीकरण की अभी भी दो जड़ें हैं, लेकिन शून्य विवेचक के कारण, वे एक दूसरे के बराबर होंगे। इस मामले में x=-b/2a. यदि, गणना के दौरान, विवेचक का मान ऋणात्मक हो जाता है, तो यह निष्कर्ष निकाला जाना चाहिए कि माना द्विघात समीकरण की कोई जड़ नहीं है, अर्थात x के ऐसे मान जिस पर यह एक वास्तविक समानता में बदल जाता है।

रेखीय समीकरण। समाधान, उदाहरण।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

रेखीय समीकरण।

स्कूली गणित में रैखिक समीकरण सबसे कठिन विषय नहीं हैं। लेकिन कुछ तरकीबें ऐसी हैं जो एक प्रशिक्षित छात्र को भी पहेली बना सकती हैं। क्या हम इसका पता लगाएंगे?)

एक रैखिक समीकरण को आमतौर पर फॉर्म के समीकरण के रूप में परिभाषित किया जाता है:

कुल्हाड़ी + बी = 0 कहाँ पे ए और बी- कोई संख्या।

2x + 7 = 0. यहाँ ए = 2, ख = 7

0.1x - 2.3 = 0 यहाँ ए = 0.1, बी=-2.3

12x + 1/2 = 0 यहाँ ए = 12, ख = 1/2

कुछ भी जटिल नहीं है, है ना? खासकर यदि आप शब्दों पर ध्यान नहीं देते हैं: "जहां ए और बी कोई संख्या है"... और अगर आप नोटिस करते हैं, लेकिन इसके बारे में लापरवाही से सोचते हैं?) आखिरकार, अगर ए = 0, बी = 0(कोई संख्या संभव है?), तो हमें एक अजीब अभिव्यक्ति मिलती है:

लेकिन वह सब नहीं है! अगर कहें, ए = 0,लेकिन ख = 5,यह काफी बेतुका कुछ पता चला है:

गणित में क्या तनाव और आत्मविश्वास कम करता है, हाँ ...) खासकर परीक्षाओं में। लेकिन इन अजीबोगरीब भावों में से, आपको X को भी खोजना होगा! जिसका कोई वजूद ही नहीं है। और, आश्चर्यजनक रूप से, यह X खोजना बहुत आसान है। हम सीखेंगे कि यह कैसे करना है। इस पाठ में।

दिखने में रैखिक समीकरण को कैसे पहचानें? यह किस रूप पर निर्भर करता है।) चाल यह है कि रैखिक समीकरणों को न केवल रूप के समीकरण कहा जाता है कुल्हाड़ी + बी = 0 , बल्कि ऐसे समीकरण भी जो रूपांतरणों और सरलीकरणों द्वारा इस रूप में कम हो जाते हैं। और कौन जानता है कि यह कम हुआ है या नहीं?)

कुछ मामलों में एक रैखिक समीकरण को स्पष्ट रूप से पहचाना जा सकता है। मान लीजिए, यदि हमारे पास एक समीकरण है जिसमें पहली डिग्री में केवल अज्ञात हैं, तो हाँ संख्याएँ। और समीकरण नहीं है द्वारा विभाजित अंश अनजान , क्या यह महत्वपूर्ण है! और विभाजन द्वारा संख्या,या एक संख्यात्मक अंश - बस! उदाहरण के लिए:

यह एक रैखिक समीकरण है। यहाँ भिन्न हैं, लेकिन वर्ग में, घन आदि में कोई x नहीं है, और हर में कोई x नहीं है, अर्थात। नहीं x . द्वारा विभाजन. और यहाँ समीकरण है

रैखिक नहीं कहा जा सकता। यहाँ x सभी पहली डिग्री में हैं, लेकिन वहाँ है x . के साथ व्यंजक द्वारा विभाजन. सरलीकरण और परिवर्तनों के बाद, आप एक रैखिक समीकरण, और एक द्विघात समीकरण, और अपनी पसंद की कोई भी चीज़ प्राप्त कर सकते हैं।

यह पता चला है कि जब तक आप इसे लगभग हल नहीं कर लेते, तब तक किसी जटिल उदाहरण में एक रैखिक समीकरण का पता लगाना असंभव है। यह परेशान करने वाला है। लेकिन असाइनमेंट में, एक नियम के रूप में, वे समीकरण के रूप के बारे में नहीं पूछते हैं, है ना? कार्यों में, समीकरणों का आदेश दिया जाता है हल करना।यह मझे खुश करता है।)

रैखिक समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

रैखिक समीकरणों के संपूर्ण समाधान में समीकरणों के समान परिवर्तन होते हैं। वैसे, ये परिवर्तन (जितना दो तक!) समाधान के अंतर्गत आते हैं गणित के सभी समीकरण।दूसरे शब्दों में, निर्णय कोई भीसमीकरण इन्हीं परिवर्तनों के साथ शुरू होता है। रैखिक समीकरणों के मामले में, इन परिवर्तनों पर यह (समाधान) पूर्ण उत्तर के साथ समाप्त होता है। लिंक का पालन करना समझ में आता है, है ना?) इसके अलावा, रैखिक समीकरणों को हल करने के उदाहरण भी हैं।

आइए सबसे सरल उदाहरण से शुरू करें। बिना किसी झंझट के। मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है।

एक्स - 3 = 2 - 4x

यह एक रैखिक समीकरण है। एक्स सभी पहली शक्ति के लिए हैं, एक्स द्वारा कोई विभाजन नहीं है। लेकिन, वास्तव में, हमें परवाह नहीं है कि समीकरण क्या है। हमें इसे हल करने की जरूरत है। यहां योजना सरल है। समीकरण के बाईं ओर x के साथ सब कुछ लीजिए, दाईं ओर x (संख्याओं) के बिना सब कुछ।

ऐसा करने के लिए, आपको स्थानांतरित करने की आवश्यकता है - 4x बाईं ओर, संकेत के परिवर्तन के साथ, निश्चित रूप से, लेकिन - 3 - दांई ओर। वैसे, यह है समीकरणों का पहला समान परिवर्तन।स्तंभित होना? इसलिए, उन्होंने लिंक का पालन नहीं किया, लेकिन व्यर्थ ...) हमें मिलता है:

एक्स + 4x = 2 + 3

हम समान देते हैं, हम मानते हैं:

हमें पूरी तरह से खुश रहने के लिए क्या चाहिए? हाँ, ताकि बाईं ओर एक साफ़ X हो! रास्ते में पांच हो जाता है। साथ पांच से छुटकारा पाएं समीकरणों का दूसरा समान परिवर्तन।अर्थात्, हम समीकरण के दोनों भागों को 5 से विभाजित करते हैं। हमें एक तैयार उत्तर मिलता है:

एक प्रारंभिक उदाहरण, बिल्कुल। यह वार्म-अप के लिए है।) यह बहुत स्पष्ट नहीं है कि मैंने यहाँ समान परिवर्तनों को क्यों याद किया? ठीक। हम बैल को सींगों से पकड़ते हैं।) चलो कुछ और प्रभावशाली तय करते हैं।

उदाहरण के लिए, यहाँ यह समीकरण है:

हम कहाँ शुरू करें? X के साथ - बाईं ओर, X के बिना - दाईं ओर? ऐसा हो सकता है। लंबी सड़क के साथ छोटे कदम। और आप तुरंत, एक सार्वभौमिक और शक्तिशाली तरीके से कर सकते हैं। जब तक, निश्चित रूप से, आपके शस्त्रागार में समीकरणों के समान परिवर्तन नहीं होते हैं।

मैं आपसे एक महत्वपूर्ण प्रश्न पूछता हूं: आप इस समीकरण के बारे में सबसे ज्यादा क्या नापसंद करते हैं?

100 में से 95 लोग जवाब देंगे: अंशों ! उत्तर सही है। तो चलिए इनसे छुटकारा पाते हैं। तो हम तुरंत शुरू करते हैं दूसरा समान परिवर्तन. आपको बाईं ओर के अंश को किससे गुणा करने की आवश्यकता है ताकि हर पूरी तरह से कम हो जाए? यह सही है, 3. और दाईं ओर? 4. लेकिन गणित हमें दोनों पक्षों को से गुणा करने की अनुमति देता है वही नंबर. हम कैसे निकलते हैं? आइए दोनों पक्षों को 12 से गुणा करें! वे। एक आम भाजक के लिए। तब तीन कम हो जाएंगे, और चार। यह न भूलें कि आपको प्रत्येक भाग को गुणा करने की आवश्यकता है पूरी तरह से. यहाँ पहला कदम कैसा दिखता है:

कोष्ठक का विस्तार:

टिप्पणी! मीटर (एक्स+2)मैंने कोष्ठक में लिया! ऐसा इसलिए है क्योंकि भिन्नों को गुणा करते समय अंश को पूर्ण से गुणा किया जाता है! और अब आप भिन्नों को कम कर सकते हैं और कम कर सकते हैं:

शेष कोष्ठक खोलना:

एक उदाहरण नहीं, बल्कि शुद्ध आनंद!) अब हम निम्न ग्रेड से मंत्र को याद करते हैं: x के साथ - बाईं ओर, x के बिना - दाईं ओर!और इस परिवर्तन को लागू करें:

यहाँ कुछ इस प्रकार हैं:

और हम दोनों भागों को 25 से विभाजित करते हैं, अर्थात्। दूसरा परिवर्तन फिर से लागू करें:

बस इतना ही। उत्तर: एक्स=0,16

ध्यान दें: मूल भ्रमित समीकरण को सुखद रूप में लाने के लिए, हमने दो (केवल दो!) समान परिवर्तन- एक ही संख्या से समीकरण के चिह्न और गुणन-विभाजन के परिवर्तन के साथ बाएं-दाएं अनुवाद। यह सार्वभौमिक तरीका है! हम इस तरह से काम करेंगे कोई भी समीकरण! बिल्कुल कोई। इसलिए मैं इन समान परिवर्तनों को हर समय दोहराता रहता हूं।)

जैसा कि आप देख सकते हैं, रैखिक समीकरणों को हल करने का सिद्धांत सरल है। हम समीकरण लेते हैं और उत्तर प्राप्त होने तक समान परिवर्तनों की सहायता से इसे सरल बनाते हैं। यहां मुख्य समस्याएं गणना में हैं, न कि समाधान के सिद्धांत में।

लेकिन ... सबसे प्राथमिक रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया में ऐसे आश्चर्य हैं कि वे एक मजबूत मूर्खता में ड्राइव कर सकते हैं ...) सौभाग्य से, ऐसे केवल दो आश्चर्य हो सकते हैं। आइए उन्हें विशेष मामले कहते हैं।

रैखिक समीकरणों को हल करने में विशेष मामले।

पहले आश्चर्य।

मान लीजिए कि आप एक प्रारंभिक समीकरण में आते हैं, कुछ इस तरह:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

थोड़ा ऊब, हम एक्स के साथ बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, एक्स के बिना - दाईं ओर ... संकेत के परिवर्तन के साथ, सब कुछ ठोड़ी-चिनार है ... हमें मिलता है:

2x-5x+3x=5-2-3

हम मानते हैं, और ... ओह माय! हम पाते हैं:

यह समानता अपने आप में आपत्तिजनक नहीं है। शून्य वास्तव में शून्य है। लेकिन एक्स चला गया है! और हमें उत्तर में लिखना होगा, x किसके बराबर है।अन्यथा, समाधान मायने नहीं रखता, हाँ...) एक गतिरोध?

शांत! ऐसे संदिग्ध मामलों में, सबसे सामान्य नियम बचाते हैं। समीकरण कैसे हल करें? समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है? इसका मतलब, x के सभी मान ज्ञात कीजिए जिन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें सही समानता मिलेगी।

लेकिन हमारे पास सही समानता है पहले से हीहो गई! 0 = 0, वास्तव में कहाँ ?! यह पता लगाना बाकी है कि यह किस x से प्राप्त होता है। x के किन मानों को प्रतिस्थापित किया जा सकता है मूलसमीकरण अगर ये x's अभी भी शून्य हो गया है?आ जाओ?)

हां!!! Xs को प्रतिस्थापित किया जा सकता है कोई भी!आप क्या चाहते हैं। कम से कम 5, कम से कम 0.05, कम से कम -220। वे अभी भी सिकुड़ेंगे। यदि आप मुझ पर विश्वास नहीं करते हैं, तो आप इसे देख सकते हैं।) किसी भी x मान को में बदलें मूलसमीकरण और गणना। हर समय शुद्ध सत्य प्राप्त होगा: 0 = 0, 2 = 2, -7.1 = -7.1 और इसी तरह।

यहाँ आपका उत्तर है: x कोई संख्या है।

उत्तर विभिन्न गणितीय प्रतीकों में लिखा जा सकता है, सार नहीं बदलता है। यह पूरी तरह से सही और पूर्ण उत्तर है।

दूसरा आश्चर्य।

आइए एक ही प्राथमिक रैखिक समीकरण लें और उसमें केवल एक संख्या बदलें। यह हम तय करेंगे:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

समान परिवर्तनों के बाद, हमें कुछ दिलचस्प मिलता है:

इस प्रकार सं। एक रैखिक समीकरण हल किया, एक अजीब समानता प्राप्त की। गणितीय रूप से बोलते हुए, हमारे पास है गलत समानता।और सरल शब्दों में, यह सच नहीं है। बड़बड़ाना। लेकिन फिर भी, यह बकवास समीकरण के सही समाधान के लिए काफी अच्छा कारण है।)

फिर से, हम सामान्य नियमों के आधार पर सोचते हैं। मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर x हमें क्या देगा? सहीसमानता? हाँ, कोई नहीं! ऐसे कोई एक्स नहीं हैं। आप जो कुछ भी प्रतिस्थापित करेंगे, सब कुछ कम हो जाएगा, बकवास रहेगा।)

यहाँ आपका उत्तर है: कोई समाधान नहीं हैं।

यह भी पूरी तरह से मान्य उत्तर है। गणित में, ऐसे उत्तर अक्सर होते हैं।

इस प्रकार सं। अब, मुझे आशा है, किसी भी (न केवल रैखिक) समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में Xs की हानि आपको बिल्कुल भी परेशान नहीं करेगी। बात जानी-पहचानी है।)

अब जब हमने रैखिक समीकरणों के सभी नुकसानों को हल कर लिया है, तो उन्हें हल करना समझ में आता है।

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आमतौर पर, समीकरणउन समस्याओं में प्रकट होते हैं जिनमें एक निश्चित मूल्य खोजने की आवश्यकता होती है। समीकरण हमें बीजगणित की भाषा में समस्या तैयार करने की अनुमति देता है। समीकरण को हल करने से हमें वांछित मात्रा का मान प्राप्त होता है, जिसे अज्ञात कहते हैं। "एंड्रे के बटुए में कुछ रूबल हैं। यदि आप इस संख्या को 2 से गुणा करते हैं और फिर 5 घटाते हैं, तो आपको 10 मिलता है। एंड्री के पास कितना पैसा है?" आइए अज्ञात राशि को x के रूप में निरूपित करें और समीकरण लिखें: 2x-5=10.

के बारे में बात करने के लिए समीकरणों को हल करने के तरीके, आपको सबसे पहले बुनियादी अवधारणाओं को परिभाषित करने और आम तौर पर स्वीकृत संकेतन से परिचित होने की आवश्यकता है। विभिन्न प्रकार के समीकरणों के लिए, उन्हें हल करने के लिए अलग-अलग एल्गोरिदम हैं। एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री के समीकरण हल करना सबसे आसान है। विद्यालय के कई लोग द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र से परिचित हैं। उच्च गणित की तकनीकें उच्च क्रम के समीकरणों को हल करने में मदद करेंगी। संख्याओं का वह समुच्चय जिस पर एक समीकरण परिभाषित किया जाता है, उसके हलों से घनिष्ठ रूप से संबंधित होता है। समीकरणों और कार्यों के ग्राफ़ के बीच संबंध भी दिलचस्प है, क्योंकि चित्रमय रूप में समीकरणों का प्रतिनिधित्व उनमें बहुत मदद करता है।

विवरण. एक समीकरण एक या अधिक अज्ञात के साथ एक गणितीय समीकरण है, जैसे कि 2x+3y=0.

समान चिह्न के दोनों ओर के व्यंजक कहलाते हैं समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष. लैटिन वर्णमाला के अक्षर अज्ञात को दर्शाते हैं। यद्यपि अज्ञात की संख्या कितनी भी हो सकती है, निम्नलिखित में हम केवल एक अज्ञात के साथ समीकरणों के बारे में बात करेंगे, जिसे हम x से निरूपित करेंगे।

समीकरण डिग्रीवह अधिकतम शक्ति है जिसके लिए अज्ञात को उठाया जाता है। उदाहरण के लिए,
$3x^4+6x-1=0$ एक चौथी डिग्री समीकरण है, $x-4x^2+6x=8$ एक दूसरी डिग्री समीकरण है।

वे संख्याएँ जिनसे अज्ञात को गुणा किया जाता है, कहलाती हैं गुणांकों. पिछले उदाहरण में, अज्ञात से चौथी घात का गुणांक 3 है। यदि, जब x को इस संख्या से प्रतिस्थापित किया जाता है, तो दी गई समानता संतुष्ट हो जाती है, तो यह संख्या समीकरण को संतुष्ट करने वाली कहलाती है। यह कहा जाता है समीकरण का हल, या इसकी जड़। उदाहरण के लिए, 3 समीकरण 2x+8=14 का मूल या हल है, क्योंकि 2*3+8=6+8=14।

समीकरण हल करना. मान लीजिए कि हम समीकरण 2x+5=11 को हल करना चाहते हैं।

आप इसमें किसी भी मान x को प्रतिस्थापित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए x = 2। आइए x को 2 से बदलें और प्राप्त करें: 2*2+5=4+5=9।

यहां कुछ गड़बड़ है, क्योंकि समीकरण के दाईं ओर हमें 11 मिलना चाहिए था। आइए x=3: 2*3+5=6+5=11 का प्रयास करें।

उत्तर सही है। यह पता चला है कि यदि अज्ञात मान 3 लेता है, तो समानता रखती है. इसलिए, हमने दिखाया है कि संख्या 3 समीकरण का हल है।

हम इस समीकरण को हल करने के तरीके को कहते हैं चयन विधि. जाहिर है, इसका उपयोग करना असुविधाजनक है। इसके अलावा, इसे एक विधि भी नहीं कहा जा सकता है। इसे सत्यापित करने के लिए, इसे $x^4-5x^2+16=2365$ फॉर्म के समीकरण पर लागू करने का प्रयास करने के लिए पर्याप्त है।

समाधान के तरीके. जब तथाकथित "खेल के नियम" होते हैं, जो खुद को परिचित करने के लिए उपयोगी होंगे। हमारा लक्ष्य अज्ञात के मूल्य को निर्धारित करना है जो समीकरण को संतुष्ट करता है। इसलिए, अज्ञात को किसी तरह से अलग करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, समीकरण की शर्तों को इसके एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करना आवश्यक है। समीकरण हल करने का पहला नियम है...

1. जब किसी समीकरण के पद को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जाता है, तो इसका चिह्न विपरीत में बदल जाता है: प्लस माइनस में बदल जाता है और इसके विपरीत। एक उदाहरण के रूप में समीकरण 2x+5=11 पर विचार करें। 5 को बाएँ से दाएँ ले जाएँ: 2x=11-5. समीकरण 2x=6 रूप लेगा।

आइए दूसरे नियम पर चलते हैं।
2. समीकरण के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा और विभाजित किया जा सकता है। आइए इस नियम को हमारे समीकरण पर लागू करें: $x=\frac62=3$। समानता के बाईं ओर, केवल अज्ञात x रह गया है, इसलिए, हमने इसका मूल्य पाया और समीकरण को हल किया।

हमने अभी सबसे सरल समस्या पर विचार किया है - एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण. इस प्रकार के समीकरणों का हमेशा एक समाधान होता है, इसके अलावा, उन्हें हमेशा सरलतम संक्रियाओं का उपयोग करके हल किया जा सकता है: जोड़, घटाव, गुणा और भाग। काश, सभी समीकरण इतने सरल नहीं होते। इसके अलावा, उनकी जटिलता की डिग्री बहुत जल्दी बढ़ जाती है। उदाहरण के लिए, किसी भी हाई स्कूल के छात्र द्वारा दूसरी डिग्री के समीकरणों को आसानी से हल किया जा सकता है, लेकिन रैखिक समीकरणों या उच्च डिग्री के समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीकों का अध्ययन केवल हाई स्कूल में किया जाता है।

रूसी संघ के सामान्य और व्यावसायिक शिक्षा मंत्रालय

नगर शिक्षण संस्थान

व्यायामशाला संख्या 12

लिखना

विषय पर: समीकरण और उन्हें हल करने के तरीके

पूर्ण: छात्र 10 "ए" कक्षा

क्रुत्को एवगेनी

जाँच की गई: गणित के शिक्षक इशाकोवा गुलसुम अक्रामोव्ना

टूमेन 2001

योजना................................................. ……………………………………….. ............................... एक

परिचय ……………………………। ……………………………………….. ............ 2

मुख्य हिस्सा................................................ ……………………………………….. ............... 3

निष्कर्ष................................................. ……………………………………….. ................... 25

अनुबंध................................................. ……………………………………….. ............... 26

संदर्भ की सूची ............................................... ………………………………………….. ... 29

योजना।

परिचय।

इतिहास संदर्भ।

समीकरण। बीजीय समीकरण।

ए) बुनियादी परिभाषाएं।

बी) रैखिक समीकरण और इसे कैसे हल करें।

ग) द्विघात समीकरण और इसे हल करने की विधियाँ।

डी) दो-अवधि समीकरण, उन्हें हल करने का एक तरीका।

ई) घन समीकरण और इसके समाधान के तरीके।

च) द्विघात समीकरण और इसके समाधान की विधि।

छ) चौथी डिग्री के समीकरण और इसे हल करने के तरीके।

छ) समाधान से उच्च डिग्री और विधियों के समीकरण।

ज) परिमेय बीजीय समीकरण और इसकी विधि

i) अपरिमेय समीकरण और इसके समाधान के तरीके।

j) चिह्न के नीचे अज्ञात युक्त समीकरण।

निरपेक्ष मूल्य और इसे कैसे हल करें।

पारलौकिक समीकरण।

ए) घातीय समीकरण और उन्हें कैसे हल करें।

ख) लघुगणकीय समीकरण और उन्हें कैसे हल करें।

परिचय

एक सामान्य शिक्षा विद्यालय में प्राप्त गणितीय शिक्षा सामान्य शिक्षा और आधुनिक व्यक्ति की सामान्य संस्कृति का एक अनिवार्य घटक है। आधुनिक व्यक्ति को घेरने वाली लगभग हर चीज किसी न किसी रूप में गणित से जुड़ी होती है। और भौतिकी, इंजीनियरिंग और सूचना प्रौद्योगिकी में नवीनतम उपलब्धियां इस बात में कोई संदेह नहीं छोड़ती हैं कि भविष्य में भी स्थिति जस की तस बनी रहेगी। इसलिए, कई व्यावहारिक समस्याओं का समाधान विभिन्न प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए कम किया जाता है जिन्हें हल करने के लिए सीखने की आवश्यकता होती है।

यह कार्य उपरोक्त विषय पर अध्ययन की गई सामग्री को सामान्य और व्यवस्थित करने का एक प्रयास है। मैंने सामग्री को उसकी जटिलता की डिग्री के अनुसार व्यवस्थित किया है, सबसे सरल से शुरू करते हुए। इसमें बीजगणित के स्कूल पाठ्यक्रम से हमें ज्ञात दोनों प्रकार के समीकरण और अतिरिक्त सामग्री शामिल हैं। साथ ही, मैंने उन समीकरणों के प्रकारों को दिखाने की कोशिश की, जिनका अध्ययन स्कूल के पाठ्यक्रम में नहीं किया जाता है, लेकिन जिनके ज्ञान की आवश्यकता उच्च शिक्षण संस्थान में प्रवेश करते समय हो सकती है। अपने काम में, समीकरणों को हल करते समय, मैंने खुद को केवल एक वास्तविक समाधान तक सीमित नहीं किया, बल्कि एक जटिल भी संकेत दिया, क्योंकि मेरा मानना ​​​​है कि अन्यथा समीकरण हल नहीं होता है। आखिरकार, अगर समीकरण में कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, तो इसका मतलब यह नहीं है कि इसका कोई समाधान नहीं है। दुर्भाग्य से, समय की कमी के कारण, मैं अपने पास मौजूद सभी सामग्री को प्रस्तुत नहीं कर पाया, लेकिन यहां जो सामग्री प्रस्तुत की गई है, उससे भी कई सवाल उठ सकते हैं। मुझे आशा है कि अधिकांश प्रश्नों के उत्तर देने के लिए मेरा ज्ञान पर्याप्त है। तो, मैं सामग्री प्रस्तुत करने जा रहा हूँ।

गणित... क्रम प्रकट करता है

समरूपता और निश्चितता,

और ये सबसे महत्वपूर्ण प्रकार की सुंदरता हैं।

अरस्तू।

इतिहास संदर्भ

उन दूर के समय में, जब ज्ञानियों ने पहली बार अज्ञात मात्राओं वाली समानता के बारे में सोचना शुरू किया, तब शायद अभी तक कोई सिक्के या पर्स नहीं थे। लेकिन दूसरी ओर, ढेर, साथ ही बर्तन, टोकरियाँ थीं, जो अज्ञात संख्या में वस्तुओं वाले कैश-स्टोर की भूमिका के लिए एकदम सही थीं। "हम एक ढेर की तलाश कर रहे हैं, जो इसके दो तिहाई के साथ, आधा और एक सातवां, 37 है ...", मिस्र के लेखक अहम्स ने द्वितीय सहस्राब्दी ईसा पूर्व में पढ़ाया था। मेसोपोटामिया, भारत, चीन, ग्रीस की प्राचीन गणितीय समस्याओं में, अज्ञात मात्राओं ने बगीचे में मोर की संख्या, झुंड में बैलों की संख्या, संपत्ति को विभाजित करते समय ध्यान में रखी गई चीजों की समग्रता को व्यक्त किया। शास्त्रियों, अधिकारियों और पुजारियों ने गुप्त ज्ञान की शुरुआत की, गिनती के विज्ञान में अच्छी तरह से प्रशिक्षित, ऐसे कार्यों का सफलतापूर्वक सामना किया।

जो स्रोत हमारे पास आए हैं, वे बताते हैं कि प्राचीन वैज्ञानिकों के पास अज्ञात मात्राओं के साथ समस्याओं को हल करने के लिए कुछ सामान्य तरीके थे। हालांकि, एक भी पपीरस नहीं, एक भी मिट्टी की गोली इन तकनीकों का वर्णन नहीं करती है। लेखकों ने कभी-कभी अपनी संख्यात्मक गणनाओं को औसत टिप्पणियों के साथ आपूर्ति की जैसे: "देखो!", "ऐसा करो!", "आपने इसे सही पाया।" इस अर्थ में, अपवाद ग्रीक गणितज्ञ डायोफैंटस ऑफ अलेक्जेंड्रिया (III सदी) का "अंकगणित" है - उनके समाधानों की एक व्यवस्थित प्रस्तुति के साथ समीकरणों को संकलित करने के लिए समस्याओं का एक संग्रह।

हालाँकि, समस्याओं को हल करने के लिए पहला मैनुअल, जो व्यापक रूप से ज्ञात हुआ, वह 9वीं शताब्दी के बगदाद विद्वान का काम था। मुहम्मद बिन मूसा अल-ख्वारिज्मी। इस ग्रंथ के अरबी शीर्षक से "अल-जबर" शब्द - "किताब अल-जबर वाल-मुकाबाला" ("पुनर्स्थापना और विपरीतता की पुस्तक") - समय के साथ "बीजगणित" शब्द में बदल गया, जो सभी के लिए जाना जाता है, और अल-ख्वारिज्मी के काम ने समीकरणों को सुलझाने के विज्ञान के विकास में शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य किया।

समीकरण बीजीय समीकरण

मूल परिभाषाएं

बीजगणित में दो प्रकार की समानताएँ मानी जाती हैं - सर्वसमिकाएँ और समीकरण।

पहचानएक समानता है जो अक्षरों के सभी (स्वीकार्य) मूल्यों के लिए है)। चिन्ह के साथ पहचान लिखने के लिए

चिन्ह का भी प्रयोग किया जाता है।

समीकरण- यह एक समानता है जो इसमें शामिल अक्षरों के कुछ मूल्यों के लिए ही संतुष्ट है। समस्या की स्थिति के अनुसार समीकरण में शामिल अक्षर असमान हो सकते हैं: कुछ अपने सभी स्वीकार्य मान ले सकते हैं (उन्हें कहा जाता है) मापदंडोंया गुणांकोंसमीकरण और आमतौर पर लैटिन वर्णमाला के पहले अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं:

, , ... - या समान अक्षर, सूचकांकों के साथ प्रदान किए गए: , , ... या , , ...); अन्य जिनके मूल्य ज्ञात करने हैं, कहलाते हैं अनजान(वे आमतौर पर लैटिन वर्णमाला के अंतिम अक्षरों द्वारा निरूपित होते हैं: , , , ... - या समान अक्षरों द्वारा, सूचकांकों के साथ प्रदान किया जाता है: , , ... या , , ...)।

सामान्य तौर पर, समीकरण को निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

(, , ..., ).

अज्ञात की संख्या के आधार पर, समीकरण को एक, दो, आदि अज्ञात के साथ समीकरण कहा जाता है।