हमारे हाथ में एक पेड़, समुद्र के किनारे, बादल या रक्त वाहिकाओं में क्या समानता है? पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि इन सभी वस्तुओं में कुछ भी सामान्य नहीं है। हालांकि, वास्तव में, संरचना की एक संपत्ति है जो सभी सूचीबद्ध वस्तुओं में निहित है: वे स्व-समान हैं। शाखा से, साथ ही एक पेड़ के तने से, छोटी प्रक्रियाएं निकलती हैं, उनसे - यहां तक ​​​​कि छोटे वाले, आदि, यानी एक शाखा पूरे पेड़ के समान होती है। संचार प्रणाली को एक समान तरीके से व्यवस्थित किया जाता है: धमनी धमनियों से निकलती है, और उनसे - सबसे छोटी केशिकाएं जिसके माध्यम से ऑक्सीजन अंगों और ऊतकों में प्रवेश करती है। आइए समुद्री तट की उपग्रह छवियों को देखें: हम खाड़ी और प्रायद्वीप देखेंगे; आइए इसे देखें, लेकिन एक विहंगम दृष्टि से: हम बे और केप देखेंगे; अब कल्पना कीजिए कि हम समुद्र तट पर खड़े हैं और अपने पैरों को देख रहे हैं: हमेशा कंकड़ होंगे जो बाकी की तुलना में पानी में आगे निकल जाएंगे। यानी जूम इन करने पर समुद्र तट अपने आप जैसा ही रहता है। अमेरिकी गणितज्ञ बेनोइट मंडेलब्रॉट (हालांकि फ्रांस में उठाए गए) ने वस्तुओं की इस संपत्ति को फ्रैक्टलिटी कहा, और ऐसी वस्तुओं को स्वयं - फ्रैक्टल (लैटिन फ्रैक्टस से - टूटा हुआ)।

इस अवधारणा की कोई सख्त परिभाषा नहीं है। इसलिए, "फ्रैक्टल" शब्द गणितीय शब्द नहीं है। आम तौर पर, एक फ्रैक्टल एक ज्यामितीय आकृति होती है जो निम्नलिखित में से एक या अधिक गुणों को संतुष्ट करती है: इसकी किसी भी ज़ूम स्तर पर एक जटिल संरचना होती है (उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा के विपरीत, जिसका कोई भी भाग सबसे सरल ज्यामितीय आकृति है - एक रेखा खंड ) यह (लगभग) स्व-समान है। इसका एक भिन्नात्मक हॉसडॉर्फ (फ्रैक्टल) आयाम है, जो टोपोलॉजिकल से बड़ा है। पुनरावर्ती प्रक्रियाओं के साथ बनाया जा सकता है।

ज्यामिति और बीजगणित

19वीं और 20वीं शताब्दी के मोड़ पर भग्न का अध्ययन व्यवस्थित की तुलना में अधिक प्रासंगिक था, क्योंकि पहले के गणितज्ञों ने मुख्य रूप से "अच्छी" वस्तुओं का अध्ययन किया था जिनका अध्ययन सामान्य तरीकों और सिद्धांतों का उपयोग करके किया जा सकता था। 1872 में, जर्मन गणितज्ञ कार्ल वीयरस्ट्रैस ने एक सतत कार्य का एक उदाहरण बनाया जो कहीं भी भिन्न नहीं है। हालांकि, इसका निर्माण पूरी तरह से अमूर्त और समझने में मुश्किल था। इसलिए, 1904 में, स्वेड हेल्ज वॉन कोच एक निरंतर वक्र के साथ आया, जिसमें कहीं भी कोई स्पर्शरेखा नहीं है, और इसे खींचना काफी सरल है। यह पता चला कि इसमें फ्रैक्टल के गुण हैं। इस वक्र के एक रूपांतर को कोच स्नोफ्लेक कहा जाता है।

आंकड़ों की आत्म-समानता के विचारों को फ्रांसीसी पॉल पियरे लेवी, बेनोइट मंडेलब्रॉट के भविष्य के संरक्षक द्वारा उठाया गया था। 1938 में, उनका लेख "प्लेन एंड स्पैटियल कर्व्स एंड सर्फेस कंसिस्टिंग ऑफ पार्ट्स सिमिलर टू द होल" प्रकाशित हुआ, जिसमें एक और फ्रैक्टल का वर्णन किया गया है - लेवी सी-वक्र। ऊपर सूचीबद्ध इन सभी भग्नों को सशर्त रूप से रचनात्मक (ज्यामितीय) भग्न के एक वर्ग के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है।

एक अन्य वर्ग गतिशील (बीजीय) भग्न है, जिसमें मैंडेलब्रॉट सेट शामिल है। इस दिशा में पहला शोध 20वीं सदी की शुरुआत में शुरू हुआ और यह फ्रांसीसी गणितज्ञ गैस्टन जूलिया और पियरे फतो के नामों से जुड़ा है। 1918 में, जटिल तर्कसंगत कार्यों के पुनरावृत्तियों के लिए समर्पित जूलिया के संस्मरण के लगभग दो सौ पृष्ठ प्रकाशित किए गए, जिसमें जूलिया सेट का वर्णन किया गया है - फ्रैक्टल का एक पूरा परिवार जो मैंडेलब्रॉट सेट से निकटता से संबंधित है। इस काम को फ्रांसीसी अकादमी के पुरस्कार से सम्मानित किया गया था, लेकिन इसमें एक भी चित्रण नहीं था, इसलिए खोजी गई वस्तुओं की सुंदरता की सराहना करना असंभव था। इस तथ्य के बावजूद कि इस काम ने जूलिया को उस समय के गणितज्ञों के बीच प्रसिद्ध कर दिया, इसे जल्दी से भुला दिया गया। फिर से, कंप्यूटर के आगमन के साथ केवल आधी सदी बाद ही इस ओर ध्यान गया: यह वे थे जिन्होंने भग्नों की दुनिया की समृद्धि और सुंदरता को दृश्यमान बनाया।

भग्न आयाम

जैसा कि आप जानते हैं, एक ज्यामितीय आकृति का आयाम (मापों की संख्या) इस आकृति पर स्थित एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करने के लिए आवश्यक निर्देशांकों की संख्या है।
उदाहरण के लिए, एक वक्र पर एक बिंदु की स्थिति एक निर्देशांक द्वारा निर्धारित की जाती है, एक सतह पर (जरूरी नहीं कि एक विमान हो) दो निर्देशांक द्वारा, तीन-आयामी अंतरिक्ष में तीन निर्देशांक द्वारा।
अधिक सामान्य गणितीय दृष्टिकोण से, आयाम को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है: रैखिक आयामों में वृद्धि, कहते हैं, दो बार, एक-आयामी (एक टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से) वस्तुओं (खंड) के लिए आकार (लंबाई) में वृद्धि होती है ) दो के एक कारक से, दो-आयामी (वर्ग) के लिए रैखिक आयामों में समान वृद्धि से आकार (क्षेत्र) में 4 गुना वृद्धि होती है, त्रि-आयामी (घन) के लिए - 8 गुना। यही है, "वास्तविक" (तथाकथित हॉसडॉर्फ) आयाम की गणना किसी वस्तु के "आकार" में वृद्धि के लघुगणक के अनुपात के रूप में की जा सकती है, जो इसके रैखिक आकार में वृद्धि के लघुगणक के लिए है। अर्थात्, एक खंड के लिए डी=लॉग (2)/लॉग (2)=1, एक विमान के लिए डी=लॉग (4)/लॉग (2)=2, वॉल्यूम डी=लॉग (8)/लॉग (2 के लिए) )=3.
आइए अब कोच वक्र के आयाम की गणना करें, जिसके निर्माण के लिए इकाई खंड को तीन बराबर भागों में विभाजित किया जाता है और मध्य अंतराल को इस खंड के बिना एक समबाहु त्रिभुज द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। न्यूनतम खंड के रैखिक आयामों में तीन गुना वृद्धि के साथ, लॉग (4) / लॉग (3) ~ 1.26 में कोच वक्र की लंबाई बढ़ जाती है। यानी कोच वक्र का आयाम भिन्नात्मक होता है!

विज्ञान और कला

1982 में मंडेलब्रॉट की पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" प्रकाशित हुई, जिसमें लेखक ने उस समय उपलब्ध फ्रैक्टल्स के बारे में लगभग सभी जानकारी एकत्र और व्यवस्थित की और इसे आसान और सुलभ तरीके से प्रस्तुत किया। मंडेलब्रॉट ने अपनी प्रस्तुति में मुख्य रूप से जटिल सूत्रों और गणितीय निर्माणों पर नहीं, बल्कि पाठकों के ज्यामितीय अंतर्ज्ञान पर जोर दिया। कंप्यूटर जनित दृष्टांतों और ऐतिहासिक कहानियों के लिए धन्यवाद, जिसके साथ लेखक ने मोनोग्राफ के वैज्ञानिक घटक को कुशलता से पतला किया, पुस्तक बेस्टसेलर बन गई, और फ्रैक्टल आम जनता के लिए जाने गए। गैर-गणितज्ञों के बीच उनकी सफलता काफी हद तक इस तथ्य के कारण है कि बहुत ही सरल निर्माण और सूत्रों की मदद से जो एक हाई स्कूल का छात्र भी समझ सकता है, अद्भुत जटिलता और सुंदरता की छवियां प्राप्त की जाती हैं। जब पर्सनल कंप्यूटर काफी शक्तिशाली हो गए, तो कला में भी एक पूरी प्रवृत्ति दिखाई दी - फ्रैक्टल पेंटिंग, और लगभग कोई भी कंप्यूटर मालिक इसे कर सकता था। अब इंटरनेट पर आप इस विषय के लिए समर्पित कई साइटें आसानी से पा सकते हैं।

कोच वक्र प्राप्त करने की योजना

युद्ध और शांति

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, भग्न गुणों वाली प्राकृतिक वस्तुओं में से एक समुद्र तट है। एक दिलचस्प कहानी इसके साथ जुड़ी हुई है, या यों कहें, इसकी लंबाई को मापने के प्रयास के साथ, जिसने मंडेलब्रॉट के वैज्ञानिक लेख का आधार बनाया, और उनकी पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" में भी वर्णित है। हम बात कर रहे हैं एक ऐसे प्रयोग की जिसे लुईस रिचर्डसन द्वारा स्थापित किया गया था, जो एक बहुत ही प्रतिभाशाली और विलक्षण गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और मौसम विज्ञानी थे। उनके शोध का एक दिशा दो देशों के बीच सशस्त्र संघर्ष के कारणों और संभावना का गणितीय विवरण खोजने का प्रयास था। जिन मापदंडों को उन्होंने ध्यान में रखा, उनमें दो युद्धरत देशों के बीच आम सीमा की लंबाई थी। जब उन्होंने संख्यात्मक प्रयोगों के लिए डेटा एकत्र किया, तो उन्होंने पाया कि विभिन्न स्रोतों में स्पेन और पुर्तगाल की आम सीमा पर डेटा बहुत भिन्न होता है। इसने उन्हें निम्नलिखित खोज के लिए प्रेरित किया: देश की सीमाओं की लंबाई उस शासक पर निर्भर करती है जिसके साथ हम उन्हें मापते हैं। पैमाना जितना छोटा होगा, सीमा उतनी ही लंबी होगी। यह इस तथ्य के कारण है कि उच्च आवर्धन पर तट के अधिक से अधिक मोड़ को ध्यान में रखना संभव हो जाता है, जिन्हें पहले माप की खुरदरापन के कारण अनदेखा किया गया था। और अगर, प्रत्येक ज़ूम के साथ, लाइनों के पहले बेहिसाब मोड़ खोले जाते हैं, तो यह पता चलता है कि सीमाओं की लंबाई अनंत है! सच है, वास्तव में ऐसा नहीं होता है - हमारे माप की सटीकता की एक सीमित सीमा होती है। इस विरोधाभास को रिचर्डसन प्रभाव कहा जाता है।

रचनात्मक (ज्यामितीय) भग्न

सामान्य स्थिति में एक रचनात्मक भग्न के निर्माण के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है। सबसे पहले, हमें दो उपयुक्त ज्यामितीय आकृतियों की आवश्यकता है, आइए उन्हें आधार और खंड कहते हैं। पहले चरण में, भविष्य के भग्न का आधार दर्शाया गया है। फिर इसके कुछ हिस्सों को एक उपयुक्त पैमाने में लिए गए टुकड़े से बदल दिया जाता है - यह निर्माण का पहला पुनरावृत्ति है। फिर, परिणामी आकृति में, कुछ भाग फिर से एक टुकड़े के समान आंकड़े में बदल जाते हैं, और इसी तरह। यदि आप इस प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक जारी रखते हैं, तो सीमा में आपको एक फ्रैक्टल मिलता है।

कोच वक्र के उदाहरण का उपयोग करके इस प्रक्रिया पर विचार करें (पिछले पृष्ठ पर साइडबार देखें)। किसी भी वक्र को कोच वक्र के आधार के रूप में लिया जा सकता है (कोच हिमपात के लिए, यह एक त्रिभुज है)। लेकिन हम खुद को सबसे सरल मामले तक सीमित रखते हैं - एक खंड। टुकड़ा एक टूटी हुई रेखा है जो आकृति के शीर्ष पर दिखाई गई है। एल्गोरिथ्म के पहले पुनरावृत्ति के बाद, इस मामले में, मूल खंड खंड के साथ मेल खाएगा, फिर इसके प्रत्येक घटक खंड को खंड के समान एक टूटी हुई रेखा से बदल दिया जाएगा, और इसी तरह। यह आंकड़ा पहले चार दिखाता है इस प्रक्रिया के चरण।

गणित की भाषा: गतिशील (बीजीय) भग्न

इस प्रकार के भग्न गैर-रेखीय गतिशील प्रणालियों (इसलिए नाम) के अध्ययन में उत्पन्न होते हैं। ऐसी प्रणाली के व्यवहार को एक जटिल अरैखिक फलन (बहुपद) f (z) द्वारा वर्णित किया जा सकता है। आइए हम जटिल तल पर कुछ प्रारंभिक बिंदु z0 लें (साइडबार देखें)। अब जटिल तल पर संख्याओं के ऐसे अनंत अनुक्रम पर विचार करें, जिनमें से प्रत्येक पिछले एक से प्राप्त होता है: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn)। प्रारंभिक बिंदु z0 के आधार पर, ऐसा अनुक्रम अलग तरह से व्यवहार कर सकता है: अनंतता के रूप में n -> ; किसी अंतिम बिंदु पर अभिसरण; चक्रीय रूप से कई निश्चित मान लें; अधिक जटिल विकल्प संभव हैं।

जटिल आंकड़े

एक सम्मिश्र संख्या एक संख्या है जिसमें दो भाग होते हैं - वास्तविक और काल्पनिक, अर्थात्, औपचारिक योग x + iy (यहाँ x और y वास्तविक संख्याएँ हैं)। मैं तथाकथित है। काल्पनिक इकाई, यानी एक संख्या जो समीकरण को संतुष्ट करती है मैं ^ 2 = -1। बुनियादी गणितीय संक्रियाओं को जटिल संख्याओं पर परिभाषित किया जाता है - जोड़, गुणा, भाग, घटाव (केवल तुलना संक्रिया परिभाषित नहीं है)। जटिल संख्याओं को प्रदर्शित करने के लिए, अक्सर एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व का उपयोग किया जाता है - विमान पर (इसे जटिल कहा जाता है), वास्तविक भाग को एब्सिस्सा अक्ष के साथ और काल्पनिक भाग को निर्देशांक अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, जबकि जटिल संख्या एक बिंदु के अनुरूप होगी कार्तीय निर्देशांक x और y के साथ।

इस प्रकार, फ़ंक्शन f (z) के पुनरावृत्तियों के दौरान जटिल विमान के किसी भी बिंदु z का व्यवहार का अपना चरित्र होता है, और पूरे विमान को भागों में विभाजित किया जाता है। इसके अलावा, इन भागों की सीमाओं पर स्थित बिंदुओं में निम्नलिखित गुण होते हैं: मनमाने ढंग से छोटे विस्थापन के लिए, उनके व्यवहार की प्रकृति नाटकीय रूप से बदलती है (ऐसे बिंदुओं को द्विभाजन बिंदु कहा जाता है)। तो, यह पता चला है कि एक विशिष्ट प्रकार के व्यवहार वाले बिंदुओं के सेट के साथ-साथ द्विभाजन बिंदुओं के सेट में अक्सर फ्रैक्टल गुण होते हैं। ये फंक्शन f(z) के लिए जूलिया सेट हैं।

ड्रैगन परिवार

आधार और टुकड़े को बदलकर, आप रचनात्मक फ्रैक्टल की एक आश्चर्यजनक विविधता प्राप्त कर सकते हैं।
इसके अलावा, समान संचालन त्रि-आयामी अंतरिक्ष में किया जा सकता है। वॉल्यूमेट्रिक फ्रैक्टल के उदाहरण "मेन्जर स्पंज", "सिएरपिंस्की पिरामिड" और अन्य हैं।
ड्रेगन के परिवार को रचनात्मक भग्न भी कहा जाता है। उन्हें कभी-कभी खोजकर्ताओं के नाम से "हेइवेई-हार्टर के ड्रेगन" के रूप में संदर्भित किया जाता है (वे अपने आकार में चीनी ड्रेगन के समान होते हैं)। इस वक्र को बनाने के कई तरीके हैं। उनमें से सबसे सरल और सबसे स्पष्ट यह है: आपको कागज की पर्याप्त लंबी पट्टी लेने की जरूरत है (कागज जितना पतला होगा, उतना अच्छा होगा), और इसे आधा में मोड़ें। फिर इसे फिर से उसी दिशा में आधा मोड़ें, जिस दिशा में पहली बार किया था। कई दोहराव के बाद (आमतौर पर पांच या छह सिलवटों के बाद पट्टी इतनी मोटी हो जाती है कि ध्यान से आगे झुकना संभव न हो), आपको पट्टी को वापस सीधा करने की जरूरत है, और सिलवटों पर 90˚ कोण बनाने का प्रयास करें। फिर प्रोफाइल में ड्रैगन का कर्व निकलेगा। बेशक, यह केवल एक सन्निकटन होगा, जैसे भग्न वस्तुओं को चित्रित करने के हमारे सभी प्रयास। कंप्यूटर आपको इस प्रक्रिया में कई और चरणों को चित्रित करने की अनुमति देता है, और परिणाम एक बहुत ही सुंदर आकृति है।

मंडेलब्रॉट सेट कुछ अलग तरीके से बनाया गया है। फलन fc (z) = z 2 +c पर विचार करें, जहां c एक सम्मिश्र संख्या है। आइए हम इस फ़ंक्शन के अनुक्रम को z0 = 0 के साथ बनाते हैं, पैरामीटर c के आधार पर, यह अनंत तक विचलन कर सकता है या बाध्य रह सकता है। इसके अलावा, c के सभी मान जिनके लिए यह क्रम बाध्य है, मैंडेलब्रॉट सेट का निर्माण करता है। मंडेलब्रॉट और अन्य गणितज्ञों ने इसका विस्तार से अध्ययन किया, जिन्होंने इस सेट के कई दिलचस्प गुणों की खोज की।

यह देखा जा सकता है कि जूलिया और मैंडलब्रॉट सेट की परिभाषा एक दूसरे के समान है। वास्तव में, ये दोनों सेट निकट से संबंधित हैं। अर्थात्, मैंडेलब्रॉट सेट जटिल पैरामीटर c के सभी मान हैं जिसके लिए जूलिया सेट fc (z) जुड़ा हुआ है (एक सेट को कनेक्टेड कहा जाता है यदि इसे कुछ अतिरिक्त शर्तों के साथ दो गैर-प्रतिच्छेदन भागों में विभाजित नहीं किया जा सकता है)।

भग्न और जीवन

आजकल, मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में फ्रैक्टल के सिद्धांत का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। अनुसंधान के लिए विशुद्ध रूप से वैज्ञानिक वस्तु और पहले से ही उल्लेखित फ्रैक्टल पेंटिंग के अलावा, ग्राफिक डेटा को संपीड़ित करने के लिए सूचना सिद्धांत में फ्रैक्टल का उपयोग किया जाता है (यहां, फ्रैक्टल की आत्म-समानता संपत्ति का मुख्य रूप से उपयोग किया जाता है - आखिरकार, एक छोटे से टुकड़े को याद रखने के लिए) एक ड्राइंग और ट्रांसफॉर्मेशन जिसके साथ आप बाकी हिस्सों को प्राप्त कर सकते हैं, यह पूरी फाइल को स्टोर करने की तुलना में बहुत कम मेमोरी लेता है)। फ्रैक्टल को परिभाषित करने वाले फ़ार्मुलों में यादृच्छिक गड़बड़ी जोड़कर, कोई स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल प्राप्त कर सकता है जो बहुत ही वास्तविक रूप से कुछ वास्तविक वस्तुओं को व्यक्त करता है - राहत तत्व, जल निकायों की सतह, कुछ पौधे, जिन्हें प्राप्त करने के लिए भौतिकी, भूगोल और कंप्यूटर ग्राफिक्स में सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है। वास्तविक के साथ नकली वस्तुओं की अधिक समानता। रेडियो इलेक्ट्रॉनिक्स में, पिछले एक दशक में, उन्होंने ऐसे एंटेना का उत्पादन करना शुरू किया, जिनका आकार भग्न होता है। कम जगह लेते हुए, वे काफी उच्च गुणवत्ता वाले सिग्नल रिसेप्शन प्रदान करते हैं। अर्थशास्त्री मुद्रा में उतार-चढ़ाव वक्रों का वर्णन करने के लिए फ्रैक्टल का उपयोग करते हैं (इस संपत्ति की खोज मैंडेलब्रॉट ने 30 साल पहले की थी)। यह भग्न की दुनिया में इस छोटे से भ्रमण का समापन करता है, इसकी सुंदरता और विविधता में अद्भुत है।

विज्ञान में सबसे सरल खोज मानव जीवन को मौलिक रूप से बदल सकती है। आविष्कार किया हुआ टीका लाखों लोगों को बचा सकता है, हथियारों का निर्माण, इसके विपरीत, इन लोगों की जान ले लेता है। हाल ही में (मानव विकास के पैमाने पर) हमने बिजली को "वश में" करना सीखा है - और अब हम बिजली का उपयोग करने वाले इन सभी सुविधाजनक उपकरणों के बिना जीवन की कल्पना नहीं कर सकते हैं। लेकिन ऐसी खोजें भी हैं जिन्हें बहुत कम लोग महत्व देते हैं, हालाँकि वे हमारे जीवन को भी बहुत प्रभावित करते हैं।

इन "अगोचर" खोजों में से एक भग्न है। आपने शायद यह आकर्षक शब्द सुना होगा, लेकिन क्या आप जानते हैं कि इसका क्या मतलब है और इस शब्द में कितनी दिलचस्प बातें छिपी हैं?

प्रत्येक व्यक्ति में स्वाभाविक जिज्ञासा होती है, अपने आसपास की दुनिया के बारे में जानने की इच्छा होती है। और इस आकांक्षा में, एक व्यक्ति निर्णय में तर्क का पालन करने की कोशिश करता है। अपने आस-पास हो रही प्रक्रियाओं का विश्लेषण करते हुए, वह जो हो रहा है उसका तर्क खोजने की कोशिश करता है और कुछ नियमितता का पता लगाता है। ग्रह पर सबसे बड़े दिमाग इस कार्य में व्यस्त हैं। मोटे तौर पर, वैज्ञानिक एक ऐसे पैटर्न की तलाश में हैं जहां यह नहीं होना चाहिए। फिर भी, अराजकता में भी, घटनाओं के बीच संबंध पाया जा सकता है। और यह संबंध एक भग्न है।

हमारी साढ़े चार साल की छोटी बेटी, अब उस अद्भुत उम्र में है जब प्रश्नों की संख्या "क्यों?" वयस्कों के पास जितने उत्तर देने के लिए समय है, उससे कई गुना अधिक। कुछ समय पहले, मेरी बेटी ने जमीन से उठी एक शाखा को देखा, अचानक देखा कि यह शाखा, गांठों और शाखाओं के साथ, अपने आप में एक पेड़ की तरह लग रही थी। और, ज़ाहिर है, सामान्य प्रश्न "क्यों?" का पालन किया, जिसके लिए माता-पिता को एक सरल स्पष्टीकरण की तलाश करनी पड़ी जिसे बच्चा समझ सके।

एक बच्चे द्वारा खोजे गए पूरे पेड़ के साथ एक शाखा की समानता एक बहुत ही सटीक अवलोकन है, जो एक बार फिर प्रकृति में पुनरावर्ती आत्म-समानता के सिद्धांत की गवाही देता है। प्रकृति में बहुत सारे कार्बनिक और अकार्बनिक रूप समान रूप से बनते हैं। बादल, समुद्र के गोले, घोंघे का "घर", पेड़ों की छाल और ताज, संचार प्रणाली, और इसी तरह - इन सभी वस्तुओं के यादृच्छिक आकार को फ्रैक्टल एल्गोरिदम द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

बेनोइट मंडेलब्रॉट: फ्रैक्टल ज्यामिति के जनक

"फ्रैक्टल" शब्द ही शानदार वैज्ञानिक बेनोइट बी मंडेलब्रॉट के लिए धन्यवाद प्रकट हुआ।

उन्होंने 1970 के दशक में लैटिन से फ्रैक्टस शब्द उधार लेते हुए खुद इस शब्द को गढ़ा, जहां इसका शाब्दिक अर्थ "टूटा हुआ" या "कुचल" होता है। यह क्या है? आज, "फ्रैक्टल" शब्द का प्रयोग अक्सर एक संरचना के ग्राफिक प्रतिनिधित्व के लिए किया जाता है जो बड़े पैमाने पर स्वयं के समान होता है।

फ्रैक्टल्स के सिद्धांत के उद्भव के लिए गणितीय आधार बेनोइट मैंडलब्रॉट के जन्म से कई साल पहले रखा गया था, लेकिन यह केवल कंप्यूटिंग उपकरणों के आगमन के साथ ही विकसित हो सका। अपने वैज्ञानिक करियर की शुरुआत में, बेनोइट ने आईबीएम अनुसंधान केंद्र में काम किया। उस समय केंद्र के कर्मचारी दूर-दूर तक डाटा ट्रांसमिशन पर काम कर रहे थे। अनुसंधान के दौरान, वैज्ञानिकों को शोर के हस्तक्षेप से होने वाले बड़े नुकसान की समस्या का सामना करना पड़ा। बेनोइट को एक कठिन और बहुत महत्वपूर्ण कार्य का सामना करना पड़ा - यह समझने के लिए कि सांख्यिकीय पद्धति के अप्रभावी होने पर इलेक्ट्रॉनिक सर्किट में शोर के हस्तक्षेप की घटना का अनुमान कैसे लगाया जाए।

शोर माप के परिणामों को देखते हुए, मैंडलब्रॉट ने एक अजीब पैटर्न पर ध्यान आकर्षित किया - विभिन्न पैमाने पर शोर ग्राफ समान दिखते थे। एक समान पैटर्न देखा गया, चाहे वह एक दिन, एक सप्ताह या एक घंटे के लिए शोर की साजिश हो। यह ग्राफ के पैमाने को बदलने के लायक था, और तस्वीर को हर बार दोहराया गया था।

अपने जीवनकाल के दौरान, बेनोइट मंडेलब्रॉट ने बार-बार कहा कि वह सूत्रों से नहीं निपटते, बल्कि केवल चित्रों के साथ खेलते थे। इस आदमी ने बहुत लाक्षणिक रूप से सोचा, और किसी भी बीजीय समस्या का ज्यामिति के क्षेत्र में अनुवाद किया, जहां, उसके अनुसार, सही उत्तर हमेशा स्पष्ट होता है।

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि यह इतनी समृद्ध स्थानिक कल्पना वाला व्यक्ति था जो फ्रैक्टल ज्यामिति का जनक बना। आखिरकार, फ्रैक्टल के सार की प्राप्ति ठीक तब होती है जब आप चित्र का अध्ययन करना शुरू करते हैं और अजीब भंवर पैटर्न के अर्थ के बारे में सोचते हैं।

भग्न पैटर्न में समान तत्व नहीं होते हैं, लेकिन किसी भी पैमाने पर समानता होती है। इस तरह की छवि को उच्च स्तर के विवरण के साथ मैन्युअल रूप से बनाना पहले असंभव था, इसके लिए बड़ी मात्रा में गणना की आवश्यकता थी। उदाहरण के लिए, फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे जोसेफ लुई फतो ने बेनोइट मैंडलब्रॉट की खोज से सत्तर साल पहले इस सेट का वर्णन किया था। यदि हम आत्म-समानता के सिद्धांतों के बारे में बात करते हैं, तो उनका उल्लेख लाइबनिज़ और जॉर्ज कैंटर के कार्यों में किया गया था।

फ्रैक्टल के पहले चित्रों में से एक मंडेलब्रॉट सेट की एक ग्राफिकल व्याख्या थी, जो गैस्टन मौरिस जूलिया के शोध से पैदा हुई थी।

गैस्टन जूलिया (हमेशा नकाबपोश - WWI की चोट)

इस फ्रांसीसी गणितज्ञ ने सोचा कि एक सेट कैसा दिखेगा यदि इसे फीडबैक लूप द्वारा पुनरावृत्त एक साधारण सूत्र से बनाया गया हो। यदि "उंगलियों पर" समझाया गया है, तो इसका मतलब है कि एक विशिष्ट संख्या के लिए हमें सूत्र का उपयोग करके एक नया मान मिलता है, जिसके बाद हम इसे फिर से सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और दूसरा मान प्राप्त करते हैं। परिणाम संख्याओं का एक बड़ा क्रम है।

इस तरह के एक सेट की पूरी तस्वीर प्राप्त करने के लिए, आपको बड़ी मात्रा में गणना करने की आवश्यकता है - सैकड़ों, हजारों, लाखों। इसे मैन्युअल रूप से करना असंभव था। लेकिन जब गणितज्ञों के पास शक्तिशाली कंप्यूटिंग उपकरण दिखाई दिए, तो वे उन सूत्रों और अभिव्यक्तियों पर नए सिरे से विचार करने में सक्षम थे जो लंबे समय से रुचिकर थे। मैंडलब्रॉट शास्त्रीय फ्रैक्टल की गणना के लिए कंप्यूटर का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे। बड़ी संख्या में मानों वाले अनुक्रम को संसाधित करने के बाद, बेनोइट ने परिणामों को एक ग्राफ़ में स्थानांतरित कर दिया। यहाँ उसे क्या मिला है।

इसके बाद, यह छवि रंगीन हो गई (उदाहरण के लिए, रंग भरने का एक तरीका पुनरावृत्तियों की संख्या है) और मनुष्य द्वारा बनाई गई अब तक की सबसे लोकप्रिय छवियों में से एक बन गई।

जैसा कि इफिसुस के हेराक्लिटस के लिए जिम्मेदार प्राचीन कहावत कहती है, "आप एक ही नदी में दो बार प्रवेश नहीं कर सकते।" यह भग्नों की ज्यामिति की व्याख्या करने के लिए सबसे उपयुक्त है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम भग्न छवि की कितनी विस्तृत जांच करते हैं, हम हमेशा एक समान पैटर्न देखेंगे।

जो लोग यह देखना चाहते हैं कि मंडेलब्रॉट स्पेस की एक छवि कैसी दिखेगी, जब कई बार आवर्धित की जाए तो एक एनिमेटेड GIF अपलोड करके ऐसा कर सकते हैं।

लॉरेन कारपेंटर: प्रकृति द्वारा बनाई गई कला

भग्न के सिद्धांत को जल्द ही व्यावहारिक अनुप्रयोग मिल गया। चूंकि यह स्व-समान छवियों के विज़ुअलाइज़ेशन से निकटता से संबंधित है, इसलिए यह आश्चर्य की बात नहीं है कि असामान्य रूपों के निर्माण के लिए एल्गोरिदम और सिद्धांतों को अपनाने वाले पहले कलाकार थे।

प्रसिद्ध पिक्सर स्टूडियो के भविष्य के सह-संस्थापक, लॉरेन सी. कारपेंटर ने 1967 में बोइंग कंप्यूटर सर्विसेज में काम करना शुरू किया, जो नए विमानों के विकास में लगे प्रसिद्ध निगम के डिवीजनों में से एक था।

1977 में, उन्होंने उड़ान मॉडल के प्रोटोटाइप के साथ प्रस्तुतियाँ बनाईं। लॉरेन डिजाइन किए जा रहे विमान की छवियों को विकसित करने के लिए जिम्मेदार थे। उन्हें विभिन्न कोणों से भविष्य के विमानों को दिखाते हुए नए मॉडलों की तस्वीरें बनानी थीं। कुछ बिंदु पर, पिक्सर एनिमेशन स्टूडियो के भविष्य के संस्थापक ने पृष्ठभूमि के रूप में पहाड़ों की एक छवि का उपयोग करने के लिए रचनात्मक विचार के साथ आया। आज, कोई भी स्कूली बच्चा इस तरह की समस्या को हल कर सकता है, लेकिन पिछली शताब्दी के सत्तर के दशक के अंत में, कंप्यूटर ऐसी जटिल गणनाओं का सामना नहीं कर सके - कोई ग्राफिक संपादक नहीं थे, त्रि-आयामी ग्राफिक्स के लिए अनुप्रयोगों का उल्लेख नहीं करना था। 1978 में, लॉरेन ने गलती से बेनोइट मैंडेलब्रॉट की पुस्तक फ्रैक्टल्स: फॉर्म, रैंडमनेस एंड डायमेंशन को एक स्टोर में देखा। इस पुस्तक में, उनका ध्यान इस तथ्य की ओर खींचा गया कि बेनोइट ने वास्तविक जीवन में भग्न रूपों के बहुत सारे उदाहरण दिए और साबित किया कि उन्हें गणितीय अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

इस सादृश्य को गणितज्ञ ने संयोग से नहीं चुना था। तथ्य यह है कि जैसे ही उन्होंने अपना शोध प्रकाशित किया, उन्हें आलोचनाओं की एक पूरी झड़ी लगानी पड़ी। मुख्य बात यह है कि उनके सहयोगियों ने उन्हें विकसित सिद्धांत की बेकारता के साथ फटकार लगाई थी। "हाँ," उन्होंने कहा, "ये खूबसूरत तस्वीरें हैं, लेकिन इससे ज्यादा कुछ नहीं। भग्न के सिद्धांत का कोई व्यावहारिक मूल्य नहीं है।" ऐसे लोग भी थे जो आम तौर पर मानते थे कि फ्रैक्टल पैटर्न केवल "शैतान मशीनों" के काम का उप-उत्पाद थे, जो सत्तर के दशक के उत्तरार्ध में बहुत जटिल और पूरी तरह से भरोसेमंद होने के लिए अस्पष्ट थे। मैंडलब्रॉट ने भग्न के सिद्धांत का एक स्पष्ट अनुप्रयोग खोजने की कोशिश की, लेकिन, कुल मिलाकर, उन्हें ऐसा करने की आवश्यकता नहीं थी। अगले 25 वर्षों में बेनोइट मंडेलब्रॉट के अनुयायी इस तरह की "गणितीय जिज्ञासा" के लिए बहुत उपयोगी साबित हुए, और लॉरेन कारपेंटर फ्रैक्टल पद्धति को व्यवहार में लाने वाले पहले लोगों में से एक थे।

पुस्तक का अध्ययन करने के बाद, भविष्य के एनिमेटर ने भग्न ज्यामिति के सिद्धांतों का गंभीरता से अध्ययन किया और इसे कंप्यूटर ग्राफिक्स में लागू करने का एक तरीका तलाशना शुरू किया। केवल तीन दिनों के काम में, लॉरेन अपने कंप्यूटर पर पर्वतीय प्रणाली की एक यथार्थवादी छवि की कल्पना करने में सक्षम थी। दूसरे शब्दों में, उन्होंने सूत्रों की मदद से एक पूरी तरह से पहचाने जाने योग्य पहाड़ी परिदृश्य को चित्रित किया।

लॉरेन अपने लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए जिस सिद्धांत का प्रयोग करती थीं, वह बहुत ही सरल था। इसमें एक बड़ी ज्यामितीय आकृति को छोटे तत्वों में विभाजित करना शामिल था, और ये बदले में, समान छोटे आंकड़ों में विभाजित किए गए थे।

बड़े त्रिभुजों का उपयोग करते हुए, बढ़ई ने उन्हें चार छोटे त्रिभुजों में तोड़ दिया और फिर इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराया जब तक कि उनके पास एक यथार्थवादी पहाड़ी परिदृश्य नहीं था। इस प्रकार, वह छवियों के निर्माण के लिए कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल एल्गोरिथम का उपयोग करने वाले पहले कलाकार बनने में सफल रहे। जैसे ही इसे किए गए काम के बारे में पता चला, दुनिया भर के उत्साही लोगों ने इस विचार को उठाया और यथार्थवादी प्राकृतिक रूपों को अनुकरण करने के लिए फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करना शुरू कर दिया।

फ्रैक्टल एल्गोरिथम का उपयोग करने वाले पहले 3D रेंडरिंग में से एक

कुछ ही वर्षों बाद, लॉरेन कारपेंटर अपनी उपलब्धियों को एक बहुत बड़ी परियोजना में लागू करने में सक्षम था। एनिमेटर ने उन्हें दो मिनट के डेमो, वॉल लिब्रे पर आधारित किया, जिसे 1980 में सिग्ग्राफ पर दिखाया गया था। इस वीडियो ने इसे देखने वाले सभी को चौंका दिया और लॉरेन को लुकासफिल्म का निमंत्रण मिला।

एनीमेशन को डिजिटल उपकरण निगम के VAX-11/780 कंप्यूटर पर पांच मेगाहर्ट्ज़ की घड़ी की गति से प्रदान किया गया था, और प्रत्येक फ्रेम को खींचने में लगभग आधे घंटे का समय लगा।

लुकासफिल्म लिमिटेड के लिए काम करते हुए, एनिमेटर ने स्टार ट्रेक गाथा में दूसरी विशेषता के लिए समान 3D परिदृश्य बनाए। खान के क्रोध में, बढ़ई भग्न सतह मॉडलिंग के समान सिद्धांत का उपयोग करके एक संपूर्ण ग्रह बनाने में सक्षम था।

वर्तमान में, 3D परिदृश्य बनाने के लिए सभी लोकप्रिय अनुप्रयोग प्राकृतिक वस्तुओं को उत्पन्न करने के समान सिद्धांत का उपयोग करते हैं। Terragen, Bryce, Vue और अन्य 3D संपादक एक फ्रैक्टल सतह और बनावट मॉडलिंग एल्गोरिथम पर भरोसा करते हैं।

फ्रैक्टल एंटेना: कम बेहतर है, लेकिन बेहतर है

पिछली आधी सदी में, जीवन तेजी से बदल गया है। हम में से अधिकांश लोग आधुनिक तकनीक में हुई प्रगति को हल्के में लेते हैं। वह सब कुछ जो जीवन को और अधिक आरामदायक बनाता है, आपको बहुत जल्दी इसकी आदत हो जाती है। शायद ही कोई सवाल पूछता है "यह कहाँ से आया?" और यह कैसे काम करता है?"। एक माइक्रोवेव ओवन नाश्ते को गर्म करता है - ठीक है, बढ़िया, एक स्मार्टफोन आपको दूसरे व्यक्ति से बात करने की अनुमति देता है - बढ़िया। यह हमारे लिए एक स्पष्ट संभावना की तरह लगता है।

लेकिन जीवन पूरी तरह से अलग हो सकता है यदि कोई व्यक्ति घटित होने वाली घटनाओं के लिए स्पष्टीकरण की तलाश नहीं करता है। उदाहरण के लिए, सेल फोन लें। पहले मॉडल पर वापस लेने योग्य एंटेना याद रखें? उन्होंने हस्तक्षेप किया, डिवाइस का आकार बढ़ाया, अंत में, अक्सर टूट गया। हम मानते हैं कि वे हमेशा के लिए गुमनामी में डूब गए हैं, और आंशिक रूप से इस वजह से ... भग्न।

भग्न चित्र उनके पैटर्न से मोहित करते हैं। वे निश्चित रूप से अंतरिक्ष वस्तुओं की छवियों से मिलते जुलते हैं - नीहारिकाएं, आकाशगंगा समूह, और इसी तरह। इसलिए, यह बिल्कुल स्वाभाविक है कि जब मंडेलब्रॉट ने फ्रैक्टल के अपने सिद्धांत को आवाज दी, तो उनके शोध ने खगोल विज्ञान का अध्ययन करने वालों में रुचि बढ़ाई। बुडापेस्ट में बेनोइट मंडेलब्रॉट के एक व्याख्यान में भाग लेने के बाद नाथन कोहेन नाम का एक ऐसा शौकिया, प्राप्त ज्ञान के व्यावहारिक अनुप्रयोग के विचार से प्रेरित था। सच है, उन्होंने इसे सहज रूप से किया, और मौके ने उनकी खोज में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। एक रेडियो शौकिया के रूप में, नाथन ने उच्चतम संभव संवेदनशीलता के साथ एक एंटीना बनाने की मांग की।

उस समय ज्ञात एंटीना के मापदंडों को सुधारने का एकमात्र तरीका इसके ज्यामितीय आयामों को बढ़ाना था। हालांकि, नाथन के डाउनटाउन बोस्टन अपार्टमेंट के मालिक ने बड़े छत वाले उपकरणों को स्थापित करने का कड़ा विरोध किया था। फिर नाथन ने एंटेना के विभिन्न रूपों के साथ प्रयोग करना शुरू किया, न्यूनतम आकार के साथ अधिकतम परिणाम प्राप्त करने की कोशिश की। भग्न रूपों के विचार के साथ, कोहेन, जैसा कि वे कहते हैं, बेतरतीब ढंग से तार से बाहर सबसे प्रसिद्ध फ्रैक्टल में से एक बना - "कोच स्नोफ्लेक"। स्वीडिश गणितज्ञ हेल्ज वॉन कोच 1904 में इस वक्र के साथ आए थे। यह खंड को तीन भागों में विभाजित करके और इस खंड के साथ मेल खाने वाले पक्ष के बिना एक समबाहु त्रिभुज के साथ मध्य खंड को बदलकर प्राप्त किया जाता है। परिभाषा को समझना थोड़ा मुश्किल है, लेकिन आंकड़ा स्पष्ट और सरल है।

"कोच वक्र" की अन्य किस्में भी हैं, लेकिन वक्र का अनुमानित आकार समान रहता है

जब नाथन ने एंटीना को रेडियो रिसीवर से जोड़ा, तो वह बहुत हैरान हुआ - संवेदनशीलता नाटकीय रूप से बढ़ गई। प्रयोगों की एक श्रृंखला के बाद, बोस्टन विश्वविद्यालय के भविष्य के प्रोफेसर ने महसूस किया कि फ्रैक्टल पैटर्न के अनुसार बनाए गए एंटीना में उच्च दक्षता होती है और शास्त्रीय समाधानों की तुलना में बहुत व्यापक आवृत्ति रेंज शामिल होती है। इसके अलावा, भग्न वक्र के रूप में एंटीना का आकार ज्यामितीय आयामों को काफी कम कर सकता है। नाथन कोहेन ने एक प्रमेय भी विकसित किया जो यह साबित करता है कि ब्रॉडबैंड एंटीना बनाने के लिए, यह एक स्व-समान फ्रैक्टल वक्र का आकार देने के लिए पर्याप्त है।

लेखक ने अपनी खोज का पेटेंट कराया और फ्रैक्टल एंटेना के विकास और डिजाइन के लिए एक फर्म की स्थापना की, फ्रैक्टल एंटीना सिस्टम्स, यह सही मानते हुए कि भविष्य में, उनकी खोज के लिए धन्यवाद, सेल फोन भारी एंटेना से छुटकारा पाने और अधिक कॉम्पैक्ट बनने में सक्षम होंगे।

मूल रूप से यही हुआ। सच है, आज तक, नाथन बड़े निगमों के साथ एक मुकदमे में है जो अवैध रूप से कॉम्पैक्ट संचार उपकरणों के उत्पादन के लिए उसकी खोज का उपयोग करते हैं। कुछ प्रसिद्ध मोबाइल डिवाइस निर्माता, जैसे मोटोरोला, पहले ही फ्रैक्टल एंटीना के आविष्कारक के साथ एक शांति समझौते पर पहुंच चुके हैं।

भग्न आयाम: मन नहीं समझता

बेनोइट ने यह प्रश्न प्रसिद्ध अमेरिकी वैज्ञानिक एडवर्ड कास्नर से लिया था।

बाद वाले, कई अन्य प्रसिद्ध गणितज्ञों की तरह, बच्चों के साथ संवाद करने, उनसे प्रश्न पूछने और अप्रत्याशित उत्तर प्राप्त करने के बहुत शौकीन थे। कभी-कभी इसके आश्चर्यजनक परिणाम सामने आते थे। इसलिए, उदाहरण के लिए, एडवर्ड कास्नर का नौ वर्षीय भतीजा अब प्रसिद्ध शब्द "गूगोल" लेकर आया, जो एक सौ शून्य वाली इकाई को दर्शाता है। लेकिन वापस भग्न के लिए। अमेरिकी गणितज्ञ ने यह पूछना पसंद किया कि अमेरिकी तटरेखा कितनी लंबी है। वार्ताकार की राय सुनने के बाद, एडवर्ड ने स्वयं सही उत्तर बोला। यदि आप मानचित्र पर टूटे हुए खंडों के साथ लंबाई को मापते हैं, तो परिणाम गलत होगा, क्योंकि समुद्र तट में बड़ी संख्या में अनियमितताएं हैं। और यदि आप यथासंभव सटीक माप करते हैं तो क्या होगा? आपको प्रत्येक असमानता की लंबाई को ध्यान में रखना होगा - आपको प्रत्येक केप, प्रत्येक खाड़ी, चट्टान, एक चट्टानी कगार की लंबाई, उस पर एक पत्थर, रेत का एक कण, एक परमाणु, और इसी तरह मापने की आवश्यकता होगी। चूंकि अनियमितताओं की संख्या अनंत तक जाती है, समुद्र तट की मापी गई लंबाई प्रत्येक नई अनियमितता के साथ अनंत तक बढ़ जाएगी।

मापते समय माप जितना छोटा होगा, मापी गई लंबाई उतनी ही अधिक होगी

दिलचस्प बात यह है कि एडवर्ड के संकेतों का पालन करते हुए, बच्चे सही उत्तर कहने में वयस्कों की तुलना में बहुत तेज थे, जबकि बाद वाले को इस तरह के अविश्वसनीय उत्तर को स्वीकार करने में परेशानी हुई।

एक उदाहरण के रूप में इस समस्या का उपयोग करते हुए, मैंडलब्रॉट ने माप के लिए एक नए दृष्टिकोण का उपयोग करने का सुझाव दिया। चूंकि समुद्र तट एक फ्रैक्टल वक्र के करीब है, इसका मतलब है कि एक विशेषता पैरामीटर, तथाकथित फ्रैक्टल आयाम, उस पर लागू किया जा सकता है।

सामान्य आयाम क्या है यह किसी के लिए भी स्पष्ट है। यदि आयाम एक के बराबर है, तो हमें एक सीधी रेखा मिलती है, यदि दो - एक सपाट आकृति, तीन - आयतन। हालांकि, गणित में आयाम की ऐसी समझ फ्रैक्टल कर्व्स के साथ काम नहीं करती है, जहां इस पैरामीटर का एक भिन्नात्मक मान होता है। गणित में भग्न आयाम को सशर्त रूप से "खुरदरापन" माना जा सकता है। वक्र का खुरदरापन जितना अधिक होगा, उसका भग्न आयाम उतना ही अधिक होगा। मैंडेलब्रॉट के अनुसार, एक वक्र, जिसका फ्रैक्टल आयाम अपने टोपोलॉजिकल आयाम से अधिक होता है, की अनुमानित लंबाई होती है जो आयामों की संख्या पर निर्भर नहीं करती है।

वर्तमान में, वैज्ञानिक भग्न सिद्धांत के अनुप्रयोग के लिए अधिक से अधिक क्षेत्रों की खोज कर रहे हैं। फ्रैक्टल्स की मदद से, आप स्टॉक की कीमतों में उतार-चढ़ाव का विश्लेषण कर सकते हैं, सभी प्रकार की प्राकृतिक प्रक्रियाओं का पता लगा सकते हैं, जैसे प्रजातियों की संख्या में उतार-चढ़ाव, या प्रवाह की गतिशीलता का अनुकरण कर सकते हैं। डेटा संपीड़न के लिए फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए छवि संपीड़न के लिए। और वैसे, आपके कंप्यूटर स्क्रीन पर एक सुंदर फ्रैक्टल प्राप्त करने के लिए, आपके पास डॉक्टरेट की डिग्री होने की आवश्यकता नहीं है।

ब्राउज़र में फ्रैक्टल

शायद फ्रैक्टल पैटर्न प्राप्त करने के सबसे आसान तरीकों में से एक युवा प्रतिभाशाली प्रोग्रामर टोबी स्कैचमैन के ऑनलाइन वेक्टर संपादक का उपयोग करना है। इस सरल ग्राफिक्स संपादक का टूलकिट स्व-समानता के समान सिद्धांत पर आधारित है।

आपके निपटान में केवल दो सरल आकृतियाँ हैं - एक वर्ग और एक वृत्त। आप उन्हें कैनवास में जोड़ सकते हैं, स्केल (कुल्हाड़ियों में से किसी एक के साथ स्केल करने के लिए, Shift कुंजी दबाए रखें) और घुमाएं। बूलियन जोड़ संचालन के सिद्धांत पर ओवरलैपिंग, ये सरल तत्व नए, कम तुच्छ रूप बनाते हैं। इसके अलावा, इन नए रूपों को परियोजना में जोड़ा जा सकता है, और कार्यक्रम इन छवियों की पीढ़ी को अनिश्चित काल तक दोहराएगा। फ्रैक्टल पर काम करने के किसी भी स्तर पर, आप जटिल आकार के किसी भी घटक पर वापस लौट सकते हैं और उसकी स्थिति और ज्यामिति को संपादित कर सकते हैं। यह बहुत मजेदार है, खासकर जब आप समझते हैं कि केवल एक उपकरण जो आपको रचनात्मक होने की आवश्यकता है वह एक ब्राउज़र है। यदि आप इस पुनरावर्ती वेक्टर संपादक के साथ काम करने के सिद्धांत को नहीं समझते हैं, तो हम आपको परियोजना की आधिकारिक वेबसाइट पर वीडियो देखने की सलाह देते हैं, जो फ्रैक्टल बनाने की पूरी प्रक्रिया को विस्तार से दिखाता है।

XaoS: हर स्वाद के लिए भग्न

कई ग्राफिक संपादकों में फ्रैक्टल पैटर्न बनाने के लिए अंतर्निहित टूल होते हैं। हालांकि, ये उपकरण आमतौर पर द्वितीयक होते हैं और आपको उत्पन्न फ्रैक्टल पैटर्न को ठीक करने की अनुमति नहीं देते हैं। ऐसे मामलों में जहां गणितीय रूप से सटीक फ्रैक्टल बनाना आवश्यक है, XaoS क्रॉस-प्लेटफ़ॉर्म संपादक बचाव में आएगा। यह कार्यक्रम न केवल एक समान छवि बनाने के लिए संभव बनाता है, बल्कि इसके साथ विभिन्न जोड़तोड़ भी करता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक समय में, आप फ्रैक्टल के पैमाने को बदलकर "चल" सकते हैं। फ्रैक्टल के साथ एनिमेटेड आंदोलन को XAF फ़ाइल के रूप में सहेजा जा सकता है और फिर प्रोग्राम में ही वापस चलाया जा सकता है।

XaoS मापदंडों का एक यादृच्छिक सेट लोड कर सकता है, साथ ही विभिन्न छवि पोस्ट-प्रोसेसिंग फिल्टर का उपयोग कर सकता है - एक धुंधला गति प्रभाव जोड़ें, भग्न बिंदुओं के बीच तेज संक्रमण को सुचारू करें, एक 3D छवि का अनुकरण करें, और इसी तरह।

फ्रैक्टल जूमर: कॉम्पैक्ट फ्रैक्टल जनरेटर

अन्य भग्न छवि जनरेटर की तुलना में, इसके कई फायदे हैं। सबसे पहले, यह आकार में काफी छोटा है और इसे स्थापना की आवश्यकता नहीं है। दूसरे, यह चित्र के रंग पैलेट को परिभाषित करने की क्षमता को लागू करता है। आप RGB, CMYK, HVS और HSL कलर मॉडल में शेड्स चुन सकते हैं।

रंग रंगों के यादृच्छिक चयन और चित्र में सभी रंगों को उलटने के कार्य के विकल्प का उपयोग करना भी बहुत सुविधाजनक है। रंग को समायोजित करने के लिए, रंगों के चक्रीय चयन का एक कार्य होता है - जब संबंधित मोड चालू होता है, तो प्रोग्राम छवि को एनिमेट करता है, उस पर चक्रीय रूप से रंग बदलता है।

फ्रैक्टल जूमर 85 विभिन्न फ्रैक्टल कार्यों की कल्पना कर सकता है, और कार्यक्रम मेनू में सूत्र स्पष्ट रूप से दिखाए जाते हैं। कार्यक्रम में पोस्ट-प्रोसेसिंग छवियों के लिए फिल्टर हैं, हालांकि थोड़ी मात्रा में। प्रत्येक असाइन किए गए फ़िल्टर को किसी भी समय रद्द किया जा सकता है।

⇡ मंडेलबुलब3डी: 3डी भग्न संपादक

जब "फ्रैक्टल" शब्द का उपयोग किया जाता है, तो इसका अर्थ अक्सर एक सपाट द्वि-आयामी छवि होता है। हालांकि, फ्रैक्टल ज्यामिति 2डी आयाम से आगे जाती है। प्रकृति में, फ्लैट फ्रैक्टल रूपों के दोनों उदाहरण, जैसे, बिजली की ज्यामिति, और त्रि-आयामी त्रि-आयामी आंकड़े मिल सकते हैं। फ्रैक्टल सतहें 3डी हो सकती हैं, और रोजमर्रा की जिंदगी में 3डी फ्रैक्टल्स का एक बहुत ही ग्राफिक चित्रण गोभी का सिर है। शायद रोमनेस्को में भग्न देखने का सबसे अच्छा तरीका फूलगोभी और ब्रोकोली का एक संकर है।

और इस भग्न को खाया जा सकता है

Mandelbulb3D प्रोग्राम समान आकार के साथ त्रि-आयामी ऑब्जेक्ट बना सकता है। फ्रैक्टल एल्गोरिथम का उपयोग करके एक 3डी सतह प्राप्त करने के लिए, इस एप्लिकेशन के लेखक, डैनियल व्हाइट और पॉल नाइलैंडर ने मैंडेलब्रॉट सेट को गोलाकार निर्देशांक में बदल दिया। उनके द्वारा बनाया गया Mandelbulb3D प्रोग्राम एक वास्तविक त्रि-आयामी संपादक है जो विभिन्न आकृतियों के फ्रैक्टल सतहों को मॉडल करता है। चूंकि हम अक्सर प्रकृति में फ्रैक्टल पैटर्न देखते हैं, कृत्रिम रूप से निर्मित फ्रैक्टल त्रि-आयामी वस्तु अविश्वसनीय रूप से यथार्थवादी और यहां तक ​​​​कि "जीवित" भी लगती है।

यह एक पौधे की तरह लग सकता है, यह एक अजीब जानवर, ग्रह या कुछ और जैसा हो सकता है। यह प्रभाव एक उन्नत प्रतिपादन एल्गोरिथ्म द्वारा बढ़ाया जाता है जो यथार्थवादी प्रतिबिंब प्राप्त करना, पारदर्शिता और छाया की गणना करना, क्षेत्र की गहराई के प्रभाव का अनुकरण करना आदि संभव बनाता है। Mandelbulb3D में बड़ी मात्रा में सेटिंग्स और रेंडरिंग विकल्प हैं। आप प्रकाश स्रोतों के रंगों को नियंत्रित कर सकते हैं, मॉडल की गई वस्तु की पृष्ठभूमि और विवरण का स्तर चुन सकते हैं।

इंसेडिया फ्रैक्टल एडिटर डबल इमेज स्मूथिंग का समर्थन करता है, इसमें पचास अलग-अलग त्रि-आयामी फ्रैक्टल का पुस्तकालय होता है और मूल आकृतियों को संपादित करने के लिए एक अलग मॉड्यूल होता है।

एप्लिकेशन फ्रैक्टल स्क्रिप्टिंग का उपयोग करता है, जिसके साथ आप स्वतंत्र रूप से नए प्रकार के फ्रैक्टल संरचनाओं का वर्णन कर सकते हैं। इंसेडिया में बनावट और सामग्री संपादक हैं, और एक प्रतिपादन इंजन है जो आपको वॉल्यूमेट्रिक कोहरे प्रभाव और विभिन्न शेडर्स का उपयोग करने की अनुमति देता है। कार्यक्रम में लंबी अवधि के प्रतिपादन के दौरान बफर को बचाने का विकल्प है, एनीमेशन निर्माण समर्थित है।

Incendia आपको लोकप्रिय 3D ग्राफ़िक्स प्रारूपों - OBJ और STL में फ्रैक्टल मॉडल निर्यात करने की अनुमति देता है। इंसेडिया में एक छोटी जियोमेट्रिक उपयोगिता शामिल है - एक फ्रैक्टल सतह के निर्यात को त्रि-आयामी मॉडल में स्थापित करने के लिए एक विशेष उपकरण। इस उपयोगिता का उपयोग करके, आप एक 3D सतह का रिज़ॉल्यूशन निर्धारित कर सकते हैं, भग्न पुनरावृत्तियों की संख्या निर्दिष्ट कर सकते हैं। 3D संपादकों जैसे ब्लेंडर, 3ds मैक्स और अन्य के साथ काम करते समय निर्यात किए गए मॉडल का उपयोग 3D प्रोजेक्ट में किया जा सकता है।

हाल ही में, Incindia परियोजना पर काम कुछ हद तक धीमा हो गया है। फिलहाल, लेखक प्रायोजकों की तलाश में है जो उसे कार्यक्रम विकसित करने में मदद करेंगे।

यदि आपके पास इस कार्यक्रम में एक सुंदर त्रि-आयामी भग्न खींचने के लिए पर्याप्त कल्पना नहीं है, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। पैरामीटर लाइब्रेरी का उपयोग करें, जो INCENDIA_EX\parameters फ़ोल्डर में स्थित है। PAR फाइलों की मदद से, आप एनिमेटेड सहित सबसे असामान्य भग्न आकृतियों को जल्दी से ढूंढ सकते हैं।

कर्ण: भग्न कैसे गाते हैं

हम आमतौर पर उन परियोजनाओं के बारे में बात नहीं करते हैं जिन पर अभी काम किया जा रहा है, लेकिन इस मामले में हमें एक अपवाद बनाना होगा, यह एक बहुत ही असामान्य अनुप्रयोग है। ऑरल नामक एक परियोजना उसी व्यक्ति के साथ आई, जो इंसेडिया थी। सच है, इस बार कार्यक्रम फ्रैक्टल सेट की कल्पना नहीं करता है, लेकिन इसे आवाज देता है, इसे इलेक्ट्रॉनिक संगीत में बदल देता है। विचार बहुत दिलचस्प है, विशेष रूप से फ्रैक्टल के असामान्य गुणों को देखते हुए। ऑरल एक ऑडियो एडिटर है जो फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करके धुन तैयार करता है, यानी वास्तव में, यह एक ऑडियो सिंथेसाइज़र-सीक्वेंसर है।

इस कार्यक्रम द्वारा दी गई ध्वनियों का क्रम असामान्य और...सुंदर है। यह आधुनिक लय लिखने के काम आ सकता है और, हमारी राय में, टेलीविजन और रेडियो कार्यक्रमों के परिचय के लिए साउंडट्रैक बनाने के साथ-साथ कंप्यूटर गेम के लिए पृष्ठभूमि संगीत के "लूप" के लिए विशेष रूप से उपयुक्त है। रामिरो ने अभी तक अपने कार्यक्रम का डेमो उपलब्ध नहीं कराया है, लेकिन वादा किया है कि जब वह करता है, तो ऑरल के साथ काम करने के लिए, उसे फ्रैक्टल्स के सिद्धांत को सीखने की आवश्यकता नहीं होगी - बस नोट्स का एक क्रम बनाने के लिए एल्गोरिथम के मापदंडों के साथ खेलें। . सुनें कि भग्न कैसे ध्वनि करते हैं, और।

भग्न: संगीत विराम

वास्तव में, फ्रैक्टल्स बिना सॉफ्टवेयर के भी संगीत लिखने में मदद कर सकते हैं। लेकिन यह केवल वही कर सकता है जो वास्तव में प्राकृतिक सद्भाव के विचार से ओतप्रोत है और साथ ही एक दुर्भाग्यपूर्ण "बेवकूफ" में नहीं बदल गया है। जोनाथन कूल्टन नाम के एक संगीतकार से प्रेरणा लेना समझ में आता है, जो अन्य बातों के अलावा, पॉपुलर साइंस पत्रिका के लिए रचनाएँ लिखते हैं। और अन्य कलाकारों के विपरीत, कोल्टन अपने सभी कार्यों को एक क्रिएटिव कॉमन्स एट्रिब्यूशन-गैर-वाणिज्यिक लाइसेंस के तहत प्रकाशित करता है, जो (जब गैर-व्यावसायिक उद्देश्यों के लिए उपयोग किया जाता है) मुफ्त प्रतिलिपि, वितरण, दूसरों को काम के हस्तांतरण के साथ-साथ इसके संशोधन (निर्माण) के लिए प्रदान करता है। व्युत्पन्न कार्यों का) इसे अपनी आवश्यकताओं के अनुकूल बनाने के लिए।

जोनाथन कोल्टन, निश्चित रूप से, फ्रैक्टल के बारे में एक गीत है।

⇡ निष्कर्ष

हमारे आस-पास की हर चीज में हम अक्सर अराजकता देखते हैं, लेकिन वास्तव में यह कोई दुर्घटना नहीं है, बल्कि एक आदर्श रूप है, जो फ्रैक्टल हमें समझने में मदद करता है। प्रकृति सर्वश्रेष्ठ वास्तुकार, आदर्श निर्माता और इंजीनियर है। यह बहुत तार्किक रूप से व्यवस्थित है, और यदि कहीं हमें पैटर्न दिखाई नहीं देता है, तो इसका मतलब है कि हमें इसे एक अलग पैमाने पर देखने की जरूरत है। प्राकृतिक रूपों की कई तरह से नकल करने की कोशिश करते हुए लोग इसे बेहतर और बेहतर समझते हैं। इंजीनियर एक शेल के रूप में स्पीकर सिस्टम डिजाइन करते हैं, स्नोफ्लेक ज्यामिति के साथ एंटेना बनाते हैं, और इसी तरह। हमें यकीन है कि भग्न अभी भी बहुत सारे रहस्य रखते हैं, और उनमें से कई अभी तक मनुष्य द्वारा खोजे नहीं गए हैं।

जैसा कि हाल के दशकों में (स्व-संगठन के सिद्धांत के विकास के संबंध में) स्पष्ट हो गया है, वस्तुओं और घटनाओं की एक विस्तृत विविधता में आत्म-समानता होती है। उदाहरण के लिए, आर्थिक प्रणालियों के विकास में, पर्वतीय प्रणालियों, बादलों की संरचना में, एक निषेचित युग्मनज, बर्फ के टुकड़े, बर्फ के क्रिस्टल के विभाजन में पेड़ों और झाड़ियों की शाखाओं में आत्म-समानता देखी जा सकती है।

सभी सूचीबद्ध वस्तुएं और उनकी संरचना में उनके समान अन्य फ्रैक्टल हैं। यही है, उनके पास आत्म-समानता, या स्केल इनवेरिएंस के गुण हैं। और इसका मतलब यह है कि उनकी संरचना के कुछ टुकड़े निश्चित स्थानिक अंतराल पर सख्ती से दोहराए जाते हैं। जाहिर है, ये वस्तुएं किसी भी प्रकृति की हो सकती हैं, और इनका स्वरूप और आकार पैमाने की परवाह किए बिना अपरिवर्तित रहता है। प्रकृति और समाज दोनों में, आत्म-पुनरावृत्ति पर्याप्त रूप से बड़े पैमाने पर होती है। तो, बादल अपनी फटी हुई संरचना को 10 4 मीटर (10 किमी) से 10 -4 मीटर (0.1 मिमी) तक दोहराता है। पेड़ों में 10 -2 से 10 2 मीटर तक शाखाएं दोहराई जाती हैं। दरारें उत्पन्न करने वाली ढहने वाली सामग्री भी कई पैमानों पर अपनी आत्म-समानता दोहराती है। हाथ पर पड़ने वाली बर्फ पिघल जाती है। पिघलने की अवधि के दौरान, एक चरण से दूसरे चरण में संक्रमण, स्नोफ्लेक-ड्रॉप भी एक भग्न है।

एक फ्रैक्टल अनंत जटिलता की वस्तु है, जिससे आप दूर से कम विवरण नहीं देख सकते हैं। इसका उत्कृष्ट उदाहरण पृथ्वी है। अंतरिक्ष से देखने पर यह गेंद जैसा दिखता है। इसके करीब पहुंचने पर हमें महासागर, महाद्वीप, तट और पर्वत श्रृंखलाएं मिलेंगी। बाद में, छोटे विवरण दिखाई देंगे: पहाड़ की सतह पर भूमि का एक टुकड़ा, पहाड़ जितना ही जटिल और असमान। तब मिट्टी के छोटे-छोटे कण दिखाई देंगे, जिनमें से प्रत्येक अपने आप में एक भग्न वस्तु है।

एक फ्रैक्टल एक गैर-रेखीय संरचना है जो आत्म-समानता को बरकरार रखता है क्योंकि यह असीम रूप से ऊपर या नीचे होता है। केवल छोटी लंबाई में ही अरैखिकता रैखिकता में बदल जाती है। यह विभेदीकरण की गणितीय प्रक्रिया में विशेष रूप से स्पष्ट है।

इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि मॉडल के रूप में फ्रैक्टल का उपयोग तब किया जाता है जब वास्तविक वस्तु को शास्त्रीय मॉडल के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। और इसका मतलब है कि हम गैर-रैखिक संबंधों और डेटा की गैर-नियतात्मक प्रकृति से निपट रहे हैं। वैचारिक अर्थों में गैर-रैखिकता का अर्थ है विकास पथों की बहुभिन्नता, वैकल्पिक रास्तों में से एक विकल्प की उपलब्धता और विकास की एक निश्चित गति, साथ ही विकासवादी प्रक्रियाओं की अपरिवर्तनीयता। गणितीय अर्थ में, गैर-रैखिकता एक निश्चित प्रकार के गणितीय समीकरण (गैर-रैखिक अंतर समीकरण) है जिसमें एक से अधिक शक्तियों में वांछित मात्राएं होती हैं या गुणांक जो माध्यम के गुणों पर निर्भर करते हैं। यही है, जब हम शास्त्रीय मॉडल (उदाहरण के लिए, प्रवृत्ति, प्रतिगमन, आदि) लागू करते हैं, तो हम कहते हैं कि किसी वस्तु का भविष्य विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है। और हम वस्तु के अतीत (मॉडलिंग के लिए प्रारंभिक डेटा) को जानकर इसका अनुमान लगा सकते हैं। और फ्रैक्टल का उपयोग उस स्थिति में किया जाता है जब वस्तु के पास विकास के लिए कई विकल्प होते हैं और सिस्टम की स्थिति उस स्थिति से निर्धारित होती है जिसमें वह वर्तमान में स्थित है। यानी हम एक अराजक विकास का अनुकरण करने की कोशिश कर रहे हैं।

जब वे एक निश्चित प्रणाली के नियतत्ववाद के बारे में बात करते हैं, तो उनका मतलब है कि इसका व्यवहार एक स्पष्ट कारण संबंध की विशेषता है। अर्थात्, प्रारंभिक स्थितियों और प्रणाली की गति के नियम को जानकर, इसके भविष्य की सटीक भविष्यवाणी करना संभव है। यह ब्रह्मांड में गति का यह विचार है जो शास्त्रीय, न्यूटनियन गतिकी की विशेषता है। अराजकता, इसके विपरीत, एक अराजक, यादृच्छिक प्रक्रिया का अर्थ है, जब घटनाओं के पाठ्यक्रम की न तो भविष्यवाणी की जा सकती है और न ही पुन: पेश की जा सकती है।

अराजकता एक गैर-रेखीय प्रणाली की आंतरिक गतिशीलता द्वारा उत्पन्न होती है - इसकी संपत्ति तेजी से तेजी से मनमाने ढंग से बंद प्रक्षेपवक्र को अलग करती है। नतीजतन, प्रक्षेपवक्र का आकार प्रारंभिक स्थितियों पर बहुत दृढ़ता से निर्भर करता है। सिस्टम का अध्ययन करते समय, पहली नज़र में, अराजक रूप से विकसित होते हैं, वे अक्सर फ्रैक्टल के सिद्धांत का उपयोग करते हैं, क्योंकि यह दृष्टिकोण है जो सिस्टम के विकास में "यादृच्छिक" विचलन की घटना में एक निश्चित नियमितता को देखना संभव बनाता है।

प्राकृतिक भग्न संरचनाओं का अध्ययन हमें स्व-संगठन और गैर-रेखीय प्रणालियों के विकास की प्रक्रियाओं को बेहतर ढंग से समझने का अवसर देता है। हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि हमारे चारों ओर सबसे विविध, घुमावदार रेखाओं के प्राकृतिक भग्न पाए जाते हैं। यह समुद्र का किनारा, पेड़, बादल, बिजली का निर्वहन, धातु संरचना, मानव तंत्रिका या संवहनी तंत्र है। ये जटिल रेखाएँ और खुरदरी सतहें वैज्ञानिक अनुसंधान के ध्यान में आईं क्योंकि प्रकृति ने हमें आदर्श ज्यामितीय प्रणालियों की तुलना में जटिलता का एक पूरी तरह से अलग स्तर दिखाया। अध्ययन के तहत संरचनाएं अनुपात-लौकिक संबंध में स्व-समान निकलीं। उन्होंने अंतहीन रूप से आत्म-प्रतिकृति की और लंबाई और समय के विभिन्न पैमानों पर खुद को दोहराया। कोई भी गैर-रेखीय प्रक्रिया अंततः एक कांटा की ओर ले जाती है। इस मामले में प्रणाली, शाखा बिंदु पर, एक या दूसरा रास्ता चुनती है। प्रणाली के विकास का प्रक्षेपवक्र एक भग्न, यानी एक टूटी हुई रेखा की तरह दिखेगा, जिसके आकार को एक शाखाबद्ध, जटिल पथ के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसका अपना तर्क और पैटर्न है।

एक प्रणाली की शाखाओं की तुलना एक पेड़ की शाखा से की जा सकती है, जहां प्रत्येक शाखा पूरे सिस्टम के एक तिहाई से मेल खाती है। ब्रांचिंग एक रैखिक संरचना को त्रि-आयामी स्थान भरने की अनुमति देता है, या, अधिक सटीक रूप से: एक फ्रैक्टल संरचना विभिन्न रिक्त स्थान का समन्वय करती है। एक भग्न विकसित हो सकता है, आसपास के स्थान को भर सकता है, जैसे कि एक क्रिस्टल एक सुपरसैचुरेटेड घोल में बढ़ता है। इस मामले में, शाखाओं की प्रकृति संयोग से नहीं, बल्कि एक निश्चित पैटर्न से जुड़ी होगी।

मानव जीवन के संगठन के उच्च स्तर पर, उदाहरण के लिए, सामूहिक या टीम के स्व-संगठन के स्तर पर, भग्न संरचना अन्य स्तरों पर भी इसी तरह दोहराती है। नेटवर्क और रूपों का स्व-संगठन सूक्ष्म स्तर से मैक्रो स्तर तक चलता है। सामूहिक रूप से, वे एक समग्र एकता का प्रतिनिधित्व करते हैं, जहां कोई भी पूरे हिस्से का न्याय कर सकता है। इस पाठ्यक्रम में, उदाहरण के रूप में, सामाजिक प्रक्रियाओं के भग्न गुणों पर विचार किया जाता है, जो भग्न के सिद्धांत की सार्वभौमिकता और विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों के प्रति इसकी निष्ठा को इंगित करता है।

यह निष्कर्ष निकाला गया है कि भग्न विभिन्न आयामों और प्रकृति के रिक्त स्थान की संगठित बातचीत का एक तरीका है। यह उपरोक्त में जोड़ा जाना चाहिए कि न केवल स्थानिक, बल्कि अस्थायी भी। तब मानव मस्तिष्क और तंत्रिका नेटवर्क भी एक भग्न संरचना होगी।

प्रकृति भग्न रूपों की बहुत शौकीन है। एक भग्न वस्तु में एक विशाल, दुर्लभ संरचना होती है। बढ़ती आवर्धन के साथ ऐसी वस्तुओं को देखने पर, कोई यह देख सकता है कि वे एक पैटर्न प्रदर्शित करते हैं जो विभिन्न स्तरों पर दोहराता है। हम पहले ही कह चुके हैं कि एक भग्न वस्तु बिल्कुल एक जैसी दिख सकती है, भले ही हम इसे मीटर, मिलीमीटर या माइक्रोन (मीटर स्केल का 1:1,000,000) में देखें। भग्न वस्तुओं की समरूपता की संपत्ति पैमाने के संबंध में अपरिवर्तनीय रूप से प्रकट होती है। फ्रैक्टल्स स्ट्रेचिंग या रिस्केलिंग के केंद्र के बारे में सममित होते हैं, जैसे गोल शरीर रोटेशन की धुरी के बारे में सममित होते हैं।

नॉनलाइनियर डायनामिक्स की एक पसंदीदा छवि फ्रैक्टल संरचनाएं हैं, जिसमें, पैमाने में बदलाव के साथ, विवरण उसी नियम के अनुसार बनाया गया है। वास्तविक जीवन में, इस सिद्धांत का कार्यान्वयन थोड़े बदलाव के साथ संभव है। उदाहरण के लिए, भौतिकी में, जब स्तर से स्तर तक (परमाणु प्रक्रियाओं से परमाणु, परमाणु से प्राथमिक कणों तक), नियमितता, मॉडल और विवरण के तरीके बदल जाते हैं। जीव विज्ञान (किसी जीव, ऊतक, कोशिका आदि की जनसंख्या का स्तर) में हम एक ही चीज देखते हैं। सहक्रिया विज्ञान का भविष्य इस बात पर निर्भर करता है कि गैर-रेखीय विज्ञान इस संरचनात्मक विषमता का वर्णन करने में किस हद तक मदद कर पाएगा और विभिन्न "इंटरलेवल" घटनाएं। वर्तमान में, अधिकांश वैज्ञानिक विषयों में विश्वसनीय भग्न वैचारिक मॉडल नहीं हैं।

आज, किसी विशेष विज्ञान - भौतिकी, समाजशास्त्र, मनोविज्ञान, भाषा विज्ञान, आदि में भग्न सिद्धांत के ढांचे के भीतर विकास किया जाता है। तब समाज, और सामाजिक संस्थाएं, और भाषा, और यहां तक ​​कि विचार भी भग्न हैं।

भग्न की अवधारणा के आसपास वैज्ञानिकों और दार्शनिकों के बीच हाल के वर्षों में हुई चर्चाओं में, सबसे विवादास्पद प्रश्न निम्नलिखित है: क्या भग्न की सार्वभौमिकता के बारे में बात करना संभव है, कि प्रकृति की प्रत्येक वस्तु में एक भग्न होता है या एक के माध्यम से जाता है भग्न चरण? वैज्ञानिकों के दो समूह हैं जो इस प्रश्न का ठीक विपरीत उत्तर देते हैं। पहला समूह ("रेडिकल्स", इनोवेटर्स) फ्रैक्टल्स की सार्वभौमिकता के बारे में थीसिस का समर्थन करता है। दूसरा समूह ("रूढ़िवादी") इस थीसिस से इनकार करता है, लेकिन फिर भी दावा करता है कि प्रकृति की हर वस्तु में फ्रैक्टल नहीं होता है, लेकिन प्रकृति के हर क्षेत्र में एक फ्रैक्टल पाया जा सकता है।

आधुनिक विज्ञान ने ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों के लिए फ्रैक्टल के सिद्धांत को सफलतापूर्वक अनुकूलित किया है। इसलिए, अर्थशास्त्र में, फ्रैक्टल्स के सिद्धांत का उपयोग वित्तीय बाजारों के तकनीकी विश्लेषण में किया जाता है जो दुनिया के विकसित देशों में सौ से अधिक वर्षों से मौजूद हैं। पहली बार शेयरों की कीमत के आगे के व्यवहार की भविष्यवाणी करने का अवसर, यदि कुछ हाल की अवधि के लिए इसकी दिशा ज्ञात है, सी. डॉव द्वारा नोट किया गया था। 1990 के दशक में, कई लेख प्रकाशित करने के बाद, डॉव ने देखा कि स्टॉक की कीमतें चक्रीय उतार-चढ़ाव के अधीन थीं: एक लंबी वृद्धि के बाद, एक लंबी गिरावट आती है, फिर फिर से वृद्धि और गिरावट होती है।

20वीं सदी के मध्य में, जब पूरा वैज्ञानिक जगत भग्न के नए उभरते सिद्धांत पर मोहित हो गया, एक अन्य प्रसिद्ध अमेरिकी फाइनेंसर, आर. इलियट ने स्टॉक मूल्य व्यवहार के अपने सिद्धांत का प्रस्ताव रखा, जो फ्रैक्टल के उपयोग पर आधारित था। लिखित। इलियट इस तथ्य से आगे बढ़े कि फ्रैक्टल की ज्यामिति न केवल वन्यजीवों में होती है, बल्कि सामाजिक प्रक्रियाओं में भी होती है। उन्होंने स्टॉक एक्सचेंज पर शेयरों के व्यापार के लिए सामाजिक प्रक्रियाओं को भी जिम्मेदार ठहराया।

सिद्धांत का आधार तथाकथित तरंग आरेख है। यह सिद्धांत मूल्य प्रवृत्ति के आगे के व्यवहार की भविष्यवाणी करना संभव बनाता है, इसके व्यवहार के इतिहास के ज्ञान के आधार पर और बड़े पैमाने पर मनोवैज्ञानिक व्यवहार के विकास के नियमों का पालन करता है।

फ्रैक्टल्स के सिद्धांत ने जीव विज्ञान में भी आवेदन पाया है। कई, यदि सभी नहीं, तो पौधों, जानवरों और मनुष्यों की जैविक संरचनाओं और प्रणालियों में एक भग्न प्रकृति होती है, इसमें कुछ समानता होती है: तंत्रिका तंत्र, फेफड़े की प्रणाली, संचार और लसीका प्रणाली, आदि। साक्ष्य सामने आया है कि एक घातक ट्यूमर का विकास भी फ्रैक्टल सिद्धांत के अनुसार होता है। आत्म-आत्मीयता के सिद्धांत और भग्न की एकरूपता को ध्यान में रखते हुए, जैविक दुनिया के विकास की कई जटिल समस्याओं को समझाया जा सकता है। भग्न वस्तुओं को भी पूरकता की अभिव्यक्ति के रूप में इस तरह की विशेषता की विशेषता है। जैव रसायन में पूरकता दो मैक्रोमोलेक्यूल्स की रासायनिक संरचना में पारस्परिक पत्राचार है, जो उनकी बातचीत को सुनिश्चित करता है - डीएनए के दो स्ट्रैंड्स की जोड़ी, एक सब्सट्रेट के साथ एक एंजाइम का कनेक्शन, एक एंटीबॉडी के साथ एक एंटीजन। पूरक संरचनाएं ताले की चाबी की तरह एक साथ फिट होती हैं (सिरिल और मेथोडियस का विश्वकोश)। यह संपत्ति डीएनए पॉलीन्यूक्लियोटाइड श्रृंखलाओं के पास है।

फ्रैक्टल के सबसे शक्तिशाली अनुप्रयोगों में से एक कंप्यूटर ग्राफिक्स में निहित है। सबसे पहले, यह छवियों का एक फ्रैक्टल संपीड़न है, और दूसरा, परिदृश्य, पेड़, पौधे और फ्रैक्टल बनावट की पीढ़ी का निर्माण। उसी समय, संपीड़न के लिए, सूचना की रिकॉर्डिंग के लिए, भग्न में एक स्व-समान वृद्धि आवश्यक है, और इसके पढ़ने के लिए, क्रमशः एक समान वृद्धि।

भग्न छवि संपीड़न एल्गोरिदम के लाभ पैक की गई फ़ाइल का बहुत छोटा आकार और लघु छवि पुनर्प्राप्ति समय है। पिक्सेलेशन की उपस्थिति के बिना आंशिक रूप से पैक किए गए चित्रों को स्केल किया जा सकता है। लेकिन संपीड़न प्रक्रिया में लंबा समय लगता है और कभी-कभी घंटों तक रहता है। हानिपूर्ण फ्रैक्टल पैकिंग एल्गोरिदम आपको जेपीईजी प्रारूप के समान संपीड़न स्तर सेट करने की अनुमति देता है। एल्गोरिथ्म कुछ छोटे भागों के समान छवि के बड़े हिस्से को खोजने पर आधारित है। और आउटपुट फ़ाइल में केवल एक भाग से दूसरे भाग की समानता के बारे में जानकारी लिखी जाती है। संपीड़ित करते समय, आमतौर पर एक वर्ग ग्रिड का उपयोग किया जाता है (टुकड़े वर्ग होते हैं), जो चित्र को पुनर्स्थापित करते समय थोड़ी कोणीयता की ओर जाता है, एक हेक्सागोनल ग्रिड इस तरह की कमी से मुक्त होता है।

साहित्यिक कृतियों में वे हैं जिनमें एक पाठ्य, संरचनात्मक या शब्दार्थ भग्न प्रकृति है। पाठ्य भग्न में, पाठ तत्व संभावित रूप से अंतहीन रूप से दोहराए जाते हैं। शाब्दिक भग्न में एक अशाखित अनंत वृक्ष शामिल है जो किसी भी पुनरावृत्ति से स्वयं के समान है ("पुजारी के पास एक कुत्ता था ...", "एक दार्शनिक का दृष्टांत जो सपने देखता है कि वह एक तितली है जो सपने देखती है कि वह एक दार्शनिक है जो सपने देखती है ...", "कथन असत्य है कि कथन सत्य है, कि कथन असत्य है ..."); विविधताओं के साथ गैर-शाखाओं वाले अंतहीन पाठ ("पैगी के पास एक हंसमुख हंस था ...") और एक्सटेंशन वाले ग्रंथ ("वह घर जिसे जैक ने बनाया था")।

संरचनात्मक भग्न में, पाठ योजना संभावित रूप से भग्न है। इस तरह की संरचना वाले ग्रंथों को निम्नलिखित सिद्धांतों के अनुसार व्यवस्थित किया जाता है: सॉनेट्स की पुष्पांजलि (15 कविताएं), सॉनेट्स की पुष्पांजलि (211 कविताएं), सॉनेट्स की पुष्पांजलि की पुष्पांजलि (2455 कविताएं); "स्टोरीज़ इन ए स्टोरी" ("द बुक ऑफ़ ए थाउज़ेंड एंड वन नाइट्स", हां। पोटोट्स्की "द मैनुस्क्रिप्ट फाउंड इन सारागोसा"); लेखकत्व को छिपाने की प्रस्तावना (डब्ल्यू। इको "द नेम ऑफ द रोज़")।

फ्रैक्टल और फ्रैक्टल ज्यामिति की अवधारणाएं, जो 70 के दशक के अंत में सामने आईं, 80 के दशक के मध्य से गणितज्ञों और प्रोग्रामर्स के दैनिक जीवन में मजबूती से स्थापित हो गई हैं। फ्रैक्टल शब्द लैटिन फ्रैक्टस से लिया गया है और अनुवाद में इसका अर्थ है टुकड़ों से मिलकर। यह बेनोइट मंडेलब्रॉट द्वारा 1975 में प्रस्तावित किया गया था ताकि वे अनियमित लेकिन स्व-समान संरचनाओं का उल्लेख कर सकें जिनका उन्होंने अध्ययन किया था। फ्रैक्टल ज्यामिति का जन्म आमतौर पर 1977 में मैंडेलब्रॉट की पुस्तक `द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर ’के प्रकाशन से जुड़ा हुआ है। उनके कार्यों में अन्य वैज्ञानिकों के वैज्ञानिक परिणामों का उपयोग किया गया था, जिन्होंने उसी क्षेत्र में 1875-1925 की अवधि में काम किया था। जूलिया, कांटोर, हॉसडॉर्फ लेकिन केवल हमारे समय में उनके कार्यों को एक प्रणाली में जोड़ना संभव था।
आज कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल्स की भूमिका काफी बड़ी है। वे बचाव के लिए आते हैं, उदाहरण के लिए, जब यह आवश्यक होता है, तो कई गुणांकों की मदद से, बहुत जटिल आकार की रेखाओं और सतहों को परिभाषित करने के लिए। कंप्यूटर ग्राफिक्स के दृष्टिकोण से, कृत्रिम बादलों, पहाड़ों और समुद्र की सतह के निर्माण के लिए फ्रैक्टल ज्यामिति अपरिहार्य है। वास्तव में, जटिल गैर-यूक्लिडियन वस्तुओं का आसानी से प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका मिल गया है, जिनमें से चित्र प्राकृतिक लोगों के समान हैं।
भग्न के मुख्य गुणों में से एक आत्म-समानता है। सबसे सरल मामले में, फ्रैक्टल के एक छोटे से हिस्से में पूरे फ्रैक्टल के बारे में जानकारी होती है। मैंडलब्रॉट द्वारा दी गई फ्रैक्टल की परिभाषा इस प्रकार है: "एक फ्रैक्टल एक संरचना है जिसमें ऐसे हिस्से होते हैं जो कुछ अर्थों में पूरे के समान होते हैं।"

बड़ी संख्या में गणितीय वस्तुएं हैं जिन्हें फ्रैक्टल्स (सिएरपिंस्की त्रिकोण, कोच स्नोफ्लेक, पीनो कर्व, मैंडेलब्रॉट सेट और लोरेंट्ज़ अट्रैक्टर) कहा जाता है। भग्न बड़ी सटीकता के साथ वास्तविक दुनिया की कई भौतिक घटनाओं और संरचनाओं का वर्णन करते हैं: पहाड़, बादल, अशांत (भंवर) धाराएं, जड़ें, शाखाएं और पेड़ों की पत्तियां, रक्त वाहिकाएं, जो सरल ज्यामितीय आकृतियों के अनुरूप नहीं हैं। बेनोइट मंडेलब्रॉट ने पहली बार अपने मौलिक काम "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" में हमारी दुनिया की फ्रैक्टल प्रकृति के बारे में बात की थी।
फ्रैक्टल शब्द को बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने 1977 में अपने मौलिक कार्य "फ्रैक्टल्स, फॉर्म, कैओस एंड डायमेंशन" में पेश किया था। मैंडेलब्रॉट के अनुसार, फ्रैक्टल शब्द लैटिन शब्द फ्रैक्टस - फ्रैक्शनल और फ्रेंजरे - से टूटने के लिए आया है, जो फ्रैक्टल के सार को "टूटा", अनियमित सेट के रूप में दर्शाता है।

भग्न का वर्गीकरण।

भग्न की पूरी विविधता का प्रतिनिधित्व करने के लिए, उनके आम तौर पर स्वीकृत वर्गीकरण का सहारा लेना सुविधाजनक है। भग्न के तीन वर्ग हैं।

1. ज्यामितीय भग्न।

इस वर्ग के भग्न सबसे स्पष्ट हैं। द्वि-आयामी मामले में, उन्हें एक पॉलीलाइन (या त्रि-आयामी मामले में सतह) का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है जिसे जनरेटर कहा जाता है। एल्गोरिथम के एक चरण में, टूटी हुई रेखा को बनाने वाले प्रत्येक खंड को उपयुक्त पैमाने पर टूटे हुए लाइन जनरेटर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस प्रक्रिया की अंतहीन पुनरावृत्ति के परिणामस्वरूप, एक ज्यामितीय भग्न प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए, ऐसी भग्न वस्तुओं में से एक पर विचार करें - कोच त्रैमासिक वक्र।

त्रिक कोच वक्र का निर्माण।

लंबाई 1 का एक सीधी रेखा खंड लें। आइए इसे कहते हैं बीज. आइए हम बीज को 1/3 लंबाई के तीन बराबर भागों में विभाजित करें, मध्य भाग को हटा दें और इसे 1/3 लंबाई के दो लिंक की टूटी हुई रेखा से बदलें।

हमें एक टूटी हुई रेखा मिलती है, जिसमें कुल 4/3 लंबाई के साथ 4 लिंक होते हैं, - तथाकथित पहली पीढ़ी.

कोच वक्र की अगली पीढ़ी में जाने के लिए, प्रत्येक लिंक के मध्य भाग को त्यागना और बदलना आवश्यक है। तदनुसार, दूसरी पीढ़ी की लंबाई 16/9, तीसरी - 64/27 होगी। यदि आप इस प्रक्रिया को अनंत तक जारी रखते हैं, तो परिणाम एक त्रैमासिक कोच वक्र होगा।

आइए अब पवित्र त्रैमासिक कोच वक्र पर विचार करें और पता करें कि भग्न को "राक्षस" क्यों कहा जाता है।

सबसे पहले, इस वक्र की कोई लंबाई नहीं है - जैसा कि हमने देखा है, पीढ़ियों की संख्या के साथ, इसकी लंबाई अनंत तक जाती है।

दूसरे, इस वक्र के लिए एक स्पर्शरेखा का निर्माण करना असंभव है - इसका प्रत्येक बिंदु एक विभक्ति बिंदु है जिस पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं है - यह वक्र चिकना नहीं है।

लंबाई और चिकनाई वक्रों के मूलभूत गुण हैं, जिनका अध्ययन यूक्लिडियन ज्यामिति और लोबाचेवस्की और रीमैन की ज्यामिति दोनों द्वारा किया जाता है। ज्यामितीय विश्लेषण के पारंपरिक तरीके त्रैमासिक कोच वक्र के लिए अनुपयुक्त निकले, इसलिए कोच वक्र एक राक्षस निकला - पारंपरिक ज्यामिति के सहज निवासियों के बीच एक "राक्षस"।

"ड्रैगन" Harter-Hateway का निर्माण।

एक और फ्रैक्टल ऑब्जेक्ट प्राप्त करने के लिए, आपको निर्माण नियमों को बदलने की जरूरत है। मान लीजिए कि जनक तत्व समकोण पर जुड़े हुए दो बराबर खंड हैं। जीरो जेनरेशन में हम यूनिट सेगमेंट को इस जेनरेटिंग एलिमेंट से रिप्लेस करते हैं ताकि एंगल टॉप पर हो। हम कह सकते हैं कि इस तरह के प्रतिस्थापन के साथ, लिंक के बीच में एक बदलाव होता है। अगली पीढ़ियों का निर्माण करते समय, नियम का पालन किया जाता है: बाईं ओर की पहली कड़ी को एक जनरेटिंग तत्व द्वारा बदल दिया जाता है ताकि लिंक के मध्य को आंदोलन की दिशा के बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाए, और अगले लिंक को प्रतिस्थापित करते समय, खंडों के मध्य बिंदुओं के विस्थापन की दिशाएँ वैकल्पिक होनी चाहिए। यह आंकड़ा ऊपर वर्णित सिद्धांत के अनुसार निर्मित वक्र की पहली कुछ पीढ़ियों और 11वीं पीढ़ी को दर्शाता है। n अनंत की ओर प्रवृत्त वक्र को Harter-Hateway Dragon कहा जाता है।
कंप्यूटर ग्राफिक्स में, पेड़ों और झाड़ियों की छवियों को प्राप्त करते समय ज्यामितीय फ्रैक्टल का उपयोग आवश्यक होता है। द्वि-आयामी ज्यामितीय भग्न का उपयोग त्रि-आयामी बनावट (किसी वस्तु की सतह पर पैटर्न) बनाने के लिए किया जाता है।

2. बीजीय भग्न

यह भग्नों का सबसे बड़ा समूह है। वे n-आयामी रिक्त स्थान में गैर-रैखिक प्रक्रियाओं का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं। द्वि-आयामी प्रक्रियाओं का सबसे अधिक अध्ययन किया जाता है। एक असतत गतिशील प्रणाली के रूप में एक गैर-रेखीय पुनरावृत्ति प्रक्रिया की व्याख्या करते हुए, कोई इन प्रणालियों के सिद्धांत की शब्दावली का उपयोग कर सकता है: चरण चित्र, स्थिर राज्य प्रक्रिया, आकर्षित करने वाला, आदि।
यह ज्ञात है कि नॉनलाइनियर डायनेमिक सिस्टम में कई स्थिर अवस्थाएँ होती हैं। वह अवस्था जिसमें एक निश्चित संख्या में पुनरावृत्तियों के बाद गतिशील प्रणाली स्वयं को पाती है, इसकी प्रारंभिक अवस्था पर निर्भर करती है। इसलिए, प्रत्येक स्थिर अवस्था (या, जैसा कि वे कहते हैं, एक आकर्षित करने वाला) के पास प्रारंभिक अवस्थाओं का एक निश्चित क्षेत्र होता है, जहाँ से सिस्टम आवश्यक रूप से अंतिम अवस्थाओं में आता है। इस प्रकार, सिस्टम के चरण स्थान को आकर्षित करने वालों के आकर्षण के क्षेत्रों में विभाजित किया गया है। यदि चरण स्थान द्वि-आयामी है, तो आकर्षण क्षेत्रों को विभिन्न रंगों से रंगकर, कोई इस प्रणाली (पुनरावृत्ति प्रक्रिया) का रंग चरण चित्र प्राप्त कर सकता है। रंग चयन एल्गोरिदम को बदलकर, आप फैंसी बहुरंगा पैटर्न के साथ जटिल फ्रैक्टल पैटर्न प्राप्त कर सकते हैं। गणितज्ञों के लिए आश्चर्य की बात यह थी कि आदिम एल्गोरिदम का उपयोग करके बहुत ही जटिल गैर-तुच्छ संरचनाओं को उत्पन्न करने की क्षमता थी।

मैंडलब्रॉट सेट।

एक उदाहरण के रूप में, मैंडलब्रॉट सेट पर विचार करें। इसके निर्माण के लिए एल्गोरिथ्म काफी सरल है और एक सरल पुनरावृत्ति अभिव्यक्ति पर आधारित है: जेड = जेड [i] * जेड [i] + सी, कहाँ पे जिऔर सीजटिल चर हैं। एक आयताकार या वर्ग क्षेत्र से प्रत्येक प्रारंभिक बिंदु के लिए पुनरावृत्तियों का प्रदर्शन किया जाता है - जटिल विमान का एक सबसेट। पुनरावृत्ति प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक जेड [मैं]त्रिज्या 2 के वृत्त से आगे नहीं जाएगा, जिसका केंद्र बिंदु (0,0) पर स्थित है, (इसका अर्थ है कि गतिशील प्रणाली का आकर्षण अनंत पर है), या पर्याप्त संख्या में पुनरावृत्तियों के बाद (उदाहरण के लिए) , 200-500) जेड [मैं]वृत्त के किसी बिंदु पर परिवर्तित हो जाता है। पुनरावृत्तियों की संख्या के आधार पर जिसके दौरान जेड [मैं]सर्कल के अंदर बने रहे, आप बिंदु का रंग सेट कर सकते हैं सी(अगर जेड [मैं]पर्याप्त संख्या में पुनरावृत्तियों के लिए सर्कल के अंदर रहता है, पुनरावृत्ति प्रक्रिया बंद हो जाती है और यह रेखापुंज बिंदु काले रंग में रंगा जाता है)।

3. स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल्स

फ्रैक्टल का एक अन्य प्रसिद्ध वर्ग स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल्स हैं, जो तब प्राप्त होते हैं जब इसके किसी भी पैरामीटर को एक पुनरावृत्त प्रक्रिया में बेतरतीब ढंग से बदल दिया जाता है। इसका परिणाम प्राकृतिक वस्तुओं के समान ही होता है - विषम पेड़, इंडेंटेड कोस्टलाइन, आदि। इलाके और समुद्र की सतह के मॉडलिंग में द्वि-आयामी स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल का उपयोग किया जाता है।
फ्रैक्टल के अन्य वर्गीकरण भी हैं, उदाहरण के लिए, फ्रैक्टल्स का नियतात्मक (बीजीय और ज्यामितीय) और गैर-नियतात्मक (स्टोकेस्टिक) में विभाजन।

भग्न के उपयोग के बारे में

सबसे पहले, फ्रैक्टल अद्भुत गणितीय कला का एक क्षेत्र है, जब सरलतम सूत्रों और एल्गोरिदम की मदद से असाधारण सुंदरता और जटिलता के चित्र प्राप्त होते हैं! निर्मित छवियों की आकृति में, पत्तियों, पेड़ों और फूलों का अक्सर अनुमान लगाया जाता है।

फ्रैक्टल के सबसे शक्तिशाली अनुप्रयोगों में से एक कंप्यूटर ग्राफिक्स में निहित है। सबसे पहले, यह छवियों का एक फ्रैक्टल संपीड़न है, और दूसरा, परिदृश्य, पेड़, पौधे और फ्रैक्टल बनावट की पीढ़ी का निर्माण। आधुनिक भौतिकी और यांत्रिकी अभी भग्न वस्तुओं के व्यवहार का अध्ययन करना शुरू कर रहे हैं। और, ज़ाहिर है, फ्रैक्टल सीधे गणित में ही लागू होते हैं।
भग्न छवि संपीड़न एल्गोरिदम के लाभ पैक की गई फ़ाइल का बहुत छोटा आकार और लघु छवि पुनर्प्राप्ति समय है। पिक्सेलेशन की उपस्थिति के बिना आंशिक रूप से पैक किए गए चित्रों को स्केल किया जा सकता है। लेकिन संपीड़न प्रक्रिया में लंबा समय लगता है और कभी-कभी घंटों तक रहता है। हानिपूर्ण फ्रैक्टल पैकिंग एल्गोरिदम आपको जेपीईजी प्रारूप के समान संपीड़न स्तर सेट करने की अनुमति देता है। एल्गोरिथ्म कुछ छोटे टुकड़ों के समान छवि के बड़े टुकड़ों की खोज पर आधारित है। और केवल कौन सा टुकड़ा समान है जो आउटपुट फ़ाइल में लिखा जाता है। संपीड़ित करते समय, आमतौर पर एक वर्ग ग्रिड का उपयोग किया जाता है (टुकड़े वर्ग होते हैं), जो चित्र को पुनर्स्थापित करते समय थोड़ी कोणीयता की ओर जाता है, एक हेक्सागोनल ग्रिड इस तरह की कमी से मुक्त होता है।
Iterated ने एक नया छवि प्रारूप, "स्टिंग" विकसित किया है, जो फ्रैक्टल और "लहर" (जैसे jpeg) दोषरहित संपीड़न को जोड़ती है। नया प्रारूप आपको बाद के उच्च-गुणवत्ता वाले स्केलिंग की संभावना के साथ छवियां बनाने की अनुमति देता है, और ग्राफिक फ़ाइलों की मात्रा असम्पीडित छवियों की मात्रा का 15-20% है।
पहाड़ों, फूलों और पेड़ों की तरह दिखने के लिए फ्रैक्टल की प्रवृत्ति का कुछ ग्राफिक संपादकों द्वारा शोषण किया जाता है, उदाहरण के लिए, 3D स्टूडियो मैक्स से फ्रैक्टल बादल, वर्ल्ड बिल्डर में फ्रैक्टल पहाड़। फ्रैक्टल पेड़, पहाड़ और पूरे परिदृश्य को सरल सूत्रों द्वारा परिभाषित किया गया है, प्रोग्राम करना आसान है और संपर्क करने पर अलग-अलग त्रिकोण और क्यूब्स में अलग नहीं होते हैं।
आप गणित में ही फ्रैक्टल्स के प्रयोग को नज़रअंदाज़ नहीं कर सकते। सेट सिद्धांत में, कैंटर सेट सही कहीं भी घने सेट के अस्तित्व को साबित करता है; माप सिद्धांत में, सेल्फ-एफ़िन "कैंटर सीढ़ी" फ़ंक्शन एक विलक्षण माप वितरण फ़ंक्शन का एक अच्छा उदाहरण है।
यांत्रिकी और भौतिकी में, कई प्राकृतिक वस्तुओं की रूपरेखा को दोहराने के लिए उनकी अनूठी संपत्ति के कारण फ्रैक्टल का उपयोग किया जाता है। फ्रैक्टल्स आपको लाइन सेगमेंट या पॉलीगॉन (समान मात्रा में संग्रहीत डेटा के साथ) के अनुमानों की तुलना में अधिक सटीकता के साथ पेड़ों, पहाड़ की सतहों और दरारों का अनुमान लगाने की अनुमति देते हैं। प्राकृतिक वस्तुओं की तरह भग्न मॉडल में "खुरदरापन" होता है, और यह संपत्ति मॉडल में मनमाने ढंग से बड़ी वृद्धि पर संरक्षित होती है। भग्न पर एक समान माप की उपस्थिति से पहले से अध्ययन किए गए समीकरणों में मानक वस्तुओं के बजाय एकीकरण, संभावित सिद्धांत को लागू करना संभव हो जाता है।
भग्न दृष्टिकोण के साथ, अराजकता नीला विकार बनना बंद कर देती है और एक अच्छी संरचना प्राप्त कर लेती है। भग्न विज्ञान अभी भी बहुत छोटा है और इसके आगे एक महान भविष्य है। भग्न की सुंदरता समाप्त होने से बहुत दूर है और अभी भी हमें कई उत्कृष्ट कृतियाँ देगी - वे जो आँखों को प्रसन्न करती हैं, और वे जो मन को सच्चा आनंद देती हैं।

भग्न निर्माण के बारे में

क्रमिक सन्निकटन की विधि

इस तस्वीर को देखकर, यह समझना मुश्किल नहीं है कि एक स्व-समान फ्रैक्टल (इस मामले में, सिएरपिंस्की पिरामिड) कैसे बनाया जा सकता है। हमें एक साधारण पिरामिड (टेट्राहेड्रॉन) लेने की जरूरत है, फिर उसके मध्य (ऑक्टाहेड्रोन) को काट लें, जिसके परिणामस्वरूप हमें चार छोटे पिरामिड मिलते हैं। उनमें से प्रत्येक के साथ हम एक ही ऑपरेशन करते हैं, और इसी तरह। यह कुछ हद तक भोली है, लेकिन व्याख्यात्मक व्याख्या है।

आइए विधि के सार पर अधिक सख्ती से विचार करें। कुछ IFS सिस्टम होने दें, यानी। संकुचन मानचित्रण प्रणाली एस=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (उदाहरण के लिए, हमारे पिरामिड के लिए, मैपिंग S i (x)=1/2*x+o i की तरह दिखती है, जहां o i हैं चतुष्फलक के शीर्ष, i=1,..,4)। फिर हम R n में कुछ सघन समुच्चय A 1 चुनते हैं (हमारे मामले में हम एक चतुष्फलक चुनते हैं)। और हम समुच्चय A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k) के अनुक्रम को प्रेरण द्वारा निर्धारित करते हैं। यह ज्ञात है कि बढ़ते k के साथ A k सेट करता है जो सिस्टम के आवश्यक आकर्षण का अनुमान लगाता है एस.

ध्यान दें कि इनमें से प्रत्येक पुनरावृत्ति एक आकर्षित करने वाला है पुनरावृत्त कार्यों की आवर्तक प्रणाली(अंग्रेजी शब्द DigraphIFS, आरआईएफएसऔर भी ग्राफ़-निर्देशित IFS) और इसलिए उन्हें हमारे कार्यक्रम के साथ बनाना आसान है।

अंक या संभाव्य विधि द्वारा निर्माण

यह कंप्यूटर पर लागू करने का सबसे आसान तरीका है। सादगी के लिए, एक फ्लैट सेल्फ-एफ़िन सेट के मामले पर विचार करें। तो चलें

) affine संकुचन की कुछ प्रणाली है। मैपिंग एस

के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य: S

आकार 2x2 और o . का निश्चित मैट्रिक्स

द्वि-आयामी वेक्टर स्तंभ।

• आइए पहले मैपिंग S 1 के एक निश्चित बिंदु को शुरुआती बिंदु के रूप में लें:
  एक्स: = ओ 1;
  यहां हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि सभी निश्चित संकुचन बिंदु S 1 ,..,S m भग्न से संबंधित हैं। एक मनमाना बिंदु को एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में चुना जा सकता है और इसके द्वारा उत्पन्न बिंदुओं का क्रम एक भग्न में सिकुड़ जाएगा, लेकिन फिर स्क्रीन पर कुछ अतिरिक्त बिंदु दिखाई देंगे।
• स्क्रीन पर वर्तमान बिंदु x=(x 1,x 2) पर ध्यान दें:
  पुटपिक्सेल (एक्स 1, एक्स 2, 15);
• हम यादृच्छिक रूप से 1 से m तक एक संख्या j चुनते हैं और बिंदु x के निर्देशांकों की पुनर्गणना करते हैं:
  जे: = यादृच्छिक (एम) +1;
  एक्स: = एस जे (एक्स);
• हम चरण 2 पर जाते हैं, या, यदि हमने पर्याप्त संख्या में पुनरावृत्तियां की हैं, तो हम रुक जाते हैं।

टिप्पणी।यदि मैपिंग के संपीड़न गुणांक S i भिन्न हैं, तो फ्रैक्टल असमान रूप से बिंदुओं से भर जाएगा। यदि मैपिंग S i समानताएं हैं, तो एल्गोरिथम को थोड़ा जटिल करके इसे टाला जा सकता है। ऐसा करने के लिए, एल्गोरिथम के तीसरे चरण में, 1 से m तक की संख्या j को प्रायिकताओं के साथ चुना जाना चाहिए p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , जहां r मैं मैपिंग के संकुचन गुणांक को निरूपित करता हूं। , और संख्या s (समानता आयाम कहा जाता है) समीकरण r 1 s +...+r m s =1 से पाई जाती है। उदाहरण के लिए, न्यूटन की विधि द्वारा इस समीकरण का हल पाया जा सकता है।

भग्न और उनके एल्गोरिदम के बारे में

फ्रैक्टल लैटिन विशेषण "फ्रैक्टस" से आया है, और अनुवाद में इसका अर्थ है टुकड़ों से मिलकर, और संबंधित लैटिन क्रिया "फ्रैंजियर" का अर्थ है तोड़ना, यानी अनियमित टुकड़े बनाना। फ्रैक्टल और फ्रैक्टल ज्यामिति की अवधारणाएं, जो 70 के दशक के अंत में सामने आईं, 80 के दशक के मध्य से गणितज्ञों और प्रोग्रामर्स के दैनिक जीवन में मजबूती से स्थापित हो गई हैं। बेनोइट मंडेलब्रॉट द्वारा 1975 में इस शब्द का प्रस्ताव उन अनियमित लेकिन स्व-समान संरचनाओं का उल्लेख करने के लिए किया गया था जिनका उन्होंने अध्ययन किया था। फ्रैक्टल ज्योमेट्री का जन्म आमतौर पर मैंडलब्रॉट की किताब "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" - "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" के प्रकाशन से जुड़ा हुआ है। उनके कार्यों ने अन्य वैज्ञानिकों के वैज्ञानिक परिणामों का उपयोग किया, जिन्होंने 1875-1925 की अवधि में उसी क्षेत्र में काम किया (पोंकारे, फतो, जूलिया, कांटोर, हॉसडॉर्फ)।

समायोजन

मुझे एच.-ओ द्वारा पुस्तक में प्रस्तावित एल्गोरिदम में कुछ समायोजन करने दें। Paytgen और P.H. Richter "द ब्यूटी ऑफ फ्रैक्टल्स" M. 1993, विशुद्ध रूप से टाइपो को मिटाने और प्रक्रियाओं को समझना आसान बनाने के लिए, क्योंकि उनका अध्ययन करने के बाद, मेरे लिए बहुत कुछ एक रहस्य बना रहा। दुर्भाग्य से, ये "समझने योग्य" और "सरल" एल्गोरिदम एक कमाल की जीवन शैली का नेतृत्व करते हैं।

भग्न का निर्माण प्रतिक्रिया z \u003d z 2 + c के साथ एक जटिल प्रक्रिया के एक निश्चित गैर-रेखीय कार्य पर आधारित है क्योंकि z और c जटिल संख्याएं हैं, फिर z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, यह आवश्यक है आम आदमी के विमान के लिए और अधिक वास्तविक जाने के लिए इसे x और y में विघटित करना:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

सभी युग्मों (x, y) से युक्त तल को निश्चित मान वाला माना जा सकता है पी और क्यू, साथ ही गतिशील लोगों के लिए। पहले मामले में, कानून के अनुसार विमान के सभी बिंदुओं (x, y) के माध्यम से छँटाई करना और उन्हें रंग देना, पुनरावृत्ति प्रक्रिया से बाहर निकलने के लिए आवश्यक फ़ंक्शन की पुनरावृत्ति की संख्या के आधार पर या स्वीकार्य अधिकतम होने पर रंग (काला) नहीं होना चाहिए। दोहराव बढ़ जाता है, हमें जूलिया सेट का डिस्प्ले मिलता है। यदि, इसके विपरीत, हम मूल्यों की प्रारंभिक जोड़ी (एक्स, वाई) निर्धारित करते हैं और पैरामीटर पी और क्यू के गतिशील रूप से बदलते मूल्यों के साथ अपने रंगीन भाग्य का पता लगाते हैं, तो हमें मंडेलब्रॉट सेट नामक छवियां मिलती हैं।

भग्न रंग एल्गोरिदम के प्रश्न पर।

आमतौर पर सेट के शरीर को एक काले क्षेत्र के रूप में दर्शाया जाता है, हालांकि यह स्पष्ट है कि काले रंग को किसी अन्य से बदला जा सकता है, लेकिन यह भी एक दिलचस्प परिणाम है। सभी रंगों में चित्रित एक सेट की छवि प्राप्त करना एक ऐसा कार्य है जिसे चक्रीय संचालन का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है, क्योंकि सेट के शरीर को बनाने वाले पुनरावृत्तियों की संख्या अधिकतम संभव और हमेशा समान होती है। लूप (z_magnitude) से बाहर निकलने की स्थिति को रंग संख्या के रूप में, या इसके समान, लेकिन अन्य गणितीय कार्यों के साथ जाँच के परिणाम का उपयोग करके सेट को अलग-अलग रंगों में रंगना संभव है।

"फ्रैक्टल माइक्रोस्कोप" का अनुप्रयोग

सीमांत घटनाओं को प्रदर्शित करने के लिए।

विमान पर प्रभुत्व के लिए संघर्ष का नेतृत्व करने वाले केंद्र आकर्षणकर्ता हैं। आकर्षित करने वालों के बीच एक घुमावदार पैटर्न का प्रतिनिधित्व करने वाली एक सीमा होती है। सेट की सीमाओं के भीतर विचार के पैमाने को बढ़ाकर, कोई गैर-तुच्छ पैटर्न प्राप्त कर सकता है जो नियतात्मक अराजकता की स्थिति को दर्शाता है - प्राकृतिक दुनिया में एक सामान्य घटना।

भूगोलवेत्ताओं द्वारा अध्ययन की गई वस्तुएं बहुत जटिल रूप से संगठित सीमाओं के साथ एक प्रणाली बनाती हैं, जिसके संबंध में उनका कार्यान्वयन एक कठिन व्यावहारिक कार्य बन जाता है। प्राकृतिक परिसरों में आकर्षण के रूप में कार्य करने वाले विशिष्टता के कोर होते हैं जो दूर जाने पर क्षेत्र पर प्रभाव की अपनी शक्ति खो देते हैं।

मंडेलब्रॉट और जूलिया सेट के लिए एक फ्रैक्टल माइक्रोस्कोप का उपयोग करके, कोई सीमा प्रक्रियाओं और घटनाओं का एक विचार बना सकता है जो विचार के पैमाने की परवाह किए बिना समान रूप से जटिल हैं और इस प्रकार एक गतिशील और प्रतीत होता है अराजक के साथ बैठक के लिए एक विशेषज्ञ की धारणा तैयार करते हैं। अंतरिक्ष और समय में प्राकृतिक वस्तु, भग्न ज्यामिति प्रकृति को समझने के लिए। बहुरंगी रंग और भग्न संगीत निश्चित रूप से छात्रों के मन पर गहरी छाप छोड़ेगा।

हजारों प्रकाशन और विशाल इंटरनेट संसाधन भग्न के लिए समर्पित हैं, हालांकि, कंप्यूटर विज्ञान से दूर कई विशेषज्ञों के लिए, यह शब्द बिल्कुल नया लगता है। भग्न, ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में विशेषज्ञों की रुचि की वस्तुओं के रूप में, कंप्यूटर विज्ञान के पाठ्यक्रम में अपना उचित स्थान प्राप्त करना चाहिए।

उदाहरण

सिरपिंस्की ग्रिड

यह उन भग्नों में से एक है जिसका प्रयोग मैंडलब्रॉट ने भग्न आयामों और पुनरावृत्तियों की अवधारणाओं को विकसित करते समय किया था। बड़े त्रिभुज के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से बने त्रिभुजों को मुख्य त्रिभुज से काटकर एक त्रिभुज बनाया जाता है, जिसमें अधिक छिद्र होते हैं। इस मामले में, सर्जक एक बड़ा त्रिभुज है और टेम्पलेट बड़े त्रिभुज के समान त्रिभुजों को काटने के लिए एक ऑपरेशन है। आप एक साधारण चतुष्फलक का उपयोग करके और छोटे चतुष्फलक को काटकर त्रिभुज का 3D संस्करण भी प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे भग्न का आयाम ln3/ln2 = 1.584962501 है। प्राप्त करना सीरपिंस्की कालीन, एक वर्ग लें, इसे नौ वर्गों में विभाजित करें, और बीच वाले को काट लें। हम बाकी, छोटे वर्गों के साथ भी ऐसा ही करेंगे। अंत में, एक फ्लैट फ्रैक्टल ग्रिड बनता है, जिसमें कोई क्षेत्र नहीं होता है, लेकिन अनंत कनेक्शन होते हैं। अपने स्थानिक रूप में, सिएरपिंस्की स्पंज को रूपों के माध्यम से एक प्रणाली में बदल दिया जाता है, जिसमें प्रत्येक तत्व के माध्यम से लगातार अपनी तरह से प्रतिस्थापित किया जाता है। यह संरचना हड्डी के ऊतकों के एक खंड के समान है। किसी दिन ऐसी दोहराई जाने वाली संरचनाएं भवन संरचनाओं का एक तत्व बन जाएंगी। मंडेलब्रॉट का मानना ​​​​है कि उनके स्टैटिक्स और डायनामिक्स, करीबी अध्ययन के लायक हैं।

कोच कर्व

कोच वक्र सबसे विशिष्ट नियतात्मक भग्नों में से एक है। इसका आविष्कार उन्नीसवीं शताब्दी में हेल्ज वॉन कोच नामक एक जर्मन गणितज्ञ द्वारा किया गया था, जिन्होंने जॉर्ज कोंटोर और कार्ल वीयरस्ट्रेश के काम का अध्ययन करते हुए, असामान्य व्यवहार के साथ कुछ अजीब वक्रों का वर्णन किया था। सर्जक - सीधी रेखा। जनरेटर एक समबाहु त्रिभुज है, जिसकी भुजाएँ बड़े खंड की लंबाई के एक तिहाई के बराबर होती हैं। इन त्रिभुजों को प्रत्येक खंड के मध्य में बार-बार जोड़ा जाता है। अपने शोध में, मैंडेलब्रॉट ने कोच वक्रों के साथ बहुत प्रयोग किया, और कोच द्वीप, कोच क्रॉस, कोच स्नोफ्लेक्स, और यहां तक ​​​​कि कोच वक्र के त्रि-आयामी प्रतिनिधित्व जैसे टेट्राहेड्रॉन का उपयोग करके और इसके प्रत्येक चेहरे पर छोटे टेट्राहेड्रा जोड़कर आंकड़े प्राप्त किए। कोच वक्र का आयाम ln4/ln3 = 1.261859507 है।

फ्रैक्टल मंडेलब्रोट

यह मैंडलब्रॉट सेट नहीं है जिसे आप अक्सर देखते हैं। मैंडलब्रॉट सेट गैर-रैखिक समीकरणों पर आधारित है और एक जटिल फ्रैक्टल है। यह भी कोच वक्र का एक प्रकार है, इस तथ्य के बावजूद कि यह वस्तु इसके जैसी नहीं दिखती है। सर्जक और जनरेटर भी कोच वक्र के सिद्धांत के आधार पर भग्न बनाने के लिए उपयोग किए जाने वाले लोगों से भिन्न होते हैं, लेकिन विचार वही रहता है। समबाहु त्रिभुजों को एक वक्र खंड से जोड़ने के बजाय, वर्ग एक वर्ग से जुड़े होते हैं। इस तथ्य के कारण कि यह फ्रैक्टल प्रत्येक पुनरावृत्ति पर आवंटित स्थान के ठीक आधे हिस्से पर कब्जा कर लेता है, इसका एक साधारण फ्रैक्टल आयाम 3/2 = 1.5 है।

डेयर का पेंटागन

एक भग्न एक साथ निचोड़ा हुआ पेंटागन के एक गुच्छा जैसा दिखता है। वास्तव में, यह एक पेंटागन को सर्जक और समद्विबाहु त्रिभुज के रूप में उपयोग करके बनाया गया है, सबसे बड़े पक्ष का सबसे छोटा अनुपात जिसमें जनरेटर के रूप में तथाकथित सुनहरे अनुपात (1.618033989 या 1/(2cos72)) के बराबर है। . इन त्रिभुजों को प्रत्येक पंचभुज के बीच से काटा जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक आकार ऐसा दिखता है जो एक बड़े से चिपके हुए 5 छोटे पेंटागन जैसा दिखता है। इस भग्न का एक प्रकार एक षट्भुज को आरंभकर्ता के रूप में उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। इस भग्न को डेविड का सितारा कहा जाता है और यह कोच के स्नोफ्लेक के हेक्सागोनल संस्करण के समान है। डेरर पेंटागन का भग्न आयाम ln6/ln(1+g) है, जहां g त्रिभुज की बड़ी भुजा की लंबाई और छोटी भुजा की लंबाई का अनुपात है। इस मामले में, जी स्वर्ण अनुपात है, इसलिए फ्रैक्टल आयाम लगभग 1.86171596 है। डेविड के तारे का भग्न आयाम ln6/ln3 या 1.630929754 है।

जटिल भग्न

वास्तव में, यदि आप किसी जटिल भग्न के एक छोटे से क्षेत्र पर ज़ूम इन करते हैं और फिर उस क्षेत्र के एक छोटे से क्षेत्र पर भी ऐसा ही करते हैं, तो दोनों आवर्धन एक दूसरे से काफी भिन्न होंगे। दो छवियां विस्तार से बहुत समान होंगी, लेकिन वे पूरी तरह समान नहीं होंगी।

अंजीर 1. मंडेलब्रॉट सेट का अनुमान

तुलना करें, उदाहरण के लिए, मैंडलब्रॉट सेट के चित्र यहां दिखाए गए हैं, जिनमें से एक को दूसरे के कुछ क्षेत्र को बढ़ाकर प्राप्त किया गया था। जैसा कि आप देख सकते हैं, वे बिल्कुल समान नहीं हैं, हालांकि दोनों पर हमें एक काला घेरा दिखाई देता है, जिसमें से ज्वलंत जाल अलग-अलग दिशाओं में जाते हैं। ये तत्व घटते अनुपात में मेंडलब्रॉट सेट में अनिश्चित काल तक दोहराते हैं।

नियतात्मक भग्न रैखिक होते हैं, जबकि जटिल भग्न नहीं होते हैं। गैर-रैखिक होने के कारण, ये भग्न उस चीज से उत्पन्न होते हैं जिसे मैंडलब्रॉट ने गैर-रैखिक बीजीय समीकरण कहा था। एक अच्छा उदाहरण प्रक्रिया Zn+1=ZnІ + C है, जो दूसरी डिग्री के मैंडलब्रॉट और जूलिया सेट के निर्माण के लिए उपयोग किया जाने वाला समीकरण है। इन गणितीय समीकरणों को हल करने में जटिल और काल्पनिक संख्याएँ शामिल होती हैं। जब समीकरण को जटिल तल में ग्राफिक रूप से व्याख्यायित किया जाता है, तो परिणाम एक अजीब आकृति होती है जिसमें सीधी रेखाएं वक्र में बदल जाती हैं, स्व-समानता प्रभाव विभिन्न पैमाने के स्तरों पर दिखाई देते हैं, हालांकि विकृतियों के बिना नहीं। साथ ही, समग्र रूप से पूरी तस्वीर अप्रत्याशित और बहुत ही अराजक है।

जैसा कि आप चित्रों को देखकर देख सकते हैं, जटिल भग्न वास्तव में बहुत जटिल हैं और कंप्यूटर की सहायता के बिना बनाना असंभव है। रंगीन परिणाम प्राप्त करने के लिए, इस कंप्यूटर में एक शक्तिशाली गणित सहसंसाधक और एक उच्च-रिज़ॉल्यूशन मॉनिटर होना चाहिए। नियतात्मक भग्न के विपरीत, जटिल भग्न की गणना 5-10 पुनरावृत्तियों में नहीं की जाती है। कंप्यूटर स्क्रीन पर लगभग हर डॉट एक अलग फ्रैक्टल की तरह होता है। गणितीय प्रसंस्करण के दौरान, प्रत्येक बिंदु को एक अलग पैटर्न के रूप में माना जाता है। प्रत्येक बिंदु एक निश्चित मूल्य से मेल खाता है। समीकरण प्रत्येक बिंदु के लिए बनाया गया है और किया जाता है, उदाहरण के लिए, 1000 पुनरावृत्तियों। घरेलू कंप्यूटरों के लिए स्वीकार्य समय अंतराल में अपेक्षाकृत विकृत छवि प्राप्त करने के लिए, एक बिंदु के लिए 250 पुनरावृत्तियों को अंजाम देना संभव है।

आज हम जितने भग्न देखते हैं उनमें से अधिकांश सुंदर रंग के होते हैं। शायद भग्न छवियों ने उनकी रंग योजनाओं के कारण इतना बड़ा सौंदर्य मूल्य प्राप्त किया है। समीकरण की गणना के बाद, कंप्यूटर परिणामों का विश्लेषण करता है। यदि परिणाम स्थिर रहते हैं, या एक निश्चित मूल्य के आसपास उतार-चढ़ाव करते हैं, तो बिंदु आमतौर पर काला हो जाएगा। यदि एक कदम या किसी अन्य पर मान अनंत तक जाता है, तो बिंदु को एक अलग रंग में चित्रित किया जाता है, शायद नीला या लाल। इस प्रक्रिया के दौरान, कंप्यूटर सभी गतियों को रंग प्रदान करता है।

आमतौर पर, तेजी से चलने वाले बिंदुओं को लाल रंग से रंगा जाता है, जबकि धीमे वाले पीले रंग के होते हैं, और इसी तरह। डार्क डॉट्स शायद सबसे स्थिर हैं।

जटिल भग्न नियतात्मक भग्न से इस मायने में भिन्न होते हैं कि वे असीम रूप से जटिल होते हैं, फिर भी एक बहुत ही सरल सूत्र द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं। नियतात्मक भग्नों को सूत्रों या समीकरणों की आवश्यकता नहीं होती है। बस कुछ ड्राइंग पेपर लें और आप बिना किसी कठिनाई के 3 या 4 पुनरावृत्तियों तक एक सिएरपिंस्की चलनी बना सकते हैं। बहुत सारे जूलिया के साथ ऐसा करने की कोशिश करो! इंग्लैंड के समुद्र तट की लंबाई को मापना आसान है!

मैंडरब्रॉट सेट

अंजीर 2. मंडेलब्रॉट सेट

मंडेलब्रॉट और जूलिया सेट शायद जटिल फ्रैक्टल के बीच दो सबसे आम हैं। वे कई वैज्ञानिक पत्रिकाओं, पुस्तक कवर, पोस्टकार्ड और कंप्यूटर स्क्रीन सेवर में पाए जा सकते हैं। मैंडलब्रॉट सेट, जिसे बेनोइट मंडेलब्रॉट द्वारा बनाया गया था, संभवत: पहला संघ है जो लोगों के पास फ्रैक्टल शब्द सुनते ही होता है। यह भग्न, चमकते हुए पेड़ और उससे जुड़े सर्कल क्षेत्रों के साथ एक कार्ड जैसा दिखता है, सरल सूत्र Zn+1=Zna+C द्वारा उत्पन्न होता है, जहां Z और C जटिल संख्याएं हैं और एक सकारात्मक संख्या है।

सबसे अधिक देखा जाने वाला मैंडलब्रॉट सेट दूसरा डिग्री मंडेलब्रॉट सेट है, यानी ए = 2। तथ्य यह है कि मैंडलब्रॉट सेट न केवल Zn+1=ZnІ+C है, बल्कि एक फ्रैक्टल जिसका सूत्र में घातांक कोई भी सकारात्मक संख्या हो सकती है, ने कई लोगों को गुमराह किया। इस पृष्ठ पर आप घातांक के विभिन्न मूल्यों के लिए मैंडेलब्रॉट सेट का एक उदाहरण देखते हैं।
चित्र 3. a=3.5 . पर बुलबुले का दिखना

प्रक्रिया Z=Z*tg(Z+C) भी लोकप्रिय है। स्पर्शरेखा फ़ंक्शन को शामिल करने के लिए धन्यवाद, मैंडेलब्रॉट सेट प्राप्त होता है, जो एक सेब के समान क्षेत्र से घिरा होता है। कोसाइन फ़ंक्शन का उपयोग करते समय, एयर बबल प्रभाव प्राप्त होते हैं। संक्षेप में, मंडेलब्रॉट सेट को विभिन्न सुंदर चित्रों का निर्माण करने के लिए कई तरीके हैं।

एकाधिक जूलिया

हैरानी की बात है कि जूलिया सेट उसी फॉर्मूले के अनुसार बनते हैं जैसे मैंडेलब्रॉट सेट। जूलिया सेट का आविष्कार फ्रांसीसी गणितज्ञ गैस्टन जूलिया ने किया था, जिसके नाम पर सेट का नाम रखा गया था। मैंडेलब्रॉट और जूलिया सेट के साथ एक दृश्य परिचित होने के बाद पहला सवाल उठता है "यदि दोनों फ्रैक्टल एक ही सूत्र द्वारा उत्पन्न होते हैं, तो वे इतने अलग क्यों हैं?" सबसे पहले देखिए जूलिया सेट की तस्वीरें। अजीब तरह से, विभिन्न प्रकार के जूलिया सेट हैं। विभिन्न प्रारंभिक बिंदुओं (पुनरावृत्ति प्रक्रिया शुरू करने के लिए) का उपयोग करके फ्रैक्टल खींचते समय, विभिन्न छवियां उत्पन्न होती हैं। यह केवल जूलिया सेट पर लागू होता है।

अंजीर 4. जूलिया सेट

हालांकि यह तस्वीर में नहीं देखा जा सकता है, मैंडलब्रॉट फ्रैक्टल वास्तव में जूलिया फ्रैक्टल का एक गुच्छा है जो एक साथ जुड़ा हुआ है। मैंडलब्रॉट सेट का प्रत्येक बिंदु (या समन्वय) जूलिया फ्रैक्टल से मेल खाता है। समीकरण Z=ZI+C में प्रारंभिक मानों के रूप में इन बिंदुओं का उपयोग करके जूलिया सेट उत्पन्न किए जा सकते हैं। लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि यदि आप मंडेलब्रॉट फ्रैक्टल पर एक बिंदु का चयन करते हैं और इसे बढ़ाते हैं, तो आप जूलिया फ्रैक्टल प्राप्त कर सकते हैं। ये दो बिंदु समान हैं, लेकिन केवल गणितीय अर्थ में। यदि हम इस बिंदु को लेते हैं और इस सूत्र के अनुसार इसकी गणना करते हैं, तो हम मैंडलब्रॉट फ्रैक्टल के एक निश्चित बिंदु के अनुरूप जूलिया फ्रैक्टल प्राप्त कर सकते हैं।

भग्न

फ्रैक्टल (लैट। भग्न- कुचला हुआ, टूटा हुआ, टूटा हुआ) - एक ज्यामितीय आकृति जिसमें आत्म-समानता का गुण होता है, जो कई भागों से बना होता है, जिनमें से प्रत्येक समग्र रूप से संपूर्ण आकृति के समान होता है। गणित में, फ्रैक्टल को समुच्चय के रूप में समझा जाता है यूक्लिडियन अंतरिक्ष में ऐसे बिंदु जिनमें भिन्नात्मक मीट्रिक आयाम (मिन्कोव्स्की या हॉसडॉर्फ के अर्थ में), या टोपोलॉजिकल के अलावा एक मीट्रिक आयाम होता है। भग्न भग्न का अध्ययन और संकलन करने का एक स्वतंत्र सटीक विज्ञान है।

दूसरे शब्दों में, फ्रैक्टल एक भिन्नात्मक आयाम वाली ज्यामितीय वस्तुएं हैं। उदाहरण के लिए, एक रेखा का आयाम 1 है, एक क्षेत्र 2 है, और एक आयतन 3 है। एक भग्न के लिए, आयाम मान 1 और 2 के बीच या 2 और 3 के बीच हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक टुकड़े टुकड़े का भग्न आयाम पेपर बॉल लगभग 2.5 है। गणित में, भग्न के आयाम की गणना के लिए एक विशेष जटिल सूत्र है। श्वासनली नलियों, पेड़ों पर पत्तियाँ, बांह में नसें, नदी की शाखाएँ भग्न हैं। सरल शब्दों में, भग्न एक ज्यामितीय आकृति है, जिसका एक निश्चित भाग बार-बार दोहराया जाता है, आकार में परिवर्तन होता है - यह आत्म-समानता का सिद्धांत है। भग्न स्वयं के समान होते हैं, वे सभी स्तरों पर स्वयं के समान होते हैं (अर्थात, किसी भी पैमाने पर)। कई अलग-अलग प्रकार के फ्रैक्टल हैं। सिद्धांत रूप में, यह तर्क दिया जा सकता है कि वास्तविक दुनिया में मौजूद हर चीज एक भग्न है, चाहे वह बादल हो या ऑक्सीजन अणु।

शब्द "अराजकता" कुछ अप्रत्याशित का सुझाव देता है, लेकिन वास्तव में, अराजकता काफी व्यवस्थित है और कुछ कानूनों का पालन करती है। अराजकता और भग्न का अध्ययन करने का उद्देश्य उन पैटर्नों की भविष्यवाणी करना है जो पहली नज़र में अप्रत्याशित और पूरी तरह से अराजक लग सकते हैं।

ज्ञान के इस क्षेत्र में अग्रणी फ्रांसीसी-अमेरिकी गणितज्ञ, प्रोफेसर बेनोइट बी मंडेलब्रॉट थे। 1960 के दशक के मध्य में, उन्होंने फ्रैक्टल ज्योमेट्री विकसित की, जिसका उद्देश्य टूटे, झुर्रीदार और फजी आकृतियों का विश्लेषण करना था। मैंडलब्रॉट सेट (चित्र में दिखाया गया है) पहला जुड़ाव है जो एक व्यक्ति के पास होता है जब वह "फ्रैक्टल" शब्द सुनता है। वैसे, मैंडलब्रॉट ने निर्धारित किया कि इंग्लैंड के समुद्र तट का भग्न आयाम 1.25 है।

विज्ञान में भग्न का तेजी से उपयोग किया जा रहा है। वे पारंपरिक भौतिकी या गणित से भी बेहतर वास्तविक दुनिया का वर्णन करते हैं। ब्राउनियन गति, उदाहरण के लिए, पानी में निलंबित धूल कणों की यादृच्छिक और अराजक गति है। इस प्रकार का आंदोलन शायद फ्रैक्टल ज्यामिति का सबसे व्यावहारिक पहलू है। रैंडम ब्राउनियन गति में एक आवृत्ति प्रतिक्रिया होती है जिसका उपयोग बड़ी मात्रा में डेटा और आँकड़ों को शामिल करने वाली घटनाओं की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मैंडलब्रॉट ने ब्राउनियन गति का उपयोग करके ऊन की कीमत में बदलाव की भविष्यवाणी की।

"फ्रैक्टल" शब्द का उपयोग न केवल गणितीय शब्द के रूप में किया जा सकता है। प्रेस और लोकप्रिय विज्ञान साहित्य में एक भग्न को ऐसे आंकड़े कहा जा सकता है जिनमें निम्नलिखित में से कोई भी गुण हो:

इसमें सभी पैमानों पर एक गैर-तुच्छ संरचना है। यह नियमित आंकड़ों (जैसे एक वृत्त, एक दीर्घवृत्त, एक चिकने फलन का ग्राफ) से अंतर है: यदि हम एक नियमित आकृति के एक छोटे टुकड़े को बहुत बड़े पैमाने पर मानते हैं, तो यह एक सीधी रेखा के टुकड़े जैसा दिखेगा . फ्रैक्टल के लिए, ज़ूम इन करने से संरचना का सरलीकरण नहीं होता है, सभी पैमानों पर हम एक समान रूप से जटिल तस्वीर देखेंगे।

यह स्व-समान या लगभग स्व-समान है।

इसका एक भिन्नात्मक मीट्रिक आयाम या एक मीट्रिक आयाम होता है जो टोपोलॉजिकल से बेहतर होता है।

कंप्यूटिंग में फ्रैक्टल का सबसे उपयोगी उपयोग फ्रैक्टल डेटा कंप्रेशन है। साथ ही, चित्रों को पारंपरिक तरीकों की तुलना में काफी बेहतर तरीके से संकुचित किया जाता है - 600:1 तक। फ्रैक्टल कम्प्रेशन का एक अन्य लाभ यह है कि जब आप ज़ूम इन करते हैं, तो कोई पिक्सेलेशन प्रभाव नहीं होता है जो तस्वीर को बहुत खराब करता है। इसके अलावा, आवर्धन के बाद भग्न रूप से संकुचित छवि अक्सर पहले से भी बेहतर दिखती है। कंप्यूटर वैज्ञानिक यह भी जानते हैं कि सरल सूत्रों से अनंत जटिलता और सुंदरता के भग्न उत्पन्न किए जा सकते हैं। यथार्थवादी परिदृश्य तत्व (बादल, चट्टानें और छाया) बनाने के लिए फिल्म उद्योग फ्रैक्टल ग्राफिक्स तकनीक का व्यापक उपयोग करता है।

प्रवाह में अशांति का अध्ययन भग्न के लिए बहुत अच्छी तरह से अनुकूल है। यह जटिल प्रवाह की गतिशीलता की बेहतर समझ की अनुमति देता है। आग की लपटों को फ्रैक्टल्स का उपयोग करके भी बनाया जा सकता है। झरझरा सामग्री भग्न रूप में अच्छी तरह से प्रदर्शित होती है क्योंकि उनके पास एक बहुत ही जटिल ज्यामिति है। दूरियों पर डेटा संचारित करने के लिए, भग्न के आकार के एंटेना का उपयोग किया जाता है, जो उनके आकार और वजन को बहुत कम कर देता है। सतहों की वक्रता का वर्णन करने के लिए फ्रैक्टल्स का उपयोग किया जाता है। एक असमान सतह को दो अलग-अलग फ्रैक्टल के संयोजन की विशेषता है।

प्रकृति में कई वस्तुओं में भग्न गुण होते हैं, जैसे कि तट, बादल, पेड़ के मुकुट, बर्फ के टुकड़े, संचार प्रणाली और मनुष्यों या जानवरों की वायुकोशीय प्रणाली।

फ्रैक्टल्स, विशेष रूप से विमान पर, सुंदरता के संयोजन और कंप्यूटर के साथ निर्माण में आसानी के लिए लोकप्रिय हैं।

19वीं शताब्दी में असामान्य गुणों वाले स्व-समान सेटों के पहले उदाहरण सामने आए (उदाहरण के लिए, बोलजानो फ़ंक्शन, वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन, कैंटर सेट)। "फ्रैक्टल" शब्द को बेनोइट मैंडेलब्रॉट द्वारा 1975 में पेश किया गया था और 1977 में अपनी पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" के विमोचन के साथ व्यापक लोकप्रियता हासिल की।

बाईं ओर की आकृति एक साधारण उदाहरण के रूप में एक डेयर पेंटागन फ्रैक्टल दिखाती है, जो एक साथ निचोड़ा हुआ पेंटागन के एक गुच्छा की तरह दिखता है। वास्तव में, यह एक पंचभुज को एक सर्जक और समद्विबाहु त्रिभुज के रूप में उपयोग करके बनाया गया है, सबसे बड़े पक्ष का सबसे छोटा अनुपात जिसमें तथाकथित सुनहरा अनुपात (1.618033989 या 1/(2cos72°)) के बराबर है। जनरेटर। इन त्रिभुजों को प्रत्येक पंचभुज के बीच से काटा जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक आकार ऐसा दिखता है जो एक बड़े से चिपके हुए 5 छोटे पेंटागन जैसा दिखता है।

कैओस सिद्धांत कहता है कि जटिल अरेखीय प्रणालियाँ आनुवंशिक रूप से अप्रत्याशित होती हैं, लेकिन साथ ही यह दावा करती है कि इस तरह की अप्रत्याशित प्रणालियों को व्यक्त करने का तरीका सटीक समानता में नहीं, बल्कि सिस्टम के व्यवहार के प्रतिनिधित्व में - अजीब आकर्षित करने वालों के रेखांकन में सही साबित होता है। भग्न की तरह देखो। इस प्रकार अराजकता सिद्धांत, जिसे कई लोग अप्रत्याशित मानते हैं, सबसे अस्थिर प्रणालियों में भी पूर्वानुमेयता का विज्ञान बन जाता है। गतिशील प्रणालियों के सिद्धांत से पता चलता है कि सरल समीकरण ऐसे अराजक व्यवहार उत्पन्न कर सकते हैं जिसमें सिस्टम कभी स्थिर स्थिति में नहीं लौटता है और एक ही समय में कोई नियमितता प्रकट नहीं होती है। अक्सर ऐसी प्रणालियाँ एक प्रमुख पैरामीटर के एक निश्चित मान तक सामान्य रूप से व्यवहार करती हैं, फिर एक संक्रमण का अनुभव करती हैं जिसमें आगे के विकास के लिए दो संभावनाएं होती हैं, फिर चार, और अंत में संभावनाओं का एक अराजक सेट।

तकनीकी वस्तुओं में होने वाली प्रक्रियाओं की योजनाओं में स्पष्ट रूप से परिभाषित भग्न संरचना होती है। न्यूनतम तकनीकी प्रणाली (टीएस) की संरचना का तात्पर्य दो प्रकार की प्रक्रियाओं के टीएस के भीतर प्रवाह से है - मुख्य और सहायक, और यह विभाजन सशर्त और सापेक्ष है। सहायक प्रक्रियाओं के संबंध में कोई भी प्रक्रिया मुख्य हो सकती है, और किसी भी सहायक प्रक्रिया को "उनकी" सहायक प्रक्रियाओं के संबंध में मुख्य माना जा सकता है। आरेख में मंडल उन भौतिक प्रभावों को इंगित करते हैं जो उन प्रक्रियाओं के प्रवाह को सुनिश्चित करते हैं, जिनके लिए विशेष रूप से "स्वयं" टीएस बनाना आवश्यक नहीं है। ये प्रक्रियाएं पदार्थों, क्षेत्रों, पदार्थों और क्षेत्रों के बीच बातचीत का परिणाम हैं। सटीक होने के लिए, भौतिक प्रभाव एक वाहन है, जिसके सिद्धांत को हम प्रभावित नहीं कर सकते हैं, और हम नहीं चाहते हैं या इसकी संरचना में हस्तक्षेप करने का कोई अवसर नहीं है।

आरेख में दिखाई गई मुख्य प्रक्रिया का प्रवाह तीन सहायक प्रक्रियाओं के अस्तित्व से सुनिश्चित होता है जो टीएस के लिए मुख्य हैं जो उन्हें उत्पन्न करते हैं। निष्पक्षता के लिए, हम ध्यान दें कि न्यूनतम टीएस के कामकाज के लिए, तीन प्रक्रियाएं स्पष्ट रूप से पर्याप्त नहीं हैं, अर्थात। योजना बहुत ही अतिशयोक्तिपूर्ण है।

सब कुछ उतना सरल नहीं है जितना कि चित्र में दिखाया गया है। एक उपयोगी (एक व्यक्ति के लिए आवश्यक) प्रक्रिया को 100% दक्षता के साथ नहीं किया जा सकता है। नष्ट हुई ऊर्जा हानिकारक प्रक्रियाओं के निर्माण पर खर्च की जाती है - हीटिंग, कंपन, आदि। नतीजतन, लाभकारी प्रक्रिया के समानांतर, हानिकारक उत्पन्न होते हैं। "खराब" प्रक्रिया को "अच्छे" के साथ बदलना हमेशा संभव नहीं होता है, इसलिए सिस्टम के लिए हानिकारक परिणामों की भरपाई के लिए नई प्रक्रियाओं को व्यवस्थित करना होगा। एक विशिष्ट उदाहरण घर्षण का मुकाबला करने की आवश्यकता है, जो किसी को सरल स्नेहन योजनाओं को व्यवस्थित करने के लिए मजबूर करता है, महंगी घर्षण-रोधी सामग्री का उपयोग करता है, या समय-समय पर घटकों और भागों को लुब्रिकेट करने या उन्हें बदलने में समय व्यतीत करता है।

परिवर्तनशील पर्यावरण के अपरिहार्य प्रभाव के अस्तित्व के संबंध में, एक उपयोगी प्रक्रिया को नियंत्रित करने की आवश्यकता हो सकती है। प्रबंधन स्वचालित उपकरणों की मदद से और सीधे एक व्यक्ति द्वारा किया जा सकता है। प्रक्रिया आरेख वास्तव में विशेष आदेशों का एक सेट है, अर्थात। कलन विधि। प्रत्येक कमांड का सार (विवरण) एक उपयोगी प्रक्रिया, इसके साथ आने वाली हानिकारक प्रक्रियाओं और आवश्यक नियंत्रण प्रक्रियाओं का एक संयोजन है। इस तरह के एक एल्गोरिथ्म में, सहायक प्रक्रियाओं का सेट एक साधारण सबरूटीन है - और यहां हम एक फ्रैक्टल भी पाते हैं। एक चौथाई सदी पहले बनाई गई आर। कोल्लर की विधि, केवल 12 जोड़े कार्यों (प्रक्रियाओं) के काफी सीमित सेट के साथ सिस्टम बनाना संभव बनाती है।

गणित में असामान्य गुणों वाले स्व-समान समुच्चय

19 वीं शताब्दी के अंत से, गणित में शास्त्रीय विश्लेषण के दृष्टिकोण से रोग संबंधी गुणों के साथ स्व-समान वस्तुओं के उदाहरण दिखाई दिए। इनमें निम्नलिखित शामिल हैं:

कैंटर सेट कहीं भी घना बेशुमार सही सेट नहीं है। प्रक्रिया को संशोधित करके, कोई भी सकारात्मक लंबाई का कहीं भी घना सेट प्राप्त कर सकता है।

सिएरपिंस्की त्रिकोण ("मेज़पोश") और सिएरपिंस्की कालीन विमान पर स्थापित कैंटर के अनुरूप हैं।

मेन्जर का स्पंज - त्रि-आयामी अंतरिक्ष में स्थापित कैंटर का एक एनालॉग;

वीयरस्ट्रैस और वैन डेर वेर्डन के उदाहरण कहीं भी अलग-अलग निरंतर कार्य के नहीं हैं।

कोच वक्र - अनंत लंबाई का एक गैर-स्व-प्रतिच्छेदन निरंतर वक्र जिसमें किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा नहीं होती है;

पीनो वक्र एक वर्ग के सभी बिंदुओं से गुजरने वाला एक सतत वक्र है।

ब्राउनियन कण का प्रक्षेपवक्र भी संभाव्यता 1 के साथ कहीं भी भिन्न नहीं होता है। इसका हॉसडॉर्फ आयाम दो . है

भग्न वक्र प्राप्त करने के लिए पुनरावर्ती प्रक्रिया

कोच वक्र का निर्माण

एक तल में भग्न वक्र प्राप्त करने के लिए एक सरल पुनरावर्ती प्रक्रिया है। हम एक सीमित संख्या में लिंक के साथ एक मनमानी टूटी हुई रेखा को परिभाषित करते हैं, जिसे जनरेटर कहा जाता है। अगला, हम इसमें प्रत्येक खंड को एक जनरेटर (अधिक सटीक रूप से, एक जनरेटर के समान एक टूटी हुई रेखा) से बदलते हैं। परिणामी टूटी हुई रेखा में, हम फिर से प्रत्येक खंड को एक जनरेटर से बदल देते हैं। अनंत तक जारी रखते हुए, सीमा में हमें एक फ्रैक्टल वक्र मिलता है। दाईं ओर की आकृति कोच वक्र के लिए इस प्रक्रिया के पहले चार चरणों को दर्शाती है।

ऐसे वक्रों के उदाहरण हैं:

ड्रैगन वक्र,

कोच वक्र (कोच हिमपात का एक खंड),

लेवी वक्र,

मिंकोव्स्की वक्र,

हिल्बर्ट वक्र,

टूटा हुआ (वक्र) ड्रैगन (फ्रैक्टल हार्टर-हेटवे),

पीनो वक्र।

इसी तरह की प्रक्रिया का उपयोग करके, एक पाइथागोरस का पेड़ प्राप्त किया जाता है।

संकुचन मानचित्रण के निश्चित बिंदु के रूप में फ्रैक्टल्स

स्व-समानता संपत्ति को गणितीय रूप से निम्नानुसार सख्ती से व्यक्त किया जा सकता है। आज्ञा देना विमान के संकुचन नक्शे हो। विमान के सभी कॉम्पैक्ट (बंद और बंधे) सबसेट के सेट पर निम्नलिखित मैपिंग पर विचार करें:

यह दिखाया जा सकता है कि मैपिंग हॉसडॉर्फ मीट्रिक के साथ कॉम्पैक्ट सेट के सेट पर एक संकुचन मानचित्रण है। इसलिए, बनच के प्रमेय के अनुसार, इस मानचित्रण का एक अद्वितीय निश्चित बिंदु है। यह निश्चित बिंदु हमारा फ्रैक्टल होगा।

ऊपर वर्णित फ्रैक्टल वक्र प्राप्त करने के लिए पुनरावर्ती प्रक्रिया इस निर्माण का एक विशेष मामला है। इसमें, सभी मैपिंग समानता मैपिंग हैं, और जनरेटर लिंक की संख्या है।

सिएरपिंस्की त्रिभुज और मानचित्रण के लिए, समरूपताएं हैं जिनके केंद्र एक नियमित त्रिभुज के शीर्ष पर हैं और गुणांक 1/2 है। यह देखना आसान है कि मैपिंग के तहत सिएरपिंस्की त्रिकोण अपने आप में बदल जाता है।

मामले में जब मैपिंग गुणांक के साथ समानता परिवर्तन होते हैं, तो फ्रैक्टल के आयाम (कुछ अतिरिक्त तकनीकी स्थितियों के तहत) की गणना समीकरण के समाधान के रूप में की जा सकती है। तो, सिएरपिंस्की त्रिभुज के लिए हम प्राप्त करते हैं .

उसी बनच प्रमेय के अनुसार, किसी भी कॉम्पैक्ट सेट से शुरू होकर और मैपिंग के पुनरावृत्तियों पर लागू होने पर, हम अपने फ्रैक्टल के लिए (हॉसडॉर्फ मीट्रिक के अर्थ में) अभिसरण करने वाले कॉम्पैक्ट सेट का एक क्रम प्राप्त करते हैं।

जटिल गतिकी में फ्रैक्टल्स

जूलिया सेट

जूलिया का एक और सेट

फ्रैक्टल्स स्वाभाविक रूप से नॉनलाइनियर डायनेमिक सिस्टम के अध्ययन में उत्पन्न होते हैं। सबसे अधिक अध्ययन किया गया मामला तब होता है जब डायनेमिक सिस्टम को बहुपद के पुनरावृत्तियों या विमान पर एक जटिल चर के होलोमोर्फिक फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया जाता है। इस क्षेत्र में पहला अध्ययन 20वीं शताब्दी की शुरुआत का है और फतौ और जूलिया के नामों से जुड़ा है।

रहने दो एफ(जेड) - बहुपद, जेड 0 एक सम्मिश्र संख्या है। निम्नलिखित अनुक्रम पर विचार करें: जेड 0 , जेड 1 =एफ(जेड 0), जेड 2 =एफ(एफ(जेड 0)) = एफ(जेड 1),जेड 3 =एफ(एफ(एफ(जेड 0)))=एफ(जेड 2), …

हम इस क्रम के व्यवहार में रुचि रखते हैं जैसा कि हम करते हैं एनअनन्त तक। यह क्रम कर सकते हैं:

अनंत के लिए प्रयास करें

परम के लिए प्रयास करें

उदाहरण के लिए, सीमा में चक्रीय व्यवहार प्रदर्शित करें: जेड 1 , जेड 2 , जेड 3 , जेड 1 , जेड 2 , जेड 3 , …

अराजक व्यवहार करना, अर्थात् वर्णित तीन प्रकार के व्यवहारों में से किसी को भी प्रदर्शित नहीं करना।

मूल्यों के समूह जेड 0 , जिसके लिए अनुक्रम एक विशिष्ट प्रकार के व्यवहार को प्रदर्शित करता है, साथ ही विभिन्न प्रकारों के बीच द्विभाजन बिंदुओं के सेट में अक्सर फ्रैक्टल गुण होते हैं।

इस प्रकार, जूलिया सेट बहुपद के लिए द्विभाजन बिंदुओं का समूह है एफ(जेड)=जेड 2 +सी(या अन्य समान कार्य), अर्थात्, वे मान जेड 0 , जिसके लिए अनुक्रम का व्यवहार ( जेड एन) मनमाने ढंग से छोटे बदलावों के साथ नाटकीय रूप से बदल सकता है जेड 0 .

फ्रैक्टल सेट प्राप्त करने का एक अन्य विकल्प बहुपद में एक पैरामीटर पेश करना है एफ(जेड) और उन पैरामीटर मानों के सेट पर विचार करना जिनके लिए अनुक्रम ( जेड एन) एक निश्चित के लिए एक निश्चित व्यवहार प्रदर्शित करता है जेड 0. इस प्रकार, मैंडलब्रॉट समुच्चय उन सभी का समुच्चय है जिसके लिए ( जेड एन) के लिए एफ(जेड)=जेड 2 +सीऔर जेड 0 अनंत तक नहीं जाता है।

इस प्रकार का एक अन्य प्रसिद्ध उदाहरण न्यूटन का ताल है।

यह संबंधित गतिशील प्रणालियों के व्यवहार के आधार पर समतल बिंदुओं को रंगकर जटिल गतिकी पर आधारित सुंदर ग्राफिक चित्र बनाने के लिए लोकप्रिय है। उदाहरण के लिए, मैंडलब्रॉट सेट को पूरक करने के लिए, आप प्रयास की गति के आधार पर बिंदुओं को रंग सकते हैं ( जेड एन) अनंत तक (परिभाषित, कहें, सबसे छोटी संख्या के रूप में एन, कहाँ | जेड एन| एक निश्चित बड़े मूल्य से अधिक है ए.

बायोमॉर्फ्स जटिल गतिकी के आधार पर निर्मित और जीवित जीवों से मिलते-जुलते भग्न हैं।

स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल्स

जूलिया सेट पर आधारित रैंडमाइज्ड फ्रैक्टल

प्राकृतिक वस्तुओं में अक्सर भग्न आकार होता है। उनके मॉडलिंग के लिए, स्टोकेस्टिक (यादृच्छिक) फ्रैक्टल का उपयोग किया जा सकता है। स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल के उदाहरण:

विमान और अंतरिक्ष में ब्राउनियन गति का प्रक्षेपवक्र;

विमान पर ब्राउनियन गति के प्रक्षेपवक्र की सीमा। 2001 में, लॉलर, श्राम और वर्नर ने मंडेलब्रॉट के अनुमान को साबित कर दिया कि इसका आयाम 4/3 है।

Schramm-Löwner इवोल्यूशन अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय फ्रैक्टल वक्र हैं जो सांख्यिकीय यांत्रिकी के महत्वपूर्ण दो-आयामी मॉडल में उत्पन्न होते हैं, उदाहरण के लिए, आइसिंग मॉडल और परकोलेशन में।

विभिन्न प्रकार के यादृच्छिक भग्न, अर्थात्, पुनरावर्ती प्रक्रिया का उपयोग करके प्राप्त भग्न, जिसमें प्रत्येक चरण में एक यादृच्छिक पैरामीटर पेश किया जाता है। प्लाज्मा कंप्यूटर ग्राफिक्स में इस तरह के फ्रैक्टल के उपयोग का एक उदाहरण है।

प्रकृति में

श्वासनली और ब्रांकाई के सामने का दृश्य

ब्रोन्कियल पेड़

रक्त वाहिकाओं का जाल

आवेदन पत्र

प्राकृतिक विज्ञान

भौतिकी में, फ्रैक्टल स्वाभाविक रूप से तब उत्पन्न होते हैं जब गैर-रेखीय प्रक्रियाओं को मॉडलिंग करते हैं, जैसे कि अशांत द्रव प्रवाह, जटिल प्रसार-सोखना प्रक्रियाएं, लपटें, बादल, आदि। फ्रैक्टल्स का उपयोग झरझरा सामग्री मॉडलिंग करते समय किया जाता है, उदाहरण के लिए, पेट्रोकेमिस्ट्री में। जीव विज्ञान में, उनका उपयोग आबादी के मॉडल और आंतरिक अंगों (रक्त वाहिकाओं की प्रणाली) की प्रणालियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

रेडियो इंजीनियरिंग

भग्न एंटेना

एंटीना उपकरणों के डिजाइन में फ्रैक्टल ज्यामिति का उपयोग पहली बार अमेरिकी इंजीनियर नाथन कोहेन द्वारा किया गया था, जो तब बोस्टन शहर में रहते थे, जहां इमारतों पर बाहरी एंटेना स्थापित करने के लिए मना किया गया था। नाथन ने एल्युमिनियम फॉयल से कोच कर्व के रूप में एक आकृति को काटा और कागज की शीट पर चिपका दिया, फिर उसे रिसीवर से जोड़ दिया। कोहेन ने अपनी खुद की कंपनी की स्थापना की और अपना सीरियल प्रोडक्शन शुरू किया।

सूचना विज्ञान

छवि संपीड़न

मुख्य लेख: फ्रैक्टल संपीड़न एल्गोरिदम

भग्न वृक्ष

फ्रैक्टल का उपयोग करते हुए छवि संपीड़न एल्गोरिदम हैं। वे इस विचार पर आधारित हैं कि छवि के बजाय, आप एक संकुचन मानचित्र संग्रहीत कर सकते हैं जिसके लिए यह छवि (या इसके कुछ करीब) एक निश्चित बिंदु है। इस एल्गोरिथम के वेरिएंट में से एक का इस्तेमाल किया गया था [ स्रोत अनिर्दिष्ट 895 दिन] माइक्रोसॉफ्ट द्वारा अपना विश्वकोश प्रकाशित करते समय, लेकिन इन एल्गोरिदम का व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया गया था।

कंप्यूटर ग्राफिक्स

एक और भग्न वृक्ष

कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल्स का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है ताकि प्राकृतिक वस्तुओं जैसे पेड़, झाड़ियों, पहाड़ के परिदृश्य, समुद्री सतह आदि की छवियों का निर्माण किया जा सके। फ्रैक्टल इमेज जेनरेट करने के लिए कई प्रोग्राम का उपयोग किया जाता है, फ्रैक्टल जेनरेटर (प्रोग्राम) देखें।

विकेन्द्रीकृत नेटवर्क

नेत्सुकुकु का आईपी एड्रेस असाइनमेंट सिस्टम नेटवर्क नोड्स के बारे में जानकारी को कॉम्पैक्ट रूप से संग्रहीत करने के लिए फ्रैक्टल सूचना संपीड़न के सिद्धांत का उपयोग करता है। नेटसुकुकु नेटवर्क पर प्रत्येक नोड पड़ोसी नोड्स की स्थिति के बारे में केवल 4 केबी की जानकारी संग्रहीत करता है, जबकि कोई भी नया नोड आईपी पते के वितरण के केंद्रीय विनियमन की आवश्यकता के बिना सामान्य नेटवर्क से जुड़ता है, जो उदाहरण के लिए, विशिष्ट है इंटरनेट। इस प्रकार, भग्न सूचना संपीड़न का सिद्धांत पूरी तरह से विकेन्द्रीकृत, और इसलिए, पूरे नेटवर्क के सबसे स्थिर संचालन की गारंटी देता है।