T के समानुपाती : n ~ T। इसलिए, तापीय चालकता गुणांक तापमान के व्युत्क्रमानुपाती होना चाहिए, जो प्रयोग के साथ गुणात्मक समझौते में है। डेबी तापमान से नीचे के तापमान पर, एल व्यावहारिक रूप से टी से स्वतंत्र है, और थर्मल चालकता पूरी तरह से क्रिस्टल सी वी ~ टी 3 की गर्मी क्षमता के टी पर निर्भरता से निर्धारित होती है। इसलिए, कम तापमान परλ ~T3 । तापमान पर तापीय चालकता की विशेषता निर्भरता चित्र 9 में दिखाई गई है।

धातुओं में, जाली तापीय चालकता के अलावा, मुक्त इलेक्ट्रॉनों द्वारा गर्मी हस्तांतरण के कारण तापीय चालकता को भी ध्यान में रखना आवश्यक है। यह अधातुओं की तुलना में धातुओं की उच्च तापीय चालकता की व्याख्या करता है।

3. क्रिस्टल की इलेक्ट्रॉनिक संरचना।

3.1 आवर्त क्षेत्र में इलेक्ट्रॉनों की गति। एक क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनों के ऊर्जा स्पेक्ट्रम की बैंड संरचना। बलोच कार्य करता है। फैलाव वक्र। प्रभावी द्रव्यमान।

एक ठोस में, परमाणुओं के बीच की दूरी उनके आकार के बराबर होती है। इसलिए, पड़ोसी परमाणुओं के इलेक्ट्रॉन गोले आंशिक रूप से एक दूसरे को ओवरलैप करते हैं, और कम से कम प्रत्येक परमाणु के वैलेंस इलेक्ट्रॉन पड़ोसी परमाणुओं के पर्याप्त मजबूत क्षेत्र में होते हैं। सभी इलेक्ट्रॉनों की गति का सटीक विवरण, एक दूसरे के साथ और परमाणु नाभिक के साथ इलेक्ट्रॉनों की कूलम्ब अंतःक्रिया को ध्यान में रखते हुए, एक परमाणु के लिए भी एक अत्यंत कठिन कार्य है। इसलिए, स्व-संगत क्षेत्र विधि का आमतौर पर उपयोग किया जाता है, जिसमें परमाणु नाभिक और अन्य इलेक्ट्रॉनों के औसत क्षेत्र द्वारा बनाए गए प्रभावी संभावित क्षेत्र में प्रत्येक व्यक्तिगत इलेक्ट्रॉन की गति का वर्णन करने के लिए समस्या को कम किया जाता है।

आइए पहले हम एक क्रिस्टल के ऊर्जा स्तरों की संरचना पर विचार करें, जो कि टाइट-बाइंडिंग सन्निकटन पर आधारित है, जिसमें यह माना जाता है कि एक इलेक्ट्रॉन की अपने परमाणु के साथ बंधन ऊर्जा परमाणु से परमाणु तक उसके आंदोलन की गतिज ऊर्जा से काफी अधिक है। परमाणुओं के बीच बड़ी दूरी पर, उनमें से प्रत्येक में आयन के साथ इलेक्ट्रॉन की बाध्य अवस्थाओं के अनुरूप संकीर्ण ऊर्जा स्तरों की एक प्रणाली होती है। जैसे-जैसे परमाणु एक-दूसरे के करीब आते हैं, उनके बीच संभावित अवरोधों की चौड़ाई और ऊंचाई कम होती जाती है, और टनलिंग प्रभाव के कारण, इलेक्ट्रॉनों को इससे स्थानांतरित होने का अवसर मिलता है।

एक परमाणु से दूसरे में, जो ऊर्जा स्तरों के विस्तार और उनके परिवर्तन के साथ है ऊर्जा क्षेत्र(चित्र। 10)। यह कमजोर बाध्य वैलेंस इलेक्ट्रॉनों के लिए विशेष रूप से सच है, जो आसानी से परमाणु से परमाणु तक क्रिस्टल के माध्यम से स्थानांतरित करने में सक्षम होते हैं, और कुछ हद तक मुक्त इलेक्ट्रॉनों के समान हो जाते हैं। गहरे ऊर्जा स्तरों के इलेक्ट्रॉन अपने स्वयं के परमाणु से बहुत अधिक मजबूती से बंधे होते हैं। वे प्रतिबंधित ऊर्जाओं की विस्तृत श्रृंखला के साथ संकीर्ण ऊर्जा बैंड बनाते हैं। अंजीर पर। 10 पारंपरिक रूप से Na क्रिस्टल के लिए संभावित घटता और ऊर्जा स्तर दिखाता है। इंटरन्यूक्लियर दूरी, d के आधार पर इलेक्ट्रॉनों के ऊर्जा स्पेक्ट्रम की सामान्य प्रकृति को चित्र 11 में दिखाया गया है। कुछ मामलों में, ऊपरी स्तरों को इतनी मजबूती से चौड़ा किया जाता है कि पड़ोसी ऊर्जा बैंड ओवरलैप हो जाते हैं। अंजीर पर। 11 यह स्थिति d = d1 के लिए है।

हाइजेनबर्ग-बोह्र अनिश्चितता संबंध के आधार पर, ऊर्जा बैंड की चौड़ाई, , संबंध द्वारा एक विशेष जाली स्थल पर एक इलेक्ट्रॉन के निवास समय से संबंधित है: > h। टनलिंग प्रभाव के कारण, इलेक्ट्रॉन संभावित अवरोध से रिस सकता है। अनुमान के अनुसार, एक अंतर-परमाणु दूरी पर d ~ 1Aτ ~ 10 -15 s, और इसलिए ~ h/τ ~ 10 -19 J ~ 1 eV, अर्थात। बैंड गैप एक या अधिक eV के क्रम में है। यदि किसी क्रिस्टल में N परमाणु होते हैं, तो प्रत्येक ऊर्जा बैंड में N उप-स्तर होते हैं। एक 1 सेमी3 क्रिस्टल में N ~ 1022 परमाणु होते हैं। नतीजतन, ~ 1 eV की एक बैंड चौड़ाई पर, सबलेवल के बीच की दूरी ~ 10 -22 eV है, जो सामान्य परिस्थितियों में थर्मल गति की ऊर्जा से बहुत कम है। यह दूरी इतनी नगण्य है कि ज्यादातर मामलों में जोनों को व्यावहारिक रूप से निरंतर माना जा सकता है।

एक आदर्श क्रिस्टल में, परमाणुओं के नाभिक क्रिस्टल जाली के नोड्स पर स्थित होते हैं, जो एक सख्त आवधिक संरचना बनाते हैं। इसके अनुसार, इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा V(r) भी समय-समय पर स्थानिक निर्देशांकों पर निर्भर करती है, अर्थात्। है अनुवाद संबंधी समरूपता:

जाली, a i (i = 1,2,3,…) मूल अनुवाद के सदिश हैं।

एक आवधिक क्षेत्र में तरंग कार्य और ऊर्जा स्तर (1) श्रोडिंगर समीकरण को हल करके निर्धारित किया जाता है

जो एक समतल यात्रा तरंग के समीकरण का गुणनफल है, ei kr, और एक आवर्त गुणनखंड, uk (r) = uk (r + a n ), एक जालक अवधि के साथ। फलन (3) बलोच फलन कहलाते हैं।

V(r) = 0 के लिए, समीकरण (2) का एक समतल तरंग के रूप में एक हल है:

जहाँ m कण द्रव्यमान है। तरंग संख्या पर ऊर्जा E की निर्भरता को दर्शाया गया है फैलाव वक्र. (5) के अनुसार, एक मुक्त इलेक्ट्रॉन के मामले में, यह एक परवलय है। मुक्त गति के सादृश्य द्वारा, समीकरण (3) में सदिश k को तरंग सदिश कहा जाता है, और p = h k को अर्ध-गति कहा जाता है।

कमजोर युग्मन सन्निकटन में, हम लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉनों की गति पर विचार करते हैं, जो आयनिक कोर की आवधिक क्षमता के परेशान क्षेत्र से प्रभावित होते हैं। मुक्त गति के विपरीत, एक आवधिक क्षेत्र में V(r) Eq. (2) में E के सभी मानों का हल नहीं होता है। अनुमत ऊर्जा के क्षेत्र निषिद्ध ऊर्जा के क्षेत्रों के साथ वैकल्पिक होते हैं। कमजोर युग्मन मॉडल में, यह क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉन तरंगों के ब्रैग प्रतिबिंब द्वारा समझाया गया है।

आइए इस प्रश्न पर अधिक विस्तार से विचार करें। क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉन तरंगों के अधिकतम परावर्तन की स्थिति (Wulff-Bragg स्थिति) सूत्र (17) भाग I द्वारा निर्धारित की जाती है। G = n g को ध्यान में रखते हुए, यहाँ से हम प्राप्त करते हैं:

परिमित अंतराल की एक प्रणाली पर विचार करें जिसमें k संतोषजनक संबंध (7) के मान शामिल नहीं हैं:

(- एन जी / 2

त्रि-आयामी k - स्थान में परिवर्तन का क्षेत्र, सूत्र द्वारा दिया गया

(8) सभी संभव दिशाओं के लिए, एन-वें ब्रिलॉइन क्षेत्र की सीमाओं को परिभाषित करता है। प्रत्येक ब्रिलौइन ज़ोन (n= 1,2,3,…) के भीतर एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा एक सतत कार्य है, और जोनों की सीमाओं पर यह एक असंततता से ग्रस्त है। दरअसल, जब स्थिति (7) संतुष्ट होती है, तो घटना का आयाम,

ψ के (आर) = यूके (आर) ईई क्र

और प्रतिबिंबित

-के (आर) = यू - के (आर) ई -आई क्र

तरंगें समान होंगी, u k (r) = u -k (r)। ये तरंगें श्रोडिंगर समीकरण के दो समाधान देती हैं:

यह फ़ंक्शन सकारात्मक आयनों पर नकारात्मक चार्ज के संचय का वर्णन करता है, जहां संभावित ऊर्जा सबसे छोटी है। इसी प्रकार, सूत्र (9बी) से हम प्राप्त करते हैं:

ρ 2 (आर) = |ψ 2 (आर)|2 =4 यू जी/2 2 (आर)पाप 2 (जीआर/2)

यह फ़ंक्शन इलेक्ट्रॉनों के ऐसे वितरण का वर्णन करता है, जिसमें वे मुख्य रूप से आयनों के बीच की दूरी के मध्य बिंदुओं के अनुरूप क्षेत्रों में स्थित होते हैं। इस मामले में, संभावित ऊर्जा अधिक होगी। फलन 2 ऊर्जा E2 > E1 के अनुरूप होगा।

चौड़ाई के निषिद्ध बैंड उदा। ऊर्जा Е1 पहले क्षेत्र की ऊपरी सीमा निर्धारित करती है, और ऊर्जा Е2 दूसरे क्षेत्र की निचली सीमा को परिभाषित करती है। इसका मतलब यह है कि जब इलेक्ट्रॉन तरंगें क्रिस्टल में फैलती हैं, तो ऊर्जा श्रेणियां उत्पन्न होती हैं जिसके लिए श्रोडिंगर समीकरण का कोई समाधान नहीं होता है जिसमें तरंग चरित्र होता है।

चूंकि तरंग वेक्टर पर ऊर्जा निर्भरता की प्रकृति क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनों की गतिशीलता को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करती है, उदाहरण के लिए, एक दूसरे से दूरी पर स्थित परमाणुओं की एक रैखिक श्रृंखला का सबसे सरल मामला विचार करने के लिए रुचि का है। एक्स अक्ष। इस मामले में, जी = 2π / ए। चित्र 12 पहले तीन एक-आयामी ब्रिलॉइन क्षेत्रों के लिए फैलाव वक्र दिखाता है: (-

/ ए< k <π /a), (-2π /a < k < -π /a; π/ a < k < 2π /a), (-3π/ a < k < -2π /a; 2π /a < k < 3π /a). К запрещенным зонам относятся области энергии Е`1 < E < E2 , E`2 <

इ< E3 и т.д.

अंजीर पर। 12 प्रस्तुत विस्तारित क्षेत्र योजना, जिसमें विभिन्न ऊर्जा क्षेत्र वीके में स्थित हैं - विभिन्न ब्रिलॉइन क्षेत्रों में अंतरिक्ष। हालांकि, यह हमेशा संभव होता है, और अक्सर सुविधाजनक होता है, वेव वेक्टर को इस तरह से चुनना कि इसका अंत पहले ब्रिलॉइन ज़ोन के अंदर हो। हम बलोच फ़ंक्शन को फॉर्म में लिखते हैं:

पहले ब्रिलॉइन क्षेत्र में स्थित है। सूत्र (11) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

बलोच गुणक (13) के साथ बलोच फ़ंक्शन का रूप है। सूचकांक n अब उस ऊर्जा क्षेत्र की संख्या को इंगित करता है जिससे दिया गया कार्य संबंधित है। पहले ब्रिलॉइन क्षेत्र में एक मनमाना तरंग वेक्टर को कम करने की प्रक्रिया को कहा जाता है कम क्षेत्र आरेख. इस योजना में, वेक्टर -g/2 . मान लेता है< k < g/2 , но одному и тому же значениюк будут отвечать различные значения энергии, каждое из которых будет соответствовать одной из зон. На рисунке 13 представлена схема приведенных зон для одномерной решетки, соответствующая расширенной зонной схеме на рисунке 12.

इस प्रकार, ऊर्जा बैंड अंतराल का अस्तित्व क्रिस्टलीय विमानों से डी ब्रोगली इलेक्ट्रॉन तरंगों के ब्रैग प्रतिबिंब के कारण होता है। असंततता बिंदु अधिकतम तरंग परावर्तन की स्थितियों से निर्धारित होते हैं।

क्वांटम यांत्रिकी के नियमों के अनुसार, एक इलेक्ट्रॉन की अनुवाद गति को वेक्टर k के करीब तरंग वैक्टर के साथ एक तरंग पैकेट की गति के रूप में माना जाता है। तरंग पैकेट का समूह वेग, v , द्वारा दिया गया है

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ठोस में इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा स्पेक्ट्रम की बैंड संरचना। मुक्त और दृढ़ता से बंधे इलेक्ट्रॉनों के मॉडल

3.2. तंग-युग्मन मॉडल में ऊर्जा स्पेक्ट्रम की बैंड संरचना

3.2.1. ऊर्जा स्पेक्ट्रम की बैंड संरचना का निर्माण।

इसलिए, जब दो परमाणुओं के बीच एक बंधन बनता है, तो दो परमाणु कक्षाओं से दो आणविक कक्षाएँ बनती हैं: विभिन्न ऊर्जाओं के साथ बंधन और ढीलापन।

आइए अब देखें कि क्रिस्टल बनने के दौरान क्या होता है। यहाँ संभव हैं दो अलग विकल्प: जब परमाणु एक-दूसरे के पास पहुंचते हैं और अर्धचालक या ढांकता हुआ अवस्था उत्पन्न होती है, तो धातु अवस्था उत्पन्न होती है।

धातु अवस्थाकेवल परमाणु कक्षकों के अतिव्यापन और बहुकेंद्रीय कक्षकों के निर्माण के परिणामस्वरूप उत्पन्न हो सकता है, जिससे संयोजकता इलेक्ट्रॉनों का पूर्ण या आंशिक सामूहिककरण होता है। इस प्रकार, प्रारंभिक रूप से बाध्य परमाणु इलेक्ट्रॉन ऑर्बिटल्स की अवधारणा के आधार पर एक धातु का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है धनात्मक आवेशित आयनों की एक प्रणाली जो बहुकेंद्रीय आणविक कक्षकों की एकल प्रणाली के साथ एक विशाल अणु में संयोजित होती है।

संक्रमण और दुर्लभ पृथ्वी धातुओं में, इलेक्ट्रॉनों के एकत्रीकरण के दौरान उत्पन्न होने वाले धात्विक बंधन के अलावा, भी मौजूद हो सकते हैं सहसंयोजक निर्देशित बांडपूरी तरह से भरे हुए आबंधक कक्षकों वाले पड़ोसी परमाणुओं के बीच।

इलेक्ट्रॉनों का एकत्रीकरण, जो जाली में सभी परमाणुओं के बंधन को सुनिश्चित करता है, परमाणु ऊर्जा स्तरों के 2N-गुना (स्पिन सहित) विभाजन की ओर जाता है और जब परमाणु एक दूसरे के पास आते हैं तो इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा स्पेक्ट्रम की एक बैंड संरचना का निर्माण होता है।

अंतर-परमाणु दूरी में कमी के साथ पृथक परमाणुओं () के असतत ऊर्जा स्तरों में परिवर्तन का एक गुणात्मक चित्रण चित्र 30a में दिखाया गया है, जो संकीर्ण के गठन के साथ ऊर्जा स्तरों के विभाजन को दर्शाता है। ऊर्जा क्षेत्रजिसमें 2N (स्पिन सहित) विभिन्न ऊर्जा अवस्थाएँ (चित्र। 30a) हैं।

चावल। तीस।

ऊर्जा बैंड की चौड़ाई (), जैसा कि नीचे दिखाया जाएगा, पड़ोसी परमाणुओं के इलेक्ट्रॉनों के तरंग कार्यों के ओवरलैप की डिग्री पर या दूसरे शब्दों में, एक इलेक्ट्रॉन के पड़ोसी परमाणु में संक्रमण की संभावना पर निर्भर करता है। . सामान्य तौर पर, ऊर्जा बैंड को निषिद्ध ऊर्जा अंतराल द्वारा अलग किया जाता है, जिसे कहा जाता है निषिद्ध क्षेत्र(अंजीर। 30 ए)।

जब एस- और पी-स्टेट्स ओवरलैप होते हैं, तो कई "बॉन्डिंग" और "लूज़िंग" ज़ोन बनते हैं। इस दृष्टिकोण से, धात्विक अवस्था उत्पन्न होती है यदि ऐसे क्षेत्र हैं जो पूरी तरह से इलेक्ट्रॉनों से भरे नहीं हैं। हालांकि, कमजोर युग्मन (लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल) के विपरीत, इस मामले में, इलेक्ट्रॉनिक तरंग कार्यों को समतल तरंगों के रूप में नहीं माना जा सकता है, जो कि आइसोएनेरगेटिक सतहों के निर्माण की प्रक्रिया को बहुत जटिल करता है। स्थानीय इलेक्ट्रॉनों के तरंग कार्यों के बलोच-प्रकार के तरंग कार्यों में परिवर्तन की प्रकृति का वर्णन करने वाले इलेक्ट्रॉनों का वर्णन चित्र 30 बी, सी में किया गया है।

यहां एक बार फिर इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि यह इलेक्ट्रॉनों का एकत्रीकरण है, यानी क्रिस्टल जाली में स्थानांतरित करने की उनकी क्षमता, जो बाध्य राज्यों के ऊर्जा स्तरों के विभाजन और ऊर्जा बैंड के गठन की ओर ले जाती है (चित्र 30c) .

अर्धचालक (और ढांकता हुआ) राज्यनिर्देशित सहसंयोजक बंधों द्वारा प्रदान किया जाता है। लगभग सभी परमाणु अर्धचालकोंएक हीरा-प्रकार की जाली होती है, जिसमें परमाणुओं के प्रत्येक जोड़े में एक सहसंयोजक बंधन होता है, जो sp 3 संकरण के परिणामस्वरूप बनता है [NE Kuzmenko et al।, 2000]। प्रत्येक एसपी 3 कक्षीय पर दो इलेक्ट्रॉन होते हैं जो पड़ोसी परमाणुओं को बांधते हैं, जिससे सभी बंधन कक्ष पूरी तरह से भर जाते हैं।

ध्यान दें कि पड़ोसी परमाणुओं के जोड़े के बीच स्थानीयकृत बंधनों के मॉडल में, क्रिस्टल जाली के गठन से बॉन्डिंग ऑर्बिटल्स के ऊर्जा स्तरों का विभाजन नहीं होना चाहिए। वास्तव में, अतिव्यापी एसपी 3-ऑर्बिटल्स की एक प्रणाली क्रिस्टल जाली में बनती है, क्योंकि इलेक्ट्रॉनों की एक जोड़ी के इलेक्ट्रॉन घनत्व पर -बॉन्ड न केवल परमाणुओं के बीच अंतरिक्ष के क्षेत्र में केंद्रित होता है, बल्कि शून्य से अलग भी होता है। इन क्षेत्रों। तरंग कार्यों के ओवरलैप के परिणामस्वरूप, क्रिस्टल में बॉन्डिंग और एंटीबॉडी ऑर्बिटल्स के ऊर्जा स्तर को संकीर्ण गैर-अतिव्यापी क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है: एक पूरी तरह से भरा बाध्यकारी क्षेत्र और ऊर्जा में उच्च स्थित एक मुक्त एंटीबॉडी क्षेत्र। इन क्षेत्रों को एक ऊर्जा अंतराल से अलग किया जाता है।

शून्य के अलावा अन्य तापमानों पर, परमाणुओं की ऊष्मीय गति की ऊर्जा की क्रिया के तहत, सहसंयोजक बंधों को तोड़ा जा सकता है, और जारी किए गए इलेक्ट्रॉनों को एंटीबॉन्डिंग ऑर्बिटल्स पर ऊपरी बैंड में स्थानांतरित किया जाता है, जिस पर इलेक्ट्रॉनिक राज्य स्थानीयकृत नहीं होते हैं। ऐसा होता है निरूपणबाध्य इलेक्ट्रॉनों और एक निश्चित संख्या के गठन, तापमान और बैंड अंतराल, चलने वाले इलेक्ट्रॉनों के आधार पर। एकत्रित इलेक्ट्रॉन क्रिस्टल जाली में गति कर सकते हैं, जिससे संबंधित फैलाव कानून के साथ एक चालन बैंड बन सकता है। हालाँकि, अब, जैसे संक्रमण धातुओं के मामले में, जाली में इन इलेक्ट्रॉनों की गति का वर्णन समतल यात्रा तरंगों द्वारा नहीं किया जाता है, बल्कि अधिक जटिल तरंग कार्यों द्वारा किया जाता है जो बाध्य इलेक्ट्रॉनिक राज्यों के तरंग कार्यों को ध्यान में रखते हैं।

जब एक इलेक्ट्रॉन सहसंयोजक बंधों में से एक के साथ उत्तेजित होता है, छेद - एक खाली इलेक्ट्रॉनिक राज्य जिसके लिए एक चार्ज जिम्मेदार है+क्यू ।एक इलेक्ट्रॉन के पड़ोसी बंधनों से इस राज्य में संक्रमण के परिणामस्वरूप, छेद गायब हो जाता है, लेकिन साथ ही पड़ोसी बंधन पर एक खाली राज्य दिखाई देता है। तो छेद क्रिस्टल के माध्यम से आगे बढ़ सकता है। इलेक्ट्रॉनों की तरह, डेलोकाइज्ड होल संबंधित फैलाव कानून के साथ अपना बैंड स्पेक्ट्रम बनाते हैं। एक बाहरी विद्युत क्षेत्र में, एक मुक्त बंधन में इलेक्ट्रॉनों का संक्रमण क्षेत्र के खिलाफ दिशा में प्रबल होता है, जिससे कि छेद क्षेत्र के साथ आगे बढ़ते हैं, एक विद्युत प्रवाह बनाते हैं। इस प्रकार, थर्मल उत्तेजना के दौरान, अर्धचालकों में दो प्रकार के वर्तमान वाहक दिखाई देते हैं - इलेक्ट्रॉन और छेद। उनकी सांद्रता तापमान पर निर्भर करती है, जो अर्धचालक प्रकार की चालकता के लिए विशिष्ट है।

साहित्य: [डब्ल्यू हैरिसन, 1972, ch. द्वितीय, 6.7; डी. जी. नॉररे एट अल।, 1990; के.वी. शालिमोवा, 1985 , 2.4; जे. ज़िमान एट अल।, 1972, अध्याय 8, 1]

3.2.2 एक क्रिस्टल में एक इलेक्ट्रॉन का तरंग कार्य

टाइट-बाइंडिंग मॉडल में, क्रिस्टल में एक इलेक्ट्रॉन के तरंग कार्य को परमाणु कार्यों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है:

कहाँ पे आरइलेक्ट्रॉन का त्रिज्या वेक्टर है, आर जे- त्रिज्या वेक्टर जेवें जाली परमाणु।

चूँकि क्रिस्टल में भ्रमणशील इलेक्ट्रॉनों के तरंग फलन में बलोच रूप (2.1), गुणांक होना चाहिए साथ _(जे) पर एक परमाणु समारोह के लिए जेक्रिस्टल जाली के -वें नोड में एक चरण कारक का रूप होना चाहिए, अर्थात,

भौतिक आधार और

और इलेक्ट्रॉनिक साधनों की तकनीक

भौतिक नींव

ई.एन. विगडोरोविच

ट्यूटोरियल

"भौतिक नींव"

एमजीयूपीआई 2008

यूडीसी 621.382अकादमिक परिषद द्वारा स्वीकृत

एक शिक्षण सहायता के रूप में

इलेक्ट्रॉनिक मीडिया प्रौद्योगिकी

ट्यूटोरियल

एम. एड. एमजीएपीआई, 2008

द्वारा संपादित

प्रो रयझिकोवा आई.वी.

पाठ्यपुस्तक में इलेक्ट्रॉनिक साधनों के गुणों के निर्माण की प्रक्रियाओं की भौतिक नींव पर संक्षिप्त सामग्री है।

मैनुअल शिक्षकों, इंजीनियरिंग और तकनीकी कर्मचारियों और विभिन्न विशिष्टताओं के छात्रों के लिए अभिप्रेत है

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@ मॉस्को स्टेट एकेडमी ऑफ इंस्ट्रूमेंट इंजीनियरिंग एंड इंफॉर्मेटिक्स, 2005

1. प्रभार वाहकों का ऊर्जा स्पेक्ट्रम

हमारे सामने कार्य क्रिस्टलीय ठोस में आवेशित कणों के गुणों और व्यवहार पर विचार करने तक सीमित है।

परमाणु भौतिकी और क्वांटम यांत्रिकी के पाठ्यक्रमों से, एकल पृथक परमाणु में इलेक्ट्रॉनों के व्यवहार को जाना जाता है। इस स्थिति में, इलेक्ट्रॉनों में ऊर्जा का कोई मान नहीं हो सकता है इ,लेकिन केवल कुछ। इलेक्ट्रॉनों का ऊर्जा स्पेक्ट्रम एक असतत चरित्र प्राप्त करता है, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 1.1 में।एक ऊर्जा स्तर से दूसरे में संक्रमण ऊर्जा के अवशोषण या रिलीज से जुड़ा है।

चावल। 1.1. क्रिस्टल में ऊर्जा बैंड के निर्माण की योजना:

ए - एक आयामी क्रिस्टल में परमाणुओं की व्यवस्था; बी - इंट्राक्रिस्टलाइन संभावित क्षेत्र का वितरण; में -एक पृथक परमाणु में ऊर्जा स्तरों की व्यवस्था; डी - ऊर्जा क्षेत्रों का स्थान

सवाल यह उठता है कि अगर परमाणुओं को एक दूसरे के करीब लाया जाए, यानी अगर उन्हें एक ठोस चरण में संघनित किया जाए तो परमाणुओं में ऊर्जा इलेक्ट्रॉनिक स्तर कैसे बदलेगा। इसका एक सरल चित्र एक आयामीक्रिस्टल अंजीर में दिखाया गया है। 1.1 ए।

इस प्रश्न का गुणात्मक उत्तर प्राप्त करना कठिन नहीं है। विचार करें कि एक परमाणु में कौन से बल कार्य करते हैं, और क्या - एक क्रिस्टल में। एक पृथक परमाणु में, सभी के परमाणु नाभिक द्वारा आकर्षण बल होता है उनकाइलेक्ट्रॉनों और इलेक्ट्रॉनों के बीच प्रतिकारक बल। एक क्रिस्टल में, परमाणुओं के बीच निकट दूरी के कारण, नए बल उत्पन्न होते हैं। ये नाभिक के बीच, विभिन्न परमाणुओं से संबंधित इलेक्ट्रॉनों के बीच, और सभी नाभिक और सभी इलेक्ट्रॉनों के बीच परस्पर क्रिया की ताकतें हैं। इन अतिरिक्त बलों के प्रभाव में, क्रिस्टल के प्रत्येक परमाणु में इलेक्ट्रॉनों का ऊर्जा स्तर किसी न किसी तरह बदलना चाहिए। कुछ स्तर नीचे जाएंगे, अन्य ऊर्जा पैमाने पर ऊपर जाएंगे। यह क्या है पहला परिणाम परमाणुओं का दृष्टिकोण। दूसरा परिणाम इस तथ्य के कारण कि परमाणुओं के इलेक्ट्रॉन गोले, विशेष रूप से बाहरी वाले, न केवल एक दूसरे के संपर्क में आ सकते हैं, बल्कि ओवरलैप भी कर सकते हैं। नतीजतन, किसी भी परमाणु में एक स्तर से एक इलेक्ट्रॉन ऊर्जा व्यय के बिना पड़ोसी परमाणु के स्तर तक जा सकता है और इस प्रकार, एक परमाणु से दूसरे परमाणु में स्वतंत्र रूप से स्थानांतरित हो सकता है। इस संबंध में, यह तर्क नहीं दिया जा सकता है कि एक दिया गया इलेक्ट्रॉन किसी एक विशेष परमाणु का होता है, इसके विपरीत, ऐसी स्थिति में एक इलेक्ट्रॉन क्रिस्टल जाली के सभी परमाणुओं का एक साथ होता है। दूसरे शब्दों में, ऐसा होता है समाजीकरण इलेक्ट्रॉन। यह बिना कहे चला जाता है कि पूर्ण समाजीकरण केवल उन इलेक्ट्रॉनों के साथ होता है जो बाहरी इलेक्ट्रॉन कोशों पर होते हैं। इलेक्ट्रॉन खोल नाभिक के जितना करीब होता है, नाभिक उतना ही मजबूत होता है, इस स्तर पर इलेक्ट्रॉन रखता है और इलेक्ट्रॉनों की गति को एक परमाणु से दूसरे में रोकता है।

परमाणुओं के दृष्टिकोण के दोनों परिणामों के संयोजन से ऊर्जा के पैमाने पर, व्यक्तिगत स्तरों के बजाय, संपूर्ण ऊर्जा क्षेत्रों (चित्र। 1.1, डी) की उपस्थिति होती है, अर्थात, ऐसे ऊर्जा मूल्यों के क्षेत्र जो एक इलेक्ट्रॉन के पास हो सकते हैं एक ठोस शरीर के भीतर रहते हुए। बैंड की चौड़ाई नाभिक के साथ इलेक्ट्रॉन के बंधन की डिग्री पर निर्भर होनी चाहिए। यह कनेक्शन जितना बड़ा होगा, स्तर का बंटवारा उतना ही छोटा होगा, यानी क्षेत्र जितना संकरा होगा। एक पृथक परमाणु में, निषिद्ध ऊर्जा मान होते हैं जो एक इलेक्ट्रॉन के पास नहीं हो सकते। यह उम्मीद करना स्वाभाविक है कि ठोस में कुछ ऐसा ही होगा। क्षेत्रों के बीच (अब स्तर नहीं) निषिद्ध क्षेत्र हो सकते हैं। विशेष रूप से, यदि एक व्यक्तिगत परमाणु में स्तरों के बीच की दूरी छोटी है, तो क्रिस्टल में निषिद्ध क्षेत्र परिणामी ऊर्जा बैंड के ओवरलैप के कारण गायब हो सकता है।

इस प्रकार से, क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनों के ऊर्जा स्पेक्ट्रम में एक बैंड संरचना होती है . . श्रोडिंगर समीकरण का उपयोग करके एक क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनों के स्पेक्ट्रम की समस्या का एक मात्रात्मक समाधान भी इस निष्कर्ष पर पहुंचता है कि क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनों के ऊर्जा स्पेक्ट्रम में एक बैंड संरचना होती है। सहज रूप से, कोई कल्पना कर सकता है कि विभिन्न क्रिस्टलीय पदार्थों के गुणों में अंतर विशिष्ट रूप से इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्पेक्ट्रम की विभिन्न संरचना (अनुमत और निषिद्ध क्षेत्रों की विभिन्न चौड़ाई) के साथ जुड़ा हुआ है।

क्वांटम यांत्रिकी, पदार्थ के कई गुणों की व्याख्या करने के लिए, इलेक्ट्रॉन सहित प्राथमिक कणों को एक कण और एक प्रकार की तरंग दोनों के रूप में मानता है। यही है, एक इलेक्ट्रॉन को एक साथ ऊर्जा मूल्यों द्वारा विशेषता दी जा सकती है इऔर संवेग p, साथ ही तरंगदैर्घ्य , आवृत्ति , और तरंग सदिश k = p/h। वहीं, =hνऔर पी = एच / λ।फिर मुक्त इलेक्ट्रॉनों की गति को एक समतल तरंग द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसे डी ब्रोगली तरंग कहा जाता है, एक निरंतर आयाम के साथ।

अध्याय 10

एक निश्चित संख्या में अन्य परमाणुओं के साथ रासायनिक बंधन बनाने के लिए एक परमाणु की क्षमता के रूप में वैलेंस का विचार, जैसा कि एक ठोस शरीर पर लागू होता है, अपना अर्थ खो देता है, क्योंकि यहां सामूहिक बातचीत की संभावना का एहसास होता है। तो एक अणु में, परमाणुओं की संयोजकता एक के बराबर होती है, और एक क्रिस्टल में, प्रत्येक परमाणु 6 परमाणुओं से घिरा होता है और इसके विपरीत।

एक पृथक परमाणु का ऊर्जा स्पेक्ट्रम नाभिक के साथ इलेक्ट्रॉनों की बातचीत से निर्धारित होता है और इसमें एक असतत चरित्र होता है। एक ठोस में इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा अवस्थाएं उसके अपने नाभिक और अन्य परमाणुओं के नाभिक के साथ उसकी अन्योन्यक्रिया से निर्धारित होती हैं। एक क्रिस्टल में, परमाणुओं के नाभिक समय-समय पर किसी भी दिशा में स्थित होते हैं (चित्र 56)। इसलिए, इलेक्ट्रॉन एक आवधिक विद्युत क्षेत्र में गति करता है (नाभिक के पास, इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा नाभिक के बीच के अंतराल की तुलना में कम होती है)। यह इस तथ्य की ओर जाता है कि एक ठोस में असतत परमाणु ऊर्जा स्तर के बजाय एनपरमाणु, उत्पन्न होता है एनएक ऊर्जा बैंड बनाने वाले ऊर्जा स्तर को बारीकी से स्थान दिया गया है। इस अर्थ में, एक ऊर्जा स्तर को ऊर्जा क्षेत्र में विभाजित करने की बात करता है। बैंड में पड़ोसी ऊर्जा स्तर एक दूसरे से 10 -23 eV से अलग हो जाते हैं। तुलना के लिए, हम बताते हैं कि तापमान पर इलेक्ट्रॉनों की औसत तापीय ऊर्जा टी= 300 के ~ 10 -2 ईवी है। नतीजतन, बैंड के अंदर इलेक्ट्रॉन स्पेक्ट्रम को अर्ध-निरंतर माना जा सकता है।

बैंड में अवस्थाओं की संख्या क्रिस्टल में परमाणुओं की संख्या और उस परमाणु ऊर्जा स्तर की बहुलता के गुणनफल के बराबर होती है जिससे बैंड बनाया गया था। एक ऊर्जा स्तर की बहुलता को पॉली सिद्धांत के अनुपालन में इस स्तर पर हो सकने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या के रूप में समझा जाता है।

अनुमत ऊर्जा के क्षेत्रों को निषिद्ध ऊर्जा के क्षेत्रों द्वारा अलग किया जाता है। उनकी चौड़ाई अनुमत ऊर्जा क्षेत्रों की चौड़ाई के बराबर है। ऊर्जा में वृद्धि के साथ, अनुमत बैंड की चौड़ाई बढ़ जाती है, जबकि निषिद्ध बैंड की चौड़ाई कम हो जाती है (चित्र 57)।

2. धातु, अर्धचालक, डाइलेक्ट्रिक्स

ठोसों के विद्युत गुणों में अंतर को इलेक्ट्रॉनों द्वारा अनुमत ऊर्जा बैंड के अलग-अलग भरने और बैंड अंतराल की चौड़ाई द्वारा समझाया गया है। एक शरीर विद्युत प्रवाह का संचालन करने में सक्षम होने के लिए, अनुमत क्षेत्रों में मुक्त ऊर्जा स्तर होना आवश्यक है, जिससे इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र के प्रभाव में जा सकें।

धातुओं

सोडियम क्रिस्टल पर विचार करें। इसका इलेक्ट्रॉनिक सूत्र है। सोडियम का ऊर्जा आरेख अंजीर में दिखाया गया है। 58.

एक पृथक परमाणु में एक असतत ऊर्जा स्पेक्ट्रम होता है। जब परमाणु एक-दूसरे के पास पहुंचते हैं, तो एक निश्चित अंतर-परमाणु दूरी से शुरू होकर, ऊर्जा का स्तर क्षेत्रों में विभाजित हो जाता है। सबसे पहले, बाहरी स्तरों को विभाजित किया जाता है: रिक्त 3 आर, फिर आधा भरा स्तर 3 एस. जैसे-जैसे दूरी कम होती जाती है आरइससे पहले आर 1 ओवरलैप होता है 3 आर-और 3 एसअनुमत ऊर्जा के क्षेत्र। दूरी पर आर = आर 0 (आर 0 क्रिस्टल में संतुलन अंतर-परमाणु दूरी है), परमाणुओं का दृष्टिकोण रुक जाता है। वैलेंस 3 एसइस बैंड के भीतर इलेक्ट्रॉन किसी भी अवस्था में आ सकते हैं। स्तर 1 एसऔर 2 एसकेवल विभाजित कर सकते हैं आर< r 0 और रासायनिक बंधन में भाग न लें। संचार वैलेंस इलेक्ट्रॉनों के एक समूह द्वारा किया जाता है, जिसकी ऊर्जा अवस्थाएँ अतिव्यापी होने के परिणामस्वरूप प्राप्त एक सामान्य क्षेत्र बनाती हैं।

संयोजकता स्तरों द्वारा निर्मित अनुमत ऊर्जा क्षेत्र में, 8 . होगा एनराज्य (संख्या एस- राज्यों 2 एन; संख्या आर- राज्यों 6 एन) एक परमाणु में एक संयोजकता इलेक्ट्रॉन होता है, इसलिए इस क्षेत्र में होगा एनपाउली सिद्धांत और कम से कम ऊर्जा के सिद्धांत के अनुसार राज्यों पर कब्जा करने वाले इलेक्ट्रॉन। नतीजतन, क्षेत्र के कुछ राज्य मुक्त हैं।

वे क्रिस्टल जिनमें संयोजकता इलेक्ट्रॉनों के स्तरों द्वारा गठित बैंड आंशिक रूप से भरा होता है, का संबंध हैधातु। इस बैंड को कंडक्शन बैंड कहा जाता है।

अर्धचालक और डाइलेक्ट्रिक्स

आइए हम एक विशिष्ट अर्धचालक - क्रिस्टलीय सिलिकॉन (Z = 14) के उदाहरण का उपयोग करके अर्धचालकों और डाइलेक्ट्रिक्स की ऊर्जा संरचना पर विचार करें, जिसका इलेक्ट्रॉनिक सूत्र है। एक निश्चित अंतर-परमाणु दूरी से शुरू होकर, क्रिस्टल जाली के निर्माण के दौरान आर 1 >आर 0 (आर 0 क्रिस्टल में संतुलन अंतर-परमाणु दूरी है) होता है एसपी 3-सिलिकॉन के इलेक्ट्रॉनिक राज्यों का संकरण, जो न केवल अतिव्यापी होता है एसऔर 3 आरक्षेत्र, लेकिन उनके विलय और एकल 3 . के गठन के लिए एसपी 3 हाइब्रिड वैलेंस बैंड (चित्र 59), जिसमें इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संभव संख्या 8 . है एन. क्रिस्टलीय सिलिकॉन में, प्रत्येक परमाणु 4 चतुष्फलकीय बंध बनाता है, जो इसकी संयोजकता कोश को आठ इलेक्ट्रॉनों तक पूरा करता है। नतीजतन, वैलेंस बैंड में सभी 8 एनराज्य व्यस्त हैं। इस प्रकार, अर्धचालकों और डाइलेक्ट्रिक्स के लिए वैलेंस इलेक्ट्रॉन स्तरों द्वारा गठित बैंड- वैलेंस बैंड (VZ) - पूरी तरह से भरा हुआ। अगला रिक्त 4 एस- बैंड अंतरापरमाण्विक दूरी पर संयोजकता बैंड के साथ ओवरलैप नहीं करता है आर 0 , और निषिद्ध ऊर्जाओं के बैंड (ZZ) द्वारा इससे अलग किया जाता है . वैलेंस बैंड में स्थित इलेक्ट्रॉन चालन में भाग नहीं ले सकते, क्योंकि बैंड में सभी राज्यों का कब्जा है। क्रिस्टल में एक धारा के प्रकट होने के लिए, इलेक्ट्रॉनों को वैलेंस बैंड से अनुमत ऊर्जा के अगले मुक्त बैंड में स्थानांतरित करना आवश्यक है। ऊपर पहला मुक्त क्षेत्र वैलेंस बैंड कहा जाता हैचालन बैंड (सीबी)। चालन बैंड के निचले भाग और संयोजकता बैंड के शीर्ष के बीच ऊर्जा अंतराल को कहा जाता हैऊर्जा अंतराल विंग.

बैंड गैप के आधार पर, सभी क्रिस्टलीय निकायों को तीन वर्गों में बांटा गया है:

1. धातु - 0.1 ईवी;

2. अर्धचालक -;

3. डाइलेक्ट्रिक्स - ‰4 ईवी।

तदनुसार, निकायों में निम्नलिखित प्रतिरोधकता मान होते हैं:

1. धातु - = 10 -8 10 -6 ओम मी;

2. अर्धचालक - = 10 -6 10 8 ओम मी;

3. डाइलेक्ट्रिक्स - >10 8 ओम एम।

तापमान पर टी= 0 अर्धचालक डाइलेक्ट्रिक्स होते हैं, लेकिन बढ़ते तापमान के साथ, उनका प्रतिरोध तेजी से कम हो जाता है। डाइलेक्ट्रिक्स में, गर्म होने पर, इलेक्ट्रॉनिक चालकता होने से पहले पिघलना होता है।

1928-1931 में। बैंड सिद्धांत एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के संपर्क में आने पर एक ठोस क्रिस्टलीय पदार्थ में होने वाली विभिन्न भौतिक घटनाओं के तंत्र के बारे में आधुनिक विचारों का आधार है। यह एक क्रिस्टल जाली के आवधिक संभावित क्षेत्र में घूमने वाले इलेक्ट्रॉनों का सिद्धांत है।

एक पृथक परमाणु में, इलेक्ट्रॉनों का ऊर्जा स्पेक्ट्रम असतत होता है, अर्थात, इलेक्ट्रॉन केवल अच्छी तरह से परिभाषित ऊर्जा स्तरों पर ही कब्जा कर सकते हैं। इनमें से कुछ स्तर परमाणु की सामान्य, उत्तेजित अवस्था में भरे हुए हैं, जबकि इलेक्ट्रॉन अन्य स्तरों पर तभी हो सकते हैं जब परमाणु बाहरी ऊर्जा प्रभाव के अधीन हो, अर्थात जब वह उत्तेजित हो। एक स्थिर अवस्था के उद्देश्य से, एक परमाणु उत्तेजित अवस्था से उस स्तर तक इलेक्ट्रॉन संक्रमण के क्षण में ऊर्जा की अधिकता को विकीर्ण करता है, जिस पर इसकी ऊर्जा न्यूनतम होती है। एक ऊर्जा स्तर से दूसरे में संक्रमण हमेशा ऊर्जा के अवशोषण या रिलीज से जुड़ा होता है।

एक पृथक परमाणु में, उसके सभी इलेक्ट्रॉनों के परमाणु के नाभिक द्वारा आकर्षण बल और इलेक्ट्रॉनों के बीच प्रतिकर्षण बल होता है। यदि एन समान परमाणुओं की एक प्रणाली है जो एक दूसरे से पर्याप्त दूर हैं (उदाहरण के लिए, एक गैसीय पदार्थ), तो परमाणुओं के बीच व्यावहारिक रूप से कोई बातचीत नहीं होती है, और इलेक्ट्रॉनों का ऊर्जा स्तर अपरिवर्तित रहता है। जब एक गैसीय पदार्थ द्रव में संघनित होता है, और फिर जब एक ठोस का क्रिस्टल जाली बनता है, तो इस प्रकार के परमाणुओं के लिए उपलब्ध सभी इलेक्ट्रॉनिक स्तर (इलेक्ट्रॉनों से भरे और भरे हुए दोनों) कुछ हद तक पड़ोसी परमाणुओं की कार्रवाई के कारण स्थानांतरित हो जाते हैं। एक-दूसरे से। एक क्रिस्टल में, परमाणुओं के बीच की दूरी के कारण, विभिन्न परमाणुओं से संबंधित इलेक्ट्रॉनों के बीच और सभी नाभिक और सभी इलेक्ट्रॉनों के बीच परस्पर क्रिया बल होते हैं। इन अतिरिक्त बलों के प्रभाव में, क्रिस्टल के प्रत्येक परमाणु में इलेक्ट्रॉनों का ऊर्जा स्तर बदल जाता है: कुछ स्तरों की ऊर्जा घट जाती है, जबकि अन्य की ऊर्जा बढ़ जाती है। इस मामले में, परमाणुओं के बाहरी इलेक्ट्रॉन गोले न केवल एक दूसरे को छू सकते हैं, बल्कि ओवरलैप भी कर सकते हैं। विशेष रूप से, एक परमाणु के इलेक्ट्रॉनों का पड़ोसी के नाभिक द्वारा आकर्षण एकान्त परमाणुओं के इलेक्ट्रॉनों को अलग करने वाले संभावित अवरोध की ऊंचाई को कम करता है। यही है, जब परमाणु एक दूसरे के पास आते हैं, तो इलेक्ट्रॉन के गोले ओवरलैप हो जाते हैं, और यह बदले में, इलेक्ट्रॉन गति की प्रकृति को महत्वपूर्ण रूप से बदल देता है। नतीजतन, किसी भी परमाणु में एक स्तर से एक इलेक्ट्रॉन ऊर्जा खर्च किए बिना पड़ोसी परमाणु के स्तर तक जा सकता है, और इस प्रकार एक परमाणु से दूसरे परमाणु में स्वतंत्र रूप से स्थानांतरित हो सकता है। इस प्रक्रिया को इलेक्ट्रॉनों का समाजीकरण कहा जाता है - प्रत्येक इलेक्ट्रॉन क्रिस्टल जाली के सभी परमाणुओं से संबंधित होता है। बाहरी इलेक्ट्रॉन कोश के इलेक्ट्रॉनों के साथ पूर्ण समाजीकरण होता है। कोशों के अतिव्यापन के कारण, इलेक्ट्रॉन, ऊर्जा में परिवर्तन के बिना, विनिमय के माध्यम से एक परमाणु से दूसरे परमाणु में जा सकते हैं, अर्थात क्रिस्टल के माध्यम से आगे बढ़ सकते हैं। एक्सचेंज इंटरैक्शन में विशुद्ध रूप से क्वांटम प्रकृति होती है और यह इलेक्ट्रॉनों की अप्रभेद्यता का परिणाम है।

ऊर्जा के पैमाने पर परमाणुओं के दृष्टिकोण के परिणामस्वरूप, व्यक्तिगत स्तरों के बजाय, ऊर्जा क्षेत्र दिखाई देते हैं, अर्थात, ऐसे ऊर्जा मूल्यों के क्षेत्र जो एक ठोस शरीर के भीतर एक इलेक्ट्रॉन के पास हो सकते हैं। बैंड की चौड़ाई नाभिक के साथ इलेक्ट्रॉन के बंधन की डिग्री पर निर्भर होनी चाहिए। यह कनेक्शन जितना बड़ा होगा, स्तर का बंटवारा जितना छोटा होगा, क्षेत्र उतना ही संकरा होगा। एक पृथक परमाणु में, निषिद्ध ऊर्जा मान होते हैं जो एक इलेक्ट्रॉन के पास नहीं हो सकते हैं; एक ठोस में, निषिद्ध क्षेत्र हो सकते हैं। क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनों के ऊर्जा स्पेक्ट्रम में एक बैंड संरचना होती है। अनुमत ऊर्जा बैंड निषिद्ध ऊर्जा अंतराल द्वारा अलग किए जाते हैं। अनुमत ऊर्जा बैंड की चौड़ाई क्रिस्टल के आकार पर निर्भर नहीं करती है, लेकिन केवल उन परमाणुओं की प्रकृति से निर्धारित होती है जो क्रिस्टल जाली के ठोस और समरूपता का निर्माण करते हैं। यदि ईए दो पड़ोसी परमाणुओं के बीच आदान-प्रदान की ऊर्जा है, तो एक साधारण घन जाली वाले क्रिस्टल के लिए, जहां प्रत्येक परमाणु में 6 निकटतम पड़ोसी होते हैं (समन्वय संख्या = 6), एक चेहरे के लिए ज़ोन में स्तरों का विभाजन 12EA होगा। -केंद्रित जाली (के.एन. = 12) ऊर्जा अनुमत क्षेत्र की चौड़ाई 24 ईए होगी, और शरीर-केंद्रित (के.एन. = 8) - 16 ईए में।

चूंकि ईए की विनिमय ऊर्जा इलेक्ट्रॉन के गोले के ओवरलैप की डिग्री पर निर्भर करती है, आंतरिक कोशों के ऊर्जा स्तर, जो नाभिक के पास अधिक स्थानीयकृत होते हैं, वैलेंस इलेक्ट्रॉनों के स्तर से कम विभाजित होते हैं। न केवल सामान्य (स्थिर), बल्कि उत्साहित ऊर्जा स्तर भी एक क्षेत्र में विभाजित होने के अधीन हैं। ऊर्जा पैमाने के साथ ऊपर जाने पर अनुमत क्षेत्रों की चौड़ाई बढ़ जाती है, और निषिद्ध ऊर्जा अंतराल का आकार तदनुसार कम हो जाता है।

प्रत्येक क्षेत्र में कई ऊर्जा स्तर होते हैं। उनकी संख्या उन परमाणुओं की संख्या से निर्धारित होती है जो ठोस बनाते हैं, अर्थात। परिमित आयामों के क्रिस्टल में, स्तरों के बीच की दूरी परमाणुओं की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती होती है। पाउली सिद्धांत के अनुसार, प्रत्येक ऊर्जा स्तर पर दो से अधिक इलेक्ट्रॉन नहीं हो सकते हैं, और विपरीत स्पिन के साथ। इसलिए, बैंड में इलेक्ट्रॉनिक राज्यों की संख्या परिमित हो जाती है और संबंधित परमाणु राज्यों की संख्या के बराबर होती है। किसी दिए गए ऊर्जा बैंड को भरने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या भी परिमित होती है। जब एन परमाणु प्रत्येक क्षेत्र में पहुंचते हैं, तो एन सबलेवल दिखाई देते हैं। 1 सेमी 3 के आयतन वाले क्रिस्टल में 10 22 -10 23 परमाणु होते हैं। प्रायोगिक आंकड़ों से पता चलता है कि वैलेंस इलेक्ट्रॉन बैंड की ऊर्जा सीमा कुछ इलेक्ट्रॉनवोल्ट से अधिक नहीं होती है। यह इस प्रकार है कि ज़ोन में स्तर 10 -22 - 10 -23 eV द्वारा ऊर्जा में एक दूसरे से अलग हो जाते हैं, अर्थात स्तर इतने करीब हैं कि कम तापमान पर भी इस क्षेत्र को निरंतर अनुमत ऊर्जा का क्षेत्र माना जा सकता है, जैसे कि ऊर्जा क्षेत्र को अर्ध-निरंतर स्पेक्ट्रम की विशेषता है। एक नगण्य रूप से छोटा ऊर्जा प्रभाव इलेक्ट्रॉनों के एक स्तर से दूसरे स्तर पर संक्रमण का कारण बनने के लिए पर्याप्त है, अगर वहां मुक्त अवस्थाएं हैं। यही है, दो पड़ोसी उप-स्तरों की ऊर्जा में छोटे अंतर के कारण, क्रिस्टल में वैलेंस इलेक्ट्रॉनों की कक्षाओं को निरंतर क्षेत्र के रूप में माना जाता है, न कि असतत ऊर्जा स्तरों के एक सेट के रूप में।

अधिक सख्ती से, हम केवल अंतरिक्ष में एक विशेष बिंदु पर एक इलेक्ट्रॉन की संभावना के बारे में बात कर सकते हैं। इस प्रायिकता को तरंग फलन x का उपयोग करके वर्णित किया जाता है, जो श्रोडिंगर तरंग समीकरण को हल करके प्राप्त किया जाता है। जब परमाणु परस्पर क्रिया करते हैं और रासायनिक बंधन प्रकट होते हैं, तो वैलेंस इलेक्ट्रॉनों के तरंग कार्य भी बदल जाते हैं।

क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनों के ऊर्जा स्पेक्ट्रम को पृथक परमाणुओं में ऊर्जा स्तरों से प्राप्त करना तंग-बाध्यकारी सन्निकटन कहलाता है। यह गहरे स्तरों पर स्थित इलेक्ट्रॉनों के लिए और बाहरी प्रभावों के कम अधीन होने के लिए अधिक सही है। जटिल परमाणुओं में, इलेक्ट्रॉन ऊर्जा प्रमुख क्वांटम संख्या n और कक्षीय क्वांटम संख्या l द्वारा निर्धारित की जाती है। एक क्रिस्टल (कमजोर युग्मन सन्निकटन) में अंतःक्रियाओं के लिए लेखांकन से पता चलता है कि क्रिस्टल के निर्माण के दौरान, परमाणुओं का स्तर N(2l+1) उपस्तरों में विभाजित हो जाता है, जिस पर 2N(2l+1) इलेक्ट्रॉन स्थित हो सकते हैं।

पृथक परमाणुओं में ऊर्जा के स्तर की तरह, ऊर्जा बैंड पूरी तरह से भरे, आंशिक रूप से भरे या खाली हो सकते हैं। पृथक परमाणुओं में आंतरिक कोश भरे होते हैं, इसलिए उनके अनुरूप क्षेत्र भी भरे हुए निकलते हैं। सबसे ऊपर भरे हुए बैंड को वैलेंस बैंड कहा जाता है। यह क्षेत्र पृथक परमाणुओं में बाहरी शेल इलेक्ट्रॉनों के ऊर्जा स्तर से मेल खाता है। इसके निकटतम मुक्त, खाली क्षेत्र को चालन बैंड कहा जाता है। उनके बीच एक बैंड गैप है। कंडक्शन बैंड की फिलिंग तब शुरू होती है जब वैलेंस बैंड में इलेक्ट्रॉनों को बैंड गैप के बराबर ऊर्जा अवरोध को दूर करने के लिए पर्याप्त अतिरिक्त ऊर्जा प्राप्त होती है।

बैंड गैप में किसी भी ऊर्जा स्तर की अनुपस्थिति केवल पूर्ण क्रिस्टल के लिए विशिष्ट है। क्रिस्टल में आवधिक क्षेत्र की आदर्शता का कोई भी उल्लंघन बैंड संरचना की आदर्शता का उल्लंघन करता है। एक वास्तविक क्रिस्टल में, क्रिस्टल जाली में हमेशा दोष होते हैं। यदि क्रिस्टल में दोषों की संख्या कम है, तो वे स्थानीयकृत, एक दूसरे से काफी दूरी पर स्थित होंगे। इसलिए, केवल उन इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा स्थिति बदल जाएगी जो दोष के क्षेत्र में हैं, जिससे स्थानीय ऊर्जा राज्यों का निर्माण होगा जो आदर्श बैंड संरचना पर आरोपित हैं। ऐसे राज्यों की संख्या या तो दोषों की संख्या के बराबर होती है या इससे अधिक होती है यदि ऐसे कई राज्य किसी दोष से जुड़े हों। स्थानीय राज्यों का स्थान दोष के निकट के क्षेत्र द्वारा सीमित है। इन ऊर्जा स्तरों पर स्थित इलेक्ट्रॉन दोषों से जुड़े होते हैं और इसलिए विद्युत चालकता में भाग नहीं ले सकते। यही है, दोषों के स्तर जिस पर वे स्थित हैं, क्रिस्टल के बैंड गैप में स्थित हैं।

जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, परमाणुओं के थर्मल कंपन का आयाम बढ़ता है, उनकी बातचीत की डिग्री और ऊर्जा स्तरों के विभाजन की डिग्री बढ़ जाती है। इसलिए, अनुमत क्षेत्र व्यापक हो जाते हैं, और निषिद्ध क्षेत्र क्रमशः संकरे हो जाते हैं। अंतर-परमाणु दूरियों में परिवर्तन के साथ, स्तर विभाजन की प्रकृति के आधार पर, बैंड अंतराल या तो बढ़ या घट सकता है। ऐसा होता है, उदाहरण के लिए, क्रिस्टल पर दबाव की क्रिया के तहत।

बैंड सिद्धांत एक मानदंड तैयार करना संभव बनाता है जो ठोस पदार्थों को दो वर्गों - धातु और अर्धचालक (डाइलेक्ट्रिक्स) में विभाजित करना संभव बनाता है। बैंड सिद्धांत मूल रूप से क्रिस्टलीय ठोस पदार्थों के लिए विकसित किया गया था, लेकिन हाल के वर्षों में इसके विचारों को अनाकार पदार्थों तक भी बढ़ा दिया गया है।