व्याख्यान 9

अंतरिक्ष में विश्लेषणात्मक ज्यामिति।

विमान का सामान्य समीकरण।

परिभाषा। विमानएक सतह कहा जाता है, जिसके सभी बिंदु सामान्य समीकरण को संतुष्ट करते हैं:

कुल्हाड़ी + बाय + सीजेड + डी = 0,

जहां ए, बी, सी वेक्टर -वेक्टर के निर्देशांक हैं नॉर्मल्सविमान को।

निम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

ए \u003d 0 - विमान ऑक्स अक्ष के समानांतर है

बी \u003d 0 - विमान ओए अक्ष के समानांतर है

सी \u003d 0 - विमान ओज़ अक्ष के समानांतर है

डी = 0 - विमान मूल बिंदु से होकर गुजरता है

ए \u003d बी \u003d 0 - विमान xOy विमान के समानांतर है

ए \u003d सी \u003d 0 - विमान xOz विमान के समानांतर है

बी = सी = 0 - विमान विमान के समानांतर है yOz

ए \u003d डी \u003d 0 - विमान ऑक्स अक्ष से गुजरता है

बी \u003d डी \u003d 0 - विमान ओए अक्ष से गुजरता है

C \u003d D \u003d 0 - विमान Oz . अक्ष से होकर गुजरता है

ए \u003d बी \u003d डी \u003d 0 - विमान xOy विमान के साथ मेल खाता है

ए = सी = डी = 0 - विमान xOz विमान के साथ मेल खाता है

बी = सी = डी = 0 - विमान विमान के साथ मेल खाता है yOz

तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण।

अंतरिक्ष में किन्हीं तीन बिंदुओं के माध्यम से एक विमान को खींचने के लिए, यह आवश्यक है कि ये बिंदु एक सीधी रेखा पर न हों।

कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में बिंदुओं M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) पर विचार करें।

एक मनमाना बिंदु M(x, y, z) के लिए बिंदु M 1, M 2, M 3 के साथ एक ही तल में स्थित होने के लिए, यह आवश्यक है कि सदिश
समतलीय थे अर्थात् उनका मिश्रित उत्पाद:

(
) = 0

इस प्रकार,

तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण:

एक सदिश के समानांतर दो बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण।

मान लीजिए कि बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) और सदिश
.

आइए हम दिए गए बिंदुओं M 1 और M 2 से गुजरने वाले समतल का समीकरण और वेक्टर के समानांतर एक मनमाना बिंदु M (x, y, z) की रचना करें। .

वैक्टर
और वेक्टर
समतलीय होना चाहिए, अर्थात

(
) = 0

समतल समीकरण:

दो सदिशों के समानांतर एक बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण।

मान लीजिए कि दो सदिश दिए गए हैं
और
, समरेखीय तल और बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1)। फिर समतल से संबंधित एक मनमाना बिंदु M(x, y, z) के लिए, सदिश
समतलीय होना चाहिए।

समतल समीकरण:

सदिश के लंबवत बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण।

प्रमेय। यदि अंतरिक्ष में एक बिंदु M 0 दिया गया है (x 0, y 0, z 0), तो बिंदु M 0 से गुजरने वाले समतल का समीकरण सामान्य सदिश के लंबवत है (ए, बी, सी) का रूप है:

ए(एक्स – एक्स 0 ) + बी(आप – आप 0 ) + सी(जेड – जेड 0 ) = 0.

प्रमाण। समतल से संबंधित एक मनमाना बिंदु M(x, y, z) के लिए, हम एक सदिश की रचना करते हैं। क्योंकि वेक्टर - सामान्य वेक्टर, तो यह विमान के लंबवत है, और इसलिए, वेक्टर के लंबवत
. फिर अदिश उत्पाद

= 0

इस प्रकार, हम समतल का समीकरण प्राप्त करते हैं

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

खंडों में एक विमान का समीकरण।

यदि सामान्य समीकरण में Ax + Wu + Cz + D = 0 दोनों भागों को -D . से विभाजित करें

,

जगह
, हम खंडों में समतल का समीकरण प्राप्त करते हैं:

संख्या ए, बी, सी कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली के क्रमशः x, y, z अक्षों के चौराहे पर विमान द्वारा काटे गए खंड हैं।

सदिश रूप में समतल समीकरण।

कहाँ पे

- वर्तमान बिंदु एम (एक्स, वाई, जेड) का त्रिज्या-सदिश,

एक इकाई सदिश जिसकी दिशा मूल से तल पर गिराए गए लंब की दिशा है।

, और इस सदिश द्वारा x, y, z अक्षों के साथ बनने वाले कोण हैं।

p इस लंबवत की लंबाई है।

निर्देशांक में, इस समीकरण का रूप है:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

पैरामीट्रिक समतल समीकरण

मान लीजिए अंतरिक्ष में एक बिंदु M 0 (x 0, y 0, z 0) और दो असंरेखीय सदिश दिए गए हैं।

(पी 1 , पी 2 , पी 3) और (क्यू 1, क्यू 2, क्यू 3)। मान लीजिए कि M(x, y, z) समतल का वर्तमान बिंदु है। वैक्टर के बाद से और असंरेख हैं, तो वे समतल पर एक आधार बनाते हैं, जिसमें हम सदिश का विस्तार करते हैं
=टी+ s, जहाँ t, s पैरामीटर हैं। आइए हम मनमाने ढंग से एक कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली को विमान पर रखें ताकि ऑक्स और ओए अक्ष विमान में स्थित हों। केंद्र O से हम त्रिज्या सदिशों को बिंदुओं M 0 और M . तक खींचते हैं और . फिर
=-और

=+टी+ एस ।

यह सदिश रूप में और अदिश रूप में समतल का एक पैरामीट्रिक समीकरण है

एक्स = एक्स 0 + पी 1 टी + क्यू 1 एस

वाई = वाई 0 + पी 2 टी + क्यू 2 एस

जेड = जेड 0 + पी 3 टी + क्यू 3 एस

एक बिंदु से एक विमान की दूरी।

एक मनमाना बिंदु M 0 (x 0, y 0, z 0) से समतल Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 की दूरी है:

उदाहरण। समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए, यह जानते हुए कि बिंदु P (4; -3; 12) मूल से इस तल पर गिराए गए लंब का आधार है।

तो ए = 4/13; बी = -3/13; सी = 12/13, सूत्र का प्रयोग करें:

ए (एक्स - एक्स 0 ) + बी (वाई - वाई 0 ) + सी (जेड - जेड 0 ) = 0.

उदाहरण . दो बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए

P(2; 0; -1) और Q(1; -1; 3) तल 3x + 2y - z + 5 = 0 के लंबवत हैं।

समतल 3x + 2y - z + 5 = 0 . का सामान्य सदिश
वांछित विमान के समानांतर।

हम पाते हैं:

उदाहरण . बिंदुओं A(2, -1, 4) और से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए

(3, 2, -1) तल पर लंबवत एक्स + पर + 2जेड – 3 = 0.

वांछित समतल समीकरण का रूप है: A एक्स+ बी आप+ सी जेड+ D = 0, इस तल का अभिलंब सदिश (ए, बी, सी)। वेक्टर
(1, 3, -5) तल के अंतर्गत आता है। हमें दिया गया विमान, वांछित के लंबवत, एक सामान्य वेक्टर है (1, 1, 2)। क्योंकि बिंदु ए और बी दोनों विमानों से संबंधित हैं, और विमान परस्पर लंबवत हैं, तो

तो सामान्य वेक्टर (11, -7, -2)। क्योंकि बिंदु ए वांछित विमान से संबंधित है, तो इसके निर्देशांक को इस विमान के समीकरण को पूरा करना होगा, यानी। 112 + 71 - 24 + डी = 0; डी = -21।

तो, हमें विमान का समीकरण मिलता है: 11 एक्स - 7आप – 2जेड – 21 = 0.

उदाहरण . समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए, यह जानते हुए कि बिंदु P(4, -3, 12) मूल से इस तल पर गिराए गए लंब का आधार है।

सामान्य वेक्टर के निर्देशांक ढूँढना
= (4, -3, 12)। तल के वांछित समीकरण का रूप है: 4 एक्स – 3आप + 12जेड+ डी = 0. गुणांक डी को खोजने के लिए, हम बिंदु के निर्देशांक को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

16 + 9 + 144 + डी = 0

तो, हमें वांछित समीकरण मिलता है: 4 एक्स – 3आप + 12जेड – 169 = 0

उदाहरण . पिरामिड के शीर्षों के निर्देशांकों को देखते हुए

ए 1 (1; 0; 3), ए 2 (2; -1; 3), ए 3 (2; 1; 1), ए 4 (1; 2; 5)।

किनारे A 1 A 2 की लंबाई ज्ञात कीजिए।

किनारों A 1 A 2 और A 1 A 4 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

किनारे A 1 A 4 और फलक A 1 A 2 A 3 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले, चेहरे पर सामान्य वेक्टर खोजें ए 1 ए 2 ए 3 - वैक्टर के क्रॉस उत्पाद के रूप में
और
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

सामान्य वेक्टर और वेक्टर के बीच का कोण खोजें
.

-4 – 4 = -8.

वेक्टर और विमान के बीच वांछित कोण  = 90 0 - के बराबर होगा।

फलक A 1 A 2 A 3 का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए।

समतल А 1 А 2 А 3 का समीकरण ज्ञात कीजिए।

हम तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल के समीकरण के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं।

2x + 2y + 2z - 8 = 0

अंतरिक्ष में सतह समीकरण

परिभाषा। सतह पर किसी भी बिंदु के x, y, z निर्देशांक से संबंधित कोई भी समीकरण उस सतह का समीकरण होता है।

विमान का सामान्य समीकरण

परिभाषा। एक तल एक सतह है, जिसके सभी बिंदु सामान्य समीकरण को संतुष्ट करते हैं:

कुल्हाड़ी + बाय + सीजेड + डी = 0,

जहां ए, बी, सी वेक्टर के निर्देशांक हैं

विमान के लिए सामान्य वेक्टर। निम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

ए \u003d 0 - विमान ऑक्स अक्ष के समानांतर है

बी \u003d 0 - विमान ओए अक्ष के समानांतर है

सी \u003d 0 - विमान ओज़ अक्ष के समानांतर है

डी = 0 - विमान मूल बिंदु से होकर गुजरता है

ए \u003d बी \u003d 0 - विमान xOy विमान के समानांतर है

ए \u003d सी \u003d 0 - विमान xOz विमान के समानांतर है

बी \u003d सी \u003d 0 - विमान विमान के समानांतर है yOz

ए \u003d डी \u003d 0 - विमान ऑक्स अक्ष से गुजरता है

बी \u003d डी \u003d 0 - विमान ओए अक्ष से गुजरता है

सी \u003d डी \u003d 0 - विमान ओज अक्ष से गुजरता है

ए \u003d बी \u003d डी \u003d 0 - विमान xOy विमान के साथ मेल खाता है

ए \u003d सी \u003d डी \u003d 0 - विमान xOz विमान के साथ मेल खाता है

बी \u003d सी \u003d डी \u003d 0 - विमान विमान के साथ मेल खाता है yOz

तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण

अंतरिक्ष में किन्हीं तीन बिंदुओं के माध्यम से एक विमान को खींचने के लिए, यह आवश्यक है कि ये बिंदु एक सीधी रेखा पर न हों। सामान्य कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में बिंदुओं М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) पर विचार करें। एक मनमाना बिंदु M(x, y, z) के लिए बिंदु M1, M2, M3 के समान तल में स्थित होने के लिए, सदिश समतलीय होना चाहिए।

इस प्रकार,

तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण:

एक समतल का समीकरण जिसमें दो बिंदु दिए गए हैं और एक सदिश समतल के संरेख है

मान लीजिए बिंदु M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) और एक सदिश दिया गया है।

आइए हम दिए गए बिंदुओं M1 और M2 से गुजरने वाले समतल का समीकरण और वेक्टर के समानांतर एक मनमाना बिंदु M(x, y, z) की रचना करें।

सदिश और सदिश समतलीय होना चाहिए, अर्थात।

समतल समीकरण:

एक बिंदु के संबंध में एक समतल का समीकरण और समतल के समरेखीय दो सदिश

मान लीजिए कि दो सदिश और संरेख तल दिए गए हैं। फिर समतल से संबंधित एक मनमाना बिंदु M(x, y, z) के लिए सदिश समतलीय होना चाहिए। समतल समीकरण:

बिंदु और सामान्य वेक्टर द्वारा समतल समीकरण

प्रमेय। यदि अंतरिक्ष में एक बिंदु M0 (x0, y0, z0) दिया गया है, तो सामान्य वेक्टर (A, B, C) के लंबवत बिंदु M0 से गुजरने वाले समतल के समीकरण का रूप है:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + सी (जेड - जेड 0) = 0।

प्रमाण। समतल से संबंधित एक मनमाना बिंदु M(x, y, z) के लिए, हम एक सदिश की रचना करते हैं। क्योंकि वेक्टर एक सामान्य वेक्टर है, तो यह विमान के लंबवत है, और इसलिए वेक्टर के लंबवत भी है। फिर अदिश उत्पाद

इस प्रकार, हम समतल का समीकरण प्राप्त करते हैं

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण कहलाता है पूर्ण, यदि इसके सभी गुणांक 0 के बराबर नहीं हैं। अन्यथा, समीकरण कहलाता है अधूरा.

डी = 0 कुल्हाड़ी+वू+Сz=0- विमान, निर्देशांक की उत्पत्ति के माध्यम से गुजर रहा है।

शेष मामले सामान्य वेक्टर की स्थिति से निर्धारित होते हैं एन = (ए; बी; सी)।

ए = 0 у+Сz+D=0विमान का समीकरण है, समानांतर अक्ष ऑक्स।(क्योंकि सामान्य वेक्टर एन = ( 0;B;C) ऑक्स अक्ष के लंबवत है)।

बी = 0 आह+z+D=0 -समतल समीकरण, y अक्ष के समानांतर।(क्योंकि सामान्य वेक्टर एन = (ए; 0; सी) ओए अक्ष के लंबवत है)।

सी = 0 आह+वू+डी=0 -समतल समीकरण, समानांतर अक्ष Oजेड. (क्योंकि सामान्य वेक्टर एन = (ए; बी; 0) ओज़ अक्ष के लंबवत है)।

ए = बी = 0 z+D=0 - जेड=-डी/सी – ऑक्सी प्लेन के समानांतर एक प्लेन का समीकरण (क्योंकि यह प्लेन ऑक्स और ओए एक्सिस के समानांतर है)।

ए = सी = 0 वू+डी=0 - y=-डी/बी-ऑक्सज़ प्लेन के समानांतर एक प्लेन का समीकरण (क्योंकि यह प्लेन ऑक्स और ओज़ एक्सिस के समानांतर है)।

बी = सी = 0 आह+डी=0 - एक्स=-डी/ए- Oyz समतल के समानांतर एक समतल का समीकरण (क्योंकि यह समतल Oy और Oz अक्षों के समानांतर है)।

ए = डी = 0 By+Cz=0 - x-अक्ष से गुजरने वाले तल का समीकरण।

बी = डी = 0 कुल्हाड़ी+सीजेड=0 -ओए अक्ष से गुजरने वाले समतल का समीकरण।

ए = बी = डी = 0 सीजेड = 0 (जेड = 0) - ऑक्सी समन्वय विमान।(क्योंकि यह तल ऑक्सी के समानांतर है और मूल बिंदु से होकर गुजरता है)।

ए = सी = डी = 0 By=0 (y=0) - समतल Охz का समन्वय करें।(क्योंकि यह तल ऑक्सज़ के समानांतर है और मूल बिंदु से होकर गुजरता है)।

बी = सी = डी = 0 कुल्हाड़ी = 0 (एक्स = 0) - समन्वय विमान уz।(क्योंकि यह तल Oyz के समानांतर है और मूल बिंदु से होकर गुजरता है)।

दिए गए तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण।

आइए हम 3 अलग-अलग बिंदुओं M 1 (x 1; y 1; z 1), M 2 (x 2; y 2; z 2), M 3 (x 3; y 3; z 3) से गुजरने वाले समतल का समीकरण व्युत्पन्न करें। ), एक सीधी रेखा पर झूठ नहीं बोलना। फिर वैक्टर एम 1 एम 2 \u003d (x 2 -x 1; y 2 ​​-y 1; z 2 -z 1) और एम 1 एम 3 \u003d (x 3 -x 1; y 3 -y 1; z 3 -z 1) संरेख नहीं हैं। इसलिए, बिंदु M(x, y, z) बिंदु M 1, M 2 और M 3 के साथ एक ही तल में स्थित है यदि और केवल यदि सदिश एम 1 एम 2 , एम 1 एम 3 और एम 1 एम\u003d (x-x 1; y-y 1; z-z 1) - समतलीय, अर्थात्। जब उनका मिश्रित उत्पाद 0 . हो

(एम 1 मिमी 1 एम 2 एम 1 एम 3 =0) , अर्थात।

(4) दिए गए 3 बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण।

(पहली पंक्ति के साथ सारणिक का विस्तार करना और सरल बनाना, हमें विमान का सामान्य समीकरण मिलता है: कुल्हाड़ी + वी + सीजेड + डी \u003d 0)।

उस। तीन बिंदु विशिष्ट रूप से एक विमान को परिभाषित करते हैं।

अक्षों पर खंडों में समतल का समीकरण।

समतल Π निर्देशांक अक्षों को M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c) पर प्रतिच्छेद करता है।

एम (एक्स; वाई; जेड) विमान का एक चर बिंदु है।

एम 1 एम=(एक्स-ए; वाई; जेड)

एम 1 एम 2 =(0-а;b;0) दिए गए विमान को परिभाषित करें

एम 1 एम 3 =(-ए;0;सी)

वे। एम 1 मिमी 1 एम 2 एम 1 एम 3 =0

आइए पहली पंक्ति पर विस्तार करें: (х-а)bc-y(-ac)+zab=xbc-abc+yac+zab=0

समानता को abc≠0 से विभाजित करें। हम पाते हैं:

(5) अक्षों पर खंडों में समतल का समीकरण।

समीकरण (5) को विमान के सामान्य समीकरण से प्राप्त किया जा सकता है, यह मानते हुए कि D≠0, D . से विभाजित है

-D/A=a, -D/B=b, -C/D=c को निरूपित करने पर हमें समीकरण 4 प्राप्त होता है।

दो विमानों के बीच का कोण। समांतरता और विमानों की लंबवतता की शर्तें।

दो विमानों α 1 और α 2 के बीच के कोण को 2 किरणों के बीच एक समतल कोण द्वारा मापा जाता है जो उस रेखा के लंबवत होती है जिसके साथ ये विमान प्रतिच्छेद करते हैं। कोई भी दो प्रतिच्छेद करने वाले तल दो कोण बनाते हैं जिनका योग होता है। इनमें से किसी एक कोण को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है।

विमानों को सामान्य समीकरणों द्वारा दिया जाता है:

 1 :ए 1 एक्स+बी 1 वाई+सी 1 जेड+डी 1 =0

 2 : ए 2 एक्स+ बी 2 आप+ सी 2 जेड+ डी 2 =0

पीडीएससी पर विचार करें (ओ, मैं,जे,क) अंतरिक्ष में आर 3। मान लीजिए कोई समतल और सदिश है  एनए के लंबवत। हम समतल पर एक मनमाना बिंदु M 0 तय करते हैं और अंतरिक्ष का वर्तमान बिंदु M लेते हैं। निरूपित करें ` आर =
और ` आर 0 =
. फिर
=`आर – `आर 0 , और बिंदु अगर और केवल अगर वैक्टर ` एनऔर
ओर्थोगोनल। उत्तरार्द्ध संभव है जब

एन .
= 0, यानी एन . (`आर-`आर 0) = 0, (9)

इस समीकरण को कहा जाता है वेक्टर समीकरणविमान वेक्टर ` एनबुलाया सामान्यविमान वेक्टर।

यदि एक ` एन =(लेकिन, पर, साथ में), एम 0 ( एक्स 0 , पर 0 , जेड 0) , एम ( एक्स, पर, जेड) , तो समीकरण (9) रूप लेता है

लेकिन( एक्स – एक्स 0) + बी ( पर – पर 0) + सी ( जेड – जेड 0) = 0, (10).

इस समीकरण को किसी दिए गए सदिश के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण कहा जाता है।

सेवा यह ज्ञात है कि तीन बिंदुओं के माध्यम से एक विमान खींचा जा सकता है। चलो एम 1 ( एक्स 1 , पर 1 , जेड 1), एम 3 ( एक्स 2 , पर 2 , जेड 2), एम 3 ( एक्स 3 , पर 3 , जेड 3). आइए इस तल का समीकरण ज्ञात करें। सदिश समीकरण (9) के अनुसार इस समीकरण को लिखने के लिए तल के बिंदु और अभिलंब सदिश को जानना आवश्यक है। हमारे पास एक बिंदु है (उदाहरण के लिए, एम 1)। और एक सामान्य वेक्टर के रूप में, इस विमान के लंबवत कोई भी वेक्टर करेगा। यह ज्ञात है कि दो वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद उस विमान के लंबवत होता है जिसमें ये वैक्टर स्थित होते हैं। इसलिए, वैक्टर का क्रॉस उत्पाद
और
विमान के सामान्य वेक्टर के रूप में लिया जा सकता है :

` एन =


तब सदिश रूप में समतल के समीकरण का रूप होता है

. (

) =
.
.
= 0.

(ध्यान दें कि हमने वैक्टर की तुलना के लिए शर्त प्राप्त की है
,
,
).

M 1, M 2, M 3 और M बिंदुओं के निर्देशांक के माध्यम से, इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

, (11)

और इसे समतल का समीकरण कहा जाता है, दिए गए तीन बिंदुओं से गुजरते हुएएम 1 ( एक्स 1 , पर 1 , जेड 1), एम 2 ( एक्स 2 , पर 2 , जेड 2), एम 3 ( एक्स 3 , पर 3 , जेड 3).

समीकरण (9) पर फिर से विचार करें, इसे रूपांतरित करें:

ओह + वू + सीज़ +(–ओह 0 – वू 0 – सीज़ 0) = 0 ,

ओह + वू + सीज़+D = 0, जहाँ D = (- ओह 0 – वू 0 – सीज़ 0) .

समीकरण

ओह + वू + सीज़+डी = 0, (12)

बुलाया सामान्य समीकरणविमान यहाँ सदिशN = ( ए, बी, सी) समतल का सामान्य सदिश है (अर्थात, तल के लंबवत सदिश)। प्रमेय सत्य है:

प्रमेय 4.2.

अंतरिक्ष आर 3 में किसी भी विमान को चर के संबंध में रैखिक वर्णित किया जा सकता है एक्स आप, जेडसमीकरण और इसके विपरीत। पहली डिग्री का कोई भी समीकरण कुछ समतल को परिभाषित करता है।

आइए हम इसके सामान्य समीकरण के अनुसार समन्वय प्रणाली के सापेक्ष समतल की स्थिति का अध्ययन करें ओह + वू + सीज़+डी = 0।

यदि गुणांक D = 0 है, तो बिंदु O(0, 0, 0) के निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं ओह + वू + सीज़= 0, अत: यह बिंदु समतल पर स्थित है, अर्थात्। समीकरण के साथ विमान ओह + वू + सीज़= 0 मूल बिन्दु से होकर गुजरता है।

यदि विमान के सामान्य समीकरण में लापता एकचर से (संबंधित गुणांक शून्य के बराबर है), तो विमान उसी नाम के समन्वय अक्ष के समानांतर है। उदाहरण के लिए, समीकरण ओह + सीज़ + डी= 0 y-अक्ष के समांतर एक समतल को परिभाषित करता है। दरअसल, सामान्य वेक्टर में निर्देशांक होते हैं ` एन= (ए, 0, सी) और यह जांचना आसान है कि ` एनजे. लेकिन अगर एक विमान और एक वेक्टर एक ही वेक्टर के लंबवत हैं, तो वे समानांतर हैं। समीकरण के साथ समतल वू + सीज़= 0, इस स्थिति में, OX अक्ष से होकर गुजरता है (अर्थात यह अक्ष समतल पर स्थित है)

दो की अनुपस्थितिसमतल समीकरण में चर का अर्थ है कि विमान संबंधित समन्वय तल के समानांतर है, उदाहरण के लिए, रूप का एक समीकरण ओह + डी= 0 YOZ तल के समांतर एक समतल को परिभाषित करता है। सामान्य वेक्टर में निर्देशांक होते हैं ` एन= (ए, 0, 0), यह सदिश . के संरेख है मैं, और, इसलिए, विमान वेक्टर . के लंबवत है मैं, या UOZ समतल के समानांतर।

निर्देशांक विमानों के समीकरणहमशक्ल: कैसे: जेड= 0, पीएल। एक्सओजेड: आप= 0, पीएल। योज़: एक्स = 0.

वास्तव में, HOW विमान मूल बिन्दु (D = 0) और सदिश . से होकर गुजरता है क=(0, 0, 1) इसका प्रसामान्य सदिश है। इसी प्रकार, XOZ और YOZ तल मूल बिन्दु (D = 0) और सदिश . से होकर गुजरते हैं जे=(0, 1, 0) और मैं = (1,0,0) क्रमशः उनके मानक हैं।

अगर D0, तो हम सामान्य समीकरण को इस प्रकार बदलते हैं

ओह + वू+सी जेड = –डी,
,
.

हे यहाँ निरूपित करना
,
,
, हमें समीकरण मिलता है
, (13)

जिसे समतल समीकरण कहा जाता है अक्षों पर खंडों में. यहां ए, बी, सीनिर्देशांक अक्षों (छवि) पर विमान द्वारा काटे गए खंडों के मान हैं। समन्वय प्रणाली में एक विमान के निर्माण के लिए इस समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक है। यह सत्यापित करना आसान है कि अंक ( ए, 0, 0), (0. बी, 0), (0, 0, साथ) एक विमान पर लेट जाओ। इन बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखाएँ कहलाती हैं निशानसमन्वय विमानों पर विमान।

उदाहरण के लिए, आइए एक विमान बनाएं

2एक्स – 3पर + 4जेड –12 = 0.

आइए इस समीकरण को (13) के रूप में लाते हैं, हम प्राप्त करते हैं

डी निर्देशांक प्रणाली में एक समतल बनाने के लिए, OX अक्ष पर बिंदु (6, 0, 0), OY अक्ष पर बिंदु (0, -4, 0), OZ अक्ष पर (0, 0, 3) अंकित करें। , उन्हें सीधी रेखा के खंडों ( समतल के निशान) से जोड़ दें। परिणामी त्रिभुज वांछित तल का एक भाग है, जो निर्देशांक अक्षों के बीच संलग्न है।

ताकि समतल का समीकरण ज्ञात कीजिएजानने के लिए पर्याप्त

या तो इस विमान का सामान्य वेक्टर और इसके किसी भी बिंदु (समीकरण (10));

या एक तल पर पड़े तीन बिंदु (समीकरण (11))।

विमानों की पारस्परिक व्यवस्थाअंतरिक्ष में उनके संगत सदिशों का उपयोग करके अध्ययन करना सुविधाजनक होता है। यदि एक सामान्य सदिश N वाला एक तल है, तो

.

सूत्र की व्युत्पत्ति उसी तरह है जैसे यह एक विमान पर एक सीधी रेखा के लिए किया गया था। इसे अपने दम पर अंजाम दें।

इसे विभिन्न तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है (एक बिंदु और एक वेक्टर, दो बिंदु और एक वेक्टर, तीन बिंदु, आदि)। इसे ध्यान में रखते हुए समतल के समीकरण के विभिन्न रूप हो सकते हैं। इसके अलावा, कुछ शर्तों के तहत, विमान समानांतर, लंबवत, प्रतिच्छेदन आदि हो सकते हैं। हम इस लेख में इस बारे में बात करेंगे। हम सीखेंगे कि समतल का सामान्य समीकरण कैसे लिखा जाता है और न केवल।

समीकरण का सामान्य रूप

मान लीजिए कि एक स्थान R 3 है जिसमें एक आयताकार समन्वय प्रणाली XYZ है। आइए वेक्टर α सेट करें, जो प्रारंभिक बिंदु ओ से जारी किया जाएगा। वेक्टर α के अंत के माध्यम से हम विमान पी खींचते हैं, जो इसके लंबवत होगा।

P से एक मनमाना बिंदु Q=(x, y, z) निरूपित करें। हम बिंदु Q की त्रिज्या सदिश पर अक्षर p से हस्ताक्षर करेंगे। वेक्टर α की लंबाई p=IαI और Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ) है।

यह एक इकाई वेक्टर है जो वेक्टर α की तरह ही बग़ल में इंगित करता है। α, β और वे कोण हैं जो क्रमशः सदिश और अंतरिक्ष अक्षों की धनात्मक दिशाओं x, y, z के बीच बनते हैं। सदिश पर किसी बिंदु QϵП का प्रक्षेपण р के बराबर एक स्थिर मान है: (р,Ʋ) = р(р≥0)।

यह समीकरण तब समझ में आता है जब p=0. केवल एक चीज यह है कि इस मामले में विमान पी बिंदु ओ (α = 0) को काटेगा, जो कि मूल है, और इकाई वेक्टर , बिंदु ओ से जारी, पी के लंबवत होगा, इसकी दिशा की परवाह किए बिना, जिसका अर्थ है कि वेक्टर साइन-सटीक से निर्धारित होता है। पिछला समीकरण हमारे P तल का समीकरण है, जिसे सदिश रूप में व्यक्त किया गया है। लेकिन निर्देशांक में यह इस तरह दिखेगा:

यहाँ P, 0 से बड़ा या उसके बराबर है। हमने अंतरिक्ष में एक समतल के समीकरण को उसके सामान्य रूप में पाया है।

सामान्य समीकरण

यदि हम निर्देशांक में समीकरण को किसी भी संख्या से गुणा करते हैं जो शून्य के बराबर नहीं है, तो हमें दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण मिलता है, जो उसी विमान को निर्धारित करता है। यह इस तरह दिखेगा:

यहाँ A, B, C वे संख्याएँ हैं जो एक साथ शून्य से भिन्न हैं। इस समीकरण को सामान्य समतल समीकरण कहा जाता है।

समतल समीकरण। विशेष स्थितियां

सामान्य रूप में समीकरण को अतिरिक्त स्थितियों की उपस्थिति में संशोधित किया जा सकता है। आइए उनमें से कुछ पर विचार करें।

मान लें कि गुणांक A 0 है। इसका मतलब है कि दिया गया विमान दिए गए अक्ष ऑक्स के समानांतर है। इस मामले में, समीकरण का रूप बदल जाएगा: Ву+Cz+D=0.

इसी प्रकार, निम्नलिखित परिस्थितियों में समीकरण का रूप बदल जाएगा:

• सबसे पहले, यदि B = 0 है, तो समीकरण Ax + Cz + D = 0 में बदल जाएगा, जो Oy अक्ष के समानांतर होने का संकेत देगा।
• दूसरे, यदि С=0, तो समीकरण Ах+Ву+D=0 में तब्दील हो जाता है, जो दिए गए अक्ष Oz के समानांतरता को इंगित करेगा।
• तीसरा, यदि D=0, समीकरण Ax+By+Cz=0 जैसा दिखेगा, जिसका अर्थ होगा कि विमान O (मूल) को प्रतिच्छेद करता है।
• चौथा, यदि A=B=0, तो समीकरण Cz+D=0 में बदल जाएगा, जो ऑक्सी के समानांतर साबित होगा।
• पांचवां, यदि B=C=0, तो समीकरण Ax+D=0 हो जाता है, जिसका अर्थ है कि Oyz का तल समानांतर है।
• छठा, यदि A=C=0 है, तो समीकरण Ву+D=0 रूप लेगा, अर्थात यह ऑक्सज़ को समानांतरता की रिपोर्ट करेगा।

खंडों में समीकरण का प्रकार

उस स्थिति में जब संख्याएँ A, B, C, D शून्येतर न हों, समीकरण (0) का रूप इस प्रकार हो सकता है:

एक्स/ए + वाई/बी + जेड/सी = 1,

जिसमें a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C।

हमें एक परिणाम के रूप में मिलता है यह ध्यान देने योग्य है कि यह विमान ऑक्स अक्ष को निर्देशांक (a,0,0), Oy - (0,b,0), और Oz - (0,0,c) के साथ एक बिंदु पर काटेगा। .

समीकरण x/a + y/b + z/c = 1 को ध्यान में रखते हुए, किसी दिए गए समन्वय प्रणाली के सापेक्ष विमान की स्थिति को दृष्टि से प्रस्तुत करना आसान है।

सामान्य वेक्टर निर्देशांक

समतल P के सामान्य सदिश n में निर्देशांक होते हैं जो दिए गए तल के सामान्य समीकरण के गुणांक होते हैं, अर्थात n (A, B, C)।

अभिलंब n के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, किसी दिए गए तल के सामान्य समीकरण को जानना पर्याप्त है।

सेगमेंट में समीकरण का उपयोग करते समय, जिसका रूप x/a + y/b + z/c = 1 है, साथ ही सामान्य समीकरण का उपयोग करते समय, कोई किसी दिए गए विमान के किसी भी सामान्य वेक्टर के निर्देशांक लिख सकता है: (1 /ए + 1/बी + 1/ के साथ)।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सामान्य वेक्टर विभिन्न समस्याओं को हल करने में मदद करता है। सबसे आम कार्य हैं जो विमानों की लंबवतता या समानांतरता को साबित करने में शामिल हैं, विमानों के बीच कोणों या विमानों और रेखाओं के बीच के कोणों को खोजने में समस्याएं।

बिंदु के निर्देशांक और सामान्य वेक्टर के अनुसार समतल के समीकरण का दृश्य

किसी दिए गए तल के लंबवत एक शून्येतर सदिश n किसी दिए गए तल के लिए अभिलंब (सामान्य) कहलाता है।

मान लीजिए कि निर्देशांक स्थान (आयताकार समन्वय प्रणाली) में ऑक्सीज दिए गए हैं:

• निर्देशांक के साथ बिंदु Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ);
• शून्य वेक्टर n=A*i+B*j+C*k.

एक समतल के लिए एक समीकरण बनाना आवश्यक है जो सामान्य n के लंबवत बिंदु Mₒ से होकर गुजरेगा।

अंतरिक्ष में, हम कोई भी मनमाना बिंदु चुनते हैं और इसे M (x y, z) द्वारा निरूपित करते हैं। मान लीजिए कि किसी बिंदु M (x, y, z) की त्रिज्या सदिश r=x*i+y*j+z*k है, और बिंदु Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) की त्रिज्या सदिश है - rₒ=xₒ* मैं+yₒ *j+zₒ*k. यदि वेक्टर MₒM वेक्टर n के लंबवत है तो बिंदु M दिए गए विमान से संबंधित होगा। हम स्केलर उत्पाद का उपयोग करके ऑर्थोगोनैलिटी कंडीशन लिखते हैं:

[एमₒएम, एन] = 0.

चूंकि MₒM \u003d r-rₒ, विमान का सदिश समीकरण इस तरह दिखेगा:

यह समीकरण दूसरा रूप ले सकता है। ऐसा करने के लिए, अदिश उत्पाद के गुणों का उपयोग किया जाता है, और समीकरण के बाईं ओर रूपांतरित किया जाता है। = -। यदि c के रूप में निरूपित किया जाता है, तो निम्न समीकरण प्राप्त होगा: - c \u003d 0 या \u003d c, जो विमान से संबंधित दिए गए बिंदुओं के त्रिज्या वैक्टर के सामान्य वेक्टर पर अनुमानों की स्थिरता को व्यक्त करता है।

अब आप हमारे तल के सदिश समीकरण को लिखने का निर्देशांक रूप प्राप्त कर सकते हैं = 0. चूँकि r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, और n = ए*आई+बी *जे+सी*के, हमारे पास है:

यह पता चला है कि हमारे पास सामान्य n के लंबवत बिंदु से गुजरने वाले विमान के लिए एक समीकरण है:

ए*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

दो बिंदुओं के निर्देशांक के अनुसार समतल समीकरण का दृश्य और समतल के समीप एक सदिश समरेखण

हम दो मनमाना बिंदु M′ (x′,y′,z′) और M″ (x″,y″,z″), साथ ही सदिश a (a′,a″,a‴) को परिभाषित करते हैं।

अब हम किसी दिए गए विमान के लिए एक समीकरण बना सकते हैं, जो उपलब्ध बिंदुओं M′ और M″ के साथ-साथ दिए गए वेक्टर a के समानांतर निर्देशांक (x, y, z) के साथ किसी भी बिंदु M से होकर गुजरेगा।

इस मामले में, वैक्टर M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) और M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) वेक्टर के साथ समतलीय होना चाहिए a=(a′,a″,a‴), जिसका अर्थ है कि (M′M, M″M, a)=0.

तो, अंतरिक्ष में एक विमान का हमारा समीकरण इस तरह दिखेगा:

तीन बिंदुओं को प्रतिच्छेद करने वाले समतल के समीकरण का प्रकार

मान लीजिए कि हमारे पास तीन बिंदु हैं: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), जो एक ही सीधी रेखा से संबंधित नहीं हैं। दिए गए तीन बिंदुओं से गुजरने वाले तल का समीकरण लिखना आवश्यक है। ज्यामिति के सिद्धांत का दावा है कि इस प्रकार का विमान वास्तव में मौजूद है, केवल यह एकमात्र और अद्वितीय है। चूँकि यह तल बिंदु (x′, y′, z′) को प्रतिच्छेद करता है, इसके समीकरण का रूप इस प्रकार होगा:

यहाँ A, B, C एक ही समय में शून्य से भिन्न हैं। साथ ही, दिया गया तल दो और बिंदुओं को प्रतिच्छेद करता है: (x″,y″,z″) और (x‴,y‴,z‴)। इस संबंध में, निम्नलिखित शर्तों को पूरा किया जाना चाहिए:

अब हम अज्ञात यू, वी, डब्ल्यू के साथ एक सजातीय प्रणाली बना सकते हैं:

हमारे मामले में, x, y या z एक मनमाना बिंदु है जो समीकरण (1) को संतुष्ट करता है। समीकरण (1) और समीकरणों की प्रणाली (2) और (3) को देखते हुए, उपरोक्त आकृति में दर्शाए गए समीकरणों की प्रणाली वेक्टर एन (ए, बी, सी) को संतुष्ट करती है, जो गैर-तुच्छ है। इसलिए इस प्रणाली का निर्धारक शून्य के बराबर है।

समीकरण (1), जो हमने प्राप्त किया है, वह समतल का समीकरण है। यह ठीक 3 बिंदुओं से होकर गुजरता है, और इसे जांचना आसान है। ऐसा करने के लिए, हमें पहली पंक्ति में तत्वों पर अपने निर्धारक का विस्तार करने की आवश्यकता है। यह निर्धारक के मौजूदा गुणों से निम्नानुसार है कि हमारा विमान एक साथ तीन प्रारंभिक बिंदुओं (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) को एक साथ काटता है। . यानी हमने अपने सामने निर्धारित टास्क को हल कर लिया है।

समतलों के बीच द्विफलकीय कोण

एक डायहेड्रल कोण एक स्थानिक ज्यामितीय आकृति है जो दो आधे विमानों द्वारा बनाई जाती है जो एक सीधी रेखा से निकलती हैं। दूसरे शब्दों में, यह अंतरिक्ष का वह हिस्सा है जो इन आधे विमानों द्वारा सीमित है।

मान लें कि हमारे पास निम्नलिखित समीकरणों के साथ दो विमान हैं:

हम जानते हैं कि सदिश N=(A,B,C) और N¹=(A¹,B¹,C¹) दिए गए तलों के अनुसार लंबवत हैं। इस संबंध में, सदिश N और N¹ के बीच का कोण कोण (द्विफलक) के बराबर होता है, जो इन तलों के बीच होता है। अदिश उत्पाद का रूप है:

एनएन¹=|एन||एन¹|कॉस ,

ठीक इसलिए कि

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²))।

यह ध्यान में रखना पर्याप्त है कि 0≤φ≤π।

वास्तव में, दो समतल जो प्रतिच्छेद करते हैं, दो (द्विफलकीय) कोण बनाते हैं: 1 और φ 2 । उनका योग π (φ 1 + φ 2 = ) के बराबर होता है। जहाँ तक उनकी कोसाइन की बात है, उनके निरपेक्ष मान समान हैं, लेकिन वे संकेतों में भिन्न हैं, अर्थात्, cos 1 =-cos 2। यदि समीकरण (0) में हम क्रमशः A, B और C को संख्याओं -A, -B और -C से प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें जो समीकरण मिलता है वह उसी तल का निर्धारण करेगा, समीकरण में एकमात्र कोण cos = NN 1 /|एन||एन 1 | -φ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा।

लंबवत समतल समीकरण

विमानों को लंबवत कहा जाता है यदि उनके बीच का कोण 90 डिग्री है। ऊपर उल्लिखित सामग्री का उपयोग करके, हम एक समतल का समीकरण दूसरे के लंबवत पा सकते हैं। मान लें कि हमारे पास दो विमान हैं: Ax+By+Cz+D=0 और A¹x+B¹y+C¹z+D=0. हम कह सकते हैं कि वे लंबवत होंगे यदि cosφ=0. इसका मतलब है कि NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

समानांतर समतल समीकरण

समानांतर दो विमान हैं जिनमें सामान्य बिंदु नहीं होते हैं।

शर्त (उनके समीकरण पिछले पैराग्राफ के समान हैं) यह है कि वेक्टर एन और एन¹, जो उनके लंबवत हैं, संरेख हैं। इसका मतलब है कि आनुपातिकता की निम्नलिखित शर्तें संतुष्ट हैं:

ए/ए¹=बी/बी¹=सी/सी¹।

यदि आनुपातिकता शर्तों को बढ़ाया जाता है - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

यह इंगित करता है कि ये विमान मेल खाते हैं। इसका मतलब है कि समीकरण Ax+By+Cz+D=0 और A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 एक विमान का वर्णन करते हैं।

बिंदु से विमान की दूरी

मान लीजिए कि हमारे पास एक समतल P है, जो समीकरण (0) द्वारा दिया गया है। निर्देशांक (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ के साथ बिंदु से इसकी दूरी ज्ञात करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको समतल P के समीकरण को सामान्य रूप में लाना होगा:

(ρ, वी) = पी (पी≥0)।

इस स्थिति में, (x,y,z) हमारे बिंदु Q का त्रिज्या सदिश है, जो P पर स्थित है, p लंबवत P की लंबाई है, जिसे शून्य बिंदु से छोड़ा गया था, v इकाई वेक्टर है, जो है एक दिशा में स्थित है।

P से संबंधित कुछ बिंदु Q \u003d (x, y, z) के त्रिज्या वेक्टर का अंतर -ρº, साथ ही किसी दिए गए बिंदु Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) का त्रिज्या वेक्टर ऐसा है वेक्टर, जिसके प्रक्षेपण का निरपेक्ष मान v पर दूरी d के बराबर है, जिसे Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) से P तक पाया जाना चाहिए:

डी=|(ρ-ρ 0 ,v)|, लेकिन

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

तो पता चलता है

डी=|(ρ 0 ,वी)-पी|।

इस प्रकार, हम परिणामी व्यंजक का निरपेक्ष मान, अर्थात् वांछित d प्राप्त करेंगे।

मापदंडों की भाषा का उपयोग करते हुए, हमें स्पष्ट मिलता है:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²)।

यदि दिया गया बिंदु Q 0 समतल P के दूसरी ओर और साथ ही मूल बिंदु पर है, तो सदिश -ρ 0 और v के बीच इसलिए है:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

उस स्थिति में जब बिंदु Q 0, मूल बिंदु के साथ, P के एक ही तरफ स्थित होता है, तो बनाया गया कोण न्यून होता है, अर्थात्:

डी \u003d (ρ-ρ 0, वी) \u003d पी - (ρ 0, वी)> 0।

नतीजतन, यह पता चला है कि पहले मामले में (ρ 0 ,v)> р, दूसरे में (ρ 0 ,v)<р.

स्पर्शरेखा तल और उसका समीकरण

स्पर्शरेखा बिंदु Mº पर सतह पर स्पर्शरेखा तल वह तल होता है जिसमें सतह पर इस बिंदु के माध्यम से खींचे गए वक्रों के सभी संभावित स्पर्शरेखा होते हैं।

सतह समीकरण F (x, y, z) \u003d 0 के इस रूप के साथ, स्पर्शरेखा बिंदु Mº (xº, yº, zº) पर स्पर्शरेखा तल का समीकरण इस तरह दिखेगा:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

यदि आप सतह को स्पष्ट रूप में निर्दिष्ट करते हैं z=f (x, y), तो समीकरण द्वारा स्पर्शरेखा तल का वर्णन किया जाएगा:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº)।

दो विमानों का प्रतिच्छेदन

निर्देशांक प्रणाली (आयताकार) में ऑक्सीज स्थित है, दो विमान और दिए गए हैं, जो प्रतिच्छेद करते हैं और संयोग नहीं करते हैं। चूंकि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में स्थित कोई भी विमान एक सामान्य समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है, हम मान लेंगे कि P′ और P″ समीकरणों द्वारा दिए गए हैं A′x+B′y+C′z+D′=0 और A″x +B″y+ z+D″=0. इस मामले में, हमारे पास P′ तल का सामान्य n′ (A′, B′, C′) और P″ तल का सामान्य n″ (A″, B″, C″) है। चूँकि हमारे तल समानांतर नहीं हैं और संपाती नहीं हैं, ये सदिश संरेख नहीं हैं। गणित की भाषा का प्रयोग करके हम इस शर्त को इस प्रकार लिख सकते हैं: n′≠ n″ (A′, B′, C′) (λ*A″,λ*B″,λ*C″), R। मान लीजिए कि P′ और P″ के प्रतिच्छेदन पर स्थित रेखा को अक्षर a से निरूपित किया जाता है, इस स्थिति में a = P′ P″।

a एक सीधी रेखा है जिसमें (सामान्य) तलों और के सभी बिंदुओं का समुच्चय होता है। इसका मतलब है कि रेखा से संबंधित किसी भी बिंदु के निर्देशांक एक साथ समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए A′x+B′y+C′z+D′=0 तथा A″x+B″y+C″z+D″= 0. इसका मतलब है कि बिंदु के निर्देशांक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का एक विशेष समाधान होंगे:

नतीजतन, यह पता चला है कि समीकरणों की इस प्रणाली का (सामान्य) समाधान सीधी रेखा के प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करेगा, जो П′ और के चौराहे बिंदु के रूप में कार्य करेगा, और सीधे निर्धारित करेगा अंतरिक्ष में समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ (आयताकार) में लाइन ए।