प्रश्न 1।किन कोणों को आसन्न कहा जाता है?
उत्तर।दो कोण आसन्न कहलाते हैं यदि उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ हो और इन कोणों की दूसरी भुजाएँ पूरक अर्ध-रेखाएँ हों।
चित्र 31 में, कोण (ए 1 बी) और (ए 2 बी) आसन्न हैं। उनमें भुजा b समान है, और भुजा a 1 और a 2 अतिरिक्त अर्ध-रेखाएँ हैं।

प्रश्न 2।सिद्ध कीजिए कि आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
उत्तर। प्रमेय 2.1.आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
सबूत।मान लीजिए कि कोण (a 1 b) और कोण (a 2 b) को आसन्न कोण दिए गए हैं (चित्र 31 देखें)। किरण b एक सीधे कोण की भुजाओं a 1 और a 2 के बीच से गुजरती है। इसलिए, कोणों (ए 1 बी) और (ए 2 बी) का योग खुले कोण के बराबर है, यानी 180°। क्यू.ई.डी.

प्रश्न 3।सिद्ध कीजिए कि यदि दो कोण बराबर हैं, तो उनके आसन्न कोण भी बराबर होते हैं।
उत्तर।

प्रमेय से 2.1 इसका तात्पर्य यह है कि यदि दो कोण बराबर हैं, तो उनके आसन्न कोण भी बराबर होते हैं।
मान लीजिए कि कोण (a 1 b) और (c 1 d) बराबर हैं। हमें यह सिद्ध करना होगा कि कोण (a 2 b) और (c 2 d) भी बराबर हैं।
आसन्न कोणों का योग 180° होता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि a 1 b + a 2 b = 180° और c 1 d + c 2 d = 180°। इसलिए, a 2 b = 180° - a 1 b और c 2 d = 180° - c 1 d। चूँकि कोण (a 1 b) और (c 1 d) बराबर हैं, हम पाते हैं कि a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d। समान चिन्ह की परिवर्तनशीलता के गुण से यह निष्कर्ष निकलता है कि a 2 b = c 2 d। क्यू.ई.डी.

प्रश्न 4.किस कोण को समकोण (न्यून, अधिक) कहा जाता है?
उत्तर। 90° के बराबर कोण समकोण कहलाता है।
90° से कम कोण को न्यूनकोण कहते हैं।
90° से बड़ा और 180° से कम कोण को अधिक कोण कहा जाता है।

प्रश्न 5.सिद्ध कीजिए कि समकोण के निकट का कोण समकोण होता है।
उत्तर।आसन्न कोणों के योग पर प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि समकोण से सटे कोण एक समकोण है: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°।

प्रश्न 6.कौन से कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं?
उत्तर।दो कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं की पूरक अर्ध-रेखाएँ हों।

प्रश्न 7.सिद्ध कीजिए कि ऊर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं।
उत्तर। प्रमेय 2.2. ऊर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं.
सबूत।मान लीजिए (a 1 b 1) और (a 2 b 2) दिए गए ऊर्ध्वाधर कोण हैं (चित्र 34)। कोण (a 1 b 2) कोण (a 1 b 1) और कोण (a 2 b 2) के निकट है। यहां से, आसन्न कोणों के योग पर प्रमेय का उपयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि प्रत्येक कोण (a 1 b 1) और (a 2 b 2) कोण (a 1 b 2) को 180° तक पूरक करता है, अर्थात। कोण (a 1 b 1) और (a 2 b 2) बराबर हैं। क्यू.ई.डी.

प्रश्न 8.सिद्ध कीजिए कि यदि, जब दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो उनमें से एक कोण समकोण होता है, तो अन्य तीन कोण भी समकोण होते हैं।
उत्तर।मान लीजिए रेखाएँ AB और CD एक दूसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। मान लीजिए कोण AOD 90° है। चूँकि आसन्न कोणों का योग 180° है, हम पाते हैं कि AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°। कोण COB, कोण AOD के लंबवत है, इसलिए वे बराबर हैं। अर्थात कोण COB = 90°. कोण COA, कोण BOD के लंबवत है, इसलिए वे बराबर हैं। अर्थात कोण BOD = 90°. इस प्रकार, सभी कोण 90° के बराबर हैं, अर्थात वे सभी समकोण हैं। क्यू.ई.डी.

प्रश्न 9.कौन सी रेखाएँ लम्बवत कहलाती हैं? रेखाओं की लम्बवतता दर्शाने के लिए किस चिन्ह का प्रयोग किया जाता है?
उत्तर।दो रेखाएँ लंबवत कहलाती हैं यदि वे समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।
रेखाओं की लंबवतता को \(\perp\) चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है। प्रविष्टि \(a\perp b\) में लिखा है: "रेखा a, रेखा b पर लंबवत है।"

प्रश्न 10.साबित करें कि किसी रेखा पर किसी भी बिंदु से होकर आप उस पर लंबवत रेखा खींच सकते हैं, और केवल एक।
उत्तर। प्रमेय 2.3.प्रत्येक रेखा के माध्यम से आप उस पर लंबवत एक रेखा खींच सकते हैं, और केवल एक।
सबूत।मान लीजिए a एक दी हुई रेखा है और A उस पर एक दिया हुआ बिंदु है। आइए हम प्रारंभिक बिंदु A (चित्र 38) के साथ सीधी रेखा a की आधी रेखाओं में से एक को 1 से निरूपित करें। आइए अर्ध-रेखा a 1 से 90° के बराबर एक कोण (a 1 b 1) घटाएं। तब किरण b 1 वाली सीधी रेखा सीधी रेखा a पर लंबवत होगी।

आइए मान लें कि एक और रेखा है, जो बिंदु A से होकर गुजरती है और रेखा a पर लंबवत है। आइए हम किरण बी 1 के साथ एक ही आधे तल में स्थित इस रेखा की आधी रेखा को सी 1 से निरूपित करें।
कोण (a 1 b 1) और (a 1 c 1), प्रत्येक 90° के बराबर, अर्ध-रेखा a 1 से एक अर्ध-तल में रखे गए हैं। लेकिन अर्ध-रेखा 1 से 90° के बराबर केवल एक कोण किसी दिए गए अर्ध-तल में डाला जा सकता है। इसलिए, बिंदु A से गुजरने वाली और रेखा a पर लंबवत कोई अन्य रेखा नहीं हो सकती है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रश्न 11.एक रेखा पर लम्ब क्या है?
उत्तर।किसी दी गई रेखा पर लंब किसी दी गई रेखा पर लंबवत रेखा का एक खंड होता है, जिसका एक सिरा उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर होता है। खंड के इस सिरे को कहा जाता है आधारलंबवत.

प्रश्न 12.स्पष्ट करें कि विरोधाभास द्वारा कौन सा प्रमाण शामिल है।
उत्तर।प्रमेय 2.3 में हमने जिस प्रमाण विधि का उपयोग किया है उसे विरोधाभास द्वारा प्रमाण कहा जाता है। प्रमाण की इस विधि में पहले प्रमेय में जो कहा गया है उसके विपरीत एक धारणा बनाना शामिल है। फिर, तर्क करके, स्वयंसिद्धों और सिद्ध प्रमेयों पर भरोसा करते हुए, हम एक निष्कर्ष पर पहुंचते हैं जो या तो प्रमेय की शर्तों, या स्वयंसिद्धों में से एक, या पहले से सिद्ध प्रमेय का खंडन करता है। इस आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि हमारी धारणा गलत थी, और इसलिए प्रमेय का कथन सत्य है।

प्रश्न 13.किसी कोण का समद्विभाजक क्या होता है?
उत्तर।किसी कोण का समद्विभाजक वह किरण होती है जो कोण के शीर्ष से निकलती है, उसकी भुजाओं के बीच से गुजरती है और कोण को आधे में विभाजित करती है।

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प्रत्येक कोण का, उसके आकार के आधार पर, अपना नाम होता है:

कोण प्रकार	आकार डिग्री में	उदाहरण
मसालेदार	90° से कम
सीधा	90° के बराबर. किसी चित्र में, समकोण को आमतौर पर कोण के एक तरफ से दूसरे तरफ खींचे गए प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है।
कुंद	90° से अधिक परन्तु 180° से कम
विस्तारित	180° के बराबर एक सीधा कोण दो समकोणों के योग के बराबर होता है, और एक समकोण एक सीधे कोण का आधा होता है।
उत्तल	180° से अधिक परन्तु 360° से कम
भरा हुआ	360° के बराबर

दो कोण कहलाते हैं नज़दीक, यदि उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ है, और अन्य दो भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं:

एंगल्स एमओपीऔर पॉनआसन्न, किरण के बाद से सेशन- सामान्य पक्ष, और अन्य दो पक्ष - ओमऔर परएक सीधी रेखा बनाओ.

आसन्न कोणों की उभयनिष्ठ भुजा कहलाती है तिरछा से सीधा, जिस पर अन्य दो भुजाएँ स्थित हैं, केवल उस स्थिति में जब आसन्न कोण एक दूसरे के बराबर न हों। यदि आसन्न कोण बराबर हों तो उनकी उभयनिष्ठ भुजा होगी सीधा.

आसन्न कोणों का योग 180° होता है।

दो कोण कहलाते हैं खड़ा, यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं को सीधी रेखाओं से पूरक करती हैं:

कोण 1 और 3, साथ ही कोण 2 और 4, ऊर्ध्वाधर हैं।

ऊर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं.

आइए हम सिद्ध करें कि ऊर्ध्वाधर कोण बराबर हैं:

∠1 और ∠2 का योग एक सीधा कोण है। और ∠3 और ∠2 का योग एक सीधा कोण है। तो ये दोनों राशियाँ बराबर हैं:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

इस समानता में बायीं और दायीं ओर एक समान पद है - ∠2. यदि बाएँ और दाएँ इस शब्द को छोड़ दिया जाए तो समानता का उल्लंघन नहीं होगा। तब हम इसे प्राप्त करते हैं।

दो रेखाओं की समानता के लक्षण

प्रमेय 1. यदि, जब दो रेखाएँ एक छेदक रेखा से प्रतिच्छेद करती हैं:

पार किए गए कोण बराबर होते हैं, या

संगत कोण बराबर होते हैं, या

तो, एक तरफा कोणों का योग 180° होता है

रेखाएं समानांतर हैं(चित्र .1)।

सबूत। हम खुद को केस 1 को साबित करने तक ही सीमित रखते हैं।

मान लीजिए कि प्रतिच्छेदी रेखाएँ a और b आड़ी हैं और कोण AB बराबर हैं। उदाहरण के लिए, ∠ 4 = ∠ 6. आइए हम सिद्ध करें कि a || बी।

मान लीजिए कि रेखाएँ a और b समानांतर नहीं हैं। फिर वे किसी बिंदु M पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसलिए, कोण 4 या 6 में से एक त्रिभुज ABM का बाहरी कोण होगा। निश्चितता के लिए, मान लीजिए कि ∠ 4 त्रिभुज ABM का बाह्य कोण है, और ∠ 6 आंतरिक कोण है। त्रिभुज के बाह्य कोण पर प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि ∠ 4, ∠ 6 से बड़ा है, और यह स्थिति का खंडन करता है, जिसका अर्थ है कि रेखाएं a और 6 प्रतिच्छेद नहीं कर सकती हैं, इसलिए वे समानांतर हैं।

परिणाम 1. एक ही रेखा के लंबवत समतल में दो अलग-अलग रेखाएँ समानांतर होती हैं(अंक 2)।

टिप्पणी। जिस तरह से हमने प्रमेय 1 के केस 1 को सिद्ध किया है उसे विरोधाभास या बेतुकेपन को कम करके साबित करने की विधि कहा जाता है। इस पद्धति को इसका पहला नाम इसलिए मिला क्योंकि तर्क की शुरुआत में एक धारणा बनाई जाती है जो सिद्ध करने की आवश्यकता के विपरीत (विपरीत) होती है। इसे बेतुकेपन की ओर ले जाना इसलिए कहा जाता है क्योंकि बनाई गई धारणा के आधार पर तर्क करने पर हम बेतुके निष्कर्ष (बेतुके) पर पहुंचते हैं। इस तरह के निष्कर्ष को प्राप्त करना हमें शुरुआत में की गई धारणा को अस्वीकार करने और जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है उसे स्वीकार करने के लिए मजबूर करता है।

कार्य 1।किसी दिए गए बिंदु M से गुजरने वाली और दी गई रेखा a के समानांतर एक रेखा बनाएं, जो बिंदु M से नहीं गुजरती है।

समाधान। हम बिंदु M से होकर सीधी रेखा a के लंबवत एक सीधी रेखा p खींचते हैं (चित्र 3)।

फिर हम बिंदु M से होकर रेखा p के लंबवत एक रेखा b खींचते हैं। प्रमेय 1 के परिणाम के अनुसार रेखा बी रेखा ए के समानांतर है।

विचाराधीन समस्या से एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकलता है:
किसी बिंदु से होकर जो किसी दी गई रेखा पर नहीं है, दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा खींचना हमेशा संभव होता है.

समांतर रेखाओं का मुख्य गुण इस प्रकार है।

समांतर रेखाओं का अभिगृहीत. किसी दिए गए बिंदु से होकर जो किसी दी गई रेखा पर नहीं है, दिए गए बिंदु के समानांतर केवल एक रेखा गुजरती है।

आइए हम इस सिद्धांत से अनुसरण करने वाली समानांतर रेखाओं के कुछ गुणों पर विचार करें।

1) यदि एक रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक को काटती है, तो वह दूसरी को भी काटती है (चित्र 4)।

2) यदि दो अलग-अलग रेखाएँ किसी तीसरी रेखा के समानांतर हैं, तो वे समानांतर हैं (चित्र 5)।

निम्नलिखित प्रमेय भी सत्य है।

प्रमेय 2. यदि दो समानांतर रेखाएँ एक तिर्यक रेखा द्वारा प्रतिच्छेद की जाती हैं, तो:

क्रॉसवाइज कोण बराबर हैं;

संगत कोण बराबर हैं;

एक तरफा कोणों का योग 180° होता है।

परिणाम 2. यदि कोई रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक पर लंबवत है, तो वह दूसरी पर भी लंबवत होती है(चित्र 2 देखें)।

टिप्पणी। प्रमेय 2 को प्रमेय 1 का व्युत्क्रम कहा जाता है। प्रमेय 1 का निष्कर्ष प्रमेय 2 की स्थिति है। और प्रमेय 1 की स्थिति प्रमेय 2 का निष्कर्ष है। प्रत्येक प्रमेय का व्युत्क्रम नहीं होता है, अर्थात यदि कोई दिया गया प्रमेय है सत्य है, तो व्युत्क्रम प्रमेय असत्य हो सकता है।

आइए इसे ऊर्ध्वाधर कोणों पर प्रमेय के उदाहरण का उपयोग करके समझाएं। इस प्रमेय को इस प्रकार तैयार किया जा सकता है: यदि दो कोण ऊर्ध्वाधर हैं, तो वे बराबर हैं। व्युत्क्रम प्रमेय इस प्रकार होगा: यदि दो कोण बराबर हैं, तो वे लंबवत हैं। और निःसंदेह, यह सच नहीं है। दो समान कोणों का ऊर्ध्वाधर होना आवश्यक नहीं है।

उदाहरण 1।दो समानान्तर रेखाओं को एक तिहाई द्वारा काट दिया जाता है। ज्ञातव्य है कि दो आंतरिक एकपक्षीय कोणों के बीच का अंतर 30° होता है। इन कोणों को खोजें.

समाधान। मान लीजिए चित्र 6 शर्त को पूरा करता है।

इवानित्स्काया वी.पी. द्वारा संपादित। - एम.: आरएसएफएसआर के शिक्षा मंत्रालय का राज्य शैक्षिक और शैक्षणिक प्रकाशन गृह, 1959। - 272 पी।
डाउनलोड करना(सीदा संबद्ध) : egnnsholaster1959.djvu पिछला 1 .. 11 > .. >> अगला

यदि आसन्न कोण बराबर हों, तो उनमें से प्रत्येक को समकोण कहा जाता है। उनकी उभयनिष्ठ भुजा अन्य दो भुजाओं से बनी रेखा का लंबवत कहलाती है। हम यह भी कह सकते हैं कि किसी व्युत्क्रम कोण का समद्विभाजक उसकी भुजाओं से बनी रेखा पर लंबवत होता है।

प्रमेय. यदि कोण बराबर हों तो आसन्न कोण भी बराबर होते हैं।

मान लीजिए (h, k) = ^। (I, m) और मान लीजिए ^ (h!, k) और ^ (/", t) संगत आसन्न कोण हैं (चित्र 20)। मान लीजिए, आगे, / वह गति है जिस पर ^ (h, k) है (I, tri) में प्रदर्शित। इस आंदोलन के साथ, विस्तारित ^ (h, K) को विस्तारित (I, /") में मैप किया जाएगा। यह इस प्रकार है कि ^(h", k) को ^(V, m) में मैप किया जाएगा, अर्थात ^(h!, k) = ^(V, m)।

प्रमेय. किसी भी कोण का एक समद्विभाजक होता है और इसके अलावा, एक अद्वितीय भी होता है।

मान लीजिए ^(A, k) विस्तारित क्षेत्र से भिन्न है और इसका आंतरिक क्षेत्र उत्तल है। आइए हम शीर्ष O से इसके किनारों पर समान खंड OA और OB बनाएं (आरेख 21, a) और बिंदु A और B को जोड़ें। समद्विबाहु त्रिभुज AOB में AOB A = ^B (§ 8)। खंड AB के मध्य C को बिंदु O से जोड़ने पर, हमें त्रिभुज L OS और BOC प्राप्त होते हैं जो पहली विशेषता में बराबर हैं। इसलिए, AOC = BOC, और इसलिए किरण OS एक समद्विभाजक (h, k) है।

यदि (h, k) उत्तल नहीं है (चित्र में इसका आंतरिक क्षेत्र छायांकित नहीं है), तो पिछले के अनुसार

6}
टी^

प्रमेय के अनुसार इसका समद्विभाजक किरण m किरण/ का पूरक है।

त्रिभुज ACO और BCO की समानता से यह भी पता चलता है कि ^ ACO = BCO1 अर्थात किरण CO, CA और CB भुजाओं वाले उलटे कोण का समद्विभाजक है।

अब एक विस्तारित ^(p दिया जाए,<7) (черт.21,6). Совершим движение, при котор ом р азвер нутый

एसीबी को प्रदर्शित किया गया है

(पी क्यू)। CO बीम को t बीम में मैप किया जाता है। चूँकि ^ (p, t) = ^lBCO , ^BCO= ^ACO और ^ACO= = (q, t), तो (p, t) = = ^(q, t), अर्थात t -द्विभाजक (p, q) ).

मान लीजिए / समद्विभाजक हूं

(ए, ए), और जी एक मनमाना किरण है जो कोण के शीर्ष से निकलती है और इसके आंतरिक क्षेत्र में स्थित होती है। यदि Γ आंतरिक क्षेत्र ^(A, /) में स्थित है, तो ^(A, /")<^ (А, /) и ^ (А, Г) >^ (ए, /)। इसलिए, ^(ए, जी)<^ (А, /"). Отсюда следует, что угол имеет единственную биссектрису. Теорема доказана.

उपफल 1. किसी दी गई रेखा पर एक और केवल एक लंब होता है, जो उस पर दिए गए बिंदु से निकलता है और इस रेखा से घिरे हुए दिए गए आधे तल में स्थित होता है।

उपफल 2. समान कोणों के आधे भाग एक दूसरे के बराबर होते हैं।

वास्तव में, यदि ^(ए, ए) = ^(ए", ए"), तो एक आंदोलन है / जिसमें उनमें से एक को दूसरे में मैप किया जाता है। सिद्ध प्रमेय के अनुसार, किसी दिए गए गति के लिए उनके समद्विभाजक / और Γ को भी एक दूसरे में मैप किया जाना चाहिए। इसलिए ^(ए, /) = ^(ए", जी).

चूँकि सभी सीधे कोण बराबर होते हैं, परिणाम 2 का एक विशेष मामला यह प्रस्ताव है: सभी समकोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

सीधी रेखाएँ a और A जो प्रतिच्छेद करते समय समकोण बनाती हैं, लंबवत (a ± b) कहलाती हैं।

सीधी रेखा से परावर्तन. मान लीजिए कि सीधी रेखा समतल a में स्थित है। इस स्थिति में बने अर्ध-तलों को X और p द्वारा निरूपित किया जाएगा। (चित्र 22)। आइए किरण A को एक सीधी रेखा पर लें

बिंदु O से उभरते हुए। 6 गतियों (§ 7) की संपत्ति से, एक अद्वितीय गति होती है जो किरण h को स्वयं में और अर्ध-तल X को अर्ध-तल Jx में मैप करती है। इस किरण के सभी बिंदु, 5 गतियों के गुण के अनुसार, अपने आप में मैप हो जाते हैं। किरण k के सभी बिंदु, सीधी किरण h के पूरक, भी स्वयं पर मैप किए जाते हैं।

इसलिए, विचाराधीन प्रस्ताव के दौरान, रेखा a के सभी बिंदुओं को स्वयं पर मैप किया जाता है। इसे देखना और भी आसान है

आइए अब रेखा a के बाहर एक बिंदु लें।

प्रमेय. किसी भी बिंदु से जो किसी रेखा पर नहीं है, दी गई रेखा पर लंबवत एक रेखा गुजरती है।

सबूत। मान लीजिए M सीधी रेखा a के बाहर स्थित एक बिंदु है (चित्र 23)। रेखा a इस रेखा द्वारा परिभाषित तल को विभाजित करती है तथा

बिंदु M को दो अर्ध-तलों में विभाजित करें: अर्ध-तल X जिसमें बिंदु M है, और अर्ध-तल Jx है। जब सीधी रेखा a से परावर्तित होता है, तो बिंदु M को अर्ध-तल jx के बिंदु M" पर मैप किया जाता है। चूँकि बिंदु M और M" अलग-अलग अर्ध-तलों में स्थित होते हैं,

आह, फिर सीधे एमएम" और लानत 23

कुछ पर प्रतिच्छेद करें

बिंदु M0, जो प्रतिबिंबित होने पर स्वयं पर मैप हो जाता है। इससे यह पता चलता है कि सीधी रेखा MM" स्वयं पर मैप की जाती है, और इसलिए सीधी रेखा a (चित्र 23 देखें) के साथ इसके द्वारा बनाए गए कोण / और 2 को एक दूसरे में मैप किया जाता है।

अर्ध-तल jx को अर्ध-तल X में मैप किया गया है।

विचाराधीन गति को सीधी रेखा a से परावर्तन कहा जाता है।

व्युत्क्रम कोण के समद्विभाजक के अस्तित्व से यह निष्कर्ष निकलता है कि रेखा a पर स्थित किसी भी बिंदु से होकर, रेखा a के लंबवत रेखा b खींचना हमेशा संभव होता है।

इसका मतलब है कि ये कोण बराबर हैं, और चूंकि वे, इसके अलावा, आसन्न हैं, तो एमएम" ± ए। अब एम के माध्यम से एक और सीधी रेखा खींची जाती है, जो रेखा ए को किसी बिंदु एएफ0 पर काटती है। इसे रेखा एम में मैप किया जाएगा। "N0, a ^ MN0M0 को M"N0M0 में मैप किया जाएगा। इसलिए, ^ 3 = ^i4। लेकिन अभिगृहीत 1 (§ 2) के आधार पर, बिंदु M1 N0 और M" एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं, और इसलिए कोण 3 और 4 का योग, अर्थात ^ MN0M", एक उलटा कोण नहीं है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि कोण 3 और 4 समकोण से भिन्न हैं और सीधी रेखा MN0 सीधी रेखा a पर लंबवत नहीं होगी। सीधी रेखा MM" इस प्रकार a पर लंबवत और बिंदु M से गुजरने वाली एकमात्र सीधी रेखा है।