वैक्टर

वैक्टरगणितीय वस्तुएं कहलाती हैं ( ए, बी, सी, ...), जिसके लिए दो बीजगणितीय संक्रियाओं का निष्पादन परिभाषित किया गया है:

दो वैक्टरों का जोड़ ए+बी=सी

· किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करना ए = बी.

इन ऑपरेशनों की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि इनका परिणाम हमेशा मूल वेक्टर के समान ही प्रकार का वेक्टर होता है। इसलिए, वैक्टर के कुछ प्रारंभिक सेट होने पर, हम इसे धीरे-धीरे विस्तारित कर सकते हैं, अर्थात। मौजूदा वेक्टरों में किसी संख्या द्वारा जोड़ और गुणा की संक्रियाओं को लागू करके अधिक से अधिक नए वेक्टर प्राप्त करें। अंत में, हम वैक्टर के एक सेट पर आएँगे जिसका अब विस्तार नहीं होगा, यानी। संकेतित परिचालनों के तहत बंद कर दिया जाता है। सदिशों के ऐसे समुच्चय को कहा जाता है सदिश स्थल.

यदि उपरोक्त परिचालनों के लिए अतिरिक्त की आवश्यकता है रैखिकता की स्थिति :

ए( ए+बी)= ए ए+ए बी

(ए + बी) ए =ए ए+बी बी

फिर परिणामी स्थान को कहा जाता है रेखीय अंतरिक्ष (एलपी) या रैखिक सदिश अंतरिक्ष (एचडीएल)। एलसीएस, समरूपता समूहों के साथ, गणितीय संरचनाओं के एक और उदाहरण के रूप में काम कर सकता है, जो एक ही प्रकार की वस्तुओं के बंद सेट हैं और एक निश्चित तरीके से क्रमबद्ध हैं (बीजगणितीय संचालन का उपयोग करके)।

रैखिक संयोजन

सदिशों को जोड़ने और उन्हें संख्याओं से गुणा करने की संक्रियाओं के बाद, हम अधिक जटिल निर्माण कर सकते हैं जैसे:

ए ए+बी बी+जी सी + ..... = एक्स

जिसे कहा जाता है रैखिक संयोजन (एलके) वैक्टर ए, बी, सी, . . .गुणांक ए, बी, जी के साथ, . . . , क्रमश।

एलसी की अवधारणा हमें कई सामान्य नियम बनाने की अनुमति देती है:

· कुछ एलपी के किसी भी वेक्टर का प्रत्येक एलसी भी उसी एलपी का एक वेक्टर है;

· कुछ एलपी के किसी भी वेक्टर को एक ही एलपी के कई वैक्टर के एलसी के रूप में दर्शाया जा सकता है;

· किसी भी एलपी में वैक्टर का एक चयनित सेट होता है जिसे कहा जाता है आधार सेट (या केवल आधार ), बिना किसी अपवाद के, इस एलपी के सभी वैक्टर को इन चयनित आधार वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है। आधार के रूप में चुने गए वैक्टरों पर एक महत्वपूर्ण शर्त लगाई गई है: उन्हें होना चाहिए रैखिक रूप से स्वतंत्रआपस में (एक दूसरे के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जाना चाहिए, अर्थात: एक्स≠a× य).

ये नियम किसी भी दवा का वर्णन करने का एक विशेष तरीका पेश करना संभव बनाते हैं। आइए एक आधार सेट चुनें और इस आधार के अनुसार उन सभी वैक्टरों का विस्तार करें जिनमें हम रुचि रखते हैं (यानी, उन्हें एलसी आधार वैक्टर के रूप में प्रस्तुत करें); तब प्रत्येक वेक्टर को किसी दिए गए वेक्टर के अनुरूप एलसी गुणांक के एक सेट द्वारा विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है। ऐसे गुणांक कहलाते हैं COORDINATES वेक्टर (किसी दिए गए आधार के संबंध में)। आइए हम इस बात पर जोर दें कि एक वेक्टर के निर्देशांक सामान्य संख्याएं हैं, और एक वेक्टर का समन्वय प्रतिनिधित्व हमें केवल संख्याओं के एक सेट का उपयोग करके इसका वर्णन करने की अनुमति देता है, भले ही हम वेक्टर की अवधारणा में जो भी विशिष्ट भौतिक अर्थ डालते हों।

आइए एक विशिष्ट उदाहरण देखें. आइए हमारे पास दो शुद्ध रसायनों के विभिन्न मिश्रणों का एक सेट है: पानी और अल्कोहल। सभी संभावित मिश्रणों में से, हम दो विशेष मिश्रणों पर प्रकाश डालते हैं:

1) मिश्रण एस 1, जिसमें 100% पानी और 0% अल्कोहल शामिल है;

2) मिश्रण एस 2जिसमें 0% पानी और 100% अल्कोहल है।

यह स्पष्ट है कि एक मनमाना मिश्रण को इन दो मूल मिश्रणों के एलसी के रूप में दर्शाया जा सकता है:

एस = एन 1 * एस 1 + एन 2 * एस 2

और केवल दो समन्वय संख्याओं के साथ इसे पूरी तरह से चित्रित करें: एन 1 और एन 2. दूसरे शब्दों में, एक आधार सेट दिए जाने पर, हम एक मनमाना रासायनिक मिश्रण और संख्याओं के एक सेट की तुल्यता स्थापित कर सकते हैं:

एस~ {एन 1 , एन 2 }.

अब एचडीएल मॉडल प्राप्त करने के लिए ठोस रासायनिक शब्द "मिश्रण" को अमूर्त गणितीय शब्द "वेक्टर" से बदलना पर्याप्त है जो दो पदार्थों के कई मिश्रणों का वर्णन करता है।

3.3. सदिशों की रैखिक स्वतंत्रता. आधार.

रेखीय संयोजन वेक्टर सिस्टम

वेक्टर कहा जाता है

जहां ए 1, ए 2, ..., ए एन - मनमानी संख्या.

यदि सभी एक मैं = 0, तो रैखिक संयोजन कहलाता है मामूली . इस मामले में, जाहिर है

परिभाषा 5.

यदि सदिशों की एक प्रणाली के लिए एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन है (कम से कम एक)। ऐ¹ 0) शून्य वेक्टर के बराबर: तब सदिशों की प्रणाली कहलाती है रेखीय आश्रित. यदि समानता (1) तभी संभव है जब सभी एक मैं =0, तो सदिशों की प्रणाली कहलाती है रेखीय स्वतंत्र .

प्रमेय 2 (रैखिक निर्भरता की शर्तें)।

परिभाषा 6.

प्रमेय 3 से इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि अंतरिक्ष में कोई आधार दिया गया है, तो उसमें एक मनमाना वेक्टर जोड़कर, हम वैक्टर की एक रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली प्राप्त करते हैं। के अनुसारप्रमेय 2 (1) , उनमें से एक (यह दिखाया जा सकता है कि वेक्टर) को दूसरों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है:

.

परिभाषा 7.

नंबर कहा जाता है COORDINATES आधार में वेक्टर (संकेतित

यदि सदिशों को समतल पर माना जाता है, तो आधार असंरेख सदिशों का क्रमित युग्म होगा

और इस आधार पर वेक्टर के निर्देशांक संख्याओं की एक जोड़ी हैं:

नोट 3। ऐसा दिखाया जा सकता है किसी दिए गए आधार के लिए, वेक्टर के निर्देशांक विशिष्ट रूप से निर्धारित किए जाते हैं . इससे, विशेष रूप से, यह निष्कर्ष निकलता है यदि सदिश समान हैं, तो उनके संगत निर्देशांक समान हैं, और इसके विपरीत .

इस प्रकार, यदि किसी स्थान में कोई आधार दिया गया है, तो अंतरिक्ष का प्रत्येक वेक्टर संख्याओं के क्रमबद्ध त्रिगुण (इस आधार पर वेक्टर के निर्देशांक) से मेल खाता है और इसके विपरीत: संख्याओं का प्रत्येक त्रिगुण एक वेक्टर से मेल खाता है।

समतल पर, सदिशों और संख्याओं के युग्मों के बीच एक समान पत्राचार स्थापित किया जाता है।

प्रमेय 4 (वेक्टर निर्देशांक के माध्यम से रैखिक संचालन)।

यदि किसी आधार पर और ए एक मनमाना संख्या है, तो इस आधार पर

दूसरे शब्दों में:

जब किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो उसके निर्देशांक उस संख्या से गुणा हो जाते हैं ;

वेक्टर जोड़ते समय, उनके संबंधित निर्देशांक जोड़े जाते हैं .

उदाहरण 1 . कुछ आधार पर सदिशनिर्देशांक हैं

दिखाएँ कि सदिश एक आधार बनाते हैं और इस आधार पर सदिश के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

यदि वेक्टर गैर-समतलीय हैं, तो एक आधार बनाते हैं, इसलिए (के अनुसार)।प्रमेय 3(2) द्वारा ) रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

परिभाषा के अनुसार 5 इसका मतलब यह है कि समानता

केवल तभी संभव है यदिएक्स = य = जेड = 0.

सदिशों के रैखिक संयोजन को सदिश at कहा जाता है। यह स्पष्ट है कि सदिशों के रैखिक संयोजनों का एक रैखिक संयोजन पुनः इन सदिशों का एक रैखिक संयोजन है।

सदिशों के एक समुच्चय को रैखिकतः स्वतंत्र कहा जाता है यदि समानता केवल के लिए संभव हो। यदि गैर-शून्य मौजूद हैं और वे - 0 के बराबर हैं, तो वैक्टर के सेट को रैखिक रूप से निर्भर कहा जाता है। ये परिभाषाएँ पृष्ठ 108 पर दी गई परिभाषाओं से मेल खाती हैं जैसा कि स्ट्रिंग्स पर लागू होता है।

प्रस्ताव 1. सदिशों का एक सेट रैखिक रूप से निर्भर होता है यदि और केवल यदि उनमें से एक सदिश अन्य का रैखिक संयोजन हो।

प्रस्ताव 2. यदि सदिशों का एक समुच्चय रैखिकतः स्वतंत्र है, और एक समुच्चय रैखिकतः आश्रित है, तो एक सदिश सदिशों का एक रैखिक संयोजन है

प्रस्ताव 3. यदि सदिश सदिशों के रैखिक संयोजन हैं, तो संग्रह रैखिक रूप से निर्भर है।

इन वाक्यों के प्रमाण स्ट्रिंग्स के लिए समान वाक्यों के प्रमाणों से भिन्न नहीं हैं (पृ. 108-110)।

यदि अंतरिक्ष में सभी सदिश उनके रैखिक संयोजन हैं तो सदिशों के एक समूह को जनरेटिंग कहा जाता है। यदि अंतरिक्ष एस के लिए एक परिमित उत्पादक प्रणाली मौजूद है, तो अंतरिक्ष को परिमित-आयामी कहा जाता है; अन्यथा, इसे अनंत-आयामी कहा जाता है। एक परिमित-आयामी स्थान में, मनमाने ढंग से बड़े (वेक्टरों की संख्या में) वैक्टरों का रैखिक रूप से स्वतंत्र संग्रह मौजूद नहीं हो सकता है, क्योंकि, प्रस्ताव 3 के अनुसार, वैक्टरों का कोई भी संग्रह जो वैक्टरों की संख्या में उत्पन्न करने वाले संग्रह से अधिक है, रैखिक रूप से निर्भर है।

निश्चित आकार के आव्यूहों का स्थान और, विशेष रूप से, निश्चित लंबाई की पंक्तियों का स्थान परिमित-आयामी होता है; एक स्थिति में एक और शेष में शून्य वाले आव्यूहों को एक जनरेटिंग सिस्टम के रूप में लिया जा सकता है।

सभी बहुपदों का स्थान पहले से ही अनंत-आयामी है, क्योंकि बहुपदों का सेट किसी के लिए रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

निम्नलिखित में हम परिमित-आयामी स्थानों पर विचार करेंगे।

प्रस्ताव 4. कोई भी न्यूनतम (वेक्टरों की संख्या के संदर्भ में) वैक्टरों का जनक सेट रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है।

वास्तव में, सदिशों का न्यूनतम उत्पादक संग्रह हो। यदि यह रैखिक रूप से निर्भर है, तो मान लीजिए, वेक्टरों में से एक, दूसरों का एक रैखिक संयोजन है और प्रत्येक रैखिक संयोजन वैक्टर के एक छोटे सेट का एक रैखिक संयोजन है जो इस प्रकार उत्पन्न होता है।

प्रस्ताव 5. कोई भी अधिकतम (वेक्टरों की संख्या के संदर्भ में) वैक्टरों का रैखिक रूप से स्वतंत्र संग्रह उत्पन्न हो रहा है।

वास्तव में, मान लीजिए कि यह एक अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र संग्रह है और आप अंतरिक्ष का कोई सदिश हैं। तब सेट रैखिक रूप से स्वतंत्र नहीं होगा, और, प्रस्ताव 2 के आधार पर, वेक्टर एक रैखिक संयोजन है

प्रस्ताव 6. कोई भी रैखिक रूप से स्वतंत्र जनरेटिंग सेट जेनरेटर के बीच न्यूनतम और रैखिक रूप से स्वतंत्र जेनरेटर के बीच अधिकतम होता है।

वास्तव में, सदिशों का एक रैखिक रूप से स्वतंत्र उत्पादक सेट बनें। यदि कोई अन्य जनरेटिंग सेट है, तो वे रैखिक संयोजन हैं और यहां से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं, क्योंकि यदि वहां होता, तो प्रस्ताव के आधार पर, यह एक रैखिक रूप से निर्भर सेट होता। आइए अब कुछ रैखिक रूप से स्वतंत्र संग्रह बनें। सदिश सदिशों के रैखिक संयोजन हैं और इसलिए, एक ही प्रस्ताव के आधार पर वे एक रैखिक रूप से निर्भर सेट का गठन करेंगे।

इस प्रकार, प्रस्ताव 4, 5, 6 में तीन अवधारणाओं की पहचान स्थापित की गई है - वैक्टर का एक न्यूनतम उत्पादक सेट, वैक्टर का एक अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट और एक रैखिक रूप से स्वतंत्र जेनरेटिंग सेट।

इन शर्तों को पूरा करने वाले सदिशों के समूह को अंतरिक्ष का आधार कहा जाता है, और आधार बनाने वाले सदिशों की संख्या को अंतरिक्ष का आयाम कहा जाता है। अंतरिक्ष का आयाम S द्वारा दर्शाया गया है। इस प्रकार, आयाम रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टरों की अधिकतम संख्या के बराबर है (भविष्य में हम अक्सर "रैखिक रूप से निर्भर सेट बनाने वाले वेक्टर" कहने के बजाय "रैखिक रूप से स्वतंत्र" और "रैखिक रूप से निर्भर वैक्टर" शब्द कहेंगे) और - क्रमशः एक रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट के लिए) और उत्पन्न करने वाले वैक्टर की न्यूनतम संख्या।

प्रस्ताव 7. मान लीजिए कि सदिशों का एक रैखिक रूप से स्वतंत्र संग्रह है, और उनकी संख्या अंतरिक्ष के आयाम से कम है। फिर उनमें एक वेक्टर जोड़ा जा सकता है ताकि सेट रैखिक रूप से स्वतंत्र रहे।

सबूत। आइए कई रैखिक संयोजनों पर विचार करें। यह संपूर्ण स्थान को समाप्त नहीं करता है, क्योंकि वे वैक्टरों का एक जनरेटिंग सेट नहीं बनाते हैं। आइए एक वेक्टर लें जो एक रैखिक संयोजन नहीं है

फिर यह एक रैखिक रूप से स्वतंत्र संग्रह है, अन्यथा यह प्रस्ताव 2 के आधार पर वैक्टरों का एक रैखिक संयोजन होगा।

प्रस्ताव 7 से यह निष्कर्ष निकलता है कि सदिशों के किसी भी रैखिक रूप से स्वतंत्र संग्रह को एक आधार पर पूरक किया जा सकता है।

यही प्रस्ताव और इसके प्रमाण आधार के चयन में मनमानी की प्रकृति का संकेत देते हैं। वास्तव में, यदि आप एक मनमाना गैर-शून्य वेक्टर लेते हैं, तो आप किसी भी तरह से दूसरे वेक्टर को लेकर इसे एक आधार तक बना सकते हैं, लेकिन पहले का रैखिक संयोजन नहीं, किसी भी तरह से तीसरा, लेकिन रैखिक संयोजन नहीं। पहले दो में से, आदि

कोई भी मनमाने ढंग से उत्पन्न करने वाले सेट से शुरू करके आधार तक "नीचे जा" सकता है।

प्रस्ताव 8. सदिशों के किसी भी जनरेटिंग सेट में एक आधार होता है।

वास्तव में, सदिशों का एक जनरेटिंग सेट बनें। यदि यह रैखिक रूप से निर्भर है, तो इसका एक वेक्टर दूसरों का एक रैखिक संयोजन है, और इसे जेनरेटिंग सेट से बाहर रखा जा सकता है। यदि शेष वेक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं, तो एक और वेक्टर को हटाया जा सकता है, और इसी तरह, जब तक कि एक रैखिक रूप से स्वतंत्र उत्पन्न करने वाला सेट, यानी, एक आधार न रह जाए।

इस ट्रेड-ऑफ़ मानदंड के अनुसार, प्रत्येक समाधान के लिए न्यूनतम और अधिकतम लाभ का एक रैखिक संयोजन निर्धारित किया जाता है

दूसरे विकल्प में एक मानदंड पर ध्यान केंद्रित करना शामिल है। इसे या तो उन मानक संकेतकों में से एक के रूप में चुना जा सकता है जिनकी पूरी तरह से समझने योग्य आर्थिक व्याख्या है (उदाहरण के लिए, तरलता अनुपात, ब्याज कवरेज अनुपात इत्यादि में से एक), या यह मानदंड कुछ कृत्रिम संकेतक के रूप में विकसित किया गया है जो सामान्यीकरण करता है विशेष मानदंड. इस सामान्यीकृत मानदंड के लिए, एक सीमा मूल्य निर्धारित किया जाता है, जिसके साथ संभावित उधारकर्ता के लिए गणना किए गए मानदंड के वास्तविक मूल्य की तुलना की जाती है। इस दृष्टिकोण को लागू करने में मुख्य कठिनाई सारांश संकेतक के निर्माण के तरीके में है। अक्सर, यह विशेष मानदंडों का एक रैखिक संयोजन होता है, जिनमें से प्रत्येक एक निश्चित भार गुणांक के साथ सामान्य संकेतक में शामिल होता है। दिवालियापन की भविष्यवाणी के लिए जेड-मानदंड विकसित करते समय ई. अल्टमैन द्वारा इसी दृष्टिकोण का उपयोग किया गया था।

एक पंक्ति e को मैट्रिक्स की पंक्तियों e, e-..., em का रैखिक संयोजन कहा जाता है

रैखिक संयोजन, रैखिक निर्भरता और वैक्टर ई, ई2 की स्वतंत्रता की अवधारणा। f em मैट्रिक्स e, e2,..., em (11.5) की पंक्तियों के लिए संबंधित अवधारणाओं के समान हैं।

जैसा कि दिखाया गया है, परिबद्ध और उत्तल स्वीकार्य सेट (2.14) के लिए, वेक्टर x% 0 बाधा को संतुष्ट करता है ए xk bk को चरम बिंदुओं के एक सीमित सेट के उत्तल रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है

तत्वों ए और उनके रैखिक संयोजनों के सीमित मूल्यों की गणना के लिए अनुकूलन प्रक्रिया काफी हद तक इन नुकसानों से रहित है।

यह स्पष्ट है कि (ए/, डी) और (एल.

इस खंड में हम एक बहुभिन्नरूपी यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना के नियमों पर विचार करेंगे, जो सहसंबद्ध यादृच्छिक चर का एक रैखिक संयोजन है।

इसलिए, यादृच्छिक चर की एक मनमानी संख्या के रैखिक संयोजन के लिए हमें प्राप्त होता है

आइए उस मामले पर विचार करें जब निवेश कई परिसंपत्तियों (पोर्टफोलियो) में किया जाता है। एक पोर्टफोलियो परिसंपत्तियों का एक रैखिक संयोजन है, जिनमें से प्रत्येक का अपना अपेक्षित रिटर्न और रिटर्न का फैलाव होता है।

यादृच्छिक चर के मनमाने ढंग से रैखिक संयोजन के विपरीत, परिसंपत्ति भार एक सामान्यीकरण नियम के अधीन हैं

पिछले पैराग्राफ से पता चला है कि जब परिसंपत्तियों के बीच सहसंबंध गुणांक 1 से कम होता है, तो पोर्टफोलियो विविधीकरण अपेक्षित रिटर्न और अपेक्षित जोखिम के बीच संबंध में सुधार कर सकता है। यह इस तथ्य के कारण है कि पोर्टफोलियो का अपेक्षित रिटर्न पोर्टफोलियो में शामिल परिसंपत्तियों पर अपेक्षित रिटर्न का एक रैखिक संयोजन है, और पोर्टफोलियो का विचरण आर.एस. का एक द्विघात कार्य है। परिसंपत्तियों के पोर्टफोलियो में शामिल।

विचाराधीन नेटवर्क के वर्ग से संबंधित सबसे सरल पैटर्न पहचान उपकरण एक एकल न्यूरॉन है जो इनपुट चर के रैखिक संयोजन के आधार पर एक इनपुट फीचर वेक्टर को एक स्केलर प्रतिक्रिया में बदल देता है।

चूँकि विभेदक कार्य केवल इनपुट के रैखिक संयोजन पर निर्भर करता है, न्यूरॉन एक रैखिक विभेदक है। कुछ सबसे सरल स्थितियों में, एक रैखिक विभेदक सर्वोत्तम संभव है, अर्थात् उस स्थिति में जब कक्षा k से संबंधित इनपुट वैक्टर की संभावनाएं गाऊसी वितरण द्वारा दी जाती हैं

अधिक सटीक रूप से, ओया नेटवर्क के आउटपुट पहले Ш प्रमुख घटकों के रैखिक संयोजन हैं। मुख्य घटकों को स्वयं प्राप्त करने के लिए, ओया के नियम में सभी आउटपुट पर योग को प्रतिस्थापित करना पर्याप्त है

इसके अलावा, वेक्टर बी, तथाकथित न्यूनतम आधार बनाते हैं। अर्थात्, यह एक रैखिक संयोजन के माध्यम से वैक्टरों की न्यूनतम संख्या है जिसमें सभी याद किए गए वैक्टरों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

निम्नलिखित व्यवस्थित प्रक्रिया सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं को पुनरावृत्त रूप से पहचानने में सक्षम है, जो इनपुट चर के रैखिक संयोजन हैं इनपुट के सबसे महत्वपूर्ण संयोजनों का चयन करके उपलब्ध)।

यह विधि सबसे अधिक जानकारीपूर्ण कारकों (प्रारंभिक विशेषताओं Xi के रैखिक संयोजन - Zi के तथाकथित प्रमुख घटक) की पहचान करना संभव बनाती है और, महत्वहीन कारकों को समाप्त करके, सरल मॉडल के रूप में उनके बीच संबंध स्थापित करना संभव बनाती है। ये मॉडल, साथ ही सांख्यिकीय विशेषताएँ, शी निर्भरता की व्याख्या और कुछ संकेतकों के लिए उनकी डिग्री की सुविधा प्रदान करते हैं, उदाहरण के लिए, उत्पादकता, विश्वसनीयता, आदि, और अध्ययन की जा रही औद्योगिक सुविधाओं की स्थिति के विश्लेषण और पूर्वानुमान की भी अनुमति देते हैं।

विश्लेषण के दौरान, वित्तीय स्थिति के विभिन्न पहलुओं को चित्रित करने के लिए निम्नलिखित का उपयोग किया जाता है। पूर्ण संकेतक और वित्तीय अनुपात, जो वित्तीय स्थिति के सापेक्ष संकेतक हैं। उत्तरार्द्ध की गणना वित्तीय स्थिति या उनके रैखिक संयोजनों के पूर्ण संकेतकों के अनुपात के रूप में की जाती है। बैलेंस शीट विज्ञान के संस्थापकों में से एक, एन.ए. ब्लाटोव के वर्गीकरण के अनुसार, वित्तीय स्थिति के सापेक्ष संकेतकों को वितरण गुणांक में विभाजित किया जाता है और उन मामलों में उपयोग किया जाता है जहां यह निर्धारित करना आवश्यक है कि इस या उस का कौन सा हिस्सा है

वेक्टर अवधारणा

परिभाषा 1.वेक्टरइसे एक निर्देशित खंड कहा जाता है (या, जो समान है, बिंदुओं का एक क्रमित युग्म)।

नामित: (बिंदु ए वेक्टर की शुरुआत है), बिंदु बी वेक्टर का अंत है) या एक अक्षर के साथ -।

परिभाषा 2.वेक्टर लंबाई (मापांक)वेक्टर के आरंभ और अंत के बीच की दूरी है। वेक्टर की लंबाई या द्वारा निरूपित की जाती है।

परिभाषा 3.शून्य सदिशसदिश वह कहलाता है जिसका आरंभ और अंत एक साथ होता है। नामित:

परिभाषा 4.इकाई वेक्टरएक वेक्टर है जिसकी लंबाई एक के बराबर है।

एक यूनिट वेक्टर जिसकी दिशा दिए गए वेक्टर के समान होती है, उसे वेक्टर का यूनिट वेक्टर कहा जाता है और इसे प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है।

परिभाषा 5.वैक्टर कहलाते हैं संरेख,यदि वे एक ही सीधी रेखा पर या समानांतर सीधी रेखाओं पर स्थित हों। शून्य वेक्टर को किसी भी वेक्टर के संरेख माना जाता है।

परिभाषा 6.वैक्टर कहलाते हैं बराबर, यदि वे संरेख हैं, तो उनकी लंबाई और दिशा समान है।

सदिशों पर रैखिक संक्रियाएँ

परिभाषा 7.सदिशों पर रैखिक संक्रियाएँसदिशों का योग और किसी सदिश का किसी संख्या से गुणन कहलाता है।

परिभाषा 8.दो सदिशों का योगएक वेक्टर है जो वेक्टर की शुरुआत से वेक्टर के अंत तक जाता है, बशर्ते कि वेक्टर वेक्टर के अंत से जुड़ा हो (त्रिकोण नियम)। गैर-संरेख सदिशों के मामले में, त्रिभुज नियम के बजाय, समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग करना संभव है: यदि सदिशों को एक सामान्य मूल से अलग रखा जाता है और उन पर एक समांतर चतुर्भुज बनाया जाता है, तो योग एक सदिश होता है जो मेल खाता है इस समांतर चतुर्भुज का विकर्ण एक सामान्य मूल से आता है।

परिभाषा 9.दो सदिशों का अंतरएक सदिश कहलाता है, जिसे एक सदिश में जोड़ने पर एक सदिश बनता है। यदि दो वेक्टरों को एक सामान्य मूल से अलग रखा जाता है, तो उनका अंतर वेक्टर के अंत ("घटाया गया") से वेक्टर के अंत ("कम") तक बढ़ने वाला एक वेक्टर है।

परिभाषा 10.विपरीत दिशाओं में निर्देशित समान लंबाई के दो संरेख सदिश कहलाते हैं विलोम।सदिश के विपरीत सदिश को निरूपित किया जाता है।

एक सदिश और एक संख्या का गुणनफल α द्वारा दर्शाया जाता है।

रैखिक संक्रियाओं के कुछ गुण

7) ;

प्रमेय 1.(संरेख सदिशों के बारे में)।यदि u दो संरेख सदिश हैं, और सदिश शून्येतर है, तो एक अद्वितीय संख्या x है जैसे = x

विशेष रूप से, एक गैर-शून्य वेक्टर और उसके ऑर्ट समानता से जुड़े हुए हैं: =·।

रैखिक संक्रियाओं के सूत्रबद्ध गुण, बीजगणित के सामान्य नियमों के अनुसार सदिशों से बने व्यंजकों को रूपांतरित करना संभव बनाते हैं: आप कोष्ठक खोल सकते हैं, समान पद ला सकते हैं, कुछ पदों को विपरीत चिह्न के साथ समानता के दूसरे भाग में स्थानांतरित कर सकते हैं, आदि।

उदाहरण 1।

समानता सिद्ध करें:

और पता लगाएं कि उनका ज्यामितीय अर्थ क्या है।

समाधान। a) समानता के बाईं ओर, कोष्ठक खोलें, समान पद जोड़ें, और दाईं ओर एक वेक्टर प्राप्त करें। आइए हम इस समानता को ज्यामितीय रूप से समझाएं। मान लीजिए कि दो सदिश दिए गए हैं, उन्हें उभयनिष्ठ मूल से अलग रखें और समांतर चतुर्भुज और उसके विकर्णों को देखें, हमें मिलता है:

§2 सदिशों का रैखिक संयोजन

समतल और अंतरिक्ष में सदिश आधार।

परिभाषा 1.सदिशों का रैखिक संयोजन,,कुछ संख्याओं द्वारा इन सदिशों के गुणनफलों का योग कहा जाता है,,:++.

परिभाषा 2.सदिश आधारकिसी दिए गए तल में असंरेख सदिशों का कोई भी युग्म कहलाता है।

वेक्टर को पहला आधार वेक्टर कहा जाता है, वेक्टर को दूसरा।

निम्नलिखित प्रमेय सत्य है।

प्रमेय 1.यदि आधार ,– एक समतल में सदिश आधार, तो इस तल के किसी भी सदिश को एक अनूठे तरीके से, आधार सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है: = x + y। (*)

परिभाषा 3.समानता(*) कहा जाता है , और संख्याएँ x और y – आधार में वेक्टर के निर्देशांक,(या आधार के सापेक्ष,). यदि यह पहले से स्पष्ट है कि हम किस आधार की बात कर रहे हैं, तो संक्षेप में लिखें: = (x,y)। आधार के सापेक्ष किसी सदिश के निर्देशांक की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि समान सदिशों के क्रमशः समान निर्देशांक होते हैं।

अंतरिक्ष में दो या दो से अधिक सदिश कहलाते हैं समतलीय,यदि वे एक ही तल के समानांतर हैं या इस तल में स्थित हैं।

परिभाषा 4.सदिश आधारअंतरिक्ष में किन्हीं तीन सदिशों को कहा जाता है , ,.

वेक्टर को पहला आधार वेक्टर, दूसरा और तीसरा आधार वेक्टर कहा जाता है।

टिप्पणी। 1. तीन वैक्टर = (), = () और = () अंतरिक्ष का आधार बनाते हैं यदि उनके निर्देशांक से बना निर्धारक गैर-शून्य है:

.

2. निर्धारकों के सिद्धांत के मूल सिद्धांतों और उनकी गणना के तरीकों पर मॉड्यूल 1 "रैखिक बीजगणित" में चर्चा की गई है।

प्रमेय 2.होने देना , , अंतरिक्ष में एक वेक्टर आधार है। फिर अंतरिक्ष में किसी भी वेक्टर को आधार वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में, और एक अनोखे तरीके से दर्शाया जा सकता है , और:

एक्स+वाई+जेड. (**)

परिभाषा 5.समानता (**) कहा जाता है आधार के अनुसार वेक्टर का विस्तार,,, और संख्याएं x, y, z आधार में वेक्टर के निर्देशांक (घटक) हैं , ,.

यदि यह पहले से स्पष्ट है कि हम किस आधार की बात कर रहे हैं, तो संक्षेप में लिखें: = (x,y,z).

परिभाषा 6.आधार , ,बुलाया ऑर्थोनॉर्मल,यदि वेक्टर , , जोड़े में लंबवत हैं और इकाई लंबाई है। इस मामले में, संकेतन ,, अपनाया जाता है।

सदिशों पर क्रियाएँ उनके निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट होती हैं।

प्रमेय 3.मान लीजिए कि समतल पर एक सदिश आधार चुना गया है , और इसके सापेक्ष, सदिश उनके निर्देशांक द्वारा दिए गए हैं: = (), = ()।

फिर =(),=( ), अर्थात। सदिशों को जोड़ते या घटाते समय, उसी नाम के उनके निर्देशांक जोड़े या घटाए जाते हैं;= (·;), यानी। जब किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो उसके निर्देशांक उस संख्या से गुणा हो जाते हैं।

दो सदिशों की संरेखता के लिए शर्त

प्रमेय 4.एक वेक्टर एक गैर-शून्य वेक्टर के संरेख होता है यदि और केवल यदि वेक्टर के निर्देशांक वेक्टर के संगत निर्देशांक के समानुपाती होते हैं, अर्थात।

अंतरिक्ष में उनके निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट वैक्टर पर रैखिक संचालन समान तरीके से किया जाता है।

उदाहरण 1।मान लीजिए सदिश = (1;2;-1) ,= (3;2;1), = (1;0;1) कुछ सदिश आधार पर दिए गए हैं , ,. रैखिक संयोजन 2+3-4 के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए हम रैखिक संयोजन = 2+3+(-4) के लिए संकेतन का परिचय दें।

रैखिक संयोजन गुणांक =2,=3,=-4. आइए इस वेक्टर समानता को निर्देशांक रूप में लिखें = (x,y,z)=:

2

यह स्पष्ट है कि सदिशों के रैखिक संयोजन का प्रत्येक निर्देशांक समान नाम के निर्देशांकों के समान रैखिक संयोजन के बराबर होता है, अर्थात।

x = 2·1+3·3+(-4)·1=7,

y = 2·2+3·2+(-4)·0=10,

z= 2·(-1)+3·1+(-4)·0=-3.

वेक्टर आधार में समन्वय करता है , ,होगा:

उत्तर:= {7,10,-3}.

सामान्य (एफ़िन) कार्टेशियन समन्वय प्रणाली

परिभाषा 7.मान लीजिए O कोई निश्चित बिंदु है, जिसे हम कहेंगे शुरुआत।

यदि एम एक मनमाना बिंदु है, तो वेक्टर कहा जाता है त्रिज्या सदिशशुरुआत के संबंध में बिंदु एम, संक्षेप में, बिंदु एम का त्रिज्या वेक्टर।

कार्तीय (एफ़िन) एक रेखा पर निर्देशांक करता है

अंतरिक्ष में कोई सीधी रेखा दी जाए एल. आइए इस रेखा पर स्थित मूल बिंदु O को चुनें। इसके अलावा, हम सीधी रेखा पर चयन करते हैं एल एक गैर-शून्य वेक्टर, जिसे हम आधार कहेंगे।

परिभाषा 8.माना बिंदु M एक रेखा पर स्थित है। चूँकि सदिश संरेख हैं, तो = x, जहाँ x एक निश्चित संख्या है। आइए इस नंबर पर कॉल करें कोआर्डिनेटएक सीधी रेखा पर M को इंगित करता है।

O की उत्पत्ति में सकारात्मक या नकारात्मक निर्देशांक हैं, यह इस पर निर्भर करता है कि वैक्टर की दिशाएँ मेल खाती हैं या विपरीत हैं। वह सीधी रेखा जिस पर निर्देशांक हैं उसे निर्देशांक अक्ष या OX अक्ष कहा जाएगा।

एक रेखा पर निर्देशांकों का परिचय एक एकल संख्या x से मेल खाता है, और इसके विपरीत, एक एकल बिंदु M है जिसके लिए यह संख्या एक निर्देशांक है।

कार्तीय (एफ़िन) तल पर निर्देशांक करता है।

आइए हम दो असंरेखीय सदिश चुनें और समतल O पर एक निश्चित आधार बनाएं। जाहिर है, वैक्टर की लंबाई अलग-अलग हो सकती है।

परिभाषा 9.(0;;) बिंदु O और वेक्टर आधार का सेट , बुलाया कार्टेशियन (एफ़िन) प्रणालीसतह पर.

O से होकर गुजरने वाली दो रेखाएँ क्रमशः सदिशों के समानांतर हैं , निर्देशांक अक्ष कहलाते हैं। उनमें से पहले को आमतौर पर एब्सिस्सा अक्ष कहा जाता है और इसे ऑक्स नामित किया जाता है, दूसरा ऑर्डिनेट अक्ष है और इसे ओए नामित किया जाता है।

हम उन्हें हमेशा संगत निर्देशांक अक्षों पर लेटे हुए के रूप में चित्रित करेंगे।

परिभाषा 10.बिंदु निर्देशांककार्टेशियन (एफ़िन) समन्वय प्रणाली (0;;) के सापेक्ष विमान पर एम को आधार के साथ इसके त्रिज्या वेक्टर के निर्देशांक कहा जाता है:

X+y, तो संख्याएँ x और y कार्टेशियन (एफ़िन) समन्वय प्रणाली (0;;) के सापेक्ष M के निर्देशांक होंगे। x निर्देशांक कहा जाता है सूच्याकार आकृति का भुजबिंदु M, निर्देशांक y- तालमेलअंक एम.

इसलिए, यदि समतल पर एक समन्वय प्रणाली (0;;) चुनी जाती है, तो समतल का प्रत्येक बिंदु M, समतल पर एक बिंदु M से मेल खाता है: यह बिंदु वेक्टर का अंत है

एक समन्वय प्रणाली की शुरूआत विश्लेषणात्मक ज्यामिति की पद्धति को रेखांकित करती है, जिसका सार किसी भी ज्यामितीय समस्या को अंकगणित या बीजगणित की समस्याओं तक कम करने में सक्षम होना है।

परिभाषा 11.वेक्टर निर्देशांककार्तीय निर्देशांक प्रणाली (0;;) के सापेक्ष तल पर आधार में इस वेक्टर के निर्देशांक कहलाते हैं।

वेक्टर के निर्देशांक खोजने के लिए, आपको इसे आधार के अनुसार विस्तारित करने की आवश्यकता है:

X+y, जहां गुणांक x,y और कार्टेशियन प्रणाली (0;;) के सापेक्ष वेक्टर के निर्देशांक होंगे।

अंतरिक्ष में कार्टेशियन (एफ़िन) समन्वय प्रणाली।

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु O (शुरुआत) तय किया गया है और एक वेक्टर आधार चुना गया है

परिभाषा 12.संग्रह (0;;;) कहलाता है कार्तीय समन्वय प्रणालीअंतरिक्ष में।

परिभाषा 13. O से होकर गुजरने वाली तीन रेखाएँ क्रमशः सदिशों के समानांतर हैं , ,, बुलाया समायोजन ध्रुवऔर क्रमशः Oz, Oy, Oz को निरूपित करें। हम हमेशा सदिशों को चित्रित करेंगे , , संगत अक्षों पर स्थित है।

परिभाषा 14.बिंदु निर्देशांककार्टेशियन समन्वय प्रणाली (0;;;) के सापेक्ष अंतरिक्ष में एम को इस प्रणाली में इसके त्रिज्या वेक्टर के निर्देशांक कहा जाता है।

दूसरे शब्दों में, बिंदु M के निर्देशांक क्रमशः तीन संख्याएँ x, y, z हैं, बिंदु M का भुज और कोटि; तीसरे निर्देशांक z को बिंदु M का अनुप्रयोग कहा जाता है।

अंतरिक्ष में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की शुरूआत हमें अंतरिक्ष के बिंदु एम और संख्याओं x, y, z के क्रमित त्रिक के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करने की अनुमति देती है।

परिभाषा 15.वेक्टर निर्देशांककार्टेशियन समन्वय प्रणाली (0;;;) के सापेक्ष अंतरिक्ष में, आधार में इस वेक्टर के निर्देशांक;; कहलाते हैं।

उदाहरण 2.

एक समांतर चतुर्भुज A(-2;1),B(1;3),C(4;0) के लगातार तीन शीर्ष दिए गए हैं। इसका चौथा निर्देशांक D ज्ञात कीजिए। समन्वय प्रणाली एफ़िन है।

समाधान।

सदिश समान हैं, जिसका अर्थ है कि उनके निर्देशांक समान हैं (रैखिक संयोजन के गुणांक):

= (3;2), =(4-x;-y); . तो, डी(1;-2).

उत्तर:डी(1;-2).

रैखिक निर्भरता. आधार की अवधारणा

परिभाषा 16.वेक्टर कहलाते हैं रैखिक रूप से निर्भर,यदि संख्याएँ हैं,

सदिशों की रैखिक निर्भरता की यह परिभाषा इसके समतुल्य है: सदिश रैखिक रूप से निर्भर होते हैं यदि उनमें से एक को अन्य के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है (या दूसरों पर विस्तारित किया जा सकता है)।

सदिशों को रैखिकतः आश्रित कहा जाता है यदि समानता (***) केवल तभी संभव हो जब

रैखिक निर्भरता की अवधारणा रैखिक बीजगणित में एक बड़ी भूमिका निभाती है। वेक्टर बीजगणित में, रैखिक निर्भरता का एक सरल ज्यामितीय अर्थ होता है।

कोई भी दो संरेख सदिश रैखिक रूप से निर्भर होते हैं, और इसके विपरीत, दो असंरेख सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं।

तीन समतलीय सदिश रैखिक रूप से निर्भर होते हैं, और इसके विपरीत, तीन गैर-समतलीय सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं।

प्रत्येक चार वेक्टर रैखिक रूप से निर्भर होते हैं।

परिभाषा 17.तीन रैखिकतः स्वतंत्र सदिश कहलाते हैं अंतरिक्ष का आधार,वे। किसी भी वेक्टर को कुछ के रूप में दर्शाया जा सकता है।

परिभाषा 18.एक समतल में स्थित दो रैखिकतः स्वतंत्र सदिश कहलाते हैं विमान का आधार,वे। इस तल में स्थित किसी भी सदिश को सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य।

वेक्टर इस आधार पर निर्देशांक ढूंढते हैं।