तापमान क्षेत्र का निर्धारण करने की समस्याओं का समाधान तापीय चालकता के अंतर समीकरण के आधार पर किया जाता है, जिसके निष्कर्ष विशेष साहित्य में दिखाए गए हैं। यह मैनुअल बिना निष्कर्ष के अंतर समीकरणों के लिए विकल्प प्रदान करता है।

गतिशील तरल पदार्थों में तापीय चालकता की समस्याओं को हल करते समय, जो आंतरिक ताप स्रोतों के साथ एक गैर-स्थिर त्रि-आयामी तापमान क्षेत्र की विशेषता बताते हैं, समीकरण का उपयोग किया जाता है

समीकरण (4.10) कार्टेशियन समन्वय प्रणाली (फूरियर समीकरण  किरचॉफ) में एक विभेदक ऊर्जा समीकरण है। इस रूप में इसका उपयोग किसी भी पिंड में तापीय चालकता की प्रक्रिया का अध्ययन करने में किया जाता है।

यदि  x = y = z =0, यानी एक ठोस पिंड माना जाता है, और आंतरिक ताप स्रोतों की अनुपस्थिति में q v =0, तो ऊर्जा समीकरण (4.10) ठोस पदार्थों के लिए ऊष्मा चालन समीकरण में बदल जाता है (फूरियर समीकरण)

(4.11)

समीकरण (4.10) में मान C=a, m 2 sec को तापीय प्रसार गुणांक कहा जाता है, जो किसी पदार्थ का एक भौतिक पैरामीटर है जो अस्थिर प्रक्रियाओं के दौरान शरीर में तापमान परिवर्तन की दर को दर्शाता है।

यदि तापीय चालकता गुणांक पिंडों की ऊष्मा संचालित करने की क्षमता को दर्शाता है, तो तापीय प्रसार गुणांक पिंड के तापीय जड़त्व गुणों का एक माप है। समीकरण (4.10) से यह पता चलता है कि अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के लिए समय के साथ तापमान में परिवर्तन t मान "a" के समानुपाती होता है, अर्थात शरीर के किसी भी बिंदु पर तापमान परिवर्तन की दर अधिक होगी, तापीय चालकता गुणांक जितना अधिक होगा। इसलिए, अन्य चीजें समान होने पर, अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं पर तापमान का समीकरण उस पिंड में तेजी से होगा जिसमें एक बड़ा तापीय प्रसार गुणांक होता है। तापीय प्रसार गुणांक पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, तरल पदार्थ और गैसों में उच्च तापीय जड़ता होती है और इसलिए, कम तापीय प्रसार गुणांक होता है। धातुओं में तापीय जड़त्व कम होता है, क्योंकि उनमें तापीय प्रसार गुणांक उच्च होता है।

समीकरणों (4.10) और (4.11) में निर्देशांक के संबंध में दूसरे डेरिवेटिव के योग को दर्शाने के लिए, आप प्रतीक  2, तथाकथित लाप्लास ऑपरेटर का उपयोग कर सकते हैं, और फिर कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में

एक बेलनाकार समन्वय प्रणाली में अभिव्यक्ति  2 t का रूप है

आंतरिक ताप स्रोत के साथ स्थिर परिस्थितियों में एक ठोस शरीर के लिए, समीकरण (4.10) पॉइसन समीकरण में बदल जाता है

(4.12)

अंत में, स्थिर तापीय चालकता के लिए और आंतरिक ताप स्रोतों की अनुपस्थिति में, समीकरण (4.10) लाप्लास समीकरण का रूप लेता है

(4.13)

आंतरिक ताप स्रोत के साथ बेलनाकार निर्देशांक में तापीय चालकता का विभेदक समीकरण

(4.14)

4.2.6. ताप संचालन प्रक्रियाओं के लिए विशिष्टता की स्थिति

चूँकि तापीय चालकता का विभेदक समीकरण भौतिकी के सामान्य नियमों के आधार पर प्राप्त होता है, यह तापीय चालकता की घटना को सबसे सामान्य रूप में दर्शाता है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि परिणामी अंतर समीकरण ऊष्मा चालन घटना के एक पूरे वर्ग की विशेषता बताता है। अनगिनत संख्या में से विशेष रूप से मानी जाने वाली प्रक्रिया को अलग करने और उसका संपूर्ण गणितीय विवरण देने के लिए, विचाराधीन प्रक्रिया की सभी विशेष विशेषताओं का गणितीय विवरण अंतर समीकरण में जोड़ना आवश्यक है। ये विशेष विशेषताएं, जो अंतर समीकरण के साथ मिलकर एक विशिष्ट ताप संचालन प्रक्रिया का संपूर्ण गणितीय विवरण प्रदान करती हैं, विशिष्टता या सीमा स्थितियां कहलाती हैं, जिनमें शामिल हैं:

ए) शरीर के आकार और आकार को दर्शाने वाली ज्यामितीय स्थितियाँ जिसमें प्रक्रिया होती है;

बी) पर्यावरण और शरीर के भौतिक गुणों को दर्शाने वाली भौतिक स्थितियाँ (, सी जेड, , ए, आदि);

ग) समय के प्रारंभिक क्षण में अध्ययन के तहत शरीर में तापमान के वितरण की विशेषता वाली अस्थायी (प्रारंभिक) स्थितियां;

घ) पर्यावरण के साथ शरीर की अंतःक्रिया को दर्शाने वाली सीमा स्थितियाँ।

गैर-स्थिर प्रक्रियाओं पर विचार करते समय प्रारंभिक स्थितियाँ आवश्यक होती हैं और समय के प्रारंभिक क्षण में शरीर के अंदर तापमान वितरण के नियम को निर्दिष्ट करने में शामिल होती हैं। सामान्य स्थिति में, =0 के लिए प्रारंभिक स्थिति को विश्लेषणात्मक रूप से निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

टी =  1 x, y, z. (4.15)

शरीर में समान तापमान वितरण के मामले में, प्रारंभिक स्थिति सरल हो जाती है: =0 पर; टी=टी 0 =आईडीईएम.

सीमा शर्तों को कई तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है।

ए. पहली तरह की सीमा स्थितियां, समय के प्रत्येक क्षण के लिए शरीर की सतह पर तापमान वितरण को निर्दिष्ट करती हैं:

t c =  2 x, y, z, . (4.16)

विशेष मामले में जब सतह पर तापमान गर्मी हस्तांतरण प्रक्रियाओं की पूरी अवधि के दौरान स्थिर रहता है, तो समीकरण (4.16) सरल हो जाता है और t c =idem का रूप ले लेता है।

बी. दूसरे प्रकार की सीमा स्थितियां, सतह पर प्रत्येक बिंदु और समय में किसी भी क्षण के लिए ताप प्रवाह घनत्व का मूल्य निर्दिष्ट करती हैं। विश्लेषणात्मक रूप से इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

q n = x, y, z, , (4.17)

जहां q n  शरीर की सतह पर ऊष्मा प्रवाह घनत्व।

सरलतम मामले में, सतह पर और समय के साथ ऊष्मा प्रवाह घनत्व स्थिर रहता है q n =idem। ऊष्मा विनिमय का यह मामला तब होता है, उदाहरण के लिए, जब विभिन्न धातु उत्पादों को उच्च तापमान वाली भट्टियों में गर्म किया जाता है।

बी. तीसरे प्रकार की सीमा स्थितियां, परिवेश के तापमान टीएफ और शरीर की सतह और पर्यावरण के बीच गर्मी विनिमय के नियम को निर्दिष्ट करती हैं। न्यूटन के नियम का उपयोग किसी पिंड की सतह और पर्यावरण के बीच ऊष्मा विनिमय की प्रक्रिया का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

न्यूटन के नियम के अनुसार, किसी पिंड की इकाई सतह से प्रति इकाई समय में निकलने वाली ऊष्मा की मात्रा पिंड के तापमान और पर्यावरण के तापमान में अंतर के समानुपाती होती है।

क्यू = टी सी  टी एफ . (4.18)

ऊष्मा स्थानांतरण गुणांक शरीर की सतह और पर्यावरण के बीच ऊष्मा विनिमय की तीव्रता को दर्शाता है। संख्यात्मक रूप से, यह समय की प्रति इकाई सतह की एक इकाई द्वारा छोड़ी गई (या महसूस की गई) गर्मी की मात्रा के बराबर है जब शरीर की सतह और पर्यावरण के बीच तापमान का अंतर एक डिग्री के बराबर होता है।

ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, ऊष्मा स्थानांतरण (4.18) के कारण प्रति इकाई समय में एक इकाई सतह से निकलने वाली ऊष्मा की मात्रा तापीय चालकता के कारण प्रति इकाई समय में एक इकाई सतह पर आपूर्ति की गई ऊष्मा के बराबर होनी चाहिए। शरीर का आंतरिक आयतन (4.7), अर्थात्।

, (4.19)

जहां n  शरीर की सतह के लिए सामान्य है; सूचकांक "सी" इंगित करता है कि तापमान और ढाल शरीर की सतह से संबंधित है (एन = 0 के साथ)।

अंत में, तीसरे प्रकार की सीमा स्थिति को इस प्रकार लिखा जा सकता है

. (4.20)

समीकरण (4.20), संक्षेप में, किसी पिंड की सतह के लिए ऊर्जा के संरक्षण के नियम की एक विशेष अभिव्यक्ति है।

डी. चौथे प्रकार की सीमा स्थितियाँ, तापीय चालकता के नियम के अनुसार निकायों की एक प्रणाली या पर्यावरण के साथ एक निकाय के बीच ऊष्मा विनिमय की स्थितियों को दर्शाती हैं। यह माना जाता है कि पिंडों के बीच पूर्ण संपर्क है (संपर्क सतहों का तापमान समान है)। विचाराधीन शर्तों के तहत, संपर्क सतह से गुजरने वाले ताप प्रवाह की समानता है:

. (4.21)

टीएमओ उद्देश्य निर्धारित करना

हमारे पास एक आयतन है जो थर्मल भार से प्रभावित होता है, संख्यात्मक मान निर्धारित करना आवश्यक है क्यू वीऔर आयतन के अनुसार इसका वितरण।

चित्र 2 - घर्षण के बाहरी और आंतरिक स्रोत

1. किसी भी चयनित समन्वय प्रणाली में अध्ययन के तहत आयतन की ज्यामिति निर्धारित करें।

2. अध्ययनाधीन आयतन की भौतिक विशेषताओं का निर्धारण करें।

3. उन शर्तों को निर्धारित करें जो टीएमटी प्रक्रिया शुरू करती हैं।

4. उन कानूनों को स्पष्ट करें जो अध्ययन के तहत मात्रा में गर्मी हस्तांतरण निर्धारित करते हैं।

5. अध्ययनाधीन आयतन में प्रारंभिक तापीय अवस्था निर्धारित करें।

ठोस अपशिष्ट का विश्लेषण करते समय हल की गई समस्याएँ:

1. टीएमओ के "प्रत्यक्ष" कार्य

दिया गया: 1,2,3,4,5

निर्धारित करें: अंतरिक्ष और समय में तापमान वितरण (आगे 6)।

2. "उलटा" टीएमटी समस्याएं (उलटा):

ए) उलटा सीमा कार्य

दिया गया: 1,2,4,5,6

परिभाषित करें: 3;

बी) उलटा कठिनाइयाँ कार्य

दिया गया: 1,3,4,5,6

परिभाषित करें: 2;

ग) उलटा पूर्वप्रभावी काम

दिया गया: 1,2,3,4,6

परिभाषित करें: 5.

3. टीएमओ के "आगमनात्मक" कार्य

दिया गया: 1,2,3,5,6

परिभाषित करें: 4.

गर्मी हस्तांतरण और थर्मल प्रक्रियाओं के रूप

ऊष्मा स्थानांतरण के 3 रूप हैं:

1) ठोसों में तापीय चालकता (माइक्रोकणों द्वारा निर्धारित, और धातुओं में मुक्त इलेक्ट्रॉनों द्वारा);

2) संवहन (गतिशील माध्यम के मैक्रोकणों द्वारा निर्धारित);

3) तापीय विकिरण (विद्युत चुम्बकीय तरंगों द्वारा निर्धारित)।

ठोस पदार्थों की तापीय चालकता

सामान्य अवधारणाएँ

तापमान क्षेत्र अध्ययन के तहत मात्रा में तापमान मूल्यों का एक सेट है, जो एक निश्चित समय पर लिया जाता है।

टी(एक्स, वाई, जेड, τ)- एक फ़ंक्शन जो तापमान क्षेत्र निर्धारित करता है।

स्थिर और गैर-स्थिर तापमान क्षेत्र हैं:

अचल - टी(एक्स,वाई,जेड);

गैर-स्थिर - टी(एक्स, वाई, जेड, τ).

स्थिरता की शर्त यह है:

आइए एक निश्चित पिंड लें और समान तापमान वाले बिंदुओं को जोड़ें

चित्र 3-तापमान प्रवणता और ताप प्रवाह

स्नातक टी- तापमान प्रवणता;

दूसरी ओर: .

फूरियर का नियम - ठोस पदार्थों में ऊष्मा का प्रवाह तापमान प्रवणता, जिस सतह से यह गुजरता है और विचाराधीन समय अंतराल के समानुपाती होता है।

आनुपातिकता गुणांक को तापीय चालकता गुणांक कहा जाता है λ , डब्ल्यू/एम·के.

दर्शाता है कि ऊष्मा तापमान प्रवणता वेक्टर के विपरीत दिशा में फैलती है।

;

एक अतिसूक्ष्म सतह और समय अंतराल के लिए:

ऊष्मा समीकरण (फूरियर समीकरण)

एक अतिसूक्ष्म आयतन पर विचार करें: डीवी =डीएक्स डाई डीजेड

चित्र 4 - एक अतिसूक्ष्म आयतन की तापीय अवस्था

हमारे पास टेलर श्रृंखला है:

वैसे ही:

; ; .

सामान्य स्थिति में हमारे पास एक घन है क्यू वी. यह निष्कर्ष ऊर्जा संरक्षण के सामान्यीकृत नियम पर आधारित है:

.

फूरियर के नियम के अनुसार:

; ; .

परिवर्तनों के बाद हमारे पास:

.

एक स्थिर प्रक्रिया के लिए:

समस्याओं का स्थानिक आयाम उन दिशाओं की संख्या से निर्धारित होता है जिनमें ऊष्मा स्थानांतरण होता है।

एक आयामी समस्या: ;

एक स्थिर प्रक्रिया के लिए: ;

के लिए :

के लिए : ;

ए- तापीय प्रसार गुणांक, .कार्टेशियन प्रणाली;

के = 1, ξ = एक्स -बेलनाकार प्रणाली;

के = 2, ξ = एक्स -गोलाकार प्रणाली.

विशिष्टता की स्थितियाँ

विशिष्टता की स्थिति – ये ऐसी स्थितियाँ हैं जो संभावित समाधानों के सेट से किसी एक समाधान का चयन करना संभव बनाती हैं जो हाथ में लिए गए कार्य से मेल खाता हो।

कहाँ पी के साथ, जे/(किलो×के) - आइसोबैरिक ताप क्षमता; आर, किग्रा/मीटर 3 - घनत्व; एल, डब्ल्यू/(एम×के) - तापीय चालकता गुणांक; डब्ल्यू एक्स, डब्ल्यू वाई, डब्ल्यू जेड- द्रव वेग वेक्टर के प्रक्षेपण; क्यू वी, डब्ल्यू/एम 3 - तरल की आंतरिक गर्मी रिलीज का वॉल्यूमेट्रिक घनत्व।

मामले के लिए समीकरण (1.12) लिखा गया है एल = स्थिरांक.

के लिए विभेदक एसएनएफइसे विभेदक ताप समीकरण कहा जाता है और इसे शर्त के तहत (1.12) से प्राप्त किया जा सकता है डब्ल्यू एक्स = डब्ल्यू वाई = डब्ल्यू जेड = 0, पी के साथ=वी के साथ=साथ:

,

शरीर में तापमान परिवर्तन की दर को दर्शाने वाला तापीय प्रसार गुणांक कहां है। मान ए = एफ(टी)विभिन्न निकायों के लिए संदर्भ पुस्तकों में दिए गए हैं।

विभेदक ऊष्मा समीकरण

(1.13)

आंतरिक ऊष्मा विमोचन (आंतरिक ऊष्मा स्रोतों के साथ) के साथ ठोस पदार्थों के गैर-स्थिर तापमान क्षेत्र का वर्णन करता है। ऐसे ऊष्मा स्रोत हो सकते हैं: जब विद्युत धारा चालकों से होकर गुजरती है तो जूल ऊष्मा निकलती है; परमाणु रिएक्टरों आदि की ईंधन छड़ों से निकलने वाली ऊष्मा।

कार्टेशियन निर्देशांक में लिखे गए विभेदक ऊष्मा समीकरण (1.13) को बेलनाकार रूप में दर्शाया जा सकता है (आर,जेड, φ) और गोलाकार (आर, φ , ψ).

विशेष रूप से, में बेलनाकारनिर्देशांक ( आर -त्रिज्या; φ - ध्रुवीय कोण; जेड- लागू) तापीय चालकता के विभेदक समीकरण का रूप है

(1.14)

विशिष्टता की स्थितियाँ

विभेदक समीकरण कई ताप संचालन प्रक्रियाओं का वर्णन करता है। इस सेट से एक विशिष्ट प्रक्रिया का चयन करने के लिए, इस प्रक्रिया की विशेषताओं को तैयार करना आवश्यक है, जिन्हें कहा जाता है अस्पष्टता की शर्तें और इसमें शामिल हैं:

· ज्यामितीय स्थितियाँ , शरीर के आकार और आकार की विशेषता;

· भौतिक स्थितियों , ताप विनिमय में भाग लेने वाले निकायों के गुणों की विशेषता;

· सीमा की स्थितियाँ , शरीर की सीमा पर प्रक्रिया की स्थितियों को चिह्नित करना;

· आरंभिक स्थितियां , सिस्टम की प्रारंभिक स्थिति को दर्शाते हुए गैर-स्थिर प्रक्रियाएं.

तापीय चालकता समस्याओं को हल करते समय, निम्नलिखित को प्रतिष्ठित किया जाता है:

· पहली तरह की सीमा शर्तें, जब शरीर की सतह पर तापमान वितरण निर्दिष्ट किया जाता है:

टी सी = एफ (एक्स, वाई, जेड, τ)या टी सी =स्थिरांक;

· दूसरे प्रकार की सीमा शर्तें, जब शरीर की सतह पर ताप प्रवाह घनत्व निर्दिष्ट किया जाता है:

क्यू सी = एफ (एक्स, वाई, जेड, τ)या क्यू सी = स्थिरांक;

· तीसरे प्रकार की सीमा स्थितियाँ, जब परिवेश का तापमान सेट किया जाता है टीऔर सतह और पर्यावरण के बीच गर्मी हस्तांतरण गुणांक।

न्यूटन-रिचमैन नियम के अनुसार, ताप प्रवाह को 1 मीटर 2 सतह से एक तापमान वाले माध्यम में स्थानांतरित किया जाता है टी,

साथ ही, यह ताप प्रवाह तापीय चालकता द्वारा शरीर की गहरी परतों से 1 मीटर 2 सतह तक आपूर्ति की जाती है

फिर शरीर की सतह के लिए ताप संतुलन समीकरण को फॉर्म में लिखा जाएगा

(1.15)

समीकरण (1.15) तीसरे प्रकार की सीमा स्थितियों का गणितीय सूत्रीकरण है।

विभेदक समीकरणों की प्रणाली, विशिष्टता की शर्तों के साथ, समस्या के गणितीय सूत्रीकरण का प्रतिनिधित्व करती है। विभेदक समीकरणों के समाधान में एकीकरण स्थिरांक होते हैं, जो विशिष्टता स्थितियों का उपयोग करके निर्धारित किए जाते हैं।

परीक्षण प्रश्न और असाइनमेंट

1. विश्लेषण करें कि हीटिंग रेडिएटर की दीवार के माध्यम से गर्म पानी से हवा में गर्मी किस प्रकार स्थानांतरित होती है: पानी से आंतरिक सतह तक, दीवार के माध्यम से, बाहरी सतह से हवा में।

2. समीकरण (1.3) के दाईं ओर ऋण क्यों है?

3. संदर्भ साहित्य का उपयोग करके संबंध का विश्लेषण करें λ(टी)धातुओं, मिश्र धातुओं, थर्मल इन्सुलेशन सामग्री, गैसों, तरल पदार्थों के लिए और प्रश्न का उत्तर दें: इन सामग्रियों के लिए तापीय चालकता गुणांक तापमान के साथ कैसे बदलता है?

4. ताप प्रवाह कैसे निर्धारित होता है? (क्यू, डब्ल्यू ) संवहनशील ऊष्मा अंतरण, तापीय चालकता, तापीय विकिरण के साथ?

5. आंतरिक ताप स्रोतों के बिना त्रि-आयामी स्थिर तापमान क्षेत्र का वर्णन करते हुए, कार्टेशियन निर्देशांक में तापीय चालकता के अंतर समीकरण को लिखें।

6. एक तार के तापमान क्षेत्र के लिए अंतर समीकरण लिखें जो निरंतर विद्युत भार के तहत लंबे समय तक सक्रिय रहता है।

2. तापीय चालकता और ताप स्थानांतरण
स्थिर मोड में

2.1. एक सपाट दीवार की तापीय चालकता

दिया गया:सपाट समान दीवार की मोटाई δ (चित्र 2.1) एक स्थिर तापीय चालकता गुणांक के साथ λ और स्थिर तापमान टी 1और टी 2सतहों पर.

परिभाषित करना: तापमान क्षेत्र समीकरण टी=एफ(एक्स)और ऊष्मा प्रवाह घनत्व क्यू, डब्ल्यू/एम2.

दीवार के तापमान क्षेत्र को निम्नलिखित स्थितियों के तहत तापीय चालकता के अंतर समीकरण (1.3) द्वारा वर्णित किया गया है:

· क्योंकि मोड स्थिर है;

· क्योंकि कोई आंतरिक ताप स्रोत नहीं हैं;

· क्योंकि तापमान टी 1और टी 2सतहों पर दीवारें स्थिर हैं।

दीवार का तापमान केवल एक निर्देशांक का कार्य है एक्सऔर समीकरण (1.13) का रूप ले लेता है

अभिव्यक्ति (2.1), (2.2), (2.3) समस्या का गणितीय सूत्रीकरण है, जिसका समाधान हमें वांछित तापमान क्षेत्र समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देगा टी=एफ(एक्स).

समाकलन समीकरण (2.1) देता है

बार-बार एकीकरण करने पर, हमें फॉर्म में अंतर समीकरण का समाधान प्राप्त होता है

लत टी=एफ(एक्स), (2.5) के अनुसार - एक सीधी रेखा (चित्र 2.1), जो सत्य है जब λ= स्थिरांक.

दीवार से गुजरने वाले ऊष्मा प्रवाह घनत्व को निर्धारित करने के लिए, हम फूरियर के नियम का उपयोग करते हैं

ध्यान में रखना हम एक सपाट दीवार के माध्यम से प्रेषित ताप प्रवाह घनत्व के लिए एक गणना सूत्र प्राप्त करते हैं,

सूत्र (2.6) को रूप में लिखा जा सकता है

कहाँ

मात्रा कहलाती है तापीय चालकता का तापीय प्रतिरोधसपाट दीवार.

समीकरण के आधार पर

क्यू आर=टी 1 - टी 2

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दीवार का थर्मल प्रतिरोध दीवार की मोटाई में तापमान के अंतर के सीधे आनुपातिक है।

तापमान पर तापीय चालकता गुणांक की निर्भरता को ध्यान में रखें, λ(टी), यह संभव है यदि हम मानों को समीकरण (2.6) और (2.7) में प्रतिस्थापित करें λ औसततापमान सीमा के लिए टी 1-टी 2.

आइए तापीय चालकता पर विचार करें बहुपरत सपाट दीवार, उदाहरण के लिए, तीन परतों से मिलकर बना है
(चित्र 2.2)।

दिया गया:δ 1, δ2, δ 3, λ 1, λ 2, λ 3, टी 1 = स्थिरांक, टी 4 = स्थिरांक.

परिभाषित करना: क्यू, डब्ल्यू/एम2; टी 2, टी 3.

स्थिर परिस्थितियों और दीवार की सतहों के निरंतर तापमान के तहत, तीन-परत की दीवार के माध्यम से प्रेषित गर्मी प्रवाह को समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा दर्शाया जा सकता है:

परत सीमाओं पर तापमान टी 2और टी 3ताप प्रवाह घनत्व के बाद समीकरण (2.8) - (2.10) का उपयोग करके गणना की जा सकती है ( क्यू) द्वारा (2.12).

एक बहुपरत सपाट दीवार के लिए समीकरण (2.12) का सामान्य रूप पीबाहरी सतहों पर स्थिर तापमान वाली सजातीय परतें और, का रूप होता है

2.2. बेलनाकार दीवार की तापीय चालकता
पहली तरह की सीमा स्थितियों के तहत

दिया गया: आंतरिक त्रिज्या के साथ सजातीय बेलनाकार दीवार (पाइप दीवार)। आर 1, बाहरी - र 2, लंबाई, एक स्थिर तापीय चालकता गुणांक के साथ λ , सतहों पर निरंतर तापमान के साथ टी 1और टी 2.
(चित्र 2.3)।

परिभाषित करना:तापमान क्षेत्र समीकरण
टी = एफ(आर), गर्मी का प्रवाह दीवार के माध्यम से स्थानांतरित हो जाता है
क्यू, मंगल.

इस समस्या की स्थितियों के लिए बेलनाकार निर्देशांक (1.14) में विभेदक ताप समीकरण:

रूप ले लेता है

समीकरणों की प्रणाली (2.15) - (2.17) को हल करने की प्रक्रिया एक सपाट दीवार के मामले में समान है: दूसरे क्रम के अंतर समीकरण (2.15) का सामान्य अभिन्न अंग पाया जाता है, जिसमें दो एकीकरण स्थिरांक होते हैं
1 सेऔर 2 से. उत्तरार्द्ध को सीमा शर्तों (2.16) और (2.17) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है और उनके मूल्यों को अंतर समीकरण (सामान्य अभिन्न) के समाधान में प्रतिस्थापित करने के बाद हम प्राप्त करते हैं एक बेलनाकार दीवार के तापमान क्षेत्र का समीकरण t = f (r)जैसा

यदि हम समीकरण (2.18) के दाहिने पक्ष का व्युत्पन्न लेते हैं और इसे (2.19) में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें गणना सूत्र प्राप्त होता है एक बेलनाकार दीवार का ताप प्रवाह

(2.20)

तकनीकी गणना में, गर्मी प्रवाह की गणना अक्सर 1 मीटर पाइप लंबाई के लिए की जाती है:

और कहा जाता है रैखिक ताप प्रवाह घनत्व.

आइए समीकरण (2.20) को इस रूप में लिखें

कहाँ – एक बेलनाकार दीवार की तापीय चालकता के लिए तापीय प्रतिरोध.

तीन-परत बेलनाकार दीवार के लिए(थर्मल इन्सुलेशन की दो परतों से ढका एक पाइप) ज्ञात स्थिर सतह तापमान के साथ ( टी 1और टी 4), ज्ञात ज्यामितीय आयामों के साथ ( आर 1, र 2, र 3, आर 4, ) और परतों की तापीय चालकता गुणांक ( λ 1, λ 2, λ 3) (चित्र 2.4) हम ऊष्मा प्रवाह के लिए निम्नलिखित समीकरण लिख सकते हैं क्यू:

परतों की सीमाओं पर तापमान (टी 2,टी 3)समीकरण (2.21) का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

के लिए बहुपरत बेलनाकार दीवार, को मिलाकर पीपरतें, सूत्र (2.22) को सामान्य रूप में लिखा जा सकता है

(2.23)

प्रभावी तापीय चालकता गुणांकएक बहुपरत बेलनाकार दीवार के लिए, साथ ही एक बहुपरत सपाट दीवार के लिए, बहुपरत दीवार के समान मोटाई की एक सजातीय दीवार के तापीय प्रतिरोध के लिए बहुपरत दीवार के थर्मल प्रतिरोधों के योग की समानता से निर्धारित किया जाता है। तो, एक पाइप के दो-परत थर्मल इन्सुलेशन के लिए
(चित्र 2.4) प्रभावी तापीय चालकता गुणांक (λeff)समानता से निर्धारित होगा

2.3. सपाट और बेलनाकार दीवारों की तापीय चालकता
तीसरे प्रकार की सीमा स्थितियों के तहत (गर्मी हस्तांतरण)

तीसरे प्रकार की सीमा स्थितियाँइसमें तरल का तापमान निर्धारित करना शामिल है (टी)और गर्मी हस्तांतरण गुणांक () दीवार की सतह और तरल के बीच.

एक तरल से दूसरे तरल को अलग करने वाली दीवार के माध्यम से ऊष्मा का स्थानांतरण कहलाता है गर्मी का हस्तांतरण.

ऊष्मा स्थानांतरण के उदाहरण हैं, भाप बॉयलर की पाइप दीवार के माध्यम से ग्रिप गैसों से गर्मी का पानी में स्थानांतरण, हीटिंग रेडिएटर की दीवार के माध्यम से गर्म पानी से आसपास की हवा में गर्मी का स्थानांतरण, आदि।

सतह और माध्यम (शीतलक) के बीच ऊष्मा का आदान-प्रदान हो सकता है संवहनी, यदि शीतलक तरल (पानी, तेल, आदि) है या विकिरण-संवहनीजब ऊष्मा को संवहन ऊष्मा विनिमय और विकिरण द्वारा स्थानांतरित किया जाता है, यदि शीतलक गैस (फ्लू गैसें, वायु, आदि) है।

आइए हम सतहों पर केवल संवहन ताप विनिमय की स्थिति के तहत सपाट और बेलनाकार दीवारों के माध्यम से गर्मी हस्तांतरण पर विचार करें। सतहों पर विकिरण-संवहनी ऊष्मा स्थानांतरण (जटिल ऊष्मा स्थानांतरण) के साथ ऊष्मा स्थानांतरण पर बाद में चर्चा की जाएगी। W/m 2 ऊष्मा स्थानांतरण (Q)

अगर एक 1और एक 2अनुरूप.

बहु-परत बेलनाकार दीवार के माध्यम से गर्मी हस्तांतरणसूत्र द्वारा गणना की गई

(2.35)

कहाँ एफ 1और एफ 2- बहुपरत बेलनाकार दीवार की आंतरिक और बाहरी सतहों का क्षेत्र।

किसी भी भौतिक प्रक्रिया का अध्ययन इस प्रक्रिया को चिह्नित करने वाली मात्राओं के बीच संबंधों की स्थापना से जुड़ा है। जटिल प्रक्रियाओं के लिए, जिसमें तापीय चालकता द्वारा गर्मी हस्तांतरण शामिल है, मात्राओं के बीच संबंध स्थापित करते समय, गणितीय भौतिकी के तरीकों का उपयोग करना सुविधाजनक होता है, जो प्रक्रिया के पाठ्यक्रम को अध्ययन के तहत पूरे स्थान में नहीं, बल्कि मानता है। समय की एक अनंत अवधि के दौरान पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा में. तापीय चालकता द्वारा गर्मी के हस्तांतरण में शामिल मात्राओं के बीच संबंध इस मामले में तथाकथित द्वारा स्थापित किया गया है तापीय चालकता का विभेदक समीकरण. चयनित प्रारंभिक मात्रा और समय की एक असीम रूप से छोटी अवधि की सीमा के भीतर, प्रक्रिया की विशेषता वाली कुछ मात्राओं में परिवर्तन की उपेक्षा करना संभव हो जाता है।

तापीय चालकता के विभेदक समीकरण को प्राप्त करते समय, निम्नलिखित धारणाएँ बनाई जाती हैं: भौतिक मात्राएँ λ, पी के साथऔर ρ स्थायी; कोई आंतरिक ताप स्रोत नहीं हैं; शरीर सजातीय और आइसोट्रोपिक है; ऊर्जा के संरक्षण के नियम का उपयोग किया जाता है, जो इस मामले के लिए निम्नानुसार तैयार किया गया है: समय के दौरान प्राथमिक समानांतर चतुर्भुज में तापीय चालकता के कारण प्रवेश करने वाली गर्मी की मात्रा के बीच का अंतर dτऔर इसे उसी समय के लिए छोड़कर, विचाराधीन प्राथमिक आयतन की आंतरिक ऊर्जा को बदलने पर खर्च किया जाता है। परिणामस्वरूप, हम समीकरण पर पहुंचते हैं:

मात्रा कहलाती है लाप्लास ऑपरेटरऔर इसे आमतौर पर 2 के रूप में संक्षिप्त किया जाता है टी(चिह्न पर लिखा है "नबला"); आकार λ /सी.पी.ओबुलाया थर्मल प्रसार गुणांकऔर अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है एक।संकेतित संकेतन के साथ, विभेदक ताप समीकरण रूप लेता है

समीकरण (1-10) कहा जाता है तापीय चालकता का विभेदक समीकरण,या आंतरिक ताप स्रोतों की अनुपस्थिति में त्रि-आयामी अस्थिर तापमान क्षेत्र के लिए फूरियर समीकरण। यह तापीय चालकता द्वारा गर्मी हस्तांतरण की प्रक्रिया में निकायों के हीटिंग और शीतलन के अध्ययन में मुख्य समीकरण है और क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर तापमान में अस्थायी और स्थानिक परिवर्तनों के बीच संबंध स्थापित करता है।

थर्मल प्रसार गुणांक ए= λ/cρकिसी पदार्थ का एक भौतिक पैरामीटर है और इसकी माप की एक इकाई m 2/s है। गैर-स्थिर थर्मल प्रक्रियाओं में मूल्य एतापमान परिवर्तन की दर को दर्शाता है। यदि तापीय चालकता गुणांक निकायों की ऊष्मा संचालित करने की क्षमता को दर्शाता है, तो तापीय प्रसार गुणांक एपिंडों के तापीय जड़त्वीय गुणों का माप है। समीकरण (1-10) से यह पता चलता है कि समय के साथ तापमान में परिवर्तन होता है ∂t / ∂τशरीर के किसी भी बिंदु के मान के समानुपाती होता है एइसलिए, समान परिस्थितियों में, जिस शरीर में तापीय प्रसार क्षमता अधिक होगी उसका तापमान तेजी से बढ़ेगा। गैसों में छोटे होते हैं, और धातुओं में बड़े, तापीय प्रसार गुणांक होते हैं।

शरीर के अंदर ताप स्रोतों के साथ तापीय चालकता के अंतर समीकरण का रूप होगा

कहाँ क्यू वी- प्रति इकाई समय में किसी पदार्थ के प्रति इकाई आयतन में निकलने वाली ऊष्मा की मात्रा, साथ- शरीर की द्रव्यमान ताप क्षमता, ρ - शरीर का घनत्व .

आंतरिक ताप स्रोत के साथ बेलनाकार निर्देशांक में तापीय चालकता के अंतर समीकरण का रूप होगा

कहाँ आर-एक बेलनाकार समन्वय प्रणाली में त्रिज्या वेक्टर; φ - कोना।