Isi 4
Dari editor terjemahan 10
Kata Pengantar edisi ketiga 13
Kata Pengantar edisi kedua 15
Kata Pengantar edisi pertama 16
Sebutan 20
Bab 1. Pendahuluan 22
§ 1. Elastisitas 22
§ 2. Tegangan 23
§ 3. Sebutan gaya dan tegangan 24
§ 4. Komponen stres 25
§ 5. Komponen deformasi 26
§ 6. Hukum Hooke 28
§ 7. Notasi indeks 32
Masalah 34
Bab 2. Keadaan tegangan bidang dan regangan bidang 35
§ 8. Tegangan bidang terdiri dari 35
§ 9. Deformasi bidang 35
§ 10. Tekankan pada poin 37
§ 11. Deformasi pada titik 42
§ 12. Pengukuran deformasi permukaan 44
§ 13. Konstruksi lingkaran deformasi Mohr untuk roset 46
§ 14. Persamaan kesetimbangan diferensial 46
§ 15. Kondisi batas 47
§ 16. Persamaan kompatibilitas 48
§ 17. Fungsi stres 50
Masalah 52
Bab 3. Soal dua dimensi pada koordinat persegi panjang 54
§ 18. Solusi dalam polinomial 54
§ 19. Efek akhir. Prinsip Saint-Venant 58
§ 20. Penentuan perpindahan 59
§ 21. Pembengkokan konsol yang dimuat pada akhir 60
§ 22. Membengkokkan balok dengan beban seragam 64
§ 23. Kasus lain dari balok dengan distribusi beban kontinu 69
§ 24. Penyelesaian masalah dua dimensi menggunakan deret Fourier 71
§ 25. Aplikasi lain dari deret Fourier. Beban berat sendiri 77
§ 26. Pengaruh kondom. Fungsi sendiri 78
Masalah 80
Bab 4. Soal dua dimensi pada koordinat kutub 83
§ 27. Persamaan umum dalam koordinat kutub 83
§ 28. Distribusi tegangan polar-simetris 86
§ 29. Pembengkokan murni balok lengkung 89
§ 30. Komponen deformasi pada koordinat kutub 93
§ 31. Perpindahan pada tegangan simetris nol 94
§ 32. Memutar disk 97
§ 33. Pembengkokan balok lengkung dengan gaya yang diterapkan pada ujung 100
§ 34. Dislokasi tepi 105
§ 35. Pengaruh lubang bundar terhadap distribusi tegangan pada pelat 106
§ 36. Gaya terkonsentrasi diterapkan pada suatu titik pada batas bujursangkar 113
§ 37. Beban vertikal sembarang pada batas lurus 119
§ 38. Gaya yang bekerja pada ujung baji 125
§ 39. Momen lentur yang bekerja pada ujung baji 127
§ 40. Aksi pada balok dengan gaya terkonsentrasi 128
§ 41. Stres dalam disk bundar 137
§ 42. Gaya yang bekerja pada suatu titik pada pelat tak hingga 141
§ 43. Solusi umum dari masalah dua dimensi dalam koordinat kutub 146
§ 44. Penerapan solusi umum dalam koordinat kutub 150
§ 45. Baji dimuat di sepanjang tepinya 153
§ 46. Solusi sendiri untuk irisan dan guntingan 155
Masalah 158
Bab 5. Metode Eksperimental. Metode fotoelastisitas dan metode moiré 163
§ 47. Metode eksperimental dan pengujian solusi teoritis 163
§ 48. Pengukuran tegangan dengan metode fotoelastik 163
§ 49. Polariskop melingkar 169
§ 50. Contoh penentuan tegangan dengan metode fotoelastik 171
§ 51. Penentuan tegangan utama 174
§ 52. Metode fotoelastisitas dalam kasus tiga dimensi 175
§ 53. Metode Moire 177
Bab 6. Soal dua dimensi pada koordinat lengkung 180
§ 54. Fungsi variabel kompleks 180
§ 55. Fungsi analitik dan persamaan Laplace 182
§ 56. Fungsi tegangan dinyatakan melalui fungsi harmonik dan kompleks 184
§ 57. Perpindahan yang berhubungan dengan fungsi tegangan tertentu 186
§ 58. Ekspresi tegangan dan perpindahan melalui potensi kompleks 188
§ 59. Resultan tegangan yang bekerja sepanjang kurva tertentu. Kondisi batas 190
§ 60. Koordinat lengkung 193
§ 61. Komponen tegangan pada koordinat lengkung 196
Masalah 198
§ 62. Solusi dalam koordinat elips. Lubang elips pada pelat dengan keadaan tegangan seragam 198
§ 63. Lubang elips pada pelat yang mengalami tegangan uniaksial 202
§ 64. Batasan hiperbolik. Guntingan 206
§ 65. Koordinat bipolar 208
§ 66. Solusi dalam koordinat bipolar 209
§ 67. Penentuan potensi kompleks berdasarkan kondisi batas tertentu. Metode N.I.Mushelishvili 214
§ 68 Rumus potensi kompleks 217
§ 69. Sifat-sifat tegangan dan regangan yang berhubungan dengan potensial kompleks analitis di wilayah material yang terletak di sekitar lubang 219
§ 70. Teorema integral batas 221
§ 71. Fungsi pemetaan ω(ξ) untuk lubang elips. Integral batas kedua 224
§ 72. Lubang elips. Rumus untuk ψ(ζ) 225
§ 73. Lubang elips. Masalah khusus 226
Soal 229
Bab 7. Analisis tegangan dan regangan dalam kasus spasial 230
§ 74. Pendahuluan 230
§ 75. Penekanan utama 232
§ 76. Ellipsoid tegangan dan permukaan pemandu tegangan 233
§ 77. Penentuan tegangan utama 234
§ 78. Invarian stres 235
§ 79. Penentuan tegangan geser maksimum 236
§ 80. Deformasi homogen 238
§ 81. Deformasi pada suatu titik tubuh 239
§ 82. Sumbu utama deformasi 242
§ 83. Rotasi 243
Masalah 245
Bab 8. Teorema umum 246
§ 84. Persamaan kesetimbangan diferensial 246
§ 85. Kondisi kompatibilitas 247
§ 86. Penentuan gerakan 250
§ 87. Persamaan kesetimbangan perpindahan 251
§ 88. Solusi umum untuk gerakan 252
§ 89. Prinsip superposisi 253
§ 90. Energi deformasi 254
§ 91. Energi regangan untuk dislokasi tepi 259
§ 92. Prinsip kerja virtual 261
§ 93. Teorema Castigliano 266
§ 94. Penerapan prinsip kerja minimum. Pelat persegi panjang 270
§ 95. Lebar efektif sayap lebar balok 273
Masalah 279
§ 96. Keunikan solusi 280
§ 97. Teorema timbal balik 282
§ 98. Perkiraan sifat solusi untuk keadaan tegangan bidang 285
Masalah 287
Bab 9. Masalah dasar tiga dimensi teori elastisitas 289
§ 99. Keadaan stres homogen 289
§ 100. Ketegangan batang prismatik karena pengaruh beratnya sendiri 290
§ 101. Torsi poros bundar dengan penampang konstan 293
§ 102. Pembengkokan murni batang prismatik 294
§ 103. Pembengkokan murni pelat 298
Bab 10. Torsi 300
§ 104. Torsi batang lurus 300
§ 105. Penampang elips 305
§ 106. Solusi dasar lainnya 307
§ 107. Analogi membran 310
§ 108. Torsi batang dengan penampang persegi panjang sempit 314
§ 109. Torsi batang persegi panjang 317
§ 110. Hasil tambahan 320
§ 111. Menyelesaikan masalah torsi menggunakan metode energi 323
§ 112. Torsi batang profil yang digulung 329
§ 113. Analogi eksperimental 331
§ 114. Analogi hidrodinamik 332
§ 115. Torsi poros berongga 335
§ 116. Torsi pipa berdinding tipis 339
§ 117. Dislokasi sekrup 343
§ 118. Puntiran suatu batang yang salah satu penampangnya tetap rata 345
§ 119. Torsi poros bundar dengan diameter variabel 347
Soal 355
Bab 11. Pembengkokan Balok 359
§ 120. Membengkokkan konsol 359
§ 121. Fungsi stres 361
§ 122. Penampang lingkaran 363
§ 123. Penampang elips 364
§ 124. Penampang persegi panjang 365
§ 125. Hasil tambahan 371
§ 126. Penampang asimetris 373
§ 127. Pusat tikungan 375
§ 128. Menyelesaikan masalah pembengkokan menggunakan metode film sabun 378
§ 129. Pergerakan 381
§ 130. Studi lebih lanjut tentang pembengkokan balok 382
Bab 12. Tegangan dan deformasi aksisimetris pada benda revolusi 384
§ 131. Persamaan umum 384
§ 132. Solusi dalam polinomial 387
§ 133. Pembengkokan pelat bundar 388
§ 134. Masalah tiga dimensi dari piringan yang berputar 391
§ 135. Gaya diterapkan pada suatu titik pada benda tak terhingga 393
§ 136. Kapal berbentuk bola di bawah pengaruh tekanan seragam internal atau eksternal 396
§ 137. Tekanan lokal di sekitar rongga bola 399
§ 138. Gaya yang diterapkan pada batas benda semi tak terhingga 401
§ 139. Beban didistribusikan pada bagian batas benda semi tak hingga 405
§ 140. Tekanan antara dua benda bola yang bersentuhan 412
§ 141. Tekanan antara dua benda yang bersentuhan. Kasus yang lebih umum 417
§ 142. Tabrakan bola 422
§ 143. Deformasi simetris silinder bulat 424
§ 144. Silinder bundar di bawah aksi tekanan sekitar 428
§ 145. Solusi Boussinesq berupa dua fungsi harmonik 430
§ 146. Ketegangan pegas heliks (dislokasi sekrup pada cincin) 431
§ 147. Pembengkokan murni suatu bagian cincin melingkar 434
Bab 13. Tekanan suhu 436
§ 148. Kasus paling sederhana dari distribusi tekanan suhu. Metode penghapusan deformasi 436
Soal 442
§ 149. Perubahan suhu memanjang di jalur 442
§ 150. Piringan bundar tipis: distribusi suhu simetris terhadap pusat 445
§ 151. Silinder bulat panjang 447
Soal 455
§ 152. Bola 455
§ 153. Persamaan umum 459
§ 154. Teorema timbal balik dalam termoelastisitas 463
§ 155. Deformasi termoelastis total. Distribusi suhu acak 464
§ 156. Perpindahan termoelastik. Solusi integral dari V.M. Maizel 466
Masalah 469
§ 157. Tekanan awal 469
§ 158. Perubahan umum volume yang berhubungan dengan tegangan awal 472
§ 159. Regangan bidang dan keadaan tegangan bidang. Metode menghilangkan deformasi 472
§ 160. Masalah dua dimensi dengan aliran panas stasioner 474
§ 161. Keadaan tegangan termal bidang yang disebabkan oleh gangguan aliran panas homogen oleh lubang berinsulasi 480
§ 162. Solusi persamaan umum. Potensi perpindahan termoelastik 481
§ 163. Masalah umum dua dimensi untuk luas lingkaran 485
§ 164. Masalah umum dua dimensi. Penyelesaian potensi kompleks 487
Bab 14. Perambatan gelombang pada medium kontinyu elastis 490
§ 165. Pendahuluan 490
§ 166. Gelombang ekspansi dan gelombang distorsi dalam media elastis isotropik 491
§ 167. Gelombang bidang 492
§ 168. Gelombang longitudinal pada batang dengan penampang konstan. Teori dasar 497
§ 169. Tumbukan memanjang batang 502
§ 170. Gelombang permukaan Rayleigh 510
§ 171. Gelombang dengan simetri bola dalam medium tak hingga 513
§ 172. Tekanan ledakan dalam rongga bola 514
Aplikasi. Penerapan persamaan beda hingga dalam teori elastisitas 518
§ 1. Penurunan persamaan beda hingga 518
§ 2. Metode perkiraan berturut-turut 522
§ 3. Metode relaksasi 525
§ 4. Jerat segitiga dan heksagonal 530
§ 5. Relaksasi blok dan kelompok 535
§ 6. Torsi batang dengan penampang terhubung ganda 536
§ 7. Titik-titik yang terletak di dekat perbatasan 538
§ 8. Persamaan biharmonik 540
§ 9. Torsi poros melingkar dengan diameter variabel 548
§ 10. Memecahkan masalah dengan menggunakan komputer 551
Indeks nama 553
Indeks subjek 558

Penciptaan teori elastisitas dan plastisitas sebagai cabang mekanika yang berdiri sendiri didahului oleh karya para ilmuwan abad ke-17 dan ke-18 bahkan pada awal abad ke-17. G. Galileo (1564-1642) melakukan upaya untuk memecahkan masalah regangan dan pembengkokan balok. Dia adalah salah satu orang pertama yang mencoba menerapkan perhitungan pada masalah teknik sipil.

Teori pembengkokan batang elastis tipis dipelajari oleh para ilmuwan terkemuka seperti E. Mariotte, J. Bernoulli Sr., S.O. Coulomb, L. Euler, dan terbentuknya teori elastisitas sebagai ilmu dapat dikaitkan dengan karya R. Gun, T. Jung, J.L. Lagrange, S.Germain.

Robert Hooke (1635-1703) meletakkan dasar bagi mekanika benda elastis dengan menerbitkannya pada tahun 1678 R. pekerjaan di mana ia menggambarkan hukum proporsionalitas antara beban dan deformasi tarik yang ia tetapkan. Thomas Young (1773-1829) pada awal abad ke-19. memperkenalkan konsep modulus elastisitas tarik dan tekan. Ia juga membedakan antara deformasi tarik atau tekan dan deformasi geser. Karya Joseph Louis Lagrange (1736-1813) dan Sophie Germain (1776-1831) berasal dari waktu yang sama. Mereka menemukan solusi terhadap masalah pembengkokan dan getaran pelat elastis. Selanjutnya teori lempeng diperbaiki oleh S. Poisson dan 781-1840) dan L. Navier (1785-1836).

Jadi, pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19. fondasi kekuatan bahan diletakkan dan landasan diciptakan bagi munculnya teori elastisitas. Pesatnya perkembangan teknologi menimbulkan sejumlah besar masalah praktis bagi matematika, yang menyebabkan pesatnya perkembangan teori. Salah satu dari sekian banyak permasalahan penting adalah masalah mempelajari sifat-sifat bahan elastis. Pemecahan masalah ini memungkinkan untuk mempelajari lebih dalam dan lengkap gaya-gaya dalam dan deformasi yang timbul pada benda elastis di bawah pengaruh gaya-gaya luar.

Tanggal lahirnya teori matematika tentang elastisitas harus dipertimbangkan pada tahun 1821, ketika karya L. Navier diterbitkan, di mana persamaan dasar dirumuskan.

Kesulitan matematika yang besar dalam memecahkan masalah teori elastisitas menarik perhatian banyak matematikawan terkemuka abad ke-19: Lame, Clapeyron, Poisson, dll. Teori elastisitas dikembangkan lebih lanjut dalam karya matematikawan Perancis O. Cauchy ( 1789-1857), yang memperkenalkan konsep deformasi dan tegangan, sehingga menyederhanakan penurunan persamaan umum.

Pada tahun 1828, peralatan dasar teori elastisitas matematika menemukan penyelesaiannya dalam karya ilmuwan dan insinyur Perancis G. Lame (1795-1870) dan B. Clapeyron (1799-1864), yang pada waktu itu mengajar di Institut Insinyur Kereta Api di St. Petersburg. Kerja sama mereka memberikan penerapan persamaan umum untuk memecahkan masalah praktis.

Pemecahan banyak masalah dalam teori elastisitas menjadi mungkin setelah mekanik Perancis B. Saint-Venant (1797-1886) mengemukakan prinsip yang menyandang namanya dan mengusulkan metode yang efektif untuk memecahkan masalah dalam teori elastisitas. Kelebihannya, menurut ilmuwan terkenal Inggris A. Love (1863-1940), juga terletak pada kenyataan bahwa ia menghubungkan masalah torsi dan pembengkokan balok dengan teori umum.

Jika matematikawan Prancis terutama menangani masalah-masalah umum teori, maka para ilmuwan Rusia memberikan kontribusi besar terhadap pengembangan ilmu kekuatan dengan memecahkan banyak masalah praktis yang mendesak. Dari tahun 1828 hingga 1860, ilmuwan terkemuka M.V. Ostrogradsky (1801-1861) mengajar matematika dan mekanika di universitas teknik St. Penelitiannya tentang getaran yang timbul pada medium elastis penting untuk pengembangan teori elastisitas. Ostrogradsky melatih sekelompok ilmuwan dan insinyur. Di antara mereka harus disebutkan D.I. Zhuravsky (1821-1891), yang, ketika mengerjakan pembangunan Kereta Api St. Petersburg-Moskow, tidak hanya menciptakan desain jembatan baru, tetapi juga teori untuk menghitung rangka jembatan, dan juga menurunkan rumus untuk tegangan tangensial pada balok lentur.

A. V. Gadolin (1828-1892) menerapkan masalah deformasi aksisimetris Lame pada pipa berdinding tebal untuk mempelajari tegangan yang timbul pada laras senapan artileri, menjadi salah satu orang pertama yang menerapkan teori elastisitas pada masalah teknik tertentu.

Di antara masalah-masalah lain yang dipecahkan pada akhir abad ke-19, perlu diperhatikan karya Kh. S. Golovin (1844-1904), yang melakukan perhitungan akurat balok lengkung menggunakan metode teori elastisitas, yang memungkinkannya untuk dilakukan. menentukan tingkat keakuratan solusi perkiraan.

Penghargaan besar atas pengembangan ilmu kekuatan adalah milik V. L. Kirpichev (1845-1913). Dia berhasil menyederhanakan berbagai metode untuk menghitung struktur statis tak tentu secara signifikan. Dia adalah orang pertama yang menerapkan metode optik pada penentuan tegangan eksperimental dan menciptakan metode kesamaan.

Hubungan erat dengan praktik konstruksi, integritas, dan kedalaman analisis menjadi ciri sains Soviet. I. G. Bubnov (1872-1919) mengembangkan metode perkiraan baru untuk mengintegrasikan persamaan diferensial, yang dikembangkan dengan cemerlang oleh B. G. Galerkin (1871-1945). Metode variasi Bubnov-Galerkin saat ini banyak digunakan. Karya-karya para ilmuwan dalam teori pembengkokan lempeng sangatlah penting. Melanjutkan penelitian Galerkin, P.F. Papkovich (1887-1946).

Sebuah metode penyelesaian masalah bidang dalam teori elastisitas, berdasarkan penerapan teori fungsi variabel kompleks, dikemukakan oleh G.V. Kolosov (1867-1936). Selanjutnya metode ini dikembangkan dan digeneralisasikan oleh N.I. Muskhelishvili (1891-1976). Sejumlah permasalahan tentang kestabilan batang dan pelat, getaran batang dan piringan, serta teori tumbukan dan kompresi benda elastis diselesaikan oleh A.N. Dinnik (1876-1950). Karya-karya L.S. Leibenzon (1879-1951) tentang kestabilan keseimbangan elastis batang bengkok panjang, tentang kestabilan cangkang bola dan silinder. Karya-karya besar V. Z. Vlasov (1906-1958) tentang teori umum batang spasial berdinding tipis, sistem terlipat, dan cangkang mempunyai kepentingan praktis yang besar.

Teori plastisitas memiliki sejarah yang lebih pendek. Teori matematika pertama tentang plastisitas diciptakan oleh Saint-Venant pada tahun 70-an abad ke-19. berdasarkan eksperimen insinyur Perancis G. Tresca. Pada awal abad ke-20. R. Mises menangani masalah plastisitas. G.Genki, L.Prandtl, T.Karman. Sejak tahun 30-an abad ke-20, teori plastisitas telah menarik perhatian banyak ilmuwan asing terkemuka (A. Nadai, R. Hill, V. Prager, F. Hodge, D. Drucker, dll.). Karya-karya tentang teori plastisitas oleh ilmuwan Soviet V.V. Sokolovsky, A.Yu. Ishlinsky, G.A. Smirnova-Alyaeva, L.M. Kontribusi mendasar terhadap penciptaan teori deformasi plastisitas dibuat oleh A.A. Ilushin. A A. Gvozdev mengembangkan teori penghitungan pelat dan cangkang berdasarkan beban destruktif. Rzhanitsyn.

Teori mulur sebagai cabang mekanika benda yang dapat dideformasi terbentuk relatif baru. Studi pertama di bidang ini dimulai pada tahun 20-an abad ke-20. Sifat umum mereka ditentukan oleh fakta bahwa masalah mulur sangat penting bagi teknik tenaga dan para insinyur terpaksa mencari metode yang sederhana dan cepat mencapai tujuan untuk memecahkan masalah praktis. Dalam penciptaan teori mulur, peran besar dimiliki oleh para penulis yang memberikan kontribusi signifikan terhadap penciptaan teori plastisitas modern. karenanya terdapat kesamaan dalam banyak ide dan pendekatan. Di negara kita, karya pertama tentang teori mekanik mulur adalah milik N.M. Belyaev (1943), K.D. Mirtov (1946), studi pertama N.N. Malinin, Yu.N. Rabotnova.

Penelitian di bidang benda kental elastis dilakukan pada karya A.Yu. Ishlinsky, A.N. Gerasimova, A.R. Rzhanitsyna, Yu.N. Rabotnova. Penerapan teori ini pada material yang menua, terutama beton, diberikan dalam karya N.X. Harutyunyan, A.A. Gvozdeva, G.N. Sejumlah besar penelitian mengenai creep bahan polimer telah dilakukan oleh tim peneliti yang dipimpin oleh A.A. Ilyushina, A.K. Malmeister, M.I. Rozovsky, G.N. Savina.

Negara Soviet menaruh perhatian besar pada sains. Pengorganisasian lembaga penelitian dan partisipasi tim besar ilmuwan dalam pengembangan masalah topikal memungkinkan untuk meningkatkan ilmu pengetahuan Soviet ke tingkat yang lebih tinggi.

Dalam tinjauan singkat, tidak mungkin untuk membahas lebih detail karya semua ilmuwan yang berkontribusi pada pengembangan teori elastisitas dan plastisitas. Bagi yang ingin mengetahui secara detail sejarah perkembangan ilmu ini dapat merujuk pada buku teks karya N.I. Bezukhov, yang memberikan analisis rinci tentang tahapan utama pengembangan teori elastisitas dan plastisitas, serta bibliografi yang ekstensif.

1.1.Hipotesis dasar, prinsip dan definisi

Teori tegangan sebagai salah satu cabang mekanika kontinum didasarkan pada sejumlah hipotesis, yang utama adalah hipotesis kontinuitas dan keadaan tegangan alami (latar belakang).

Menurut hipotesis kontinuitas, semua benda dianggap kontinu penuh baik sebelum penerapan beban (sebelum deformasi) dan setelah aksinya. Dalam hal ini, setiap volume benda tetap padat (kontinu), termasuk volume dasar, yaitu sangat kecil. Dalam hal ini, deformasi suatu benda dianggap sebagai fungsi koordinat kontinu ketika bahan benda tersebut mengalami deformasi tanpa terbentuknya retakan atau lipatan terputus-putus di dalamnya.

Hipotesis keadaan tegangan alami mengasumsikan adanya tingkat tegangan awal (latar belakang) dalam benda, biasanya dianggap nol, dan tegangan aktual yang disebabkan oleh beban eksternal dianggap sebagai kenaikan tegangan di atas tingkat alami.

Seiring dengan hipotesis utama di atas, sejumlah prinsip dasar juga diadopsi dalam teori stres, di antaranya, pertama-tama, perlu disebutkan anugerah benda dengan elastisitas ideal, isotropi bola, homogenitas sempurna, dan hubungan linier antara tegangan dan deformasi.

Elastisitas ideal adalah kemampuan bahan yang mengalami deformasi untuk mengembalikan bentuk (ukuran dan volume) aslinya setelah menghilangkan beban luar (pengaruh luar). Hampir semua batuan dan sebagian besar bahan bangunan mempunyai tingkat elastisitas tertentu; bahan-bahan ini mencakup cairan dan gas.

Isotropi bola mengandaikan sifat bahan yang sama di semua arah beban; antipodanya adalah anisotropi, yaitu ketidaksamaan sifat dalam arah yang berbeda (beberapa kristal, kayu, dll.). Pada saat yang sama, konsep isotropi bola dan homogenitas tidak boleh dikacaukan: misalnya, struktur kayu yang homogen dicirikan oleh anisotropi - perbedaan kekuatan kayu di sepanjang dan melintasi serat. Bahan elastis, isotropik, dan homogen dicirikan oleh hubungan linier antara tegangan dan regangan, yang dijelaskan oleh hukum Hooke, yang dibahas pada bagian terkait di buku teks.

Prinsip dasar dalam teori tegangan (dan deformasi, antara lain) adalah prinsip aksi lokal dari beban eksternal yang seimbang - prinsip Saint-Venant. Menurut prinsip ini, sistem gaya seimbang yang diterapkan pada suatu benda di setiap titik (garis) menyebabkan tegangan pada material yang dengan cepat berkurang seiring dengan jarak dari tempat beban diterapkan, misalnya menurut hukum eksponensial. Contoh tindakan tersebut adalah memotong kertas dengan gunting, yang mengubah bentuk (memotong) bagian lembaran (garis) yang sangat kecil, sedangkan sisa lembaran kertas tidak akan terganggu, yaitu akan terjadi deformasi lokal. Penerapan prinsip Saint-Venant membantu menyederhanakan perhitungan matematis ketika memecahkan masalah estimasi PPN dengan mengganti beban tertentu yang sulit dijelaskan secara matematis dengan beban yang lebih sederhana namun setara.

Berbicara tentang pokok bahasan teori tegangan, maka perlu diberikan pengertian tentang tegangan itu sendiri, yang dipahami sebagai ukuran gaya-gaya dalam pada suatu benda, dalam suatu bagian tertentu, didistribusikan ke bagian yang bersangkutan dan menangkal beban luar. Dalam hal ini, tegangan-tegangan yang bekerja pada luas melintang dan tegak lurus disebut tegangan normal; oleh karena itu, tegangan yang sejajar dengan area ini atau menyentuhnya akan bersifat tangensial.

Pertimbangan teori tegangan disederhanakan dengan memperkenalkan asumsi-asumsi berikut, yang praktis tidak mengurangi keakuratan solusi yang diperoleh:

Perpanjangan relatif (pemendekan), serta pergeseran relatif (sudut geser) jauh lebih kecil daripada kesatuan;

Perpindahan titik-titik benda selama deformasinya kecil dibandingkan dengan dimensi linier benda;

Sudut rotasi bagian selama deformasi lentur benda juga sangat kecil dibandingkan dengan kesatuan, dan kuadratnya dapat diabaikan dibandingkan dengan nilai deformasi linier dan sudut relatif.

4. STRUKTUR BUMI MENURUT DATA SEISMOLOGI

Dasar-dasar teori elastisitas: tensor regangan, tensor tegangan, hukum Hooke, modulus elastis, deformasi homogen, gelombang elastis dalam medium isotropik, hukum Fermat, Huygens, Snell. Gelombang seismik. Perkembangan observasi seismometri: stasiun seismik dan jaringannya, hodograf, lintasan gelombang di dalam bumi. Penentuan kecepatan rambat gelombang seismik menggunakan persamaan Hertlots-Wiechert. Kecepatan gelombang longitudinal dan transversal sebagai fungsi jari-jari bumi. Keadaan materi bumi menurut data seismologi. Kerak bumi. Litosfer dan astenosfer. Seismologi dan tektonik global.

Dasar-dasar teori elastisitas[Landau, Lifshits, 2003, hal. 9-25, 130-144]

Tensor regangan

Mekanika benda padat, yang dianggap sebagai media kontinu, adalah isinya teori elastisitas. Persamaan dasar teori elastisitas ditetapkan oleh O.L. Koshy dan S.D. Poisson pada tahun 20-an abad ke-19 (untuk lebih jelasnya lihat Bab 15).

Di bawah pengaruh gaya yang diterapkan, benda padat mengalami deformasi sampai tingkat tertentu, mis. mengubah bentuk dan volumenya. Untuk menggambarkan deformasi suatu benda secara matematis, lakukan sebagai berikut. Posisi setiap titik suatu benda ditentukan oleh vektor jari-jarinya r (dengan komponen x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z) dalam sistem koordinat tertentu. Ketika suatu benda mengalami deformasi, semua titiknya, secara umum, bergeser. Mari kita perhatikan beberapa titik tertentu pada tubuh; jika vektor jari-jarinya sebelum deformasi adalah r, maka pada benda yang mengalami deformasi akan terdapat vektor jari-jari lainnya

nilai r / (dengan komponen x i / ). Perpindahan suatu titik benda selama deformasi selanjutnya akan diwakili oleh vektor r / - r, yang dilambangkan dengan huruf u:

kamu = x/ − x .

Vektor u disebut vektor deformasi(atau vektor perpindahan). Pengetahuan tentang vektor u

sebagai fungsi dari x i sepenuhnya menentukan deformasi benda.

Ketika suatu benda mengalami deformasi, jarak antara titik-titiknya berubah. Jika vektor jari-jari di antara keduanya sebelum deformasi adalah dx i , maka jari-jari benda yang mengalami deformasi tersebut

vektor antara dua titik yang sama adalah dx i / = dx i + du i. Jarak antar titik sebelum deformasi sama dengan:

dl = dx1 2 + dx2 2 + dx3 2,

dan setelah deformasi:

dl / = dx 1 / 2 + dx 2 / 2 + dx 3 / 2 .

Akhirnya kita mendapatkan:

dl / 2 = dl 2 + 2 kamu

∂u saya

∂u k

∂u aku

∂u aku

∂xk

∂xk

∂x saya

∂x saya

Ekspresi ini menentukan perubahan panjang elemen ketika benda mengalami deformasi. Tensor u ik disebut tensor regangan; menurut definisinya itu simetris:

kamu ik = kamu ki .

Seperti tensor simetris lainnya, tensor u ik di setiap titik dapat direduksi menjadi

sumbu utama dan pastikan bahwa dalam setiap elemen volume benda, deformasi dapat dianggap sebagai himpunan tiga deformasi independen dalam tiga arah tegak lurus - sumbu utama tensor deformasi. Di hampir semua kasus deformasi benda, deformasinya kecil. Artinya perubahan jarak berapapun pada benda ternyata kecil dibandingkan dengan jarak itu sendiri. Dengan kata lain, perpanjangan relatif kecil dibandingkan kesatuan.

Dengan pengecualian beberapa kasus khusus, yang tidak akan kita bahas, jika benda mengalami deformasi kecil, maka semua komponen tensor deformasi juga kecil. Oleh karena itu, dalam ekspresi (4.3) kita dapat mengabaikan suku terakhir sebagai besaran kecil orde kedua. Jadi, dalam kasus deformasi kecil, tensor deformasi ditentukan oleh persamaan:

kamu = 1			∂u saya	+ ∂ kamu k ) .
			∂xk	∂x saya

Jadi gaya adalah penyebab terjadinya gerak (gerakan) yang terjadi pada suatu benda, dan deformasi adalah akibat dari gerak tersebut [Khaikin, 1963, hal. 176].

Asumsi utama teori elastisitas klasik

Dalam benda yang tidak berubah bentuk, susunan molekul sesuai dengan keadaan kesetimbangan termalnya. Selain itu, semua bagiannya berada dalam keseimbangan mekanis satu sama lain. Artinya, jika suatu volume dipilih di dalam benda, maka resultan semua gaya yang bekerja pada volume ini dari bagian lain adalah nol.

Ketika mengalami deformasi, susunan molekul berubah, dan benda dikeluarkan dari keadaan setimbang seperti semula. Akibatnya, kekuatan akan muncul di dalamnya, berusaha mengembalikan tubuh ke keadaan seimbang. Gaya dalam yang timbul selama deformasi disebut tekanan internal. Jika benda tidak berubah bentuk, maka tidak ada tekanan internal di dalamnya.

Tekanan internal disebabkan oleh ikatan molekul, mis. kekuatan interaksi molekul tubuh satu sama lain. Yang sangat penting bagi teori elastisitas adalah kenyataan bahwa gaya molekul memiliki radius aksi yang sangat kecil. Pengaruhnya meluas ke sekitar partikel, yang menciptakannya hanya pada jarak antarmolekul. Namun dalam teori elastisitas, seperti dalam teori makroskopis, hanya jarak yang jauh dibandingkan jarak antarmolekul yang dipertimbangkan. Oleh karena itu, “radius aksi” gaya molekul dalam teori elastisitas harus dianggap sama dengan nol. Kita dapat mengatakan bahwa gaya-gaya yang menyebabkan tegangan internal adalah gaya-gaya “jarak pendek” dalam teori elastisitas, yang diteruskan dari setiap titik hanya ke titik-titik yang paling dekat dengannya.

Jadi, dalam teori elastisitas klasik, gaya yang bekerja pada bagian tubuh mana pun dari bagian sekitarnya mewujudkan efek ini hanya langsung melalui permukaan bagian tubuh ini.

Faktanya, penulis karya fundamental [Khaikin, 1963, hal. 484].

Tensor stres

Kesimpulan bahwa semua gaya bekerja hanya melalui permukaan merupakan kunci teori klasik elastisitas. Hal ini memungkinkan setiap volume tubuh masing-masing dari tiga komponen resultan dari semua tekanan dan gaya internal

∫ F i dV (di mana F i adalah gaya yang bekerja pada satuan volume dV) diubah menjadi integral pada permukaan volume ini. Dalam hal ini, sebagai berikut dari analisis vektor, vektor F i harus merupakan divergensi dari beberapa tensor peringkat kedua, yaitu. terlihat seperti:

F saya = ∂ σik . (4.6)

∂xk

Maka gaya yang bekerja pada volume tertentu dapat dituliskan sebagai integral pada permukaan tertutup yang menutupi volume tersebut:

∫ Fi dV = ∫ ∂ ∂ σ x ik			= ∫ σ ik df k ,
dimana vektor d f = df 2			Df 2	diarahkan	sepanjang garis normal luar ke permukaan,

menutupi volume dV.

Tensor σ ik disebut tensor stres. Seperti dapat dilihat dari (4.7), σ ik df k adalah i

komponen gaya yang bekerja pada elemen permukaan d f. Dengan memilih elemen permukaan pada bidang xy, yz, xz, kita menemukan bahwa komponen σ ik dari tensor tegangan

adalah komponen gaya ke-i yang bekerja pada suatu satuan permukaan yang tegak lurus sumbu x k. Jadi, pada satuan luas yang tegak lurus sumbu x, normal ke

dia (berarah sepanjang sumbu x) gaya σ xx dan tangensial (berarah sepanjang sumbu y dan z)

gaya σ yx dan σ zx.

Perhatikan bahwa gaya yang bekerja dari tekanan internal pada seluruh permukaan benda, berbeda dengan (4.7), adalah:

− ∫ σ ik df k .

Menuliskan momen gaya-gaya M ik yang bekerja pada volume benda tertentu, berupa:

M ik = ∫ (F i x k − F k x i ) dV

dan mengharuskannya dinyatakan sebagai integral hanya pada permukaan, kita memperoleh bahwa tensor tegangannya simetris:

σik = σki .

Kesimpulan serupa dapat dicapai dengan cara yang lebih sederhana [Sivukhin, 1974, hal. 383]. Yaitu. Momen dM ik berbanding lurus dengan momen inersia unsur

volume dM ik ≈ I ≈ (dV )5 / 3 dan, oleh karena itu, kita memperoleh (F i x k − F k x i )dV = dM ik ≈ (dV )5 / 3 ≈ 0, yang secara otomatis menyiratkan relasi (4.8).

Simetri tensor tegangan memungkinkannya dibawa ke sumbu utama di setiap titik, mis. pada setiap titik tensor tegangan dapat direpresentasikan sebagai:

σ ik = σ xx + σ yy + σ zz .

Dalam kesetimbangan, gaya-gaya tegangan internal harus saling mengimbangi di setiap elemen volume benda, yaitu. seharusnya F i = 0 . Jadi persamaannya

kesetimbangan benda yang mengalami deformasi berbentuk:

∂ σik = 0 .

∂xk

Jika benda berada dalam medan gravitasi, maka jumlah F + ρ g gaya tegangan internal F dan gaya gravitasi ρ g yang bekerja per satuan volume akan hilang, ρ -

massa jenis benda, g – vektor percepatan jatuh bebas. Persamaan kesetimbangan dalam hal ini berbentuk:

∂ σ ik + ρ g i = 0 .
∂xk

Saring energi

Mari kita perhatikan suatu benda yang mengalami deformasi dan asumsikan bahwa deformasinya berubah sedemikian rupa sehingga vektor deformasi u i berubah sedikit δ u i .

Mari kita tentukan usaha yang dihasilkan oleh gaya tegangan internal. Mengalikan gaya (4.6) dengan perpindahan δ u i dan mengintegrasikan seluruh volume benda, kita memperoleh:

		∫ ∂ xk
	δ RdV =		∂σik	δ ui dV .

Simbol δ R menunjukkan kerja gaya tegangan internal per satuan volume benda. Integrasi bagian-bagian, dengan memperhatikan medium tak berbatas yang tidak terdeformasi hingga tak terhingga, mengarahkan permukaan integrasi hingga tak terhingga, maka di atasnya σ ik = 0, kita peroleh:

∫ δ RdV = − ∫ σ ik δ uik dV .

Jadi kita menemukan:

δ R = − σ ikδ kamu ik .

Rumus yang dihasilkan menentukan kerja perubahan tensor deformasi, yang menentukan perubahan energi internal benda.

Teori elastisitas mempelajari tegangan dan deformasi benda elastis yang timbul akibat pengaruh gaya luar (beban) pada benda tersebut.

Elastisitas- ini adalah kemampuan suatu benda yang telah berubah bentuk dan ukurannya di bawah beban untuk kembali ke ukuran dan bentuk aslinya setelah beban dihilangkan. Jika perubahan ukuran benda secara linier bergantung pada beban, maka elastisitas linier. Benda yang mempunyai sifat ini disebut elastis sempurna. Bahan dengan elastisitas ideal adalah baja, besi cor, aluminium, kayu, kaca. Jika perubahan ukuran benda bergantung secara nonlinier pada beban, maka kita menyebutnya elastisitas nonlinier. Misalnya karet mempunyai elastisitas nonlinier. Kita akan belajar teori elastisitas linier.

Beras. 1 - elastisitas linier (1) dan nonlinier (2).

Jika pada setiap titik sifat-sifat suatu benda ke segala arah adalah sama, maka benda tersebut disebut isotropik. Dengan ketelitian teknik, baja dapat dianggap isotropik. Jika pada setiap titik sifat-sifat suatu benda berbeda arah, maka benda tersebut disebut anisotropik. Sifat-sifat tersebut dimiliki oleh kayu, yang mempunyai sifat-sifat tertentu sepanjang serat dan sebagian lainnya melintasi serat. Kita akan belajar teori linier elastisitas benda isotropik.

Selain itu, kami memperkenalkan batasan berikut:

1. Bahan tubuh adalah homogen, yaitu sifat-sifatnya sama di semua titik tubuh;
2. Bahan tubuh memiliki kontinuitas, yaitu deformasi tubuh terjadi tanpa pecah;
3. Hanya benda yang dipertimbangkan yang deformasi dan perpindahannya di bawah beban kecil dibandingkan dengan ukuran benda.

Dengan demikian, masalah stabilitas keseimbangan elastis, perhitungan batang yang sangat melengkung dan pembengkokan pelat dan cangkang dengan defleksi yang sebanding dengan ketebalan cangkang tidak termasuk dalam pertimbangan kami. Masalah-masalah ini dipertimbangkan teori elastisitas nonlinier geometris.

Teori elastisitas linier mempelajari gaya-gaya dalam yang timbul pada benda elastis ideal di bawah pengaruh gaya-gaya luar.

Dengan demikian, gaya-gaya dibagi menjadi gaya-gaya eksternal (gaya interaksi antara benda-benda yang berbeda) dan internal (gaya-gaya yang timbul antara dua elemen yang berdekatan di dalam benda). Gaya luar dapat diterapkan pada suatu titik (terkonsentrasi), sepanjang permukaan suatu benda (permukaan) dan pada setiap titik benda (volumetrik).

Pertimbangkan sebuah benda dalam keseimbangan di bawah pengaruh gaya eksternal F1, F2,…, Fn (Gbr. 2a). Timbul kekuatan interaksi internal antar bagian tubuh yang dapat merusak tubuh. Untuk menentukan gaya-gaya ini di bagian yang kita minati, kita secara mental membagi tubuh menjadi dua bagian dan, membuang bagian kanan, mengganti aksinya pada bagian yang tersisa dengan gaya resultan. R (Gbr. 2b).

Biarkan sumbu OX diarahkan tegak lurus terhadap bagian kita. Kemudian sumbu OY dan OZ terletak pada bidang penampang. Proyeksi gaya resultan P pada sumbu OX memberi kita normal Px , dan pada sumbu OY dan OZ - garis singgung Py Dan hal komponen kekuatan ini.

Kenyataannya adalah kekuatan P tidak diterapkan pada satu titik, tetapi didistribusikan secara tidak merata ke seluruh bagian. Intensitas gaya ini, yaitu gaya yang bekerja per satuan luas, disebut tegangan. Tegangan penuh pada suatu titik didefinisikan sebagai batas rasio:

Tegangan biasa pada suatu titik didefinisikan sebagai batas rasio

Tegangan geser pada suatu titik didefinisikan sebagai batas relasi

Indeks pertama untuk tegangan geser menunjukkan arah tegangan geser, dan indeks kedua adalah sumbu tegak lurus terhadap permukaan tempat tegangan geser bekerja. Mari kita secara mental memotong sebuah parallelepiped dasar dengan sisi dx, dy dan dz pada titik sembarang dari bagian yang sedang dipertimbangkan dan mempertimbangkan tegangan yang bekerja pada permukaan parallelepiped ini (Gbr. 3).

Kemudian pada setiap titik terdapat tegangan-tegangan yang diwakili oleh suatu matriks yang disebut tensor stres.

Jelas bahwa komponen tensor tegangan bergantung pada pilihan sistem koordinat.

Melalui komponen tensor tegangan, seseorang dapat menemukan apa yang disebut tegangan ekivalen, yang tidak bergantung pada pilihan sistem koordinat. Tegangan ekivalen dapat dibandingkan dengan karakteristik kekuatan material, yang dinyatakan dengan tegangan ijin.

Kemudian kondisi kekuatan dituliskan dalam bentuk yang diketahui:

Tugas teori elastisitas adalah menentukan komponen tensor tegangan dengan paling akurat, dan juga tegangan ekuivalennya.

Mari kita secara skematis menentukan area penerapan berbagai teori untuk menggambarkan keadaan tegangan-regangan bagian-bagian pada diagram tarik sampel baja ringan sebelum rusak.

Beras. 4 - Bidang penerapan berbagai teori: I - teori elastisitas, II - teori plastisitas, III - mekanika rekahan

Jika tegangan dalam perhitungan lebih besar dari kekuatan luluh st (dalam notasi modern Rp ), maka disebut elastis bersyarat. Ada metode yang memungkinkan untuk mempelajari keadaan elastis-plastik dan plastis suatu bagian menggunakan larutan elastis. Mari kita perhatikan struktur umum teori elastisitas.

Beras. 6 - Diagram blok teori elastisitas

Sejak tahun 70-an, peralatan matematika modern paling sering digunakan dalam teori elastisitas. Peralatan matematika formal adalah penunjukan dan formalisasi objek dan tindakan terhadapnya. Teori elastisitas menggunakan kalkulus tensor. Dalam kursus kita, kita akan menggunakan kalkulus tensor hanya sebagai ilustrasi notasi singkat ekspresi yang diperluas. Agar dapat ditulis secara singkat, sumbu koordinat dan indeks tegangan ditandai bukan dengan huruf, melainkan dengan angka.

Pangkat suatu tensor adalah jumlah indeks yang melekat padanya. Seperti yang akan ditunjukkan nanti, tensor tegangan adalah tensor peringkat kedua. Menurut definisinya, tensor peringkat kedua adalah kumpulan besaran Aduh, yang bergantung pada dua indeks dan ditransformasikan ketika sistem koordinat berubah sesuai rumus

Pangkat tensor tidak berhubungan dengan dimensi ruang! Dimensi ruang ditentukan oleh banyaknya nilai yang diambil setiap indeks. Jika Saya, J, k, aku mengambil nilai 1, 2, 3, maka tensor (*) didefinisikan dalam ruang tiga dimensi. Aturan untuk menciutkan dan memperluas ekspresi: dengan indeks internal (berulang dalam monomial). k, aku penjumlahan dilakukan, dan indeks ujung ke ujung (berulang di kiri dan kanan). Saya, J menentukan banyaknya persamaan. Contoh perluasan ekspresi (*) untuk nilai saya = 2, j = 3:

Singkatan lain dalam notasi adalah turunan parsial dilambangkan dengan subskrip diikuti koma. Misalnya:

Kemudian notasi tersebut menunjukkan beberapa relasi:

Di masa depan, kita akan memastikan bahwa tabel tegangan pada suatu titik adalah tensor peringkat kedua, yaitu memenuhi hubungan (*) ketika sistem koordinat berubah.

- – cabang mekanika yang mempelajari deformasi elastis dan tegangan pada benda padat yang disebabkan oleh pengaruh fisika. [Kamus terminologi konstruksi dalam 12 bahasa] Judul istilah: Istilah umum Judul ensiklopedia: Abrasif... ... Ensiklopedia istilah, definisi dan penjelasan bahan bangunan

teori elastisitas- Ilmu tentang pola perubahan keadaan tegangan dan deformasi suatu benda padat yang dibebani dalam batas kerja elastis suatu bahan [Kamus terminologi konstruksi dalam 12 bahasa (VNIIIS Gosstroy USSR)] teori elastisitas EN DE.. . Panduan Penerjemah Teknis

teori elastisitas- tamprumo teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. teori elastisitas vok. Elastizitätstheorie, untuk rus. teori elastisitas, f pranc. théorie d'élasticité, f … Fizikos terminų žodynas

TEORI ELASTISITAS- ilmu tentang hukum perubahan keadaan tegangan dan deformasi suatu benda padat yang dibebani dalam batas kerja elastis bahan (bahasa Bulgaria; Български) teori elastisitas (bahasa Ceko; Čeština) teorie pružnosti (Jerman... ... Kamus konstruksi

Teori elastisitas dan plastisitas- terdiri dari dua subbagian: Teori elastisitas, Teori plastisitas. Daftar arti kata atau frasa... Wikipedia

TEORI ELASTISITAS- cabang mekanika yang mempelajari perpindahan, deformasi dan tegangan yang timbul pada benda elastis yang diam atau bergerak di bawah pengaruh beban. U. t. dasar perhitungan kekuatan, deformabilitas dan stabilitas dalam konstruksi, bisnis, penerbangan dan... ... Ensiklopedia fisik

TEORI MATEMATIKA ELASTISITAS- cabang mekanika yang mempelajari perpindahan, deformasi dan tegangan yang timbul pada benda elastis yang diam atau bergerak di bawah pengaruh beban. Stres di bagian tubuh mana pun ditandai oleh 6 nilai komponen stres: normal... Ensiklopedia Matematika

Teori elastisitas- Mekanika kontinum Kontinum Mekanika klasik Hukum kekekalan massa Hukum kekekalan momentum ... Wikipedia

Teori elastisitas- cabang ilmu mekanika (Lihat Mekanika), yang mempelajari perpindahan, deformasi dan tegangan yang timbul pada benda elastis yang diam atau bergerak di bawah pengaruh suatu beban. U.t.landasan teori untuk perhitungan kekuatan, deformabilitas dan... ... Ensiklopedia Besar Soviet

Teori plastisitas- Teori plastisitas adalah salah satu cabang mekanika kontinum, yang tujuannya adalah untuk menentukan tegangan dan perpindahan pada benda yang dapat dideformasi di luar batas elastisitas. Sebenarnya, dalam teori plastisitas diasumsikan bahwa keadaan tegangan... ... Wikipedia

Buku

• Teori elastisitas, M. Filonenko-Borodich, Kursus singkat tentang teori elastisitas yang ditawarkan kepada pembaca didasarkan pada kuliah yang diberikan oleh penulis di Universitas Negeri Moskow. M.V.Lomonosov. Kuliah ini telah... Kategori: Matematika Penerbit: YOYO Media, Pabrikan: Yoyo Media, Beli seharga 2200 UAH (khusus Ukraina)
• Teori elastisitas, M. Filonenko-Borodich, “Kursus singkat teori elastisitas” yang ditawarkan kepada pembaca disusun berdasarkan kuliah yang diberikan oleh penulis di Universitas Negeri Moskow. M.V.Lomonosov. Kuliah ini... Kategori: Matematika dan sains Seri: Penerbit: