Beberapa masalah dapat diselesaikan dengan mudah dan jelas menggunakan diagram Euler-Venn. Misalnya saja soal-soal yang melibatkan himpunan. Jika Anda belum mengetahui apa itu diagram Euler-Venn dan cara membuatnya, bacalah terlebih dahulu.

Sekarang mari kita lihat permasalahan umum tentang himpunan.

Tugas 1.

Sebuah survei dilakukan terhadap 100 siswa di sebuah sekolah yang mempelajari bahasa asing secara mendalam. Para siswa ditanyai pertanyaan: “Bahasa asing apa yang sedang kamu pelajari?” Ternyata 48 siswa sedang belajar bahasa Inggris, 26 - Perancis, 28 - Jerman. 8 anak sekolah belajar bahasa Inggris dan Jerman, 8 - Inggris dan Prancis, 13 - Prancis dan Jerman. 24 anak sekolah tidak belajar bahasa Inggris, Perancis atau Jerman. Berapa banyak anak sekolah yang menyelesaikan survei yang mempelajari tiga bahasa sekaligus: Inggris, Prancis, dan Jerman?

Jawaban: 3.

Larutan:

• banyak anak sekolah yang belajar bahasa Inggris (“A”);
• banyak anak sekolah yang belajar bahasa Prancis (“F”);
• banyak anak sekolah yang belajar bahasa Jerman (“N”).

Mari kita gambarkan dengan menggunakan diagram Euler-Venn apa yang diberikan kepada kita sesuai dengan kondisinya.

Mari kita nyatakan luas yang diinginkan A=1, Ф=1, Н=1 sebagai “x” (pada tabel di bawah, luas No. 7). Mari kita nyatakan luas sisanya dalam x.

0) Wilayah A=0, Ф=0, Н=0: 24 anak sekolah - diberikan sesuai dengan kondisi soal.

1) Luas A=0, F=0, H=1: 28-(8-x+x+13-x)=7+x anak sekolah.

2) Luas A=0, F=1, H=0: 26-(8-x+x+13-x)=5+x anak sekolah.

3) Luas A=0, F=1, N=1 : 13 anak sekolah.

4) Luas A=1, F=0, H=0: 48-(8-x+x+8-x)=32+x anak sekolah.

5) Luas A=1, F=0, H=1 : 8 anak sekolah.

6) Luas A=1, F=1, H=0 : 8 anak sekolah.

№ wilayah	A	F	N	Kuantitas anak sekolah
0	0	0	0	24
1	0	0	1	7+x
2	0	1	0	5+x
3	0	1	1	tanggal 13
4	1	0	0	32+x
5	1	0	1	8
6	1	1	0	8
7	1	1	1	X

Mari kita definisikan x:

24+7+(x+5)+x+(13-x)+(32+x)+(8-x)+(8-x)+x=100.

x=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.

Kami menemukan bahwa 3 anak sekolah mempelajari tiga bahasa sekaligus: Inggris, Prancis, dan Jerman.

Seperti inilah diagram Euler-Venn untuk x yang diketahui:

Tugas 2.

Pada Olimpiade Matematika, anak-anak sekolah diminta menyelesaikan tiga soal: satu soal aljabar, satu soal geometri, satu lagi soal trigonometri. 1000 anak sekolah mengikuti olimpiade tersebut. Hasil olimpiade sebagai berikut: 800 peserta menyelesaikan soal aljabar, 700 peserta menyelesaikan soal geometri, 600 peserta menyelesaikan soal trigonometri, 600 peserta menyelesaikan soal aljabar dan geometri, 500 peserta menyelesaikan soal aljabar dan trigonometri, 400 peserta menyelesaikan soal aljabar dan trigonometri. 300 orang memecahkan masalah aljabar, geometri dan trigonometri. Berapa banyak anak sekolah yang tidak menyelesaikan satu masalah pun?

Jawaban: 100.

Larutan:

Pertama, kita mendefinisikan himpunan dan memperkenalkan notasi. Ada tiga di antaranya:

• banyak soal dalam aljabar ("A");
• banyak masalah dalam geometri ("G");
• banyak masalah dalam trigonometri ("T").

Mari kita gambarkan apa yang perlu kita temukan:

Mari kita tentukan jumlah anak sekolah di semua bidang yang memungkinkan.

Mari kita nyatakan luas yang diinginkan A=0, G=0, T=0 sebagai “x” (pada tabel di bawah, luas No. 0).

Mari kita cari area yang tersisa:

1) Luas A=0, G=0, T=1: tidak ada anak sekolah.

2) Luas A=0, G=1, T=0: tidak ada anak sekolah.

3) Luas A=0, G=1, T=1: 100 anak sekolah.

4) Luas A=1, G=0, T=0: tidak ada anak sekolah.

5) Wilayah A=1, G=0, T=1: 200 anak sekolah.

6) Luas A=1, D=1, T=0: 300 anak sekolah.

7) Wilayah A=1, G=1, T=1: 300 anak sekolah.

Mari kita tuliskan nilai luasnya ke dalam tabel:

№ wilayah	A	G	T	Kuantitas anak sekolah
0	0	0	0	X
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	100
4	1	0	0	0
5	1	0	1	200
6	1	1	0	300
7	1	1	1	300

Mari kita tampilkan nilai semua area menggunakan diagram:

Mari kita definisikan x:

x=U-(A V Г V Т), dengan U adalah alam semesta.

A V G V T=0+0+0+300+300+200+100=900.

Kami menemukan bahwa 100 anak sekolah tidak menyelesaikan satu masalah pun.

Tugas 3.

Pada Olimpiade Fisika, anak-anak sekolah diminta menyelesaikan tiga soal: satu soal kinematika, satu soal termodinamika, dan satu lagi soal optik. Hasil olimpiade sebagai berikut: 400 peserta menyelesaikan soal kinematika, 350 peserta termodinamika, 300 peserta menyelesaikan soal kinematika dan termodinamika, 200 peserta menyelesaikan soal kinematika dan optik, 150 peserta menyelesaikan soal termodinamika dan optik. 100 orang memecahkan masalah di bidang kinematika, termodinamika dan optik. Berapa banyak anak sekolah yang memecahkan dua soal?

Jawaban: 350.

Larutan:

Pertama, kita mendefinisikan himpunan dan memperkenalkan notasi. Ada tiga di antaranya:

• banyak masalah dalam kinematika (“K”);
• banyak masalah dalam termodinamika ("T");
• banyak masalah di bidang optik ("O").

Mari kita gambarkan dengan menggunakan diagram Euler-Venn apa yang diberikan kepada kita sesuai dengan kondisi:

Mari kita gambarkan apa yang perlu kita temukan:

Mari kita tentukan jumlah anak sekolah di semua bidang yang memungkinkan:

0) Wilayah K=0, T=0, O=0: tidak ditentukan.

1) Wilayah K=0, T=0, O=1 : 50 anak sekolah.

2) Wilayah K=0, T=1, O=0: tidak ada anak sekolah.

3) Wilayah K=0, T=1, O=1 : 50 anak sekolah.

4) Luas K=1, T=0, O=0: tidak ada anak sekolah.

5) Wilayah K=1, T=0, O=1 : 100 anak sekolah.

6) Wilayah K=1, T=1, O=0 : 200 anak sekolah.

7) Wilayah K=1, T=1, O=1 : 100 anak sekolah.

Mari kita tuliskan nilai luasnya ke dalam tabel:

№ wilayah	KE	T	TENTANG	Kuantitas anak sekolah
0	0	0	0	-
1	0	0	1	50
2	0	1	0	0
3	0	1	1	50
4	1	0	0	0
5	1	0	1	100
6	1	1	0	200
7	1	1	1	100

Mari kita tampilkan nilai semua area menggunakan diagram:

Mari kita definisikan x.

x=200+100+50=350.

Kami mengerti, 350 anak sekolah memecahkan dua masalah.

Tugas 4.

Sebuah survei dilakukan di antara orang yang lewat. Pertanyaan yang diajukan: “Hewan peliharaan apa yang Anda miliki?” Berdasarkan hasil survei, ternyata 150 orang memelihara kucing, 130 orang memelihara anjing, dan 50 orang memelihara burung. 60 orang mempunyai seekor kucing dan seekor anjing, 20 orang mempunyai seekor kucing dan seekor burung, 30 orang mempunyai seekor anjing dan seekor burung. 70 orang tidak mempunyai hewan peliharaan sama sekali. 10 orang mempunyai seekor kucing, seekor anjing, dan seekor burung. Berapa banyak orang yang lewat yang ikut serta dalam survei ini?

Jawaban: 300.

Larutan:

Pertama, kita mendefinisikan himpunan dan memperkenalkan notasi. Ada tiga di antaranya:

• banyak orang yang memiliki kucing (“K”);
• banyak orang yang memiliki seekor anjing (“C”);
• banyak orang yang mempunyai burung (“P”).

Mari kita gambarkan dengan menggunakan diagram Euler-Venn apa yang diberikan kepada kita sesuai dengan kondisi:

Mari kita gambarkan apa yang perlu kita temukan:

Mari kita tentukan jumlah orang untuk semua area yang memungkinkan:

0) Wilayah K=0, S=0, P=0 : 70 orang.

1) Luas K=0, S=0, P=1 : 10 orang.

2) Wilayah K=0, S=1, P=0 : 50 orang.

3) Luas K=0, S=1, P=1 : 20 orang.

4) Wilayah K=1, S=0, P=0 : 80 orang.

5) Luas K=1, T=0, O=1 : 10 orang.

6) Luas K=1, T=1, O=0 : 50 orang.

7) Luas K=1, T=1, O=1 : 10 orang.

Mari kita tuliskan nilai luasnya ke dalam tabel:

№ wilayah	KE	C	P	Kuantitas Manusia
0	0	0	0	70
1	0	0	1	10
2	0	1	0	50
3	0	1	1	20
4	1	0	0	80
5	1	0	1	10
6	1	1	0	50
7	1	1	1	10

Mari kita tampilkan nilai semua area menggunakan diagram:

Mari kita definisikan x:

x=U (alam semesta)

U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.

Kami menemukan bahwa 300 orang ikut serta dalam survei ini.

Tugas 5.

120 orang memasuki satu spesialisasi di salah satu universitas. Pelamar mengikuti tiga ujian: matematika, ilmu komputer dan bahasa Rusia. 60 orang lulus matematika, 40 orang lulus ilmu komputer. 30 pelamar lulus matematika dan ilmu komputer, 30 orang lulus matematika dan bahasa Rusia, 25 orang lulus ilmu komputer dan bahasa Rusia. 20 orang lulus ketiga ujian, dan 50 orang gagal. Berapa banyak pelamar yang lulus tes bahasa Rusia?

Diagram Euler-Venn adalah representasi geometris dari himpunan. Konstruksi diagram terdiri dari menggambar persegi panjang besar yang mewakili himpunan semesta U, dan di dalamnya - lingkaran (atau beberapa bangun tertutup lainnya) yang mewakili himpunan tersebut.

Bentuk-bentuk tersebut harus berpotongan dengan cara yang paling umum yang diperlukan oleh soal dan harus diberi label yang sesuai. Titik-titik yang terletak di dalam area diagram yang berbeda dapat dianggap sebagai elemen dari himpunan yang bersesuaian. Dengan diagram yang dibuat, Anda dapat membuat bayangan pada area tertentu untuk menunjukkan kumpulan yang baru terbentuk.

Operasi himpunan dianggap memperoleh himpunan baru dari himpunan yang sudah ada.

Definisi. Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang termasuk dalam paling sedikit salah satu himpunan A, B (Gbr. 1):

Definisi. Perpotongan himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang secara simultan termasuk dalam himpunan A dan himpunan B (Gbr. 2):

Definisi. Selisih antara himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen A dan hanya elemen A yang tidak terdapat dalam B (Gbr. 3):

Definisi. Selisih simetris himpunan A dan B adalah himpunan elemen-elemen dari himpunan ini yang hanya dimiliki oleh himpunan A atau hanya dimiliki oleh himpunan B (Gbr. 4):

Definisi. Komplemen mutlak dari himpunan A adalah himpunan semua elemen yang tidak termasuk dalam himpunan A (Gbr. 5):

Beras. 6.

Kami memastikan bahwa dalam kedua kasus kami mendapatkan himpunan yang sama. Oleh karena itu, relasi aslinya valid.

DIAGRAM VENN adalah cara grafis untuk menentukan dan menganalisis teori logis-matematis dan rumusnya. Mereka dibangun dengan membagi bagian bidang menjadi sel (subset) dengan kontur tertutup (kurva Jordan). Sel menyajikan informasi yang mengkarakterisasi teori atau rumus yang sedang dipertimbangkan. Tujuan pembuatan diagram tidak hanya ilustratif, tetapi juga operasional - pemrosesan informasi algoritmik. Peralatan diagram Venn biasanya digunakan bersama dengan peralatan analitis.

Metode pembagian, jumlah sel, serta masalah pencatatan informasi di dalamnya bergantung pada teori yang dipertimbangkan, yang juga dapat diperkenalkan (dijelaskan) secara grafis - dengan beberapa diagram Venn, yang awalnya ditentukan, khususnya, bersama dengan algoritma untuk transformasinya, ketika beberapa diagram dapat bertindak sebagai operator, bertindak pada diagram lain. Misalnya saja dalam kasus klasik logika proposisional untuk rumus yang terdiri dari n variabel proposisional yang berbeda, bagian bidang (alam semesta) dibagi menjadi 2" sel yang sesuai dengan konstituennya (dalam bentuk konjungtif atau disjungtif). Diagram Venn dari setiap rumus dianggap sebagai bidang di dalam sel yang diberi tanda bintang (atau tidak) *

(¬ a& ¬ b&c) V (a&¬ b&c) V (¬ a&b&¬ c)

dengan tiga variabel proposisi a, b dan c ditentukan oleh diagram yang ditunjukkan pada gambar, di mana tanda bintang di sel sesuai dengan komponen penghubung dari rumus disjungtif normal sempurna ini. Jika tidak ada sel yang ditandai dengan tanda bintang, maka diagram Venn dikaitkan dengan, misalnya, rumus yang salah, misalnya (a&¬a).

Metode induktif membagi bidang menjadi sel berukuran 2" berasal dari karya ahli logika Inggris J. Venn, disebut metode Venn dan terdiri dari yang berikut:

1. Untuk n = 1, 2, 3, lingkaran digunakan secara jelas. (Pada gambar yang ditunjukkan, n = 3.)

2. Misalkan untuk n = k (k ≥ 3), susunan k gambar ditentukan sedemikian rupa sehingga bidang tersebut terbagi menjadi 2k sel.

Kemudian, untuk menemukan k+1 angka pada bidang ini, pertama-tama cukup memilih kurva terbuka (lih. tanpa titik potong sendiri, yaitu kurva Jordan terbuka yang termasuk dalam batas seluruh 2k sel dan hanya memiliki satu titik persekutuan potong dengan masing-masing batas ini. Kedua, lingkari φ menutup kurva Jordan Ψ k+1 sehingga kurvanya Ψ k+1 melewati seluruh 2k sel dan melintasi batas setiap sel hanya dua kali. Ini akan menghasilkan susunan n= k+1 bangun sedemikian rupa sehingga bidang tersebut terbagi menjadi 2k+1 sel.

Metode diagram Venn diperluas untuk mewakili teori logis-matematis lainnya. Teorinya sendiri ditulis sedemikian rupa untuk menonjolkan unsur-unsur bahasanya dalam bentuk yang sesuai untuk representasi grafis. Misalnya rumus atom logika predikat klasik ditulis sebagai kata berbentuk P(Y1..Yr), dimana P adalah predikat, dan Y1,..., Yr adalah variabel subjek, tidak harus berbeda; kata Y1,..., Yr merupakan infiks subjek. Sifat teori himpunan yang jelas dari diagram Venn memungkinkan seseorang untuk merepresentasikan dan mempelajari dengan bantuannya, khususnya, kalkulus teori himpunan, misalnya, kalkulus ZF dari teori himpunan Zermelo-Fraenkel. Metode grafis dalam logika dan matematika telah berkembang sejak lama. Ini, khususnya, adalah persegi logis, lingkaran Euler dan diagram asli L. Carroll. Namun, metode diagram Venn berbeda secara signifikan dari metode lingkaran Euler yang terkenal yang digunakan dalam silogistik tradisional. Diagram Venn didasarkan pada gagasan untuk menguraikan fungsi Boolean menjadi konstituen - inti dari aljabar logika, yang menentukan sifat operasionalnya. Venn menggunakan diagramnya terutama untuk memecahkan masalah logika kelas. Diagramnya juga dapat digunakan secara efektif untuk memecahkan masalah logika proposisional dan predikat, meninjau konsekuensi dari premis, menyelesaikan persamaan logika, serta pertanyaan lainnya, hingga masalah solvabilitas. Peralatan diagram Venn digunakan dalam penerapan logika matematika dan teori automata, khususnya dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan rangkaian saraf dan masalah mensintesis rangkaian andal dari elemen yang relatif lemah.

A.S.Kuzichev

Ensiklopedia filosofis baru. Dalam empat volume. / Institut Filsafat RAS. Edisi ilmiah. saran: V.S. Stepin, A.A. Guseinov, G.Yu. Semigin. M., Mysl, 2010, jilid I, A - D, hal. 645.

Literatur:

Venn J. Logika simbolik. L., 1881. Ed. 2, putaran. L., 1894;

Diagram Kuzichev A. S. Venn. Sejarah dan aplikasi. M., 1968;

Itu dia. Menyelesaikan beberapa masalah logika matematika menggunakan diagram Venn. - Dalam buku: Studi sistem logika. M., 1970.

Jika Anda merasa tidak tahu apa-apa tentang lingkaran Euler, Anda salah. Faktanya, Anda mungkin pernah menemukannya lebih dari sekali, hanya saja Anda tidak tahu apa namanya. Dimana tepatnya? Skema dalam bentuk lingkaran Euler menjadi dasar dari banyak meme populer di Internet (gambar yang beredar online tentang topik tertentu).

Mari kita cari tahu bersama apa jenis lingkaran ini, mengapa disebut demikian dan mengapa lingkaran ini sangat nyaman digunakan untuk menyelesaikan banyak masalah.

Asal usul istilah tersebut

adalah diagram geometris yang membantu menemukan dan/atau membuat hubungan logis antara fenomena dan konsep menjadi lebih jelas. Ini juga membantu untuk menggambarkan hubungan antara suatu himpunan dan bagiannya.

Masih belum terlalu jelas, bukan? Lihatlah foto ini:

Gambar menunjukkan berbagai kemungkinan mainan. Beberapa mainan adalah set konstruksi - mainan tersebut disorot dalam oval terpisah. Ini adalah bagian dari satu set besar “mainan” dan sekaligus satu set terpisah (bagaimanapun juga, satu set konstruksi dapat berupa “Lego” atau set konstruksi primitif yang terbuat dari balok untuk anak-anak). Beberapa bagian dari berbagai macam “mainan” mungkin merupakan mainan yang dapat diputar. Mereka bukan konstruktor, jadi kami menggambar oval terpisah untuk mereka. “Mobil angin” berbentuk oval berwarna kuning mengacu pada set “mainan” dan merupakan bagian dari set “mainan angin” yang lebih kecil. Oleh karena itu, ia digambarkan di dalam kedua oval sekaligus.

Nah, apakah sudah lebih jelas? Itulah sebabnya lingkaran Euler adalah metode yang menunjukkan dengan jelas: lebih baik melihat sekali daripada mendengar seratus kali. Kelebihannya adalah kejelasan menyederhanakan penalaran dan membantu mendapatkan jawaban lebih cepat dan mudah.

Penulis metode ini adalah ilmuwan Leonhard Euler (1707-1783). Dia mengatakan ini tentang diagram yang dinamai menurut namanya: “lingkaran cocok untuk memudahkan pemikiran kita.” Euler dianggap sebagai ahli matematika, mekanik, dan fisikawan Jerman, Swiss, dan bahkan Rusia. Faktanya adalah dia bekerja selama bertahun-tahun di Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg dan memberikan kontribusi yang signifikan terhadap pengembangan ilmu pengetahuan Rusia.

Sebelum dia, ahli matematika dan filsuf Jerman Gottfried Leibniz dipandu oleh prinsip serupa ketika menyusun kesimpulannya.

Metode Euler telah mendapat pengakuan dan popularitas yang layak. Dan setelah dia, banyak ilmuwan yang menggunakannya dalam pekerjaan mereka, dan juga memodifikasinya dengan cara mereka sendiri. Misalnya, matematikawan Ceko Bernard Bolzano menggunakan metode yang sama, tetapi dengan rangkaian persegi panjang.

Matematikawan Jerman Ernest Schroeder juga memberikan kontribusinya. Namun keunggulan utama adalah milik orang Inggris John Venn. Dia adalah seorang spesialis dalam logika dan menerbitkan buku "Logika Simbolik", di mana dia menguraikan secara rinci versi metodenya (dia terutama menggunakan gambar perpotongan himpunan).

Berkat kontribusi Venn, metode tersebut bahkan disebut diagram Venn atau juga diagram Euler-Venn.

Mengapa lingkaran Euler dibutuhkan?

Lingkaran Euler memiliki tujuan terapan, yaitu, dengan bantuannya, masalah yang melibatkan penyatuan atau perpotongan himpunan dalam matematika, logika, manajemen, dan lainnya diselesaikan dalam praktik.

Jika kita berbicara tentang jenis lingkaran Euler, kita dapat membaginya menjadi lingkaran yang menggambarkan penyatuan beberapa konsep (misalnya, hubungan antara genus dan spesies) - kita melihatnya menggunakan contoh di awal artikel.

Dan juga yang menggambarkan perpotongan himpunan menurut beberapa sifat. John Venn dipandu oleh prinsip ini dalam rencananya. Dan hal inilah yang mendasari banyaknya meme populer di Internet. Berikut adalah salah satu contoh lingkaran Euler:

Lucu sekali, bukan? Dan yang terpenting, semuanya segera menjadi jelas. Anda dapat menggunakan banyak kata untuk menjelaskan sudut pandang Anda, atau Anda dapat menggambar diagram sederhana yang akan segera menempatkan segala sesuatu pada tempatnya.

Omong-omong, jika Anda tidak bisa memutuskan profesi mana yang akan dipilih, cobalah menggambar diagram dalam bentuk lingkaran Euler. Mungkin gambar seperti ini akan membantu Anda menentukan pilihan:

Pilihan-pilihan yang berada di persimpangan ketiga lingkaran tersebut adalah profesi yang tidak hanya dapat memberi makan Anda, tetapi juga menyenangkan Anda.

Menyelesaikan masalah menggunakan lingkaran Euler

Mari kita lihat beberapa contoh permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan lingkaran Euler.

Di sini, di situs ini - http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html Elena Sergeevna Sazhenina menawarkan masalah yang menarik dan sederhana, yang solusinya memerlukan metode Euler. Dengan menggunakan logika dan matematika, kami akan menganalisis salah satunya.

Masalah tentang kartun favorit

Siswa kelas enam mengisi kuesioner yang menanyakan tentang kartun favorit mereka. Ternyata kebanyakan dari mereka menyukai “Putri Salju dan Tujuh Kurcaci”, “SpongeBob SquarePants”, dan “Serigala dan Anak Sapi”. Ada 38 siswa di kelas tersebut. 21 siswa menyukai Putri Salju dan Tujuh Kurcaci. Selain itu, tiga dari mereka juga menyukai “Serigala dan Anak Sapi”, enam orang menyukai “SpongeBob SquarePants”, dan satu anak sama-sama menyukai ketiga kartun tersebut. “The Wolf and the Calf” memiliki 13 penggemar, lima di antaranya menyebutkan dua kartun dalam kuesioner. Kita perlu menentukan berapa banyak siswa kelas enam yang menyukai SpongeBob SquarePants.

Larutan:

Karena menurut kondisi soal kita diberikan tiga himpunan, kita menggambar tiga lingkaran. Dan karena jawaban teman-teman menunjukkan bahwa himpunan-himpunan tersebut berpotongan satu sama lain, gambarnya akan terlihat seperti ini:

Kita ingat bahwa berdasarkan ketentuan tugas, di antara para penggemar kartun “Serigala dan Anak Sapi”, lima orang memilih dua kartun sekaligus:

Ternyata:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – mereka hanya memilih “Putri Salju dan Tujuh Kurcaci”.

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – orang-orang hanya menonton “The Wolf and the Calf.”

Tinggal mencari tahu berapa banyak siswa kelas enam yang lebih menyukai kartun “SpongeBob SquarePants” daripada dua pilihan lainnya. Dari jumlah siswa kami kurangi semua yang menyukai dua kartun lainnya atau memilih beberapa opsi:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – orang hanya menonton “SpongeBob SquarePants.”

Sekarang kita dapat dengan aman menjumlahkan semua angka yang dihasilkan dan mengetahui bahwa:

kartun “SpongeBob SquarePants” dipilih oleh 8+2+1+6 = 17 orang. Inilah jawaban atas pertanyaan yang diajukan dalam soal.

Mari kita lihat juga tugas, yang pada tahun 2011 diserahkan untuk ujian demonstrasi Unified State Examination di bidang ilmu komputer dan TIK (sumber - http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).

Kondisi masalah:

Dalam bahasa kueri mesin pencari, simbol "|" digunakan untuk menunjukkan operasi logika "ATAU", dan simbol "&" digunakan untuk operasi logika "DAN".

Tabel menunjukkan kueri dan jumlah halaman yang ditemukan untuk segmen Internet tertentu.

Meminta	Halaman ditemukan (dalam ribuan)
kapal penjelajah | kapal perang	7000
Kapal penjelajah	4800
kapal perang	4500

Berapa banyak halaman (dalam ribuan) yang akan ditemukan untuk kueri tersebut? Kapal Penjelajah & Kapal Perang?

Diasumsikan bahwa semua pertanyaan dieksekusi hampir bersamaan, sehingga kumpulan halaman yang berisi semua kata yang dicari tidak berubah selama eksekusi kueri.

Larutan:

Dengan menggunakan lingkaran Euler kami menggambarkan kondisi masalahnya. Dalam hal ini, kami menggunakan angka 1, 2 dan 3 untuk menunjukkan luas yang dihasilkan.

Berdasarkan kondisi permasalahan, kita buat persamaan:

1. kapal penjelajah | Kapal Perang: 1 + 2 + 3 = 7000
2. Kapal penjelajah: 1 + 2 = 4800
3. Kapal Perang: 2 + 3 = 4500

Mencari Kapal Penjelajah & Kapal Perang(ditunjukkan pada gambar sebagai luas 2), substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) dan cari tahu bahwa:

4800 + 3 = 7000, sehingga diperoleh 3 = 2200.

Sekarang kita dapat mensubstitusikan hasil ini ke dalam persamaan (3) dan mengetahui bahwa:

2 + 2200 = 4500, dimana 2 = 2300.

Jawaban: 2300 - jumlah halaman yang ditemukan berdasarkan permintaan Kapal Penjelajah & Kapal Perang.

Seperti yang Anda lihat, lingkaran Euler membantu menyelesaikan masalah yang tampaknya cukup rumit atau membingungkan dengan cepat dan mudah.

Kesimpulan

Saya rasa kami telah berhasil meyakinkan Anda bahwa lingkaran Euler bukan hanya hal yang menyenangkan dan menarik, tetapi juga metode yang sangat berguna untuk memecahkan masalah. Dan tidak hanya permasalahan abstrak dalam pelajaran sekolah, tetapi juga permasalahan sehari-hari. Memilih profesi masa depan, misalnya.

Anda mungkin juga penasaran untuk mengetahui bahwa dalam budaya populer modern, lingkaran Euler tidak hanya tercermin dalam bentuk meme, tetapi juga dalam serial TV populer. Seperti “Teori Big Bang” dan “4Isla”.

Gunakan metode yang berguna dan visual ini untuk memecahkan masalah. Dan pastikan untuk memberi tahu teman dan teman sekelas Anda tentang hal itu. Ada tombol khusus di bawah artikel untuk tujuan ini.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Bagian: Ilmu Komputer

1. Perkenalan

Dalam mata pelajaran Ilmu Komputer dan TIK di sekolah dasar dan menengah, topik-topik penting seperti “Dasar-Dasar Logika” dan “Mencari Informasi di Internet” dibahas. Saat memecahkan jenis masalah tertentu, akan lebih mudah untuk menggunakan lingkaran Euler (diagram Euler-Venn).

Referensi matematika. Diagram Euler-Venn digunakan terutama dalam teori himpunan sebagai representasi skematis dari semua kemungkinan perpotongan beberapa himpunan. Secara umum, mereka mewakili semua 2 n kombinasi dari n properti. Misalnya, dengan n=3, diagram Euler-Venn biasanya digambarkan sebagai tiga lingkaran dengan pusat di titik sudut segitiga sama sisi dan jari-jari yang sama, kira-kira sama dengan panjang sisi segitiga.

2. Representasi penghubung logis dalam permintaan pencarian

Saat mempelajari topik "Mencari informasi di Internet", contoh permintaan pencarian menggunakan kata penghubung logis, yang artinya mirip dengan kata sambung "dan", "atau" dari bahasa Rusia, dipertimbangkan. Arti dari penghubung logis menjadi lebih jelas jika kita mengilustrasikannya menggunakan diagram grafis - lingkaran Euler (diagram Euler-Venn).

3. Hubungan operasi logika dengan teori himpunan

Diagram Euler-Venn dapat digunakan untuk memvisualisasikan hubungan antara operasi logika dan teori himpunan. Untuk demonstrasi, Anda dapat menggunakan slide di Lampiran 1.

Operasi logis ditentukan oleh tabel kebenarannya. DI DALAM Lampiran 2 Ilustrasi grafis operasi logis beserta tabel kebenarannya dibahas secara rinci. Mari kita jelaskan prinsip pembuatan diagram dalam kasus umum. Pada diagram, luas lingkaran bernama A menampilkan kebenaran pernyataan A (dalam teori himpunan, lingkaran A adalah sebutan semua unsur yang termasuk dalam himpunan tertentu). Oleh karena itu, area di luar lingkaran menampilkan nilai “salah” dari pernyataan terkait. Untuk memahami area diagram mana yang akan menampilkan operasi logika, Anda hanya perlu membuat bayangan pada area di mana nilai operasi logika pada himpunan A dan B sama dengan "benar".

Misalnya, nilai implikasinya benar dalam tiga kasus (00, 01, dan 11). Mari kita mengarsir secara berurutan: 1) luas di luar dua lingkaran yang berpotongan, yang sesuai dengan nilai A=0, B=0; 2) luas yang hanya berhubungan dengan lingkaran B (bulan sabit), yang bernilai A=0, B=1; 3) luas yang berhubungan dengan lingkaran A dan lingkaran B (persimpangan) - sesuai dengan nilai A=1, B=1. Kombinasi ketiga area ini akan menjadi representasi grafis dari operasi logis implikasinya.

4. Penggunaan lingkaran Euler dalam membuktikan persamaan logika (hukum)

Untuk membuktikan persamaan logika, Anda dapat menggunakan metode diagram Euler-Venn. Mari kita buktikan persamaan berikut ¬(АvВ) = ¬А&¬В (hukum de Morgan).

Untuk merepresentasikan sisi kiri persamaan secara visual, lakukan secara berurutan: arsir kedua lingkaran (terapkan disjungsi) dengan warna abu-abu, lalu untuk menampilkan inversi, arsir area di luar lingkaran dengan warna hitam:

Gambar.3 Gambar.4

Untuk merepresentasikan sisi kanan persamaan secara visual, mari kita lakukan secara berurutan: arsir area untuk menampilkan inversi (¬A) dalam warna abu-abu dan, demikian pula, area ¬B juga berwarna abu-abu; lalu untuk menampilkan konjungsinya anda perlu mengambil perpotongan area abu-abu ini (hasil overlay ditampilkan dalam warna hitam):

Gambar.5 Gambar.6 Gambar.7

Kita melihat bahwa luas untuk menampilkan bagian kiri dan kanan adalah sama. Q.E.D.

5. Soal-soal format UN dan UN Unified State dengan topik: “Mencari Informasi di Internet”

Soal No. 18 dari versi demo GIA 2013.

Tabel menunjukkan permintaan ke server pencarian. Untuk setiap permintaan, kodenya ditunjukkan - huruf yang sesuai dari A hingga G. Susun kode permintaan dari kiri ke kanan secara berurutan menurun jumlah halaman yang akan ditemukan mesin pencari untuk setiap permintaan.

Kode	Meminta
A	(Terbang & Uang) | Samovar
B	Terbang & Uang & Bazaar & Samovar
DI DALAM	Terbang | Uang | Samovar
G	Terbang & Uang & Samovar

Untuk setiap kueri, kami akan membuat diagram Euler-Venn:

Permintaan A

Permintaan B

Permintaan B

Permintaan G

Jawaban: VAGB.

Soal B12 dari versi demo Unified State Exam 2013.

Tabel menunjukkan kueri dan jumlah halaman yang ditemukan untuk segmen Internet tertentu.

Meminta	Halaman ditemukan (dalam ribuan)
Fregat | Perusak	3400
Fregat & Penghancur	900
fregat	2100

Berapa banyak halaman (dalam ribuan) yang akan ditemukan untuk kueri tersebut? Perusak?

Dipercaya bahwa semua kueri dieksekusi hampir secara bersamaan, sehingga kumpulan halaman yang berisi semua kata yang dicari tidak berubah selama eksekusi kueri.

Ф – jumlah halaman (dalam ribuan) berdasarkan permintaan fregat;

E – jumlah halaman (dalam ribuan) berdasarkan permintaan Perusak;

X – jumlah halaman (dalam ribuan) untuk kueri yang menyebutkan fregat Dan Bukan tersebut Perusak;

Y – jumlah halaman (dalam ribuan) untuk kueri yang menyebutkan Perusak Dan Bukan tersebut fregat.

Mari buat diagram Euler-Venn untuk setiap kueri:

Meminta	Diagram Euler-Venn	Jumlah halaman
Fregat | Perusak	Gambar 12	3400
Fregat & Penghancur	Gambar 13	900
fregat	Gambar 14	2100
Perusak	Gambar 15	?

Menurut diagram yang kita miliki:

1. X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. Dari sini kita cari Y = 3400-2100 = 1300.
2. E = 900+U = 900+1300= 2200.

Jawaban: 2200.

6. Memecahkan masalah logis yang bermakna menggunakan metode diagram Euler-Venn

Ada 36 orang di kelas. Siswa pada kelas ini mengikuti lingkaran matematika, fisika dan kimia, dengan jumlah orang yang mengikuti lingkaran matematika 18 orang, lingkaran fisika 14 orang, lingkaran kimia 10 orang, dan diketahui bahwa ketiga lingkaran tersebut diikuti oleh 2 orang, yaitu 8 orang menghadiri matematika dan fisika, 5 dan matematika dan kimia, 3 - fisika dan kimia.

Berapa banyak siswa di kelas tersebut yang tidak mengikuti klub apa pun?

Untuk mengatasi masalah ini, sangat mudah dan intuitif menggunakan lingkaran Euler.

Lingkaran terbesar adalah himpunan seluruh siswa dalam kelas tersebut. Di dalam lingkaran ada tiga himpunan yang berpotongan: anggota matematika ( M), fisik ( F), bahan kimia ( X) lingkaran.

Membiarkan MFC- banyak pria, yang masing-masing menghadiri ketiga klub. MF¬X- banyak anak, yang masing-masing menghadiri klub matematika dan fisika dan Bukan mengunjungi bahan kimia. ¬M¬FH- banyak cowok yang masing-masing mengikuti klub kimia dan tidak mengikuti klub fisika dan matematika.

Kami memperkenalkan set dengan cara yang sama: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Diketahui, ketiga lingkaran tersebut diikuti oleh 2 orang, sehingga dalam satu wilayah MFC Mari kita masukkan nomor 2. Karena 8 orang mengikuti lingkaran matematika dan fisika, dan diantara mereka sudah ada 2 orang yang mengikuti ketiga lingkaran tersebut, kemudian di daerah MF¬X ayo masuk 6 orang (8-2). Mari kita tentukan juga jumlah siswa di himpunan yang tersisa:

Mari kita jumlahkan jumlah penduduk di seluruh wilayah: 7+6+3+2+4+1+5=28. Akibatnya, 28 orang dari kelas tersebut menghadiri klub.

Artinya 36-28 = 8 siswa tidak mengikuti klub.

Setelah liburan musim dingin, guru kelas menanyakan anak mana yang pergi ke teater, bioskop, atau sirkus. Ternyata dari 36 siswa di kelas tersebut, dua orang belum pernah ke bioskop. baik di teater maupun di sirkus. 25 orang pergi ke bioskop, 11 orang ke teater, 17 orang ke sirkus; baik di bioskop maupun teater - 6; baik di bioskop maupun di sirkus - 10; dan di teater dan sirkus - 4.

Berapa banyak orang yang pernah ke bioskop, teater, dan sirkus?

Misal x adalah banyaknya anak yang pernah menonton bioskop, teater, dan sirkus.

Kemudian Anda dapat membuat diagram berikut dan menghitung jumlah orang di setiap area:

6 orang mengunjungi bioskop dan teater, artinya hanya 6 orang yang pergi ke bioskop dan teater. Demikian pula hanya di bioskop dan sirkus (ke-10) orang. Hanya di teater dan sirkus (4) orang. 25 orang pergi ke bioskop, artinya 25 orang diantaranya hanya pergi ke bioskop - (10s) - (6s) - x = (9+x). Begitu pula hanya di teater yang terdapat (1+x) orang. Hanya ada (3+x) orang di sirkus. Belum pernah ke teater, bioskop atau sirkus – 2 orang. Artinya 36-2=34 orang. menghadiri acara. Di sisi lain, kita dapat menyimpulkan jumlah orang yang berada di teater, bioskop, dan sirkus: (9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-an)+(6-an)+(4-an)+x = 34 Oleh karena itu, hanya satu orang yang menghadiri ketiga acara tersebut.

Dengan demikian, lingkaran Euler (diagram Euler-Venn) menemukan aplikasi praktis dalam memecahkan masalah dalam format Ujian Negara Terpadu dan Ujian Negara dan dalam memecahkan masalah logis yang bermakna.

literatur

1. V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitina. Logika dalam ilmu komputer.
2. M.: Informatika dan Pendidikan, 2006. 155 hal.
3. II. Bosova. Dasar aritmatika dan logika komputer. M.: Informatika dan Pendidikan, 2000. 207 hal.
4. II. Bosova, A.Yu. Bosova. Buku pelajaran. Ilmu Komputer dan TIK untuk kelas 8: BINOM. Laboratorium Pengetahuan, 2012. 220 hal.
5. II. Bosova, A.Yu. Bosova. Buku pelajaran. Ilmu Komputer dan TIK untuk kelas 9: BINOM. Laboratorium Pengetahuan, 2012. 244 hal.