3.1. Koordinat kutub

Sering digunakan di pesawat sistem koordinat kutub . Didefinisikan jika suatu titik O diberikan, disebut tiang, dan sinar yang memancar dari kutub (bagi kami ini adalah porosnya Sapi) – sumbu kutub. Posisi titik M ditentukan oleh dua angka: radius (atau vektor radius) dan sudut φ antara sumbu kutub dan vektor. Sudut φ disebut sudut kutub; diukur dalam radian dan dihitung berlawanan arah jarum jam dari sumbu kutub.

Posisi suatu titik dalam sistem koordinat kutub ditentukan oleh pasangan bilangan terurut (r; φ). Di Kutub r = 0, dan φ tidak terdefinisi. Untuk semua poin lainnya r > 0, dan φ didefinisikan hingga suku yang merupakan kelipatan 2π. Dalam hal ini, pasangan bilangan (r; φ) dan (r 1 ; φ 1) diasosiasikan pada titik yang sama jika .

Untuk sistem koordinat persegi panjang xOy Koordinat kartesius suatu titik dapat dengan mudah dinyatakan dalam koordinat kutubnya sebagai berikut:

3.2. Interpretasi geometris bilangan kompleks

Mari kita perhatikan sistem koordinat persegi panjang Cartesian pada bidang xOy.

Bilangan kompleks apa pun z=(a, b) dikaitkan dengan suatu titik pada bidang dengan koordinat ( x, kamu), Di mana koordinat x = a, yaitu bagian real bilangan kompleks, dan koordinat y = bi adalah bagian imajinernya.

Bidang yang titik-titiknya merupakan bilangan kompleks adalah bidang kompleks.

Pada gambar tersebut, bilangan kompleks z = (a,b) sesuai dengan suatu titik M(x, kamu).

Latihan.Menggambar bilangan kompleks pada bidang koordinat:

3.3. Bentuk trigonometri bilangan kompleks

Suatu bilangan kompleks pada bidang mempunyai koordinat suatu titik L(x;y). Di mana:

Menulis bilangan kompleks - bentuk trigonometri bilangan kompleks.

Nomor r dipanggil modul bilangan kompleks z dan ditunjuk. Modulus adalah bilangan real non-negatif. Untuk .

Modulusnya nol jika dan hanya jika z = 0, yaitu a = b = 0.

Nomor φ disebut argumen z dan ditunjuk. Argumen z didefinisikan secara ambigu, seperti sudut kutub pada sistem koordinat kutub, yaitu sampai suku kelipatan 2π.

Lalu kita terima: , dimana φ adalah nilai argumen terkecil. Jelas sekali

.

Saat mempelajari topik secara lebih mendalam, argumen tambahan φ* diperkenalkan, sehingga

Contoh 1. Temukan bentuk trigonometri bilangan kompleks.

Larutan. 1) pertimbangkan modul: ;

2) mencari φ: ;

3) bentuk trigonometri:

Contoh 2. Temukan bentuk aljabar dari bilangan kompleks .

Di sini cukup dengan mengganti nilai fungsi trigonometri dan mengubah ekspresi:

Contoh 3. Temukan modulus dan argumen bilangan kompleks;

1) ;

2) ; φ – dalam 4 kuartal:

3.4. Operasi bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri

· Penambahan dan pengurangan Lebih mudah melakukannya dengan bilangan kompleks dalam bentuk aljabar:

· Perkalian– dengan menggunakan transformasi trigonometri sederhana dapat ditunjukkan bahwa Saat mengalikan, modul angka dikalikan, dan argumen ditambahkan: ;

Kuliah

Bentuk trigonometri bilangan kompleks

Rencana

1. Representasi geometris bilangan kompleks.

2. Notasi trigonometri bilangan kompleks.

3. Tindakan terhadap bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri.

Representasi geometris bilangan kompleks.

a) Bilangan kompleks direpresentasikan dengan titik-titik pada suatu bidang menurut aturan berikut: A + dua = M ( A ; B ) (Gbr. 1).

Gambar 1

b) Suatu bilangan kompleks dapat direpresentasikan dengan sebuah vektor yang bermula dari sebuah titikTENTANG dan berakhir pada suatu titik tertentu (Gbr. 2).

Gambar 2

Contoh 7. Bangunlah titik-titik yang mewakili bilangan kompleks:1; - Saya ; - 1 + Saya ; 2 – 3 Saya (Gbr. 3).

Gambar 3

Notasi trigonometri bilangan kompleks.

Bilangan kompleksz = A + dua dapat ditentukan menggunakan vektor radius dengan koordinat( A ; B ) (Gbr. 4).

Gambar 4

Definisi . Panjang vektor , mewakili bilangan kompleksz , disebut modulus bilangan ini dan dilambangkan atauR .

Untuk bilangan kompleks apa punz modulnyaR = | z | ditentukan secara unik oleh rumus .

Definisi . Besarnya sudut antara arah positif sumbu nyata dan vektor , mewakili bilangan kompleks, disebut argumen bilangan kompleks ini dan dilambangkanA rg z atauφ .

Argumen Bilangan Kompleksz = 0 tidak terbatas. Argumen Bilangan Kompleksz≠ 0 – kuantitas multi-nilai dan ditentukan dalam suatu jangka waktu2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = argumen z + 2πk , Di manaargumen z – nilai utama argumen yang terkandung dalam interval(-π; π] , itu adalah-π < argumen z ≤ π (terkadang nilai yang termasuk dalam interval diambil sebagai nilai utama argumen .

Rumus ini kapanR =1 sering disebut rumus Moivre:

(karena φ + saya dosa φ) N = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Contoh 11: Hitung(1 + Saya ) 100 .

Mari kita menulis bilangan kompleks1 + Saya dalam bentuk trigonometri.

a = 1, b = 1 .

karena φ = , dosa φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (kos + aku berdosa )] 100 = ( ) 100 (kos 100+ aku berdosa ·100) = = 2 50 (cos 25π + saya dosa 25π) = 2 50 (cos π + saya dosa π) = - 2 50 .

4) Mengekstraksi akar kuadrat dari bilangan kompleks.

Saat mengambil akar kuadrat dari bilangan kompleksA + dua kami memiliki dua kasus:

JikaB >o , Itu ;

ANGKA KOMPLEKS XI

§ 256. Bentuk trigonometri bilangan kompleks

Biarkan bilangan kompleks a+bi vektor yang sesuai O.A.> dengan koordinat ( a, b ) (lihat Gambar 332).

Mari kita nyatakan panjang vektor ini dengan R , dan sudut yang dibuatnya dengan sumbu X , melalui φ . Menurut definisi sinus dan cosinus:

A / R = karena φ , B / R = dosa φ .

Itu sebabnya A = R karena φ , B = R dosa φ . Namun dalam kasus ini bilangan kompleks a+bi dapat ditulis sebagai:

a+bi = R karena φ + ir dosa φ = R (kos φ + Saya dosa φ ).

Seperti yang Anda ketahui, kuadrat panjang suatu vektor sama dengan jumlah kuadrat koordinatnya. Itu sebabnya R 2 = A 2 + B 2, dari mana R = √a 2 + B 2

Jadi, bilangan kompleks apa pun a+bi dapat direpresentasikan dalam bentuk :

a+bi = R (kos φ + Saya dosa φ ), (1)

dimana r = √a 2 + B 2 dan sudutnya φ ditentukan dari kondisi:

Bentuk penulisan bilangan kompleks disebut trigonometri.

Nomor R dalam rumus (1) disebut modul, dan sudutnya φ - argumen, bilangan kompleks a+bi .

Jika bilangan kompleks a+bi tidak sama dengan nol, maka modulusnya positif; jika a+bi = 0, maka a = b = 0 dan kemudian R = 0.

Modulus bilangan kompleks ditentukan secara unik.

Jika bilangan kompleks a+bi tidak sama dengan nol, maka argumennya ditentukan oleh rumus (2) tentu saja akurat hingga sudut habis dibagi 2 π . Jika a+bi = 0, maka a = b = 0. Dalam hal ini R = 0. Dari rumus (1) mudah dipahami bahwa sebagai argumen φ dalam hal ini, Anda dapat memilih sudut mana pun: lagipula, untuk sudut mana pun φ

0 (kos φ + Saya dosa φ ) = 0.

Oleh karena itu argumen nol tidak terdefinisi.

Modulus bilangan kompleks R terkadang dilambangkan | z |, dan argumen argumen z . Mari kita lihat beberapa contoh representasi bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri.

Contoh. 1. 1 + Saya .

Mari kita temukan modulnya R dan argumen φ nomor ini.

R = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Oleh karena itu dosa φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, dari mana φ = π / 4 + 2Nπ .

Dengan demikian,

1 + Saya = √ 2 ,

Di mana P - bilangan bulat apa pun. Biasanya, dari himpunan nilai argumen bilangan kompleks yang tak terhingga, dipilih satu nilai antara 0 dan 2 π . Dalam hal ini, nilai ini adalah π / 4. Itu sebabnya

1 + Saya = √ 2 (kos π / 4 + Saya dosa π / 4)

Contoh 2. Tuliskan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri √ 3 - Saya . Kita punya:

R = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3/2, dosa φ = - 1 / 2

Oleh karena itu, sampai suatu sudut habis dibagi 2 π , φ = 11 / 6 π ; karena itu,

√ 3 - Saya = 2(karena 11/6 π + Saya dosa 11/6 π ).

Contoh 3 Tuliskan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri Saya.

Bilangan kompleks Saya vektor yang sesuai O.A.> , berakhir di titik A sumbu pada dengan ordinat 1 (Gbr. 333). Panjang vektor tersebut adalah 1, dan sudut yang dibentuknya terhadap sumbu x adalah sama dengan π / 2. Itu sebabnya

Saya = karena π / 2 + Saya dosa π / 2 .

Contoh 4. Tuliskan bilangan kompleks 3 dalam bentuk trigonometri.

Bilangan kompleks 3 berhubungan dengan vektor O.A. > X absis 3 (Gbr. 334).

Panjang vektor tersebut adalah 3, dan sudut yang dibentuknya terhadap sumbu x adalah 0. Oleh karena itu

3 = 3 (karena 0 + Saya dosa 0),

Contoh 5. Tuliskan bilangan kompleks -5 dalam bentuk trigonometri.

Bilangan kompleks -5 berhubungan dengan vektor O.A.> berakhir pada suatu titik sumbu X dengan absis -5 (Gbr. 335). Panjang vektor tersebut adalah 5, dan sudut yang dibentuknya terhadap sumbu x adalah sama dengan π . Itu sebabnya

5 = 5(kos π + Saya dosa π ).

Latihan

2047. Tuliskan bilangan kompleks berikut dalam bentuk trigonometri, tentukan modul dan argumennya:

1) 2 + 2√3 Saya , 4) 12Saya - 5; 7).3Saya ;

2) √3 + Saya ; 5) 25; 8) -2Saya ;

3) 6 - 6Saya ; 6) - 4; 9) 3Saya - 4.

2048. Tunjukkan pada bidang sekumpulan titik yang mewakili bilangan kompleks yang moduli r dan argumennya memenuhi syarat:

1) R = 1, φ = π / 4 ; 4) R < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) R =2; 5) 2 < R <3; 8) 0 < φ < я;

3) R < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < R < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Bisakah bilangan sekaligus menjadi modulus bilangan kompleks? R Dan - R ?

2050. Bisakah argumen bilangan kompleks sekaligus berupa sudut? φ Dan - φ ?

Sajikan bilangan kompleks ini dalam bentuk trigonometri, dengan mendefinisikan modul dan argumennya:

2051*. 1 + karena α + Saya dosa α . 2054*. 2(karena 20° - Saya dosa 20°).

2052*. dosa φ + Saya karena φ . 2055*. 3(- karena 15° - Saya dosa 15°).

2.3. Bentuk trigonometri bilangan kompleks

Biarkan vektor ditentukan pada bidang kompleks dengan bilangan .

Mari kita nyatakan dengan φ sudut antara sumbu semi positif Ox dan vektor (sudut φ dianggap positif jika diukur berlawanan arah jarum jam, dan negatif jika diukur).

Mari kita nyatakan panjang vektor dengan r. Kemudian . Kami juga menunjukkan

Menuliskan bilangan kompleks bukan nol z dalam bentuk

disebut bentuk trigonometri bilangan kompleks z. Bilangan r disebut modulus bilangan kompleks z, dan bilangan φ disebut argumen bilangan kompleks tersebut dan dilambangkan dengan Arg z.

Bentuk penulisan trigonometri bilangan kompleks - (rumus Euler) - bentuk penulisan bilangan kompleks secara eksponensial:

Bilangan kompleks z mempunyai banyak argumen yang tak terhingga: jika φ0 adalah argumen apa pun dari bilangan z, maka argumen lainnya dapat dicari menggunakan rumus

Untuk bilangan kompleks, argumen dan bentuk trigonometrinya tidak terdefinisi.

Jadi, argumen bilangan kompleks bukan nol adalah solusi apa pun terhadap sistem persamaan:

(3)

Nilai argumen bilangan kompleks z yang memenuhi pertidaksamaan disebut nilai utama dan dilambangkan dengan arg z.

Argumen Arg z dan arg z dihubungkan oleh

, (4)

Rumus (5) merupakan konsekuensi dari sistem (3), oleh karena itu semua argumen bilangan kompleks memenuhi persamaan (5), tetapi tidak semua solusi persamaan (5) merupakan argumen bilangan z.

Nilai utama argumen bilangan kompleks bukan nol ditemukan menggunakan rumus:

Rumus perkalian dan pembagian bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri adalah sebagai berikut:

. (7)

Saat menaikkan bilangan kompleks ke pangkat alami, rumus Moivre digunakan:

Saat mengekstraksi akar bilangan kompleks, rumus yang digunakan:

, (9)

dimana k=0, 1, 2,…, n-1.

Soal 54. Hitung dimana .

Mari kita sajikan solusi ekspresi ini dalam bentuk penulisan bilangan kompleks eksponensial: .

Jika kemudian.

Kemudian , . Oleh karena itu, maka Dan , Di mana .

Menjawab: , pada .

Soal 55. Tuliskan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri:

A) ; B) ; V) ; G) ; D) ; e) ; Dan) .

Karena bentuk trigonometri suatu bilangan kompleks adalah , maka:

a) Dalam bilangan kompleks: .

,

Itu sebabnya

B) , Di mana ,

G) , Di mana ,

e) .

Dan) , A , Itu .

Itu sebabnya

Menjawab: ; 4; ; ; ; ; .

Soal 56. Temukan bentuk trigonometri bilangan kompleks

.

Membiarkan , .

Kemudian , , .

Sejak dan , , lalu , dan

Oleh karena itu, oleh karena itu

Menjawab: , Di mana .

Soal 57. Dengan menggunakan bentuk trigonometri bilangan kompleks, lakukan tindakan berikut: .

Mari kita bayangkan angka dan dalam bentuk trigonometri.

1) , dimana Kemudian

Temukan nilai argumen utama:

Mari kita substitusikan nilainya dan ke dalam ekspresi, kita dapatkan

2) , lalu dimana

Kemudian

3) Mari kita cari hasil bagi

Dengan asumsi k=0, 1, 2, kita mendapatkan tiga nilai berbeda dari akar yang diinginkan:

Jika kemudian

jika kemudian

jika kemudian .

Menjawab: :

:

: .

Soal 58. Misalkan , , , adalah bilangan kompleks berbeda dan . Buktikan itu

sebuah angka adalah bilangan real positif;

b) persamaan berlaku:

a) Mari kita nyatakan bilangan kompleks ini dalam bentuk trigonometri:

Karena .

Mari kita berpura-pura seperti itu. Kemudian

.

Ekspresi terakhir adalah bilangan positif, karena tanda sinus berisi bilangan dari interval.

sejak nomor tersebut nyata dan positif. Jika a dan b adalah bilangan kompleks dan real serta lebih besar dari nol, maka .

Di samping itu,

oleh karena itu, kesetaraan yang disyaratkan terbukti.

Soal 59. Tulislah bilangan tersebut dalam bentuk aljabar .

Mari kita nyatakan bilangan tersebut dalam bentuk trigonometri dan kemudian temukan bentuk aljabarnya. Kita punya . Untuk kami mendapatkan sistem:

Ini menyiratkan kesetaraan: .

Menerapkan rumus Moivre: ,

kita mendapatkan

Bentuk trigonometri dari bilangan tertentu ditemukan.

Sekarang mari kita tuliskan bilangan ini dalam bentuk aljabar:

.

Menjawab: .

Soal 60. Tentukan jumlah , ,

Mari kita pertimbangkan jumlahnya

Menerapkan rumus Moivre, kami menemukan

Jumlah tersebut merupakan jumlah n suku suatu barisan geometri yang penyebutnya dan anggota pertama .

Menerapkan rumus untuk jumlah suku dari perkembangan seperti itu, kita punya

Mengisolasi bagian imajiner dalam ekspresi terakhir, kita temukan

Dengan mengisolasi bagian real, kita juga memperoleh rumus berikut: , , .

Soal 61. Temukan jumlahnya:

A) ; B) .

Menurut rumus eksponensial Newton, kita punya

Dengan menggunakan rumus Moivre kita menemukan:

Menyamakan bagian real dan imajiner dari ekspresi yang dihasilkan untuk , kita mendapatkan:

Dan .

Rumus tersebut dapat ditulis dalam bentuk ringkas sebagai berikut:

,

, dimana adalah bagian bilangan bulat dari bilangan a.

Soal 62

Karena , kemudian, menggunakan rumus

, Untuk mengekstrak akarnya, kita dapatkan ,

Karena itu, , ,

, .

Titik-titik yang bersesuaian dengan bilangan-bilangan tersebut terletak pada titik-titik sudut suatu persegi pada lingkaran berjari-jari 2 dengan pusat di titik (0;0) (Gbr. 30).

Menjawab: , ,

, .

Soal 63. Selesaikan persamaannya , .

Dengan syarat; oleh karena itu, persamaan ini tidak mempunyai akar, sehingga ekuivalen dengan persamaan tersebut.

Agar bilangan z menjadi akar persamaan ini, bilangan tersebut harus merupakan akar ke-n dari bilangan 1.

Dari sini kita menyimpulkan bahwa persamaan awal memiliki akar-akar yang ditentukan dari persamaan

,

Dengan demikian,

,

yaitu ,

Menjawab: .

Soal 64. Selesaikan persamaan himpunan bilangan kompleks.

Karena bilangan tersebut bukan akar persamaan ini, maka persamaan ini ekuivalen dengan persamaan tersebut

Yaitu persamaannya.

Semua akar persamaan ini diperoleh dari rumus (lihat soal 62):

; ; ; ; .

Soal 65. Gambarlah pada bidang kompleks sekumpulan titik yang memenuhi pertidaksamaan: . (Cara ke-2 untuk menyelesaikan masalah 45)

Membiarkan .

Bilangan kompleks yang mempunyai modul identik bersesuaian dengan titik-titik pada bidang yang terletak pada lingkaran yang berpusat di titik asal, sehingga terjadi pertidaksamaan memenuhi semua titik pada cincin terbuka yang dibatasi oleh lingkaran dengan pusat yang sama di titik asal dan jari-jari dan (Gbr. 31). Misalkan beberapa titik pada bidang kompleks berhubungan dengan bilangan w0. Nomor , memiliki modul beberapa kali lebih kecil dari modul w0, dan argumen lebih besar dari argumen w0. Dari sudut pandang geometri, titik yang bersesuaian dengan w1 dapat diperoleh dengan menggunakan homothety yang berpusat di titik asal dan koefisien, serta rotasi relatif terhadap titik asal dengan sudut berlawanan arah jarum jam. Sebagai hasil dari penerapan kedua transformasi ini pada titik-titik cincin (Gbr. 31), titik-titik tersebut akan berubah menjadi cincin yang dibatasi oleh lingkaran dengan pusat dan jari-jari 1 dan 2 yang sama (Gbr. 32).

Konversi diimplementasikan menggunakan transfer paralel ke vektor. Dengan memindahkan cincin yang berpusat di titik ke vektor yang ditunjukkan, kita memperoleh cincin dengan ukuran yang sama yang berpusat di titik (Gbr. 22).

Metode yang diusulkan, yang menggunakan gagasan transformasi geometris suatu bidang, mungkin kurang nyaman untuk dijelaskan, tetapi sangat elegan dan efektif.

Soal 66. Temukan jika .

Biarkan , lalu dan . Kesetaraan awal akan terbentuk . Dari syarat persamaan dua bilangan kompleks kita peroleh , , dari mana , . Dengan demikian, .

Mari kita tuliskan bilangan z dalam bentuk trigonometri:

, Di mana , . Berdasarkan rumus Moivre, kita temukan.

Jawaban: – 64.

Soal 67. Untuk bilangan kompleks, carilah semua bilangan kompleks sedemikian rupa sehingga , dan .

Mari kita nyatakan bilangan tersebut dalam bentuk trigonometri:

. Dari sini, . Untuk angka yang kita peroleh, bisa sama dengan atau.

Dalam kasus pertama , di detik

.

Menjawab: , .

Soal 68. Tentukan jumlah bilangan-bilangan yang . Silakan tunjukkan salah satu dari nomor-nomor ini.

Perhatikan bahwa dari rumusan masalahnya dapat dipahami bahwa jumlah akar-akar persamaan dapat dicari tanpa menghitung akar-akarnya sendiri. Memang, jumlah dari akar-akar persamaan adalah koefisien untuk , diambil dengan tanda berlawanan (teorema Vieta yang digeneralisasi), yaitu

Siswa, dokumentasi sekolah, menarik kesimpulan tentang tingkat penguasaan konsep ini. Meringkas kajian tentang ciri-ciri berpikir matematis dan proses pembentukan konsep bilangan kompleks. Deskripsi metode. Diagnostik: Tahap I. Percakapan dilakukan dengan seorang guru matematika yang mengajar aljabar dan geometri di kelas 10. Percakapan terjadi setelah beberapa waktu berlalu sejak awal...

Resonansi" (!)), yang juga mencakup penilaian terhadap perilakunya sendiri. 4. Penilaian kritis terhadap pemahaman seseorang terhadap situasi (keraguan). 5. Terakhir, penggunaan rekomendasi dari psikologi hukum (pengacara memperhitungkan psikologis aspek tindakan profesional yang dilakukan - kesiapan psikologis profesional). Sekarang mari kita pertimbangkan analisis psikologis fakta hukum...

Matematika substitusi trigonometri dan pengujian efektivitas metodologi pengajaran yang dikembangkan. Tahapan kerja: 1. Pengembangan mata kuliah pilihan dengan topik: “Penerapan substitusi trigonometri untuk menyelesaikan masalah aljabar” dengan siswa di kelas matematika tingkat lanjut. 2. Menyelenggarakan mata kuliah pilihan yang dikembangkan. 3.Melakukan tes diagnostik...

Tugas kognitif dimaksudkan hanya untuk melengkapi alat bantu pengajaran yang ada dan harus dikombinasikan dengan semua cara dan elemen tradisional dari proses pendidikan. Perbedaan antara masalah pendidikan dalam pengajaran humaniora dan eksakta dengan masalah matematika hanya pada masalah sejarah tidak ada rumus, algoritma yang ketat, dan lain-lain, sehingga mempersulit penyelesaiannya. ...