Baca "kesenangan x" online. Steven Strogatz - Kenikmatan X

Buku ini dilengkapi dengan baik oleh:

Kuanta

Scott Patterson

Jenius

Ken Jennings

Bola Uang

Michael Lewis

Kesadaran yang fleksibel

Carol Dweck

Fisika pasar saham

James Weatherall

Kegembiraan dari X

Tur Matematika Terpandu, dari Satu hingga Tak Terhingga

Stephen Strogatz

Kenikmatan X

Sebuah perjalanan menakjubkan menuju dunia matematika dari salah satu guru terbaik di dunia

Informasi dari penerbit

Diterbitkan dalam bahasa Rusia untuk pertama kalinya

Diterbitkan dengan izin dari Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

Kenikmatan X. Sebuah perjalanan menakjubkan menuju dunia matematika dari salah satu guru terbaik di dunia / Stephen Strogatz; jalur dari bahasa Inggris - M.: Mann, Ivanov dan Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Buku ini secara radikal dapat mengubah sikap Anda terhadap matematika. Ini terdiri dari bab-bab pendek, di mana masing-masing bab Anda akan menemukan sesuatu yang baru. Anda akan belajar betapa bergunanya angka-angka untuk mempelajari dunia di sekitar Anda, Anda akan memahami keindahan geometri, Anda akan mengenal kehebatan kalkulus integral, Anda akan diyakinkan akan pentingnya statistik dan Anda akan bersentuhan dengan ketidakterbatasan . Penulis menjelaskan ide-ide dasar matematika secara sederhana dan elegan, dengan contoh-contoh brilian yang dapat dipahami semua orang.

Seluruh hak cipta.

Tidak ada bagian dari buku ini yang boleh direproduksi dalam bentuk apa pun tanpa izin tertulis dari pemegang hak cipta.

Dukungan hukum untuk penerbit disediakan oleh firma hukum Vegas-Lex.

Kata pengantar

Saya punya teman yang, meskipun dia ahli (dia adalah seorang seniman), sangat menyukai sains. Setiap kali kami berkumpul, dia berbicara dengan antusias tentang perkembangan terkini dalam psikologi atau mekanika kuantum. Tapi begitu kita mulai berbicara tentang matematika, dia merasakan lututnya gemetar, yang sangat membuatnya kesal. Dia mengeluh bahwa simbol matematika yang aneh ini tidak hanya bertentangan dengan pemahamannya, tetapi terkadang dia bahkan tidak tahu cara mengucapkannya.

Faktanya, alasan penolakannya terhadap matematika jauh lebih dalam. Dia tidak akan tahu apa yang dilakukan para ahli matematika secara umum dan apa yang mereka maksud ketika mereka mengatakan bahwa bukti yang diberikan itu bagus. Terkadang kami bercanda bahwa saya hanya perlu duduk dan mulai mengajarinya dari dasar, secara harfiah 1 + 1 = 2, dan mempelajari matematika sedalam mungkin.

Meskipun ide ini terkesan gila, namun justru inilah yang akan saya coba terapkan dalam buku ini. Saya akan memandu Anda melalui semua cabang utama ilmu pengetahuan, mulai dari aritmatika hingga matematika tingkat tinggi, sehingga mereka yang menginginkan kesempatan kedua akhirnya dapat memanfaatkannya. Dan kali ini Anda tidak perlu duduk di depan meja. Buku ini tidak akan menjadikan Anda ahli matematika. Tapi ini akan membantu Anda memahami apa yang dipelajari disiplin ini dan mengapa disiplin ini begitu menarik bagi mereka yang memahaminya.

Kita akan mengeksplorasi bagaimana slam dunk Michael Jordan dapat membantu menjelaskan kalkulus dasar. Saya akan menunjukkan cara sederhana dan menakjubkan untuk memahami teorema dasar geometri Euclidean - Teorema Pythagoras. Kami akan mencoba mengungkap beberapa misteri kehidupan, besar dan kecil: apakah Jay Simpson membunuh istrinya; cara mengatur ulang posisi kasur agar dapat bertahan selama mungkin; berapa banyak pasangan yang perlu diubah sebelum menikah - dan kita akan melihat mengapa beberapa ketidakterbatasan lebih besar daripada yang lain.

Matematika ada dimana-mana, Anda hanya perlu belajar mengenalinya. Anda dapat melihat gelombang sinus di punggung zebra, mendengar gema teorema Euclid dalam Deklarasi Kemerdekaan; apa yang bisa saya katakan, bahkan dalam laporan kering sebelum Perang Dunia Pertama, ada angka negatif. Anda juga dapat melihat bagaimana bidang baru matematika mempengaruhi kehidupan kita saat ini, misalnya, ketika kita mencari restoran menggunakan komputer atau mencoba untuk setidaknya memahami, atau lebih baik lagi, bertahan dari fluktuasi pasar saham yang menakutkan.

Serangkaian 15 artikel dengan judul umum “Fundamentals of Mathematics” muncul online pada akhir Januari 2010. Menanggapi publikasi mereka, surat dan komentar mengalir dari pembaca dari segala usia, termasuk banyak siswa dan guru. Ada juga orang-orang yang penasaran, yang karena satu dan lain alasan, “tersesat” dalam memahami ilmu matematika; sekarang mereka merasa telah melewatkan sesuatu HAI bagus, dan ingin mencoba lagi. Saya sangat senang dengan rasa terima kasih orang tua saya karena dengan bantuan saya, mereka mampu menjelaskan matematika kepada anak-anak mereka, dan mereka sendiri mulai memahaminya dengan lebih baik. Tampaknya bahkan rekan-rekan dan kawan-kawan saya, pengagum berat ilmu ini, menikmati membaca artikel-artikel tersebut, kecuali pada saat-saat ketika mereka berlomba-lomba menawarkan segala macam rekomendasi untuk meningkatkan gagasan saya.

Terlepas dari kepercayaan populer, terdapat minat yang jelas terhadap matematika di masyarakat, meskipun hanya sedikit perhatian yang diberikan pada fenomena ini. Yang kita dengar hanyalah ketakutan terhadap matematika, namun banyak yang ingin mencoba memahaminya dengan lebih baik. Dan jika ini terjadi, akan sulit untuk menghilangkannya.

Buku ini akan memperkenalkan Anda pada ide-ide paling kompleks dan canggih dari dunia matematika. Bab-babnya kecil, mudah dibaca dan tidak terlalu bergantung satu sama lain. Diantaranya adalah artikel seri pertama di New York Times. Jadi, segera setelah Anda merasa sedikit lapar akan matematika, jangan ragu untuk melanjutkan bab berikutnya. Jika Anda ingin memahami masalah yang Anda minati secara lebih detail, maka di akhir buku terdapat catatan dengan informasi tambahan dan rekomendasi apa lagi yang bisa Anda baca tentangnya.

Untuk kenyamanan pembaca yang lebih menyukai pendekatan langkah demi langkah, saya telah membagi materi menjadi enam bagian sesuai dengan urutan topik pembelajaran tradisional.

Bagian I, Bilangan, mengawali perjalanan kita dengan aritmatika di taman kanak-kanak dan sekolah dasar. Ini menunjukkan betapa bergunanya angka-angka dan betapa efektifnya angka-angka itu dalam menggambarkan dunia di sekitar kita.

Bagian II, “Rasio,” mengalihkan perhatian dari angka-angka itu sendiri ke hubungan di antara angka-angka tersebut. Ide-ide ini merupakan inti dari aljabar dan merupakan alat pertama untuk menggambarkan bagaimana suatu hal mempengaruhi hal lain, menunjukkan hubungan sebab-akibat dari berbagai hal: penawaran dan permintaan, stimulus dan respon - singkatnya, segala macam hal. hubungan yang membuat dunia begitu kaya dan beragam.

Bagian III “Bentuk” tidak menceritakan tentang angka dan simbol, tetapi tentang gambar dan ruang – domain geometri dan trigonometri. Topik-topik ini, bersama dengan deskripsi semua objek yang dapat diamati melalui bentuk, penalaran logis, dan pembuktian, membawa matematika ke tingkat presisi yang baru.

Di Bagian IV, Saatnya Berubah, kita akan melihat kalkulus, cabang matematika yang paling menarik dan beragam. Kalkulus memungkinkan untuk memprediksi lintasan planet, siklus pasang surut dan memungkinkan untuk memahami dan menggambarkan semua proses dan fenomena yang berubah secara berkala di Alam Semesta dan di dalam diri kita. Tempat penting di bagian ini diberikan pada studi tentang ketidakterbatasan, yang pengamanannya menjadi terobosan yang memungkinkan perhitungan berhasil. Komputasi membantu memecahkan banyak masalah yang muncul di dunia kuno, dan hal ini pada akhirnya menyebabkan revolusi dalam sains dan dunia modern.

Bagian V, “The Many Faces of Data,” berkaitan dengan probabilitas, statistik, jaringan, dan ilmu data—bidang yang masih relatif baru, lahir dari aspek-aspek kehidupan kita yang kurang teratur, seperti peluang dan keberuntungan, ketidakpastian, risiko , variabilitas, kekacauan, saling ketergantungan. Dengan menggunakan alat matematika yang tepat dan jenis data yang sesuai, kita akan belajar mendeteksi pola aliran keacakan.

Di akhir perjalanan kita di Bagian VI, “Batas Kemungkinan”, kita akan mendekati batas pengetahuan matematika, wilayah perbatasan antara apa yang sudah diketahui dan apa yang masih sulit dipahami dan tidak diketahui. Kita akan kembali membahas topik-topik dalam urutan yang sudah kita kenal: angka, rasio, angka, perubahan, dan ketidakterbatasan - tetapi pada saat yang sama kita akan melihat masing-masing topik secara lebih mendalam, dalam inkarnasi modernnya.

Buku ini dilengkapi dengan baik oleh:

Kuanta

Scott Patterson

Jenius

Ken Jennings

Bola Uang

Michael Lewis

Kesadaran yang fleksibel

Carol Dweck

Fisika pasar saham

James Weatherall

Kegembiraan X

Tur Matematika Terpandu, dari Satu hingga Tak Terhingga

Stephen Strogatz

Sebuah perjalanan menakjubkan menuju dunia matematika dari salah satu guru terbaik di dunia

Informasi dari penerbit

Diterbitkan dalam bahasa Rusia untuk pertama kalinya

Diterbitkan dengan izin dari Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

Kesenangan X. Perjalanan menakjubkan ke dunia matematika dari salah satu guru terbaik di dunia / Steven Strogatz; jalur dari bahasa Inggris - M.: Mann, Ivanov dan Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Seluruh hak cipta.

Tidak ada bagian dari buku ini yang boleh direproduksi dalam bentuk apa pun tanpa izin tertulis dari pemegang hak cipta.

Dukungan hukum untuk penerbit disediakan oleh firma hukum Vegas-Lex.

Kata pengantar

Serangkaian 15 artikel dengan judul umum “Fundamentals of Mathematics” muncul online pada akhir Januari 2010. Menanggapi publikasi mereka, surat dan komentar mengalir dari pembaca dari segala usia, termasuk banyak siswa dan guru. Ada juga orang-orang yang penasaran, yang karena satu dan lain alasan, “tersesat” dalam memahami ilmu matematika; sekarang mereka merasa telah melewatkan sesuatu yang berharga dan ingin mencoba lagi. Saya sangat senang dengan rasa terima kasih orang tua saya karena dengan bantuan saya, mereka mampu menjelaskan matematika kepada anak-anak mereka, dan mereka sendiri mulai memahaminya dengan lebih baik. Tampaknya bahkan rekan-rekan dan kawan-kawan saya, pengagum berat ilmu ini, menikmati membaca artikel-artikel tersebut, kecuali pada saat-saat ketika mereka berlomba-lomba menawarkan segala macam rekomendasi untuk meningkatkan gagasan saya.

Untuk kenyamanan pembaca yang lebih menyukai pendekatan langkah demi langkah, saya telah membagi materi menjadi enam bagian sesuai dengan urutan topik pembelajaran tradisional.

Saya berharap semua ide yang diuraikan dalam buku ini tampak menarik bagi Anda dan membuat Anda berseru lebih dari sekali: “Wow!” Namun Anda selalu harus memulai dari suatu tempat, jadi mari kita mulai dengan aktivitas sederhana namun menarik seperti menghitung.

1. Dasar-Dasar Angka: Penjumlahan Ikan

Demonstrasi konsep bilangan terbaik yang pernah saya lihat (penjelasan paling jelas dan terlucu tentang apa itu bilangan dan mengapa kita membutuhkannya) terjadi dalam sebuah episode acara anak-anak populer Sesame Street berjudul 123: Counting Together "(123 Counter with Me). X...

Seberapa bergunakah bilangan untuk mempelajari dunia sekitar kita, apa keindahan geometri, betapa anggunnya bilangan integral, dan seberapa pentingkah statistik? Steven Strogatz membicarakan semua ini dalam bukunya The Pleasure of X. Penulis menjelaskan ide dasar matematika secara sederhana dan elegan, memberikan contoh yang dapat dipahami semua orang. situs ini menerbitkan salah satu bab dari buku yang diterbitkan oleh Mann, Ivanov dan Ferber.

Statistik tiba-tiba menjadi bidang yang trendi. Dengan munculnya Internet, e-commerce, jejaring sosial, proyek genom manusia, dan perkembangan budaya digital secara umum, dunia menjadi kewalahan dengan data. Pemasar mempelajari selera dan kebiasaan kita. Badan intelijen mengumpulkan informasi tentang lokasi, email, dan panggilan telepon kami. Ahli statistik olahraga mengatur angka-angka untuk memutuskan pemain mana yang akan dibeli, siapa yang akan direkrut, dan siapa yang akan dicadangkan. Setiap orang berusaha menghubungkan titik-titik ke dalam grafik dan menemukan pola dalam kumpulan data yang campur aduk.

Tidak mengherankan jika tren ini tercermin dalam pengajaran. “Mari kita lihat statistiknya,” tegur Greg Mankiw, ekonom di Universitas Harvard, dalam kolom New York Times.

“Kurikulum matematika sekolah menengah menghabiskan terlalu banyak waktu pada topik-topik tradisional seperti geometri Euclidean dan trigonometri. Latihan mental ini, yang berguna bagi kebanyakan orang, namun tidak banyak berguna dalam kehidupan sehari-hari. Siswa akan mendapat manfaat besar dengan mempelajari lebih lanjut tentang probabilitas dan statistik.” David Brooks melangkah lebih jauh lagi. Dalam artikelnya tentang disiplin ilmu yang patut mendapat perhatian untuk memperoleh pendidikan yang layak, ia menulis: “Ambil statistik. Soalnya, ternyata mengetahui apa itu standar deviasi akan sangat berguna bagi Anda dalam hidup.”

Sangat mungkin, dan ada baiknya juga untuk memahami apa itu distribusi. Ini adalah hal pertama yang ingin saya bicarakan. Dan saya ingin fokus pada hal ini, karena ini adalah salah satu pelajaran utama dari statistik: segala sesuatu tampak sangat acak dan tidak dapat diprediksi bila dilihat secara individual, namun jika digabungkan, hal-hal tersebut mengungkapkan suatu pola dan prediktabilitas.

Anda mungkin pernah melihat demonstrasi prinsip ini di museum sains (jika belum, videonya dapat ditemukan online). Pameran yang khas adalah alat yang disebut papan Galton, yang agak mengingatkan pada mesin pinball tanpa sirip. Di dalamnya terdapat deretan pin genap secara berkala.

papan Galton

Percobaan dimulai dengan ratusan bola diluncurkan ke atas papan Galton. Ketika jatuh, mereka bertabrakan dengan pin dan kemungkinan besar akan memantul ke kanan atau ke kiri, dan kemudian didistribusikan di bagian bawah papan, jatuh ke dalam kompartemen dengan lebar yang sama. Ketinggian kolom bola menunjukkan seberapa besar kemungkinan bola akan mendarat di suatu lokasi tertentu. Sebagian besar bola ditempatkan kira-kira di tengah, lebih sedikit di samping, dan lebih sedikit lagi di tepinya.

Secara umum, gambarannya sangat mudah diprediksi: bola selalu membentuk distribusi berbentuk lonceng, meskipun tidak mungkin untuk memprediksi di mana setiap bola akan berakhir.

Bagaimana kecelakaan individu berubah menjadi pola umum? Tapi begitulah cara kerja peluang. Kolom tengah berisi bola paling banyak karena, sebelum menggelinding ke bawah, banyak bola yang melakukan lompatan ke kanan dan kiri dengan jumlah yang kira-kira sama dan, akibatnya, berakhir di suatu tempat di tengah. Beberapa bola kesepian yang terletak di tepinya membentuk ekor distribusi - ini adalah bola yang, ketika bertabrakan dengan pin, selalu memantul ke arah yang sama. Pantulan seperti itu kecil kemungkinannya, itulah sebabnya hanya ada sedikit bola di tepinya.

Sama seperti lokasi setiap bola yang ditentukan oleh jumlah dari banyak kejadian acak, banyak fenomena di dunia ini adalah hasil dari banyak keadaan kecil dan juga mengikuti kurva berbentuk lonceng. Perusahaan asuransi beroperasi berdasarkan prinsip ini. Mereka dapat secara akurat memperkirakan jumlah klien mereka yang meninggal setiap tahunnya. Namun, mereka belum mengetahui siapa sebenarnya yang akan kurang beruntung kali ini.

Atau ambil contoh, tinggi badan manusia. Hal ini bergantung pada banyak kecelakaan yang berkaitan dengan genetika, biokimia, nutrisi dan lingkungan. Oleh karena itu, besar kemungkinan jika dilihat bersama-sama, tinggi badan pria dan wanita dewasa akan membentuk kurva berbentuk lonceng.

Dalam postingan blog berjudul "Kesalahan yang Diceritakan Orang Tentang Diri Mereka Sendiri Secara Online", layanan statistik situs kencan OkCupid baru-baru ini menerbitkan grafik pertumbuhan kliennya, atau lebih tepatnya nilai yang mereka laporkan sendiri. Ditemukan bahwa tingkat pertumbuhan kedua jenis kelamin, seperti yang diharapkan, membentuk kurva berbentuk lonceng. Namun yang mengejutkan adalah kedua distribusi tersebut bergeser sekitar dua inci ke kanan dari nilai yang diharapkan.

Strogatz S. Kesenangan dari H. - M.: Mann, Ivanov dan Ferber, 2014.

Jadi, pelanggan yang disurvei oleh OkCupid lebih tinggi dari rata-rata atau mereka menambah tinggi badan mereka beberapa inci saat mendeskripsikan diri mereka secara online.

Versi ideal dari kurva lonceng seperti itu adalah apa yang oleh ahli matematika disebut sebagai distribusi normal. Ini adalah salah satu konsep terpenting dalam statistik, yang memiliki landasan teori. Dapat dibuktikan bahwa distribusi normal terjadi jika sejumlah besar faktor acak kecil dijumlahkan, yang masing-masing bertindak secara independen satu sama lain. Dan banyak peristiwa terjadi dengan cara ini.

Tapi tidak semua. Dan inilah poin kedua yang ingin saya perhatikan. Distribusi normal tidak tersebar luas seperti yang terlihat. Selama ratusan tahun, dan khususnya dalam beberapa dekade terakhir, para ilmuwan dan ahli statistik telah mencatat adanya banyak fenomena yang menyimpang dari kurva ini dan mengikuti jadwalnya sendiri. Sangat mengherankan bahwa jenis distribusi seperti itu praktis tidak disebutkan dalam buku teks statistik dasar, dan jika ditemukan, biasanya dianggap sebagai semacam patologi.

Ini aneh. Saya akan mencoba menjelaskan bahwa banyak fenomena kehidupan modern menjadi lebih bermakna jika distribusi “patologis” ini dipahami. Ini adalah keadaan normal yang baru. Ambil contoh, distribusi ukuran kota di Amerika Serikat. Daripada mengelompok di sekitar kurva lonceng rata-rata, sebagian besar kota berukuran kecil sehingga mengelompok di sisi kiri grafik.

Strogatz S. Kesenangan dari H. - M.: Mann, Ivanov dan Ferber, 2014.

Dan semakin besar jumlah penduduk suatu kota, semakin jarang ditemukan kota-kota tersebut. Dengan kata lain, secara agregat distribusinya akan lebih berbentuk kurva L dibandingkan kurva berbentuk lonceng.

Dan ini tidak mengherankan. Semua orang tahu bahwa jumlah kota besar jauh lebih sedikit dibandingkan kota kecil. Meskipun tidak begitu jelas, ukuran kota mengikuti distribusi sederhana yang bagus - jika Anda melihatnya dalam skala logaritmik.

Kita asumsikan bahwa perbedaan antara dua kota adalah sama jika populasinya berbeda dengan jumlah yang sama (sama seperti dua tuts piano yang dipisahkan oleh satu oktaf selalu berbeda frekuensinya setengahnya). Dan mari kita lakukan hal yang sama pada sumbu vertikal.

Strogatz S. Kesenangan dari H. - M.: Mann, Ivanov dan Ferber, 2014.

Data sekarang terletak pada kurva yang merupakan garis lurus hampir sempurna. Berdasarkan sifat-sifat logaritma, mudah untuk menyimpulkan bahwa kurva asli berbentuk L merupakan ketergantungan hukum pangkat, yang digambarkan dengan fungsi berbentuk

dimana x adalah jumlah penduduk kota, y adalah jumlah kota sebesar ini, c adalah konstanta, dan eksponen a (eksponen hukum pangkat) menentukan kemiringan negatif garis lurus.

Distribusi tenaga listrik memiliki beberapa sifat yang tidak logis dari sudut pandang statistik tradisional. Misalnya, tidak seperti distribusi normal, mode, median, dan meannya tidak bertepatan karena bentuk kurva berbentuk L yang miring dan asimetris.

Presiden Bush mendapat manfaat besar dari hal ini, dengan mengatakan pada tahun 2003 bahwa pemotongan pajak menghemat rata-rata $1.586 bagi setiap keluarga. Meskipun secara matematis hal ini benar, ia memanfaatkan pemotongan rata-rata, yang menyembunyikan pemotongan besar-besaran sebesar ratusan ribu dolar yang diterima oleh 0,1% penduduk terkaya di negara tersebut. Diketahui bahwa ekor di sisi kanan distribusi pendapatan mengikuti hukum pangkat, dan dalam situasi seperti ini, penggunaan rata-rata adalah hal yang menyesatkan karena jauh dari nilai sebenarnya. Kenyataannya, sebagian besar keluarga menerima kembali kurang dari $650. Dalam distribusi ini, median jauh lebih kecil dibandingkan mean.

Contoh ini menunjukkan sifat penting dari distribusi hukum kekuasaan: mereka memiliki ekor yang berat dibandingkan dengan setidaknya ekor cair kecil dari distribusi normal. Ekor besar seperti ini, meskipun jarang, lebih umum terjadi pada distribusi data dibandingkan kurva berbentuk lonceng biasa.

Pada Black Monday, 19 Oktober 1987, Dow Jones Industrial Average turun 22%. Dibandingkan dengan tingkat volatilitas pasar saham pada umumnya, penurunan ini lebih dari dua puluh standar deviasi. Menurut statistik tradisional (yang menggunakan distribusi normal), peristiwa seperti itu hampir tidak mungkin terjadi: kemungkinannya kurang dari satu dalam 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 (10 pangkat 50). Namun hal ini terjadi karena fluktuasi harga di pasar saham tidak mengikuti distribusi normal.

Distribusi berekor berat lebih cocok untuk mendeskripsikannya. Hal ini terjadi ketika terjadi gempa bumi, kebakaran dan banjir, sehingga menyulitkan perusahaan asuransi untuk mengelola risiko.

Model matematika yang sama menggambarkan jumlah korban tewas akibat perang dan serangan teroris, serta hal-hal lain yang lebih bersifat damai, seperti jumlah kata dalam sebuah novel atau jumlah pasangan seksual yang dimiliki seseorang.

Meskipun kata sifat yang digunakan untuk mendeskripsikan ekor panjang tidak menggambarkannya dengan baik, distribusi berekor memakai ekornya dengan bangga. Gemuk, berat dan panjang? Ya itu. Namun dalam kasus ini, tunjukkan mana yang normal?

Kegembiraan dari X

Tur Matematika Terpandu, dari Satu hingga Tak Terhingga

Diterbitkan dengan izin dari Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Seluruh hak cipta. Tidak ada bagian dari versi elektronik buku ini yang boleh direproduksi dalam bentuk apa pun atau dengan cara apa pun, termasuk diposting di Internet atau jaringan perusahaan, untuk penggunaan pribadi atau umum tanpa izin tertulis dari pemilik hak cipta.

Dukungan hukum untuk penerbit disediakan oleh firma hukum Vegas-Lex.

* * *

Buku ini dilengkapi dengan baik oleh:

Kuanta

Scott Patterson

Jenius

Ken Jennings

Bola Uang

Michael Lewis

Kesadaran yang fleksibel

Carol Dweck

Fisika pasar saham

James Weatherall

Kata pengantar

Untuk memperjelas apa yang saya maksud dengan kehidupan angka dan perilakunya yang tidak dapat kita kendalikan, mari kita kembali ke Furry Paws Hotel. Misalkan Humphrey baru saja hendak menyerahkan pesanannya, namun kemudian penguin dari ruangan lain tiba-tiba memanggilnya dan juga meminta jumlah ikan yang sama. Berapa kali Humphrey harus meneriakkan kata "ikan" setelah menerima dua pesanan? Jika dia tidak belajar apa pun tentang angka, dia harus berteriak sebanyak penguin di kedua ruangan. Atau, dengan menggunakan angka, dia dapat menjelaskan kepada juru masak bahwa dia memerlukan enam ikan untuk satu angka dan enam untuk angka lainnya. Namun yang sebenarnya dia butuhkan adalah konsep baru: penjumlahan. Begitu dia menguasainya, dia dengan bangga akan mengatakan bahwa dia membutuhkan enam ditambah enam (atau, jika dia sulit, dua belas) ikan.

Ini adalah proses kreatif yang sama seperti ketika kita pertama kali menemukan angka. Sama seperti angka yang membuat penghitungan lebih mudah daripada membuat daftar satu per satu, penjumlahan juga memudahkan penghitungan jumlah berapa pun. Pada saat yang sama, orang yang melakukan perhitungan berkembang sebagai ahli matematika. Secara ilmiah, gagasan ini dapat dirumuskan sebagai berikut: penggunaan abstraksi yang tepat akan membawa pada wawasan yang lebih mendalam mengenai hakikat permasalahan dan kekuatan yang lebih besar dalam menyelesaikannya.

Mungkin tak lama lagi, bahkan Humphrey akan menyadari bahwa sekarang dia selalu bisa menghitung.

Namun, meskipun perspektifnya tidak ada habisnya, kreativitas kita selalu memiliki beberapa keterbatasan. Kita dapat memutuskan apa yang dimaksud dengan 6 dan +, namun begitu kita melakukannya, hasil ekspresi seperti 6 + 6 berada di luar kendali kita. Di sini logika tidak akan membuat kita punya pilihan. Dalam pengertian ini, matematika selalu mencakup penemuan, jadi dan pembukaan: kita menciptakan konsep, tapi membuka konsekuensinya. Seperti yang akan dijelaskan pada bab-bab berikut ini, dalam matematika kebebasan kita terletak pada kemampuan mengajukan pertanyaan dan tekun mencari jawaban tanpa harus menciptakannya sendiri.

2. Aritmatika batu

Seperti fenomena apa pun dalam hidup, aritmatika memiliki dua sisi: formal dan menghibur (atau menyenangkan).

Kami mempelajari bagian formal di sekolah. Di sana mereka menjelaskan kepada kami cara bekerja dengan kolom angka, menambah dan menguranginya, cara mengolahnya saat melakukan perhitungan di spreadsheet saat mengisi pengembalian pajak dan menyiapkan laporan tahunan. Sisi aritmatika ini tampaknya penting bagi banyak orang dari sudut pandang praktis, tetapi sama sekali tidak menyenangkan.

Anda dapat mengenal sisi hiburan aritmatika hanya dalam proses mempelajari matematika tingkat tinggi {3}. Namun, hal itu wajar seperti rasa ingin tahu seorang anak {4}.

Dalam esai “The Mathematician’s Lament,” Paul Lockhart menyarankan untuk mempelajari angka-angka dalam contoh yang lebih konkret dari biasanya: dia meminta kita untuk menganggapnya sebagai sejumlah batu. Misalnya, angka 6 berhubungan dengan kumpulan kerikil berikut:

Anda tidak akan melihat sesuatu yang aneh di sini. Memang begitu adanya. Sampai kita mulai memanipulasi angka-angkanya, angka-angka tersebut terlihat hampir sama. Permainan dimulai saat kita menerima tugas.

Sebagai contoh, mari kita lihat kumpulan yang berisi 1 hingga 10 batu dan mencoba membuat kotak darinya. Hal ini hanya dapat dilakukan dengan dua set batu yang terdiri dari 4 dan 9, karena 4 = 2 × 2 dan 9 = 3 × 3. Angka-angka ini kita peroleh dengan mengkuadratkan angka lain (yaitu menyusun batu-batu dalam persegi).

Berikut ini soal yang memiliki jumlah penyelesaian lebih banyak: Anda perlu mencari himpunan mana yang akan membentuk persegi panjang jika Anda menyusun batu-batu dalam dua baris dengan jumlah elemen yang sama. Set 2, 4, 6, 8 atau 10 batu cocok di sini; jumlahnya harus genap. Jika kita mencoba menyusun sisa set dengan jumlah batu ganjil dalam dua baris, kita akan selalu mendapatkan batu tambahan.

Namun tidak semuanya hilang karena angka-angka aneh ini! Jika kita mengambil dua himpunan seperti itu, maka unsur-unsur tambahannya akan berpasangan, dan jumlahnya akan genap: bilangan ganjil + bilangan ganjil = bilangan genap.

Jika kita memperluas aturan ini ke bilangan setelah 10, dan berasumsi bahwa jumlah baris dalam persegi panjang bisa lebih dari dua, maka beberapa bilangan ganjil akan memungkinkan penambahan persegi panjang tersebut. Misalnya angka 15 dapat membentuk persegi panjang berukuran 3×5.

Oleh karena itu, meskipun 15 tidak diragukan lagi merupakan bilangan ganjil, namun merupakan bilangan komposit dan dapat direpresentasikan sebagai tiga baris yang masing-masing terdiri dari lima batu. Demikian pula, setiap entri dalam tabel perkalian menghasilkan kelompok kerikil persegi panjangnya sendiri.

Namun beberapa angka, seperti 2, 3, 5 dan 7, sama sekali tidak ada harapan. Anda tidak dapat menyusun apa pun darinya kecuali menyusunnya dalam bentuk garis sederhana (satu baris). Orang-orang keras kepala yang aneh ini adalah bilangan prima yang terkenal.

Jadi kita melihat bahwa angka dapat memiliki struktur aneh yang memberikan karakter tertentu. Namun untuk memahami keseluruhan perilaku mereka, Anda perlu mundur dari angka-angka individual dan mengamati apa yang terjadi selama interaksi mereka.

Misalnya, daripada menjumlahkan dua bilangan ganjil saja, mari kita jumlahkan semua kemungkinan barisan bilangan ganjil, dimulai dengan 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Anehnya, jumlah ini selalu berupa kuadrat sempurna. (Kita telah mengatakan bahwa 4 dan 9 dapat direpresentasikan sebagai kuadrat, dan untuk 16 = 4 × 4 dan 25 = 5 × 5 hal ini juga benar.) Perhitungan cepat menunjukkan bahwa aturan ini juga berlaku untuk bilangan ganjil yang lebih besar dan, tampaknya , cenderung tak terhingga. Tapi apa hubungan antara bilangan ganjil dengan batu “ekstra” dan bilangan simetris klasik yang membentuk persegi? Dengan menempatkan kerikil dengan benar, kita dapat memperjelasnya, yang merupakan ciri dari pembuktian yang elegan. {5}

Kuncinya adalah pengamatan bahwa bilangan ganjil dapat direpresentasikan sebagai sudut sama sisi, yang tumpang tindih berturut-turut membentuk persegi!

Cara berpikir serupa disajikan dalam buku lain yang baru diterbitkan. Novel menawan karya Yoko Ogawa, The Housekeeper and the Professor, menceritakan kisah seorang wanita muda yang cerdas namun tidak berpendidikan dan putranya yang berusia sepuluh tahun. Seorang wanita dipekerjakan untuk merawat seorang ahli matematika lanjut usia yang ingatan jangka pendeknya, karena cedera otak traumatis, hanya menyimpan informasi tentang 80 menit terakhir hidupnya. Tersesat di masa sekarang, sendirian di pondoknya yang kumuh, hanya dengan angka-angka, sang profesor mencoba berkomunikasi dengan pengurus rumah tangga satu-satunya cara yang dia tahu: dengan menanyakan ukuran sepatu atau tanggal lahirnya dan berbasa-basi dengannya tentang pengeluarannya. Profesor tersebut juga sangat menyukai putra pengurus rumah tangga, yang ia panggil Ruth (Root) karena anak laki-laki tersebut memiliki kepala datar di atasnya, dan ini mengingatkannya pada notasi matematika untuk akar kuadrat √.

Suatu hari, profesor memberi anak itu tugas sederhana - untuk menemukan jumlah semua angka dari 1 sampai 10. Setelah Ruth dengan hati-hati menjumlahkan semua angka dan kembali dengan jawabannya (55), profesor memintanya untuk mencari cara yang lebih mudah. Akankah dia dapat menemukan jawabannya? tanpa penjumlahan angka biasa? Ruth menendang kursi dan berteriak, “Ini tidak adil!”

Sedikit demi sedikit, pengurus rumah tangga juga tertarik ke dunia angka dan diam-diam mencoba menyelesaikan masalah ini sendiri. “Saya tidak mengerti mengapa saya begitu tertarik pada teka-teki anak-anak yang tidak ada gunanya secara praktis,” katanya. “Awalnya saya ingin menyenangkan profesor, namun lambat laun pelajaran ini berubah menjadi pertarungan antara saya dan angka. Ketika saya bangun di pagi hari, persamaan sudah menunggu saya:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

Buku ini dilengkapi dengan baik oleh:

Kuanta

Scott Patterson

Jenius

Ken Jennings

Bola Uang

Michael Lewis

Kesadaran yang fleksibel

Carol Dweck

Fisika pasar saham

James Weatherall

Kegembiraan dari X

Tur Matematika Terpandu, dari Satu hingga Tak Terhingga

Stephen Strogatz

Kenikmatan X

Sebuah perjalanan menakjubkan menuju dunia matematika dari salah satu guru terbaik di dunia

Informasi dari penerbit

Diterbitkan dalam bahasa Rusia untuk pertama kalinya

Diterbitkan dengan izin dari Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

Kenikmatan X. Sebuah perjalanan menakjubkan menuju dunia matematika dari salah satu guru terbaik di dunia / Stephen Strogatz; jalur dari bahasa Inggris - M.: Mann, Ivanov dan Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Seluruh hak cipta.

Tidak ada bagian dari buku ini yang boleh direproduksi dalam bentuk apa pun tanpa izin tertulis dari pemegang hak cipta.

Dukungan hukum untuk penerbit disediakan oleh firma hukum Vegas-Lex.

Kata pengantar

Untuk kenyamanan pembaca yang lebih menyukai pendekatan langkah demi langkah, saya telah membagi materi menjadi enam bagian sesuai dengan urutan topik pembelajaran tradisional.

Portal untuk anak sekolah. Persiapan diri

* * *

Buku ini dilengkapi dengan baik oleh:

Kata pengantar

2. Aritmatika batu

ARTIKEL TERKAIT