Biarkan probabilitas mereka dan probabilitas bersyarat yang sesuai diketahui. Maka peluang terjadinya peristiwa tersebut adalah:
Rumus ini disebut rumus probabilitas total. Dalam buku teks, itu dirumuskan oleh sebuah teorema, yang pembuktiannya sederhana: menurut aljabar peristiwa, (kejadian terjadi dan atau sebuah peristiwa terjadi dan setelah itu datanglah acara tersebut atau sebuah peristiwa terjadi dan setelah itu datanglah acara tersebut atau …. atau sebuah peristiwa terjadi dan acara diikuti). Sejak hipotesis 
tidak kompatibel, dan acara tergantung, maka menurut tambahan teorema untuk probabilitas peristiwa yang tidak kompatibel (Langkah pertama) dan teorema perkalian probabilitas peristiwa yang bergantung (tahap kedua):
Mungkin banyak yang mengantisipasi isi dari contoh pertama =)
Di mana pun Anda meludah - di mana pun guci:
Tugas 1
Ada tiga guci yang identik. Guci pertama berisi 4 bola putih dan 7 bola hitam, guci kedua hanya berisi bola putih, dan guci ketiga hanya berisi bola hitam. Satu guci dipilih secara acak dan sebuah bola diambil darinya secara acak. Berapa peluang bahwa bola ini berwarna hitam?
Larutan: pertimbangkan acara - bola hitam akan diambil dari guci yang dipilih secara acak. Peristiwa ini dapat terjadi sebagai akibat penerapan salah satu hipotesis berikut:
– guci pertama akan dipilih;
– guci ke-2 akan dipilih;
– guci ke-3 akan dipilih.
Karena guci dipilih secara acak, pilihan salah satu dari tiga guci sama mungkin, Akibatnya: 
Perhatikan bahwa hipotesis di atas terbentuk rangkaian acara lengkap, yaitu sesuai dengan kondisinya, bola hitam hanya dapat muncul dari guci tersebut, dan, misalnya, tidak terbang dari meja biliar. Mari kita lakukan pemeriksaan perantara sederhana: 
Oke, mari kita lanjutkan:
Guci pertama berisi 4 putih + 7 hitam = masing-masing 11 bola definisi klasik:
adalah peluang terambil bola hitam dengan persyaratan bahwa guci pertama akan dipilih.
Guci kedua hanya berisi bola putih, jadi jika dipilih munculnya bola hitam menjadi mustahil: .
Dan terakhir di guci ketiga hanya ada bola hitam yang artinya sesuai probabilitas bersyarat ekstraksi bola hitam akan (acara pasti).
adalah probabilitas bahwa bola hitam akan diambil dari guci yang dipilih secara acak.
Menjawab:
Contoh yang dianalisis kembali menunjukkan betapa pentingnya MEMAHAMI KONDISI. Mari kita ambil masalah yang sama dengan guci dan bola - dengan kemiripan eksternalnya, metode penyelesaiannya bisa sangat berbeda: di suatu tempat hanya perlu diterapkan definisi klasik probabilitas, di suatu tempat peristiwa mandiri, di suatu tempat bergantung, dan di suatu tempat kita berbicara tentang hipotesis. Pada saat yang sama, tidak ada kriteria formal yang jelas untuk memilih jalur solusi - Anda hampir selalu perlu memikirkannya. Bagaimana cara meningkatkan keterampilan Anda? Kami memecahkan, kami memecahkan dan kami memecahkan lagi!
Tugas 2
Ada 5 senapan berbeda dalam jarak tembak. Probabilitas mencapai target untuk penembak tertentu masing-masing sama dengan 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 dan 0,4. Berapa peluang mengenai sasaran jika penembak menembakkan satu tembakan dari senapan yang dipilih secara acak?
Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran.
Dalam sebagian besar masalah tematik, hipotesisnya, tentu saja, kemungkinannya tidak sama:
Tugas 3
Ada 5 senapan di dalam piramida, tiga di antaranya dilengkapi dengan penglihatan optik. Probabilitas penembak mengenai target saat ditembakkan dari senapan dengan penglihatan teleskopik adalah 0,95; untuk senapan tanpa penglihatan teleskopik, probabilitasnya adalah 0,7. Temukan probabilitas target akan terkena jika penembak menembakkan satu tembakan dari senapan yang diambil secara acak.
Larutan: dalam soal ini, jumlah senapan persis sama dengan yang sebelumnya, tetapi hanya ada dua hipotesis:
- penembak akan memilih senapan dengan penglihatan optik;
- penembak akan memilih senapan tanpa teleskop.
Oleh definisi klasik probabilitas: 
.
Kontrol:
Pertimbangkan acaranya: - penembak mengenai target dengan senapan yang dipilih secara acak.
Dengan syarat: .
Menurut rumus probabilitas total:
Menjawab: 0,85
Dalam praktiknya, cara singkat untuk mendesain tugas, yang juga Anda kenal, cukup dapat diterima:
Larutan: menurut definisi klasik: 
adalah probabilitas masing-masing memilih senapan dengan dan tanpa penglihatan optik.
Dengan syarat, 
– kemungkinan mengenai target dengan masing-masing jenis senapan.
Menurut rumus probabilitas total:
adalah probabilitas bahwa penembak akan mengenai sasaran dengan senapan yang dipilih secara acak.
Menjawab: 0,85
Tugas berikut untuk solusi independen:
Tugas 4
Mesin beroperasi dalam tiga mode: normal, paksa, dan diam. Dalam mode siaga, kemungkinan kegagalannya adalah 0,05, dalam mode normal - 0,1, dan dalam mode paksa - 0,7. 70% dari waktu mesin bekerja dalam mode normal, dan 20% dalam mode paksa. Berapa probabilitas kegagalan mesin selama operasi?
Untuk berjaga-jaga, izinkan saya mengingatkan Anda - untuk mendapatkan probabilitas, persentasenya harus dibagi 100. Berhati-hatilah! Menurut pengamatan saya, syarat-syarat soal untuk rumus probabilitas total sering dicoba dibingungkan; dan saya secara khusus memilih contoh seperti itu. Saya akan memberi tahu Anda sebuah rahasia - saya sendiri hampir bingung =)
Solusi di akhir pelajaran (dirumuskan secara singkat)
Masalah untuk formula Bayes
Materinya berkaitan erat dengan isi paragraf sebelumnya. Biarkan peristiwa terjadi sebagai akibat dari penerapan salah satu hipotesis 
. Bagaimana cara menentukan probabilitas bahwa hipotesis tertentu terjadi?
Dengan persyaratan acara itu sudah terjadi, probabilitas hipotesis berlebihan menurut rumus yang diberi nama pendeta Inggris Thomas Bayes:
- kemungkinan bahwa hipotesis itu terjadi; 
- kemungkinan bahwa hipotesis itu terjadi;
…
adalah probabilitas bahwa hipotesis itu benar.
Sekilas, ini tampak seperti absurditas total - mengapa menghitung ulang probabilitas hipotesis, jika sudah diketahui? Namun sebenarnya ada perbedaan:
- ini apriori(diperkirakan sebelum tes) probabilitas.
- ini a posteriori(diperkirakan setelah tes) probabilitas dari hipotesis yang sama, dihitung ulang sehubungan dengan "keadaan yang baru ditemukan" - dengan mempertimbangkan fakta bahwa peristiwa tersebut telah terjadi.
Mari kita lihat perbedaan ini dengan contoh spesifik:
Tugas 5
Gudang menerima 2 batch produk: yang pertama - 4000 buah, yang kedua - 6000 buah. Persentase rata-rata produk non-standar pada batch pertama adalah 20%, dan pada batch kedua - 10%. Diambil secara acak dari gudang, ternyata produknya standar. Temukan probabilitasnya: a) dari batch pertama, b) dari batch kedua.
Bagian pertama solusi terdiri dari penggunaan rumus probabilitas total. Dengan kata lain, perhitungan dilakukan dengan asumsi pengujian belum diproduksi dan acara "produknya ternyata standar" sampai datang.
Mari pertimbangkan dua hipotesis:
- produk yang diambil secara acak akan berasal dari batch pertama;
- produk yang diambil secara acak akan berasal dari batch ke 2.
Total: 4000 + 6000 = 10.000 item dalam stok. Menurut definisi klasik:
.
Kontrol:
Pertimbangkan kejadian dependen: – item diambil secara acak dari gudang akan standar.
Pada batch pertama 100% - 20% = 80% produk standar, oleh karena itu: 
dengan persyaratan bahwa itu milik pihak pertama.
Begitu pula pada batch kedua 100% - 10% = 90% produk standar dan 
adalah probabilitas bahwa item yang dipilih secara acak di gudang akan menjadi item standar dengan persyaratan bahwa itu milik pihak ke-2.
Menurut rumus probabilitas total:
adalah probabilitas bahwa produk yang dipilih secara acak dari gudang akan menjadi produk standar.
Bagian kedua. Misalkan produk yang diambil secara acak dari gudang ternyata standar. Frasa ini secara langsung dijabarkan dalam kondisi, dan menyatakan fakta bahwa peristiwa tersebut telah terjadi.
Menurut rumus Bayes:
a) - probabilitas bahwa produk standar yang dipilih termasuk dalam batch pertama;
b) - probabilitas bahwa produk standar yang dipilih milik batch ke-2.
Setelah revaluasi hipotesis, tentu saja, masih terbentuk kelompok penuh:
(penyelidikan;-))
Menjawab: 
Ivan Vasilyevich, yang mengubah profesinya lagi dan menjadi direktur pabrik, akan membantu kita memahami arti penilaian ulang hipotesis. Dia tahu bahwa hari ini toko pertama mengirimkan 4000 item ke gudang, dan toko kedua - 6000 produk, dan dia datang untuk memastikannya. Misalkan semua produk memiliki jenis yang sama dan berada dalam wadah yang sama. Secara alami, Ivan Vasilyevich sebelumnya menghitung bahwa produk yang sekarang akan dia keluarkan untuk verifikasi kemungkinan besar akan diproduksi oleh bengkel pertama dan kemungkinan besar oleh bengkel kedua. Tapi setelah item yang dipilih ternyata standar, dia berseru: “Baut keren! - itu agak dirilis oleh bengkel ke-2. Dengan demikian, probabilitas hipotesis kedua ditaksir terlalu tinggi menjadi lebih baik , dan probabilitas hipotesis pertama diremehkan: . Dan perkiraan yang terlalu tinggi ini bukannya tidak masuk akal - lagipula, bengkel ke-2 tidak hanya menghasilkan lebih banyak produk, tetapi juga berfungsi 2 kali lebih baik!
Anda berkata, subjektivisme murni? Sebagian - ya, terlebih lagi, Bayes sendiri yang menafsirkan a posteriori probabilitas sebagai tingkat kepercayaan. Namun, tidak semuanya sesederhana itu - ada butir objektif dalam pendekatan Bayesian. Bagaimanapun, kemungkinan bahwa produk tersebut akan menjadi standar (masing-masing 0,8 dan 0,9 untuk toko pertama dan kedua) ini pendahuluan(apriori) dan sedang perkiraan. Tapi, secara filosofis, semuanya mengalir, semuanya berubah, termasuk probabilitas. Sangat mungkin bahwa pada saat penelitian toko ke-2 yang lebih sukses meningkatkan persentase produk standar (dan/atau toko pertama berkurang), dan jika Anda memeriksa lebih banyak atau semua 10 ribu item dalam stok, maka nilai yang terlalu tinggi akan lebih mendekati kebenaran.
Ngomong-ngomong, jika Ivan Vasilyevich mengekstraksi bagian non-standar, maka sebaliknya - dia akan semakin "mencurigai" toko pertama - toko kedua. Saya sarankan Anda memeriksanya sendiri:
Tugas 6
Gudang menerima 2 batch produk: yang pertama - 4000 buah, yang kedua - 6000 buah. Persentase rata-rata produk non-standar pada batch pertama adalah 20%, pada batch kedua - 10%. Produk yang diambil secara acak dari gudang ternyata bukan standar. Temukan probabilitasnya: a) dari batch pertama, b) dari batch kedua.
Syaratnya akan dibedakan dengan dua huruf yang saya bold. Masalahnya bisa diselesaikan dari awal, atau Anda bisa menggunakan hasil perhitungan sebelumnya. Dalam sampel, saya melakukan solusi lengkap, tetapi untuk menghindari overlay formal dengan Tugas No. 5, acara tersebut “Produk yang diambil secara acak dari gudang akan menjadi tidak standar” ditandai dengan .
Skema evaluasi ulang probabilitas Bayesian ditemukan di mana-mana, dan juga dieksploitasi secara aktif oleh berbagai jenis penipu. Pertimbangkan perusahaan saham gabungan tiga huruf yang telah menjadi nama rumah tangga, yang menarik simpanan dari penduduk, diduga menginvestasikannya di suatu tempat, secara teratur membayar dividen, dll. Apa yang terjadi? Hari demi hari, bulan demi bulan berlalu, dan semakin banyak fakta baru, yang disampaikan melalui iklan dan dari mulut ke mulut, hanya menambah tingkat kepercayaan terhadap piramida keuangan. (evaluasi ulang Bayesian posterior karena peristiwa masa lalu!). Artinya, di mata deposan, ada peningkatan konstan dalam kemungkinan itu "Ini adalah kantor yang serius"; sedangkan probabilitas hipotesis sebaliknya (“ini adalah penipu biasa”), tentu saja, berkurang dan berkurang. Selebihnya, menurut saya, sudah jelas. Patut dicatat bahwa reputasi yang diperoleh memberi waktu kepada penyelenggara untuk berhasil bersembunyi dari Ivan Vasilyevich, yang tidak hanya dibiarkan tanpa baut, tetapi juga tanpa celana.
Kami akan kembali ke contoh yang tidak kalah menariknya nanti, tetapi untuk saat ini, mungkin kasus paling umum dengan tiga hipotesis ada di baris berikutnya:
Tugas 7
Lampu listrik diproduksi di tiga pabrik. Pabrik pertama menghasilkan 30% dari total jumlah lampu, yang kedua - 55%, dan yang ketiga - sisanya. Produk dari pabrik pertama mengandung 1% lampu yang rusak, yang ke-2 - 1,5%, yang ke-3 - 2%. Toko menerima produk dari ketiga pabrik. Lampu yang saya beli rusak. Berapa peluang dihasilkan oleh tanaman 2?
Perhatikan bahwa dalam soal pada rumus Bayes dalam kondisi perlu beberapa apa yang telah terjadi suatu kejadian, dalam hal ini adalah pembelian lampu.
Acara telah meningkat dan larutan lebih nyaman mengatur dengan gaya "cepat".
Algoritmanya persis sama: pada langkah pertama, kami menemukan probabilitas bahwa lampu yang dibeli akan cocok akan cacat.
Menggunakan data awal, kami menerjemahkan persentase menjadi probabilitas:
adalah probabilitas bahwa lampu diproduksi oleh pabrik ke-1, ke-2 dan ke-3.
Kontrol:
Demikian pula: - probabilitas pembuatan lampu yang rusak untuk masing-masing pabrik.
Menurut rumus probabilitas total:
- kemungkinan lampu yang dibeli akan rusak.
Langkah kedua. Biarkan lampu yang dibeli rusak (peristiwa itu terjadi)
Menurut rumus Bayes: 
- kemungkinan lampu rusak yang dibeli diproduksi oleh pabrik kedua
Menjawab:
Mengapa probabilitas awal hipotesis ke-2 meningkat setelah penilaian ulang? Lagi pula, pabrik kedua menghasilkan lampu dengan kualitas rata-rata (yang pertama lebih baik, yang ketiga lebih buruk). Jadi mengapa itu meningkat a posteriori peluang lampu yang rusak berasal dari pabrik ke-2? Ini bukan lagi karena "reputasi", tetapi karena ukurannya. Karena pabrik No. 2 menghasilkan jumlah lampu terbesar, mereka menyalahkannya (setidaknya secara subyektif): “kemungkinan besar, lampu yang rusak ini berasal dari sana”.
Sangat menarik untuk dicatat bahwa probabilitas hipotesis 1 dan 3 ditaksir terlalu tinggi ke arah yang diharapkan dan menjadi sama:
Kontrol: 
, yang akan diverifikasi.
Omong-omong, tentang diremehkan dan dilebih-lebihkan:
Tugas 8
Pada kelompok siswa, 3 orang memiliki tingkat latihan tinggi, 19 orang memiliki tingkat sedang dan 3 orang memiliki tingkat rendah. Probabilitas lulus ujian dengan sukses untuk siswa ini masing-masing adalah: 0,95; 0,7 dan 0,4. Diketahui bahwa beberapa siswa lulus ujian. Berapa probabilitas bahwa:
a) dia sangat siap;
b) cukup siap;
c) kurang siap.
Melakukan perhitungan dan menganalisis hasil reevaluasi hipotesis.
Tugas tersebut mendekati kenyataan dan sangat masuk akal untuk sekelompok siswa paruh waktu, di mana guru secara praktis tidak mengetahui kemampuan siswa ini atau itu. Dalam hal ini, hasilnya dapat menyebabkan konsekuensi yang agak tidak terduga. (khusus untuk ujian di semester 1). Jika siswa yang kurang persiapan cukup beruntung untuk mendapatkan tiket, maka guru kemungkinan besar akan menganggapnya sebagai siswa yang baik atau bahkan siswa yang kuat, yang akan membawa dividen yang baik di masa depan. (tentu saja, Anda perlu "menaikkan standar" dan mempertahankan citra Anda). Jika seorang siswa belajar, dijejalkan, diulang selama 7 hari dan 7 malam, tetapi dia hanya kurang beruntung, maka kejadian lebih lanjut dapat berkembang dengan cara yang paling buruk - dengan banyak pengulangan dan keseimbangan di ambang keberangkatan.
Tak perlu dikatakan, reputasi adalah modal terpenting, bukan kebetulan bahwa banyak perusahaan menyandang nama dan nama belakang bapak pendiri mereka, yang memimpin bisnis 100-200 tahun yang lalu dan menjadi terkenal karena reputasinya yang sempurna.
Ya, pendekatan Bayesian bersifat subyektif sampai batas tertentu, tapi ... begitulah cara hidup bekerja!
Mari gabungkan materi dengan contoh industri terakhir, di mana saya akan berbicara tentang seluk-beluk teknis dari solusi yang belum ditemukan:
Tugas 9
Tiga bengkel pabrik memproduksi suku cadang dengan tipe yang sama, yang dirakit dalam wadah bersama untuk perakitan. Diketahui bahwa toko pertama menghasilkan suku cadang 2 kali lebih banyak dari toko kedua, dan 4 kali lebih banyak dari toko ketiga. Di bengkel pertama, cacatnya 12%, di bengkel kedua - 8%, di bengkel ketiga - 4%. Untuk kontrol, satu bagian diambil dari wadah. Berapa probabilitas bahwa itu akan rusak? Berapa peluang bagian cacat yang diekstraksi diproduksi oleh bengkel ke-3?
Taki Ivan Vasilyevich menunggang kuda lagi =) Filmnya pasti happy ending =)
Larutan: berbeda dengan Tugas No. 5-8, sebuah pertanyaan secara eksplisit ditanyakan di sini, yang diselesaikan dengan menggunakan rumus probabilitas total. Namun di sisi lain, kondisinya sedikit "terenkripsi", dan keterampilan sekolah untuk menyusun persamaan paling sederhana akan membantu kita memecahkan teka-teki ini. Untuk "x", akan lebih mudah untuk mengambil nilai terkecil:
Biarkan menjadi bagian dari suku cadang yang diproduksi oleh bengkel ketiga.
Sesuai dengan kondisi bengkel pertama menghasilkan 4 kali lebih banyak dari bengkel ketiga, maka bagian bengkel pertama adalah .
Selain itu, bengkel pertama menghasilkan produk 2 kali lebih banyak daripada bengkel kedua, yang berarti bagian bengkel kedua: .
Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
Jadi: - probabilitas bahwa bagian yang dikeluarkan dari wadah dilepaskan masing-masing oleh bengkel ke-1, ke-2 dan ke-3.
Kontrol: . Selain itu, tidak akan berlebihan untuk melihat kembali frasa tersebut “Diketahui bahwa bengkel pertama menghasilkan produk 2 kali lipat dari bengkel kedua dan 4 kali lipat dari bengkel ketiga” dan pastikan probabilitas yang diperoleh benar-benar sesuai dengan kondisi ini.
Untuk "X" pada awalnya dimungkinkan untuk mengambil bagian dari toko ke-1 atau bagian dari toko ke-2 - kemungkinannya akan keluar sama. Namun, dengan satu atau lain cara, bagian yang paling sulit telah dilewati, dan solusinya ada di jalurnya:
Dari kondisi tersebut kita menemukan:
- kemungkinan membuat bagian yang rusak untuk bengkel terkait.
Menurut rumus probabilitas total: 
adalah probabilitas bahwa bagian yang diambil secara acak dari wadah akan menjadi tidak standar.
Pertanyaan kedua: berapa probabilitas bagian cacat yang diekstraksi diproduksi oleh toko ke-3? Pertanyaan ini mengasumsikan bahwa bagian tersebut telah dilepas dan ternyata rusak. Kami mengevaluasi kembali hipotesis menggunakan rumus Bayes: 
adalah probabilitas yang diinginkan. Cukup diharapkan - lagipula, bengkel ketiga tidak hanya menghasilkan bagian terkecil dari suku cadang, tetapi juga memimpin dalam kualitas!
Dalam hal ini, saya harus sederhanakan pecahan bertingkat empat, yang pada soal pada rumus Bayes harus dilakukan cukup sering. Tetapi untuk pelajaran ini, saya entah bagaimana secara tidak sengaja mengambil contoh di mana banyak perhitungan dapat dilakukan tanpa pecahan biasa.
Karena tidak ada poin "a" dan "be" dalam kondisi tersebut, sebaiknya berikan jawaban dengan komentar teks:
Menjawab: 
- kemungkinan bahwa bagian yang dikeluarkan dari wadah akan rusak; - kemungkinan bagian cacat yang diekstraksi dilepaskan oleh bengkel ke-3.
Seperti yang Anda lihat, masalah pada rumus probabilitas total dan rumus Bayes cukup sederhana, dan, mungkin, karena alasan ini mereka sering mencoba memperumit kondisi yang telah saya sebutkan di awal artikel.
Contoh tambahan ada di file dengan solusi siap pakai untuk F.P.V. dan formula Bayes, selain itu, mungkin ada yang ingin lebih mengenal topik ini di sumber lain. Dan topiknya sangat menarik - apa nilainya sendiri paradoks bayes, yang membenarkan nasihat sehari-hari bahwa jika seseorang didiagnosis dengan penyakit langka, maka masuk akal baginya untuk melakukan pemeriksaan independen kedua dan bahkan dua kali. Tampaknya mereka melakukannya semata-mata karena putus asa ... - tapi tidak! Tapi jangan bicara tentang hal-hal yang menyedihkan.
adalah peluang seorang siswa yang dipilih secara acak akan lulus ujian.
Biarkan siswa lulus ujian. Menurut rumus Bayes:
sebuah)
- kemungkinan siswa yang lulus ujian dipersiapkan dengan sangat baik. Probabilitas awal objektif terlalu tinggi, karena hampir selalu beberapa "rata-rata" beruntung dengan pertanyaan dan mereka menjawab dengan sangat kuat, yang memberikan kesan keliru tentang persiapan yang sempurna.b)
adalah probabilitas bahwa siswa yang lulus ujian cukup siap. Probabilitas awal ternyata sedikit dilebih-lebihkan, karena siswa dengan tingkat persiapan rata-rata biasanya adalah mayoritas, selain itu, guru akan memasukkan "siswa luar biasa" yang tidak berhasil dijawab di sini, dan terkadang siswa berprestasi buruk yang sangat beruntung dengan tiket.di)
- kemungkinan siswa yang lulus ujian kurang siap. Probabilitas awal ditaksir terlalu tinggi menjadi lebih buruk. Tidak mengherankan.Penyelidikan:
Menjawab :
Konsekuensi dari kedua teorema utama - teorema penambahan probabilitas dan teorema perkalian probabilitas - disebut rumus probabilitas total.
Biarkan diperlukan untuk menentukan probabilitas beberapa peristiwa yang dapat terjadi bersama dengan salah satu peristiwa:
membentuk kelompok lengkap peristiwa yang tidak kompatibel. Kami akan menyebut peristiwa ini sebagai hipotesis.
Mari kita buktikan dalam kasus ini
, (3.4.1)
itu. probabilitas suatu peristiwa dihitung sebagai jumlah produk probabilitas setiap hipotesis dan probabilitas peristiwa di bawah hipotesis ini.
Rumus (3.4.1) disebut rumus probabilitas total.
Bukti. Karena hipotesis membentuk grup yang lengkap, kejadian tersebut hanya dapat muncul dalam kombinasi dengan salah satu dari hipotesis berikut:
Karena hipotesis tidak konsisten, kombinasi 
juga tidak kompatibel; menerapkan teorema penjumlahan pada mereka, kita mendapatkan:
Menerapkan teorema perkalian ke acara, kita mendapatkan:
,
Q.E.D.
Contoh 1. Ada tiga guci yang tampak identik; guci pertama berisi dua bola putih dan satu bola hitam; yang kedua - tiga putih dan satu hitam; di yang ketiga - dua bola putih dan dua bola hitam. Seseorang memilih salah satu guci secara acak dan mengambil bola darinya. Temukan probabilitas bahwa bola ini berwarna putih.
Larutan. Mari pertimbangkan tiga hipotesis:
Pilihan guci pertama,
Pilihan guci kedua,
Pilihan guci ketiga
dan peristiwanya adalah munculnya bola putih.
Karena hipotesis, menurut kondisi masalah, sama-sama mungkin, maka
.
Probabilitas bersyarat dari peristiwa di bawah hipotesis ini masing-masing sama:
Menurut rumus probabilitas total
.
Contoh 2. Tiga tembakan tunggal ditembakkan ke pesawat terbang. Probabilitas memukul dengan tembakan pertama adalah 0,4, dengan yang kedua - 0,5, dengan yang ketiga 0,7. Tiga pukulan jelas cukup untuk melumpuhkan pesawat; dengan satu pukulan, pesawat gagal dengan probabilitas 0,2, dengan dua pukulan, dengan probabilitas 0,6. Temukan probabilitas bahwa sebagai hasil dari tiga tembakan, pesawat akan berhenti bekerja.
Larutan. Mari pertimbangkan empat hipotesis:
Tidak ada satu peluru pun yang menabrak pesawat,
Satu peluru menghantam pesawat
Pesawat itu terkena dua peluru.
Tiga peluru menghantam pesawat.
Dengan menggunakan teorema penjumlahan dan perkalian, kami menemukan probabilitas dari hipotesis ini:
Probabilitas bersyarat dari peristiwa (kegagalan pesawat) di bawah hipotesis ini adalah:
Menerapkan rumus probabilitas total, kita mendapatkan:
Perhatikan bahwa hipotesis pertama tidak dapat dimasukkan ke dalam pertimbangan, karena istilah yang sesuai dalam rumus probabilitas total menghilang. Ini biasanya dilakukan ketika menerapkan rumus probabilitas total, dengan mempertimbangkan bukan kelompok lengkap dari hipotesis yang tidak konsisten, tetapi hanya hipotesis di mana peristiwa tertentu dimungkinkan.
Contoh 3. Pengoperasian mesin dikendalikan oleh dua regulator. Jangka waktu tertentu dipertimbangkan, di mana diinginkan untuk memastikan pengoperasian mesin yang bebas masalah. Jika kedua regulator ada, mesin gagal dengan probabilitas , jika hanya yang pertama yang berfungsi, dengan probabilitas , jika hanya yang kedua yang berfungsi, jika kedua regulator gagal, dengan probabilitas . Regulator pertama memiliki keandalan, yang kedua -. Semua elemen gagal secara independen satu sama lain. Temukan keandalan total (probabilitas operasi bebas kegagalan) dari mesin.
Bentuk acara kelompok penuh, jika setidaknya salah satu dari mereka akan terjadi sebagai hasil percobaan dan tidak konsisten berpasangan.
Mari kita asumsikan acara tersebut SEBUAH hanya dapat terjadi bersama-sama dengan salah satu dari beberapa peristiwa yang tidak kompatibel berpasangan yang membentuk grup lengkap. Sebut saja acaranya saya= 1, 2,…, n) hipotesis pengalaman tambahan (apriori). Probabilitas terjadinya peristiwa A ditentukan oleh rumus probabilitas penuh :
Contoh 16 Ada tiga guci. Guci pertama berisi 5 bola putih dan 3 bola hitam, guci kedua berisi 4 bola putih dan 4 bola hitam, dan guci ketiga berisi 8 bola putih. Salah satu guci dipilih secara acak (ini mungkin berarti, misalnya, pemilihan dilakukan dari guci tambahan yang berisi tiga bola bernomor 1, 2 dan 3). Sebuah bola diambil secara acak dari guci ini. Berapa probabilitas bahwa itu akan menjadi hitam?
Larutan. Peristiwa SEBUAH- bola hitam ditarik. Jika diketahui dari guci mana bola diambil, maka probabilitas yang diperlukan dapat dihitung menurut definisi probabilitas klasik. Mari kita perkenalkan asumsi (hipotesis) tentang guci mana yang dipilih untuk mengekstraksi bola.
Bola dapat ditarik baik dari guci pertama (hipotesis ), atau dari yang kedua (hipotesis ), atau dari yang ketiga (hipotesis ). Karena ada peluang yang sama untuk memilih salah satu guci, maka 
.
Oleh karena itu berikut ini
Contoh 17. Lampu listrik diproduksi di tiga pabrik. Pabrik pertama memproduksi 30% dari total jumlah lampu listrik, yang kedua - 25%,
dan yang ketiga untuk sisanya. Produk dari pabrik pertama mengandung 1% lampu listrik yang rusak, yang kedua - 1,5%, yang ketiga - 2%. Toko menerima produk dari ketiga pabrik. Berapa peluang lampu yang dibeli di toko rusak?
Larutan. Asumsi harus dimasukkan di pabrik mana bola lampu diproduksi. Mengetahui hal ini, kita dapat menemukan kemungkinan bahwa itu rusak. Mari perkenalkan notasi untuk acara: SEBUAH– lampu listrik yang dibeli ternyata rusak, – lampu diproduksi oleh pabrik pertama, – lampu diproduksi oleh pabrik kedua,
– lampu diproduksi oleh pabrik ketiga.
Probabilitas yang diinginkan ditemukan dengan rumus probabilitas total:
rumus Bayes. Membiarkan menjadi kelompok lengkap peristiwa yang tidak kompatibel berpasangan (hipotesis). TETAPI adalah kejadian acak. Kemudian,
Rumus terakhir yang memungkinkan Anda untuk melebih-lebihkan probabilitas hipotesis setelah hasil tes diketahui, sebagai akibatnya peristiwa A muncul, disebut rumus Bayes .
Contoh 18. Rata-rata 50% pasien dengan penyakit ini dirawat di rumah sakit khusus Ke, 30% dengan penyakit L, 20 % –
dengan penyakit M. Probabilitas penyembuhan total penyakit K sama dengan 0,7 untuk penyakit L dan M probabilitas ini masing-masing adalah 0,8 dan 0,9. Pasien yang dirawat di rumah sakit itu dipulangkan dengan sehat. Temukan probabilitas bahwa pasien ini menderita penyakit tersebut K.
Larutan. Kami memperkenalkan hipotesis: - pasien menderita suatu penyakit Ke L, pasien menderita penyakit tersebut M.
Kemudian, dengan kondisi masalah, kami memiliki . Mari kita perkenalkan sebuah acara TETAPI Pasien yang dirawat di rumah sakit itu dipulangkan dengan sehat. Dengan syarat
Menurut rumus probabilitas total, kita mendapatkan:
rumus Bayes.
Contoh 19. Biarkan ada lima bola di dalam guci dan semua asumsi tentang jumlah bola putih memiliki kemungkinan yang sama. Sebuah bola diambil secara acak dari guci dan ternyata berwarna putih. Apa asumsi yang paling mungkin tentang komposisi awal guci?
Larutan. Biarkan menjadi hipotesis bahwa dalam guci bola putih 
, yaitu dimungkinkan untuk membuat enam asumsi. Kemudian, dengan kondisi masalah, kami memiliki .
Mari kita perkenalkan sebuah acara TETAPI Bola putih yang ditarik secara acak. Mari menghitung. Karena , maka menurut rumus Bayes kita memiliki: 
Dengan demikian, hipotesis adalah yang paling mungkin, karena .
Contoh 20. Dua dari tiga elemen perangkat komputasi yang beroperasi secara independen gagal. Carilah peluang kegagalan elemen pertama dan kedua jika peluang kegagalan elemen pertama, kedua, dan ketiga masing-masing sama dengan 0,2; 0,4 dan 0,3.
Larutan. Dilambangkan dengan TETAPI acara - dua elemen gagal. Hipotesis berikut dapat dibuat:
- elemen pertama dan kedua gagal, dan elemen ketiga dapat diservis. Karena elemen bekerja secara independen, teorema perkalian berlaku:
Contoh 1. Sebuah perusahaan manufaktur komputer memperoleh suku cadang yang sama dari tiga pemasok. Yang pertama memasok 50% dari semua komponen, yang kedua - 20%, yang ketiga - 30% dari suku cadang.Diketahui bahwa kualitas suku cadang yang dipasok berbeda, dan pada produk pemasok pertama, persentase cacatnya adalah 4%, yang kedua - 5%, yang ketiga - 2%. Tentukan probabilitas bahwa bagian yang dipilih secara acak dari semua yang diterima akan rusak.
Larutan. Mari kita nyatakan peristiwa: A - "barang yang dipilih rusak", H i - "barang yang dipilih diterima dari pemasok ke-i", i =1, 2, 3 Hipotesis H 1 , H 2 , H 3 membentuk grup lengkap dari peristiwa yang tidak kompatibel. Dengan syarat
P(H1) = 0,5; P(H2) = 0,2; P(H3) = 0,3
P(A|H 1) = 0,04; P(A|H2) = 0,05; P(A|H3) = 0,02
Menurut rumus probabilitas total (1.11), probabilitas kejadian A sama dengan
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0,5 0,04 + 0,2 0,05 + 0,3 0,02=0,036
Peluang suatu bagian yang dipilih secara acak akan rusak adalah 0,036.
Misalkan peristiwa A telah terjadi dalam kondisi contoh sebelumnya: bagian yang dipilih ternyata rusak. Berapa probabilitas bahwa itu diterima dari pemasok pertama? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh rumus Bayes.
Kami memulai analisis probabilitas hanya dengan nilai awal, apriori dari probabilitas peristiwa. Kemudian percobaan dilakukan (sebagian dipilih), dan kami menerima informasi tambahan tentang acara yang menarik bagi kami. Dengan informasi baru ini, kami dapat menyempurnakan nilai probabilitas sebelumnya. Nilai baru probabilitas dari peristiwa yang sama sudah menjadi probabilitas posteriori (pasca-eksperimental) dari hipotesis (Gbr. 1.5).
Skema penilaian ulang hipotesis
Biarkan peristiwa A diwujudkan hanya bersama dengan salah satu hipotesis H 1 , H 2 , …, H n (kelompok lengkap dari peristiwa yang tidak kompatibel). Kami menunjukkan probabilitas apriori dari hipotesis P(H i) probabilitas bersyarat dari peristiwa A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n. Jika percobaan telah dilakukan dan akibatnya peristiwa A telah terjadi, maka probabilitas a posteriori dari hipotesis tersebut adalah probabilitas bersyarat P(H i |A), i = 1, 2,…, n. Dalam notasi contoh sebelumnya, P(H 1 |A) adalah probabilitas bahwa bagian yang dipilih, yang ternyata rusak, diterima dari pemasok pertama.
Kita tertarik pada probabilitas kejadian H k |A Perhatikan kejadian bersama dari kejadian H k dan A, yaitu kejadian AH k . Probabilitasnya dapat ditemukan dengan dua cara, menggunakan rumus perkalian (1.5) dan (1.6):
P(AHk) = P(Hk)P(A|Hk);
P(AH·k) = P(A)P(H·k |A).
Samakan bagian kanan dari rumus ini
P(Hk) P(A|Hk) = P(A) P(Hk |A),
karenanya probabilitas posterior dari hipotesis H k adalah 
Penyebutnya adalah probabilitas total dari peristiwa A. Mengganti nilainya, bukan P(A), sesuai dengan rumus probabilitas total (1.11), kita mendapatkan: 
(1.12)
Formula (1.12) disebut rumus Bayes
dan digunakan untuk menilai kembali probabilitas hipotesis.
Dalam kondisi contoh sebelumnya, kami menemukan probabilitas bahwa bagian yang rusak diterima dari pemasok pertama. Mari kita rangkum dalam satu tabel probabilitas apriori dari hipotesis P(H i) yang kita ketahui dengan kondisi tersebut, probabilitas bersyarat P(A|H i) probabilitas gabungan yang dihitung dalam proses penyelesaian P(AH i) = P(H i) P(A|H i) dan dihitung dengan rumus (1.12) probabilitas a posteriori P(H k |A), i, k = 1, 2,…, n (Tabel 1.3).
Tabel 1.3 - Penilaian ulang hipotesis
| Hipotesis Hai | Probabilitas | |||
| P(H i) sebelumnya | P bersyarat (A|H i) | Bersama P(AH i) | A posteriori P(H i |A) | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
H 1 - bagian diterima dari pemasok pertama | 0.5 | 0.04 | 0.02 | |
H 2 - bagian diterima dari pemasok kedua | 0.2 | 0.05 | 0.01 | |
H 3 - bagian diterima dari pemasok ketiga | 0.3 | 0.02 | 0.006 | |
| Jumlah | 1.0 | - | 0.036 | 1 |
P(Ω) = P(H 1 + H 2 + H 3) = P(H 1) + P(H 2) + P(H 3) = 0,5 + 0,2 + 0,3 = 1
Pada kolom keempat, nilai pada setiap baris (probabilitas bersama) diperoleh dengan aturan perkalian probabilitas dengan mengalikan nilai yang sesuai pada kolom kedua dan ketiga, dan pada baris terakhir 0,036 adalah probabilitas total kejadian A (dengan rumus probabilitas total).
Pada kolom 5, probabilitas posterior hipotesis dihitung menggunakan rumus Bayes (1.12):
Probabilitas posterior P(H 2 |A) dan P(H 3 |A) dihitung dengan cara yang sama, dengan pembilang pecahan adalah probabilitas gabungan yang dicatat dalam baris kolom 4 yang sesuai, dan penyebutnya adalah probabilitas total dari kejadian A dicatat pada baris terakhir kolom 4.
Jumlah probabilitas hipotesis setelah eksperimen sama dengan 1 dan dituliskan pada baris terakhir kolom kelima.
Jadi, probabilitas suku cadang yang rusak diterima dari pemasok pertama adalah 0,555. Probabilitas pasca-eksperimen lebih besar daripada yang apriori (karena volume pasokan yang besar). Probabilitas pasca-eksperimen bahwa suku cadang yang rusak diterima dari pemasok kedua adalah 0,278 dan juga lebih besar dari pra-eksperimen (karena banyaknya penolakan). Probabilitas pasca-eksperimen bahwa suku cadang yang rusak diperoleh dari pemasok ketiga adalah 0,167.
Contoh #3. Ada tiga guci yang identik; guci pertama berisi dua bola putih dan satu bola hitam; yang kedua, tiga putih dan satu hitam; di yang ketiga - dua bola putih dan dua bola hitam. Untuk percobaan, satu guci dipilih secara acak dan sebuah bola diambil darinya. Temukan probabilitas bahwa bola ini berwarna putih.
Larutan. Pertimbangkan tiga hipotesis: H 1 - guci pertama dipilih, H 2 - guci kedua dipilih, H 3 - guci ketiga dipilih dan kejadian A - bola putih dikeluarkan.
Karena hipotesis sama-sama mungkin dengan kondisi masalah, maka
Probabilitas bersyarat dari peristiwa A di bawah hipotesis ini masing-masing sama:
Menurut rumus probabilitas total 
Contoh #4. Ada 19 senapan di piramida, 3 di antaranya dengan penglihatan optik. Penembak, menembak dari senapan dengan penglihatan optik, dapat mengenai target dengan probabilitas 0,81, dan menembak dari senapan tanpa penglihatan optik, dengan probabilitas 0,46. Temukan probabilitas bahwa penembak akan mencapai target dengan menembak dari senapan yang dipilih secara acak.
Larutan. Di sini tes pertama adalah pilihan senapan secara acak, yang kedua adalah menembak sasaran. Pertimbangkan peristiwa berikut: A - penembak akan mencapai target; H 1 - penembak akan mengambil senapan dengan penglihatan optik; H 2 - penembak akan mengambil senapan tanpa penglihatan optik. Kami menggunakan rumus probabilitas total. Kita punya
Mempertimbangkan bahwa senapan dipilih satu per satu, dan menggunakan rumus probabilitas klasik, kita mendapatkan: P(H 1) = 3/19, P(H 2) = 16/19.
Probabilitas bersyarat diberikan dalam pernyataan masalah: P(A|H 1) = 0;81 dan P(A|H 2) = 0;46. Akibatnya,
Contoh nomor 5. Dari sebuah guci yang berisi 2 bola putih dan 3 bola hitam, dua bola diambil secara acak dan 1 bola putih ditambahkan ke dalam guci. Temukan peluang bahwa bola yang diambil secara acak berwarna putih.
Larutan. Kejadian “terambil bola putih” dilambangkan dengan A. Kejadian H 1 – dua bola putih diambil secara acak; H 2 - dua bola hitam diambil secara acak; H 3 - satu bola putih dan satu bola hitam telah ditarik. Kemudian probabilitas dari hipotesis yang diajukan
Probabilitas bersyarat di bawah hipotesis ini masing-masing sama: P(A|H 1) = 1/4 - probabilitas menggambar bola putih jika saat ini ada satu bola putih dan tiga bola hitam di dalam guci, P(A|H 2) = 3/ 4 - peluang terambil bola putih jika saat ini terdapat tiga bola putih dan satu bola hitam di dalam guci, P(A|H 3) = 2/4 = 1/2 - peluang terambil bola putih jika ada dua bola putih dan satu hitam di dalam guci saat ini ada dua bola hitam. Menurut rumus probabilitas total
Contoh nomor 6. Dua tembakan ditembakkan ke sasaran. Probabilitas memukul dengan tembakan pertama adalah 0,2, dengan tembakan kedua - 0,6. Probabilitas menghancurkan target dengan satu pukulan adalah 0,3, dengan dua - 0,9. Temukan probabilitas bahwa target akan dihancurkan.
Larutan. Biarkan acara A menjadi tujuan dihancurkan. Untuk melakukan ini, cukup memukul dengan satu dari dua tembakan atau mengenai target berturut-turut dengan dua tembakan tanpa meleset. Mari kita kemukakan hipotesis: H 1 - kedua tembakan mengenai sasaran. Maka P(H 1) = 0,2 0,6 = 0;12. H 2 - baik pertama kali atau kedua kalinya terjadi kesalahan. Maka P (H 2) \u003d 0,2 0,4 + 0,8 0,6 \u003d 0,56. Hipotesis H 3 - kedua tembakan meleset - tidak diperhitungkan, karena kemungkinan menghancurkan target adalah nol. Maka probabilitas bersyarat masing-masing sama: probabilitas menghancurkan target di bawah kondisi kedua tembakan yang berhasil adalah P(A|H 1) = 0,9, dan probabilitas menghancurkan target di bawah kondisi hanya satu tembakan yang berhasil adalah P( A|H 2) = 0,3. Maka probabilitas menghancurkan target menurut rumus probabilitas total sama dengan.
