Definisi. Biarkan masuk n percobaan berulang (pengujian) beberapa peristiwa TETAPI telah datang n A sekali.
Nomor n A disebut frekuensi kejadian TETAPI , dan rasio
disebut frekuensi relatif (atau frekuensi) dari peristiwa tersebut TETAPI dalam rangkaian tes ini.
Sifat frekuensi relatif
Frekuensi relatif suatu peristiwa memiliki sifat-sifat berikut.
1. Frekuensi setiap peristiwa terletak pada rentang dari nol hingga satu, mis.
2. Frekuensi kejadian yang tidak mungkin adalah nol, mis.
3. Frekuensi suatu peristiwa tertentu adalah 1, yaitu
4. Frekuensi jumlah dua peristiwa yang tidak kompatibel sama dengan jumlah frekuensi (frekuensi) dari peristiwa-peristiwa ini, yaitu jika = , maka
Frekuensi memiliki Properti , disebut properti stabilitas statistik : dengan peningkatan jumlah eksperimen (yaitu dengan peningkatan n ) frekuensi suatu peristiwa mengambil nilai yang mendekati probabilitas peristiwa ini R .
Definisi. Probabilitas statistik kejadian A bilangan yang frekuensi relatif suatu peristiwa berfluktuasi disebut TETAPI cukup angka besar tes (eksperimen) n .
Probabilitas Peristiwa TETAPI dilambangkan dengan simbol R (TETAPI ) atau R (TETAPI ). Munculnya huruf sebagai simbol konsep "probabilitas" R ditentukan oleh kehadirannya di tempat pertama di kata Bahasa Inggris kemungkinan - kemungkinan.
Berdasarkan definisi ini
Properti Probabilitas Statistik
1. Probabilitas Statistik ada acara TETAPI antara nol dan satu, yaitu
2. Probabilitas statistik dari suatu kejadian yang tidak mungkin ( TETAPI= ) sama dengan nol, yaitu
3. Probabilitas statistik dari suatu peristiwa tertentu ( TETAPI= ) sama dengan satu, yaitu,
4. Jumlah Probabilitas Statistik tidak cocok kejadian sama dengan jumlah peluang kejadian tersebut, yaitu jika A B= , maka
Definisi klasik dari probabilitas
Biarkan percobaan dilakukan dengan n hasil yang dapat direpresentasikan sebagai sekelompok peristiwa yang sama-sama mungkin tidak sesuai. Kasus yang menyebabkan peristiwa itu terjadi TETAPI , disebut menguntungkan atau menguntungkan, yaitu. kejadian w menyebabkan suatu peristiwa TETAPI , w A .
Definisi. Peluang suatu kejadian TETAPI disebut perbandingan bilangan m kesempatan yang menguntungkan untuk acara ini, untuk jumlah total n kasus, yaitu
Properti probabilitas "klasik"
1. Aksioma non-negatif : peluang kejadian apapun TETAPI non-negatif, yaitu
R(TETAPI) ≥ 0.
2. Aksioma normalisasi : peluang kejadian tertentu ( TETAPI= ) sama dengan satu:
3. Aksioma aditif : peluang jumlah tidak cocok kejadian (atau probabilitas terjadinya salah satu dari dua kejadian yang tidak sesuai) sama dengan jumlah probabilitas kejadian ini, mis. jika A B=Ø, maka
Probabilitas Peristiwa: R() = 1 – R(TETAPI).
Untuk peluang suatu kejadian adalah jumlah setiap dua acara TETAPI dan PADA, rumus yang benar adalah:
Jika acara TETAPI dan PADA tidak dapat terjadi sebagai akibat dari satu pengujian pada waktu yang sama, yaitu dengan kata lain, jika A B – peristiwa yang tidak mungkin, maka mereka disebut tidak cocok atau tidak cocok , lalu R(A B) = 0 dan rumus probabilitas jumlah kejadian mengambil bentuk yang sangat sederhana:
Jika peristiwa TETAPI dan PADA dapat terjadi sebagai hasil dari satu tes, mereka disebut kompatibel .
Algoritma yang Berguna
Ketika menemukan probabilitas menggunakan definisi klasik dari probabilitas, algoritma berikut harus diikuti.
1. Perlu dipahami dengan jelas apa eksperimen itu.
2. Nyatakan dengan jelas apa acaranya TETAPI, probabilitas yang akan ditemukan.
3. Merumuskan dengan jelas apa yang akan merupakan peristiwa dasar dalam masalah yang sedang dipertimbangkan. Setelah merumuskan dan mendefinisikan peristiwa dasar, seseorang harus memeriksa tiga kondisi yang harus dipenuhi oleh serangkaian hasil, yaitu. .
6. Mengikuti definisi klasik tentang probabilitas, tentukan
Saat memecahkan masalah kesalahan paling umum adalah pemahaman kabur tentang apa yang dianggap sebagai peristiwa dasar w , dan kebenaran konstruksi himpunan dan ketepatan perhitungan peluang suatu kejadian bergantung pada ini. Biasanya, dalam praktiknya, hasil paling sederhana diambil sebagai peristiwa dasar, yang tidak dapat "dibagi" menjadi lebih sederhana.
Ada beberapa definisi dari konsep probabilitas. Berikut adalah definisi klasik. Hal ini terkait dengan konsep hasil yang menguntungkan. Hasil dasar tersebut (mis.), pada cat. peristiwa yang menarik bagi kami terjadi, kami akan menyebut menguntungkan untuk acara ini. def.: Ver.yu acara A penamaan. rasio jumlah hasil yang menguntungkan untuk peristiwa ini dengan jumlah semua kemungkinan yang sama tidak sesuai e. i., membentuk kelompok yang lengkap. P(A) = m/n, di mana m adalah jumlah e. i., menguntungkan untuk acara A; n adalah jumlah semua kemungkinan e. dan. tes. Dari definisi probabilitas ikuti sifat-sifatnya:1)ver.(c) dari peristiwa tertentu selalu sama dengan 1. kejadiannya pasti, maka semua e. dan. percobaan mendukung acara ini, yaitu m=n. P(A)=n/n=1; 2) V. kejadian yang tidak mungkin. sama dengan 0. Karena peristiwa tidak mungkin, maka tidak ada satu e. dan., menguntungkan untuk kejadian ini, maka m=0. P(A) = 0/n = 0; 3) V kejadian acak adalah nilai non-negatif antara 0 dan 1, yaitu 0 Frekuensi relatif (FR) dari suatu peristiwa adalah rasio jumlah percobaan di mana peristiwa itu terjadi dengan jumlah percobaan yang benar-benar dilakukan. (BUKAN omega!!!). W(A) = m/n, di mana m adalah banyaknya kejadian A, n adalah jumlah percobaan. Definisi probabilitas tidak mengharuskan pengujian benar-benar dilakukan. Definisi RON mengasumsikan bahwa tes benar-benar dilakukan, mis. ver. dihitung sebelum percobaan, dan OC setelah percobaan. Jika eksperimen dilakukan di bawah kondisi yang sama, di masing-masing kucing. jumlah percobaan cukup besar, maka OC mengungkapkan stabilitas St. Properti ini terdiri dari fakta bahwa dalam berbagai eksperimen, OR berubah sedikit, semakin sedikit, semakin banyak pengujian dilakukan, berfluktuasi di sekitar angka konstan tertentu. Nomor ini adalah ver. terjadinya peristiwa. Itu. Telah ditetapkan secara eksperimental bahwa SP dapat diambil sebagai nilai perkiraan probabilitas. Definisi klasik probabilitas mengasumsikan bahwa jumlah hasil dasar dari suatu percobaan terbatas. Dalam prakteknya, tes sering ditemui, jumlah kemungkinan hasil adalah kucing. tanpa henti. Dalam beberapa kasus definisi klasik tak dapat diterapkan. Seiring dengan klasik def. menggunakan statistik. Def.: status ver. (r.v.) peristiwa - frekuensi relatif (RC) atau angka yang mendekatinya. Probabilitas St-va timbul dari klasik. definisi dipertahankan dalam statistik. Jika acara tersebut dapat diandalkan, maka OC =1, mis. st.v. juga = 1. Jika kejadiannya tidak mungkin, maka ROI = 0, mis. st.v. juga = 0. Untuk setiap kejadian 0W(A) 1, sl-no. st.v. terletak antara 0 dan 1. Untuk keberadaan st.v. dipersyaratkan: 1) kemampuan paling tidak secara fundamental melaksanakan tidak terbatas. jumlah percobaan di masing-masing kucing. peristiwa itu terjadi atau tidak terjadi; 2) stabilitas OR terjadinya suatu peristiwa dalam rangkaian yang berbeda dari jumlah percobaan yang cukup besar. Kerugian dari statistik definisi adalah ambiguitas Seni. Misalnya, jika sebagai hasil dari sejumlah tes yang cukup besar ternyata OR sangat dekat dengan 0,6, maka angka ini dapat diambil sebagai st.v. Tetapi sebagai probabilitas suatu peristiwa, seseorang tidak hanya dapat mengambil 0,6, tetapi juga 0,59 dan 0,61. Pokok bahasan teori probabilitas. Uji coba. Klasifikasi acara. Teori probabilitas adalah cabang matematika yang mempelajari pola-pola yang terjadi dalam tes homogen massal (MOTs). Tes adalah kompleks dari setiap kondisi, tindakan. SAYA - ini adalah tes yang secara teoritis dapat dilanjutkan tanpa batas waktu (belajar, jajak pendapat, lempar koin). Hasil tes adalah kemungkinan hasil tes. Suatu peristiwa adalah abstraksi dari hasil tes (apakah suatu fenomena terjadi di MY atau tidak). Misalnya, melempar koin adalah ujian, sedangkan kemunculan “elang” adalah peristiwa. Acara ini biasanya dilambangkan dengan lat besar. huruf A,B,C JENIS ACARA: 1. Peristiwa tertentu disebut peristiwa yang akan terjadi dengan hasil tes apa pun. 2. Mustahil - tidak akan terjadi di bawah hasil tes apa pun. 3. Acak - mungkin atau mungkin tidak terjadi sebagai akibat dari tes. misalnya Sebuah dadu dilempar. Peristiwa A - jumlah poin tidak > 6: signifikan. Acara B - skor > 6: tidak mungkin. Acara C - 1 hingga 6: Acak. ACARA RANDOM 1. Setara - mereka yang ada kesetaraan hasil individu dari tes. misalnya, mengekstrak raja, kartu as, ratu, jack dari setumpuk kartu. 2. Satu-satunya yang mungkin adalah jika setidaknya salah satu dari mereka pasti terjadi dalam tes. Misalnya, Ada 2 anak dalam sebuah keluarga: A - 2 laki-laki, B - 2 perempuan, C - 1 m dan 1 d. kombinatorik. Rumus dasar kombinatorik. Kombinatorik adalah ilmu tentang senyawa. Koneksi dipahami sebagai himpunan elemen dari himpunan tertentu. Misalnya, banyak siswa yang duduk di antara penonton. Semua senyawa dibagi menjadi 3 kelompok: 1) Akomodasi. R-mi dari n el-t pada m () disebut senyawa yang berbeda satu sama lain baik dalam komposisi el-t, atau urutan sambungan el-t, atau keduanya. Anm = n!/(n-m)! Tugas. Berapa banyak bilangan 2 angka berbeda yang dapat dibuat dari sekumpulan angka (1; 2; 3; 4), sehingga angka-angka dari bilangan tersebut berbeda. Dan dari 4 kali 2 = 4!/(4-2)! = 24/2 = 12 2) Kombinasi. Kombinasi n unsur oleh m adalah senyawa yang berbeda satu sama lain hanya dalam komposisi unsur (urutannya tidak penting) Dari n ke m = n!/m!*(n-m)! Tugas. Dalam berapa cara sekelompok 30 orang dapat membagikan voucher ke sanatorium Ussuri. C dari 30 kali 3 = 30!/3!*(30-3)! = 28*29*30/1*2*3 = 4060. 3) Permutasi (Pn). Permutasi dari n unsur adalah senyawa yang mencakup semua n unsur dan berbeda satu sama lain hanya dalam urutan hubungannya. Tugas. Dalam berapa cara 6 taruna dapat berbaris di lapangan pawai? ATURAN SUM - jika objek a dapat dipilih dari himpunan dengan s cara yang berbeda, dan objek b dengan r cara yang berbeda, maka pemilihan salah satu elemen a atau batang dapat dilakukan dengan r + s cara yang berbeda. ATURAN PRODUK - jika objek a dapat dipilih dengan s cara yang berbeda, dan setelah setiap pilihan tersebut objek b dapat dipilih dengan r cara yang berbeda, maka pemilihan pasangan elemen dapat dilakukan dengan r*s cara yang berbeda (a dan b = r*s). Definisi klasik dari probabilitas. Sifat probabilitas. Peluang suatu kejadian A adalah perbandingan jumlah hasil yang menguntungkan kejadian ini dengan jumlah semua kemungkinan hasil elementer yang sama-sama tidak cocok yang membentuk grup lengkap(P(A)=m/n). PROPERTI DI-TI: 1) V-t kejadian tertentu = 1. Karena D adalah peristiwa tertentu, maka setiap kemungkinan hasil tes mendukung peristiwa tersebut, mis. m=n. P(D) = m/n = n/n = 1/ 2) Nilai suatu kejadian yang mustahil adalah nol. Karena peristiwa N tidak mungkin, maka tidak ada hasil elementer yang mendukung peristiwa tersebut, mis. m=0. P(D) = m/n = 0/n = 0/ 3) Banyaknya kejadian acak adalah bilangan positif antara 0 dan 1. Suatu kejadian acak S hanya disukai oleh elemen dari jumlah total. hasil tes, yaitu 0 0 Jadi, ke-in suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan ganda: 0<=P(A)<=1. Frekuensi relatif. Stabilitas frekuensi relatif. Definisi statistik probabilitas. Frekuensi relatif suatu peristiwa adalah rasio jumlah percobaan di mana peristiwa itu terjadi dengan jumlah total percobaan yang benar-benar dilakukan. W(A)=m/n, di mana m adalah banyaknya kejadian, n adalah jumlah percobaan. V-Th menyarankan, dan frekuensi relatif tetap. V-Th tidak mengharuskan acara diadakan, dan frekuensi relatif - membutuhkan. Dengan kata lain, in-th event dihitung sebelum eksperimen, dan rel. frekuensi setelah. STABILITAS frekuensi relatif. Pengamatan jangka panjang telah menunjukkan bahwa jika percobaan dilakukan di bawah kondisi yang sama, di mana masing-masing jumlah pengujian cukup besar, maka frekuensi relatif menunjukkan sifat stabilitas. Properti ini terdiri dari fakta bahwa dalam berbagai eksperimen frekuensi relatif berubah sedikit, berfluktuasi di sekitar angka konstan tertentu. Ternyata bilangan konstan ini adalah terjadinya kejadian W(A) = P(A). Bagian STATISTIK dari suatu peristiwa adalah jumlah di mana frekuensi relatif dari peristiwa ini dikelompokkan, dan di bawah kondisi konstan dan peningkatan tak terbatas dalam jumlah tes, frekuensi relatif sedikit berbeda dari nomor ini. ditelepon Frekuensi relatif ( atau frekuensi) acara TETAPI dalam rangkaian percobaan yang sedang dipertimbangkan. Frekuensi relatif suatu peristiwa memiliki: properti: 1. Frekuensi setiap peristiwa adalah antara nol dan satu, mis. 2. Frekuensi dari suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol, mis. 3. Frekuensi suatu kejadian tertentu adalah 1, yaitu 4. Frekuensi jumlah dua kejadian yang tidak sesuai sama dengan jumlah frekuensi Frekuensi memiliki sifat dasar lain yang disebut properti stabilitas statistik: dengan peningkatan jumlah percobaan (mis. n) dibutuhkan nilai yang mendekati beberapa angka konstan (mereka mengatakan: frekuensi stabil, mendekati angka tertentu, frekuensi berfluktuasi di sekitar angka tertentu, atau nilainya mengelompok di sekitar angka tertentu). Jadi, misalnya, dalam percobaan (K. Pearson) melempar koin - frekuensi relatif munculnya lambang pada 12.000 dan 24.000 lemparan ternyata masing-masing menjadi 0,5015 dan 0,5005, yaitu. frekuensi mendekati bilangan tersebut. Frekuensi kelahiran anak laki-laki, seperti yang ditunjukkan pengamatan, berfluktuasi di sekitar angka 0,515. Perhatikan bahwa teori probabilitas hanya mempelajari fenomena acak massal dengan hasil yang tidak pasti, yang diasumsikan stabilitas frekuensi relatifnya. Definisi statistik probabilitas Untuk studi matematis dari peristiwa acak, perlu untuk memperkenalkan semacam penilaian kuantitatif dari peristiwa tersebut. Jelas bahwa beberapa peristiwa lebih mungkin ("lebih mungkin") terjadi daripada yang lain. Penilaian seperti itu adalah peluang kejadian,
itu. angka yang menyatakan tingkat kemungkinan kemunculannya dalam eksperimen yang sedang dipertimbangkan. Ada beberapa definisi matematis tentang probabilitas, yang semuanya saling melengkapi dan menggeneralisasi. Pertimbangkan eksperimen yang dapat diulang beberapa kali (mereka mengatakan: "pengujian berulang sedang dilakukan") di mana beberapa peristiwa diamati TETAPI. Probabilitas Statistik acara TETAPI disebut nomor di mana frekuensi relatif dari peristiwa berfluktuasi A untuk sejumlah besar percobaan (eksperimen). Probabilitas Peristiwa TETAPI dilambangkan dengan simbol R(TETAPI). Menurut definisi ini: Pembenaran matematis dari kedekatan frekuensi dan probabilitas relatif R(TETAPI) beberapa acara TETAPI adalah teorema J. Bernoulli. Probabilitas R(TETAPI) properti 1-4 dari frekuensi relatif dikaitkan: 1. Probabilitas statistik dari setiap peristiwa terletak antara nol dan satu, yaitu. 2. Probabilitas statistik dari suatu peristiwa yang tidak mungkin adalah nol, mis. 3. Probabilitas statistik dari suatu peristiwa tertentu sama dengan 1, yaitu. 4. Probabilitas statistik dari jumlah dua peristiwa yang tidak kompatibel sama dengan jumlah frekuensi peristiwa ini, yaitu. jika kemudian Metode statistik untuk menentukan probabilitas, berdasarkan pengalaman nyata, cukup sepenuhnya mengungkapkan isi dari konsep ini. Kerugian dari definisi statistik adalah ambiguitas probabilitas statistik; jadi dalam contoh pelemparan sebuah koin, tidak hanya angka 0,5, tetapi juga 0,49 atau 0,51, dst dapat diambil sebagai sebuah peluang. Untuk menentukan probabilitas dengan andal, Anda perlu melakukan sejumlah besar tes, yang tidak selalu mudah atau murah. Definisi klasik dari probabilitas Ada cara sederhana untuk menentukan probabilitas suatu peristiwa, berdasarkan pada equiprobability dari sejumlah hasil pengalaman yang terbatas. Biarkan percobaan dilakukan dengan n hasil, yang dapat direpresentasikan sebagai grup lengkap dari peralatan yang tidak kompatibel acara. Hasil seperti itu disebut peluang, peluang, peristiwa dasar, pengalaman - klasik. Pengalaman seperti itu dikatakan direduksi menjadi bagan kasus atau skema guci(karena masalah probabilistik untuk eksperimen semacam itu dapat diganti dengan masalah yang setara dengan guci berisi bola dengan warna berbeda). Kasus w yang menyebabkan terjadinya peristiwa TETAPI, disebut baik(atau menguntungkan) baginya, yaitu. kasus kita memerlukan acara A: . Peluang suatu kejadian TETAPI disebut perbandingan bilangan m kasus yang menguntungkan untuk acara ini, dengan jumlah total n kasus, yaitu Bersamaan dengan sebutan R(TETAPI) untuk peluang suatu kejadian TETAPI notasi yang digunakan R, yaitu p=p(TETAPI). Berikut ini dari definisi klasik tentang probabilitas. properti: 1. Probabilitas suatu kejadian terletak antara nol dan satu, mis. 2. Probabilitas suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol, mis. 3. Probabilitas suatu peristiwa tertentu sama dengan 1, yaitu. 4. Probabilitas jumlah kejadian yang tidak sesuai sama dengan jumlah frekuensi kejadian tersebut, mis. jika kemudian Contoh 1.3. Sebuah guci berisi 12 bola putih dan 8 bola hitam. Berapa peluang terambilnya bola secara acak berwarna putih? Keputusan: Biarlah TETAPI- kejadian yang terdiri dari pengambilan bola putih. Jelas bahwa itu adalah jumlah semua kasus yang mungkin sama. Berapa kali menguntungkan untuk acara tersebut TETAPI, sama dengan 12, yaitu . Oleh karena itu, dengan rumus (1.3) kita memiliki: , yaitu. . Definisi geometris dari probabilitas Definisi geometris probabilitas digunakan dalam kasus ketika hasil dari pengalaman memiliki kemungkinan yang sama, dan PES adalah himpunan tak terhingga yang tak terhitung. Mari kita perhatikan beberapa domain pada bidang dengan luas , dan di dalam domain ,
wilayah D dengan luas S D(Lihat Gambar 6). Sebuah titik dipilih secara acak dalam domain X. Pilihan ini dapat diartikan sebagai titik lempar X ke wilayah. Dalam hal ini, hit suatu titik di wilayah adalah peristiwa yang dapat diandalkan, di D- acak. Diasumsikan bahwa semua titik dari domain memiliki hak yang sama (semua kejadian elementer adalah sama mungkin), mis. bahwa titik yang dilempar dapat jatuh ke sembarang titik di daerah dan peluang jatuh ke daerah D sebanding dengan luas wilayah ini dan tidak bergantung pada letak dan bentuknya. Biarkan acara , yaitu titik yang dilempar akan jatuh ke area D. Beras. 6 probabilitas geometris acara TETAPI disebut perbandingan luas D ke area domain , mis. di kedua: melalui mana mes Pengukuran, aku, V) daerah. Probabilitas geometrik memiliki semua properti melekat dalam definisi klasik: 1. Probabilitas geometrik dari setiap peristiwa terletak antara nol dan satu, yaitu. 2. Probabilitas geometrik dari suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol, mis. 3. Probabilitas geometrik dari suatu peristiwa tertentu sama dengan 1, yaitu. 4. Probabilitas geometrik dari jumlah peristiwa yang tidak sesuai sama dengan jumlah frekuensi dari peristiwa ini, yaitu. jika kemudian Definisi klasik dari probabilitas Kemungkinan
- salah satu konsep dasar teori probabilitas. Ada beberapa definisi dari konsep ini. Kemungkinan
adalah bilangan yang mencirikan derajat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Setiap hasil tes yang mungkin disebut hasil dasar (elementary event). Sebutan: …, Hasil dasar di mana peristiwa yang menarik bagi kita terjadi, kita sebut baik. Contoh: Sebuah guci berisi 10 bola identik, 4 di antaranya berwarna hitam dan 6 berwarna putih. Acara - sebuah bola putih diambil dari guci. Banyaknya hasil yang menguntungkan di mana bola putih akan diambil dari guci adalah 4. Rasio jumlah hasil dasar yang menguntungkan peristiwa tersebut dengan jumlah totalnya disebut probabilitas peristiwa; notasi Dalam contoh kita Peluang suatu kejadian sebut rasio jumlah hasil yang menguntungkan untuk peristiwa ini dengan jumlah semua hasil elementer yang sama-sama mungkin tidak kompatibel yang membentuk kelompok lengkap, di mana jumlah hasil dasar yang mendukung acara tersebut ; jumlah semua hasil dasar yang mungkin dari tes. Sifat probabilitas: 1. Probabilitas suatu peristiwa tertentu sama dengan satu, yaitu. 2. Probabilitas suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol, mis. e. 3. Probabilitas suatu kejadian acak adalah bilangan positif antara nol dan satu, mis. e. atau Dengan mempertimbangkan sifat 1 dan 2, peluang suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan 4
. Rumus dasar kombinatorika Kombinatorika mempelajari jumlah kombinasi yang tunduk pada kondisi tertentu yang dapat dibuat dari himpunan elemen berhingga yang bersifat arbitrer. Saat menghitung probabilitas secara langsung, rumus kombinatorik sering digunakan. Kami menyajikan yang paling umum digunakan. Permutasi disebut kombinasi yang terdiri dari unsur-unsur yang sama dan berbeda hanya dalam urutan pengaturannya. Jumlah semua kemungkinan permutasi di mana Contoh. Banyaknya bilangan tiga angka, bila setiap angka dimasukkan dalam gambar bilangan tiga angka hanya satu kali, sama dengan Penempatan disebut kombinasi yang terdiri dari unsur-unsur yang berbeda oleh unsur-unsur yang berbeda baik dalam komposisi elemen atau dalam urutannya. Jumlah semua kemungkinan penempatan Contoh. Jumlah sinyal dari 6 bendera warna yang berbeda, diambil oleh 2: kombinasi disebut kombinasi yang terdiri dari unsur-unsur yang berbeda oleh unsur-unsur yang berbeda oleh setidaknya satu elemen. Jumlah kombinasi Contoh. Banyaknya cara untuk memilih dua bagian dari sebuah kotak yang berisi 10 bagian: Jumlah penempatan, permutasi, dan kombinasi dihubungkan oleh persamaan Saat memecahkan masalah, kombinatorik menggunakan aturan berikut: Aturan penjumlahan.
Jika beberapa objek dapat dipilih dari sekumpulan objek dengan cara, dan objek lain dapat dipilih dengan cara, maka salah satu , atau dapat dipilih dengan cara. aturan produk.
Jika suatu objek dapat dipilih dari kumpulan objek dengan cara, dan setelah setiap pemilihan tersebut objek dapat dipilih dengan cara, maka sepasang objek dalam urutan itu dapat dipilih dengan cara. Frekuensi relatif juga
adalah konsep dasar teori probabilitas. Frekuensi relatif peristiwa adalah rasio jumlah percobaan di mana peristiwa itu muncul dengan jumlah total percobaan yang benar-benar dilakukan dan ditentukan oleh rumus di mana adalah jumlah kemunculan acara dalam uji coba, jumlah total uji coba. Membandingkan definisi probabilitas dan frekuensi relatif, kami menyimpulkan bahwa definisi probabilitas tidak memerlukan pengujian, dan definisi frekuensi relatif melibatkan pengujian aktual. Pengamatan jangka panjang menunjukkan bahwa ketika melakukan eksperimen di bawah kondisi yang sama, frekuensi relatif memiliki sifat stabilitas. Sifat ini terdiri dari fakta bahwa dalam rangkaian percobaan yang berbeda frekuensi relatif pengujian sedikit berbeda dari rangkaian ke rangkaian, berfluktuasi di sekitar bilangan konstan tertentu. Angka konstan ini adalah peluang terjadinya peristiwa. Definisi klasik tentang probabilitas memiliki beberapa kelemahan: 1) jumlah hasil dasar tes terbatas, dalam praktiknya jumlah ini bisa tak terbatas; 2) sangat sering hasil tes tidak dapat direpresentasikan sebagai serangkaian peristiwa dasar; Untuk alasan ini, bersama dengan definisi klasik tentang probabilitas, definisi statistik digunakan: di kualitas probabilitas statistik peristiwa mengambil frekuensi relatif.
4. Frekuensi relatif. Stabilitas frekuensi relatif.
5. Probabilitas statistik.
peristiwa-peristiwa tersebut, yaitu jika kemudian 
.
(1.2)
.
(1.3)
Diterima bahwa
,
