Definisi klasik dari probabilitas

Kemungkinan - salah satu konsep dasar teori probabilitas. Ada beberapa definisi dari konsep ini. Kemungkinan adalah bilangan yang mencirikan derajat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa.

Setiap hasil tes yang mungkin disebut hasil dasar (elementary event). Sebutan: …,

Hasil dasar di mana peristiwa yang menarik bagi kita terjadi, kita sebut baik.

Contoh: Di guci 10 bola identik, yang 4 berwarna hitam, 6 berwarna putih. Acara - sebuah bola putih diambil dari guci. Banyaknya hasil yang menguntungkan di mana bola putih akan diambil dari guci adalah 4.

Rasio jumlah hasil dasar yang menguntungkan peristiwa tersebut dengan jumlah totalnya disebut probabilitas peristiwa; notasi Dalam contoh kita

Peluang suatu kejadian adalah rasio jumlah hasil yang menguntungkan untuk peristiwa ini dengan jumlah semua kemungkinan hasil elementer yang sama-sama tidak kompatibel yang membentuk grup penuh,

di mana jumlah hasil dasar yang mendukung acara tersebut ; jumlah semua hasil dasar yang mungkin dari tes.

Sifat probabilitas:

1. Probabilitas suatu peristiwa tertentu sama dengan satu, yaitu.

2. Probabilitas suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol, mis. e.

3. Probabilitas kejadian acak ada nomor positif antara nol dan satu, yaitu e.

atau

Dengan mempertimbangkan sifat 1 dan 2, peluang suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan

4 . Rumus dasar kombinatorika

Kombinatorika mempelajari jumlah kombinasi yang tunduk pada kondisi tertentu yang dapat dibuat dari himpunan elemen berhingga yang bersifat arbitrer. Saat menghitung probabilitas secara langsung, rumus kombinatorik sering digunakan. Kami menyajikan yang paling umum digunakan.

Permutasi disebut kombinasi yang terdiri dari yang sama berbagai elemen dan hanya berbeda dalam urutan di mana mereka berada.

Jumlah semua kemungkinan permutasi

di mana Diterima bahwa

Contoh. Jumlah angka tiga digit ketika setiap digit disertakan dalam gambar tiga digit angka sekali saja, sama

Penempatan disebut kombinasi yang terdiri dari unsur-unsur yang berbeda oleh unsur-unsur yang berbeda baik dalam komposisi elemen atau dalam urutannya. Jumlah semua kemungkinan penempatan

Contoh. Jumlah sinyal dari 6 bendera berbagai warna diambil oleh 2:

kombinasi disebut kombinasi yang terdiri dari unsur-unsur yang berbeda oleh unsur-unsur yang berbeda oleh setidaknya satu elemen. Jumlah kombinasi

Contoh. Banyaknya cara untuk memilih dua bagian dari sebuah kotak yang berisi 10 bagian:

Jumlah penempatan, permutasi, dan kombinasi dihubungkan oleh persamaan

Saat memecahkan masalah, kombinatorik menggunakan mengikuti aturan:

Aturan penjumlahan. Jika beberapa objek dapat dipilih dari sekumpulan objek dengan cara, dan objek lain dapat dipilih dengan cara, maka salah satu , atau dapat dipilih dengan cara.

aturan produk. Jika suatu objek dapat dipilih dari kumpulan objek dengan cara, dan setelah setiap pemilihan tersebut objek dapat dipilih dengan cara, maka sepasang objek dalam urutan itu dapat dipilih dengan cara.

Frekuensi relatif juga adalah konsep dasar teori probabilitas.

Frekuensi relatif peristiwa adalah rasio jumlah percobaan di mana peristiwa itu muncul dengan jumlah total percobaan yang benar-benar dilakukan dan ditentukan oleh rumus

,

di mana adalah jumlah kemunculan acara dalam uji coba, jumlah total tes.

Membandingkan definisi probabilitas dan Frekuensi relatif, kami menyimpulkan bahwa penentuan probabilitas tidak memerlukan pengujian, dan penentuan frekuensi relatif melibatkan pengujian yang sebenarnya.

Pengamatan jangka panjang menunjukkan bahwa ketika melakukan eksperimen di kondisi yang sama, frekuensi relatif memiliki sifat stabilitas. Sifat ini terdiri dari fakta bahwa dalam rangkaian percobaan yang berbeda frekuensi relatif pengujian sedikit berbeda dari rangkaian ke rangkaian, berfluktuasi di sekitar bilangan konstan tertentu. Ini bilangan konstan dan ada kemungkinan terjadinya peristiwa tersebut.

Definisi klasik tentang probabilitas memiliki beberapa kelemahan:

1) jumlah hasil dasar tes terbatas, dalam praktiknya jumlah ini bisa tak terbatas;

2) sangat sering hasil tes tidak dapat direpresentasikan sebagai serangkaian peristiwa dasar;

Untuk alasan ini, bersama dengan definisi klasik tentang probabilitas, seseorang menggunakan definisi statistik: di kualitas probabilitas statistik peristiwa mengambil frekuensi relatif.

Diketahui bahwa peristiwa acak karena tes mungkin atau mungkin tidak terjadi. Tetapi pada saat yang sama untuk acara yang berbeda ada kemungkinan yang berbeda dalam percobaan yang sama. Mari kita lihat sebuah contoh. Jika ada seratus bola identik yang dicampur dengan hati-hati dalam sebuah guci, dan di antara mereka hanya sepuluh yang berwarna hitam, dan sisanya berwarna putih, maka ketika satu bola diambil secara acak lebih banyak kemungkinan yang akan muncul benar-benar putih. Kemungkinan suatu peristiwa terjadi di tes ini memiliki ukuran numerik, yang disebut probabilitas peristiwa ini, dan menurut teori probabilitas, Anda dapat menghitung peluang melihat bola hitam atau putih.

Definisi klasik dari probabilitas

Asumsikan bahwa selama pengujian tertentu, peristiwa $n$ elementer yang kemungkinannya sama dapat terjadi. Dari bilangan ini, bilangan $m$ adalah jumlah kejadian dasar yang mendukung terjadinya kejadian tertentu $A$. Maka peluang kejadian $A$ adalah relasi $P\left(A\right)=\frac(m)(n) $.

Contoh 1.

Sebuah guci berisi 3 bola putih dan 5 bola hitam, yang hanya berbeda warnanya. Tesnya adalah mengambil satu bola secara acak dari guci. Acara $A$ dianggap sebagai "penampilan bola putih". Hitung peluang kejadian $A$.

Selama tes, salah satu dari delapan bola dapat dikeluarkan. Semua peristiwa ini adalah dasar, karena mereka tidak cocok dan membentuk kelompok yang lengkap. Juga jelas bahwa semua peristiwa ini sama mungkinnya. Jadi, untuk menghitung probabilitas $P\left(A\right)$, kita dapat menerapkan definisi klasiknya. Sebagai solusi, kita memiliki: $n=8$, $m=3$, dan peluang untuk mengambil tepat putih dari bola akan sama dengan $P\left(A\right)=\frac(3)(8 ) $.

Sifat-sifat berikut mengikuti definisi klasik dari probabilitas:

• probabilitas suatu kejadian $V$ selalu sama dengan satu, yaitu $P\left(V\right)=1$; ini dijelaskan oleh fakta bahwa suatu peristiwa tertentu disukai oleh semua peristiwa dasar, yaitu $m=n$;
• probabilitas suatu kejadian yang tidak mungkin $H$ selalu sama dengan nol, yaitu $P\left(H\right)=0$; ini dijelaskan oleh fakta bahwa tidak satu pun dari yang dasar menyukai kejadian yang tidak mungkin, yaitu $m=0$;
• peluang kejadian acak $A$ selalu memenuhi kondisi $0

Jadi, dalam kasus umum peluang suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan $0\le P\left(A\right)\le 1$.

Frekuensi relatif dan stabilitasnya

Definisi 1

Mari kita asumsikan itu cukup sejumlah besar tes, yang masing-masing mungkin atau mungkin tidak terjadi acara tertentu$A$. Tes semacam itu disebut serangkaian tes.

Asumsikan bahwa serangkaian percobaan $n$ dijalankan di mana peristiwa $A$ terjadi $m$ kali. Di sini bilangan $m$ disebut frekuensi absolut dari peristiwa $A$, dan rasio $\frac(m)(n) $ disebut frekuensi relatif dari peristiwa $A$. Misalnya, dari $n=20$ alat pemadam kebakaran yang digunakan selama kebakaran, $m=3$ alat pemadam kebakaran tidak berfungsi (peristiwa $A$). Di sini $m=3$ adalah frekuensi absolut dari peristiwa $A$, dan $\frac(m)(n) =\frac(3)(20) $ adalah frekuensi relatif.

Pengalaman praktis dan kewajaran menyarankan bahwa untuk $n$ kecil nilai frekuensi relatif tidak dapat stabil, tetapi jika jumlah tes ditingkatkan, maka nilai frekuensi relatif harus stabil.

Contoh #2.

Untuk berpartisipasi dalam tim, pelatih memilih lima dari sepuluh anak laki-laki. Dalam berapa cara dia dapat membentuk sebuah tim jika dua anak laki-laki tertentu yang membentuk tulang punggung tim harus berada di tim?

Sesuai dengan kondisi masalahnya, dua anak laki-laki akan segera masuk tim. Oleh karena itu, tetap memilih tiga dari delapan anak laki-laki. Dalam hal ini, hanya komposisi yang penting, karena peran semua anggota tim tidak berbeda. Ini berarti bahwa kita berurusan dengan kombinasi.

Kombinasi elemen $n$ dengan $m$ adalah kombinasi yang terdiri dari elemen $m$ dan berbeda satu sama lain oleh setidaknya satu elemen, tetapi tidak berdasarkan urutan elemen.

Jumlah kombinasi dihitung dengan rumus $C_(n)^(m) =\frac(n{m!\cdot \left(n-m\right)!} $.!}

Jadi kuantitas berbagai cara membentuk tim dalam jumlah tiga anak laki-laki, memilih mereka dari delapan anak laki-laki - ini adalah jumlah kombinasi dari 8 elemen 3:

$C_(8)^(3) =\frac(8{3!\cdot \left(8-3\right)!} =\frac{8!}{3!\cdot 5!} =\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3} =56$!}

Contoh #3

15 buku ditempatkan secara acak di rak di kantor, 5 di antaranya dalam aljabar. Guru mengambil tiga buku secara acak. Tentukan peluang bahwa paling sedikit salah satu buku yang diambil adalah aljabar.

Kejadian $A$ (setidaknya satu dari tiga buku yang diambil adalah buku aljabar) dan $\bar(A)$ (tidak satu pun dari tiga buku yang diambil adalah buku aljabar) adalah kebalikan, jadi P(A) + P( $ \bar(A)$) = 1. Jadi P(A) = 1-P($\bar(A)$). Jadi, peluang yang diperlukan P(A) = 1 - $C_(10)^(3) \, /C_(15)^(3) \, $= 1 - 24/91 = 67/91.

Contoh #4

Dari dua puluh perusahaan saham gabungan, empat di antaranya asing. Seorang warga negara membeli satu saham dari enam perusahaan saham gabungan. Berapa probabilitas bahwa dua dari saham yang dibeli akan menjadi saham perusahaan saham gabungan asing?

Jumlah total kombinasi pemilihan perusahaan saham gabungan sama dengan jumlah kombinasi dari 20 hingga 6, yaitu $(\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) $. Jumlah hasil yang menguntungkan didefinisikan sebagai produk dari $(\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_((\rm 16))^( (\rm 4) ) $, di mana faktor pertama menunjukkan jumlah kombinasi pilihan perusahaan saham gabungan asing dari empat. Tetapi dengan setiap kombinasi tersebut, perusahaan saham gabungan yang tidak asing dapat bertemu. Jumlah kombinasi dari perusahaan saham gabungan tersebut akan menjadi $(\rm C)_((\rm 16))^((\rm 4)) $. Oleh karena itu, probabilitas yang diinginkan ditulis sebagai $(\rm P)=\frac((\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_((\ rm 16 ))^((\rm 4)) )((\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) ) =0,28$.

Contoh #5

Ada 4 bagian non-standar dalam kumpulan 18 bagian. 5 buah dipilih secara acak. Tentukan peluang bahwa dua dari 5 bagian ini tidak baku.

Banyaknya semua hasil yang sama-sama tidak cocok $n$ sama dengan jumlah kombinasi dari 18 hingga 5, mis. $n=C_(18)^(5) =8568$.

Mari kita hitung banyaknya hasil $m$ yang mendukung kejadian A. Di antara 5 detail yang diambil secara acak, harus ada 3 yang standar dan 2 yang tidak standar. Banyaknya cara mengambil dua sampel bukan bagian standar dari 4 yang tidak standar yang tersedia sama dengan jumlah kombinasi dari 4 hingga 2: $C_(4)^(2) =6$.

Banyaknya cara untuk memilih tiga suku cadang standar dari 14 suku cadang standar yang tersedia adalah $C_(14)^(3) =364$.

Setiap grup bagian standar dapat digabungkan dengan grup bagian non-standar apa pun, jadi jumlah total kombinasi $m$ adalah $m=C_(4)^(2) \cdot C_(14)^(3) =6 \cdot 364=2184$.

Probabilitas yang diinginkan dari kejadian A sama dengan rasio jumlah hasil $m$ yang mendukung kejadian tersebut dengan jumlah $n$ dari semua kemungkinan yang sama dan acara yang tidak kompatibel$P(A)=\frac(2184)(8568) =0,255.$

Contoh #6.

Sebuah guci berisi 5 bola hitam dan 6 bola putih. 4 bola diambil secara acak. Tentukan peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih di antara mereka.

Biarkan acara $$ menjadi setidaknya satu putih di antara bola yang ditarik.

Mempertimbangkan peristiwa yang berlawanan$\bar()$ - tidak ada bola yang ditarik berwarna putih. Jadi semua 4 bola yang diambil berwarna hitam.

Kami menggunakan rumus kombinatorik.

Banyaknya cara mengeluarkan empat bola dari sebelas:

$n=!_(11)^(4) =\frac(11{4!\cdot (11-4)!} =330$!}

Banyaknya cara untuk mengeluarkan empat bola hitam dari sebelas:

$m=!_(5)^(4) =\frac(5{4!\cdot (5-4)!} =5$!}

Kami mendapatkan: $\; (\bar())=\frac(m)(n) =\frac(5)(330) =\frac(1)(66) $; $P(A)=1-\; (\bar(A))=1-\frac(1)(66) =\frac(65)(66) $.

Jawaban: Peluang tidak ada bola putih di antara keempat bola yang terambil sama dengan $\frac(65)(66) $.

Definisi. Biarkan masuk n percobaan berulang (pengujian) beberapa peristiwa TETAPI telah datang n A sekali.

Nomor n A disebut frekuensi kejadian TETAPI , dan rasio

disebut frekuensi relatif (atau frekuensi) dari peristiwa tersebut TETAPI dalam rangkaian tes ini.

Sifat frekuensi relatif

Frekuensi relatif suatu peristiwa memiliki sifat-sifat berikut.

1. Frekuensi setiap peristiwa terletak pada rentang dari nol hingga satu, mis.

2. Frekuensi kejadian yang tidak mungkin adalah nol, mis.

3. Frekuensi suatu peristiwa tertentu adalah 1, yaitu

4. Frekuensi jumlah dua peristiwa yang tidak kompatibel sama dengan jumlah frekuensi (frekuensi) dari peristiwa ini, yaitu. jika = , maka

Frekuensi memiliki Properti , disebut properti stabilitas statistik : dengan peningkatan jumlah eksperimen (yaitu dengan peningkatan n ) frekuensi suatu peristiwa mengambil nilai yang mendekati probabilitas peristiwa ini R .

Definisi. Probabilitas statistik kejadian A bilangan yang frekuensi relatif suatu peristiwa berfluktuasi disebut TETAPI cukup angka besar tes (eksperimen) n .

Probabilitas Peristiwa TETAPI dilambangkan dengan simbol R (TETAPI ) atau R (TETAPI ). Munculnya huruf sebagai simbol konsep "probabilitas" R ditentukan oleh kehadirannya di tempat pertama di kata Bahasa Inggris kemungkinan - kemungkinan.

Berdasarkan definisi ini

Properti Probabilitas Statistik

1. Probabilitas Statistik ada acara TETAPI antara nol dan satu, yaitu

2. Probabilitas statistik dari suatu kejadian yang tidak mungkin ( TETAPI= ) sama dengan nol, yaitu

3. Probabilitas statistik dari suatu peristiwa tertentu ( TETAPI= ) sama dengan satu, yaitu,

4. Jumlah Probabilitas Statistik tidak cocok kejadian sama dengan jumlah peluang kejadian tersebut, yaitu jika A B= , maka

Definisi klasik dari probabilitas

Biarkan percobaan dilakukan dengan n hasil yang dapat direpresentasikan sebagai sekelompok peristiwa yang sama-sama mungkin tidak sesuai. Kasus yang menyebabkan peristiwa itu terjadi TETAPI , disebut menguntungkan atau menguntungkan, yaitu. kejadian w menyebabkan suatu peristiwa TETAPI , w A .

Definisi. Peluang suatu kejadian TETAPI disebut perbandingan bilangan m kasus yang menguntungkan untuk acara ini, dengan jumlah total n kasus, yaitu

Properti probabilitas "klasik"

1. Aksioma non-negatif : peluang kejadian apapun TETAPI non-negatif, yaitu

R(TETAPI) ≥ 0.

2. Aksioma normalisasi : peluang kejadian tertentu ( TETAPI= ) sama dengan satu:

3. Aksioma aditif : peluang jumlah tidak cocok kejadian (atau probabilitas terjadinya salah satu dari dua kejadian yang tidak sesuai) sama dengan jumlah probabilitas kejadian ini, mis. jika A B=Ø, maka

Probabilitas Peristiwa: R() = 1 – R(TETAPI).

Untuk peluang suatu kejadian adalah jumlah setiap dua acara TETAPI dan PADA, rumus yang benar adalah:

Jika acara TETAPI dan PADA tidak dapat terjadi sebagai akibat dari satu pengujian pada waktu yang sama, yaitu dengan kata lain, jika A B – peristiwa yang tidak mungkin, maka mereka disebut tidak cocok atau tidak cocok , lalu R(A B) = 0 dan rumus probabilitas jumlah kejadian mengambil bentuk yang sangat sederhana:

Jika peristiwa TETAPI dan PADA dapat terjadi sebagai hasil dari satu tes, mereka disebut kompatibel .

Algoritma yang Berguna

Ketika menemukan probabilitas menggunakan definisi klasik dari probabilitas, algoritma berikut harus diikuti.

1. Perlu dipahami dengan jelas apa eksperimen itu.

2. Nyatakan dengan jelas apa acaranya TETAPI, probabilitas yang akan ditemukan.

3. Merumuskan dengan jelas apa yang akan merupakan peristiwa dasar dalam masalah yang sedang dipertimbangkan. Setelah merumuskan dan mendefinisikan peristiwa dasar, seseorang harus memeriksa tiga kondisi, yang harus dipenuhi oleh serangkaian hasil, yaitu. .

6. Mengikuti definisi klasik peluang, tentukan

Saat memecahkan masalah kesalahan paling umum adalah pemahaman kabur tentang apa yang dianggap sebagai peristiwa dasar w , dan kebenaran konstruksi himpunan dan ketepatan perhitungan peluang suatu kejadian bergantung pada ini. Biasanya, dalam praktiknya, hasil paling sederhana diambil sebagai peristiwa dasar, yang tidak dapat "dibagi" menjadi lebih sederhana.

Frekuensi relatif. Stabilitas frekuensi relatif

Frekuensi relatif, bersama dengan probabilitas, termasuk dalam konsep dasar teori probabilitas.

Frekuensi relatif peristiwa mengacu pada rasio jumlah percobaan di mana peristiwa itu terjadi dengan jumlah total percobaan yang benar-benar dilakukan. Jadi, frekuensi relatif peristiwa A ditentukan oleh rumus

di mana m adalah jumlah kejadian, n adalah jumlah percobaan.

Membandingkan definisi probabilitas dan frekuensi relatif, kami menyimpulkan: definisi probabilitas tidak mengharuskan pengujian dilakukan dalam kenyataan; penentuan frekuensi relatif mengasumsikan bahwa tes benar-benar dilakukan. Dengan kata lain, probabilitas dihitung sebelum pengalaman, dan frekuensi relatif setelah pengalaman.

Contoh 1. Departemen kontrol teknis menemukan 3 bagian non-standar dalam kumpulan 80 bagian yang dipilih secara acak. Frekuensi relatif terjadinya bagian non-standar

Contoh 2 24 tembakan dilepaskan ke sasaran, dan 19 tembakan dicatat. Tingkat hit relatif

Pengamatan jangka panjang telah menunjukkan bahwa jika percobaan dilakukan di bawah kondisi yang sama, di mana masing-masing jumlah pengujian cukup besar, maka frekuensi relatif menunjukkan sifat stabilitas. Properti ini adalah apa di berbagai pengalaman frekuensi relatif berubah sedikit (semakin sedikit, semakin banyak pengujian yang dilakukan), berfluktuasi di sekitar angka konstan tertentu. Ternyata bilangan konstan ini merupakan peluang terjadinya suatu kejadian.

Jadi, jika secara empiris frekuensi relatif diatur, maka angka yang dihasilkan dapat diambil sebagai nilai perkiraan probabilitas.

Hubungan antara frekuensi relatif dan probabilitas akan dijelaskan lebih rinci dan lebih tepat di bawah ini. Sekarang mari kita ilustrasikan sifat stabilitas dengan contoh-contoh.

Contoh 3 Menurut statistik Swedia, frekuensi relatif kelahiran anak perempuan pada tahun 1935 berdasarkan bulan ditandai dengan angka-angka berikut (angka-angka tersebut disusun dalam urutan bulan, mulai dari Januari): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Frekuensi relatif berfluktuasi di sekitar angka 0,482, yang dapat diambil sebagai nilai perkiraan untuk kemungkinan memiliki anak perempuan.

Perhatikan bahwa statistik berbagai negara memberikan nilai frekuensi relatif yang kira-kira sama.

Contoh 4. Eksperimen berulang dilakukan dengan melempar koin, yang menghitung jumlah kemunculan "lambang". Hasil dari beberapa percobaan diberikan dalam tabel. satu.

Di sini, frekuensi relatif sedikit menyimpang dari angka 0,5, dan arusnya kurang dari lebih banyak nomor tes. Misalnya, dengan 4040 percobaan, simpangannya adalah 0,0069, dan dengan 24.000 percobaan, hanya 0,0005. Dengan memperhitungkan bahwa peluang munculnya “lambang” ketika sebuah koin dilempar adalah 0,5, kita kembali melihat bahwa frekuensi relatif berfluktuasi di sekitar probabilitas.