Teorema penjumlahan dan perkalian peluang.

Teorema penjumlahan peluang dua kejadian. Probabilitas jumlah dua kejadian sama dengan jumlah peluang kejadian ini tanpa probabilitas kemunculan bersama:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Teorema penjumlahan peluang dua kejadian yang tidak kompatibel. Probabilitas jumlah dua peristiwa yang tidak kompatibel sama dengan jumlah peluang ini:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Contoh 2.16. Penembak menembak target yang dibagi menjadi 3 area. Probabilitas memukul area pertama adalah 0,45, yang kedua - 0,35. Temukan probabilitas bahwa penembak akan mengenai area pertama atau kedua dengan satu tembakan.

Keputusan.

Acara TETAPI- "Penembak mengenai area pertama" dan PADA- "penembak mengenai area kedua" - tidak konsisten (memukul di satu area tidak termasuk masuk ke area lain), jadi teorema penambahan berlaku.

Probabilitas yang diinginkan sama dengan:

P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

Teorema penjumlahan P peristiwa yang tidak kompatibel. Probabilitas jumlah n kejadian yang tidak sesuai sama dengan jumlah probabilitas dari:

P (A 1 + A 2 + ... + A p) \u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A p).

Jumlah peluang kejadian yang berlawanan sama dengan satu:

Probabilitas Peristiwa PADA dengan asumsi suatu peristiwa telah terjadi TETAPI, disebut peluang bersyarat dari kejadian tersebut PADA dan ditandai seperti ini: P(B/A), atau RA (B).

. Probabilitas produk dua peristiwa sama dengan produk probabilitas salah satu dari mereka dengan probabilitas bersyarat yang lain, asalkan peristiwa pertama terjadi:

P(AB)=P(A)P A(B).

Peristiwa PADA tidak tergantung pada acara TETAPI, jika

P A (B) \u003d P (B),

itu. peluang kejadian PADA tidak tergantung pada apakah peristiwa itu terjadi TETAPI.

Teorema perkalian peluang dua kejadian bebas.Probabilitas produk dari dua peristiwa independen sama dengan produk dari probabilitas mereka:

P(AB)=P(A)P(B).

Contoh 2.17. Probabilitas mengenai target saat menembakkan senjata pertama dan kedua masing-masing sama: hal 1 = 0,7; hal 2= 0.8. Temukan probabilitas memukul dengan satu tembakan (dari kedua senjata) oleh setidaknya satu senjata.

Keputusan.

Probabilitas mengenai sasaran oleh masing-masing senjata tidak tergantung pada hasil tembakan dari senjata lain, jadi kejadiannya TETAPI- "Tembakan senjata pertama" dan PADA– “Tembakan senjata kedua” bersifat independen.

Probabilitas Peristiwa AB- "kedua senjata mengenai":

Probabilitas yang diinginkan

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Teorema perkalian peluang P acara.Probabilitas produk dari n peristiwa sama dengan produk dari salah satu dari mereka dengan probabilitas bersyarat dari semua yang lain, dihitung dengan asumsi bahwa semua peristiwa sebelumnya telah terjadi:

Contoh 2.18. Sebuah guci berisi 5 bola putih, 4 hitam, dan 3 biru. Setiap tes terdiri dari fakta bahwa satu bola diambil secara acak tanpa mengembalikannya kembali. Tentukan peluang munculnya bola putih pada percobaan pertama (kejadian A), bola hitam pada percobaan kedua (kejadian B), dan bola biru pada percobaan ketiga (kejadian C).

Keputusan.

Peluang munculnya bola putih pada percobaan pertama:

Peluang munculnya bola hitam pada percobaan kedua, dihitung dengan asumsi bahwa bola putih muncul pada percobaan pertama, yaitu peluang bersyarat:

Peluang munculnya bola biru pada percobaan ketiga, dihitung dengan asumsi bahwa bola putih muncul pada percobaan pertama dan bola hitam pada percobaan kedua, yaitu probabilitas bersyarat:

Probabilitas yang diinginkan sama dengan:

Teorema perkalian peluang P acara mandiri.Probabilitas produk dari n peristiwa independen sama dengan produk dari probabilitasnya:

P (A 1 A 2 ... A p) \u003d P (A 1) P (A 2) ... P (A p).

Probabilitas bahwa setidaknya salah satu peristiwa akan terjadi. Peluang terjadinya paling sedikit salah satu kejadian A 1 , A 2 , ..., A p, independen dalam agregat, sama dengan selisih antara kesatuan dan hasil kali peluang kejadian yang berlawanan:

.

Contoh 2.19. Probabilitas mengenai sasaran ketika menembak dari tiga senjata adalah sebagai berikut: hal 1 = 0,8; hal 2 = 0,7;hal 3= 0.9. Temukan probabilitas setidaknya satu pukulan (peristiwa TETAPI) dengan satu salvo dari semua senjata.

Keputusan.

Probabilitas mengenai sasaran oleh masing-masing senjata tidak tergantung pada hasil tembakan dari senjata lain, jadi peristiwa yang dipertimbangkan 1(ditembak oleh senjata pertama), A 2(ditembak oleh senjata kedua) dan A 3(hit of the third gun) independen secara agregat.

Peluang kejadian yang berlawanan dengan kejadian 1, A 2 dan A 3(yaitu probabilitas meleset), masing-masing, sama dengan:

, , .

Probabilitas yang diinginkan sama dengan:

Jika peristiwa independen A 1, A 2, ..., A p memiliki kemungkinan yang sama R, maka peluang terjadinya paling sedikit salah satu dari kejadian tersebut dinyatakan dengan rumus:

(А)= 1 – q n ,

di mana q=1-p

2.7. Rumus Probabilitas Total. rumus Bayes.

Biarkan acara TETAPI dapat terjadi jika salah satu peristiwa yang tidak kompatibel terjadi N 1, N 2, ..., N p, membentuk kelompok lengkap peristiwa. Karena tidak diketahui sebelumnya yang mana dari peristiwa ini akan terjadi, mereka disebut hipotesis.

Peluang terjadinya suatu kejadian TETAPI dihitung oleh rumus probabilitas total:

P (A) \u003d P (N 1) P (A / N 1) + P (N 2) P (A / N 2) + ... + P (N p) P (A / N p).

Mari kita asumsikan bahwa percobaan telah dilakukan, sebagai akibatnya peristiwa TETAPI telah terjadi. Peluang kejadian bersyarat N 1, N 2, ..., N p tentang acara TETAPI bertekad Rumus Bayes:

,

Contoh 2.20. Dalam kelompok 20 siswa yang datang ke ujian, 6 sangat baik, 8 baik, 4 memuaskan dan 2 kurang siap. Ada 30 pertanyaan di kertas ujian. Seorang siswa yang dipersiapkan dengan baik dapat menjawab semua 30 pertanyaan, seorang siswa yang dipersiapkan dengan baik dapat menjawab 24, seorang siswa yang memuaskan dapat menjawab 15, dan seorang siswa yang miskin dapat menjawab 7.

Seorang siswa yang dipilih secara acak menjawab tiga pertanyaan acak. Temukan probabilitas bahwa siswa ini siap: a) sangat baik; b) buruk.

Keputusan.

Hipotesis - "siswa sudah siap";

– “siswa sudah dipersiapkan dengan baik”;

– “Siswa dipersiapkan dengan memuaskan”;

- "siswa kurang siap."

Sebelum pengalaman:

; ; ; ;

7. Apa yang disebut dengan kumpulan peristiwa lengkap?

8. Peristiwa apa yang disebut sama kemungkinannya? Berikan contoh peristiwa seperti itu.

9. Apa yang disebut hasil dasar?

10. Hasil apa yang saya sebut menguntungkan untuk acara ini?

11. Operasi apa yang dapat dilakukan pada event? Beri mereka definisi. Bagaimana mereka ditunjuk? Berikan contoh.

12. Apa yang disebut probabilitas?

13. Berapa peluang suatu kejadian tertentu?

14. Berapa peluang suatu kejadian yang mustahil?

15. Berapa batas probabilitas?

16. Bagaimana probabilitas geometrik pada bidang ditentukan?

17. Bagaimana probabilitas didefinisikan dalam ruang?

18. Bagaimana probabilitas pada garis lurus ditentukan?

19. Berapakah peluang munculnya jumlah dua kejadian?

20. Berapakah peluang munculnya dua kejadian yang tidak sesuai?

21. Berapa peluang jumlah n kejadian yang tidak sesuai?

22. Berapa probabilitas bersyarat? Berikan contoh.

23. Merumuskan teorema perkalian probabilitas.

24. Bagaimana cara mencari peluang terjadinya paling sedikit satu kejadian?

25. Peristiwa apa yang disebut hipotesis?

26. Kapan rumus probabilitas total dan rumus Bayes digunakan?

Teorema penjumlahan

Pertimbangkan peristiwa acak yang tidak kompatibel.

Diketahui bahwa kejadian acak yang tidak kompatibel $A$ dan $B$ dalam percobaan yang sama masing-masing memiliki probabilitas $P\left(A\right)$ dan $P\left(B\right)$. Mari kita cari peluang jumlah $A+B$ dari peristiwa-peristiwa ini, yaitu peluang terjadinya setidaknya salah satu dari mereka.

Misalkan dalam pengujian ini jumlah semua kejadian elementer yang mungkin sama adalah $n$. Dari jumlah tersebut, event $A$ dan $B$ disukai oleh event dasar $m_(A)$ dan $m_(B)$. Karena peristiwa $A$ dan $B$ tidak kompatibel, peristiwa $A+B$ disukai oleh peristiwa dasar $m_(A) +m_(B)$. Kami memiliki $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\kiri(A\kanan)+P\kiri(B\kanan)$.

Teorema 1

Probabilitas jumlah dua kejadian yang tidak sesuai sama dengan jumlah probabilitasnya.

Catatan 1

Konsekuensi 1. Probabilitas jumlah sejumlah kejadian yang tidak sesuai sama dengan jumlah probabilitas kejadian-kejadian tersebut.

Konsekuensi 2. Jumlah probabilitas dari sekelompok lengkap peristiwa yang tidak kompatibel (jumlah dari probabilitas semua peristiwa elementer) sama dengan satu.

Konsekuensi 3. Jumlah peluang kejadian yang berlawanan sama dengan satu, karena mereka membentuk kelompok lengkap kejadian yang tidak kompatibel.

Contoh 1

Peluang tidak akan pernah hujan di kota untuk beberapa waktu adalah $p=0,7$. Temukan probabilitas $q$ bahwa selama waktu yang sama akan turun hujan di kota setidaknya sekali.

Peristiwa "untuk beberapa waktu tidak pernah hujan di kota" dan "untuk beberapa waktu hujan di kota setidaknya sekali" adalah kebalikannya. Oleh karena itu $p+q=1$, dari mana $q=1-p=1-0.7=0.3$.

Pertimbangkan kejadian acak bersama.

Diketahui bahwa kejadian acak gabungan $A$ dan $B$ dalam percobaan yang sama masing-masing memiliki probabilitas $P\left(A\right)$ dan $P\left(B\right)$. Mari kita cari peluang jumlah $A+B$ dari peristiwa-peristiwa ini, yaitu peluang terjadinya setidaknya salah satu dari mereka.

Misalkan dalam pengujian ini jumlah semua kejadian elementer yang mungkin sama adalah $n$. Dari jumlah tersebut, event $A$ dan $B$ disukai oleh event dasar $m_(A)$ dan $m_(B)$. Karena kejadian $A$ dan $B$ adalah gabungan, maka dari jumlah total $m_(A) +m_(B) $ kejadian dasar, sejumlah $m_(AB) $ mendukung kedua kejadian $A$ dan kejadian $B$, yaitu, kemunculan bersama mereka (produk dari kejadian $A\cdot B$). Kuantitas ini $m_(AB)$ memasukkan $m_(A)$ dan $m_(B)$. Jadi peristiwa $A+B$ disukai oleh $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ peristiwa dasar. Kami memiliki: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\kiri(A\kanan)+P\kiri(B\kanan)-P\kiri(A\cdot B\ kanan)$.

Teorema 2

Probabilitas jumlah dua kejadian bersama sama dengan jumlah probabilitas kejadian ini dikurangi probabilitas produknya.

Komentar. Jika kejadian $A$ dan $B$ tidak sesuai, maka hasil kali $A\cdot B$ adalah kejadian mustahil yang probabilitasnya adalah $P\left(A\cdot B\right)=0$. Oleh karena itu, rumus untuk menjumlahkan peluang kejadian yang tidak sesuai adalah kasus khusus dari rumus untuk menjumlahkan peluang kejadian bersama.

Contoh 2

Tentukan peluang munculnya dua buah dadu secara bersamaan dengan angka 5 yang muncul paling sedikit satu kali.

Saat melempar dua dadu secara bersamaan, jumlah semua kejadian dasar yang mungkin sama adalah $n=36$, karena enam digit dadu kedua dapat jatuh pada setiap digit dadu pertama. Dari jumlah tersebut, kejadian $A$ - angka 5 dilempar pada dadu pertama - terjadi 6 kali, kejadian $B$ - angka 5 dilempar pada dadu kedua - juga terjadi 6 kali. Dari semua dua belas kali, angka 5 muncul sekali pada kedua dadu. Jadi $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $.

Teorema perkalian peluang

Pertimbangkan acara independen.

Peristiwa $A$ dan $B$ yang terjadi dalam dua percobaan yang berurutan disebut bebas jika peluang terjadinya peristiwa $B$ tidak bergantung pada apakah peristiwa $A$ terjadi atau tidak terjadi.

Misalnya, ada 2 bola putih dan 2 bola hitam dalam sebuah guci. Tesnya adalah mengekstrak bola. Peristiwa $A$ adalah "sebuah bola putih terambil pada percobaan pertama". Probabilitas $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Setelah tes pertama, bola dimasukkan kembali dan tes kedua dilakukan. Event $B$ -- ``bola putih ditarik pada percobaan kedua''. Probabilitas $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $. Probabilitas $P\left(B\right)$ tidak bergantung pada apakah kejadian $A$ terjadi atau tidak, maka kejadian $A$ dan $B$ saling bebas.

Diketahui bahwa kejadian acak independen $A$ dan $B$ dari dua percobaan berturut-turut memiliki probabilitas masing-masing $P\left(A\right)$ dan $P\left(B\right)$. Mari kita cari peluang hasil kali $A\cdot B$ dari peristiwa-peristiwa ini, yaitu, peluang kemunculan bersamanya.

Misalkan pada percobaan pertama banyaknya semua kejadian elementer yang mungkin sama adalah $n_(1) $. Dari jumlah tersebut, $A$ disukai oleh event dasar $m_(1)$. Mari kita asumsikan juga bahwa pada pengujian kedua jumlah semua kejadian elementer yang mungkin sama adalah $n_(2) $. Dari jumlah tersebut, acara $B$ disukai oleh acara dasar $m_(2)$. Sekarang perhatikan peristiwa dasar baru, yang terdiri dari kejadian berturut-turut dari percobaan pertama dan kedua. Jumlah total kejadian elementer yang kemungkinannya sama adalah sama dengan $n_(1) \cdot n_(2) $. Karena kejadian $A$ dan $B$ saling bebas, dari bilangan ini kejadian gabungan dari kejadian $A$ dan kejadian $B$ (produk dari kejadian $A\cdot B$) disukai oleh $m_( 1) \cdot m_(2) $ event . Kami memiliki: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.

Teorema 3

Probabilitas produk dari dua peristiwa independen sama dengan produk dari probabilitas dari peristiwa ini.

Pertimbangkan peristiwa dependen.

Dalam dua percobaan berturut-turut, peristiwa $A$ dan $B$ terjadi. Suatu peristiwa $B$ dikatakan bergantung pada peristiwa $A$ jika peluang terjadinya peristiwa $B$ bergantung pada apakah peristiwa $A$ terjadi atau tidak. Maka peluang kejadian $B$, yang dihitung pada kondisi bahwa kejadian $A$ terjadi, disebut peluang bersyarat dari kejadian $B$ pada kondisi $A$ dan dilambangkan dengan $P\left (B/A\kanan)$.

Misalnya, ada 2 bola putih dan 2 bola hitam dalam sebuah guci. Tesnya adalah ekstraksi bola. Peristiwa $A$ adalah "sebuah bola putih terambil pada percobaan pertama". Probabilitas $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Setelah tes pertama, bola tidak dikembalikan dan tes kedua dilakukan. Event $B$ -- ``bola putih ditarik pada percobaan kedua''. Jika sebuah bola putih terambil pada percobaan pertama, maka peluangnya adalah $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. Jika sebuah bola hitam terambil pada percobaan pertama, maka peluangnya adalah $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. Jadi, peluang kejadian $B$ tergantung pada apakah kejadian $A$ terjadi atau tidak, oleh karena itu, kejadian $B$ tergantung pada kejadian $A$.

Asumsikan bahwa peristiwa $A$ dan $B$ terjadi dalam dua percobaan berturut-turut. Diketahui bahwa kejadian $A$ mempunyai peluang terjadinya $P\left(A\right)$. Diketahui juga bahwa kejadian $B$ bergantung pada kejadian $A$ dan probabilitas bersyaratnya pada kondisi $A$ sama dengan $P\left(B/A\right)$.

Teorema 4

Probabilitas hasil kali kejadian $A$ dan kejadian $B$ yang bergantung padanya, yaitu probabilitas kemunculan bersama, dapat ditemukan dengan rumus $P\left(A\cdot B\right)= P\kiri(A\kanan)\cdot P\kiri(B/A\kanan)$.

Rumus simetris $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ juga valid, di mana kejadian $A$ diasumsikan bergantung pada event $B$.

Untuk kondisi contoh terakhir, kami menemukan probabilitas bahwa bola putih akan terambil di kedua percobaan. Kejadian seperti itu adalah produk dari kejadian $A$ dan $B$. Peluangnya adalah $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.

Institusi Pendidikan "Negara Belarusia

akademi pertanian"

Departemen Matematika Tinggi

PENAMBAHAN DAN PERGANDAAN PROBABILITAS. UJI INDEPENDEN BERULANG

Kuliah untuk mahasiswa Fakultas Manajemen Pertanahan

pembelajaran jarak jauh

Gorki, 2012

Penjumlahan dan perkalian peluang. Ulang

tes mandiri

Penambahan probabilitas

Jumlah dua kejadian bersama TETAPI dan PADA disebut peristiwa Dengan, terdiri dari terjadinya setidaknya satu dari peristiwa TETAPI atau PADA. Demikian pula, jumlah beberapa kejadian bersama adalah kejadian yang terdiri dari terjadinya setidaknya satu dari kejadian ini.

Jumlah dua kejadian yang saling lepas TETAPI dan PADA disebut peristiwa Dengan, terdiri dari kejadian atau peristiwa TETAPI, atau acara PADA. Demikian pula, jumlah beberapa peristiwa yang tidak kompatibel adalah peristiwa yang terdiri dari terjadinya salah satu dari peristiwa ini.

Teorema penjumlahan peluang kejadian yang tidak kompatibel adalah valid: peluang jumlah dua kejadian yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut , yaitu . Teorema ini dapat diperluas ke sejumlah peristiwa yang tidak kompatibel.

Dari teorema ini berikut:

jumlah peluang kejadian membentuk kelompok lengkap sama dengan satu;

jumlah peluang kejadian yang berlawanan sama dengan satu, yaitu
.

Contoh 1 . Sebuah kotak berisi 2 bola putih, 3 merah, dan 5 bola biru. Bola dikocok dan diambil satu secara acak. Berapa peluang terambilnya bola berwarna?

Keputusan . Mari kita tunjukkan peristiwa:

A=(bola warna dihilangkan);

B= (bola putih terambil);

C= (bola merah terambil);

D= (bola biru dihilangkan).

Kemudian A= C+ D. Sejak peristiwa C, D tidak kompatibel, maka kami menggunakan teorema penambahan peluang kejadian yang tidak kompatibel: .

Contoh 2 . Sebuah guci berisi 4 bola putih dan 6 bola hitam. Dari guci tersebut diambil 3 bola secara acak. Berapa probabilitas bahwa mereka semua memiliki warna yang sama?

Keputusan . Mari kita tunjukkan peristiwa:

A\u003d (bola dengan warna yang sama dikeluarkan);

B\u003d (bola putih dikeluarkan);

C= (bola hitam dikeluarkan).

Sebagai A= B+ C dan acara PADA dan Dengan tidak kompatibel, maka dengan teorema penambahan peluang kejadian yang tidak kompatibel
. Probabilitas Peristiwa PADA adalah sama dengan
, di mana
4,

. Pengganti k dan n ke dalam rumus dan dapatkan
Demikian pula, kami menemukan probabilitas suatu peristiwa Dengan:
, di mana
,
, yaitu
. Kemudian
.

Contoh 3 . Dari setumpuk 36 kartu, 4 kartu diambil secara acak. Temukan probabilitas bahwa akan ada setidaknya tiga kartu As di antara mereka.

Keputusan . Mari kita tunjukkan peristiwa:

A\u003d (di antara kartu yang ditarik setidaknya ada tiga kartu As);

B\u003d (di antara kartu yang ditarik ada tiga kartu As);

C= (di antara kartu yang ditarik ada empat ace).

Sebagai A= B+ C, dan acara PADA dan Dengan tidak konsisten, maka
. Mari kita cari peluang kejadiannya PADA dan Dengan:

,
. Oleh karena itu, peluang bahwa di antara kartu yang diambil paling sedikit terdapat tiga kartu As adalah sama dengan

0.0022.

perkalian probabilitas

kerja dua acara TETAPI dan PADA disebut peristiwa Dengan, yang terdiri dari terjadinya bersama dari peristiwa-peristiwa ini:
. Definisi ini meluas ke sejumlah peristiwa yang terbatas.

Kedua peristiwa tersebut disebut mandiri jika probabilitas terjadinya salah satunya tidak tergantung pada apakah peristiwa lainnya terjadi atau tidak. Acara ,, … ,ditelepon mandiri secara kolektif , jika probabilitas terjadinya masing-masing tidak tergantung pada apakah peristiwa lain terjadi atau tidak terjadi.

Contoh 4 . Dua anak panah menembak sasaran. Mari kita tunjukkan peristiwa:

A=(Penembak pertama mengenai target);

B= (penembak kedua mengenai sasaran).

Jelas, kemungkinan mengenai sasaran oleh penembak pertama tidak tergantung pada apakah penembak kedua mengenai atau meleset, dan sebaliknya. Oleh karena itu, peristiwa TETAPI dan PADA mandiri.

Teorema perkalian peluang kejadian bebas adalah valid: peluang hasil kali dua kejadian bebas sama dengan hasil kali peluang kejadian-kejadian tersebut : .

Teorema ini juga berlaku untuk n peristiwa yang independen secara agregat: .

Contoh 5 . Dua penembak menembak sasaran yang sama. Probabilitas memukul penembak pertama adalah 0,9, dan yang kedua adalah 0,7. Kedua penembak melepaskan satu tembakan pada saat yang bersamaan. Tentukan probabilitas bahwa akan ada dua hit pada target.

Keputusan . Mari kita tunjukkan peristiwa:

A

B

C=(kedua panah akan mengenai target).

Sebagai
, dan acara TETAPI dan PADA mandiri, maka
, yaitu..

Acara TETAPI dan PADA ditelepon bergantung jika probabilitas terjadinya salah satunya tergantung pada apakah peristiwa lainnya terjadi atau tidak. Peluang suatu kejadian TETAPI asalkan acara PADA itu sudah ada di sini, itu disebut probabilitas bersyarat dan dilambangkan
atau
.

Contoh 6 . Sebuah guci berisi 4 bola putih dan 7 bola hitam. Bola diambil dari guci. Mari kita tunjukkan peristiwa:

A=(bola putih dibuang);

B= (bola hitam dihilangkan).

Sebelum Anda mulai menggambar bola dari guci
. Satu bola diambil dari guci dan ternyata menjadi hitam. Maka peluang kejadian TETAPI setelah acara PADA akan berbeda, sama . Artinya peluang suatu kejadian TETAPI tergantung acara PADA, yaitu peristiwa ini akan tergantung.

Teorema perkalian peluang kejadian dependen adalah valid: probabilitas produk dari dua peristiwa dependen sama dengan produk dari probabilitas salah satu dari mereka dengan probabilitas bersyarat yang lain, dihitung dengan asumsi bahwa peristiwa pertama telah terjadi, yaitu atau.

Contoh 7 . Sebuah guci berisi 4 bola putih dan 8 bola merah. Dua bola diambil secara acak darinya. Tentukan peluang terambilnya kedua bola berwarna hitam.

Keputusan . Mari kita tunjukkan peristiwa:

A=(bola hitam diambil lebih dulu);

B= (sebuah bola hitam diambil kedua).

Acara TETAPI dan PADA tergantung karena
, sebuah
. Kemudian
.

Contoh 8 . Tiga anak panah menembak target secara independen satu sama lain. Probabilitas mengenai target untuk penembak pertama adalah 0,5, untuk yang kedua - 0,6 dan untuk yang ketiga - 0,8. Temukan probabilitas bahwa dua pukulan akan terjadi jika setiap penembak menembakkan satu tembakan.

Keputusan . Mari kita tunjukkan peristiwa:

A=(akan ada dua hit pada target);

B=(penembak pertama mengenai target);

C=(Penembak kedua akan mengenai target);

D=(penembak ketiga akan mengenai target);

=(penembak pertama tidak akan mengenai target);

=(Penembak kedua tidak akan mengenai target);

=(Penembak ketiga tidak akan mengenai target).

Sesuai dengan contoh
,
,
,

,
,
. Karena, dengan menggunakan teorema penjumlahan untuk peluang kejadian yang tidak kompatibel dan teorema untuk mengalikan peluang kejadian independen, kita mendapatkan:

Biarkan acara
membentuk kelompok lengkap peristiwa dari beberapa percobaan, dan peristiwa TETAPI hanya dapat terjadi dengan salah satu dari peristiwa ini. Jika peluang dan peluang bersyarat dari suatu kejadian diketahui TETAPI, maka peluang kejadian A dihitung dengan rumus:

atau
. Rumus ini disebut rumus probabilitas total , dan acara
hipotesis .

Contoh 9 . Jalur perakitan menerima 700 suku cadang dari mesin pertama dan 300 suku cadang dari yang kedua. Mesin pertama memberikan 0,5% penolakan, dan yang kedua - 0,7%. Tentukan peluang barang yang diambil cacat.

Keputusan . Mari kita tunjukkan peristiwa:

A=(barang yang diambil akan cacat);

= (bagian dibuat pada mesin pertama);

= (bagian dibuat pada mesin kedua).

Probabilitas bahwa bagian itu dibuat pada mesin pertama adalah
. Untuk mesin kedua
. Dengan syarat, peluang mendapatkan suku cadang cacat yang dibuat pada mesin pertama adalah sama dengan
. Untuk mesin kedua, probabilitas ini sama dengan
. Kemudian probabilitas bahwa bagian yang diambil akan rusak dihitung dengan rumus probabilitas total

Jika suatu peristiwa diketahui telah terjadi sebagai akibat dari suatu pengujian TETAPI, maka peluang terjadinya peristiwa tersebut dengan hipotesis
, adalah sama dengan
, di mana
- total probabilitas acara TETAPI. Rumus ini disebut rumus Bayes dan memungkinkan Anda untuk menghitung probabilitas kejadian
setelah diketahui bahwa peristiwa itu TETAPI telah tiba.

Contoh 10 . Bagian dari jenis yang sama untuk mobil diproduksi di dua pabrik dan pergi ke toko. Pabrik pertama menghasilkan 80% dari jumlah total bagian, dan yang kedua - 20%. Produksi pabrik pertama mengandung 90% bagian standar, dan yang kedua - 95%. Pembeli membeli satu bagian dan ternyata standar. Temukan probabilitas bahwa bagian ini dibuat di pabrik kedua.

Keputusan . Mari kita tunjukkan peristiwa:

A=(membeli bagian standar);

= (bagian dibuat di pabrik pertama);

= (bagian dibuat di pabrik kedua).

Sesuai dengan contoh
,
,
dan
. Hitung peluang total suatu kejadian TETAPI: 0,91. Probabilitas bahwa suku cadang diproduksi di pabrik kedua dihitung dengan menggunakan rumus Bayes:

.

Tugas untuk pekerjaan mandiri

Probabilitas mengenai target untuk penembak pertama adalah 0,8, untuk yang kedua - 0,7 dan untuk yang ketiga - 0,9. Para penembak melepaskan satu tembakan. Temukan probabilitas bahwa setidaknya ada dua pukulan pada target.

Bengkel tersebut menerima 15 traktor. Diketahui bahwa 6 di antaranya perlu mengganti mesin, dan sisanya - untuk mengganti komponen individual. Tiga traktor dipilih secara acak. Tentukan peluang bahwa tidak lebih dari dua traktor yang dipilih memerlukan penggantian mesin.

Pabrik beton menghasilkan panel, 80% di antaranya memiliki kualitas terbaik. Temukan probabilitas bahwa dari tiga panel yang dipilih secara acak, setidaknya dua akan memiliki nilai tertinggi.

Tiga pekerja merakit bantalan. Probabilitas bahwa bantalan yang dirakit oleh pekerja pertama memiliki kualitas tertinggi adalah 0,7, yang kedua - 0,8, dan yang ketiga - 0,6. Untuk kontrol, satu bantalan diambil secara acak dari yang dirakit oleh masing-masing pekerja. Temukan probabilitas bahwa setidaknya dua dari mereka memiliki kualitas tertinggi.

Probabilitas menang pada tiket lotere edisi pertama adalah 0,2, yang kedua - 0,3 dan yang ketiga - 0,25. Ada satu tiket untuk setiap edisi. Temukan probabilitas bahwa setidaknya dua tiket akan menang.

Akuntan melakukan perhitungan menggunakan tiga buku referensi. Probabilitas bahwa data yang menarik baginya ada di direktori pertama adalah 0,6, di direktori kedua - 0,7, dan di direktori ketiga - 0,8. Temukan probabilitas bahwa data yang menarik bagi akuntan terdapat dalam tidak lebih dari dua direktori.

Tiga mesin membuat bagian. Otomaton pertama menghasilkan bagian dengan kualitas tertinggi dengan probabilitas 0,9, yang kedua dengan probabilitas 0,7, dan yang ketiga dengan probabilitas 0,6. Satu item diambil secara acak dari setiap mesin. Temukan probabilitas bahwa setidaknya dua dari mereka memiliki kualitas tertinggi.

Jenis suku cadang yang sama diproses pada dua mesin. Probabilitas pembuatan bagian non-standar untuk mesin pertama adalah 0,03, untuk yang kedua - 0,02. Bagian yang diproses ditumpuk di satu tempat. Di antara mereka, 67% berasal dari mesin pertama, dan sisanya dari mesin kedua. Bagian yang diambil secara acak ternyata menjadi standar. Temukan probabilitas bahwa itu dibuat pada mesin pertama.

Bengkel menerima dua kotak dengan jenis kapasitor yang sama. Kotak pertama berisi 20 kapasitor, 2 di antaranya rusak. Di kotak kedua ada 10 kapasitor, 3 di antaranya rusak. Kapasitor dipindahkan ke satu kotak. Tentukan peluang bahwa sebuah kapasitor yang diambil secara acak dari kotak adalah baik.

Pada tiga mesin, jenis suku cadang yang sama dibuat, yang diumpankan ke konveyor umum. Di antara semua detail, 20% dari mesin pertama, 30% dari yang kedua dan 505 dari yang ketiga. Probabilitas pembuatan suku cadang standar pada mesin pertama adalah 0,8, pada mesin kedua - 0,6 dan pada mesin ketiga - 0,7. Bagian yang diambil adalah standar. Temukan probabilitas bahwa bagian ini dibuat pada mesin ketiga.

Picker menerima 40% suku cadang dari pabrik untuk perakitan TETAPI, dan sisanya - dari pabrik PADA. Probabilitas bahwa bagian dari pabrik TETAPI- kualitas tertinggi, sama dengan 0,8, dan dari pabrik PADA– 0.9. Pemetik secara acak mengambil satu bagian dan itu bukan kualitas tertinggi. Temukan probabilitas bahwa bagian ini berasal dari pabrik PADA.

10 siswa dari kelompok pertama dan 8 siswa dari kelompok kedua dipilih untuk mengikuti kompetisi olahraga siswa. Probabilitas bahwa seorang siswa dari kelompok pertama akan masuk ke tim nasional akademi adalah 0,8, dan dari yang kedua - 0,7. Seorang siswa yang dipilih secara acak dipilih untuk tim nasional. Tentukan peluang bahwa dia berasal dari kelompok pertama.

rumus Bernoulli

Tes disebut mandiri , jika untuk masing-masing dari mereka acara TETAPI terjadi dengan peluang yang sama
, terlepas dari apakah peristiwa ini muncul atau tidak muncul di uji coba lainnya. Peluang kejadian yang berlawanan dalam hal ini sama dengan
.

Contoh 11 . Melempar dadu n sekali. Tandai acaranya A= (menjatuhkan tiga poin). Peluang suatu kejadian TETAPI dalam setiap percobaan sama dengan dan tidak tergantung pada apakah peristiwa ini terjadi atau tidak terjadi pada percobaan lainnya. Oleh karena itu, tes ini independen. Peluang kejadian yang berlawanan
(tidak menggulirkan tiga poin) sama dengan
.

Probabilitas bahwa dalam n percobaan independen, di mana masing-masing probabilitas suatu peristiwa terjadi TETAPI adalah sama dengan p, peristiwa itu akan terjadi tepat k kali (tidak peduli dalam urutan apa), dihitung dengan rumus
, di mana
. Rumus ini disebut rumus Bernoulli dan akan lebih mudah jika jumlah percobaan n tidak terlalu besar.

Contoh 12 . Proporsi janin yang terinfeksi penyakit dalam bentuk laten adalah 25%. 6 buah dipilih secara acak. Tentukan peluang bahwa di antara yang terpilih akan ada: a) tepat 3 janin yang terinfeksi; b) tidak lebih dari dua buah yang terinfeksi.

Keputusan . Sesuai dengan contoh.

a) Menurut rumus Bernoulli, peluang bahwa tepat tiga dari enam buah terpilih akan terinfeksi adalah sama dengan

0.132.

b) Nyatakan kejadiannya A=(terinfeksi tidak lebih dari dua janin). Kemudian . Menurut rumus Bernoulli:

0.297.

Karena itu,
0.178+0.356+0.297=0.831.

Teorema Laplace dan Poisson

Rumus Bernoulli digunakan untuk mencari peluang suatu kejadian TETAPI akan datang k sekali n percobaan independen dan dalam setiap percobaan probabilitas suatu peristiwa TETAPI konstan. Untuk nilai n yang besar, perhitungan menggunakan rumus Bernoulli menjadi memakan waktu. Dalam hal ini, untuk menghitung peluang suatu kejadian TETAPI lebih baik menggunakan formula yang berbeda.

Teorema Laplace Lokal . Biarkan probabilitas p peristiwa TETAPI dalam setiap tes adalah konstan dan berbeda dari nol dan satu. Maka peluang kejadian TETAPI datang tepat k kali untuk sejumlah n percobaan yang cukup besar, dihitung dengan rumus

, di mana
, dan nilai fungsi
diberikan dalam tabel.

Sifat utama dari fungsi
adalah:

Fungsi
didefinisikan dan kontinu dalam interval
.

Fungsi
adalah positif, yaitu
>0.

Fungsi
genap, yaitu
.

Sejak fungsi
genap, maka tabel menunjukkan nilainya hanya untuk nilai positif X.

Contoh 13 . Perkecambahan biji gandum adalah 80%. 100 benih dipilih untuk percobaan. Tentukan peluang bahwa tepat 90 biji yang terpilih akan berkecambah.

Keputusan . Sesuai dengan contoh n=100, k=90, p=0.8, q=1-0.8=0.2. Kemudian
. Berdasarkan tabel kita menemukan nilai fungsi
:
. Peluang terambil tepat 90 biji yang terpilih akan berkecambah adalah
0.0044.

Ketika memecahkan masalah praktis, menjadi perlu untuk menemukan probabilitas suatu peristiwa yang terjadi TETAPI pada n tes independen setidaknya sekali dan tidak lebih sekali. Masalah ini diselesaikan dengan bantuan Teorema integral Laplace : Biarkan peluang p peristiwa TETAPI di masing-masing n tes independen konstan dan berbeda dari nol dan kesatuan. Maka peluang terjadinya peristiwa tersebut paling sedikit adalah sekali dan tidak lebih kali untuk jumlah tes yang cukup besar, dihitung dengan rumus

Di mana
,
.

Fungsi
ditelepon Fungsi Laplace dan tidak dinyatakan dalam fungsi dasar. Nilai fungsi ini diberikan dalam tabel khusus.

Sifat utama dari fungsi
adalah:

.

Fungsi
meningkat dalam interval
.

pada
.

Fungsi
aneh, yaitu
.

Contoh 14 . Perusahaan menghasilkan produk, yang 13% di antaranya tidak berkualitas tinggi. Tentukan peluang bahwa dalam suatu bets yang belum diuji yang terdiri dari 150 unit produk dengan kualitas terbaik akan ada paling sedikit 125 dan paling banyak 135.

Keputusan . Mari kita tunjukkan. Menghitung
,

Eksperimen sedang dipertimbangkan E. Diasumsikan bahwa hal itu dapat dilakukan berulang kali. Sebagai hasil dari percobaan, berbagai peristiwa dapat muncul yang membentuk himpunan tertentu F. Peristiwa yang diamati dibagi menjadi tiga jenis: dapat diandalkan, tidak mungkin, acak.

kredibel Suatu peristiwa disebut peristiwa yang pasti akan terjadi sebagai akibat dari suatu percobaan. E. Dilambangkan .

Mustahil Suatu peristiwa disebut peristiwa yang tidak diketahui terjadi sebagai akibat dari suatu percobaan. E. Ditunjuk.

Acak Peristiwa yang mungkin atau tidak mungkin terjadi sebagai hasil dari percobaan disebut E.

Tambahan (sebaliknya) peristiwa TETAPI disebut peristiwa, dilambangkan dengan , yang terjadi jika dan hanya jika peristiwa tersebut tidak terjadi TETAPI.

Jumlah (kombinasi) peristiwa adalah peristiwa yang terjadi jika dan hanya jika setidaknya salah satu dari peristiwa ini terjadi (Gambar 3.1). Sebutan.

Gambar 3.1

Produk (persimpangan) peristiwa disebut peristiwa yang terjadi jika dan hanya jika semua peristiwa tersebut terjadi secara bersamaan (simultan) (Gambar 3.2). Sebutan. Jelasnya, kejadian A dan B tidak cocok , jika .

Gambar 3.2

Grup lengkap acara Himpunan peristiwa disebut, yang jumlahnya adalah peristiwa tertentu:

Peristiwa PADA ditelepon kasus khusus dari suatu peristiwa TETAPI, jika dengan penampilan acara PADA acara muncul TETAPI. Dikatakan juga bahwa acara PADA memicu suatu peristiwa TETAPI(Gambar 3.3). Penamaan .

Gambar 3.3

Acara TETAPI dan PADA ditelepon setara jika mereka terjadi atau tidak terjadi bersama-sama selama percobaan E. Penamaan . Jelas, jika

Acara yang rumit disebut peristiwa yang diamati yang diungkapkan melalui peristiwa lain yang diamati dalam percobaan yang sama menggunakan operasi aljabar.

Probabilitas pelaksanaan acara kompleks tertentu dihitung menggunakan rumus untuk penambahan dan perkalian probabilitas.

Teorema penjumlahan

Konsekuensi:

1) jika terjadi peristiwa TETAPI dan PADA tidak konsisten, teorema penjumlahan berbentuk:

2) dalam hal tiga suku, teorema penjumlahan dapat ditulis sebagai

3) jumlah peluang kejadian yang saling berlawanan sama dengan 1:

Himpunan kejadian ,, ..., disebut kumpulan acara lengkap , jika

Jumlah peluang kejadian membentuk kelompok lengkap sama dengan 1:

Peluang terjadinya suatu kejadian TETAPI asalkan acara PADA terjadi, disebut probabilitas bersyarat dan menunjukkan atau.

TETAPI dan PADA – peristiwa tergantung , jika .

TETAPI dan PADA – acara mandiri , jika .

Teorema perkalian peluang

Konsekuensi:

1) untuk acara independen TETAPI dan PADA

2) dalam kasus umum, untuk produk dari tiga peristiwa, teorema perkalian probabilitas memiliki bentuk:

Contoh Pemecahan Masalah

Contoh1 - Tiga elemen dihubungkan secara seri dalam sirkuit listrik, bekerja secara independen satu sama lain. Probabilitas kegagalan elemen pertama, kedua dan ketiga masing-masing sama dengan ,,. Tentukan peluang tidak ada arus pada rangkaian tersebut.

Keputusan

Cara pertama.

Mari kita tentukan acaranya: - di sirkuit ada kegagalan elemen pertama, kedua dan ketiga, masing-masing.

Peristiwa TETAPI- tidak akan ada arus di sirkuit (setidaknya salah satu elemen akan gagal, karena terhubung secara seri).

Peristiwa - arus di sirkuit (tiga elemen bekerja), . Probabilitas kejadian yang berlawanan dihubungkan dengan rumus (3.4). Suatu kejadian adalah hasil kali dari tiga kejadian yang bebas berpasangan. Dengan teorema perkalian untuk peluang kejadian bebas, kita peroleh

Maka peluang kejadian yang diinginkan adalah .

Cara kedua.

Dengan mempertimbangkan notasi yang diadopsi sebelumnya, kami menulis acara yang diinginkan TETAPI- setidaknya salah satu elemen akan gagal:

Karena suku-suku yang termasuk dalam penjumlahan kompatibel, kita harus menerapkan teorema penjumlahan probabilitas dalam bentuk umum untuk kasus tiga suku (3.3):

Menjawab: 0,388.

Tugas untuk solusi independen

1 Ada enam buku teks tentang teori probabilitas di ruang baca, tiga di antaranya terikat. Pustakawan mengambil dua buku pelajaran secara acak. Tentukan peluang bahwa kedua buku teks akan terikat.

2 Benang dicampur dalam tas, di antaranya 30% berwarna putih, dan sisanya berwarna merah. Tentukan peluang terambilnya dua benang secara acak: berwarna sama; warna yang berbeda.

3 Perangkat ini terdiri dari tiga elemen yang bekerja secara independen. Probabilitas operasi bebas kegagalan untuk periode waktu tertentu dari elemen pertama, kedua dan ketiga, berturut-turut, adalah 0,6; 0,7; 0.8. Temukan probabilitas bahwa selama ini yang berikut ini akan bekerja tanpa gagal: hanya satu elemen; hanya dua elemen; ketiga elemen; setidaknya dua elemen.

4 Tiga dadu dilempar. Tentukan peluang kejadian berikut:

a) lima poin akan muncul di setiap sisi yang dikeluarkan;

b) jumlah poin yang sama akan muncul di semua wajah yang dijatuhkan;

c) satu titik akan muncul pada dua wajah yang dijatuhkan, dan sejumlah titik lainnya akan muncul pada wajah ketiga;

d) jumlah titik yang berbeda akan muncul pada semua wajah yang dijatuhkan.

5 Peluang seorang penembak mengenai sasaran dengan satu tembakan adalah 0,8. Berapa banyak tembakan yang harus ditembakkan oleh penembak agar, dengan peluang kurang dari 0,4 dapat diharapkan bahwa tidak akan ada yang meleset?

6 Dari angka 1, 2, 3, 4, 5, yang pertama dipilih, dan kemudian dari empat sisanya - digit kedua. Semua 20 kemungkinan hasil diasumsikan sama kemungkinannya. Temukan probabilitas bahwa digit ganjil akan dipilih: untuk pertama kalinya; kedua kalinya; kedua waktu.

7 Peluang bahwa sepasang sepatu ukuran 46 akan dijual lagi di bagian sepatu pria di toko tersebut adalah 0,01. Berapa pasang sepatu yang harus dijual di toko tersebut sehingga dengan peluang paling sedikit 0,9 seseorang dapat mengharapkan untuk menjual paling sedikit satu pasang sepatu ukuran 46?

8 Ada 10 bagian dalam sebuah kotak, termasuk dua yang tidak standar. Temukan probabilitas bahwa dalam enam bagian yang dipilih secara acak akan ada paling banyak satu yang tidak standar.

9 Departemen kontrol teknis memeriksa produk untuk standaritas. Probabilitas bahwa produk tidak standar adalah 0,1. Carilah peluang bahwa:

a) dari tiga produk yang diuji, hanya dua yang tidak standar;

b) hanya produk yang diperiksa keempat dalam urutan yang tidak standar.

10 32 huruf alfabet Rusia ditulis pada kartu alfabet terpisah:

a) Tiga kartu diambil secara acak satu demi satu dan diletakkan di atas meja sesuai urutan kemunculannya. Temukan probabilitas bahwa kata "dunia" akan muncul;

b) tiga kartu yang ditarik dapat ditukar secara sewenang-wenang. Berapa probabilitas bahwa mereka dapat membentuk kata "dunia"?

11 Seorang pejuang menyerang seorang pembom dan menembakkan dua ledakan independen ke sana. Probabilitas menembak jatuh seorang pembom dengan ledakan pertama adalah 0,2, dan yang kedua adalah 0,3. Jika pengebom tidak ditembak jatuh, ia menembaki pesawat tempur dari meriam buritan dan menembaknya dengan probabilitas 0,25. Temukan probabilitas bahwa seorang pembom atau pesawat tempur ditembak jatuh sebagai akibat dari pertempuran udara.

Pekerjaan rumah

1 Rumus Probabilitas Total. rumus Bayes.

2 menyelesaikan masalah

Tugas1 . Pekerja memelihara tiga mesin yang bekerja secara independen satu sama lain. Probabilitas bahwa mesin pertama tidak memerlukan perhatian pekerja dalam satu jam adalah 0,9, yang kedua - 0,8, yang ketiga - 0,85. Temukan probabilitas bahwa dalam satu jam setidaknya satu mesin akan membutuhkan perhatian seorang pekerja.

Tugas2 . Pusat komputer, yang harus terus memproses informasi yang masuk, memiliki dua perangkat komputasi. Diketahui bahwa masing-masing dari mereka memiliki probabilitas kegagalan dalam beberapa waktu sama dengan 0,2. Diperlukan untuk menentukan probabilitas:

a) fakta bahwa salah satu perangkat akan gagal, dan yang kedua akan dalam keadaan baik;

b) operasi bebas kegagalan dari masing-masing perangkat.

Tugas3 . Empat pemburu setuju untuk menembak permainan dalam urutan tertentu: pemburu berikutnya menembak hanya jika yang sebelumnya meleset. Probabilitas hit untuk pemburu pertama adalah 0,6, untuk yang kedua - 0,7, untuk yang ketiga - 0,8. Temukan peluang bahwa tembakan akan dilepaskan:

d) empat.

Tugas4 . Bagian tersebut melewati empat operasi pemesinan. Peluang menikah pada operasi pertama adalah 0,01, pada operasi kedua - 0,02, pada operasi ketiga - 0,03, pada operasi keempat - 0,04. Temukan probabilitas menerima bagian tanpa cacat setelah empat operasi, dengan asumsi bahwa peristiwa memperoleh cacat dalam operasi individu adalah independen.

Kebutuhan akan tindakan pada probabilitas terjadi ketika probabilitas beberapa peristiwa diketahui, dan probabilitas peristiwa lain yang terkait dengan peristiwa ini perlu dihitung.

Penjumlahan peluang digunakan ketika diperlukan untuk menghitung peluang kombinasi atau jumlah logis dari peristiwa acak.

Jumlah acara A dan B menunjuk A + B atau A ∪ B. Jumlah dua kejadian adalah kejadian yang terjadi jika dan hanya jika paling sedikit satu kejadian terjadi. Ini berarti bahwa A + B- suatu peristiwa yang terjadi jika dan hanya jika suatu peristiwa terjadi selama pengamatan A atau acara B, atau pada saat yang sama A dan B.

Jika acara A dan B saling tidak konsisten dan probabilitasnya diberikan, probabilitas bahwa salah satu dari peristiwa ini akan terjadi sebagai hasil dari satu percobaan dihitung menggunakan penambahan probabilitas.

Teorema penjumlahan peluang. Probabilitas bahwa salah satu dari dua peristiwa yang saling bertentangan akan terjadi sama dengan jumlah peluang dari peristiwa-peristiwa ini:

Misalnya, dua tembakan dilepaskan saat berburu. Peristiwa TETAPI– memukul bebek dari tembakan pertama, acara PADA– pukulan dari tembakan kedua, event ( TETAPI+ PADA) - pukulan dari tembakan pertama atau kedua atau dari dua tembakan. Jadi jika dua peristiwa TETAPI dan PADA adalah peristiwa yang tidak kompatibel, maka TETAPI+ PADA- terjadinya setidaknya satu dari peristiwa ini atau dua peristiwa.

Contoh 1 Sebuah kotak berisi 30 bola dengan ukuran yang sama: 10 merah, 5 biru, dan 15 putih. Hitung peluang terambilnya bola berwarna (bukan putih) tanpa melihat.

Keputusan. Mari kita asumsikan bahwa acara TETAPI– “bola merah diambil”, dan acara PADA- "Bola biru diambil." Kemudian acaranya adalah “diambil bola berwarna (bukan putih). Tentukan peluang suatu kejadian TETAPI:

dan acara PADA:

Acara TETAPI dan PADA- saling bertentangan, karena jika diambil satu bola, maka bola yang berbeda warna tidak dapat diambil. Oleh karena itu, kami menggunakan penambahan probabilitas:

Teorema penambahan peluang untuk beberapa kejadian yang tidak sesuai. Jika kejadian-kejadian tersebut merupakan himpunan kejadian yang lengkap, maka jumlah peluangnya sama dengan 1:

Jumlah peluang kejadian yang berlawanan juga sama dengan 1:

Kejadian-kejadian yang berlawanan membentuk suatu himpunan kejadian yang lengkap, dan peluang terjadinya himpunan kejadian yang lengkap adalah 1.

Probabilitas kejadian yang berlawanan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil. p dan q. Secara khusus,

dari mana rumus berikut untuk probabilitas peristiwa yang berlawanan mengikuti:

Contoh 2 Target di dasbor dibagi menjadi 3 zona. Probabilitas penembak tertentu akan menembak target di zona pertama adalah 0,15, di zona kedua - 0,23, di zona ketiga - 0,17. Tentukan peluang penembak mengenai sasaran dan peluang penembak meleset dari sasaran.

Solusi: Temukan probabilitas bahwa penembak akan mengenai sasaran:

Temukan probabilitas bahwa penembak meleset dari sasaran:

Tugas yang lebih sulit di mana Anda perlu menerapkan penambahan dan perkalian probabilitas - di halaman "Berbagai tugas untuk penambahan dan perkalian probabilitas" .

Penjumlahan peluang kejadian bersama-sama

Dua peristiwa acak dikatakan bersama jika terjadinya satu peristiwa tidak menghalangi terjadinya peristiwa kedua dalam pengamatan yang sama. Misalnya, saat melempar dadu, kejadiannya TETAPI dianggap sebagai kemunculan angka 4, dan peristiwa PADA- menjatuhkan nomor genap. Karena angka 4 adalah bilangan genap, maka kedua kejadian tersebut kompatibel. Dalam praktiknya, ada tugas untuk menghitung probabilitas terjadinya salah satu peristiwa yang saling terkait.

Teorema penjumlahan peluang kejadian bersama. Probabilitas bahwa salah satu kejadian bersama akan terjadi adalah sama dengan jumlah probabilitas dari kejadian-kejadian ini, dari mana probabilitas kejadian yang sama dari kedua kejadian dikurangkan, yaitu produk dari probabilitas. Rumus peluang kejadian gabungan adalah sebagai berikut:

Karena peristiwa TETAPI dan PADA cocok, acara TETAPI+ PADA terjadi jika salah satu dari tiga kemungkinan peristiwa terjadi: atau AB. Menurut teorema penambahan kejadian yang tidak kompatibel, kami menghitung sebagai berikut:

Peristiwa TETAPI terjadi jika salah satu dari dua peristiwa yang tidak kompatibel terjadi: atau AB. Namun, peluang terjadinya satu peristiwa dari beberapa peristiwa yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang semua peristiwa ini:

Demikian pula:

Mengganti ekspresi (6) dan (7) ke dalam ekspresi (5), kami memperoleh rumus probabilitas untuk kejadian gabungan:

Saat menggunakan rumus (8), harus diperhitungkan bahwa peristiwa TETAPI dan PADA dapat:

• saling independen;
• saling bergantung.

Rumus peluang kejadian yang saling bebas:

Rumus peluang kejadian saling bergantung:

Jika acara TETAPI dan PADA tidak konsisten, maka kebetulan mereka adalah kasus yang mustahil dan, dengan demikian, P(AB) = 0. Rumus peluang keempat untuk kejadian yang tidak sesuai adalah sebagai berikut:

Contoh 3 Dalam balap mobil, saat mengemudi di mobil pertama, kemungkinan menang, saat mengemudi di mobil kedua. Mencari:

• probabilitas bahwa kedua mobil akan menang;
• probabilitas bahwa setidaknya satu mobil akan menang;

1) Peluang mobil pertama yang menang tidak bergantung pada hasil mobil kedua, jadi kejadiannya TETAPI(mobil pertama menang) dan PADA(mobil kedua menang) - acara independen. Tentukan peluang kedua mobil menang:

2) Temukan peluang bahwa salah satu dari dua mobil akan menang:

Tugas yang lebih sulit di mana Anda perlu menerapkan penambahan dan perkalian probabilitas - di halaman "Berbagai tugas untuk penambahan dan perkalian probabilitas" .

Selesaikan sendiri masalah penjumlahan probabilitas, lalu lihat solusinya

Contoh 4 Dua koin dilempar. Peristiwa A- hilangnya lambang pada koin pertama. Peristiwa B- hilangnya lambang pada koin kedua. Tentukan peluang suatu kejadian C = A + B .

perkalian probabilitas

Perkalian probabilitas digunakan ketika probabilitas produk logis dari peristiwa yang akan dihitung.

Dalam hal ini, kejadian acak harus independen. Dua peristiwa dikatakan saling bebas jika terjadinya satu peristiwa tidak mempengaruhi peluang terjadinya peristiwa kedua.

Teorema perkalian peluang untuk kejadian bebas. Probabilitas terjadinya dua peristiwa independen secara bersamaan TETAPI dan PADA sama dengan produk dari probabilitas kejadian-kejadian ini dan dihitung dengan rumus:

Contoh 5 Uang logam dilempar tiga kali berturut-turut. Hitunglah peluang bahwa lambang itu akan rontok sebanyak tiga kali.

Keputusan. Probabilitas bahwa lambang akan jatuh pada pelemparan koin pertama, kedua kalinya, dan ketiga kalinya. Temukan probabilitas bahwa lambang akan rontok semua tiga kali:

Selesaikan masalah untuk mengalikan probabilitas sendiri, dan kemudian lihat solusinya

Contoh 6 Ada sebuah kotak dengan sembilan bola tenis baru. Tiga bola diambil untuk permainan, setelah permainan mereka dimasukkan kembali. Saat memilih bola, mereka tidak membedakan antara bola yang dimainkan dan yang belum dimainkan. Berapa probabilitas bahwa setelah tiga permainan tidak akan ada bola yang belum dimainkan di dalam kotak?

Contoh 7 32 huruf alfabet Rusia ditulis pada kartu alfabet yang dipotong. Lima kartu diambil secara acak, satu demi satu, dan diletakkan di atas meja sesuai urutan kemunculannya. Tentukan peluang bahwa huruf-huruf tersebut akan membentuk kata "akhir".

Contoh 8 Dari setumpuk kartu penuh (52 lembar), empat kartu dikeluarkan sekaligus. Temukan peluang bahwa keempat kartu ini memiliki jenis yang sama.

Contoh 9 Masalah yang sama seperti pada contoh 8, tetapi setiap kartu dikembalikan ke dek setelah ditarik.

Tugas yang lebih kompleks, di mana Anda perlu menerapkan penambahan dan perkalian probabilitas, serta menghitung produk dari beberapa peristiwa, di halaman "Berbagai tugas untuk penambahan dan perkalian probabilitas" .

Probabilitas bahwa setidaknya satu dari peristiwa yang saling bebas akan terjadi dapat dihitung dengan mengurangkan produk dari peluang dari peristiwa yang berlawanan dari 1, yaitu, dengan rumus:

Contoh 10 Kargo dikirim melalui tiga moda transportasi: sungai, kereta api dan transportasi jalan. Probabilitas bahwa kargo akan dikirimkan melalui angkutan sungai adalah 0,82, dengan kereta api 0,87, melalui jalan darat 0,90. Tentukan peluang bahwa barang akan dikirim oleh setidaknya salah satu dari tiga moda transportasi.