Argumen x, maka disebut periodik jika ada bilangan T sedemikian rupa sehingga untuk sembarang x F(x + T) = F(x). Bilangan T ini disebut periode fungsi tersebut.

Mungkin ada beberapa periode. Misalnya, fungsi F = const mengambil nilai yang sama untuk nilai argumen apa pun, dan oleh karena itu bilangan apa pun dapat dianggap sebagai periodenya.

Biasanya Anda tertarik pada periode bukan nol terkecil dari suatu fungsi. Untuk singkatnya, ini hanya disebut periode.

Contoh klasik fungsi periodik adalah trigonometri: sinus, kosinus, dan tangen. Periodenya sama dan sama dengan 2π, yaitu sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) dan seterusnya. Namun, tentu saja, fungsi trigonometri bukanlah satu-satunya fungsi periodik.

Untuk fungsi dasar yang sederhana, satu-satunya cara untuk menentukan apakah fungsi tersebut periodik atau non-periodik adalah melalui perhitungan. Namun untuk fungsi yang kompleks, sudah ada beberapa aturan sederhana.

Jika F(x) mempunyai periode T, dan turunannya ditentukan, maka turunan f(x) = F′(x) juga merupakan fungsi periodik dengan periode T. Lagi pula, nilai turunannya di titik x sama dengan garis singgung sudut singgung grafik antiturunannya pada titik ini terhadap sumbu x, dan karena antiturunannya berulang secara berkala, turunannya juga harus berulang. Misalnya, turunan fungsi sin(x) sama dengan cos(x), dan bersifat periodik. Mengambil turunan dari cos(x) menghasilkan –sin(x). Frekuensinya tetap tidak berubah.

Namun, hal sebaliknya tidak selalu benar. Jadi, fungsi f(x) = const bersifat periodik, tetapi antiturunannya F(x) = const*x + C tidak periodik.

Jika F(x) adalah fungsi periodik dengan periode T, maka G(x) = a*F(kx + b), dengan a, b, dan k adalah konstanta dan k tidak sama dengan nol - juga merupakan fungsi periodik , dan periodenya adalah T/k. Misalnya, sin(2x) adalah fungsi periodik, dan periodenya adalah π. Hal ini dapat direpresentasikan secara visual sebagai berikut: dengan mengalikan x dengan suatu bilangan, Anda seolah-olah memampatkan grafik fungsi tersebut secara horizontal sebanyak itu pula

Jika F1(x) dan F2(x) merupakan fungsi periodik, dan periodenya masing-masing sama dengan T1 dan T2, maka jumlah fungsi-fungsi tersebut juga dapat bersifat periodik. Namun, periodenya bukanlah penjumlahan sederhana dari periode T1 dan T2. Jika hasil pembagian T1/T2 adalah bilangan rasional, maka jumlah fungsi-fungsi tersebut bersifat periodik, dan periodenya sama dengan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) periode T1 dan T2. Misalnya, jika periode fungsi pertama adalah 12, dan periode fungsi kedua adalah 15, maka periode jumlah keduanya sama dengan KPK (12, 15) = 60.

Hal ini dapat direpresentasikan secara visual sebagai berikut: fungsi memiliki “lebar langkah” yang berbeda, tetapi jika rasio lebarnya rasional, maka cepat atau lambat (atau lebih tepatnya, melalui KPK langkah), fungsi tersebut akan menjadi sama lagi, dan jumlah mereka akan memulai periode baru.

Namun jika perbandingan periodenya tidak rasional, maka fungsi totalnya tidak akan periodik sama sekali. Misalnya, F1(x) = x mod 2 (sisa x dibagi 2), dan F2(x) = sin(x). T1 di sini akan sama dengan 2, dan T2 akan sama dengan 2π. Rasio periode sama dengan π - bilangan irasional. Oleh karena itu, fungsi sin(x) + x mod 2 tidak periodik.

memuaskan sistem ketidaksetaraan:

b) Perhatikan himpunan bilangan pada garis bilangan yang memenuhi sistem pertidaksamaan:

Temukan jumlah panjang segmen yang membentuk himpunan ini.

§ 7. Rumus paling sederhana

Dalam § 3 kami menetapkan rumus berikut untuk sudut lancip α:

			sin2 α + cos2 α = 1.
				Rumus yang sama			Kapan,
				ketika α adalah sembarang			Sebenarnya
				le, misalkan M adalah suatu titik pada trigonometri
				lingkaran ical sesuai dengan
				nomor α (Gbr. 7.1). Kemudian		M memiliki rekan-
				ordinat x = cos α, y
				Namun, setiap titik (x; y) terletak pada
				lingkaran berjari-jari satuan dengan pusat
				trome di asal, memuaskan
				memenuhi persamaan x2 + y2		1, dari mana
				cos2 α + sin2 α = 1, sesuai kebutuhan.

Jadi rumus cos2 α + sin2 α = 1 mengikuti persamaan lingkaran. Tampaknya kita telah memberikan bukti baru dari rumus sudut lancip ini (dibandingkan dengan yang ditunjukkan dalam § 3, di mana kita menggunakan teorema Pythagoras). Perbedaannya, bagaimanapun, adalah murni eksternal: ketika menurunkan persamaan lingkaran x2 + y2 = 1, teorema Pythagoras yang sama digunakan.

Untuk sudut lancip kita juga memperoleh rumus lain, misalnya

Menurut simbolnya, ruas kanan selalu non-negatif, sedangkan ruas kiri mungkin saja negatif. Agar rumus tersebut benar untuk semua α, rumus tersebut harus dikuadratkan. Persamaan yang dihasilkan adalah: cos2 α = 1/(1 + tan2 α). Mari kita buktikan bahwa rumus ini benar untuk semua α:1

1/(1 + tan2			dosa2 α			cos2 α	Cos2 α.
			cos2 α			sin2 α + cos2 α

Soal 7.1. Turunkan semua rumus di bawah ini dari definisi dan rumus sin2 α + cos2 α = 1 (beberapa di antaranya sudah kami buktikan):

sin2 α + cos2 α = 1;

tg2 =

tg2 α

sin2 α =

tg α · ctg α = 1;

cos2 α

1 + tan2 α

ctg2 α

Ctg2

cos2 α =

1 + cotg2 α

dosa2

Rumus-rumus ini memungkinkan, dengan mengetahui nilai salah satu fungsi trigonometri suatu bilangan tertentu, untuk menemukan hampir semua bilangan lainnya.

baru Misalkan kita mengetahui bahwa sin x = 1/2. Maka cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, jadi cos x adalah 3/2 atau − 3/2. Untuk mengetahui manakah di antara kedua bilangan cos x yang sama, diperlukan informasi tambahan.

Soal 7.2. Tunjukkan dengan contoh bahwa kedua kasus di atas mungkin terjadi.

Soal 7.3. a) Misalkan tan x = −1. Temukan dosa x. Berapa banyak jawaban yang dimiliki masalah ini?

b) Misalkan, selain syarat-syarat butir a) kita mengetahui bahwa sin x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 yang tan α didefinisikan, yaitu cos α 6= 0.

Soal 7.4. Misalkan sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Temukan tg x.

Soal 7.5. Misalkan tan x = 3, cos x > sin x. Temukan cos x, dosa x.

Soal 7.6. Misalkan tg x = 3/5. Temukan dosa x + 2 cos x. karena x − 3 dosa x

Soal 7.7. Buktikan identitasnya:

tan α − dosa α

c) sin α + cos α cot α + sin α tan α + cos α =

Soal 7.8. Sederhanakan ekspresi:

a) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ; b) (tg α + ctg α)2 + (tg α − ctg α)2 ;

c) sin α(2 + cot α)(2 cot α + 1) − 5 cos α.

§ 8. Periode fungsi trigonometri

Bilangan x, x+2π, x−2π berhubungan dengan titik yang sama pada lingkaran trigonometri (jika Anda berjalan satu lingkaran tambahan di sepanjang lingkaran trigonometri, Anda akan kembali ke tempat semula). Ini menyiratkan identitas berikut, yang telah dibahas dalam § 5:

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cos x.

Sehubungan dengan identitas-identitas ini kita telah menggunakan istilah “periode”. Sekarang mari kita berikan definisi yang tepat.

Definisi. Bilangan T 6= 0 disebut periode fungsi f jika untuk semua x persamaan f(x − T) = f(x + T) = f(x) benar (diasumsikan x + T dan x − T termasuk dalam domain definisi fungsi , jika mencakup x). Suatu fungsi disebut periodik jika mempunyai periode (minimal satu).

Fungsi periodik secara alami muncul ketika menggambarkan proses osilasi. Salah satu proses tersebut telah dibahas di § 5. Berikut contoh lainnya:

1) Misalkan ϕ = ϕ(t) adalah sudut deviasi bandul berayun jam dari vertikal pada saat t. Maka ϕ adalah fungsi periodik dari t.

2) Tegangan (“perbedaan potensial,” seperti yang dikatakan seorang fisikawan) antara dua soket stopkontak AC, es-

apakah dianggap sebagai fungsi waktu, merupakan fungsi periodik1.

3) Mari kita dengarkan suara musiknya. Maka tekanan udara pada suatu titik merupakan fungsi periodik terhadap waktu.

Jika suatu fungsi mempunyai periode T, maka periode fungsi tersebut juga berupa bilangan −T, 2T, −2T. . . - singkatnya, semua bilangan nT, di mana n adalah bilangan bulat yang tidak sama dengan nol. Mari kita periksa, misalnya, bahwa f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Definisi. Periode positif terkecil dari suatu fungsi f adalah - sesuai dengan arti harfiah dari kata-katanya - bilangan positif T sedemikian rupa sehingga T adalah periode f dan tidak ada bilangan positif yang kurang dari T adalah periode f.

Suatu fungsi periodik tidak harus mempunyai periode positif terkecil (misalnya, suatu fungsi yang konstan mempunyai periode berapa pun, sehingga tidak mempunyai periode positif terkecil). Kita juga dapat memberikan contoh fungsi periodik tidak konstan yang tidak memiliki periode positif terkecil. Namun demikian, dalam sebagian besar kasus yang menarik, terdapat periode positif terkecil dari fungsi periodik.

1 Ketika mereka mengatakan "tegangan dalam jaringan adalah 220 volt", yang mereka maksud adalah "nilai rms", yang akan kita bahas di § 21. Tegangan itu sendiri berubah sepanjang waktu.

Beras. 8.1. Periode tangen dan kotangen.

Secara khusus, periode positif terkecil dari sinus dan kosinus adalah 2π. Mari kita buktikan, misalnya untuk fungsi y = sin x. Misalkan, bertentangan dengan apa yang kita nyatakan, sinus mempunyai periode T sedemikian rupa sehingga 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Periode positif terkecil dari fungsi yang menggambarkan osilasi (seperti dalam contoh 1–3) disebut periode osilasi ini.

Karena 2π adalah periode sinus dan cosinus, maka 2π juga merupakan periode tangen dan kotangen. Namun, untuk fungsi-fungsi ini, 2π bukanlah periode terkecil: periode positif tangen dan kotangen positif terkecil adalah π. Faktanya, titik-titik yang bersesuaian dengan bilangan x dan x + π pada lingkaran trigonometri berlawanan secara diametral: dari titik x ke titik x + 2π seseorang harus menempuh jarak π yang sama dengan setengah lingkaran. Sekarang, jika kita menggunakan definisi garis singgung dan kotangen menggunakan sumbu garis singgung dan kotangen, persamaan tg(x + π) = tan x dan ctg(x + π) = ctg x akan menjadi jelas (Gbr. 8.1). Sangat mudah untuk memeriksa (kami akan menyarankan melakukan hal ini dalam soal) bahwa π memang merupakan periode positif terkecil dari garis singgung dan kotangen.

Satu catatan tentang terminologi. Kata “periode suatu fungsi” sering digunakan untuk mengartikan “periode positif terkecil”. Jadi jika dalam ujian Anda ditanya: “Apakah 100π merupakan periode fungsi sinus?”, jangan terburu-buru menjawab, tetapi perjelas apakah yang Anda maksud adalah periode positif terkecil atau hanya salah satu periode saja.

Fungsi trigonometri adalah contoh umum fungsi periodik: fungsi periodik apa pun yang "tidak terlalu buruk" dalam beberapa hal dapat dinyatakan dalam fungsi trigonometri.

Soal 8.1. Temukan periode positif terkecil dari fungsi:

				c) y = cos πx;

d) y = cos x + cos(1,01x).

Soal 8.2. Ketergantungan tegangan pada jaringan arus bolak-balik terhadap waktu diberikan dengan rumus U = U0 sin ωt (di sini t adalah waktu, U adalah tegangan, U0 dan ω adalah konstanta). Frekuensi arus bolak-balik adalah 50 Hertz (artinya tegangan menghasilkan 50 osilasi per detik).

a) Temukan ω, dengan asumsi t diukur dalam hitungan detik;

b) Tentukan periode (positif terkecil) dari U sebagai fungsi dari t.

Soal 8.3. a) Buktikan bahwa periode positif terkecil dari kosinus adalah 2π;

b) Buktikan bahwa periode positif terkecil dari garis singgung tersebut sama dengan π.

Soal 8.4. Misalkan periode positif terkecil dari fungsi f adalah T. Buktikan bahwa semua periode lainnya berbentuk nT untuk beberapa bilangan bulat n.

Soal 8.5. Buktikan bahwa fungsi-fungsi berikut tidak periodik.

>> Periodisitas fungsi y = sin x, y = cos x

§ 11. Periodisitas fungsi y = sin x, y = cos x

Pada paragraf sebelumnya kita menggunakan tujuh properti fungsi: daerah definisi, genap atau ganjil, monotonisitas, batasan, nilai terbesar dan terkecil, kontinuitas, rentang nilai suatu fungsi. Kami menggunakan properti ini untuk membuat grafik suatu fungsi (ini terjadi, misalnya, di § 9), atau untuk membaca grafik yang dibuat (ini terjadi, misalnya, di § 10). Sekarang adalah saat yang tepat untuk memperkenalkan satu lagi (kedelapan) sifat fungsi, yang terlihat jelas pada konstruksi di atas. grafik fungsi y = sin x (lihat Gambar 37), y = cos x (lihat Gambar 41).

Definisi. Suatu fungsi disebut periodik jika terdapat bilangan bukan nol T sehingga untuk sembarang x dalam himpunan, kondisi ganda berlaku: persamaan:

Bilangan T yang memenuhi syarat tertentu disebut periode fungsi y = f(x).
Oleh karena itu, karena untuk sembarang x persamaannya valid:

maka fungsi y = sin x, y = cos x bersifat periodik dan bilangannya 2 P berfungsi sebagai periode untuk kedua fungsi tersebut.
Periodisitas suatu fungsi adalah properti fungsi kedelapan yang dijanjikan.

Sekarang lihat grafik fungsi y = sin x (Gbr. 37). Untuk membangun gelombang sinus, cukup dengan memplot salah satu gelombangnya (pada suatu segmen dan kemudian menggeser gelombang ini sepanjang sumbu x sebesar. Hasilnya, dengan menggunakan satu gelombang kita akan membuat grafik keseluruhan.

Mari kita lihat dari sudut pandang yang sama grafik fungsi y = cos x (Gbr. 41). Kita melihat bahwa di sini, untuk memplot grafik, cukup dengan memplot satu gelombang terlebih dahulu (misalnya, pada segmen

Dan kemudian gerakkan sepanjang sumbu x sebesar
Ringkasnya, kami menarik kesimpulan berikut.

Jika fungsi y = f(x) memiliki periode T, maka untuk membuat grafik fungsi tersebut Anda harus terlebih dahulu membuat cabang (gelombang, bagian) dari grafik pada interval apa pun dengan panjang T (paling sering mengambil interval dengan ujung di titik-titik lalu geser cabang ini sepanjang sumbu x ke kanan dan kiri ke T, 2T, ZT, dst.
Fungsi periodik mempunyai periode yang tak terhingga banyaknya: jika T adalah suatu periode, maka 2T adalah suatu periode, dan ZT adalah suatu periode, dan -T adalah suatu periode; Secara umum, suatu periode adalah bilangan apa pun yang berbentuk KT, dimana k = ±1, ±2, ± 3... Biasanya mereka mencoba, jika memungkinkan, untuk mengisolasi periode positif terkecil; ini disebut periode utama.
Jadi, sembarang bilangan berbentuk 2pk, dengan k = ±1, ± 2, ± 3, adalah periode dari fungsi y = sinn x, y = cos x; 2n adalah periode utama dari kedua fungsi tersebut.

Contoh. Temukan periode utama dari fungsi tersebut:

A) Misalkan T adalah periode utama dari fungsi y = sin x. Ayo taruh

Agar bilangan T merupakan periode suatu fungsi, identitasnya Tetapi, karena kita berbicara tentang mencari periode utama, kita peroleh
B) Misalkan T adalah periode utama dari fungsi y = cos 0,5x. Misalkan f(x)=cos 0,5x. Maka f(x + T)=cos 0,5(x + T)=cos (0,5x + 0,5T).

Agar bilangan T merupakan periode suatu fungsi, identitas cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x harus berlaku.

Artinya 0,5t = 2pp. Namun, karena kita berbicara tentang mencari periode utama, kita mendapatkan 0,5T = 2 l, T = 4 l.

Generalisasi hasil yang diperoleh pada contoh adalah pernyataan berikut: periode utama fungsi

A.G. Aljabar Mordkovich kelas 10

Isi pelajaran catatan pelajaran kerangka pendukung metode percepatan penyajian pelajaran teknologi interaktif Praktik tugas dan latihan lokakarya tes mandiri, pelatihan, kasus, pencarian pekerjaan rumah, pertanyaan diskusi, pertanyaan retoris dari siswa Ilustrasi audio, klip video dan multimedia foto, gambar, grafik, tabel, diagram, humor, anekdot, lelucon, komik, perumpamaan, ucapan, teka-teki silang, kutipan Pengaya abstrak artikel trik untuk boks penasaran buku teks kamus dasar dan tambahan istilah lainnya Menyempurnakan buku teks dan pelajaranmemperbaiki kesalahan dalam buku teks pemutakhiran suatu penggalan dalam buku teks, unsur inovasi dalam pembelajaran, penggantian pengetahuan yang sudah ketinggalan zaman dengan yang baru Hanya untuk guru pelajaran yang sempurna rencana kalender untuk tahun ini; rekomendasi metodologis; program diskusi Pelajaran Terintegrasi

Trigonometri fungsi berkala, yaitu diulangi setelah jangka waktu tertentu. Akibatnya, cukup mempelajari fungsi pada interval ini dan memperluas sifat-sifat yang ditemukan ke semua periode lainnya.

instruksi

1. Jika Anda diberikan ekspresi primitif yang hanya memiliki satu fungsi trigonometri (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), dan sudut di dalam fungsi tersebut tidak dikalikan dengan bilangan apa pun, dan sudut itu sendiri tidak dipangkatkan ke bilangan apa pun. kekuatan - gunakan definisinya. Untuk ekspresi yang mengandung sin, cos, sec, cosec, berani atur periodenya menjadi 2P, dan jika persamaannya mengandung tg, ctg, maka P. Katakanlah, untuk fungsi y=2 sinx+5, periodenya akan sama dengan 2P .

2. Jika sudut x di bawah tanda fungsi trigonometri dikalikan dengan suatu bilangan, maka untuk mencari periode fungsi tersebut, bagilah periode tipikal dengan bilangan tersebut. Katakanlah Anda diberi fungsi y = sin 5x. Periode khas untuk sebuah sinus adalah 2P; membaginya dengan 5, Anda mendapatkan 2P/5 - ini adalah periode yang diinginkan dari ekspresi ini.

3. Untuk mencari periode fungsi trigonometri yang dipangkatkan, evaluasi paritas pangkatnya. Untuk tingkat genap, kurangi periode tipikalnya hingga setengahnya. Katakanlah, jika diberikan fungsi y = 3 cos^2x, maka periode tipikal 2P akan berkurang 2 kali lipat, sehingga periodenya akan sama dengan P. Perlu diketahui bahwa fungsi tg, ctg bersifat periodik terhadap P ke setiap derajat.

4. Jika Anda diberikan persamaan yang berisi hasil kali atau hasil bagi dua fungsi trigonometri, carilah terlebih dahulu periode keduanya secara terpisah. Setelah ini, carilah bilangan minimum yang dapat memuat bilangan bulat kedua periode. Katakanlah fungsi y=tgx*cos5x diberikan. Untuk tangen periodenya adalah P, untuk cosinus 5x periodenya adalah 2P/5. Jumlah minimum yang dapat menampung kedua periode tersebut adalah 2P, sehingga periode yang diinginkan adalah 2P.

5. Jika Anda merasa kesulitan melakukannya dengan cara yang disarankan atau meragukan hasilnya, cobalah melakukannya sesuai definisi. Ambil T sebagai periode fungsi; itu lebih besar dari nol. Gantikan ekspresi (x + T) sebagai pengganti x ke dalam persamaan dan selesaikan persamaan yang dihasilkan seolah-olah T adalah parameter atau angka. Hasilnya, Anda akan menemukan nilai fungsi trigonometri dan dapat menemukan periode terkecil. Katakanlah, sebagai hasil dari relief tersebut, Anda mendapatkan identitas sin (T/2) = 0. Nilai minimum T yang dilakukan adalah 2P, ini adalah hasil tugasnya.

Fungsi periodik adalah fungsi yang mengulangi nilainya setelah beberapa periode bukan nol. Periode suatu fungsi adalah bilangan yang bila ditambahkan ke argumen suatu fungsi tidak mengubah nilai fungsi tersebut.

Anda akan perlu

• Pengetahuan matematika dasar dan review dasar.

instruksi

1. Mari kita nyatakan periode fungsi f(x) dengan bilangan K. Tugas kita adalah menemukan nilai K. Untuk melakukannya, bayangkan fungsi f(x), menggunakan definisi fungsi periodik, kita samakan f(x+K)=f(x).

2. Kami memecahkan persamaan yang dihasilkan mengenai K yang tidak diketahui, seolah-olah x adalah sebuah konstanta. Tergantung pada nilai K, akan ada beberapa pilihan.

3. Jika K>0 – maka ini periode fungsi Anda. Jika K=0 – maka fungsi f(x) tidak periodik. Jika penyelesaian persamaan f(x+K)=f(x) tidak ada untuk setiap K yang tidak sama dengan nol, maka fungsi tersebut disebut aperiodik dan juga tidak memiliki periode.

Video tentang topik tersebut

Catatan!
Semua fungsi trigonometri bersifat periodik, dan semua fungsi polinomial yang derajatnya lebih besar dari 2 bersifat aperiodik.

Saran yang bermanfaat
Periode suatu fungsi yang terdiri dari 2 fungsi periodik merupakan kelipatan universal terkecil dari periode fungsi-fungsi tersebut.

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat fungsi trigonometri yang argumennya tidak diketahui (contoh: 5sinx-3cosx =7). Untuk mempelajari cara mengatasinya, Anda perlu mengetahui beberapa cara untuk melakukannya.

instruksi

1. Penyelesaian persamaan tersebut terdiri dari 2 tahap, yang pertama adalah mereformasi persamaan tersebut hingga memperoleh bentuk yang paling sederhana. Persamaan trigonometri yang paling sederhana adalah: Sinx=a; Cosx=a, dan seterusnya.

2. Yang kedua adalah solusi persamaan trigonometri paling sederhana yang diperoleh. Ada cara dasar untuk menyelesaikan persamaan jenis ini: Menyelesaikan secara aljabar. Metode ini terkenal diketahui dari bangku sekolah, dari mata kuliah aljabar. Disebut juga metode penggantian dan substitusi variabel. Dengan menggunakan rumus reduksi, kita mentransformasikannya, melakukan substitusi, lalu mencari akar-akarnya.

3. Memfaktorkan suatu persamaan. Pertama, kita pindahkan semua suku ke kiri dan faktorkan.

4. Mengurangi persamaan menjadi persamaan homogen. Persamaan disebut persamaan homogen jika semua sukunya berderajat sama, serta sinus dan kosinusnya sudutnya sama.Untuk menyelesaikannya, Anda harus: terlebih dahulu memindahkan semua sukunya dari ruas kanan ke ruas kiri; keluarkan semua faktor universal dari tanda kurung; menyamakan faktor dan tanda kurung dengan nol; tanda kurung yang disamakan memberikan persamaan homogen dengan derajat yang lebih rendah, yang harus dibagi dengan cos (atau sin) ke derajat tertinggi; selesaikan persamaan aljabar yang dihasilkan mengenai tan.

5. Cara selanjutnya adalah dengan berpindah ke setengah sudut. Katakanlah, selesaikan persamaan: 3 sin x – 5 cos x = 7. Mari kita lanjutkan ke setengah sudut: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos? (x / 2) + 5 dosa ? (x / 2) = 7 dosa ? (x / 2) + 7 cos ? (x/ 2) , setelah itu kita kurangi semua suku menjadi satu bagian (sebaiknya ruas kanan) dan selesaikan persamaannya.

6. Masuknya sudut bantu. Saat kita mengganti nilai integer cos(a) atau sin(a). Tanda “a” adalah sudut bantu.

7. Suatu metode untuk mereformasi suatu produk menjadi suatu jumlah. Di sini Anda perlu menerapkan formula yang sesuai. Misalkan diketahui: 2 sin x · sin 3x = cos 4x, selesaikan dengan menjumlahkan ruas kirinya, yaitu: cos 4x – cos 8x = cos 4x ,cos 8x = 0 ,8x = p / 2 + pk , x = hal / 16 + hal / 8.

8. Metode terakhir disebut substitusi multi-fungsi. Kita mentransformasikan ekspresi dan melakukan perubahan, katakanlah Cos(x/2)=u, lalu selesaikan persamaan dengan parameter u. Saat membeli total, kami mengonversi nilainya menjadi kebalikannya.

Video tentang topik tersebut

Jika kita perhatikan titik-titik pada lingkaran, maka titik x, x + 2π, x + 4π, dst. bertepatan satu sama lain. Jadi, trigonometri fungsi pada garis lurus secara berkala ulangi maksudnya. Jika periodenya terkenal fungsi, adalah mungkin untuk membangun suatu fungsi pada periode ini dan mengulanginya pada periode lain.

instruksi

1. Periodenya adalah bilangan T sehingga f(x) = f(x+T). Untuk mencari periode, selesaikan persamaan yang bersangkutan, gantikan x dan x+T sebagai argumen. Dalam hal ini, mereka menggunakan periode fungsi yang sudah terkenal. Untuk fungsi sinus dan cosinus periodenya adalah 2π, dan untuk fungsi tangen dan kotangen adalah π.

2. Misalkan fungsi f(x) = sin^2(10x) diberikan. Perhatikan ekspresi sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Gunakan rumus untuk menurunkan derajat: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Maka didapat 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) atau cos 20x = cos (20x+20T). Diketahui periode kosinusnya adalah 2π, 20T = 2π. Artinya T = π/10. T adalah periode minimum yang benar, dan fungsi akan diulang setelah 2T, dan setelah 3T, dan ke arah lain sepanjang sumbu: -T, -2T, dst.

Saran yang bermanfaat
Gunakan rumus untuk menurunkan derajat suatu fungsi. Jika Anda sudah mengetahui periode suatu fungsi, coba kurangi fungsi yang ada menjadi fungsi yang diketahui.

Memeriksa kegenapan dan keanehan suatu fungsi membantu membuat grafik fungsi dan memahami sifat perilakunya. Untuk penelitian ini, Anda perlu membandingkan fungsi yang ditulis untuk argumen “x” dan untuk argumen “-x”.

instruksi

1. Tuliskan fungsi yang ingin Anda selidiki dalam bentuk y=y(x).

2. Ganti argumen fungsi dengan “-x”. Gantikan argumen ini ke dalam ekspresi fungsional.

3. Sederhanakan ekspresi tersebut.

4. Jadi, Anda memiliki fungsi yang sama yang ditulis untuk argumen “x” dan “-x”. Perhatikan dua entri berikut. Jika y(-x)=y(x), maka fungsi tersebut genap. Jika y(-x)=-y(x), maka fungsi tersebut ganjil. Jika tidak mungkin katakanlah tentang suatu fungsi yang y (-x)=y(x) atau y(-x)=-y(x), maka berdasarkan sifat paritasnya merupakan fungsi yang berbentuk universal. Artinya, tidak genap dan tidak ganjil.

5. Tuliskan temuan Anda. Sekarang Anda dapat menggunakannya dalam membuat grafik suatu fungsi atau dalam studi analitis di masa depan tentang sifat-sifat suatu fungsi.

6. Kita juga dapat membicarakan kegenapan dan keanehan suatu fungsi jika grafik fungsi tersebut sudah diberikan. Misalkan grafik tersebut merupakan hasil percobaan fisika. Jika grafik suatu fungsi simetris terhadap sumbu ordinat, maka y(x) adalah fungsi genap. Jika grafik suatu fungsi simetris terhadap sumbu absis, maka x(y) adalah fungsi genap. x(y) merupakan fungsi invers terhadap fungsi y(x) Jika grafik suatu fungsi simetris terhadap titik asal (0,0), maka y(x) merupakan fungsi ganjil. Fungsi invers x(y) juga ganjil.

7. Penting untuk diingat bahwa gagasan kemerataan dan keanehan suatu fungsi mempunyai hubungan langsung dengan domain definisi fungsi tersebut. Jika, katakanlah, suatu fungsi genap atau ganjil tidak ada di x=5, maka fungsi tersebut tidak ada di x=-5, yang tidak dapat dikatakan tentang fungsi yang berbentuk universal. Saat membuat paritas genap dan ganjil, perhatikan domain fungsinya.

8. Pencarian fungsi kegenapan dan keanehan berkorelasi dengan pencarian himpunan nilai fungsi. Untuk mencari himpunan nilai suatu fungsi genap, cukup dengan melihat separuh fungsi tersebut, di kanan atau kiri nol. Jika pada x>0 fungsi genap y(x) mengambil nilai dari A ke B, maka pada x akan mengambil nilai yang sama<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 fungsi ganjil y(x) mengambil rentang nilai dari A ke B, lalu di x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

“Trigonometri” pernah disebut fungsi yang ditentukan oleh ketergantungan sudut lancip pada segitiga siku-siku pada panjang sisi-sisinya. Fungsi-fungsi tersebut meliputi, pertama-tama, sinus dan kosinus, kedua, invers dari fungsi-fungsi ini, garis potong dan kosekan, turunannya tangen dan kotangen, serta invers fungsi arcsinus, arccosine, dll. Lebih positif untuk berbicara bukan tentang bukan tentang "solusi" dari fungsi-fungsi tersebut, tetapi tentang "perhitungannya", yaitu tentang menemukan nilai numerik.

instruksi

1. Jika argumen fungsi trigonometri tidak diketahui, maka nilainya dapat dihitung dengan metode tidak langsung berdasarkan definisi fungsi tersebut. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengetahui panjang sisi-sisi segitiga, yang fungsi trigonometri salah satu sudutnya perlu dihitung. Katakanlah, menurut definisi, sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan panjang kaki di depan sudut tersebut dengan panjang sisi miring. Oleh karena itu, untuk mencari sinus suatu sudut, cukup mengetahui panjang kedua sisinya. Definisi serupa menyatakan bahwa sinus sudut lancip adalah perbandingan panjang kaki yang berdekatan dengan sudut tersebut dengan panjang sisi miring. Garis singgung suatu sudut lancip dapat dihitung dengan membagi panjang kaki yang berhadapan dengan panjang kaki yang berdekatan, dan kotangen memerlukan pembagian panjang kaki yang berdekatan dengan panjang kaki yang berhadapan. Untuk menghitung garis potong suatu sudut lancip, Anda perlu mencari perbandingan panjang sisi miring dengan panjang kaki yang berdekatan dengan sudut yang diinginkan, dan kosekan ditentukan oleh perbandingan panjang sisi miring dengan panjangnya. dari kaki yang berlawanan.

2. Jika argumen fungsi trigonometri benar, maka Anda tidak perlu mengetahui panjang sisi segitiga - Anda dapat menggunakan tabel nilai atau kalkulator fungsi trigonometri. Kalkulator semacam itu termasuk dalam program standar sistem operasi Windows. Untuk meluncurkannya, Anda dapat menekan kombinasi tombol Win + R, masukkan perintah calc dan klik tombol “OK”. Di antarmuka program, Anda harus memperluas bagian "Tampilan" dan memilih item "Insinyur" atau "Ilmuwan". Setelah ini, Anda dapat memperkenalkan argumen fungsi trigonometri. Untuk menghitung fungsi sinus, cosinus, dan tangen, setelah memasukkan nilainya, klik tombol antarmuka yang sesuai (sin, cos, tg), dan untuk menemukan invers arcsinus, arccosine, dan arctangent, Anda harus mencentang kotak Inv terlebih dahulu.

3. Ada juga metode alternatif. Salah satunya adalah dengan mengunjungi situs mesin pencari Nigma atau Google dan memasukkan fungsi yang diinginkan beserta argumennya sebagai permintaan pencarian (misalnya, sin 0,47). Mesin pencari ini memiliki kalkulator bawaan, jadi setelah mengirimkan permintaan tersebut Anda akan menerima nilai fungsi trigonometri yang Anda masukkan.

Video tentang topik tersebut

Tip 7: Cara mengetahui nilai fungsi trigonometri

Fungsi trigonometri pertama kali muncul sebagai alat untuk perhitungan matematis abstrak tentang ketergantungan nilai sudut lancip pada segitiga siku-siku pada panjang sisinya. Sekarang mereka banyak digunakan baik dalam bidang ilmiah dan teknis aktivitas manusia. Untuk perhitungan utilitarian fungsi trigonometri dari argumen yang diberikan, Anda dapat menggunakan berbagai alat - beberapa di antaranya yang mudah diakses dijelaskan di bawah ini.

instruksi

1. Gunakan, misalnya, program kalkulator yang diinstal secara default dengan sistem operasi. Ini dibuka dengan memilih item "Kalkulator" di folder "Layanan" dari subbagian "Khusus", yang terletak di bagian "Semua program". Bagian ini dapat ditemukan dengan membuka menu utama sistem operasi dengan mengklik tombol “Start”. Jika Anda menggunakan versi Windows 7, kemungkinan besar Anda cukup memasukkan kata "Kalkulator" di bidang "Temukan program dan file" di menu utama, lalu klik tautan yang sesuai di hasil pencarian.

2. Masukkan nilai sudut yang ingin Anda hitung fungsi trigonometrinya, lalu klik tombol yang sesuai dengan fungsi ini - sin, cos atau tan. Jika Anda khawatir tentang fungsi trigonometri terbalik (arc sinus, arc cosinus, atau arc tangent), klik terlebih dahulu tombol berlabel Inv - ini akan membalikkan fungsi yang ditetapkan pada tombol panduan kalkulator.

3. Di versi OS sebelumnya (misalnya, Windows XP), untuk mengakses fungsi trigonometri, Anda perlu membuka bagian "Tampilan" di menu kalkulator dan memilih baris "Teknik". Selain itu, alih-alih tombol Inv, antarmuka program versi lama memiliki kotak centang dengan tulisan yang sama.

4. Anda dapat melakukannya tanpa kalkulator jika Anda memiliki akses Internet. Ada banyak layanan di Internet yang menawarkan kalkulator fungsi trigonometri yang disusun dalam berbagai cara. Salah satu opsi yang sangat nyaman ada di mesin pencari Nigma. Pergi ke halaman utamanya, cukup masukkan nilai yang membuat Anda khawatir di bidang permintaan pencarian - katakanlah, "arc tangent 30 derajat". Setelah mengklik tombol “Deteksi!” Mesin pencari akan menghitung dan menampilkan hasil perhitungan - 0.482347907101025.

Video tentang topik tersebut

Trigonometri adalah salah satu cabang matematika untuk memahami fungsi yang menyatakan ketergantungan yang berbeda dari sisi-sisi segitiga siku-siku terhadap nilai sudut lancip di sisi miring. Fungsi seperti itu disebut trigonometri, dan untuk memudahkan pengerjaannya, fungsi trigonometri diturunkan identitas .

Pertunjukan identitas dalam matematika ini menunjukkan persamaan yang dipenuhi untuk semua nilai argumen fungsi yang termasuk di dalamnya. Trigonometri identitas adalah persamaan fungsi trigonometri, dikonfirmasi dan diterima untuk menyederhanakan pekerjaan dengan rumus trigonometri.Fungsi trigonometri adalah fungsi dasar ketergantungan salah satu kaki segitiga siku-siku pada nilai sudut lancip di sisi miring. Enam fungsi dasar trigonometri yang paling sering digunakan adalah sin (sinus), cos (cosinus), tg (tangent), ctg (cotangent), sec (secant) dan cosec (cosecant). Fungsi-fungsi ini disebut fungsi langsung, ada juga fungsi invers, misalnya sinus - arcsinus, cosinus - arccosine, dll. Awalnya, fungsi trigonometri tercermin dalam geometri, setelah itu menyebar ke bidang ilmu lain: fisika, kimia, geografi, optik, teori probabilitas, serta akustik, teori musik, fonetik, grafik komputer dan banyak lainnya. Saat ini sulit membayangkan perhitungan matematis tanpa fungsi-fungsi ini, meskipun di masa lalu fungsi-fungsi tersebut hanya digunakan dalam astronomi dan arsitektur. identitas digunakan untuk menyederhanakan pekerjaan dengan rumus trigonometri panjang dan mereduksinya menjadi bentuk yang mudah dicerna. Ada enam identitas trigonometri utama; mereka terkait dengan fungsi trigonometri langsung: tg ? = dosa?/cos?; dosa^2? +karena^2? = 1; 1+tg^2? = 1/cos^2?; 1+1/tg^2? = 1/dosa^2?; dosa(?/2 – ?) = cos?; cos (?/2 – ?) = sin?.Ini identitas mudah untuk memastikannya dari sifat-sifat perbandingan sisi dan sudut pada segitiga siku-siku: sin ? = BC/AC = b/c; karena? = AB/AC = a/c; tg? = b/a Identitas pertama tg ? = dosa ?/cos ? mengikuti perbandingan sisi-sisi dalam segitiga dan pengecualian sisi c (sisi miring) ketika membagi sin dengan cos. Identitas ctg ? didefinisikan dengan cara yang sama. = cos ?/sin ?, karena ctg ? = 1/tg ?.Dengan teorema Pythagoras a^2 + b^2 = c^2. Mari kita bagi persamaan ini dengan c^2, kita mendapatkan identitas kedua: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + karena^2 ? = 1.Ketiga dan keempat identitas diperoleh dengan membagi masing-masing dengan b^2 dan a^2: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/dosa^ ? atau 1 + ctg^2 ? = 1/sin^2 ?.Dasar kelima dan keenam identitas dibuktikan dengan menentukan jumlah sudut lancip suatu segitiga siku-siku yang besarnya 90° atau?/2. Trigonometri yang lebih sulit identitas: rumus penjumlahan argumen, sudut ganda dan rangkap tiga, pengurangan derajat, pembentukan kembali jumlah atau hasil kali fungsi, serta rumus substitusi trigonometri yaitu ekspresi fungsi dasar trigonometri melalui tg setengah sudut: sin ?= (2*tg ?/2)/(1 + tan^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

Kebutuhan untuk menemukan minimum arti matematis fungsi adalah kepentingan aktual dalam memecahkan masalah terapan, misalnya, dalam bidang ekonomi. Sangat besar arti meminimalkan kerugian sangat penting untuk kegiatan bisnis.

instruksi

1. Untuk menemukan minimum arti fungsi, perlu ditentukan pada nilai argumen x0 berapa pertidaksamaan y(x0) akan dipenuhi? y(x), dimana x? x0. Seperti biasa, masalah ini diselesaikan pada interval tertentu atau pada setiap rentang nilai fungsi, jika tidak ditentukan. Salah satu aspek dari solusinya adalah menemukan titik tetap.

2. Titik yang diam disebut arti argumen di mana turunannya fungsi menjadi nol. Menurut teorema Fermat, jika suatu fungsi terdiferensiasi bernilai ekstrem arti di suatu titik (dalam hal ini minimum lokal), maka titik tersebut stasioner.

3. Minimum arti fungsinya sering kali tepat pada titik ini, tetapi tidak dapat ditentukan secara pasti. Selain itu, tidak selalu mungkin untuk mengatakan dengan tepat berapa nilai minimumnya fungsi atau dia menerima yang sangat kecil arti. Kemudian, seperti biasa, mereka menemukan batas kecenderungannya seiring dengan penurunannya.

4. Untuk menentukan minimumnya arti fungsi, Anda perlu melakukan serangkaian tindakan yang terdiri dari empat tahap: menemukan domain definisi fungsi, perolehan poin tetap, ikhtisar nilai fungsi pada titik-titik ini dan di ujung celah, deteksi minimumnya.

5. Ternyata suatu fungsi y(x) diberikan pada suatu interval yang berbatas di titik A dan B. Tentukan domain definisinya dan cari tahu apakah interval tersebut merupakan himpunan bagiannya.

6. Hitung Derivatif fungsi. Samakan ekspresi yang dihasilkan dengan nol dan temukan akar persamaannya. Periksa apakah titik-titik stasioner ini termasuk dalam celah tersebut. Jika tidak, maka tidak diperhitungkan pada tahap selanjutnya.

7. Periksa kesenjangan untuk jenis batas: terbuka, tertutup, majemuk atau tidak terukur. Ini menentukan cara Anda mencari nilai minimum arti. Katakanlah ruas [A, B] adalah interval tertutup. Masukkan keduanya ke dalam fungsi dan hitung nilainya. Lakukan hal yang sama dengan titik stasioner. Pilih total terendah.

8. Dengan interval yang terbuka dan tidak terukur, situasinya menjadi lebih sulit. Di sini Anda harus mencari batasan sepihak yang tidak selalu memberikan hasil yang jelas. Katakanlah, untuk suatu interval dengan satu batas tertutup dan satu batas tertembus [A, B), kita harus mencari suatu fungsi di x = A dan batas satu sisi lim y di x? B-0.

Tujuan: merangkum dan mensistematisasikan pengetahuan siswa tentang topik “Periodisitas Fungsi”; mengembangkan keterampilan dalam menerapkan sifat-sifat fungsi periodik, mencari periode positif terkecil suatu fungsi, membuat grafik fungsi periodik; mempromosikan minat belajar matematika; menumbuhkan observasi dan ketelitian.

Perlengkapan: komputer, proyektor multimedia, kartu tugas, slide, jam, meja hiasan, unsur kerajinan rakyat

“Matematika adalah apa yang digunakan manusia untuk mengendalikan alam dan diri mereka sendiri.”
SEBUAH. Kolmogorov

Selama kelas

I. Tahap organisasi.

Memeriksa kesiapan siswa untuk pelajaran. Laporkan topik dan tujuan pelajaran.

II. Memeriksa pekerjaan rumah.

Kami memeriksa pekerjaan rumah menggunakan sampel dan mendiskusikan poin tersulit.

AKU AKU AKU. Generalisasi dan sistematisasi pengetahuan.

1. Pekerjaan lisan dan depan.

Masalah teori.

1) Membentuk definisi periode fungsi
2) Sebutkan periode positif terkecil dari fungsi y=sin(x), y=cos(x)
3). Berapa periode positif terkecil dari fungsi y=tg(x), y=ctg(x)
4) Dengan menggunakan lingkaran, buktikan kebenaran relasinya:

y=dosa(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

dosa(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Bagaimana cara memplot fungsi periodik?

Latihan lisan.

1) Buktikan hubungan berikut

A) dosa(740º) = dosa(20º)
B) cos(54º) = cos(-1026º)
C) dosa(-1000º) = dosa(80º)

2. Buktikan bahwa sudut 540º merupakan salah satu periode dari fungsi y= cos(2x)

3. Buktikan bahwa sudut 360º merupakan salah satu periode dari fungsi y=tg(x)

4. Ubah persamaan-persamaan ini sehingga sudut-sudut yang termasuk di dalamnya tidak melebihi nilai mutlak 90º.

A) tg375º
B) ctg530º
C) dosa1268º
D) karena(-7363º)

5. Di mana Anda menemukan kata PERIOD, PERIODICITY?

Jawaban siswa: Periode dalam musik adalah suatu struktur di mana pemikiran musik yang kurang lebih lengkap disajikan. Periode geologis adalah bagian dari suatu era dan dibagi menjadi beberapa zaman dengan jangka waktu 35 hingga 90 juta tahun.

Waktu paruh suatu zat radioaktif. Pecahan periodik. Majalah berkala adalah publikasi cetak yang terbit dalam tenggat waktu yang ditentukan secara ketat. Sistem periodik Mendeleev.

6. Gambar-gambar tersebut menunjukkan bagian-bagian grafik fungsi periodik. Tentukan periode fungsi tersebut. Tentukan periode fungsi tersebut.

Menjawab: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Di manakah dalam hidup Anda Anda menemukan konstruksi elemen yang berulang?

Jawaban siswa: Unsur ornamen, kesenian rakyat.

IV. Pemecahan masalah secara kolektif.

(Memecahkan masalah pada slide.)

Mari kita pertimbangkan salah satu cara mempelajari fungsi periodisitas.

Metode ini menghindari kesulitan yang terkait dengan pembuktian bahwa periode tertentu adalah yang terkecil, dan juga menghilangkan kebutuhan untuk menyentuh pertanyaan tentang operasi aritmatika pada fungsi periodik dan periodisitas fungsi kompleks. Alasannya hanya didasarkan pada definisi fungsi periodik dan fakta berikut: jika T adalah periode fungsi tersebut, maka nT(n?0) adalah periodenya.

Soal 1. Tentukan periode positif terkecil dari fungsi f(x)=1+3(x+q>5)

Solusi: Asumsikan periode T dari fungsi ini. Maka f(x+T)=f(x) untuk semua x € D(f), yaitu

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Misalkan x=-0,25 kita peroleh

(T)=0<=>T=n, n€Z

Kita telah memperoleh bahwa semua periode dari fungsi yang dimaksud (jika ada) adalah bilangan bulat. Mari kita pilih bilangan positif terkecil di antara bilangan-bilangan ini. Ini 1 . Mari kita periksa apakah ini benar-benar suatu periode 1 .

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Karena (T+1)=(T) untuk sembarang T, maka f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), yaitu 1 – periode f. Karena 1 adalah bilangan bulat positif terkecil, maka T=1.

Soal 2. Tunjukkan bahwa fungsi f(x)=cos 2 (x) bersifat periodik dan tentukan periode utamanya.

Soal 3. Temukan periode utama dari fungsi tersebut

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Mari kita asumsikan periode T dari fungsi tersebut, lalu untuk sembarang X rasio tersebut valid

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Jika x=0, maka

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Jika x=-T, maka

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Menambahkannya, kita mendapatkan:

10kos(0,75T)=10

2π n, n€Z

Mari kita pilih bilangan positif terkecil dari semua bilangan “mencurigakan” untuk periode tersebut dan periksa apakah itu merupakan periode untuk f. Nomor ini

f(x+)=sin(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Artinya ini adalah periode utama dari fungsi f.

Soal 4. Mari kita periksa apakah fungsi f(x)=sin(x) periodik

Misalkan T adalah periode dari fungsi f. Kemudian untuk x apa pun

dosa|x+Т|=dosa|x|

Jika x=0, maka sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Mari kita asumsikan. Bahwa untuk beberapa n bilangan π n adalah periodenya

fungsi yang sedang dipertimbangkan π n>0. Maka sin|π n+x|=sin|x|

Artinya n harus berupa bilangan genap dan ganjil, namun hal ini tidak mungkin. Oleh karena itu, fungsi ini tidak bersifat periodik.

Tugas 5. Periksa apakah fungsinya periodik

f(x)=

Misalkan T adalah periode f

, maka sinT=0, Т=π n, n € Z. Mari kita asumsikan bahwa untuk beberapa n bilangan π n memang merupakan periode dari fungsi ini. Maka bilangan 2π n adalah periodenya

Karena pembilangnya sama, maka penyebutnya juga sama

Artinya fungsi f tidak periodik.

Bekerja dalam kelompok.

Tugas untuk kelompok 1.

Tugas untuk kelompok 2.

Periksa apakah fungsi f periodik dan temukan periode fundamentalnya (jika ada).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Tugas untuk kelompok 3.

Di akhir pekerjaan mereka, kelompok mempresentasikan solusi mereka.

VI. Menyimpulkan pelajaran.

Cerminan.

Guru memberikan kepada siswa kartu berisi gambar dan meminta mereka mengecat bagian gambar pertama sesuai dengan sejauh mana menurut mereka telah menguasai metode mempelajari suatu fungsi periodisitas, dan pada bagian gambar kedua - sesuai dengan mereka. kontribusi terhadap pekerjaan dalam pelajaran.

VII. Pekerjaan rumah

1). Periksa apakah fungsi f periodik dan temukan periode fundamentalnya (jika ada)

B). f(x)=x 2 -2x+4

C). f(x)=2tg(3x+5)

2). Fungsi y=f(x) mempunyai periode T=2 dan f(x)=x 2 +2x untuk x € [-2; 0]. Temukan nilai ekspresi -2f(-3)-4f(3.5)

Literatur/

1. Mordkovich A.G. Aljabar dan permulaan analisis dengan kajian mendalam.
2. Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Aljabar dan analisis permulaan untuk kelas 10-11.