Contoh 8

Vektor diberikan. Tunjukkan bahwa vektor membentuk basis ruang tiga dimensi dan temukan koordinat vektor dalam basis ini.

Larutan: Mari kita berurusan dengan kondisinya terlebih dahulu. Dengan syarat, empat vektor diberikan, dan, seperti yang Anda lihat, mereka sudah memiliki koordinat di beberapa basis. Apa dasarnya - kami tidak tertarik. Dan hal berikut menarik: tiga vektor mungkin membentuk basis baru. Dan langkah pertama benar-benar sama dengan solusi Contoh 6, perlu untuk memeriksa apakah vektor benar-benar bebas linier:

Hitung determinan, terdiri dari koordinat vektor:

, karenanya vektor bebas linier dan membentuk basis ruang tiga dimensi.

! Penting: koordinat vektor perlu tuliskan ke dalam kolom penentu, bukan string. Jika tidak, akan ada kebingungan dalam algoritma solusi selanjutnya.

Sekarang mari kita ingat bagian teoretisnya: jika vektor membentuk basis, maka vektor apa pun dapat diuraikan menjadi basis tertentu dengan cara yang unik: , di mana koordinat vektor dalam basis .

Karena vektor kita membentuk dasar ruang tiga dimensi (ini telah dibuktikan), vektor dapat diperluas dengan cara yang unik dengan dasar ini:
, dimana koordinat vektor pada basis .

Dengan kondisi dan diperlukan untuk menemukan koordinat .

Untuk memudahkan penjelasan, saya akan menukar bagian-bagiannya: . Untuk menemukannya, persamaan ini harus ditulis berdasarkan koordinat:

Atas dasar apa koefisien disusun? Semua koefisien ruas kiri dipindahkan secara tepat dari determinan , koordinat vektor ditulis di sisi kanan.

Hasilnya adalah sistem tiga persamaan linier dengan tiga yang tidak diketahui. Biasanya diputuskan oleh formula Cramer, bahkan seringkali dalam kondisi masalah ada persyaratan seperti itu.

Penentu utama sistem telah ditemukan:
, sehingga sistem memiliki solusi yang unik.

Selanjutnya adalah masalah teknologi:

Lewat sini:
adalah perluasan vektor dalam hal dasar .

Menjawab:

Seperti yang telah saya catat, masalahnya bersifat aljabar. Vektor yang dipertimbangkan belum tentu vektor yang dapat digambar dalam ruang, tetapi, pertama-tama, vektor abstrak dari kursus aljabar linier. Untuk kasus vektor dua dimensi, masalah serupa dapat dirumuskan dan diselesaikan, solusinya akan jauh lebih sederhana. Namun, dalam praktiknya, saya belum pernah menemukan tugas seperti itu, itulah sebabnya saya melewatkannya di bagian sebelumnya.

Masalah yang sama dengan vektor tiga dimensi untuk solusi independen:

Contoh 9

Vektor diberikan. Tunjukkan bahwa vektor-vektor tersebut membentuk basis dan temukan koordinat vektor pada basis tersebut. Selesaikan sistem persamaan linier dengan metode Cramer.

Solusi lengkap dan contoh perkiraan penyelesaian di akhir pelajaran.

Demikian pula, seseorang dapat mempertimbangkan empat dimensi, lima dimensi, dll. ruang vektor, di mana vektor masing-masing memiliki 4, 5 atau lebih koordinat. Untuk ruang vektor ini juga ada konsep ketergantungan linier, kebebasan linier vektor, ada basis, termasuk yang ortonormal, perluasan vektor dalam bentuk basis. Ya, ruang seperti itu tidak dapat digambar secara geometris, tetapi semua aturan, properti, dan teorema dari kasus dua dan tiga dimensi bekerja di dalamnya - aljabar murni. Sebenarnya saya sudah terpaksa membicarakan masalah filosofis di artikel itu Turunan parsial fungsi tiga variabel, yang muncul sebelum pelajaran ini.

Vektor cinta dan vektor akan mencintaimu!

Solusi dan jawaban:

Contoh 2: Larutan: buat proporsi dari koordinat vektor yang sesuai:

Menjawab: pada

Contoh 4: Bukti: Rekstok gantung Segiempat disebut segiempat yang dua sisinya sejajar dan dua sisi lainnya tidak sejajar.
1) Periksa paralelisme sisi yang berlawanan dan .
Mari kita cari vektornya:


, jadi vektor-vektor ini tidak kolinear dan sisi-sisinya tidak sejajar.
2) Periksa paralelisme sisi yang berlawanan dan .
Mari kita cari vektornya:

Hitung determinan, terdiri dari koordinat vektor:
, jadi vektor ini adalah collinear, dan .
Kesimpulan: Dua sisi segiempat adalah paralel, tetapi dua sisi lainnya tidak sejajar, jadi definisinya adalah trapesium. Q.E.D.

Contoh 5: Larutan:
b) Periksa apakah ada koefisien proporsionalitas untuk koordinat vektor yang sesuai:

Sistem tidak memiliki solusi, yang berarti vektor tidak kolinear.
Desain yang lebih sederhana:
- koordinat kedua dan ketiga tidak proporsional, artinya vektor tidak kolinear.
Menjawab: vektor tidak kolinear.
c) Kami memeriksa vektor untuk kolinearitas . Mari kita buat sistem:

Koordinat vektor yang sesuai adalah proporsional, jadi
Di sinilah metode desain "foppish" tidak berfungsi.
Menjawab:

Contoh 6: Larutan: b) Hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor (determinan diperluas pada baris pertama):

, yang berarti bahwa vektor bergantung secara linear dan tidak membentuk basis ruang tiga dimensi.
Menjawab : vektor ini tidak membentuk basis

Contoh 9: Larutan: Hitung determinan, terdiri dari koordinat vektor:


Dengan demikian, vektor bebas linier dan membentuk basis.
Mari kita wakili vektor sebagai kombinasi linear dari vektor basis:

Koordinat:

Kami memecahkan sistem menggunakan rumus Cramer:
, sehingga sistem memiliki solusi yang unik.

Menjawab:Vektor membentuk basis,

Matematika yang lebih tinggi untuk siswa korespondensi dan tidak hanya >>>

(Pergi ke halaman utama)

Produk vektor dari vektor.
Hasil kali campuran vektor

Dalam pelajaran ini, kita akan melihat dua operasi lagi dengan vektor: perkalian silang vektor dan hasil kali campuran vektor. Tidak apa-apa, terkadang terjadi untuk kebahagiaan total, sebagai tambahan perkalian titik vektor, semakin banyak yang dibutuhkan. Begitulah kecanduan vektor. Orang mungkin mendapat kesan bahwa kita sedang memasuki rimba geometri analitik. Ini tidak benar. Di bagian matematika tingkat tinggi ini, umumnya hanya ada sedikit kayu bakar, kecuali mungkin cukup untuk Pinocchio. Faktanya, bahannya sangat umum dan sederhana - hampir tidak lebih sulit dari yang sama produk skalar, bahkan akan ada lebih sedikit tugas tipikal. Hal utama dalam geometri analitik, seperti yang akan dilihat atau dilihat banyak orang, adalah JANGAN KESALAHAN PERHITUNGAN. Ulangi seperti mantra, dan Anda akan bahagia =)

Jika vektor berkilau di suatu tempat yang jauh, seperti kilat di cakrawala, tidak masalah, mulailah dengan pelajaran Vektor untuk boneka untuk memulihkan atau memperoleh kembali pengetahuan dasar tentang vektor. Pembaca yang lebih siap dapat mengenal informasi secara selektif, saya mencoba mengumpulkan kumpulan contoh terlengkap yang sering ditemukan dalam kerja praktek

Apa yang akan membuatmu bahagia? Ketika saya masih kecil, saya bisa menyulap dua bahkan tiga bola. Itu berhasil dengan baik. Sekarang tidak perlu menyulap sama sekali, karena kami akan mempertimbangkannya vektor ruang saja, dan vektor datar dengan dua koordinat akan ditinggalkan. Mengapa? Beginilah cara lahirnya tindakan ini - vektor dan produk campuran vektor ditentukan dan bekerja dalam ruang tiga dimensi. Sudah lebih mudah!

Vektor dapat diwakili secara grafis oleh segmen garis terarah. Panjang dipilih pada skala tertentu untuk menunjukkan besarnya vektor , dan arah segmen mewakili arah vektor . Misalnya, jika kita mengasumsikan bahwa 1 cm mewakili 5 km/jam, maka angin timur laut dengan kecepatan 15 km/jam akan diwakili oleh garis arah 3 cm, seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Vektor di pesawat itu adalah segmen diarahkan. Dua vektor setara jika mereka memiliki hal yang sama nilai dan arah.

Pertimbangkan vektor yang ditarik dari titik A ke titik B. Titik tersebut disebut titik pangkal vektor, dan titik B disebut titik akhir. Notasi simbolis untuk vektor ini adalah (dibaca sebagai “vektor AB”). Vektor juga dilambangkan dengan huruf tebal, seperti U, V, dan W. Keempat vektor pada gambar di sebelah kiri memiliki panjang dan arah yang sama. Oleh karena itu mereka mewakili setara angin; itu adalah,

Dalam konteks vektor, kami menggunakan = untuk menyatakan persamaannya.

panjang, atau besarnya dinyatakan sebagai ||. Untuk menentukan apakah vektor sama, kami menemukan besaran dan arahnya.

Contoh 1 Vektor u, , w ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Buktikan bahwa u = w.

Larutan Pertama kita mencari panjang setiap vektor menggunakan rumus jarak:
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2 = √9 + 1 = √10 ,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Dari sini
|u| = | = |w|.
Vektor u, , dan w, seperti yang Anda lihat dari gambar, tampaknya memiliki arah yang sama, tetapi kita akan memeriksa kemiringannya. Jika garis mereka memiliki kemiringan yang sama, maka vektor memiliki arah yang sama. Hitung lereng:
Karena u, , dan w memiliki besar dan arah yang sama,
kamu = w.

Perlu diingat bahwa vektor yang sama hanya membutuhkan besar yang sama dan arah yang sama, tidak berada di tempat yang sama. Gambar paling atas adalah contoh persamaan vektor.

Misalkan seseorang mengambil 4 langkah ke timur dan kemudian 3 langkah ke utara. Orang tersebut kemudian akan berjarak 5 langkah dari titik awal ke arah yang ditunjukkan di sebelah kiri. Sebuah vektor dengan panjang 4 satuan dan arah kanan melambangkan 4 langkah ke timur dan vektor dengan panjang 3 satuan melambangkan 3 langkah ke utara. Jumlah dari dua vektor ini adalah vektor 5 langkah besarnya dan dalam arah yang ditunjukkan. Jumlahnya juga disebut dihasilkan dua vektor.

Secara umum, dua vektor bukan nol u dan v dapat dijumlahkan secara geometris dengan memposisikan titik awal vektor v ke titik akhir vektor u, kemudian mencari vektor yang memiliki titik awal yang sama dengan vektor u dan titik akhir yang sama sebagai vektor v seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Jumlahnya adalah vektor yang diwakili oleh segmen yang diarahkan dari titik A vektor u ke titik akhir C vektor v. Jadi, jika u = dan v = , maka
u+v=+=

Kita juga dapat menjelaskan penjumlahan vektor dengan menempatkan titik awal vektor bersama-sama, membuat jajaran genjang, dan menemukan diagonal jajaran genjang. (gambar di bawah.) Penambahan ini terkadang disebut sebagai aturan jajaran genjang penambahan vektor. Penjumlahan vektor bersifat komutatif. Seperti yang ditunjukkan pada gambar, kedua vektor u + v dan v + u diwakili oleh segmen berarah yang sama.

Jika dua gaya F1 dan F2 bekerja pada benda yang sama, dihasilkan gaya adalah jumlah F 1 + F 2 dari dua gaya yang terpisah ini.

Contoh Dua gaya 15 newton dan 25 newton bekerja pada benda yang sama tegak lurus satu sama lain. Temukan jumlah mereka, atau gaya resultan, dan sudut yang dibuatnya dengan gaya yang lebih besar.

Larutan Mari menggambar kondisi dari soal, dalam hal ini persegi panjang, menggunakan v atau untuk merepresentasikan hasilnya. Untuk menemukan nilainya, kami menggunakan teorema Pythagoras:
|v| 2 = 152 + 252 Di sini |v| menunjukkan panjang atau besarnya v.
|v| = √152 + 252
|v| ≈ 29.2.
Untuk mengetahui arahnya, perhatikan bahwa karena OAB adalah sudut siku-siku,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Dengan menggunakan kalkulator, kita menemukan θ, sudut yang dibuat oleh gaya besar dengan gaya total:
θ = tan - 1 (0,6) ≈ 31°
Yang dihasilkan memiliki besaran 29,2 dan sudut 31° dengan gaya yang lebih besar.

Pilot dapat mengoreksi arah penerbangannya jika ada angin samping. Angin dan kecepatan pesawat dapat direpresentasikan sebagai angin.

Contoh 3. Kecepatan dan arah pesawat. Pesawat bergerak sepanjang azimuth 100° dengan kecepatan 190 km/jam, sedangkan kecepatan angin 48 km/jam dan azimuthnya 220°. Temukan kecepatan absolut pesawat dan arah pergerakannya, dengan mempertimbangkan angin.

Larutan Mari kita menggambar dulu. Angin direpresentasikan dan vektor kecepatan pesawat adalah . Vektor kecepatan yang dihasilkan adalah v, jumlah dari dua vektor. Sudut θ antara v dan disebut sudut melayang .


Perhatikan bahwa COA = 100° - 40° = 60°. Maka nilai CBA juga sama dengan 60° (sudut berlawanan dari jajaran genjang adalah sama). Karena jumlah semua sudut jajaran genjang adalah 360° dan COB dan OAB sama besarnya, masing-masing harus 120°. Oleh aturan cosinus di OAB, kita punya
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47,524
|v| = 218
Lalu |v| sama dengan 218 km/jam. Berdasarkan aturan sinus , dalam segitiga yang sama,
48 /sinθ = 218 /dosa 120°,
atau
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
Kemudian, θ = 11°, ke sudut bilangan bulat terdekat. Kecepatan absolutnya adalah 218 km / jam, dan arah pergerakannya, dengan mempertimbangkan angin: 100 ° - 11 °, atau 89 °.

Diberikan vektor w, kita dapat menemukan dua vektor lain u dan v yang jumlahnya w. Vektor u dan v disebut komponen w dan proses menemukan mereka disebut penguraian , atau representasi vektor dengan komponen vektornya.

Ketika kita mendekomposisi sebuah vektor, kita biasanya mencari komponen tegak lurus. Namun, sangat sering, satu komponen akan sejajar dengan sumbu x dan komponen lainnya akan sejajar dengan sumbu y. Karena itu, mereka sering dipanggil horisontal dan vertikal komponen vektor. Pada gambar di bawah, vektor w = didekomposisi sebagai jumlah dari u = dan v = .

Komponen horizontal dari w adalah u dan komponen vertikal adalah v.

Contoh 4 Vektor w memiliki besaran 130 dan kemiringan 40° relatif terhadap horizontal. Dekomposisi vektor menjadi komponen horizontal dan vertikal.

Larutan Pertama kita menggambar dengan vektor horizontal dan vertikal u dan v, yang jumlahnya w.

Dari ABC, kita temukan |u| dan |v| menggunakan definisi cosinus dan sinus:
cos40° = |u|/130, atau |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130, atau |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Maka komponen w horizontal adalah 100 ke kanan dan komponen w vertikal adalah 84 ke atas.

Pada artikel ini, Anda dan saya akan memulai diskusi tentang satu "tongkat ajaib" yang memungkinkan Anda mengurangi banyak masalah dalam geometri menjadi aritmatika sederhana. "Tongkat" ini dapat membuat hidup Anda lebih mudah, terutama ketika Anda merasa tidak aman dalam membangun figur spasial, bagian, dll. Semua ini membutuhkan imajinasi dan keterampilan praktis tertentu. Metode yang akan kita mulai pertimbangkan di sini akan memungkinkan Anda untuk mengabstraksi hampir sepenuhnya dari semua jenis konstruksi dan penalaran geometris. Metode ini disebut "metode koordinat". Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Bidang koordinat
2. Titik dan vektor pada bidang
3. Membangun vektor dari dua titik
4. Panjang vektor (jarak antara dua titik).
5. Koordinat titik tengah
6. Produk titik vektor
7. Sudut antara dua vektor

Saya rasa Anda sudah menebak mengapa metode koordinat disebut demikian? Memang benar mendapat nama seperti itu, karena tidak beroperasi dengan objek geometris, tetapi dengan karakteristik numeriknya (koordinat). Dan transformasi itu sendiri, yang memungkinkan perpindahan dari geometri ke aljabar, terdiri dari pengenalan sistem koordinat. Jika bentuk aslinya datar, maka koordinatnya dua dimensi, dan jika bentuknya tiga dimensi, maka koordinatnya tiga dimensi. Pada artikel ini, kami hanya akan mempertimbangkan kasus dua dimensi. Dan tujuan utama artikel ini adalah untuk mengajari Anda cara menggunakan beberapa teknik dasar metode koordinat (terkadang teknik tersebut ternyata berguna saat memecahkan masalah dalam planimetri di bagian B Ujian Negara Bersatu). Dua bagian berikut tentang topik ini dikhususkan untuk pembahasan metode untuk memecahkan masalah C2 (masalah stereometri).

Di mana masuk akal untuk mulai membahas metode koordinat? Mungkin dengan konsep sistem koordinat. Ingat ketika Anda pertama kali bertemu dengannya. Menurut saya, di kelas 7, ketika Anda belajar tentang keberadaan fungsi linier, misalnya. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa Anda membangunnya poin demi poin. Apakah kamu ingat? Anda memilih angka acak, menggantinya ke dalam rumus dan menghitung dengan cara ini. Misalnya, jika, lalu, jika, lalu, dll. Apa yang Anda dapatkan sebagai hasilnya? Dan Anda menerima poin dengan koordinat: dan. Selanjutnya, Anda menggambar "salib" (sistem koordinat), memilih skala di atasnya (berapa banyak sel yang akan Anda miliki sebagai satu segmen) dan menandai titik yang Anda terima di atasnya, yang kemudian Anda hubungkan dengan garis lurus, hasilnya garis adalah grafik fungsi.

Ada beberapa hal yang perlu dijelaskan kepada Anda dengan sedikit lebih detail:

1. Anda memilih satu segmen untuk alasan kenyamanan, sehingga semuanya cocok dengan baik dan kompak dalam gambar

2. Diasumsikan bahwa sumbu bergerak dari kiri ke kanan, dan sumbu bergerak dari bawah ke atas

3. Mereka berpotongan di sudut kanan, dan titik perpotongannya disebut titik asal. Itu ditandai dengan surat.

4. Dalam catatan koordinat suatu titik, misalnya di sebelah kiri dalam tanda kurung adalah koordinat titik di sepanjang sumbu, dan di sebelah kanan, di sepanjang sumbu. Secara khusus, cukup berarti bahwa intinya

5. Untuk menyetel titik mana pun pada sumbu koordinat, Anda perlu menentukan koordinatnya (2 angka)

6. Untuk setiap titik yang terletak pada sumbu,

7. Untuk setiap titik yang terletak pada sumbu,

8. Sumbu tersebut disebut sumbu x

9. Sumbu tersebut disebut sumbu y

Sekarang mari kita ambil langkah selanjutnya dengan Anda: tandai dua poin. Hubungkan kedua titik ini dengan garis. Dan mari kita letakkan panah seolah-olah kita sedang menggambar segmen dari titik ke titik: yaitu, kita akan mengarahkan segmen kita!

Ingat apa nama lain untuk segmen terarah? Benar, ini disebut vektor!

Jadi, jika kita menghubungkan titik ke titik, dan awalnya adalah titik A, dan akhirnya adalah titik B, maka kita mendapatkan vektor. Anda juga melakukan konstruksi ini di kelas 8, ingat?

Ternyata vektor, seperti titik, dapat dilambangkan dengan dua angka: angka-angka ini disebut koordinat vektor. Pertanyaan: apakah menurut Anda cukup bagi kita untuk mengetahui koordinat awal dan akhir vektor untuk menemukan koordinatnya? Ternyata ya! Dan itu sangat mudah dilakukan:

Jadi, karena dalam vektor titiknya adalah awal dan akhir, vektor tersebut memiliki koordinat sebagai berikut:

Misalnya, jika, maka koordinat vektornya

Sekarang mari kita lakukan sebaliknya, temukan koordinat vektornya. Apa yang perlu kita ubah untuk ini? Ya, Anda perlu menukar awal dan akhir: sekarang awal vektor akan berada di satu titik, dan ujungnya di satu titik. Kemudian:

Perhatikan baik-baik, apa perbedaan antara vektor dan? Satu-satunya perbedaan mereka adalah tanda-tanda di koordinat. Mereka berlawanan. Fakta ini ditulis seperti ini:

Kadang-kadang, jika tidak disebutkan secara spesifik titik mana yang merupakan awal dari vektor, dan mana yang merupakan akhir, maka vektor tersebut dilambangkan bukan dengan dua huruf kapital, tetapi dengan satu huruf kecil, misalnya :, dll.

Sekarang sedikit praktek dan temukan koordinat vektor berikut:

Penyelidikan:

Sekarang selesaikan masalahnya sedikit lebih sulit:

Torus vektor dengan on-cha-scrap pada suatu titik memiliki co-or-di-on-you. Temukan poin abs-cis-su.

Semua sama cukup membosankan: Biarkan menjadi koordinat titik. Kemudian

Saya menyusun sistem dengan menentukan koordinat vektor. Maka titik tersebut memiliki koordinat. Kami tertarik pada absis. Kemudian

Menjawab:

Apa lagi yang bisa Anda lakukan dengan vektor? Ya, hampir semuanya sama dengan angka biasa (kecuali Anda tidak dapat membagi, tetapi Anda dapat mengalikan dengan dua cara, salah satunya akan kita bahas di sini nanti)

1. Vektor dapat ditumpuk satu sama lain
2. Vektor dapat dikurangkan satu sama lain
3. Vektor dapat dikalikan (atau dibagi) dengan sembarang angka bukan nol
4. Vektor dapat dikalikan satu sama lain

Semua operasi ini memiliki representasi geometris yang cukup visual. Misalnya, aturan segitiga (atau jajaran genjang) untuk penjumlahan dan pengurangan:

Sebuah vektor membentang atau menyusut atau berubah arah ketika dikalikan atau dibagi dengan angka:

Namun, di sini kita akan tertarik dengan pertanyaan tentang apa yang terjadi pada koordinat tersebut.

1. Saat menambahkan (mengurangi) dua vektor, kami menambahkan (mengurangi) elemen koordinatnya dengan elemen. Itu adalah:

2. Saat mengalikan (membagi) suatu vektor dengan suatu bilangan, semua koordinatnya dikalikan (dibagi) dengan bilangan ini:

Sebagai contoh:

· Temukan-di-jumlah dari ko-atau-di-nat abad-ke-ra.

Pertama mari kita cari koordinat masing-masing vektor. Keduanya memiliki asal yang sama - titik asal. Ujung mereka berbeda. Kemudian, . Sekarang kita hitung koordinat vektor Kemudian jumlah koordinat vektor yang dihasilkan sama dengan.

Menjawab:

Sekarang selesaikan sendiri masalah berikut:

· Temukan jumlah koordinat vektor

Kami memeriksa:

Mari kita perhatikan masalah berikut: kita memiliki dua titik pada bidang koordinat. Bagaimana menemukan jarak di antara mereka? Biarkan poin pertama, dan yang kedua. Mari kita nyatakan jarak antara mereka sebagai . Mari kita buat gambar berikut untuk kejelasan:

Apa yang telah kulakukan? Saya, pertama-tama, menghubungkan titik-titik dan, dan juga menggambar garis sejajar sumbu dari titik tersebut, dan menggambar garis sejajar sumbu dari titik tersebut. Apakah mereka berpotongan pada suatu titik, membentuk sosok yang luar biasa? Kenapa dia luar biasa? Ya, Anda dan saya hampir mengetahui segalanya tentang segitiga siku-siku. Nah, teorema Pythagoras pastinya. Ruas yang diinginkan adalah sisi miring dari segitiga ini, dan ruas tersebut adalah kaki-kakinya. Apa koordinat titiknya? Ya, mereka mudah ditemukan dari gambar: Karena segmennya sejajar dengan sumbu dan, karenanya, panjangnya mudah ditemukan: jika kita menunjukkan panjang segmen, masing-masing, melalui, maka

Sekarang mari kita gunakan teorema Pythagoras. Kita tahu panjang kakinya, kita akan menemukan sisi miringnya:

Dengan demikian, jarak antara dua titik adalah jumlah akar selisih kuadrat dari koordinat. Atau - jarak antara dua titik adalah panjang segmen yang menghubungkannya. Sangat mudah untuk melihat bahwa jarak antar titik tidak bergantung pada arah. Kemudian:

Dari sini kami menarik tiga kesimpulan:

Mari kita sedikit berlatih menghitung jarak antara dua titik:

Misalnya, jika, maka jarak antara dan adalah

Atau mari kita lakukan secara berbeda: temukan koordinat vektor

Dan temukan panjang vektor:

Seperti yang Anda lihat, itu sama!

Sekarang berlatih sedikit sendiri:

Tugas: temukan jarak antara titik-titik yang diberikan:

Kami memeriksa:

Berikut adalah beberapa soal lagi untuk rumus yang sama, meskipun kedengarannya sedikit berbeda:

1. Cari-di-te kuadrat dari panjang kelopak mata-ke-ra.

2. Nai-di-te persegi panjang kelopak mata-to-ra

Saya kira Anda dapat menangani mereka dengan mudah? Kami memeriksa:

1. Dan ini untuk perhatian) Kami telah menemukan koordinat vektor sebelumnya: . Kemudian vektor memiliki koordinat. Kuadrat panjangnya adalah:

2. Temukan koordinat vektor

Maka kuadrat panjangnya adalah

Tidak ada yang rumit, bukan? Aritmatika sederhana, tidak lebih.

Teka-teki berikut tidak dapat diklasifikasikan dengan jelas, melainkan untuk pengetahuan umum dan kemampuan menggambar gambar sederhana.

1. Cari-di-sinus sudut on-clo-on-from-cut, hubungkan titik ke-n-ke-n, dengan sumbu absis.

dan

Bagaimana kita akan melakukannya di sini? Anda perlu menemukan sinus sudut antara dan sumbu. Dan di mana kita bisa mencari sinus? Benar, dalam segitiga siku-siku. Jadi apa yang perlu kita lakukan? Bangun segitiga ini!

Karena koordinat titik dan, maka ruasnya sama, dan ruasnya. Kita perlu menemukan sinus sudut. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa sinus adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring

Apa yang tersisa untuk kita lakukan? Temukan sisi miringnya. Anda dapat melakukannya dengan dua cara: menggunakan teorema Pythagoras (kaki-kaki diketahui!) atau menggunakan rumus jarak antara dua titik (sebenarnya sama dengan metode pertama!). Saya akan menggunakan cara kedua:

Menjawab:

Tugas selanjutnya akan tampak lebih mudah bagi Anda. Dia - pada koordinat titik.

Tugas 2. Dari titik tersebut, per-pen-di-ku-lar diturunkan ke sumbu abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Mari kita membuat gambar:

Alas tegak lurus adalah titik perpotongan sumbu x (sumbu) bagi saya ini adalah sebuah titik. Angka tersebut menunjukkan bahwa ia memiliki koordinat: . Kami tertarik pada absis - yaitu komponen "X". Dia setara.

Menjawab: .

Tugas 3. Berdasarkan kondisi soal sebelumnya, tentukan jumlah jarak dari titik ke sumbu koordinat.

Tugas umumnya dasar jika Anda tahu berapa jarak dari titik ke sumbu. Kamu tahu? Saya berharap, tapi tetap saya ingatkan:

Jadi, dalam gambar saya, yang terletak sedikit lebih tinggi, saya sudah menggambarkan satu garis tegak lurus seperti itu? Apa sumbu itu? ke sumbu. Dan berapakah panjangnya? Dia setara. Sekarang gambar sendiri tegak lurus terhadap sumbu dan temukan panjangnya. Ini akan sama, kan? Maka jumlah mereka sama.

Menjawab: .

Tugas 4. Dalam kondisi soal 2, tentukan ordinat titik yang simetris dengan titik di sekitar sumbu x.

Saya pikir Anda secara intuitif memahami apa itu simetri? Sangat banyak objek yang memilikinya: banyak bangunan, meja, pesawat, banyak bentuk geometris: bola, silinder, bujur sangkar, belah ketupat, dll. Secara kasar, simetri dapat dipahami sebagai berikut: sebuah gambar terdiri dari dua (atau lebih) belahan yang identik. Simetri ini disebut aksial. Lalu apa itu sumbu? Ini persis garis di mana sosok itu, secara relatif, dapat "dipotong" menjadi dua bagian yang identik (dalam gambar ini, sumbu simetri lurus):

Sekarang mari kita kembali ke tugas kita. Kita tahu bahwa kita sedang mencari titik yang simetris terhadap sumbu. Maka sumbu ini adalah sumbu simetri. Jadi, kita perlu menandai sebuah titik agar sumbu memotong segmen menjadi dua bagian yang sama. Cobalah untuk menandai poin seperti itu sendiri. Sekarang bandingkan dengan solusi saya:

Apakah Anda melakukan hal yang sama? Bagus! Pada titik yang ditemukan, kami tertarik pada ordinat. Dia setara

Menjawab:

Sekarang beri tahu saya, setelah berpikir sejenak, berapakah absis dari titik yang simetris dengan titik A tentang sumbu y? Apa jawabanmu? Jawaban yang benar: .

Secara umum, aturannya dapat ditulis seperti ini:

Suatu titik yang simetris dengan suatu titik di sekitar sumbu x memiliki koordinat:

Titik yang simetris dengan titik di sekitar sumbu y memiliki koordinat:

Nah, sekarang ini benar-benar menakutkan. sebuah tugas: Temukan koordinat titik yang simetris terhadap suatu titik, relatif terhadap titik asal. Pertama-tama Anda berpikir sendiri, lalu lihat gambar saya!

Menjawab:

Sekarang masalah jajaran genjang:

Tugas 5: Poinnya adalah ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Temukan poin-dee-te atau-dee-on-tu.

Anda dapat memecahkan masalah ini dengan dua cara: logika dan metode koordinat. Saya pertama-tama akan menerapkan metode koordinat, dan kemudian saya akan memberi tahu Anda bagaimana Anda dapat memutuskan secara berbeda.

Cukup jelas bahwa titik absisnya sama. (terletak pada garis tegak lurus yang ditarik dari titik ke sumbu x). Kita perlu menemukan ordinatnya. Mari kita manfaatkan fakta bahwa sosok kita adalah jajaran genjang, yang artinya. Temukan panjang segmen menggunakan rumus jarak antara dua titik:

Kami menurunkan garis tegak lurus yang menghubungkan titik dengan sumbu. Titik potong dilambangkan dengan huruf.

Panjang ruasnya sama. (cari sendiri masalahnya, dimana kita bahas kali ini), lalu kita cari panjang ruasnya menggunakan teorema Pythagoras:

Panjang segmen sama persis dengan ordinatnya.

Menjawab: .

Solusi lain (saya hanya akan memberikan gambar yang mengilustrasikannya)

Kemajuan solusi:

1. Habiskan

2. Temukan koordinat titik dan panjang

3. Buktikan itu.

Yang lainnya masalah panjang potong:

Poinnya adalah-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Temukan panjang garis tengahnya, par-ral-lel-noy.

Apakah Anda ingat apa garis tengah segitiga itu? Maka bagi Anda tugas ini adalah dasar. Jika Anda tidak ingat, maka saya akan mengingatkan Anda: garis tengah segitiga adalah garis yang menghubungkan titik tengah sisi yang berlawanan. Itu sejajar dengan alas dan sama dengan setengahnya.

Basis adalah segmen. Kami harus mencari panjangnya lebih awal, itu sama. Kemudian panjang garis tengahnya setengah panjang dan sama.

Menjawab: .

Komentar: Masalah ini dapat diselesaikan dengan cara lain, yang akan kita bahas nanti.

Sementara itu, berikut adalah beberapa tugas untuk Anda, latihlah, itu cukup sederhana, tetapi membantu "mengisi tangan Anda" menggunakan metode koordinat!

1. Titik muncul-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Temukan panjang garis tengahnya.

2. Poin dan yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Temukan poin-dee-te atau-dee-on-tu.

3. Temukan panjang dari potongan, hubungkan titik kedua dan

4. Temukan-di-te area untuk-the-red-shen-noy fi-gu-ry di pesawat ko-or-di-nat-noy.

5. Sebuah lingkaran yang berpusat di na-cha-le ko-or-di-nat melewati sebuah titik. Temukan-de-te ra-di-kumisnya.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, uraikan-san-noy di dekat sudut kanan-no-ka, puncak-shi-ny dari something-ro-go memiliki co-or - di-na-you co-from-reply-but

Solusi:

1. Diketahui bahwa garis tengah trapesium sama dengan setengah jumlah alasnya. Basisnya sama, tetapi alasnya. Kemudian

Menjawab:

2. Cara termudah untuk memecahkan masalah ini adalah dengan memperhatikannya (aturan genjang). Hitung koordinat vektor dan tidak sulit: . Saat menambahkan vektor, koordinat ditambahkan. Kemudian memiliki koordinat. Titik tersebut memiliki koordinat yang sama, karena awal vektor adalah titik dengan koordinat. Kami tertarik pada ordinat. Dia setara.

Menjawab:

3. Kami segera bertindak sesuai dengan rumus jarak antara dua titik:

Menjawab:

4. Lihat gambar dan katakan, di antara dua gambar manakah area yang diarsir “diperas”? Itu terjepit di antara dua kotak. Maka luas bangun yang diinginkan sama dengan luas persegi besar dikurangi luas persegi kecil. Sisi persegi kecil adalah segmen yang menghubungkan titik-titik dan panjangnya

Maka luas persegi kecil tersebut adalah

Kami melakukan hal yang sama dengan kotak besar: sisinya adalah ruas yang menghubungkan titik-titik dan panjangnya sama dengan

Maka luas persegi yang besar adalah

Luas gambar yang diinginkan ditemukan dengan rumus:

Menjawab:

5. Jika lingkaran memiliki titik asal sebagai pusatnya dan melewati suatu titik, maka jari-jarinya akan sama persis dengan panjang ruasnya (buatlah gambar dan Anda akan mengerti mengapa ini jelas). Temukan panjang segmen ini:

Menjawab:

6. Diketahui bahwa jari-jari lingkaran yang mengelilingi persegi panjang sama dengan setengah diagonalnya. Mari kita temukan panjang salah satu dari dua diagonal (lagipula, dalam persegi panjang keduanya sama!)

Menjawab:

Nah, apakah Anda mengatur semuanya? Tidak sulit untuk mengetahuinya, bukan? Hanya ada satu aturan di sini - untuk dapat membuat gambar visual dan cukup "membaca" semua data darinya.

Kami memiliki sangat sedikit yang tersisa. Ada dua poin lagi yang ingin saya diskusikan.

Mari kita coba selesaikan masalah sederhana ini. Biarkan dua poin dan diberikan. Temukan koordinat tengah segmen. Solusi untuk masalah ini adalah sebagai berikut: biarkan titik menjadi tengah yang diinginkan, maka memiliki koordinat:

Itu adalah: koordinat tengah segmen = rata-rata aritmatika dari koordinat ujung segmen yang sesuai.

Aturan ini sangat sederhana dan biasanya tidak menimbulkan kesulitan bagi siswa. Mari kita lihat masalah apa dan bagaimana itu digunakan:

1. Temukan-di-te atau-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-point dan

2. Poinnya adalah yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Temukan poin-di-te atau-di-na-tu dari re-re-se-che-niya dari dia-go-on-lei-nya.

3. Temukan-di-te abs-cis-su di tengah lingkaran, gambarkan-san-noy di dekat persegi panjang-no-ka, puncak-shi-kami memiliki sesuatu-ro-go co-or-di- na-you co-from-vet-stvenno-but.

Solusi:

1. Tugas pertama hanyalah tugas klasik. Kami segera bertindak dengan menentukan titik tengah segmen. Dia memiliki koordinat. Ordinatnya sama.

Menjawab:

2. Sangat mudah untuk melihat bahwa segi empat yang diberikan adalah jajaran genjang (bahkan belah ketupat!). Anda bisa membuktikannya sendiri dengan menghitung panjang sisi-sisinya dan membandingkannya satu sama lain. Apa yang saya ketahui tentang jajaran genjang? Diagonal-diagonalnya dibagi dua oleh titik persimpangan! Aha! Jadi titik potong diagonalnya adalah? Ini adalah bagian tengah dari salah satu diagonal! Saya akan memilih, khususnya, diagonal. Maka titik tersebut memiliki koordinat, ordinat titik tersebut sama dengan.

Menjawab:

3. Berapakah pusat lingkaran yang dibatasi oleh persegi panjang? Itu bertepatan dengan titik persimpangan diagonal-diagonalnya. Apa yang kamu ketahui tentang diagonal persegi panjang? Mereka sama dan titik persimpangan dibagi dua. Tugas telah dikurangi menjadi yang sebelumnya. Ambil, misalnya, diagonal. Maka jika adalah pusat lingkaran yang dibatasi, maka adalah tengahnya. Saya mencari koordinat: absisnya sama.

Menjawab:

Sekarang berlatihlah sedikit sendiri, saya hanya akan memberikan jawaban untuk setiap soal agar Anda bisa mengeceknya sendiri.

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, jelaskan-san-noy di dekat segitiga-no-ka, puncak seseorang-ro-go memiliki ko-or-di -no misters

2. Temukan-di-te atau-di-na-tu pusat lingkaran, gambarkan san-noy di dekat segitiga-no-ka, puncak-shi-kita memiliki koordinat sesuatu-ro-go

3. Berapakah ra-di-y-sa yang harus ada lingkaran dengan pusat di suatu titik sehingga menyentuh sumbu abs-ciss?

4. Temukan-di-te atau-di-pada-titik-re-se-che-ing dari sumbu dan dari-potong, hubungkan-nya-yu-th-titik dan

Jawaban:

Apakah semuanya berhasil? Saya sangat berharap untuk itu! Sekarang - dorongan terakhir. Sekarang berhati-hatilah. Materi yang akan saya jelaskan sekarang tidak hanya relevan dengan soal-soal metode koordinat sederhana pada Bagian B, tetapi juga terdapat pada soal C2.

Manakah dari janji saya yang belum saya tepati? Ingat operasi apa pada vektor yang saya janjikan untuk diperkenalkan dan mana yang akhirnya saya perkenalkan? Apakah saya yakin saya tidak melupakan apa pun? Lupa! Saya lupa menjelaskan apa arti perkalian vektor.

Ada dua cara untuk mengalikan vektor dengan vektor. Bergantung pada metode yang dipilih, kita akan mendapatkan objek dengan sifat berbeda:

Produk vektor cukup rumit. Bagaimana melakukannya dan mengapa itu diperlukan, kami akan membahasnya dengan Anda di artikel selanjutnya. Dan dalam hal ini kita akan fokus pada perkalian skalar.

Sudah ada dua cara yang memungkinkan kita menghitungnya:

Seperti yang Anda duga, hasilnya harus sama! Jadi mari kita lihat cara pertama terlebih dahulu:

Produk titik melalui koordinat

Temukan: - notasi umum untuk perkalian titik

Rumus perhitungannya adalah sebagai berikut:

Artinya, perkalian titik = jumlah perkalian koordinat vektor!

Contoh:

Temukan-dee-te

Larutan:

Temukan koordinat masing-masing vektor:

Kami menghitung produk skalar dengan rumus:

Menjawab:

Soalnya, sama sekali tidak ada yang rumit!

Nah, sekarang coba sendiri:

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie century-to-ditch dan

Apakah Anda berhasil? Mungkin dia memperhatikan sedikit trik? Mari kita periksa:

Koordinat vektor, seperti pada tugas sebelumnya! Menjawab: .

Selain koordinat, ada cara lain untuk menghitung hasil kali skalar, yaitu melalui panjang vektor dan kosinus sudut di antara keduanya:

Menunjukkan sudut antara vektor dan.

Artinya, perkalian skalar sama dengan perkalian panjang vektor dan kosinus sudut di antaranya.

Mengapa kita membutuhkan rumus kedua ini, jika kita memiliki rumus pertama yang jauh lebih sederhana, setidaknya tidak ada cosinus di dalamnya. Dan kita membutuhkannya agar dari rumus pertama dan kedua kita dapat menyimpulkan bagaimana mencari sudut antar vektor!

Biarkan Lalu ingat rumus panjang vektor!

Kemudian jika saya memasukkan data ini ke dalam rumus produk titik, saya mendapatkan:

Tapi di sisi lain:

Jadi apa yang kita punya? Kami sekarang memiliki rumus untuk menghitung sudut antara dua vektor! Kadang-kadang, untuk singkatnya, juga ditulis seperti ini:

Artinya, algoritma untuk menghitung sudut antar vektor adalah sebagai berikut:

1. Kami menghitung produk skalar melalui koordinat
2. Temukan panjang vektor dan gandakan
3. Bagilah hasil poin 1 dengan hasil poin 2

Mari berlatih dengan contoh:

1. Temukan sudut antara kelopak mata-ke-ra-mi dan. Berikan jawaban Anda dalam derajat.

2. Berdasarkan kondisi soal sebelumnya, cari kosinus di antara vektor-vektor tersebut

Mari kita lakukan ini: Saya akan membantu Anda memecahkan masalah pertama, dan mencoba menyelesaikan masalah kedua sendiri! Saya setuju? Kalau begitu mari kita mulai!

1. Vektor ini adalah teman lama kita. Kami telah mempertimbangkan produk skalar mereka dan hasilnya sama. Koordinatnya adalah: , . Kemudian kita menemukan panjangnya:

Kemudian kami mencari cosinus antara vektor:

Berapa cosinus sudutnya? Ini sudutnya.

Menjawab:

Nah, sekarang selesaikan sendiri masalah kedua, lalu bandingkan! Saya hanya akan memberikan solusi yang sangat singkat:

2. memiliki koordinat, memiliki koordinat.

Membiarkan menjadi sudut antara vektor dan, kemudian

Menjawab:

Perlu dicatat bahwa tugas langsung pada vektor dan metode koordinat di bagian B kertas ujian cukup jarang. Namun, sebagian besar masalah C2 dapat diselesaikan dengan mudah dengan memperkenalkan sistem koordinat. Jadi, Anda dapat menganggap artikel ini sebagai fondasi, yang menjadi dasar di mana kami akan membuat konstruksi yang cukup rumit yang kami perlukan untuk menyelesaikan masalah yang rumit.

KOORDINAT DAN VEKTOR. TINGKAT MENENGAH

Anda dan saya terus mempelajari metode koordinat. Pada bagian terakhir, kami memperoleh sejumlah rumus penting yang memungkinkan:

1. Temukan koordinat vektor
2. Temukan panjang vektor (sebagai alternatif: jarak antara dua titik)
3. Tambahkan, kurangi vektor. Lipat gandakan dengan bilangan real
4. Temukan titik tengah segmen
5. Menghitung dot product dari vektor
6. Temukan sudut antara vektor

Tentu saja, seluruh metode koordinat tidak sesuai dengan 6 titik ini. Itu mendasari sains seperti geometri analitik, yang akan Anda kenal di universitas. Saya hanya ingin membangun fondasi yang memungkinkan Anda memecahkan masalah dalam satu keadaan. ujian. Kami menemukan tugas bagian B di Sekarang saatnya untuk pindah ke level yang baru secara kualitatif! Artikel ini akan dikhususkan untuk metode untuk memecahkan masalah C2 yang masuk akal untuk beralih ke metode koordinat. Kewajaran ini ditentukan oleh apa yang perlu ditemukan dalam soal, dan angka apa yang diberikan. Jadi, saya akan menggunakan metode koordinat jika pertanyaannya adalah:

1. Temukan sudut antara dua bidang
2. Temukan sudut antara garis dan bidang
3. Temukan sudut antara dua garis
4. Temukan jarak dari titik ke bidang
5. Temukan jarak dari titik ke garis
6. Temukan jarak dari garis lurus ke bidang
7. Temukan jarak antara dua garis

Jika angka yang diberikan dalam kondisi soal adalah benda revolusi (bola, silinder, kerucut ...)

Angka yang cocok untuk metode koordinat adalah:

1. berbentuk kubus
2. Piramida (segitiga, segi empat, heksagonal)

Juga dalam pengalaman saya tidak tepat menggunakan metode koordinat untuk:

1. Mencari luas bagian
2. Perhitungan volume benda

Namun, harus segera dicatat bahwa dalam praktiknya, tiga situasi "tidak menguntungkan" untuk metode koordinat cukup jarang. Dalam sebagian besar tugas, ini bisa menjadi penyelamat Anda, terutama jika Anda tidak terlalu kuat dalam konstruksi tiga dimensi (yang terkadang cukup rumit).

Apa semua angka yang saya sebutkan di atas? Mereka tidak lagi datar, seperti persegi, segitiga, lingkaran, tetapi tebal! Karenanya, kita perlu mempertimbangkan bukan dua dimensi, tetapi sistem koordinat tiga dimensi. Ini dibangun dengan cukup mudah: selain absis dan koordinat, kami akan memperkenalkan sumbu lain, sumbu aplikasi. Gambar tersebut secara skematis menunjukkan posisi relatif mereka:

Semuanya saling tegak lurus, berpotongan pada satu titik, yang akan kita sebut titik asal. Sumbu absis, seperti sebelumnya, akan dilambangkan, sumbu ordinat - , dan sumbu aplikasi yang diperkenalkan - .

Jika sebelumnya setiap titik pada bidang ditandai dengan dua angka - absis dan ordinat, maka setiap titik dalam ruang sudah dijelaskan oleh tiga angka - absis, ordinat, penerapan. Sebagai contoh:

Dengan demikian, absis dari titik tersebut adalah sama, ordinatnya adalah , dan aplikasinya adalah .

Kadang-kadang absis suatu titik disebut juga proyeksi titik pada sumbu absis, ordinatnya adalah proyeksi titik pada sumbu ordinatnya, dan aplikasinya adalah proyeksi titik pada sumbu aplikasinya. Dengan demikian, jika suatu titik diberikan maka, suatu titik dengan koordinat:

disebut proyeksi titik ke bidang

disebut proyeksi titik ke bidang

Sebuah pertanyaan wajar muncul: apakah semua rumus yang diperoleh untuk kasus dua dimensi berlaku di ruang angkasa? Jawabannya ya, mereka adil dan memiliki penampilan yang sama. Untuk detail kecil. Saya pikir Anda sudah menebak yang mana. Di semua rumus, kita harus menambahkan satu istilah lagi yang bertanggung jawab atas sumbu aplikasi. Yaitu.

1. Jika diberikan dua titik: , maka:

• Koordinat vektor:
• Jarak antara dua titik (atau panjang vektor)
• Bagian tengah segmen memiliki koordinat

2. Jika diberikan dua vektor: dan, maka:

• produk titik mereka adalah:
• Cosinus sudut antara vektor adalah:

Namun, ruang tidak sesederhana itu. Seperti yang Anda pahami, penambahan satu koordinat lagi memperkenalkan variasi yang signifikan dalam spektrum sosok yang "hidup" di ruang ini. Dan untuk narasi lebih lanjut, saya perlu memperkenalkan beberapa, secara kasar, "generalisasi" dari garis lurus. "Generalisasi" ini akan menjadi sebuah pesawat. Apa yang kamu ketahui tentang pesawat? Coba jawab pertanyaan, apa itu pesawat? Sangat sulit untuk mengatakannya. Namun, kita semua secara intuitif membayangkan seperti apa tampilannya:

Secara kasar, ini adalah semacam "daun" tak berujung yang didorong ke luar angkasa. "Tak terhingga" harus dipahami bahwa bidang memanjang ke segala arah, yaitu luasnya sama dengan tak terhingga. Namun, penjelasan "dengan jari" ini tidak memberikan gambaran sedikit pun tentang struktur pesawat. Dan kami akan tertarik padanya.

Mari kita ingat salah satu aksioma dasar geometri:

• Garis lurus melewati dua titik berbeda pada sebuah bidang, terlebih lagi, hanya satu:

Atau analognya di luar angkasa:

Tentu saja, Anda ingat bagaimana menurunkan persamaan garis lurus dari dua titik tertentu, ini sama sekali tidak sulit: jika titik pertama memiliki koordinat: dan titik kedua, maka persamaan garis lurusnya adalah sebagai berikut:

Anda mengalami ini di kelas 7. Di ruang angkasa, persamaan garis lurus terlihat seperti ini: mari kita memiliki dua titik dengan koordinat: , maka persamaan garis lurus yang melewatinya berbentuk:

Misalnya, sebuah garis melewati titik-titik:

Bagaimana ini harus dipahami? Ini harus dipahami sebagai berikut: suatu titik terletak pada suatu garis jika koordinatnya memenuhi sistem berikut:

Kita tidak akan terlalu tertarik dengan persamaan garis lurus, tetapi kita perlu memperhatikan konsep vektor pengarah garis lurus yang sangat penting. - setiap vektor bukan nol yang terletak pada garis tertentu atau sejajar dengannya.

Misalnya, kedua vektor adalah vektor arah garis lurus. Biarkan menjadi titik yang terletak pada garis lurus, dan jadilah vektor pengarahnya. Maka persamaan garis lurus dapat dituliskan dalam bentuk berikut:

Sekali lagi, saya tidak akan terlalu tertarik dengan persamaan garis lurus, tetapi saya sangat ingin Anda mengingat apa itu vektor arah! Lagi: itu adalah SETIAP vektor bukan nol yang terletak pada suatu garis, atau sejajar dengannya.

Menarik persamaan tiga titik suatu bidang tidak lagi sepele, dan biasanya tidak tercakup dalam kursus sekolah menengah. Tapi sia-sia! Teknik ini sangat penting ketika kita menggunakan metode koordinat untuk menyelesaikan masalah yang kompleks. Namun, saya berasumsi bahwa Anda penuh dengan keinginan untuk mempelajari sesuatu yang baru? Selain itu, Anda akan dapat mengesankan guru Anda di universitas ketika ternyata Anda sudah mengetahui cara menggunakan teknik yang biasa dipelajari dalam mata kuliah geometri analitik. Jadi mari kita mulai.

Persamaan bidang tidak jauh berbeda dengan persamaan garis lurus pada bidang, yaitu berbentuk:

beberapa angka (tidak semuanya sama dengan nol), tetapi variabel, misalnya: dll. Seperti yang Anda lihat, persamaan bidang tidak jauh berbeda dengan persamaan garis lurus (fungsi linier). Namun, ingat apa yang kami perdebatkan dengan Anda? Kami mengatakan bahwa jika kami memiliki tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus, maka persamaan bidang secara unik dipulihkan darinya. Tapi bagaimana caranya? Saya akan mencoba menjelaskan kepada Anda.

Karena persamaan bidangnya adalah:

Dan titik-titik itu milik bidang ini, maka ketika mensubstitusikan koordinat setiap titik ke dalam persamaan bidang, kita harus mendapatkan identitas yang benar:

Jadi, ada kebutuhan untuk menyelesaikan tiga persamaan dengan yang tidak diketahui! Dilema! Namun, kita selalu dapat berasumsi bahwa (untuk ini kita perlu membaginya dengan). Jadi, kami mendapatkan tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui:

Namun, kami tidak akan menyelesaikan sistem seperti itu, tetapi menuliskan ekspresi samar yang mengikutinya:

Persamaan bidang yang melewati tiga titik tertentu

\[\kiri| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \kanan| = 0\]

Berhenti! Apa lagi ini? Beberapa modul yang sangat tidak biasa! Namun, objek yang Anda lihat di depan tidak ada hubungannya dengan modul. Objek ini disebut determinan orde ketiga. Mulai sekarang, ketika Anda berurusan dengan metode koordinat di pesawat, Anda akan sering menemukan faktor penentu ini. Apa itu determinan orde ketiga? Anehnya, itu hanya angka. Tetap memahami angka spesifik apa yang akan kita bandingkan dengan determinannya.

Pertama mari kita tuliskan determinan orde ketiga dalam bentuk yang lebih umum:

Di mana beberapa angka. Selain itu, yang kami maksud dengan indeks pertama adalah nomor baris, dan indeks - nomor kolom. Misalnya, angka yang diberikan berada di persimpangan baris kedua dan kolom ketiga. Mari ajukan pertanyaan berikut: bagaimana tepatnya kita akan menghitung determinan seperti itu? Artinya, nomor spesifik apa yang akan kita bandingkan? Untuk determinan tepat orde ketiga, ada aturan segitiga heuristik (visual), terlihat seperti ini:

1. Hasil kali unsur-unsur diagonal utama (dari kiri atas ke kanan bawah) hasil kali unsur-unsur yang membentuk segitiga pertama "tegak lurus" dengan diagonal utama hasil kali unsur-unsur yang membentuk segitiga kedua "tegak lurus" dengan segitiga utama diagonal
2. Hasil kali unsur-unsur diagonal sekunder (dari pojok kanan atas ke kiri bawah) hasil kali unsur-unsur yang membentuk segitiga "tegak lurus" pertama diagonal sekunder hasil kali unsur-unsur yang membentuk segitiga kedua "tegak lurus" dari diagonal sekunder
3. Maka determinannya sama dengan selisih antara nilai yang didapat pada langkah dan

Jika kita menulis semua ini dalam angka, maka kita mendapatkan ekspresi berikut:

Namun, Anda tidak perlu menghafal metode perhitungan dalam bentuk ini, cukup simpan saja segitiga di kepala Anda dan gagasan tentang apa yang ditambahkan ke apa dan apa yang kemudian dikurangi dari apa).

Mari kita ilustrasikan metode segitiga dengan sebuah contoh:

1. Hitung determinannya:

Mari cari tahu apa yang kita tambahkan dan apa yang kita kurangi:

Istilah yang datang dengan "plus":

Ini adalah diagonal utama: perkalian unsur-unsurnya adalah

Segitiga pertama, "tegak lurus dengan diagonal utama: perkalian unsur-unsurnya adalah

Segitiga kedua, "tegak lurus dengan diagonal utama: perkalian unsur-unsurnya adalah

Kami menambahkan tiga angka:

Istilah yang datang dengan "minus"

Ini adalah sisi diagonal: produk dari elemen adalah

Segitiga pertama, "tegak lurus dengan diagonal sekunder: hasil kali unsur-unsurnya adalah

Segitiga kedua, "tegak lurus dengan diagonal sekunder: hasil kali unsur-unsurnya adalah

Kami menambahkan tiga angka:

Yang harus dilakukan hanyalah mengurangi jumlah suku plus dengan jumlah suku minus:

Lewat sini,

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit dan supernatural dalam perhitungan determinan orde ketiga. Sangat penting untuk mengingat tentang segitiga dan tidak membuat kesalahan aritmatika. Sekarang coba hitung sendiri:

Kami memeriksa:

1. Segitiga pertama tegak lurus dengan diagonal utama:
2. Segitiga kedua tegak lurus dengan diagonal utama:
3. Jumlah dari suku plus:
4. Segitiga pertama tegak lurus dengan sisi diagonal:
5. Segitiga kedua, tegak lurus dengan sisi diagonal:
6. Jumlah istilah dengan minus:
7. Jumlah suku plus dikurangi jumlah suku minus:

Berikut beberapa determinan lainnya untuk Anda, hitung sendiri nilainya dan bandingkan dengan jawabannya:

Jawaban:

Nah, apakah semuanya cocok? Bagus, lalu Anda bisa melanjutkan! Jika ada kesulitan, saran saya adalah ini: di Internet ada banyak program untuk menghitung determinan secara online. Yang Anda butuhkan hanyalah membuat determinan Anda sendiri, menghitungnya sendiri, lalu membandingkannya dengan apa yang dihitung oleh program. Begitu seterusnya sampai hasilnya mulai cocok. Saya yakin momen ini tidak akan lama lagi!

Sekarang mari kita kembali ke determinan yang saya tulis ketika saya berbicara tentang persamaan sebuah bidang yang melewati tiga titik tertentu:

Yang harus Anda lakukan adalah menghitung nilainya secara langsung (menggunakan metode segitiga) dan menetapkan hasilnya sama dengan nol. Secara alami, karena mereka adalah variabel, Anda akan mendapatkan beberapa ekspresi yang bergantung padanya. Ekspresi inilah yang akan menjadi persamaan bidang yang melewati tiga titik tertentu yang tidak terletak pada satu garis lurus!

Mari kita ilustrasikan ini dengan contoh sederhana:

1. Buatlah persamaan bidang yang melalui titik-titik

Kami menyusun determinan untuk tiga poin ini:

Menyederhanakan:

Sekarang kami menghitungnya langsung sesuai dengan aturan segitiga:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ kanan| = \kiri((x + 3) \kanan) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \kiri((z + 1) \kanan) + \kiri((y - 2) \kanan) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Jadi, persamaan bidang yang melalui titik-titik tersebut adalah:

Sekarang coba selesaikan sendiri satu masalah, dan kemudian kita akan membahasnya:

2. Temukan persamaan bidang yang melalui titik-titik

Baiklah, mari kita bahas solusinya sekarang:

Kami membuat determinan:

Dan hitung nilainya:

Maka persamaan bidang memiliki bentuk:

Atau, dikurangi dengan, kita mendapatkan:

Sekarang dua tugas untuk pengendalian diri:

1. Buatlah persamaan bidang yang melalui tiga titik:

Jawaban:

Apakah semuanya cocok? Sekali lagi, jika ada kesulitan tertentu, maka saran saya adalah ini: ambil tiga poin dari kepala Anda (dengan kemungkinan besar mereka tidak akan terletak pada satu garis lurus), buat pesawat di atasnya. Dan kemudian periksa diri Anda secara online. Misalnya, di situs:

Namun, dengan bantuan determinan, kami tidak hanya akan membuat persamaan bidang. Ingat, saya memberi tahu Anda bahwa untuk vektor, tidak hanya perkalian titik yang ditentukan. Ada juga vektor, serta produk campuran. Dan jika hasil kali skalar dari dua vektor adalah bilangan, maka hasil kali vektor dari dua vektor akan menjadi vektor, dan vektor ini akan tegak lurus dengan vektor yang diberikan:

Selain itu, modulusnya akan sama dengan luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor dan. Kita membutuhkan vektor ini untuk menghitung jarak dari titik ke garis. Bagaimana kita bisa menghitung produk silang vektor dan jika koordinatnya diberikan? Penentu urutan ketiga kembali membantu kami. Namun, sebelum saya beralih ke algoritme untuk menghitung perkalian silang, saya harus membuat sedikit penyimpangan lirik.

Penyimpangan ini menyangkut vektor basis.

Secara skematis mereka ditunjukkan pada gambar:

Menurut Anda mengapa mereka disebut dasar? Faktanya adalah bahwa:

Atau pada gambar:

Validitas formula ini jelas, karena:

produk vektor

Sekarang saya bisa mulai memperkenalkan produk silang:

Produk vektor dari dua vektor adalah vektor yang dihitung menurut aturan berikut:

Sekarang mari kita berikan beberapa contoh penghitungan perkalian silang:

Contoh 1: Temukan perkalian silang vektor:

Solusi: Saya membuat determinan:

Dan saya menghitungnya:

Sekarang, dari menulis melalui vektor basis, saya akan kembali ke notasi vektor biasa:

Lewat sini:

Sekarang coba.

Siap? Kami memeriksa:

Dan secara tradisional dua tugas untuk mengontrol:

1. Carilah perkalian silang dari vektor-vektor berikut:
2. Carilah perkalian silang dari vektor-vektor berikut:

Jawaban:

Produk campuran dari tiga vektor

Konstruksi terakhir yang saya butuhkan adalah produk campuran dari tiga vektor. Itu, seperti skalar, adalah angka. Ada dua cara untuk menghitungnya. - melalui determinan, - melalui hasil kali campuran.

Yaitu, katakanlah kita memiliki tiga vektor:

Kemudian produk campuran dari tiga vektor, dilambangkan dengan dapat dihitung sebagai:

1. - yaitu, hasil kali campuran adalah hasil kali skalar dari suatu vektor dan hasil kali vektor dari dua vektor lainnya

Misalnya, produk campuran dari tiga vektor adalah:

Coba hitung sendiri menggunakan perkalian vektor dan pastikan hasilnya cocok!

Dan lagi - dua contoh untuk keputusan independen:

Jawaban:

Pilihan sistem koordinat

Nah, sekarang kita memiliki semua dasar pengetahuan yang diperlukan untuk memecahkan masalah stereometrik yang rumit dalam geometri. Namun, sebelum melanjutkan langsung ke contoh dan algoritme untuk menyelesaikannya, saya yakin akan berguna untuk memikirkan pertanyaan berikut: bagaimana tepatnya memilih sistem koordinat untuk gambar tertentu. Bagaimanapun, itu adalah pilihan posisi relatif dari sistem koordinat dan sosok di ruang angkasa yang pada akhirnya akan menentukan seberapa rumit perhitungannya.

Saya mengingatkan Anda bahwa di bagian ini kami mempertimbangkan angka-angka berikut:

1. berbentuk kubus
2. Prisma lurus (segitiga, heksagonal…)
3. Piramida (segitiga, segi empat)
4. Tetrahedron (sama dengan piramida segitiga)

Untuk berbentuk kubus atau kubus, saya merekomendasikan konstruksi berikut:

Artinya, saya akan menempatkan sosok "di sudut". Kubus dan kotak adalah figur yang sangat bagus. Bagi mereka, Anda selalu dapat dengan mudah menemukan koordinat simpulnya. Misalnya, jika (seperti yang ditunjukkan pada gambar)

maka titik koordinatnya adalah:

Tentu saja, Anda tidak perlu mengingat ini, tetapi mengingat cara terbaik untuk memposisikan kubus atau kotak persegi panjang adalah hal yang diinginkan.

prisma lurus

Prism adalah sosok yang lebih berbahaya. Anda dapat mengaturnya di luar angkasa dengan berbagai cara. Namun, saya pikir berikut ini adalah pilihan terbaik:

Prisma segitiga:

Artinya, kita menempatkan salah satu sisi segitiga seluruhnya pada sumbu, dan salah satu simpulnya bertepatan dengan titik asal.

Prisma heksagonal:

Artinya, salah satu simpul bertepatan dengan titik asal, dan salah satu sisinya terletak pada sumbu.

Piramida segi empat dan heksagonal:

Situasinya mirip dengan kubus: kami menggabungkan dua sisi alas dengan sumbu koordinat, kami menggabungkan salah satu simpul dengan titik asal. Satu-satunya kesulitan kecil adalah menghitung koordinat titik tersebut.

Untuk piramida heksagonal - sama dengan prisma heksagonal. Tugas utama lagi adalah menemukan koordinat titik.

Tetrahedron (piramida segitiga)

Situasinya sangat mirip dengan yang saya berikan untuk prisma segitiga: satu simpul bertepatan dengan titik asal, satu sisi terletak pada sumbu koordinat.

Nah, sekarang Anda dan saya akhirnya hampir mulai memecahkan masalah. Dari apa yang saya katakan di awal artikel, Anda dapat menarik kesimpulan berikut: sebagian besar soal C2 terbagi dalam 2 kategori: soal sudut dan soal jarak. Pertama, kami akan mempertimbangkan masalah untuk menemukan sudut. Mereka, pada gilirannya, dibagi ke dalam kategori berikut (seiring meningkatnya kompleksitas):

Masalah untuk menemukan sudut

1. Mencari sudut antara dua garis
2. Mencari sudut antara dua bidang

Mari pertimbangkan masalah ini secara berurutan: mari kita mulai dengan mencari sudut antara dua garis lurus. Ayo, ingat, pernahkah Anda dan saya memecahkan contoh serupa sebelumnya? Anda ingat, karena kami sudah memiliki sesuatu yang serupa ... Kami sedang mencari sudut antara dua vektor. Saya mengingatkan Anda, jika dua vektor diberikan: dan, maka sudut di antara keduanya ditemukan dari relasi:

Sekarang kami memiliki tujuan - menemukan sudut antara dua garis lurus. Mari beralih ke "gambar datar":

Berapa banyak sudut yang kita dapatkan ketika dua garis berpotongan? Sudah banyak hal. Benar, hanya dua di antaranya yang tidak sama, sementara yang lain vertikal terhadapnya (dan karenanya bertepatan dengannya). Jadi sudut apa yang harus kita pertimbangkan sudut antara dua garis lurus: atau? Di sini aturannya adalah: sudut antara dua garis lurus selalu tidak lebih dari derajat. Artinya, dari dua sudut, kita akan selalu memilih sudut dengan ukuran derajat terkecil. Artinya, pada gambar ini sudut antara kedua garis adalah sama. Agar tidak repot mencari sudut terkecil setiap saat, ahli matematika yang licik menyarankan untuk menggunakan modul. Jadi, sudut antara dua garis lurus ditentukan dengan rumus:

Anda, sebagai pembaca yang penuh perhatian, seharusnya memiliki pertanyaan: sebenarnya dari mana kita mendapatkan angka-angka yang kita perlukan untuk menghitung kosinus suatu sudut? Jawab: kami akan mengambilnya dari vektor arah garis! Dengan demikian, algoritma untuk menemukan sudut antara dua garis adalah sebagai berikut:

1. Kami menerapkan rumus 1.

Atau lebih detail:

1. Kami mencari koordinat vektor arah garis lurus pertama
2. Kami mencari koordinat vektor arah garis kedua
3. Hitung modulus produk skalar mereka
4. Kami mencari panjang vektor pertama
5. Kami mencari panjang vektor kedua
6. Kalikan hasil poin 4 dengan hasil poin 5
7. Kami membagi hasil poin 3 dengan hasil poin 6. Kami mendapatkan kosinus sudut antar garis
8. Jika hasil ini memungkinkan kami menghitung sudut dengan tepat, kami mencarinya
9. Jika tidak, kami menulis melalui arccosine

Nah, sekarang saatnya beralih ke tugas: Saya akan mendemonstrasikan solusi dari dua tugas pertama secara detail, saya akan mempresentasikan solusi dari tugas lain secara singkat, dan saya hanya akan memberikan jawaban untuk dua tugas terakhir, Anda harus lakukan semua perhitungan untuk mereka sendiri.

Tugas:

1. Di tet-ra-ed-re kanan, temukan-di-te sudut antara kamu-jadi-itu tet-ra-ed-ra dan sisi me-di-a-noy bo-ko-how.

2. Dalam enam-bara-pi-ra-mi-de ke depan, seratus-ro-na-os-no-va-niya entah bagaimana sama, dan rusuk sampingnya sama, temukan sudut antara garis lurus baris dan.

3. Panjang semua sisi dari pi-ra-mi-dy empat-kamu-rech-noy tangan kanan sama satu sama lain. Temukan sudut antara garis lurus dan jika dari-re-zok - Anda-jadi-yang diberikan pi-ra-mi-dy, intinya adalah se-re-di-di bo-ko- tulang rusuknya

4. Pada tepi kubus dari-me-che-ke suatu titik sehingga Temukan-di-te sudut antara garis lurus dan

5. Titik - se-re-di-di tepi kubus Nai-di-te sudut antara garis lurus dan.

Bukan kebetulan saya menempatkan tugas dalam urutan ini. Meskipun Anda belum punya waktu untuk mulai menavigasi metode koordinat, saya sendiri akan menganalisis angka yang paling "bermasalah", dan saya akan membiarkan Anda berurusan dengan kubus yang paling sederhana! Secara bertahap Anda harus mempelajari cara bekerja dengan semua angka, saya akan meningkatkan kompleksitas tugas dari topik ke topik.

Mari kita mulai memecahkan masalah:

1. Gambarlah sebuah tetrahedron, tempatkan pada sistem koordinat seperti yang saya sarankan sebelumnya. Karena tetrahedron beraturan, maka semua permukaannya (termasuk alasnya) adalah segitiga beraturan. Karena kita tidak diberi panjang sisi, saya bisa menganggapnya sama. Saya pikir Anda mengerti bahwa sudutnya tidak akan terlalu bergantung pada seberapa banyak tetrahedron kita akan "ditarik"?. Saya juga akan menggambar tinggi dan median di tetrahedron. Sepanjang jalan, saya akan menggambar alasnya (ini juga akan berguna bagi kita).

Saya perlu menemukan sudut antara dan. Apa yang kita ketahui? Kita hanya mengetahui koordinat titik tersebut. Jadi, kita perlu menemukan lebih banyak koordinat titik. Sekarang kita berpikir: sebuah titik adalah titik perpotongan ketinggian (atau garis bagi atau median) dari sebuah segitiga. Titik adalah titik yang ditinggikan. Intinya adalah titik tengah segmen. Kemudian akhirnya kita perlu mencari: koordinat titik-titik: .

Mari kita mulai dengan yang paling sederhana: koordinat titik. Perhatikan gambar: Jelas penerapan suatu titik sama dengan nol (titik tersebut terletak pada bidang datar). Ordinatnya sama (karena merupakan median). Lebih sulit menemukan absisnya. Namun, ini mudah dilakukan berdasarkan teorema Pythagoras: Pertimbangkan sebuah segitiga. Sisi miringnya sama, dan salah satu kakinya sama. Lalu:

Akhirnya kami memiliki:

Sekarang mari kita cari koordinat titiknya. Jelas bahwa penerapannya sekali lagi sama dengan nol, dan ordinatnya sama dengan titik, yaitu. Ayo cari absisnya. Ini dilakukan dengan agak sepele jika seseorang mengingatnya ketinggian segitiga sama sisi dibagi dengan titik potong dalam proporsi menghitung dari atas. Karena :, maka absis titik yang diinginkan, sama dengan panjang segmen, sama dengan :. Dengan demikian, koordinat titik tersebut adalah:

Mari kita cari koordinat titiknya. Jelas bahwa absis dan ordinatnya bertepatan dengan absis dan ordinat titik tersebut. Dan aplikasinya sama dengan panjang segmennya. - ini adalah salah satu kaki segitiga. Sisi miring segitiga adalah segmen - kaki. Itu dicari karena alasan yang saya soroti dengan huruf tebal:

Intinya adalah titik tengah segmen. Maka kita perlu mengingat rumus koordinat tengah segmen:

Itu saja, sekarang kita bisa mencari koordinat vektor arahnya:

Nah, semuanya sudah siap: kami mengganti semua data ke dalam rumus:

Lewat sini,

Menjawab:

Anda tidak perlu takut dengan jawaban yang "mengerikan" seperti itu: untuk soal C2 ini adalah praktik yang umum. Saya lebih suka terkejut dengan jawaban "indah" di bagian ini. Juga, seperti yang Anda catat, saya praktis tidak menggunakan apa pun selain teorema Pythagoras dan properti ketinggian segitiga sama sisi. Yaitu, untuk menyelesaikan masalah stereometri, saya menggunakan stereometri yang sangat minimum. Keuntungan dalam hal ini sebagian "dipadamkan" dengan perhitungan yang agak rumit. Tapi mereka cukup algoritmik!

2. Gambarlah piramida heksagonal beraturan beserta sistem koordinatnya, serta alasnya:

Kita perlu menemukan sudut antara garis dan. Dengan demikian, tugas kita direduksi menjadi menemukan koordinat titik: . Kami akan menemukan koordinat dari tiga yang terakhir dari gambar kecil, dan kami akan menemukan koordinat titik melalui koordinat titik. Banyak pekerjaan, tapi harus dimulai!

a) Koordinat: jelas aplikasi dan ordinatnya nol. Ayo cari absisnya. Untuk melakukan ini, pertimbangkan segitiga siku-siku. Sayangnya, di dalamnya kita hanya mengetahui sisi miring, yaitu sama dengan. Kami akan mencoba menemukan kaki (karena jelas bahwa dua kali panjang kaki akan memberi kami titik absis). Bagaimana kita bisa mencarinya? Mari kita ingat sosok seperti apa yang kita miliki di dasar piramida? Ini adalah segi enam biasa. Apa artinya? Ini berarti bahwa semua sisi dan semua sudutnya sama. Kita perlu menemukan satu sudut seperti itu. Ada ide? Ada banyak ide, tapi ada rumusnya:

Jumlah sudut n-gon beraturan adalah .

Jadi, jumlah sudut segi enam beraturan adalah derajat. Maka masing-masing sudutnya sama dengan:

Mari kita lihat lagi gambarnya. Jelas bahwa ruas tersebut adalah garis bagi sudut. Maka sudutnya adalah derajat. Kemudian:

Lalu dimana.

Jadi ada koordinatnya

b) Sekarang kita dapat dengan mudah menemukan koordinat titik: .

c. Tentukan koordinat titik tersebut. Karena absisnya bertepatan dengan panjang segmen, itu sama. Menemukan ordinatnya juga tidak terlalu sulit: jika kita menghubungkan titik-titiknya dan dan menunjukkan titik perpotongan garis, misalkan untuk. (lakukan sendiri konstruksi sederhana). Jadi, ordinat titik B sama dengan jumlah panjang ruas-ruasnya. Mari kita lihat segitiga lagi. Kemudian

Kemudian sejak Kemudian titik tersebut memiliki koordinat

d) Sekarang temukan koordinat titik tersebut. Pertimbangkan persegi panjang dan buktikan bahwa Dengan demikian, koordinat titik tersebut adalah:

e) Tetap mencari koordinat titik puncak. Jelas bahwa absis dan ordinatnya bertepatan dengan absis dan ordinat titik tersebut. Ayo cari aplikasi. Dari dulu. Pertimbangkan segitiga siku-siku. Dengan kondisi masalah, tepi lateral. Ini adalah sisi miring dari segitiga saya. Maka tinggi piramida adalah kakinya.

Maka titik tersebut memiliki koordinat:

Itu saja, saya memiliki koordinat semua tempat menarik bagi saya. Saya mencari koordinat vektor pengarah garis lurus:

Kami mencari sudut antara vektor-vektor ini:

Menjawab:

Sekali lagi, saat memecahkan masalah ini, saya tidak menggunakan trik canggih apa pun, kecuali rumus jumlah sudut n-gon beraturan, serta definisi kosinus dan sinus segitiga siku-siku.

3. Karena sekali lagi kita tidak diberi panjang rusuk-rusuk dalam piramida, saya akan menganggapnya sama dengan satu. Jadi, karena SEMUA sisinya, dan bukan hanya sisinya, sama satu sama lain, maka di dasar piramida dan saya terletak sebuah bujur sangkar, dan sisi-sisinya adalah segitiga beraturan. Mari kita gambarkan piramida seperti itu, serta alasnya pada bidang, menandai semua data yang diberikan dalam teks soal:

Kami mencari sudut antara dan. Saya akan membuat perhitungan yang sangat singkat saat mencari koordinat titik. Anda perlu "mendekripsi" mereka:

b) - bagian tengah segmen. Koordinatnya:

c) Saya akan menemukan panjang segmen menggunakan teorema Pythagoras dalam sebuah segitiga. Saya akan menemukan teorema Pythagoras dalam segitiga.

Koordinat:

d) - bagian tengah segmen. Koordinatnya adalah

e) Koordinat vektor

f) Koordinat vektor

g) Mencari sudut:

Kubus adalah bentuk yang paling sederhana. Saya yakin Anda bisa mengetahuinya sendiri. Jawaban soal nomor 4 dan 5 adalah sebagai berikut:

Mencari sudut antara garis dan bidang

Nah, waktu untuk teka-teki sederhana sudah berakhir! Sekarang contohnya akan lebih sulit lagi. Untuk menemukan sudut antara garis dan bidang, kita akan melanjutkan sebagai berikut:

1. Dengan menggunakan tiga titik, kami membuat persamaan bidang
   ,
   menggunakan determinan orde ketiga.
2. Dengan dua titik kami mencari koordinat vektor pengarah garis lurus:
3. Kami menerapkan rumus untuk menghitung sudut antara garis lurus dan bidang:

Seperti yang Anda lihat, rumus ini sangat mirip dengan rumus yang kita gunakan untuk mencari sudut antara dua garis. Struktur sisi kanannya sama saja, dan di kiri kita sekarang mencari sinus, dan bukan cosinus, seperti sebelumnya. Nah, satu tindakan jahat telah ditambahkan - pencarian persamaan bidang.

Mari kita tidak rak contoh penyelesaian:

1. Os-no-va-ni-em langsung-hadiah saya-kami-la-et-xia sama-tapi-miskin-ren-ny segitiga-nikmat Anda-dengan-hadiah itu-kami setara. Temukan sudut antara garis lurus dan bidang

2. Dalam pa-ral-le-le-pi-pe-de persegi panjang dari Nai-di-te Barat sudut antara garis lurus dan bidang

3. Pada prisma enam batu bara tangan kanan, semua sisinya sama. Temukan sudut antara garis lurus dan bidang.

4. Di segitiga kanan pi-ra-mi-de dengan os-but-va-ni-em dari barat rusuk sudut Nai-di-te, bidang ob-ra-zo-van -ny dari os -no-va-niya dan lurus-saya, melewati se-re-di-na tulang rusuk dan

5. Panjang semua sisi pi-ra-mi-dy segi empat kanan dengan bagian atas sama satu sama lain. Temukan sudut antara garis lurus dan bidang, jika titiknya se-re-di-di tepi bo-ko-in-th dari pi-ra-mi-dy.

Sekali lagi, saya akan menyelesaikan dua masalah pertama secara mendetail, yang ketiga - secara singkat, dan saya meninggalkan dua masalah terakhir untuk Anda selesaikan sendiri. Selain itu, Anda sudah harus berurusan dengan piramida segitiga dan segi empat, tetapi belum dengan prisma.

Solusi:

1. Gambar sebuah prisma beserta alasnya. Mari gabungkan dengan sistem koordinat dan tandai semua data yang diberikan dalam pernyataan masalah:

Saya minta maaf atas ketidakpatuhan terhadap proporsi, tetapi untuk menyelesaikan masalah ini, sebenarnya, tidak begitu penting. Pesawat hanyalah "dinding belakang" prisma saya. Cukup dengan menebak bahwa persamaan bidang semacam itu berbentuk:

Namun, ini juga dapat ditampilkan secara langsung:

Kami memilih tiga titik sembarang pada bidang ini: misalnya, .

Mari kita buat persamaan bidang:

Latihan untuk Anda: hitung sendiri determinan ini. Apakah kamu berhasil? Maka persamaan bidang memiliki bentuk:

Atau sederhananya

Lewat sini,

Untuk menyelesaikan contoh, saya perlu mencari koordinat vektor pengarah garis lurus. Karena titiknya bertepatan dengan asalnya, koordinat vektor hanya akan bertepatan dengan koordinat titik tersebut, untuk melakukan ini, pertama-tama kita menemukan koordinat titik tersebut.

Untuk melakukan ini, pertimbangkan sebuah segitiga. Mari menggambar ketinggian (juga merupakan median dan garis bagi) dari atas. Karena, maka ordinat titiknya sama. Untuk menemukan absis dari titik ini, kita perlu menghitung panjang ruasnya. Dengan teorema Pythagoras kita memiliki:

Maka titik tersebut memiliki koordinat:

Titik adalah "terangkat" pada titik:

Maka koordinat vektornya:

Menjawab:

Seperti yang Anda lihat, pada dasarnya tidak ada yang sulit dalam menyelesaikan masalah seperti itu. Nyatanya, "kelurusan" sosok seperti prisma lebih menyederhanakan prosesnya. Sekarang mari beralih ke contoh berikutnya:

2. Kami menggambar paralelepiped, menggambar bidang dan garis lurus di dalamnya, dan juga menggambar alas bawahnya secara terpisah:

Pertama, kita menemukan persamaan bidang: Koordinat tiga titik yang terletak di dalamnya:

(dua koordinat pertama diperoleh dengan cara yang jelas, dan Anda dapat dengan mudah menemukan koordinat terakhir dari gambar dari titik tersebut). Kemudian kami menyusun persamaan bidang:

Kami menghitung:

Kami mencari koordinat vektor arah: Jelas koordinatnya bertepatan dengan koordinat titik, bukan? Bagaimana menemukan koordinat? Ini adalah koordinat titik, dinaikkan satu per satu di sepanjang sumbu aplikasi! . Kemudian kami mencari sudut yang diinginkan:

Menjawab:

3. Gambarlah piramida heksagonal biasa, lalu gambarlah sebuah bidang dan garis lurus di dalamnya.

Di sini bahkan bermasalah menggambar pesawat, belum lagi solusi dari masalah ini, tetapi metode koordinat tidak peduli! Keunggulan utamanya terletak pada keserbagunaannya!

Pesawat melewati tiga titik: . Kami mencari koordinat mereka:

satu) . Tampilkan sendiri koordinat untuk dua titik terakhir. Anda harus menyelesaikan soal dengan piramida heksagonal untuk ini!

2) Kami membangun persamaan pesawat:

Kami mencari koordinat vektor: . (Lihat lagi soal piramida segitiga!)

3) Kami mencari sudut:

Menjawab:

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang sulit secara supernatural dalam tugas-tugas ini. Anda hanya perlu sangat berhati-hati dengan akarnya. Untuk dua masalah terakhir, saya hanya akan memberikan jawaban:

Seperti yang Anda lihat, teknik untuk memecahkan masalah sama di mana-mana: tugas utamanya adalah menemukan koordinat simpul dan menggantinya menjadi beberapa rumus. Tetap bagi kita untuk mempertimbangkan satu kelas masalah lagi untuk menghitung sudut, yaitu:

Menghitung sudut antara dua bidang

Algoritma solusinya adalah sebagai berikut:

1. Untuk tiga poin kami mencari persamaan bidang pertama:
2. Untuk tiga titik lainnya, kami mencari persamaan bidang kedua:
3. Kami menerapkan rumus:

Seperti yang Anda lihat, rumusnya sangat mirip dengan dua rumus sebelumnya, yang dengannya kami mencari sudut antara garis lurus dan antara garis lurus dan bidang. Jadi mengingat yang satu ini tidak akan sulit bagi Anda. Mari langsung ke masalah:

1. Seratus ro-berdasarkan prisma segitiga siku-siku sama, dan diagonal sisi sampingnya sama. Temukan sudut antara bidang dan bidang alas hadiah.

2. Di pi-ra-mi-de empat-kamu-kembali-batubara-maju-kanan, semua tepi seseorang sama, temukan sinus sudut antara bidang dan bidang Ko-Stu, melewati intinya per-pen-di-ku-lyar-tapi lurus-saya.

3. Dalam prisma empat batu bara biasa, sisi os-no-va-nia sama, dan sisi sisinya sama. Di tepi from-me-che-to the point so that. Temukan sudut antara bidang dan

4. Pada prisma segi empat kanan, sisi alasnya sama, dan rusuk sampingnya sama. Di tepi dari-me-che-ke titik sehingga Temukan sudut antara bidang dan.

5. Dalam kubus, temukan co-si-nus sudut antara bidang dan

Solusi masalah:

1. Saya menggambar prisma segitiga biasa (pada dasarnya - segitiga sama sisi) dan menandai bidang yang muncul dalam kondisi masalah di atasnya:

Kita perlu menemukan persamaan dua bidang: Persamaan dasar diperoleh dengan mudah: Anda dapat membuat determinan yang sesuai untuk tiga titik, tetapi saya akan segera membuat persamaannya:

Sekarang mari kita cari persamaannya Titik memiliki koordinat Titik - Karena - median dan tinggi segitiga, mudah ditemukan dengan teorema Pythagoras dalam sebuah segitiga. Maka titik tersebut memiliki koordinat: Temukan penerapan titik Untuk melakukan ini, pertimbangkan segitiga siku-siku

Kemudian kami mendapatkan koordinat berikut: Kami menyusun persamaan bidang.

Kami menghitung sudut antara bidang:

Menjawab:

2. Membuat gambar:

Hal yang paling sulit adalah memahami jenis bidang misterius apa itu, yang melewati suatu titik secara tegak lurus. Nah, yang utama adalah apa itu? Hal utama adalah perhatian! Memang, garis itu tegak lurus. Garisnya juga tegak lurus. Kemudian bidang yang melewati dua garis ini akan tegak lurus dengan garis tersebut, dan, omong-omong, akan melewati titik tersebut. Pesawat ini juga melewati puncak piramida. Kemudian pesawat yang diinginkan - Dan pesawat itu sudah diberikan kepada kita. Kami mencari koordinat titik.

Kami menemukan koordinat titik melalui titik. Mudah untuk menyimpulkan dari gambar kecil bahwa koordinat titiknya adalah sebagai berikut: Apa yang tersisa untuk ditemukan untuk menemukan koordinat puncak piramida? Masih perlu menghitung tingginya. Ini dilakukan dengan menggunakan teorema Pythagoras yang sama: pertama, buktikan bahwa (sepele dari segitiga kecil yang membentuk bujur sangkar di alasnya). Karena dengan kondisi, kami memiliki:

Sekarang semuanya sudah siap: koordinat titik:

Kami menyusun persamaan bidang:

Anda sudah ahli dalam menghitung determinan. Dengan mudah Anda akan menerima:

Atau sebaliknya (jika kita mengalikan kedua bagian dengan akar dua)

Sekarang mari kita cari persamaan bidang:

(Anda tidak lupa bagaimana kita mendapatkan persamaan bidang, bukan? Jika Anda tidak mengerti dari mana asal minus ini, maka kembalilah ke definisi persamaan bidang! Ternyata selalu saja saya pesawat milik asal!)

Kami menghitung determinannya:

(Anda mungkin memperhatikan bahwa persamaan bidang bertepatan dengan persamaan garis lurus yang melewati titik dan! Pikirkan alasannya!)

Sekarang kita menghitung sudutnya:

Kita perlu menemukan sinus:

Menjawab:

3. Pertanyaan rumit: apa itu prisma persegi panjang, bagaimana menurut Anda? Itu hanya paralelepiped terkenal untuk Anda! Menggambar segera! Anda bahkan tidak dapat menggambarkan dasarnya secara terpisah, ada sedikit gunanya di sini:

Pesawat, seperti yang kita catat sebelumnya, ditulis sebagai persamaan:

Sekarang kita membuat pesawat

Kami segera menyusun persamaan bidang:

Mencari sudut

Sekarang jawaban untuk dua masalah terakhir:

Nah, sekarang saatnya istirahat, karena Anda dan saya hebat dan telah melakukan pekerjaan dengan baik!

Koordinat dan vektor. Tingkat Lanjut

Pada artikel ini, kami akan membahas dengan Anda kelas masalah lain yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode koordinat: masalah jarak. Yakni, kami akan mempertimbangkan kasus-kasus berikut:

1. Menghitung jarak antara garis miring.

Saya telah memesan tugas yang diberikan saat kerumitannya meningkat. Yang paling mudah adalah menemukan titik ke jarak pesawat dan bagian tersulit adalah menemukan jarak antara garis yang berpotongan. Meskipun, tentu saja, tidak ada yang mustahil! Jangan menunda-nunda dan segera melanjutkan ke pertimbangan masalah kelas satu:

Menghitung jarak dari titik ke bidang

Apa yang kita butuhkan untuk mengatasi masalah ini?

1. Titik koordinat

Jadi, segera setelah kami mendapatkan semua data yang diperlukan, kami menerapkan rumus:

Anda seharusnya sudah mengetahui bagaimana kita membangun persamaan bidang dari soal-soal sebelumnya yang saya analisis di bagian sebelumnya. Mari kita langsung ke bisnis. Skemanya adalah sebagai berikut: 1, 2 - Saya membantu Anda memutuskan, dan dalam beberapa detail, 3, 4 - hanya jawabannya, Anda membuat keputusan sendiri dan membandingkannya. Dimulai!

Tugas:

1. Diberikan sebuah kubus. Panjang rusuk kubus adalah Temukan jarak dari se-re-di-ny dari cut ke flat

2. Diberikan tepi kanan-vil-naya empat-kamu-rekh-batubara-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe seratus-ro-pada os-no-va-nia adalah sama. Temukan-di-jarak itu dari titik ke bidang di mana - se-re-di-di tepinya.

3. Di segitiga kanan pi-ra-mi-de dengan os-but-va-ni-em, tepi lainnya sama, dan seratus-ro-on os-no-vaniya sama. Cari-di-jarak itu dari atas ke pesawat.

4. Pada prisma enam batu bara tangan kanan, semua sisinya sama. Cari-di-jarak itu dari titik ke pesawat.

Solusi:

1. Gambar sebuah kubus dengan tepi tunggal, buat ruas dan bidang, tandai bagian tengah ruas dengan huruf

.

Pertama, mari kita mulai dengan yang mudah: temukan koordinat suatu titik. Sejak saat itu (ingat koordinat tengah segmen!)

Sekarang kita menyusun persamaan bidang pada tiga titik

\[\kiri| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Sekarang saya dapat mulai menemukan jarak:

2. Kami mulai lagi dengan gambar, di mana kami menandai semua datanya!

Untuk piramida, akan berguna untuk menggambar alasnya secara terpisah.

Bahkan fakta bahwa saya menggambar seperti cakar ayam tidak akan menghalangi kita untuk menyelesaikan masalah ini dengan mudah!

Sekarang sangat mudah untuk menemukan koordinat suatu titik

Karena koordinat titik

2. Karena koordinat titik a berada di tengah ruas, maka

Kita dapat dengan mudah menemukan koordinat dua titik lagi pada bidang tersebut, kita susun persamaan bidang tersebut dan sederhanakan:

\[\kiri| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(larik)) \kanan|) \kanan| = 0\]

Karena titik tersebut memiliki koordinat: , maka kami menghitung jaraknya:

Jawaban (sangat jarang!):

Nah, apakah Anda mengerti? Menurut saya, semua yang ada di sini sama teknisnya dengan contoh yang kami pertimbangkan bersama Anda di bagian sebelumnya. Jadi saya yakin jika anda sudah menguasai materi tersebut, maka tidak akan sulit bagi anda untuk menyelesaikan dua soal yang tersisa. Saya hanya akan memberi Anda jawaban:

Menghitung Jarak Garis ke Bidang

Sebenarnya, tidak ada yang baru di sini. Bagaimana garis dan bidang dapat ditempatkan relatif satu sama lain? Mereka memiliki semua kemungkinan: berpotongan, atau garis lurus sejajar dengan bidang. Menurut Anda berapa jarak dari garis ke bidang yang berpotongan dengan garis yang diberikan? Tampak bagi saya jelas bahwa jarak seperti itu sama dengan nol. Kasus yang tidak menarik.

Kasus kedua lebih rumit: di sini jaraknya sudah bukan nol. Namun, karena garis sejajar dengan bidang, maka setiap titik garis berjarak sama dari bidang ini:

Lewat sini:

Dan ini berarti tugas saya telah direduksi menjadi tugas sebelumnya: kami mencari koordinat titik mana pun di garis, kami mencari persamaan bidang, kami menghitung jarak dari titik ke bidang. Nyatanya, tugas seperti itu dalam ujian sangat jarang. Saya berhasil menemukan hanya satu masalah, dan data di dalamnya sedemikian rupa sehingga metode koordinat tidak dapat diterapkan untuk itu!

Sekarang mari beralih ke kelas masalah lain yang jauh lebih penting:

Menghitung Jarak Titik ke Garis

Apa yang akan kita butuhkan?

1. Koordinat titik dari mana kita mencari jarak:

2. Koordinat setiap titik yang terletak pada garis lurus

3. Koordinat vektor arah garis lurus

Apa rumus yang kita gunakan?

Apa arti penyebut pecahan ini bagi Anda dan karenanya harus jelas: ini adalah panjang vektor pengarah garis lurus. Inilah pembilang yang sangat rumit! Ungkapannya berarti modul (panjang) produk vektor dari vektor dan Cara menghitung produk vektor, kita pelajari di bagian pekerjaan sebelumnya. Refresh pengetahuan Anda, itu akan sangat berguna bagi kami sekarang!

Dengan demikian, algoritma untuk memecahkan masalah adalah sebagai berikut:

1. Kami mencari koordinat titik dari mana kami mencari jarak:

2. Kami mencari koordinat titik mana pun di garis yang kami cari jaraknya:

3. Membangun vektor

4. Kami membangun vektor arah garis lurus

5. Hitung perkalian silang

6. Kami mencari panjang vektor yang dihasilkan:

7. Hitung jarak:

Kami memiliki banyak pekerjaan, dan contohnya akan sangat rumit! Jadi sekarang fokuskan semua perhatian Anda!

1. Dana adalah pi-ra-mi-da segitiga tangan kanan dengan simpul. Seratus-ro-pada os-no-va-niya pi-ra-mi-dy sama, kamu-so-ta sama. Temukan-di-jarak-jarak dari se-re-di-ny tepi bo-ko-th ke garis lurus, di mana titik-titik dan adalah se-re-di-ny dari tulang rusuk dan co-from-vet -stven-tapi.

2. Panjang tulang rusuk dan sudut kanan-no-para-ral-le-le-pi-pe-da masing-masing sama, dan jarak Find-di-te dari top-shi-ny ke straight-my

3. Pada prisma enam batu bara sebelah kanan, semua sisi segerombolan adalah sama temukan-di-jarak itu dari titik ke garis lurus

Solusi:

1. Kami membuat gambar yang rapi, di mana kami menandai semua data:

Kami memiliki banyak pekerjaan untuk Anda! Saya pertama-tama ingin menjelaskan dengan kata-kata apa yang akan kita cari dan dalam urutan apa:

1. Koordinat titik dan

2. Titik koordinat

3. Koordinat titik dan

4. Koordinat vektor dan

5. Produk silang mereka

6. Panjang vektor

7. Panjang perkalian vektor

8. Jarak dari ke

Yah, kita punya banyak pekerjaan yang harus dilakukan! Ayo singsingkan lengan baju kita!

1. Untuk mencari koordinat tinggi limas, kita perlu mengetahui koordinat titiknya, penerapannya nol, dan ordinatnya sama dengan absisnya. Akhirnya, kami mendapatkan koordinat:

Koordinat titik

2. - segmen tengah

3. - segmen tengah

titik tengah

4.Koordinat

Koordinat vektor

5. Hitung perkalian vektor:

6. Panjang vektor: cara termudah adalah dengan mengganti bahwa ruasnya adalah garis tengah segitiga, yang artinya sama dengan setengah alasnya. Sehingga.

7. Kami mempertimbangkan panjang produk vektor:

8. Terakhir, cari jaraknya:

Fiuh, itu saja! Sejujurnya, saya akan memberi tahu Anda: menyelesaikan masalah ini dengan metode tradisional (melalui konstruksi) akan jauh lebih cepat. Tapi di sini saya mereduksi semuanya menjadi algoritme yang sudah jadi! Saya pikir algoritme solusinya jelas bagi Anda? Oleh karena itu, saya akan meminta Anda untuk menyelesaikan dua masalah lainnya sendiri. Bandingkan jawaban?

Sekali lagi, saya ulangi: lebih mudah (lebih cepat) menyelesaikan masalah ini melalui konstruksi, daripada menggunakan metode koordinat. Saya mendemonstrasikan cara penyelesaian ini hanya untuk menunjukkan kepada Anda metode universal yang memungkinkan Anda untuk "tidak menyelesaikan apa pun".

Terakhir, pertimbangkan kelas masalah terakhir:

Menghitung jarak antara garis miring

Di sini algoritme untuk memecahkan masalah akan serupa dengan yang sebelumnya. Apa yang kita miliki:

3. Setiap vektor yang menghubungkan titik-titik dari baris pertama dan kedua:

Bagaimana kita menemukan jarak antar garis?

Rumusnya adalah:

Pembilangnya adalah modul hasil kali campuran (kami perkenalkan di bagian sebelumnya), dan penyebutnya sama seperti pada rumus sebelumnya (modul hasil kali vektor dari vektor pengarah garis, jarak antara yang kita mencari).

Saya akan mengingatkan Anda bahwa

kemudian rumus jarak dapat ditulis ulang sebagai:

Bagilah determinan ini dengan determinan! Meskipun, sejujurnya, saya sedang tidak mood untuk bercanda di sini! Formula ini sebenarnya sangat rumit dan menyebabkan perhitungan yang agak rumit. Jika saya jadi Anda, saya hanya akan menggunakannya sebagai pilihan terakhir!

Mari kita coba selesaikan beberapa masalah menggunakan metode di atas:

1. Pada prisma segitiga siku-siku, semua sisinya sama, cari jarak antara garis lurus dan.

2. Diberi prisma segitiga kanan depan, semua tepi os-no-va-niya seseorang sama dengan Se-che-tion, melewati tulang rusuk lainnya dan tulang rusuk se-re-di-nu adalah yav-la-et-sya persegi-ra-tom. Temukan-di-te dis-sto-I-nie antara straight-we-mi dan

Saya memutuskan yang pertama, dan berdasarkan itu, Anda memutuskan yang kedua!

1. Saya menggambar prisma dan menandai garis dan

Koordinat titik C: lalu

Koordinat titik

Koordinat vektor

Koordinat titik

Koordinat vektor

Koordinat vektor

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \kanan| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Kami mempertimbangkan produk silang antara vektor dan

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \kanan| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Sekarang kami mempertimbangkan panjangnya:

Menjawab:

Sekarang coba selesaikan tugas kedua dengan hati-hati. Jawabannya adalah:.

Koordinat dan vektor. Deskripsi singkat dan rumus dasar

Vektor adalah segmen yang diarahkan. - awal vektor, - akhir vektor.
Vektor dilambangkan dengan atau.

Nilai mutlak vektor - panjang segmen yang mewakili vektor. Ditunjuk sebagai.

Koordinat vektor:

,
di mana ujung vektor \displaystyle a .

Jumlah vektor: .

Produk vektor:

Produk titik vektor:

Produk skalar vektor sama dengan produk dari nilai absolutnya dan kosinus sudut di antara keduanya:

Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, maka Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda telah membaca sampai akhir, maka Anda berada di 5%!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah menemukan teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, itu ... itu super! Anda sudah lebih baik daripada sebagian besar rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup ...

Untuk apa?

Untuk kelulusan ujian yang sukses, untuk masuk ke institut sesuai anggaran dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal ...

Orang yang telah menerima pendidikan yang baik berpenghasilan lebih banyak daripada mereka yang belum menerimanya. Ini statistik.

Tapi ini bukan hal utama.

Yang utama adalah mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian semacam itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari yang lain dalam ujian dan pada akhirnya menjadi ... lebih bahagia?

ISI TANGAN ANDA, MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Pada ujian, Anda tidak akan ditanya teori.

Anda akan perlu memecahkan masalah tepat waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak akan berhasil tepat waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulang berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Temukan koleksi di mana pun Anda mau tentu dengan solusi, analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (tidak perlu) dan kami merekomendasikannya.

Untuk membantu tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua opsi:

1. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di artikel ini - 299 gosok.
2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di semua 99 artikel tutorial - 499 gosok.

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan untuk seumur hidup situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Jangan hanya berhenti pada teori.

"Dimengerti" dan "Saya tahu cara menyelesaikannya" adalah keterampilan yang sama sekali berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Tugas untuk pekerjaan kontrol

Tugas 1 - 10. Vektor diberikan. Tunjukkan bahwa vektor membentuk basis ruang tiga dimensi dan temukan koordinat vektor dalam basis ini:

Vektor ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1) diberikan. Tunjukkan bahwa vektor-vektor tersebut membentuk basis ruang tiga dimensi dan tentukan koordinat vektor X pada basis tersebut.

Tugas ini terdiri dari dua bagian. Pertama, Anda perlu memeriksa apakah vektor membentuk basis. Vektor membentuk basis jika determinan yang terdiri dari koordinat vektor-vektor ini berbeda dari nol, jika tidak, vektor tersebut bukan basis dan vektor X tidak dapat diperluas dalam basis ini.

Hitung determinan matriks:

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37

Penentu matriksnya adalah ∆ =37

Karena determinannya bukan nol, vektor membentuk basis, oleh karena itu, vektor X dapat diperluas dalam basis ini. Itu. ada bilangan α 1 , α 2 , α 3 yang persamaannya terjadi:

X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3

Kami menulis persamaan ini dalam bentuk koordinat:

(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)

Menggunakan properti vektor, kami memperoleh persamaan berikut:

(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)

(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)

Dengan properti persamaan vektor, kami memiliki:

3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3

1a 1 + 2a 2 + 5a 3 = 0

6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1

Kami memecahkan sistem persamaan yang dihasilkan metode Gauss atau Metode Cramer.

X \u003d ε 1 + 2ε 2 -ε 3

Solusinya diterima dan dieksekusi menggunakan layanan:

Koordinat vektor dalam basis

Bersama dengan tugas ini, mereka juga memecahkan:

Solusi persamaan matriks

Metode cramer

metode Gauss

Matriks Invers dengan Metode Jordan-Gauss

Matriks Invers melalui Komplemen Aljabar

Perkalian matriks online