Fungsi dasar dan grafiknya.

Fungsi dasar utama adalah: fungsi pangkat, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi trigonometri invers, serta fungsi polinomial dan rasional, yaitu perbandingan dua polinomial.

Fungsi dasar juga mencakup fungsi-fungsi yang diperoleh dari fungsi dasar dengan menerapkan empat operasi aritmatika dasar dan membentuk fungsi kompleks.

Grafik fungsi dasar

	Garis lurus- grafik fungsi linier y = kapak + b. Fungsi y meningkat secara monoton untuk a > 0 dan menurun untuk a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Parabola- grafik fungsi trinomial kuadrat y = kapak 2 + bx + c. Ia memiliki sumbu simetri vertikal. Jika a > 0, memiliki minimum jika a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения kapak 2 + bx +c =0
	Hiperbola- grafik fungsi. Bila a > O terletak pada kuarter I dan III, bila a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) atau y - - x(a< 0).
	Fungsi eksponensial. Eksponen(fungsi eksponensial ke basis e) kamu = ex. (Ejaan lain kamu = pengalaman(x)). Asimtotnya adalah sumbu absis.
	Fungsi logaritma y = log a x(sebuah > 0)
	y = sinx. Gelombang sinus- fungsi periodik dengan periode T = 2π

Batas fungsi.

Fungsi y=f(x) mempunyai bilangan A sebagai limit karena x cenderung ke a, jika untuk sembarang bilangan ε › 0 terdapat bilangan δ › 0 sehingga | kamu – SEBUAH | ‹ ε jika |x - a| ‹ δ,

atau lim y = A

Kontinuitas fungsi.

Fungsi y=f(x) kontinu di titik x = a jika lim f(x) = f(a), mis.

limit suatu fungsi di suatu titik x = a sama dengan nilai fungsi tersebut di suatu titik tertentu.

Menemukan batas-batas fungsi.

Teorema dasar tentang limit fungsi.

1. Batas suatu nilai konstanta sama dengan nilai konstanta ini:

2. Limit suatu jumlah aljabar sama dengan jumlah aljabar dari limit fungsi-fungsi berikut:

lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h

3. Limit hasil kali beberapa fungsi sama dengan hasil kali limit fungsi-fungsi tersebut:

lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim h

4. Limit hasil bagi dua fungsi sama dengan hasil bagi limit fungsi tersebut jika limit penyebutnya tidak sama dengan 0:

lim------- = ----------

Batas luar biasa pertama: lim --------- = 1

Batas luar biasa kedua: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)

Contoh mencari limit fungsi.

5.1. Contoh:

Batas apa pun terdiri dari tiga bagian:

1) Ikon batas yang terkenal.

2) Entri di bawah ikon batas. Entrinya berbunyi “X cenderung satu.” Paling sering itu adalah x, meskipun selain "x" bisa ada variabel lain. Di tempat satu bisa ada bilangan apa pun, serta tak terhingga 0 atau .

3) Fungsi di bawah tanda limit, dalam hal ini .

Rekaman itu sendiri berbunyi seperti ini: “limit suatu fungsi karena x cenderung kesatuan.”

Sebuah pertanyaan yang sangat penting - apa arti ungkapan "x"? berusaha untuk satu"? Ekspresi "x" berusaha to one” harus dipahami sebagai berikut: “x” secara konsisten mengambil nilai-nilai yang mendekati kesatuan yang sangat dekat dan secara praktis bertepatan dengannya.

Bagaimana cara mengatasi contoh di atas? Berdasarkan penjelasan di atas, Anda hanya perlu mensubstitusikan satu ke dalam fungsi di bawah tanda limit:

Jadi aturan pertama : Jika diberi batasan, pertama-tama Anda cukup memasukkan angka tersebut ke dalam fungsi.

5.2. Contoh dengan tak terhingga:

Mari kita cari tahu apa itu? Ini adalah kasus ketika jumlahnya meningkat tanpa batas.

Jadi jika , lalu fungsinya cenderung minus tak terhingga:

Menurut aturan pertama kita, alih-alih “X” kita mengganti fungsinya tak terbatas dan kami mendapatkan jawabannya.

5.3. Contoh lain dengan ketidakterbatasan:

Sekali lagi kita mulai meningkat hingga tak terhingga, dan melihat perilaku fungsinya.
Kesimpulan: fungsinya meningkat tanpa batas

5.4. Serangkaian contoh:

Cobalah untuk menganalisis sendiri secara mental contoh-contoh berikut dan selesaikan jenis batasan yang paling sederhana:

, , , , , , , , ,

Apa yang perlu Anda ingat dan pahami dari penjelasan di atas?

Jika diberi batasan apa pun, pertama-tama masukkan angka tersebut ke dalam fungsi. Pada saat yang sama, Anda harus memahami dan segera menyelesaikan batasan yang paling sederhana, seperti , , dll.

6. Batasan dengan ketidakpastian jenis dan metode untuk menyelesaikannya.

Sekarang kita akan membahas kelompok limit ketika , dan fungsinya adalah pecahan yang pembilang dan penyebutnya mengandung polinomial.

6.1. Contoh:

Hitung batas

Menurut aturan kami, kami mencoba mensubstitusikan tak terhingga ke dalam fungsi tersebut. Apa yang kita dapatkan di puncak? Ketakterbatasan. Dan apa yang terjadi di bawah? Juga tak terhingga. Jadi, kita menghadapi apa yang disebut ketidakpastian spesies. Orang mungkin berpikir bahwa = 1, dan jawabannya sudah siap, tetapi secara umum hal ini tidak terjadi, dan Anda perlu menerapkan beberapa teknik solusi, yang sekarang akan kita pertimbangkan.

Bagaimana cara mengatasi limit jenis ini?

Pertama kita lihat pembilangnya dan cari pangkat tertinggi:

Pangkat terdepan pada pembilangnya adalah dua.

Sekarang kita melihat penyebutnya dan juga mencari pangkat tertinggi:

Derajat penyebut tertinggi adalah dua.

Kemudian kita pilih pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya: dalam contoh ini, keduanya sama dan sama dengan dua.

Jadi, cara penyelesaiannya adalah sebagai berikut: untuk mengungkapkan ketidakpastian Anda perlu membagi pembilang dan penyebutnya dengan di tingkat senior.

Jadi, jawabannya bukan 1.

Contoh

Temukan batasnya

Sekali lagi pada pembilang dan penyebut kita temukan pada derajat tertinggi:

Gelar maksimum dalam pembilang: 3

Derajat maksimum dalam penyebut: 4

Memilih terbesar nilai, dalam hal ini empat.
Menurut algoritme kami, untuk mengungkap ketidakpastian, kami membagi pembilang dan penyebutnya dengan .

Contoh

Temukan batasnya

Derajat maksimal “X” pada pembilangnya: 2

Derajat maksimal “X” pada penyebut: 1 (dapat ditulis sebagai)
Untuk mengetahui ketidakpastiannya, pembilang dan penyebutnya perlu dibagi dengan . Solusi akhirnya mungkin terlihat seperti ini:

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan

Mari kita lihat beberapa contoh ilustratif.

Misalkan x adalah variabel numerik, X luas perubahannya. Jika setiap bilangan x milik X dikaitkan dengan bilangan tertentu y, maka dikatakan bahwa suatu fungsi terdefinisi pada himpunan X, dan tuliskan y = f(x).
Himpunan X dalam hal ini adalah bidang yang terdiri dari dua sumbu koordinat – 0X dan 0Y. Sebagai contoh, mari kita gambarkan fungsi y = x 2. Sumbu 0X dan 0Y membentuk X - luas perubahannya. Gambar tersebut dengan jelas menunjukkan bagaimana fungsi tersebut berperilaku. Dalam hal ini, dikatakan bahwa fungsi y = x 2 terdefinisi pada himpunan X.

Himpunan Y dari seluruh nilai parsial suatu fungsi disebut himpunan nilai f(x). Dengan kata lain, himpunan nilai adalah interval sepanjang sumbu 0Y tempat fungsi tersebut didefinisikan. Parabola yang digambarkan dengan jelas menunjukkan bahwa f(x) > 0, karena x2 > 0. Oleh karena itu, rentang nilainya adalah . Kami melihat banyak nilai dengan 0Y.

Himpunan semua x disebut domain dari f(x). Kami melihat banyak definisi dengan 0X dan dalam kasus kami kisaran nilai yang dapat diterima adalah [-; +].

Suatu titik a (a milik atau X) disebut titik limit himpunan X jika di sembarang lingkungan titik a terdapat titik-titik himpunan X yang berbeda dari a.

Sudah waktunya untuk memahami berapa limit suatu fungsi?

B murni yang fungsinya cenderung x cenderung ke bilangan a disebut batas fungsinya. Ini ditulis sebagai berikut:

Misalnya, f(x) = x 2. Kita perlu mencari fungsi tersebut cenderung (tidak sama dengan) di x 2. Pertama, kita tuliskan limitnya:

Mari kita lihat grafiknya.

Mari kita tarik garis sejajar sumbu 0Y melalui titik 2 pada sumbu 0X. Ini akan memotong grafik kita di titik (2;4). Mari kita turunkan garis tegak lurus dari titik ini ke sumbu 0Y dan sampai ke titik 4. Inilah yang diperjuangkan fungsi kita di x 2. Jika sekarang kita substitusikan nilai 2 ke dalam fungsi f(x), jawabannya akan sama .

Sekarang sebelum kita melanjutkan ke perhitungan batas, mari kita perkenalkan definisi dasar.

Diperkenalkan oleh matematikawan Perancis Augustin Louis Cauchy pada abad ke-19.

Misalkan fungsi f(x) terdefinisi pada interval tertentu yang memuat titik x = A, tetapi nilai f(A) sama sekali tidak perlu terdefinisi.

Kemudian, menurut definisi Cauchy, batas fungsinya f(x) adalah suatu bilangan tertentu B dengan x cenderung ke A jika untuk setiap C > 0 terdapat bilangan D > 0 yang

Itu. jika fungsi f(x) di x A dibatasi oleh limit B, ditulis dalam bentuk

Batas urutan suatu bilangan tertentu A dipanggil jika untuk sembarang bilangan positif kecil B > 0 terdapat bilangan N yang semua nilai dalam kasus n > N memenuhi pertidaksamaan

Batasan ini terlihat seperti.

Barisan yang mempunyai limit disebut konvergen, jika tidak disebut divergen.

Seperti yang telah Anda ketahui, limit ditunjukkan dengan ikon lim, di mana beberapa kondisi untuk variabel ditulis, dan kemudian fungsi itu sendiri ditulis. Himpunan seperti itu akan dibaca sebagai “batas suatu fungsi yang tunduk pada…”. Misalnya:

- limit fungsi karena x cenderung 1.

Ungkapan “mendekati 1” berarti bahwa x berturut-turut mengambil nilai yang mendekati 1 sangat dekat.

Sekarang menjadi jelas bahwa untuk menghitung batas ini cukup dengan mengganti nilai 1 dengan x:

Selain nilai numerik tertentu, x juga bisa cenderung tak terhingga. Misalnya:

Ekspresi x berarti x terus bertambah dan mendekati tak terhingga tanpa batas. Oleh karena itu, dengan mengganti x dengan tak terhingga, menjadi jelas bahwa fungsi 1-x akan cenderung , tetapi dengan tanda berlawanan:

Dengan demikian, perhitungan batas turun untuk menemukan nilai spesifiknya atau luas tertentu di mana fungsi yang dibatasi oleh limit tersebut berada.

Berdasarkan uraian di atas, maka ketika menghitung batasan, penting untuk menggunakan beberapa aturan:

Memahami esensi dari batas dan aturan dasar perhitungan batas, Anda akan mendapatkan wawasan penting tentang cara menyelesaikannya. Jika ada batasan yang membuat Anda kesulitan, tulis di komentar dan kami pasti akan membantu Anda.

Catatan: Fikih adalah ilmu hukum yang membantu dalam konflik dan kesulitan hidup lainnya.

Batas suatu fungsi di tak terhingga:
|f(x) - sebuah|< ε при |x| >N

Penentuan batas Cauchy
Biarkan fungsinya f (X) didefinisikan di lingkungan tertentu dari titik di tak terhingga, dengan |x| > Bilangan a disebut limit fungsi F (X) karena x cenderung tak terhingga (), jika untuk sembarang bilangan positif ε, betapapun kecilnya > 0 , ada bilangan N ε >K, bergantung pada ε, yang untuk semua x, |x| > N ε, nilai fungsinya termasuk dalam lingkungan titik a:
|f (x) - sebuah|< ε .
Limit suatu fungsi di tak terhingga dilambangkan sebagai berikut:
.
Atau di .

Notasi berikut juga sering digunakan:
.

Mari kita tulis definisi ini menggunakan simbol logis keberadaan dan universalitas:
.
Ini mengasumsikan bahwa nilai-nilai tersebut termasuk dalam domain fungsi.

Batasan sepihak

Batas kiri suatu fungsi di tak terhingga:
|f(x) - sebuah|< ε при x < -N

Seringkali suatu fungsi didefinisikan hanya untuk nilai positif atau negatif dari variabel x (lebih tepatnya di sekitar titik atau ). Selain itu, batas tak terhingga untuk nilai x positif dan negatif dapat memiliki nilai yang berbeda. Kemudian batas satu sisi digunakan.

Batas kiri di tak terhingga atau limit karena x cenderung minus tak terhingga () didefinisikan sebagai berikut:
.
Batas kanan di tak terhingga atau limit karena x cenderung ditambah tak terhingga ():
.
Batas satu sisi di tak terhingga sering dilambangkan sebagai berikut:
; .

Batas tak terhingga suatu fungsi di tak terhingga

Batas tak terhingga suatu fungsi di tak terhingga:
|f(x)| > M untuk |x| > N

Pengertian limit tak terhingga menurut Cauchy
Biarkan fungsinya f (X) didefinisikan di lingkungan tertentu dari titik di tak terhingga, dengan |x| > K, dimana K adalah bilangan positif. Batas fungsi f (X) karena x cenderung tak terhingga (), sama dengan tak terhingga, jika untuk sembarang bilangan M yang besar > 0 , ada nomor seperti itu N M >K, bergantung pada M, yang untuk semua x, |x| > N M , nilai fungsi termasuk dalam lingkungan titik tak terhingga:
|f (x) | > M.
Batas tak terhingga karena x cenderung tak terhingga dilambangkan sebagai berikut:
.
Atau di .

Dengan menggunakan simbol logika eksistensi dan universalitas, definisi limit tak terhingga suatu fungsi dapat dituliskan sebagai berikut:
.

Demikian pula, definisi batas tak hingga dari tanda-tanda tertentu yang sama dengan dan diperkenalkan:
.
.

Definisi batas satu sisi di tak terhingga.
Batas kiri.
.
.
.
Batasan yang benar.
.
.
.

Penentuan limit suatu fungsi menurut Heine

Biarkan fungsinya f (X) didefinisikan di beberapa lingkungan titik x di tak terhingga 0 , di mana atau atau .
Bilangan a (berhingga atau tak terhingga) disebut limit fungsi f (X) di titik x 0 :
,
jika untuk urutan apa pun (xn), konvergen ke x 0 : ,
yang elemen-elemennya termasuk dalam lingkungan, barisan (f(xn)) menyatu menjadi:
.

Jika kita mengambil lingkungan suatu titik tak bertanda di tak terhingga: , maka kita memperoleh definisi limit suatu fungsi karena x cenderung tak terhingga, . 0 Jika kita mengambil lingkungan sisi kiri atau kanan dari titik x di tak terhingga

: atau , maka kita memperoleh definisi limit karena x masing-masing cenderung minus tak terhingga dan plus tak terhingga.

Definisi limit Heine dan Cauchy adalah setara.

Contoh

Contoh 1
.

Menggunakan definisi Cauchy untuk menunjukkan hal itu
.
Mari kita perkenalkan notasi berikut:
.
Mari kita cari domain definisi fungsinya.
; .
Karena pembilang dan penyebut pecahan adalah polinomial, fungsi tersebut terdefinisi untuk semua x kecuali titik di mana penyebutnya hilang. Mari kita temukan poin-poin ini. Memecahkan persamaan kuadrat. ;
Akar persamaan:

Sejak itu, lalu dan.
.
Oleh karena itu fungsinya didefinisikan pada .
.
Kami akan menggunakannya nanti. -1 :
.

Mari kita tuliskan definisi limit berhingga suatu fungsi di tak terhingga menurut Cauchy:
Mari kita ubah perbedaannya:
;
;
;
.

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan lalu kalikan dengan
.
.
Membiarkan .
Kemudian

Jadi, kami menemukan bahwa ketika,
Oleh karena itu
di , dan .

Karena Anda selalu dapat meningkatkannya, ayo ambil.

Mari kita tuliskan definisi limit berhingga suatu fungsi di tak terhingga menurut Cauchy:
Lalu bagi siapa pun,
1) ;
2) .

pada .

Artinya.
Contoh 2
.

Dengan menggunakan definisi limit Cauchy, tunjukkan bahwa:
;
.

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan lalu kalikan dengan
.
1) Solusi karena x cenderung minus tak terhingga
.
Karena , fungsinya terdefinisi untuk semua x.
.

Mari kita tuliskan definisi limit suatu fungsi sama dengan minus tak terhingga:

Membiarkan . Kemudian

Masukkan angka positif dan :
.
Oleh karena itu, untuk setiap bilangan positif M, terdapat suatu bilangan, sehingga untuk ,

.
Artinya.
.

2) Solusi karena x cenderung plus tak terhingga
Oleh karena itu fungsinya didefinisikan pada .
.
Mari kita ubah fungsi aslinya. Kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan dan terapkan rumus selisih kuadrat:
.

Kita punya:
.
Mari kita ubah perbedaannya:
;
.

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan lalu kalikan dengan
.
1) Solusi karena x cenderung minus tak terhingga
.
Membiarkan .
Mari kita tuliskan definisi limit kanan fungsi di:

Mari kita perkenalkan notasinya: .
.

Kalikan pembilang dan penyebutnya dengan:
Membiarkan

Karena ini berlaku untuk bilangan positif apa pun, maka

Batasan online di situs bagi siswa dan anak sekolah untuk sepenuhnya mengkonsolidasikan materi yang telah mereka bahas. Bagaimana cara mengetahui batasnya secara online menggunakan sumber daya kami? Ini sangat mudah dilakukan, Anda hanya perlu menulis fungsi asli dengan variabel x dengan benar, pilih tak terhingga yang diinginkan dari pemilih dan klik tombol “Selesaikan”. Dalam kasus di mana limit suatu fungsi harus dihitung di suatu titik x, maka Anda perlu menunjukkan nilai numerik dari titik tersebut. Anda akan menerima jawaban atas solusi batas dalam hitungan detik, dengan kata lain - secara instan. Namun, jika Anda memberikan data yang salah, layanan akan secara otomatis memberi tahu Anda tentang kesalahan tersebut. Perbaiki fungsi yang diperkenalkan sebelumnya dan dapatkan solusi yang tepat hingga batasnya. Untuk menyelesaikan limit, semua teknik yang mungkin digunakan, terutama metode L'Hopital yang sering digunakan, karena bersifat universal dan menghasilkan jawaban lebih cepat daripada metode lain untuk menghitung limit suatu fungsi. Menarik untuk melihat contoh modul yang ada. Omong-omong, menurut aturan sumber daya kami, modul dilambangkan dengan garis vertikal klasik dalam matematika “|” atau Abs(f(x)) dari bahasa Latin absolut. Seringkali penyelesaian suatu limit diperlukan untuk menghitung jumlah suatu barisan bilangan. Seperti yang diketahui semua orang, Anda hanya perlu menyatakan dengan benar jumlah parsial dari barisan yang dipelajari, dan kemudian semuanya menjadi lebih sederhana, berkat layanan situs web gratis kami, karena menghitung batas jumlah parsial adalah jumlah akhir dari barisan numerik. Secara umum, teori perjalanan menuju batas adalah konsep dasar dari semua analisis matematis. Semuanya justru didasarkan pada lintasan menuju batas, yaitu penyelesaian batas merupakan dasar dari ilmu analisis matematis. Dalam integrasi, perjalanan ke batas juga digunakan, ketika integral, menurut teori, direpresentasikan sebagai jumlah dari jumlah luas yang tidak terbatas. Jika ada sesuatu yang jumlahnya tidak terbatas, yaitu kecenderungan jumlah benda hingga tak terhingga, maka teori transisi batas selalu berlaku, dan dalam bentuknya yang diterima secara umum, ini adalah solusi terhadap batas-batas yang sudah dikenal semua orang. Pemecahan batasan secara online di situs adalah layanan unik untuk menerima jawaban yang akurat dan instan secara real time. Limit suatu fungsi (nilai batas suatu fungsi) pada suatu titik tertentu, titik batas daerah definisi fungsi tersebut, adalah nilai dimana nilai fungsi tersebut cenderung ketika argumennya cenderung ke suatu titik tertentu. titik. Bukan hal yang aneh, dan bahkan sering kali kita katakan, bahwa siswa mempunyai pertanyaan mengenai batasan penyelesaian secara online ketika mempelajari analisis matematis. Ketika bertanya-tanya tentang penyelesaian batas secara online dengan solusi terperinci hanya dalam kasus-kasus khusus, menjadi jelas bahwa Anda tidak dapat mengatasi masalah yang rumit tanpa menggunakan kalkulator batas. Penyelesaian limit dengan layanan kami merupakan jaminan keakuratan dan kesederhanaan. Limit suatu fungsi merupakan generalisasi dari konsep limit suatu barisan: awalnya limit suatu fungsi pada suatu titik dipahami sebagai limit suatu barisan. elemen domain nilai suatu fungsi, terdiri dari gambar titik-titik barisan elemen domain definisi suatu fungsi yang konvergen pada suatu titik tertentu (batas yang dipertimbangkan); jika batasan tersebut ada, maka fungsi tersebut dikatakan konvergen ke nilai yang ditentukan; jika limit tersebut tidak ada, maka fungsinya dikatakan divergen. Menyelesaikan limit secara online menjadi jawaban yang mudah bagi pengguna asalkan mengetahui cara menyelesaikan limit secara online menggunakan website. Mari kita tetap fokus dan jangan sampai kesalahan membuat kita kesulitan berupa nilai yang kurang memuaskan. Seperti solusi batasan online lainnya, masalah Anda akan disajikan dalam bentuk yang nyaman dan mudah dipahami, dengan solusi terperinci, sesuai dengan semua aturan dan regulasi untuk mendapatkan solusi. Paling sering, definisi limit suatu fungsi dirumuskan dalam bahasa lingkungan. Di sini, limit suatu fungsi hanya dipertimbangkan pada titik-titik yang membatasi domain definisi fungsi tersebut, artinya di setiap lingkungan suatu titik terdapat titik-titik dari domain definisi fungsi tersebut. Hal ini memungkinkan kita untuk berbicara tentang kecenderungan argumen fungsi ke titik tertentu. Tetapi titik limit dari domain definisi tidak harus menjadi milik domain definisi itu sendiri, dan hal ini dibuktikan dengan menyelesaikan limitnya: misalnya, kita dapat mempertimbangkan limit suatu fungsi di ujung-ujung interval terbuka di mana fungsinya ditentukan. Dalam hal ini, batas-batas interval itu sendiri tidak termasuk dalam domain definisi. Dalam pengertian ini, sistem lingkungan tertusuk suatu titik tertentu adalah kasus khusus dari basis himpunan tersebut. Penyelesaian batasan secara online dengan solusi terperinci dilakukan secara real time dan menggunakan rumus dalam bentuk yang ditentukan secara eksplisit. Anda dapat menghemat waktu, dan yang terpenting uang, karena kami tidak meminta kompensasi untuk ini. Jika pada suatu titik dalam daerah definisi suatu fungsi terdapat limit dan penyelesaian limit tersebut sama dengan nilai fungsi pada titik tersebut, maka fungsi tersebut kontinu pada titik tersebut. Di website kami, solusi batasan tersedia online dua puluh empat jam sehari, setiap hari dan setiap menit. Menggunakan kalkulator batas sangatlah penting dan yang terpenting adalah menggunakannya setiap kali Anda perlu menguji pengetahuan Anda. Siswa jelas mendapat manfaat dari semua fungsi ini. Menghitung limit hanya dengan menggunakan dan menerapkan teori tidak selalu sesederhana itu, seperti yang dikatakan oleh mahasiswa berpengalaman dari departemen matematika di universitas-universitas di tanah air. Faktanya tetap menjadi fakta jika ada tujuan. Biasanya, solusi yang ditemukan terhadap batasan tersebut tidak dapat diterapkan secara lokal untuk perumusan masalah. Seorang siswa akan bersukacita segera setelah dia menemukan kalkulator batas online di Internet dan tersedia secara gratis, dan tidak hanya untuk dirinya sendiri, tetapi untuk semua orang. Tujuannya harus dianggap sebagai matematika, dalam pemahaman umum. Jika Anda bertanya di Internet bagaimana cara mengetahui batasan online secara detail, maka banyak situs yang muncul sebagai hasil permintaan tersebut tidak akan membantu sebanyak yang kami lakukan. Selisih antara para pihak dikalikan dengan kesetaraan kejadian. Limit sah asli suatu fungsi harus ditentukan oleh rumusan masalah matematika itu sendiri. Hamilton benar, tetapi pernyataan orang-orang sezamannya patut dipertimbangkan. Menghitung batasan secara online bukanlah tugas yang sesulit yang terlihat pada pandangan pertama... Agar tidak melanggar kebenaran teori yang tak tergoyahkan. Kembali ke keadaan awal, perlu dilakukan perhitungan limit secara cepat, efisien dan dalam bentuk yang terformat rapi. Mungkinkah melakukan sebaliknya? Pendekatan ini jelas dan dapat dibenarkan. Kalkulator batas diciptakan untuk menambah pengetahuan, meningkatkan kualitas penulisan pekerjaan rumah dan meningkatkan mood siswa secara umum, sehingga tepat untuk mereka. Anda hanya perlu berpikir secepat mungkin dan pikiran akan menang. Berbicara secara eksplisit tentang batasan istilah interpolasi online adalah aktivitas yang sangat canggih bagi para profesional di bidangnya. Kami memperkirakan rasio sistem perbedaan tak terencana pada titik-titik dalam ruang. Dan lagi, masalahnya direduksi menjadi ketidakpastian, berdasarkan fakta bahwa limit fungsi tersebut ada di tak terhingga dan di lingkungan tertentu dari suatu titik lokal pada sumbu x tertentu setelah transformasi affine dari ekspresi awal. Akan lebih mudah untuk menganalisis pendakian titik-titik pada bidang dan puncak ruang. Dalam keadaan umum, tidak disebutkan tentang penurunan rumus matematika, baik dalam kenyataan maupun teori, sehingga kalkulator batas online digunakan untuk tujuan yang dimaksudkan dalam pengertian ini. Tanpa menentukan batasan secara online, saya kesulitan untuk melakukan perhitungan lebih lanjut dalam bidang kajian ruang lengkung. Tidak akan lebih mudah dalam menemukan jawaban yang benar. Apakah mustahil menghitung limit jika suatu titik tertentu dalam ruang tidak diketahui sebelumnya? Mari kita sangkal adanya jawaban di luar bidang studi. Penyelesaian limit dapat dibahas dari sudut pandang analisis matematis sebagai awal kajian barisan titik-titik pada sumbu. Fakta penghitungan saja mungkin tidak tepat. Angka-angka tersebut dapat direpresentasikan sebagai barisan tak hingga dan diidentifikasi dengan notasi awal setelah kita menyelesaikan limit secara online secara detail sesuai teori. Dibenarkan demi nilai terbaik. Hasil dari limit fungsi, sebagai kesalahan nyata dalam masalah yang dirumuskan secara salah, dapat mendistorsi gagasan tentang proses mekanis sebenarnya dari sistem yang tidak stabil. Kemampuan untuk mengungkapkan makna secara langsung ke dalam area pandang. Dengan mengasosiasikan limit online dengan notasi serupa dari nilai limit satu sisi, sebaiknya hindari menyatakannya secara eksplisit menggunakan rumus reduksi. Selain memulai pelaksanaan tugas secara proporsional. Kita akan memperluas polinomialnya setelah kita dapat menghitung limit satu sisi dan menuliskannya di tak terhingga. Pemikiran sederhana membawa pada hasil yang sebenarnya dalam analisis matematis. Solusi sederhana dari limit sering kali bermuara pada tingkat kesetaraan yang berbeda dari ilustrasi matematika yang berlawanan. Garis dan angka Fibonacci menguraikan kalkulator batas online, tergantung pada ini, Anda dapat memesan perhitungan tanpa batas dan mungkin kerumitannya akan memudar ke latar belakang. Proses pembukaan grafik pada suatu bidang dalam suatu irisan ruang tiga dimensi sedang berlangsung. Hal ini menanamkan perlunya pandangan berbeda terhadap masalah matematika yang kompleks. Namun, hasilnya tidak akan lama lagi. Namun, proses realisasi produk menaik yang sedang berlangsung mendistorsi ruang garis dan menuliskan batasannya secara online untuk membiasakan diri dengan rumusan masalah. Kealamian proses pengumpulan masalah menentukan perlunya pengetahuan di semua bidang disiplin matematika. Kalkulator batas yang sangat baik akan menjadi alat yang sangat diperlukan di tangan siswa yang terampil, dan mereka akan menghargai semua kelebihannya dibandingkan analog kemajuan digital. Di sekolah, karena alasan tertentu, batasan online disebut berbeda dengan di institut. Nilai fungsi akan bertambah bila argumennya berubah. L'Hopital juga mengatakan bahwa menemukan limit suatu fungsi hanyalah setengah dari perjuangan; Anda perlu membawa masalah ke kesimpulan logis dan menyajikan jawabannya dalam bentuk yang diperluas. Realitas memadai untuk kehadiran fakta dalam kasus tersebut. Batas online dikaitkan dengan aspek historis penting dari disiplin matematika dan menjadi dasar studi teori bilangan. Pengkodean halaman dalam rumus matematika tersedia dalam bahasa klien di browser. Cara menghitung limit menggunakan metode hukum yang dapat diterima, tanpa memaksa fungsi berubah arah sumbu x. Secara umum, realitas ruang tidak hanya bergantung pada kecembungan suatu fungsi atau kecekungannya. Hilangkan semua hal yang tidak diketahui dari soal dan menyelesaikan batasannya akan menghasilkan pengeluaran paling sedikit dari sumber daya matematika Anda yang tersedia. Memecahkan masalah yang disebutkan akan memperbaiki fungsionalitas seratus persen. Ekspektasi matematis yang dihasilkan akan mengungkap batasan online secara rinci mengenai deviasi dari rasio khusus signifikan terkecil. Tiga hari berlalu setelah keputusan matematis dibuat untuk mendukung sains. Ini adalah kegiatan yang sangat bermanfaat. Tanpa alasan, tidak adanya batasan online akan berarti perbedaan dalam pendekatan umum dalam memecahkan masalah situasional. Nama yang lebih baik untuk batas satu sisi dengan ketidakpastian 0/0 akan dibutuhkan di masa depan. Sebuah sumber daya tidak hanya indah dan bagus, tetapi juga berguna jika dapat menghitung batasnya untuk Anda. Ilmuwan besar, semasa mahasiswanya, meneliti fungsi-fungsi penulisan karya ilmiah. Sepuluh tahun telah berlalu. Sebelum berbagai nuansa, ada baiknya mengomentari ekspektasi matematis dengan jelas yang mendukung fakta bahwa limit fungsi meminjam divergensi prinsipal. Mereka menanggapi pekerjaan tes yang diperintahkan. Dalam matematika, posisi luar biasa dalam pengajaran ditempati, anehnya, oleh studi tentang batasan online dengan hubungan pihak ketiga yang saling eksklusif. Seperti yang terjadi pada kasus-kasus biasa. Anda tidak perlu mereproduksi apa pun. Setelah menganalisis pendekatan siswa terhadap teori matematika, kami akan menyerahkan solusi batasan secara menyeluruh ke tahap akhir. Inilah maksudnya berikut ini, pelajarilah teksnya. Pembiasan secara unik mendefinisikan ekspresi matematika sebagai inti dari informasi yang diterima. batas online adalah inti dari menentukan posisi sebenarnya dari sistem relativitas matematika vektor multiarah. Dalam hal ini, saya bermaksud mengungkapkan pendapat saya sendiri. Seperti pada tugas sebelumnya. Batasan online yang khas memperluas pengaruhnya secara rinci pada pandangan matematis dari studi sekuensial analisis program dalam bidang studi. Dalam konteks teori, matematika merupakan sesuatu yang lebih tinggi dari sekedar sains. Kesetiaan ditunjukkan dengan tindakan. Tetap tidak mungkin untuk dengan sengaja memutus rantai angka berurutan yang memulai pergerakan ke atas jika batasnya dihitung secara salah. Permukaan dua sisi diekspresikan dalam bentuk aslinya dalam ukuran penuh. Kemampuan mendalami analisis matematis membatasi limit suatu fungsi pada suatu barisan deret fungsional sebagai lingkungan epsilon pada suatu titik tertentu. Berbeda dengan teori fungsi, kesalahan dalam perhitungan tidak dikecualikan, tetapi hal ini ditentukan oleh situasi. Soal pembagian batas online dapat ditulis dengan fungsi divergensi variabel untuk perkalian cepat sistem nonlinier dalam ruang tiga dimensi. Kasus sepele adalah dasar dari operasi. Anda tidak harus menjadi pelajar untuk menganalisis kasus ini. Totalitas momen perhitungan yang sedang berlangsung, awalnya penyelesaian batas didefinisikan sebagai berfungsinya seluruh sistem integral kemajuan sepanjang sumbu ordinat pada beberapa nilai bilangan. Kami mengambil nilai matematika sekecil mungkin sebagai nilai dasar. Kesimpulannya jelas. Jarak antar bidang akan membantu memperluas teori batas online, karena penggunaan metode penghitungan divergen aspek signifikansi subpolar tidak membawa makna apa pun. Pilihan yang sangat baik, jika kalkulator batas terletak di server, ini dapat diambil apa adanya tanpa mengubah signifikansi perubahan permukaan di area, jika tidak, masalah linearitas akan menjadi lebih tinggi. Analisis matematis yang lengkap mengungkapkan ketidakstabilan sistem beserta deskripsinya di wilayah lingkungan terkecil dari titik tersebut. Seperti halnya limit suatu fungsi di sepanjang sumbu perpotongan ordinat dan absis, nilai numerik suatu objek di lingkungan minimal tertentu dapat dimasukkan sesuai dengan distribusi fungsi proses penelitian. Mari kita tuliskan tugas poin demi poin. Ada pembagian menjadi tahapan penulisan. Pernyataan akademis bahwa menghitung limit itu sangat sulit atau tidak mudah sama sekali didukung oleh analisis pandangan matematis seluruh mahasiswa S1 dan S2 tanpa terkecuali. Kemungkinan hasil antara tidak akan lama lagi. Batas di atas dipelajari secara online secara rinci pada perbedaan sistem minimum absolut objek-objek yang di luarnya linearitas ruang matematika terdistorsi. Segmentasi area yang lebih besar tidak digunakan oleh siswa untuk menghitung perselisihan berganda setelah mencatat kalkulator batas online untuk pengurangan. Setelah awal, kami akan melarang siswa merevisi masalah pembelajaran lingkungan spasial dalam matematika. Karena kita telah menemukan limit suatu fungsi, mari kita buat grafik studinya pada bidang. Mari kita sorot sumbu ordinat dengan warna khusus dan tunjukkan arah garisnya. Ada stabilitas. Ketidakpastian hadir dalam waktu yang lama selama penulisan jawaban. Hitung limit suatu fungsi di suatu titik hanya dengan menganalisis selisih antara limit di tak terhingga pada kondisi awal. Metode ini tidak diketahui setiap pengguna. Kita membutuhkan analisis matematis. Memecahkan batasan mengumpulkan pengalaman di benak generasi selama bertahun-tahun yang akan datang. Tidak mungkin untuk tidak mempersulit prosesnya. Siswa dari semua generasi bertanggung jawab atas kesimpulannya. Semua hal di atas mungkin mulai berubah jika tidak ada argumen yang menetapkan posisi fungsi di sekitar titik tertentu yang tertinggal di belakang kalkulator limit dalam hal perbedaan daya kalkulasi. Mari kita periksa fungsinya untuk mendapatkan jawaban yang dihasilkan. Kesimpulannya tidak jelas. Setelah mengecualikan fungsi implisit dari bilangan total setelah mentransformasikan ekspresi matematika, langkah terakhir yang tersisa adalah mencari limit secara online dengan benar dan dengan akurasi tinggi. Penerimaan keputusan yang dikeluarkan harus diverifikasi. Prosesnya berlanjut. Menemukan barisan secara terpisah dari fungsi dan, dengan menggunakan pengalaman mereka yang luas, ahli matematika harus menghitung limitnya untuk membenarkan arah yang benar dalam penelitian. Hasil seperti itu tidak memerlukan dorongan teoritis. Ubah proporsi bilangan dalam lingkungan tertentu dari titik bukan nol pada sumbu x menuju kalkulator batas online variabel sudut kemiringan spasial berdasarkan soal tertulis dalam matematika. Mari kita hubungkan dua area dalam ruang. Ketidaksepakatan di antara para pemecah masalah tentang bagaimana limit suatu fungsi memperoleh sifat-sifat nilai satu sisi dalam ruang tidak dapat diabaikan oleh kinerja siswa yang diawasi secara intensif. Arah dalam matematika batas online telah mengambil salah satu posisi yang paling sedikit diperdebatkan mengenai ketidakpastian dalam perhitungan batas-batas ini. Kalkulator limit online untuk tinggi segitiga dan kubus sama kaki dengan sisi tiga jari-jari lingkaran akan membantu siswa menghafalkan sains pada tahap awal. Mari kita serahkan kepada siswa untuk menentukan batasan dalam mempelajari sistem lemah matematis yang berfungsi dari sisi bidang penelitian. Pandangan siswa tentang teori bilangan bersifat ambigu. Setiap orang mempunyai pendapatnya masing-masing. Arah pembelajaran matematika yang benar akan membantu dalam menghitung limit dalam arti sebenarnya, seperti yang terjadi di universitas-universitas di negara maju. Kotangen dalam matematika dihitung sebagai kalkulator limit dan merupakan perbandingan dua fungsi trigonometri dasar lainnya, yaitu kosinus dan sinus argumen. Ini adalah solusi untuk mengurangi separuh segmen. Pendekatan yang berbeda sepertinya tidak akan menyelesaikan situasi demi masa lalu. Kita bisa berbicara panjang lebar tentang betapa sulit dan percuma menyelesaikan limit online secara detail tanpa pemahaman, namun pendekatan ini cenderung meningkatkan disiplin internal siswa menjadi lebih baik.

Teori limit merupakan salah satu cabang analisis matematis. Pertanyaan tentang penyelesaian limit cukup luas, karena terdapat lusinan metode untuk menyelesaikan berbagai jenis batasan. Ada lusinan nuansa dan trik yang memungkinkan Anda mengatasi batasan ini atau itu. Meski demikian, kami tetap akan mencoba memahami jenis-jenis batasan utama yang paling sering ditemui dalam praktik.

Mari kita mulai dengan konsep limit. Tapi pertama-tama, latar belakang sejarah singkat. Hiduplah seorang Perancis, Augustin Louis Cauchy, pada abad ke-19, yang memberikan definisi tegas terhadap banyak konsep matan dan meletakkan fondasinya. Harus dikatakan bahwa ahli matematika yang dihormati ini pernah, sedang, dan akan berada dalam mimpi buruk semua mahasiswa departemen fisika dan matematika, karena ia membuktikan sejumlah besar teorema analisis matematika, dan satu teorema lebih mematikan daripada yang lain. Kami belum akan mempertimbangkan hal ini penentuan batas Cauchy, tapi mari kita coba melakukan dua hal:

1. Pahami apa itu batasan.
2. Belajar memecahkan jenis-jenis limit utama.

Saya mohon maaf atas beberapa penjelasan yang tidak ilmiah, yang penting materinya dapat dipahami bahkan oleh teko teh, yang sebenarnya merupakan tugas proyek.

Jadi berapa batasnya?

Dan hanya contoh mengapa nenek berbulu lebat...

Batas apa pun terdiri dari tiga bagian:

1) Ikon batas yang terkenal.
2) Entri di bawah ikon batas, dalam hal ini . Entrinya berbunyi “X cenderung satu.” Paling sering - tepatnya, meskipun dalam praktiknya ada variabel lain selain "X". Dalam tugas-tugas praktis, tempat satu dapat berupa bilangan apa pun, serta tak terhingga ().
3) Fungsi di bawah tanda limit, dalam hal ini .

Rekaman itu sendiri berbunyi seperti ini: “limit suatu fungsi karena x cenderung kesatuan.”

Mari kita lihat pertanyaan penting berikutnya - apa arti ungkapan “x”? berusaha untuk satu"? Dan apa arti “berjuang”?
Konsep limit adalah sebuah konsep, bisa dikatakan, dinamis. Mari kita buat barisannya: pertama , lalu , , …, , ….
Artinya, ungkapan “x berusaha to one” harus dipahami sebagai berikut: “x” secara konsisten mengambil nilai-nilai yang mendekati kesatuan yang sangat dekat dan secara praktis bertepatan dengannya.

Bagaimana cara mengatasi contoh di atas? Berdasarkan penjelasan di atas, Anda hanya perlu mensubstitusikan satu ke dalam fungsi di bawah tanda limit:

Jadi, aturan pertama: Ketika diberi batasan apa pun, pertama-tama kita coba memasukkan angka tersebut ke dalam fungsi.

Kita telah mempertimbangkan batasan yang paling sederhana, namun hal ini juga terjadi dalam praktiknya, dan tidak jarang!

Contoh dengan tak terhingga:

Mari kita cari tahu apa itu? Hal ini terjadi apabila ia bertambah tanpa batas, yaitu: pertama, kemudian, kemudian, dan seterusnya ad infinitum.

Apa yang terjadi pada fungsinya saat ini?
, , , …

Jadi: jika , maka fungsinya cenderung minus tak terhingga:

Secara kasar, menurut aturan pertama kita, alih-alih “X” kita mengganti fungsi tak terhingga dan mendapatkan jawabannya.

Contoh lain dengan ketidakterbatasan:

Sekali lagi kita mulai meningkat hingga tak terhingga dan melihat perilaku fungsinya:

Kesimpulan: ketika fungsinya meningkat tanpa batas:

Dan rangkaian contoh lainnya:

Silakan mencoba menganalisis secara mental hal-hal berikut ini untuk diri Anda sendiri dan mengingat jenis batasan yang paling sederhana:

, , , , , , , , ,
Jika Anda ragu, Anda dapat mengambil kalkulator dan berlatih sedikit.
Jika demikian , cobalah menyusun barisan , , . Jika kemudian , , .

! Catatan: Sebenarnya, pendekatan untuk menyusun barisan beberapa bilangan ini tidak benar, tetapi untuk memahami contoh paling sederhana pendekatan ini cukup cocok.

Perhatikan juga hal berikut ini. Sekalipun diberikan batasan dengan angka besar di atas, atau bahkan dengan sejuta: , maka semuanya sama saja , karena cepat atau lambat "X" akan mulai mengambil nilai yang sangat besar sehingga satu juta jika dibandingkan akan menjadi mikroba yang nyata.

Apa yang perlu Anda ingat dan pahami dari penjelasan di atas?

1) Ketika diberi limit, pertama-tama kita coba mensubstitusikan bilangan tersebut ke dalam fungsinya.

2) Anda harus memahami dan segera menyelesaikan batasan yang paling sederhana, seperti , , dll.

Apalagi limitnya mempunyai arti geometri yang sangat baik. Untuk pemahaman yang lebih baik tentang topik ini, saya sarankan Anda membaca bahan ajar Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Setelah membaca artikel ini, Anda tidak hanya akhirnya akan memahami apa itu limit, tetapi juga mengenal kasus-kasus menarik ketika limit suatu fungsi secara umum tidak ada!

Sayangnya, dalam praktiknya, hanya ada sedikit hadiah. Oleh karena itu, kami melanjutkan untuk mempertimbangkan batasan yang lebih kompleks. Omong-omong, ada topik ini kursus intensif dalam format pdf, yang sangat berguna jika Anda memiliki SANGAT sedikit waktu untuk mempersiapkannya. Namun materi situsnya, tentu saja, tidak lebih buruk:

Sekarang kita akan membahas kelompok limit ketika , dan fungsinya adalah pecahan yang pembilang dan penyebutnya mengandung polinomial

Contoh:

Hitung batas

Menurut aturan kami, kami akan mencoba mensubstitusikan tak terhingga ke dalam fungsi tersebut. Apa yang kita dapatkan di puncak? Ketakterbatasan. Dan apa yang terjadi di bawah? Juga tak terhingga. Jadi, kita menghadapi apa yang disebut ketidakpastian spesies. Orang mungkin berpikir demikian , dan jawabannya sudah siap, tetapi secara umum hal ini tidak terjadi sama sekali, dan beberapa teknik solusi perlu diterapkan, yang sekarang akan kita pertimbangkan.

Bagaimana cara mengatasi limit jenis ini?

Pertama kita lihat pembilangnya dan cari pangkat tertinggi:

Pangkat terdepan pada pembilangnya adalah dua.

Sekarang kita melihat penyebutnya dan juga mencari pangkat tertinggi:

Derajat penyebut tertinggi adalah dua.

Kemudian kita pilih pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya: dalam contoh ini, keduanya sama dan sama dengan dua.

Jadi cara penyelesaiannya adalah sebagai berikut: untuk mengetahui ketidakpastiannya, pembilang dan penyebutnya perlu dibagi dengan pangkat tertinggi.

Ini dia jawabannya, dan bukan ketidakterbatasan sama sekali.

Apa yang secara fundamental penting dalam perancangan suatu keputusan?

Pertama, kami menunjukkan ketidakpastian, jika ada.

Kedua, disarankan untuk menghentikan solusi untuk penjelasan perantara. Saya biasanya menggunakan tanda, tidak memiliki arti matematis apa pun, tetapi berarti solusinya diinterupsi untuk penjelasan perantara.

Ketiga, dalam batasnya disarankan untuk menandai apa yang terjadi di mana. Ketika pekerjaan dibuat dengan tangan, akan lebih mudah untuk melakukannya dengan cara ini:

Lebih baik menggunakan pensil sederhana untuk mencatat.

Tentu saja, Anda tidak perlu melakukan semua ini, tetapi mungkin guru akan menunjukkan kekurangan dalam solusi atau mulai mengajukan pertanyaan tambahan tentang tugas tersebut. Apakah Anda membutuhkannya?

Contoh 2

Temukan batasnya
Sekali lagi pada pembilang dan penyebut kita temukan pada derajat tertinggi:

Gelar maksimum dalam pembilang: 3
Derajat maksimum dalam penyebut: 4
Memilih terbesar nilai, dalam hal ini empat.
Menurut algoritme kami, untuk mengungkap ketidakpastian, kami membagi pembilang dan penyebutnya dengan .
Tugas lengkapnya mungkin terlihat seperti ini:

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan

Contoh 3

Temukan batasnya
Derajat maksimal “X” pada pembilangnya: 2
Derajat maksimal “X” pada penyebut: 1 (dapat ditulis sebagai)
Untuk mengetahui ketidakpastiannya, pembilang dan penyebutnya perlu dibagi dengan . Solusi akhirnya mungkin terlihat seperti ini:

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan

Notasi bukan berarti pembagian dengan nol (tidak bisa dibagi dengan nol), melainkan pembagian dengan bilangan yang sangat kecil.

Jadi, dengan mengungkap ketidakpastian spesies, kita mungkin bisa melakukannya nomor akhir, nol atau tak terhingga.

Batasan dengan ketidakpastian jenis dan cara penyelesaiannya

Kelompok limit berikutnya agak mirip dengan limit yang baru saja dibahas: pembilang dan penyebutnya mengandung polinomial, tetapi “x” tidak lagi cenderung tak terhingga, melainkan ke nomor terbatas.

Contoh 4

Selesaikan batas
Pertama, mari kita coba substitusikan -1 ke dalam pecahan:

Dalam hal ini, diperoleh apa yang disebut ketidakpastian.

Peraturan umum: jika pembilang dan penyebutnya mengandung polinomial, dan terdapat ketidakpastian bentuk , maka diungkapkan Anda perlu memfaktorkan pembilang dan penyebutnya.

Untuk melakukan ini, paling sering Anda perlu menyelesaikan persamaan kuadrat dan/atau menggunakan rumus perkalian yang disingkat. Jika hal-hal ini terlupakan, kunjungi halaman tersebut Rumus dan tabel matematika dan membaca bahan ajar Rumus panas untuk kursus matematika sekolah. Omong-omong, yang terbaik adalah mencetaknya sering kali, dan informasi diserap lebih baik dari kertas.

Jadi, mari kita selesaikan batasan kita

Faktorkan pembilang dan penyebutnya

Untuk memfaktorkan pembilangnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan kuadrat:

Pertama kita temukan diskriminannya:

Dan akar kuadratnya: .

Jika diskriminannya besar, misalnya 361, kita menggunakan kalkulator; fungsi mengekstrak akar kuadrat ada pada kalkulator paling sederhana.

! Jika akar tidak diekstraksi secara keseluruhan (diperoleh bilangan pecahan dengan koma), kemungkinan besar diskriminan dihitung salah atau ada kesalahan ketik dalam tugas.

Selanjutnya kita temukan akarnya:

Dengan demikian:

Semua. Pembilangnya difaktorkan.

Penyebut. Penyebutnya sudah merupakan faktor paling sederhana, dan tidak ada cara untuk menyederhanakannya.

Tentu saja dapat disingkat menjadi:

Sekarang kita substitusikan -1 ke dalam ekspresi yang masih berada di bawah tanda limit:

Wajar saja, dalam sebuah ulangan, ulangan, atau ujian, penyelesaiannya tidak pernah dijelaskan sedetail itu. Di versi final, desainnya akan terlihat seperti ini:

Mari kita faktorkan pembilangnya.

Contoh 5

Hitung batas

Pertama, versi solusi “selesai”.

Mari kita faktorkan pembilang dan penyebutnya.

Pembilang:
Penyebut:



,

Apa yang penting dalam contoh ini?
Pertama, Anda harus memiliki pemahaman yang baik tentang cara mengungkap pembilangnya, pertama-tama kita keluarkan 2 dari tanda kurung, lalu gunakan rumus selisih kuadrat. Inilah rumus yang perlu Anda ketahui dan lihat.

Rekomendasi: Jika dalam suatu limit (hampir semua jenis) dimungkinkan untuk mengeluarkan suatu bilangan dari tanda kurung, maka kami selalu melakukannya.
Selain itu, disarankan untuk memindahkan angka tersebut melampaui ikon batas. Untuk apa? Ya, supaya mereka tidak menghalangi. Hal utama adalah jangan sampai kehilangan angka-angka ini nanti selama penyelesaian.

Harap dicatat bahwa pada tahap akhir solusi, saya mengeluarkan dua ikon di luar batas, dan kemudian minus.

! Penting
Selama penyelesaian, sebuah fragmen tipe sangat sering terjadi. Kurangi pecahan iniitu dilarang . Pertama, Anda perlu mengubah tanda pembilang atau penyebutnya (keluarkan -1 dari tanda kurung).
, yaitu muncul tanda minus yang diperhitungkan saat menghitung limit dan tidak perlu hilang sama sekali.

Secara umum, saya perhatikan bahwa paling sering dalam mencari limit jenis ini Anda harus menyelesaikan dua persamaan kuadrat, yaitu pembilang dan penyebutnya mengandung trinomial kuadrat.

Metode mengalikan pembilang dan penyebut dengan ekspresi konjugasi

Kami terus mempertimbangkan ketidakpastian bentuknya

Jenis limit selanjutnya mirip dengan tipe sebelumnya. Satu-satunya hal, selain polinomial, kita akan menambahkan akar.

Contoh 6

Temukan batasnya

Mari kita mulai memutuskan.

Pertama kita coba substitusikan 3 ke dalam ekspresi di bawah tanda limit
Saya ulangi sekali lagi - ini adalah hal pertama yang perlu Anda lakukan untuk batasan APAPUN. Tindakan ini biasanya dilakukan secara mental atau dalam bentuk rancangan.

Telah diperoleh ketidakpastian bentuk yang perlu dihilangkan.

Seperti yang mungkin Anda perhatikan, pembilang kami berisi selisih akar-akarnya. Dan dalam matematika, merupakan kebiasaan untuk menghilangkan akar-akarnya, jika memungkinkan. Untuk apa? Dan hidup lebih mudah tanpa mereka.