Aikido - perwujudan prinsip tindakan paling sedikit Psikologi dan teknologi kita sebagian besar didorong oleh konsep yang sangat dekat dengan gagasan tindakan paling sedikit. Kami terus berusaha membuat hidup kami lebih mudah. Komputer saat ini tidak cukup cepat; Mereka harus

Rumusan paling umum dari hukum gerak sistem mekanik diberikan oleh apa yang disebut prinsip aksi terkecil (atau prinsip Hamilton). Menurut prinsip ini, setiap sistem mekanis mempunyai fungsi tertentu.

atau, singkatnya, gerak sistem memenuhi kondisi berikut.

Biarkan sistem menempati posisi tertentu pada waktu tertentu, yang dicirikan oleh dua himpunan nilai koordinat (1) dan Kemudian antara posisi tersebut sistem bergerak sedemikian rupa sehingga integral

mempunyai nilai sekecil mungkin. Fungsi L disebut fungsi Lagrange sistem ini, dan integral (2.1) disebut aksi.

Fakta bahwa fungsi Lagrange hanya berisi q dan q, tetapi bukan turunan yang lebih tinggi, merupakan ekspresi dari pernyataan di atas bahwa keadaan mekanis sepenuhnya ditentukan oleh spesifikasi koordinat dan kecepatan.

Mari kita beralih ke penurunan persamaan diferensial yang menyelesaikan masalah penentuan minimum integral (2.1). Untuk menyederhanakan penulisan rumus, pertama-tama kita asumsikan bahwa sistem hanya mempunyai satu derajat kebebasan, sehingga hanya satu fungsi yang harus didefinisikan.

Misalkan ada fungsi yang S mempunyai nilai minimum. Artinya S bertambah jika digantikan oleh fungsi apa pun dalam bentuk tersebut

dimana adalah suatu fungsi yang kecil sepanjang selang waktu dari ke (disebut variasi fungsi karena semua fungsi yang dibandingkan (2.2) harus mengambil nilai yang sama, maka seharusnya:

Perubahan 5 ketika q diganti dengan diberikan oleh selisihnya

Perluasan perbedaan ini menjadi pangkat (dalam integrand) dimulai dengan suku-suku orde pertama. Syarat yang diperlukan untuk minimalitas S) adalah himpunan suku-suku ini lenyap; ini disebut variasi pertama (atau biasanya hanya variasi) integral. Dengan demikian, prinsip tindakan terkecil dapat ditulis sebagai

atau, dengan memvariasikan:

Memperhatikan bahwa kami mengintegrasikan suku kedua per bagian dan mendapatkan:

Namun karena kondisi (2.3), suku pertama dalam ungkapan ini hilang. Yang tersisa adalah integral, yang harus sama dengan nol untuk nilai sembarang. Ini hanya mungkin jika integrandnya hilang secara identik. Jadi kita mendapatkan persamaannya

Dengan adanya beberapa derajat kebebasan, berdasarkan prinsip aksi terkecil, fungsi-fungsi yang berbeda harus bervariasi secara independen. Tentunya, kita kemudian akan memperoleh persamaan bentuk

Ini adalah persamaan diferensial yang diperlukan; dalam mekanika disebut persamaan Lagrange. Jika fungsi Lagrange suatu sistem mekanik tertentu diketahui, maka persamaan (2.6) menetapkan hubungan antara percepatan, kecepatan dan koordinat, yaitu mewakili persamaan gerak sistem.

Dari sudut pandang matematika, persamaan (2.6) merupakan sistem persamaan orde kedua untuk s fungsi yang tidak diketahui. Solusi umum dari sistem tersebut mengandung konstanta sembarang. Untuk menentukannya dan dengan demikian menentukan secara lengkap pergerakan suatu sistem mekanis, perlu diketahui kondisi awal yang mencirikan keadaan sistem pada titik waktu tertentu, misalnya pengetahuan tentang nilai awal semua koordinat dan kecepatan.

Misalkan sistem mekanis terdiri dari dua bagian A dan B, yang masing-masing tertutup, masing-masing mempunyai fungsi Lagrange, fungsi ? Kemudian, dalam limit, ketika bagian-bagiannya dipisahkan sedemikian rupa sehingga interaksi antar bagiannya dapat diabaikan, fungsi Lagrangian seluruh sistem cenderung ke limit.

Sifat aditif fungsi Lagrange ini menyatakan fakta bahwa persamaan gerak setiap bagian yang tidak berinteraksi tidak dapat memuat besaran yang berhubungan dengan bagian lain dari sistem.

Jelaslah bahwa mengalikan fungsi Lagrange suatu sistem mekanis dengan konstanta sembarang tidak dengan sendirinya mempengaruhi persamaan gerak.

Tampaknya ketidakpastian yang signifikan dapat timbul dari sini: fungsi Lagrange dari berbagai sistem mekanis terisolasi dapat dikalikan dengan konstanta yang berbeda. Sifat aditif menghilangkan ketidakpastian ini - sifat ini hanya memungkinkan fungsi Lagrangian dari semua sistem dikalikan secara simultan dengan konstanta yang sama, yang menyebabkan kesewenang-wenangan alami dalam pemilihan satuan pengukuran besaran fisik ini; Kami akan kembali ke masalah ini di §4.

Pernyataan umum berikut perlu dibuat. Mari kita perhatikan dua fungsi yang berbeda satu sama lain berdasarkan turunan waktu total dari setiap fungsi koordinat dan waktu

Integral (2.1) yang dihitung menggunakan kedua fungsi ini dihubungkan oleh relasi

yaitu berbeda satu sama lain dengan suku tambahan yang hilang bila aksi divariasikan, sehingga kondisinya bertepatan dengan kondisi dan bentuk persamaan geraknya tetap tidak berubah.

Dengan demikian, fungsi Lagrange didefinisikan hanya sampai penjumlahan turunan total dari sembarang fungsi koordinat dan waktu.

Di dalam kita memeriksa secara singkat salah satu prinsip fisika yang paling luar biasa - prinsip tindakan paling sedikit, dan berhenti pada sebuah contoh yang tampaknya bertentangan dengannya. Pada artikel ini kita akan melihat prinsip ini lebih detail dan melihat apa yang terjadi dalam contoh ini.

Kali ini kita memerlukan lebih banyak matematika. Namun, saya akan kembali mencoba menyajikan bagian utama artikel pada tingkat dasar. Saya akan menyoroti poin-poin yang sedikit lebih ketat dan kompleks dengan warna, poin-poin tersebut dapat dilewati tanpa mengurangi pemahaman dasar artikel.

Kondisi perbatasan

Untuk menggambarkan pergerakannya secara akurat, sebagai suatu peraturan, kondisi awal ditentukan. Misalnya ditentukan bahwa pada saat awal bola berada pada suatu titik dengan koordinat dan mempunyai kecepatan . Setelah menetapkan kondisi awal dalam bentuk ini, kami dengan jelas menentukan pergerakan bola selanjutnya - bola akan bergerak dengan kecepatan konstan, dan posisinya pada saat itu akan sama dengan posisi awal ditambah kecepatan dikalikan dengan waktu yang telah berlalu. : . Metode pengaturan kondisi awal ini sangat alami dan familiar secara intuitif. Kami telah menentukan semua informasi yang diperlukan tentang gerak bola pada momen awal, dan kemudian geraknya ditentukan oleh hukum Newton.

Namun, ini bukan satu-satunya cara untuk menentukan pergerakan bola. Alternatif lain adalah dengan mengatur posisi bola pada dua waktu dan waktu yang berbeda. Itu. tanyakan itu:

1) pada saat bola berada pada suatu titik (dengan koordinat);
2) pada saat bola berada pada suatu titik (dengan koordinat ).

Ungkapan “berada di titik” tidak berarti bahwa bola berada di suatu titik. Pada saat tertentu dia bisa terbang melewati titik tersebut. Artinya posisinya pada saat itu bertepatan dengan titik. Hal yang sama juga berlaku pada poin ini.

Kedua kondisi ini juga secara unik menentukan gerak bola. Pergerakannya mudah dihitung. Untuk memenuhi kedua kondisi tersebut, kecepatan bola tentunya harus . Posisi bola pada saat waktu akan sama lagi dengan posisi awal ditambah kecepatan dikalikan waktu yang telah berlalu:

Perlu diketahui bahwa dalam kondisi masalah kita tidak perlu mengatur kecepatan awal. Itu ditentukan secara unik dari kondisi 1) dan 2).

Pengaturan kondisi dengan cara kedua terlihat tidak biasa. Mungkin tidak jelas mengapa perlu menanyakannya dalam formulir ini. Namun pada prinsip aksi terkecil yang digunakan adalah kondisi berupa 1) dan 2), bukan berupa penentuan posisi awal dan kecepatan awal.

Jalur dengan tindakan paling sedikit

Misalnya kita bisa menggerakkan bola dengan kecepatan yang sama (lintasan hijau). Atau kita dapat menyimpannya di titik separuh waktu, dan kemudian memindahkannya ke titik tersebut dengan kecepatan ganda (lintasan biru). Anda dapat memindahkannya terlebih dahulu ke arah yang berlawanan, lalu memindahkannya ke (lintasan berwarna coklat). Anda dapat memindahkannya maju mundur (jalur merah). Secara umum, Anda dapat memindahkannya sesuka Anda, asalkan kondisi 1) dan 2) terpenuhi.

Untuk setiap lintasan tersebut kita dapat mengasosiasikan sebuah nomor. Dalam contoh kita, yaitu. jika tidak ada gaya yang bekerja pada bola, bilangan ini sama dengan total akumulasi energi kinetik selama seluruh waktu pergerakannya dalam selang waktu antara dan dan disebut aksi.

Dalam hal ini, kata “akumulasi” energi kinetik tidak menyampaikan makna dengan tepat. Pada kenyataannya, energi kinetik tidak terakumulasi di mana pun; akumulasi tersebut hanya digunakan untuk menghitung aksi lintasan. Dalam matematika ada konsep yang sangat bagus untuk akumulasi seperti itu - integral:

Tindakan tersebut biasanya ditunjukkan dengan surat. Simbol tersebut berarti energi kinetik. Integral ini berarti bahwa aksinya sama dengan akumulasi energi kinetik bola selama selang waktu dari ke.

Pada contoh pertama (lintasan hijau) kita menggerakkan bola secara seragam, yaitu. dengan kecepatan yang sama, yang tentunya harus sama dengan: m/s. Energi kinetik bola pada setiap momen waktu sama dengan: = 1/2 J. Dalam satu sekon akan terakumulasi 1/2 J energi kinetik. Itu. aksi untuk lintasan tersebut sama dengan: J s.

Sekarang jangan langsung memindahkan bola dari titik ke titik, tetapi tahan di titik tersebut selama setengah detik, dan kemudian, selama sisa waktu, gerakkan bola secara merata ke titik tersebut. Dalam setengah detik pertama, bola dalam keadaan diam dan energi kinetiknya nol. Oleh karena itu, kontribusi bagian lintasan ini terhadap aksi juga nol. Setengah detik kedua kita menggerakkan bola dengan kecepatan ganda: m/s. Energi kinetiknya sama dengan = 2 J. Kontribusi periode waktu tertentu terhadap aksi akan sama dengan 2 J dikalikan setengah detik, mis. 1 J s. Oleh karena itu, aksi total untuk lintasan tersebut sama dengan J s.

Demikian pula, lintasan lain dengan kondisi batas 1) dan 2) yang kami berikan sesuai dengan bilangan tertentu yang sama dengan aksi lintasan ini. Di antara semua lintasan tersebut, ada lintasan yang aksinya paling sedikit. Dapat dibuktikan bahwa lintasan tersebut merupakan lintasan hijau yaitu. pergerakan bola yang seragam. Untuk lintasan lainnya, betapa pun rumitnya, aksinya akan lebih dari 1/2.

Dalam matematika, perbandingan setiap fungsi suatu bilangan tertentu disebut fungsional. Seringkali dalam fisika dan matematika muncul masalah yang serupa dengan kita, yaitu. untuk menemukan fungsi yang nilai fungsi tertentunya minimal. Misalnya, salah satu masalah yang memiliki makna sejarah yang besar bagi perkembangan matematika adalah masalah bachistochrone. Itu. menemukan kurva yang paling cepat menggelindingkan bola. Sekali lagi, setiap kurva dapat diwakili oleh fungsi h(x), dan setiap fungsi dapat dikaitkan dengan angka, dalam hal ini waktu menggelindingkan bola. Sekali lagi, masalahnya adalah menemukan fungsi yang nilai fungsionalnya minimal. Cabang matematika yang menangani permasalahan seperti ini disebut kalkulus variasi.

Prinsip tindakan paling sedikit

Lintasan pertama diperoleh dari hukum fisika dan sesuai dengan lintasan sebenarnya dari bola bebas, di mana tidak ada gaya yang bekerja dan kondisi batasnya ditentukan dalam bentuk 1) dan 2).

Lintasan kedua diperoleh dari soal matematika mencari lintasan dengan kondisi batas tertentu 1) dan 2), yang aksinya minimal.

Prinsip tindakan terkecil menyatakan bahwa kedua lintasan ini harus bertepatan. Dengan kata lain, jika diketahui bahwa bola bergerak sedemikian rupa sehingga syarat batas 1) dan 2) terpenuhi, maka bola tersebut harus bergerak sepanjang lintasan yang aksinya minimal dibandingkan lintasan lain dengan batas yang sama. kondisi.

Orang mungkin menganggap ini hanya kebetulan belaka. Ada banyak masalah yang memunculkan lintasan seragam dan garis lurus. Namun, prinsip aksi terkecil ternyata merupakan prinsip yang sangat umum, berlaku dalam situasi lain, misalnya, untuk gerak bola dalam medan gravitasi seragam. Caranya, Anda hanya perlu mengganti energi kinetik dengan selisih energi kinetik dan potensial. Perbedaan ini disebut fungsi Lagrangian atau Lagrangian dan aksinya sekarang menjadi sama dengan total akumulasi Lagrangian. Faktanya, fungsi Lagrange berisi semua informasi yang diperlukan tentang properti dinamis sistem.

Jika kita meluncurkan sebuah bola dalam medan gravitasi seragam sedemikian rupa sehingga melewati suatu titik dalam sekejap dan tiba di suatu titik dalam sekejap, maka menurut hukum Newton, bola tersebut akan terbang sepanjang parabola. Parabola inilah yang akan bertepatan dengan lintasan yang aksinya minimal.

Jadi, untuk benda yang bergerak dalam medan potensial, misalnya dalam medan gravitasi bumi, fungsi Lagrange sama dengan: . Energi kinetik bergantung pada kecepatan benda, dan energi potensial bergantung pada posisinya, yaitu. koordinat Dalam mekanika analitik, seluruh himpunan koordinat yang menentukan posisi sistem biasanya dilambangkan dengan satu huruf. Untuk bola yang bergerak bebas dalam medan gravitasi, berarti koordinat , dan .

Untuk menunjukkan laju perubahan besaran apa pun, dalam fisika sering kali mereka hanya memberi titik pada besaran ini. Misalnya, ini menunjukkan laju perubahan koordinat, atau, dengan kata lain, kecepatan benda dalam arahnya. Dengan menggunakan konvensi ini, kecepatan bola kita dalam mekanika analitik dinotasikan sebagai . Itu. singkatan dari komponen kecepatan.

Karena fungsi Lagrange bergantung pada kecepatan dan koordinat, dan juga dapat bergantung secara eksplisit pada waktu (secara eksplisit bergantung pada waktu berarti nilainya berbeda pada waktu yang berbeda, untuk kecepatan dan posisi bola yang sama), maka aksi secara umum ditulis sebagai

Tidak selalu minimal

Sebenarnya, energi potensial dapat dianggap sama bukan dengan nol, tetapi dengan bilangan berapa pun, karena perbedaan energi potensial pada berbagai titik di ruang angkasa adalah penting. Namun perubahan nilai energi potensial tidak mempengaruhi pencarian lintasan dengan tindakan minimal. Hanya saja untuk semua lintasan nilai aksinya akan berubah dengan angka yang sama, dan lintasan dengan aksi minimum akan tetap menjadi lintasan dengan aksi minimum. Untuk kenyamanan, untuk bola kita, kita akan memilih energi potensial yang sama dengan nol.

Gambar tersebut menunjukkan lintasan gerak bola yang mungkin secara fisik. Lintasan hijau melambangkan bola yang diam, sedangkan lintasan biru melambangkan bola yang memantul dari dinding pegas.

Namun, hanya satu saja yang efeknya minimal, yaitu yang pertama! Lintasan kedua memiliki lebih banyak aksi. Ternyata dalam soal ini terdapat dua lintasan yang memungkinkan secara fisik dan hanya satu dengan tindakan minimal. Itu. Dalam hal ini, prinsip tindakan terkecil tidak berlaku.

Poin stasioner

Pada grafik saya menandai empat titik khusus dengan warna hijau. Apa persamaan poin-poin ini? Bayangkan grafik suatu fungsi adalah slide nyata yang dapat menggelindingkan bola. Empat titik yang ditentukan bersifat istimewa karena jika Anda menempatkan bola tepat pada titik ini, bola tidak akan menggelinding kemana pun. Di semua titik lainnya, misalnya titik E, dia tidak akan bisa diam dan akan mulai meluncur ke bawah. Titik-titik seperti ini disebut stasioner. Menemukan titik-titik seperti itu adalah tugas yang berguna, karena setiap fungsi maksimum atau minimum, jika tidak memiliki jeda yang tajam, haruslah merupakan titik stasioner.

Jika kita mengklasifikasikan titik-titik ini dengan lebih akurat, maka titik A adalah fungsi minimum absolut, yaitu. nilainya lebih kecil dari nilai fungsi lainnya. Titik B bukanlah titik maksimum dan minimum dan disebut titik pelana. Titik C disebut maksimum lokal, yaitu. nilai di dalamnya lebih besar daripada titik-titik tetangga dari fungsi tersebut. Dan titik D adalah minimum lokal, yaitu. nilai di dalamnya lebih kecil daripada titik-titik tetangga dari fungsi tersebut.

Pencarian titik-titik tersebut dilakukan oleh cabang matematika yang disebut analisis matematis. Jika tidak, kadang-kadang disebut analisis yang sangat kecil, karena dapat bekerja dengan jumlah yang sangat kecil. Dari sudut pandang analisis matematis, titik-titik stasioner memiliki satu sifat khusus yang menyebabkan titik-titik tersebut ditemukan. Untuk memahami sifat ini, kita perlu memahami seperti apa fungsinya pada jarak yang sangat kecil dari titik-titik tersebut. Untuk melakukan ini, kita akan mengambil mikroskop dan melihatnya pada titik-titik kita. Gambar tersebut menunjukkan seperti apa fungsi di sekitar berbagai titik pada perbesaran berbeda.

Terlihat bahwa pada perbesaran yang sangat tinggi (yaitu untuk deviasi yang sangat kecil x) titik-titik yang diam terlihat persis sama dan sangat berbeda dengan titik yang tidak stasioner. Sangat mudah untuk memahami perbedaannya - grafik suatu fungsi pada titik stasioner menjadi garis horizontal ketika diperbesar, dan pada titik non-stasioner menjadi garis miring. Itulah sebabnya bola yang diletakkan pada titik diam tidak akan menggelinding ke bawah.

Horizontalitas suatu fungsi pada titik stasioner dapat dinyatakan secara berbeda: fungsi pada titik stasioner praktis tidak berubah dengan perubahan argumennya yang sangat kecil, bahkan dibandingkan dengan perubahan argumen itu sendiri. Fungsi pada titik tidak stasioner dengan perubahan kecil berubah sebanding dengan perubahannya. Dan semakin besar kemiringan suatu fungsi, semakin banyak perubahan fungsi tersebut ketika . Faktanya, seiring bertambahnya fungsi, fungsi tersebut menjadi semakin mirip dengan garis singgung grafik pada titik yang dimaksud.

Dalam bahasa matematika yang ketat, ungkapan “suatu fungsi praktis tidak berubah pada suatu titik dengan perubahan yang sangat kecil” berarti rasio perubahan suatu fungsi dan perubahan argumennya cenderung 0 karena cenderung 0:

$$display$$\lim_(∆x \ke 0) \frac (∆y(x_0))(∆x) = \lim_(x \ke 0) \frac (y(x_0+∆x)-y(x_0) )(∆x) = 0$$tampilan$$

Untuk titik yang tidak stasioner, rasio ini cenderung ke angka bukan nol, yang sama dengan garis singgung kemiringan fungsi pada titik tersebut. Bilangan yang sama ini disebut turunan fungsi pada suatu titik tertentu. Turunan suatu fungsi menunjukkan seberapa cepat fungsi tersebut berubah di sekitar suatu titik tertentu dengan sedikit perubahan pada argumennya. Jadi, titik stasioner adalah titik yang turunan fungsinya sama dengan 0.

Lintasan stasioner

Sekali lagi, dalam bahasa matematika, “sedikit berbeda” memiliki arti yang tepat sebagai berikut. Mari kita asumsikan bahwa kita memiliki fungsi tertentu untuk fungsi dengan kondisi batas yang diperlukan 1) dan 2), yaitu. Dan . Anggaplah lintasannya stasioner.

Kita dapat mengambil fungsi lain yang ujungnya bernilai nol, mis. = = 0. Mari kita ambil juga sebuah variabel, yang akan kita perkecil dan kecilkan lagi. Dari kedua fungsi dan variabel tersebut, kita dapat membuat fungsi ketiga, yang juga memenuhi syarat batas dan. Dengan menurunnya, lintasan yang sesuai dengan fungsi tersebut akan semakin mendekati lintasan tersebut.

Selain itu, untuk lintasan stasioner pada nilai fungsional lintasan yang kecil akan berbeda sangat sedikit dari nilai fungsional bahkan dibandingkan dengan . Itu.

$$display$$\lim_(ε \ke 0) \frac (S(x"(t))-S(x(t)))ε=\lim_(ε \ke 0) \frac (S(x( t)+εg(t))-S(x(t)))ε = 0$$tampilan$$

Selain itu, hal ini juga berlaku untuk setiap lintasan yang memenuhi kondisi batas = = 0.

Perubahan fungsi dengan sedikit perubahan fungsi (lebih tepatnya bagian linier dari perubahan fungsi, sebanding dengan perubahan fungsi) disebut variasi fungsi dan dilambangkan dengan . Nama “kalkulus variasi” berasal dari istilah “variasi”.

Untuk lintasan stasioner, variasi fungsional.

Sebuah metode untuk mencari fungsi stasioner (tidak hanya untuk prinsip aksi terkecil, tetapi juga untuk banyak masalah lainnya) ditemukan oleh dua ahli matematika - Euler dan Lagrange. Ternyata suatu fungsi stasioner yang fungsinya dinyatakan dengan integral yang serupa dengan integral aksi, harus memenuhi persamaan tertentu, yang sekarang disebut persamaan Euler-Lagrange.

Prinsip stasioner

Ternyata benda nyata belum tentu bergerak sepanjang lintasan dengan tindakan paling sedikit. Mereka dapat bergerak sepanjang lintasan khusus yang lebih luas, yaitu lintasan stasioner. Itu. lintasan benda yang sebenarnya akan selalu diam. Oleh karena itu, prinsip aksi terkecil lebih tepat disebut prinsip aksi stasioner. Namun, menurut tradisi yang sudah ada, hal ini sering disebut sebagai prinsip tindakan terkecil, yang tidak hanya menyiratkan minimalitas, tetapi juga stasioneritas lintasan.

Sekarang kita dapat menuliskan prinsip aksi stasioner dalam bahasa matematika, seperti yang biasa tertulis di buku teks: .

Di sini ini adalah koordinat umum, mis. sekumpulan variabel yang secara unik menentukan posisi sistem.
- laju perubahan koordinat umum.
- Fungsi Lagrange, yang bergantung pada koordinat umum, kecepatannya, dan, mungkin, waktu.
- tindakan yang bergantung pada lintasan spesifik sistem (yaitu pada ).

Lintasan sebenarnya dari sistem adalah stasioner, yaitu. bagi mereka variasi tindakan.

Beberapa konsekuensi luar biasa muncul dari prinsip tindakan paling sedikit (lebih tepatnya stasioner), yang akan kita bahas di bagian selanjutnya.

Ketika saya pertama kali mempelajari prinsip ini, saya merasakan semacam mistisisme. Tampaknya alam secara misterius menelusuri semua kemungkinan jalur pergerakan sistem dan memilih yang terbaik.

Hari ini saya ingin berbicara sedikit tentang salah satu prinsip fisika yang paling luar biasa - prinsip tindakan terkecil.

Latar belakang

Ketika dipantulkan, cahaya juga bergerak sedemikian rupa sehingga berpindah dari satu titik ke titik lain dalam waktu sesingkat-singkatnya. Pada gambar, jalur terpendek adalah jalur hijau, yang sudut datangnya sama dengan sudut pantul. Jalur lainnya, misalnya merah, akan lebih panjang.

Pada tahun 1662, Pierre Fermat mengemukakan bahwa kecepatan cahaya dalam benda padat, seperti kaca, lebih kecil dibandingkan di udara. Sebelumnya, versi Descartes diterima secara umum, yang menyatakan bahwa kecepatan cahaya dalam materi harus lebih besar daripada di udara untuk mendapatkan hukum pembiasan yang benar. Bagi Fermat, asumsi bahwa cahaya dapat bergerak lebih cepat di medium yang lebih padat dibandingkan di medium yang lebih rapat tampaknya tidak wajar. Oleh karena itu, ia berasumsi bahwa segala sesuatu justru sebaliknya dan membuktikan suatu hal yang menakjubkan - dengan asumsi ini, cahaya dibiaskan sedemikian rupa sehingga mencapai tujuannya dalam waktu yang minimal.

Semua fakta ini menunjukkan bahwa alam bertindak dengan cara yang rasional, cahaya dan benda bergerak dengan cara yang paling optimal, dengan mengeluarkan tenaga sesedikit mungkin. Namun upaya apa yang dilakukan dan bagaimana cara menghitungnya masih menjadi misteri.

Pada tahun 1744, Maupertuis memperkenalkan konsep “aksi” dan merumuskan prinsip yang menyatakan bahwa lintasan sebenarnya suatu partikel berbeda dari yang lain karena aksinya minimal. Namun, Maupertuis sendiri tidak pernah bisa memberikan definisi yang jelas mengenai apa maksud dari tindakan tersebut. Rumusan matematis yang ketat tentang prinsip tindakan terkecil telah dikembangkan oleh matematikawan lain - Euler, Lagrange, dan akhirnya diberikan oleh William Hamilton:

Tubuh bebas

Jadi, bagaimana sebaiknya Anda mengemudi agar sampai ke tujuan tepat pada waktu yang ditentukan dan menggunakan bahan bakar sesedikit mungkin? Jelas bahwa Anda harus berjalan dalam garis lurus. Semakin bertambahnya jarak tempuh, semakin sedikit bahan bakar yang dikonsumsi. Dan kemudian Anda dapat memilih taktik yang berbeda. Misalnya, Anda dapat dengan cepat tiba di suatu titik terlebih dahulu dan hanya duduk menunggu hingga waktunya tiba. Kecepatan berkendara dan konsumsi bahan bakar setiap saat akan tinggi, namun waktu berkendara juga akan berkurang. Mungkin konsumsi bahan bakar secara keseluruhan tidak akan terlalu besar. Atau Anda dapat berkendara secara merata, dengan kecepatan yang sama, sehingga tanpa terburu-buru, Anda tiba tepat pada waktunya. Atau berkendara sebagian dengan cepat, dan sebagian lagi lebih lambat. Apa cara terbaik untuk pergi?

Ternyata cara berkendara yang paling optimal dan hemat adalah berkendara dengan kecepatan konstan, sehingga Anda sampai di tempat tujuan tepat pada waktu yang ditentukan. Pilihan lain mana pun akan menghabiskan lebih banyak bahan bakar. Anda dapat memeriksanya sendiri menggunakan beberapa contoh. Alasannya adalah konsumsi bahan bakar meningkat seiring dengan kuadrat kecepatan. Oleh karena itu, seiring dengan peningkatan kecepatan, konsumsi bahan bakar meningkat lebih cepat daripada penurunan waktu berkendara, dan konsumsi bahan bakar secara keseluruhan juga meningkat.

Jadi, kami menemukan bahwa jika sebuah mobil pada setiap saat mengkonsumsi bahan bakar sebanding dengan energi kinetiknya, maka cara paling ekonomis untuk berpindah dari titik ke titik pada waktu yang ditentukan adalah dengan mengemudi secara merata dan lurus, tepat cara suatu benda bergerak tanpa adanya gaya yang bekerja padanya.kekuatan Metode mengemudi lainnya akan menghasilkan konsumsi bahan bakar keseluruhan yang lebih tinggi.

Di bidang gravitasi

Konsumsi bahan bakar pada setiap waktu sama dengan energi kinetik dikurangi energi potensial mobil (dikurangi energi potensial, karena perangkat yang dipasang menghasilkan bahan bakar dan tidak mengkonsumsinya). Sekarang tugas kita untuk memindahkan mobil antar titik seefisien mungkin menjadi lebih sulit. Gerak beraturan lurus ternyata bukan yang paling efektif dalam kasus ini. Ternyata lebih optimal naik sedikit ketinggian, diam di sana sebentar, menghabiskan lebih banyak bahan bakar, lalu turun ke titik. Dengan lintasan penerbangan yang benar, total produksi bahan bakar akibat pendakian akan menutupi biaya bahan bakar tambahan untuk menambah panjang jalur dan menambah kecepatan. Jika Anda menghitung dengan cermat, cara paling ekonomis bagi sebuah mobil adalah terbang dalam parabola, sepanjang lintasan yang persis sama dan dengan kecepatan yang persis sama dengan kecepatan batu yang terbang di medan gravitasi bumi.

Fungsi Lagrange dan prinsip tindakan terkecil

Analog dari jumlah total bahan bakar yang dikonsumsi selama seluruh periode pergerakan, mis. nilai Lagrangian yang terakumulasi sepanjang waktu pergerakan disebut “aksi”.

Prinsip tindakan terkecil adalah bahwa benda bergerak sedemikian rupa sehingga tindakan (yang bergantung pada lintasan pergerakan) adalah minimal. Pada saat yang sama, kita tidak boleh lupa bahwa kondisi awal dan akhir telah ditentukan, yaitu. di mana tubuh berada pada saat waktu dan pada saat waktu.

Dalam hal ini, benda tidak harus bergerak dalam medan gravitasi seragam, seperti yang kita pertimbangkan untuk mobil kita. Situasi yang sangat berbeda dapat dipertimbangkan. Sebuah benda dapat berosilasi pada pita elastis, berayun pada pendulum, atau terbang mengelilingi Matahari, dalam semua kasus ini ia bergerak sedemikian rupa untuk meminimalkan “konsumsi bahan bakar total” yaitu. tindakan.

Jika suatu sistem terdiri dari beberapa benda, maka Lagrangian sistem tersebut akan sama dengan energi kinetik total semua benda dikurangi energi potensial total semua benda. Dan sekali lagi, semua benda akan bergerak secara serempak sehingga pengaruh seluruh sistem selama gerakan tersebut menjadi minimal.

Tidak sesederhana itu

Misalnya, ambil sebuah bola dan letakkan di ruang kosong. Agak jauh darinya kita akan menempatkan dinding elastis. Katakanlah kita ingin bolanya berakhir di tempat yang sama setelah beberapa waktu. Dalam kondisi tertentu, bola dapat bergerak dalam dua cara berbeda. Pertama, ia bisa tetap di tempatnya. Kedua, Anda bisa mendorongnya ke arah dinding. Bola akan terbang ke dinding, memantul dan kembali. Jelas bahwa Anda dapat mendorongnya dengan kecepatan sedemikian rupa sehingga ia kembali pada waktu yang tepat.

Bagaimana kita dapat mempertahankan prinsip tindakan terkecil agar berlaku dalam situasi seperti itu? Kita akan membicarakan hal ini di.

YouTube ensiklopedis

• 1 / 5

  Penelitian matematika dan pengembangan prinsip Fermat dilakukan oleh Christiaan Huygens, setelah itu topik tersebut aktif dibahas oleh para ilmuwan terbesar abad ke-17. Leibniz memperkenalkan konsep dasar aksi ke dalam fisika pada tahun 1669: “Tindakan formal suatu gerak sebanding dengan hasil kali jumlah materi, jarak geraknya, dan kecepatannya.”

  Sejalan dengan analisis dasar-dasar mekanika, metode untuk memecahkan masalah variasional dikembangkan. Isaac Newton dalam bukunya “Prinsip Matematika Filsafat Alam” (1687) mengajukan dan memecahkan masalah variasi pertama: untuk menemukan bentuk benda rotasi yang bergerak dalam medium penahan sepanjang porosnya yang hambatan yang dialami paling kecil. Hampir bersamaan, masalah variasi lain muncul: masalah brachistochrone (1696), bentuk garis rantai, dll.

  Peristiwa yang menentukan terjadi pada tahun 1744. Leonhard Euler menerbitkan karya umum pertama tentang kalkulus variasi (“Metode menemukan kurva yang memiliki sifat maksimum atau minimum”), dan Pierre-Louis de Maupertuis, dalam risalahnya “Rekonsiliasi Berbagai Hukum Alam, Yang Sampai Sekarang Tampak Tidak kompatibel,” memberikan rumusan pertama dari prinsip tindakan paling sedikit: “jalan yang diikuti oleh cahaya adalah jalan yang jumlah tindakannya paling sedikit.” Dia mendemonstrasikan pemenuhan hukum ini baik untuk pemantulan maupun pembiasan cahaya. Menanggapi artikel Maupertuis, Euler menerbitkan (pada tahun yang sama 1744) karya “Tentang penentuan gerak benda yang dilempar dalam medium tak tahan dengan metode maxima dan minima,” dan dalam karya ini ia memberikan Maupertuis' prinsip yang bersifat mekanis umum: “Karena semua fenomena alam mengikuti suatu hukum maksimum atau minimum, maka tidak ada keraguan bahwa untuk garis lengkung yang menggambarkan benda yang dilempar, ketika ada gaya yang bekerja padanya, terdapat sifat tertentu dari maksimum atau minimum. Euler selanjutnya merumuskan hukum ini: lintasan suatu benda mencapai titik minimum ∫ m v d s (\displaystyle \int mv\ ds). Dia kemudian menerapkannya, menurunkan hukum gerak dalam medan gravitasi seragam dan dalam beberapa kasus lainnya.

  Pada tahun 1746, Maupertuis, dalam sebuah karya baru, setuju dengan pendapat Euler dan menyatakan versi paling umum dari prinsipnya: “Ketika suatu perubahan terjadi di alam, jumlah tindakan yang diperlukan untuk perubahan ini adalah yang paling kecil kemungkinannya. Kuantitas aksi adalah hasil kali massa suatu benda dengan kecepatannya dan jarak yang ditempuhnya.” Dalam diskusi luas yang terjadi kemudian, Euler mendukung prioritas Maupertuis dan mendukung sifat universal dari undang-undang baru tersebut: “semua dinamika dan hidrodinamika dapat diungkapkan dengan sangat mudah melalui metode maxima dan minima saja.”

  Tahap baru dimulai pada tahun 1760-1761, ketika Joseph Louis Lagrange memperkenalkan konsep ketat variasi suatu fungsi, memberikan kalkulus variasi bentuk modern dan memperluas prinsip tindakan terkecil ke sistem mekanis yang sewenang-wenang (yaitu, tidak hanya untuk poin materi gratis). Ini menandai dimulainya mekanika analitik. Generalisasi lebih lanjut dari prinsip ini dilakukan oleh Carl Gustav Jacob Jacobi pada tahun 1837 - ia mempertimbangkan masalah secara geometris, seperti menemukan masalah variasi ekstrem dalam ruang konfigurasi dengan metrik non-Euclidean. Secara khusus, Jacobi menunjukkan bahwa tanpa adanya gaya eksternal, lintasan sistem mewakili garis geodesik dalam ruang konfigurasi.

  Pendekatan Hamilton telah terbukti universal dan sangat efektif dalam model matematika fisika, khususnya mekanika kuantum. Kekuatan heuristiknya dikonfirmasi dalam penciptaan Relativitas Umum, ketika David Hilbert menerapkan prinsip Hamilton untuk memperoleh persamaan akhir medan gravitasi (1915).

  Dalam mekanika klasik

  Prinsip aksi terkecil menjadi dasar fundamental dan standar formulasi mekanika Lagrangian dan Hamiltonian.

  Pertama mari kita lihat konstruksinya seperti ini: Mekanika Lagrangian. Dengan menggunakan contoh sistem fisik dengan satu derajat kebebasan, mari kita ingat bahwa tindakan tersebut bersifat fungsional terhadap koordinat (yang digeneralisasikan) (dalam kasus satu derajat kebebasan - satu koordinat), yaitu dinyatakan melalui q (t) (\gaya tampilan q(t)) sehingga setiap varian fungsi yang mungkin q (t) (\gaya tampilan q(t)) sejumlah tertentu dibandingkan - suatu tindakan (dalam pengertian ini kita dapat mengatakan bahwa suatu tindakan sebagai fungsional adalah aturan yang memungkinkan fungsi tertentu q (t) (\gaya tampilan q(t)) menghitung angka yang sangat spesifik - disebut juga tindakan). Tindakannya terlihat seperti:

  S [ q ] = ∫ L (q (t) , q ˙ (t) , t) d t , (\displaystyle S[q]=\int (\mathcal (L))(q(t),(\dot ( q))(t),t)dt,)

  Di mana L (q (t) , q ˙ (t) , t) (\displaystyle (\mathcal (L))(q(t),(\dot (q))(t),t)) adalah Lagrangian sistem, bergantung pada koordinat umum q (\gaya tampilan q), turunan pertamanya q ˙ (\displaystyle (\titik (q))), dan juga, mungkin, secara eksplisit dari waktu ke waktu t (\gaya tampilan t). Jika sistem mempunyai derajat kebebasan yang lebih besar n (\gaya tampilan n), maka Lagrangian bergantung pada sejumlah besar koordinat umum q i (t) , i = 1 , 2 , … , n (\displaystyle q_(i)(t),\ i=1,2,\dots ,n) dan turunannya yang pertama kali. Jadi, aksi merupakan fungsi skalar yang bergantung pada lintasan benda.

  Fakta bahwa aksi adalah skalar membuatnya mudah untuk menuliskannya dalam koordinat umum apa pun, yang utama adalah bahwa posisi (konfigurasi) sistem secara jelas dicirikan olehnya (misalnya, alih-alih koordinat Cartesian, ini bisa berupa kutub koordinat, jarak antar titik sistem, sudut atau fungsinya, dll. .d.).

  Tindakan tersebut dapat dihitung untuk lintasan yang sepenuhnya sewenang-wenang q (t) (\gaya tampilan q(t)), tidak peduli seberapa “liar” dan “tidak wajar” hal tersebut. Namun, dalam mekanika klasik, di antara seluruh rangkaian kemungkinan lintasan, hanya ada satu lintasan yang benar-benar akan dilalui oleh benda tersebut. Prinsip aksi stasioner justru memberikan jawaban atas pertanyaan bagaimana sebenarnya benda akan bergerak:

  Artinya jika Lagrangian sistem diberikan, maka dengan menggunakan kalkulus variasi kita dapat menentukan dengan tepat bagaimana benda akan bergerak, pertama-tama memperoleh persamaan gerak - persamaan Euler-Lagrange, dan kemudian menyelesaikannya. Hal ini memungkinkan tidak hanya untuk secara serius menggeneralisasi rumusan mekanika, tetapi juga untuk memilih koordinat yang paling sesuai untuk setiap masalah tertentu, tidak terbatas pada masalah Cartesian, yang bisa sangat berguna untuk mendapatkan persamaan yang paling sederhana dan mudah diselesaikan.

  S [ p , q ] = ∫ (∑ i p i d q i − H (q , p , t) d t) = ∫ (∑ i p i q ˙ i − H (q , p , t)) d t , (\displaystyle S=\int (\ besar ()\jumlah _(i)p_(i)dq_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)dt(\besar))=\int (\besar ()\jumlah _( i)p_(i)(\dot (q))_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)(\besar))dt,)

  Di mana H (q , p , t) ≡ H (q 1 , q 2 , … , q N , p 1 , p 2 , … , p N , t) (\displaystyle (\mathcal (H))(q,p, t)\equiv (\mathcal (H))(q_(1),q_(2),\titik ,q_(N),p_(1),p_(2),\titik ,p_(N),t) )- Fungsi Hamilton dari sistem ini; q ≡ q 1 , q 2 , … , q N (\displaystyle q\equiv q_(1),q_(2),\dots ,q_(N))- koordinat (umumnya), p ≡ p 1 , p 2 , … , p N (\displaystyle p\equiv p_(1),p_(2),\dots ,p_(N))- impuls (umum) yang terkonjugasi dengannya, yang bersama-sama mencirikan keadaan dinamis sistem pada setiap saat tertentu dan, masing-masing merupakan fungsi waktu, dengan demikian mencirikan evolusi (gerakan) sistem. Dalam hal ini, untuk memperoleh persamaan gerak sistem dalam bentuk persamaan kanonik Hamilton, perlu memvariasikan aksi yang ditulis sedemikian rupa secara independen untuk semua q saya (\gaya tampilan q_(i)) Dan pi (\gaya tampilan p_(i)).

  Perlu diperhatikan bahwa jika dari kondisi soal pada prinsipnya dapat ditemukan hukum gerak, maka dengan sendirinya hal ini Bukan berarti bahwa dimungkinkan untuk membangun suatu fungsi yang mengambil nilai stasioner selama gerak sebenarnya. Contohnya adalah pergerakan gabungan muatan listrik dan monopole – muatan magnet – dalam medan elektromagnetik. Persamaan geraknya tidak dapat diturunkan dari prinsip aksi stasioner. Demikian pula, beberapa sistem Hamilton mempunyai persamaan gerak yang tidak dapat diturunkan dari prinsip ini.

  Contoh

  Contoh-contoh sepele membantu mengevaluasi penggunaan prinsip operasi melalui persamaan Euler-Lagrange. Partikel bebas (massa M dan kecepatan ay) dalam ruang Euclidean bergerak lurus. Dengan menggunakan persamaan Euler-Lagrange, hal ini dapat ditunjukkan dalam koordinat kutub sebagai berikut. Dengan tidak adanya potensi, fungsi Lagrange sama dengan energi kinetik

  1 2 m v 2 = 1 2 m (x ˙ 2 + y ˙ 2) (\displaystyle (\frac (1)(2))mv^(2)=(\frac (1)(2))m\left( (\titik (x))^(2)+(\titik (y))^(2)\kanan)) ψ = ∫ [D x ] e (i S [ x ] / ℏ) . (\displaystyle \psi =\int e^(((iS[x])/(\hbar )))\,.)

  Di Sini ∫ [ D x ] (\displaystyle \int ) adalah notasi kondisional untuk integrasi fungsional berganda tak terhingga pada semua lintasan x(t), dan ℏ (\displaystyle \hbar )- Konstanta Planck. Kami menekankan bahwa, pada prinsipnya, aksi dalam eksponensial muncul (atau dapat muncul) dengan sendirinya ketika mempelajari operator evolusi dalam mekanika kuantum, tetapi untuk sistem yang memiliki analog klasik (non-kuantum) yang tepat, aksi tersebut sama persis dengan yang biasa. tindakan klasik.

  Analisis matematis ekspresi ini dalam batas klasik cukup besar S / ℏ (\displaystyle S/\hbar ), yaitu, dengan osilasi eksponensial imajiner yang sangat cepat - menunjukkan bahwa sebagian besar dari semua kemungkinan lintasan dalam integral ini saling menghilangkan dalam batas (secara formal di S / ℏ → ∞ (\displaystyle S/\hbar \rightarrow \infty )). Untuk hampir semua jalur, terdapat jalur yang pergeseran fasanya justru sebaliknya, dan kontribusinya akan berjumlah nol. Hanya lintasan yang aksinya mendekati nilai ekstrem (untuk sebagian besar sistem - hingga minimum) yang tidak dikurangi. Ini adalah fakta matematis murni dari