Apa faktorisasi? Ini adalah cara mengubah contoh yang canggung dan rumit menjadi contoh yang sederhana dan lucu.) Trik yang sangat ampuh! Itu terjadi di setiap langkah baik dalam matematika dasar maupun dalam matematika yang lebih tinggi.

Transformasi semacam itu dalam bahasa matematika disebut transformasi ekspresi yang identik. Siapa yang tidak dalam subjek - berjalan-jalan di tautan. Ada sangat sedikit, sederhana dan berguna.) Arti dari setiap transformasi identik adalah menulis ekspresi dalam bentuk yang berbeda sambil mempertahankan esensinya.

Arti faktorisasi sangat sederhana dan dapat dimengerti. Langsung dari judulnya sendiri. Anda bisa lupa (atau tidak tahu) apa itu pengganda, tetapi dapatkah Anda mengetahui bahwa kata ini berasal dari kata "multiply"?) Anjak artinya: mewakili ekspresi sebagai perkalian sesuatu dengan sesuatu. Maafkan saya matematika dan bahasa Rusia ...) Dan hanya itu.

Misalnya, Anda perlu menguraikan angka 12. Anda dapat menulis dengan aman:

Jadi kami menyajikan angka 12 sebagai perkalian 3 dengan 4. Perlu diketahui bahwa angka di kanan (3 dan 4) sama sekali berbeda dengan di kiri (1 dan 2). Tapi kami sangat menyadari bahwa 12 dan 3 4 sama. Inti dari angka 12 dari transformasi belum berubah.

Apakah mungkin untuk menguraikan 12 dengan cara lain? Mudah!

12=3 4=2 6=3 2 2=0,5 24=........

Opsi dekomposisi tidak terbatas.

Mengurai angka menjadi faktor adalah hal yang berguna. Ini sangat membantu, misalnya saat berurusan dengan root. Tapi faktorisasi ekspresi aljabar bukanlah sesuatu yang berguna, itu adalah - diperlukan! Misalnya saja:

Menyederhanakan:

Mereka yang tidak tahu bagaimana memfaktorkan ekspresi, beristirahat di sela-sela. Siapa yang tahu caranya - menyederhanakan dan mendapatkan:

Efeknya luar biasa, bukan?) Omong-omong, solusinya cukup sederhana. Anda akan melihat sendiri di bawah ini. Atau, misalnya, tugas seperti itu:

Selesaikan persamaan:

x 5 - x 4 = 0

Memutuskan dalam pikiran, omong-omong. Dengan bantuan faktorisasi. Di bawah ini kami akan menyelesaikan contoh ini. Menjawab: x 1 = 0; x2 = 1.

Atau, hal yang sama, tetapi untuk yang lebih tua):

Selesaikan persamaan:

Dalam contoh-contoh ini, saya telah menunjukkan tujuan utama faktorisasi: penyederhanaan ekspresi pecahan dan solusi dari beberapa jenis persamaan. Saya sarankan untuk mengingat aturan praktis:

Jika kita memiliki ekspresi pecahan yang mengerikan di depan kita, kita dapat mencoba memfaktorkan pembilang dan penyebutnya. Sangat sering, fraksi dikurangi dan disederhanakan.

Jika kita memiliki persamaan di depan kita, di mana di kanan adalah nol, dan di kiri - tidak mengerti apa, Anda dapat mencoba memfaktorkan sisi kiri. Terkadang itu membantu.)

Metode dasar faktorisasi.

Berikut adalah cara yang paling populer:

4. Penguraian trinomial persegi.

Metode-metode ini harus diingat. Itu dalam urutan itu. Contoh kompleks diperiksa untuk semua kemungkinan metode dekomposisi. Dan lebih baik dicek secara berurutan, agar tidak bingung ... Mari kita mulai secara berurutan.)

1. Keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

Cara sederhana dan dapat diandalkan. Itu tidak buruk darinya! Itu terjadi dengan baik atau tidak sama sekali.) Oleh karena itu, dia yang pertama. Kami mengerti.

Semua orang tahu (saya yakin!) aturannya:

a(b+c) = ab+ac

Atau, lebih umum:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+iklan+....

Semua persamaan berfungsi baik dari kiri ke kanan, dan sebaliknya, dari kanan ke kiri. Kamu bisa menulis:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+iklan+.... = a(b+c+d+.....)

Itulah inti dari mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

Di sisi kiri sebuah - faktor umum untuk semua istilah. Dikalikan dengan semuanya.) Kanan adalah yang paling sebuah sudah di luar tanda kurung.

Kami akan mempertimbangkan penerapan praktis dari metode ini dengan contoh-contoh. Pada awalnya variannya sederhana, bahkan primitif.) Tetapi dalam varian ini saya akan menandai (berwarna hijau) poin yang sangat penting untuk setiap faktorisasi.

Berkembang biak:

ah+9x

Yang umum adalah pengganda dalam kedua istilah? X, tentu saja! Kami akan mengeluarkannya dari tanda kurung. Kami melakukannya. Kami segera menulis x di luar tanda kurung:

kapak+9x=x(

Dan di dalam kurung kita tulis hasil pembagiannya setiap istilah pada x ini. Dalam urutan:

Itu saja. Tentu saja, tidak perlu melukis sedetail itu, Ini dilakukan dalam pikiran. Tetapi untuk memahami apa itu, itu diinginkan). Kami memperbaiki dalam memori:

Kami menulis faktor persekutuan di luar tanda kurung. Dalam tanda kurung, kami menulis hasil pembagian semua suku dengan faktor yang sangat umum ini. Dalam urutan.

Di sini kami telah memperluas ekspresi ah+9x untuk pengganda. Mengubahnya menjadi mengalikan x dengan (a + 9). Saya perhatikan bahwa dalam ekspresi aslinya juga ada perkalian, bahkan dua: x dan 9x. Tetapi belum difaktorkan! Karena selain perkalian, ungkapan ini juga mengandung penjumlahan, tanda "+"! Dan dalam ekspresi x(a+9) tidak lain adalah perkalian!

Bagaimana!? - Saya mendengar suara marah orang-orang - Dan dalam tanda kurung!?)

Ya, ada tambahan di dalam tanda kurung. Tapi triknya adalah saat tanda kurung tidak dibuka, kami mempertimbangkannya seperti satu huruf. Dan kami melakukan semua tindakan dengan tanda kurung secara keseluruhan, seperti satu huruf. Dalam pengertian ini, dalam ekspresi x(a+9) tidak lain adalah perkalian. Inilah inti dari faktorisasi.

Omong-omong, apakah ada cara untuk memeriksa apakah kita melakukan semuanya dengan benar? Mudah! Cukup mengalikan kembali apa yang dikeluarkan (x) dengan tanda kurung dan lihat apakah berhasil asli ekspresi? Jika berhasil, semuanya tip-top!)

x(a+9)=ax+9x

Telah terjadi.)

Tidak ada masalah dalam contoh primitif ini. Tapi kalau ada beberapa istilah, bahkan dengan tanda yang berbeda ... Singkatnya, setiap siswa ketiga mengacau). Karena itu:

Jika perlu, periksa faktorisasi dengan perkalian terbalik.

Berkembang biak:

3ax+9x

Kami mencari faktor umum. Nah, semuanya jelas dengan X, itu bisa bertahan. Apakah ada lagi umum faktor? Ya! Ini adalah trio. Anda juga dapat menulis ekspresi seperti ini:

3x+3 3x

Di sini segera jelas bahwa faktor persekutuannya adalah 3x. Di sini kami mengeluarkannya:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Menyebar.

Dan apa yang terjadi jika Anda mengambil hanya x? Tidak ada yang spesial:

3ax+9x=x(3a+9)

Ini juga akan menjadi faktorisasi. Namun dalam proses yang menakjubkan ini, merupakan kebiasaan untuk meletakkan semuanya sampai berhenti, selagi ada kesempatan. Di sini, di dalam tanda kurung, ada peluang untuk mengambil tiga kali lipat. Mendapatkan:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Hal yang sama, hanya dengan satu tindakan ekstra.) Ingat:

Saat mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung, kami mencoba mengeluarkannya maksimum pengganda umum.

Ayo lanjutkan kesenangannya?

Memfaktorkan ekspresi:

3ax+9x-8a-24

Apa yang akan kita keluarkan? Tiga, X? Tidak-ee... Anda tidak bisa. Saya mengingatkan Anda bahwa Anda hanya dapat mengambil umum pengganda yaitu dalam semua istilah ekspresi. Itu sebabnya dia umum. Tidak ada pengganda seperti itu di sini ... Apa, Anda tidak bisa mengaturnya!? Ya, kami senang, bagaimana ... Bertemu:

2. Pengelompokan.

Sebenarnya, pengelompokan hampir tidak bisa disebut sebagai cara faktorisasi yang independen. Ini lebih merupakan cara untuk keluar dari contoh yang rumit.) Anda perlu mengelompokkan istilah-istilah tersebut agar semuanya berhasil. Ini hanya dapat ditunjukkan dengan contoh. Jadi kami memiliki ekspresi:

3ax+9x-8a-24

Dapat dilihat bahwa ada beberapa huruf dan angka yang umum. Tetapi... Umum tidak ada pengganda dalam semua persyaratan. Jangan berkecil hati dan kami memecah ekspresi menjadi beberapa bagian. Kami berkelompok. Sehingga di setiap bagian ada faktor yang sama, ada yang harus diambil. Bagaimana kita istirahat? Ya, hanya tanda kurung.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa tanda kurung dapat ditempatkan di mana saja dan dengan cara apa saja. Kalau saja esensi dari contoh tidak berubah. Misalnya, Anda dapat melakukan ini:

3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)

Harap perhatikan tanda kurung kedua! Mereka didahului dengan tanda minus, dan 8a dan 24 menjadi positif! Kalau untuk verifikasi kita buka kembali tanda kurungnya, tandanya akan berubah, dan kita dapatkan asli ekspresi. Itu. esensi ekspresi dari tanda kurung tidak berubah.

Tetapi jika Anda hanya memasukkan tanda kurung, tidak memperhitungkan perubahan tanda, misalnya seperti ini:

3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) -(8a-24 )

itu akan menjadi kesalahan. Benar - sudah lainnya ekspresi. Perluas tanda kurung dan semuanya akan menjadi jelas. Anda tidak dapat memutuskan lebih jauh, ya ...)

Tapi kembali ke faktorisasi. Lihatlah tanda kurung pertama (3ax + 9x) dan pikirkan, apakah mungkin menanggung sesuatu? Nah, kami memecahkan contoh ini di atas, kami dapat menghapusnya 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Kami mempelajari tanda kurung kedua, di sana Anda dapat mengambil delapan:

(8a+24)=8(a+3)

Seluruh ekspresi kita akan menjadi:

(3ax + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)

Dikalikan? Tidak. Dekomposisi harus menghasilkan perkalian saja, dan kami memiliki tanda minus merusak segalanya. Tapi... Kedua istilah tersebut memiliki faktor yang sama! dia (a+3). Tidak sia-sia saya mengatakan bahwa tanda kurung secara keseluruhan, seolah-olah, satu huruf. Jadi tanda kurung ini bisa dikeluarkan dari tanda kurung. Ya, persis seperti itulah kedengarannya.)

Kami melakukan seperti yang dijelaskan di atas. Tuliskan faktor persekutuannya (a+3), di dalam kurung kedua kita tuliskan hasil pembagian suku-suku dengan (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Semuanya! Di sebelah kanan, tidak ada yang lain selain perkalian! Jadi faktorisasi berhasil diselesaikan!) Ini dia:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Mari kita rekap esensi grup.

Jika ekspresi tidak umum pengganda untuk semua istilah, kami membagi ekspresi dengan tanda kurung sehingga di dalam tanda kurung adalah faktor persekutuan dulu. Mari kita keluarkan dan lihat apa yang terjadi. Jika kami beruntung, dan ekspresi yang persis sama tetap ada di dalam tanda kurung, kami mengeluarkan tanda kurung ini dari tanda kurung.

Saya akan menambahkan bahwa pengelompokan adalah proses kreatif). Itu tidak selalu berhasil pertama kali. Tidak apa-apa. Terkadang Anda harus menukar istilah, pertimbangkan opsi pengelompokan yang berbeda hingga Anda menemukan yang bagus. Hal utama di sini adalah jangan berkecil hati!)

Contoh.

Nah, setelah diperkaya dengan ilmu, kamu juga bisa memecahkan contoh-contoh rumit.) Di awal pelajaran, ada tiga di antaranya ...

Menyederhanakan:

Faktanya, kami telah memecahkan contoh ini. Tanpa terasa pada diri saya sendiri.) Saya mengingatkan Anda: jika kita diberi pecahan yang mengerikan, kita mencoba menguraikan pembilang dan penyebutnya menjadi faktor. Opsi penyederhanaan lainnya tidak.

Nah, penyebutnya tidak diurai di sini, tapi pembilangnya... Kami telah menguraikan pembilangnya selama pelajaran! Seperti ini:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Kami menulis hasil ekspansi ke pembilang pecahan:

Menurut aturan pengurangan pecahan (properti utama pecahan), kita dapat membagi (secara bersamaan!) Pembilang dan penyebut dengan angka, atau ekspresi yang sama. Pecahan dari ini tidak berubah. Jadi kami membagi pembilang dan penyebut dengan ekspresi (3x-8). Dan di sana-sini kami mendapatkan unit. Hasil penyederhanaan akhir:

Saya menekankan secara khusus: pengurangan pecahan dimungkinkan jika dan hanya jika dalam pembilang dan penyebut, selain ekspresi perkalian tidak ada apa-apa. Itulah sebabnya transformasi jumlah (selisih) menjadi perkalian sangat penting untuk disederhanakan. Tentu saja, jika ekspresi berbagai, maka tidak ada yang berkurang. Byvet. Tapi faktorisasi memberi kesempatan. Kesempatan ini tanpa dekomposisi - sama sekali tidak ada.

Contoh persamaan:

Selesaikan persamaan:

x 5 - x 4 = 0

Mengeluarkan faktor persekutuan x 4 untuk tanda kurung. Kita mendapatkan:

x 4 (x-1) = 0

Kami berasumsi bahwa produk faktor sama dengan nol kemudian dan hanya kemudian ketika salah satu dari mereka sama dengan nol. Jika ragu, temukan saya beberapa angka bukan nol yang, jika dikalikan, akan menghasilkan nol.) Jadi kita tulis, pertama faktor pertama:

Dengan persamaan ini, faktor kedua tidak mengganggu kita. Siapa pun bisa, bagaimanapun, pada akhirnya, nol akan berubah. Berapakah bilangan pangkat empat dari nol? Hanya nol! Dan tidak ada yang lain ... Oleh karena itu:

Kami menemukan faktor pertama, kami menemukan satu akar. Mari kita berurusan dengan faktor kedua. Sekarang kami tidak peduli dengan pengganda pertama.):

Di sini kami menemukan solusinya: x 1 = 0; x2 = 1. Semua akar ini cocok dengan persamaan kita.

Sebuah catatan yang sangat penting. Perhatikan bahwa kita telah memecahkan persamaan sedikit demi sedikit! Setiap faktor ditetapkan nol. terlepas dari faktor lainnya. Omong-omong, jika dalam persamaan seperti itu tidak ada dua faktor, seperti yang kita miliki, tetapi tiga, lima, sebanyak yang Anda suka, kami akan memutuskan serupa. Sepotong demi sepotong. Sebagai contoh:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Orang yang membuka tanda kurung, mengalikan semuanya, akan selamanya bergantung pada persamaan ini.) Siswa yang benar akan segera melihat bahwa tidak ada apa pun di kiri kecuali perkalian, di kanan - nol. Dan dia akan mulai (dalam pikirannya!) Untuk menyamakan dengan nol semua tanda kurung secara berurutan. Dan dia akan mendapatkan (dalam 10 detik!) solusi yang tepat: x 1 = 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x4 = -2.

Hebat, bukan?) Solusi elegan seperti itu dimungkinkan jika sisi kiri persamaan dibagi menjadi kelipatan. Apakah petunjuknya jelas?)

Nah, contoh terakhir, untuk yang lebih tua):

Selesaikan persamaan:

Ini agak mirip dengan yang sebelumnya, bukan begitu?) Tentu saja. Saatnya untuk mengingat bahwa di kelas tujuh aljabar, sinus, logaritma, dan lainnya dapat disembunyikan di bawah huruf! Anjak bekerja di semua matematika.

Mengeluarkan faktor persekutuan lg4x untuk tanda kurung. Kita mendapatkan:

lg 4x=0

Ini adalah satu akar. Mari kita berurusan dengan faktor kedua.

Inilah jawaban akhirnya: x 1 = 1; x2 = 10.

Saya harap Anda menyadari kekuatan pemfaktoran dalam menyederhanakan pecahan dan menyelesaikan persamaan.)

Dalam pelajaran ini, kami berkenalan dengan penghapusan faktor umum dan pengelompokan. Tetap berurusan dengan rumus perkalian singkat dan trinomial kuadrat.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunan.

Memfaktorkan polinomial. Bagian 1

Faktorisasi adalah teknik universal yang membantu memecahkan persamaan dan ketidaksetaraan yang kompleks. Hal pertama yang harus dipikirkan saat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan yang ruas kanannya nol adalah mencoba memfaktorkan ruas kiri.

Kami daftar yang utama cara memfaktorkan polinomial:

• mengeluarkan faktor persekutuan dari kurung
• penggunaan rumus perkalian singkat
• dengan rumus memfaktorkan trinomial kuadrat
• metode pengelompokan
• membagi polinomial dengan binomial
• metode koefisien tak tentu

Pada artikel ini kita akan membahas tiga metode pertama secara detail, sisanya akan dibahas pada artikel berikut.

1. Mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

Untuk mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung, Anda harus menemukannya terlebih dahulu. Koefisien pengali umum sama dengan pembagi persekutuan terbesar dari semua koefisien.

Bagian surat faktor persekutuan sama dengan hasil kali dari ekspresi yang menyusun setiap suku dengan eksponen terkecil.

Skema untuk menghilangkan faktor umum terlihat seperti ini:

Perhatian!
Jumlah istilah dalam tanda kurung sama dengan jumlah istilah dalam ekspresi aslinya. Jika salah satu suku bertepatan dengan faktor persekutuan, maka ketika dibagi dengan faktor persekutuan, kita mendapatkan satu.

Contoh 1

Faktorkan polinomial:

Mari kita keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita menemukannya.

1. Temukan pembagi persekutuan terbesar dari semua koefisien polinomial, mis. angka 20, 35 dan 15. Sama dengan 5.

2. Kami menetapkan bahwa variabel terkandung dalam semua suku, dan pangkat terkecilnya adalah 2. Variabel terkandung dalam semua suku, dan pangkat terkecilnya adalah 3.

Variabel hanya terdapat pada suku kedua, jadi bukan bagian dari faktor persekutuan.

Jadi faktor persekutuannya adalah

3. Kami mengambil faktor menggunakan skema di atas:

Contoh 2 Selesaikan persamaan:

Larutan. Mari faktorkan sisi kiri persamaan. Mari kita keluarkan faktor dari tanda kurung:

Jadi kami mendapat persamaan

Tetapkan setiap faktor sama dengan nol:

Kami mendapatkan - akar dari persamaan pertama.

Akar:

Jawaban: -1, 2, 4

2. Faktorisasi menggunakan rumus perkalian yang disingkat.

Jika jumlah suku dalam polinomial yang akan kita faktorkan kurang dari atau sama dengan tiga, maka kita coba gunakan rumus perkalian yang dikurangi.

1. Jika polinomialnya adalahperbedaan dua istilah, lalu kami mencoba melamar rumus selisih kuadrat:

atau rumus selisih pangkat tiga:

Ini surat-suratnya dan menunjukkan angka atau ekspresi aljabar.

2. Jika polinomial adalah jumlah dari dua suku, maka mungkin dapat difaktorkan menggunakan rumus jumlah kubus:

3. Jika polinomial terdiri dari tiga suku, maka kita coba terapkan rumus penjumlahan kuadrat:

atau rumus kuadrat selisih:

Atau kami mencoba memfaktorkan dengan rumus untuk memfaktorkan trinomial persegi:

Di sini dan adalah akar dari persamaan kuadrat

Contoh 3Memfaktorkan ekspresi:

Larutan. Kami memiliki jumlah dari dua istilah. Mari kita coba menerapkan rumus jumlah kubus. Untuk melakukan ini, pertama-tama Anda harus menyatakan setiap suku sebagai kubus dari beberapa ekspresi, lalu menerapkan rumus untuk jumlah kubus:

Contoh 4 Memfaktorkan ekspresi:

Larutan. Sebelum kita adalah selisih kuadrat dari dua ekspresi. Ekspresi pertama: , ekspresi kedua:

Mari terapkan rumus selisih kuadrat:

Mari kita buka tanda kurung dan berikan istilah yang serupa, kita dapatkan:

Kita sudah tahu bagaimana menggunakan sebagian faktorisasi perbedaan derajat - ketika mempelajari topik "Perbedaan Kuadrat" dan "Perbedaan Kubus", kita belajar untuk merepresentasikan sebagai produk perbedaan ekspresi yang dapat direpresentasikan sebagai kuadrat atau sebagai kubus dari beberapa ekspresi atau angka.

Rumus perkalian yang disingkat

Menurut rumus perkalian singkat:

perbedaan kuadrat dapat direpresentasikan sebagai produk dari perbedaan dua angka atau ekspresi dengan jumlah mereka

Selisih kubus dapat direpresentasikan sebagai hasil kali selisih dua bilangan dengan kuadrat tak lengkap dari jumlah tersebut

Transisi ke perbedaan ekspresi dalam 4 kekuatan

Berdasarkan rumus selisih kuadrat, mari kita coba memfaktorkan ekspresi $a^4-b^4$

Ingat bagaimana pangkat dinaikkan menjadi pangkat - untuk ini, basisnya tetap sama, dan pangkatnya dikalikan, yaitu $((a^n))^m=a^(n*m)$

Kemudian Anda bisa membayangkan:

$a^4=(((a)^2))^2$

$b^4=(((b)^2))^2$

Jadi ekspresi kita dapat direpresentasikan sebagai $a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2$

Sekarang di braket pertama kita kembali mendapatkan selisih angka, yang berarti kita dapat memfaktorkan lagi sebagai hasil kali selisih dua angka atau ekspresi dengan jumlah mereka: $a^2-b^2=\left(a-b\right) (a+b)$.

Sekarang kita menghitung produk dari tanda kurung kedua dan ketiga menggunakan aturan perkalian polinomial - kita mengalikan setiap suku dari polinomial pertama dengan setiap suku dari polinomial kedua dan menjumlahkan hasilnya. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita mengalikan suku pertama dari polinomial pertama - $a$ - dengan suku pertama dan kedua dari suku kedua (dengan $a^2$ dan $b^2$), yaitu. kita mendapatkan $a\cdot a^2+a\cdot b^2$, lalu kita mengalikan suku kedua polinomial pertama -$b$- dengan suku pertama dan kedua polinomial kedua (dengan $a^2$ dan $b^2$), itu. dapatkan $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$ dan jumlahkan ekspresi yang dihasilkan

$\kiri(a+b\kanan)\kiri(a^2+b^2\kanan)=a\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^ 2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$

Kami menulis perbedaan monomial tingkat ke-4, dengan mempertimbangkan produk yang dihitung:

$a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2=((a)^2-b^2)(a^2 +b^2)$=$\ \kiri(a-b\kanan)(a+b)(a^2+b^2)\ $=

Transisi ke perbedaan ekspresi di kekuatan ke-6

Berdasarkan rumus selisih kuadrat, mari kita coba memfaktorkan ekspresi $a^6-b^6$

Ingat bagaimana pangkat dinaikkan menjadi pangkat - untuk ini, basisnya tetap sama, dan pangkatnya dikalikan, yaitu $((a^n))^m=a^(n\cdot m)$

Kemudian Anda bisa membayangkan:

$a^6=(((a)^3))^2$

$b^6=(((b)^3))^2$

Jadi ekspresi kita dapat direpresentasikan sebagai $a^6-b^6=(((a)^3))^2-(((b)^3))^2$

Pada tanda kurung pertama kita mendapatkan selisih pangkat tiga monomial, di kurung kedua jumlah kubus monomial, sekarang kita dapat memfaktorkan lagi selisih pangkat tiga monomial sebagai hasil kali selisih dua bilangan dengan kuadrat tak lengkap dari jumlah tersebut $a^3-b^3=\kiri(a-b\kanan)( a^2+ab+b^2)$

Ekspresi aslinya mengambil bentuk

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\kiri(a^3+b^3\kanan)=\kiri(a-b\kanan)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)$

Kami menghitung hasil kali kurung kedua dan ketiga menggunakan aturan perkalian polinomial - kami mengalikan setiap suku dari polinomial pertama dengan setiap suku dari polinomial kedua dan menjumlahkan hasilnya.

$(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5$

Kami menulis perbedaan monomial tingkat 6, dengan mempertimbangkan produk yang dihitung:

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\kiri(a^3+b^3\kanan)=\kiri(a-b\kanan)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$

Memfaktorkan perbedaan kekuatan

Mari kita analisis rumus selisih kubus, selisih $4$ derajat, selisih $6$ derajat

Kami melihat bahwa di setiap perluasan ini ada beberapa analogi, yang kami dapatkan secara umum:

Contoh 1

Faktorkan $(32x)^(10)-(243y)^(15)$

Larutan: Pertama, kami menyatakan setiap monomial sebagai beberapa monomial pangkat 5:

\[(32x)^(10)=((2x^2))^5\]\[(243y)^(15)=((3y^3))^5\]

Kami menggunakan rumus perbedaan daya

Gambar 1.

Sangat sering, pembilang dan penyebut pecahan adalah ekspresi aljabar yang pertama-tama harus diuraikan menjadi faktor-faktor, dan kemudian, setelah menemukan yang sama di antara mereka, bagilah pembilang dan penyebutnya menjadi dua, yaitu, kurangi pecahannya. Seluruh bab buku teks tentang aljabar di kelas 7 dikhususkan untuk tugas memfaktorkan polinomial. Anjak piutang bisa dilakukan 3 cara, serta kombinasi dari metode ini.

1. Penerapan rumus perkalian singkat

Seperti diketahui mengalikan polinomial dengan polinomial, Anda perlu mengalikan setiap suku dari satu polinomial dengan setiap suku dari polinomial lainnya dan menjumlahkan hasilnya. Setidaknya ada 7 (tujuh) kasus umum perkalian polinomial yang termasuk dalam konsep tersebut. Sebagai contoh,

Tabel 1. Faktorisasi cara 1

2. Mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung

Metode ini didasarkan pada penerapan hukum distributif perkalian. Sebagai contoh,

Kami membagi setiap suku dari ekspresi asli dengan faktor yang kami keluarkan, dan pada saat yang sama kami mendapatkan ekspresi dalam tanda kurung (yaitu, hasil membagi apa yang kami ambil tetap dalam tanda kurung). Pertama-tama, Anda perlu menentukan perkalian dengan benar, yang harus diberi tanda kurung.

Polinomial dalam tanda kurung juga bisa menjadi faktor umum:

Saat melakukan tugas "memfaktorkan", seseorang harus sangat berhati-hati dengan tanda saat mengeluarkan faktor umum dari tanda kurung. Untuk mengubah tanda setiap istilah dalam tanda kurung (b-a), kita keluarkan faktor persekutuannya -1 , sedangkan setiap suku dalam kurung dibagi dengan -1: (b - a) = - (a - b) .

Jika ekspresi dalam tanda kurung dikuadratkan (atau pangkat genap), maka angka di dalam kurung bisa ditukar sepenuhnya gratis, karena minus yang dikeluarkan dari tanda kurung masih akan berubah menjadi plus saat dikalikan: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 dan seterusnya…

3. Metode pengelompokan

Terkadang tidak semua suku dalam ekspresi memiliki faktor yang sama, tetapi hanya beberapa. Maka Anda bisa mencoba istilah kelompok dalam tanda kurung sehingga beberapa faktor dapat dikeluarkan dari masing-masing. Metode pengelompokan adalah kurung ganda faktor umum.

4. Menggunakan beberapa metode sekaligus

Terkadang Anda perlu menerapkan bukan hanya satu, tetapi beberapa cara untuk memfaktorkan polinomial menjadi faktor sekaligus.

Ini adalah sinopsis tentang topik tersebut. "Faktorisasi". Pilih langkah selanjutnya:

• Pergi ke abstrak berikutnya:

Untuk memfaktorkan, perlu untuk menyederhanakan ekspresi. Hal ini diperlukan untuk dapat mengurangi lebih lanjut. Dekomposisi polinomial masuk akal jika derajatnya tidak lebih rendah dari yang kedua. Polinomial dengan derajat pertama disebut linier.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Artikel ini akan mengungkapkan semua konsep dekomposisi, landasan teoretis, dan metode memfaktorkan polinomial.

Teori

Teorema 1

Bila sembarang polinomial berderajat n berbentuk P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , direpresentasikan sebagai perkalian dengan faktor konstan dengan derajat tertinggi a n dan n faktor linier (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , lalu P n (x) = an (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , dimana x i , i = 1 , 2 , … , n - ini adalah akar dari polinomial.

Teorema ini dimaksudkan untuk akar-akar kompleks tipe x i , i = 1 , 2 , … , n dan untuk koefisien kompleks a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Ini adalah dasar dari setiap dekomposisi.

Jika koefisien berbentuk a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n adalah bilangan real, maka akar kompleks akan terjadi pada pasangan konjugasi. Misalnya, akar x 1 dan x 2 terkait dengan polinomial berbentuk P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 dianggap konjugat kompleks, maka akar lainnya adalah real, maka kita mendapatkan polinomial berbentuk P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, di mana x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Komentar

Akar polinomial dapat diulang. Pertimbangkan bukti teorema aljabar, konsekuensi dari teorema Bezout.

Teorema dasar aljabar

Teorema 2

Setiap polinomial dengan derajat n memiliki setidaknya satu akar.

Teorema Bezout

Setelah membagi polinomial berbentuk P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 pada (x - s) , maka kita dapatkan sisa yang sama dengan polinomial pada titik s , maka kita dapatkan

P n x = an x ​​n + an - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , dimana Q n - 1 (x) adalah polinomial dengan derajat n - 1 .

Konsekuensi dari teorema Bezout

Ketika akar polinomial P n (x) dianggap sebagai s , maka P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Akibat wajar ini cukup bila digunakan untuk menggambarkan solusi.

Faktorisasi trinomial persegi

Trinomial persegi dengan bentuk ax 2 + bx + c dapat difaktorkan menjadi faktor linier. maka kita mendapatkan bahwa a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , dimana x 1 dan x 2 adalah akar (kompleks atau real).

Ini menunjukkan bahwa dekomposisi itu sendiri direduksi menjadi penyelesaian persamaan kuadrat nanti.

Contoh 1

Faktorkan trinomial persegi.

Larutan

Akar persamaan 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 harus dicari. Untuk melakukan ini, Anda perlu mencari nilai diskriminan sesuai dengan rumus, lalu kita dapatkan D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Oleh karena itu kita memiliki itu

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Dari sini kita dapatkan bahwa 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Untuk melakukan pemeriksaan, Anda perlu membuka tanda kurung. Kemudian kita mendapatkan ekspresi dari bentuk:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Setelah verifikasi, kami sampai pada ekspresi aslinya. Artinya, kita dapat menyimpulkan bahwa ekspansi itu benar.

Contoh 2

Faktorkan trinomial kuadrat dari bentuk 3 x 2 - 7 x - 11 .

Larutan

Kami mendapatkan bahwa perlu untuk menghitung persamaan kuadrat yang dihasilkan dari bentuk 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Untuk mencari akarnya, Anda perlu menentukan nilai diskriminan. Kami mengerti itu

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816

Dari sini kita dapatkan bahwa 3 x 2-7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

Contoh 3

Faktorkan polinomial 2 x 2 + 1.

Larutan

Sekarang Anda perlu menyelesaikan persamaan kuadrat 2 x 2 + 1 = 0 dan mencari akarnya. Kami mengerti itu

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Akar ini disebut konjugat kompleks, yang berarti dekomposisi itu sendiri dapat direpresentasikan sebagai 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Contoh 4

Perluas trinomial kuadrat x 2 + 1 3 x + 1 .

Larutan

Pertama, Anda perlu menyelesaikan persamaan kuadrat berbentuk x 2 + 1 3 x + 1 = 0 dan mencari akarnya.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

Setelah mendapatkan akarnya, kami menulis

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Komentar

Jika nilai diskriminan negatif, maka polinomialnya akan tetap menjadi polinomial orde kedua. Oleh karena itu, kami tidak akan menguraikannya menjadi faktor linier.

Metode untuk memfaktorkan polinomial derajat lebih tinggi dari yang kedua

Dekomposisi mengasumsikan metode universal. Sebagian besar dari semua kasus didasarkan pada akibat wajar dari teorema Bezout. Untuk melakukan ini, Anda perlu memilih nilai akar x 1 dan menurunkan derajatnya dengan membaginya dengan polinomial dengan 1 dengan membaginya dengan (x - x 1) . Polinomial yang dihasilkan perlu menemukan akar x 2 , dan proses pencarian bersifat siklis hingga kita mendapatkan dekomposisi yang lengkap.

Jika root tidak ditemukan, maka metode faktorisasi lain digunakan: pengelompokan, istilah tambahan. Topik ini mengasumsikan solusi persamaan dengan pangkat lebih tinggi dan koefisien bilangan bulat.

Keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung

Pertimbangkan kasus ketika suku bebasnya sama dengan nol, maka bentuk polinomialnya menjadi P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + 1x.

Terlihat bahwa akar dari polinomial tersebut akan sama dengan x 1 \u003d 0, maka polinomial tersebut dapat direpresentasikan dalam bentuk ekspresi P n (x) \u003d a n x n + an - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (an x n - 1 + an - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Metode ini dianggap mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

Contoh 5

Faktorkan polinomial derajat ketiga 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Larutan

Kita melihat bahwa x 1 \u003d 0 adalah akar dari polinomial yang diberikan, maka kita dapat mengurung x dari seluruh ekspresi. Kita mendapatkan:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Mari kita lanjutkan dengan mencari akar dari trinomial kuadrat 4 x 2 + 8 x - 1. Mari kita cari diskriminan dan akarnya:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Kemudian itu mengikuti itu

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Untuk memulainya, pertimbangkan metode dekomposisi yang berisi koefisien bilangan bulat dalam bentuk P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , dengan koefisien pangkat tertinggi adalah 1 .

Ketika polinomial memiliki akar bilangan bulat, maka mereka dianggap sebagai pembagi suku bebas.

Contoh 6

Perluas ekspresi f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Larutan

Pertimbangkan apakah ada akar bilangan bulat. Penting untuk menuliskan pembagi angka - 18. Kami mendapatkan bahwa ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Oleh karena itu, polinomial ini memiliki akar bilangan bulat. Anda dapat memeriksa sesuai dengan skema Horner. Ini sangat nyaman dan memungkinkan Anda dengan cepat mendapatkan koefisien ekspansi polinomial:

Oleh karena itu x \u003d 2 dan x \u003d - 3 adalah akar dari polinomial asli, yang dapat direpresentasikan sebagai produk dari bentuk:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Kami beralih ke dekomposisi trinomial persegi dari bentuk x 2 + 2 x + 3 .

Karena diskriminan negatif, berarti tidak ada akar real.

Menjawab: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Komentar

Diperbolehkan menggunakan pemilihan akar dan pembagian polinomial dengan polinomial alih-alih skema Horner. Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan perluasan polinomial yang berisi koefisien bilangan bulat dalam bentuk P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , yang tertinggi tidak sama dengan satu.

Kasus ini berlaku untuk pecahan rasional pecahan.

Contoh 7

Faktorkan f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Larutan

Perlu untuk mengubah variabel y = 2 x , seseorang harus beralih ke polinomial dengan koefisien sama dengan 1 pada derajat tertinggi. Anda harus mulai dengan mengalikan ekspresi dengan 4 . Kami mengerti itu

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Ketika fungsi yang dihasilkan dari bentuk g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 memiliki akar bilangan bulat, maka temuannya adalah di antara pembagi suku bebas. Entri akan terlihat seperti:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

Mari kita lanjutkan ke perhitungan fungsi g (y) pada titik-titik ini untuk mendapatkan hasil nol. Kami mengerti itu

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Kita mendapatkan bahwa y \u003d - 5 adalah akar persamaan dari bentuk y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, yang artinya x \u003d y 2 \u003d - 5 2 adalah akar dari fungsi aslinya.

Contoh 8

Perlu membagi kolom 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 dengan x + 5 2.

Larutan

Kami menulis dan mendapatkan:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Memeriksa pembagi akan memakan banyak waktu, jadi akan lebih menguntungkan untuk memfaktorkan trinomial kuadrat yang dihasilkan dari bentuk x 2 + 7 x + 3. Dengan menyamakan dengan nol, kami menemukan diskriminan.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2x + 7 2 + 37 2

Oleh karena itu berikut ini

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Trik buatan saat memfaktorkan polinomial

Akar rasional tidak melekat pada semua polinomial. Untuk melakukan ini, Anda perlu menggunakan metode khusus untuk menemukan faktor. Tetapi tidak semua polinomial dapat didekomposisi atau direpresentasikan sebagai produk.

Metode pengelompokan

Ada kalanya Anda dapat mengelompokkan suku-suku polinomial untuk mencari faktor persekutuan dan mengeluarkannya dari tanda kurung.

Contoh 9

Faktorkan polinomial x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Larutan

Karena koefisiennya adalah bilangan bulat, maka akarnya mungkin juga bilangan bulat. Untuk memeriksanya, kami mengambil nilai 1 , - 1 , 2 dan - 2 untuk menghitung nilai polinomial pada titik-titik ini. Kami mengerti itu

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Ini menunjukkan bahwa tidak ada akar, perlu menggunakan metode dekomposisi dan solusi yang berbeda.

Pengelompokan diperlukan:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Setelah mengelompokkan polinomial asli, polinomial asli harus direpresentasikan sebagai produk dari dua trinomial persegi. Untuk melakukan ini, kita perlu memfaktorkan. kami mengerti itu

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Komentar

Kesederhanaan pengelompokan tidak berarti cukup mudah untuk memilih istilah. Tidak ada cara pasti untuk menyelesaikannya, oleh karena itu perlu menggunakan teorema dan aturan khusus.

Contoh 10

Faktorkan polinomial x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

Larutan

Polinomial yang diberikan tidak memiliki akar bilangan bulat. Istilah harus dikelompokkan. Kami mengerti itu

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Setelah memfaktorkan, kami mendapatkan itu

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Menggunakan perkalian singkat dan rumus binomial Newton untuk memfaktorkan polinomial

Penampilan seringkali tidak selalu memperjelas cara mana yang digunakan selama dekomposisi. Setelah transformasi dilakukan, Anda dapat membuat garis yang terdiri dari segitiga Pascal, jika tidak disebut binomial Newton.

Contoh 11

Faktorkan polinomial x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Larutan

Penting untuk mengonversi ekspresi ke formulir

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Urutan koefisien jumlah dalam tanda kurung ditunjukkan dengan ekspresi x + 1 4 .

Jadi kita memiliki x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1-3 = x + 1 4-3 .

Setelah menerapkan selisih kuadrat, kita dapatkan

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Perhatikan ekspresi yang ada di dalam kurung kedua. Jelas tidak ada kuda di sana, jadi rumus selisih kuadrat harus diterapkan lagi. Kami mendapatkan ekspresi seperti

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Contoh 12

Faktorkan x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Larutan

Mari kita ubah ekspresinya. Kami mengerti itu

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Penting untuk menerapkan rumus perkalian singkat selisih pangkat tiga. Kita mendapatkan:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Metode untuk mengganti variabel saat memfaktorkan polinomial

Saat mengubah variabel, derajatnya dikurangi dan polinomialnya difaktorkan.

Contoh 13

Faktorkan polinomial berbentuk x 6 + 5 x 3 + 6 .

Larutan

Dengan syarat tersebut, jelas bahwa perlu dilakukan penggantian y = x 3 . Kita mendapatkan:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Akar persamaan kuadrat yang dihasilkan adalah y = - 2 dan y = - 3, maka

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Penting untuk menerapkan rumus untuk perkalian singkat dari jumlah kubus. Kami mendapatkan ekspresi dalam bentuk:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Artinya, kami telah memperoleh ekspansi yang diinginkan.

Kasus-kasus yang dibahas di atas akan membantu dalam mempertimbangkan dan memfaktorkan polinomial dengan berbagai cara.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, sorot dan tekan Ctrl+Enter