Seperti yang Anda ketahui, saat mengalikan ekspresi dengan pangkat, eksponennya selalu dijumlahkan (a b * a c = a b + c). Hukum matematika ini diturunkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematika Virasen membuat tabel indikator bilangan bulat. Merekalah yang bertugas untuk penemuan logaritma lebih lanjut. Contoh penggunaan fungsi ini dapat ditemukan hampir di semua tempat di mana diperlukan untuk menyederhanakan perkalian rumit menjadi penjumlahan sederhana. Jika Anda menghabiskan 10 menit membaca artikel ini, kami akan menjelaskan kepada Anda apa itu logaritma dan bagaimana bekerja dengannya. Bahasa yang sederhana dan mudah diakses.

Definisi dalam matematika

Logaritma adalah ekspresi dari bentuk berikut: log a b=c, yaitu, logaritma dari angka non-negatif apa pun (yaitu, positif apa pun) "b" menurut basisnya "a" dianggap pangkat dari "c ", yang perlu dinaikkan basisnya "a", sehingga pada akhirnya mendapatkan nilai "b". Mari kita analisis logaritma menggunakan contoh, misalkan ada ekspresi log 2 8. Bagaimana cara mencari jawabannya? Ini sangat sederhana, Anda perlu menemukan gelar sedemikian rupa sehingga dari 2 hingga gelar yang dibutuhkan Anda mendapatkan 8. Setelah melakukan beberapa perhitungan dalam pikiran Anda, kami mendapatkan angka 3! Dan memang demikian, karena 2 pangkat 3 memberikan angka 8 pada jawabannya.

Varietas logaritma

Bagi banyak siswa dan siswa, topik ini tampak rumit dan tidak dapat dipahami, tetapi pada kenyataannya, logaritma tidak begitu menakutkan, yang utama adalah memahami makna umumnya dan mengingat sifat dan beberapa aturannya. Ada tiga jenis ekspresi logaritmik yang berbeda:

1. Logaritma natural ln a, dengan basis bilangan Euler (e = 2,7).
2. Desimal a, dengan basis 10.
3. Logaritma bilangan b apa pun ke basis a>1.

Masing-masing diselesaikan dengan cara standar, termasuk penyederhanaan, reduksi, dan reduksi selanjutnya menjadi satu logaritma menggunakan teorema logaritmik. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang benar, seseorang harus mengingat propertinya dan urutan tindakan dalam keputusannya.

Aturan dan beberapa batasan

Dalam matematika, ada beberapa aturan-batasan yang diterima sebagai aksioma, yaitu tidak perlu didiskusikan dan benar. Misalnya, tidak mungkin membagi angka dengan nol, dan juga tidak mungkin mengekstrak akar derajat genap dari angka negatif. Logaritma juga memiliki aturannya sendiri, berikut ini Anda dapat dengan mudah mempelajari cara bekerja bahkan dengan ekspresi logaritma yang panjang dan luas:

• basis "a" harus selalu lebih besar dari nol, dan pada saat yang sama tidak sama dengan 1, jika tidak ekspresi akan kehilangan artinya, karena "1" dan "0" selalu sama dengan nilainya;
• jika a > 0, maka a b > 0, ternyata “c” harus lebih besar dari nol.

Bagaimana cara memecahkan logaritma?

Misalnya, tugas diberikan untuk menemukan jawaban dari persamaan 10 x \u003d 100. Sangat mudah, Anda harus memilih kekuatan seperti itu, menaikkan angka sepuluh menjadi 100. Ini, tentu saja, adalah 10 2 \u003d 100.

Sekarang mari kita nyatakan ekspresi ini sebagai logaritma. Kami mendapatkan log 10 100 = 2. Saat memecahkan logaritma, semua tindakan secara praktis menyatu untuk menemukan sejauh mana basis logaritma harus dimasukkan untuk mendapatkan bilangan tertentu.

Untuk menentukan nilai gelar yang tidak diketahui secara akurat, Anda harus mempelajari cara bekerja dengan tabel derajat. Ini terlihat seperti ini:

Seperti yang Anda lihat, beberapa eksponen dapat ditebak secara intuitif jika Anda memiliki pola pikir teknis dan pengetahuan tentang tabel perkalian. Namun, nilai yang lebih besar akan membutuhkan meja daya. Ini dapat digunakan bahkan oleh mereka yang sama sekali tidak mengerti apa-apa dalam topik matematika yang kompleks. Kolom kiri berisi angka (basis a), baris atas angka adalah nilai pangkat c, di mana angka a dinaikkan. Di persimpangan dalam sel ditentukan nilai angka yang merupakan jawabannya (a c =b). Ambil, misalnya, sel pertama dengan angka 10 dan kuadratkan, kita mendapatkan nilai 100, yang ditunjukkan di persimpangan dua sel kita. Semuanya sangat sederhana dan mudah sehingga bahkan humanis yang paling nyata pun akan mengerti!

Persamaan dan ketidaksetaraan

Ternyata dalam kondisi tertentu, eksponennya adalah logaritma. Oleh karena itu, ekspresi numerik matematika apa pun dapat ditulis sebagai persamaan logaritma. Misalnya, 3 4 =81 dapat ditulis sebagai logaritma dari 81 ke basis 3, yaitu empat (log 3 81 = 4). Untuk pangkat negatif, aturannya sama: 2 -5 = 1/32 kita tulis sebagai logaritma, kita dapatkan log 2 (1/32) = -5. Salah satu bagian matematika yang paling menarik adalah topik "logaritma". Kami akan mempertimbangkan contoh dan solusi persamaan sedikit lebih rendah, segera setelah mempelajari propertinya. Sekarang mari kita lihat seperti apa pertidaksamaan itu dan bagaimana membedakannya dari persamaan.

Ekspresi dari bentuk berikut diberikan: log 2 (x-1) > 3 - ini adalah pertidaksamaan logaritma, karena nilai "x" yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ekspresi dua kuantitas dibandingkan: logaritma dari bilangan yang diinginkan di basis dua lebih besar dari bilangan tiga.

Perbedaan terpenting antara persamaan logaritma dan pertidaksamaan adalah bahwa persamaan dengan logaritma (misalnya, logaritma 2 x = √9) menyiratkan satu atau lebih nilai numerik tertentu dalam jawabannya, sedangkan saat menyelesaikan pertidaksamaan, baik rentang nilai yang dapat diterima dan poin yang melanggar fungsi ini. Akibatnya, jawabannya bukanlah kumpulan angka individu yang sederhana, seperti dalam jawaban persamaan, tetapi rangkaian atau kumpulan angka yang berkelanjutan.

Teorema dasar tentang logaritma

Saat menyelesaikan tugas primitif untuk menemukan nilai logaritma, propertinya mungkin tidak diketahui. Namun, ketika berbicara tentang persamaan atau ketidaksetaraan logaritma, pertama-tama, perlu dipahami dengan jelas dan diterapkan dalam praktik semua sifat dasar logaritma. Kita akan berkenalan dengan contoh persamaan nanti, pertama-tama mari kita menganalisis setiap properti secara lebih detail.

1. Identitas dasarnya terlihat seperti ini: a logaB =B. Ini hanya berlaku jika a lebih besar dari 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar dari nol.
2. Logaritma hasil kali dapat direpresentasikan dalam rumus berikut: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam hal ini, prasyaratnya adalah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda dapat memberikan bukti untuk rumus logaritma ini, dengan contoh dan solusinya. Misalkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2 , lalu a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Kita dapatkan bahwa s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (properti derajat ), dan selanjutnya menurut definisi: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang akan dibuktikan.
3. Logaritma hasil bagi terlihat seperti ini: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema dalam bentuk rumus berbentuk sebagai berikut: log a q b n = n/q log a b.

Rumus ini disebut "properti derajat logaritma". Itu menyerupai sifat-sifat derajat biasa, dan tidak mengherankan, karena semua matematika bertumpu pada postulat biasa. Mari kita lihat buktinya.

Biarkan log ab \u003d t, ternyata a t \u003d b. Jika Anda menaikkan kedua bagian dengan pangkat m: a tn = b n ;

tetapi karena a tn = (a q) nt/q = b n , maka log a q b n = (n*t)/t, maka log a q b n = n/q log a b. Teorema telah terbukti.

Contoh soal dan persamaan

Jenis masalah logaritma yang paling umum adalah contoh persamaan dan pertidaksamaan. Mereka ditemukan di hampir semua buku soal, dan juga termasuk dalam bagian wajib ujian matematika. Untuk masuk universitas atau lulus ujian masuk matematika, Anda perlu tahu cara menyelesaikan tugas seperti itu dengan benar.

Sayangnya, tidak ada rencana atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, namun aturan tertentu dapat diterapkan untuk setiap pertidaksamaan matematika atau persamaan logaritma. Pertama-tama, Anda harus mencari tahu apakah ekspresi tersebut dapat disederhanakan atau direduksi menjadi bentuk umum. Anda dapat menyederhanakan ekspresi logaritma panjang jika Anda menggunakan propertinya dengan benar. Mari kita mengenal mereka segera.

Saat memecahkan persamaan logaritma, penting untuk menentukan jenis logaritma yang kita miliki sebelum kita: contoh ekspresi dapat berisi logaritma natural atau logaritma desimal.

Berikut adalah contoh ln100, ln1026. Solusi mereka bermuara pada fakta bahwa Anda perlu menentukan sejauh mana basis 10 masing-masing akan sama dengan 100 dan 1026. Untuk solusi logaritma natural, seseorang harus menerapkan identitas logaritmik atau propertinya. Mari kita lihat contoh penyelesaian masalah logaritma dari berbagai jenis.

Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Dengan Contoh dan Solusi

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorema utama pada logaritma.

1. Properti logaritma produk dapat digunakan dalam tugas-tugas di mana nilai besar b harus diuraikan menjadi faktor yang lebih sederhana. Misalnya, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawabannya adalah 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - seperti yang Anda lihat, menggunakan properti keempat dari derajat logaritma, kami berhasil memecahkan ekspresi yang kompleks dan tidak dapat dipecahkan pada pandangan pertama. Anda hanya perlu memfaktorkan basis dan kemudian mengambil nilai eksponen dari tanda logaritma.

Tugas dari ujian

Logaritma sering dijumpai pada ujian masuk, terutama banyak sekali soal logaritma pada Ujian Negara Bersatu (ujian negara untuk semua lulusan sekolah). Biasanya tugas-tugas ini tidak hanya ada di bagian A (bagian tes termudah dari ujian), tetapi juga di bagian C (tugas yang paling sulit dan banyak). Ujian menyiratkan pengetahuan yang akurat dan sempurna tentang topik "Logaritma alami".

Contoh dan pemecahan masalah diambil dari versi resmi ujian. Mari kita lihat bagaimana tugas tersebut diselesaikan.

Diketahui log 2 (2x-1) = 4. Solusi:
mari kita tulis ulang ekspresinya, sederhanakan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2 , dengan definisi logaritma kita dapatkan 2x-1 = 2 4 , oleh karena itu 2x = 17; x = 8,5.

• Semua logaritma sebaiknya direduksi menjadi basis yang sama sehingga solusinya tidak rumit dan membingungkan.
• Semua ekspresi di bawah tanda logaritma diindikasikan sebagai positif, oleh karena itu, ketika mengeluarkan eksponen dari eksponen ekspresi, yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai basisnya, ekspresi yang tersisa di bawah logaritma harus positif.

Fokus artikel ini adalah logaritma. Di sini kami akan memberikan definisi logaritma, menunjukkan notasi yang diterima, memberikan contoh logaritma, dan berbicara tentang logaritma natural dan desimal. Setelah itu, pertimbangkan identitas logaritmik dasar.

navigasi halaman.

Definisi logaritma

Konsep logaritma muncul saat memecahkan masalah dalam arti invers tertentu, saat Anda perlu menemukan eksponen dari nilai derajat yang diketahui dan basis yang diketahui.

Tapi cukup basa-basi, saatnya menjawab pertanyaan "apa itu logaritma"? Mari kita berikan definisi yang sesuai.

Definisi.

Logaritma dari b ke basis a, di mana a>0 , a≠1 dan b>0 adalah eksponen yang Anda perlukan untuk menaikkan angka a untuk mendapatkan b sebagai hasilnya.

Pada tahap ini, kami mencatat bahwa kata yang diucapkan "logaritma" harus segera menimbulkan dua pertanyaan berikutnya: "angka berapa" dan "atas dasar apa". Dengan kata lain, tidak ada logaritma, tetapi hanya ada logaritma dari suatu bilangan di beberapa basis.

Kami akan segera memperkenalkan notasi logaritma: logaritma bilangan b ke basis a biasanya dinotasikan sebagai log a b . Logaritma bilangan b ke basis e dan logaritma ke basis 10 masing-masing memiliki sebutan khusus lnb dan lgb, yaitu, mereka menulis bukan log e b , tetapi lnb , dan bukan log 10 b , tetapi lgb .

Sekarang Anda dapat membawa: .
Dan catatannya tidak masuk akal, karena yang pertama ada bilangan negatif di bawah tanda logaritma, yang kedua - bilangan negatif di basis, dan yang ketiga - keduanya bilangan negatif di bawah tanda logaritma dan unit di pangkalan.

Sekarang mari kita bicara tentang aturan untuk membaca logaritma. Entri log a b dibaca sebagai "logaritma b ke basis a". Sebagai contoh, log 2 3 adalah logaritma dari tiga ke basis 2, dan adalah logaritma dari dua bilangan bulat dua pertiga basis dari akar kuadrat dari lima. Logaritma ke basis e disebut logaritma alami, dan notasi lnb dibaca sebagai "logaritma natural dari b". Misalnya, ln7 adalah logaritma natural dari tujuh, dan kita akan membacanya sebagai logaritma natural dari pi. Logaritma ke basis 10 juga memiliki nama khusus - logaritma desimal, dan notasi lgb dibaca sebagai "logaritma desimal b". Misalnya, lg1 adalah logaritma desimal dari satu, dan lg2.75 adalah logaritma desimal dari dua koma tujuh puluh lima ratus.

Penting untuk memikirkan secara terpisah kondisi a>0, a≠1 dan b>0, di mana definisi logaritma diberikan. Mari kita jelaskan dari mana batasan ini berasal. Untuk melakukan ini, kita akan dibantu oleh persamaan bentuk yang disebut , yang secara langsung mengikuti definisi logaritma yang diberikan di atas.

Mari kita mulai dengan a≠1 . Karena satu sama dengan satu pangkat apa pun, maka persamaan hanya berlaku untuk b=1, tetapi log 1 1 dapat berupa bilangan real apa pun. Untuk menghindari ambiguitas ini, a≠1 diterima.

Mari kita buktikan kelayakan kondisi a>0 . Dengan a=0, menurut definisi logaritma, kita akan memiliki persamaan , yang hanya mungkin dengan b=0 . Tapi kemudian log 0 0 dapat berupa bilangan real bukan nol, karena nol pangkat bukan nol adalah nol. Ambiguitas ini dapat dihindari dengan kondisi a≠0 . Dan untuk<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Akhirnya, kondisi b>0 mengikuti pertidaksamaan a>0 , karena , dan nilai derajat dengan basis positif a selalu positif.

Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, kami mengatakan bahwa definisi logaritma yang disuarakan memungkinkan Anda untuk segera menunjukkan nilai logaritma ketika angka di bawah tanda logaritma adalah derajat basis tertentu. Memang, definisi logaritma memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa jika b=a p , maka logaritma bilangan b ke basis a sama dengan p . Artinya, log persamaan a a p = p benar. Misalnya, kita tahu bahwa 2 3 =8 , maka log 2 8=3 . Kami akan berbicara lebih banyak tentang ini di artikel.

Logaritma bilangan positif b ke basis a (a>0, a tidak sama dengan 1) adalah bilangan c sehingga a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Perhatikan bahwa logaritma bilangan non-positif tidak ditentukan. Juga, basis logaritma harus bilangan positif, tidak sama dengan 1. Misalnya, jika kita kuadratkan -2, kita mendapatkan angka 4, tetapi ini tidak berarti bahwa logaritma basis -2 dari 4 adalah 2.

Identitas logaritmik dasar

log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Penting bahwa domain definisi bagian kanan dan kiri rumus ini berbeda. Ruas kiri ditentukan hanya untuk b>0, a>0 dan a ≠ 1. Ruas kanan ditentukan untuk sembarang b, dan tidak bergantung pada a sama sekali. Dengan demikian, penerapan "identitas" logaritmik dasar dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dapat menyebabkan perubahan DPV.

Dua konsekuensi yang jelas dari definisi logaritma

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Memang, saat menaikkan angka a ke pangkat pertama, kita mendapatkan angka yang sama, dan saat menaikkannya ke pangkat nol, kita mendapatkan satu.

Logaritma hasil kali dan logaritma hasil bagi

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Saya ingin memperingatkan anak-anak sekolah agar tidak menggunakan rumus ini secara sembarangan saat menyelesaikan persamaan dan ketidaksetaraan logaritmik. Saat digunakan "dari kiri ke kanan", ODZ menyempit, dan saat berpindah dari penjumlahan atau perbedaan logaritma ke logaritma hasil kali atau hasil bagi, ODZ mengembang.

Memang, ekspresi log a (f (x) g (x)) didefinisikan dalam dua kasus: ketika kedua fungsi benar-benar positif atau ketika f(x) dan g(x) keduanya kurang dari nol.

Mengubah ungkapan ini menjadi jumlah log a f (x) + log a g (x) , kita terpaksa membatasi diri hanya pada kasus ketika f(x)>0 dan g(x)>0. Ada penyempitan kisaran nilai yang dapat diterima, dan ini tidak dapat diterima secara kategoris, karena dapat menyebabkan hilangnya solusi. Masalah serupa ada untuk rumus (6).

Derajat dapat diambil dari tanda logaritma

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Dan sekali lagi saya ingin meminta akurasi. Pertimbangkan contoh berikut:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Sisi kiri persamaan jelas didefinisikan untuk semua nilai f(x) kecuali nol. Sisi kanan hanya untuk f(x)>0! Mengambil daya dari logaritma, kami kembali mempersempit ODZ. Prosedur sebaliknya mengarah pada perluasan kisaran nilai yang dapat diterima. Semua pernyataan ini berlaku tidak hanya untuk pangkat 2, tetapi juga untuk pangkat genap apa pun.

Formula untuk pindah ke pangkalan baru

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Kasus yang jarang terjadi ketika ODZ tidak berubah selama konversi. Jika Anda telah memilih basis c dengan bijak (positif dan tidak sama dengan 1), rumus untuk pindah ke basis baru benar-benar aman.

Jika kita memilih bilangan b sebagai basis baru c, kita memperoleh kasus khusus yang penting dari rumus (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Beberapa contoh sederhana dengan logaritma

Contoh 1 Hitung: lg2 + lg50.
Larutan. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Kami menggunakan rumus jumlah logaritma (5) dan definisi logaritma desimal.

Contoh 2 Hitung: lg125/lg5.
Larutan. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Kami menggunakan rumus transisi basis baru (8).

Tabel rumus yang terkait dengan logaritma

log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

(dari bahasa Yunani λόγος - "kata", "hubungan" dan ἀριθμός - "angka") angka B dengan alasan A(log α B) disebut nomor tersebut C, Dan B= c, yaitu, log α B=C Dan b=aC setara. Logaritma masuk akal jika a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Dengan kata lain logaritma angka B dengan alasan A diformulasikan sebagai eksponen yang angkanya harus dinaikkan A untuk mendapatkan nomornya B(logaritma hanya ada untuk bilangan positif).

Dari rumusan ini dapat disimpulkan bahwa perhitungan x= log α B, setara dengan menyelesaikan persamaan a x = b.

Misalnya:

log 2 8 = 3 karena 8=2 3 .

Kami mencatat bahwa formulasi logaritma yang ditunjukkan memungkinkan untuk segera ditentukan nilai logaritma ketika angka di bawah tanda logaritma adalah kekuatan tertentu dari basis. Memang, perumusan logaritma memungkinkan untuk membenarkan jika b=a c, lalu logaritma dari angka tersebut B dengan alasan A sama Dengan. Jelas juga bahwa topik logaritma terkait erat dengan topik derajat bilangan.

Perhitungan logaritma disebut logaritma. Logaritma adalah operasi matematika mengambil logaritma. Saat mengambil logaritma, hasil kali faktor diubah menjadi jumlah suku.

Potensiasi adalah operasi matematika kebalikan dari logaritma. Saat mempotensiasi, basis yang diberikan dinaikkan ke kekuatan ekspresi di mana potensiasi dilakukan. Dalam hal ini, jumlah suku diubah menjadi produk faktor.

Cukup sering, logaritma nyata dengan basis 2 (biner), bilangan e Euler e ≈ 2,718 (logaritma natural) dan 10 (desimal) digunakan.

Pada tahap ini, perlu dipertimbangkan contoh logaritma log 7 2 , di √ 5, lg0.0001.

Dan entri lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 tidak masuk akal, karena yang pertama angka negatif ditempatkan di bawah tanda logaritma, yang kedua - angka negatif di basis, dan yang ketiga - dan angka negatif di bawah tanda logaritma dan satuan di basis.

Kondisi untuk menentukan logaritma.

Perlu dipertimbangkan secara terpisah kondisi a > 0, a ≠ 1, b > 0. definisi logaritma. Mari pertimbangkan mengapa pembatasan ini diambil. Ini akan membantu kita dengan persamaan bentuk x = log α B, disebut identitas logaritma dasar, yang secara langsung mengikuti definisi logaritma yang diberikan di atas.

Ambil kondisinya a≠1. Karena satu sama dengan satu pangkat apapun, maka persamaan x=log α B hanya bisa ada ketika b=1, tetapi log 1 1 akan berupa bilangan real apa saja. Untuk menghilangkan ambiguitas ini, kami ambil a≠1.

Mari kita buktikan perlunya kondisi tersebut a>0. Pada a=0 menurut rumus logaritma, hanya bisa ada bila b=0. Dan kemudian sesuai log 0 0 dapat berupa bilangan real bukan nol, karena pangkat nol ke sembarang bukan nol adalah nol. Untuk menghilangkan ambiguitas ini, syaratnya a≠0. Dan kapan A<0 kita harus menolak analisis nilai logaritma rasional dan irasional, karena eksponen dengan eksponen rasional dan irasional hanya ditentukan untuk basis non-negatif. Karena alasan inilah kondisinya a>0.

Dan syarat terakhir b>0 mengikuti dari pertidaksamaan a>0, karena x=log α B, dan nilai derajat dengan basis positif A selalu positif.

Fitur logaritma.

Logaritma dicirikan dengan khas fitur, yang menyebabkan penggunaannya secara luas untuk memudahkan perhitungan yang telaten. Dalam transisi "ke dunia logaritma", perkalian diubah menjadi penjumlahan yang jauh lebih mudah, pembagian menjadi pengurangan, dan penaikan pangkat dan akar diubah menjadi perkalian dan pembagian masing-masing dengan eksponen.

Formulasi logaritma dan tabel nilainya (untuk fungsi trigonometri) pertama kali diterbitkan pada tahun 1614 oleh matematikawan Skotlandia John Napier. Tabel logaritmik, diperbesar dan dirinci oleh ilmuwan lain, banyak digunakan dalam perhitungan ilmiah dan teknik, dan tetap relevan hingga kalkulator elektronik dan komputer mulai digunakan.

Hari ini kita akan berbicara tentang rumus logaritma dan memberikan demonstrasi contoh solusi.

Sendiri, mereka menyiratkan pola solusi sesuai dengan sifat dasar logaritma. Sebelum menerapkan rumus logaritma ke solusi, kami mengingatkan Anda, pertama-tama semua properti:

Sekarang, berdasarkan rumus (properti) ini, kami tampilkan contoh penyelesaian logaritma.

Contoh penyelesaian logaritma berdasarkan rumus.

Logaritma bilangan positif b pada basis a (dilambangkan log a b) adalah eksponen yang harus dipangkatkan a untuk mendapatkan b, dengan b > 0, a > 0, dan 1.

Menurut definisi log a b = x, yang setara dengan a x = b, jadi log a a x = x.

Logaritma, contoh:

log 2 8 = 3, karena 2 3 = 8

log 7 49 = 2 karena 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, karena 5 -1 = 1/5

Logaritma desimal adalah logaritma biasa, yang dasarnya adalah 10. Dilambangkan sebagai lg.

log 10 100 = 2 karena 10 2 = 100

logaritma alami- juga logaritma logaritma biasa, tetapi dengan basis e (e \u003d 2.71828 ... - bilangan irasional). Disebut sebagai ln.

Sangat diharapkan untuk mengingat rumus atau sifat logaritma, karena kita akan membutuhkannya nanti saat menyelesaikan logaritma, persamaan logaritma, dan pertidaksamaan. Mari kita bahas setiap rumus lagi dengan contoh.

• Identitas logaritmik dasar
  log ab = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritma produk sama dengan jumlah logaritma
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritma hasil bagi sama dengan selisih logaritma
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Sifat-sifat derajat bilangan logaritma dan basis logaritma

  Eksponen bilangan logaritma log a b m = mlog a b

  Pangkat dari basis logaritma log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  jika m = n, kita mendapatkan log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Transisi ke yayasan baru
  log a b = log c b / log c a,

  jika c = b, kita mendapatkan log b b = 1

  lalu log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Seperti yang Anda lihat, rumus logaritma tidak serumit kelihatannya. Sekarang, setelah mempertimbangkan contoh pemecahan logaritma, kita dapat beralih ke persamaan logaritmik. Kami akan mempertimbangkan contoh penyelesaian persamaan logaritma secara lebih rinci di artikel: "". Jangan lewatkan!

Jika Anda memiliki pertanyaan tentang solusinya, tulis di komentar artikel.

Catatan: memutuskan untuk mendapatkan pendidikan studi kelas lain di luar negeri sebagai pilihan.