Artikel ini membahas operasi pecahan. Aturan untuk penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian atau eksponensial pecahan bentuk A B akan dibentuk dan dibenarkan, di mana A dan B dapat berupa angka, ekspresi numerik atau ekspresi dengan variabel. Sebagai kesimpulan, contoh solusi dengan deskripsi terperinci akan dipertimbangkan.

Aturan untuk melakukan operasi dengan pecahan numerik dari bentuk umum

Pecahan numerik dari bentuk umum memiliki pembilang dan penyebut, di mana terdapat bilangan asli atau ekspresi numerik. Jika kita menganggap pecahan seperti 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , maka jelaslah bahwa pembilang dan penyebut tidak hanya dapat memiliki angka, tetapi juga ekspresi dari denah yang berbeda.

Definisi 1

Ada aturan dimana tindakan dilakukan dengan pecahan biasa. Ini juga cocok untuk pecahan dari bentuk umum:

• Saat mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama, hanya pembilangnya yang dijumlahkan, dan penyebutnya tetap sama, yaitu: a d ± c d \u003d a ± c d, nilai a, c dan d ≠ 0 adalah beberapa angka atau ekspresi numerik.
• Saat menjumlahkan atau mengurangkan pecahan dengan penyebut berbeda, perlu untuk mengurangi menjadi penyebut umum, dan kemudian menambah atau mengurangi pecahan yang dihasilkan dengan indikator yang sama. Secara harfiah, terlihat seperti ini a b ± c d = a p ± c r s , di mana nilai a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 adalah bilangan real, dan b p = dr = s. Jika p = d dan r = b, maka a b ± c d = a d ± c d b d.
• Saat mengalikan pecahan, tindakan dilakukan dengan pembilang, setelah itu dengan penyebut, lalu kita dapatkan a b c d \u003d a c b d, di mana a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 bertindak sebagai bilangan real.
• Saat membagi pecahan dengan pecahan, kita mengalikan yang pertama dengan kebalikan kedua, yaitu, kita menukar pembilang dan penyebutnya: a b: c d \u003d a b d c.

Alasan untuk aturan

Definisi 2

Ada poin matematika berikut yang harus Anda andalkan saat menghitung:

• bilah pecahan berarti tanda pembagian;
• pembagian dengan angka diperlakukan sebagai perkalian dengan kebalikannya;
• penerapan properti tindakan dengan bilangan real;
• penerapan sifat dasar pecahan dan pertidaksamaan numerik.

Dengan bantuan mereka, Anda dapat membuat transformasi bentuk:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

Contoh

Di paragraf sebelumnya, dikatakan tentang tindakan dengan pecahan. Setelah itu pecahan perlu disederhanakan. Topik ini telah dibahas secara rinci di bagian mengubah pecahan.

Pertama, perhatikan contoh penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama.

Contoh 1

Diberikan pecahan 8 2 , 7 dan 1 2 , 7 , maka menurut aturannya perlu dijumlahkan pembilangnya dan ditulis ulang penyebutnya.

Larutan

Kemudian kita mendapatkan pecahan dari bentuk 8 + 1 2 , 7 . Setelah melakukan penjumlahan, kita mendapatkan pecahan berbentuk 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Jadi 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Menjawab: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Ada cara lain untuk memecahkan. Pertama-tama, transisi dilakukan ke bentuk pecahan biasa, setelah itu kami melakukan penyederhanaan. Ini terlihat seperti ini:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Contoh 2

Mari kita kurangi dari 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 pecahan berbentuk 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Karena penyebut yang sama diberikan, itu berarti kita menghitung pecahan dengan penyebut yang sama. Kami mengerti itu

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Ada contoh menghitung pecahan dengan penyebut berbeda. Poin penting adalah reduksi menjadi penyebut yang sama. Tanpa ini, kami tidak akan dapat melakukan tindakan lebih lanjut dengan pecahan.

Prosesnya dari jarak jauh mengingatkan pada reduksi menjadi penyebut yang sama. Artinya, pencarian dilakukan untuk pembagi persekutuan terkecil dalam penyebut, setelah itu faktor yang hilang ditambahkan ke pecahan.

Jika pecahan yang ditambahkan tidak memiliki faktor persekutuan, maka perkaliannya dapat menjadi satu.

Contoh 3

Perhatikan contoh penjumlahan pecahan 2 3 5 + 1 dan 1 2 .

Larutan

Dalam hal ini, penyebut yang sama adalah produk dari penyebut. Lalu kita dapatkan 2 · 3 5 + 1 . Kemudian, saat menetapkan faktor tambahan, kita mendapatkan bahwa pada pecahan pertama sama dengan 2, dan pada pecahan kedua adalah 3 5 + 1. Setelah dikalikan, pecahan tersebut direduksi menjadi bentuk 4 2 3 5 + 1. Pemeran umum 1 2 adalah 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Kami menambahkan ekspresi pecahan yang dihasilkan dan mendapatkannya

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Menjawab: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Ketika kita berurusan dengan pecahan dari bentuk umum, maka penyebut persekutuan terkecil biasanya tidak demikian. Tidak menguntungkan mengambil produk pembilang sebagai penyebut. Pertama, Anda perlu memeriksa apakah ada angka yang nilainya lebih kecil dari produk mereka.

Contoh 4

Perhatikan contoh 1 6 2 1 5 dan 1 4 2 3 5 jika perkalian mereka sama dengan 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Kemudian kita ambil 12 · 2 3 5 sebagai penyebut yang sama.

Perhatikan contoh perkalian pecahan bentuk umum.

Contoh 5

Untuk melakukan ini, Anda perlu mengalikan 2 + 1 6 dan 2 · 5 3 · 2 + 1.

Larutan

Mengikuti aturan, perlu untuk menulis ulang dan menulis hasil kali pembilang sebagai penyebut. Kita dapatkan bahwa 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Ketika pecahan dikalikan, pengurangan dapat dilakukan untuk menyederhanakannya. Maka 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Dengan menggunakan aturan transisi dari pembagian ke perkalian dengan timbal balik, kita mendapatkan kebalikan dari yang diberikan. Untuk melakukan ini, pembilang dan penyebut dibalik. Mari kita lihat sebuah contoh:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Setelah itu, mereka harus melakukan perkalian dan menyederhanakan pecahan yang dihasilkan. Jika perlu, singkirkan irasionalitas pada penyebutnya. Kami mengerti itu

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Menjawab: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Paragraf ini berlaku ketika angka atau ekspresi numerik dapat direpresentasikan sebagai pecahan dengan penyebut sama dengan 1, maka operasi dengan pecahan tersebut dianggap sebagai paragraf terpisah. Misalnya, ekspresi 1 6 7 4 - 1 3 menunjukkan bahwa akar dari 3 dapat diganti dengan ekspresi 3 1 lainnya. Maka catatan ini akan terlihat seperti perkalian dari dua pecahan dalam bentuk 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 .

Melakukan tindakan dengan pecahan yang mengandung variabel

Aturan yang dibahas di artikel pertama berlaku untuk operasi dengan pecahan yang mengandung variabel. Pertimbangkan aturan pengurangan jika penyebutnya sama.

Perlu dibuktikan bahwa A , C dan D (D tidak sama dengan nol) dapat berupa ekspresi apa pun, dan kesetaraan A D ± C D = A ± C D setara dengan rentang nilai validnya.

Diperlukan untuk mengambil satu set variabel ODZ. Kemudian A, C, D harus mengambil nilai yang sesuai a 0 , c 0 dan d0. Substitusi bentuk A D ± C D menghasilkan selisih bentuk a 0 d 0 ± c 0 d 0 , di mana menurut aturan penjumlahan, kita memperoleh rumus bentuk a 0 ± c 0 d 0 . Jika kita mengganti pernyataan A ± C D , maka kita mendapatkan pecahan yang sama dari bentuk a 0 ± c 0 d 0 . Dari sini kami menyimpulkan bahwa nilai yang dipilih yang memenuhi ODZ, A ± C D dan A D ± C D dianggap sama.

Untuk nilai variabel apa pun, ekspresi ini akan sama, artinya, disebut sama identik. Ini berarti bahwa ungkapan ini dianggap persamaan yang dapat dibuktikan dari bentuk A D ± C D = A ± C D .

Contoh penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan variabel

Jika penyebutnya sama, maka hanya perlu dijumlahkan atau dikurangkan pembilangnya. Pecahan ini dapat disederhanakan. Kadang-kadang Anda harus bekerja dengan pecahan yang identik sama, tetapi pada pandangan pertama hal ini tidak terlihat, karena beberapa transformasi harus dilakukan. Misalnya, x 2 3 x 1 3 + 1 dan x 1 3 + 1 2 atau 1 2 sin 2 α dan sin a cos a. Paling sering, penyederhanaan ekspresi asli diperlukan untuk melihat penyebut yang sama.

Contoh 6

Hitung: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 +xx+1 .

Larutan

1. Untuk menghitung, Anda perlu mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama. Kemudian kita dapatkan x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Setelah itu, Anda dapat membuka tanda kurung dengan pengurangan istilah serupa. Kita dapatkan bahwa x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Karena penyebutnya sama, tinggal menjumlahkan pembilangnya, meninggalkan penyebutnya: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Penambahan telah selesai. Dapat dilihat bahwa fraksi dapat dikurangi. Pembilangnya bisa dilipat menggunakan rumus penjumlahan kuadrat, maka kita dapatkan (l g x + 2) 2 dari rumus perkalian yang disingkat. Lalu kita mengerti
   lg 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Diketahui pecahan berbentuk x - 1 x - 1 + x x + 1 dengan penyebut berbeda. Setelah transformasi, Anda dapat melanjutkan ke penambahan.

Mari pertimbangkan solusi dua arah.

Metode pertama adalah bahwa penyebut pecahan pertama mengalami faktorisasi menggunakan kuadrat, dan dengan pengurangan selanjutnya. Kami mendapatkan sebagian kecil dari formulir

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Jadi x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Dalam hal ini, irasionalitas pada penyebut perlu dihilangkan.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Cara kedua adalah mengalikan pembilang dan penyebut pecahan kedua dengan x - 1 . Jadi, kami menghilangkan irasionalitas dan melanjutkan dengan menambahkan pecahan dengan penyebut yang sama. Kemudian

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Menjawab: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

Dalam contoh terakhir, kami menemukan bahwa reduksi menjadi penyebut yang sama tidak dapat dihindari. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyederhanakan pecahan. Untuk menambah atau mengurangi, Anda selalu perlu mencari penyebut yang sama, yang terlihat seperti hasil kali penyebut dengan penambahan faktor tambahan pada pembilangnya.

Contoh 7

Hitung nilai pecahan: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Larutan

1. Penyebutnya tidak memerlukan perhitungan yang rumit, jadi Anda harus memilih produknya dari bentuk 3 x 7 + 2 2, kemudian ke pecahan pertama x 7 + 2 2 dipilih sebagai faktor tambahan, dan 3 ke yang kedua. Saat mengalikan, kita mendapatkan pecahan berbentuk x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Dapat dilihat bahwa penyebut disajikan sebagai produk, yang berarti bahwa transformasi tambahan tidak diperlukan. Penyebut yang sama adalah hasil kali dari bentuk x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Dari sini x 4 adalah faktor tambahan pada pecahan pertama, dan ln (x + 1) ke yang kedua. Kemudian kita kurangi dan dapatkan:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4 )
3. Contoh ini masuk akal saat bekerja dengan penyebut pecahan. Penting untuk menerapkan rumus selisih kuadrat dan kuadrat dari jumlah tersebut, karena keduanya akan memungkinkan untuk beralih ke ekspresi dalam bentuk 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . Dapat dilihat bahwa pecahan direduksi menjadi penyebut yang sama. Kita dapatkan bahwa cos x - x cos x + x 2 .

Lalu kita mengerti

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

Menjawab:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Contoh mengalikan pecahan dengan variabel

Saat mengalikan pecahan, pembilangnya dikalikan dengan pembilangnya dan penyebutnya dengan penyebutnya. Kemudian Anda dapat menerapkan properti pengurangan.

Contoh 8

Kalikan pecahan x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 dan 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Larutan

Anda perlu melakukan perkalian. Kami mengerti itu

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Angka 3 dipindahkan ke tempat pertama untuk kenyamanan perhitungan, dan Anda dapat mengurangi pecahan dengan x 2, lalu kami mendapatkan ekspresi formulir

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Menjawab: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2x - x) .

Divisi

Pembagian pecahan mirip dengan perkalian, karena pecahan pertama dikalikan dengan kebalikan kedua. Jika kita mengambil, misalnya, pecahan x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 dan membaginya dengan 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, maka ini dapat ditulis sebagai

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , lalu ganti dengan hasil kali berbentuk x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Eksponensial

Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan aksi dengan pecahan bentuk umum dengan eksponensial. Jika ada derajat dengan eksponen alami, maka tindakan tersebut dianggap sebagai perkalian dari pecahan yang identik. Tetapi disarankan untuk menggunakan pendekatan umum berdasarkan sifat-sifat derajat. Setiap ekspresi A dan C, di mana C tidak identik sama dengan nol, dan setiap r nyata pada ODZ untuk ekspresi bentuk A C r, persamaan A C r = A r C r adalah benar. Hasilnya adalah pecahan yang dipangkatkan. Misalnya, pertimbangkan:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Urutan operasi dengan pecahan

Tindakan pada pecahan dilakukan sesuai dengan aturan tertentu. Dalam praktiknya, kami melihat bahwa ekspresi dapat berisi beberapa pecahan atau ekspresi pecahan. Maka perlu untuk melakukan semua tindakan dalam urutan yang ketat: menaikkan pangkat, mengalikan, membagi, lalu menambah dan mengurangi. Jika ada tanda kurung, tindakan pertama dilakukan di dalamnya.

Contoh 9

Hitung 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Larutan

Karena kita memiliki penyebut yang sama, maka 1 - x cos x dan 1 c o s x , tetapi tidak mungkin untuk mengurangi sesuai aturan, pertama tindakan dalam tanda kurung dilakukan, kemudian perkalian, dan kemudian penjumlahan. Kemudian, saat menghitung, kami mendapatkannya

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Saat mengganti ekspresi dengan yang asli, kita mendapatkan 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Saat mengalikan pecahan, kita memiliki: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Setelah melakukan semua substitusi, kita mendapatkan 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Sekarang Anda perlu mengerjakan pecahan yang memiliki penyebut berbeda. Kita mendapatkan:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Menjawab: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, sorot dan tekan Ctrl+Enter

Petunjuk

Pertama, ingatlah bahwa pecahan hanyalah notasi bersyarat untuk membagi satu angka dengan angka lainnya. Selain dan perkalian, membagi dua bilangan bulat tidak selalu menghasilkan bilangan bulat. Jadi panggil dua angka yang "dapat dibagi" ini. Angka yang dibagi adalah pembilangnya, dan angka yang dibagi adalah penyebutnya.

Untuk menulis pecahan, pertama-tama tulis pembilangnya, lalu gambar garis horizontal di bawah angka ini, dan tulis penyebutnya di bawah garis tersebut. Garis horizontal yang memisahkan pembilang dan penyebut disebut batang pecahan. Terkadang digambarkan sebagai garis miring "/" atau "∕". Dalam hal ini, pembilangnya ditulis di sebelah kiri baris, dan penyebutnya di sebelah kanan. Jadi, misalnya pecahan "dua per tiga" akan ditulis 2/3. Untuk kejelasan, pembilang biasanya ditulis di bagian atas baris, dan penyebut di bagian bawah, yaitu, alih-alih 2/3, Anda dapat menemukan: ⅔.

Jika pembilang suatu pecahan lebih besar dari penyebutnya, maka pecahan yang "salah" biasanya ditulis sebagai pecahan "campuran". Untuk mendapatkan pecahan campuran dari pecahan biasa, cukup bagi pembilang dengan penyebutnya dan tulis hasil bagi yang dihasilkan. Kemudian letakkan sisa pembagian di pembilang pecahan dan tulis pecahan ini di sebelah kanan hasil bagi (jangan sentuh penyebutnya). Misalnya, 7/3 = 2⅓.

Untuk menjumlahkan dua pecahan dengan penyebut yang sama, cukup jumlahkan pembilangnya (biarkan penyebutnya). Misalnya, 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. Demikian pula, kurangi dua pecahan (pembilangnya dikurangi). Misalnya, 6/7 - 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.

Untuk menjumlahkan dua pecahan dengan penyebut berbeda, kalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan pembilang dan penyebut pecahan kedua dengan penyebut pecahan pertama. Hasilnya, Anda akan mendapatkan jumlah dari dua pecahan dengan penyebut yang sama, yang penjumlahannya dijelaskan di paragraf sebelumnya.

Misalnya, 3/4 + 2/3 = (3*3)/(4*3) + (2*4)/(3*4) = 9/12 + 8/12 = (9+8)/12 = 17/12 = 15/12.

Jika penyebut pecahan memiliki pembagi yang sama, yaitu, mereka dapat dibagi dengan angka yang sama, pilih sebagai penyebut yang sama angka terkecil yang dapat dibagi oleh penyebut pertama dan kedua secara bersamaan. Jadi, misalnya, jika penyebut pertama adalah 6 dan penyebut kedua adalah 8, maka ambil sebagai penyebut yang sama bukan hasil kali mereka (48), tetapi angka 24, yang habis dibagi 6 dan 8. Pembilang pecahan tersebut kemudian dikalikan dengan hasil bagi membagi penyebut yang sama dengan penyebut setiap pecahan. Misalnya, untuk penyebut 6, angka ini akan menjadi 4 - (24/6), dan untuk penyebut 8 - 3 (24/8). Proses ini lebih jelas terlihat dalam contoh spesifik:

5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.

Pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda dilakukan dengan cara yang persis sama.

Tindakan selanjutnya yang dapat dilakukan dengan pecahan biasa adalah pengurangan. Sebagai bagian dari materi ini, kami akan mempertimbangkan cara menghitung dengan benar selisih pecahan dengan penyebut yang sama dan berbeda, cara mengurangi pecahan dari bilangan asli dan sebaliknya. Semua contoh akan diilustrasikan dengan tugas. Izinkan kami mengklarifikasi sebelumnya bahwa kami hanya akan menganalisis kasus di mana selisih pecahan menghasilkan bilangan positif.

Cara mencari selisih pecahan berpenyebut sama

Mari kita mulai dengan contoh ilustrasi: katakanlah kita memiliki sebuah apel yang telah dibagi menjadi delapan bagian. Mari kita tinggalkan lima bagian di piring dan ambil dua bagian. Tindakan ini dapat ditulis seperti ini:

Kita berakhir dengan 3 per delapan karena 5 − 2 = 3 . Ternyata 5 8 - 2 8 = 3 8 .

Dengan contoh sederhana ini, kita telah melihat dengan tepat bagaimana aturan pengurangan bekerja untuk pecahan dengan penyebut yang sama. Mari kita rumuskan.

Definisi 1

Untuk menemukan perbedaan antara pecahan dengan penyebut yang sama, Anda perlu mengurangi pembilang salah satu dari pembilang yang lain, dan membiarkan penyebutnya tetap sama. Aturan ini dapat ditulis sebagai a b - c b = a - c b .

Kami akan menggunakan rumus ini dalam apa yang berikut.

Mari kita ambil contoh spesifik.

Contoh 1

Kurangi dari pecahan 24 15 pecahan biasa 17 15 .

Larutan

Kita melihat bahwa pecahan ini memiliki penyebut yang sama. Jadi yang harus kita lakukan adalah mengurangi 17 dari 24. Kami mendapatkan 7 dan menambahkan penyebutnya, kami mendapatkan 7 15 .

Perhitungan kami dapat ditulis seperti ini: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15

Jika perlu, Anda dapat mengurangi pecahan kompleks atau memisahkan seluruh bagian dari pecahan biasa agar lebih nyaman untuk dihitung.

Contoh 2

Cari selisihnya 37 12 - 15 12 .

Larutan

Mari gunakan rumus yang dijelaskan di atas dan hitung: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

Sangat mudah untuk melihat bahwa pembilang dan penyebut dapat dibagi 2 (kita telah membicarakannya sebelumnya ketika kita menganalisis tanda-tanda keterbagian). Mengurangi jawabannya, kita mendapatkan 11 6 . Ini adalah pecahan biasa, dari mana kita akan memilih seluruh bagian: 11 6 \u003d 1 5 6.

Cara mencari selisih pecahan dengan penyebut berbeda

Operasi matematika semacam itu dapat direduksi menjadi apa yang telah kami jelaskan di atas. Untuk melakukan ini, cukup bawa pecahan yang diinginkan ke penyebut yang sama. Mari kita rumuskan definisinya:

Definisi 2

Untuk mencari selisih pecahan yang penyebutnya berbeda, Anda harus membawanya ke penyebut yang sama dan mencari selisih pembilangnya.

Mari kita lihat contoh bagaimana ini dilakukan.

Contoh 3

Kurangi 1 15 dari 2 9 .

Larutan

Penyebutnya berbeda, dan Anda perlu menguranginya menjadi nilai persekutuan terkecil. Dalam hal ini, KPK-nya adalah 45. Untuk pecahan pertama, diperlukan faktor tambahan 5, dan untuk yang kedua - 3.

Ayo hitung: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

Kami mendapatkan dua pecahan dengan penyebut yang sama, dan sekarang kami dapat dengan mudah menemukan selisihnya menggunakan algoritme yang dijelaskan sebelumnya: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

Catatan singkat solusinya terlihat seperti ini: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.

Jangan abaikan pengurangan hasil atau pemilihan seluruh bagian darinya, jika perlu. Dalam contoh ini, kita tidak perlu melakukan ini.

Contoh 4

Cari selisihnya 19 9 - 7 36 .

Larutan

Kami membawa pecahan yang ditunjukkan dalam kondisi ke penyebut umum terendah 36 dan mendapatkan masing-masing 76 9 dan 7 36.

Kami mempertimbangkan jawabannya: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36

Hasilnya bisa dikurangi dengan 3 menjadi 23 12 . Pembilangnya lebih besar dari penyebutnya, yang berarti kita dapat mengekstrak seluruh bagian. Jawaban akhirnya adalah 1 11 12 .

Rangkuman dari seluruh penyelesaian adalah 19 9-7 36 = 1 11 12 .

Cara mengurangkan bilangan asli dari pecahan biasa

Tindakan seperti itu juga dapat dengan mudah direduksi menjadi pengurangan sederhana dari pecahan biasa. Ini dapat dilakukan dengan merepresentasikan bilangan asli sebagai pecahan. Mari kita tunjukkan sebuah contoh.

Contoh 5

Cari selisihnya 83 21-3 .

Larutan

3 sama dengan 3 1 . Maka Anda dapat menghitung seperti ini: 83 21 - 3 \u003d 20 21.

Jika dalam kondisi perlu untuk mengurangi bilangan bulat dari pecahan yang tidak tepat, akan lebih mudah untuk mengekstrak bilangan bulat darinya terlebih dahulu, menuliskannya sebagai bilangan campuran. Kemudian contoh sebelumnya dapat diselesaikan secara berbeda.

Dari pecahan 83 21, jika Anda memilih bagian bilangan bulat, Anda mendapatkan 83 21 \u003d 3 20 21.

Sekarang kurangi saja dengan 3: 3 20 21 - 3 = 20 21 .

Cara mengurangkan pecahan dari bilangan asli

Tindakan ini dilakukan dengan cara yang mirip dengan yang sebelumnya: kami menulis ulang bilangan asli sebagai pecahan, membawa keduanya ke penyebut yang sama dan menemukan perbedaannya. Mari kita ilustrasikan ini dengan sebuah contoh.

Contoh 6

Temukan perbedaannya: 7 - 5 3 .

Larutan

Mari kita buat 7 menjadi pecahan 7 1 . Kami melakukan pengurangan dan mengubah hasil akhir, mengekstraksi bagian bilangan bulat darinya: 7 - 5 3 = 5 1 3 .

Ada cara lain untuk membuat perhitungan. Ini memiliki beberapa keuntungan yang dapat digunakan dalam kasus di mana pembilang dan penyebut pecahan dalam soal adalah bilangan besar.

Definisi 3

Jika pecahan yang akan dikurangi benar, maka bilangan asli yang kita kurangi harus direpresentasikan sebagai jumlah dari dua bilangan, salah satunya sama dengan 1. Setelah itu, Anda perlu mengurangi pecahan yang diinginkan dari kesatuan dan mendapatkan jawabannya.

Contoh 7

Hitung selisihnya 1 065 - 13 62 .

Larutan

Pecahan yang akan dikurangkan sudah benar, karena pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya. Oleh karena itu, kita perlu mengurangi satu dari 1065 dan mengurangi pecahan yang diinginkan darinya: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62

Sekarang kita perlu menemukan jawabannya. Menggunakan sifat pengurangan, ekspresi yang dihasilkan dapat ditulis sebagai 1064 + 1 - 13 62 . Mari kita hitung selisihnya dalam tanda kurung. Untuk melakukan ini, kami mewakili unit sebagai pecahan 1 1 .

Ternyata 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.

Sekarang mari kita ingat tentang 1064 dan rumuskan jawabannya: 1064 49 62 .

Kami menggunakan cara lama untuk membuktikan bahwa itu kurang nyaman. Berikut adalah perhitungan yang akan kita dapatkan:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

Jawabannya sama, tetapi perhitungannya jelas lebih rumit.

Kami mempertimbangkan kasus ketika Anda perlu mengurangi pecahan yang benar. Jika salah, kita ganti dengan bilangan campuran dan kurangi sesuai aturan yang sudah dikenal.

Contoh 8

Hitung selisihnya 644 - 73 5 .

Larutan

Pecahan kedua tidak tepat, dan seluruh bagian harus dipisahkan darinya.

Sekarang kita menghitung mirip dengan contoh sebelumnya: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Properti pengurangan saat bekerja dengan pecahan

Sifat-sifat yang dimiliki oleh pengurangan bilangan asli juga berlaku untuk kasus pengurangan pecahan biasa. Mari kita lihat bagaimana menggunakannya saat memecahkan contoh.

Contoh 9

Cari selisihnya 24 4 - 3 2 - 5 6 .

Larutan

Kami telah menyelesaikan contoh serupa ketika kami menganalisis pengurangan jumlah dari suatu angka, jadi kami bertindak sesuai dengan algoritme yang sudah dikenal. Pertama, kita hitung selisihnya 25 4 - 3 2, lalu kurangi pecahan terakhir darinya:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

Mari ubah jawabannya dengan mengekstraksi bagian bilangan bulat darinya. Hasilnya adalah 3 11 12.

Ringkasan singkat dari seluruh solusi:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Jika ekspresi berisi pecahan dan bilangan asli, disarankan untuk mengelompokkannya berdasarkan jenis saat menghitung.

Contoh 10

Cari selisihnya 98 + 17 20 - 5 + 3 5 .

Larutan

Mengetahui sifat dasar pengurangan dan penjumlahan, kita dapat mengelompokkan bilangan sebagai berikut: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

Ayo selesaikan perhitungannya: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, sorot dan tekan Ctrl+Enter

Di kelas 5 sekolah menengah, representasi pecahan diperkenalkan. Pecahan adalah bilangan yang terdiri dari bilangan bulat pecahan satuan. Pecahan biasa ditulis sebagai ±m/n, angka m disebut pembilang pecahan, angka n adalah penyebutnya. Jika modul penyebut lebih besar dari modul pembilang, katakanlah 3/4, maka pecahan disebut benar, jika tidak salah. Pecahan dapat berisi bagian bilangan bulat, misalnya 5 * (2/3). Operasi aritmatika yang berbeda diperbolehkan untuk pecahan.

Petunjuk

1. Pengurangan ke penyebut yang sama. Biarkan pecahan a / b dan c / d diberikan. - Pertama-tama, jumlah KPK (kelipatan persekutuan terkecil) untuk penyebut pecahan ditemukan. - Pembilang dan penyebut dari yang pertama pecahan dikalikan dengan KPK / b - Pembilang dan penyebut pecahan ke-2 dikalikan dengan KPK / d Contoh ditunjukkan pada gambar.Untuk membandingkan pecahan, mereka harus direduksi menjadi penyebut yang sama, lalu bandingkan pembilangnya. Katakanlah 3/4< 4/5, см. рисунок.

2. Penjumlahan dan pengurangan pecahan Untuk menemukan jumlah dari 2 pecahan biasa, mereka harus direduksi menjadi penyebut yang sama, kemudian dijumlahkan pembilangnya, sehingga penyebutnya tidak berubah. Contoh penjumlahan pecahan 1/2 dan 1/3 ditunjukkan pada gambar, Selisih antara pecahan ditemukan dengan cara yang sama, setelah menemukan penyebut yang sama, pembilang pecahan dikurangi, lihat contoh pada gambar.

3. Perkalian dan pembagian pecahan. Saat mengalikan pecahan biasa, pembilang dan penyebutnya dikalikan satu sama lain. Untuk membagi dua pecahan, Anda perlu mendapatkan kebalikan dari pecahan ke-2, yaitu tukar pembilang dan penyebutnya di tempat, lalu gandakan pecahan yang dihasilkan.

Modul mewakili nilai ekspresi tanpa syarat. Tanda kurung digunakan untuk menunjuk modul. Tahanan di dalamnya nilai-nilai diambil modulo. Solusi modul adalah memperluas kurung modul sesuai dengan aturan tertentu dan menemukan himpunan nilai ekspresi. Dalam kebanyakan kasus, modul diperluas sedemikian rupa sehingga ekspresi submodul menerima sejumlah nilai positif dan negatif, termasuk nol. Berdasarkan sifat-sifat modul ini, persamaan dan ketidaksetaraan lebih lanjut dari ekspresi awal dikompilasi dan diselesaikan.

Petunjuk

1. Tuliskan persamaan awal dengan modulus. Untuk mengatasinya, perluas modul. Pertimbangkan setiap ekspresi submodule. Tentukan berapa nilai dari nilai-nilai asing yang termasuk di dalamnya, ekspresi dalam kurung modular menghilang.

2. Untuk melakukan ini, samakan ekspresi submodul dengan nol dan temukan solusi dari persamaan yang dihasilkan. Tuliskan nilai yang ditemukan. Dengan cara yang sama, tentukan nilai variabel asing untuk seluruh modul dalam persamaan yang diberikan.

3. Pertimbangkan kasus di mana variabel ada ketika mereka baik dari nol. Untuk melakukan ini, tuliskan sistem ketidaksetaraan untuk semua modul persamaan awal. Pertidaksamaan harus mencakup semua nilai yang valid dari variabel pada garis bilangan.

4. Gambar garis bilangan dan plot nilai yang dihasilkan di atasnya. Nilai variabel dalam modul nol akan menjadi kendala dalam menyelesaikan persamaan modular.

5. Dalam persamaan awal, tanda kurung modular perlu diperluas, mengubah tanda ekspresi sehingga nilai variabel sesuai dengan yang ditampilkan pada garis bilangan. Selesaikan persamaan yang dihasilkan. Periksa nilai variabel yang ditemukan terhadap batas yang ditetapkan oleh modul. Jika solusi memenuhi kondisi, maka itu benar. Akar yang tidak memenuhi batasan harus dibuang.

6. Demikian pula, luaskan modul ekspresi awal, dengan mempertimbangkan tandanya, dan hitung akar persamaan yang dihasilkan. Tuliskan semua akar yang diperoleh yang memenuhi pertidaksamaan kendala.

Bilangan pecahan memungkinkan untuk mengungkapkan nilai pasti suatu kuantitas dalam berbagai bentuk. Dengan pecahan diperbolehkan untuk melakukan operasi matematika yang sama dengan bilangan bulat: pengurangan, penjumlahan, perkalian dan pembagian. Untuk belajar bagaimana memutuskan pecahan, Anda perlu mengingat beberapa fiturnya. Mereka bergantung pada jenisnya pecahan, keberadaan bagian bilangan bulat, penyebut yang sama. Beberapa operasi aritmatika kemudian membutuhkan pengurangan bagian pecahan dari total.

Anda akan perlu

• - Kalkulator

Petunjuk

1. Perhatikan baik-baik angka-angka ini. Jika ada desimal dan yang salah di antara pecahan, terkadang lebih nyaman untuk melakukan tindakan dengan desimal terlebih dahulu, lalu menerjemahkannya ke dalam bentuk yang salah. Bisakah kamu menerjemahkan pecahan dalam bentuk ini awalnya, menulis nilai setelah koma di pembilang dan menempatkan 10 di penyebut. Jika perlu, kurangi pecahan dengan membagi angka di atas dan di bawah bilah dengan satu pembagi. Pecahan di mana seluruh bagian diberikan, mengarah ke bentuk yang salah dengan mengalikannya dengan penyebut dan menambahkan pembilangnya ke total. Nilai ini akan menjadi pembilang baru pecahan. Untuk menyorot seluruh bagian dari yang awalnya salah pecahan, bagi pembilang dengan penyebutnya. Tulis total keseluruhan di sebelah kiri pecahan. Dan sisa pembagian menjadi pembilang baru, penyebut pecahan sementara tidak berubah. Untuk pecahan dengan bagian bilangan bulat, diperbolehkan untuk melakukan tindakan secara terpisah, pertama untuk bilangan bulat, dan kemudian untuk bagian pecahan. Katakanlah jumlahnya adalah 1 2/3 dan 2 ? dapat dihitung dengan dua cara: - Mengubah pecahan menjadi bentuk yang salah: - 1 2/3 + 2 ? \u003d 5/3 + 11/4 \u003d 20/12 + 33/12 \u003d 53/12 \u003d 4 5/12;- Penjumlahan secara terpisah dari bilangan bulat dan pecahan dari suku-suku: - 1 2/3 + 2 ? \u003d (1 + 2) + (2/3 +?) \u003d 3 + (8/12 + 9/12) \u003d 3 + 17/12 \u003d 3 + 1 5/12 \u003d 4 5/12.

2. Untuk pecahan biasa dengan nilai berbeda di bawah bilah, temukan penyebut yang sama. Katakanlah untuk 5/9 dan 7/12 penyebut yang sama adalah 36. Untuk ini, pembilang dan penyebut dari yang pertama pecahan Anda perlu mengalikannya dengan 4 (hasilnya 28/36), dan yang ke-2 - dengan 3 (hasilnya 15/36). Sekarang Anda dapat melakukan perhitungan yang diperlukan.

3. Jika Anda akan menghitung jumlah atau selisih pecahan, pertama-tama tuliskan penyebut yang sama yang ditemukan di bawah garis. Lakukan tindakan yang diperlukan di antara pembilang, dan tulis hasilnya di atas baris baru pecahan. Dengan demikian, pembilang baru akan menjadi selisih atau penjumlahan dari pembilang pecahan awal.

4. Untuk menghitung hasil pecahan, kalikan pembilang pecahan dan tulis totalnya sebagai pengganti pembilang hasil akhir pecahan. Lakukan hal yang sama untuk penyebutnya. Saat membagi satu pecahan tuliskan satu pecahan dengan pecahan lainnya, lalu kalikan pembilangnya dengan penyebut pecahan ke-2. Pada saat yang sama, penyebut yang pertama pecahan dikalikan dengan pembilang 2. Dalam hal ini, kudeta asli ke-2 pecahan(pembagi). Pecahan akhir akan terdiri dari hasil perkalian pembilang dan penyebut kedua pecahan. Sangat mudah untuk belajar bagaimana memecahkan pecahan, ditulis dalam kondisi berupa "empat lantai" pecahan. Jika sebuah garis memisahkan dua pecahan, tulis ulang dengan pembatas ":", dan lanjutkan dengan pembagian biasa.

5. Untuk memperoleh hasil akhir, kurangi pecahan yang dihasilkan dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan satu bilangan bulat, bilangan bulat terbesar yang diperbolehkan dalam kasus ini. Pada saat yang sama, bilangan bulat harus berada di atas dan di bawah garis.

Catatan!
Jangan melakukan operasi aritmatika dengan pecahan yang penyebutnya berbeda. Pilih angka sedemikian rupa sehingga ketika pembilang dan penyebut pecahan mana pun dikalikan dengannya, hasilnya, penyebut kedua pecahan itu sama.

Saran yang bermanfaat
Saat menulis angka pecahan, pembagi ditulis di atas garis. Kuantitas ini disebut sebagai pembilang pecahan. Di bawah garis, pembagi, atau penyebut, fraksi ditulis. Misalkan satu setengah kilogram beras dalam bentuk pecahan akan ditulis sebagai berikut: 1? kg beras. Jika penyebut pecahan adalah 10, itu disebut pecahan desimal. Dalam hal ini, pembilang (dividen) ditulis di sebelah kanan seluruh bagian yang dipisahkan dengan koma: 1,5 kg beras. Demi kenyamanan perhitungan, pecahan seperti itu selalu boleh ditulis dalam bentuk yang salah: 1 2/10 kg kentang. Agar lebih mudah, Anda bisa mengurangi nilai pembilang dan penyebutnya dengan cara membaginya dengan satu bilangan bulat. Dalam contoh ini, pembagian dapat diterima dengan 2. Hasilnya adalah 1 1/5 kg kentang. Pastikan angka yang akan Anda gunakan untuk melakukan operasi aritmatika disajikan dengan cara yang sama.

Jika Anda sedang menulis makalah atau menyusun beberapa dokumen lain yang berisi bagian perhitungan, maka Anda tidak dapat lepas dari ekspresi pecahan yang juga perlu dicetak. Bagaimana melakukan ini, kami akan mempertimbangkan lebih lanjut.

Petunjuk

1. Klik sekali pada item menu "Sisipkan", lalu pilih item "Simbol". Ini adalah salah satu metode penyisipan yang paling primitif. pecahan untuk mengirim pesan. Itu berakhir nanti. Kumpulan karakter siap pakai memiliki pecahan. Jumlah mereka, seperti biasa, kecil, tetapi jika Anda perlu menulis ? dalam teks, dan bukan 1/2, opsi serupa akan menjadi yang terbaik untuk Anda. Selain itu, jumlah karakter pecahan juga bergantung pada font. Misalnya, untuk font Times New Roman, pecahannya sedikit lebih kecil daripada Arial yang sama. Variasikan font untuk menemukan opsi terbaik dalam hal ekspresi primitif.

2. Klik pada item menu "Sisipkan" dan pilih sub-item "Objek". Anda akan melihat jendela dengan daftar objek yang valid untuk dimasukkan. Pilih di antara mereka Microsoft Equation 3.0. Aplikasi ini akan membantu Anda mengetik pecahan. Dan tidak hanya pecahan, tetapi juga ekspresi matematika yang sulit yang berisi berbagai fungsi trigonometri dan elemen lainnya. Klik dua kali pada objek ini dengan tombol kiri mouse. Anda akan melihat jendela yang berisi banyak simbol.

3. Untuk mencetak pecahan, pilih simbol yang mewakili pecahan dengan pembilang dan penyebut kosong. Klik sekali dengan tombol kiri mouse. Menu tambahan akan muncul, menentukan skema dari pecahan. Mungkin ada beberapa opsi. Pilih yang paling cocok untuk Anda dan klik sekali dengan tombol kiri mouse.

4. Ketik pembilang dan penyebutnya pecahan semua data yang diperlukan. Ini akan mengalir lebih alami pada lembar dokumen. Pecahan akan dimasukkan sebagai objek terpisah, yang, jika perlu, dapat dipindahkan ke sembarang tempat dalam dokumen. Anda dapat mencetak bertingkat pecahan. Untuk melakukan ini, tempatkan di pembilang atau penyebut (sesuai kebutuhan) pecahan lain yang dapat Anda pilih di jendela aplikasi yang sama.

Video Terkait

Pecahan aljabar adalah ekspresi bentuk A / B, di mana huruf A dan B menunjukkan ekspresi numerik atau alfabet apa pun. Seringkali pembilang dan penyebut dalam pecahan aljabar memiliki bentuk masif, tetapi operasi dengan pecahan seperti itu harus dilakukan sesuai dengan aturan yang sama seperti operasi dengan yang biasa, di mana pembilang dan penyebutnya adalah bilangan bulat biasa.

Petunjuk

1. Jika diberikan dicampur pecahan, ubah menjadi tidak beraturan (pecahan yang pembilangnya lebih besar dari penyebutnya): kalikan penyebutnya dengan bagian bilangan bulat dan tambahkan pembilangnya. Jadi angka 2 1/3 akan berubah menjadi 7/3. Untuk melakukan ini, kalikan 3 dengan 2 dan tambahkan satu.

2. Jika Anda perlu mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa, bayangkan itu sebagai membagi angka tanpa koma dengan satu dengan angka nol sebanyak angka setelah koma. Katakanlah angka 2,5 direpresentasikan sebagai 25/10 (jika Anda menguranginya, Anda mendapatkan 5/2), dan angka 3,61 - sebagai 361/100. Bekerja dengan pecahan biasa seringkali lebih mudah daripada dengan pecahan campuran atau desimal.

3. Jika pecahan memiliki penyebut yang identik, dan Anda perlu menjumlahkannya, maka tambahkan pembilangnya secara primitif; penyebutnya tetap tidak berubah.

4. Jika Anda perlu mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama dari pembilang pecahan pertama, kurangi pembilang pecahan ke-2. Penyebutnya juga tidak berubah.

5. Jika Anda perlu menjumlahkan pecahan atau mengurangkan satu pecahan dari pecahan lainnya, dan pecahan tersebut memiliki penyebut yang berbeda, bawalah pecahan tersebut ke penyebut yang sama. Untuk melakukannya, carilah bilangan yang akan menjadi kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari kedua penyebut atau beberapa jika pecahannya lebih besar dari 2. NOC adalah angka yang akan dibagi dengan penyebut semua pecahan yang diberikan. Misalnya, untuk 2 dan 5 angka ini adalah 10.

6. Setelah tanda sama dengan, gambar garis horizontal dan tulis angka ini (NOC) pada penyebutnya. Tambahkan faktor tambahan ke setiap suku - angka yang Anda perlukan untuk mengalikan pembilang dan penyebutnya untuk mendapatkan KPK. Kalikan pembilang secara bertahap dengan faktor penjumlahan, pertahankan tanda penjumlahan atau pengurangan.

7. Hitung totalnya, kurangi jika perlu, atau sorot keseluruhan bagian. Misalnya - perlu melipat? Dan?. KPK kedua pecahan adalah 12. Maka faktor penjumlahan pecahan pertama adalah 4, ke pecahan ke-2 - 3. Jumlah: ?+?=(1 4+1 3)/12=7/12.

8. Jika diberikan contoh perkalian, kalikan pembilangnya (ini akan menjadi pembilang total) dan penyebutnya (ini akan menjadi penyebut total). Dalam hal ini, mereka tidak perlu direduksi menjadi penyebut yang sama.

9. Untuk membagi pecahan dengan pecahan, Anda perlu membalikkan pecahan kedua dan mengalikan pecahan tersebut. Yaitu, a/b: c/d = a/b d/c.

10. Faktorkan pembilang dan penyebutnya sesuai kebutuhan. Katakanlah, pindahkan faktor universal keluar dari tanda kurung atau kembangkan sesuai dengan rumus perkalian singkat, sehingga setelah itu dimungkinkan, jika perlu, untuk mengurangi pembilang dan penyebutnya dengan GCD - pembagi persekutuan minimum.

Catatan!
Tambahkan angka dengan angka, huruf sejenis dengan huruf sejenis. Katakanlah tidak mungkin untuk menambahkan 3a dan 4b, yang berarti jumlah atau selisihnya akan tetap berada di pembilang - 3a±4b.

Video Terkait

Pecahan

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat ...")

Pecahan di sekolah menengah tidak terlalu mengganggu. Untuk saat ini. Sampai Anda menemukan eksponen dengan eksponen rasional dan logaritma. Dan disana…. Anda menekan, Anda menekan kalkulator, dan itu menunjukkan semua papan skor lengkap dari beberapa angka. Anda harus berpikir dengan kepala, seperti di kelas tiga.

Akhirnya, mari kita berurusan dengan pecahan! Nah, seberapa banyak Anda bisa bingung di dalamnya!? Selain itu, semuanya sederhana dan logis. Jadi, apa itu pecahan?

Jenis pecahan. Transformasi.

Pecahan terdiri dari tiga jenis.

1. Pecahan biasa , Misalnya:

Terkadang, alih-alih garis horizontal, mereka memberi garis miring: 1/2, 3/4, 19/5, nah, dan seterusnya. Di sini kita akan sering menggunakan ejaan ini. Nomor atas disebut pembilang, lebih rendah - penyebut. Jika Anda terus-menerus mengacaukan nama-nama ini (itu terjadi ...), beri tahu diri Anda frasa dengan ekspresi: " Zzzzz Ingat! Zzzzz penyebut - keluar zzzz kamu!" Lihat, semuanya akan diingat.)

Tanda hubung, yang horizontal, yang miring, artinya divisi bilangan atas (pembilang) ke bilangan bawah (penyebut). Dan itu saja! Alih-alih tanda hubung, sangat mungkin untuk memberi tanda pembagian - dua titik.

Ketika pembagian memungkinkan sepenuhnya, itu harus dilakukan. Jadi, daripada pecahan "32/8", jauh lebih menyenangkan menulis angka "4". Itu. 32 dibagi 8 saja.

32/8 = 32: 8 = 4

Saya tidak berbicara tentang pecahan "4/1". Yang juga hanya "4". Dan jika tidak habis dibagi, kita biarkan sebagai pecahan. Terkadang Anda harus melakukan sebaliknya. Buat pecahan dari bilangan bulat. Tapi lebih dari itu nanti.

2. Desimal , Misalnya:

Dalam formulir inilah perlu menuliskan jawaban atas tugas "B".

3. angka campuran , Misalnya:

Angka campuran praktis tidak digunakan di sekolah menengah. Untuk mengerjakannya, mereka harus diubah menjadi pecahan biasa. Tapi Anda pasti perlu tahu bagaimana melakukannya! Dan kemudian angka seperti itu akan ditemukan dalam teka-teki dan digantung ... Dari awal. Tapi kami ingat prosedur ini! Sedikit lebih rendah.

Paling serbaguna pecahan biasa. Mari kita mulai dengan mereka. Omong-omong, jika ada semua jenis logaritma, sinus, dan huruf lain dalam pecahan, ini tidak mengubah apa pun. Dalam artian semuanya tindakan dengan ekspresi pecahan tidak berbeda dengan tindakan dengan pecahan biasa!

Sifat dasar pecahan.

Jadi ayo pergi! Pertama-tama, saya akan mengejutkan Anda. Seluruh variasi transformasi pecahan disediakan oleh satu properti! Itulah yang disebut sifat dasar pecahan. Ingat: Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan (dibagi) dengan bilangan yang sama, pecahan tersebut tidak akan berubah. Itu:

Jelas bahwa Anda dapat menulis lebih jauh, sampai wajah Anda membiru. Jangan biarkan sinus dan logaritma membingungkan Anda, kami akan membahasnya lebih lanjut. Hal utama yang harus dipahami adalah semua ekspresi yang berbeda ini fraksi yang sama . 2/3.

Dan kita membutuhkannya, semua transformasi ini? Dan bagaimana! Sekarang Anda akan melihatnya sendiri. Pertama, mari kita gunakan sifat dasar pecahan untuk singkatan pecahan. Tampaknya hal itu dasar. Kami membagi pembilang dan penyebut dengan angka yang sama dan hanya itu! Tidak mungkin salah! Tapi ... manusia adalah makhluk kreatif. Anda dapat membuat kesalahan di mana-mana! Apalagi jika Anda harus mengurangi bukan pecahan seperti 5/10, tetapi ekspresi pecahan dengan semua jenis huruf.

Cara mengurangi pecahan dengan benar dan cepat tanpa melakukan pekerjaan yang tidak perlu dapat ditemukan di Bagian khusus 555.

Seorang siswa normal tidak repot-repot membagi pembilang dan penyebut dengan angka (atau ekspresi) yang sama! Dia hanya mencoret semuanya sama dari atas dan bawah! Di sinilah kesalahan tipikal mengintai, kesalahan, jika Anda suka.

Misalnya, Anda perlu menyederhanakan ekspresi:

Tidak ada yang perlu dipikirkan, kami mencoret huruf "a" dari atas dan deuce dari bawah! Kita mendapatkan:

Semuanya benar. Tapi sungguh Anda berbagi keseluruhan pembilang dan keseluruhan penyebut "a". Jika Anda terbiasa mencoret saja, maka dengan tergesa-gesa, Anda dapat mencoret "a" pada ekspresi tersebut

dan dapatkan lagi

Yang pasti salah. Karena disini keseluruhan pembilang pada "a" sudah tidak dibagikan! Fraksi ini tidak dapat dikurangi. Ngomong-ngomong, singkatan seperti itu, um ... tantangan serius bagi guru. Ini tidak dimaafkan! Ingat? Saat mengurangi, perlu untuk membagi keseluruhan pembilang dan keseluruhan penyebut!

Mengurangi pecahan membuat hidup jauh lebih mudah. Anda akan mendapatkan pecahan di suatu tempat, misalnya 375/1000. Dan bagaimana cara bekerja dengannya sekarang? Tanpa kalkulator? Kalikan, katakanlah, tambahkan, kuadrat!? Dan jika Anda tidak terlalu malas, tetapi dengan hati-hati kurangi lima, dan bahkan lima, dan bahkan ... sementara itu dikurangi, singkatnya. Kami mendapat 3/8! Jauh lebih bagus, bukan?

Sifat dasar pecahan memungkinkan Anda mengubah pecahan biasa menjadi desimal dan sebaliknya tanpa kalkulator! Ini penting untuk ujian, kan?

Cara mengubah pecahan dari satu bentuk ke bentuk lainnya.

Sangat mudah dengan desimal. Seperti yang didengar, demikianlah tertulis! Katakanlah 0,25. Ini nol koma, dua puluh lima per seratus. Jadi kami menulis: 25/100. Kami mengurangi (membagi pembilang dan penyebut dengan 25), kami mendapatkan pecahan biasa: 1/4. Semua. Itu terjadi, dan tidak ada yang dikurangi. Seperti 0,3. Ini tiga persepuluh, mis. 3/10.

Bagaimana jika bilangan bulat bukan nol? Tidak apa-apa. Tuliskan seluruh pecahan tanpa koma di pembilang, dan di penyebut - apa yang terdengar. Misalnya: 3.17. Ini tiga utuh, tujuh belas ratus. Kami menulis 317 di pembilang, dan penyebut 100. Kami mendapatkan 317/100. Tidak ada yang dikurangi, itu berarti segalanya. Inilah jawabannya. Dasar Watson! Dari semua hal di atas, kesimpulan yang berguna: pecahan desimal apa pun dapat diubah menjadi pecahan biasa .

Tetapi konversi terbalik, biasa ke desimal, beberapa tidak dapat dilakukan tanpa kalkulator. Dan itu perlu! Bagaimana Anda akan menuliskan jawaban pada ujian !? Kami dengan hati-hati membaca dan menguasai proses ini.

Apa itu pecahan desimal? Dia memiliki penyebut Selalu bernilai 10 atau 100 atau 1000 atau 10000 dan seterusnya. Jika pecahan biasa Anda memiliki penyebut seperti itu, tidak ada masalah. Misalnya, 4/10 = 0,4. Atau 7/100 = 0,07. Atau 12/10 = 1,2. Dan kalau di jawaban tugas bagian "B" ternyata 1/2? Apa yang akan kami tulis sebagai tanggapan? Desimal diperlukan...

Kita ingat sifat dasar pecahan ! Matematika menguntungkan memungkinkan Anda mengalikan pembilang dan penyebut dengan angka yang sama. Untuk siapa pun, omong-omong! Kecuali nol, tentu saja. Mari gunakan fitur ini untuk keuntungan kita! Apa yang penyebutnya dapat dikalikan dengan, mis. 2 sehingga menjadi 10, atau 100, atau 1000 (lebih kecil lebih baik tentunya...)? 5, jelas. Jangan ragu untuk mengalikan penyebutnya (yaitu kita perlu) dengan 5. Tapi, pembilangnya juga harus dikalikan dengan 5. Ini sudah matematika tuntutan! Kita mendapatkan 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Itu saja.

Namun, semua jenis penyebut ditemukan. Misalnya, pecahan 3/16 akan jatuh. Cobalah, cari tahu cara mengalikan 16 dengan apa untuk mendapatkan 100, atau 1000... Tidak berhasil? Kemudian Anda cukup membagi 3 dengan 16. Jika tidak ada kalkulator, Anda harus membaginya di sudut, di selembar kertas, seperti yang diajarkan di kelas dasar. Kami mendapatkan 0,1875.

Dan ada beberapa penyebut yang sangat buruk. Misalnya, pecahan 1/3 tidak dapat diubah menjadi desimal yang baik. Baik di kalkulator maupun di selembar kertas, kita mendapatkan 0,3333333 ... Ini berarti 1/3 menjadi pecahan desimal yang tepat tidak menerjemahkan. Sama seperti 1/7, 5/6 dan seterusnya. Banyak dari mereka tidak dapat diterjemahkan. Oleh karena itu kesimpulan lain yang bermanfaat. Tidak semua pecahan biasa dapat diubah menjadi desimal. !

Omong-omong, ini adalah informasi yang berguna untuk pemeriksaan diri. Di bagian "B" sebagai tanggapan, Anda perlu menuliskan pecahan desimal. Dan Anda mendapat, misalnya, 4/3. Pecahan ini tidak diubah menjadi desimal. Ini berarti bahwa di suatu tempat di sepanjang jalan Anda membuat kesalahan! Kembali, periksa solusinya.

Jadi, dengan pecahan biasa dan desimal disortir. Tetap berurusan dengan angka campuran. Untuk mengerjakannya, semuanya perlu diubah menjadi pecahan biasa. Bagaimana cara melakukannya? Anda dapat menangkap siswa kelas enam dan bertanya padanya. Tapi tidak selalu ada siswa kelas enam ... Kita harus melakukannya sendiri. Tidak sulit. Kalikan penyebut bagian pecahan dengan bagian bilangan bulat dan tambahkan pembilang bagian pecahan. Ini akan menjadi pembilang pecahan biasa. Bagaimana dengan penyebutnya? Penyebutnya akan tetap sama. Kedengarannya rumit, tetapi sebenarnya cukup sederhana. Mari kita lihat contohnya.

Biarkan masalah yang Anda lihat dengan ngeri nomornya:

Tenang, tanpa panik, kami mengerti. Seluruh bagiannya adalah 1. Satu. Bagian pecahan adalah 3/7. Oleh karena itu, penyebut bagian pecahan adalah 7. Penyebut ini akan menjadi penyebut pecahan biasa. Kami menghitung pembilangnya. Kami mengalikan 7 dengan 1 (bagian bilangan bulat) dan menambahkan 3 (pembilang dari bagian pecahan). Kita mendapatkan 10. Ini akan menjadi pembilang pecahan biasa. Itu saja. Terlihat lebih sederhana dalam notasi matematika:

Jelas? Kemudian amankan kesuksesan Anda! Konversikan ke pecahan biasa. Anda harus mendapatkan 10/7, 7/2, 23/10 dan 21/4.

Operasi kebalikan - mengubah pecahan biasa menjadi bilangan campuran - jarang diperlukan di sekolah menengah. Nah, jika... Dan jika Anda - bukan di sekolah menengah - Anda dapat melihat Bagian khusus 555. Omong-omong, di tempat yang sama, Anda akan belajar tentang pecahan biasa.

Yah, hampir semuanya. Anda ingat jenis-jenis pecahan dan mengerti Bagaimana mengubahnya dari satu jenis ke jenis lainnya. Pertanyaannya tetap: Untuk apa lakukan? Di mana dan kapan menerapkan pengetahuan yang mendalam ini?

Saya menjawab. Setiap contoh itu sendiri menyarankan tindakan yang diperlukan. Jika pada contoh pecahan biasa, desimal, bahkan bilangan campuran dicampur menjadi satu, kita terjemahkan semuanya menjadi pecahan biasa. Itu selalu bisa dilakukan. Nah, jika sesuatu seperti 0,8 + 0,3 ditulis, maka menurut kami begitu, tanpa terjemahan apa pun. Mengapa kita membutuhkan pekerjaan ekstra? Kami memilih solusi yang nyaman kita !

Jika tugasnya penuh dengan pecahan desimal, tapi um ... semacam yang jahat, pergi ke yang biasa, coba! Lihat, semuanya akan baik-baik saja. Misalnya, Anda harus mengkuadratkan angka 0,125. Tidak begitu mudah jika Anda tidak kehilangan kebiasaan menggunakan kalkulator! Anda tidak hanya perlu mengalikan angka dalam kolom, tetapi juga memikirkan di mana harus memasukkan koma! Itu pasti tidak berhasil dalam pikiranku! Dan jika Anda pergi ke pecahan biasa?

0,125 = 125/1000. Kami kurangi 5 (ini sebagai permulaan). Kami mendapat 25/200. Sekali lagi pada 5. Kami mendapat 5/40. Oh, itu menyusut! Kembali ke 5! Kami mendapat 1/8. Kuadratkan dengan mudah (dalam pikiran Anda!) dan dapatkan 1/64. Semua!

Mari kita meringkas pelajaran ini.

1. Ada tiga jenis pecahan. Bilangan biasa, desimal, dan campuran.

2. Bilangan desimal dan campuran Selalu dapat diubah menjadi pecahan biasa. Terjemahan terbalik tidak selalu tersedia.

3. Pilihan jenis pecahan untuk mengerjakan tugas bergantung pada tugas ini. Jika ada berbagai jenis pecahan dalam satu tugas, hal yang paling dapat diandalkan adalah beralih ke pecahan biasa.

Sekarang kamu bisa berlatih. Pertama, ubah pecahan desimal ini menjadi pecahan biasa:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Anda harus mendapatkan jawaban seperti ini (berantakan!):

Tentang ini kita akan selesai. Dalam pelajaran ini, kami memoles poin-poin penting tentang pecahan. Namun, kebetulan tidak ada yang istimewa untuk disegarkan ...) Jika seseorang benar-benar lupa, atau belum menguasainya ... Itu bisa masuk ke Bagian khusus 555. Semua dasar-dasarnya dirinci di sana. Banyak yang tiba-tiba mengerti segalanya mulai. Dan mereka memecahkan pecahan dengan cepat).

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunan.