Perluas modul ekspresi:

Bagian 2. Sifat dasar.

Fakta penting lainnya: modulus tidak pernah negatif. Berapapun bilangan yang kita ambil - bahkan positif, bahkan negatif - modulusnya selalu positif (atau dalam kasus ekstrim, nol). Itulah sebabnya modulus sering disebut sebagai nilai mutlak suatu bilangan.

Selain itu, jika kita menggabungkan definisi modulus untuk bilangan positif dan negatif, maka kita mendapatkan definisi global modulus untuk semua bilangan. Yaitu: modulus suatu bilangan sama dengan bilangan itu sendiri jika bilangan tersebut positif (atau nol), atau sama dengan bilangan lawannya jika bilangan tersebut negatif. Anda dapat menulis ini sebagai rumus:

Ada juga modul nol, tapi selalu sama dengan nol. Selain itu, nol adalah satu-satunya bilangan yang tidak mempunyai lawan.

Jadi, jika kita mempertimbangkan fungsi $y=\left| x \right|$ dan coba gambar grafiknya, Anda akan mendapatkan “daw” seperti ini:

Contoh grafik modulus dan solusi persamaan

Dari gambar ini Anda dapat langsung melihat bahwa $\left| -m \kanan|=\kiri| m \right|$, dan plot modul tidak pernah berada di bawah sumbu x. Tapi bukan itu saja: garis merah menandai garis lurus $y=a$, yang, dengan $a$ positif, memberi kita dua akar sekaligus: $((x)_(1))$ dan $((x) _(2)) $, tapi kita akan membicarakannya nanti. :)

Selain definisi aljabar murni, ada definisi geometris. Katakanlah ada dua titik pada garis bilangan: $((x)_(1))$ dan $((x)_(2))$. Dalam hal ini, ekspresi $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ hanyalah jarak antara titik-titik yang ditentukan. Atau, jika Anda mau, panjang segmen yang menghubungkan titik-titik ini:

Dari definisi ini juga dapat disimpulkan bahwa modulus selalu non-negatif. Tapi cukup definisi dan teorinya - mari beralih ke persamaan nyata. :)

Rumus Dasar

Oke, kita sudah menemukan definisinya. Namun hal itu tidak menjadi lebih mudah. Bagaimana menyelesaikan persamaan yang mengandung modul ini?

Tenang, tenang saja. Mari kita mulai dengan hal yang paling sederhana. Pertimbangkan sesuatu seperti ini:

\[\kiri| x\kanan|=3\]

Jadi modulo$x$nya adalah 3. $x$ bisa sama dengan apa? Ya, dilihat dari definisinya, $x=3$ akan cocok untuk kita. Benar-benar:

\[\kiri| 3\kanan|=3\]

Apakah ada nomor lain? Cap sepertinya mengisyaratkan bahwa ada. Misalnya, $x=-3$ — $\kiri| -3 \kanan|=3$, mis. kesetaraan yang dibutuhkan terpenuhi.

Jadi mungkin jika kita mencari, pikirkan, kita akan menemukan lebih banyak nomor? Tapi putuskan: tidak ada angka lagi. Persamaan $\kiri| x \right|=3$ hanya memiliki dua akar: $x=3$ dan $x=-3$.

Sekarang mari kita mempersulit tugas ini sedikit. Misalkan, alih-alih variabel $x$, fungsi $f\left(x \right)$ digantung di bawah tanda modulus, dan di sebelah kanan, alih-alih tripel, kita letakkan bilangan sembarang $a$. Kami mendapatkan persamaan:

\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=a\]

Nah, bagaimana Anda memutuskannya? Izinkan saya mengingatkan Anda: $f\left(x \right)$ adalah fungsi arbitrer, $a$ adalah bilangan apa pun. Itu. ada sama sekali! Misalnya:

\[\kiri| 2x+1 \kanan|=5\]

\[\kiri| 10x-5 \kanan|=-65\]

Mari kita lihat persamaan kedua. Anda dapat langsung mengatakan tentang dia: dia tidak memiliki akar. Mengapa? Benar: karena modulusnya harus sama dengan bilangan negatif, dan hal ini tidak akan pernah terjadi, karena kita telah mengetahui bahwa modulusnya selalu berupa bilangan positif atau, dalam kasus ekstrem, nol.

Namun dengan persamaan pertama, segalanya menjadi lebih menyenangkan. Ada dua pilihan: ada ekspresi positif di bawah tanda modul, dan kemudian $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, atau ekspresi ini masih negatif, dalam hal ini $\left| 2x+1 \kanan|=-\kiri(2x+1 \kanan)=-2x-1$. Dalam kasus pertama, persamaan kita akan ditulis ulang menjadi:

\[\kiri| 2x+1 \kanan|=5\Panah Kanan 2x+1=5\]

Dan tiba-tiba ternyata ekspresi submodul $2x+1$ memang positif - sama dengan angka 5. Artinya, kita dapat menyelesaikan persamaan ini dengan aman - akar yang dihasilkan akan menjadi bagian dari jawabannya:

Mereka yang sangat tidak percaya dapat mencoba mengganti akar yang ditemukan ke dalam persamaan asli dan memastikan bahwa memang ada bilangan positif di bawah modulus.

Sekarang mari kita lihat kasus ekspresi submodul negatif:

\[\kiri\( \mulai(sejajarkan)& \kiri| 2x+1 \kanan|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(sejajarkan) \kanan.\Panah Kanan -2x-1=5 \Panah Kanan 2x+1=-5\]

Ups! Sekali lagi, semuanya jelas: kita berasumsi bahwa $2x+1 \lt 0$, dan sebagai hasilnya kita mendapatkan $2x+1=-5$ - memang, ekspresi ini kurang dari nol. Kami menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, sambil mengetahui dengan pasti bahwa akar yang ditemukan cocok untuk kami:

Secara total, kami kembali menerima dua jawaban: $x=2$ dan $x=3$. Ya, jumlah perhitungannya ternyata sedikit lebih banyak daripada persamaan sederhana $\left| x \kanan|=3$, tetapi pada dasarnya tidak ada yang berubah. Jadi mungkin ada semacam algoritma universal?

Ya, algoritma seperti itu ada. Dan sekarang kita akan menganalisisnya.

Menyingkirkan tanda modul

Mari kita diberikan persamaan $\kiri| f\left(x \right) \right|=a$, dan $a\ge 0$ (jika tidak, seperti yang telah kita ketahui, tidak ada akar). Kemudian Anda dapat menghilangkan tanda modulo sesuai aturan berikut:

\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=a\Panah Kanan f\kiri(x \kanan)=\pm a\]

Jadi, persamaan kita dengan modulus terbagi menjadi dua, tetapi tanpa modulus. Itulah keseluruhan teknologinya! Mari kita coba menyelesaikan beberapa persamaan. Mari kita mulai dengan ini

\[\kiri| 5x+4 \kanan|=10\Panah Kanan 5x+4=\pm 10\]

Kami akan mempertimbangkan secara terpisah jika ada sepuluh dengan nilai tambah di sebelah kanan, dan secara terpisah jika ada sepuluh dengan nilai minus. Kita punya:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Panah Kanan 5x=6\Panah Kanan x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Panah Kanan 5x=-14\Panah Kanan x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\end(sejajarkan)\]

Itu saja! Kami mendapat dua akar: $x=1.2$ dan $x=-2.8$. Seluruh solusi mengambil dua baris.

Oke, tidak ada pertanyaan, mari kita lihat sesuatu yang lebih serius:

\[\kiri| 7-5x \kanan|=13\]

Sekali lagi, buka modul dengan plus dan minus:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Panah Kanan -5x=6\Panah Kanan x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Panah Kanan -5x=-20\Panah Kanan x=4. \\\end(sejajarkan)\]

Sekali lagi beberapa baris - dan jawabannya sudah siap! Seperti yang saya katakan, tidak ada yang rumit dalam modul. Anda hanya perlu mengingat beberapa aturan. Oleh karena itu, kami melangkah lebih jauh dan melanjutkan dengan tugas-tugas yang lebih sulit.

Casing sisi kanan variabel

Sekarang perhatikan persamaan ini:

\[\kiri| 3x-2 \kanan|=2x\]

Persamaan ini pada dasarnya berbeda dari persamaan sebelumnya. Bagaimana? Dan fakta bahwa ekspresi $2x$ berada di sebelah kanan tanda sama dengan - dan kita tidak dapat mengetahui sebelumnya apakah ekspresi tersebut positif atau negatif.

Bagaimana caranya dalam hal ini? Pertama, kita harus memahami hal itu untuk selamanya jika ruas kanan persamaan tersebut negatif, maka persamaan tersebut tidak mempunyai akar- kita sudah tahu bahwa modulusnya tidak bisa sama dengan bilangan negatif.

Dan kedua, jika ruas kanannya masih positif (atau sama dengan nol), maka Anda dapat melanjutkan dengan cara yang persis sama seperti sebelumnya: cukup buka modul secara terpisah dengan tanda plus dan terpisah dengan tanda minus.

Jadi, kami merumuskan aturan untuk fungsi arbitrer $f\left(x \right)$ dan $g\left(x \right)$ :

\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=g\kiri(x \kanan)\Panah Kanan \kiri\( \begin(sejajarkan)& f\kiri(x \kanan)=\pm g\kiri(x \kanan ), \\& g\kiri(x \kanan)\ge 0. \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

Berkenaan dengan persamaan kita, kita mendapatkan:

\[\kiri| 3x-2 \kanan|=2x\Panah Kanan \kiri\( \begin(sejajarkan)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

Ya, kita bisa menangani persyaratan $2x\ge 0$. Pada akhirnya, kita bisa dengan bodohnya mengganti akar-akar yang kita peroleh dari persamaan pertama dan memeriksa apakah pertidaksamaannya berlaku atau tidak.

Jadi mari kita selesaikan persamaannya sendiri:

\[\begin(sejajarkan)& 3x-2=2\Panah Kanan 3x=4\Panah Kanan x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Panah Kanan 3x=0\Panah Kanan x=0. \\\end(sejajarkan)\]

Nah, manakah dari dua akar berikut yang memenuhi persyaratan $2x\ge 0$? Ya, keduanya! Oleh karena itu, jawabannya adalah dua angka: $x=(4)/(3)\;$ dan $x=0$. Itu solusinya. :)

Saya curiga salah satu siswa sudah mulai bosan? Nah, pertimbangkan persamaan yang lebih kompleks:

\[\kiri| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \kanan|=x-((x)^(3))\]

Meski kelihatannya jahat, nyatanya semua persamaannya sama saja yang berbentuk "modulus sama dengan fungsi":

\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=g\kiri(x \kanan)\]

Dan itu diselesaikan dengan cara yang sama:

\[\kiri| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \kanan|=x-((x)^(3))\Panah Kanan \kiri\( \begin(sejajarkan)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \kiri(x-((x)^(3)) \kanan), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

Kita akan membahas ketimpangan nanti - ini terlalu kejam (sebenarnya sederhana, tapi kami tidak akan menyelesaikannya). Untuk saat ini, mari kita lihat persamaan yang dihasilkan. Pertimbangkan kasus pertama - ini adalah saat modul diperluas dengan tanda plus:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Nah, tidak ada salahnya Anda mengumpulkan semua yang ada di sebelah kiri, membawa yang serupa, dan melihat apa yang terjadi. Dan inilah yang terjadi:

\[\begin(sejajarkan)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(sejajarkan)\]

Mengeluarkan faktor persekutuan $((x)^(2))$ dari kurung, kita mendapatkan persamaan yang sangat sederhana:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \kanan)=0\Panah Kanan \kiri[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Di sini kami menggunakan properti penting dari produk, yang karenanya kami memfaktorkan polinomial asli: produk sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol.

Sekarang, dengan cara yang sama, kita akan menangani persamaan kedua, yang diperoleh dengan memperluas modul dengan tanda minus:

\[\begin(sejajarkan)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\kiri(x-((x)^(3)) \kanan); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\kiri(-3x+2 \kanan)=0. \\\end(sejajarkan)\]

Sekali lagi, hal yang sama: hasil kali adalah nol jika setidaknya salah satu faktornya nol. Kita punya:

\[\kiri[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Ya, kita mendapat tiga akar: $x=0$, $x=1.5$ dan $x=(2)/(3)\;$. Nah, apa yang akan menjadi jawaban akhir dari kumpulan ini? Untuk melakukan hal ini, ingatlah bahwa kita memiliki batasan ketimpangan tambahan:

Bagaimana cara memperhitungkan persyaratan ini? Mari kita substitusikan akar-akar yang ditemukan dan periksa apakah pertidaksamaan berlaku untuk $x$ ini atau tidak. Kita punya:

\[\begin(align)& x=0\Panah Kanan x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Panah Kanan x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Panah Kanan x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(sejajarkan)\]

Jadi, akar $x=1.5$ tidak cocok untuk kita. Dan hanya dua akar yang akan menjadi jawabannya:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Seperti yang Anda lihat, bahkan dalam kasus ini tidak ada yang sulit - persamaan dengan modul selalu diselesaikan sesuai dengan algoritma. Anda hanya perlu memiliki pemahaman yang baik tentang polinomial dan pertidaksamaan. Oleh karena itu, kami beralih ke tugas yang lebih kompleks - tidak hanya satu, tetapi dua modul.

Persamaan dengan dua modul

Sejauh ini, kita hanya mempelajari persamaan yang paling sederhana - ada satu modul dan ada yang lain. Kami mengirim “sesuatu yang lain” ini ke bagian lain dari pertidaksamaan, jauh dari modul, sehingga pada akhirnya semuanya akan direduksi menjadi persamaan seperti $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ atau bahkan lebih sederhana $\left| f\kiri(x \kanan) \kanan|=a$.

Tapi taman kanak-kanak sudah berakhir - saatnya mempertimbangkan sesuatu yang lebih serius. Mari kita mulai dengan persamaan seperti ini:

\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=\kiri| g\kiri(x \kanan) \kanan|\]

Ini adalah persamaan dalam bentuk "modulus sama dengan modulus". Poin penting yang mendasar adalah tidak adanya syarat dan faktor lain: hanya satu modul di sebelah kiri, satu modul lagi di sebelah kanan - dan tidak lebih.

Sekarang kita mungkin berpikir bahwa persamaan seperti itu lebih sulit dipecahkan daripada apa yang telah kita pelajari sejauh ini. Tapi tidak: persamaan ini diselesaikan dengan lebih mudah. Berikut rumusnya:

\[\kiri| f\kiri(x \kanan) \kanan|=\kiri| g\kiri(x \kanan) \kanan|\Panah Kanan f\kiri(x \kanan)=\pm g\kiri(x \kanan)\]

Semua! Kita cukup menyamakan ekspresi submodul dengan mengawali salah satunya dengan tanda plus atau minus. Dan kemudian kita menyelesaikan dua persamaan yang dihasilkan - dan akar-akarnya sudah siap! Tidak ada batasan tambahan, tidak ada kesenjangan, dll. Semuanya sangat sederhana.

Mari kita coba selesaikan masalah ini:

\[\kiri| 2x+3 \kanan|=\kiri| 2x-7 \kanan|\]

SD Watson! Membuka modul:

\[\kiri| 2x+3 \kanan|=\kiri| 2x-7 \kanan|\Panah Kanan 2x+3=\pm \kiri(2x-7 \kanan)\]

Mari pertimbangkan setiap kasus secara terpisah:

\[\begin(sejajarkan)& 2x+3=2x-7\Panah Kanan 3=-7\Panah Kanan \emptyset ; \\& 2x+3=-\kiri(2x-7 \kanan)\Panah Kanan 2x+3=-2x+7. \\\end(sejajarkan)\]

Persamaan pertama tidak mempunyai akar. Karena kapan $3=-7$? Untuk nilai $x$ berapa? “Apa itu $x$? Apakah kamu teler? Tidak ada $x$ sama sekali,” kata Anda. Dan Anda akan benar. Kami telah memperoleh persamaan yang tidak bergantung pada variabel $x$, dan pada saat yang sama persamaan itu sendiri salah. Itu sebabnya tidak ada akarnya.

Dengan persamaan kedua, segalanya menjadi sedikit lebih menarik, tetapi juga sangat, sangat sederhana:

Seperti yang Anda lihat, semuanya diputuskan hanya dalam beberapa baris - kami tidak mengharapkan apa pun dari persamaan linier. :)

Hasilnya, jawaban akhirnya adalah: $x=1$.

Nah, bagaimana caranya? Sulit? Tentu saja tidak. Mari kita coba yang lain:

\[\kiri| x-1 \kanan|=\kiri| ((x)^(2))-3x+2 \kanan|\]

Sekali lagi kita memiliki persamaan seperti $\left| f\kiri(x \kanan) \kanan|=\kiri| g\kiri(x \kanan) \kanan|$. Oleh karena itu, kami segera menulis ulang, memperlihatkan tanda modul:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \kiri(x-1 \kanan)\]

Mungkin sekarang ada yang bertanya: “Hei, omong kosong macam apa? Mengapa plus-minus ada di sisi kanan dan bukan di sisi kiri? Tenang, aku akan menjelaskan semuanya. Memang, dengan cara yang baik, kita seharusnya menulis ulang persamaan kita sebagai berikut:

Kemudian Anda perlu membuka tanda kurung, memindahkan semua suku ke satu arah dari tanda sama dengan (karena persamaannya, tentu saja, akan berbentuk persegi dalam kedua kasus), dan kemudian temukan akar-akarnya. Namun harus Anda akui: ketika “plus-minus” ada di depan tiga suku (apalagi jika salah satu suku tersebut berupa ekspresi persegi), hal ini terlihat lebih rumit daripada situasi ketika “plus-minus” ada di depan hanya dua suku. ketentuan.

Namun tidak ada yang menghalangi kita untuk menulis ulang persamaan aslinya sebagai berikut:

\[\kiri| x-1 \kanan|=\kiri| ((x)^(2))-3x+2 \kanan|\Panah Kanan \kiri| ((x)^(2))-3x+2 \kanan|=\kiri| x-1 \kanan|\]

Apa yang telah terjadi? Ya, tidak ada yang istimewa: hanya menukar sisi kiri dan kanan. Hal sepele yang pada akhirnya akan sedikit mempermudah hidup kita. :)

Secara umum, kita menyelesaikan persamaan ini dengan mempertimbangkan opsi dengan plus dan minus:

\[\begin(sejajarkan)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Panah Kanan ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\kiri(x-1 \kanan)\Panah Kanan ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(sejajarkan)\]

Persamaan pertama memiliki akar $x=3$ dan $x=1$. Yang kedua umumnya berbentuk persegi:

\[((x)^(2))-2x+1=((\kiri(x-1 \kanan))^(2))\]

Oleh karena itu, ia memiliki akar tunggal: $x=1$. Tapi kami sudah menerima root ini sebelumnya. Jadi, hanya dua angka yang akan masuk ke dalam jawaban akhir:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Misi terselesaikan! Anda bisa mengambilnya dari rak dan memakan pai. Ada 2, rata-rata kamu. :)

Catatan penting. Kehadiran akar yang sama untuk versi perluasan modul yang berbeda berarti bahwa polinomial asli didekomposisi menjadi faktor-faktor, dan di antara faktor-faktor ini pasti ada faktor yang sama. Benar-benar:

\[\mulai(sejajarkan)& \kiri| x-1 \kanan|=\kiri| ((x)^(2))-3x+2 \kanan|; \\&\kiri| x-1 \kanan|=\kiri| \kiri(x-1 \kanan)\kiri(x-2 \kanan) \kanan|. \\\end(sejajarkan)\]

Salah satu properti modul: $\left| a\cdot b \kanan|=\kiri| a \kanan|\cdot \kiri| b \right|$ (yaitu, modulus hasil kali sama dengan hasil kali moduli), sehingga persamaan aslinya dapat ditulis ulang menjadi

\[\kiri| x-1 \kanan|=\kiri| x-1 \kanan|\cdot \kiri| x-2 \kanan|\]

Seperti yang Anda lihat, kami benar-benar memiliki faktor yang sama. Sekarang, jika Anda mengumpulkan semua modul di satu sisi, Anda dapat mengeluarkan pengali ini dari braket:

\[\mulai(sejajarkan)& \kiri| x-1 \kanan|=\kiri| x-1 \kanan|\cdot \kiri| x-2 \kanan|; \\&\kiri| x-1 \kanan|-\kiri| x-1 \kanan|\cdot \kiri| x-2 \kanan|=0; \\&\kiri| x-1 \kanan|\cdot \kiri(1-\kiri| x-2 \kanan| \kanan)=0. \\\end(sejajarkan)\]

Nah, sekarang kita ingat bahwa hasil kali sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol:

\[\kiri[ \mulai(sejajarkan)& \kiri| x-1 \kanan|=0, \\& \kiri| x-2 \kanan|=1. \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

Jadi, persamaan awal dengan dua modul telah direduksi menjadi dua persamaan paling sederhana yang kita bicarakan di awal pelajaran. Persamaan seperti itu dapat diselesaikan hanya dalam beberapa baris. :)

Pernyataan ini mungkin tampak terlalu rumit dan tidak dapat diterapkan dalam praktik. Namun, pada kenyataannya, Anda mungkin menghadapi tugas yang jauh lebih kompleks daripada tugas yang kita analisis saat ini. Di dalamnya, modul dapat digabungkan dengan polinomial, akar aritmatika, logaritma, dll. Dan dalam situasi seperti itu, kemampuan untuk menurunkan derajat persamaan secara keseluruhan dengan mengeluarkan sesuatu di luar batas bisa sangat, sangat berguna. :)

Sekarang saya ingin menganalisis persamaan lain, yang sekilas mungkin tampak gila. Banyak siswa yang “bertahan” – bahkan mereka yang percaya bahwa mereka memiliki pemahaman yang baik tentang modul.

Namun, persamaan ini bahkan lebih mudah untuk diselesaikan daripada persamaan yang kita bahas sebelumnya. Dan jika Anda memahami alasannya, Anda akan mendapatkan trik lain untuk menyelesaikan persamaan dengan cepat menggunakan modul.

Jadi persamaannya adalah:

\[\kiri| x-((x)^(3)) \kanan|+\kiri| ((x)^(2))+x-2 \kanan|=0\]

Tidak, ini bukan salah ketik: ini merupakan nilai tambah antar modul. Dan kita perlu mencari $x$ mana yang jumlah dua modulnya sama dengan nol. :)

Apa masalahnya? Dan masalahnya adalah setiap modul adalah bilangan positif, atau dalam kasus ekstrim, nol. Apa yang terjadi jika Anda menjumlahkan dua bilangan positif? Jelas sekali, sekali lagi angka positif:

\[\begin(sejajarkan)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(sejajarkan)\]

Baris terakhir mungkin memberi Anda gambaran: satu-satunya kasus di mana jumlah modulusnya nol adalah jika setiap modulusnya sama dengan nol:

\[\kiri| x-((x)^(3)) \kanan|+\kiri| ((x)^(2))+x-2 \kanan|=0\Panah Kanan \kiri\( \begin(sejajarkan)& \kiri| x-((x)^(3)) \kanan|=0, \\& \kiri|((x)^(2))+x-2 \kanan|=0. \\\end(align) \kanan.\]

Kapan modulusnya sama dengan nol? Hanya dalam satu kasus - ketika ekspresi submodul sama dengan nol:

\[((x)^(2))+x-2=0\Panah Kanan \kiri(x+2 \kanan)\kiri(x-1 \kanan)=0\Panah Kanan \kiri[ \begin(sejajarkan)& x=-2 \\& x=1 \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

Jadi, kita mempunyai tiga titik di mana modulus pertama diatur ke nol: 0, 1, dan −1; serta dua titik di mana modul kedua di-nolkan: −2 dan 1. Namun, kita memerlukan kedua modul untuk di-nolkan pada saat yang sama, jadi di antara angka-angka yang ditemukan, kita perlu memilih angka-angka yang termasuk dalam kedua set. Jelas, hanya ada satu angka seperti itu: $x=1$ - ini akan menjadi jawaban akhir.

metode pemisahan

Ya, kita telah membahas banyak tugas dan mempelajari banyak trik. Apakah menurut Anda hanya itu? Tapi tidak! Sekarang kita akan mempertimbangkan teknik terakhir - dan sekaligus yang paling penting. Kita akan berbicara tentang pemisahan persamaan dengan modulus. Apa yang akan dibahas? Mari kita kembali sedikit dan mempertimbangkan beberapa persamaan sederhana. Misalnya, ini:

\[\kiri| 3x-5\kanan|=5-3x\]

Pada prinsipnya, kita sudah mengetahui cara menyelesaikan persamaan tersebut, karena persamaan tersebut merupakan standar $\left| f\kiri(x \kanan) \kanan|=g\kiri(x \kanan)$. Namun mari kita coba melihat persamaan ini dari sudut yang sedikit berbeda. Lebih tepatnya, perhatikan ekspresi di bawah tanda modul. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa modulus suatu bilangan bisa sama dengan bilangan itu sendiri, atau bisa juga berlawanan dengan bilangan ini:

\[\kiri| a \kanan|=\kiri\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Sebenarnya, ambiguitas ini adalah keseluruhan masalahnya: karena bilangan di bawah modulus berubah (tergantung variabelnya), tidak jelas bagi kita apakah bilangan itu positif atau negatif.

Namun bagaimana jika pada awalnya kita mengharuskan angka ini positif? Sebagai contoh, mari kita minta $3x-5 \gt 0$ - dalam hal ini, kita dijamin mendapatkan bilangan positif di bawah tanda modulus, dan kita dapat sepenuhnya menghilangkan modulus ini:

Dengan demikian, persamaan kita akan berubah menjadi persamaan linier, yang mudah diselesaikan:

Benar, semua pertimbangan ini masuk akal hanya dalam kondisi $3x-5 \gt 0$ - kami sendiri yang memperkenalkan persyaratan ini untuk mengungkapkan modul secara jelas. Jadi mari kita gantikan $x=\frac(5)(3)$ yang ditemukan ke dalam kondisi ini dan periksa:

Ternyata untuk nilai $x$ yang ditentukan, persyaratan kita tidak terpenuhi, karena ekspresi ternyata sama dengan nol, dan kita membutuhkannya agar lebih besar dari nol. Sedih. :(

Tapi tidak apa-apa! Lagi pula, ada opsi lain $3x-5 \lt 0$. Selain itu: ada juga kasus $3x-5=0$ - ini juga harus dipertimbangkan, jika tidak, solusinya tidak akan lengkap. Jadi, pertimbangkan kasus $3x-5 \lt 0$:

Jelas sekali modul akan terbuka dengan tanda minus. Namun kemudian muncul situasi aneh: ekspresi yang sama akan muncul di kiri dan kanan persamaan aslinya:

Saya bertanya-tanya untuk apa $x$ ekspresi $5-3x$ sama dengan ekspresi $5-3x$? Dari persamaan tersebut, Kapten pun jelas akan tersedak air liurnya, namun kita tahu bahwa persamaan tersebut adalah sebuah identitas, yaitu. itu berlaku untuk nilai variabel apa pun!

Dan ini berarti $x$ apa pun cocok untuk kita. Namun, kami memiliki batasan:

Dengan kata lain, jawabannya bukan berupa satu angka saja, melainkan seluruh interval:

Terakhir, ada satu kasus lagi yang perlu dipertimbangkan: $3x-5=0$. Semuanya sederhana di sini: akan ada nol di bawah modulus, dan modulus nol juga sama dengan nol (ini langsung mengikuti definisi):

Tapi kemudian persamaan aslinya $\left| 3x-5 \kanan|=5-3x$ akan ditulis ulang seperti ini:

Kita telah memperoleh root ini di atas ketika kita mempertimbangkan kasus $3x-5 \gt 0$. Selain itu, root ini adalah solusi persamaan $3x-5=0$ - ini adalah batasan yang kami sendiri perkenalkan untuk meniadakan modulus. :)

Jadi, selain interval, kita juga akan puas dengan bilangan yang terletak di akhir interval ini:

Total jawaban akhir: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$. Jarang sekali melihat omong kosong seperti itu dalam jawaban persamaan yang agak sederhana (pada dasarnya linier) dengan modulus Biasakanlah: kompleksitas modul ini terletak pada kenyataan bahwa jawaban dalam persamaan seperti itu benar-benar tidak dapat diprediksi.

Ada hal lain yang jauh lebih penting: kita baru saja membongkar algoritma universal untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus! Dan algoritma ini terdiri dari langkah-langkah berikut:

1. Samakan setiap modulus dalam persamaan dengan nol. Mari kita ambil beberapa persamaan;
2. Selesaikan semua persamaan ini dan tandai akar-akarnya pada garis bilangan. Akibatnya, garis lurus akan dibagi menjadi beberapa interval, yang pada masing-masing interval semua modul diperluas secara unik;
3. Selesaikan persamaan asli untuk setiap interval dan gabungkan jawabannya.

Itu saja! Hanya ada satu pertanyaan yang tersisa: apa yang harus dilakukan dengan akar itu sendiri, yang diperoleh pada langkah pertama? Katakanlah kita memiliki dua akar: $x=1$ dan $x=5$. Mereka akan membagi garis bilangan menjadi 3 bagian:

Jadi berapa intervalnya? Jelas ada tiga di antaranya:

1. Paling kiri: $x \lt 1$ - unit itu sendiri tidak termasuk dalam interval;
2. Pusat: $1\le x \lt 5$ - di sini satu disertakan dalam interval, namun lima tidak disertakan;
3. Yang paling kanan: $x\ge 5$ — kelimanya hanya disertakan di sini!

Saya rasa Anda sudah memahami polanya. Setiap interval mencakup ujung kiri dan tidak termasuk ujung kanan.

Pada pandangan pertama, catatan seperti itu mungkin tampak tidak nyaman, tidak logis, dan umumnya gila. Tapi percayalah: setelah sedikit latihan, Anda akan menemukan bahwa ini adalah pendekatan yang paling dapat diandalkan dan pada saat yang sama tidak mengganggu pengungkapan modul secara jelas. Lebih baik menggunakan skema seperti itu daripada berpikir setiap saat: berikan ujung kiri / kanan ke interval saat ini atau "lempar" ke interval berikutnya.

Di sinilah pelajaran berakhir. Unduh tugas untuk penyelesaian mandiri, praktikkan, bandingkan dengan jawaban - dan sampai jumpa di pelajaran berikutnya, yang akan dikhususkan untuk ketidaksetaraan dengan modul. :)

Petunjuk

Jika modulus direpresentasikan sebagai fungsi kontinu, maka nilai argumennya bisa positif atau negatif: |х| = x, x ≥ 0; |x| = -x,x

Modulusnya adalah nol, dan modulus bilangan positif apa pun adalah modulusnya. Jika argumennya negatif, maka setelah tanda kurung dibuka, tandanya berubah dari minus menjadi plus. Berdasarkan hal tersebut, dapat disimpulkan bahwa modul-modul kebalikannya adalah sama: |-x| = |x| = x.

Modulus bilangan kompleks dicari dengan rumus: |a| = √b ² + c ² dan |a + b| ≤ |a| + |b|. Apabila suatu argumen mengandung bilangan positif sebagai pengali, maka dapat dikeluarkan dari tanda kurung, contoh: |4*b| = 4*|b|.

Jika argumen disajikan sebagai bilangan kompleks, maka untuk kemudahan perhitungan, urutan suku-suku ekspresi yang diapit tanda kurung siku diperbolehkan: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 karena (2-3) lebih kecil dari nol.

Argumen yang dipangkatkan sekaligus berada di bawah tanda akar orde yang sama - diselesaikan dengan: √a² = |a| = ±a.

Jika Anda memiliki tugas yang tidak menentukan kondisi untuk memperluas tanda kurung modul, maka Anda tidak perlu menghilangkannya - ini akan menjadi hasil akhirnya. Dan jika ingin membukanya, maka harus menentukan tanda ±. Misalnya, Anda perlu mencari nilai ekspresi √(2 * (4-b)) ². Solusinya terlihat seperti ini: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Karena tanda dari ekspresi 4-b tidak diketahui, maka harus dibiarkan dalam tanda kurung. Jika Anda menambahkan kondisi tambahan, misalnya |4-b| >

Modulus nol sama dengan nol, dan modulus bilangan positif apa pun sama dengan bilangan itu sendiri. Jika argumennya negatif, maka setelah tanda kurung dibuka, tandanya berubah dari minus menjadi plus. Berdasarkan hal tersebut, dapat disimpulkan bahwa modulus bilangan-bilangan yang berlawanan adalah sama: |-x| = |x| = x.

Modulus bilangan kompleks dicari dengan rumus: |a| = √b ² + c ² dan |a + b| ≤ |a| + |b|. Jika suatu argumen mengandung bilangan bulat positif sebagai pengali, maka argumen tersebut dapat dikeluarkan dari tanda kurung, contoh: |4*b| = 4*|b|.

Modulusnya tidak boleh negatif, jadi bilangan negatif apa pun diubah menjadi bilangan positif: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Jika argumen disajikan sebagai bilangan kompleks, maka untuk memudahkan perhitungan, diperbolehkan untuk mengubah urutan suku-suku ekspresi yang diapit tanda kurung siku: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 karena (2-3) lebih kecil dari nol.

Jika Anda memiliki tugas yang tidak menentukan kondisi untuk memperluas tanda kurung modul, maka Anda tidak perlu menghilangkannya - ini akan menjadi hasil akhirnya. Dan jika ingin membukanya, maka harus menentukan tanda ±. Misalnya, Anda perlu mencari nilai ekspresi √(2 * (4-b)) ². Solusinya terlihat seperti ini: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Karena tanda dari ekspresi 4-b tidak diketahui, maka harus dibiarkan dalam tanda kurung. Jika Anda menambahkan kondisi tambahan, misalnya |4-b| > 0, maka hasilnya 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). Sebagai unsur yang tidak diketahui, bilangan tertentu juga dapat diberikan, yang harus diperhitungkan karena. itu akan mempengaruhi tanda ekspresi.

Artikel ini dikhususkan untuk teknik menyelesaikan berbagai persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung
variabel di bawah tanda modul.

Jika pada ujian anda menemukan persamaan atau pertidaksamaan dengan suatu modul, anda dapat menyelesaikannya,
tanpa mengetahui metode khusus sama sekali dan hanya menggunakan definisi modul. Benarkah,
ini bisa memakan waktu satu setengah jam dari waktu ujian yang berharga.

Oleh karena itu, kami ingin memberi tahu Anda tentang teknik yang menyederhanakan penyelesaian masalah tersebut.

Pertama-tama, mari kita ingat hal itu

Pertimbangkan jenis yang berbeda persamaan dengan modulus. (Lebih lanjut mengenai kesenjangan nanti.)

Modul kiri, nomor kanan

Ini adalah kasus yang paling sederhana. Mari kita selesaikan persamaannya

Hanya ada dua bilangan yang modulusnya empat. Ini adalah 4 dan -4. Oleh karena itu, persamaannya
setara dengan kombinasi dua yang sederhana:

Persamaan kedua tidak memiliki solusi. Penyelesaian pertama: x = 0 dan x = 5.

Jawaban: 0; 5.

Variabel baik di bawah modul maupun di luar modul

Di sini Anda harus memperluas modul berdasarkan definisi. . . atau bayangkan!

Persamaan tersebut dipecah menjadi dua kasus, bergantung pada tanda ekspresi di bawah modulus.
Dengan kata lain, ini setara dengan kombinasi dua sistem:

Solusi sistem pertama: . Sistem kedua tidak memiliki solusi.
Jawaban 1.

Kasus pertama: x ≥ 3. Hapus modul:

Bilangan , karena negatif, tidak memenuhi syarat x ≥ 3 dan oleh karena itu bukan merupakan akar persamaan awal.

Mari kita cari tahu apakah bilangan tersebut memenuhi kondisi ini. Untuk melakukan ini, kita membuat perbedaan dan menentukan tandanya:

Oleh karena itu, lebih dari tiga dan oleh karena itu merupakan akar persamaan aslinya

Kasus kedua: x< 3. Снимаем модуль:

Nomor . lebih besar dari , dan karena itu tidak memenuhi kondisi x< 3. Проверим :

Cara, . adalah akar persamaan aslinya.

Hapus modul menurut definisi? Menakutkan untuk memikirkannya, karena diskriminan bukanlah kuadrat sempurna. Mari kita gunakan pertimbangan berikut: persamaan bentuk |A| = B ekuivalen dengan kombinasi dua sistem:

Sama, tapi sedikit berbeda:

Dengan kata lain, kita menyelesaikan dua persamaan, A = B dan A = −B, lalu memilih akar-akar yang memenuhi kondisi B ≥ 0.

Mari kita mulai. Pertama, kita selesaikan persamaan pertama:

Kemudian kita selesaikan persamaan kedua:

Sekarang dalam setiap kasus kita memeriksa tanda di sisi kanan:

Oleh karena itu, hanya dan cocok.

Persamaan kuadrat dengan |x| = t

Mari selesaikan persamaannya:

Karena , akan lebih mudah untuk melakukan perubahan |x| = t. Kita mendapatkan:

Jawaban: ±1.

Modulus sama dengan modulo

Kita berbicara tentang persamaan bentuk |A| = |B|. Ini adalah anugerah takdir. Tidak ada perluasan modul menurut definisi! Itu mudah:

Misalnya, perhatikan persamaan: . Ini setara dengan himpunan berikut:

Tetap menyelesaikan setiap persamaan populasi dan menuliskan jawabannya.

Dua atau lebih modul

Mari selesaikan persamaannya:

Kami tidak akan repot dengan setiap modul secara terpisah dan membukanya berdasarkan definisi - akan ada terlalu banyak pilihan. Ada cara yang lebih rasional - metode interval.

Ekspresi di bawah modul hilang di titik x = 1, x = 2 dan x = 3. Titik-titik tersebut membagi garis bilangan menjadi empat interval (interval). Kami menandai titik-titik ini pada garis bilangan dan menempatkan tanda untuk setiap ekspresi di bawah modul pada interval yang diperoleh. (Urutan tanda sama dengan urutan modul yang bersesuaian dalam persamaan.)

Jadi, kita perlu mempertimbangkan empat kasus - ketika x berada di setiap interval.

Kasus 1: x ≥ 3. Semua modul dihapus "dengan plus":

Nilai yang dihasilkan x = 5 memenuhi kondisi x ≥ 3 dan oleh karena itu merupakan akar persamaan awal.

Kasus 2: 2 ≤ x ≤ 3. Modul terakhir sekarang dihapus "dengan minus":

Nilai x yang diperoleh juga cocok - termasuk dalam interval yang dipertimbangkan.

Kasus 3: 1 ≤ x ≤ 2. Modul kedua dan ketiga dihapus "dengan minus":

Kami telah memperoleh persamaan numerik yang benar untuk setiap x dari interval yang dipertimbangkan, persamaan tersebut berfungsi sebagai solusi untuk persamaan ini.

Kasus 4: x ≤ 1 ≤ 1. Modul kedua dan ketiga dihapus "dengan minus":

Tidak ada yang baru. Kita telah mengetahui bahwa x = 1 adalah suatu penyelesaian.

Jawaban: ∪ (5).

Modul di dalam modul

Mari selesaikan persamaannya:

Kami mulai dengan memperluas modul internal.

1) x ≤ 3. Kita peroleh:

Ekspresi di bawah modulus hilang pada . Poin ini termasuk yang dipertimbangkan
selang. Oleh karena itu, kita harus mempertimbangkan dua sub-kasus.

1.1) Dalam hal ini kita mendapatkan:

Nilai x ini kurang baik, karena tidak termasuk dalam interval yang dipertimbangkan.

1.2). Kemudian:

Nilai x ini juga kurang bagus.

Jadi, untuk x ≤ 3 tidak ada penyelesaian. Mari beralih ke kasus kedua.

2) x ≥ 3. Kita mempunyai:

Di sini kita beruntung: ekspresi x + 2 positif dalam interval yang dipertimbangkan! Oleh karena itu, tidak akan ada lagi sub-kasus: modul dihapus “dengan nilai tambah”:

Nilai x ini berada dalam interval yang dipertimbangkan dan oleh karena itu merupakan akar persamaan awal.

Beginilah cara semua tugas jenis ini diselesaikan - kami membuka modul bersarang satu per satu, dimulai dari bagian dalam.