Ringkasan pelajaran

"Metode untuk menyelesaikan persamaan irasional"

Kelas 11 profil fisik dan matematika.

Distrik kota Zelenodolsky di Republik Tatarstan

Valieva S.Z.

Topik pelajaran: Metode untuk menyelesaikan persamaan irasional

Tujuan pelajaran: 1. Mempelajari berbagai cara untuk menyelesaikan persamaan irasional.

1. 
   Kembangkan kemampuan untuk menggeneralisasi, memilih metode dengan benar untuk menyelesaikan persamaan irasional.
2. 
   Mengembangkan kemandirian, mendidik literasi bicara

Jenis pelajaran: seminar.
Rencana belajar:

1. 
   Mengatur waktu
2. 
   Mempelajari materi baru
3. 
   Penahan
4. 
   Pekerjaan rumah
5. 
   Ringkasan pelajaran

Selama kelas
Saya. Waktu penyelenggaraan: pesan topik pelajaran, tujuan pelajaran.

Dalam pelajaran sebelumnya, kita telah mempertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan irasional yang mengandung akar kuadrat dengan mengkuadratkannya. Dalam hal ini, kami memperoleh persamaan konsekuensi, yang terkadang mengarah pada munculnya akar asing. Dan kemudian bagian wajib untuk menyelesaikan persamaan adalah memeriksa akarnya. Kami juga mempertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan menggunakan definisi akar kuadrat. Dalam hal ini, cek dapat dihilangkan. Namun, saat menyelesaikan persamaan, tidak selalu perlu untuk segera melanjutkan ke aplikasi algoritma "buta" untuk menyelesaikan persamaan. Dalam tugas-tugas Ujian Negara Terpadu, ada beberapa persamaan, dalam penyelesaiannya perlu untuk memilih metode solusi yang memungkinkan Anda untuk menyelesaikan persamaan lebih mudah dan lebih cepat. Karena itu, perlu mengetahui metode lain untuk menyelesaikan persamaan irasional, yang akan kita kenal hari ini. Sebelumnya, kelas dibagi menjadi 8 kelompok kreatif, dan mereka diberikan contoh khusus untuk mengungkapkan esensi dari metode tertentu. Kami memberi mereka sebuah kata.

II. Mempelajari materi baru.

Dari setiap kelompok, 1 siswa menjelaskan kepada anak-anak bagaimana menyelesaikan persamaan irasional. Seluruh kelas mendengarkan dan mencatat cerita mereka.

1 cara. Pengenalan variabel baru.

Selesaikan persamaan: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

, t 0

x 2 - 2x - 6 \u003d t 2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x 2 - 2x - 15 \u003d 0

x 2 - 2x - 6 \u003d 9;

Jawaban: -3; 5.

2 jalan. penelitian ODZ.

selesaikan persamaannya

ODZ:


x \u003d 2. Dengan memeriksa, kami memastikan bahwa x \u003d 2 adalah akar persamaan.

3 cara. Mengalikan kedua ruas persamaan dengan faktor konjugasi.

+
(kalikan kedua ruas dengan -
)

x + 3 - x - 8 \u003d 5 (-)

2=4, maka x=1. Dengan memeriksa kami yakin bahwa x \u003d 1 adalah akar dari persamaan ini.

4 cara. Pengurangan persamaan ke sistem dengan memasukkan variabel.

selesaikan persamaannya

misalkan = kamu,
=v.

Kami mendapatkan sistem:

Mari kita selesaikan dengan metode substitusi. Kami mendapatkan u = 2, v = 2. Oleh karena itu,

kita dapatkan x = 1.

Jawab: x = 1.

5 cara. Pemilihan persegi penuh.

selesaikan persamaannya

Mari kita buka modul. Karena -1≤cos0.5x≤1, lalu -4≤cos0.5x-3≤-2, jadi . Juga,

Kemudian kita dapatkan persamaan

x = 4πn, nZ.

Jawaban: 4πn, nZ.

6 cara. Metode penilaian

selesaikan persamaannya

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 0, menurut definisi, ruas kanan -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 0

kita mendapatkan
itu. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. Memecahkan persamaan dengan memfaktorkan, kita mendapatkan x = 2, x = -2

Metode 7: Menggunakan sifat-sifat monotonisitas fungsi.

Memecahkan persamaan. Fungsi meningkat secara ketat. Jumlah fungsi yang meningkat meningkat dan persamaan ini memiliki paling banyak satu akar. Dengan seleksi kita menemukan x = 1.

8 cara. Penggunaan vektor.

Memecahkan persamaan. ODZ: -1≤х≤3.

Biarkan vektor
. Hasil kali skalar vektor adalah ruas kiri. Mari kita cari produk dari panjangnya. Ini adalah sisi kanan. Telah mendapatkan
, yaitu vektor a dan b adalah kolinear. Dari sini
. Mari kita kuadratkan kedua sisinya. Memecahkan persamaan, kita mendapatkan x \u003d 1 dan x \u003d
.

1. 
   Konsolidasi.(setiap siswa diberikan lembar kerja)

Pekerjaan lisan depan

Temukan ide untuk menyelesaikan persamaan (1-10)

1.
(ODZ - )

2.
x = 2

3. x 2 - 3x +
(penggantian)

4. (pemilihan persegi penuh)

5.
(Mengurangi persamaan ke sistem dengan memasukkan variabel.)

6.
(dengan perkalian dengan ekspresi adjoint)

7.
karena
. Persamaan ini tidak memiliki akar.

8. Karena setiap suku non-negatif, kita menyamakannya dengan nol dan menyelesaikan sistemnya.

9. 3

10. Temukan akar persamaan (atau produk dari akar, jika ada beberapa) persamaan.

Karya independen tertulis dengan verifikasi selanjutnya

selesaikan persamaan bernomor 11,13,17,19

Selesaikan Persamaan:

12. (x + 6) 2 -

14.

Metode penilaian

Menggunakan sifat-sifat monotonisitas fungsi.

Penggunaan vektor.

1. 
   Manakah dari metode ini yang digunakan untuk menyelesaikan jenis persamaan lainnya?
2. 
   Manakah dari metode ini yang paling Anda sukai dan mengapa?

1. 
   Pekerjaan rumah: Selesaikan persamaan yang tersisa.

Bibliografi:

1. 
   Aljabar dan awal analisis matematika: buku teks. untuk 11 sel. pendidikan umum institusi / S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin. M: Pencerahan, 2009

1. 
   Materi didaktik tentang aljabar dan prinsip-prinsip analisis untuk kelas 11 /B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwarzburd. – M.: Pencerahan, 2003.
2. 
   Mordkovich A. G. Aljabar dan awal analisis. 10 - 11 sel: Buku tugas untuk pendidikan umum. institusi. – M.: Mnemosyne, 2000.
3. 
   Ershova A.P., Goloborodko V.V. Pekerjaan independen dan kontrol pada aljabar dan prinsip-prinsip analisis untuk kelas 10-11. – M.: Ileksa, 2004
4. 
   KIM USE 2002 - 2010

6. Simulator aljabar. A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir. Buku pegangan untuk anak sekolah dan pendatang. Moskow.: "Ileksa" 2001.
7. Persamaan dan pertidaksamaan. Metode solusi non-standar. Pendidikan - manual metodis. 10 - 11 kelas. S.N. Oleinik, M.K. Potapov, P.I. Pasichenko. Moskow. "Bustar". 2001

Persamaan irasional adalah setiap persamaan yang memiliki fungsi di bawah tanda akar. Sebagai contoh:

Persamaan seperti itu selalu diselesaikan dalam 3 langkah:

1. Pisahkan akarnya. Dengan kata lain, jika ada bilangan atau fungsi lain di sebelah kiri tanda sama dengan selain akar, semua ini harus dipindahkan ke kanan dengan mengubah tandanya. Pada saat yang sama, hanya radikal yang harus tetap berada di sebelah kiri - tanpa koefisien apa pun.
2. 2. Kita kuadratkan kedua sisi persamaan. Pada saat yang sama, ingatlah bahwa rentang akarnya adalah semua bilangan non-negatif. Oleh karena itu fungsi di sebelah kanan persamaan irasional juga harus non-negatif: g (x) 0.
3. Langkah ketiga mengikuti secara logis dari yang kedua: Anda perlu melakukan pemeriksaan. Faktanya adalah bahwa pada langkah kedua kita dapat memiliki akar tambahan. Dan untuk memotongnya, perlu untuk mengganti nomor kandidat yang dihasilkan ke dalam persamaan asli dan memeriksa: apakah persamaan numerik yang benar benar-benar diperoleh?

Memecahkan persamaan irasional

Mari kita berurusan dengan persamaan irasional kita yang diberikan di awal pelajaran. Di sini akarnya sudah terpencil: di sebelah kiri tanda sama dengan tidak ada apa-apa selain akarnya. Mari kita kuadratkan kedua sisinya:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0

Kami memecahkan persamaan kuadrat yang dihasilkan melalui diskriminan:

D = b 2 4ac = (−4) 2 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2

Tetap hanya untuk mengganti angka-angka ini dalam persamaan asli, yaitu. melakukan pemeriksaan. Tetapi bahkan di sini Anda dapat melakukan hal yang benar untuk menyederhanakan keputusan akhir.

Bagaimana menyederhanakan keputusan

Mari kita berpikir: mengapa kita bahkan memeriksa di akhir penyelesaian persamaan irasional? Kami ingin memastikan bahwa ketika mengganti akar kami, akan ada bilangan non-negatif di sebelah kanan tanda sama dengan. Lagi pula, kita sudah tahu pasti bahwa itu adalah bilangan non-negatif di sebelah kiri, karena akar kuadrat aritmatika (karena persamaan kita disebut irasional) menurut definisi tidak boleh kurang dari nol.

Oleh karena itu, yang perlu kita periksa adalah bahwa fungsi g ( x ) = 5 x , yang di sebelah kanan tanda sama dengan, adalah non-negatif:

g(x) 0

Kami mengganti akar kami ke dalam fungsi ini dan mendapatkan:

g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Dari nilai yang diperoleh, maka akar x 1 = 6 tidak cocok untuk kita, karena ketika mensubstitusi ke ruas kanan persamaan asli, kita mendapatkan bilangan negatif. Tetapi root x 2 \u003d 2 cukup cocok untuk kita, karena:

1. Akar ini adalah solusi untuk persamaan kuadrat yang diperoleh dengan menaikkan kedua sisi persamaan irasional menjadi persegi.
2. Ruas kanan persamaan irasional awal, ketika akar x 2 = 2 disubstitusi, berubah menjadi bilangan positif, mis. rentang akar aritmatika tidak dilanggar.

Itulah keseluruhan algoritma! Seperti yang Anda lihat, memecahkan persamaan dengan radikal tidak begitu sulit. Hal utama adalah jangan lupa untuk memeriksa root yang diterima, jika tidak, kemungkinan besar akan mendapatkan jawaban tambahan.

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi orang tertentu atau menghubunginya.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk alasan keamanan, penegakan hukum, atau kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Institusi pendidikan kota

"Sekolah menengah Kudinskaya No. 2"

Cara menyelesaikan persamaan irasional

Diselesaikan oleh: Egorova Olga,

Pengawas:

Guru

matematika,

kualifikasi yang lebih tinggi

pengantar....……………………………………………………………………………………… 3

Bagian 1. Metode untuk menyelesaikan persamaan irasional…………………………………6

1.1 Menyelesaikan persamaan irasional bagian C……….….….……………………… 21

Bagian 2. Tugas individu…………………………………………….....………...24

jawaban………………………………………………………………………………………….25

Bibliografi…….…………………………………………………………………….26

pengantar

Pendidikan matematika yang diterima di sekolah pendidikan umum merupakan komponen penting dari pendidikan umum dan budaya umum orang modern. Hampir segala sesuatu yang mengelilingi orang modern semuanya terhubung dalam satu atau lain cara dengan matematika. Dan prestasi terbaru dalam fisika, teknik dan teknologi informasi tidak diragukan lagi bahwa di masa depan keadaan akan tetap sama. Oleh karena itu, solusi dari banyak masalah praktis direduksi menjadi penyelesaian berbagai jenis persamaan yang perlu dipelajari untuk dipecahkan. Salah satunya adalah persamaan irasional.

Persamaan irasional

Persamaan yang mengandung suatu yang tidak diketahui (atau ekspresi aljabar rasional dari yang tidak diketahui) di bawah tanda radikal disebut persamaan irasional. Dalam matematika dasar, solusi persamaan irasional dicari dalam himpunan bilangan real.

Persamaan irasional apa pun dengan bantuan operasi aljabar dasar (perkalian, pembagian, menaikkan kedua bagian persamaan menjadi pangkat bilangan bulat) dapat direduksi menjadi persamaan aljabar rasional. Harus diingat bahwa persamaan aljabar rasional yang dihasilkan mungkin tidak ekuivalen dengan persamaan irasional awal, yaitu, mungkin mengandung akar "tambahan" yang tidak akan menjadi akar dari persamaan irasional awal. Oleh karena itu, setelah menemukan akar dari persamaan aljabar rasional yang diperoleh, perlu untuk memeriksa apakah semua akar persamaan rasional akan menjadi akar dari persamaan irasional.

Dalam kasus umum, sulit untuk menunjukkan metode universal apa pun untuk menyelesaikan persamaan irasional apa pun, karena diinginkan bahwa sebagai hasil transformasi dari persamaan irasional asli, tidak hanya beberapa jenis persamaan aljabar rasional yang diperoleh, di antara akar-akar dari yang akan menjadi akar dari persamaan irasional ini, tetapi persamaan aljabar rasional yang dibentuk dari polinomial dengan derajat sesedikit mungkin. Keinginan untuk memperoleh persamaan aljabar rasional yang dibentuk dari polinomial dengan derajat terkecil yang mungkin cukup wajar, karena menemukan semua akar persamaan aljabar rasional itu sendiri dapat menjadi tugas yang agak sulit, yang dapat kita selesaikan sepenuhnya hanya dalam jumlah yang sangat terbatas. dari kasus.

Jenis persamaan irasional

Memecahkan persamaan irasional berderajat genap selalu menimbulkan lebih banyak masalah daripada menyelesaikan persamaan irasional berderajat ganjil. Saat menyelesaikan persamaan irasional dengan derajat ganjil, ODZ tidak berubah. Oleh karena itu, di bawah ini kita akan mempertimbangkan persamaan irasional, yang derajatnya genap. Ada dua macam persamaan irasional:

2..

Mari kita pertimbangkan yang pertama.

persamaan odz: f(x) 0. Dalam ODZ, ruas kiri persamaan selalu non-negatif, sehingga solusi hanya dapat ada jika g(x) 0. Dalam hal ini, kedua sisi persamaan adalah non-negatif, dan eksponensial 2 n memberikan persamaan yang setara. Kami mengerti

Mari kita perhatikan fakta bahwa sementara ODZ dilakukan secara otomatis, dan Anda tidak dapat menulisnya, tetapi syaratnyag(x) 0 harus diperiksa.

Catatan: Ini adalah kondisi kesetaraan yang sangat penting. Pertama, membebaskan siswa dari kebutuhan untuk menyelidiki, dan setelah menemukan solusi, periksa kondisi f(x) 0 - non-negatif dari ekspresi akar. Kedua, fokus pada pengecekan kondisig(x) 0 adalah nonnegatif dari ruas kanan. Setelah semua, setelah mengkuadratkan, persamaan diselesaikan yaitu, dua persamaan diselesaikan sekaligus (tetapi pada interval sumbu numerik yang berbeda!):

1. - dimana g(x) 0 dan

2. - di mana g(x) 0.

Sementara itu, banyak orang, menurut kebiasaan sekolah dalam menemukan ODZ, melakukan hal yang sebaliknya ketika menyelesaikan persamaan berikut:

a) periksa, setelah menemukan solusi, kondisi f(x) 0 (yang secara otomatis dipenuhi), buat kesalahan aritmatika dan dapatkan hasil yang salah;

b) mengabaikan kondisig(x) 0 - dan sekali lagi jawabannya mungkin salah.

Catatan: Kondisi ekuivalensi sangat berguna ketika memecahkan persamaan trigonometri, di mana menemukan ODZ dikaitkan dengan memecahkan pertidaksamaan trigonometri, yang jauh lebih sulit daripada memecahkan persamaan trigonometri. Memeriksa persamaan trigonometri bahkan kondisi g(x) 0 tidak selalu mudah dilakukan.

Pertimbangkan jenis kedua dari persamaan irasional.

. Biarkan persamaan . ODZ-nya:

Dalam ODZ, kedua sisi tidak negatif, dan mengkuadratkan memberikan persamaan yang setara f(x) =g(x). Oleh karena itu, dalam ODZ atau

Dengan metode solusi ini, cukup untuk memeriksa non-negatif dari salah satu fungsi - Anda dapat memilih yang lebih sederhana.

Bagian 1. Metode untuk menyelesaikan persamaan irasional

1 metode. Pembebasan dari radikal dengan menaikkan kedua sisi persamaan secara berurutan ke kekuatan alami yang sesuai

Metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan irasional adalah metode membebaskan dari radikal dengan menaikkan kedua bagian persamaan secara berurutan ke derajat alami yang sesuai. Dalam hal ini, harus diingat bahwa ketika kedua bagian persamaan dinaikkan ke pangkat ganjil, persamaan yang dihasilkan setara dengan yang asli, dan ketika kedua bagian persamaan dinaikkan ke pangkat genap, hasil persamaan akan, secara umum, menjadi tidak setara dengan persamaan asli. Ini dapat dengan mudah diverifikasi dengan menaikkan kedua sisi persamaan ke pangkat genap. Operasi ini menghasilkan persamaan , yang himpunan solusinya adalah gabungan dari himpunan solusi: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Namun, meskipun kelemahan ini , ini adalah prosedur untuk menaikkan kedua bagian persamaan menjadi beberapa (seringkali genap) pangkat yang merupakan prosedur paling umum untuk mengurangi persamaan irasional menjadi persamaan rasional.

Selesaikan persamaan:

Di mana adalah beberapa polinomial. Berdasarkan definisi operasi ekstraksi akar dalam himpunan bilangan real, nilai yang dapat diterima dari yang tidak diketahui https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 height=21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

Karena kedua bagian persamaan pertama dikuadratkan, mungkin ternyata tidak semua akar persamaan ke-2 merupakan solusi dari persamaan asli, maka akar-akarnya perlu diperiksa.

Selesaikan persamaan:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Meningkatkan kedua sisi persamaan menjadi kubus, kita mendapatkan

Mengingat bahwa https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Persamaan terakhir dapat memiliki akar yang, secara umum, bukan akar dari persamaan ).

Kami menaikkan kedua sisi persamaan ini menjadi kubus: . Kami menulis ulang persamaan dalam bentuk x3 - x2 = 0 x1 = 0, x2 = 1. Dengan memeriksa, kami menetapkan bahwa x1 = 0 adalah akar asing dari persamaan (-2 1), dan x2 = 1 memenuhi persamaan asli.

Menjawab: x = 1.

2 metode. Mengganti sistem kondisi yang berdekatan

Saat memecahkan persamaan irasional yang mengandung radikal orde genap, akar asing mungkin muncul dalam jawaban, yang tidak selalu mudah untuk diidentifikasi. Untuk memudahkan dalam mengidentifikasi dan membuang akar-akar asing, dalam penyelesaian persamaan irasional segera digantikan oleh sistem kondisi yang berdekatan. Pertidaksamaan tambahan dalam sistem sebenarnya memperhitungkan ODZ dari persamaan yang sedang diselesaikan. Anda dapat menemukan ODZ secara terpisah dan memperhitungkannya nanti, tetapi lebih baik menggunakan sistem kondisi campuran: ada lebih sedikit bahaya untuk melupakan sesuatu, tidak memperhitungkannya dalam proses penyelesaian persamaan. Oleh karena itu, dalam beberapa kasus lebih rasional untuk menggunakan metode transisi ke sistem campuran.

Selesaikan persamaan:

Menjawab: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Persamaan ini setara dengan sistem

Menjawab: persamaan tidak memiliki solusi.

3 metode. Menggunakan sifat-sifat akar ke-n

Saat memecahkan persamaan irasional, sifat-sifat akar derajat ke-n digunakan. akar aritmatika n- th derajat dari antara sebuah panggil nomor non-negatif, n- saya yang derajatnya sama dengan sebuah. Jika sebuah n- bahkan( 2n), maka a 0, jika tidak, root tidak ada. Jika sebuah n- aneh( 2 n+1), maka a adalah sembarang dan = - ..gif" width="45" height="19"> Kemudian:

2.

3.

4.

5.

Menerapkan salah satu formula ini, secara formal (tanpa memperhitungkan batasan yang ditunjukkan), harus diingat bahwa ODZ bagian kiri dan kanan masing-masing dapat berbeda. Misalnya, ekspresi didefinisikan dengan f 0 dan g 0, dan ekspresinya seperti pada f 0 dan g 0, sebaik f 0 dan g 0.

Untuk setiap formula 1-5 (tanpa memperhitungkan batasan yang ditunjukkan), ODZ bagian kanannya mungkin lebih lebar daripada ODZ kiri. Dari sini dapat disimpulkan bahwa transformasi persamaan dengan penggunaan formal rumus 1-5 "dari kiri ke kanan" (seperti yang tertulis) menghasilkan persamaan yang merupakan konsekuensi dari persamaan aslinya. Dalam hal ini, akar asing dari persamaan asli mungkin muncul, jadi verifikasi adalah langkah wajib dalam menyelesaikan persamaan asli.

Transformasi persamaan dengan penggunaan formal rumus 1-5 "dari kanan ke kiri" tidak dapat diterima, karena dimungkinkan untuk menilai ODZ dari persamaan asli, dan karenanya hilangnya akar.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

yang merupakan konsekuensi dari aslinya. Solusi persamaan ini direduksi menjadi penyelesaian himpunan persamaan .

Dari persamaan pertama himpunan ini kita menemukan https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> dari mana kita menemukan . Jadi, akar dari persamaan ini hanya dapat berupa angka ( -1) dan (-2) Verifikasi menunjukkan bahwa kedua akar yang ditemukan memenuhi persamaan ini.

Menjawab: -1,-2.

Selesaikan persamaan: .

Solusi: berdasarkan identitas, ganti suku pertama dengan . Perhatikan bahwa sebagai jumlah dari dua angka non-negatif di sisi kiri. "Lepaskan" modul dan, setelah membawa suku yang sama, selesaikan persamaannya. Karena , kita mendapatkan persamaan . Sejak dan , lalu https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

Menjawab: x = 4,25.

4 metode. Pengenalan variabel baru

Contoh lain untuk memecahkan persamaan irasional adalah cara di mana variabel baru diperkenalkan, sehubungan dengan persamaan irasional yang lebih sederhana atau persamaan rasional yang diperoleh.

Penyelesaian persamaan irasional dengan mengganti persamaan dengan konsekuensinya (dengan pemeriksaan akar selanjutnya) dapat dilakukan sebagai berikut:

1. Temukan ODZ dari persamaan asli.

2. Pergi dari persamaan ke akibat wajarnya.

3. Temukan akar-akar persamaan yang dihasilkan.

4. Periksa apakah akar-akar yang ditemukan adalah akar-akar persamaan awal.

Ceknya adalah sebagai berikut:

A) kepemilikan setiap akar ODZ yang ditemukan ke persamaan asli diperiksa. Akar-akar yang tidak termasuk dalam ODZ adalah asing untuk persamaan aslinya.

B) untuk setiap akar yang termasuk dalam ODZ dari persamaan asli, diperiksa apakah bagian kiri dan kanan dari setiap persamaan yang muncul dalam proses penyelesaian persamaan asli dan dipangkatkan genap memiliki tanda yang sama. Akar-akar yang bagian persamaannya dipangkatkan genap memiliki tanda yang berbeda adalah asing untuk persamaan aslinya.

C) hanya akar-akar yang termasuk dalam ODZ dari persamaan asli dan yang kedua bagian dari setiap persamaan yang muncul dalam proses penyelesaian persamaan asli dan dipangkatkan genap memiliki tanda yang sama diperiksa dengan substitusi langsung ke persamaan aslinya.

Metode solusi seperti itu dengan metode verifikasi yang ditunjukkan memungkinkan untuk menghindari perhitungan yang rumit dalam kasus substitusi langsung dari masing-masing akar yang ditemukan dari persamaan terakhir ke yang asli.

Selesaikan persamaan irasional:

.

Himpunan nilai yang dapat diterima dari persamaan ini:

Pengaturan , setelah substitusi kita memperoleh persamaan

atau persamaan ekivalennya

yang dapat dilihat sebagai persamaan kuadrat untuk . Memecahkan persamaan ini, kita mendapatkan

.

Oleh karena itu, himpunan solusi dari persamaan irasional asli adalah gabungan dari himpunan solusi dari dua persamaan berikut:

, .

Kubus kedua sisi dari masing-masing persamaan ini, dan kami mendapatkan dua persamaan aljabar rasional:

, .

Memecahkan persamaan ini, kami menemukan bahwa persamaan irasional ini memiliki akar tunggal x = 2 (tidak diperlukan verifikasi, karena semua transformasi setara).

Menjawab: x = 2.

Selesaikan persamaan irasional:

Dilambangkan 2x2 + 5x - 2 = t. Maka persamaan aslinya akan berbentuk . Dengan mengkuadratkan kedua bagian persamaan yang dihasilkan dan membawa suku-suku sejenis, kita memperoleh persamaan , yang merupakan konsekuensi dari persamaan sebelumnya. Dari situ kita menemukan t=16.

Kembali ke x yang tidak diketahui, kita mendapatkan persamaan 2x2 + 5x - 2 = 16, yang merupakan konsekuensi dari yang asli. Dengan memeriksa, kami memastikan bahwa akarnya x1 \u003d 2 dan x2 \u003d - 9/2 adalah akar dari persamaan asli.

Menjawab: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 metode. Transformasi Persamaan Identitas

Saat memecahkan persamaan irasional, seseorang tidak boleh mulai menyelesaikan persamaan dengan menaikkan kedua bagian persamaan ke pangkat alami, mencoba mengurangi solusi persamaan irasional menjadi menyelesaikan persamaan aljabar rasional. Pertama, perlu untuk melihat apakah mungkin untuk membuat beberapa transformasi persamaan yang identik, yang dapat menyederhanakan penyelesaiannya secara signifikan.

Selesaikan persamaan:

Himpunan nilai yang valid untuk persamaan ini: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Bagi persamaan ini dengan .

.

Kita mendapatkan:

Untuk a = 0, persamaan tidak akan memiliki solusi; untuk , persamaan dapat ditulis sebagai

untuk persamaan ini tidak memiliki solusi, karena untuk X, milik himpunan nilai persamaan yang dapat diterima, ekspresi di sisi kiri persamaan adalah positif;

ketika persamaan memiliki solusi

Mempertimbangkan bahwa himpunan solusi layak untuk persamaan ditentukan oleh kondisi , kami akhirnya memperoleh:

Saat memecahkan persamaan irasional ini, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> solusi persamaannya adalah . Untuk semua nilai lainnya X persamaan tidak memiliki solusi.

CONTOH 10:

Selesaikan persamaan irasional: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Solusi persamaan kuadrat sistem memberikan dua akar: x1 \u003d 1 dan x2 \u003d 4. Akar pertama yang diperoleh tidak memenuhi ketidaksetaraan sistem, oleh karena itu x \u003d 4.

Catatan.

1) Melakukan transformasi identik memungkinkan kita melakukannya tanpa verifikasi.

2) Pertidaksamaan x - 3 0 mengacu pada transformasi identik, dan bukan domain persamaan.

3) Ada fungsi menurun di ruas kiri persamaan, dan fungsi naik di ruas kanan persamaan ini. Grafik fungsi turun dan naik pada perpotongan domain definisinya tidak boleh memiliki lebih dari satu titik persekutuan. Jelas, dalam kasus kami, x = 4 adalah absis dari titik potong grafik.

Menjawab: x = 4.

6 metode. Menggunakan domain definisi fungsi saat menyelesaikan persamaan

Metode ini paling efektif saat menyelesaikan persamaan yang menyertakan fungsi https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> dan temukan definisi luasnya (f)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, maka Anda perlu memeriksa apakah persamaan benar di ujung interval, apalagi, jika a< 0, а b >0, maka perlu untuk memeriksa interval (a;0) dan . Bilangan bulat terkecil di E(y) adalah 3.

Menjawab:x = 3.

8 metode. Penerapan turunan dalam menyelesaikan persamaan irasional

Paling sering, ketika menyelesaikan persamaan menggunakan metode turunan, metode estimasi digunakan.

CONTOH 15:

Selesaikan persamaan: (1)

Solusi: Sejak https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, atau (2). Pertimbangkan fungsinya ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> sama sekali dan karenanya meningkat. Oleh karena itu, persamaan setara dengan persamaan yang memiliki akar yang merupakan akar dari persamaan asli.

Menjawab:

CONTOH 16:

Selesaikan persamaan irasional:

Domain definisi fungsi adalah segmen. Mari kita cari nilai terbesar dan terkecil dari nilai fungsi ini pada interval . Untuk melakukan ini, kami menemukan turunan dari fungsi f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Mari kita cari nilai fungsinya f(x) di ujung segmen dan di titik : Jadi, Tapi dan, oleh karena itu, kesetaraan hanya mungkin dalam kondisi https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Verifikasi menunjukkan bahwa angka 3 adalah akar dari persamaan ini.

Menjawab: x = 3.

9 metode. Fungsional

Dalam ujian, mereka terkadang menawarkan untuk memecahkan persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk , di mana adalah fungsi tertentu.

Misalnya, beberapa persamaan: 1) 2) . Memang, dalam kasus pertama , dalam kasus kedua . Oleh karena itu, selesaikan persamaan irasional dengan menggunakan pernyataan berikut: jika suatu fungsi meningkat secara ketat pada himpunan X dan untuk sembarang , maka persamaan, dll., adalah ekuivalen pada himpunan X .

Selesaikan persamaan irasional: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> meningkat secara ketat di lokasi syuting R, dan https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > yang memiliki akar unik Oleh karena itu, persamaan ekivalen (1) juga memiliki akar unik

Menjawab: x = 3.

CONTOH 18:

Selesaikan persamaan irasional: (1)

Berdasarkan definisi akar kuadrat, kita mendapatkan bahwa jika persamaan (1) memiliki akar, maka persamaan tersebut termasuk dalam himpunan https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width=" 163" tinggi="47" >.(2)

Pertimbangkan fungsi https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> secara ketat meningkat pada set ini untuk ..gif" width="100" apa pun tinggi ="41"> yang memiliki akar tunggal Oleh karena itu, dan setara dengan itu di set X persamaan (1) memiliki akar tunggal

Menjawab: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Solusi: Persamaan ini setara dengan sistem campuran

Persamaan di mana variabel berada di bawah tanda akar disebut irasional.

Metode untuk memecahkan persamaan irasional, sebagai suatu peraturan, didasarkan pada kemungkinan penggantian (dengan bantuan beberapa transformasi) persamaan irasional dengan persamaan rasional yang setara dengan persamaan irasional asli atau konsekuensinya. Paling sering, kedua sisi persamaan dipangkatkan dengan pangkat yang sama. Dalam hal ini, persamaan diperoleh, yang merupakan konsekuensi dari yang asli.

Dalam menyelesaikan persamaan irasional, hal-hal berikut harus diperhatikan:

1) jika indeks akar adalah bilangan genap, maka ekspresi radikal harus non-negatif; nilai akar juga non-negatif (definisi akar dengan eksponen genap);

2) jika indeks akar adalah bilangan ganjil, maka ekspresi radikal dapat berupa bilangan real apa pun; dalam hal ini, tanda akar sama dengan tanda ekspresi akar.

Contoh 1 selesaikan persamaannya

Mari kita kuadratkan kedua sisi persamaan.
x 2 - 3 \u003d 1;
Kami mentransfer -3 dari sisi kiri persamaan ke sisi kanan dan melakukan pengurangan suku yang serupa.
x 2 \u003d 4;
Persamaan kuadrat tidak lengkap yang dihasilkan memiliki dua akar -2 dan 2.

Mari kita periksa akar yang diperoleh, untuk ini kita akan mensubstitusi nilai variabel x ke dalam persamaan aslinya.
Penyelidikan.
Ketika x 1 \u003d -2 - benar:
Ketika x 2 \u003d -2- benar.
Oleh karena itu, persamaan irasional asli memiliki dua akar -2 dan 2.

Contoh 2 selesaikan persamaannya .

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode yang sama seperti pada contoh pertama, tetapi kita akan melakukannya secara berbeda.

Mari kita cari ODZ dari persamaan ini. Dari definisi akar kuadrat, maka dalam persamaan ini dua kondisi harus dipenuhi secara bersamaan:

ODZ dari persamaan yang diberikan: x.

Jawaban: tidak ada akar.

Contoh 3 selesaikan persamaannya =+ 2.

Menemukan ODZ dalam persamaan ini adalah tugas yang agak sulit. Mari kita kuadratkan kedua sisi persamaan:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 = 1; x2=0.
Setelah memeriksa, kami menetapkan bahwa x 2 \u003d 0 adalah root tambahan.
Jawaban: x 1 \u003d 1.

Contoh 4 Selesaikan persamaan x =.

Dalam contoh ini, ODZ mudah ditemukan. ODZ dari persamaan ini: x[-1;).

Mari kita kuadratkan kedua sisi persamaan ini, sebagai hasilnya kita mendapatkan persamaan x 2 \u003d x + 1. Akar persamaan ini:

Sulit untuk memeriksa akar yang ditemukan. Namun, terlepas dari kenyataan bahwa kedua akar termasuk dalam ODZ, tidak mungkin untuk menyatakan bahwa kedua akar adalah akar dari persamaan asli. Ini akan menghasilkan kesalahan. PADA kasus ini persamaan irasional setara dengan kombinasi dua pertidaksamaan dan satu persamaan:

x+10 dan x0 dan x 2 \u003d x + 1, yang berarti bahwa akar negatif untuk persamaan irasional adalah asing dan harus dibuang.

Contoh 5 . Selesaikan persamaan += 7.

Mari kuadratkan kedua sisi persamaan dan lakukan pengurangan suku yang serupa, pindahkan suku dari satu bagian persamaan ke bagian lain dan kalikan kedua bagian dengan 0,5. Akibatnya, kita mendapatkan persamaan
= 12, (*) yang merupakan konsekuensi dari yang asli. Mari kita kuadratkan kedua sisi persamaan lagi. Kami mendapatkan persamaan (x + 5) (20 - x) = 144, yang merupakan konsekuensi dari yang asli. Persamaan yang dihasilkan direduksi menjadi bentuk x 2 - 15x + 44 =0.

Persamaan ini (yang juga merupakan konsekuensi dari yang asli) memiliki akar x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11. Kedua akar, seperti yang ditunjukkan oleh pengujian, memenuhi persamaan asli.

Reputasi. x 1 = 4, x 2 = 11.

Komentar. Saat mengkuadratkan persamaan, siswa sering kali dalam persamaan seperti (*) mengalikan ekspresi akar, yaitu, alih-alih persamaan = 12, mereka menulis persamaan = 12. Ini tidak menyebabkan kesalahan, karena persamaan adalah konsekuensi dari persamaan. Namun, harus diingat bahwa dalam kasus umum, perkalian ekspresi radikal seperti itu memberikan persamaan yang tidak setara.

Dalam contoh yang dibahas di atas, adalah mungkin untuk terlebih dahulu mentransfer salah satu radikal ke ruas kanan persamaan. Kemudian satu radikal akan tetap berada di ruas kiri persamaan, dan setelah mengkuadratkan kedua ruas persamaan, akan diperoleh fungsi rasional di ruas kiri persamaan. Teknik ini (solitude of the radikal) cukup sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan irasional.

Contoh 6. Selesaikan persamaan-= 3.

Setelah mengisolasi radikal pertama, kita memperoleh persamaan
=+ 3, yang setara dengan yang asli.

Mengkuadratkan kedua sisi persamaan ini, kita mendapatkan persamaan

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, yang setara dengan persamaan

4x - 5 = 3(*). Persamaan ini merupakan konsekuensi dari persamaan awal. Mengkuadratkan kedua sisi persamaan, kita sampai pada persamaan
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3), atau

7x2 - 13x - 2 = 0.

Persamaan ini merupakan konsekuensi dari persamaan (*) (dan karenanya persamaan asli) dan memiliki akar. Akar pertama x 1 = 2 memenuhi persamaan awal, dan yang kedua x 2 =- tidak.

Jawab: x = 2.

Perhatikan bahwa jika kita segera, tanpa mengisolasi salah satu radikal, mengkuadratkan kedua bagian persamaan asli, kita harus melakukan transformasi yang agak rumit.

Saat menyelesaikan persamaan irasional, selain isolasi radikal, metode lain juga digunakan. Pertimbangkan contoh penggunaan metode penggantian yang tidak diketahui (metode pengenalan variabel tambahan).