Apa itu probabilitas?

Pertama kali saya menemukan istilah ini, saya tidak mengerti apa itu. Oleh karena itu, saya akan mencoba menjelaskannya secara gamblang.

Probabilitas adalah peluang terjadinya peristiwa yang kita inginkan.

Misalnya, Anda memutuskan untuk pergi ke rumah teman, Anda ingat pintu masuknya bahkan lantai tempat tinggalnya. Tapi saya lupa nomor dan lokasi apartemennya. Dan sekarang Anda berdiri di tangga, dan di depan Anda ada pintu untuk dipilih.

Berapa peluang (probabilitas) jika Anda membunyikan bel pintu pertama, teman Anda akan membukakan pintu untuk Anda? Hanya ada apartemen, dan seorang teman hanya tinggal di belakang salah satunya. Dengan peluang yang sama kita bisa memilih pintu mana saja.

Tapi peluang apa ini?

Pintunya, pintu kanan. Peluang menebak dengan membunyikan bel pintu pertama: . Artinya, satu dari tiga kali Anda akan menebak dengan akurat.

Kami ingin tahu, setelah menelepon sekali, seberapa sering kami akan menebak pintunya? Mari kita lihat semua opsi:

1. Anda menelepon 1 pintu
2. Anda menelepon ke-2 pintu
3. Anda menelepon ke-3 pintu

Sekarang mari kita lihat semua opsi di mana seorang teman bisa berada:

A. Di belakang 1 pintu
B. Di belakang ke-2 pintu
V. Di belakang ke-3 pintu

Mari kita bandingkan semua opsi dalam bentuk tabel. Tanda centang menunjukkan opsi ketika pilihan Anda bertepatan dengan lokasi teman, tanda silang - jika tidak bertepatan.

Bagaimana Anda melihat semuanya Mungkin pilihan lokasi teman Anda dan pilihan pintu mana yang akan Anda hubungi.

A hasil yang menguntungkan untuk semuanya . Artinya, Anda akan menebak sekali dengan membunyikan bel pintu satu kali, yaitu. .

Ini adalah probabilitas - rasio hasil yang menguntungkan (ketika pilihan Anda bertepatan dengan lokasi teman Anda) dengan jumlah kejadian yang mungkin terjadi.

Definisinya adalah rumusnya. Probabilitas biasanya dilambangkan dengan p, jadi:

Sangat tidak mudah untuk menulis rumus seperti itu, jadi kita akan mengambil - jumlah hasil yang diinginkan, dan untuk - jumlah total hasil.

Probabilitasnya dapat ditulis sebagai persentase; untuk melakukan ini, Anda perlu mengalikan hasilnya dengan:

Kata “hasil” mungkin menarik perhatian Anda. Karena ahli matematika menyebut berbagai tindakan (dalam kasus kami, tindakan seperti itu adalah bel pintu) sebagai eksperimen, hasil dari eksperimen tersebut biasanya disebut hasil.

Ya, ada hasil yang menguntungkan dan tidak menguntungkan.

Mari kita kembali ke contoh kita. Katakanlah kita membunyikan salah satu pintu, tetapi orang asing membukakannya untuk kita. Kami tidak menebak dengan benar. Berapa peluang jika kita membunyikan salah satu pintu yang tersisa, teman kita akan membukakannya untuk kita?

Jika Anda berpikir demikian, maka ini adalah sebuah kesalahan. Mari kita cari tahu.

Kami memiliki dua pintu tersisa. Jadi kami memiliki langkah-langkah yang mungkin:

1) Panggilan 1 pintu
2) Panggilan ke-2 pintu

Temannya, terlepas dari semua ini, pasti berada di belakang salah satu dari mereka (bagaimanapun juga, dia tidak berada di belakang orang yang kita panggil):

a) Teman untuk 1 pintu
b) Teman untuk ke-2 pintu

Mari kita menggambar tabelnya lagi:

Seperti yang Anda lihat, hanya ada pilihan yang menguntungkan. Artinya, kemungkinannya sama.

Mengapa tidak?

Situasi yang kami pertimbangkan adalah contoh kejadian dependen. Peristiwa pertama adalah bel pintu pertama, peristiwa kedua adalah bel pintu kedua.

Dan disebut ketergantungan karena mempengaruhi tindakan berikut. Lagi pula, jika setelah bunyi pertama bel pintu dijawab oleh seorang teman, berapa kemungkinan dia berada di belakang salah satu dari dua lainnya? Benar, .

Tapi kalau ada kejadian dependen, pasti ada juga mandiri? Benar, itu memang terjadi.

Contoh di buku teks adalah melempar koin.

1. Melempar koin satu kali. Misalnya, berapa kemungkinan mendapatkan kepala? Itu benar - karena ada semua pilihan (baik kepala atau ekor, kita akan mengabaikan kemungkinan koin mendarat di tepinya), tapi itu hanya cocok untuk kita.
2. Tapi itu muncul. Oke, ayo kita lempar lagi. Berapa kemungkinan mendapatkan perhatian sekarang? Tidak ada yang berubah, semuanya sama. Berapa banyak pilihan? Dua. Berapa banyak yang membuat kita bahagia? Satu.

Dan biarkan hal itu muncul setidaknya seribu kali berturut-turut. Kemungkinan mendapatkan kepala sekaligus akan sama. Selalu ada pilihan, dan ada pilihan yang menguntungkan.

Sangat mudah untuk membedakan peristiwa dependen dari peristiwa independen:

1. Jika percobaan dilakukan satu kali (mereka melempar koin satu kali, membunyikan bel pintu satu kali, dan seterusnya), maka kejadiannya selalu independen.
2. Jika suatu percobaan dilakukan beberapa kali (sebuah koin dilempar satu kali, bel pintu dibunyikan beberapa kali), maka kejadian pertama selalu bebas. Dan kemudian, jika jumlah yang menguntungkan atau jumlah semua hasil berubah, maka peristiwa-peristiwa tersebut bergantung, dan jika tidak, maka peristiwa-peristiwa tersebut independen.

Mari kita berlatih sedikit menentukan probabilitas.

Contoh 1.

Koin tersebut dilempar sebanyak dua kali. Berapa peluang terambilnya gambar dua kali berturut-turut?

Larutan:

Mari pertimbangkan semua opsi yang memungkinkan:

1. Elang-elang
2. Kepala-ekor
3. Ekor-Kepala
4. Ekor-ekor

Seperti yang Anda lihat, hanya ada pilihan. Dari jumlah tersebut kami hanya puas. Artinya, kemungkinannya:

Jika kondisi hanya meminta Anda mencari peluang, maka jawabannya harus diberikan dalam bentuk pecahan desimal. Jika ditentukan bahwa jawabannya harus diberikan dalam persentase, maka kita kalikan dengan.

Menjawab:

Contoh 2.

Dalam sekotak coklat, semua coklat dikemas dalam satu bungkus yang sama. Namun, dari manisan - dengan kacang, dengan cognac, dengan ceri, dengan karamel, dan dengan nougat.

Berapa peluang terambilnya satu permen dan mendapat permen berisi kacang? Berikan jawaban Anda sebagai persentase.

Larutan:

Berapa banyak kemungkinan hasil yang ada? .

Artinya, jika Anda mengambil satu permen, itu akan menjadi salah satu yang tersedia di dalam kotak.

Berapa banyak hasil yang menguntungkan?

Karena kotaknya hanya berisi coklat dengan kacang.

Menjawab:

Contoh 3.

Di dalam sekotak balon. diantaranya berwarna putih dan hitam.

1. Berapa peluang terambilnya bola putih?
2. Kami menambahkan lebih banyak bola hitam ke dalam kotak. Berapa peluang terambilnya bola putih sekarang?

Larutan:

a) Hanya ada bola di dalam kotak. Di antaranya berwarna putih.

Kemungkinannya adalah:

b) Sekarang ada lebih banyak bola di dalam kotak. Dan jumlah orang kulit putih yang tersisa sama banyaknya - .

Menjawab:

Kemungkinan total

Peluang semua kejadian yang mungkin terjadi sama dengan ().

Katakanlah ada bola merah dan hijau di dalam sebuah kotak. Berapa peluang terambilnya bola merah? Bola hijau? Bola merah atau hijau?

Peluang terambilnya bola merah

Bola hijau:

Bola merah atau hijau:

Seperti yang Anda lihat, jumlah semua kejadian yang mungkin sama dengan (). Memahami poin ini akan membantu Anda memecahkan banyak masalah.

Contoh 4.

Ada spidol di dalam kotak: hijau, merah, biru, kuning, hitam.

Berapa peluang terambilnya BUKAN spidol merah?

Larutan:

Mari kita hitung jumlahnya hasil yang menguntungkan.

BUKAN spidol merah, artinya hijau, biru, kuning atau hitam.

Kemungkinan semua kejadian. Dan peluang kejadian yang kita anggap tidak menguntungkan (ketika kita mengambil penanda merah) adalah .

Jadi, peluang terambilnya spidol BUKAN berwarna merah adalah .

Menjawab:

Peluang tidak terjadinya suatu peristiwa sama dengan dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen

Anda sudah tahu apa itu acara independen.

Bagaimana jika Anda perlu mencari peluang terjadinya dua (atau lebih) peristiwa independen secara berturut-turut?

Katakanlah kita ingin mengetahui berapa probabilitas jika kita melempar sebuah koin satu kali, kita akan melihat gambarnya dua kali?

Kami telah mempertimbangkan - .

Bagaimana jika kita melempar koin satu kali? Berapa peluang melihat elang dua kali berturut-turut?

Jumlah opsi yang memungkinkan:

1. Elang-elang-elang
2. Kepala-kepala-ekor
3. Kepala-ekor-kepala
4. Kepala-ekor-ekor
5. Ekor-kepala-kepala
6. Ekor-kepala-ekor
7. Ekor-ekor-kepala
8. Ekor-ekor-ekor

Saya tidak tahu tentang Anda, tetapi saya membuat kesalahan beberapa kali saat menyusun daftar ini. Wow! Dan satu-satunya pilihan (yang pertama) yang cocok untuk kita.

Untuk 5 lemparan, Anda dapat membuat sendiri daftar kemungkinan hasil. Namun matematikawan tidak pekerja keras seperti Anda.

Oleh karena itu, mereka pertama kali memperhatikan dan kemudian membuktikan bahwa peluang suatu rangkaian kejadian independen tertentu setiap kali berkurang sebesar peluang satu kejadian.

Dengan kata lain,

Mari kita lihat contoh koin naas yang sama.

Kemungkinan mendapat tantangan? . Sekarang kita melempar koinnya satu kali.

Berapa peluang mendapatkan hasil berturut-turut?

Aturan ini tidak hanya berlaku jika kita diminta mencari peluang terjadinya peristiwa yang sama beberapa kali berturut-turut.

Jika kita ingin mencari barisan TAILS-HEADS-TAILS untuk pelemparan berturut-turut, kita akan melakukan hal yang sama.

Peluang mendaratnya kepala adalah - , kepala - .

Peluang terambilnya barisan TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Anda bisa mengeceknya sendiri dengan membuat tabel.

Aturan untuk menambahkan probabilitas kejadian yang tidak kompatibel.

Jadi berhentilah! Definisi baru.

Mari kita cari tahu. Mari kita ambil koin kita yang sudah usang dan melemparkannya sekali.
Opsi yang memungkinkan:

1. Elang-elang-elang
2. Kepala-kepala-ekor
3. Kepala-ekor-kepala
4. Kepala-ekor-ekor
5. Ekor-kepala-kepala
6. Ekor-kepala-ekor
7. Ekor-ekor-kepala
8. Ekor-ekor-ekor

Jadi, peristiwa-peristiwa yang tidak sesuai adalah suatu rangkaian peristiwa yang pasti dan tertentu. - ini adalah peristiwa yang tidak kompatibel.

Jika kita ingin menentukan berapa peluang dua (atau lebih) kejadian yang tidak sesuai, maka kita tambahkan peluang kejadian tersebut.

Perlu Anda pahami bahwa head atau tail adalah dua peristiwa yang berdiri sendiri.

Jika kita ingin menentukan peluang terjadinya suatu barisan (atau barisan lainnya), maka kita menggunakan aturan mengalikan peluang.
Berapa peluang munculnya gambar kepala pada pelemparan pertama dan ekor pada pelemparan kedua dan ketiga?

Tetapi jika kita ingin mengetahui berapa probabilitas untuk mendapatkan salah satu dari beberapa urutan, misalnya ketika kepala muncul tepat satu kali, yaitu. pilihan dan, kemudian kita harus menjumlahkan probabilitas dari barisan ini.

Pilihan total cocok untuk kita.

Kita bisa mendapatkan hal yang sama dengan menjumlahkan peluang terjadinya setiap barisan:

Jadi, kita menambahkan probabilitas ketika kita ingin menentukan probabilitas dari rangkaian kejadian tertentu yang tidak konsisten.

Ada aturan bagus untuk membantu Anda menghindari kebingungan kapan harus mengalikan dan kapan harus menjumlahkan:

Mari kita kembali ke contoh di mana kita melempar koin satu kali dan ingin mengetahui probabilitas melihat kepala satu kali.
Apa yang akan terjadi?

Harus rontok:
(kepala DAN ekor DAN ekor) ATAU (ekor DAN kepala DAN ekor) ATAU (ekor DAN ekor DAN kepala).
Begini hasilnya:

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 5.

Ada pensil di dalam kotak. merah, hijau, oranye dan kuning dan hitam. Berapa peluang terambilnya pensil merah atau hijau?

Larutan:

Apa yang akan terjadi? Kita harus menarik (merah ATAU hijau).

Sekarang sudah jelas, mari kita jumlahkan probabilitas kejadian-kejadian ini:

Menjawab:

Contoh 6.

Jika sebuah dadu dilempar dua kali, berapakah peluang munculnya mata dadu berjumlah 8?

Larutan.

Bagaimana kita bisa mendapatkan poin?

(dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan).

Peluang terambilnya satu (setiap) wajah adalah .

Kami menghitung probabilitasnya:

Menjawab:

Pelatihan.

Saya rasa sekarang Anda mengerti kapan Anda perlu menghitung probabilitas, kapan harus menjumlahkannya, dan kapan harus mengalikannya. Bukankah begitu? Mari berlatih sedikit.

Tugas:

Mari kita ambil setumpuk kartu yang berisi kartu termasuk sekop, hati, 13 tongkat, dan 13 berlian. Dari hingga As masing-masing setelan.

1. Berapa peluang terambilnya tongkat secara berurutan (kita meletakkan kartu pertama yang ditarik kembali ke dalam tumpukan dan mengocoknya)?
2. Berapa peluang terambilnya kartu hitam (sekop atau pentungan)?
3. Berapa peluang terambilnya gambar (jack, queen, king atau ace)?
4. Berapa peluang terambilnya dua gambar berturut-turut (kita mengeluarkan kartu pertama yang diambil dari tumpukan)?
5. Berapa probabilitas, dengan mengambil dua kartu, untuk mengumpulkan kombinasi - (jack, queen atau king) dan kartu as?

Jawaban:

1. Dalam setumpuk kartu dengan nilai masing-masing artinya:
2. Peristiwanya bergantung, karena setelah kartu pertama ditarik, jumlah kartu di tumpukan berkurang (begitu juga dengan jumlah “gambar”). Ada total jack, queen, king, dan ace di dek pada awalnya, yang berarti kemungkinan terambilnya “gambar” dengan kartu pertama:

   Karena kita mengeluarkan kartu pertama dari deck, berarti sudah ada kartu yang tersisa di deck, termasuk gambar. Peluang terambilnya gambar dengan kartu kedua :

   Karena kita tertarik pada situasi ketika kita mengambil “gambar” DAN “gambar” dari dek, kita perlu mengalikan probabilitasnya:

   Menjawab:

3. Setelah kartu pertama dikeluarkan, jumlah kartu di dek akan berkurang. Jadi, ada dua pilihan yang cocok untuk kita:
   1) Kartu pertama adalah As, yang kedua adalah Jack, Queen atau King
   2) Kami mengeluarkan jack, queen atau king dengan kartu pertama, dan kartu as dengan kartu kedua. (ace dan (jack atau queen atau king)) atau ((jack atau queen atau king) dan as). Jangan lupa mengurangi jumlah kartu di dek!

Jika Anda mampu menyelesaikan semua masalah sendiri, maka Anda hebat! Sekarang Anda akan memecahkan soal teori probabilitas dalam Ujian Negara Bersatu seperti orang gila!

TEORI PROBABILITAS. LEVEL RATA-RATA

Mari kita lihat sebuah contoh. Katakanlah kita melempar sebuah dadu. Tulang macam apa ini, tahukah kamu? Inilah yang mereka sebut kubus dengan angka di wajahnya. Berapa banyak wajah, begitu banyak angka: dari sampai berapa? Sebelum.

Jadi kita melempar dadu dan kita menginginkannya muncul atau. Dan kami mengerti.

Dalam teori probabilitas, mereka mengatakan apa yang terjadi peristiwa yang menguntungkan(jangan bingung dengan makmur).

Jika itu terjadi, acaranya juga akan menguntungkan. Secara total, hanya dua peristiwa menguntungkan yang bisa terjadi.

Berapa banyak yang tidak menguntungkan? Karena ada total kejadian yang mungkin terjadi, maka kejadian yang tidak menguntungkan adalah kejadian (ini jika atau rontok).

Definisi:

Probabilitas adalah perbandingan jumlah kejadian yang menguntungkan dengan jumlah semua kejadian yang mungkin terjadi. Artinya, probabilitas menunjukkan berapa proporsi semua kemungkinan kejadian yang menguntungkan.

Mereka menunjukkan probabilitas dengan huruf Latin (tampaknya dari kata bahasa Inggris probabilitas - probabilitas).

Merupakan kebiasaan untuk mengukur probabilitas sebagai persentase (lihat topik dan). Untuk melakukan ini, nilai probabilitas harus dikalikan. Dalam contoh dadu, probabilitas.

Dan dalam persentase: .

Contoh (putuskan sendiri):

1. Berapa peluang munculnya kepala pada saat pelemparan sebuah koin? Berapa kemungkinan mendaratnya kepala?
2. Berapa peluang terambilnya angka genap pada pelemparan sebuah dadu? Yang mana yang aneh?
3. Di dalam kotak pensil sederhana, biru dan merah. Kami menggambar satu pensil secara acak. Berapa peluang terambilnya yang sederhana?

Solusi:

1. Ada berapa banyak pilihan? Kepala dan ekor - hanya dua. Berapa banyak yang menguntungkan? Hanya satu yang seekor elang. Jadi kemungkinannya

   Sama halnya dengan ekor: .

2. Pilihan total: (berapa banyak sisi yang dimiliki kubus, begitu banyak pilihan berbeda). Yang menguntungkan: (ini semua bilangan genap :).
   Kemungkinan. Tentu saja sama halnya dengan angka ganjil.
3. Jumlah: . Menguntungkan: . Kemungkinan: .

Kemungkinan total

Semua pensil di dalam kotak berwarna hijau. Berapa peluang terambilnya pensil merah? Tidak ada peluang: probabilitas (bagaimanapun juga, peristiwa yang menguntungkan -).

Peristiwa seperti ini disebut mustahil.

Berapa peluang terambilnya pensil hijau? Jumlah peristiwa menguntungkan sama persis dengan jumlah peristiwa total (semua peristiwa menguntungkan). Jadi probabilitasnya sama dengan atau.

Peristiwa seperti ini disebut dapat diandalkan.

Jika sebuah kotak berisi pensil hijau dan merah, berapa peluang terambilnya pensil hijau atau merah? Sekali lagi. Mari kita perhatikan ini: peluang terambilnya warna hijau adalah sama, dan peluang terambilnya warna merah adalah sama.

Singkatnya, probabilitas ini sama persis. Itu adalah, jumlah peluang semua kejadian yang mungkin terjadi sama dengan atau.

Contoh:

Di dalam kotak pensil, di antaranya berwarna biru, merah, hijau, polos, kuning, dan selebihnya oranye. Berapa peluang terambilnya warna hijau?

Larutan:

Kami ingat bahwa semua kemungkinan bertambah. Dan kemungkinan menjadi hijau adalah sama. Artinya peluang tidak terambilnya warna hijau adalah sama.

Ingat trik ini: Peluang tidak terjadinya suatu peristiwa sama dengan dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Peristiwa bebas dan aturan perkalian

Anda melempar koin sekali dan ingin koin itu muncul dua kali. Seberapa besar kemungkinannya?

Mari kita lihat semua opsi yang memungkinkan dan tentukan berapa banyak yang ada:

Kepala-Kepala, Ekor-Kepala, Kepala-Ekor, Ekor-Ekor. Apa lagi?

Jumlah pilihan. Dari jumlah tersebut, hanya satu yang cocok untuk kita: Elang-Elang. Secara total, kemungkinannya sama.

Bagus. Sekarang mari kita melempar koin satu kali. Hitung sendiri. Telah terjadi? (menjawab).

Anda mungkin telah memperhatikan bahwa dengan penambahan setiap lemparan berikutnya, kemungkinannya berkurang setengahnya. Aturan umum disebut aturan perkalian:

Kemungkinan kejadian independen berubah.

Apa itu acara independen? Semuanya logis: inilah yang tidak bergantung satu sama lain. Misalnya, ketika kita melempar koin beberapa kali, setiap kali dilakukan lemparan baru, yang hasilnya tidak bergantung pada semua lemparan sebelumnya. Kita bisa dengan mudah melempar dua koin berbeda secara bersamaan.

Contoh lainnya:

1. Dadu dilempar dua kali. Berapa peluang terambilnya kedua kali tersebut?
2. Koin tersebut dilempar satu kali. Berapa probabilitas bahwa ia akan muncul pertama kali dan kemudian muncul dua kali?
3. Pemain melempar dua dadu. Berapa peluang terambilnya angka-angka yang sama?

Jawaban:

1. Peristiwa-peristiwa tersebut bersifat independen, yang berarti aturan perkalian berlaku: .
2. Kemungkinan munculnya kepala adalah sama. Kemungkinan ekornya sama. Berkembang biak:
3. 12 hanya dapat diperoleh jika dua -ki dilempar: .

Peristiwa yang tidak kompatibel dan aturan penambahan

Peristiwa yang saling melengkapi sampai pada titik kemungkinan penuh disebut tidak kompatibel. Seperti namanya, hal tersebut tidak bisa terjadi secara bersamaan. Misalnya, jika kita melempar koin, maka yang muncul adalah kepala atau ekor.

Contoh.

Di dalam kotak pensil, di antaranya berwarna biru, merah, hijau, polos, kuning, dan selebihnya oranye. Berapa peluang terambilnya warna hijau atau merah?

Solusi.

Peluang terambilnya pensil hijau adalah sama. Merah - .

Peristiwa yang menguntungkan secara keseluruhan: hijau + merah. Artinya peluang terambilnya warna hijau atau merah adalah sama.

Probabilitas yang sama dapat direpresentasikan dalam bentuk ini: .

Ini adalah aturan penjumlahan: kemungkinan kejadian yang tidak kompatibel bertambah.

Masalah tipe campuran

Contoh.

Koin tersebut dilempar sebanyak dua kali. Berapa peluang hasil pelemparannya berbeda?

Solusi.

Artinya, jika hasil pertama adalah kepala, maka hasil kedua harus ekor, dan sebaliknya. Ternyata ada dua pasang kejadian yang saling bebas, dan pasangan tersebut tidak cocok satu sama lain. Bagaimana agar tidak bingung dimana harus mengalikan dan dimana harus menambah.

Ada aturan sederhana untuk situasi seperti itu. Coba jelaskan apa yang akan terjadi dengan menggunakan kata sambung “DAN” atau “ATAU”. Misalnya dalam hal ini:

Seharusnya muncul (kepala dan ekor) atau (ekor dan kepala).

Jika ada konjungsi “dan” maka akan terjadi perkalian, dan jika ada “atau” maka akan terjadi penjumlahan:

Cobalah sendiri:

1. Berapakah peluang jika sebuah mata uang logam dilempar dua kali, mata uang logam tersebut akan mendarat pada sisi yang sama pada kedua kali pelemparan tersebut?
2. Dadu dilempar dua kali. Berapa peluang mendapatkan total poin?

Solusi:

1. (Kepala jatuh dan ekor jatuh) atau (ekor jatuh dan ekor jatuh): .
2. Apa saja pilihannya? Dan. Kemudian:
   Dijatuhkan (dan) atau (dan) atau (dan): .

Contoh lain:

Melempar koin satu kali. Berapa peluang munculnya kepala paling sedikit satu kali?

Larutan:

Oh, betapa aku tidak ingin memikirkan pilihan-pilihan... Kepala-ekor-ekor, Kepala-elang-ekor,... Tapi itu tidak perlu! Mari kita ingat tentang probabilitas total. Apakah kamu ingat? Berapa probabilitas bahwa elang tersebut tidak akan pernah rontok? Sederhana saja: kepala terbang sepanjang waktu, itulah alasannya.

TEORI PROBABILITAS. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Probabilitas adalah perbandingan jumlah kejadian yang menguntungkan dengan jumlah semua kejadian yang mungkin terjadi.

Acara independen

Dua kejadian dikatakan independen jika terjadinya salah satu kejadian tidak mengubah peluang terjadinya kejadian lainnya.

Kemungkinan total

Peluang semua kejadian yang mungkin terjadi sama dengan ().

Peluang tidak terjadinya suatu peristiwa sama dengan dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen

Peluang suatu rangkaian kejadian independen tertentu sama dengan hasil kali peluang setiap kejadian

Peristiwa yang tidak kompatibel

Peristiwa yang tidak kompatibel adalah peristiwa yang tidak mungkin terjadi secara bersamaan sebagai akibat dari suatu percobaan. Sejumlah peristiwa yang tidak kompatibel membentuk kelompok peristiwa yang lengkap.

Kemungkinan kejadian yang tidak kompatibel bertambah.

Setelah menjelaskan apa yang seharusnya terjadi, dengan menggunakan konjungsi “AND” atau “OR”, alih-alih “AND” kita beri tanda perkalian, dan sebagai ganti “OR” kita beri tanda penjumlahan.

Menjadi siswa YouClever,

Mempersiapkan diri untuk Ujian Negara Bersatu atau Ujian Negara Bersatu dalam matematika,

Dan juga dapatkan akses ke buku teks YouClever tanpa batasan...

Kita sering kali tertarik pada kemungkinan terjadinya beberapa kejadian secara bersamaan, misalnya muncul dua gambar dalam dua kali pelemparan sebuah koin, atau setidaknya satu angka enam dalam dua kali pelemparan sebuah dadu. Situasi seperti ini disebut situasi dengan beberapa kemungkinan hasil.

Menggunakan Diagram Pohon

Meskipun cukup mudah untuk memahami bahwa probabilitas munculnya gambar dalam satu kali pelemparan sebuah koin yang adil adalah ?, namun agak lebih sulit untuk secara intuitif menentukan probabilitas munculnya empat gambar dalam empat kali pelemparan sebuah koin yang adil. Meskipun contoh koin mungkin tampak dibuat-buat, contoh ini berfungsi dengan baik untuk menjelaskan kombinasi probabilitas dalam beberapa percobaan. Mari kita lakukan perhitungan. (Ikuti pembahasan saya meskipun Anda takut dengan matematika. Jika Anda mempelajari contoh-contohnya, perhitungan dan penalaran matematisnya akan tampak cukup sederhana bagi Anda. Jangan melihat beberapa angka berikutnya dan berseru: "Tidak, tidak mungkin, saya lewati saja ini "Penting untuk mampu berpikir dengan dan tentang angka.)

Pada lemparan pertama, hanya satu dari dua kemungkinan hasil yang dapat terjadi; kepala (O) atau ekor (P). Apa jadinya jika sebuah uang logam dilempar dua kali? Ada empat kemungkinan hasil: kepala kedua kali (HE), kepala pertama kali dan ekor kedua kali (OR), ekor pertama kali dan kepala kedua kali (TH), dan ekor kedua kali (RR). Karena ada empat kemungkinan hasil dan hanya satu cara untuk mendapatkan dua gambar, probabilitas kejadian ini adalah 1/4 (sekali lagi, kita berasumsi bahwa koin tersebut “adil”, yaitu, gambar dan gambar memiliki kemungkinan yang sama). Ada aturan umum untuk menghitung kemungkinan terjadinya gabungan beberapa peristiwa dalam situasi apa pun - aturan “dan”. Jika Anda ingin mencari probabilitas kejadian bersamaan yang pertama Dan acara kedua (menghadapi acara pertama Dan pada putaran kedua), Anda perlu mengalikan probabilitas kejadian-kejadian ini terjadi secara terpisah. Dengan menerapkan aturan “dan”, kita menemukan bahwa peluang munculnya dua kepala ketika sebuah koin dilempar dua kali adalah? X? = 1/ 4 . Secara intuitif, tampaknya probabilitas dua peristiwa terjadi bersamaan seharusnya lebih kecil daripada probabilitas masing-masing peristiwa secara terpisah; Ternyata begitulah.

Cara sederhana untuk menghitung probabilitas ini adalah dengan merepresentasikan semua kemungkinan kejadian menggunakan diagram pohon. Diagram pohon digunakan di Bab 4 ketika kita menguji validitas pernyataan "jika...maka...". Dalam bab ini, kita akan menetapkan nilai probabilistik pada cabang-cabang pohon untuk menentukan probabilitas berbagai kombinasi hasil. Saya akan kembali ke diagram pohon di bab selanjutnya saat saya mencari cara untuk menemukan solusi kreatif terhadap masalah.

Saat pertama kali sebuah koin dilempar, koin tersebut akan mendarat dengan kepala atau ekor menghadap ke atas. Untuk koin yang “adil”, kepala dan ekor yang mendarat memiliki probabilitas yang sama yaitu 0,5. Mari kita gambarkan seperti ini:

Saat Anda melempar koin untuk kedua kalinya, kepala atau ekor pertama akan diikuti oleh kepala atau ekor kedua, atau ekor pertama akan diikuti oleh kepala atau ekor kedua. Peluang munculnya kepala dan ekor pada pelemparan kedua masih 0,5. Hasil lemparan kedua digambarkan pada diagram sebagai cabang tambahan pada pohon.

Seperti yang Anda lihat dari diagram, ada empat kemungkinan hasil. Anda dapat menggunakan pohon ini untuk mengetahui probabilitas kejadian lainnya. Berapa peluang terambilnya satu kepala ketika sebuah koin dilempar dua kali? Karena ada dua cara untuk mendapatkan satu kepala (OP atau RO), maka jawabannya adalah 2/4 atau?. Jika Anda ingin mencari peluang dari dua atau lebih hasil yang berbeda, jumlahkan peluang semua hasil. Ini disebut aturan “atau”. Dengan kata lain, masalah ini dapat dirumuskan sebagai berikut: “Berapa peluang didapatnya atau kepala pertama, lalu ekor (1/4), atau ekor pertama lalu kepala (1/4)?” Prosedur yang benar untuk menemukan jawabannya adalah dengan menjumlahkan nilai-nilai tersebut, sehingga menghasilkan ?. Secara intuitif, tampaknya probabilitas terjadinya salah satu dari beberapa peristiwa seharusnya lebih besar daripada probabilitas terjadinya masing-masing peristiwa; Ternyata begitulah.

Aturan “dan” dan “atau” hanya dapat digunakan ketika terjadi peristiwa yang menarik bagi kita mandiri. Dua kejadian dikatakan bebas apabila terjadinya salah satu kejadian tidak mempengaruhi terjadinya kejadian kedua. Dalam contoh ini, hasil pelemparan koin pertama sama sekali tidak mempengaruhi hasil pelemparan koin kedua. Selain itu, agar aturan “atau” dapat diterapkan, peristiwa-peristiwa tersebut harus tidak kompatibel, yaitu peristiwa-peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada waktu yang bersamaan. Dalam contoh ini, hasilnya tidak sesuai, karena kita tidak bisa mendapatkan kedua kepala dan ekor dalam satu lemparan.

Merepresentasikan peristiwa sebagai diagram pohon berguna dalam banyak situasi. Mari kita perluas contoh kita. Misalkan seorang laki-laki berjas bergaris-garis, berkumis panjang keriting, dan bermata sipit menghentikan Anda di jalan dan meminta Anda bermain demi uang dengan melempar koin. Dia selalu bertaruh pada kepala. Pada pelemparan pertama, koin mendarat dengan kepala menghadap ke atas. Hal serupa juga terjadi pada lemparan kedua. Pada lemparan ketiga muncul kepala lagi. Kapan Anda mulai curiga bahwa dia memiliki koin “kotor”? Kebanyakan orang ragu pada percobaan ketiga atau keempat. Hitung peluang terambilnya gambar hanya pada pelemparan tiga dan empat kali pada sebuah koin yang “adil” (probabilitas terambilnya gambar adalah 0,5).

Untuk menghitung probabilitas mendapatkan tiga kepala dalam tiga kali percobaan, Anda perlu menggambar pohon dengan tiga baris “simpul”, dengan dua “cabang” yang berasal dari setiap simpul.

Dalam contoh ini, kami tertarik pada probabilitas mendapatkan tiga gambar berturut-turut, asalkan koinnya “adil”. Lihatlah kolom berlabel "hasil" dan temukan hasil LLC. Karena ini adalah satu-satunya hasil dengan tiga kepala, kalikan probabilitas sepanjang cabang 000 (dilingkari dalam diagram) dan Anda mendapatkan 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125. Probabilitas 0,125 berarti bahwa jika koin tersebut adil, rata-rata koin tersebut akan mendaratkan kepala tiga kali berturut-turut 12,5% dari waktu. Karena kemungkinan ini kecil, ketika tiga kepala muncul berturut-turut, kebanyakan orang mulai curiga bahwa koin tersebut “memiliki rahasia”.

Untuk menghitung probabilitas mendapatkan empat kepala dalam empat kali percobaan, tambahkan cabang tambahan pada pohon.

Peluang terambilnya empat kepala adalah 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,0625 atau 6,25%. Seperti yang sudah anda ketahui, secara matematis sama dengan 0,5 4; Artinya, mengalikan suatu bilangan dengan dirinya sendiri sebanyak empat kali sama dengan menaikkannya menjadi pangkat empat. Jika Anda mengandalkan kalkulator yang memiliki operasi eksponen, Anda akan mendapatkan jawaban yang sama - 0,0625. Meskipun hasil ini mungkin terjadi dan akan terjadi suatu hari nanti, namun kecil kemungkinannya. Faktanya, dia sangat tidak masuk akal dan tidak biasa sehingga banyak orang akan mengatakan bahwa pria bermata licik itu pasti selingkuh. Tidak ada keraguan bahwa ketika Anda mendapatkan kepala kelima berturut-turut, masuk akal untuk menyimpulkan bahwa Anda sedang berhadapan dengan penipu. Untuk sebagian besar tujuan ilmiah, suatu peristiwa dianggap "tidak biasa" jika kemungkinan terjadinya kurang dari 5%. (Dalam bahasa teori probabilitas, ditulis sebagai berikut: p ‹ 0,05.)

Mari kita tinggalkan contoh koin buatan dan terapkan logika yang sama ke konteks yang lebih berguna. Saya yakin setiap siswa pernah menghadapi tes pilihan ganda di mana Anda harus memilih jawaban yang benar dari pilihan yang diberikan. Pada sebagian besar tes ini, setiap pertanyaan memiliki lima kemungkinan jawaban, dan hanya satu yang benar. Misalkan soalnya sangat sulit sehingga Anda hanya bisa menebak jawaban yang benar secara kebetulan. Berapa peluang menebak dengan benar saat menjawab pertanyaan pertama? Jika Anda tidak tahu pilihan mana yang merupakan jawaban yang benar, maka Anda mempunyai kemungkinan yang sama untuk memilih salah satu dari lima pilihan tersebut, dengan asumsi bahwa salah satu dari pilihan tersebut mungkin benar. Karena jumlah peluang terpilihnya semua opsi harus sama dengan satu, maka peluang terpilihnya setiap opsi jika semua opsi mempunyai peluang yang sama adalah 0,20. Salah satu pilihan benar dan sisanya salah, jadi peluang terambilnya pilihan yang benar adalah 0,20. Diagram pohon dari situasi ini ditunjukkan di bawah ini.

Berapa peluang menebak dengan benar jawaban pada dua soal pertama tes tersebut? Kita harus menambahkan cabang baru pada pohon itu, yang akan segera menjadi sangat lebat. Untuk menghemat ruang dan menyederhanakan penghitungan, Anda dapat mewakili semua opsi yang salah sebagai satu cabang, berlabel "salah". Peluang salah menjawab satu soal adalah 0,8.

Peluang menebak dengan benar jawaban dua soal adalah 0,2 x 0,2 = 0,04. Artinya, hal ini bisa terjadi secara kebetulan hanya dalam 4% percobaan. Katakanlah kita memperluas contoh kita menjadi tiga pertanyaan. Saya tidak akan menggambar pohonnya, tetapi Anda seharusnya sudah memahami bahwa probabilitasnya adalah 0,2 x 0,2 x 0,2 = 0,008. Ini adalah peristiwa yang tidak biasa sehingga dapat terjadi secara kebetulan dalam waktu kurang dari 1% percobaan. Apa pendapat Anda tentang seseorang yang berhasil menjawab ketiga pertanyaan dengan benar? Kebanyakan orang (dan guru juga manusia) akan menyimpulkan bahwa siswa tidak memilih jawaban secara acak, namun sebenarnya mengetahui sesuatu. Tentu saja, mungkin saja dia hanya beruntung, tetapi kemungkinannya sangat kecil. Dengan demikian, kami sampai pada kesimpulan bahwa hasil yang diperoleh tidak bisa dijelaskan hanya dengan keberuntungan.

Saya ingin menunjukkan satu aspek menarik dari alasan tersebut. Bayangkan situasi malang yang dialami Sarah. Ia menjawab 15 soal tes, dimana jawaban setiap soal harus dipilih dari lima pilihan. Sarah menjawab semua 15 pertanyaan dengan salah. Dapatkah Anda menentukan kemungkinan bahwa hal ini terjadi secara kebetulan? Saya tidak akan menggambar diagram pohon untuk mengilustrasikan situasi ini, tetapi mudah untuk melihat bahwa kemungkinan salah dalam satu pertanyaan adalah 0,8; oleh karena itu, peluang menjawab salah seluruh 15 pertanyaan adalah 0,8 15 . Ini adalah angka 0,8 dikalikan sendiri sebanyak 15 kali, sehingga menghasilkan 0,0352. Karena kemungkinan terjadinya kecelakaan seperti itu adalah 3,52%, mungkin Sarah harus memberi tahu gurunya bahwa hasil yang tidak biasa seperti itu tidak dapat dijelaskan secara kebetulan? Sarah, tentu saja, bisa melontarkan argumen serupa, tapi apakah Anda akan percaya padanya jika Anda seorang guru? Misalkan dia mengaku mempunyai semua jawabannya. Bagaimana mungkin dia tidak memilih jawaban yang benar untuk 15 pertanyaan berturut-turut? Saya tidak tahu berapa banyak guru yang akan mempercayai pernyataannya bahwa 15 jawaban yang salah membuktikan bahwa dia berpengetahuan, meskipun pada prinsipnya alur pemikiran ini digunakan untuk membuktikan pengetahuan, karena kemungkinan menebak semua jawaban dengan benar hampir sama. (Dalam contoh ini, probabilitas menjawab 15 pertanyaan dengan benar secara acak adalah 0,20 15; angka ini jauh lebih kecil dari 0,0001.) Jika Sarah adalah guru saya, saya akan memberinya nilai tinggi atas kreativitas dan pemahamannya tentang prinsip-prinsip statistik. Mungkin saja Sarah benar-benar mengetahui sesuatu tentang topik ini, tetapi ada kesalahan sistematis dalam “sesuatu” ini. Saya juga ingin mengingatkan dia bahwa mungkin dia tidak belajar untuk ujian, dan terlebih lagi, dia kurang beruntung dan membuat 15 tebakan yang salah. Memang, terkadang hal-hal yang sangat tidak biasa terjadi.

Sebelum membaca bagian selanjutnya, pastikan Anda memahami cara menggunakan diagram pohon untuk menghitung probabilitas dan memperhitungkan semua kemungkinan hasil. Saya akan kembali ke diagram tersebut nanti di bab ini. Setelah Anda mempelajari cara menggunakannya, Anda akan terkejut melihat betapa banyak situasi di mana mereka dapat digunakan.

Beras. 7.2. Matriks pembayaran dengan mempertimbangkan probabilitas hasil peristiwa

pi – probabilitas hasil ke-i dari suatu peristiwa.

Mj – mat. ekspektasi suatu kriteria ketika memilih opsi tindakan alternatif ke-j, ditentukan dengan rumus:

Dua pendekatan di atas memungkinkan penerapan empat algoritma pemilihan solusi yang berbeda.

1. Keputusan berdasarkan aturan kemungkinan maksimum - memaksimalkan nilai kriteria yang paling mungkin (keuntungan atau pendapatan).

2. Keputusan berdasarkan aturan kemungkinan maksimum - meminimalkan nilai kriteria yang paling mungkin (kemungkinan kerugian atau kerugian langsung).

3. Keputusan berdasarkan aturan memaksimalkan ekspektasi matematis (nilai rata-rata) dari kriteria (keuntungan atau pendapatan).

4. Keputusan berdasarkan aturan meminimalkan ekspektasi matematis (nilai rata-rata) dari kriteria (kerugian atau kerusakan).

Contoh-contoh yang telah kita bahas sejauh ini dalam bab ini hanya melibatkan satu solusi. Namun, dalam praktiknya, hasil dari satu keputusan memaksa kita untuk mengambil keputusan berikutnya, dan seterusnya. Urutan ini tidak dapat dinyatakan dengan matriks pembayaran, sehingga beberapa proses pengambilan keputusan lain harus digunakan.

Skema pohon keputusan digunakan ketika perlu untuk membuat beberapa keputusan dalam kondisi ketidakpastian, ketika setiap keputusan bergantung pada hasil keputusan sebelumnya atau hasil dari suatu peristiwa.

Saat membuat pohon keputusan, Anda perlu menggambar “batang” dan “cabang” yang mencerminkan struktur masalah.

· “Pohon” terletak dari kiri ke kanan. "Cabang" mewakili kemungkinan keputusan alternatif yang dapat dibuat dan kemungkinan hasil yang timbul dari keputusan tersebut.

· “Cabang” keluar dari simpul. Ada dua jenis node.

Node persegi melambangkan tempat pengambilan keputusan.

Node bulat mewakili tempat di mana berbagai kemungkinan hasil muncul.

· Diagram menggunakan dua jenis “cabang”:

Yang pertama adalah garis putus-putus yang keluar dari kotak solusi yang mungkin; pergerakan sepanjang garis tersebut bergantung pada keputusan yang dibuat. Semua biaya yang disebabkan oleh keputusan tersebut ditunjukkan pada “cabang” bertitik yang sesuai.

Yang kedua adalah garis padat yang keluar dari lingkaran kemungkinan hasil. Pergerakan sepanjang mereka ditentukan oleh hasil dari suatu peristiwa. Garis padat menunjukkan kemungkinan hasil tertentu.

simpul pengambilan keputusan.

simpul percabangan untuk kemungkinan hasil peristiwa.

cabang, pergerakannya tergantung pada keputusan yang dibuat.

cabang, pergerakan yang bergantung pada hasil peristiwa.

Pencarian solusi dibagi menjadi tiga tahap.

Tahap 1. Sebuah “pohon” sedang dibangun (contohnya akan dibahas di kelas praktik). Ketika semua keputusan dan hasilnya ditunjukkan pada “pohon”, masing-masing pilihan dihitung, dan pendapatan moneternya ditunjukkan pada akhir.

Tahap 2. Mereka dihitung dan ditempatkan pada cabang yang sesuai dengan probabilitas setiap hasil.

Tahap 3. Pada tahap ini, hasil moneter dari masing-masing “node” dihitung dan dimasukkan dari kanan ke kiri. Setiap biaya yang dikeluarkan dikurangkan dari pendapatan yang diharapkan.

Setelah kotak “solusi” selesai, “cabang” yang mengarah ke perkiraan pendapatan tertinggi untuk keputusan tertentu dipilih (tanda panah ditempatkan pada cabang ini).

“Cabang” lainnya dicoret, dan pendapatan yang diharapkan ditulis di atas kotak solusi.

Dengan demikian, pada akhir tahap ketiga, terbentuklah rangkaian keputusan yang mengarah pada pendapatan maksimal.

Pada prinsipnya kriterianya dapat berupa maksimalisasi mat. ekspektasi pendapatan dan meminimalkan sumpah serapah. ekspektasi kerugian.

Malam berangsur-angsur menyelimuti Kastil Zmiulan yang megah. Lambat laun, obor dinyalakan di koridor, dan para siswa bergegas menuju kamar masing-masing. Maka, ketika koridor sudah kosong, seorang pria keluar dari sudut: setelan hitam mahal sangat pas dengan sosoknya, rambut coklat disisir ke belakang, mata berwarna pistachio hanya menatap ke depan dengan tatapan acuh tak acuh. Norton Ognev, dan dialah dia, mendekati kantor Roh Agung Ostala. Setelah mengetuk dan mendapat izin, pria itu masuk ke kamar. -Jadi, kenapa kamu datang, Norton? - Pemilik kastil sendiri berdiri membelakangi ayah Vasilisa, memandang ke luar jendela. Ketidakpedulian tidak hilang dari wajah Ognev, tapi dia menegang dalam hati. “Tuan Astragor, saya perlu pergi ke Chernovod selama beberapa hari,” kepala Dragotsiev berbalik. -Seperti yang saya mengerti, Anda tidak akan pergi sendiri? - Norton Sr. mengangguk pelan: - Ya, Tuan Astragor. Jika kamu tidak keberatan, aku akan membawa putriku, Fash dan Zaharra bersamaku. - Mengapa kamu, Norton, membawa keponakanku bersamamu? - Kepala Dragotsi memandang Ognev dengan penuh minat. “Vasilisa bertanya,” jawab Norton Sr. seolah enggan. Astragor menatap api di perapian sambil berpikir. Ognev dengan sabar menunggu jawaban... *** Malam menyelimuti kastil megah dalam kanvas bintang. Angin sepoi-sepoi menggoyang dedaunan taman. Di Ruang Hijau, Vasilisa sudah bersiap-siap tidur. “Oh, sudah lama sekali aku tidak berada di sini…” kata gadis itu sambil melihat sekeliling ruangan. Dia bahkan tidak ingat kapan terakhir kali dia berada di sini, tapi dia melihat semuanya sudah pada tempatnya. Tiba-tiba seorang pria terbang melalui jendela yang terbuka. Ogneva memandang tamu tak terduga itu dengan heran. Menyembunyikan sayap hitamnya, pria berambut hitam itu tersenyum kepada pemilik ruangan: “Halo burung hantu!” -Kamu menakuti saya! - seru gadis itu sambil menatap pria itu dengan kesal. “Oh, ayolah,” tamu itu terkekeh. - Menurutku kamu akan selalu takut padaku. -Jangan bodoh! “Aku akan takut pada pria sombong sepertimu,” kata Vasilisa kesal. - Ngomong-ngomong, Fash, kenapa kamu datang, apalagi terlambat? Tidak bisa tidur lagi? “Ya,” Dragotsy mengangguk. - Saya memutuskan untuk melakukan tur ke Chernovod... Tapi berjalan sendirian tidak terlalu menyenangkan, dan berbahaya. Lagipula itu kastil yang asing,” mata Fash berkilat licik. -Apakah kamu menyarankan agar aku mengajakmu berkeliling? - Vasilisa memandang temannya dengan bingung. -Mengapa tidak? Anda tahu segalanya di sini, bukan? - Si rambut coklat mengangkat alis bertanya-tanya. “Hampir,” jawab gadis berambut merah itu mengelak. “Yah, itu bagus,” Dragotsiy menuju pintu. Ognevoy tidak punya pilihan selain mengikutinya. Orang-orang itu berjalan di sepanjang koridor gelap, menyalakan lampu. Vasilisa memberi tahu Fash apa yang dia ingat di kastil ini. Dia mendengarkannya dengan cermat, terkadang menyela atau mendengus sinis pada lamaran ini atau itu. Tak lama kemudian dia bosan hanya berjalan-jalan dan mendengarkan obrolan, dan, teringat sesuatu, dia mengajukan pertanyaan: “Ngomong-ngomong, menara apa yang kita lihat saat kita naik kereta?” -Yang mana yang kamu maksud? - Ogneva bertanya sambil berpikir. “Sepertinya gaya Barat,” kata Dragotsiy. “Oh, yang ini,” gadis berambut merah itu segera menyadarinya. - Kami menyebutnya Kesepian, pernah ada tahanan yang ditahan di sana. -Mari kita lihat di sana? - kegembiraan muncul di mata biru es si rambut coklat. “Yah, aku tidak tahu...” Vasilisa berkata dengan ragu-ragu. -Apakah kamu takut? - Dragotsiy menyeringai. Seperti yang diharapkan Fash, mereka berhasil menganggapnya enteng: wajah gadis itu memerah, dan dia mengepalkan tinjunya: "Ayo pergi," dan Vasilisa memimpin si rambut coklat yang tersenyum puas ke menara ini. Setelah membuka pintu tanpa hambatan, orang-orang itu memasuki ruangan. Pintu segera dibanting hingga tertutup. Fash berjalan ke jendela yang terbuka lebar dan melompat ke ambang jendela, menghirup aroma laut yang menyegarkan: “Eh, bagus…” lalu menoleh ke gadis berambut merah. “Ayo, duduk,” dan dia memukul tempat di sebelahnya dengan telapak tangannya. Gadis itu segera duduk di sebelahnya. Bulan purnama bersinar di atas, dan laut bergolak di bawah. Gelombang demi gelombang bergulung, menghantam bebatuan. “Bulan yang cerah sekali,” Vasilisa kembali menatap langit. -Dan aku punya lagu tentang bulan. “Aku sudah lama menyusunnya,” kata Fash tiba-tiba. -Jadi kamu bisa bernyanyi? - Gadis berambut merah itu memandang Dragotius dengan heran. Dia mengangguk dalam diam. -Apa, kamu tidak percaya? - Si rambut coklat mendekati wajah Ognevaya, menatap mata lawan bicaranya sambil tersenyum. Saya perhatikan pipinya berubah menjadi merah muda dan senyumnya menjadi lebih lebar. “Tidak, hanya saja…” Vasilisa yang tersipu tergagap, mengalihkan pandangannya dari mata biru esnya, yang memantulkan cahaya bulan. “Tidak ada cara untuk memastikan kata-katamu,” dia menatap mata itu lagi. Fash mulai perlahan mencondongkan tubuh ke arah si rambut merah. Dia pergi menemuinya di tengah jalan. Hanya ada jarak beberapa milimeter di antara wajah mereka. Ogneva sudah merasakan embusan angin sepoi-sepoi di bibirnya. Bibir mereka hampir bersentuhan, dan... -Oh, lucu sekali! - Vasilisa segera menjauh dari Dragotsiy dan tersipu lebih parah dari sebelumnya. Flash berbalik. Sebelum matanya yang jernih muncul... -Zakharra?! - dua merpati berseru kaget. -Apa yang kamu lakukan di sini? - Si rambut coklat menatap adiknya dengan kesal. - Ya, saya melihat Anda terbang ke suatu tempat, saya memutuskan untuk mencari tahu. Saya keluar dan melihat Anda berjalan dan mengobrol. Hal utama adalah Anda tidak memperhatikan saya. Baiklah, aku mengikutimu,” si bobtail menjelaskan semuanya. - Darah asli Podlyuchaya... - Fash bergumam, turun dari ambang jendela dan pergi ke kamarnya. Vasilisa mengikuti teladannya. Zaharra langsung menyelinap ke koridor di belakang Ognevaya dan juga kembali ke kamarnya...

Untuk membuat pohon probabilitas, pertama-tama Anda perlu menggambar pohon itu sendiri, kemudian menuliskan semua informasi yang diketahui untuk soal ini di gambar tersebut, dan terakhir, menggunakan aturan dasar untuk menghitung angka yang hilang dan melengkapi pohonnya.

1. Probabilitas ditunjukkan pada setiap titik akhir dan dilingkari. Pada setiap tingkat pohon, jumlah probabilitas harus sama dengan 1 (atau 100%). Jadi, misalnya, pada Gambar. 6.5.1 jumlah probabilitas pada level pertama adalah 0,20 + 0,80 = 1,00 dan pada level kedua - 0,03 + 0,17 + 0,56 + 0,24 = 1,00. Aturan ini membantu mengisi satu lingkaran kosong di kolom jika nilai semua probabilitas lain pada level tersebut diketahui.

Beras. 6.5.1

2. Probabilitas bersyarat ditunjukkan di sebelah masing-masing cabang (kecuali
mungkin cabang tingkat pertama). Untuk setiap kelompok cabang yang muncul dari satu titik, jumlah probabilitasnya juga sama dengan 1 (atau 100%).
Misalnya, pada Gambar. 6.5.1 untuk kelompok cabang pertama kita mendapatkan 0,15 + 0,85 =
1,00 dan untuk kelompok kedua - 0,70 + 0,30 = 1,00. Aturan ini mengizinkan
menghitung satu nilai probabilitas bersyarat yang tidak diketahui dalam sekelompok cabang yang berasal dari satu titik.

3. Probabilitas yang dilingkari di awal cabang dikalikan dengan kondisi
probabilitas di sebelah cabang ini memberikan probabilitas yang ditulis dalam lingkaran
ujung cabang. Misalnya, pada Gambar. 6.5.1 untuk cabang atas menuju ke kanan
kita memiliki 0,20 x 0,15 = 0,03, untuk cabang berikutnya - 0,20 x 0,85 = 0,17; hubungan serupa berlaku untuk dua cabang lainnya. Aturan ini dapat digunakan untuk menghitung satu nilai yang tidak diketahui
probabilitas dari tiga yang sesuai dengan beberapa cabang.

4. Nilai peluang yang ditulis dalam lingkaran sama dengan jumlah peluang yang dilingkari pada ujung semua cabang yang keluar dari lingkaran tersebut
ke kanan. Jadi, misalnya, untuk Gambar. 6.5.1 keluar dari lingkaran dengan nilai 0,20
dua cabang yang ujungnya dilingkari probabilitas yang jumlahnya sama dengan nilai ini: 0,03 + 0,17 = 0,20. Aturan ini memungkinkan Anda menemukan satu nilai probabilitas yang tidak diketahui dalam suatu grup,
termasuk probabilitas ini dan semua probabilitas di ujung cabang pohon,
meninggalkan lingkaran yang sesuai.

Dengan menggunakan aturan ini, Anda dapat, mengetahui segalanya kecuali satu nilai probabilitas untuk beberapa cabang atau pada tingkat tertentu, menemukan nilai yang tidak diketahui ini.

37. Sampel seperti apa yang disebut representatif? Bagaimana cara memperoleh sampel yang representatif?

Keterwakilan adalah kemampuan suatu sampel untuk mewakili populasi yang diteliti. Semakin akurat komposisi sampel mewakili populasi mengenai permasalahan yang diteliti, maka semakin tinggi keterwakilannya.

Pengambilan sampel representatif adalah salah satu konsep kunci dalam analisis data. Sampel yang representatif adalah sampel dari suatu populasi yang mempunyai sebaran F(X), mewakili ciri-ciri utama populasi. Misalnya, jika suatu kota berpenduduk 100.000 jiwa, separuhnya laki-laki dan separuhnya lagi perempuan, maka sampel 1.000 jiwa yang terdiri dari 10 laki-laki dan 990 perempuan tentu tidak representatif. Jajak pendapat masyarakat yang didasarkan pada hal tersebut tentu saja akan memuat perkiraan yang bias dan berujung pada pemalsuan hasil.

Kondisi yang diperlukan untuk membangun sampel yang representatif adalah probabilitas yang sama untuk memasukkan setiap elemen populasi umum.

Fungsi distribusi sampel (empiris) memberikan gambaran yang cukup baik tentang fungsi distribusi dengan ukuran sampel yang besar F(X) dari populasi aslinya.

Prinsip utama yang mendasari prosedur ini adalah prinsip pengacakan, kebetulan. Suatu sampel disebut acak (terkadang kita akan mengatakan sampel acak sederhana atau sampel acak murni) jika dua kondisi terpenuhi. Pertama, sampel harus dirancang sedemikian rupa sehingga setiap orang atau entitas dalam populasi mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih untuk dianalisis. Kedua, sampel harus dipilih sehingga setiap kombinasi n objek (di mana n hanyalah jumlah objek, atau kasus, dalam sampel) mempunyai peluang yang sama untuk dipilih untuk dianalisis.

Saat mempelajari populasi yang terlalu besar untuk mendukung lotere yang sebenarnya, sampel acak sederhana sering digunakan. Menuliskan nama beberapa ratus ribu benda, memasukkannya ke dalam drum dan memilih beberapa ribu masih bukan pekerjaan mudah. Dalam kasus seperti itu, metode yang berbeda namun sama andalnya digunakan. Setiap objek secara kolektif diberi nomor. Urutan angka dalam tabel seperti itu biasanya ditentukan oleh program komputer yang disebut generator angka acak, yang pada dasarnya memasukkan sejumlah besar angka ke dalam drum, menariknya secara acak, dan mencetaknya sesuai urutan penerimaannya. Dengan kata lain, proses yang sama dengan karakteristik lotere terjadi, tetapi komputer, yang tidak menggunakan nama, tetapi angka, membuat pilihan universal. Seleksi ini dapat digunakan hanya dengan memberikan nomor pada masing-masing objek kita.

Tabel angka acak seperti itu dapat digunakan dalam beberapa cara berbeda, dan dalam setiap kasus, tiga Keputusan harus dibuat. Pertama, perlu diputuskan berapa digit yang akan kita gunakan; kedua, perlu dikembangkan aturan pengambilan keputusan untuk penggunaannya; ketiga, Anda harus memilih titik awal dan metode melewati tabel.

Setelah ini selesai, kita harus mengembangkan aturan yang akan menghubungkan angka-angka dalam tabel dengan jumlah objek kita. Ada dua kemungkinan di sini. Cara paling sederhana (meskipun belum tentu yang paling benar) adalah dengan hanya menggunakan angka-angka yang termasuk dalam jumlah angka yang ditetapkan pada objek kita. Jadi, jika kita mempunyai populasi 250 objek (dan dengan demikian menggunakan angka tiga digit) dan memutuskan untuk memulai dari sudut kiri atas tabel dan mengerjakan kolomnya, kita akan memasukkan objek bernomor 100, 084, dan 128 ke dalam sampel kita. , dan lewati angka 375 dan 990, yang tidak sesuai dengan objek kita. Proses ini akan berlanjut hingga jumlah objek yang dibutuhkan untuk sampel kita ditentukan.

Prosedur yang lebih padat karya, tetapi secara metodologis lebih tepat didasarkan pada posisi bahwa untuk menjaga karakteristik keacakan tabel, setiap bilangan dengan dimensi tertentu harus digunakan (misalnya, setiap bilangan tiga digit). Mengikuti logika ini dan sekali lagi menangani populasi 250 objek, kita harus membagi wilayah bilangan tiga digit dari 000 hingga 999 menjadi 250 interval yang sama. Karena ada 1000 bilangan seperti itu, kita membagi 1000 dengan 250 dan menemukan bahwa setiap bagian berisi empat bilangan. Jadi, nomor tabel dari 000 hingga 003 akan sesuai dengan objek dari 004 hingga 007 - objek 2, dst. Sekarang, untuk menentukan nomor benda mana yang sesuai dengan nomor tabel, Anda harus membagi tiga digit angka dari tabel dan membulatkannya ke bilangan bulat terdekat.

Terakhir, kita harus memilih titik awal dan rute dari tabel. Titik awalnya bisa di pojok kiri atas (seperti pada contoh sebelumnya), pojok kanan bawah, tepi kiri baris kedua, atau lokasi lainnya. Pilihan ini sepenuhnya sewenang-wenang. Namun, ketika bekerja dengan tabel, kita harus bertindak secara sistematis. Kita dapat mengambil tiga karakter pertama dari setiap rangkaian lima digit, tiga karakter tengah, tiga karakter terakhir, atau bahkan karakter pertama, kedua, dan keempat. (Dari urutan lima digit pertama, prosedur yang berbeda ini masing-masing menghasilkan angka 100, 009, 097, dan 109.) Kita dapat menerapkan prosedur ini dalam arah kanan ke kiri, menghasilkan 790, 900, 001, dan 791. Kita dapat menelusuri baris-barisnya, mempertimbangkan setiap digit berikutnya secara bergantian dan mengabaikan pembagian menjadi lima (untuk baris pertama akan diperoleh angka 100, 973, 253, 376 dan 520). Kami hanya dapat menangani setiap kelompok angka ketiga (misalnya, 10097, 99019, 04805, 99970). Ada banyak kemungkinan berbeda, dan setiap kemungkinan berikutnya tidak lebih buruk dari kemungkinan sebelumnya. Namun, setelah kita memutuskan cara kerja tertentu, kita harus mengikutinya secara sistematis untuk menghormati keacakan elemen dalam tabel semaksimal mungkin.

38. Interval apa yang kita sebut interval kepercayaan?

Interval kepercayaan adalah penyimpangan yang diperbolehkan antara nilai yang diamati dari nilai sebenarnya. Besar kecilnya asumsi ini ditentukan oleh peneliti, dengan mempertimbangkan persyaratan keakuratan informasi. Jika margin kesalahan meningkat, ukuran sampel akan berkurang, meskipun tingkat kepercayaan tetap pada 95%.

Interval kepercayaan menunjukkan pada kisaran berapa hasil pengamatan sampel (survei) akan ditempatkan. Jika kita melakukan 100 survei identik dengan sampel yang sama dari satu populasi (misalnya, 100 sampel yang masing-masing terdiri dari 1000 orang di kota berpenduduk 5 juta orang), maka pada tingkat kepercayaan 95%, 95 dari 100 hasil akan masuk dalam kriteria tersebut. interval kepercayaan (misalnya, dari 28% menjadi 32% dengan nilai sebenarnya 30%).

Misalnya, sebenarnya jumlah penduduk kota yang merokok adalah 30%. Jika kita mengambil sampel 1000 orang sebanyak 100 kali berturut-turut dan menanyakan pertanyaan “Apakah Anda merokok?” pada sampel tersebut, maka pada 95 dari 100 sampel tersebut, dengan selang kepercayaan 2%, nilainya akan berkisar antara 28% hingga 32%.

39 Apa yang disebut dengan tingkat kepercayaan?

Tingkat kepercayaan mencerminkan jumlah bukti yang diperlukan bagi evaluator untuk mengatakan bahwa program yang dievaluasi mempunyai dampak yang diinginkan. Dalam ilmu sosial, tingkat kepercayaan 95% biasanya digunakan. Namun, untuk sebagian besar program publik, angka 95% adalah angka yang berlebihan. Tingkat kepercayaan pada kisaran 80-90% sudah cukup untuk menilai program secara memadai. Dengan cara ini, ukuran kelompok perwakilan dapat dikurangi sehingga mengurangi biaya pelaksanaan penilaian.

Proses evaluasi statistik menguji hipotesis nol, yaitu program tidak memberikan dampak yang diharapkan. Jika hasil yang diperoleh berbeda secara signifikan dari asumsi awal tentang kebenaran hipotesis nol, maka hipotesis nol ditolak.

40. Manakah dari dua interval kepercayaan yang lebih besar: dua sisi 99% atau dua sisi 95%? Menjelaskan.

Interval kepercayaan dua sisi sebesar 99% lebih besar dari 95% karena lebih banyak nilai yang termasuk di dalamnya. Dokumen:

Dengan menggunakan skor-z, Anda dapat memperkirakan interval kepercayaan dengan lebih akurat dan menentukan bentuk umum interval kepercayaan. Rumusan pasti interval kepercayaan mean sampel adalah sebagai berikut:

Jadi, untuk sampel acak sebanyak 25 observasi yang memenuhi distribusi normal, selang kepercayaan mean sampel adalah sebagai berikut:

Dengan demikian, Anda dapat yakin sebesar 95% bahwa nilai tersebut berada dalam ±1,568 unit dari rata-rata sampel. Dengan menggunakan metode yang sama, Anda dapat menentukan bahwa interval kepercayaan 99% terletak dalam ±2,0608 unit dari mean sampel

nilai Jadi, kita punya dan dari sini, Demikian pula kita memperoleh batas bawah, yaitu sama dengan