Dengan perbedaan bahwa alih-alih grafik "datar", kami akan mempertimbangkan permukaan spasial yang paling umum, dan juga mempelajari cara membuatnya dengan tangan dengan benar. Saya telah mencari alat perangkat lunak untuk membuat gambar 3D selama beberapa waktu dan menemukan beberapa aplikasi yang bagus, tetapi terlepas dari semua kemudahan penggunaan, program ini tidak menyelesaikan masalah praktis yang penting dengan baik. Faktanya adalah bahwa di masa depan historis yang dapat diperkirakan, siswa masih akan dipersenjatai dengan penggaris dengan pensil, dan bahkan memiliki gambar "mesin" berkualitas tinggi, banyak yang tidak akan dapat mentransfernya dengan benar ke kertas kotak-kotak. Oleh karena itu, dalam manual Perhatian khusus memperhatikan teknik konstruksi manual, dan bagian penting dari ilustrasi pada halaman adalah produk buatan tangan.
Bagaimana bahan referensi ini berbeda dari analog?
Memiliki pengalaman praktis yang layak, saya tahu betul permukaan mana yang paling sering ditangani dalam masalah nyata matematika yang lebih tinggi, dan saya harap artikel ini akan membantu Anda dengan cepat mengisi kembali barang bawaan Anda dengan pengetahuan yang relevan dan keterampilan terapan, yaitu 90-95% kasus harus cukup.
Apa yang perlu Anda ketahui saat ini?
Yang paling dasar:
Pertama, Anda harus bisa membangun dengan benar sistem koordinat kartesius spasial (lihat awal artikel Grafik dan sifat-sifat fungsi) .
Apa yang akan Anda peroleh setelah membaca artikel ini?
Botol Setelah menguasai materi pelajaran, Anda akan belajar cara cepat menentukan jenis permukaan berdasarkan fungsi dan / atau persamaannya, membayangkan bagaimana letaknya di ruang angkasa, dan, tentu saja, membuat gambar. Tidak apa-apa jika tidak semuanya cocok di kepala Anda dari bacaan pertama - Anda selalu dapat kembali ke paragraf mana pun sesuai kebutuhan nanti.
Informasi ada dalam kekuatan semua orang - untuk pengembangannya Anda tidak memerlukan pengetahuan super, bakat artistik khusus, dan visi spasial.
Mulai!
Dalam praktiknya, permukaan spasial biasanya diberikan fungsi dua variabel atau persamaan bentuk (konstanta ruas kanan paling sering sama dengan nol atau satu). Penunjukan pertama lebih khas untuk analisis matematis, yang kedua - untuk geometri analitik. Persamaan, pada dasarnya, adalah diberikan secara implisit fungsi dari 2 variabel, yang dalam kasus-kasus tertentu dapat dengan mudah direduksi menjadi bentuk . Saya mengingatkan Anda tentang contoh paling sederhana c :
–persamaan bidang jenis.
adalah fungsi bidang dalam secara eksplisit .
Mari kita mulai dengan itu:
Persamaan Bidang Umum
Opsi tipikal untuk pengaturan bidang dalam sistem koordinat persegi panjang dibahas secara rinci di awal artikel. persamaan bidang. Namun demikian, sekali lagi kita akan membahas persamaan yang sangat penting untuk latihan.
Pertama-tama, Anda harus sepenuhnya mengenali persamaan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat. Fragmen pesawat secara standar digambarkan sebagai persegi panjang, yang dalam dua kasus terakhir terlihat seperti jajaran genjang. Secara default, Anda dapat memilih dimensi apa pun (dalam batas yang wajar, tentu saja), sementara itu diinginkan bahwa titik di mana sumbu koordinat "menusuk" bidang adalah pusat simetri: 
Sebenarnya, sumbu koordinat di beberapa tempat seharusnya digambarkan dengan garis putus-putus, tetapi untuk menghindari kebingungan, kami akan mengabaikan nuansa ini.
– (gambar kiri) ketidaksetaraan mendefinisikan setengah ruang terjauh dari kita, tidak termasuk bidang itu sendiri;
– (gambar sedang) ketidaksetaraan mendefinisikan setengah ruang kanan, termasuk bidang ;
– (gambar kanan) ketidaksetaraan ganda menentukan "lapisan" yang terletak di antara bidang , termasuk kedua bidang.
Untuk latihan mandiri:
Contoh 1
Gambarlah sebuah benda yang dibatasi oleh bidang-bidang
Buat sistem ketidaksetaraan yang mendefinisikan tubuh yang diberikan.
Seorang kenalan lama harus keluar dari bawah pensil Anda berbentuk kubus. Jangan lupa bahwa tepi dan wajah yang tidak terlihat harus digambar dengan garis putus-putus. Selesai menggambar di akhir pelajaran.
Sama sama, JANGAN LUPA tugas belajar, bahkan jika itu tampak terlalu sederhana. Jika tidak, ternyata mereka melewatkannya sekali, melewatkannya dua kali, dan kemudian menghabiskan satu jam mengerjakan gambar tiga dimensi dalam beberapa contoh nyata. Selain itu, pekerjaan mekanis akan membantu mempelajari materi lebih efisien dan mengembangkan kecerdasan! Bukan kebetulan bahwa di taman kanak-kanak dan sekolah dasar, anak-anak sarat dengan menggambar, model, desainer dan tugas-tugas lain untuk keterampilan motorik halus jari. Maafkan saya untuk penyimpangan, tetapi dua buku catatan saya tentang psikologi perkembangan tidak boleh hilang =)
Kami secara kondisional akan menyebut kelompok bidang berikut "proporsi langsung" - ini adalah bidang yang melewati sumbu koordinat:
2) persamaan bentuk mendefinisikan bidang yang melalui sumbu;
3) persamaan bentuk mendefinisikan bidang yang melalui sumbu.
Meskipun tanda formalnya sudah jelas (variabel mana yang hilang dalam persamaan - pesawat melewati sumbu itu), itu selalu berguna untuk memahami esensi dari peristiwa yang terjadi:
Contoh 2
Bangun Pesawat
Apa cara terbaik untuk membangun? Saya mengusulkan algoritma berikut:
Pertama, kita menulis ulang persamaan dalam bentuk , dari mana terlihat jelas bahwa "y" dapat diambil setiap nilai-nilai. Kami memperbaiki nilainya , yaitu, kami akan mempertimbangkan bidang koordinat . persamaan ditetapkan garis spasial terletak pada bidang koordinat yang diberikan. Mari kita menggambar garis ini pada gambar. Garis melewati titik asal, jadi untuk membangunnya, cukup mencari satu titik. Biarlah. Sisihkan satu titik dan buat garis.
Sekarang kembali ke persamaan bidang. Karena "y" mengambil setiap nilai, maka garis lurus yang dibangun di pesawat terus-menerus "direplikasi" ke kiri dan ke kanan. Ini adalah bagaimana pesawat kita terbentuk, melewati sumbu. Untuk menyelesaikan gambar, di kiri dan kanan garis lurus, kami menyisihkan dua garis sejajar dan "menutup" jajaran genjang simbolis dengan segmen horizontal melintang: 
Karena kondisi tersebut tidak memberlakukan batasan tambahan, pecahan pesawat dapat digambarkan sedikit lebih kecil atau sedikit lebih besar.
Sekali lagi, kami mengulangi arti pertidaksamaan linier spasial menggunakan contoh. Bagaimana cara menentukan setengah ruang yang didefinisikannya? Ayo ambil poin tidak dimiliki pesawat, misalnya, sebuah titik dari setengah ruang yang paling dekat dengan kita dan substitusikan koordinatnya ke dalam ketidaksetaraan:
Diterima pertidaksamaan yang benar, yang berarti bahwa pertidaksamaan mendefinisikan ruang-setengah yang lebih rendah (terhadap bidang ), sedangkan bidang itu sendiri tidak termasuk dalam solusi.
Contoh 3
Bangun Pesawat
sebuah) ;
b) .
Ini adalah tugas untuk membangun diri, jika ada kesulitan, gunakan alasan yang sama. Instruksi dan gambar singkat di akhir pelajaran.
Dalam praktiknya, bidang yang sejajar dengan sumbu sangat umum. Kasus khusus, ketika pesawat melewati sumbu, hanya dalam paragraf "b", dan sekarang kita akan menganalisis masalah yang lebih umum:
Contoh 4
Bangun Pesawat
Keputusan: variabel "z" tidak secara eksplisit berpartisipasi dalam persamaan, yang berarti bahwa bidang sejajar dengan sumbu aplikasi. Mari kita gunakan teknik yang sama seperti pada contoh sebelumnya.
Mari kita tulis ulang persamaan bidang dalam bentuk 
dari mana jelas bahwa "Z" dapat diambil setiap nilai-nilai. Mari kita perbaiki dan di bidang "asli" gambarlah garis lurus "datar" yang biasa. Untuk membangunnya, akan lebih mudah untuk mengambil titik referensi.
Karena "Z" membutuhkan semua nilai, maka garis lurus yang dibangun terus menerus "berkali-kali" ke atas dan ke bawah, sehingga membentuk bidang yang diinginkan 
. Buat jajar genjang dengan ukuran yang wajar dengan hati-hati: 
Siap.
Persamaan bidang dalam segmen
Varietas terapan yang paling penting. Jika sebuah semua kemungkinan persamaan umum bidang berbeda dari nol, maka dapat direpresentasikan sebagai 
, yang disebut persamaan bidang dalam segmen. Jelas, pesawat memotong sumbu koordinat di titik , dan keuntungan besar dari persamaan tersebut adalah kemudahan menggambar:
Contoh 5
Bangun Pesawat
Keputusan: pertama, kita buat persamaan bidang dalam segmen-segmen. Lemparkan suku bebas ke kanan dan bagi kedua bagian dengan 12: 
Tidak, ini bukan salah ketik dan semua hal terjadi di luar angkasa! Kami memeriksa permukaan yang diusulkan dengan metode yang sama yang baru-baru ini digunakan untuk pesawat. Kami menulis ulang persamaan dalam bentuk 
, dari mana "Z" diambil setiap nilai-nilai. Kami memperbaiki dan membuat elips di pesawat. Karena "Z" membutuhkan semua nilai, maka elips yang dibangun terus "direplikasi" ke atas dan ke bawah. Sangat mudah untuk memahami bahwa permukaan tak berujung:
Permukaan ini disebut silinder elips. Sebuah elips (pada ketinggian berapa pun) disebut memandu silinder, dan garis sejajar yang melalui setiap titik elips disebut menghasilkan silinder (yang secara harfiah membentuknya). sumbu adalah sumbu simetri permukaan (tetapi bukan bagian darinya!).
Koordinat titik mana pun yang termasuk dalam permukaan tertentu harus memenuhi persamaan 
.
spasial ketidaksetaraan mendefinisikan "bagian dalam" dari "pipa" tak terbatas, termasuk permukaan silinder itu sendiri, dan, karenanya, ketidaksetaraan yang berlawanan mendefinisikan himpunan titik di luar silinder.
Dalam masalah praktis, kasus yang paling populer adalah ketika memandu silinder adalah lingkaran:
Contoh 8
Bangun permukaan yang diberikan oleh persamaan
Mustahil untuk menggambarkan "pipa" tanpa akhir, oleh karena itu seni terbatas, sebagai suatu peraturan, untuk "memotong".
Pertama, lebih mudah untuk membangun lingkaran radius di pesawat, dan kemudian beberapa lingkaran lagi di atas dan di bawah. Lingkaran yang dihasilkan ( panduan silinder) dihubungkan dengan rapi oleh empat garis lurus paralel ( menghasilkan silinder): 
Jangan lupa untuk menggunakan garis putus-putus untuk garis yang tidak terlihat.
Koordinat titik mana pun milik silinder tertentu memenuhi persamaan 
. Koordinat titik mana pun yang terletak tepat di dalam "pipa" memenuhi ketidaksetaraan 
, dan pertidaksamaan 
mendefinisikan satu set poin dari bagian luar. Untuk pemahaman yang lebih baik, saya sarankan untuk mempertimbangkan beberapa poin spesifik dalam ruang dan lihat sendiri.
Contoh 9
Bangun permukaan dan temukan proyeksinya pada bidang
Kami menulis ulang persamaan dalam bentuk 
dari yang berikut bahwa "x" mengambil setiap nilai-nilai. Mari kita perbaiki dan gambar di pesawat lingkaran– berpusat di titik asal, radius satuan. Karena "x" terus menerus mengambil semua nilai, maka lingkaran yang dibangun menghasilkan silinder melingkar dengan sumbu simetri . Gambar lingkaran lain memandu silinder) dan hati-hati menghubungkannya dengan garis lurus ( menghasilkan silinder). Di beberapa tempat, overlay ternyata, tetapi apa yang harus dilakukan, kemiringan seperti itu: 
Kali ini saya membatasi diri pada sepotong silinder di celah dan ini bukan kebetulan. Dalam praktiknya, seringkali perlu untuk menggambarkan hanya sebagian kecil dari permukaan.
Omong-omong, di sini ternyata 6 generasi - dua garis lurus tambahan "menutup" permukaan dari sudut kiri atas dan kanan bawah.
Sekarang mari kita berurusan dengan proyeksi silinder ke pesawat. Banyak pembaca memahami apa itu proyeksi, tetapi, bagaimanapun, mari kita luangkan waktu lima menit lagi untuk pendidikan jasmani. Silakan berdiri dan miringkan kepala Anda di atas gambar sehingga ujung sumbu terlihat tegak lurus dengan dahi Anda. Seperti apa silinder dari sudut ini adalah proyeksinya ke bidang. Tapi tampaknya menjadi strip tak berujung, tertutup di antara garis lurus, termasuk garis lurus itu sendiri. Proyeksi ini persis domain fungsi ("talang" atas silinder), ("talang" bawah).
Omong-omong, mari kita perjelas situasinya dengan proyeksi ke bidang koordinat lainnya. Biarkan sinar matahari menyinari silinder dari sisi ujung dan sepanjang sumbu. Bayangan (proyeksi) silinder ke bidang adalah strip tak terbatas yang serupa - bagian dari bidang yang dibatasi oleh garis lurus ( - apa saja), termasuk garis lurus itu sendiri.
Tapi proyeksi di pesawat agak berbeda. Jika Anda melihat silinder dari ujung sumbu, maka diproyeksikan menjadi lingkaran dengan radius satuan 
dengan mana kami memulai konstruksi.
Contoh 10
Bangun permukaan dan temukan proyeksinya pada bidang koordinat
Ini adalah tugas untuk keputusan independen. Jika kondisinya tidak terlalu jelas, kuadratkan kedua sisi dan analisis hasilnya; cari tahu dengan tepat bagian silinder mana yang ditentukan oleh fungsi tersebut. Gunakan teknik konstruksi yang telah berulang kali digunakan di atas. Solusi singkat, gambar dan komentar di akhir pelajaran.
Permukaan elips dan silindris lainnya dapat diimbangi relatif terhadap sumbu koordinat, misalnya:
(dengan alasan yang sudah dikenal dari sebuah artikel tentang baris urutan ke-2)
- silinder dengan jari-jari satuan dengan sumbu simetri melalui titik yang sejajar dengan sumbu. Namun, dalam praktiknya, silinder seperti itu sangat jarang ditemukan, dan benar-benar sulit dipercaya untuk memenuhi permukaan silinder "miring" sehubungan dengan sumbu koordinat.
Silinder parabola
Seperti namanya, memandu silinder seperti itu adalah parabola.
Contoh 11
Bangun permukaan dan temukan proyeksinya pada bidang koordinat.
Tidak bisa menolak contoh ini =)
Keputusan: Kami mengikuti jalan yang dilalui. Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk , dari mana "Z" dapat mengambil nilai apa pun. Mari kita perbaiki dan buat parabola biasa pada bidang , setelah sebelumnya menandai titik referensi sepele . Karena "Z" membutuhkan semua nilai, maka parabola yang dibangun terus "direplikasi" ke atas dan ke bawah hingga tak terhingga. Kami menyisihkan parabola yang sama, katakanlah, pada ketinggian (di bidang) dan dengan hati-hati menghubungkannya dengan garis paralel ( generator silinder): 
saya mengingatkan teknik yang berguna: jika awalnya tidak ada kepercayaan pada kualitas gambar, maka lebih baik menggambar garis tipis dan tipis terlebih dahulu dengan pensil. Kemudian kami mengevaluasi kualitas sketsa, mencari tahu area di mana permukaan tersembunyi dari mata kami, dan baru kemudian kami memberikan tekanan pada stylus.
Proyeksi.
1) Proyeksi silinder ke bidang adalah parabola. Perlu dicatat bahwa dalam kasus ini tidak bisa bicara tentang domain dari fungsi dua variabel- karena persamaan silinder tidak dapat direduksi menjadi bentuk fungsional .
2) Proyeksi silinder ke bidang adalah setengah bidang, termasuk sumbu
3) Dan, akhirnya, proyeksi silinder ke bidang adalah seluruh bidang.
Contoh 12
Bangun silinder parabola:
a) , membatasi diri pada fragmen permukaan di ruang setengah dekat;
b) di antara
Dalam hal kesulitan, kami tidak terburu-buru dan berdebat dengan analogi dengan contoh sebelumnya, untungnya, teknologinya telah dikerjakan secara menyeluruh. Tidaklah penting jika permukaannya menjadi sedikit kikuk - penting untuk menampilkan gambar dasar dengan benar. Saya sendiri tidak terlalu mempermasalahkan keindahan garis-garisnya, jika saya mendapatkan gambar “kelas C” yang lumayan, saya biasanya tidak mengulanginya. Dalam larutan sampel, omong-omong, satu teknik lagi digunakan untuk meningkatkan kualitas gambar ;-)
Silinder hiperbolik
panduan silinder seperti itu adalah hiperbola. Jenis permukaan ini, menurut pengamatan saya, jauh lebih jarang daripada jenis sebelumnya, jadi saya akan membatasi diri pada gambar skema tunggal silinder hiperbolik: 
Prinsip penalaran di sini persis sama - biasa hiperbola sekolah dari pesawat terus menerus "berkali-kali" ke atas dan ke bawah hingga tak terhingga.
Silinder yang dipertimbangkan milik apa yang disebut permukaan orde ke-2, dan sekarang kami akan terus berkenalan dengan perwakilan lain dari grup ini:
Ellipsoid. Bola dan bola
Persamaan kanonik ellipsoid dalam sistem koordinat persegi panjang memiliki bentuk: 
, dimana adalah bilangan positif ( poros gandar ellipsoid), yang dalam kasus umum berbeda. Elipsoid disebut permukaan, dan tubuh dibatasi oleh permukaan ini. Tubuh, seperti yang diduga banyak orang, diberikan oleh ketidaksetaraan 
dan koordinat titik interior mana pun (serta titik permukaan mana pun) pasti memenuhi ketidaksetaraan ini. Desainnya simetris terhadap sumbu koordinat dan bidang koordinat: 
Asal usul istilah "ellipsoid" juga jelas: jika permukaan "dipotong" oleh bidang koordinat, maka di bagian akan ada tiga yang berbeda (dalam kasus umum)
Permukaan silinder adalah permukaan yang terdiri dari semua garis yang memotong garis tertentu L dan sejajar dengan garis I yang diberikan. Dalam hal ini, garis L disebut pemandu permukaan silinder, dan setiap garis yang membentuk permukaan ini dan sejajar dengan garis disebut generatrix (Gbr. 89). Di masa depan, kami hanya akan mempertimbangkan permukaan silinder seperti itu, pemandu yang terletak di salah satu bidang koordinat, dan generator sejajar dengan sumbu koordinat yang tegak lurus terhadap bidang ini.
Mari kita perhatikan beberapa garis L pada bidang Oxy, yang memiliki persamaan dalam sistem koordinat Oxy
Mari kita bangun permukaan silinder dengan generator sejajar dengan sumbu Oz dan pemandu L (Gbr. 90). Mari kita tunjukkan bahwa persamaan (39) akan menjadi persamaan permukaan ini jika dikaitkan dengan sistem koordinat dalam ruang . Membiarkan menjadi titik tetap dari permukaan silinder yang dibangun.
Dilambangkan dengan N titik perpotongan pemandu L dan generatrix yang melalui titik M. Titik tersebut jelas merupakan proyeksi titik M ke bidang.Oleh karena itu, titik M dan N memiliki absis yang sama dan ordinat yang sama y. Tetapi titik N terletak pada kurva L, dan koordinat x dan y-nya memenuhi persamaan (39) kurva ini. Oleh karena itu, koordinat titik juga memenuhi persamaan ini, karena tidak mengandung . Jadi, koordinat setiap titik pada permukaan silinder ini memenuhi persamaan (39). Koordinat titik-titik yang tidak terletak pada permukaan ini tidak memenuhi persamaan (39), karena titik-titik ini diproyeksikan ke bidang di luar kurva
Jadi, yang tidak mengandung persamaan, jika mengacu pada sistem koordinat dalam ruang, adalah persamaan permukaan silinder dengan generator yang sejajar dengan sumbu dan pemandu L, yang pada bidang diberikan oleh persamaan yang sama.
Di ruang angkasa, panduan L ditentukan oleh sistem dua persamaan:
Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa persamaan yang tidak mengandung y dan persamaan yang tidak mengandung permukaan silinder tertentu dalam ruang Oxy dengan generator yang sejajar dengan sumbu
Perhatikan contoh permukaan silinder.
1. Permukaan didefinisikan oleh persamaan
berbentuk silinder dan disebut silinder elips (Gbr. 91).
Generatornya sejajar dengan sumbu dan pemandunya berbentuk elips dengan semi-sumbu a dan b, terletak pada bidang. Secara khusus, jika maka pemandunya adalah lingkaran dan permukaannya adalah silinder lingkaran siku-siku. persamaan nya
2. Permukaan silinder didefinisikan oleh persamaan
disebut silinder hiperbolik (Gbr. 92). Generator permukaan ini sejajar dengan sumbu a, dan hiperbola yang terletak di bidang dengan semi-sumbu nyata a dan setengah-sumbu imajiner b berfungsi sebagai panduan.
3. Permukaan silinder didefinisikan oleh persamaan
disebut silinder parabola (Gbr. 93). Pemandunya adalah parabola yang terletak di bidang , dan generatornya sejajar dengan sumbu Ox.
Komentar. Seperti diketahui, garis lurus dalam ruang dapat diberikan oleh persamaan berbagai pasangan bidang yang berpotongan di sepanjang garis lurus ini. Demikian pula, kurva dalam ruang dapat didefinisikan menggunakan persamaan berbagai permukaan yang berpotongan di sepanjang kurva ini.
PERMUKAAN SILINDER
| Nama parameter | Berarti |
| Subjek artikel: | PERMUKAAN SILINDER |
| Rubrik (kategori tematik) | Matematika |
PERMUKAAN
Misalkan G adalah sebuah garis dan - vektor bukan nol yang tidak sejajar dengan bidang garis (jika adalah garis datar.
Definisi 10. Permukaan silinder dengan panduan G dan generator sejajar dengan vektor , merupakan kebiasaan untuk menyebut himpunan titik dari semua garis yang mungkin sejajar dengan vektor dan melewati garis G.
Masalah utama yang harus dipecahkan: bagaimana menemukan persamaan permukaan silinder, jika persamaan garis dan koordinat vektor diberikan .
(28)
Tetap mengecualikan parameter t dari persamaan ini.
Kami telah memperoleh aturan berikut untuk menyusun persamaan permukaan silinder:
Jika arah permukaan silinder diberikan oleh persamaan (27) dan generator sejajar dengan vektor , kemudian untuk menyusun persamaan permukaan, cukup dalam persamaan (27) untuk mengganti x dengan x - mt, y dengan y - nt, z dengan z - pt dan mengecualikan parameter dari persamaan yang dihasilkan.
Contoh 1 Tulis persamaan untuk permukaan silinder, jika generator sejajar dengan vektor = (3, 2, -1) dan pemandu G memiliki persamaan 
Contoh 2. Tulis persamaan untuk permukaan silinder jika pemandu adalah garis berbaring di pesawat (HOY), dan generator sejajar dengan sumbu (ОZ).
Keputusan. Sebuah vektor sejajar dengan generator adalah vektor. Kami mengganti x dalam persamaan panduan dengan x - 0‣‣‣t, .ᴇ. x diganti dengan x. Demikian pula, y diganti dengan y. Tapi z digantikan oleh z - t. Kami memperoleh Dari persamaan kedua z = t. Ini berarti bahwa z dapat, terlepas dari x dan y, mengambil semua nilai nyata yang mungkin, dan x dan y terkait dengan persamaan yang sama f (x, y) \u003d 0, seperti dalam persamaan panduan. Persamaan permukaan silinder dalam kasus ini adalah f(x, y) = 0.
Konsekuensi. Persamaan , , y2 = 2px tentukan permukaan silinder dengan panduan elips, hiperbola dan parabola, masing-masing. Generator mereka sejajar dengan sumbu (ОZ).
Jika pemandu permukaan silinder adalah garis orde kedua, maka permukaan itu biasanya disebut silinder orde kedua.
Komentar. Perhatikan fakta bahwa persamaan f(x, y) = 0, f(x, z) = 0, f(y, z) = 0, tentukan pada bidang (XOY), (XOZ) dan (YOZ) , masing-masing, beberapa baris. Tetapi dalam sistem koordinat affine di ruang angkasa, mereka mendefinisikan silinder dengan generator sejajar dengan sumbu (ОZ), (ОУ) dan (ОХ), masing-masing.
PERMUKAAN SILINDER - konsep dan tipe. Klasifikasi dan fitur kategori "PERMUKAAN SILINDER" 2017, 2018.
Pelajaran nomor 10.
Subjek:Permukaan revolusi.
Permukaan silinder
Informasi teoretis.
1. Permukaan revolusi.
Membatasi. Permukaan revolusi adalah permukaan yang dibentuk oleh rotasi garis bidang di sekitar sumbu yang terletak pada bidang garis ini.
Biarlah 
, maka dapat diberikan oleh persamaan
Persamaan permukaan yang dibentuk oleh rotasi garis di sekitar sumbu Ons akan terlihat seperti:
(1)
2. Permukaan silinder.
Biarkan beberapa garis datar diberikan dalam ruang dan vektor 
tidak sejajar dengan bidang garis ini.
Definisi. Permukaan silinder adalah himpunan titik-titik dalam ruang yang terletak pada garis lurus yang sejajar dengan vektor tertentu dan memotong garis tertentu .
Garis disebut pemandu permukaan silinder, garis lurus disebut generator.
Pertimbangkan kasus khusus: garis panduan terletak di pesawat xOy: dan diberikan oleh persamaan: 
dan vektor arah generator memiliki koordinat 
,
.
Dalam hal ini, persamaan permukaan silinder memiliki bentuk
. (2)
Dapatkan persamaan permukaan revolusi (1).
Dapatkan persamaan permukaan silinder (2).
Penyusunan persamaan permukaan putaran menurut persamaan pemandu dan sumbu putaran.
Penyusunan persamaan permukaan silinder menurut persamaan pemandu dan vektor pemandu generator.
Latihan.
Tugas khas dasar.
Contoh pemecahan masalah.
Tugas 1. Di pesawat yOz diberikan lingkaran yang berpusat di titik (0; 4; 0) dengan jari-jari 1. Tulis persamaan untuk permukaan yang dibentuk oleh rotasi lingkaran ini di sekitar sumbu Ons.
Yesheni.
Persamaan lingkaran yang terletak di bidang datar yOz berpusat pada titik (0; 4; 0) jari-jari 1, berbentuk
(3)
Ketika lingkaran ini berputar di sekitar sumbu Oz, diperoleh permukaan yang disebut torus. Biarlah M adalah titik sewenang-wenang pada torus. Mari kita lewati intinya M bidang , tegak lurus terhadap sumbu rotasi, mis. kapak Ons, di bagian kita mendapatkan lingkaran. Tunjukkan pusat lingkaran ini P, dan titik potong bidang dengan lingkaran yang membentuk permukaan revolusi adalah N.
Nyatakan koordinat titik M(x,
kamu,
z), kemudian P(0,
0, z), sedangkan N(0, 
,
z). Karena titik M dan N terletak pada lingkaran yang berpusat di titik P, kemudian
,
.
Kami menulis persamaan terakhir dalam koordinat
. (4)
Titik N terletak pada sebuah lingkaran, selama rotasi yang membentuk torus, yang berarti bahwa koordinatnya harus memenuhi persamaan (3), kita menulis persamaan pertama sistem (3)
,
,
.
Mari kita kuadratkan persamaan terakhir.
dan gantikan dengan ekspresi 
dari persamaan (4), kita peroleh
Persamaan (5) adalah yang diperlukan.
Tugas 2. Tulis persamaan untuk permukaan silinder jika pemandu terletak pada bidang xOy dan memiliki persamaan 
, dan generator sejajar dengan vektor (1; 2; –1).
Biar intinya M(x,
kamu,
z) adalah titik sembarang dari permukaan silinder. Mari kita lewati intinya M menghasilkan aku, itu memotong panduan pada titik 
. Karena panduannya terletak di pesawat xOy, kemudian 
. Buatlah persamaan kanonik garis lurus aku
.
Samakan pecahan pertama dan kedua dengan yang terakhir
(6)
Titik N terletak pada pemandu, sehingga koordinatnya memenuhi persamaannya:
.
Mengganti ekspresi untuk 
dan dari sistem (6), kita peroleh
. (7)
(7) adalah persamaan yang dibutuhkan.
a) elips 
;
b) hiperbola 
;
c) parabola 
.
a) Pemandu terletak di pesawat 
dan memiliki persamaan , dan generator sejajar dengan vektor (1; 0; 1);
b) pemandu terletak di pesawat yOz dan memiliki persamaan 
, dan generator sejajar dengan sumbu Sapi;
c) pemandu terletak pada bidang xOz dan berbentuk lingkaran 
, dan generator sejajar dengan sumbu Oy.
Tulis persamaan untuk permukaan silinder jika:
a) panduan diberikan oleh persamaan 
dan generatrix sejajar dengan vektor 
;
b) panduan diberikan oleh persamaan 
dan generatrix sejajar dengan garis x=
kamu=
z.
sebuah) 
,
,
,
M(2; 0; 1);
b) aku:
,
M(2; –1; 1).
Pelajaran nomor 11.
Subjek:permukaan kerucut.
Informasi teoretis.
Biarkan beberapa garis datar dan sebuah titik diberikan dalam ruang S tidak terletak pada bidang garis ini.
Definisi. Permukaan kerucut adalah himpunan titik-titik dalam ruang yang terletak pada garis-garis yang melalui suatu titik tertentu. S dan memotong garis ini .
Garis disebut pemandu permukaan kerucut, titik S- sebuah titik, garis disebut generator.
Pertimbangkan kasus khusus: simpul S bertepatan dengan titik asal, garis pemandu terletak pada bidang yang sejajar dengan bidang xOy:
z=
c, dan diberikan oleh persamaan: 
.
Dalam hal ini, persamaan permukaan kerucut memiliki bentuk
. (1)
Jika pemandu adalah elips yang berpusat pada sumbu Ons,
kemudian kita mendapatkan permukaan yang disebut kerucut orde kedua, persamaan permukaan ini memiliki bentuk:
. (2)
Sumbu Ons dalam hal ini adalah sumbu kerucut orde kedua.
Bagian kerucut orde kedua:
Biarkan bidang tidak melewati titik sudut kerucut orde kedua, maka bidang memotong kerucut:
a) sepanjang elips, jika memotong semua generator kerucut;
b) dengan hiperbola, jika sejajar dengan dua generator kerucut;
c) sepanjang parabola, jika sejajar dengan satu generatrix kerucut.
Latihan.
Dapatkan persamaan permukaan kerucut (1).
Dapatkan persamaan permukaan kerucut orde kedua (2).
Tugas khas dasar.
Kompilasi persamaan permukaan kerucut dengan koordinat titik dan persamaan panduan.
Contoh pemecahan masalah.
Tugas 1. Tulis persamaan untuk permukaan kerucut yang simpulnya berada di titik asal dan yang pedomannya diberikan oleh persamaan 
Biar intinya M(x,
kamu,
z) adalah titik sembarang dari permukaan kerucut. Mari kita menggambar generatrix melalui titik ini aku, itu akan memotong panduan pada titik 
. Kami menulis persamaan kanonik dari garis lurus aku, sebagai persamaan garis lurus yang melalui suatu titik N dan puncak kerucut O(0, 0, 0)
,
.
Mari kita nyatakan dari sistem terakhir dan : 
,
. Karena dot N terletak pada permukaan kerucut pemandu, maka koordinatnya harus memenuhi persamaan pemandu:
(3)
Mari kita substitusikan ekspresi yang ditemukan ke dalam persamaan kedua sistem (3)
,
,
,
. (4)
,
. (5)
Substitusikan (4) dan (5) ke persamaan pertama sistem (3)
,
.
Persamaan yang dihasilkan adalah persamaan yang diinginkan dari permukaan kerucut.; Ketergantungan linier vektor. Sistem koordinasi. dasar ortonormal. Linier operasi di atas vektor dalam koordinat. skalar kerja vektor. vektor kerja vektor ...
Program Kerja Disiplin Matematika (2)
Program kerja... » 4 2 Vektor. Linier operasi di atas vektor. dasar ruang dan secara linier sistem independen vektor. proyeksi vektor dan koordinatnya. Panjang dan arah cosinus. 4 2 skalar kerja vektor ...
Program kerja disiplin (modul) Matematika tingkat tinggi
Program kerjasolusi). Contoh. sembilan. skalar dan besaran vektor. Linier operasi di atas vektor(tiga operasi), sifat-sifatnya. Satuan vektor a0. sepuluh ...
Program kerja dirancang untuk bekerja di kelas 9 sekolah yang komprehensif. Tujuan menerapkan prinsip
Program kerja... tema"Hubungan antara sisi dan sudut segitiga". 1 91 Sudut antara vektor. skalar kerja vektor. skalar kerja vektor dalam koordinat. 1 definisi skalar bekerja vektor ...
