Akar kuadrat suatu bilangan adalah bilangan yang kuadratnya sama dengan a. Misalnya, bilangan -5 dan 5 adalah akar kuadrat dari bilangan 25. Artinya, akar-akar persamaan x^2=25 adalah akar kuadrat dari bilangan 25. Sekarang Anda perlu mempelajari cara mengerjakan bilangan kuadrat operasi root: pelajari sifat dasarnya.
Akar kuadrat dari produk
√(a*b) =√a*√b
Akar kuadrat dari hasil kali dua bilangan non-negatif sama dengan hasil kali akar kuadrat dari bilangan-bilangan tersebut. Misalnya, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;
Penting untuk dipahami bahwa sifat ini juga berlaku ketika ekspresi radikal adalah hasil kali tiga, empat, dst. faktor non-negatif.
Terkadang ada rumusan lain dari sifat ini. Jika a dan b adalah bilangan non-negatif, maka persamaan berikut ini benar: √(a*b) =√a*√b. Sama sekali tidak ada perbedaan di antara keduanya; Anda dapat menggunakan satu atau formulasi lainnya (yang lebih mudah Anda ingat).
Akar kuadrat dari pecahan
Jika a>=0 dan b>0, maka persamaan berikut ini benar:
√(a/b) =√a/√b.
Misalnya, √(9/25) = √9/√25 =3/5;
Sifat ini juga memiliki rumusan berbeda, yang menurut saya lebih nyaman untuk dihafal.
Akar kuadrat dari hasil bagi sama dengan hasil bagi akar-akarnya.
Perlu dicatat bahwa rumus ini berfungsi dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri. Artinya, jika perlu, kita dapat merepresentasikan hasil kali akar sebagai akar suatu hasil kali. Hal yang sama berlaku untuk properti kedua.
Seperti yang mungkin Anda perhatikan, properti ini sangat mudah digunakan, dan saya ingin memiliki properti yang sama untuk penjumlahan dan pengurangan:
√(a+b) =√a+√b;
√(a-b) =√a-√b;
Namun sayangnya properti tersebut berbentuk persegi tidak memiliki akar, dan itulah mengapa demikian tidak dapat dilakukan dalam perhitungan.
GELAR DENGAN INDIKATOR RASIONAL,
FUNGSI DAYA IV
§ 79. Mengekstraksi akar dari produk dan hasil bagi
Teorema 1. Akar P pangkat ke-th dari hasil kali bilangan positif sama dengan hasil kali akar-akarnya P derajat faktornya, yaitu kapan A > 0, B > 0 dan alami P
N √ab = N √A N √B . (1)
Bukti. Ingatlah bahwa akarnya P pangkat -th dari bilangan positif ab ada angka positif P derajat -th yang sama dengan ab . Oleh karena itu, membuktikan persamaan (1) sama dengan membuktikan persamaan
(N √A N √B ) N = ab .
Berdasarkan properti tingkat produk
(N √A N √B ) N = (N √A ) N (N √B ) N =.
Tapi menurut definisi root P gelar ( N √A ) N = A , (N √B ) N = B .
Itu sebabnya ( N √A N √B ) N = ab . Teorema tersebut telah terbukti.
Persyaratan A > 0, B > 0 hanya signifikan untuk bilangan genap P , karena untuk negatif A Dan B dan bahkan P akar N √A Dan N √B tak terdefinisikan. Jika P ganjil, maka rumus (1) berlaku untuk semua A Dan B (baik positif maupun negatif).
Contoh: √16 121 = √16 √121 = 4 11 = 44.
3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15
Rumus (1) berguna untuk digunakan saat menghitung akar, ketika ekspresi akar direpresentasikan sebagai hasil kali kuadrat eksak. Misalnya,
√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.
Kami membuktikan Teorema 1 untuk kasus ketika tanda radikal di sisi kiri rumus (1) adalah hasil kali dua bilangan positif. Faktanya, teorema ini berlaku untuk sejumlah faktor positif, yaitu untuk faktor alam apa pun k > 2:
Konsekuensi. Membaca identitas ini dari kanan ke kiri, kita memperoleh aturan berikut untuk mengalikan akar dengan eksponen yang sama;
Untuk mengalikan akar-akar dengan indikator yang sama, cukup dengan mengalikan ekspresi radikal, membiarkan indikator akar tetap sama.
Misalnya, √3 √8 √6 = √3 8 6 = √144 = 12.
Teorema 2. Akar P Pangkat pecahan yang pembilang dan penyebutnya bilangan positif sama dengan hasil bagi dari akar pangkat yang sama dari pembilangnya dibagi dengan akar dari pangkat yang sama dari penyebutnya, yaitu kapan A > 0 dan B > 0
(2)
Membuktikan persamaan (2) berarti menunjukkan hal itu
Menurut aturan untuk menaikkan pecahan ke pangkat dan menentukan akarnya N -Gelar yang kita miliki:
Dengan demikian teorema tersebut terbukti.
Persyaratan A > 0 dan B > 0 hanya signifikan untuk bilangan genap P . Jika P ganjil, maka rumus (2) juga berlaku untuk nilai negatif A Dan B .
Konsekuensi. Membaca identitas dari kanan ke kiri, kita mendapatkan aturan berikut untuk membagi akar dengan eksponen yang sama:
Untuk memisahkan akar-akar dengan indikator yang sama, cukup dengan memisahkan ekspresi akarnya, membiarkan indikator akarnya tetap sama.
Misalnya,
Latihan
554. Pada titik manakah dalam pembuktian Teorema 1 kita menggunakan fakta itu A Dan B apakah mereka positif?
Kenapa aneh P rumus (1) juga berlaku untuk bilangan negatif A Dan B ?
Pada nilai apa X Data kesetaraan benar (No. 555-560):
555. √x 2 - 9 = √x -3 √x + 3 .
556. 4 √ (X - 2) (8 - X ) = 4 √x - 2 4 √ 8 - X
557. 3 √ (X + 1) (X - 5) = 3 √x +1 3 √x - 5 .
558. √ X (X + 1) (X + 2) = √ X √ (X + 1) √ (X + 2)
559. √ (x - sebuah ) 3 = (√ x - sebuah ) 3 .
560. 3 √ (X - 5) 2 = (3 √ X - 5 ) 2 .
561. Hitung:
A) √ 173 2 - 52 2; V) √ 200 2 - 56 2 ;
B) √ 373 2 - 252 2; G) √ 242,5 2 - 46,5 2 .
562. Pada segitiga siku-siku, sisi miringnya 205 cm, dan salah satu kakinya 84 cm. Tentukan kaki yang lain.
563. Berapa kali:
555. X > 3. 556. 2 < X < 8. 557. X - nomor berapa pun. 558. X > 0. 559. X > A . 560. X - nomor berapa pun. 563. a) Tiga kali.
Salam, kucing! Terakhir kali kita membahas secara detail apa itu root (jika Anda tidak ingat, saya sarankan membacanya). Kesimpulan utama dari pelajaran tersebut: hanya ada satu definisi universal tentang akar, yaitu definisi yang perlu Anda ketahui. Selebihnya hanya omong kosong dan buang-buang waktu.
Hari ini kita melangkah lebih jauh. Kita akan belajar mengalikan akar, kita akan mempelajari beberapa soal yang berhubungan dengan perkalian (jika soal ini tidak diselesaikan, bisa berakibat fatal dalam ujian) dan kita akan berlatih dengan benar. Jadi siapkan popcorn, bersantailah, dan mari kita mulai :)
Anda juga belum merokok, bukan?
Pelajarannya ternyata cukup panjang, jadi saya bagi menjadi dua bagian:
- Pertama kita akan melihat aturan perkalian. Cap sepertinya mengisyaratkan: ini adalah saat ada dua akar, di antara keduanya ada tanda "kalikan" - dan kami ingin melakukan sesuatu dengannya.
- Lalu mari kita lihat situasi sebaliknya: ada satu akar besar, namun kita ingin merepresentasikannya sebagai hasil kali dua akar yang lebih sederhana. Mengapa ini perlu, adalah pertanyaan tersendiri. Kami hanya akan menganalisis algoritmanya.
Bagi yang sudah tidak sabar untuk segera lanjut ke bagian kedua, dipersilahkan. Mari kita mulai dengan sisanya secara berurutan.
Aturan Dasar Perkalian
Mari kita mulai dengan hal yang paling sederhana - akar kuadrat klasik. Yang sama dilambangkan dengan $\sqrt(a)$ dan $\sqrt(b)$. Semuanya jelas bagi mereka:
Aturan perkalian. Untuk mengalikan satu akar kuadrat dengan akar kuadrat lainnya, Anda cukup mengalikan ekspresi akarnya, dan menuliskan hasilnya di bawah akar kuadrat yang sama:
\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]
Tidak ada batasan tambahan yang dikenakan pada bilangan di kanan atau kiri: jika faktor akarnya ada, maka hasil kali juga ada.
Contoh. Mari kita lihat empat contoh dengan angka sekaligus:
\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, arti utama aturan ini adalah menyederhanakan ekspresi irasional. Dan jika pada contoh pertama kita sendiri yang mengekstrak akar dari 25 dan 4 tanpa aturan baru, maka segalanya menjadi sulit: $\sqrt(32)$ dan $\sqrt(2)$ tidak dianggap sendiri, tetapi hasil kali mereka ternyata kuadrat sempurna, sehingga akarnya sama dengan bilangan rasional.
Saya secara khusus ingin menyoroti baris terakhir. Di sana, kedua ekspresi radikal tersebut adalah pecahan. Berkat produknya, banyak faktor yang dibatalkan, dan seluruh ekspresi menjadi angka yang memadai.
Tentu saja, segala sesuatunya tidak selalu indah. Terkadang akan ada kekacauan total di akarnya - tidak jelas apa yang harus dilakukan dengannya dan bagaimana mengubahnya setelah perkalian. Nanti, ketika Anda mulai mempelajari persamaan dan pertidaksamaan irasional, akan ada berbagai macam variabel dan fungsi. Dan seringkali, penulis masalah mengandalkan fakta bahwa Anda akan menemukan beberapa syarat atau faktor yang membatalkan, setelah itu masalahnya akan disederhanakan berkali-kali lipat.
Selain itu, sama sekali tidak perlu mengalikan tepat dua akar. Anda bisa mengalikan tiga, empat, atau bahkan sepuluh sekaligus! Hal ini tidak akan mengubah aturan. Lihatlah:
\[\begin(sejajarkan) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(sejajarkan)\]
Dan sekali lagi catatan kecil tentang contoh kedua. Seperti yang Anda lihat, di faktor ketiga ada pecahan desimal di bawah akar - dalam proses perhitungan kami menggantinya dengan pecahan biasa, setelah itu semuanya mudah dikurangi. Jadi: Saya sangat menyarankan untuk menghilangkan pecahan desimal dalam ekspresi irasional apa pun (yaitu mengandung setidaknya satu simbol radikal). Ini akan menghemat banyak waktu dan kegelisahan Anda di masa depan.
Tapi ini adalah penyimpangan liris. Sekarang mari kita pertimbangkan kasus yang lebih umum - ketika eksponen akar berisi bilangan sembarang $n$, dan bukan hanya dua bilangan “klasik”.
Kasus indikator sewenang-wenang
Jadi, kami telah memilah akar kuadratnya. Apa yang harus dilakukan dengan yang kubik? Atau bahkan dengan akar derajat sembarang $n$? Ya, semuanya sama. Aturannya tetap sama:
Untuk mengalikan dua akar derajat $n$, cukup dengan mengalikan ekspresi akarnya, lalu tuliskan hasilnya di bawah satu akar.
Secara umum, tidak ada yang rumit. Kecuali jumlah perhitungannya mungkin lebih besar. Mari kita lihat beberapa contoh:
Contoh. Hitung produk:
\[\begin(sejajarkan) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(sejajarkan)\]
Dan sekali lagi, perhatian pada ekspresi kedua. Kita mengalikan akar pangkat tiga, menghilangkan pecahan desimal, dan berakhir dengan penyebut yang merupakan hasil perkalian angka 625 dan 25. Ini angka yang cukup besar - secara pribadi, saya pribadi tidak tahu apa yang sama dengan angka di atas kepalaku.
Oleh karena itu, kita cukup mengisolasi kubus eksak pada pembilang dan penyebutnya, lalu menggunakan salah satu properti utama (atau, jika Anda lebih suka, definisi) dari akar $n$th:
\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\kiri| a\benar|. \\ \end(sejajarkan)\]
“Intrik” seperti itu dapat menghemat banyak waktu Anda dalam ujian atau ulangan, jadi ingatlah:
Jangan terburu-buru mengalikan angka menggunakan ekspresi radikal. Pertama, periksa: bagaimana jika tingkat ekspresi apa pun “terenkripsi” di sana?
Terlepas dari pernyataan ini yang jelas, saya harus mengakui bahwa sebagian besar siswa yang tidak siap tidak melihat derajat yang tepat dari jarak dekat. Sebaliknya, mereka mengalikan semuanya sekaligus, dan kemudian bertanya-tanya: mengapa mereka mendapatkan angka yang begitu brutal :)
Namun, semua ini hanyalah pembicaraan kecil dibandingkan dengan apa yang akan kita pelajari sekarang.
Mengalikan akar dengan eksponen berbeda
Oke, sekarang kita bisa mengalikan akar-akarnya dengan indikator yang sama. Bagaimana jika indikatornya berbeda? Katakanlah, bagaimana cara mengalikan $\sqrt(2)$ biasa dengan omong kosong seperti $\sqrt(23)$? Apakah mungkin untuk melakukan ini?
Ya, tentu saja kamu bisa. Semuanya dilakukan menurut rumus ini:
Aturan untuk mengalikan akar. Untuk mengalikan $\sqrt[n](a)$ dengan $\sqrt[p](b)$, cukup melakukan transformasi berikut:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Namun rumus ini hanya berfungsi jika ekspresi radikal tidak negatif. Ini adalah catatan yang sangat penting yang akan kita bahas lagi nanti.
Untuk saat ini, mari kita lihat beberapa contoh:
\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit. Sekarang mari kita cari tahu dari mana persyaratan non-negatif itu berasal, dan apa jadinya jika kita melanggarnya :)
Memperbanyak akar itu mudah Mengapa ekspresi radikal harus non-negatif?
Tentu saja, Anda bisa menjadi seperti guru sekolah dan mengutip buku teks dengan tampilan yang cerdas:
Persyaratan non-negatif dikaitkan dengan definisi yang berbeda dari akar-akar derajat genap dan ganjil (oleh karena itu, domain definisinya juga berbeda).
Nah, apakah sudah lebih jelas? Secara pribadi, ketika saya membaca omong kosong ini di kelas 8, saya memahami sesuatu seperti berikut: "Persyaratan non-negatif dikaitkan dengan *#&^@(*#@^#)~%" - singkatnya, saya tidak Aku tidak mengerti apa-apa saat itu. :)
Jadi sekarang saya akan menjelaskan semuanya dengan cara biasa.
Pertama, mari kita cari tahu dari mana rumus perkalian di atas berasal. Untuk melakukan ini, izinkan saya mengingatkan Anda tentang satu properti penting dari root:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Dengan kata lain, kita dapat dengan mudah menaikkan ekspresi radikal ke pangkat alami $k$ - dalam hal ini, eksponen akar harus dikalikan dengan pangkat yang sama. Oleh karena itu, kita dapat dengan mudah mengurangi akar apa pun menjadi eksponen persekutuan, lalu mengalikannya. Dari sinilah rumus perkalian berasal:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Namun ada satu masalah yang sangat membatasi penggunaan semua rumus ini. Pertimbangkan nomor ini:
Berdasarkan rumus yang baru saja diberikan, kita dapat menambahkan derajat apa pun. Mari kita coba menambahkan $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\kiri(-5 \kanan))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
Kami menghilangkan minus justru karena kuadrat membakar minus (seperti derajat genap lainnya). Sekarang mari kita lakukan transformasi terbalik: “kurangi” keduanya dalam eksponen dan pangkat. Bagaimanapun, persamaan apa pun dapat dibaca dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri:
\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Panah Kanan \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](A); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Panah Kanan \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\akar(5). \\ \end(sejajarkan)\]
Tapi kemudian ternyata ada semacam omong kosong:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
Hal ini tidak dapat terjadi, karena $\sqrt(-5) \lt 0$, dan $\sqrt(5) \gt 0$. Artinya, untuk pangkat genap dan bilangan negatif, rumus kami tidak lagi berfungsi. Setelah itu kita memiliki dua pilihan:
- Untuk membentur tembok dan menyatakan bahwa matematika adalah ilmu pengetahuan yang bodoh, di mana “ada beberapa aturan, tetapi ini tidak akurat”;
- Terapkan batasan tambahan sehingga formula akan 100% berfungsi.
Pada opsi pertama, kita harus terus-menerus menangani kasus-kasus yang “tidak berfungsi” - ini sulit, memakan waktu, dan umumnya jelek. Oleh karena itu, ahli matematika lebih memilih opsi kedua :)
Tapi jangan khawatir! Dalam praktiknya, batasan ini tidak mempengaruhi perhitungan dengan cara apa pun, karena semua masalah yang dijelaskan hanya menyangkut akar-akar yang berderajat ganjil, dan minus dapat diambil darinya.
Oleh karena itu, mari kita rumuskan satu aturan lagi, yang secara umum berlaku untuk semua tindakan yang memiliki akar:
Sebelum mengalikan akar, pastikan ekspresi radikalnya non-negatif.
Contoh. Di angka $\sqrt(-5)$ Anda dapat menghilangkan tanda minus dari bawah tanda root - maka semuanya akan normal:
\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Panah Kanan \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]
Apakah Anda merasakan perbedaannya? Jika Anda meninggalkan minus di bawah root, maka ketika ekspresi radikal dikuadratkan, itu akan hilang, dan omong kosong akan dimulai. Dan jika Anda menghilangkan minusnya terlebih dahulu, maka Anda dapat mengkuadratkan/menghapusnya sampai wajahnya membiru - angkanya akan tetap negatif :).
Jadi, cara memperbanyak akar yang paling benar dan dapat diandalkan adalah sebagai berikut:
- Hapus semua hal negatif dari kaum radikal. Minus hanya ada pada akar dengan multiplisitas ganjil - minus dapat ditempatkan di depan akar dan, jika perlu, dikurangi (misalnya, jika ada dua minus ini).
- Lakukan perkalian sesuai aturan yang dibahas di atas dalam pelajaran hari ini. Jika indikator akar-akarnya sama, kita cukup mengalikan ekspresi akarnya. Dan jika berbeda, kita menggunakan rumus jahat \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
- 3.Nikmati hasil dan nilai bagus. :)
Dengan baik? Bagaimana kalau kita berlatih?
Contoh 1: Sederhanakan ekspresi:
\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \kanan)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ persegi(64)=-4; \end(sejajarkan)\]
Ini adalah pilihan paling sederhana: akar-akarnya sama dan ganjil, satu-satunya masalah adalah faktor kedua negatif. Kami menghilangkan minus ini dari gambar, setelah itu semuanya dihitung dengan mudah.
Contoh 2: Sederhanakan ekspresi:
\[\begin(sejajarkan) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\kiri(((2)^(5)) \kanan))^(3))\cdot ((\kiri(((2)^(2)) \kanan))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( meluruskan)\]
Di sini, banyak orang akan bingung dengan kenyataan bahwa keluarannya ternyata berupa bilangan irasional. Ya, itu terjadi: kami tidak dapat sepenuhnya menghilangkan akarnya, tetapi setidaknya kami menyederhanakan ekspresinya secara signifikan.
Contoh 3: Sederhanakan ekspresi:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \kanan))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(sejajarkan)\]
Saya ingin menarik perhatian Anda pada tugas ini. Ada dua poin di sini:
- Akarnya bukanlah angka atau pangkat tertentu, melainkan variabel $a$. Pada pandangan pertama, ini agak tidak biasa, tetapi kenyataannya, ketika menyelesaikan masalah matematika, Anda paling sering harus berurusan dengan variabel.
- Pada akhirnya, kita berhasil “menurunkan” indikator radikal dan derajat ekspresi radikal. Hal ini cukup sering terjadi. Artinya, penghitungan dapat disederhanakan secara signifikan jika Anda tidak menggunakan rumus dasar.
Misalnya, Anda dapat melakukan ini:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \kanan))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\akhir(sejajarkan)\]
Faktanya, semua transformasi hanya dilakukan dengan radikal kedua. Dan jika Anda tidak menjelaskan secara rinci semua langkah peralihan, maka pada akhirnya jumlah perhitungan akan berkurang secara signifikan.
Faktanya, kita telah menemui tugas serupa di atas ketika kita menyelesaikan contoh $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Sekarang dapat ditulis lebih sederhana:
\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\kiri(((5)^(2))\cdot 3 \kanan))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\kiri(75 \kanan))^(2))) =\sqrt(75). \end(sejajarkan)\]
Nah, kita sudah memilah perkalian akar. Sekarang mari kita pertimbangkan operasi sebaliknya: apa yang harus dilakukan ketika ada produk di bawah root?
Pada bagian ini kita akan membahas akar kuadrat aritmatika.
Dalam kasus ekspresi radikal literal, kita berasumsi bahwa huruf-huruf yang terdapat di bawah tanda akar menunjukkan bilangan non-negatif.
1. Akar pekerjaan.
Mari kita pertimbangkan contoh ini.
Di sisi lain, perhatikan bahwa angka 2601 adalah hasil kali dua faktor, yang akarnya dapat dengan mudah diekstraksi:
Mari kita ambil akar kuadrat dari setiap faktor dan mengalikan akar-akar berikut:
Kami memperoleh hasil yang sama ketika kami mengekstrak akar dari produk di bawah akar, dan ketika kami mengekstrak akar dari masing-masing faktor secara terpisah dan mengalikan hasilnya.
Dalam banyak kasus, cara kedua lebih mudah untuk mencari hasilnya, karena Anda harus mengakarkan bilangan yang lebih kecil.
Teorema 1. Untuk mengekstrak akar kuadrat suatu produk, Anda dapat mengekstraknya dari setiap faktor secara terpisah dan mengalikan hasilnya.
Mari kita buktikan teorema tiga faktor, yaitu kita buktikan persamaannya:
Pembuktiannya akan kita lakukan dengan pembuktian langsung, berdasarkan definisi akar aritmatika. Katakanlah kita perlu membuktikan persamaannya:
(A dan B adalah bilangan non-negatif). Menurut definisi akar kuadrat, ini berarti bahwa
Oleh karena itu, cukup dengan mengkuadratkan ruas kanan dari persamaan yang dibuktikan dan memastikan bahwa ekspresi radikal dari ruas kiri diperoleh.
Mari kita terapkan alasan ini pada bukti persamaan (1). Mari kita persegikan sisi kanannya; tetapi di sisi kanan adalah hasil kali, dan untuk mengkuadratkan hasil kali, cukup dengan mengkuadratkan setiap faktor dan mengalikan hasilnya (lihat, § 40);
Hasilnya adalah ekspresi radikal di sisi kiri. Artinya persamaan (1) benar.
Kami telah membuktikan teorema tiga faktor. Tapi alasannya akan tetap sama jika ada 4 faktor, dst. di bawah akar. Teorema ini benar untuk sejumlah faktor apa pun.
Hasilnya mudah ditemukan secara lisan.
2. Akar pecahan.
Mari kita hitung
Penyelidikan.
Di sisi lain,
Mari kita buktikan teoremanya.
Teorema 2. Untuk mengekstrak akar pecahan, Anda dapat mengekstrak akar secara terpisah dari pembilang dan penyebutnya, lalu membagi hasil pertama dengan hasil kedua.
Hal ini diperlukan untuk membuktikan keabsahan persamaan:
Untuk membuktikannya, kita akan menggunakan metode yang membuktikan teorema sebelumnya.
Mari kita persegikan sisi kanannya. Akan memiliki:
Kami mendapat ekspresi radikal di sisi kiri. Artinya persamaan (2) benar.
Jadi, kami telah membuktikan identitas berikut:
dan merumuskan aturan yang sesuai untuk mengekstrak akar kuadrat dari hasil kali dan hasil bagi. Terkadang saat melakukan transformasi Anda harus menerapkan identitas ini, membacanya dari kanan ke kiri.
Menyusun ulang sisi kiri dan kanan, kami menulis ulang identitas terbukti sebagai berikut:
Untuk mengalikan akar, Anda dapat mengalikan ekspresi radikal dan mengekstrak akar dari hasil perkaliannya.
Untuk memisahkan akar, Anda dapat memisahkan ekspresi radikal dan mengekstrak akar dari hasil bagi.
3. Akar derajat.
Mari kita hitung
Saatnya untuk menyelesaikannya metode ekstraksi akar. Mereka didasarkan pada sifat-sifat akar, khususnya pada persamaan yang berlaku untuk sembarang bilangan non-negatif b.
Di bawah ini kita akan melihat metode utama mengekstraksi akar satu per satu.
Mari kita mulai dengan kasus paling sederhana - mengekstrak akar dari bilangan asli menggunakan tabel kuadrat, tabel kubus, dll.
Jika tabel persegi, kubus, dll. Jika Anda tidak memilikinya, masuk akal untuk menggunakan metode mengekstraksi akar, yang melibatkan penguraian bilangan radikal menjadi faktor prima.
Perlu disebutkan secara khusus apa yang mungkin terjadi pada akar-akar dengan eksponen ganjil.
Terakhir, mari kita pertimbangkan metode yang memungkinkan kita menemukan digit nilai akar secara berurutan.
Mari kita mulai.
Menggunakan tabel persegi, tabel kubus, dll.
Dalam kasus paling sederhana, tabel kuadrat, kubus, dll. memungkinkan Anda mengekstrak akar. Apa saja tabel-tabel ini?
Tabel kuadrat bilangan bulat dari 0 hingga 99 inklusif (ditunjukkan di bawah) terdiri dari dua zona. Zona pertama tabel terletak pada latar belakang abu-abu; dengan memilih baris tertentu dan kolom tertentu, ini memungkinkan Anda membuat angka dari 0 hingga 99. Misalnya kita pilih baris 8 puluhan dan kolom 3 satuan, dengan ini kita tetapkan angka 83. Zona kedua menempati sisa tabel. Setiap sel terletak di perpotongan baris tertentu dan kolom tertentu, dan berisi kuadrat angka yang sesuai dari 0 hingga 99. Di perpotongan baris 8 puluhan yang kita pilih dan kolom 3 satuan terdapat sel dengan angka 6.889, yang merupakan kuadrat dari angka 83.
Tabel kubus, tabel pangkat empat angka dari 0 sampai 99, dan seterusnya mirip dengan tabel kuadrat, hanya saja tabel tersebut memuat kubus, pangkat empat, dan seterusnya pada zona kedua. nomor yang sesuai.
Tabel kuadrat, kubus, pangkat empat, dll. memungkinkan Anda mengekstrak akar kuadrat, akar pangkat tiga, akar keempat, dll. sesuai dengan angka-angka dalam tabel ini. Mari kita jelaskan prinsip penggunaannya saat mengekstraksi akar.
Katakanlah kita perlu mengekstrak akar ke-n dari bilangan a, sedangkan bilangan a terdapat dalam tabel pangkat ke-n. Dengan menggunakan tabel ini kita menemukan bilangan b sedemikian rupa sehingga a=b n. Kemudian 
, oleh karena itu, bilangan b akan menjadi akar derajat ke-n yang diinginkan.
Sebagai contoh, mari kita tunjukkan cara menggunakan tabel pangkat tiga untuk mengekstrak akar pangkat tiga dari 19,683. Kita menemukan bilangan 19.683 pada tabel kubus, dari situ kita mengetahui bahwa bilangan tersebut adalah pangkat tiga dari bilangan 27, oleh karena itu, 
.
Jelas bahwa tabel pangkat ke-n sangat berguna untuk mengekstraksi akar. Namun, sering kali dokumen tersebut tidak tersedia dan memerlukan waktu untuk menyusunnya. Selain itu, seringkali perlu untuk mengekstrak akar dari angka-angka yang tidak terdapat dalam tabel terkait. Dalam kasus ini, Anda harus menggunakan metode ekstraksi akar lainnya.
Memfaktorkan suatu bilangan radikal menjadi faktor prima
Cara yang cukup mudah untuk mengekstrak akar suatu bilangan asli (jika, tentu saja, akarnya diekstraksi) adalah dengan menguraikan bilangan radikal menjadi faktor prima. Miliknya intinya adalah ini: setelah itu cukup mudah untuk merepresentasikannya sebagai pangkat dengan eksponen yang diinginkan, yang memungkinkan Anda memperoleh nilai root. Mari kita perjelas hal ini.
Misalkan akar ke-n dari bilangan asli a diambil dan nilainya sama dengan b. Dalam hal ini, persamaan a=b n benar. Bilangan b, seperti bilangan asli lainnya, dapat direpresentasikan sebagai hasil kali semua faktor prima p 1 , p 2 , …, p m dalam bentuk p 1 ·p 2 ·…·p m , dan bilangan radikal a dalam kasus ini direpresentasikan sebagai (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Karena penguraian suatu bilangan menjadi faktor prima bersifat unik, maka penguraian bilangan radikal a menjadi faktor prima akan berbentuk (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, yang memungkinkan untuk menghitung nilai akar sebagai.
Perhatikan bahwa jika penguraian menjadi faktor prima suatu bilangan radikal a tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, maka akar ke-n dari bilangan a tersebut tidak terekstraksi seluruhnya.
Mari kita cari tahu saat memecahkan contoh.
Contoh.
Ambil akar kuadrat dari 144.
Larutan.
Jika Anda melihat tabel kuadrat yang diberikan pada paragraf sebelumnya, Anda dapat melihat dengan jelas bahwa 144 = 12 2, yang menunjukkan bahwa akar kuadrat dari 144 sama dengan 12.
Namun mengingat hal ini, kami tertarik pada bagaimana akar diekstraksi dengan menguraikan bilangan radikal 144 menjadi faktor prima. Mari kita lihat solusi ini.
Mari kita terurai 144 ke faktor prima:
Artinya, 144=2·2·2·2·3·3. Berdasarkan penguraian yang dihasilkan, dapat dilakukan transformasi sebagai berikut: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Karena itu, 
.
Dengan menggunakan sifat-sifat derajat dan sifat-sifat akar, penyelesaiannya dapat dirumuskan sedikit berbeda: .
Menjawab:
Untuk mengkonsolidasikan materi, pertimbangkan solusi dari dua contoh lagi.
Contoh.
Hitung nilai akarnya.
Larutan.
Faktorisasi prima dari bilangan radikal 243 berbentuk 243=3 5 . Dengan demikian, 
.
Menjawab:
Contoh.
Apakah nilai root merupakan bilangan bulat?
Larutan.
Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita faktorkan bilangan radikal menjadi faktor prima dan lihat apakah bilangan tersebut dapat direpresentasikan sebagai pangkat tiga dari bilangan bulat.
Kita punya 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Perluasan yang dihasilkan tidak dapat direpresentasikan sebagai pangkat tiga dari bilangan bulat, karena pangkat dari faktor prima 7 bukan kelipatan tiga. Oleh karena itu, akar pangkat tiga dari 285.768 tidak dapat diekstraksi seluruhnya.
Menjawab:
TIDAK.
Mengekstraksi akar dari bilangan pecahan
Saatnya mencari tahu cara mengekstrak akar bilangan pecahan. Biarkan bilangan radikal pecahan ditulis sebagai p/q. Berdasarkan sifat akar suatu hasil bagi, persamaan berikut ini benar. Dari sini kesetaraan muncul aturan untuk mengekstrak akar pecahan: Akar suatu pecahan sama dengan hasil bagi akar pembilangnya dibagi akar penyebutnya.
Mari kita lihat contoh mengekstraksi akar dari pecahan.
Contoh.
Berapakah akar kuadrat dari pecahan biasa 25/169?
Larutan.
Dengan menggunakan tabel kuadrat, kita menemukan bahwa akar kuadrat dari pembilang pecahan asal adalah 5, dan akar kuadrat dari penyebutnya adalah 13. Kemudian 
. Ini menyelesaikan ekstraksi akar pecahan biasa 25/169.
Menjawab:
Akar pecahan desimal atau bilangan campuran diekstraksi setelah mengganti bilangan radikal dengan pecahan biasa.
Contoh.
Ambil akar pangkat tiga dari pecahan desimal 474.552.
Larutan.
Mari kita bayangkan pecahan desimal asli sebagai pecahan biasa: 474.552=474552/1000. Kemudian 
. Tetap mengekstrak akar pangkat tiga yang ada di pembilang dan penyebut pecahan yang dihasilkan. Karena 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 dan 1 000 = 10 3, maka 
Dan 
. Yang tersisa hanyalah menyelesaikan perhitungan 
.
Menjawab:
.
Mengambil akar dari bilangan negatif
Penting untuk memikirkan mengekstraksi akar dari bilangan negatif. Saat mempelajari akar, kita mengatakan bahwa jika eksponen akar adalah bilangan ganjil, maka terdapat bilangan negatif di bawah tanda akar. Kami memberi arti berikut pada entri ini: untuk bilangan negatif −a dan eksponen ganjil dari akar 2 n−1, 
. Kesetaraan ini memberi aturan untuk mengekstrak akar ganjil dari bilangan negatif: untuk mengekstrak akar bilangan negatif, Anda perlu mengambil akar bilangan positif yang berlawanan, dan memberi tanda minus di depan hasilnya.
Mari kita lihat contoh solusinya.
Contoh.
Temukan nilai akarnya.
Larutan.
Mari kita ubah ekspresi aslinya sehingga ada bilangan positif di bawah tanda akar: 
. Sekarang ganti bilangan campuran dengan pecahan biasa: 
. Kami menerapkan aturan untuk mengekstraksi akar pecahan biasa: 
. Tetap menghitung akar-akar pembilang dan penyebut pecahan yang dihasilkan: 
.
Berikut ringkasan singkat solusinya: 
.
Menjawab:
.
Penentuan nilai akar secara bitwise
Dalam kasus umum, di bawah akar terdapat bilangan yang, dengan menggunakan teknik yang dibahas di atas, tidak dapat direpresentasikan sebagai pangkat ke-n dari bilangan apa pun. Namun dalam hal ini perlu diketahui arti dari suatu akar kata, paling tidak sampai tanda tertentu. Dalam hal ini, untuk mengekstrak root, Anda dapat menggunakan algoritme yang memungkinkan Anda memperoleh jumlah nilai digit yang cukup dari angka yang diinginkan secara berurutan.
Langkah pertama dari algoritma ini adalah mencari tahu bit paling signifikan dari nilai akar. Caranya, bilangan 0, 10, 100, ... dipangkatkan n secara berurutan hingga diperoleh suatu bilangan yang melebihi bilangan radikal. Maka angka yang kita pangkatkan n pada tahap sebelumnya akan menunjukkan angka paling signifikan yang sesuai.
Misalnya, pertimbangkan langkah algoritme ini saat mengekstraksi akar kuadrat dari lima. Ambil angka 0, 10, 100, ... dan kuadratkan hingga diperoleh angka yang lebih besar dari 5. Kita punya 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, artinya angka yang paling berarti adalah angka satuan. Nilai bit ini, serta bit yang lebih rendah, akan ditemukan pada langkah selanjutnya dari algoritma ekstraksi akar.
Semua langkah algoritma selanjutnya ditujukan untuk memperjelas nilai akar secara berurutan dengan mencari nilai bit berikutnya dari nilai akar yang diinginkan, dimulai dari yang tertinggi dan berpindah ke yang terendah. Misalnya nilai akar pada langkah pertama ternyata 2, pada langkah kedua – 2.2, pada langkah ketiga – 2.23, dan seterusnya 2.236067977…. Mari kita jelaskan bagaimana nilai-nilai digit ditemukan.
Digit-digit tersebut ditemukan dengan mencari kemungkinan nilai 0, 1, 2, ..., 9. Dalam hal ini, pangkat ke-n dari bilangan-bilangan yang bersesuaian dihitung secara paralel, dan dibandingkan dengan bilangan radikal. Jika pada tahap tertentu nilai derajat melebihi bilangan radikal, maka nilai digit yang sesuai dengan nilai sebelumnya dianggap ditemukan, dan transisi ke langkah berikutnya dari algoritma ekstraksi akar dilakukan; maka nilai angka tersebut adalah 9.
Mari kita jelaskan poin-poin ini menggunakan contoh yang sama dalam mengekstraksi akar kuadrat dari lima.
Pertama kita cari nilai digit satuannya. Kita akan menelusuri nilai 0, 1, 2, ..., 9, masing-masing menghitung 0 2, 1 2, ..., 9 2 hingga kita mendapatkan nilai yang lebih besar dari bilangan radikal 5. Semua perhitungan ini akan lebih mudah disajikan dalam bentuk tabel: 
Jadi nilai angka satuannya adalah 2 (karena 2 2<5
, а 2 3 >5 ). Mari kita lanjutkan mencari nilai tempat persepuluhan. Dalam hal ini, kita akan mengkuadratkan angka 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, membandingkan nilai yang dihasilkan dengan angka radikal 5: 
Sejak 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5, maka nilai tempat persepuluhannya adalah 2. Anda dapat melanjutkan untuk mencari nilai tempat perseratus: 
Dengan demikian ditemukan nilai akar lima selanjutnya, yaitu sebesar 2,23. Jadi Anda dapat terus menemukan nilai: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis ekstraksi akar dengan akurasi seperseratus menggunakan algoritma yang dipertimbangkan.
Pertama kita tentukan angka paling penting. Untuk melakukan ini, kita pangkatkan angka 0, 10, 100, dst. sampai kita mendapatkan angka yang lebih besar dari 2.151.186. Kita punya 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , jadi angka paling penting adalah angka puluhan.
Mari kita tentukan nilainya. 
Sejak 10 3<2 151,186
, а 20 3 >2 151.186, maka nilai tempat puluhannya adalah 1. Mari beralih ke unit. 
Jadi, nilai angka satuannya adalah 2. Mari kita beralih ke persepuluhan. 
Karena genap 12,9 3 lebih kecil dari bilangan radikal 2 151.186, maka nilai persepuluhannya adalah 9. Tetap melakukan langkah terakhir dari algoritma; ini akan memberi kita nilai root dengan akurasi yang diperlukan. 
Pada tahap ini, nilai akar ditemukan akurat hingga seperseratus: 
.
Sebagai penutup artikel ini, saya ingin mengatakan bahwa ada banyak cara lain untuk mengekstrak akar. Namun untuk sebagian besar tugas, tugas yang kami pelajari di atas sudah cukup.
Bibliografi.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 8. lembaga pendidikan umum.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain.Aljabar dan permulaan analisis: Buku ajar untuk kelas 10 - 11 lembaga pendidikan umum.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik).
