VEKTOR
vektor disebut objek matematika ( A, B, C, …), yang mana dua operasi aljabar didefinisikan:
penjumlahan dua vektor a+b=c
perkalian suatu vektor dengan bilangan a a = b.
Ciri paling penting dari operasi ini adalah bahwa operasi ini selalu menghasilkan vektor yang bertipe sama dengan vektor aslinya. Oleh karena itu, dengan memiliki himpunan vektor awal, kita dapat mengembangkannya secara bertahap, yaitu. mendapatkan lebih banyak vektor baru dengan menerapkan operasi penjumlahan dan perkalian dengan suatu bilangan pada vektor-vektor yang sudah ada. Pada akhirnya, kita akan sampai pada himpunan vektor yang tidak lagi meluas, yaitu. ternyata ditutup sehubungan dengan operasi yang ditunjukkan. Himpunan vektor yang demikian disebut ruang vektor.
Jika, saat melakukan operasi ini, tambahan kondisi linearitas :
A( a+b)= A sebuah + A B
(A + B) sebuah = A sebuah + B B
maka ruang yang dihasilkan disebut linier ruang angkasa (LP) atau vektor linier ruang angkasa (HDL). LCS, bersama dengan kelompok simetri, dapat menjadi contoh lain dari struktur matematika yang merupakan kumpulan objek tertutup yang berjenis sama dan diurutkan dengan cara tertentu (dengan bantuan operasi aljabar).
Kombinasi Linier
Dengan melakukan operasi penjumlahan vektor dan mengalikannya dengan angka, dimungkinkan untuk membuat konstruksi yang lebih kompleks seperti:
A sebuah + B b+ G c + ..... = x
yang disebut kombinasi linear (LC) vektor a, b, c, . . . dengan koefisien a, b, g, . . . , masing-masing.
Konsep LC memungkinkan kita merumuskan beberapa aturan umum:
· setiap LC dari setiap vektor dari beberapa LP juga merupakan vektor dari LP yang sama;
setiap vektor dari beberapa LP dapat direpresentasikan sebagai LC dari beberapa vektor dari LP yang sama;
dalam LP mana pun ada sekumpulan vektor khusus yang disebut kumpulan dasar (atau sederhananya dasar ) bahwa semua, tanpa kecuali, vektor-vektor LP ini dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis yang dipilih ini. Satu syarat penting dikenakan pada vektor-vektor yang dipilih sebagai vektor basis: vektor-vektor tersebut harus ada independen linier satu sama lain (tidak boleh diungkapkan melalui satu sama lain, yaitu: X≠a × kamu).
Aturan-aturan ini memungkinkan untuk memperkenalkan cara khusus untuk mendeskripsikan LP apa pun. Kami memilih himpunan basis dan memperluas semua vektor yang kami minati dalam basis ini (yaitu, kami merepresentasikannya dalam bentuk vektor basis LK); maka setiap vektor dapat ditentukan secara unik melalui himpunan koefisien LC yang bersesuaian dengan vektor tertentu. Koefisien seperti itu disebut koordinat vektor (sehubungan dengan basis yang diberikan). Kami menekankan bahwa koordinat suatu vektor adalah bilangan biasa, dan representasi koordinat suatu vektor memungkinkan kita untuk mendeskripsikannya hanya melalui sekumpulan bilangan, terlepas dari makna fisik spesifik yang kita masukkan ke dalam konsep vektor.
Mari kita pertimbangkan contoh spesifik. Misalkan kita mempunyai sekumpulan campuran dua bahan kimia murni: air dan alkohol. Di antara semua kemungkinan campuran, kami memilih dua campuran khusus:
1) campuran S1 mengandung 100% air dan 0% alkohol;
2) campuran S2 mengandung 0% air dan 100% alkohol.
Jelas bahwa campuran sembarang dapat direpresentasikan sebagai LC dari dua campuran basa berikut:
S = N 1 * S1 + N 2 * S2
dan mengkarakterisasinya sepenuhnya hanya dengan dua koordinat angka: N 1 dan N 2. Dengan kata lain, berdasarkan himpunan dasar, kita dapat menetapkan kesetaraan campuran kimia sembarang dan himpunan bilangan:
S~ {N 1 , N 2 }.
Sekarang cukup mengganti kata kimia tertentu "campuran" dengan istilah matematika abstrak "vektor" untuk mendapatkan model HDL yang menggambarkan kumpulan campuran dua zat.
3.3. Independensi linier vektor. Dasar.Linier kombinasi sistem vektor
disebut vektor
di mana sebuah 1 , sebuah 2 , ..., sebuah n - angka sewenang-wenang.
Jika semua i = 0, maka kombinasi liniernya disebut remeh . Dalam hal ini, tentu saja
Definisi 5.
|
Jika untuk sistem vektor
terdapat kombinasi linier non-trivial (setidaknya satu sebuah saya ¹ 0) sama dengan vektor nol: maka sistem vektor disebut secara linier bergantung. Jika persamaan (1) hanya mungkin jika semua sebuah saya =0, maka sistem vektor disebut secara linier mandiri . |
Teorema 2 (Kondisi ketergantungan linier).
Definisi 6.
Dari Teorema 3 Oleh karena itu, jika suatu basis diberikan dalam ruang, kemudian menambahkan vektor sembarang ke dalamnya, kita memperoleh sistem vektor yang bergantung linier. Menurut Teorema 2 (1) , salah satunya (dapat ditunjukkan bahwa vektor ) dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari sisanya:
.
Definisi 7.
|
Angka ditelepon koordinat vektor dalam basis (dilambangkan
|
Jika vektor-vektor dianggap pada suatu bidang, maka basisnya adalah pasangan vektor-vektor yang tidak segaris
dan koordinat vektor pada basis ini adalah sepasang bilangan:
Catatan 3. Hal ini dapat ditunjukkan bahwa untuk dasar tertentu, koordinat vektor ditentukan secara unik . Dari sini, khususnya, dapat disimpulkan bahwa jika vektor-vektornya sama, maka koordinat-koordinat yang bersesuaian juga sama, dan sebaliknya .
Jadi, jika suatu basis diberikan dalam ruang, maka tripel bilangan yang terurut (koordinat vektor dalam basis ini) berkorespondensi dengan setiap vektor ruang, dan sebaliknya: setiap tripel bilangan berkorespondensi dengan sebuah vektor.
Di bidang tersebut, korespondensi serupa dibuat antara vektor dan pasangan bilangan.
Teorema 4 (Operasi linier melalui koordinat vektor).
|
Jika dalam beberapa dasar Dan A adalah angka arbitrer, maka dalam dasar ini |
Dengan kata lain:
ketika suatu vektor dikalikan dengan suatu bilangan, koordinatnya dikalikan dengan bilangan tersebut ;
ketika vektor dijumlahkan, koordinatnya yang bersesuaian juga ditambahkan .
Contoh 1 . Dalam beberapa dasar, vektormemiliki koordinat
Tunjukkan bahwa vektor-vektor tersebut membentuk suatu basis dan tentukan koordinat vektor-vektor tersebut.
Vektor-vektor membentuk suatu basis jika vektor-vektor tersebut non-coplanar, maka (menurut Teorema 3(2) ) bebas linier.
Menurut definisi 5 ini berarti kesetaraan
hanya mungkin bilaX = kamu = z = 0.
Kombinasi linier vektor-vektor dari disebut vektor st di . Jelas bahwa kombinasi linier dari kombinasi linier vektor-vektor juga merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor tersebut.
Himpunan vektor disebut bebas linier jika persamaan hanya mungkin untuk . Namun jika terdapat si yang tidak sama dengan nol pada saat yang sama dan st - 0, maka himpunan vektor disebut bergantung linier. Definisi ini sama dengan definisi yang diberikan pada halaman 108 untuk string.
Proposisi 1. Kumpulan vektor-vektor bergantung linier jika dan hanya jika salah satu vektor merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor lainnya.
Proposisi 2. Jika himpunan vektor-vektor bebas linier, dan himpunan tersebut bergantung linier, maka vektor tersebut merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor tersebut.
Proposisi 3. Jika vektor merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor, maka himpunan tersebut bergantung linier.
Pembuktian kalimat-kalimat tersebut tidak berbeda dengan pembuktian kalimat serupa untuk string (hlm. 108-110).
Himpunan vektor disebut pembangkit jika semua vektor dalam ruang merupakan kombinasi liniernya. Jika terdapat sistem pembangkit berhingga untuk ruang S, maka ruang tersebut disebut berdimensi berhingga, selain itu disebut berdimensi tak hingga. Dalam ruang berdimensi terbatas, kumpulan vektor bebas linier yang berukuran besar (berdasarkan jumlah vektor) tidak dapat ada, karena, menurut Proposisi 3, kumpulan vektor apa pun yang melebihi kumpulan pembangkit dalam jumlah vektor adalah bergantung linier.
Ruang matriks dengan ukuran tetap dan, khususnya, ruang baris dengan panjang tetap adalah berdimensi terbatas; sebagai sistem pembangkit, seseorang dapat mengambil matriks dengan satu di satu posisi dan dengan nol di posisi lainnya.
Ruang semua polinomial dari sudah berdimensi tak hingga, karena himpunan polinomial bebas linier untuk sembarang .
Berikut ini, kita akan membahas ruang berdimensi terbatas.
Proposisi 4. Himpunan vektor pembangkit minimal (berdasarkan jumlah vektor) adalah bebas linier.
Memang benar, biarlah menjadi himpunan vektor pembangkit minimal. Jika bergantung linier, maka salah satu vektor, katakanlah, adalah kombinasi linier dari vektor lainnya, dan kombinasi linier apa pun adalah kombinasi linier dari sekumpulan vektor yang lebih kecil, yang kemudian menghasilkan pembangkitan.
Proposisi 5. Himpunan vektor bebas linier maksimal (berdasarkan jumlah vektor) menghasilkan.
Memang benar, misalkan adalah himpunan bebas linier maksimum dan vektor ruang apa pun. Maka himpunan dan tidak akan bebas linier, dan berdasarkan Proposisi 2, vektornya adalah kombinasi linier
Proposisi 6. Setiap himpunan pembangkit yang bebas linier adalah minimal di antara generator-generator dan maksimal di antara generator-generator yang bebas linier.
Memang benar, misalkan suatu himpunan vektor yang bebas linier. Jika - suatu himpunan pembangkit lain, maka himpunan tersebut adalah kombinasi linier dan oleh karena itu kita menyimpulkan bahwa, karena jika demikian, berdasarkan usulan, himpunan tersebut akan menjadi himpunan bergantung linier. Misalkan sekarang ada himpunan bebas linier. Vektor adalah kombinasi linier dari vektor-vektor dan, oleh karena itu, berdasarkan proposisi yang sama, vektor-vektor tersebut akan membentuk himpunan bergantung linier.
Jadi, dalam Proposisi 4, 5, 6, identitas tiga konsep ditetapkan - himpunan vektor pembangkit minimum, himpunan vektor bebas linier maksimum, dan himpunan pembangkit bebas linier.
Himpunan vektor yang memenuhi syarat tersebut disebut basis ruang, dan banyaknya vektor yang membentuk basis disebut dimensi ruang. Dimensi ruang S dilambangkan dengan . Jadi, dimensinya sama dengan jumlah maksimum vektor bebas linier (kita sering kali mengucapkan kata "bebas linier" dan "vektor bergantung linier" daripada mengucapkan "vektor yang membentuk populasi bergantung linier" dan - masing-masing untuk populasi bebas linier) dan jumlah minimum vektor pembangkit.
Proposisi 7. Misalkan himpunan vektor-vektor yang bebas linier, dan jumlahnya lebih kecil dari dimensi ruang. Kemudian sebuah vektor dapat dilekatkan padanya sedemikian rupa sehingga koleksinya tetap bebas linier.
Bukti. Pertimbangkan satu set kombinasi linier. Ia tidak menghabiskan seluruh ruang, karena mereka bukan merupakan himpunan vektor yang menghasilkan. Ambil vektor yang bukan kombinasi linier
Maka merupakan himpunan bebas linier, karena jika tidak, maka merupakan kombinasi vektor-vektor linier berdasarkan Proposisi 2.
Berdasarkan Proposisi 7, setiap kumpulan vektor yang bebas linier dapat diselesaikan menjadi suatu basis.
Dalil yang sama dan pembuktiannya menunjukkan sifat kesewenang-wenangan dalam pemilihan suatu dasar. Memang benar, jika kita mengambil vektor bukan nol sembarang, maka vektor tersebut dapat diselesaikan ke basis dengan mengambil vektor kedua sesuka Anda, tetapi bukan kombinasi linier dari vektor pertama, vektor ketiga sesuka Anda, tetapi bukan kombinasi linier dari dua yang pertama, dll.
Seseorang dapat "turun" ke basis, melanjutkan dari genset yang berubah-ubah.
Proposisi 8. Setiap himpunan vektor yang menghasilkan mengandung basis.
Memang benar, biarlah menjadi himpunan vektor yang menghasilkan. Jika vektor tersebut bergantung linier, maka salah satu vektornya merupakan kombinasi linier dari vektor lainnya, dan vektor tersebut dapat dikeluarkan dari set pembangkit. Jika vektor-vektor yang tersisa bergantung linier, maka satu vektor lagi dapat dihilangkan, dan seterusnya, hingga tersisa himpunan pembangkit yang bebas linier, yaitu basis.
Sesuai dengan kriteria kompromi ini, untuk setiap solusi, kombinasi linier dari hasil minimum dan maksimum ditentukan
Opsi kedua melibatkan fokus pada satu kriteria. Ini dapat dipilih sebagai salah satu indikator standar yang memiliki interpretasi ekonomi yang dapat dipahami sepenuhnya (misalnya, salah satu rasio likuiditas, rasio cakupan bunga, dll.), atau kriteria ini dikembangkan dalam bentuk beberapa indikator buatan yang menggeneralisasi kriteria tertentu. Untuk kriteria umum ini, nilai ambang batas ditetapkan, yang dengannya nilai sebenarnya dari kriteria yang dihitung untuk calon peminjam dibandingkan. Kesulitan utama dalam menerapkan pendekatan ini terletak pada metode membangun indikator yang digeneralisasi. Paling sering, ini adalah kombinasi linier dari kriteria parsial, yang masing-masing dimasukkan dalam indikator umum dengan koefisien bobot tertentu. Pendekatan inilah yang digunakan oleh E. Altman ketika mengembangkan kriteria Z untuk memprediksi kebangkrutan.
Baris e disebut kombinasi linier dari baris e, e-..., em dari suatu matriks jika
Konsep kombinasi linier, ketergantungan linier dan independensi vektor e, e2. f em serupa dengan konsep bersesuaian untuk baris-baris matriks e, e2,..., em (11.5).
Seperti ditunjukkan pada , untuk himpunan berbatas dan cembung (2.14), vektor x% 0 yang memenuhi batasan A xk bk dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier cembung dari himpunan titik ekstrem berhingga
Prosedur optimasi untuk menghitung nilai batas elemen a dan kombinasi liniernya sebagian besar tidak memiliki kekurangan ini.
Jelaslah bahwa titik (X1, q) yang diperoleh dari kombinasi linier (A/, q) dan (L., q") juga merupakan solusi sistem (4.43), (4.44).
Pada bagian ini, kita akan membahas aturan untuk menghitung ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak multivariat, yang merupakan kombinasi linier dari variabel acak yang berkorelasi.
Oleh karena itu, untuk kombinasi linier dari sejumlah variabel acak yang berubah-ubah, kita peroleh
Pertimbangkan kasus ketika investasi dilakukan pada beberapa aset (portofolio). Portofolio adalah kombinasi aset linier, yang masing-masing memiliki ekspektasi imbal hasil dan sebaran imbal hasil tersendiri.
Berbeda dengan kombinasi linier variabel acak yang berubah-ubah, bobot aset mematuhi aturan normalisasi
Pada paragraf sebelumnya telah ditunjukkan bahwa ketika koefisien korelasi antar aset kurang dari 1, diversifikasi portofolio dapat meningkatkan rasio antara return yang diharapkan dan risiko yang diharapkan. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa ekspektasi pengembalian suatu portofolio merupakan kombinasi linier dari ekspektasi pengembalian aset yang termasuk dalam portofolio, dan varians portofolio merupakan fungsi kuadrat dari s.d. termasuk dalam portofolio aset.
Karena fungsi diskriminan hanya bergantung pada kombinasi input linier, neuron merupakan diskriminator linier. Dalam beberapa situasi yang paling sederhana, diskriminator linier adalah yang terbaik, yaitu ketika probabilitas masuk dalam kelas k dari vektor masukan diberikan oleh distribusi Gaussian
Lebih tepatnya, keluaran jaringan Oya merupakan kombinasi linier dari komponen utama W pertama. Untuk mendapatkan komponen utama yang tepat, dalam aturan Oya cukup dengan mengganti penjumlahan seluruh keluaran dengan
Vektor b juga membentuk apa yang disebut basis minimal. Yaitu, ini adalah jumlah minimum vektor, dengan bantuan kombinasi linier yang dapat merepresentasikan semua vektor yang diingat
Prosedur sistematis berikut mampu mengekstraksi fitur paling signifikan secara berulang yang merupakan kombinasi linier dari variabel masukan X = W X (subset masukan adalah kasus khusus dari kombinasi linier, yaitu secara formal seseorang dapat menemukan solusi yang lebih baik daripada yang tersedia dengan memilih kombinasi input yang paling signifikan).
Dalam proses analisisnya, untuk mengkarakterisasi berbagai aspek kondisi keuangan digunakan sebagai. indikator absolut dan rasio keuangan yang merupakan indikator relatif dari kondisi keuangan. Yang terakhir dihitung sebagai rasio indikator absolut kondisi keuangan atau kombinasi liniernya. Menurut klasifikasi N.A. Blatov, salah satu pendiri ilmu keseimbangan, indikator relatif kondisi keuangan dibagi menjadi koefisien distribusi dan digunakan dalam kasus di mana diperlukan untuk menentukan bagian mana dari satu atau lain hal.
Konsep vektor
Definisi 1.Vektor disebut segmen berarah (atau, yang sama, sepasang titik terurut).
Ditunjuk: (titik A adalah awal vektor), titik B adalah akhir vektor) atau dengan satu huruf -.
Definisi 2.Panjang vektor (modulo) adalah jarak antara awal dan akhir vektor. Panjang suatu vektor dilambangkan dengan atau.
Definisi 3.vektor nol Vektor yang awal dan akhirnya sama disebut. Menunjuk:
Definisi 4.vektor satuan adalah vektor yang panjangnya sama dengan satu.
Vektor satuan yang arahnya sama dengan vektor tertentu disebut vektor vektor dan dilambangkan dengan simbol.
Definisi 5. Vektor disebut segaris, jika keduanya terletak pada garis yang sama atau pada garis sejajar. Vektor nol dianggap kolinear terhadap vektor apa pun.
Definisi 6. Vektor disebut setara jika keduanya segaris, mempunyai panjang dan arah yang sama.
Operasi linier pada vektor
Definisi 7.Operasi linier pada vektor disebut penjumlahan vektor dan perkalian suatu vektor dengan suatu bilangan.
Definisi 8.Jumlah dua vektor disebut vektor yang berjalan dari awal vektor sampai akhir vektor, dengan syarat vektor tersebut menempel pada ujung vektor (aturan segitiga). Dalam kasus vektor-vektor yang tidak segaris, alih-alih menggunakan aturan segitiga, kita dapat menggunakan aturan jajar genjang: jika vektor-vektor dan diplot dari titik asal yang sama dan jajar genjang dibangun di atasnya, maka jumlahnya adalah vektor yang berimpit dengan diagonal. jajaran genjang ini berasal dari asal usul yang sama.
Definisi 9.Perbedaan dua vektor dan sebuah vektor disebut, yang jika dijumlahkan dengan sebuah vektor, akan membentuk sebuah vektor. Jika dua vektor dan ditunda dari suatu permulaan yang sama, maka selisihnya adalah vektor yang berasal dari ujung vektor (“dikurangi”) ke ujung vektor (“dikurangi”).
Definisi 10. Dua vektor segaris yang sama panjang dan arahnya berlawanan disebut di depan. Vektor yang berlawanan dengan vektor dilambangkan.
Hasil kali suatu vektor dan suatu bilangan dilambangkan dengan α.
Beberapa sifat operasi linier
7)
;
Teorema 1.(Pada vektor collinear). Jika dan adalah dua vektor yang segaris dan vektor tersebut bukan nol, maka terdapat bilangan unik x sehingga = x
Secara khusus, vektor bukan nol dan ortonya dihubungkan dengan persamaan:=·.
Sifat-sifat operasi linier yang dirumuskan memungkinkan untuk mengubah ekspresi yang terdiri dari vektor sesuai dengan aturan aljabar yang biasa: Anda dapat membuka tanda kurung, membawa suku-suku serupa, memindahkan beberapa suku ke bagian lain dari persamaan dengan tanda yang berlawanan, dll.
Contoh 1
Buktikan persamaan:
dan mencari tahu apa arti geometrisnya.
Larutan. a) Di ruas kiri persamaan, kita buka tanda kurung, berikan suku-suku serupa, kita dapatkan vektor di ruas kanan. Mari kita jelaskan persamaan ini secara geometris. Misalkan diberikan dua vektor, sisihkan dari titik asal yang sama dan lihat jajaran genjang dan diagonalnya, kita peroleh:
§2 Kombinasi vektor linier
Basis vektor di pesawat dan di luar angkasa.
Definisi 1.Kombinasi linear vektor ,, adalah jumlah hasil kali vektor-vektor tersebut dengan beberapa bilangan,,:++.
Definisi 2.dasar vektor setiap pasangan vektor yang tidak segaris pada bidang tertentu disebut dalam bidang tertentu.
Vektor tersebut disebut vektor basis pertama, vektor kedua.
Teorema berikut ini benar.
Teorema 1. Jika dasarnya ,– basis vektor pada suatu bidang, maka vektor apa pun pada bidang tersebut dapat direpresentasikan, dan terlebih lagi dengan cara yang unik, sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis: = x + y. (*)
Definisi 3. Kesetaraan(*) disebut , dan bilangan x dan y adalah koordinat vektor di dasar,(atau sehubungan dengan dasar,). Jika sudah jelas terlebih dahulu dasar mana yang dibicarakan, maka dituliskan secara singkat: = (x, y). Dari definisi koordinat suatu vektor terhadap basisnya, dapat disimpulkan bahwa vektor-vektor yang sama mempunyai koordinat yang sama.
Dua atau lebih vektor dalam ruang disebut sebidang, jika keduanya sejajar pada bidang yang sama atau terletak pada bidang tersebut.
Definisi 4.dasar vektor di ruang angkasa setiap tiga vektor disebut , ,.
Dalam hal ini vektor tersebut disebut vektor basis pertama, vektor basis kedua, dan vektor basis ketiga.
Komentar. 1. Tiga buah vektor = (),= () dan = () membentuk basis ruang jika determinan yang tersusun dari koordinat-koordinatnya bukan nol:
.
2. Ketentuan pokok teori determinan dan cara menghitungnya dibahas pada modul 1 “aljabar linier”.
Teorema 2. Membiarkan , , adalah basis vektor dalam ruang. Kemudian setiap vektor dalam ruang dapat direpresentasikan, dan terlebih lagi dengan cara yang unik, sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis , Dan:
X+y+z. (**)
Definisi 5. Kesetaraan (**) disebut perluasan vektor dalam hal basis,,, dan bilangan x, y, z adalah koordinat (komponen) vektor pada basis , ,.
Jika sudah jelas terlebih dahulu dasar mana yang dibicarakan, maka dituliskan secara singkat: = (x, y, z).
Definisi 6. Dasar , , disebut ortonormal, jika vektor , , berpasangan tegak lurus dan mempunyai satuan panjang. Dalam hal ini, notasi ,, diadopsi.
Tindakan pada vektor ditentukan oleh koordinatnya.
Teorema 3. Biarkan basis vektor dipilih pada bidang tersebut , dan terhadap vektor-vektornya dan diberikan oleh koordinatnya: = (),= ().
Lalu =(),=( 
), yaitu ketika menjumlahkan atau mengurangkan vektor, koordinatnya yang bernama sama ditambahkan atau dikurangi; = ( ;), mis. ketika suatu vektor dikalikan dengan suatu bilangan, koordinatnya dikalikan dengan bilangan tersebut.
Kondisi kolinearitas untuk dua vektor
Teorema 4. Suatu vektor segaris terhadap vektor bukan nol jika dan hanya jika koordinat vektor tersebut sebanding dengan koordinat vektor tersebut di.e.
Operasi linier pada vektor yang diberikan oleh koordinatnya dalam ruang dilakukan dengan cara yang sama.
Contoh 1 Misalkan vektor = (1;2;-1) ,= (3;2;1), = (1;0;1) diberikan dalam beberapa basis vektor , ,. Temukan koordinat kombinasi linier 2+3-4.
Larutan. Mari kita perkenalkan notasi untuk kombinasi linier=2+3+(-4).
Koefisien kombinasi linier =2,=3,=-4. Persamaan vektor ini kita tuliskan dalam bentuk koordinat = (x, y, z) =:
2
Jelasnya, setiap koordinat kombinasi linier vektor sama dengan kombinasi linier yang sama dari koordinat dengan nama yang sama, yaitu.
x = 2 1 + 3 3 + (-4) 1 = 7,
kamu = 2 2+3 2+(-4) 0=10,
z= 2 (-1)+3 1+(-4) 0=-3.
Koordinat vektor dalam basis , , akan:
Menjawab:= {7,10,-3}.
Sistem koordinat kartesius umum (affine).
Definisi 7. Misalkan O adalah suatu titik tetap, yang akan kita sebut awal.
Jika M adalah titik sembarang, maka vektor disebut vektor radius titik M terhadap titik asal, singkatnya, vektor jari-jari titik M.
Koordinat Kartesius (affine) pada suatu garis
Biarkan beberapa garis lurus diberikan dalam ruang aku. Mari kita pilih titik asal O yang terletak pada garis ini. Selain itu, kami memilih secara online aku vektor bukan nol, yang kita sebut vektor basis.
Definisi 8. Biarkan titik M terletak pada garis l. Karena vektor-vektornya segaris, maka = x, di mana x adalah suatu bilangan. Kami akan menghubungi nomor ini koordinat titik M pada garis tersebut.
Titik asal O mempunyai koordinat positif atau negatif, bergantung pada apakah arah vektornya sama atau berlawanan. Garis lurus yang menjadi koordinatnya disebut sumbu koordinat atau sumbu OX.
Pengenalan koordinat pada suatu garis berhubungan dengan satu bilangan x, dan sebaliknya, terdapat titik unik M yang bilangan tersebut merupakan koordinatnya.
Koordinat kartesius (affine) pada bidang.
Kita memilih dua vektor non-collinear u pada bidang O, membentuk suatu basis. Jelasnya, panjang vektor bisa berbeda-beda.
Definisi 9. Himpunan (0;;) dari titik O dan basis vektor , ditelepon Sistem kartesius (affine). di permukaan.
Dua garis yang masing-masing melalui O dan sejajar dengan vektor , disebut sumbu koordinat. Yang pertama biasanya disebut sumbu absis dan dilambangkan dengan Ox, yang kedua adalah sumbu ordinat dan dilambangkan dengan Oy.
Kami akan selalu menggambarkan dan berbaring pada sumbu koordinat yang sesuai.
Definisi 10.koordinat titik M pada bidang terhadap sistem koordinat Kartesius (affine) (0;;) disebut koordinat vektor jari-jarinya menurut basis,:
X + y, maka bilangan x dan y adalah koordinat M relatif terhadap sistem koordinat Kartesius (affine) (0;;). Koordinat x disebut absis titik M, koordinat y- ordinat poin M.
Jadi, jika sistem koordinat dipilih, (0;;) pada bidang, maka setiap titik M pada bidang tersebut berhubungan dengan satu titik M pada bidang: titik ini adalah ujung vektor
Pengenalan sistem koordinat mendasari metode geometri analitik, yang intinya adalah mampu mereduksi suatu permasalahan geometri menjadi permasalahan aritmatika atau aljabar.
Definisi 11.Koordinat vektor pada bidang terhadap sistem koordinat kartesius (0;;) disebut koordinat vektor ini dalam basis,.
Untuk mencari koordinat vektor , Anda perlu memperluasnya ke basis ,:
X + y, dimana koefisien x, y dan akan menjadi koordinat vektor relatif terhadap sistem Cartesian (0;;).
Sistem koordinat kartesius (affine) dalam ruang.
Biarkan beberapa titik O(awal) ditetapkan dalam ruang dan basis vektor dipilih
Definisi 12. Koleksi (0;;;) disebut Sistem koordinasi cartesian di ruang hampa.
Definisi 13. Tiga garis melalui O dan sejajar dengan vektor , ,, ditelepon sumbu koordinat dan melambangkan masing-masing Oz, Oy, Oz Kami akan selalu menggambarkan vektor , berbaring di sumbu masing-masing.
Definisi 14.koordinat titik M dalam ruang relatif terhadap sistem koordinat kartesius (0;;;) disebut koordinat vektor jari-jarinya dalam sistem ini.
Dengan kata lain koordinat titik M adalah tiga bilangan x, y, z berturut-turut absis dan ordinat titik M; koordinat ketiga z disebut penerapan titik M.
Pengenalan sistem koordinat Kartesius dalam ruang memungkinkan seseorang untuk membuat korespondensi satu-satu antara titik M dalam ruang dan rangkap tiga bilangan x, y, z.
Definisi 15.Koordinat vektor dalam ruang relatif terhadap sistem koordinat Cartesian (0;;;) adalah koordinat vektor ini sebagai basis;;.
Contoh 2
Diberikan tiga simpul berurutan pada jajar genjang A(-2;1),B(1;3),C(4;0). Temukan koordinat keempatnya D. Sistem koordinatnya affine.
Larutan.
Vektor-vektornya sama, artinya koordinatnya sama (koefisien kombinasi linier):
= (3;2), =(4-x;-y); 
. Jadi D(1;-2).
Menjawab: D(1;-2).
Ketergantungan linier. Konsep dasar
Definisi 16. Vektor, disebut bergantung linier, jika ada angka
Definisi ketergantungan linier vektor setara dengan ini: vektor bergantung linier jika salah satu vektor dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor lainnya (atau diperluas ke vektor lainnya).
Vektor , disebut bergantung linier jika persamaan (***) dimungkinkan dalam satu-satunya kasus ketika
Konsep ketergantungan linier memegang peranan besar dalam aljabar linier. Dalam aljabar vektor, ketergantungan linier mempunyai arti geometri sederhana.
Dua vektor yang segaris adalah bergantung linier, dan sebaliknya, dua vektor yang tidak segaris bebas linier.
Tiga vektor koplanar bergantung linier, dan sebaliknya, tiga vektor non-koplanar bebas linier.
Setiap empat vektor bergantung linier.
Definisi 17. Tiga vektor bebas linier disebut dasar ruang itu. vektor apa pun dapat direpresentasikan sebagai beberapa.
Definisi 18. Dua buah vektor bebas linier yang terletak pada suatu bidang disebut dasar pesawat, itu. vektor apa pun yang terletak pada bidang ini dapat direpresentasikan sebagai kombinasi vektor linier.
Tugas untuk keputusan independen.
vektor untuk mencari koordinat dalam basis ini.
