geser 3

Gorner Williams George (1786-22 September 1837) adalah seorang matematikawan Inggris. Lahir di Bristol. Dia belajar dan bekerja di sana, kemudian di sekolah Bath. Pekerjaan dasar pada aljabar. Pada tahun 1819 menerbitkan sebuah metode untuk perkiraan perhitungan akar nyata dari polinomial, yang sekarang disebut metode Ruffini-Horner (metode ini dikenal orang Cina pada awal abad ke-13).Skema untuk membagi polinomial dengan binomial x-a dinamai Horner.

geser 4

SKEMA HORNER

Metode pembagian polinomial derajat ke-n dengan binomial linier - a, berdasarkan fakta bahwa koefisien hasil bagi tidak lengkap dan sisa r terkait dengan koefisien polinomial habis dibagi dan dengan rumus:

geser 5

Perhitungan menurut skema Horner ditempatkan dalam tabel:

Contoh 1 Bagi Hasil bagi yang tidak lengkap adalah x3-x2+3x - 13 dan sisanya adalah 42=f(-3).

geser 6

Keuntungan utama dari metode ini adalah kekompakan notasi dan kemampuan untuk membagi polinomial menjadi binomial dengan cepat. Faktanya, skema Horner adalah bentuk lain dari pencatatan metode pengelompokan, meskipun, tidak seperti yang terakhir, ini sepenuhnya non-deskriptif. Jawabannya (faktorisasi) di sini muncul dengan sendirinya, dan kita tidak melihat proses untuk mendapatkannya. Kami tidak akan membahas pembenaran ketat skema Horner, tetapi hanya menunjukkan cara kerjanya.

Geser 7

Contoh2.

Kami membuktikan bahwa polinomial P(x)=x4-6x3+7x-392 habis dibagi x-7, dan temukan hasil bagi. Larutan. Menggunakan skema Horner, kami menemukan (7): Oleh karena itu kami memperoleh (7)=0, yaitu. sisa pembagian polinomial dengan x-7 adalah nol dan, oleh karena itu, polinomial P (x) adalah kelipatan dari (x-7).Dalam hal ini, angka-angka pada baris kedua tabel adalah koefisien dari hasil bagi dari membagi P (x) dengan (x-7), oleh karena itu P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

Geser 8

Faktorkan polinomial x3 - 5x2 - 2x + 16.

Polinomial ini memiliki koefisien bilangan bulat. Jika bilangan bulat adalah akar dari polinomial ini, maka itu adalah pembagi dari angka 16. Jadi, jika polinomial ini memiliki akar bilangan bulat, maka ini hanya dapat berupa angka ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Dengan verifikasi langsung, kami memastikan bahwa angka 2 adalah akar dari polinomial ini, yaitu x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2)Q(x), di mana Q(x) adalah polinomial kedua derajat

Geser 9

Angka yang dihasilkan 1, 3, 8 adalah koefisien polinomial, yang diperoleh dengan membagi polinomial asli dengan x - 2. Jadi, hasil pembagiannya adalah: 1 x2 + (-3)x + (- 8) = x2 - 3x - 8. Derajat polinomial yang diperoleh dari hasil pembagian selalu 1 lebih kecil dari derajat polinomial aslinya. Jadi: x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2)(x2 - 3x - 8).

Saat memecahkan persamaan dan pertidaksamaan, sering kali menjadi perlu untuk memfaktorkan polinomial yang derajatnya tiga atau lebih tinggi. Pada artikel ini, kita akan melihat cara termudah untuk melakukan ini.

Seperti biasa, mari kita beralih ke teori untuk meminta bantuan.

teorema Bezout menyatakan bahwa sisa pembagian polinomial dengan binomial adalah .

Tapi bukan teorema itu sendiri yang penting bagi kita, tapi akibat wajar dari itu:

Jika bilangan tersebut adalah akar suatu polinomial, maka polinomial tersebut habis dibagi tanpa sisa oleh binomial tersebut.

Kita dihadapkan dengan tugas entah bagaimana menemukan setidaknya satu akar polinomial, kemudian membagi polinomial dengan , di mana adalah akar polinomial. Hasilnya, kita mendapatkan polinomial yang derajatnya lebih kecil satu dari derajat aslinya. Dan kemudian, jika perlu, Anda dapat mengulangi prosesnya.

Tugas ini dibagi menjadi dua: cara mencari akar polinomial, dan cara membagi polinomial menjadi binomial.

Mari kita lihat lebih dekat poin-poin ini.

1. Cara mencari akar polinomial.

Pertama, kita periksa apakah angka 1 dan -1 adalah akar dari polinomial.

Fakta-fakta berikut akan membantu kita di sini:

Jika jumlah semua koefisien suatu polinomial adalah nol, maka bilangan tersebut adalah akar dari polinomial tersebut.

Misalnya, dalam polinomial, jumlah koefisien sama dengan nol: . Sangat mudah untuk memeriksa apa akar polinomial.

Jika jumlah koefisien suatu polinomial pada derajat genap sama dengan jumlah koefisien pada derajat ganjil, maka bilangan tersebut adalah akar dari polinomial tersebut. Suku bebas dianggap sebagai koefisien pada derajat genap, karena , a adalah bilangan genap.

Misalnya, dalam polinomial jumlah koefisien pada derajat genap adalah : , dan jumlah koefisien pada derajat ganjil adalah : . Sangat mudah untuk memeriksa apa akar polinomial.

Jika 1 atau -1 bukan akar polinomial, maka kita lanjutkan.

Untuk polinomial derajat tereduksi (yaitu, polinomial di mana koefisien utama - koefisien - sama dengan satu), rumus Vieta valid:

Dimana akar-akar polinomialnya.

Ada juga rumus Vieta mengenai koefisien polinomial yang tersisa, tetapi rumus inilah yang menarik bagi kami.

Dari rumus Vieta ini dapat disimpulkan bahwa jika akar-akar polinomial adalah bilangan bulat, maka mereka adalah pembagi dari suku bebasnya, yang juga merupakan bilangan bulat.

Berdasarkan ini, kita perlu menguraikan suku bebas polinomial menjadi faktor-faktor, dan secara berurutan, dari yang lebih kecil ke yang lebih besar, periksa faktor mana yang merupakan akar dari polinomial tersebut.

Pertimbangkan, misalnya, polinomial

Pembagi anggota gratis: ; ; ;

Jumlah semua koefisien polinomial adalah sama, oleh karena itu, angka 1 bukan akar dari polinomial.

Jumlah koefisien pada pangkat genap:

Jumlah koefisien pada pangkat ganjil:

Oleh karena itu, bilangan -1 juga bukan merupakan akar dari polinomial.

Mari kita periksa apakah angka 2 adalah akar dari polinomial: oleh karena itu, angka 2 adalah akar dari polinomial. Oleh karena itu, menurut teorema Bezout, polinomial habis dibagi tanpa sisa oleh binomial.

2. Bagaimana membagi polinomial menjadi binomial.

Polinomial dapat dibagi menjadi binomial dengan kolom.

Kami membagi polinomial menjadi kolom binomial:

Ada cara lain untuk membagi polinomial menjadi binomial - skema Horner.

Tonton video ini untuk memahami cara membagi polinomial dengan binomial dengan kolom, dan menggunakan skema Horner.

Saya perhatikan bahwa jika, ketika membagi dengan kolom, beberapa derajat yang tidak diketahui tidak ada dalam polinomial asli, kami menulis 0 sebagai gantinya - seperti ketika menyusun tabel untuk skema Horner.

Jadi, jika kita perlu membagi polinomial menjadi binomial dan sebagai hasil pembagian kita mendapatkan polinomial, maka kita dapat menemukan koefisien polinomial menggunakan skema Horner:

Kami juga dapat menggunakan Skema Horner untuk memeriksa apakah angka yang diberikan adalah akar dari polinomial: jika angka tersebut adalah akar dari polinomial, maka sisa pembagian polinomial dengan adalah nol, yaitu, di kolom terakhir dari baris kedua Horner skema, kita mendapatkan 0.

Menggunakan skema Horner, kami "membunuh dua burung dengan satu batu": pada saat yang sama kami memeriksa apakah nomor tersebut adalah akar dari polinomial dan membagi polinomial ini dengan binomial.

Contoh. Selesaikan persamaan:

1. Kami menulis pembagi dari istilah bebas, dan kami akan mencari akar polinomial di antara pembagi dari istilah bebas.

Pembagi 24:

2. Periksa apakah angka 1 adalah akar dari polinomial.

Jumlah koefisien polinomial, oleh karena itu, angka 1 adalah akar dari polinomial.

3. Bagilah polinomial asli menjadi binomial menggunakan skema Horner.

A) Tulis koefisien polinomial asli pada baris pertama tabel.

Karena anggota yang mengandung tidak ada, pada kolom tabel di mana koefisien dari harus ditulis, kami menulis 0. Di sebelah kiri, kami menulis akar yang ditemukan: angka 1.

B) Isi baris pertama tabel.

Di kolom terakhir, seperti yang diharapkan, kami mendapat nol, kami membagi polinomial asli menjadi binomial tanpa sisa. Koefisien polinomial yang dihasilkan dari pembagian ditunjukkan dengan warna biru di baris kedua tabel:

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa angka 1 dan -1 bukan akar dari polinomial

C) Mari kita lanjutkan tabelnya. Mari kita periksa apakah angka 2 adalah akar dari polinomial:

Jadi derajat polinomial yang diperoleh sebagai hasil pembagian dengan satu, lebih kecil dari derajat polinomial asli, oleh karena itu, jumlah koefisien dan jumlah kolom kurang satu.

Di kolom terakhir, kami mendapat -40 - angka yang tidak sama dengan nol, oleh karena itu, polinomial habis dibagi oleh binomial dengan sisa, dan angka 2 bukan akar dari polinomial.

C) Mari kita periksa apakah angka -2 adalah akar dari polinomial. Karena upaya sebelumnya tidak berhasil, sehingga tidak ada kebingungan dengan koefisien, saya akan menghapus baris yang sesuai dengan upaya ini:

Bagus sekali! Di sisa, kami mendapat nol, oleh karena itu, polinomial dibagi menjadi binomial tanpa sisa, oleh karena itu, angka -2 adalah akar dari polinomial. Koefisien polinomial, yang diperoleh dengan membagi polinomial dengan binomial, ditunjukkan dalam tabel berwarna hijau.

Sebagai hasil dari pembagian, kami mendapatkan trinomial persegi , yang akarnya mudah ditemukan dengan teorema Vieta:

Jadi, akar-akar persamaan awal:

{}

Menjawab: ( }

Situs "guru matematika profesional" melanjutkan rangkaian artikel metodologis tentang pengajaran. Saya mempublikasikan deskripsi metode pekerjaan saya dengan topik kurikulum sekolah yang paling kompleks dan bermasalah. Materi ini akan bermanfaat bagi guru dan tutor matematika yang bekerja sama dengan siswa kelas 8-11 baik di program reguler maupun di program kelas matematika.

Seorang tutor matematika tidak selalu bisa menjelaskan materi yang disajikan dengan buruk dalam buku teks. Sayangnya, topik seperti itu semakin banyak, dan kesalahan penyajian, mengikuti penulis manual, dibuat secara massal. Hal ini berlaku tidak hanya untuk tutor pemula dalam matematika dan tutor paruh waktu (tutor - mahasiswa dan tutor universitas), tetapi juga untuk guru berpengalaman, tutor - profesional, tutor dengan pengalaman dan kualifikasi. Jauh dari semua guru matematika memiliki bakat korektor yang kompeten dari kekasaran buku teks sekolah. Tidak semua orang juga memahami bahwa koreksi (atau penambahan) ini diperlukan. Hanya sedikit yang terlibat dalam mengadaptasi materi untuk persepsi kualitatifnya oleh anak-anak. Sayangnya, waktu telah berlalu ketika guru matematika, bersama dengan ahli metodologi dan penulis publikasi, secara besar-besaran membahas setiap huruf dari buku teks. Di masa lalu, sebelum buku teks diperkenalkan ke sekolah, analisis dan studi serius terhadap hasil belajar dilakukan. Waktunya telah tiba bagi para dilettantes yang berusaha membuat manual menjadi universal, menyesuaikannya dengan standar kelas matematika yang kuat.

Perlombaan untuk meningkatkan jumlah informasi hanya mengarah pada penurunan kualitas asimilasinya dan, sebagai akibatnya, penurunan tingkat pengetahuan nyata dalam matematika. Tapi tidak ada yang memperhatikan ini. Dan anak-anak kita dipaksa untuk belajar di kelas 8 apa yang kita alami di institut: teori probabilitas, memecahkan persamaan derajat tinggi, dan yang lainnya. Adaptasi materi dalam buku untuk persepsi penuh oleh anak meninggalkan banyak hal yang diinginkan dan tutor matematika dipaksa untuk mengatasi hal ini.

Mari kita bicara tentang metodologi untuk mengajar topik tertentu seperti "membagi sudut polinomial dengan polinomial", lebih dikenal dalam matematika dewasa sebagai "teorema Bezout dan skema Horner." Hanya beberapa tahun yang lalu, pertanyaan itu tidak begitu mendesak bagi seorang tutor matematika, karena dia tidak termasuk dalam kurikulum sekolah utama. Sekarang penulis buku teks yang dihormati, yang diedit oleh Telyakovsky, telah membuat perubahan pada edisi terbaru yang terbaik, menurut saya, buku teks, dan, setelah benar-benar merusaknya, hanya menambahkan kekhawatiran yang tidak perlu kepada tutor. Guru sekolah dan kelas yang tidak memiliki status matematika, dengan fokus pada inovasi penulis, mulai lebih sering memasukkan paragraf tambahan dalam pelajaran mereka, dan anak-anak yang ingin tahu, melihat halaman-halaman indah dari buku teks matematika mereka, semakin bertanya kepada tutor: “Apa pembagian dengan sudut ini? Apakah kita akan melalui ini? Bagaimana cara berbagi sudut? Tidak ada persembunyian dari pertanyaan langsung seperti itu. Tutor harus memberi tahu anak itu sesuatu.

Tetapi sebagai? Mungkin, saya tidak akan menjelaskan metode bekerja dengan topik jika disajikan dengan benar dalam buku teks. Bagaimana semuanya terjadi dengan kita? Buku teks perlu dicetak dan dijual. Dan untuk ini mereka perlu diperbarui secara teratur. Apakah guru universitas mengeluh bahwa anak-anak datang kepada mereka dengan kepala kosong, tanpa pengetahuan dan keterampilan? Apakah persyaratan untuk pengetahuan matematika berkembang? Bagus sekali! Mari kita hapus beberapa latihan, dan alih-alih menyisipkan topik yang dipelajari di program lain. Mengapa buku pelajaran kita lebih buruk? Mari kita sertakan beberapa bab tambahan. Anak sekolah tidak tahu aturan pembagian sudut? Ini adalah matematika dasar. Kita harus membuat paragraf seperti itu opsional, dengan judul "bagi mereka yang ingin tahu lebih banyak." Guru melawan? Dan apa yang kita pedulikan tentang tutor pada umumnya? Metodis dan guru sekolah juga menentangnya? Kami tidak akan memperumit materi dan mempertimbangkan bagian yang paling sederhana.

Dan ini adalah di mana itu dimulai. Kesederhanaan topik dan kualitas asimilasinya terletak, pertama-tama, pada pemahaman logikanya, dan bukan pada kenyataan bahwa, menurut resep penulis buku teks, untuk melakukan serangkaian operasi tertentu yang tidak secara jelas berhubungan satu sama lain. Jika tidak, kabut di kepala siswa akan disediakan. Jika penulis mengandalkan siswa yang relatif kuat (tetapi belajar sesuai dengan program reguler), maka Anda tidak boleh mengirimkan topik dalam bentuk tim. Apa yang kita lihat di buku teks? Anak-anak, perlu untuk membagi menurut aturan ini. Dapatkan polinomial di sudut. Dengan demikian, polinomial asli akan difaktorkan. Namun, tidak jelas mengapa istilah di bawah sudut dipilih dengan cara ini, mengapa mereka perlu dikalikan dengan polinomial di sudut, dan kemudian dikurangi dari sisa saat ini - tidak jelas. Dan yang paling penting, tidak jelas mengapa monomial yang dipilih harus ditambahkan pada akhirnya dan mengapa kurung yang dihasilkan akan menjadi perluasan dari polinomial asli. Setiap matematikawan yang kompeten akan memberikan tanda tanya tebal atas penjelasan yang diberikan dalam buku teks.

Saya memberikan perhatian kepada tutor dan guru matematika solusi saya untuk masalah tersebut, yang secara praktis membuat semua yang dinyatakan dalam buku teks menjadi jelas bagi siswa. Faktanya, kita akan membuktikan teorema Bezout: jika bilangan a adalah akar dari polinomial, maka polinomial ini dapat diurai menjadi faktor, salah satunya adalah x-a, dan yang kedua diperoleh dari yang asli dengan salah satu dari tiga cara : dengan mengekstraksi faktor linier melalui transformasi, membagi dengan sudut, atau menurut skema Horner. Dengan formulasi seperti itu akan lebih mudah bagi seorang tutor matematika untuk bekerja.

Apa itu metodologi pengajaran? Pertama-tama, ini adalah urutan yang jelas dalam urutan penjelasan dan contoh, yang menjadi dasar penarikan kesimpulan matematis. Tidak terkecuali topik ini. Sangat penting bagi seorang tutor matematika untuk memperkenalkan anak pada teorema Bezout sebelum pembagian sudut dilakukan. Ini sangat penting! Cara terbaik untuk memahami adalah dengan contoh nyata. Mari kita ambil beberapa polinomial dengan akar yang dipilih dan tunjukkan teknik faktorisasinya menggunakan metode transformasi identik yang akrab bagi siswa dari kelas 7. Dengan penjelasan yang sesuai, aksen dan tips dari seorang tutor matematika, sangat mungkin untuk menyampaikan materi tanpa perhitungan matematis umum, koefisien dan derajat yang berubah-ubah.

Tips penting untuk tutor matematika- ikuti instruksi dari awal hingga akhir dan jangan ubah urutan ini.

Jadi, katakanlah kita memiliki polinomial. Jika kita mengganti angka 1 sebagai ganti x, maka nilai polinomialnya akan menjadi nol. Jadi x=1 adalah akarnya. Mari kita coba menguraikan menjadi dua istilah sehingga salah satunya adalah produk dari ekspresi linier dan beberapa monomial, dan yang kedua akan memiliki derajat satu kurang dari . Artinya, kami mewakilinya dalam bentuk

Kami memilih monomial untuk bidang merah sehingga ketika dikalikan dengan suku utama, itu sepenuhnya bertepatan dengan suku utama polinomial asli. Jika siswa tersebut bukan yang terlemah, maka ia akan cukup mampu memberikan ekspresi yang diinginkan kepada tutor matematika:. Tutor harus segera diminta untuk memasukkannya ke dalam kotak merah dan menunjukkan apa yang akan terjadi ketika mereka dibuka. Yang terbaik adalah menandatangani polinomial sementara virtual ini di bawah panah (di bawah foto), menyorotnya dengan beberapa warna, misalnya, biru. Ini akan membantu Anda memilih summand untuk bidang merah, yang disebut residual dari seleksi. Saya akan menyarankan tutor untuk menunjukkan di sini bahwa sisa ini dapat ditemukan dengan pengurangan. Melakukan operasi ini, kita mendapatkan:

Guru matematika harus menarik perhatian siswa pada fakta bahwa dengan mensubstitusi unit dalam persamaan ini, kita dijamin mendapatkan nol di sisi kirinya (karena 1 adalah akar dari polinomial asli), dan di kanan, tentu saja, kami juga akan mengatur istilah pertama ke nol. Jadi, tanpa verifikasi apa pun, kita dapat mengatakan bahwa unit adalah akar dari "residu hijau".

Mari kita tangani dengan cara yang sama seperti yang kita lakukan dengan polinomial asli, mengekstrak darinya faktor linier yang sama . Tutor matematika menggambar dua kotak di depan siswa dan meminta mereka untuk mengisi dari kiri ke kanan.

Siswa memilih untuk tutor monomial untuk bidang merah sehingga ketika dikalikan dengan suku tertinggi dari ekspresi linier, memberikan suku tertinggi dari polinomial diperluas. Kami memasukkannya ke dalam bingkai, segera buka braket dan sorot dengan warna biru ekspresi yang perlu dikurangi dari yang diperluas. Melakukan operasi ini, kita mendapatkan

Dan akhirnya, melakukan hal yang sama dengan sisa terakhir

akhirnya mendapatkan

Sekarang kita keluarkan ekspresi dari kurung dan kita akan menghadapi dekomposisi polinomial asli menjadi faktor, salah satunya adalah "x dikurangi akar yang dipilih".

Agar siswa tidak berpikir bahwa "residu hijau" terakhir secara tidak sengaja terurai menjadi faktor-faktor yang diperlukan, tutor matematika harus menunjukkan properti penting dari semua residu hijau - masing-masing memiliki akar 1. Sejak derajat ini residu berkurang, maka tidak peduli apa tingkat awal tidak ada polinomial yang diberikan kepada kami, cepat atau lambat, kami akan mendapatkan "residu hijau" linier dengan akar 1, dan oleh karena itu harus didekomposisi menjadi produk dari nomor tertentu dan sebuah ekspresi.

Setelah pekerjaan persiapan seperti itu, tidak akan sulit bagi tutor matematika untuk menjelaskan kepada siswa apa yang terjadi ketika membagi sudut. Ini adalah proses yang sama, hanya dalam bentuk yang lebih pendek dan lebih kompak, tanpa tanda yang sama dan tanpa menulis ulang istilah yang dipilih yang sama. Kami menulis polinomial dari mana pengali linier dialokasikan di sebelah kiri sudut, mengumpulkan monomial merah yang dipilih pada suatu sudut (sekarang menjadi jelas mengapa mereka harus dijumlahkan), untuk mendapatkan "polinomial biru", Anda perlu mengalikan "merah" dengan x-1, dan kemudian kurangi dari arus yang dipilih, bagaimana hal itu dilakukan dalam pembagian angka yang biasa dalam kolom (ini adalah analogi dengan yang dipelajari sebelumnya). "Residu hijau" yang dihasilkan dikenai seleksi baru dan pemilihan "monomi merah". Begitu seterusnya sampai diperoleh “residu hijau” nol. Yang paling penting adalah bahwa nasib selanjutnya dari polinomial tertulis di atas dan di bawah sudut menjadi jelas bagi siswa. Jelas, ini adalah tanda kurung, produk yang sama dengan polinomial asli.

Tahap selanjutnya dalam pekerjaan seorang tutor dalam matematika adalah perumusan teorema Bezout. Nyatanya, rumusannya dengan pendekatan tutor ini menjadi jelas: jika bilangan a adalah akar dari polinomial, maka dapat didekomposisi menjadi faktor, salah satunya, dan yang lainnya diperoleh dari yang asli di salah satu dari tiga cara:

• dekomposisi langsung (analog dengan metode pengelompokan)
• membagi dengan sudut (dalam kolom)
• melalui skema Horner

Saya harus mengatakan bahwa jauh dari semua tutor matematika menunjukkan skema horner kepada siswa, dan tidak semua guru sekolah (untungnya untuk tutor itu sendiri) masuk begitu dalam ke topik dalam pelajaran. Namun, untuk siswa kelas matematika, saya tidak melihat alasan untuk berhenti pada pembagian panjang. Selain itu, yang paling nyaman dan cepat Teknik dekomposisi didasarkan tepat pada skema Horner. Untuk menjelaskan kepada anak dari mana asalnya, cukup dengan melacak penampilan koefisien yang lebih tinggi dalam residu hijau menggunakan contoh membagi dengan sudut. Menjadi jelas bahwa koefisien tertinggi dari polinomial awal dihancurkan menjadi koefisien "monomial merah" pertama, dan selanjutnya dari koefisien kedua dari polinomial atas saat ini. dikurangi hasil mengalikan koefisien "monomial merah" saat ini dengan . Oleh karena itu, Anda bisa menambahkan hasil perkalian dengan . Setelah memusatkan perhatian siswa pada tindakan spesifik dengan koefisien, tutor matematika dapat menunjukkan bagaimana tindakan ini biasanya dilakukan tanpa menuliskan variabelnya sendiri. Untuk melakukan ini, lebih mudah untuk memasukkan akar dan koefisien dari polinomial asli dalam urutan prioritas ke dalam tabel berikut:

Jika ada derajat yang hilang dalam polinomial, maka koefisien nolnya dimasukkan secara paksa ke dalam tabel. Koefisien "polinomial merah" secara bergantian dimasukkan ke garis bawah sesuai dengan aturan "kait":

Akar dikalikan dengan "koefisien merah" terakhir yang dihancurkan, ditambahkan ke koefisien berikutnya dari baris atas dan hasilnya dihancurkan ke garis bawah. Di kolom terakhir, kami dijamin mendapatkan koefisien tertinggi dari "keseimbangan hijau" terakhir, yaitu nol. Setelah proses selesai, nomor terjepit di antara akar yang cocok dan nol sisa ternyata menjadi koefisien faktor kedua (nonlinier).

Karena akar a memberikan nol pada akhir baris bawah, maka skema Horner dapat digunakan untuk memeriksa bilangan untuk pangkat akar polinomial. Jika teorema khusus pada pemilihan akar rasional. Semua kandidat untuk gelar ini yang diperoleh dengan bantuannya dimasukkan secara bergantian dari kiri ke dalam skema Horner. Segera setelah kita mendapatkan nol, angka yang diuji akan menjadi akarnya, dan pada saat yang sama di garisnya kita akan mendapatkan koefisien ekspansi polinomial asli menjadi faktor. Sangat nyaman.

Sebagai kesimpulan, saya ingin mencatat bahwa untuk pengenalan skema Horner yang akurat, serta untuk konsolidasi praktis topik, seorang tutor matematika harus memiliki jumlah jam yang cukup. Seorang tutor yang bekerja dengan mode "sekali seminggu" tidak boleh terlibat dalam membagi sudut. Pada Ujian Negara Terpadu dalam matematika dan pada GIA dalam matematika, tidak mungkin bahwa di bagian pertama akan pernah ada persamaan tingkat ketiga, diselesaikan dengan cara seperti itu. Jika seorang tutor mempersiapkan seorang anak untuk ujian matematika di Universitas Negeri Moskow, studi tentang topik tersebut menjadi wajib. Guru universitas sangat menyukai, tidak seperti penyusun Unified State Examination, untuk memeriksa kedalaman pengetahuan pelamar.

Kolpakov Alexander Nikolaevich, guru matematika Moskow, Strogino

Tujuan Pelajaran:

• mengajar siswa untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi menggunakan skema Horner;
• mengembangkan kemampuan untuk bekerja berpasangan;
• untuk membuat, bersama dengan bagian utama kursus, dasar untuk mengembangkan kemampuan siswa;
• membantu siswa menilai potensinya, mengembangkan minat pada matematika, kemampuan berpikir, berbicara tentang topik.

Peralatan: kartu untuk bekerja dalam kelompok, poster dengan skema Horner.

Metode mengajar: kuliah, cerita, penjelasan, kinerja latihan.

Bentuk kendali: verifikasi masalah solusi independen, pekerjaan independen.

Selama kelas

1. Momen organisasi

2. Aktualisasi Pengetahuan Siswa

Teorema apa yang memungkinkan Anda untuk menentukan apakah bilangan tersebut adalah akar dari persamaan yang diberikan (untuk merumuskan teorema)?

teorema Bezout. Sisa pembagian polinomial P(x) dengan binomial x-c sama dengan P(c), bilangan c disebut akar dari polinomial P(x) jika P(c)=0. Teorema ini memungkinkan, tanpa melakukan operasi pembagian, untuk menentukan apakah bilangan yang diberikan adalah akar dari polinomial.

Pernyataan mana yang memudahkan pencarian akar?

a) Jika koefisien terkemuka dari polinomial sama dengan satu, maka akar dari polinomial harus dicari di antara pembagi dari istilah bebas.

b) Jika jumlah koefisien polinomial adalah 0, maka salah satu akarnya adalah 1.

c) Jika jumlah koefisien di tempat genap sama dengan jumlah koefisien di tempat ganjil, maka salah satu akarnya sama dengan -1.

d) Jika semua koefisiennya positif, maka akar-akar polinomialnya adalah bilangan negatif.

e) Suatu polinomial berderajat ganjil memiliki paling sedikit satu akar real.

3. Mempelajari materi baru

Saat menyelesaikan seluruh persamaan aljabar, kita harus menemukan nilai akar polinomial. Operasi ini dapat sangat disederhanakan jika perhitungan dilakukan sesuai dengan algoritma khusus yang disebut skema Horner. Skema ini dinamai ilmuwan Inggris William George Horner. Skema Horner adalah algoritma untuk menghitung hasil bagi dan sisa pembagian polinomial P(x) dengan x-c. Secara singkat, cara kerjanya.

Diberikan polinomial sembarang P(x)=a 0 x n + a 1 x n-1 + ...+ a n-1 x+ a n. Pembagian polinomial ini dengan x-c adalah representasinya dalam bentuk P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Pribadi g (x) \u003d pada 0 x n-1 + pada n x n-2 + ... + pada n-2 x + pada n-1, di mana pada 0 \u003d a 0, pada n \u003d sv n- 1 + a n , n=1,2,3,…n-1. Sisa r (x) \u003d St n-1 + a n. Metode perhitungan ini disebut skema Horner. Kata "skema" dalam nama algoritma disebabkan oleh fakta bahwa biasanya eksekusinya diformalkan sebagai berikut. Gambar pertama tabel 2(n+2). Angka c ditulis di sel kiri bawah, dan koefisien polinomial P (x) ditulis di baris atas. Dalam hal ini, sel kiri atas dibiarkan kosong.

	pada 0 = a 0	dalam 1 \u003d sv 1 + a 1	dalam 2 \u003d sv 1 + sebuah 2		dalam n-1 \u003d sv n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=sv n-1 +a n

Bilangan, yang setelah eksekusi algoritma ternyata ditulis di sel kanan bawah, adalah sisa pembagian polinomial P(x) dengan x-c. Angka-angka lain pada 0 , pada 1 , pada 2 ,… dari baris bawah adalah koefisien hasil bagi.

Misalnya: Bagi polinomial P (x) \u003d x 3 -2x + 3 dengan x-2.

Kami mendapatkan bahwa x 3 -2x + 3 \u003d (x-2) (x 2 + 2x + 2) + 7.

4. Konsolidasi materi yang dipelajari

Contoh 1: Faktorkan polinomial P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 dengan koefisien bilangan bulat.

Kami mencari akar bilangan bulat di antara pembagi dari istilah bebas -1: 1; -satu. Mari kita buat tabel:

X \u003d -1 - root

P (x) \u003d (x + 1) (2x 3 -9x 2 + 6x -1)

Mari kita periksa 1/2.

					X=1/2 - akar

Oleh karena itu, polinomial P(x) dapat direpresentasikan sebagai

P (x) \u003d (x + 1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) \u003d (x + 1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Contoh 2: Selesaikan persamaan 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Karena jumlah koefisien polinomial yang ditulis di ruas kiri persamaan adalah nol, maka salah satu akarnya adalah 1. Mari kita gunakan skema Horner:

						X=1 - akar

Kami mendapatkan P (x) \u003d (x-1) (2x 3 -3x 2 \u003d 2x +2). Kami akan mencari akar di antara pembagi dari istilah bebas 2.

Kami menemukan bahwa tidak ada lagi akar utuh. Mari kita periksa 1/2; -1/2.

					X \u003d -1/2 - root

Jawaban 1; -1/2.

Contoh 3: Selesaikan persamaan 5x 4 - 3x 3 - 4x 2 -3x + 5 = 0.

Kita akan mencari akar persamaan ini di antara pembagi dari suku bebas 5:1; -1; 5; -5. x=1 adalah akar persamaan, karena jumlah koefisiennya adalah nol. Mari kita gunakan skema Horner:

kami mewakili persamaan sebagai produk dari tiga faktor: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) \u003d 0. Memecahkan persamaan kuadrat 5x 2 -7x+5=0, kita dapatkan D=49-100=-51, tidak ada akar.

Kartu 1

1. Faktorkan polinomialnya: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Selesaikan persamaan: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Kartu 2

1. Faktorkan polinomialnya: x 4 -x 3 -7x 2 + 13x-6
2. Selesaikan persamaan: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Kartu 3

1. Faktorkan: 2x 3 -21x 2 + 37x + 24
2. Selesaikan persamaan: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Kartu 4

1. Faktorkan: 5x 3 -46x 2 + 79x-14
2. Selesaikan persamaan: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Menyimpulkan

Menguji pengetahuan saat menyelesaikan secara berpasangan dilakukan dalam pembelajaran dengan mengenal metode tindakan dan nama jawaban.

Pekerjaan rumah:

Selesaikan persamaan:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x + 1 \u003d 0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 \u003d 4 x 2

d) x 4 + 2x 3 -x-2 \u003d 0

literatur

1. N.Ya. Vilenkin et al., Aljabar dan Permulaan Analisis Kelas 10 (studi mendalam tentang matematika): Pencerahan, 2005.
2. UI Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Solusi persamaan derajat yang lebih tinggi: Volgograd, 2007.
3. S.B. Sistem GashkovNumber dan aplikasinya.

Dll. bersifat umum dan sangat penting untuk mempelajari kursus SELURUH matematika yang lebih tinggi. Hari ini kita akan mengulangi persamaan "sekolah", tetapi bukan hanya persamaan "sekolah" - tetapi persamaan yang ditemukan di mana-mana dalam berbagai tugas vyshmat. Seperti biasa, cerita akan berjalan dengan cara yang diterapkan, yaitu. Saya tidak akan fokus pada definisi, klasifikasi, tetapi akan berbagi dengan Anda pengalaman pribadi saya memecahkan. Informasi ini ditujukan terutama untuk pemula, tetapi pembaca yang lebih siap juga akan menemukan banyak poin menarik untuk diri mereka sendiri. Dan, tentu saja, akan ada materi baru yang melampaui sekolah menengah.

jadi persamaannya... Banyak orang mengingat kata ini dengan gemetar. Apa persamaan "mewah" dengan akar... ...lupakan saja! Karena selanjutnya Anda akan bertemu "perwakilan" yang paling tidak berbahaya dari spesies ini. Atau persamaan trigonometri membosankan dengan puluhan metode penyelesaian. Sejujurnya, aku juga tidak terlalu menyukai mereka... Jangan panik! - maka Anda diharapkan terutama oleh "dandelion" dengan solusi yang jelas dalam 1-2 langkah. Meskipun "burdock", tentu saja, menempel - di sini Anda harus objektif.

Anehnya, dalam matematika yang lebih tinggi jauh lebih umum untuk berurusan dengan persamaan yang sangat primitif seperti linier persamaan.

Apa artinya menyelesaikan persamaan ini? Ini berarti - untuk menemukan nilai TERSEBUT dari "x" (root), yang mengubahnya menjadi kesetaraan sejati. Mari kita membalik "troika" ke kanan dengan perubahan tanda:

dan jatuhkan "dua" ke sisi kanan (atau, hal yang sama - kalikan kedua bagian dengan) :

Untuk memeriksa, kami mengganti piala yang dimenangkan ke dalam persamaan asli:

Persamaan yang benar diperoleh, yang berarti bahwa nilai yang ditemukan memang akar dari persamaan ini. Atau, seperti yang mereka katakan, memenuhi persamaan ini.

Perhatikan bahwa akar juga dapat ditulis sebagai pecahan desimal:
Dan cobalah untuk tidak mengikuti gaya jahat ini! Saya mengulangi alasannya berkali-kali, khususnya, pada pelajaran pertama tentang aljabar yang lebih tinggi.

Omong-omong, persamaan juga dapat diselesaikan "dalam bahasa Arab":

Dan yang paling menarik - catatan ini sepenuhnya legal! Tetapi jika Anda bukan seorang guru, maka lebih baik tidak melakukan ini, karena orisinalitas dapat dihukum di sini =)

Dan sekarang sedikit tentang

metode solusi grafis

Persamaan memiliki bentuk dan akarnya adalah koordinat "x" titik persimpangan grafik fungsi linier dengan grafik fungsi linier (sumbu absis):

Tampaknya contohnya sangat mendasar sehingga tidak ada lagi yang perlu dianalisis di sini, tetapi satu lagi nuansa tak terduga dapat "diperas" darinya: kami mewakili persamaan yang sama dalam bentuk dan memplot grafik fungsi:

Di mana, tolong jangan bingung keduanya: persamaan adalah persamaan, dan fungsi adalah fungsi! Fungsi hanya membantu cari akar persamaannya. Di antaranya mungkin ada dua, tiga, empat, dan bahkan tak terhingga banyaknya. Contoh terdekat dalam pengertian ini adalah semua orang tahu persamaan kuadrat, yang algoritme solusinya diberikan item terpisah formula sekolah "panas". Dan ini bukan kebetulan! Jika Anda dapat memecahkan persamaan kuadrat dan tahu teorema Pythagoras, maka, orang mungkin berkata, “Lantai matematika yang lebih tinggi sudah ada di saku Anda” =) Dibesar-besarkan, tentu saja, tetapi tidak terlalu jauh dari kebenaran!

Dan karena itu, kami tidak terlalu malas dan menyelesaikan beberapa persamaan kuadrat sesuai dengan algoritma standar:

, sehingga persamaan memiliki dua perbedaan sah akar:

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa kedua nilai yang ditemukan benar-benar memenuhi persamaan ini:

Apa yang harus dilakukan jika Anda tiba-tiba lupa algoritme solusi, dan tidak ada alat/bantuan yang tersedia? Situasi seperti itu mungkin muncul, misalnya, dalam ujian atau ujian. Kami menggunakan metode grafik! Dan ada dua cara: Anda bisa membangun secara tepat parabola , sehingga mencari tahu di mana ia memotong sumbu (jika melintasi sama sekali). Tetapi lebih baik bertindak lebih licik: kami menyajikan persamaan dalam bentuk, menggambar grafik fungsi yang lebih sederhana - dan koordinat "x" titik persimpangan mereka, sekilas!


Jika ternyata garis tersebut menyentuh parabola, maka persamaan tersebut memiliki dua akar yang bersesuaian (kelipatan). Jika ternyata garis tersebut tidak memotong parabola, maka tidak ada akar real.

Untuk melakukan ini, tentu saja, Anda harus dapat membangun grafik fungsi dasar, tetapi di sisi lain, keterampilan ini bahkan berada dalam kekuatan anak sekolah.

Dan lagi - persamaan adalah persamaan, dan fungsi , adalah fungsi yang hanya membantu selesaikan persamaannya!

Dan di sini, omong-omong, akan tepat untuk mengingat satu hal lagi: jika semua koefisien persamaan dikalikan dengan angka bukan nol, maka akarnya tidak akan berubah.

Jadi, misalnya, persamaan memiliki akar yang sama. Sebagai "bukti" paling sederhana, saya akan mengeluarkan konstanta dari tanda kurung:
dan tanpa rasa sakit menghapusnya (Saya akan membagi kedua bagian menjadi "minus dua"):

TETAPI! Jika kita mempertimbangkan fungsi , maka di sini sudah tidak mungkin untuk menyingkirkan konstanta! Hanya mungkin untuk mengeluarkan pengganda dari tanda kurung: .

Banyak yang meremehkan metode solusi grafis, menganggapnya sebagai sesuatu yang "tidak bermartabat", dan beberapa bahkan benar-benar melupakan kemungkinan ini. Dan ini pada dasarnya salah, karena merencanakan terkadang hanya menyelamatkan hari!

Contoh lain: misalkan Anda tidak ingat akar persamaan trigonometri paling sederhana:. Rumus umum ada di buku pelajaran sekolah, di semua buku referensi tentang matematika dasar, tetapi tidak tersedia untuk Anda. Namun, memecahkan persamaan sangat penting (jika tidak "dua"). Ada jalan keluar! - kami membuat grafik fungsi:


setelah itu kami dengan tenang menuliskan koordinat "X" dari titik persimpangan mereka:

Ada banyak akar tak terhingga, dan notasi lipatnya diterima dalam aljabar:
, di mana ( – himpunan bilangan bulat) .

Dan, tanpa "berangkat dari meja kas", beberapa kata tentang metode grafis untuk memecahkan ketidaksetaraan dengan satu variabel. Prinsipnya sama. Jadi, misalnya, setiap "x" adalah solusi dari pertidaksamaan, karena sinusoidal terletak hampir seluruhnya di bawah garis lurus. Penyelesaian pertidaksamaan adalah himpunan interval di mana potongan-potongan sinusoidal terletak tepat di atas garis lurus (absis):

atau, singkatnya:

Dan di sini adalah himpunan solusi untuk ketidaksetaraan - kosong, karena tidak ada titik sinusoidal yang terletak di atas garis lurus.

Ada yang tidak jelas? Segera pelajari pelajaran tentang set dan grafik fungsi!

Pemanasan:

Latihan 1

Selesaikan secara grafis persamaan trigonometri berikut:

Jawaban di akhir pelajaran

Seperti yang Anda lihat, untuk mempelajari ilmu eksakta, sama sekali tidak perlu menjejalkan rumus dan buku referensi! Selain itu, ini adalah pendekatan yang pada dasarnya kejam.

Seperti yang saya sudah meyakinkan Anda di awal pelajaran, persamaan trigonometri kompleks dalam kursus standar matematika yang lebih tinggi harus diselesaikan sangat jarang. Semua kompleksitas, sebagai suatu peraturan, diakhiri dengan persamaan seperti , yang solusinya adalah dua kelompok akar, yang diturunkan dari persamaan paling sederhana dan . Jangan terlalu khawatir tentang solusi yang terakhir - lihat di buku atau temukan di Internet =)

Metode penyelesaian grafis juga dapat membantu dalam kasus-kasus yang tidak terlalu sepele. Perhatikan, misalnya, persamaan "beraneka ragam" berikut:

Prospek untuk solusinya terlihat ... mereka tidak melihat sama sekali, tetapi kita hanya perlu menyajikan persamaan dalam bentuk , membangun grafik fungsi dan semuanya akan menjadi sangat sederhana. Gambarnya ada di tengah artikel tentang fungsi sangat kecil (terbuka di tab berikutnya).

Dengan menggunakan metode grafik yang sama, Anda dapat mengetahui bahwa persamaan tersebut sudah memiliki dua akar, dan salah satunya sama dengan nol, dan yang lainnya, ternyata, irasional dan termasuk dalam segmen tersebut. Akar ini dapat dihitung kira-kira, misalnya, metode tangen. Ngomong-ngomong, dalam beberapa tugas, kebetulan diperlukan bukan untuk menemukan akarnya, tetapi untuk mencari tahu apakah mereka ada sama sekali?. Dan di sini juga, gambar dapat membantu - jika grafik tidak berpotongan, maka tidak ada akar.

Akar rasional polinomial dengan koefisien bilangan bulat.
Skema Horner

Dan sekarang saya sarankan Anda mengalihkan pandangan Anda ke Abad Pertengahan dan merasakan suasana unik aljabar klasik. Untuk pemahaman materi yang lebih baik, saya sarankan setidaknya sedikit pengenalan dengan bilangan kompleks.

Mereka adalah yang paling. Polinomial.

Objek yang kita minati akan menjadi polinomial paling umum dari bentuk dengan utuh koefisien. Bilangan asli disebut derajat polinomial, angka - koefisien pada derajat tertinggi (atau hanya koefisien tertinggi), dan koefisiennya adalah anggota gratis.

Saya akan menunjukkan polinomial ini dilipat oleh .

Akar polinomial disebut akar persamaan

Saya suka logika besi =)

Sebagai contoh, kita pergi ke awal artikel:

Tidak ada masalah dengan menemukan akar polinomial dari derajat 1 dan 2, tetapi saat Anda meningkatkan tugas ini menjadi semakin sulit. Tapi di sisi lain, semuanya lebih menarik! Dan inilah bagian kedua dari pelajaran yang akan dikhususkan.

Pertama, secara harfiah setengah layar teori:

1) Menurut akibat wajar teorema dasar aljabar, polinomial derajat memiliki tepat terintegrasi akar. Beberapa akar (atau bahkan semua) bisa menjadi khusus sah. Selain itu, di antara akar-akar nyata bisa ada akar-akar identik (ganda) (minimal dua, maksimal potongan).

Jika beberapa bilangan kompleks adalah akar dari polinomial, maka mengkonjugasikan jumlahnya juga harus merupakan akar dari polinomial ini (akar kompleks konjugasi berbentuk ).

Contoh paling sederhana adalah persamaan kuadrat, yang pertama kali ditemukan pada 8 (Suka) kelas, dan yang akhirnya kami "selesaikan" di topik bilangan kompleks. Saya ingatkan Anda: persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berbeda, atau akar ganda, atau akar kompleks konjugasi.

2) Dari Teorema Bezout maka jika bilangan tersebut adalah akar persamaan, maka polinomial yang bersesuaian dapat difaktorkan:
, Dimana adalah polinomial derajat .

Dan lagi, contoh lama kita: karena adalah akar dari persamaan , maka . Setelah itu, mudah untuk mendapatkan dekomposisi "sekolah" yang terkenal.

Konsekuensi dari teorema Bezout memiliki nilai praktis yang besar: jika kita mengetahui akar persamaan derajat ke-3, maka kita dapat menyatakannya dalam bentuk dan dari persamaan kuadrat mudah untuk mengetahui akar yang tersisa. Jika kita mengetahui akar persamaan derajat ke-4, maka adalah mungkin untuk memperluas sisi kiri menjadi produk, dll.

Dan ada dua pertanyaan di sini:

Pertanyaan satu. Bagaimana menemukan akar ini? Pertama-tama, mari kita definisikan sifatnya: dalam banyak masalah matematika tingkat tinggi diperlukan untuk menemukan rasional, khususnya utuh akar polinomial, dan dalam hal ini, lebih lanjut kita akan tertarik terutama pada mereka .... …mereka sangat bagus, sangat lembut, sehingga Anda hanya ingin menemukannya! =)

Hal pertama yang disarankan sendiri adalah metode pemilihan. Perhatikan, misalnya, persamaan . Tangkapan di sini dalam istilah bebas - jika sama dengan nol, maka semuanya akan menjadi kerawang - kami mengeluarkan "x" dari tanda kurung dan akarnya sendiri "jatuh" ke permukaan:

Tetapi suku bebas kita sama dengan “tiga”, dan oleh karena itu kita mulai mensubstitusi berbagai bilangan ke dalam persamaan yang mengaku disebut “akar”. Pertama-tama, penggantian nilai tunggal menunjukkan dirinya sendiri. Pengganti:

Diterima salah kesetaraan, dengan demikian, unit "tidak cocok." Oke, mari kita masukkan ke dalam:

Diterima benar persamaan! Artinya, nilai adalah akar dari persamaan ini.

Untuk menemukan akar polinomial derajat 3, ada metode analitik (yang disebut rumus Cardano), tetapi sekarang kami tertarik pada masalah yang sedikit berbeda.

Karena - adalah akar dari polinomial kita, maka polinomial tersebut dapat direpresentasikan dalam bentuk dan muncul pertanyaan kedua: bagaimana menemukan "adik"?

Pertimbangan aljabar paling sederhana menunjukkan bahwa untuk ini Anda perlu membagi dengan. Bagaimana cara membagi polinomial dengan polinomial? Metode sekolah yang sama yang membagi bilangan biasa - sebuah "kolom"! Saya membahas metode ini secara rinci dalam contoh pertama pelajaran. Batas Kompleks, dan sekarang kita akan mempertimbangkan metode lain, yang disebut Skema Horner.

Pertama, kita tulis polinomial "senior" dengan semua orang , termasuk koefisien nol:
, setelah itu kami memasukkan koefisien ini (secara berurutan) di baris atas tabel:

Di sebelah kiri kami menulis root:

Saya akan segera membuat reservasi bahwa skema Horner juga berfungsi jika nomor "merah" bukan adalah akar dari polinomial. Namun, jangan terburu-buru.

Kami menurunkan koefisien senior dari atas:

Proses pengisian sel bawah agak mengingatkan pada bordir, di mana "minus satu" adalah semacam "jarum" yang menembus langkah-langkah selanjutnya. Kami mengalikan angka "dihancurkan" dengan (-1) dan menambahkan angka dari sel atas ke produk:

Kami mengalikan nilai yang ditemukan dengan "jarum merah" dan menambahkan koefisien persamaan berikut ke produk:

Dan, akhirnya, nilai yang dihasilkan kembali "diproses" dengan "jarum" dan koefisien atas:

Nol di sel terakhir memberi tahu kita bahwa polinomial telah dibagi menjadi tanpa jejak (seperti seharusnya), sedangkan koefisien ekspansi "dihapus" langsung dari baris bawah tabel:

Jadi, kami pindah dari persamaan ke persamaan yang setara, dan semuanya jelas dengan dua akar yang tersisa (di kasus ini diperoleh akar kompleks konjugasi).

Persamaan, omong-omong, juga dapat diselesaikan secara grafis: build "ritsleting" dan lihat bahwa grafik memotong sumbu x () pada titik. Atau trik "licik" yang sama - kami menulis ulang persamaan dalam bentuk , menggambar grafik dasar dan mendeteksi koordinat "x" dari titik persimpangannya.

Omong-omong, grafik fungsi polinomial apa pun dari derajat ke-3 melintasi sumbu setidaknya sekali, yang berarti bahwa persamaan yang sesuai memiliki paling sedikit satu sah akar. Fakta ini berlaku untuk semua fungsi polinomial berderajat ganjil.

Dan di sini saya juga ingin berhenti di poin penting mengenai terminologi: polinomial dan fungsi polinomial – ini tidak sama! Tetapi dalam praktiknya, mereka sering berbicara, misalnya, tentang "grafik polinomial", yang tentu saja lalai.

Tapi mari kita kembali ke skema Horner. Seperti yang saya sebutkan baru-baru ini, skema ini juga berfungsi untuk nomor lain, tetapi jika nomornya bukan adalah akar persamaan, maka aditif (sisa) bukan nol muncul dalam rumus kami:

Mari kita "mendorong" nilai "tidak berhasil" menurut skema Horner. Pada saat yang sama, akan lebih mudah untuk menggunakan tabel yang sama - kami menuliskan "jarum" baru di sebelah kiri, kami menghancurkan koefisien tertinggi dari atas (panah hijau kiri), dan kita pergi:

Untuk memeriksa, kami membuka tanda kurung dan memberikan istilah seperti:
, OKE.

Sangat mudah untuk melihat bahwa sisanya ("enam") adalah persis nilai polinomial di . Dan sebenarnya - apa itu:
, dan bahkan lebih bagus - seperti ini:

Dari perhitungan di atas, mudah untuk memahami bahwa skema Horner memungkinkan tidak hanya untuk memfaktorkan polinomial, tetapi juga untuk melakukan pemilihan akar yang "beradab". Saya menyarankan agar Anda secara mandiri memperbaiki algoritme perhitungan dengan tugas kecil:

Tugas 2

Menggunakan skema Horner, temukan seluruh akar persamaan dan faktorkan polinomial yang sesuai

Dengan kata lain, di sini Anda perlu memeriksa angka 1, -1, 2, -2, ... - secara berurutan hingga "ditarik" pada kolom terakhir dengan sisa nol. Ini berarti bahwa "jarum" dari garis ini adalah akar dari polinomial

Perhitungan mudah diatur dalam satu tabel. Solusi terperinci dan jawaban di akhir pelajaran.

Metode pemilihan akar baik untuk kasus yang relatif sederhana, tetapi jika koefisien dan/atau derajat polinomialnya besar, maka prosesnya dapat ditunda. Atau mungkin beberapa nilai dari daftar yang sama 1, -1, 2, -2 dan tidak masuk akal untuk dipertimbangkan? Dan, selain itu, akarnya bisa menjadi pecahan, yang akan mengarah pada colekan yang sama sekali tidak ilmiah.

Untungnya, ada dua teorema kuat yang dapat secara signifikan mengurangi penghitungan nilai "kandidat" untuk akar rasional:

Teorema 1 Mempertimbangkan tidak dapat direduksi pecahan , dimana . Jika bilangan tersebut adalah akar persamaan, maka suku bebasnya habis dibagi dan koefisien utamanya habis dibagi.

Khususnya, jika koefisien utamanya adalah , maka akar rasional ini adalah bilangan bulat:

Dan kita mulai mengeksploitasi teorema hanya dari hal yang lezat ini:

Mari kita kembali ke persamaan. Karena koefisien utamanya adalah , akar-akar rasional hipotetis dapat berupa bilangan bulat eksklusif, dan suku bebasnya harus habis dibagi oleh akar-akar ini tanpa sisa. Dan "tiga" hanya bisa dibagi menjadi 1, -1, 3 dan -3. Artinya, kita hanya memiliki 4 "calon akar". Dan, menurut Teorema 1, bilangan rasional lainnya tidak dapat menjadi akar dari persamaan ini DALAM PRINSIP.

Ada sedikit lebih banyak "pelamar" dalam persamaan: istilah bebas dibagi menjadi 1, -1, 2, -2, 4 dan -4.

Harap dicatat bahwa angka 1, -1 adalah "reguler" dari daftar kemungkinan akar (konsekuensi yang jelas dari teorema) dan pilihan terbaik untuk pemeriksaan pertama.

Mari kita beralih ke contoh yang lebih bermakna:

Tugas 3

Larutan: karena koefisien terkemuka , maka akar rasional hipotetis hanya dapat bilangan bulat, sedangkan mereka harus menjadi pembagi dari istilah bebas. "Minus empat puluh" dibagi menjadi pasangan angka berikut:
- total 16 "kandidat".

Dan di sini pikiran yang menggoda segera muncul: apakah mungkin untuk menyingkirkan semua akar negatif atau semua akar positif? Dalam beberapa kasus Anda bisa! Saya akan merumuskan dua tanda:

1) Jika semua Jika koefisien polinomial non-negatif, maka ia tidak dapat memiliki akar positif. Sayangnya, ini bukan kasus kami (Sekarang, jika kami diberi persamaan - maka ya, ketika mengganti nilai polinomial apa pun benar-benar positif, yang berarti bahwa semua bilangan positif (dan juga irasional) tidak bisa menjadi akar persamaan.

2) Jika koefisien untuk pangkat ganjil adalah non-negatif, dan untuk semua pangkat genap (termasuk anggota gratis) negatif, maka polinomial tidak dapat memiliki akar negatif. Ini adalah kasus kami! Melihat lebih dekat, Anda dapat melihat bahwa ketika setiap "x" negatif disubstitusikan ke dalam persamaan, ruas kiri akan benar-benar negatif, yang berarti bahwa akar negatifnya hilang

Jadi, 8 angka tersisa untuk penelitian:

Secara konsisten "mengisi" mereka sesuai dengan skema Horner. Saya harap Anda sudah menguasai perhitungan mental:

Keberuntungan sedang menunggu kami saat menguji "deuce". Jadi, adalah akar dari persamaan yang dipertimbangkan, dan

Masih menyelidiki persamaan . Sangat mudah untuk melakukan ini melalui diskriminan, tetapi saya akan melakukan tes eksponensial dengan cara yang sama. Pertama, perhatikan bahwa istilah bebasnya sama dengan 20, yang berarti menurut Teorema 1 angka 8 dan 40 keluar dari daftar kemungkinan akar, dan nilainya tetap untuk penelitian (satu dieliminasi menurut skema Horner).

Kami menulis koefisien trinomial di baris atas tabel baru dan kami mulai memeriksa dengan "dua" yang sama. Mengapa? Dan karena akarnya bisa kelipatan, tolong: - persamaan ini memiliki 10 akar identik. Tapi jangan menyimpang:

Dan di sini, tentu saja, saya sedikit licik, mengetahui bahwa akarnya rasional. Lagi pula, jika mereka irasional atau kompleks, maka saya akan gagal memeriksa semua angka yang tersisa. Karena itu, dalam praktiknya, berpedoman pada yang diskriminan.

Menjawab: akar rasional: 2, 4, 5

Dalam masalah yang dianalisis, kami beruntung, karena: a) nilai negatif segera turun, dan b) kami menemukan root dengan sangat cepat (dan secara teoritis kami dapat memeriksa seluruh daftar ).

Namun pada kenyataannya situasinya jauh lebih buruk. Saya mengundang Anda untuk menonton pertandingan seru yang disebut "Pahlawan Terakhir":

Tugas 4

Menemukan akar rasional dari suatu persamaan

Larutan: pada Teorema 1 pembilang dari akar rasional hipotetis harus memenuhi kondisi (baca "dua belas habis dibagi ale"), dan penyebut kondisi tersebut . Berdasarkan ini, kami mendapatkan dua daftar:

"daftar el":
dan "daftar mereka": (Untungnya, di sini jumlahnya alami).

Sekarang mari kita buat daftar semua akar yang mungkin. Pertama, kami membagi "daftar bir" dengan . Cukup jelas bahwa angka yang sama akan muncul. Untuk kenyamanan, mari kita masukkan ke dalam tabel:

Banyak pecahan telah dikurangi, sehingga menghasilkan nilai yang sudah ada di "daftar pahlawan". Kami hanya menambahkan "pendatang baru":

Demikian pula, kami membagi "daftar bir" yang sama dengan:

dan akhirnya aktif

Dengan demikian, tim peserta dalam permainan kami memiliki staf:


Sayangnya, polinomial dari masalah ini tidak memenuhi kriteria "positif" atau "negatif", dan karena itu kita tidak dapat membuang baris atas atau bawah. Anda harus bekerja dengan semua angka.

Bagaimana perasaanmu? Ayo, angkat hidung Anda - ada teorema lain yang secara kiasan bisa disebut "teorema pembunuh" .... ... "calon", tentu saja =)

Tapi pertama-tama Anda perlu menelusuri diagram Horner untuk setidaknya satu keseluruhan angka. Secara tradisional, kami mengambil satu. Di baris atas kami menulis koefisien polinomial dan semuanya seperti biasa:

Karena empat jelas bukan nol, nilainya bukan akar dari polinomial yang bersangkutan. Tapi dia akan banyak membantu kita.

Teorema 2 Jika untuk beberapa secara umum nilai polinomial adalah bukan nol: , maka akar rasionalnya (jika mereka adalah) memenuhi syarat

Dalam kasus kami dan karena itu semua akar yang mungkin harus memenuhi kondisi (sebut saja Kondisi #1). Empat ini akan menjadi "pembunuh" banyak "calon". Sebagai demonstrasi, saya akan melihat beberapa pemeriksaan:

Mari kita periksa kandidatnya. Untuk melakukan ini, kami secara artifisial menyatakannya sebagai pecahan , dari mana terlihat jelas bahwa . Mari kita hitung selisih ceknya: . Empat dibagi dengan "minus dua": yang berarti bahwa akar yang mungkin telah lulus ujian.

Mari kita periksa nilainya. Di sini, perbedaan uji adalah: . Tentu saja, dan karena itu "subjek uji" kedua juga tetap ada dalam daftar.