თანაბარი განაწილება. უწყვეტი მნიშვნელობა X თანაბრად ნაწილდებაინტერვალზე ( ა, ბ) თუ მისი ყველა შესაძლო მნიშვნელობა ამ ინტერვალშია და ალბათობის განაწილების სიმკვრივე მუდმივია:
შემთხვევითი ცვლადისთვის X, თანაბრად განაწილებული ინტერვალში ( ა, ბ) (ნახ. 4), ნებისმიერ ინტერვალში ჩავარდნის ალბათობა ( x 1 , x 2) იწვა ინტერვალის შიგნით ( ა, ბ), უდრის:
(30)
ბრინჯი. 4. ერთგვაროვანი განაწილების სიმკვრივის გრაფიკი
დამრგვალების შეცდომები არის თანაბრად განაწილებული რაოდენობების მაგალითები. ასე რომ, თუ გარკვეული ფუნქციის ყველა ცხრილის მნიშვნელობა დამრგვალებულია იმავე ციფრზე, მაშინ შემთხვევით ვირჩევთ ცხრილის მნიშვნელობას, მიგვაჩნია, რომ არჩეული რიცხვის დამრგვალების შეცდომა არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც თანაბრად ნაწილდება ინტერვალში.
ექსპონენციალური განაწილება. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი XᲛას აქვს ექსპონენციალური განაწილება
(31)
ალბათობის განაწილების სიმკვრივის გრაფიკი (31) ნაჩვენებია ნახ. 5.
ბრინჯი. 5. ექსპონენციალური განაწილების სიმკვრივის გრაფიკი
დრო თკომპიუტერული სისტემის უპრობლემოდ მუშაობა არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელსაც აქვს ექსპონენციალური განაწილება პარამეტრთან λ
, რომლის ფიზიკური მნიშვნელობა არის წარუმატებლობის საშუალო რაოდენობა ერთეულ დროში, არ ითვლიან სისტემის შეკეთების დროებს.
ნორმალური (გაუსური) განაწილება. შემთხვევითი მნიშვნელობა XᲛას აქვს ნორმალური (გაუსური) განაწილებათუ მისი ალბათობების სიმკვრივის განაწილება განისაზღვრება დამოკიდებულებით:
(32)
სად მ = მ(X) , .
ზე ნორმალური განაწილება ეწოდება სტანდარტული.
ნორმალური განაწილების სიმკვრივის გრაფიკი (32) ნაჩვენებია ნახ. 6.
ბრინჯი. 6. ნორმალური განაწილების სიმკვრივის გრაფიკი
ნორმალური განაწილება არის ყველაზე გავრცელებული განაწილება ბუნების სხვადასხვა შემთხვევით მოვლენებში. ამრიგად, შეცდომები ავტომატური მოწყობილობის მიერ ბრძანებების შესრულებისას, შეცდომები კოსმოსური ხომალდის მოცემულ წერტილში სივრცეში, შეცდომები კომპიუტერული სისტემების პარამეტრებში და ა.შ. უმეტეს შემთხვევაში აქვთ ნორმალური ან ნორმალურთან ახლოს განაწილება. უფრო მეტიც, შემთხვევითი ცვლადები, რომლებიც წარმოიქმნება შემთხვევითი ტერმინების დიდი რაოდენობის შეჯამებით, განაწილებულია თითქმის ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით.
გამა განაწილება. შემთხვევითი მნიშვნელობა XᲛას აქვს გამა განაწილებათუ მისი ალბათობების სიმკვრივის განაწილება გამოიხატება ფორმულით:
(33)
სად 
არის ეილერის გამა ფუნქცია.
თავი 6. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადები.
§ 1. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის სიმკვრივისა და განაწილების ფუნქცია.
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების სიმრავლე უთვალავია და ჩვეულებრივ წარმოადგენს გარკვეულ სასრულ ან უსასრულო ინტერვალს.
შემთხვევითი ცვლადი x(w) მოცემული ალბათობის სივრცეში (W, S, P) ეწოდება უწყვეტი(აბსოლუტურად უწყვეტი) W თუ არსებობს არაუარყოფითი ფუნქცია ისეთი, რომ ნებისმიერი x-ისთვის განაწილების ფუნქცია Fx(x) შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც ინტეგრალი
ფუნქციას ეწოდება ფუნქცია ალბათობის განაწილების სიმკვრივე.
განაწილების სიმკვრივის ფუნქციის თვისებები გამომდინარეობს განმარტებიდან:
1..gif" width="97" height="51">
3. უწყვეტობის წერტილებში განაწილების სიმკვრივე უდრის განაწილების ფუნქციის წარმოებულს: .
4. განაწილების სიმკვრივე განსაზღვრავს შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონს, ვინაიდან ის განსაზღვრავს შემთხვევითი ცვლადის ინტერვალში მოხვედრის ალბათობას:
5. ალბათობა იმისა, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს კონკრეტულ მნიშვნელობას არის ნული: . ამრიგად, შემდეგი თანასწორობები მართალია:
განაწილების სიმკვრივის ფუნქციის ნაკვეთი ე.წ განაწილების მრუდიდა განაწილების მრუდით და x ღერძით შემოსაზღვრული ფართობი ერთის ტოლია. მაშინ, გეომეტრიულად, Fx(x) განაწილების ფუნქციის მნიშვნელობა x0 წერტილში არის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია განაწილების მრუდით და x ღერძით და მდებარეობს x0 წერტილიდან მარცხნივ.
დავალება 1.უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის სიმკვრივის ფუნქციას აქვს ფორმა:
დაადგინეთ მუდმივი C, ააგეთ განაწილების ფუნქცია Fx(x) და გამოთვალეთ ალბათობა.
გამოსავალი.მუდმივი C გვხვდება მდგომარეობიდან ჩვენ გვაქვს:
საიდანაც C=3/8.
განაწილების ფუნქციის Fx(x) ასაგებად, გაითვალისწინეთ, რომ ინტერვალი ყოფს x არგუმენტის დიაპაზონს (რიცხვის ღერძი) სამ ნაწილად: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264 "height="49">
ვინაიდან x სიმკვრივე ნახევარღერძზე ნულია. მეორე შემთხვევაში
და ბოლოს, ბოლო შემთხვევაში, როდესაც x>2,
ვინაიდან სიმკვრივე ქრება ნახევარღერძზე. ამრიგად, მიღებულია განაწილების ფუნქცია
ალბათობა გამოთვალეთ ფორმულით. ამრიგად,
§ 2. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის რიცხვითი მახასიათებლები
Მოსალოდნელი ღირებულებაუწყვეტად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადებისთვის განისაზღვრება ფორმულით https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,
თუ მარჯვნიდან ინტეგრალი აბსოლუტურად ემთხვევა.
დისპერსია x შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით 
და ასევე, როგორც დისკრეტულ შემთხვევაში, ფორმულის მიხედვით https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების მე-5 თავში მოცემული მოლოდინისა და დისპერსიის ყველა თვისება ასევე მოქმედებს უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის.
დავალება 2. 1-ლი ამოცანის x შემთხვევითი ცვლადისთვის გამოთვალეთ მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია .
გამოსავალი.
და ეს ნიშნავს
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">
ერთიანი განაწილების სიმკვრივის გრაფიკისთვის იხილეთ ნახ. .
სურ.6.2. განაწილების ფუნქცია და განაწილების სიმკვრივე. ერთიანი კანონი
თანაბრად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია Fx(x) არის
Fx(x)= 
მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია; .
ექსპონენციალური (ექსპონენციალური) განაწილება.უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი x, რომელიც იღებს არაუარყოფით მნიშვნელობებს, აქვს ექსპონენციალური განაწილება პარამეტრით l>0, თუ შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების სიმკვრივე უდრის
px(x)= 
ბრინჯი. 6.3. განაწილების ფუნქცია და ექსპონენციალური კანონის განაწილების სიმკვრივე.
ექსპონენციური განაწილების განაწილების ფუნქციას აქვს ფორმა
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> და თუ მისი განაწილების სიმკვრივე უდრის
.
ყველა შემთხვევითი ცვლადის სიმრავლე, რომლებიც განაწილებულია ნორმალური კანონის მიხედვით, პარამეტრებთან და პარამეტრებთან ერთად აღინიშნება.
ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია არის
.
ბრინჯი. 6.4. განაწილების ფუნქცია და ნორმალური კანონის განაწილების სიმკვრივე
ნორმალური განაწილების პარამეტრები არის მათემატიკური მოლოდინი https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
კონკრეტულ შემთხვევაში, როდესაც https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> ნორმალური განაწილება ე.წ. სტანდარტული, და ასეთი განაწილების კლასი არის დანიშნული https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,
ხოლო განაწილების ფუნქცია
ასეთი ინტეგრალი არ შეიძლება გამოითვალოს ანალიტიკურად (ის არ არის აღებული "კვადრატებში") და ამიტომ ფუნქციისთვის დგება ცხრილები. ფუნქცია დაკავშირებულია მე-4 თავში დანერგილ ლაპლასის ფუნქციასთან
,
შემდეგი კავშირი 
. პარამეტრების თვითნებური მნიშვნელობების შემთხვევაში https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია დაკავშირებულია ლაპლასის ფუნქციასთან მიმართების გამოყენებით:
.
ამიტომ, ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის ინტერვალში მოხვედრის ალბათობა შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით
.
არაუარყოფითი შემთხვევითი ცვლადი x ეწოდება log-ნორმალურად განაწილებულს, თუ მისი ლოგარითმი h=lnx ემორჩილება ნორმალურ კანონს. ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და ვარიანსია Mx= და Dx=.
დავალება 3.მიეცით შემთხვევითი მნიშვნელობა https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.
გამოსავალი.აქ და https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
ლაპლასის განაწილებადაყენებულია ფუნქციით fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> და ქურთოზი არის gx=3.
სურ.6.5. ლაპლასის განაწილების სიმკვრივის ფუნქცია.
შემთხვევითი ცვლადი x ნაწილდება ვეიბულის კანონი, თუ მას აქვს განაწილების სიმკვრივის ფუნქცია, რომელიც უდრის https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">
ვეიბულის განაწილება ემორჩილება მრავალი ტექნიკური მოწყობილობის უპრობლემოდ მუშაობის დროს. ამ პროფილის ამოცანებში მნიშვნელოვანი მახასიათებელია t ასაკის შესწავლილი ელემენტების წარუმატებლობის მაჩვენებელი (სიკვდილობის მაჩვენებელი) l(t), რომელიც განისაზღვრება l(t)=-ით. თუ a=1, მაშინ ვეიბულის განაწილება გადაიქცევა ექსპონენციალურ განაწილებად, ხოლო თუ a=2 - ე.წ. რეილი.
ვეიბულის განაწილების მათემატიკური მოლოდინი: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, სადაც Г(а) არის ეილერი ფუნქცია..
გამოყენებითი სტატისტიკის სხვადასხვა პრობლემაში ხშირად გვხვდება ე.წ. „შეკვეცილი“ განაწილებები. მაგალითად, საგადასახადო ორგანო დაინტერესებულია იმ პირთა შემოსავლების განაწილებით, რომელთა წლიური შემოსავალი აჭარბებს საგადასახადო კანონმდებლობით დადგენილ c0 ზღვარს. ეს განაწილებები დაახლოებით იგივეა, რაც პარეტოს განაწილება. პარეტოს განაწილებამოცემულია ფუნქციებით
Fx(x)=P(x
აქ https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
დავალება 4.შემთხვევითი ცვლადი თანაბრად ნაწილდება ინტერვალზე. იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის სიმკვრივე.
გამოსავალი.პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარეობს, რომ
შემდეგი, ფუნქცია არის ერთფეროვანი და დიფერენცირებადი ფუნქცია ინტერვალზე და აქვს შებრუნებული ფუნქცია 
, რომლის წარმოებული ტოლია ამიტომ,
§ 5. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების წყვილი
მიეცით ორი უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი x და h. შემდეგ წყვილი (x, h) განსაზღვრავს „შემთხვევით“ წერტილს სიბრტყეზე. წყვილი (x, h) ეწოდება შემთხვევითი ვექტორიან ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადი.
ერთობლივი განაწილების ფუნქციაშემთხვევითი ცვლადები x და h და ფუნქციას ჰქვია F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. სახსრების სიმკვრივე x და h შემთხვევითი ცვლადების ალბათობის განაწილება ისეთი ფუნქციაა, რომ 
.
ერთობლივი განაწილების სიმკვრივის ამ განმარტების მნიშვნელობა შემდეგია. ალბათობა იმისა, რომ „შემთხვევითი წერტილი“ (x, h) მოხვდება სიბრტყის არეალში, გამოითვლება, როგორც სამგანზომილებიანი ფიგურის მოცულობა - ზედაპირით შემოსაზღვრული „მოღუნული“ ცილინდრი https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">
ორი შემთხვევითი ცვლადის ერთობლივი განაწილების უმარტივესი მაგალითია ორგანზომილებიანი ერთგვაროვანი განაწილება კომპლექტზეა. მიეცით შეზღუდული სიმრავლე M ფართობით. ის განისაზღვრება, როგორც წყვილის (x, h) განაწილება, რომელიც მოცემულია შემდეგი ერთობლივი სიმკვრივით:
დავალება 5.მოდით, ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ვექტორი (x, h) თანაბრად იყოს განაწილებული სამკუთხედის შიგნით. გამოთვალეთ x>h უტოლობის ალბათობა.
გამოსავალი.მითითებული სამკუთხედის ფართობი უდრის (იხ. ნახ. No.?). ორგანზომილებიანი ერთგვაროვანი განაწილების განსაზღვრის ძალით, x, h შემთხვევითი ცვლადების ერთობლივი სიმკვრივე უდრის
ღონისძიება ემთხვევა კომპლექტს 
თვითმფრინავზე, ანუ ნახევრად თვითმფრინავში. მერე ალბათობა
ნახევრად სიბრტყეზე B სახსრის სიმკვრივე ტოლია ნულის სიმრავლის გარეთ https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. ამრიგად. , ნახევრად სიბრტყე B იყოფა ორ ნაწილად და https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> და , ხოლო მეორე ინტეგრალი არის ნულოვანი, ვინაიდან სახსრის სიმკვრივე იქ ნულია. Ამიტომაც
თუ მოცემულია ერთობლივი განაწილების სიმკვრივე წყვილისთვის (x, h), მაშინ სიმკვრივეები და კომპონენტები x და h ე.წ. კერძო სიმკვრივეებიდა გამოითვლება ფორმულებით:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">
უწყვეტად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადებისთვის px(x), ph(y) სიმკვრივით, დამოუკიდებლობა ნიშნავს, რომ
დავალება 6.წინა ამოცანის პირობებში დაადგინეთ არის თუ არა შემთხვევითი ვექტორის x და h კომპონენტები დამოუკიდებელი?
გამოსავალი. გამოვთვალოთ ნაწილობრივი სიმკვრივეები და . Ჩვენ გვაქვს:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">
ცხადია, ჩვენს შემთხვევაში https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> არის x-ისა და h-ის ერთობლივი სიმკვრივე და j(x, y) არის ორი არგუმენტის ფუნქცია, მაშინ
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">
დავალება 7.წინა პრობლემის პირობებში გამოთვალეთ .
გამოსავალი.ზემოაღნიშნული ფორმულის მიხედვით გვაქვს:
.
სამკუთხედის წარმოდგენა როგორც
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">
§ 5. ორი უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ჯამის სიმკვრივე
მოდით x და h იყოს დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები სიმკვრივით https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. შემთხვევითი ცვლადის სიმკვრივე x + h გამოითვლება ფორმულიდან კონვოლუციები
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. გამოთვალეთ ჯამის სიმკვრივე.
გამოსავალი.ვინაიდან x და h ნაწილდება ექსპონენციალური კანონის მიხედვით პარამეტრით, მათი სიმკვრივეები ტოლია
აქედან გამომდინარე,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
თუ x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">უარყოფითია და ამიტომ . ამიტომ, თუ https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">
ამრიგად, მივიღეთ პასუხი:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> ჩვეულებრივ ნაწილდება 0 და 1 პარამეტრებით. შემთხვევითი ცვლადები x1 და x2 დამოუკიდებელია და აქვთ ნორმალური განაწილებები a1 და a2 პარამეტრებით შესაბამისად დაამტკიცეთ, რომ x1 + x2 აქვს ნორმალური განაწილება. შემთხვევითი ცვლადები x1, x2, ... xn არის განაწილებული და დამოუკიდებელი და აქვთ განაწილების სიმკვრივის იგივე ფუნქცია.
.
იპოვეთ განაწილების ფუნქცია და სიდიდეების განაწილების სიმკვრივე:
ა) h1 = წთ (x1 , x2, ...xn) ; ბ) h(2) = max(x1,x2, ... xn)
შემთხვევითი ცვლადები x1, x2, ... xn დამოუკიდებელნი არიან და თანაბრად ნაწილდებიან [а, b] სეგმენტზე. იპოვეთ განაწილების ფუნქციები და სიდიდეების განაწილების სიმკვრივის ფუნქციები
x(1) = min(x1,x2, ... xn) და x(2)= max(x1, x2, ...xn).
დაამტკიცეთ, რომ M https://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.
შემთხვევითი ცვლადი ნაწილდება კოშის კანონის მიხედვით იპოვეთ: ა) კოეფიციენტი a; ბ) განაწილების ფუნქცია; გ) ინტერვალის (-1, 1) დარტყმის ალბათობა. აჩვენეთ, რომ x-ის მოლოდინი არ არსებობს. შემთხვევითი ცვლადი ემორჩილება ლაპლასის კანონს პარამეტრით l (l>0): იპოვეთ კოეფიციენტი a; განაწილების სიმკვრივისა და განაწილების ფუნქციის გრაფიკების აგება; იპოვეთ Mx და Dx; იპოვნეთ მოვლენათა ალბათობა (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
დაწერეთ განაწილების სიმკვრივის ფორმულა, იპოვეთ Mx და Dx.
გამოთვლითი ამოცანები.
შემთხვევით A წერტილს აქვს ერთგვაროვანი განაწილება R რადიუსის წრეში. იპოვნეთ წერტილის r მანძილის მათემატიკური მოლოდინი და განსხვავება წრის ცენტრამდე. აჩვენეთ, რომ რაოდენობა r2 თანაბრად ნაწილდება ინტერვალზე. 
შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივეს აქვს ფორმა: 
გამოთვალეთ მუდმივი C, განაწილების ფუნქცია F(x) და ალბათობა 
შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივეს აქვს ფორმა: 
გამოთვალეთ მუდმივი C, განაწილების ფუნქცია F(x) და ალბათობა 
შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივეს აქვს ფორმა: 
გამოთვალეთ მუდმივი C, განაწილების ფუნქცია F(x), ვარიაცია და ალბათობა. შემთხვევით ცვლადს აქვს განაწილების ფუნქცია 
გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადის სიმკვრივე, მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და ალბათობა შეამოწმეთ, რომ ფუნქცია = 
შეიძლება იყოს შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია. იპოვეთ ამ სიდიდის რიცხვითი მახასიათებლები: Mx და Dx. შემთხვევითი ცვლადი ერთნაირად ნაწილდება სეგმენტზე. ჩაწერეთ განაწილების სიმკვრივე. იპოვნეთ განაწილების ფუნქცია. იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის მოხვედრის ალბათობა სეგმენტზე და სეგმენტზე. განაწილების სიმკვრივე x არის
.
იპოვეთ c მუდმივი, განაწილების სიმკვრივე h = და ალბათობა
P (0.25 კომპიუტერის მუშაობის დრო ნაწილდება ექსპონენციალური კანონის მიხედვით l = 0.05 პარამეტრით (ავარიები საათში), ანუ მას აქვს სიმკვრივის ფუნქცია. p(x) = გარკვეული პრობლემის გადაჭრა მოითხოვს აპარატის უპრობლემოდ მუშაობას 15 წუთის განმავლობაში. თუ პრობლემის გადაჭრის დროს მოხდა მარცხი, მაშინ შეცდომა აღმოჩენილია მხოლოდ ამოხსნის ბოლოს და პრობლემა კვლავ მოგვარდება. იპოვეთ: ა) ალბათობა იმისა, რომ პრობლემის გადაჭრის დროს წარუმატებლობა არ მოხდება; ბ) საშუალო დრო, რომლისთვისაც მოგვარდება პრობლემა. 24 სმ სიგრძის ჯოხი ორ ნაწილად იყოფა; ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ წყვეტის წერტილი თანაბრად ნაწილდება ღეროს მთელ სიგრძეზე. რამდენია ღეროს უმეტესი ნაწილის საშუალო სიგრძე? 12 სმ სიგრძის ნაჭერი შემთხვევით იჭრება ორ ნაწილად. ჭრის წერტილი თანაბრად ნაწილდება სეგმენტის მთელ სიგრძეზე. რა არის სეგმენტის მცირე ნაწილის საშუალო სიგრძე? შემთხვევითი ცვლადი თანაბრად ნაწილდება ინტერვალზე. იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივე ა) h1 = 2x + 1; ბ) h2 = -ln(1-x); გ) h3 = . აჩვენეთ, რომ თუ x-ს აქვს უწყვეტი განაწილების ფუნქცია F(x) = P(x იპოვეთ სიმკვრივის ფუნქცია და განაწილების ფუნქცია ორი დამოუკიდებელი სიდიდის ჯამის x და h ერთგვაროვანი განაწილების კანონებით ინტერვალებზე და, შესაბამისად. შემთხვევითი ცვლადები x და h დამოუკიდებელია და თანაბრად ნაწილდება ინტერვალებზე და, შესაბამისად. გამოთვალეთ x+h ჯამის სიმკვრივე. შემთხვევითი ცვლადები x და h დამოუკიდებელია და თანაბრად ნაწილდება ინტერვალებზე და, შესაბამისად. გამოთვალეთ x+h ჯამის სიმკვრივე. შემთხვევითი ცვლადები x და h დამოუკიდებელია და თანაბრად ნაწილდება ინტერვალებზე და, შესაბამისად. გამოთვალეთ x+h ჯამის სიმკვრივე. შემთხვევითი ცვლადები დამოუკიდებელია და აქვთ ექსპონენციალური განაწილება სიმკვრივით მოდით, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X იყოს მოცემული განაწილების ფუნქციით f(x). დავუშვათ, რომ შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობა ეკუთვნის ინტერვალს [ ა, ბ]. განმარტება.მათემატიკური მოლოდინიუწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X, რომლის შესაძლო მნიშვნელობები მიეკუთვნება სეგმენტს, ეწოდება განსაზღვრული ინტეგრალი. თუ შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობები განიხილება მთელი რიცხვის ღერძზე, მაშინ მათემატიკური მოლოდინი გვხვდება ფორმულით: ამ შემთხვევაში, რა თქმა უნდა, ვარაუდობენ, რომ არასწორი ინტეგრალი ერთმანეთს ემთხვევა. განმარტება.დისპერსიასუწყვეტ შემთხვევით ცვლადს ეწოდება მისი გადახრის კვადრატის მათემატიკური მოლოდინი. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიის ანალოგიით, შემდეგი ფორმულა გამოიყენება დისკრეციის პრაქტიკული გამოთვლისთვის: განმარტება.Სტანდარტული გადახრაეწოდება დისპერსიის კვადრატული ფესვი. განმარტება.მოდადისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის M 0 ეწოდება მის ყველაზე სავარაუდო მნიშვნელობას. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის რეჟიმი არის შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც განაწილების სიმკვრივეს აქვს მაქსიმალური. თუ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების მრავალკუთხედს ან უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების მრუდს აქვს ორი ან მეტი მაქსიმუმი, მაშინ ასეთი განაწილება ე.წ. ბიმოდალურიან მულტიმოდალური. თუ განაწილებას აქვს მინიმალური, მაგრამ არა მაქსიმუმი, მაშინ მას უწოდებენ ანტიმოდალური. განმარტება.მედიანური X შემთხვევითი ცვლადის M D არის მისი მნიშვნელობა, რომლის მიმართაც თანაბრად სავარაუდოა შემთხვევითი ცვლადის უფრო დიდი ან მცირე მნიშვნელობის მიღება. გეომეტრიულად, მედიანა არის წერტილის აბსცისა, სადაც განაწილების მრუდით შემოსაზღვრული ფართობი იყოფა ნახევრად. გაითვალისწინეთ, რომ თუ განაწილება უნიმოდალურია, მაშინ რეჟიმი და მედიანა ემთხვევა მათემატიკურ მოლოდინს. განმარტება.საწყისი მომენტიშეკვეთა კ X შემთხვევით ცვლადს ეწოდება X-ის მათემატიკური მოლოდინი კ. პირველი რიგის საწყისი მომენტი მათემატიკური მოლოდინის ტოლია. განმარტება.ცენტრალური მომენტიშეკვეთა კშემთხვევით ცვლადს X ეწოდება მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინი დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის: . უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის: . პირველი რიგის ცენტრალური მომენტი ყოველთვის ნულია, ხოლო მეორე რიგის ცენტრალური მომენტი უდრის დისპერსიას. მესამე რიგის ცენტრალური მომენტი ახასიათებს განაწილების ასიმეტრიას. განმარტება.
მესამე რიგის ცენტრალური მომენტის თანაფარდობა მესამე ხარისხში სტანდარტული გადახრის მიმართ ეწოდება ასიმეტრიის კოეფიციენტი. განმარტება.
განაწილების სიმკვეთრისა და სიბრტყის დასახასიათებლად რაოდენობა ე.წ ქურთოზი. განხილული რაოდენობების გარდა, ასევე გამოიყენება ე.წ. აბსოლუტური მომენტები: აბსოლუტური საწყისი მომენტი: . აბსოლუტური ცენტრალური მომენტი: . პირველი რიგის აბსოლუტური ცენტრალური მომენტი ეწოდება საშუალო არითმეტიკული გადახრა. მაგალითი.ზემოთ განხილული მაგალითისთვის დაადგინეთ X შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია. მაგალითი.ურნა შეიცავს 6 თეთრ და 4 შავ ბურთულას. მისგან ზედიზედ ხუთჯერ ამოღებულია ბურთი და ყოველ ჯერზე ამოღებული ბურთი უკან აბრუნებს და ბურთებს ურევენ. მოპოვებული თეთრი ბურთების რაოდენობა შემთხვევით X ცვლადად აიღეთ, შეადგინეთ ამ სიდიდის განაწილების კანონი, დაადგინეთ მისი მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია. იმიტომ რომ თითოეულ ექსპერიმენტში ბურთები ბრუნდება უკან და ურევენ, შემდეგ ცდები შეიძლება ჩაითვალოს დამოუკიდებლად (წინა ექსპერიმენტის შედეგი არ ახდენს გავლენას მოვლენის სხვა ექსპერიმენტში მოვლენის ან არ მომხდარის ალბათობაზე). ამრიგად, თითოეულ ექსპერიმენტში თეთრი ბურთის გამოჩენის ალბათობა მუდმივი და ტოლია ამრიგად, ხუთი ზედიზედ ცდის შედეგად, თეთრი ბურთი შეიძლება საერთოდ არ გამოჩნდეს, გამოჩნდეს ერთხელ, ორჯერ, სამჯერ, ოთხჯერ ან ხუთჯერ. განაწილების კანონის შესაქმნელად, თქვენ უნდა იპოვოთ თითოეული ამ მოვლენის ალბათობა. 1) თეთრი ბურთი საერთოდ არ გამოჩნდა: 2) თეთრი ბურთი ერთხელ გამოჩნდა: 3) თეთრი ბურთი ორჯერ გამოჩნდება: . მათი ფიზიკური ბუნებით, შემთხვევითი ცვლადები შეიძლება იყოს დეტერმინისტული და შემთხვევითი. დისკრეტული არის შემთხვევითი ცვლადი, რომლის ინდივიდუალური მნიშვნელობების გადანომრვა შესაძლებელია (პროდუქტების რაოდენობა, ნაწილების რაოდენობა - დეფექტური და კარგი და ა.შ.). შემთხვევით ცვლადს ეწოდება უწყვეტი, რომლის შესაძლო მნიშვნელობები ავსებს გარკვეულ ხარვეზს (წარმოებული ნაწილის ზომის გადახრა ნომინალური მნიშვნელობიდან, გაზომვის შეცდომა, ნაწილის ფორმის გადახრა, მიკროუხეშობის სიმაღლე და ა.შ.). შემთხვევითი ცვლადი არ შეიძლება ხასიათდებოდეს ერთი მნიშვნელობით. ამისათვის აუცილებელია მიუთითოთ შესაძლო მნიშვნელობების ნაკრები და ამ კომპლექტზე მოცემული სავარაუდო მახასიათებლები. იმ შემთხვევაში, თუ შემთხვევითი მოვლენა გამოიხატება რიცხვად, შეგვიძლია ვისაუბროთ შემთხვევით ცვლადზე. შემთხვევითიისინი უწოდებენ მნიშვნელობას, რომელიც ტესტის შედეგად მიიღებს ერთ შესაძლო მნიშვნელობას, წინასწარ უცნობია და დამოკიდებულია შემთხვევით მიზეზებზე, რომელთა წინასწარ გათვალისწინება შეუძლებელია. შემთხვევითი ცვლადის გარკვეული მნიშვნელობის დაკარგვა Xეს არის შემთხვევითი მოვლენა: X \u003d x i.შემთხვევით ცვლადებს შორის გამოიყოფა დისკრეტული და უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადები. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადიშემთხვევითი ცვლადი ეწოდება, რომელიც ტესტის შედეგად იღებს ინდივიდუალურ მნიშვნელობებს გარკვეული ალბათობით. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მაგალითები: სიჩქარის მაჩვენებლების ან გაზომილი ტემპერატურის ჩაწერა დროის კონკრეტულ მომენტებში. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადიშემთხვევითი ცვლადი ეწოდება, რომელიც ტესტის შედეგად იღებს ყველა მნიშვნელობას გარკვეული რიცხვითი ინტერვალიდან. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა უსასრულოა. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მაგალითი: ნებისმიერი ტიპის ტრანსპორტის ან ტემპერატურის მოძრაობის სიჩქარის გაზომვა გარკვეული დროის ინტერვალში. ნებისმიერ შემთხვევით ცვლადს აქვს საკუთარი ალბათობის განაწილების კანონი და საკუთარი ალბათობის განაწილების ფუნქცია. განაწილების ფუნქციის განსაზღვრამდე განვიხილოთ ცვლადები, რომლებიც განსაზღვრავენ მას. დაე რამდენიმე Xარის რეალური რიცხვი და მიიღება შემთხვევითი ცვლადი X, სადაც x > X. საჭიროა შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის დადგენა Xიქნება ამ ფიქსირებულ მნიშვნელობაზე ნაკლები X. შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია Xფუნქციას უწოდებენ F(x), რომელიც განსაზღვრავს ალბათობას, რომ შემთხვევითი ცვლადი X ტესტის შედეგად მიიღებს x-ის მნიშვნელობაზე ნაკლებ მნიშვნელობას, ანუ: შემთხვევითი ცვლადი ხასიათდება ალბათობის თეორიაში მისი განაწილების კანონი
. ეს კანონი აყალიბებს კავშირს შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობებსა და ამ მნიშვნელობებთან შესაბამისი მათი გაჩენის ალბათობას შორის. არსებობს შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონის აღწერის ორი ფორმა - დიფერენციალური და ინტეგრალური
. უფრო მეტიც, მეტროლოგიაში ძირითადად გამოიყენება დიფერენციალური ფორმა - განაწილების კანონი ალბათობის სიმკვრივე
შემთხვევითი ცვლადი. დიფერენციალური განაწილების კანონიახასიათებდა ალბათობის განაწილების სიმკვრივე f(x)
შემთხვევითი ცვლადი X. ალბათობა რშემთხვევითი ცვლადის დარტყმა საწყისი ინტერვალში x 1ადრე x 2მოცემულია ფორმულით: გრაფიკულად, ეს ალბათობა არის f (x) მრუდის ქვეშ არსებული ფართობის თანაფარდობა x 1-დან x 2-მდე დიაპაზონში მთლიან ფართობთან, რომელიც ესაზღვრება მთელი განაწილების მრუდით. როგორც წესი, მთლიანი ალბათობის განაწილების მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი ნორმალიზდება ერთამდე. ამ შემთხვევაში, განაწილება უწყვეტიშემთხვევითი ცვლადი. მათ გარდა არსებობენ დისკრეტულიშემთხვევითი ცვლადები, რომლებიც იღებენ უამრავ სპეციფიკურ მნიშვნელობას, რომელთა დანომრვაც შესაძლებელია. შემთხვევითი ცვლადის ინტეგრალური განაწილების კანონიარის ფუნქცია F(x),ფორმულით განსაზღვრული ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი იქნება x 1-ზე ნაკლები, მოცემულია F(x) ფუნქციის მნიშვნელობით x = x 1-ზე: მიუხედავად იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადების განაწილების კანონი მათი სრული ალბათობითი მახასიათებელია, ამ კანონის პოვნა საკმაოდ რთული ამოცანაა და მრავალ გაზომვას მოითხოვს. ამიტომ, პრაქტიკაში, შემთხვევითი ცვლადის თვისებების აღწერა, სხვადასხვა განაწილების რიცხვითი მახასიათებლები. Ესენი მოიცავს მომენტებიშემთხვევითი ცვლადები: პირველადი და ცენტრალური, რომლებიც ზოგიერთი საშუალო ღირებულებები. უფრო მეტიც, თუ საწყისიდან დათვლილი მნიშვნელობები საშუალოა, მაშინ მომენტები ეწოდება საწყისიდა თუ სადისტრიბუციო ცენტრიდან, მაშინ მთავარი. X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია არის ფუნქცია F(x), რომელიც გამოხატავს თითოეულ x-სთვის ალბათობას, რომ X შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს მნიშვნელობას., უფრო პატარა x
მაგალითი 2.5. მოცემულია შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია იპოვეთ და გრაფიკულად გამოსახეთ მისი განაწილების ფუნქცია. გამოსავალი. განმარტების მიხედვით F(jc) = 0 ამისთვის X X F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 ზე X > 5. ასე რომ (იხ. ნახ. 2.1): განაწილების ფუნქციის თვისებები: 1. შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია არის არაუარყოფითი ფუნქცია, რომელიც ჩასმულია ნულსა და ერთს შორის: 2. შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია არის შეუმცირებელი ფუნქცია მთელ რიცხვთა ღერძზე, ე.ი. ზე X 2
> x 3. მინუს უსასრულობისას განაწილების ფუნქცია ნულის ტოლია, პლუს უსასრულობისას უდრის ერთი, ე.ი. 4. შემთხვევითი ცვლადის დარტყმის ალბათობა Xინტერვალშიუდრის მისი ალბათობის სიმკვრივის განსაზღვრულ ინტეგრალს, რომელიც მერყეობს აადრე ბ(იხ. სურ. 2.2), ე.ი. ბრინჯი. 2.2 3. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია (იხ. ნახ. 2.3) შეიძლება გამოისახოს ალბათობის სიმკვრივის მიხედვით ფორმულის გამოყენებით: F(x)= Jp(*)*. (2.10) 4. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივის უსასრულო ზღვრებში არასწორი ინტეგრალი უდრის ერთს: გეომეტრიული თვისებები / და 4
ალბათობის სიმკვრივე ნიშნავს, რომ მისი ნაკვეთი არის განაწილების მრუდი - არ არის x ღერძის ქვემოთ, და ფიგურის მთლიანი ფართობი, შეზღუდული განაწილების მრუდი და x-ღერძი, უდრის ერთს. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის Xმოსალოდნელი ღირებულება M(X)და დისპერსიას D(X)განისაზღვრება ფორმულებით: (თუ ინტეგრალი აბსოლუტურად იყრის თავს); ან (თუ შემცირებული ინტეგრალები ერთმანეთს ემთხვევა). ზემოთ აღნიშნულ ციფრულ მახასიათებლებთან ერთად, შემთხვევითი ცვლადის აღსაწერად გამოიყენება კვანტილების და პროცენტული პუნქტების ცნება. q დონის კვანტილი(ან q-კვანტილი) არის ასეთი მნიშვნელობაx qშემთხვევითი ცვლადი, რომლის განაწილების ფუნქცია იღებს მნიშვნელობას, q-ის ტოლი,ე.ი. მაგალითი 2.6-ის მიხედვით იპოვეთ კვანტილი xqj და 30% შემთხვევითი ცვლადი წერტილი x.
გამოსავალი. განმარტებით (2.16) F(xo t3)= 0.3, ე.ი. ~Y~ = 0.3, საიდანაც კვანტილი x 0 3 = 0.6. 30% შემთხვევითი ცვლადი წერტილი X, ან კვანტილი Х)_о,з = xoj» გვხვდება ანალოგიურად განტოლებიდან ^ = 0.7. საიდანაც *,= 1.4. ? შემთხვევითი ცვლადის რიცხობრივ მახასიათებლებს შორის არის საწყისი v* და მთავარი R* k-ე რიგის მომენტები, განსაზღვრულია დისკრეტული და უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის ფორმულებით:
.
. იპოვეთ მათი ჯამის განაწილების სიმკვრივე. იპოვეთ x და h დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამის განაწილება, სადაც x-ს აქვს ერთგვაროვანი განაწილება ინტერვალზე, ხოლო h-ს აქვს ექსპონენციალური განაწილება პარამეტრით l. იპოვეთ რ 
, თუ x აქვს: ა) ნორმალური განაწილება a და s2 პარამეტრებით; ბ) ექსპონენციალური განაწილება პარამეტრით l; გ) ერთგვაროვანი განაწილება [-1;1] ინტერვალზე. x, h-ის ერთობლივი განაწილება არის ერთგვაროვანი კვადრატში
K = (x, y): |x| +|y|£2). იპოვეთ ალბათობა 
. არის თუ არა x და h დამოუკიდებელი? x და h შემთხვევითი ცვლადების წყვილი თანაბრად არის განაწილებული K= სამკუთხედის შიგნით. გამოთვალეთ x და h სიმკვრივე. არის თუ არა ეს შემთხვევითი ცვლადები დამოუკიდებელი? იპოვეთ ალბათობა. შემთხვევითი ცვლადები x და h დამოუკიდებელია და თანაბრად ნაწილდება [-1,1] ინტერვალებზე. იპოვეთ ალბათობა. ორგანზომილებიანი შემთხვევითი ცვლადი (x, h) თანაბრად ნაწილდება კვადრატში წვეროებით (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). იპოვეთ ერთობლივი განაწილების ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში (1, -1). შემთხვევითი ვექტორი (x, h) თანაბრად არის განაწილებული 3 რადიუსის წრეში, რომელიც ორიენტირებულია საწყისზე. დაწერეთ გამოხატულება ერთობლივი განაწილების სიმკვრივისთვის. დაადგინეთ არის თუ არა ეს შემთხვევითი ცვლადები დამოკიდებული. გამოთვალეთ ალბათობა. x და h შემთხვევითი ცვლადების წყვილი თანაბრად არის განაწილებული ტრაპეციის შიგნით წვეროებით (-6.0), (-3.4), (3.4), (6.0). იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადების ამ წყვილის ერთობლივი განაწილების სიმკვრივე და კომპონენტების სიმკვრივე. არის თუ არა x და h დამოკიდებული? შემთხვევითი წყვილი (x, h) თანაბრად ნაწილდება ნახევარწრეში. იპოვეთ x და h სიმკვრივეები, გამოიკვლიეთ მათი დამოკიდებულების საკითხი. ორი შემთხვევითი ცვლადის x და h ერთობლივი სიმკვრივეა 
.
იპოვეთ სიმკვრივეები x, h. გამოიკვლიეთ x და h-ის დამოკიდებულების საკითხი. შემთხვევითი წყვილი (x, h) თანაბრად ნაწილდება ნაკრებზე. იპოვეთ x და h სიმკვრივეები, გამოიკვლიეთ მათი დამოკიდებულების საკითხი. იპოვეთ M(xh). შემთხვევითი ცვლადები x და h დამოუკიდებელია და ნაწილდება ექსპონენციალური კანონის მიხედვით პარამეტრით Find
