ნორმალური განაწილება განაწილების ყველაზე გავრცელებული ტიპია. მას ვხვდებით გაზომვის შეცდომების ანალიზში, ტექნოლოგიური პროცესებისა და რეჟიმების კონტროლში, აგრეთვე ბიოლოგიის, მედიცინისა და ცოდნის სხვა დარგების სხვადასხვა ფენომენის ანალიზსა და წინასწარმეტყველებაში.

ტერმინი „ნორმალური განაწილება“ გამოიყენება ლიტერატურაში ზოგადად მიღებული პირობითი მნიშვნელობით, თუმცა არა მთლად წარმატებული. ამდენად, მტკიცება, რომ გარკვეული ატრიბუტი ემორჩილება ნორმალურ განაწილების კანონს, საერთოდ არ ნიშნავს რაიმე ურყევი ნორმების არსებობას, რომელიც სავარაუდოდ საფუძვლად უდევს ფენომენს, რომლის ასახვა არის განსახილველი ატრიბუტი, და სხვა განაწილების კანონებისადმი დაქვემდებარებას არ ნიშნავს. ამ ფენომენის რაიმე სახის არანორმალურობა.

ნორმალური განაწილების მთავარი მახასიათებელია ის, რომ ეს არის ზღვარი, რომელსაც უახლოვდება სხვა განაწილებები. ნორმალური განაწილება პირველად აღმოაჩინა მოივმა 1733 წელს. მხოლოდ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადები ემორჩილება ნორმალურ კანონს. ნორმალური განაწილების კანონის სიმკვრივეს აქვს ფორმა.

ნორმალური განაწილების კანონის მათემატიკური მოლოდინი არის . დისპერსია არის.

ნორმალური განაწილების ძირითადი თვისებები.

1. განაწილების სიმკვრივის ფუნქცია განისაზღვრება მთელ რეალურ ღერძზე ოჰ , ანუ თითოეული მნიშვნელობა X შეესაბამება ფუნქციის კარგად განსაზღვრულ მნიშვნელობას.

2. ყველა ღირებულებისთვის X (როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი) სიმკვრივის ფუნქცია იღებს დადებით მნიშვნელობებს, ანუ ნორმალური მრუდი მდებარეობს ღერძის ზემოთ. ოჰ .

3. სიმკვრივის ფუნქციის ლიმიტი შეუზღუდავი ზრდით X უდრის ნულს,.

4. წერტილში ნორმალური განაწილების სიმკვრივის ფუნქციას აქვს მაქსიმუმი.

5. სიმკვრივის ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია სწორი ხაზის მიმართ.

6. განაწილების მრუდს აქვს ორი დახრის წერტილი კოორდინატებით და .

7. ნორმალური განაწილების რეჟიმი და მედიანა ემთხვევა მათემატიკურ მოლოდინს ა .

8. ნორმალური მრუდის ფორმა არ იცვლება პარამეტრის შეცვლისას ა .

9. ნორმალური განაწილების დახრილობის და ქურტოზის კოეფიციენტები ნულის ტოლია.

ამ კოეფიციენტების გამოთვლის მნიშვნელობა ემპირიული განაწილების სერიებისთვის აშკარაა, რადგან ისინი ახასიათებენ მოცემული სერიის დახრილობას და ციცაბოობას ნორმალურთან შედარებით.

ინტერვალში ჩავარდნის ალბათობა გვხვდება ფორმულით, სადაც არის კენტი ტაბულირებული ფუნქცია.

მოდით განვსაზღვროთ ალბათობა იმისა, რომ ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი გადახრის მათემატიკური მოლოდინისაგან ნაკლები მნიშვნელობით, ანუ ჩვენ ვიპოვით უტოლობის ალბათობას ან ორმაგი უტოლობის ალბათობას. ფორმულაში ჩანაცვლებით, ვიღებთ

შემთხვევითი ცვლადის გადახრის გამოხატვა X სტანდარტული გადახრის ფრაქციებში, ანუ ბოლო ტოლობის ჩასმა, მივიღებთ .

მაშინ ამისთვის, ვიღებთ

როცა მივიღებთ,

როცა ვიღებთ.

ბოლო უტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ პრაქტიკულად ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის გაფანტვა მდგომარეობს განყოფილებაში. ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი არ მოხვდება ამ არეალში, ძალიან მცირეა, კერძოდ, ის უდრის 0,0027-ს, ანუ ეს მოვლენა შეიძლება მოხდეს 1000-დან მხოლოდ სამ შემთხვევაში. ასეთი მოვლენები შეიძლება ჩაითვალოს თითქმის შეუძლებლად. ზემოაღნიშნული მსჯელობიდან გამომდინარე, სამი სიგმის წესი, რომელიც ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: თუ შემთხვევით ცვლადს აქვს ნორმალური განაწილება, მაშინ ამ მნიშვნელობის გადახრა მათემატიკური მოლოდინიდან აბსოლუტური მნიშვნელობით არ აღემატება სამჯერ სტანდარტულ გადახრას..

მაგალითი 28 . ავტომატური მანქანით დამზადებული ნაწილი ვარგისად ითვლება, თუ მისი კონტროლირებადი ზომის გადახრა დიზაინიდან არ აღემატება 10 მმ-ს. კონტროლირებადი ზომის შემთხვევითი გადახრები დიზაინის ზომიდან ექვემდებარება ნორმალურ განაწილების კანონს სტანდარტული გადახრით მმ და მათემატიკური მოლოდინით. რამდენ პროცენტს აწარმოებს მანქანა?

გამოსავალი. განვიხილოთ შემთხვევითი ცვლადი X - ზომის გადახრა დიზაინიდან. ნაწილი იქნება აღიარებული, როგორც ვარგისი, თუ შემთხვევითი ცვლადი ეკუთვნის ინტერვალს. შესაფერისი ნაწილის დამზადების ალბათობა გვხვდება ფორმულით. აქედან გამომდინარე, მანქანით წარმოებული კარგი ნაწილების პროცენტი არის 95,44%.

ბინომალური განაწილება

Binomial არის კლების ალბათობის განაწილება მ ღონისძიებების რაოდენობაში პ დამოუკიდებელი ტესტები, რომელთაგან თითოეულში მოვლენის დადგომის ალბათობა მუდმივი და ტოლია რ . მოვლენის შემთხვევების შესაძლო რაოდენობის ალბათობა გამოითვლება ბერნულის ფორმულით:

სად . Მუდმივი პ და რ , ამ გამოთქმაში შედის ბინომიალური კანონის პარამეტრები. ბინომიური განაწილება აღწერს დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილებას.

ბინომალური განაწილების ძირითადი რიცხვითი მახასიათებლები. მათემატიკური მოლოდინი არის. დისპერსია არის. დახრილობისა და ქურტოზის კოეფიციენტები ტოლია და. ცდების რაოდენობის შეუზღუდავი ზრდით ა და ე მიდრეკილია ნულისკენ, შესაბამისად, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ბინომიური განაწილება ცდების რაოდენობის გაზრდით უახლოვდება ნორმალურს.

მაგალითი 29 . დამოუკიდებელი ტესტები ტარდება მოვლენის დადგომის იგივე ალბათობით ა ყველა ტესტში. იპოვნეთ მოვლენის დადგომის ალბათობა ა ერთ ცდაში, თუ სამ ცდაში გამოჩენის რაოდენობის განსხვავება არის 0.63.

გამოსავალი. ბინომალური განაწილებისთვის. ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობები, ვიღებთ აქედან ან შემდეგ და .

პუასონის განაწილება

იშვიათი ფენომენების გავრცელების კანონი

პუასონის განაწილება აღწერს მოვლენების რაოდენობას მ , ხდება თანაბარი დროის ინტერვალებით, იმ პირობით, რომ მოვლენები ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად ხდება მუდმივი საშუალო ინტენსივობით. ამავე დროს, ცდების რაოდენობა პ დიდია და ყოველ საცდელში მოვლენის დადგომის ალბათობა რ პატარა. ამიტომ, პუასონის განაწილებას უწოდებენ იშვიათი ფენომენის კანონს ან უმარტივეს ნაკადს. პუასონის განაწილების პარამეტრი არის მნიშვნელობა, რომელიც ახასიათებს მოვლენების ინტენსივობას პ ტესტები. პუასონის განაწილების ფორმულა.

პუასონის განაწილება კარგად აღწერს სადაზღვევო თანხების გადახდაზე პრეტენზიების რაოდენობას წელიწადში, სატელეფონო სადგურის მიერ მიღებულ ზარების რაოდენობას გარკვეულ დროში, საიმედოობის ტესტირების დროს ელემენტების გაუმართაობის რაოდენობას, დეფექტური პროდუქტების რაოდენობას და ა.შ. .

პუასონის განაწილების ძირითადი რიცხვითი მახასიათებლები. მათემატიკური მოლოდინი უდრის დისპერსიას და უდრის ა . ანუ . ეს არის ამ განაწილების გამორჩეული თვისება. დახრილობის და ქურტოზის კოეფიციენტები შესაბამისად ტოლია .

მაგალითი 30 . სადაზღვევო თანხების გადახდის საშუალო რაოდენობა დღეში არის ორი. იპოვეთ ალბათობა, რომ ხუთ დღეში მოგიწევთ გადახდა: 1) 6 სადაზღვევო თანხა; 2) ექვსზე ნაკლები თანხა; 3) არანაკლებ ექვსი.განაწილება.

ეს განაწილება ხშირად შეინიშნება სხვადასხვა მოწყობილობების მომსახურების ვადის შესწავლისას, ცალკეული ელემენტების, სისტემის ნაწილების და მთლიანად სისტემის მუშაობის დროის შესწავლისას, როდესაც განიხილება შემთხვევითი დროის ინტერვალები ორი თანმიმდევრული იშვიათი მოვლენის დადგომას შორის.

ექსპონენციალური განაწილების სიმკვრივე განისაზღვრება პარამეტრით, რომელსაც ე.წ წარუმატებლობის მაჩვენებელი. ეს ტერმინი დაკავშირებულია გამოყენების კონკრეტულ სფეროსთან - სანდოობის თეორიასთან.

ექსპონენციალური განაწილების ინტეგრალური ფუნქციის გამოხატულება შეიძლება მოიძებნოს დიფერენციალური ფუნქციის თვისებების გამოყენებით:

ექსპონენციალური განაწილების მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება, სტანდარტული გადახრა. ამრიგად, ამ განაწილებისთვის დამახასიათებელია, რომ სტანდარტული გადახრა რიცხობრივად უდრის მათემატიკურ მოლოდინს. პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, დახრილობის და ქურტოზის კოეფიციენტები მუდმივი მნიშვნელობებია.

მაგალითი 31 . ტელევიზორის მუშაობის საშუალო დრო პირველ უკმარისობამდე არის 500 საათი. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით არჩეულმა ტელევიზორმა 1000 საათზე მეტი ავარიის გარეშე იმუშაოს.

გამოსავალი. ვინაიდან პირველი წარუმატებლობის საშუალო დრო არის 500, მაშინ . ჩვენ ვპოულობთ სასურველ ალბათობას ფორმულით.

ბევრ პრობლემაში, რომელიც დაკავშირებულია ნორმალურად განაწილებულ შემთხვევით ცვლადებთან, აუცილებელია განისაზღვროს ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც ემორჩილება ნორმალურ კანონს პარამეტრებით, მოხვდება დან მდე ინტერვალში. ამ ალბათობის გამოსათვლელად ვიყენებთ ზოგად ფორმულას

სად არის რაოდენობის განაწილების ფუნქცია.

ვიპოვოთ ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია პარამეტრებით. მნიშვნელობის განაწილების სიმკვრივეა:

. (6.3.2)

აქედან ვპოულობთ განაწილების ფუნქციას

. (6.3.3)

მოდით გავაკეთოთ ცვლადის ცვლილება ინტეგრალში (6.3.3)

და მიიტანეთ ფორმაში:

(6.3.4)

ინტეგრალი (6.3.4) არ არის გამოხატული ელემენტარული ფუნქციების მიხედვით, მაგრამ ის შეიძლება გამოითვალოს სპეციალური ფუნქციით, რომელიც გამოხატავს გამოხატვის განსაზღვრულ ინტეგრალს ან (ე.წ. ალბათობის ინტეგრალი), რომლისთვისაც შედგენილია ცხრილები. . ასეთი ფუნქციების მრავალი სახეობა არსებობს, მაგალითად:

;

და ა.შ. ამ ფუნქციებიდან რომელი გამოვიყენოთ, გემოვნების საკითხია. ჩვენ ავირჩევთ როგორც ასეთ ფუნქციას

. (6.3.5)

ადვილი მისახვედრია, რომ ეს ფუნქცია სხვა არაფერია, თუ არა განაწილების ფუნქცია ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის პარამეტრებით.

ჩვენ ვეთანხმებით, რომ ფუნქციას ვუწოდოთ ნორმალური განაწილების ფუნქცია. დანართში (ცხრილი 1) ნაჩვენებია ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილები.

გამოვხატოთ სიდიდის განაწილების ფუნქცია (6.3.3) პარამეტრებით და ნორმალური განაწილების ფუნქციის მიხედვით. ცხადია,

. (6.3.6)

ახლა ვიპოვოთ შემთხვევითი ცვლადის მოხვედრის ალბათობა სეგმენტიდან დან მდე. ფორმულის მიხედვით (6.3.1)

ამრიგად, ჩვენ გამოვთქვით ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც განაწილებულია ნორმალური კანონის მიხედვით, ნებისმიერი პარამეტრით, დაეცემა ნახაზზე სტანდარტული განაწილების ფუნქციის მიხედვით, რომელიც შეესაბამება უმარტივეს ნორმალურ კანონს 0.1 პარამეტრებით. გაითვალისწინეთ, რომ ფორმულაში (6.3.7) ფუნქციის არგუმენტებს აქვთ ძალიან მარტივი მნიშვნელობა: არის მანძილი მონაკვეთის მარჯვენა ბოლოდან დისპერსიის ცენტრამდე, გამოხატული სტანდარტული გადახრებით; - იგივე მანძილი მონაკვეთის მარცხენა ბოლოსთვის და ეს მანძილი დადებითად ითვლება, თუ ბოლო მდებარეობს გაფანტვის ცენტრის მარჯვნივ, ხოლო უარყოფითი, თუ მარცხნივ.

ნებისმიერი განაწილების ფუნქციის მსგავსად, ფუნქციას აქვს შემდეგი თვისებები:

3. - შეუმცირებელი ფუნქცია.

გარდა ამისა, წარმოშობის პარამეტრებთან ნორმალური განაწილების სიმეტრიიდან გამომდინარეობს, რომ

ამ თვისების გამოყენებით, ფაქტობრივად, შესაძლებელი იქნება ფუნქციების ცხრილების შეზღუდვა არგუმენტის მხოლოდ დადებითი მნიშვნელობებით, მაგრამ იმისათვის, რომ თავიდან ავიცილოთ არასაჭირო ოპერაცია (გამოკლება ერთიდან), დანართის 1 ცხრილში მოცემულია მნიშვნელობები. როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი არგუმენტები.

პრაქტიკაში ხშირად აწყდება პრობლემა გამოთვალოს ალბათობა, რომ ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი მოხვდება დისპერსიის ცენტრის მიმართ სიმეტრიულ არეალში. განვიხილოთ სიგრძის ასეთი მონაკვეთი (სურ. 6.3.1). მოდით გამოვთვალოთ ამ საიტზე მოხვედრის ალბათობა ფორმულის გამოყენებით (6.3.7):

ფუნქციის (6.3.8) თვისების გათვალისწინებით და (6.3.9) ფორმულის მარცხენა მხარეს უფრო კომპაქტური ფორმის მინიჭებით, ვიღებთ ფორმულას ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის შესახებ. განყოფილება სიმეტრიული გაფანტვის ცენტრის მიმართ:

. (6.3.10)

მოვაგვაროთ შემდეგი პრობლემა. გამოვყოთ სიგრძის თანმიმდევრული სეგმენტები გაფანტვის ცენტრიდან (ნახ. 6.3.2) და გამოვთვალოთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი მოხვდება თითოეულ მათგანში. ვინაიდან ნორმალური კანონის მრუდი სიმეტრიულია, საკმარისია ასეთი სეგმენტების გადადება მხოლოდ ერთი მიმართულებით.

ფორმულის მიხედვით (6.3.7) ვხვდებით:

(6.3.11)

როგორც ამ მონაცემებიდან ჩანს, ყოველი შემდეგი სეგმენტის (მეხუთე, მეექვსე და ა.შ.) 0,001 სიზუსტით დარტყმის ალბათობა ნულის ტოლია.

სეგმენტების დარტყმის ალბათობის დამრგვალებით 0,01-მდე (1%-მდე), მივიღებთ სამ რიცხვს, რომლებიც ადვილად დასამახსოვრებელია:

0,34; 0,14; 0,02.

ამ სამი მნიშვნელობის ჯამი არის 0.5. ეს ნიშნავს, რომ ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი, ყველა დისპერსია (პროცენტის წილადამდე) ჯდება განყოფილებაში.

ეს საშუალებას გვაძლევს, ვიცოდეთ შემთხვევითი ცვლადის სტანდარტული გადახრა და მათემატიკური მოლოდინი, დაახლოებით მიუთითოთ მისი პრაქტიკულად შესაძლო მნიშვნელობების დიაპაზონი. შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების დიაპაზონის შეფასების ეს მეთოდი მათემატიკურ სტატისტიკაში ცნობილია, როგორც "სამი სიგმის წესი". სამი სიგმის წესი ასევე გულისხმობს შემთხვევითი ცვლადის სტანდარტული გადახრის განსაზღვრის სავარაუდო მეთოდს: ისინი იღებენ მაქსიმალურ პრაქტიკულად შესაძლო გადახრას საშუალოდან და ყოფენ სამზე. რა თქმა უნდა, ამ უხეში მეთოდის რეკომენდაცია შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ არ არსებობს სხვა, უფრო ზუსტი გზების დასადგენად.

მაგალითი 1. შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც განაწილებულია ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით, არის შეცდომა გარკვეული მანძილის გაზომვისას. გაზომვისას დაშვებულია სისტემატური შეცდომა გადაფასების მიმართულებით 1,2 (მ); გაზომვის შეცდომის სტანდარტული გადახრა არის 0,8 (მ). იპოვეთ ალბათობა, რომ გაზომილი მნიშვნელობის გადახრა ჭეშმარიტი მნიშვნელობიდან არ აღემატებოდეს 1,6 (მ) აბსოლუტურ მნიშვნელობას.

გამოსავალი. გაზომვის შეცდომა არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც ემორჩილება ნორმალურ კანონს პარამეტრებით და . ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ალბათობა, რომ ეს რაოდენობა დაეცემა ინტერვალზე დან . ფორმულით (6.3.7) გვაქვს:

ფუნქციების ცხრილების გამოყენებით (დანართი, ცხრილი 1), ვპოულობთ:

; ,

მაგალითი 2. იპოვეთ იგივე ალბათობა, როგორც წინა მაგალითში, მაგრამ იმ პირობით, რომ არ იქნება სისტემატური შეცდომა.

გამოსავალი. ფორმულით (6.3.10), თუ ვივარაუდებთ, ვპოულობთ:

.

მაგალითი 3. სამიზნეზე, რომელიც ჰგავს ზოლს (სატრანსპორტო გზას), რომლის სიგანე 20 მ-ია, სროლა ტარდება ავტომაგისტრალის პერპენდიკულარული მიმართულებით. დამიზნება ხორციელდება მაგისტრალის ცენტრალური ხაზის გასწვრივ. სტანდარტული გადახრა სროლის მიმართულებით უდრის m-ს სროლის მიმართულებით არის სისტემატური შეცდომა: დაქვეითება არის 3 მ. იპოვეთ ავტობანზე ერთი გასროლით დარტყმის ალბათობა.

(რეალური, მკაცრად დადებითი)

Ნორმალური დისტრიბუცია, ასევე ე.წ გაუსის განაწილებაან გაუსი - ლაპლასი- ალბათობის განაწილება, რომელიც ერთგანზომილებიან შემთხვევაში მოცემულია ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციით, რომელიც ემთხვევა გაუსის ფუნქციას:

f (x) = 1 σ 2 π e − (x − μ) 2 2 σ 2 , (\displaystyle f(x)=(\frac (1)(\sigma (\sqrt (2\pi ))))\ ;e^(-(\frac ((x-\mu)^(2))(2\სიგმა ^(2)))))

სადაც პარამეტრი μ არის მათემატიკური მოლოდინი (საშუალო მნიშვნელობა), მედიანა და განაწილების რეჟიმი, ხოლო პარამეტრი σ არის განაწილების სტანდარტული გადახრა (σ  ² - ვარიაცია).

ამრიგად, ერთგანზომილებიანი ნორმალური განაწილება არის განაწილების ორპარამეტრიანი ოჯახი. მრავალვარიანტული შემთხვევა აღწერილია სტატიაში „მრავალვარიატი ნორმალური განაწილება“.

სტანდარტული ნორმალური განაწილებაეწოდება ნორმალური განაწილება საშუალო μ = 0 და სტანდარტული გადახრით σ = 1 .

ენციკლოპედიური YouTube

• 1 / 5

  ნორმალური განაწილების მნიშვნელობა მეცნიერების ბევრ დარგში (მაგალითად, მათემატიკური სტატისტიკასა და სტატისტიკურ ფიზიკაში) ალბათობის თეორიის ცენტრალური ზღვრული თეორემადან გამომდინარეობს. თუ დაკვირვების შედეგი არის მრავალი შემთხვევითი, სუსტად ურთიერთდამოკიდებული ცვლადის ჯამი, რომელთაგან თითოეული მცირე წვლილს ახდენს მთლიან ჯამთან მიმართებაში, მაშინ ტერმინების რიცხვის გაზრდისას, ორიენტირებული და ნორმალიზებული შედეგის განაწილება ნორმალურზე მიდის. ალბათობის თეორიის ამ კანონს აქვს ნორმალური განაწილების ფართო განაწილება, რაც მისი სახელწოდების ერთ-ერთი მიზეზი იყო.

  Თვისებები

  მომენტები

  თუ შემთხვევითი ცვლადები X 1 (\displaystyle X_(1))და X 2 (\displaystyle X_(2))არიან დამოუკიდებლები და აქვთ ნორმალური განაწილება მათემატიკური მოლოდინებით μ 1 (\displaystyle \mu _(1))და μ 2 (\displaystyle \mu _(2))და დისპერსიები σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2))და σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2))შესაბამისად, მაშინ X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2))ასევე აქვს ნორმალური განაწილება მოსალოდნელი მნიშვნელობით μ 1 + μ 2 (\ჩვენების სტილი \mu _(1)+\mu _(2))და დისპერსიას σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).)ეს გულისხმობს, რომ ნორმალური შემთხვევითი ცვლადი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც დამოუკიდებელი ნორმალური შემთხვევითი ცვლადების თვითნებური რაოდენობის ჯამი.

  მაქსიმალური ენტროპია

  ნორმალურ განაწილებას აქვს მაქსიმალური დიფერენციალური ენტროპია ყველა უწყვეტ განაწილებას შორის, რომლის ვარიაცია არ აღემატება მოცემულ მნიშვნელობას.

  ნორმალური ფსევდო შემთხვევითი ცვლადების მოდელირება

  მოდელირების უმარტივესი მიახლოებითი მეთოდები დაფუძნებულია ცენტრალური ლიმიტის თეორემაზე. კერძოდ, თუ დავამატებთ რამდენიმე დამოუკიდებელ იდენტურად განაწილებულ რაოდენობას სასრული დისპერსიით, მაშინ ჯამი გადანაწილდება დაახლოებითჯარიმა. მაგალითად, თუ დაამატებთ 100 დამოუკიდებელ სტანდარტს თანაბრადგანაწილებული შემთხვევითი ცვლადები, მაშინ ჯამის განაწილება იქნება დაახლოებით ნორმალური.

  ნორმალურად განაწილებული ფსევდო-შემთხვევითი ცვლადების პროგრამული უზრუნველყოფის გენერირებისთვის სასურველია გამოიყენოთ Box - Muller ტრანსფორმაცია. ის საშუალებას გაძლევთ შექმნათ ერთი ნორმალურად განაწილებული მნიშვნელობა ერთი თანაბრად განაწილებულის საფუძველზე.

  ნორმალური განაწილება ბუნებაში და აპლიკაციებში

  ნორმალური განაწილება ხშირად გვხვდება ბუნებაში. მაგალითად, შემდეგი შემთხვევითი ცვლადები კარგად არის მოდელირებული ნორმალური განაწილებით:

  • სროლის გადახრა.
  • გაზომვის შეცდომები (თუმცა, ზოგიერთი საზომი ხელსაწყოს შეცდომებს აქვს არაჩვეულებრივი განაწილება).
  • ცოცხალი ორგანიზმების ზოგიერთი მახასიათებელი პოპულაციაში.

  ეს განაწილება იმდენად გავრცელებულია, რადგან ის არის უსასრულოდ გამყოფი უწყვეტი განაწილება სასრული დისპერსიით. მაშასადამე, ზოგიერთი სხვა უახლოვდება მას ლიმიტში, როგორიცაა ბინომიალი და პუასონი. ბევრი არადეტერმინისტული ფიზიკური პროცესი მოდელირებულია ამ განაწილებით.

  სხვა დისტრიბუციებთან ურთიერთობა

  • ნორმალური განაწილება არის XI ტიპის პირსონის განაწილება.
  • ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადების დამოუკიდებელი სტანდარტის წყვილის შეფარდებას აქვს  კოშის განაწილება. ანუ თუ შემთხვევითი ცვლადი X (\displaystyle X)წარმოადგენს ურთიერთობას X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(სად Y (\displaystyle Y)და Z (\displaystyle Z)არის დამოუკიდებელი სტანდარტული ნორმალური შემთხვევითი ცვლადები), მაშინ მას ექნება კოშის განაწილება.
  • თუ z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))ერთობლივად დამოუკიდებელი სტანდარტული ნორმალური შემთხვევითი ცვლადებია, ე.ი. z i ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\მარცხნივ(0,1\მარჯვნივ)), შემდეგ შემთხვევითი ცვლადი x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2))აქვს ჩი-კვადრატის განაწილება k თავისუფლების ხარისხით.
  • თუ შემთხვევითი ცვლადი X (\displaystyle X)ექვემდებარება ლოგნორმალურ განაწილებას, მაშინ მის ბუნებრივ ლოგარითმს აქვს ნორმალური განაწილება. ანუ თუ X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\მარჯვნივ)), ეს Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). და პირიქით, თუ Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\მარჯვნივ)), ეს X = exp ⁡ (Y) ∼ L o g N (μ, σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu,\sigma ^(2) \მარჯვნივ )).
  • ორი სტანდარტული ნორმალური შემთხვევითი ცვლადის კვადრატების შეფარდება აქვს

  პრაქტიკაში, შემთხვევითი ცვლადების უმეტესობა, რომელზეც გავლენას ახდენს შემთხვევითი ფაქტორების დიდი რაოდენობა, ემორჩილება ალბათობის განაწილების ნორმალურ კანონს. ამიტომ, ალბათობის თეორიის სხვადასხვა გამოყენებაში ამ კანონს განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვს.

  შემთხვევითი ცვლადი $X$ ემორჩილება ალბათობის განაწილების ნორმალურ კანონს, თუ მის ალბათობის განაწილების სიმკვრივეს აქვს შემდეგი ფორმა

  $$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\სიგმა )^2)))$$

  სქემატურად $f\left(x\right)$ ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია ფიგურაში და აქვს სახელწოდება "გაუსის მრუდი". ამ გრაფიკის მარჯვნივ არის გერმანული 10 მარკის ბანკნოტი, რომელიც ევროს შემოღებამდეც სარგებლობდა. თუ დააკვირდებით, მაშინ ამ ბანკნოტზე შეგიძლიათ იხილოთ გაუსის მრუდი და მისი აღმომჩენი, უდიდესი მათემატიკოსი კარლ ფრიდრიხ გაუსი.

  მოდით დავუბრუნდეთ ჩვენს სიმკვრივის ფუნქციას $f\left(x\right)$ და მივცეთ ახსნა განაწილების პარამეტრების შესახებ $a,\ (\sigma )^2$. პარამეტრი $a$ ახასიათებს შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების დისპერსიის ცენტრს, ანუ მას აქვს მათემატიკური მოლოდინის მნიშვნელობა. როდესაც $a$ პარამეტრი იცვლება და პარამეტრი $(\sigma )^2$ უცვლელი რჩება, ჩვენ შეგვიძლია დავაკვირდეთ $f\left(x\right)$ ფუნქციის გრაფიკის ცვლას აბსცისის ღერძის გასწვრივ, ხოლო სიმკვრივე თავად გრაფიკი არ ცვლის თავის ფორმას.

  

  პარამეტრი $(\sigma )^2$ არის განსხვავება და ახასიათებს სიმკვრივის მრუდის ფორმას $f\left(x\right)$. $(\sigma )^2$ პარამეტრის შეცვლისას $a$ პარამეტრით უცვლელი, შეგვიძლია დავაკვირდეთ, როგორ იცვლის სიმკვრივის გრაფიკი ფორმას, იკუმშება ან იჭიმება, ხოლო აბსცისის გასწვრივ არ გადადის.

  

  ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის მოცემულ ინტერვალში მოხვედრის ალბათობა

  როგორც ცნობილია, ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი $X$ მოხვდება $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ ინტერვალში შეიძლება გამოითვალოს $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

  $$P\მარცხნივ(\ალფა< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

  აქ ფუნქცია $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ არის ლაპლასის ფუნქცია. ამ ფუნქციის მნიშვნელობები აღებულია. შეიძლება აღინიშნოს $\Phi \left(x\right)$ ფუნქციის შემდეგი თვისებები.

  

  1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, ანუ ფუნქცია $\Phi \left(x\right)$ არის უცნაური.

  2 . $\Phi \left(x\right)$ არის მონოტონურად მზარდი ფუნქცია.

  3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) \ Phi \ მარცხენა (x\მარჯვნივ)\ )=-0,5$.

  $\Phi \left(x\right)$ ფუნქციის მნიშვნელობების გამოსათვლელად, ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ Excel პაკეტის $f_x$ ფუნქციის ოსტატი: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left. (x;0;1;1\მარჯვნივ) -0.5$. მაგალითად, გამოვთვალოთ $\Phi \left(x\right)$ ფუნქციის მნიშვნელობები $x=2$-ისთვის.

  

  ალბათობა იმისა, რომ ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ მოხვდება სიმეტრიულ ინტერვალში $a$ მოლოდინის მიმართ, შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით.

  $$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

  სამი სიგმას წესი. პრაქტიკულად დარწმუნებულია, რომ ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი $X$ ხვდება $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ ინტერვალში.

  მაგალითი 1 . შემთხვევითი ცვლადი $X$ ექვემდებარება ნორმალური ალბათობის განაწილების კანონს $a=2,\ \sigma =3$ პარამეტრებით. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ $X$ მოხვდება $\left(0,5;1\right)$ ინტერვალში და ალბათობა იმისა, რომ უტოლობა $\left|X-a\right|< 0,2$.

  ფორმულის გამოყენებით

  $$P\მარცხნივ(\ალფა< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

  იპოვნეთ $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ (3))\მარჯვნივ)=\Phi \left(-0.33\მარჯვნივ)-\Phi \left(-0.5\მარჯვნივ)=\Phi \left(0.5\მარჯვნივ)-\Phi \ მარცხნივ(0.33\მარჯვნივ) =0,191-0,129=0,062$.

  $$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

  მაგალითი 2 . დავუშვათ, რომ წლის განმავლობაში გარკვეული კომპანიის აქციების ფასი არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც განაწილებულია ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით მათემატიკური მოლოდინით, რომელიც უდრის 50 ჩვეულებრივი ფულადი ერთეულის და სტანდარტული გადახრის ტოლია 10-ის. რა არის ალბათობა, რომ შემთხვევით არჩეულზე განსახილველი პერიოდის დღეს აქციის ფასი იქნება:

  ა) 70-ზე მეტი ჩვეულებრივი ფულადი ერთეული?

  ბ) 50-ზე ქვემოთ თითო აქციაზე?

  გ) 45-დან 58-მდე ჩვეულებრივი ფულადი ერთეულის ერთ აქციაზე?

  დაე, შემთხვევითი ცვლადი $X$ იყოს ზოგიერთი კომპანიის აქციების ფასი. პირობით $X$ ექვემდებარება ნორმალურ განაწილებას პარამეტრებით $a=50$ - მათემატიკური მოლოდინი, $\sigma =10$ - სტანდარტული გადახრა. ალბათობა $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

  $$P\მარცხნივ(\ალფა< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

  $$a)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\მარჯვნივ)-\Phi \left(((70-50)\ მეტი (10))\მარჯვნივ)=0.5-\Phi \left(2\მარჯვნივ)=0.5-0.4772=0.0228.$$

  $$b)\ P\ მარცხენა (X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

  $$c)\ P\ მარცხენა(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

  უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობების ნორმალური განაწილების კანონი განსაკუთრებულ ადგილს იკავებს სხვადასხვა თეორიულ კანონებს შორის, რადგან ის მთავარია მრავალ პრაქტიკულ კვლევაში. ის აღწერს წარმოების პროცესებთან დაკავშირებულ შემთხვევითი ფენომენების უმეტესობას.

  შემთხვევითი მოვლენები, რომლებიც ემორჩილება ნორმალურ განაწილების კანონს, მოიცავს წარმოების პარამეტრების გაზომვის შეცდომებს, წარმოების ტექნოლოგიური შეცდომების განაწილებას, ბიოლოგიური ობიექტების უმეტესობის სიმაღლეს და წონას და ა.შ.

  ნორმალური ვუწოდოთ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების კანონი, რომელიც აღწერილია დიფერენციალური ფუნქციით

  a - შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი;

  ნორმალური განაწილების სტანდარტული გადახრა.

  ნორმალური განაწილების დიფერენციალური ფუნქციის გრაფიკს ეწოდება ნორმალური მრუდი (გაუსის მრუდი) (ნახ. 7).

  

  ბრინჯი. 7 გაუსის მრუდი

  ნორმალური მრუდის თვისებები (გაუსის მრუდი):

  1. მრუდი სიმეტრიულია სწორი ხაზის მიმართ x = a;

  2. ნორმალური მრუდი მდებარეობს X ღერძის ზემოთ, ანუ X-ის ყველა მნიშვნელობისთვის ფუნქცია f(x) ყოველთვის დადებითია;

  3. ox ღერძი არის გრაფიკის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი, რადგან

  4. x = a-სთვის f(x) ფუნქციას აქვს მაქსიმალური ტოლი

  ,

  A და B წერტილებში at და მრუდს აქვს გადახრის წერტილები, რომელთა ორდინატები ტოლია.

  

  ამავდროულად, ალბათობა იმისა, რომ ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინიდან გადახრის აბსოლუტური მნიშვნელობა არ აღემატებოდეს სტანდარტულ გადახრას, უდრის 0,6826-ს.

  E და G წერტილებში, for და, f(x) ფუნქციის მნიშვნელობა უდრის

  

  და ალბათობა იმისა, რომ ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის გადახრის აბსოლუტური მნიშვნელობა მისი მათემატიკური მოლოდინიდან არ აღემატებოდეს ორჯერ სტანდარტულ გადახრას არის 0,9544.

  ასიმპტოტურად უახლოვდება აბსცისის ღერძს, გაუსის მრუდი C და D წერტილებში, at და, ძალიან უახლოვდება აბსცისის ღერძს. ამ წერტილებში f(x) ფუნქციის მნიშვნელობა ძალიან მცირეა

  

  და ალბათობა იმისა, რომ ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის გადახრის აბსოლუტური მნიშვნელობა მისი მათემატიკური მოლოდინიდან არ აღემატებოდეს სტანდარტულ გადახრას სამჯერ არის 0,9973. გაუსის მრუდის ამ თვისებას ეწოდება " სამი სიგმის წესი".

  
  
  

  თუ შემთხვევითი ცვლადი ჩვეულებრივ ნაწილდება, მაშინ მისი გადახრის აბსოლუტური მნიშვნელობა მათემატიკური მოლოდინიდან არ აღემატება სამჯერ სტანდარტულ გადახრას.

  a პარამეტრის მნიშვნელობის შეცვლა (შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი) არ ცვლის ნორმალური მრუდის ფორმას, მაგრამ მხოლოდ იწვევს მის გადასვლას X ღერძის გასწვრივ: მარჯვნივ, თუ a იზრდება, და მარცხნივ, თუ a. მცირდება.

  როდესაც a=0, ნორმალური მრუდი სიმეტრიულია y-ღერძის მიმართ.

  პარამეტრის მნიშვნელობის შეცვლა (სტანდარტული გადახრა) ცვლის ნორმალური მრუდის ფორმას: ნორმალური მრუდის კლების ორდინატების გაზრდით, მრუდი გადაჭიმულია X ღერძის გასწვრივ და დაჭერით მის წინააღმდეგ. კლებისას ნორმალური მრუდის ორდინატები იზრდება, მრუდი იკუმშება X ღერძის გასწვრივ და ხდება უფრო „პიკი“.

  ამავდროულად, და-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ნორმალური მრუდით და X ღერძით შემოსაზღვრული ფართობი რჩება ერთის ტოლი (ანუ ალბათობა იმისა, რომ ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს ნორმალურ მრუდით შემოსაზღვრულ მნიშვნელობას. X ღერძი უდრის 1-ს).

  ნორმალური განაწილება თვითნებური პარამეტრებით და, ე.ი., აღწერილი დიფერენციალური ფუნქციით

  

  დაურეკა ზოგადი ნორმალური განაწილება.

  ნორმალური განაწილება პარამეტრებით და ე.წ ნორმალიზებული განაწილება(ნახ. 8). ნორმალიზებულ განაწილებაში დიფერენციალური განაწილების ფუნქციაა:

  

  ბრინჯი. 8 ნორმალიზებული მრუდი

  ზოგადი ნორმალური განაწილების ინტეგრალურ ფუნქციას აქვს ფორმა:

  დაე, შემთხვევითი X ცვლადი განაწილდეს ნორმალური კანონის მიხედვით ინტერვალში (c, d). მაშინ ალბათობა იმისა, რომ X იღებს მნიშვნელობას, რომელიც მიეკუთვნება ინტერვალს (c, d) უდრის

  

  მაგალითი.შემთხვევითი ცვლადი X ნაწილდება ნორმალური კანონის მიხედვით. ამ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და სტანდარტული გადახრა არის a=30 და . იპოვეთ ალბათობა, რომ X იღებს მნიშვნელობას ინტერვალში (10, 50).

  პირობით: . მერე

  მზა ლაპლასის ცხრილების გამოყენებით (იხ. დანართი 3), გვაქვს.