სადაც განიხილებოდა მართკუთხა სამკუთხედის ამოხსნის ამოცანები, მე დავპირდი, რომ წარმოვადგენდი სინუსისა და კოსინუსის განმარტებების დამახსოვრების ტექნიკას. მისი გამოყენებით, თქვენ ყოველთვის სწრაფად გახსოვთ, რომელი ფეხი ეკუთვნის ჰიპოტენუზას (მიმდებარე თუ მოპირდაპირე). გადავწყვიტე უსასრულოდ არ გადავდო, საჭირო მასალა ქვემოთ, გთხოვთ წაიკითხოთ 😉

ფაქტია, რომ მე არაერთხელ მინახავს, ​​როგორ უჭირთ 10-11 კლასების მოსწავლეებს ამ განმარტებების დამახსოვრება. მათ კარგად ახსოვთ, რომ ფეხი ჰიპოტენუზას მიანიშნებს, მაგრამ რომელი- დაივიწყე და დაბნეული. შეცდომის ფასი, როგორც მოგეხსენებათ გამოცდაზე, დაკარგული ქულაა.

ინფორმაციას, რომელსაც უშუალოდ მათემატიკას წარვადგენ, არაფერ შუაშია. ასოცირდება ფიგურალურ აზროვნებასთან და ვერბალურ-ლოგიკური კავშირის მეთოდებთან. ასეა, მე თვითონ ერთხელ და სამუდამოდ გამახსენდაგანმარტების მონაცემები. თუ მაინც დაგავიწყდათ ისინი, მაშინ წარმოდგენილი ტექნიკის დახმარებით ყოველთვის ადვილი დასამახსოვრებელია.

ნება მომეცით შეგახსენოთ სინუსის და კოსინუსის განმარტებები მართკუთხა სამკუთხედში:

კოსინუსიმართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხე არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

სინუსიმართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხე არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

მაშ, რა ასოციაციებს იწვევს თქვენში სიტყვა კოსინუსი?

ალბათ ყველას აქვს თავისიდაიმახსოვრეთ ბმული:

ამრიგად, თქვენ დაუყოვნებლივ გექნებათ გამოხატულება თქვენს მეხსიერებაში -

«… მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან».

კოსინუსის განსაზღვრის პრობლემა მოგვარებულია.

თუ თქვენ გჭირდებათ დაიმახსოვროთ სინუსის განმარტება მართკუთხა სამკუთხედში, შემდეგ გაიხსენეთ კოსინუსის განმარტება, შეგიძლიათ მარტივად დაადგინოთ, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან. ყოველივე ამის შემდეგ, მხოლოდ ორი ფეხია, თუ მიმდებარე ფეხი "ოკუპირებულია" კოსინუსის მიერ, მაშინ მხოლოდ საპირისპირო მხარე რჩება სინუსისთვის.

რაც შეეხება ტანგენტს და კოტანგენტს? იგივე დაბნეულობა. სტუდენტებმა იციან, რომ ეს არის ფეხების თანაფარდობა, მაგრამ პრობლემა ის არის, რომ დაიმახსოვროთ რომელი რომელს ეხება - ან მეზობლის საპირისპიროდ, ან პირიქით.

განმარტებები:

ტანგენტიმართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხე არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მეზობელთან:

კოტანგენსიმართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხე არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება საპირისპიროზე:

როგორ გავიხსენოთ? არსებობს ორი გზა. ერთი ასევე იყენებს ვერბალურ-ლოგიკურ კავშირს, მეორე - მათემატიკურს.

მათემატიკური მეთოდი

არსებობს ასეთი განმარტება - მახვილი კუთხის ტანგენსი არის კუთხის სინუსის თანაფარდობა მის კოსინუსთან:

* ფორმულის დამახსოვრებისას, ყოველთვის შეგიძლიათ განსაზღვროთ, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მეზობელთან.

ანალოგიურად.მწვავე კუთხის კოტანგენსი არის კუთხის კოსინუსის შეფარდება მის სინუსთან:

Ისე! ამ ფორმულების დამახსოვრებისას, ყოველთვის შეგიძლიათ განსაზღვროთ, რომ:

- მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება მეზობელთან

- მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის კოტანგენსი არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირეზე.

ვერბალურ-ლოგიკური მეთოდი

ტანგენტის შესახებ. დაიმახსოვრეთ ბმული:

ანუ, თუ თქვენ გჭირდებათ დაიმახსოვროთ ტანგენტის განმარტება, ამ ლოგიკური კავშირის გამოყენებით, შეგიძლიათ მარტივად დაიმახსოვროთ რა არის

"... მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მიმდებარედ"

თუ საქმე ეხება კოტანგენტს, მაშინ გაიხსენეთ ტანგენტის განმარტება, შეგიძლიათ მარტივად გამოხატოთ კოტანგენტის განმარტება -

"... მიმდებარე ფეხის შეფარდება საპირისპიროზე"

საიტზე არის ტანგენტისა და კოტანგენტის დამახსოვრების საინტერესო ტექნიკა " მათემატიკური ტანდემი " , შეხედე.

მეთოდი უნივერსალური

შეგიძლიათ უბრალოდ დაფქვა.მაგრამ როგორც პრაქტიკა გვიჩვენებს, ვერბალურ-ლოგიკური კავშირების წყალობით ადამიანს დიდი ხნის განმავლობაში ახსოვს ინფორმაცია და არა მხოლოდ მათემატიკური.

ვიმედოვნებ, რომ მასალა თქვენთვის სასარგებლო იყო.

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ სოციალურ ქსელებში მოგიყვებით საიტის შესახებ.

ინსტრუქცია

მეთოდი 1. პითაგორას თეორემის გამოყენება. თეორემა ამბობს: ჰიპოტენუზის კვადრატი ჯამის ტოლიაფეხების კვადრატები. აქედან გამომდინარეობს, რომ მართკუთხა სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდი შეიძლება გამოითვალოს მისი სხვა ორი გვერდის ცოდნით (ნახ. 2).

მეთოდი 2. აქედან გამომდინარეობს, რომ ჰიპოტენუზამდე გამოყვანილი მედიანა ქმნის 3 მსგავს სამკუთხედს ერთმანეთთან (ნახ. 3). ამ ფიგურაში სამკუთხედები ABC, BCD და ACD მსგავსია.

მაგალითი 6: ერთეული წრეების გამოყენება კოორდინატების მოსაძებნად

ჯერ ვპოულობთ მოცემული კუთხის შესაბამის მიმართვის კუთხეს. შემდეგ ჩვენ ვიღებთ მითითების კუთხის სინუსის და კოსინუსების მნიშვნელობებს და ვაძლევთ მათ კვადრატის y და x მნიშვნელობებს. შემდეგ ვიპოვით მოცემული კუთხის კოსინუსსა და სინუსს.

საცრის კუთხე, კუთხის სამკუთხედი და კუბის ფესვი

მრავალკუთხედები, რომლებიც შეიძლება აშენდეს კომპასით და სწორხაზოვნით, მოიცავს.

შენიშვნა: საცრის კუთხის დახატვა შეუძლებელია კომპასით და სწორხაზოვნით. კუბის გვერდის სიგრძის 2-ის კუბის ფესვზე გამრავლება იძლევა ორმაგი მოცულობის მქონე კუბის გვერდის სიგრძეს. ფრანგი მათემატიკოსის ევარისტ გალუას ინოვაციური თეორიის გამოყენებით შეიძლება აჩვენოს, რომ სამივე კლასიკური ამოცანისთვის წრე და სახაზავი აგება შეუძლებელია.

ჰიპოტენუზა არის მართკუთხა სამკუთხედის გვერდი, რომელიც მოპირდაპირეა 90 გრადუსიანი კუთხით. მისი სიგრძის გამოსათვლელად საკმარისია ვიცოდეთ ერთ-ერთი ფეხის სიგრძე და სამკუთხედის ერთ-ერთი მწვავე კუთხის მნიშვნელობა.

გაითვალისწინეთ: სამკომპონენტიანი კუთხისა და კუბური ფესვის კონსტრუქცია კომპასით და სტრიქით შეუძლებელია.

მეორეს მხრივ, კარდანოს ფორმულის მიხედვით მესამე ხარისხის განტოლების ამოხსნა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს კუთხისა და კუბის ფესვის გაყოფით. მომავალში, ჩვენ ვაშენებთ გარკვეულ კუთხეს წრეზე და სახაზავთან. თუმცა, ამ კუთხის სამკუთხედის და კუბის ფესვის განსაზღვრის შემდეგ, საცრის კვადრატის აგების დასრულება შეიძლება კომპასისა და სტრიქონის დახმარებით.

გისოსის გემბანის მშენებლობა ამ გაანგარიშების მიხედვით

კონსტრუქციული პრობლემის ალგებრული ფორმულირება მივყავართ განტოლებამდე, რომლის სტრუქტურული ანალიზი მოგცემთ დამატებით ინფორმაციას სამიანი სტრუქტურის აგების შესახებ. აქ გამოიყენება კუთხის ერთი-ერთი შეფარდება მის კოსინუსთან: თუ კუთხის სიდიდე ცნობილია, კუთხის კოსინუსის სიგრძე შეიძლება ცალსახად აშენდეს ერთეულ წრეზე და პირიქით.

ინსტრუქცია

ცნობილი ფეხით და მართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხით, მაშინ ჰიპოტენუზის ზომა შეიძლება ტოლი იყოს ფეხის თანაფარდობაზე ამ კუთხის კოსინუსთან / სინუსთან, თუ ეს კუთხე არის საპირისპირო / მის გვერდით:

h = C1(ან C2)/sinα;

h = С1(ან С2)/cosα.

მაგალითი: მოცემულია ABC მართკუთხა სამკუთხედი ჰიპოტენუზით AB და მართი კუთხით C. მოდით კუთხე B იყოს 60 გრადუსი და კუთხე A 30 გრადუსი, BC ფეხის სიგრძე არის 8 სმ. იპოვეთ AB ჰიპოტენუზის სიგრძე. ამისათვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ზემოთ შემოთავაზებული ნებისმიერი მეთოდი:

ეს ერთი-ერთზე ამოცანა საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ კუთხის განსაზღვრებიდან კუთხის კოსინუსის განსაზღვრებამდე. შემდეგში 3 φ აღნიშნავს გასაყოფ კუთხეს. ამრიგად, φ არის კუთხე, რომლის მნიშვნელობა უნდა განისაზღვროს მოცემული 3 φ-ისთვის. დაწყებული ტრიგონომეტრიიდან ცნობილი ნაერთებით.

მიჰყვება მოცემული კუთხით 3 φ. სამგანზომილებიანი განტოლების ამოხსნადობის ალგებრული განხილვა უშუალოდ იწვევს ამონახსნების აგების შესაძლებლობის საკითხს და, შესაბამისად, მოცემული კუთხის კონსტრუქციული სამმაგი კუთხის შესაძლებლობის ან შეუძლებლობის საკითხს.

AB=BC/cos60=8 სმ.

AB = BC/sin30 = 8 სმ.

ჰიპოტენუზა არის მართკუთხა სამკუთხედის გვერდი, რომელიც მართი კუთხის საპირისპიროა. ეს არის მართკუთხა სამკუთხედის ყველაზე გრძელი გვერდი. მისი გამოთვლა შეგიძლიათ პითაგორას თეორემის ან ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ფორმულების გამოყენებით.

გასასვლელი კუთხის მნიშვნელობა დიდ გავლენას ახდენს მესამე კუთხის დაკავშირების შესაძლებლობაზე, რადგან ეს, როგორც აბსოლუტური ტერმინი, გადამწყვეტად განსაზღვრავს ამონახსნების ტიპს სამგანზომილებიან განტოლებაში. თუ სამკუთხედის განტოლებას აქვს მინიმუმ ერთი რეალური ამონახსნები, რომელიც შეიძლება მიღებულ იქნას რაციონალური მოქმედებებით ან კვადრატული ფესვის ნიმუში მოცემული საწყისი კუთხისთვის, ეს ამონახსნი კონსტრუქციულია.

ბრაიდენბახმა ჩამოაყალიბა, როგორც კრიტერიუმი, რომ სამწამიანი კუთხის ინტერპრეტაცია შესაძლებელია მხოლოდ სამნაწილიანი განტოლების რაციონალური ამოხსნით. თუ ასეთი გამოსავალი არ არის, სამნაწილიანი კონსტრუქციის პრობლემა შეუთავსებელია კომპასთან და სახაზავთან. კლასტერული ანალიზი არის ზოგადი ტექნიკა მცირე ჯგუფების შეკრებისთვის დიდი მონაცემთა ნაკრებიდან. დისკრიმინაციული ანალიზის მსგავსად, კლასტერული ანალიზი ასევე გამოიყენება დაკვირვებების ჯგუფებად კლასიფიკაციისთვის. მეორე მხრივ, დისკრიმინაციული ანალიზი მოითხოვს ჯგუფური წევრობის ცოდნას კლასიფიკაციის წესის გამოსათვლელად გამოყენებულ შემთხვევებში.

ინსტრუქცია

ფეხებს უწოდებენ მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს მართი კუთხის მიმდებარედ. ფიგურაში, ფეხები მითითებულია როგორც AB და BC. მიეცით ორივე ფეხის სიგრძე. ავღნიშნოთ ისინი როგორც |AB| და |ძვ.წ.|. ჰიპოტენუზის |AC|-ის სიგრძის საპოვნელად ვიყენებთ პითაგორას თეორემას. ამ თეორემის მიხედვით, ფეხის კვადრატების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს, ე.ი. ჩვენი ნახატის აღნიშვნაში |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. ფორმულიდან ვიღებთ, რომ AC ჰიპოტენუზის სიგრძე გვხვდება |AC| = √(|AB|^2 + |BC|^2) .

კლასტერული ანალიზი უფრო პრიმიტიული მეთოდია, რადგან ის არ აკეთებს ვარაუდებს ჯგუფების რაოდენობის ან ჯგუფის წევრობის შესახებ. კლასიფიკაცია კლასტერული ანალიზი საშუალებას იძლევა აღმოაჩინოს პოტენციური ურთიერთობები და შექმნას სისტემატური სტრუქტურა ცვლადებისა და დაკვირვებების დიდი რაოდენობით. იერარქიული კლასტერული ანალიზი არის ძირითადი სტატისტიკური მეთოდი შემთხვევათა შედარებით ჰომოგენური კლასტერების მოსაძებნად გაზომილი მახასიათებლების საფუძველზე. იგი იწყება თითოეული შემთხვევით, როგორც ცალკეული კლასტერი.

შემდეგ კლასტერები ერწყმის თანმიმდევრობით, კლასტერების რაოდენობა მცირდება ყოველ საფეხურზე, სანამ მხოლოდ ერთი კლასტერი დარჩება. კლასტერიზაციის მეთოდი იყენებს ობიექტებს შორის განსხვავებებს კლასტერების შესაქმნელად. იერარქიული კლასტერული ანალიზი საუკეთესოა მცირე ნიმუშებისთვის.

განვიხილოთ მაგალითი. მოდით, ფეხების სიგრძე |AB| = 13, |ძვ.წ.| = 21. პითაგორას თეორემით ვიღებთ, რომ |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. 610 ნომრიდან: |AC| = √610. მთელი რიცხვების კვადრატების ცხრილის გამოყენებით აღმოვაჩენთ, რომ რიცხვი 610 არ არის რომელიმე მთელი რიცხვის სრულყოფილი კვადრატი. ჰიპოტენუზის სიგრძის საბოლოო მნიშვნელობა რომ მივიღოთ, შევეცადოთ ამოიღოთ სრული კვადრატი ფესვის ნიშნის ქვეშ. ამისათვის ჩვენ ვანაწილებთ რიცხვს 610 ფაქტორებად. 610 \u003d 2 * 5 * 61. მარტივი რიცხვების ცხრილის მიხედვით, ჩვენ ვხედავთ, რომ 61 არის მარტივი რიცხვი. ამიტომ √610 რიცხვის შემდგომი შემცირება შეუძლებელია. ვიღებთ საბოლოო პასუხს |AC| = √610.
თუ ჰიპოტენუზის კვადრატი იყო, მაგალითად, 675, მაშინ √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. თუ ასეთი ჩამოსხმა შესაძლებელია, შეასრულეთ საპირისპირო შემოწმება - შედეგის კვადრატში და შედარება ორიგინალურ მნიშვნელობასთან.

იერარქიული კლასტერული ანალიზი მხოლოდ ერთ-ერთი გზაა ერთგვაროვანი ცვლადი ჯგუფების ფორმირების დასაკვირვებლად. არ არსებობს კონკრეტული გზა თქვენი ანალიზისთვის კლასტერების რაოდენობის დასაყენებლად. შეიძლება დაგჭირდეთ დენდროგრამის და ასევე კლასტერების მახასიათებლების დათვალიერება და შემდეგ რიცხვის ეტაპობრივად კორექტირება, რათა მიიღოთ კარგი კასეტური ამოხსნა.

როდესაც ცვლადები იზომება სხვადასხვა მასშტაბით, თქვენ გაქვთ სამი გზა ცვლადების სტანდარტიზაციისთვის. შედეგად, ყველა ცვლადი დაახლოებით თანაბარი პროპორციით ხელს უწყობს მანძილის გაზომვას, მაშინაც კი, თუ შეიძლება დაკარგოთ ინფორმაცია ცვლადების დისპერსიის შესახებ.

გვაცნობეთ ერთ-ერთი ფეხი და მის მიმდებარე კუთხე. დაზუსტებისთვის, ეს იყოს ფეხი |AB| და კუთხე α. შემდეგ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის კოსინუსის ფორმულა - კუთხის კოსინუსი უდრის მიმდებარე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან. იმათ. ჩვენს აღნიშვნით cos α = |AB| / |AC|. აქედან ვიღებთ ჰიპოტენუზის სიგრძეს |AC| = |AB| / cosα.
თუ ვიცით ფეხი |ძვ.წ.| და კუთხე α, შემდეგ ვიყენებთ კუთხის სინუსის გამოსათვლელ ფორმულას - კუთხის სინუსი უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან: sin α = |BC| / |AC|. მივიღებთ, რომ ჰიპოტენუზის სიგრძე გვხვდება როგორც |AC| = |ძვ.წ.| / cosα.

ევკლიდური მანძილი: ევკლიდური მანძილი გაზომვის ყველაზე გავრცელებული მეთოდია. კვადრატული ევკლიდური მანძილი: კვადრატული ევკლიდური მანძილი ყურადღებას ამახვილებს ობიექტებზე, რომლებიც ერთმანეთისგან შორს არიან. ქალაქის ბლოკის მანძილი: ორივე ქალაქის ბლოკი და ევკლიდური მანძილი მინკოვსკის მეტრიკის განსაკუთრებული შემთხვევებია. მიუხედავად იმისა, რომ ევკლიდეს მანძილი შეესაბამება უმოკლესი ბილიკის სიგრძეს ორ წერტილს შორის, ქალაქის ბლოკის მანძილი არის თითოეული განზომილების გასწვრივ მანძილების ჯამი. პირსონის კორელაციური მანძილი განსხვავება 1-სა და ორი დაკვირვების კოსინუსების კოეფიციენტს შორის კოსინუსების კოეფიციენტი არის ორ ვექტორს შორის კუთხის კოსინუსი. ჟაკარდის მანძილი განსხვავება 1-სა და ჟაკარდის კოეფიციენტს შორის ორი დაკვირვებისთვის ბინარული მონაცემებისთვის ჯაკარდის კოეფიციენტი უდრის გადახურვის ოდენობის თანაფარდობას და ორი დაკვირვების ჯამს. უახლოესი მეზობელი ეს მეთოდი ვარაუდობს, რომ მანძილი ორ კლასტერს შორის შეესაბამება მათ უახლოეს სამეზობლოში არსებულ მახასიათებლებს შორის მანძილს. საუკეთესო მეზობელი ამ მეთოდით, მანძილი ორ კლასტერს შორის შეესაბამება მაქსიმალურ მანძილს ორ ობიექტს შორის სხვადასხვა კლასტერში. ჯგუფის საშუალო: ამ მეთოდით, მანძილი ორ კლასტერს შორის შეესაბამება საშუალო მანძილს ყველა წყვილ ობიექტს შორის სხვადასხვა კლასტერში. ეს მეთოდი ზოგადად რეკომენდირებულია, რადგან ის შეიცავს უფრო მეტ ინფორმაციას. მედიანა ეს მეთოდი ცენტრალური მეთოდის იდენტურია, გარდა იმისა, რომ ის არაწონიანია. შემდეგ, თითოეული შემთხვევისთვის, გამოითვლება კვადრატული ევკლიდური მანძილი კასეტურ საშუალებებამდე. შერწყმული კლასტერი არის ის, რომელიც ზრდის მინიმუმს. ანუ, ეს მეთოდი მინიმუმამდე ამცირებს კვადრატული მანძილების ჯამის ზრდას კლასტერებში. ეს მეთოდი მიდრეკილია შექმნას უფრო მცირე კლასტერები.

• ეს არის გეომეტრიული მანძილი მრავალგანზომილებიან სივრცეში.
• ის შესაფერისია მხოლოდ უწყვეტი ცვლადებისთვის.
• კოსინუსური მანძილი ორ მნიშვნელობათა ვექტორს შორის კუთხის კოსინუსი.
• ეს მეთოდი რეკომენდირებულია შედგენილი მტევნის შედგენისას.
• თუ შედგენილი მტევანი ქმნიან უნიკალურ "გროვებს", მეთოდი შესაფერისია.
• კასეტური ცენტრი არის შუა წერტილი მრავალგანზომილებიან სივრცეში.
• ის არ უნდა იქნას გამოყენებული, თუ მტევნის ზომები ძალიან განსხვავებულია.
• Ward საშუალო მნიშვნელობები ყველა ცვლადისთვის გამოითვლება თითოეული კლასტერისთვის.
• ეს მანძილი ჯამდება ყველა შემთხვევისთვის.

იდეა არის მინიმუმამდე დაიყვანოს მანძილი მონაცემებსა და კლასტერების შესაბამის კლასტერს შორის.

სიცხადისთვის, განიხილეთ მაგალითი. მოდით ფეხის სიგრძე |AB| = 15. და კუთხე α = 60°. ვიღებთ |AC| = 15 / cos 60 ° = 15 / 0.5 = 30.
იფიქრეთ იმაზე, თუ როგორ შეგიძლიათ შეამოწმოთ თქვენი შედეგი პითაგორას თეორემის გამოყენებით. ამისათვის ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ მეორე ფეხის სიგრძე |BC|. tg α = |BC| კუთხის ტანგენტის ფორმულის გამოყენებით / |AC|, ვიღებთ |ძვ.წ.| = |AB| * tg α = 15 * tg 60 ° = 15 * √3. შემდეგი, ჩვენ ვიყენებთ პითაგორას თეორემას, ვიღებთ 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. შემოწმება დასრულებულია.

სინუსური ფუნქცია განისაზღვრება სინუსის კონცეფციიდან, იმის გათვალისწინებით, რომ კუთხე ყოველთვის უნდა იყოს გამოხატული რადიანებში. ჩვენ შეგვიძლია დავაკვირდეთ სინუსოიდური ფუნქციის რამდენიმე მახასიათებელს.

• თქვენი დომენი შეიცავს ყველა რეალურს.
• ამ შემთხვევაში, ფუნქცია არის პერიოდული, 2π პერიოდით.

კოსინუსის ფუნქცია განისაზღვრება კოსინუსის კონცეფციიდან, იმის გათვალისწინებით, რომ კუთხე ყოველთვის უნდა იყოს გამოხატული რადიანებში.

ჩვენ შეგვიძლია დავაკვირდეთ კოსინუსური ფუნქციის რამდენიმე მახასიათებელს. ამრიგად, ეს არის 2π პერიოდული პერიოდი. . შეზღუდვა არ ხსნის ფორმულის ზოგადობას, რადგან ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია შევამციროთ მეორე, მესამე და მეოთხე კვადრანტების კუთხეები პირველზე. Ვარჯიში. - გამოთვალეთ 15º სინუსი კალკულატორის გამოყენების გარეშე.

ჰიპოტენუზის გამოთვლის შემდეგ შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა მიღებული მნიშვნელობა პითაგორას თეორემას.

წყაროები:

• მარტივი რიცხვების ცხრილი 1-დან 10000-მდე

ფეხებიდაასახელეთ მართკუთხა სამკუთხედის ორი მოკლე გვერდი, რომლებიც ქმნიან მის წვეროს, რომლის მნიშვნელობა არის 90 °. ასეთ სამკუთხედში მესამე გვერდს ჰიპოტენუზა ეწოდება. სამკუთხედის ყველა ეს გვერდი და კუთხე ერთმანეთთან არის დაკავშირებული გარკვეული ურთიერთობებით, რაც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ფეხის სიგრძე, თუ ცნობილია რამდენიმე სხვა პარამეტრი.

ორი კუთხის ჯამის კოსინუსი

ორი კუთხის სხვაობის კოსინუსი

ფორმულის მისაღებად, შეგვიძლია ვიმოქმედოთ ისევე, როგორც წინა განყოფილებაში, მაგრამ დავინახავთ კიდევ ერთ ძალიან მარტივ დემონსტრირებას, რომელიც დაფუძნებულია პითაგორას თეორემაზე. ნიშნის გამარტივება და შეცვლა გვაქვს ორი კუთხის ტანგენტების ჯამი და სხვაობა.

Ვარჯიში. დღევანდელ სტატიაში ჩვენ განვიხილავთ ძალიან კონკრეტულ ქვეჯგუფს: ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს. იმისთვის, რომ ისიამოვნოთ ყველაფერი, რასაც მათემატიკა გვთავაზობს, ის უნდა შემოვიტანოთ. ჩვენ ვიხილავთ სხვა იმპორტის სტილებს შემდეგ სტატიაში, თითოეულს აქვს თავისი დადებითი და უარყოფითი მხარეები. მაგრამ ამ მარტივი ინსტრუქციით, თქვენ უკვე გაქვთ წვდომა მთელ მათემატიკის მოდულის სახელთა სივრცეზე, რომელიც ივსება ათობით ფუნქციით, მათ შორის ისეთებთან, რომელთანაც დღეს შევეხებით.

ინსტრუქცია

გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა ფეხის (A) სიგრძის გამოსათვლელად, თუ იცით მართკუთხა სამკუთხედის დანარჩენი ორი გვერდის (B და C) სიგრძე. ამ თეორემაში ნათქვამია, რომ ფეხების სიგრძის კვადრატში ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს. აქედან გამომდინარეობს, რომ თითოეული ფეხის სიგრძე უდრის ჰიპოტენუზისა და მეორე ფეხის სიგრძის კვადრატებს შორის სხვაობის კვადრატულ ფესვს: A=√(C²-B²).

ძირითადად, დაგვჭირდება კუთხის სინუსის, კოსინუსის და ტანგენსის გამოთვლა, ისევე როგორც მისი შებრუნებული ფუნქციები. გარდა ამისა, ჩვენ გვსურს შეგვეძლოს მუშაობა როგორც რადიანებში, ასევე გრადუსებში, რათა ასევე გამოვიყენოთ შესაბამისი კონვერტაციის ფუნქციები.

უნდა გვახსოვდეს, რომ ეს ფუნქციები მოველით, რომ არგუმენტი მოწოდებული იქნება რადიანებში და არა გრადუსებში. ამ მიზნით, გაინტერესებთ, რომ თქვენ გაქვთ შემდეგი მუდმივი. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ეს გამოხატულება რიცხვითი მნიშვნელობის ნაცვლად.

არ არსებობს პირდაპირი ფუნქცია კოსეკანტის, სეკანტისა და კოტანგენსისთვის, რადგან ეს არ არის აუცილებელი, რადგან ისინი უბრალოდ სინუსის, კოსინუსის და ტანგენტის შებრუნებული არიან, შესაბამისად. როგორც ადრე, დაბრუნებული კუთხე ასევე არის რადიანებში. მათემატიკის კიდევ ერთი სასარგებლო ფუნქცია საშუალებას გვაძლევს ვიცოდეთ მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზას მნიშვნელობა მისი ფეხების გათვალისწინებით, რაც საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ მათი კვადრატების ჯამის კვადრატული ფესვი.

გამოიყენეთ პირდაპირი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის "სინუსი" განმარტება მწვავე კუთხისთვის, თუ იცით კუთხის (α) მნიშვნელობა გამოთვლილი ფეხის საპირისპიროდ და ჰიპოტენუზის სიგრძე (C). ამ განმარტებაში ნათქვამია, რომ ამ ცნობილი კუთხის სინუსი უდრის სასურველი ფეხის სიგრძის თანაფარდობას ჰიპოტენუზის სიგრძესთან. ეს ნიშნავს, რომ სასურველი ფეხის სიგრძე უდრის ჰიპოტენუზის სიგრძისა და ცნობილი კუთხის სინუსის ნამრავლს: A=C∗sin(α). იგივე ცნობილი მნიშვნელობებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოსეკანტური ფუნქციის განმარტება და გამოთვალოთ სასურველი სიგრძე ჰიპოტენუზის სიგრძის გაყოფით ცნობილი კუთხის კოსეკანტზე A=C/cosec(α).

გამოიყენეთ პირდაპირი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის კოსინუსის განმარტება, თუ ჰიპოტენუზის სიგრძის გარდა (C), ასევე ცნობილია მახვილი კუთხის (β) მნიშვნელობა სასურველი ფეხის მიმდებარედ. ამ კუთხის კოსინუსი განისაზღვრება, როგორც სასურველი ფეხისა და ჰიპოტენუზის სიგრძის თანაფარდობა და აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ფეხის სიგრძე უდრის ჰიპოტენუზის სიგრძისა და ცნობილი კოსინუსის ნამრავლს. კუთხე: A=C∗cos(β). შეგიძლიათ გამოიყენოთ სეკანტური ფუნქციის განსაზღვრება და გამოთვალოთ სასურველი მნიშვნელობა ჰიპოტენუზის სიგრძის გაყოფით ცნობილი კუთხის A=C/წმ(β) სეკანტზე.

გამოიტანეთ საჭირო ფორმულა მსგავსი განმარტებიდან ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ტანგენტის წარმოებულისთვის, თუ სასურველი ფეხის (A) მოპირდაპირე მდებარე მწვავე კუთხის (α) მნიშვნელობის გარდა, მეორე ფეხის (B) სიგრძეა. ცნობილია. სასურველი ფეხის მოპირდაპირე კუთხის ტანგენსი არის ამ ფეხის სიგრძის თანაფარდობა მეორე ფეხის სიგრძესთან. ეს ნიშნავს, რომ სასურველი მნიშვნელობა ტოლი იქნება ცნობილი ფეხის სიგრძისა და ცნობილი კუთხის ტანგენტის ნამრავლის: A=B∗tg(α). ამ იგივე ცნობილი რაოდენობებიდან, სხვა ფორმულა შეიძლება გამოვიდეს კოტანგენტის ფუნქციის განსაზღვრის გამოყენებით. ამ შემთხვევაში ფეხის სიგრძის გამოსათვლელად საჭირო იქნება ცნობილი ფეხის სიგრძის შეფარდება ცნობილი კუთხის კოტანგენსთან: A=B/ctg(α).

Მსგავსი ვიდეოები

სიტყვა "კატეტი" რუსულად ბერძნულიდან შემოვიდა. ზუსტი თარგმანით, ეს ნიშნავს ქლიავის ხაზს, ანუ დედამიწის ზედაპირზე პერპენდიკულარულს. მათემატიკაში ფეხებს უწოდებენ გვერდებს, რომლებიც ქმნიან მართკუთხა სამკუთხედის სწორ კუთხეს. ამ კუთხის მოპირდაპირე მხარეს ჰიპოტენუზა ეწოდება. ტერმინი "ფეხი" ასევე გამოიყენება არქიტექტურასა და შედუღების ტექნოლოგიაში.

დახაზეთ მართკუთხა სამკუთხედი ACB. მონიშნეთ მისი ფეხები a და b, და დაასახელეთ მისი ჰიპოტენუზა c. მართკუთხა სამკუთხედის ყველა გვერდი და კუთხე დაკავშირებულია გარკვეული მიმართებით. ერთ-ერთი მწვავე კუთხის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობას ჰიპოტენუზასთან ეწოდება ამ კუთხის სინუსი. ამ სამკუთხედში sinCAB=a/c. კოსინუსი არის თანაფარდობა მიმდებარე ფეხის ჰიპოტენუზასთან, ანუ cosCAB=b/c. შებრუნებულ კავშირებს უწოდებენ სეკანტურ და კოსექსანტს.

ამ კუთხის სეკანტი მიიღება ჰიპოტენუზის მიმდებარე ფეხზე გაყოფით, ანუ secCAB=c/b. გამოდის კოსინუსის რეციპროკული, ანუ შეიძლება გამოისახოს ფორმულით secCAB=1/cosSAB.
კოსეკანტი უდრის ჰიპოტენუზის საპირისპირო ფეხზე გაყოფის კოეფიციენტს და არის სინუსის ორმხრივი. მისი გამოთვლა შესაძლებელია ფორმულის გამოყენებით cosecCAB=1/sinCAB

ორივე ფეხი უკავშირდება ტანგენტსა და კოტანგენტს. AT ამ საქმესტანგენსი იქნება a გვერდის თანაფარდობა b მხარესთან, ანუ მოპირდაპირე ფეხი მეზობელთან. ეს თანაფარდობა შეიძლება გამოიხატოს ფორმულით tgCAB=a/b. შესაბამისად, შებრუნებული თანაფარდობა იქნება კოტანგენსი: ctgCAB=b/a.

ჰიპოტენუზისა და ორივე ფეხის ზომებს შორის თანაფარდობა დაადგინა ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსმა პითაგორამ. მის სახელობის თეორემა დღესაც გამოიყენება ხალხის მიერ. ნათქვამია, რომ ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს, ანუ c2 \u003d a2 + b2. შესაბამისად, თითოეული ფეხი ტოლი იქნება ჰიპოტენუზისა და მეორე ფეხის კვადრატებს შორის სხვაობის კვადრატული ფესვის. ეს ფორმულა შეიძლება დაიწეროს როგორც b=√(c2-a2).

ფეხის სიგრძე ასევე შეიძლება გამოხატული იყოს თქვენთვის ცნობილი ურთიერთობებით. სინუსებისა და კოსინუსების თეორემების მიხედვით, ფეხი ტოლია ჰიპოტენუზისა და ერთ-ერთი ამ ფუნქციის ნამრავლის. ის ასევე შეიძლება გამოიხატოს ტანგენტის ან კოტანგენტის მიხედვით. ფეხი a შეიძლება მოიძებნოს, მაგალითად, ფორმულით a \u003d b * tan CAB. ზუსტად ანალოგიურად, მოცემული ტანგენტის ან კოტანგენტის მიხედვით, განისაზღვრება მეორე ფეხი.

არქიტექტურაში ასევე გამოიყენება ტერმინი „ფეხი“. იგი გამოიყენება იონურ კაპიტალზე და აღნიშნავს ქლიავის ხაზს ზურგის შუაში. ანუ, ამ შემთხვევაში, ეს ტერმინი აღნიშნავს მოცემულ წრფეზე პერპენდიკულარს.

შედუღების ტექნოლოგიაში არსებობს "ფეხის ფილე შედუღების" კონცეფცია. როგორც სხვა შემთხვევებში, ეს არის უმოკლესი მანძილი. აქ საუბარია უფსკრულის შესახებ შედუღებამდე ერთ ნაწილს შორის მეორე ნაწილის ზედაპირზე მდებარე ნაკერის საზღვარზე.

Მსგავსი ვიდეოები

წყაროები:

• რა არის ფეხი და ჰიპოტენუზა

Მსგავსი ვიდეოები

შენიშვნა

მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების გაანგარიშებისას, მისი მახასიათებლების ცოდნა შეიძლება ითამაშოს:
1) თუ მართი კუთხის ფეხი დევს 30 გრადუსიანი კუთხის საპირისპიროდ, მაშინ ის უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს;
2) ჰიპოტენუზა ყოველთვის გრძელია ვიდრე რომელიმე ფეხი;
3) თუ წრე შემოიფარგლება მართკუთხა სამკუთხედის ირგვლივ, მაშინ მისი ცენტრი უნდა იყოს ჰიპოტენუზის შუაში.

სადაც განიხილებოდა მართკუთხა სამკუთხედის ამოხსნის ამოცანები, მე დავპირდი, რომ წარმოვადგენდი სინუსისა და კოსინუსის განმარტებების დამახსოვრების ტექნიკას. მისი გამოყენებით, თქვენ ყოველთვის სწრაფად გახსოვთ, რომელი ფეხი ეკუთვნის ჰიპოტენუზას (მიმდებარე თუ მოპირდაპირე). გადავწყვიტე უსასრულოდ არ გადავდო, საჭირო მასალა ქვემოთ, გთხოვთ წაიკითხოთ 😉

ფაქტია, რომ მე არაერთხელ მინახავს, ​​როგორ უჭირთ 10-11 კლასების მოსწავლეებს ამ განმარტებების დამახსოვრება. მათ კარგად ახსოვთ, რომ ფეხი ჰიპოტენუზას მიანიშნებს, მაგრამ რომელი ავიწყდებათ და დაბნეული. შეცდომის ფასი, როგორც მოგეხსენებათ გამოცდაზე, დაკარგული ქულაა.

ინფორმაციას, რომელსაც უშუალოდ მათემატიკას წარვადგენ, არაფერ შუაშია. ასოცირდება ფიგურალურ აზროვნებასთან და ვერბალურ-ლოგიკური კავშირის მეთოდებთან. ასეა, მე თვითონ ერთხელ და სამუდამოდ გამახსენდა განმარტების მონაცემები. თუ მაინც დაგავიწყდათ ისინი, მაშინ წარმოდგენილი ტექნიკის დახმარებით ყოველთვის ადვილი დასამახსოვრებელია.

ნება მომეცით შეგახსენოთ სინუსის და კოსინუსის განმარტებები მართკუთხა სამკუთხედში:

კოსინუსიმართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხე არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

სინუსიმართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხე არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

მაშ, რა ასოციაციებს იწვევს თქვენში სიტყვა კოსინუსი?

ალბათ ყველას აქვს თავისი დაიმახსოვრეთ ბმული:

ამრიგად, თქვენ დაუყოვნებლივ გექნებათ გამოხატულება თქვენს მეხსიერებაში -

«… მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან».

კოსინუსის განსაზღვრის პრობლემა მოგვარებულია.

თუ თქვენ გჭირდებათ დაიმახსოვროთ სინუსის განმარტება მართკუთხა სამკუთხედში, შემდეგ გაიხსენეთ კოსინუსის განმარტება, შეგიძლიათ მარტივად დაადგინოთ, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან. ყოველივე ამის შემდეგ, მხოლოდ ორი ფეხია, თუ მიმდებარე ფეხი "ოკუპირებულია" კოსინუსის მიერ, მაშინ მხოლოდ საპირისპირო მხარე რჩება სინუსისთვის.

რაც შეეხება ტანგენტს და კოტანგენტს? იგივე დაბნეულობა. სტუდენტებმა იციან, რომ ეს არის ფეხების თანაფარდობა, მაგრამ პრობლემა ის არის, რომ დაიმახსოვროთ რომელი რომელს ეხება - ან მეზობლის საპირისპიროდ, ან პირიქით.

განმარტებები:

ტანგენტიმართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხე არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მეზობელთან:

კოტანგენსიმართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხე არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება საპირისპიროზე:

როგორ გავიხსენოთ? არსებობს ორი გზა. ერთი ასევე იყენებს ვერბალურ-ლოგიკურ კავშირს, მეორე - მათემატიკურს.

მათემატიკური მეთოდი

არსებობს ასეთი განმარტება - მახვილი კუთხის ტანგენსი არის კუთხის სინუსის თანაფარდობა მის კოსინუსთან:

* ფორმულის დამახსოვრებისას, ყოველთვის შეგიძლიათ განსაზღვროთ, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მეზობელთან.

ანალოგიურად. მწვავე კუთხის კოტანგენსი არის კუთხის კოსინუსის შეფარდება მის სინუსთან:

Ისე! ამ ფორმულების დამახსოვრებისას, ყოველთვის შეგიძლიათ განსაზღვროთ, რომ:

მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება მეზობელთან.

მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის კოტანგენსი არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხის მიმართ.

ვერბალურ-ლოგიკური მეთოდი

ტანგენტის შესახებ. დაიმახსოვრეთ ბმული:

ანუ, თუ თქვენ გჭირდებათ დაიმახსოვროთ ტანგენტის განმარტება, ამ ლოგიკური კავშირის გამოყენებით, შეგიძლიათ მარტივად დაიმახსოვროთ რა არის

"... მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მიმდებარედ"

თუ საქმე ეხება კოტანგენტს, მაშინ გაიხსენეთ ტანგენტის განმარტება, შეგიძლიათ მარტივად გამოხატოთ კოტანგენტის განმარტება -

"... მიმდებარე ფეხის შეფარდება საპირისპიროზე"

საიტზე არის ტანგენტისა და კოტანგენტის დამახსოვრების საინტერესო ტექნიკა " მათემატიკური ტანდემი " , შეხედე.

მეთოდი უნივერსალური

შეგიძლიათ უბრალოდ დაფქვა. მაგრამ როგორც პრაქტიკა გვიჩვენებს, ვერბალურ-ლოგიკური კავშირების წყალობით ადამიანს დიდი ხნის განმავლობაში ახსოვს ინფორმაცია და არა მხოლოდ მათემატიკური.

ვიმედოვნებ, რომ მასალა თქვენთვის სასარგებლო იყო.

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ სოციალურ ქსელებში მოგიყვებით საიტის შესახებ.

საშუალო დონე

მართკუთხა სამკუთხედი. სრული ილუსტრირებული სახელმძღვანელო (2019)

მართკუთხა სამკუთხედი. პირველი დონე.

პრობლემებში სწორი კუთხე საერთოდ არ არის საჭირო - ქვედა მარცხენა, ასე რომ თქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ ამოიცნოთ მართკუთხა სამკუთხედი ამ ფორმით,

და ასეთებში

და ასეთებში

რა არის კარგი მართკუთხა სამკუთხედში? ისე... პირველ რიგში, მის მხარეებს განსაკუთრებული ლამაზი სახელები აქვთ.

ყურადღება ნახატს!

დაიმახსოვრე და არ აგერიო: ფეხები - ორი, ხოლო ჰიპოტენუზა - მხოლოდ ერთი(ერთადერთი, უნიკალური და ყველაზე გრძელი)!

ისე, სახელები განიხილეს, ახლა ყველაზე მთავარია: პითაგორას თეორემა.

Პითაგორას თეორემა.

ეს თეორემა არის გასაღები მართკუთხა სამკუთხედთან დაკავშირებული მრავალი პრობლემის გადასაჭრელად. ეს დაამტკიცა პითაგორამ სრულიად უხსოვარი დროიდან და მას შემდეგ მრავალი სარგებელი მოუტანა მათ, ვინც იცის. და ყველაზე კარგი ის არის, რომ ის უბრალოა.

Ისე, Პითაგორას თეორემა:

გახსოვთ ხუმრობა: „პითაგორას შარვალი ყველა მხრიდან თანაბარია!“?

მოდით დავხატოთ ეს პითაგორას შარვალი და შევხედოთ მათ.

მართლა ჰგავს შორტს? აბა, რომელ მხარეს და სად არიან ისინი ტოლები? რატომ და საიდან გაჩნდა ხუმრობა? და ეს ხუმრობა დაკავშირებულია ზუსტად პითაგორას თეორემასთან, უფრო ზუსტად იმასთან, თუ როგორ ჩამოაყალიბა თავად პითაგორამ თავისი თეორემა. და მან ასე ჩამოაყალიბა:

"ჯამ კვადრატების ფართობი, ფეხებზე აგებული, უდრის კვადრატული ფართობიჰიპოტენუზაზე აგებული.

ცოტა სხვანაირად ხომ არ ჟღერს, არა? ასე რომ, როდესაც პითაგორამ დახატა თავისი თეორემის განცხადება, სწორედ ასეთი სურათი აღმოჩნდა.

ამ სურათზე, პატარა კვადრატების ფართობების ჯამი უდრის დიდი კვადრატის ფართობს. და იმისათვის, რომ ბავშვებმა უკეთ დაიმახსოვრონ, რომ ფეხების კვადრატების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს, ვიღაც ჭკვიანმა გამოიგონა ეს ხუმრობა პითაგორას შარვალზე.

რატომ ვაყალიბებთ ახლა პითაგორას თეორემას?

იტანჯებოდა პითაგორა და ლაპარაკობდა კვადრატებზე?

ხედავთ, ძველ დროში არ არსებობდა ... ალგებრა! ნიშნები არ იყო და ა.შ. წარწერები არ იყო. წარმოგიდგენიათ რა საშინელება იყო საწყალი ძველი სტუდენტებისთვის ყველაფრის სიტყვებით დამახსოვრება??! და ჩვენ შეგვიძლია გვიხაროდეს, რომ გვაქვს პითაგორას თეორემის მარტივი ფორმულირება. კიდევ ერთხელ გავიმეოროთ, რომ უკეთ გავიხსენოთ:

ახლა ადვილი უნდა იყოს:

ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს.

განვიხილეთ ყველაზე მნიშვნელოვანი თეორემა მართკუთხა სამკუთხედის შესახებ. თუ გაინტერესებთ როგორ დადასტურდა ეს, წაიკითხეთ თეორიის შემდეგი დონეები და ახლა მოდით გადავიდეთ ... ტრიგონომეტრიის ბნელ ტყეში! საშინელ სიტყვებს სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი.

სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი მართკუთხა სამკუთხედში.

სინამდვილეში, ყველაფერი არც ისე საშინელია. რა თქმა უნდა, სტატიაში უნდა განიხილებოდეს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის „რეალური“ განმარტება. მაგრამ შენ მართლა არ გინდა, არა? ჩვენ შეგვიძლია გავიხაროთ: მართკუთხა სამკუთხედის პრობლემების გადასაჭრელად, შეგიძლიათ უბრალოდ შეავსოთ შემდეგი მარტივი რამ:

რატომ არის ეს ყველაფერი კუთხეში? სად არის კუთხე? ამის გასაგებად, თქვენ უნდა იცოდეთ, როგორ იწერება სიტყვებით 1-4 განცხადებები. შეხედე, გაიგე და დაიმახსოვრე!

1.
სინამდვილეში ასე ჟღერს:

რაც შეეხება კუთხეს? არის ფეხი, რომელიც კუთხის მოპირდაპირეა, ანუ მოპირდაპირე ფეხი (კუთხისთვის)? რა თქმა უნდა აქვს! ეს კათეტერია!

მაგრამ რაც შეეხება კუთხეს? Ახლოდან დააკვირდი. რომელი ფეხი დგას კუთხესთან? რა თქმა უნდა, კატა. ასე რომ, კუთხისთვის, ფეხი მიმდებარეა და

ახლა კი ყურადღება! ნახეთ რა მივიღეთ:

ნახეთ, რა შესანიშნავია:

ახლა გადავიდეთ ტანგენტსა და კოტანგენსზე.

როგორ გადმოვწეროთ ახლა სიტყვებით? რა არის ფეხი კუთხესთან მიმართებაში? საპირისპირო, რა თქმა უნდა - კუთხის მოპირდაპირედ "წევს". და კათეტი? კუთხის მიმდებარედ. მაშ რა მივიღეთ?

ნახეთ, როგორ ხდება მრიცხველი და მნიშვნელი შებრუნებული?

ახლა კი ისევ კუთხეები და გავცვალეთ:

Შემაჯამებელი

მოკლედ ჩამოვწეროთ რაც ვისწავლეთ.

Პითაგორას თეორემა:

მთავარი მართკუთხა სამკუთხედის თეორემა არის პითაგორას თეორემა.

პითაგორას თეორემა

სხვათა შორის, კარგად გახსოვთ რა არის ფეხები და ჰიპოტენუზა? თუ არა, მაშინ შეხედეთ სურათს - განაახლეთ თქვენი ცოდნა

სავსებით შესაძლებელია, რომ თქვენ უკვე ბევრჯერ გამოგიყენებიათ პითაგორას თეორემა, მაგრამ ოდესმე გიფიქრიათ, რატომ არის ასეთი თეორემა ჭეშმარიტი. როგორ დაამტკიცებდი ამას? მოდი მოვიქცეთ როგორც ძველი ბერძნები. დავხატოთ კვადრატი გვერდით.

ხედავთ, რა ეშმაკურად დავყავით მისი გვერდები სიგრძის მონაკვეთებად და!

ახლა დავაკავშიროთ მონიშნული წერტილები

აქ ჩვენ, თუმცა, სხვა რამ აღვნიშნეთ, მაგრამ თქვენ თავად უყურებთ სურათს და ფიქრობთ რატომ.

რა არის უფრო დიდი კვადრატის ფართობი? სწორად,. რაც შეეხება უფრო მცირე ფართობს? Რა თქმა უნდა, . დარჩენილია ოთხი კუთხის საერთო ფართობი. წარმოიდგინეთ, რომ ორი მათგანი ავიღეთ და ჰიპოტენუზებით ვეყრდნობოდით ერთმანეთს. Რა მოხდა? ორი მართკუთხედი. ასე რომ, "კალმების" ფართობი ტოლია.

მოდი ახლავე გავაერთიანოთ ეს ყველაფერი.

მოდით გარდავქმნათ:

ასე რომ, ჩვენ ვესტუმრეთ პითაგორას - ჩვენ დავამტკიცეთ მისი თეორემა უძველესი გზით.

მართკუთხა სამკუთხედი და ტრიგონომეტრია

მართკუთხა სამკუთხედისთვის მოქმედებს შემდეგი მიმართებები:

მწვავე კუთხის სინუსი უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან

მწვავე კუთხის კოსინუსი უდრის მიმდებარე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან.

მახვილი კუთხის ტანგენსი უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას მეზობელ ფეხთან.

მწვავე კუთხის კოტანგენსი უდრის მიმდებარე ფეხის შეფარდებას მოპირდაპირე ფეხის მიმართ.

და კიდევ ერთხელ, ეს ყველაფერი ფირფიტის სახით:

ძალიან კომფორტულია!

მართკუთხა სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები

I. ორ ფეხზე

II. ფეხით და ჰიპოტენუზით

III. ჰიპოტენუზით და მწვავე კუთხით

IV. ფეხის გასწვრივ და მწვავე კუთხით

ა)

ბ)

ყურადღება! აქ ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ ფეხები "შესაბამისად" იყოს. მაგალითად, თუ ეს ასე ხდება:

მაშინ სამკუთხედები არ არიან ტოლებიმიუხედავად იმისა, რომ მათ აქვთ ერთი იდენტური მწვავე კუთხე.

საჭიროა ორივე სამკუთხედში ფეხი მიმდებარე იყო, ან ორივეში - საპირისპირო.

შეგიმჩნევიათ, როგორ განსხვავდება მართკუთხა სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები სამკუთხედების ტოლობის ჩვეულებრივი ნიშნებისგან? გადახედეთ თემას „და მიაქციეთ ყურადღება, რომ „ჩვეულებრივი“ სამკუთხედების ტოლობისთვის საჭიროა მათი სამი ელემენტის თანასწორობა: ორი გვერდი და კუთხე მათ შორის, ორი კუთხე და გვერდი მათ შორის, ან სამი გვერდი. მაგრამ მართკუთხა სამკუთხედების ტოლობისთვის საკმარისია მხოლოდ ორი შესაბამისი ელემენტი. მშვენიერია, არა?

დაახლოებით იგივე სიტუაციაა მართკუთხა სამკუთხედების მსგავსების ნიშნებით.

მართკუთხა სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები

I. მწვავე კუთხე

II. ორ ფეხზე

III. ფეხით და ჰიპოტენუზით

მედიანა მართკუთხა სამკუთხედში

რატომ არის ასე?

მართკუთხა სამკუთხედის ნაცვლად განვიხილოთ მთელი მართკუთხედი.

დავხატოთ დიაგონალი და განვიხილოთ წერტილი - დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი. რა იცით მართკუთხედის დიაგონალების შესახებ?

და რა გამოდის აქედან?

ასეც მოხდა

1. - მედიანა:

დაიმახსოვრეთ ეს ფაქტი! ძალიან ეხმარება!

რაც უფრო გასაკვირია ის არის, რომ საპირისპირო ასევე მართალია.

რა სარგებელი შეიძლება მივიღოთ იმ ფაქტით, რომ ჰიპოტენუზაზე მიყვანილი მედიანა უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს? მოდით შევხედოთ სურათს

Ახლოდან დააკვირდი. გვაქვს: , ანუ მანძილი წერტილიდან სამკუთხედის სამივე წვერომდე ტოლი აღმოჩნდა. მაგრამ სამკუთხედში არის მხოლოდ ერთი წერტილი, მანძილი, რომლიდანაც სამკუთხედის სამივე წვერო ტოლია და ეს არის აღწერილი წრის ცენტრი. მერე რა მოხდა?

მაშ, დავიწყოთ ამით „გარდა ამისა...“.

მოდით შევხედოთ ი.

მაგრამ მსგავს სამკუთხედებში ყველა კუთხე ტოლია!

იგივე შეიძლება ითქვას და

ახლა ერთად დავხატოთ:

რა სარგებლობა შეიძლება მივიღოთ ამ „სამმაგი“ მსგავსებიდან.

ისე, მაგალითად - მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლის ორი ფორმულა.

ჩვენ ვწერთ შესაბამისი მხარეების ურთიერთობებს:

სიმაღლის საპოვნელად ვხსნით პროპორციას და ვიღებთ პირველი ფორმულა "სიმაღლე მართკუთხა სამკუთხედში":

მაშ ასე, გამოვიყენოთ მსგავსება: .

რა მოხდება ახლა?

კვლავ ვხსნით პროპორციას და ვიღებთ მეორე ფორმულას:

ორივე ეს ფორმულა ძალიან კარგად უნდა ახსოვდეს და ის, რაც უფრო მოსახერხებელია გამოსაყენებლად. მოდი ისევ ჩამოვწეროთ ისინი.

Პითაგორას თეორემა:

მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის წვივების კვადრატების ჯამს:.

მართკუთხა სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები:

• ორ ფეხზე:
• ფეხისა და ჰიპოტენუზის გასწვრივ: ან
• ფეხისა და მიმდებარე მწვავე კუთხის გასწვრივ: ან
• ფეხის გასწვრივ და საპირისპირო მწვავე კუთხე: ან
• ჰიპოტენუზისა და მწვავე კუთხით: ან.

მართკუთხა სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები:

• ერთი მკვეთრი კუთხე: ან
• ორი ფეხის პროპორციულობიდან:
• ფეხისა და ჰიპოტენუზის პროპორციულობიდან: ან.

სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი მართკუთხა სამკუთხედში

• მართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:
• მართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:
• მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება მეზობელთან:
• მართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხის კოტანგენსი არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება საპირისპიროდ:.

მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე: ან.

მართკუთხა სამკუთხედში მართი კუთხის წვეროდან გამოყვანილი მედიანა უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს: .

მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი:

• კათეტერების მეშვეობით:

ჩვენ ვიწყებთ ტრიგონომეტრიის შესწავლას მართკუთხა სამკუთხედით. მოდით განვსაზღვროთ რა არის სინუსი და კოსინუსი, ასევე მახვილი კუთხის ტანგენსი და კოტანგენსი. ეს არის ტრიგონომეტრიის საფუძვლები.

გავიხსენოთ რომ სწორი კუთხეარის 90 გრადუსის ტოლი კუთხე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გაშლილი კუთხის ნახევარი.

მკვეთრი კუთხე- 90 გრადუსზე ნაკლები.

ბუნდოვანი კუთხე- 90 გრადუსზე მეტი. ასეთ კუთხესთან მიმართებაში „ბლატი“ შეურაცხყოფა კი არა, მათემატიკური ტერმინია :-)

დავხატოთ მართკუთხა სამკუთხედი. მართი კუთხე ჩვეულებრივ აღინიშნება. გაითვალისწინეთ, რომ კუთხის მოპირდაპირე მხარე აღინიშნება იგივე ასოთი, მხოლოდ მცირე. ასე რომ, A კუთხის საპირისპიროდ მდებარე გვერდი აღინიშნება.

კუთხე აღინიშნება შესაბამისი ბერძნული ასოთი.

ჰიპოტენუზამართკუთხა სამკუთხედი არის მართი კუთხის მოპირდაპირე მხარე.

ფეხები- მხარეები მკვეთრი კუთხეების მოპირდაპირე მხარეს.

კუთხის მოპირდაპირე ფეხი ე.წ საწინააღმდეგო(კუთხის მიმართ). მეორე ფეხი, რომელიც კუთხის ერთ მხარეს დევს, ე.წ მიმდებარე.

სინუსიმართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხე არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

კოსინუსიმწვავე კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში - მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

ტანგენტიმახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში - მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მეზობელთან:

კიდევ ერთი (ექვივალენტური) განმარტება: მწვავე კუთხის ტანგენსი არის კუთხის სინუსის თანაფარდობა მის კოსინუსთან:

კოტანგენსიმახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში - მიმდებარე ფეხის შეფარდება საპირისპიროსთან (ან, ექვივალენტურად, კოსინუსისა და სინუსების თანაფარდობა):

ყურადღება მიაქციეთ სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების ძირითად თანაფარდობებს, რომლებიც მოცემულია ქვემოთ. ისინი გამოგვადგება პრობლემების გადაჭრაში.

მოდით დავამტკიცოთ ზოგიერთი მათგანი.

კარგი, ჩვენ მივეცით განმარტებები და დაწერილი ფორმულები. მაგრამ რატომ გვჭირდება სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი?

ჩვენ ეს ვიცით ნებისმიერი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის.

ჩვენ ვიცით შორის ურთიერთობა პარტიებიმართკუთხა სამკუთხედი. ეს არის პითაგორას თეორემა: .

გამოდის, რომ სამკუთხედში ორი კუთხის ცოდნით, შეგიძლიათ იპოვოთ მესამე. იცოდეთ ორი გვერდი მართკუთხა სამკუთხედში, შეგიძლიათ იპოვოთ მესამე. ასე რომ, კუთხეებისთვის - მათი თანაფარდობა, გვერდებისთვის - საკუთარი. მაგრამ რა უნდა გააკეთოს, თუ მართკუთხა სამკუთხედში ცნობილია ერთი კუთხე (გარდა მართკუთხა) და ერთი გვერდი, მაგრამ თქვენ უნდა იპოვოთ სხვა გვერდები?

ეს არის ის, რასაც ადამიანები წარსულში აწყდებოდნენ, ამზადებდნენ ტერიტორიისა და ვარსკვლავური ცის რუქებს. ყოველივე ამის შემდეგ, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი სამკუთხედის ყველა გვერდის პირდაპირ გაზომვა.

სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი - მათ ასევე უწოდებენ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები- მიეცით თანაფარდობა შორის პარტიებიდა კუთხეებისამკუთხედი. კუთხის ცოდნა, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია სპეციალური ცხრილების გამოყენებით. და იცოდეთ სამკუთხედის და მისი ერთ-ერთი კუთხის კუთხის სინუსები, კოსინუსები და ტანგენტები, შეგიძლიათ იპოვოთ დანარჩენი.

ჩვენ ასევე დავხატავთ სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების მნიშვნელობების ცხრილს "კარგი" კუთხეებისთვის.

ყურადღება მიაქციეთ ცხრილში ორ წითელ ტირეს. კუთხეების შესაბამისი მნიშვნელობებისთვის ტანგენსი და კოტანგენსი არ არსებობს.

მოდით გავაანალიზოთ ტრიგონომეტრიის რამდენიმე პრობლემა FIPI-ის ბანკის ამოცანებიდან.

1. სამკუთხედში კუთხე არის , . იპოვე .

პრობლემა მოგვარებულია ოთხ წამში.

Იმდენად, რამდენადაც , .

2. სამკუთხედში კუთხე არის , , . იპოვე .

მოდი ვიპოვოთ პითაგორას თეორემით.

პრობლემა მოგვარებულია.

ხშირად პრობლემებში არის სამკუთხედები კუთხეებით და ან კუთხეებით და . დაიმახსოვრეთ მათთვის ძირითადი კოეფიციენტები ზეპირად!

სამკუთხედისთვის კუთხით და კუთხის მოპირდაპირე ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარი.

სამკუთხედი კუთხეებით და არის ტოლფერდა. მასში ჰიპოტენუზა ჯერ უფრო დიდია ვიდრე ფეხი.

ჩვენ განვიხილეთ ამოცანები მართკუთხა სამკუთხედების ამოსახსნელად - ანუ უცნობი გვერდების ან კუთხის საპოვნელად. მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის! მათემატიკაში გამოცდის ვარიანტებში არის მრავალი დავალება, სადაც ჩნდება სამკუთხედის გარე კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ან კოტანგენსი. მეტი ამის შესახებ შემდეგ სტატიაში.

სინუსიმართკუთხა სამკუთხედის α მახვილი კუთხე არის თანაფარდობა საწინააღმდეგოკათეტერი ჰიპოტენუზაში.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: sin α.

კოსინუსიმართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხე α არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: cos α.

ტანგენტიმწვავე კუთხე α არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მიმდებარე ფეხთან.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: tg α.

კოტანგენსიმწვავე კუთხე α არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხის მიმართ.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: ctg α.

კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი დამოკიდებულია მხოლოდ კუთხის სიდიდეზე.

წესები:

ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები მართკუთხა სამკუთხედში:

(α - მწვავე კუთხე ფეხის მოპირდაპირედ ბ და ფეხის მიმდებარედ ა . მხარე თან - ჰიპოტენუზა. β - მეორე მწვავე კუთხე).

ბ სინა = - გ	sin 2 α + cos 2 α = 1
ა cosα = - გ	1 1 + tg 2 α = -- cos 2 α
ბ tgα = - ა	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
ა ctgα = - ბ	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sina tgα = -- cosα

როგორც მწვავე კუთხე იზრდებასინა დაtg α ზრდა დაcos α მცირდება.

ნებისმიერი მწვავე კუთხისთვის α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

განმარტებითი მაგალითი:

ჩავდოთ მართკუთხა სამკუთხედი ABC
AB = 6,
BC = 3,
კუთხე A = 30º.

იპოვეთ A კუთხის სინუსი და B კუთხის კოსინუსი.

გადაწყვეტილება .

1) ჯერ ვიპოვით B კუთხის მნიშვნელობას. აქ ყველაფერი მარტივია: რადგან მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხეების ჯამი არის 90º, შემდეგ კუთხე B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) გამოთვალეთ ცოდვა A. ჩვენ ვიცით, რომ სინუსი ტოლია მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებასა და ჰიპოტენუზას. A კუთხისთვის მოპირდაპირე ფეხი არის BC მხარე. Ისე:

ძვ.წ 3 1
ცოდვა A = -- = - = -
AB 6 2

3) ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ cos B. ჩვენ ვიცით, რომ კოსინუსი უდრის მიმდებარე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან. B კუთხისთვის, მიმდებარე ფეხი არის იგივე მხარე BC. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ კვლავ უნდა დავყოთ BC AB-ად - ანუ შეასრულოთ იგივე მოქმედებები, როგორც A კუთხის სინუსის გამოთვლისას:

ძვ.წ 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

შედეგი არის:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

აქედან გამომდინარეობს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში ერთი მახვილი კუთხის სინუსი უდრის სხვა მახვილი კუთხის კოსინუსს - და პირიქით. ეს არის ზუსტად ის, რასაც ჩვენი ორი ფორმულა ნიშნავს:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

მოდით კიდევ ერთხელ შევამოწმოთ:

1) მოდით α = 60º. α-ს მნიშვნელობის სინუს ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:
ცოდვა (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) მოდით α = 30º. α-ს მნიშვნელობის ჩანაცვლებით კოსინუსების ფორმულაში მივიღებთ:
cos (90° - 30º) = ცოდვა 30º.
cos 60° = ცოდვა 30º.

(ტრიგონომეტრიის შესახებ მეტი იხილეთ ალგებრას განყოფილება)