სლაიდი 3

გორნერ უილიამსი ჯორჯ (1786-22 სექტემბერი 1837) იყო ინგლისელი მათემატიკოსი. დაიბადა ბრისტოლში. სწავლობდა და მუშაობდა იქ, შემდეგ აბანოს სკოლებში. ძირითადი სამუშაოები ალგებრაზე. 1819 წელს გამოაქვეყნა მრავალწევრის რეალური ფესვების სავარაუდო გამოთვლის მეთოდი, რომელსაც დღეს რუფინი-ჰორნერის მეთოდს უწოდებენ (ეს მეთოდი ჩინელებისთვის ცნობილი იყო ჯერ კიდევ მე-13 საუკუნეში). ჰორნერის სახელს ატარებს.

სლაიდი 4

ჰორნერის სქემა

n-ე ხარისხის მრავალწევრის წრფივი ბინომად გაყოფის მეთოდი - a, ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ არასრული კოეფიციენტის და ნარჩენის r კოეფიციენტები დაკავშირებულია გამყოფი მრავალწევრის კოეფიციენტებთან და a-სთან ფორმულებით:

სლაიდი 5

ჰორნერის სქემის მიხედვით გამოთვლები მოთავსებულია ცხრილში:

მაგალითი 1 გაყოფა არასრული კოეფიციენტია x3-x2+3x - 13 და ნაშთი არის 42=f(-3).

სლაიდი 6

ამ მეთოდის მთავარი უპირატესობაა ნოტაციის კომპაქტურობა და მრავალწევრის ბინომად სწრაფად დაყოფის შესაძლებლობა. სინამდვილეში, ჰორნერის სქემა დაჯგუფების მეთოდის ჩაწერის კიდევ ერთი ფორმაა, თუმცა, ამ უკანასკნელისგან განსხვავებით, ის სრულიად არააღწერითია. პასუხი (ფაქტორიზაცია) აქ თავისთავად გამოდის და ჩვენ ვერ ვხედავთ მის მოპოვების პროცესს. ჩვენ არ შევეხებით ჰორნერის სქემის მკაცრ დასაბუთებას, მაგრამ მხოლოდ ვაჩვენებთ, თუ როგორ მუშაობს იგი.

სლაიდი 7

მაგალითი 2.

ვამტკიცებთ, რომ მრავალწევრი P(x)=x4-6x3+7x-392 იყოფა x-7-ზე და ვიპოვოთ კოეფიციენტი. გადაწყვეტილება. ჰორნერის სქემის გამოყენებით ვპოულობთ Р(7): აქედან ვიღებთ Р(7)=0, ე.ი. ნარჩენი პოლინომის x-7-ზე გაყოფისას არის ნული და, შესაბამისად, მრავალწევრი P (x) არის (x-7) ჯერადი. ამ შემთხვევაში ცხრილის მეორე მწკრივის რიცხვები არის კოეფიციენტები. კოეფიციენტი P (x) გაყოფისგან (x-7), შესაბამისად P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

სლაიდი 8

გაამრავლეთ მრავალწევრი x3 - 5x2 - 2x + 16.

ამ მრავალწევრს აქვს მთელი კოეფიციენტები. თუ მთელი რიცხვი არის ამ მრავალწევრის ფესვი, მაშინ ის არის 16-ის გამყოფი. ამრიგად, თუ მოცემულ მრავალწევრს აქვს მთელი რიცხვი ფესვები, მაშინ ეს შეიძლება იყოს მხოლოდ რიცხვები ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. პირდაპირი გადამოწმებით, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ რიცხვი 2 არის ამ მრავალწევრის ფესვი, ანუ x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2)Q(x), სადაც Q(x) არის მეორე პოლინომი. ხარისხი

სლაიდი 9

მიღებული რიცხვები 1, −3, −8 არის მრავალწევრის კოეფიციენტები, რომლებიც მიიღება საწყისი მრავალწევრის x - 2-ზე გაყოფით. აქედან გამომდინარე, გაყოფის შედეგია: 1 x2 + (-3)x + (- 8) = x2 - 3x - 8. გაყოფის შედეგად მიღებული მრავალწევრის ხარისხი ყოველთვის 1-ით ნაკლებია თავდაპირველის ხარისხზე. ასე რომ: x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2) (x2 - 3x - 8).

განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას ხშირად საჭირო ხდება მრავალწევრის ფაქტორირება, რომლის ხარისხი უდრის სამს ან უფრო მაღალს. ამ სტატიაში განვიხილავთ ამის გაკეთების უმარტივეს გზას.

ჩვეულებისამებრ, დახმარებისთვის თეორიას მივმართოთ.

ბეზუტის თეორემააცხადებს, რომ მრავალწევრის ორწევრზე გაყოფის ნაშთი არის .

მაგრამ ჩვენთვის მნიშვნელოვანია არა თავად თეორემა, არამედ დასკვნა მისგან:

თუ რიცხვი არის მრავალწევრის ფესვი, მაშინ მრავალწევრი იყოფა ნარჩენების გარეშე ორწევრზე.

ჩვენ წინაშე დგას ამოცანა, როგორმე ვიპოვოთ მრავალწევრის მინიმუმ ერთი ფესვი, შემდეგ გავყოთ მრავალწევრი, სადაც არის მრავალწევრის ფესვი. შედეგად მივიღებთ მრავალწევრს, რომლის ხარისხი ერთით ნაკლებია ორიგინალის ხარისხზე. შემდეგ კი, საჭიროების შემთხვევაში, შეგიძლიათ გაიმეოროთ პროცესი.

ეს ამოცანა იყოფა ორად: როგორ ვიპოვოთ მრავალწევრის ფესვი და როგორ გავყოთ მრავალწევრი ორწევრად.

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ამ წერტილებს.

1. როგორ ვიპოვოთ მრავალწევრის ფესვი.

პირველ რიგში ვამოწმებთ არის თუ არა რიცხვები 1 და -1 მრავალწევრის ფესვები.

აქ დაგვეხმარება შემდეგი ფაქტები:

თუ მრავალწევრის ყველა კოეფიციენტის ჯამი არის ნული, მაშინ რიცხვი არის მრავალწევრის ფესვი.

მაგალითად, მრავალწევრში კოეფიციენტების ჯამი ნულის ტოლია: . ადვილია იმის შემოწმება, თუ რა არის მრავალწევრის ფესვი.

თუ მრავალწევრის კოეფიციენტების ჯამი ლუწი სიმძლავრეზე ტოლია კენტი ძალების კოეფიციენტების ჯამს, მაშინ რიცხვი არის მრავალწევრის ფესვი.თავისუფალი წევრი განიხილება კოეფიციენტად ლუწი ხარისხით, რადგან , a არის ლუწი რიცხვი.

მაგალითად, მრავალწევრებში კოეფიციენტების ჯამი ლუწი გრადუსზე არის : , ხოლო კენტი გრადუსების კოეფიციენტების ჯამი არის : . ადვილია იმის შემოწმება, თუ რა არის მრავალწევრის ფესვი.

თუ არც 1 და არც -1 არ არის მრავალწევრის ფესვები, მაშინ გადავდივართ.

შემცირებული ხარისხის მრავალწევრებისთვის (ანუ პოლინომისთვის, რომელშიც წამყვანი კოეფიციენტი - კოეფიციენტი - უდრის ერთს), მოქმედებს ვიეტას ფორმულა:

სად არის მრავალწევრის ფესვები.

ასევე არსებობს ვიეტას ფორმულები მრავალწევრის დარჩენილ კოეფიციენტებთან დაკავშირებით, მაგრამ ეს არის ის, რაც გვაინტერესებს.

ვიეტას ამ ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ თუ მრავალწევრის ფესვები მთელი რიცხვებია, მაშინ ისინი არიან მისი თავისუფალი წევრის გამყოფები, რომელიც ასევე მთელი რიცხვია.

ამის საფუძველზე, ჩვენ უნდა დავშალოთ მრავალწევრის თავისუფალი წევრი ფაქტორებად და თანმიმდევრულად, პატარადან დიდამდე, შევამოწმოთ რომელი ფაქტორებიდან არის მრავალწევრის ფესვი.

განვიხილოთ, მაგალითად, მრავალწევრი

თავისუფალი წევრების გამყოფები: ; ; ;

მრავალწევრის ყველა კოეფიციენტის ჯამი ტოლია, შესაბამისად, რიცხვი 1 არ არის მრავალწევრის ფესვი.

კოეფიციენტების ჯამი ლუწი ძალებზე:

კენტი ძალების კოეფიციენტების ჯამი:

მაშასადამე, რიცხვი -1 ასევე არ არის მრავალწევრის ფესვი.

მოდით შევამოწმოთ, არის თუ არა რიცხვი 2 მრავალწევრის ფესვი: შესაბამისად, რიცხვი 2 არის მრავალწევრის ფესვი. მაშასადამე, ბეზუტის თეორემის მიხედვით, მრავალწევრი იყოფა ნარჩენების გარეშე ორწევრზე.

2. როგორ გავყოთ მრავალწევრი ორწევრად.

მრავალწევრი შეიძლება დაიყოს ბინომად სვეტით.

ჩვენ ვყოფთ მრავალწევრს ბინომალურ სვეტად:

არსებობს მრავალწევრის ბინომად დაყოფის კიდევ ერთი გზა - ჰორნერის სქემა.

უყურეთ ამ ვიდეოს გასაგებად როგორ გავყოთ მრავალწევრი ბინომად სვეტზე და ჰორნერის სქემის გამოყენებით.

მე აღვნიშნავ, რომ თუ სვეტზე გაყოფისას, უცნობის გარკვეული ხარისხი არ არის თავდაპირველ მრავალწევრში, მის ადგილას ვწერთ 0 - ისევე, როგორც ჰორნერის სქემისთვის ცხრილის შედგენისას.

ასე რომ, თუ ჩვენ გვჭირდება მრავალწევრის გაყოფა ორწევრად და გაყოფის შედეგად მივიღებთ მრავალწევრს, მაშინ შეგვიძლია ვიპოვოთ მრავალწევრის კოეფიციენტები ჰორნერის სქემის გამოყენებით:

ასევე შეგვიძლია გამოვიყენოთ ჰორნერის სქემარათა შევამოწმოთ, არის თუ არა მოცემული რიცხვი მრავალწევრის ფესვი: თუ რიცხვი არის მრავალწევრის ფესვი, მაშინ მრავალწევრის გაყოფის დარჩენილი ნაწილი არის ნული, ანუ ჰორნერის მეორე რიგის ბოლო სვეტში. სქემა, ჩვენ ვიღებთ 0-ს.

ჰორნერის სქემით „ვკლავთ ორ ჩიტს ერთი ქვით“: ამავდროულად ვამოწმებთ არის თუ არა რიცხვი მრავალწევრის ფესვი და ამ მრავალწევრს ვყოფთ ორწევრზე.

მაგალითი.ამოხსენით განტოლება:

1. ვწერთ თავისუფალი წევრის გამყოფებს და ვეძებთ მრავალწევრის ფესვებს თავისუფალი წევრის გამყოფებს შორის.

24-ის გამყოფები:

2. შეამოწმეთ რიცხვი 1 არის თუ არა მრავალწევრის ფესვი.

მრავალწევრის კოეფიციენტების ჯამი, შესაბამისად, რიცხვი 1 არის მრავალწევრის ფესვი.

3. ჰორნერის სქემის გამოყენებით თავდაპირველი პოლინომი დაყავით ბინომად.

ა) ჩაწერეთ თავდაპირველი მრავალწევრის კოეფიციენტები ცხრილის პირველ რიგში.

ვინაიდან შემცველი წევრი არ არის, ცხრილის სვეტში ვწერთ 0-ს, რომელშიც უნდა ჩაიწეროს კოეფიციენტი at, მარცხნივ ვწერთ ნაპოვნი ფესვს: რიცხვს 1.

ბ) შეავსეთ ცხრილის პირველი სტრიქონი.

ბოლო სვეტში, როგორც მოსალოდნელი იყო, მივიღეთ ნული, დავყავით თავდაპირველი მრავალწევრი ნაშთის გარეშე ორწევად. გაყოფის შედეგად მიღებული მრავალწევრის კოეფიციენტები ლურჯად არის ნაჩვენები ცხრილის მეორე რიგში:

ადვილია იმის შემოწმება, რომ რიცხვები 1 და -1 არ არის მრავალწევრის ფესვები

გ) გავაგრძელოთ ცხრილი. მოდით შევამოწმოთ რიცხვი 2 არის თუ არა მრავალწევრის ფესვი:

ასე რომ, მრავალწევრის ხარისხი, რომელიც მიიღება ერთზე გაყოფის შედეგად, ნაკლებია თავდაპირველი მრავალწევრის ხარისხზე, შესაბამისად, კოეფიციენტების რაოდენობა და სვეტების რაოდენობა ერთით ნაკლებია.

ბოლო სვეტში მივიღეთ -40 - რიცხვი, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, მაშასადამე, მრავალწევრი იყოფა ნაშთით ორწევრზე, ხოლო რიცხვი 2 არ არის მრავალწევრი ფესვი.

გ) შევამოწმოთ რიცხვი -2 არის თუ არა მრავალწევრის ფესვი. ვინაიდან წინა მცდელობა წარუმატებელი აღმოჩნდა, რათა არ მოხდეს კოეფიციენტებთან დაბნეულობა, ამ მცდელობის შესაბამის ხაზს წავშლი:

კარგად! ნაშთში მივიღეთ ნული, მაშასადამე, მრავალწევრი დაიყო ნარჩენების გარეშე ორწევრად, შესაბამისად, რიცხვი -2 არის მრავალწევრის ფესვი. მრავალწევრის კოეფიციენტები, რომელიც მიიღება მრავალწევრის ორწევრზე გაყოფით, მწვანედ არის ნაჩვენები ცხრილში.

გაყოფის შედეგად მივიღეთ კვადრატული ტრინომი , რომლის ფესვები ადვილად იპოვება ვიეტას თეორემით:

ასე რომ, ორიგინალური განტოლების ფესვები:

{}

პასუხი: ( }

საიტი „მათემატიკის პროფესიონალი დამრიგებელი“ აგრძელებს სწავლების მეთოდოლოგიური სტატიების სერიას. ვაქვეყნებ ჩემი მუშაობის მეთოდების აღწერას სასკოლო სასწავლო გეგმის ყველაზე რთულ და პრობლემურ თემებზე. ეს მასალა გამოადგებათ მათემატიკის მასწავლებლებსა და დამრიგებლებს, რომლებიც მუშაობენ 8-11 კლასების მოსწავლეებთან, როგორც ჩვეულებრივ პროგრამაში, ასევე მათემატიკური გაკვეთილების პროგრამაში.

მათემატიკის დამრიგებელი ყოველთვის ვერ ხსნის მასალას, რომელიც ცუდად არის წარმოდგენილი სახელმძღვანელოში. სამწუხაროდ, სულ უფრო და უფრო მეტია ასეთი თემები და მასობრივად კეთდება პრეზენტაციის შეცდომები, სახელმძღვანელოების ავტორების მიყოლებით. ეს ეხება არა მხოლოდ მათემატიკის დამწყებ დამრიგებლებს და ნახევარ განაკვეთზე მასწავლებლებს (ტუტორები - სტუდენტები და უნივერსიტეტის დამრიგებლები), არამედ გამოცდილ მასწავლებლებს, რეპეტიტორებს - პროფესიონალებს, გამოცდილებითა და კვალიფიკაციის მქონე მასწავლებლებს. ყველა მათემატიკის დამრიგებელს აქვს სასკოლო სახელმძღვანელოების უხეშობის კომპეტენტური კორექტორის ნიჭი. ყველას არ ესმის, რომ ეს შესწორებები (ან დამატებები) აუცილებელია. მხოლოდ რამდენიმე მათგანია დაკავებული მასალის ადაპტაციით ბავშვების მიერ მისი ხარისხობრივი აღქმისთვის. სამწუხაროდ, გავიდა დრო, როდესაც მათემატიკის მასწავლებლები მეთოდოლოგებთან და პუბლიკაციების ავტორებთან ერთად მასიურად განიხილავდნენ სახელმძღვანელოს თითოეულ ასოს. წარსულში, სანამ სახელმძღვანელო დაინერგებოდა სკოლებში, ტარდებოდა სწავლის შედეგების სერიოზული ანალიზი და შესწავლა. დადგა დრო დილეტანტებისთვის, რომლებიც ცდილობენ სახელმძღვანელოები გახადონ უნივერსალური, მათემატიკური კლასების ძლიერი სტანდარტების შესაბამისად.

ინფორმაციის მოცულობის გაზრდის რბოლა მხოლოდ იწვევს მისი ათვისების ხარისხის დაქვეითებას და, შედეგად, მათემატიკაში რეალური ცოდნის დონის დაქვეითებას. მაგრამ ამას არავინ აქცევს ყურადღებას. და ჩვენი შვილები იძულებულნი არიან ისწავლონ უკვე მე-8 კლასში, რაც ჩვენ გავიარეთ ინსტიტუტში: ალბათობის თეორია, მაღალი ხარისხის განტოლებების ამოხსნა და კიდევ რაღაც. წიგნებში მასალის ადაპტაცია ბავშვის მიერ მისი სრული აღქმისთვის სასურველს ტოვებს და მათემატიკის დამრიგებელი იძულებულია როგორმე გაუმკლავდეს ამას.

მოდით ვისაუბროთ ისეთი კონკრეტული თემის სწავლების მეთოდოლოგიაზე, როგორიცაა „მრავალწევის კუთხით დაყოფა მრავალწევრზე“, უფროსების მათემატიკაში უფრო ცნობილი, როგორც „ბეზოუთის თეორემა და ჰორნერის სქემა“. სულ რაღაც ორიოდე წლის წინ მათემატიკის დამრიგებელისთვის კითხვა არც ისე მწვავე იყო, რადგან ის არ იყო შეტანილი ძირითადი სკოლის სასწავლო გეგმაში. ახლა სახელმძღვანელოს პატივცემულმა ავტორებმა, თელიაკოვსკის რედაქციით, შეიტანეს ცვლილებები საუკეთესო, ჩემი აზრით, სახელმძღვანელოს უახლეს გამოცემაში და, მთლიანად გააფუჭეს, მხოლოდ ზედმეტი საზრუნავი დაუმატეს დამრიგებელს. სკოლებისა და კლასების მასწავლებლებმა, რომლებსაც მათემატიკის სტატუსი არ აქვთ, ავტორების ინოვაციებზე ორიენტირებული, უფრო ხშირად დაიწყეს დამატებითი აბზაცების ჩართვა თავიანთ გაკვეთილებში, ხოლო ცნობისმოყვარე ბავშვები, რომლებიც ათვალიერებენ თავიანთი მათემატიკის სახელმძღვანელოს ლამაზ გვერდებს, სულ უფრო ხშირად ეკითხებიან. დამრიგებელი: „რა არის ეს დაყოფა კუთხით? გავდივართ ამას? როგორ გავუზიაროთ კუთხე? ასეთი პირდაპირი კითხვების დამალვა არ არის. დამრიგებელს მოუწევს ბავშვს რაღაც უთხრას.

მაგრამ როგორც? სახელმძღვანელოებში სწორად რომ იყოს წარმოდგენილი თემასთან მუშაობის მეთოდს ალბათ არ აღვწერ. ჩვენთან როგორ ხდება ყველაფერი? სახელმძღვანელოები უნდა დაიბეჭდოს და გაიყიდოს. და ამისათვის საჭიროა მათი რეგულარულად განახლება. უჩივიან უნივერსიტეტის მასწავლებლები, რომ ბავშვები მათთან მოდიან ცარიელი თავებით, ცოდნისა და უნარების გარეშე? იზრდება თუ არა მათემატიკური ცოდნის მოთხოვნები? კარგად! მოდით, ამოვიღოთ ზოგიერთი სავარჯიშო და ჩავდოთ სხვა პროგრამებში შესწავლილი თემები. რატომ არის ჩვენი სახელმძღვანელო უარესი? მოდით ჩავრთოთ რამდენიმე დამატებითი თავი. სკოლის მოსწავლეებმა არ იციან კუთხით გაყოფის წესი? ეს არის ელემენტარული მათემატიკა. ასეთი აბზაცი არჩევითად უნდა გავხადოთ, სათაურით "მათთვის, ვისაც სურს მეტი იცოდეს". რეპეტიტორები წინააღმდეგ? და საერთოდ რა გვაინტერესებს რეპეტიტორები? მეთოდისტები და სკოლის მასწავლებლებიც წინააღმდეგი არიან? ჩვენ არ გავართულებთ მასალას და განვიხილავთ მის უმარტივეს ნაწილს.

და სწორედ აქედან იწყება. თემის სიმარტივე და მისი ასიმილაციის ხარისხი, უპირველეს ყოვლისა, მისი ლოგიკის გაგებაში მდგომარეობს და არა იმაში, რომ სახელმძღვანელოს ავტორთა დანიშნულებით, შეასრულოს ოპერაციების გარკვეული ნაკრები. აშკარად არ არის დაკავშირებული ერთმანეთთან. წინააღმდეგ შემთხვევაში მოსწავლის თავში ნისლი უზრუნველყოფილი იქნება. თუ ავტორები იმედოვნებენ შედარებით ძლიერ სტუდენტებს (მაგრამ სწავლობენ რეგულარული პროგრამის მიხედვით), მაშინ არ უნდა წარადგინოთ თემა გუნდური ფორმით. რას ვხედავთ სახელმძღვანელოში? ბავშვებო, აუცილებელია ამ წესის მიხედვით დაყოფა. მიიღეთ მრავალწევრი კუთხეში. ამრიგად, თავდაპირველი მრავალწევრი იქნება ფაქტორიზებული. თუმცა, გაუგებარია, რატომ არის არჩეული კუთხის ქვეშ მყოფი ტერმინები ამ გზით, რატომ არის საჭირო მათი გამრავლება კუთხის პოლინომით, შემდეგ კი მიმდინარე ნაშთს გამოკლება - გაუგებარია. და რაც მთავარია, გაუგებარია, რატომ უნდა დაემატოს ბოლომდე არჩეული მონომები და რატომ იქნება მიღებული ფრჩხილები თავდაპირველი მრავალწევრის გაფართოება. ნებისმიერი კომპეტენტური მათემატიკოსი დასვამს თამამი კითხვის ნიშანს სახელმძღვანელოში მოცემულ ახსნა-განმარტებებს.

რეპეტიტორებისა და მათემატიკის მასწავლებლების ყურადღებას ვაქცევ ამოცანის ამოხსნას, რომელიც პრაქტიკულად ცხადყოფს მოსწავლეს ყველაფერს, რაც სახელმძღვანელოშია მითითებული. ფაქტობრივად, ჩვენ დავამტკიცებთ ბეზოუთის თეორემას: თუ რიცხვი a არის მრავალწევრის ფესვი, მაშინ ეს მრავალწევრი შეიძლება დაიშალოს ფაქტორებად, რომელთაგან ერთი არის x-a, ხოლო მეორე მიიღება საწყისიდან სამი გზით. : წრფივი ფაქტორის ამოღებით გარდაქმნების გზით, კუთხით დაყოფით ან ჰორნერის სქემის მიხედვით. სწორედ ასეთი ფორმულირებით გაუადვილდება მათემატიკის დამრიგებელს მუშაობა.

რა არის სწავლების მეთოდოლოგია? უპირველეს ყოვლისა, ეს არის ახსნა-განმარტებების და მაგალითების თანმიმდევრობის მკაფიო წესრიგი, რომლის საფუძველზეც კეთდება მათემატიკური დასკვნები. ეს თემა არ არის გამონაკლისი. ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ მათემატიკის დამრიგებელმა გააცნოს ბავშვს ბეზოუთის თეორემა კუთხის გაყოფის შესრულებამდე. Ეს ძალიან მნიშვნელოვანია! გაგების საუკეთესო გზა არის კონკრეტული მაგალითი. ავიღოთ რამდენიმე მრავალწევრი არჩეული ფესვით და ვაჩვენოთ მისი ფაქტორიზაციის ტექნიკა მე-7 კლასიდან მოსწავლისთვის ნაცნობი იდენტური გარდაქმნების მეთოდით. მათემატიკის დამრიგებლის შესაბამისი თანმხლები განმარტებებით, აქცენტებითა და რჩევებით სავსებით შესაძლებელია მასალის გადმოცემა ყოველგვარი ზოგადი მათემატიკური გამოთვლების, თვითნებური კოეფიციენტებისა და ხარისხების გარეშე.

მნიშვნელოვანი რჩევები მათემატიკის მასწავლებლებისთვის- მიჰყევით ინსტრუქციას თავიდან ბოლომდე და არ შეცვალოთ ეს თანმიმდევრობა.

ასე რომ, ვთქვათ, გვაქვს მრავალწევრი. თუ მის x-ის ნაცვლად 1-ს ჩავანაცვლებთ, მაშინ მრავალწევრის მნიშვნელობა იქნება ნული. აქედან გამომდინარე, x=1 არის მისი ფესვი. შევეცადოთ დავშალოთ ორ ტერმინად ისე, რომ ერთი მათგანი იყოს წრფივი გამოხატვისა და ზოგიერთი მონომის ნამრავლი, ხოლო მეორეს ჰქონდეს ხარისხი ერთით ნაკლები. ანუ ჩვენ წარმოვადგენთ მას ფორმაში

წითელი ველის მონომს ვირჩევთ ისე, რომ როდესაც იგი მრავლდება პირველ წევრზე, იგი მთლიანად ემთხვევა თავდაპირველი მრავალწევრის წინა წევრს. თუ მოსწავლე არ არის ყველაზე სუსტი, მაშინ მას ექნება საშუალება მისცეს მათემატიკაში დამრიგებელს სასურველი გამოთქმა:. მასწავლებელს დაუყოვნებლივ უნდა სთხოვონ ჩასვას ის წითელ უჯრაში და აჩვენოს რა მოხდება მათი გახსნისას. უმჯობესია მოაწეროთ ეს ვირტუალური დროებითი პოლინომი ისრების ქვეშ (ფოტოს ქვეშ), ხაზს უსვამს მას რაიმე ფერით, მაგალითად, ლურჯი. ეს დაგეხმარებათ აირჩიოთ ჯამი წითელი ველისთვის, რომელსაც ეწოდება ნარჩენი შერჩევისგან. რეპეტიტორებს ვურჩევდი აღნიშნონ, რომ ეს ნაშთი შეიძლება გამოკლებით იპოვონ. ამ ოპერაციის შესრულებისას მივიღებთ:

მათემატიკის დამრიგებელმა სტუდენტის ყურადღება უნდა მიაპყროს იმ ფაქტს, რომ ამ ტოლობაში ერთეულის ჩანაცვლებით ჩვენ გარანტირებულად მივიღებთ ნულს მის მარცხენა მხარეს (რადგან 1 არის თავდაპირველი მრავალწევრის ფესვი), ხოლო მარჯვნივ, ცხადია, ჩვენ ასევე დავაყენებთ პირველ წევრს ნულზე. ასე რომ, ყოველგვარი გადამოწმების გარეშე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ერთეული არის „მწვანე ნარჩენების“ ფესვი.

მოდი გავუმკლავდეთ მას ისევე, როგორც თავდაპირველ მრავალწევრს, მისგან გამოვყოთ იგივე წრფივი ფაქტორი. მათემატიკის დამრიგებელი მოსწავლის წინ ხატავს ორ უჯრას და სთხოვს შეავსონ მარცხნიდან მარჯვნივ.

სტუდენტი რეპეტიტორისთვის ირჩევს წითელი ველის მონომს ისე, რომ წრფივი გამოსახულების უმაღლეს წევრზე გამრავლებისას მივიღოთ გაფართოებული მრავალწევრის უმაღლესი წევრი. ჩვენ შევიყვანთ მას ჩარჩოში, მაშინვე ვხსნით ფრჩხილს და ლურჯად გამოვყოფთ გამონათქვამს, რომელიც უნდა გამოვაკლოთ გაფართოებულს. ამ ოპერაციის შესრულებისას ვიღებთ

და ბოლოს, იგივე გააკეთეთ ბოლო ნაშთით

საბოლოოდ მიიღეთ

ახლა ჩვენ გამოვყოფთ გამონათქვამს ფრჩხილიდან და შევხვდებით თავდაპირველი მრავალწევრის დაშლას ფაქტორებად, რომელთაგან ერთ-ერთია "x მინუს არჩეული ფესვი".

იმისათვის, რომ მოსწავლემ არ იფიქროს, რომ ბოლო „მწვანე ნარჩენი“ შემთხვევით დაიშალა აუცილებელ ფაქტორებად, მათემატიკის დამრიგებელმა უნდა მიუთითოს ყველა მწვანე ნარჩენის მნიშვნელოვანი თვისება - თითოეულ მათგანს აქვს ფესვი 1. ნაშთები მცირდება, მაშინ რაც არ უნდა საწყისის რა ხარისხი არ მოგვცეს არავითარი მრავალწევრი, ადრე თუ გვიან მივიღებთ წრფივ „მწვანე ნარჩენს“ 1-ის ფესვით და ამიტომ ის უნდა დაიშალოს გარკვეული რიცხვის ნამრავლად. და გამოხატულება.

ასეთი მოსამზადებელი სამუშაოების შემდეგ მათემატიკის დამრიგებელს არ გაუჭირდება მოსწავლეს აუხსნას რა ხდება კუთხის გაყოფისას. ეს არის იგივე პროცესი, მხოლოდ უფრო მოკლე და კომპაქტური ფორმით, თანაბარი ნიშნების გარეშე და იგივე შერჩეული ტერმინების გადაწერის გარეშე. ჩვენ ვწერთ პოლინომს, საიდანაც წრფივი მამრავლი გამოყოფილია კუთხის მარცხნივ, ვაგროვებთ არჩეულ წითელ მონომებს კუთხით (ახლა გასაგები ხდება, რატომ უნდა დაემატოს ისინი), რომ მიიღოთ "ლურჯი მრავალწევრები", თქვენ უნდა გაამრავლოთ. "წითელი" x-1-ით და შემდეგ გამოაკლეთ შერჩეულ მიმდინარეობას, თუ როგორ კეთდება ეს რიცხვების ჩვეულებრივ დაყოფაში სვეტში (აქ ეს არის ანალოგია ადრე შესწავლილთან). მიღებულ „მწვანე ნარჩენებს“ ექვემდებარება „წითელი მონომების“ ახალი შერჩევა და შერჩევა. და ასე შემდეგ მანამ, სანამ არ მიიღება ნულოვანი "მწვანე ნარჩენი". ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ კუთხის ზემოთ და ქვემოთ დაწერილი მრავალწევრების შემდგომი ბედი გასაგები გახდეს მოსწავლისთვის. ცხადია, ეს არის ფრჩხილები, რომელთა ნამრავლი თავდაპირველი მრავალწევრის ტოლია.

მათემატიკაში დამრიგებლის მუშაობის შემდეგი ეტაპი არის ბეზუტის თეორემის ფორმულირება. ფაქტობრივად, მისი ფორმულირება დამრიგებლის ამ მიდგომით აშკარა ხდება: თუ რიცხვი a არის მრავალწევრის ფესვი, მაშინ ის შეიძლება დაიშალოს ფაქტორებად, რომელთაგან ერთი, ხოლო მეორე მიიღება ორიგინალიდან სამიდან ერთში. გზები:

• პირდაპირი დაშლა (დაჯგუფების მეთოდის ანალოგი)
• დაყოფა კუთხით (სვეტში)
• ჰორნერის სქემის მიხედვით

უნდა ითქვას, რომ ყველა მათემატიკის დამრიგებელი არ აჩვენებს მოსწავლეებს ჰორნერის სქემას და სკოლის ყველა მასწავლებელი (საბედნიეროდ თავად მასწავლებლებისთვის) ასე ღრმად არ შედის გაკვეთილების თემაში. თუმცა, მათემატიკის კლასის სტუდენტისთვის, მე ვერ ვხედავ მიზეზს, რომ შეჩერდეს გრძელ დაყოფაზე. უფრო მეტიც, ყველაზე მოსახერხებელი და სწრაფიდაშლის ტექნიკა ეფუძნება ზუსტად ჰორნერის სქემას. იმისათვის, რომ ბავშვს ავუხსნათ, საიდან მოდის, საკმარისია მწვანე ნარჩენებში უფრო მაღალი კოეფიციენტების გამოჩენა კუთხით გაყოფის მაგალითის გამოყენებით. ირკვევა, რომ საწყისი მრავალწევრის უფროსი კოეფიციენტი იშლება პირველი „წითელი მონომილის“ კოეფიციენტად, ხოლო უფრო შორს მიმდინარე ზედა მრავალწევრის მეორე კოეფიციენტიდან. გამოკლებულიმიმდინარე „წითელი მონომის“ კოეფიციენტის გამრავლების შედეგი . ამიტომ, შეგიძლიათ დაამატეთგამრავლების შედეგი. კოეფიციენტებით მოქმედებების სპეციფიკაზე მოსწავლის ყურადღების ფოკუსირების შემდეგ, მათემატიკის დამრიგებელს შეუძლია აჩვენოს, თუ როგორ სრულდება ეს მოქმედებები ჩვეულებრივ ცვლადების ჩაწერის გარეშე. ამისათვის მოსახერხებელია თავდაპირველი მრავალწევრის ფესვი და კოეფიციენტების შეყვანა პრიორიტეტის მიხედვით შემდეგ ცხრილში:

თუ მრავალწევრს აკლია რომელიმე ხარისხი, მაშინ მისი ნულოვანი კოეფიციენტი იძულებით შეიტანება ცხრილში. "წითელი მრავალწევრების" კოეფიციენტები მონაცვლეობით შედის ქვედა ხაზში "hook" წესის მიხედვით:

ფესვი მრავლდება ბოლო დანგრეულ „წითელ კოეფიციენტზე“, ემატება ზედა რიგის მომდევნო კოეფიციენტს და შედეგი იშლება ქვედა ხაზამდე. ბოლო სვეტში გარანტირებულად მივიღებთ ბოლო „მწვანე ბალანსის“ უმაღლეს კოეფიციენტს, ანუ ნულს. პროცესის დასრულების შემდეგ, ნომრები მოთავსებულია შესატყვის ფესვსა და ნულ ნარჩენს შორისაღმოჩნდება მეორე (არაწრფივი) ფაქტორის კოეფიციენტები.

ვინაიდან ფესვი a იძლევა ნულს ქვედა მწკრივის ბოლოს, მაშინ ჰორნერის სქემა შეიძლება გამოვიყენოთ რიცხვების შესამოწმებლად მრავალწევრის ფესვის რანგისთვის. თუ სპეციალური თეორემა რაციონალური ფესვის შერჩევის შესახებ. მისი დახმარებით მიღებული ამ ტიტულის ყველა კანდიდატი უბრალოდ მარცხნიდან რიგრიგობით არის ჩასმული ჰორნერის სქემაში. როგორც კი ნულს მივიღებთ, გამოსაცდელი რიცხვი იქნება ფესვი და ამავდროულად მივიღებთ საწყისი მრავალწევრის ფაქტორებად გაფართოების კოეფიციენტებს. ძალიან კომფორტულად.

დასასრულს, მინდა აღვნიშნო, რომ ჰორნერის სქემის ზუსტი დანერგვისთვის, ასევე თემის პრაქტიკული კონსოლიდაციისთვის, მათემატიკის დამრიგებელს უნდა ჰქონდეს საკმარისი რაოდენობის საათი. „კვირაში ერთხელ“ რეჟიმით მომუშავე დამრიგებელი არ უნდა იყოს დაკავებული კუთხის გაყოფით. ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე მათემატიკაში და GIA-ზე მათემატიკაში, ნაკლებად სავარაუდოა, რომ პირველ ნაწილში ოდესმე იყოს მესამე ხარისხის განტოლება, გადაწყვეტილი ასეთი საშუალებებით. თუ დამრიგებელი ამზადებს ბავშვს მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტში მათემატიკაში გამოცდისთვის, თემის შესწავლა სავალდებულო ხდება. უნივერსიტეტის მასწავლებლებს ძალიან უყვართ, ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის შემდგენელებისგან განსხვავებით, აპლიკანტის ცოდნის სიღრმის შემოწმება.

კოლპაკოვი ალექსანდრე ნიკოლაევიჩი, მათემატიკის მასწავლებელი მოსკოვი, სტროგინო

გაკვეთილის მიზნები:

• ასწავლოს მოსწავლეებს ჰორნერის სქემის გამოყენებით უმაღლესი ხარისხის განტოლებების ამოხსნა;
• განუვითარდებათ წყვილებში მუშაობის უნარი;
• სასწავლო კურსის ძირითად ნაწილებთან ერთად შექმნას საფუძველი სტუდენტების შესაძლებლობების განვითარებისათვის;
• დაეხმარეთ მოსწავლეს შეაფასოს თავისი პოტენციალი, განუვითაროს მათემატიკისადმი ინტერესი, აზროვნების უნარი, ისაუბროს თემაზე.

აღჭურვილობა:ბარათები ჯგუფებში მუშაობისთვის, პლაკატი ჰორნერის სქემით.

სწავლების მეთოდი:ლექცია, ამბავი, ახსნა, სავარჯიშო სავარჯიშოების შესრულება.

კონტროლის ფორმა:დამოუკიდებელი გადაწყვეტის, დამოუკიდებელი მუშაობის პრობლემების გადამოწმება.

გაკვეთილების დროს

1. საორგანიზაციო მომენტი

2. მოსწავლეთა ცოდნის აქტუალიზაცია

რომელი თეორემა გაძლევთ საშუალებას დაადგინოთ არის თუ არა რიცხვი მოცემული განტოლების ფესვი (თეორემის ჩამოსაყალიბებლად)?

ბეზუტის თეორემა. P(x) მრავალწევრის x-c ორწევრზე გაყოფის დარჩენილი ნაწილი უდრის P(c), რიცხვს c ეწოდება P(x) მრავალწევრის ფესვი, თუ P(c)=0. თეორემა საშუალებას იძლევა, გაყოფის მოქმედების შესრულების გარეშე, დადგინდეს არის თუ არა მოცემული რიცხვი მრავალწევრის ფესვი.

რომელი განცხადებები აადვილებს ფესვების პოვნას?

ა) თუ მრავალწევრის წამყვანი კოეფიციენტი ერთის ტოლია, მაშინ მრავალწევრის ფესვები უნდა ვეძებოთ თავისუფალი წევრის გამყოფებს შორის.

ბ) თუ მრავალწევრის კოეფიციენტების ჯამი არის 0, მაშინ ერთ-ერთი ფესვი არის 1.

გ) თუ ლუწი ადგილებზე კოეფიციენტების ჯამი კენტი ადგილების კოეფიციენტების ჯამის ტოლია, მაშინ ერთ-ერთი ძირი უდრის -1-ს.

დ) თუ ყველა კოეფიციენტი დადებითია, მაშინ მრავალწევრის ფესვები უარყოფითი რიცხვებია.

ე) კენტი ხარისხის მრავალწევრს აქვს მინიმუმ ერთი რეალური ფესვი.

3. ახალი მასალის შესწავლა

მთელი ალგებრული განტოლებების ამოხსნისას, თქვენ უნდა იპოვოთ მრავალწევრების ფესვების მნიშვნელობები. ეს ოპერაცია შეიძლება მნიშვნელოვნად გამარტივდეს, თუ გამოთვლები განხორციელდება სპეციალური ალგორითმის მიხედვით, რომელსაც ჰორნერის სქემა ეწოდება. ეს სქემა ინგლისელი მეცნიერის უილიამ ჯორჯ ჰორნერის სახელს ატარებს. ჰორნერის სქემა არის ალგორითმი P(x) მრავალწევრის x-c-ზე გაყოფის კოეფიციენტისა და ნაშთის გამოსათვლელად. მოკლედ როგორ მუშაობს.

მიეცით თვითნებური მრავალწევრი P(x)=a 0 x n + a 1 x n-1 + ...+ a n-1 x+ a n. ამ მრავალწევრის x-c-ზე გაყოფა არის მისი გამოსახულება P(x)=(x-c)g(x) + r(x) სახით. პირადი g (x) \u003d 0 x n-1 + n x n-2 + ... + n-2 x + n-1-ზე, სადაც 0 \u003d a 0, n \u003d sv n- 1 + a n, n=1,2,3,…n-1. დარჩენილი r (x) \u003d ქ n-1 + a n. ამ გაანგარიშების მეთოდს ჰორნერის სქემა ეწოდება. სიტყვა "სქემა" ალგორითმის სახელში განპირობებულია იმით, რომ, როგორც წესი, მისი შესრულება ფორმალიზებულია შემდეგნაირად. ჯერ დახაზეთ ცხრილი 2(n+2). რიცხვი c იწერება ქვედა მარცხენა უჯრედში, ხოლო P (x) მრავალწევრის კოეფიციენტები იწერება ზედა სტრიქონში. ამ შემთხვევაში ზედა მარცხენა უჯრედი ცარიელი რჩება.

	0 = a 0-ზე	1 \u003d sv 1 + a 1-ში	2 \u003d sv 1 + ა 2		n-1 \u003d sv n-2 +a n-1-ში	r(x)=f(c)=sv n-1 +a n

რიცხვი, რომელიც ალგორითმის შესრულების შემდეგ აღმოჩნდება ჩაწერილი ქვედა მარჯვენა უჯრედში, არის P(x) მრავალწევრის x-c-ზე გაყოფის ნარჩენი. ქვედა რიგის 0 , 1 , 2 ,... სხვა რიცხვები არის კოეფიციენტები.

მაგალითად: გავყოთ მრავალწევრი P (x) \u003d x 3 -2x + 3 x-2-ზე.

მივიღებთ, რომ x 3 -2x + 3 \u003d (x-2) (x 2 + 2x + 2) + 7.

4. შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია

მაგალითი 1:მრავალწევრის ფაქტორიზაცია P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით.

ჩვენ ვეძებთ მთელ ფესვებს თავისუფალი წევრის გამყოფებს შორის -1: 1; -ერთი. მოდით გავაკეთოთ ცხრილი:

X \u003d -1 - ფესვი

P (x) \u003d (x + 1) (2x 3 -9x 2 + 6x -1)

მოდით შევამოწმოთ 1/2.

					X=1/2 - ფესვი

მაშასადამე, პოლინომი P(x) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

P (x) \u003d (x + 1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) \u003d (x + 1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

მაგალითი 2:ამოხსენით განტოლება 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

ვინაიდან განტოლების მარცხენა მხარეს დაწერილი მრავალწევრის კოეფიციენტების ჯამი ნულის ტოლია, მაშინ ერთ-ერთი ფესვი არის 1. გამოვიყენოთ ჰორნერის სქემა:

						X=1 - ფესვი

ჩვენ ვიღებთ P (x) \u003d (x-1) (2x 3 -3x 2 \u003d 2x +2). ჩვენ ვეძებთ ფესვებს თავისუფალი წევრი 2-ის გამყოფებს შორის.

გავარკვიეთ, რომ მთელი ფესვები აღარ არსებობს. შევამოწმოთ 1/2; -1/2.

					X \u003d -1/2 - ფესვი

პასუხი: 1; -1/2.

მაგალითი 3:ამოხსენით განტოლება 5x 4 - 3x 3 - 4x 2 -3x + 5 = 0.

ჩვენ ვეძებთ ამ განტოლების ფესვებს თავისუფალი წევრის გამყოფებს შორის 5: 1; -1; 5; -5. x=1 არის განტოლების ფესვი, ვინაიდან კოეფიციენტების ჯამი არის ნული. გამოვიყენოთ ჰორნერის სქემა:

ჩვენ წარმოვადგენთ განტოლებას, როგორც სამი ფაქტორის ნამრავლს: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) \u003d 0. 5x 2 -7x+5=0 კვადრატული განტოლების ამოხსნით მივიღეთ D=49-100=-51, ფესვები არ არის.

ბარათი 1

1. მრავლდება მრავალწევრი: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. ამოხსენით განტოლება: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

ბარათი 2

1. მრავლდება მრავალწევრი: x 4 -x 3 -7x 2 + 13x-6
2. ამოხსენით განტოლება: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

ბარათი 3

1. ფაქტორიზაცია: 2x 3 -21x 2 + 37x + 24
2. ამოხსენით განტოლება: x 3 -2x 2 +4x-8=0

ბარათი 4

1. ფაქტორიზაცია: 5x 3 -46x 2 + 79x-14
2. ამოხსენით განტოლება: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. შეჯამება

ცოდნის შემოწმება წყვილებში ამოხსნისას გაკვეთილზე ტარდება მოქმედების მეთოდისა და პასუხის დასახელების ამოცნობით.

Საშინაო დავალება:

ამოხსენით განტოლებები:

ა) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x + 1 \u003d 0

ბ) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

გ) x 4 + x 3 + x + 1 \u003d 4 x 2

დ) x 4 + 2x 3 -x-2 \u003d 0

ლიტერატურა

1. N.Ya. Vilenkin et al., Algebra and Beginnings of Analysis Grade 10 (მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლა): განმანათლებლობა, 2005 წ.
2. U.I. სახარჩუკი, ლ.ს. საგატელოვა, უმაღლესი ხარისხის განტოლებების ამოხსნა: ვოლგოგრადი, 2007 წ.
3. ს.ბ. GashkovNumber სისტემები და მათი გამოყენება.

და ა.შ. ზოგადი ხასიათისაა და დიდი მნიშვნელობაუმაღლესი მათემატიკის მთელი კურსის შესასწავლად. დღეს ჩვენ გავიმეორებთ "სასკოლო" განტოლებებს, მაგრამ არა მხოლოდ "სასკოლო" - არამედ მათგან, რომლებიც ყველგან გვხვდება ვიშმატის სხვადასხვა ამოცანებში. ჩვეულებისამებრ, სიუჟეტი წავა გამოყენებითი გზით, ე.ი. მე არ გავამახვილებ განმარტებებზე, კლასიფიკაციებზე, მაგრამ გაგიზიარებთ ამოხსნის ჩემს პირად გამოცდილებას. ინფორმაცია, პირველ რიგში, დამწყებთათვისაა განკუთვნილი, მაგრამ უფრო მომზადებული მკითხველი თავისთვის ბევრ საინტერესო პუნქტსაც იპოვის. და, რა თქმა უნდა, იქნება ახალი მასალა, რომელიც სცილდება საშუალო სკოლას.

ასე რომ, განტოლება ... ბევრს ეს სიტყვა კანკალით ახსოვს. რა არის ფესვებთან დაკავშირებული "ფანტასტიკური" განტოლებები... დაივიწყეთ ისინი! რადგან შემდგომში შეხვდებით ამ სახეობის ყველაზე უვნებელ „წარმომადგენლებს“. ან მოსაწყენი ტრიგონომეტრიული განტოლებები ამოხსნის ათობით მეთოდით. სიმართლე გითხრათ, არც მე მომწონდა ისინი... არავითარი პანიკა! - მაშინ თქვენ გელით ძირითადად „დენდელიონები“ აშკარა ხსნარით 1-2 ნაბიჯში. მიუხედავად იმისა, რომ "ბურდოკი", რა თქმა უნდა, იჭერს - აქ თქვენ უნდა იყოთ ობიექტური.

უცნაურად საკმარისია, რომ უმაღლეს მათემატიკაში ბევრად უფრო ხშირია საქმე ძალიან პრიმიტიულ განტოლებებთან, როგორიცაა ხაზოვანიგანტოლებები.

რას ნიშნავს ამ განტოლების ამოხსნა? ეს ნიშნავს - იპოვო "x"-ის ისეთი მნიშვნელობა (ფესვი), რომელიც მას ნამდვილ თანასწორობაში აქცევს. ნიშნის ცვლით „ტროიკა“ მარჯვნივ გადავუხვიოთ:

და ჩამოაგდეთ "ორი" მარჯვენა მხარეს (ან იგივე - გავამრავლოთ ორივე ნაწილი) :

შესამოწმებლად, ჩვენ ვცვლით მოგებულ თასს თავდაპირველ განტოლებაში:

მიიღება სწორი ტოლობა, რაც ნიშნავს, რომ ნაპოვნი მნიშვნელობა ნამდვილად არის ამ განტოლების ფესვი. ან, როგორც ამბობენ, აკმაყოფილებს ამ განტოლებას.

გაითვალისწინეთ, რომ ფესვი ასევე შეიძლება დაიწეროს ათობითი წილადის სახით:
და შეეცადეთ არ მიჰყვეთ ამ საზიზღარ სტილს! მიზეზი ბევრჯერ გავიმეორე, კერძოდ, პირველივე გაკვეთილზე უმაღლესი ალგებრა.

სხვათა შორის, განტოლება ასევე შეიძლება ამოიხსნას "არაბულად":

და რაც ყველაზე საინტერესოა - ეს ჩანაწერი სრულიად ლეგალურია! მაგრამ თუ მასწავლებელი არ ხარ, მაშინ ჯობია ეს არ გააკეთო, რადგან ორიგინალობა აქ ისჯება =)

და ახლა ცოტა შესახებ

გრაფიკული გადაწყვეტის მეთოდი

განტოლებას აქვს ფორმა და მისი ფესვი არის "x" კოორდინატი გადაკვეთის წერტილები ხაზოვანი ფუნქციის გრაფიკიხაზოვანი ფუნქციის გრაფიკით (აბსცისის ღერძი):

როგორც ჩანს, მაგალითი იმდენად ელემენტარულია, რომ აქ გასაანალიზებელი მეტი არაფერია, მაგრამ მისგან შეიძლება კიდევ ერთი მოულოდნელი ნიუანსის „გამოდევნა“: ჩვენ წარმოვადგენთ იმავე განტოლებას ფორმაში და ვხატავთ ფუნქციის გრაფიკებს:

სადაც, გთხოვთ, არ აურიოთ ეს ორი: განტოლება არის განტოლება და ფუნქციაარის ფუნქცია! ფუნქციები მხოლოდ დახმარებაიპოვეთ განტოლების ფესვები. რომელთაგან შეიძლება იყოს ორი, სამი, ოთხი და თუნდაც უსასრულოდ ბევრი. ამ თვალსაზრისით ყველაზე ახლო მაგალითი ყველამ იცის კვადრატული განტოლება, რომლის ამოხსნის ალგორითმს მიენიჭა ცალკე პუნქტი "ცხელი" სკოლის ფორმულები. და ეს არ არის შემთხვევითი! თუ შეგიძლია ამოხსნა კვადრატული განტოლება და იცოდე პითაგორას თეორემა, მაშინ, შეიძლება ითქვას, „უმაღლესი მათემატიკის იატაკი უკვე ჯიბეშია“ =) გადაჭარბებული, რა თქმა უნდა, მაგრამ არც ისე შორს სიმართლისგან!

და ამიტომ, ჩვენ არ ვართ ძალიან ზარმაცი და ამგვარად ვხსნით რაღაც კვადრატულ განტოლებას სტანდარტული ალგორითმი:

ასე რომ, განტოლებას აქვს ორი განსხვავებული მოქმედებს root:

ადვილია იმის დადასტურება, რომ ორივე ნაპოვნი მნიშვნელობა ნამდვილად აკმაყოფილებს ამ განტოლებას:

რა უნდა გააკეთოთ, თუ მოულოდნელად დაგავიწყდათ გადაწყვეტის ალგორითმი და ხელთ არ გაქვთ ხელსაწყოები / დამხმარე? ასეთი სიტუაცია შეიძლება წარმოიშვას, მაგალითად, გამოცდაზე ან გამოცდაზე. ჩვენ ვიყენებთ გრაფიკულ მეთოდს! და არსებობს ორი გზა: შეგიძლიათ წერტილის აშენებაპარაბოლა , რითაც გაირკვევა, სად კვეთს ის ღერძს (თუ გადაკვეთს საერთოდ). მაგრამ უმჯობესია ვიმოქმედოთ უფრო ეშმაკურად: წარმოგიდგენთ განტოლებას სახით, ვხატავთ უფრო მარტივი ფუნქციების გრაფიკებს - და "x" კოორდინატებიმათი გადაკვეთის წერტილები, ერთი შეხედვით!


თუ აღმოჩნდება, რომ ხაზი ეხება პარაბოლას, მაშინ განტოლებას აქვს ორი დამთხვევა (მრავალჯერადი) ფესვი. თუ აღმოჩნდება, რომ ხაზი არ კვეთს პარაბოლას, მაშინ არ არსებობს რეალური ფესვები.

ამისათვის, რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა შეძლოთ აშენება ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები, მაგრამ მეორეს მხრივ, ეს უნარები სკოლის მოსწავლის ძალაშიც კია.

და ისევ - განტოლება არის განტოლება, და ფუნქციები არის ფუნქციები, რომლებიც მხოლოდ დაეხმარაამოხსენი განტოლება!

და აქ, სხვათა შორის, მიზანშეწონილი იქნება კიდევ ერთი რამის გახსენება: თუ განტოლების ყველა კოეფიციენტი გამრავლებულია არანულოვან რიცხვზე, მაშინ მისი ფესვები არ შეიცვლება.

ასე, მაგალითად, განტოლება იგივე ფესვები აქვს. როგორც უმარტივეს „მტკიცებულებას“, ფრჩხილებიდან ამოვიღებ მუდმივას:
და უმტკივნეულოდ ამოიღეთ იგი (ორივე ნაწილად დავყოფ "მინუს ორად"):

მაგრამ!თუ გავითვალისწინებთ ფუნქციას , მაშინ აქ უკვე შეუძლებელია მუდმივისაგან თავის დაღწევა! მულტიპლიკატორის ამოღება შესაძლებელია მხოლოდ ფრჩხილებიდან: .

ბევრი ვერ აფასებს გრაფიკული გადაწყვეტის მეთოდს და თვლის, რომ ის არის რაღაც „უღირსო“, ზოგი კი სრულიად ივიწყებს ამ შესაძლებლობას. და ეს ფუნდამენტურად არასწორია, რადგან შეთქმულება ზოგჯერ უბრალოდ ზოგავს დღეს!

კიდევ ერთი მაგალითი: დავუშვათ, რომ არ გახსოვთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლების ფესვები:. ზოგადი ფორმულა არის სასკოლო სახელმძღვანელოებში, დაწყებითი მათემატიკის ყველა საცნობარო წიგნში, მაგრამ ისინი თქვენთვის ხელმისაწვდომი არ არის. თუმცა, განტოლების ამოხსნა კრიტიკულია (სხვა შემთხვევაში "ორი"). არის გასასვლელი! - ჩვენ ვაშენებთ ფუნქციების გრაფიკებს:


რის შემდეგაც მშვიდად ვწერთ მათი გადაკვეთის წერტილების "x" კოორდინატებს:

უსაზღვროდ ბევრი ფესვია და მათი დაკეცილი აღნიშვნა მიღებულია ალგებრაში:
, სად ( – მთელი რიცხვების ნაკრები) .

და, "სალაროდან წასვლის" გარეშე, რამდენიმე სიტყვა უტოლობების ერთი ცვლადით ამოხსნის გრაფიკული მეთოდის შესახებ. პრინციპი იგივეა. ასე რომ, მაგალითად, ნებისმიერი "x" არის უტოლობის ამოხსნა, რადგან სინუსოიდი დევს თითქმის მთლიანად სწორი ხაზის ქვეშ. უტოლობის გამოსავალი არის ინტერვალების ერთობლიობა, რომლებზედაც სინუსოიდის ნაწილები დევს სწორ ხაზზე მკაცრად ზემოთ. (აბსციზა):

ან მოკლედ:

და აქ არის უთანასწორობის გადაწყვეტილებების ნაკრები - ცარიელი, ვინაიდან სინუსოიდის არც ერთი წერტილი არ დევს სწორ ხაზზე.

რამე გაუგებარია? სასწრაფოდ შეისწავლეთ გაკვეთილები კომპლექტიდა ფუნქციების გრაფიკები!

Გახურება:

სავარჯიშო 1

გრაფიკულად ამოხსენით შემდეგი ტრიგონომეტრიული განტოლებები:

პასუხები გაკვეთილის ბოლოს

როგორც ხედავთ, ზუსტი მეცნიერებების შესასწავლად სულაც არ არის საჭირო ფორმულებისა და საცნობარო წიგნების შეფუთვა! უფრო მეტიც, ეს ფუნდამენტურად მანკიერი მიდგომაა.

როგორც გაკვეთილის დასაწყისშივე დაგარწმუნეთ, რთული ტრიგონომეტრიული განტოლებები უმაღლესი მათემატიკის სტანდარტულ კურსში ძალიან იშვიათად უნდა გადაწყდეს. მთელი სირთულე, როგორც წესი, მთავრდება ისეთი განტოლებით, როგორიც არის, რომლის ამონახსნი არის ფესვების ორი ჯგუფი, რომელიც მიღებულია უმარტივესი განტოლებიდან და . ძალიან ნუ იდარდებთ ამ უკანასკნელის გადაწყვეტაზე - იხილეთ წიგნში ან იპოვეთ ინტერნეტში =)

გადაჭრის გრაფიკული მეთოდი ასევე დაგეხმარებათ ნაკლებად ტრივიალურ შემთხვევებში. განვიხილოთ, მაგალითად, შემდეგი "ჭრელი" განტოლება:

მისი ამოხსნის პერსპექტივები გამოიყურება ... ისინი საერთოდ არ გამოიყურებიან, მაგრამ მხოლოდ განტოლების წარმოდგენა, კონსტრუქციაა საჭირო. ფუნქციების გრაფიკებიდა ყველაფერი წარმოუდგენლად მარტივი იქნება. ნახატი სტატიის შუაშია უსასრულოდ მცირე ფუნქციები (იხსნება შემდეგ ჩანართში).

იგივე გრაფიკული მეთოდის გამოყენებით შეგიძლიათ გაიგოთ, რომ განტოლებას უკვე აქვს ორი ფესვი და ერთი მათგანი ნულის ტოლია, ხოლო მეორე, როგორც ჩანს, ირაციონალურიდა მიეკუთვნება სეგმენტს. ეს ფესვი შეიძლება გამოითვალოს დაახლოებით, მაგალითად, ტანგენტის მეთოდი. სხვათა შორის, ზოგიერთ დავალებაში ხდება ისე, რომ საჭიროა არა ფესვების პოვნა, არამედ გარკვევა არსებობენ ისინი საერთოდ. და აქაც ნახატი დაგეხმარებათ - თუ გრაფიკები არ იკვეთება, მაშინ ფესვები არ არის.

მრავალწევრების რაციონალური ფესვები მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით.
ჰორნერის სქემა

ახლა კი გირჩევთ, თვალი გადაატრიალოთ შუა საუკუნეებისკენ და იგრძნოთ კლასიკური ალგებრის უნიკალური ატმოსფერო. მასალის უკეთ გასაგებად გირჩევთ ოდნავ მაინც გაეცნოთ რთული რიცხვები.

ისინი ყველაზე მეტად არიან. პოლინომები.

ჩვენი ინტერესის ობიექტი იქნება ფორმის ყველაზე გავრცელებული მრავალწევრები მთლიანიკოეფიციენტები . ნატურალურ რიცხვს უწოდებენ მრავალწევრი ხარისხი, რიცხვი - კოეფიციენტი უმაღლეს ხარისხზე (ან უბრალოდ უმაღლესი კოეფიციენტი)და კოეფიციენტი არის თავისუფალი წევრი.

მე აღვნიშნავ ამ მრავალწევრს დაკეცილი .

პოლინომიური ფესვებიგანტოლების ფესვებს უწოდებენ

მე მიყვარს რკინის ლოგიკა =)

მაგალითად, ჩვენ მივდივართ სტატიის დასაწყისში:

პრობლემები არ არის 1-ლი და მე-2 ხარისხის მრავალწევრების ფესვების პოვნასთან დაკავშირებით, მაგრამ რაც უფრო იზრდება ეს ამოცანა უფრო და უფრო რთული ხდება. მაგრამ მეორეს მხრივ, ყველაფერი უფრო საინტერესოა! და სწორედ ამას დაეთმობა გაკვეთილის მეორე ნაწილი.

პირველი, ფაქტიურად თეორიის ნახევარი ეკრანი:

1) დასკვნის მიხედვით ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა, ხარისხის მრავალწევრს აქვს ზუსტად ინტეგრირებულიფესვები. ზოგიერთი ფესვი (ან თუნდაც ყველა) შეიძლება იყოს კონკრეტულად მოქმედებს. უფრო მეტიც, რეალურ ფესვებს შორის შეიძლება იყოს იდენტური (მრავალჯერადი) ფესვები (მინიმუმ ორი, მაქსიმალური ცალი).

თუ რაიმე რთული რიცხვი არის მრავალწევრის ფესვი, მაშინ კონიუგატიმისი რიცხვიც აუცილებლად არის ამ მრავალწევრის ფესვი (კონიუგატულ რთულ ფესვებს აქვთ ფორმა).

უმარტივესი მაგალითია კვადრატული განტოლება, რომელიც პირველად 8-ში შეგვხვდა (როგორც)კლასი და რომელიც საბოლოოდ „დავამთავრეთ“ თემაში რთული რიცხვები. შეგახსენებთ: კვადრატულ განტოლებას აქვს ან ორი განსხვავებული რეალური ფესვი, ან მრავალი ფესვი, ან შერწყმული რთული ფესვები.

2) დან ბეზუტის თეორემებიაქედან გამომდინარეობს, რომ თუ რიცხვი არის განტოლების ფესვი, მაშინ შესაბამისი პოლინომი შეიძლება გამრავლდეს:
, სადაც არის ხარისხის მრავალწევრი .

და ისევ, ჩვენი ძველი მაგალითი: ვინაიდან არის განტოლების ფესვი, მაშინ . ამის შემდეგ ადვილია ცნობილი "სკოლის" დაშლა.

ბეზუტის თეორემის შედეგს დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვს: თუ ვიცით მე-3 ხარისხის განტოლების ფესვი, მაშინ შეგვიძლია მისი სახით წარმოდგენა. ხოლო კვადრატული განტოლებიდან ადვილია დარჩენილი ფესვების გარკვევა. თუ ვიცით მე-4 ხარისხის განტოლების ფესვი, მაშინ შესაძლებელია მარცხენა მხარის გაფართოება ნამრავლად და ა.შ.

და აქ არის ორი კითხვა:

კითხვა პირველი. როგორ მოვძებნოთ ეს ფესვი? უპირველეს ყოვლისა, განვსაზღვროთ მისი ბუნება: უმაღლესი მათემატიკის ბევრ ამოცანებში საჭიროა მისი პოვნა რაციონალური, კერძოდ მთლიანიმრავალწევრების ფესვები და ამ მხრივ, შემდგომში ჩვენ ძირითადად დავინტერესდებით .... ...ისეთი კარგები არიან, ისეთი ფუმფულა, რომ უბრალოდ მათი პოვნა გინდა! =)

პირველი, რაც თავისთავად გვთავაზობს, არის შერჩევის მეთოდი. განვიხილოთ, მაგალითად, განტოლება. დაჭერა აქ თავისუფალ ტერმინშია - ნულის ტოლი რომ იყოს, მაშინ ყველაფერი ღია იქნება - "x"-ს ვდებთ ფრჩხილებიდან და თავად ფესვები "ცვივა" ზედაპირზე:

მაგრამ ჩვენი თავისუფალი ვადა უდრის "სამს" და, შესაბამისად, ჩვენ ვიწყებთ სხვადასხვა რიცხვების ჩანაცვლებას განტოლებაში, რომლებიც აცხადებენ, რომ "ფესვი" ეწოდება. უპირველეს ყოვლისა, ცალკეული მნიშვნელობების ჩანაცვლება გვთავაზობს თავის თავს. შემცვლელი:

მიღებული არასწორითანასწორობა, ამდენად, ერთეული "არ ჯდებოდა". კარგი, მოდი ჩავდოთ:

მიღებული სწორითანასწორობა! ანუ მნიშვნელობა არის ამ განტოლების ფესვი.

მე-3 ხარისხის მრავალწევრის ფესვების საპოვნელად არსებობს ანალიტიკური მეთოდი (ე.წ. კარდანოს ფორმულები), მაგრამ ახლა ჩვენ გვაინტერესებს ოდნავ განსხვავებული პრობლემა.

ვინაიდან - არის ჩვენი მრავალწევრის ფესვი, მაშინ მრავალწევრი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სახით და წარმოიქმნება მეორე კითხვა: როგორ მოვძებნოთ "უმცროსი ძმა"?

უმარტივესი ალგებრული მოსაზრებები ვარაუდობს, რომ ამისათვის საჭიროა გაყოფა. როგორ გავყოთ მრავალწევრი მრავალწევრზე? იგივე სასკოლო მეთოდი, რომელიც ყოფს ჩვეულებრივ რიცხვებს - "სვეტი"! ეს მეთოდი დეტალურად განვიხილეთ გაკვეთილის პირველ მაგალითებში. კომპლექსური ლიმიტებიდა ახლა განვიხილავთ სხვა მეთოდს, რომელსაც ე.წ ჰორნერის სქემა.

ჯერ ვწერთ „უფროს“ მრავალწევრს ყველასთან ერთად ნულოვანი კოეფიციენტების ჩათვლით:
, რის შემდეგაც შევიყვანთ ამ კოეფიციენტებს (მკაცრად თანმიმდევრობით) ცხრილის ზედა რიგში:

მარცხნივ ვწერთ ფესვს:

მე მაშინვე გავაკეთებ დათქმას, რომ ჰორნერის სქემა ასევე მუშაობს, თუ "წითელი" ნომერია არაარის მრავალწევრის ფესვი. თუმცა საქმეებს ნუ ვიჩქარებთ.

ზემოდან ავიღებთ სენიორ კოეფიციენტს:

ქვედა უჯრედების შევსების პროცესი გარკვეულწილად მოგვაგონებს ნაქარგს, სადაც "მინუს ერთი" არის ერთგვარი "ნემსი", რომელიც გადის შემდგომ საფეხურებზე. ჩვენ ვამრავლებთ "დანგრეულ" რიცხვს (-1) და ვამატებთ რიცხვს ზედა უჯრედიდან პროდუქტს:

ჩვენ ვამრავლებთ ნაპოვნ მნიშვნელობას „წითელ ნემსზე“ და ვამატებთ პროდუქტს შემდეგი განტოლების კოეფიციენტს:

და ბოლოს, მიღებული მნიშვნელობა კვლავ "დამუშავებულია" "ნემსით" და ზედა კოეფიციენტით:

ნული ბოლო უჯრედში გვეუბნება, რომ მრავალწევრი იყოფა უკვალოდ (როგორც უნდა იყოს), ხოლო გაფართოების კოეფიციენტები "ამოღებულია" პირდაპირ ცხრილის ქვედა სტრიქონიდან:

ამრიგად, ჩვენ გადავედით განტოლებიდან ეკვივალენტურ განტოლებაზე და ყველაფერი ნათელია დარჩენილი ორი ფესვით (ში ამ საქმესმიიღება კონიუგირებული რთული ფესვები).

განტოლება, სხვათა შორის, ასევე შეიძლება გადაწყდეს გრაფიკულად: აშენება "ელვა" და ნახეთ, რომ გრაფიკი კვეთს x-ღერძს () წერტილში. ან იგივე "მზაკვრული" ხრიკი - გადავწერთ განტოლებას ფორმაში, ვხატავთ ელემენტარულ გრაფიკებს და აღმოვაჩენთ მათი გადაკვეთის წერტილის "x" კოორდინატს.

სხვათა შორის, მე-3 ხარისხის ნებისმიერი მრავალწევრული ფუნქციის გრაფიკი ერთხელ მაინც კვეთს ღერძს, რაც ნიშნავს, რომ შესაბამისი განტოლება აქვს მინიმუმერთი მოქმედებსფესვი. ეს ფაქტი მართალია კენტი ხარისხის ნებისმიერი მრავალწევრული ფუნქციისთვის.

და აქაც მინდა შევჩერდე მნიშვნელოვანი წერტილირაც შეეხება ტერმინოლოგიას: მრავალწევრიდა მრავალწევრი ფუნქცია – არ არის იგივე! მაგრამ პრაქტიკაში ისინი ხშირად საუბრობენ, მაგალითად, "პოლინომიურ გრაფიკზე", რაც, რა თქმა უნდა, დაუდევრობაა.

მაგრამ დავუბრუნდეთ ჰორნერის სქემას. როგორც ახლახან აღვნიშნე, ეს სქემა მუშაობს სხვა ნომრებზეც, მაგრამ თუ ნომერი არაარის განტოლების ფესვი, შემდეგ ჩვენს ფორმულაში ჩნდება არანულოვანი დანამატი (ნარჩენი):

მოდი, „გავატაროთ“ „წარუმატებელი“ მნიშვნელობა ჰორნერის სქემის მიხედვით. ამავდროულად, მოსახერხებელია იგივე ცხრილის გამოყენება - მარცხნივ ვწერთ ახალ „ნემსს“, ზემოდან ვანგრევთ უმაღლეს კოეფიციენტს. (მარცხნივ მწვანე ისარი)და მივდივართ:

შესამოწმებლად ვხსნით ფრჩხილებს და ვაძლევთ მსგავს ტერმინებს:
, ᲙᲐᲠᲒᲘ.

ადვილი მისახვედრია, რომ ნაშთი („ექვსი“) ზუსტად არის მრავალწევრის მნიშვნელობა . და სინამდვილეში - რა არის ეს:
და კიდევ უფრო ლამაზი - ასე:

ზემოაღნიშნული გამოთვლებიდან ადვილი გასაგებია, რომ ჰორნერის სქემა საშუალებას იძლევა არა მხოლოდ მრავალწევრის ფაქტორიზირება, არამედ ფესვის „ცივილიზებული“ შერჩევაც. მე გთავაზობთ, რომ დამოუკიდებლად დააფიქსიროთ გაანგარიშების ალგორითმი მცირე დავალების საშუალებით:

დავალება 2

ჰორნერის სქემის გამოყენებით იპოვნეთ განტოლების მთელი ფესვი და გაანაწილეთ შესაბამისი მრავალწევრი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აქ თქვენ თანმიმდევრულად უნდა შეამოწმოთ რიცხვები 1, -1, 2, -2, ... - მანამ, სანამ ნულოვანი ნაშთი არ არის "დახატული" ბოლო სვეტში. ეს ნიშნავს, რომ ამ ხაზის „ნემსი“ არის მრავალწევრის ფესვი

გამოთვლები მოხერხებულად არის მოწყობილი ერთ ცხრილში. დეტალური გადაწყვეტა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ფესვების შერჩევის მეთოდი კარგია შედარებით მარტივი შემთხვევებისთვის, მაგრამ თუ კოეფიციენტები ან/და მრავალწევრის ხარისხი დიდია, მაშინ პროცესი შეიძლება გადაიდოს. ან იქნებ რამდენიმე მნიშვნელობა იგივე სიიდან 1, -1, 2, -2 და აზრი არ აქვს განხილვას? და, გარდა ამისა, ფესვები შეიძლება აღმოჩნდეს წილადი, რაც გამოიწვევს სრულიად არამეცნიერულ ჩხვლეტას.

საბედნიეროდ, არსებობს ორი ძლიერი თეორემა, რომელსაც შეუძლია მნიშვნელოვნად შეამციროს რაციონალური ფესვების "კანდიდატური" მნიშვნელობების ჩამოთვლა:

თეორემა 1განიხილეთ შეუმცირებელიწილადი , სადაც . თუ რიცხვი არის განტოლების ფესვი, მაშინ თავისუფალი წევრი იყოფა და წამყვანი კოეფიციენტი იყოფა.

Კერძოდთუ წამყვანი კოეფიციენტია , მაშინ ეს რაციონალური ფესვი არის მთელი რიცხვი:

და ჩვენ ვიწყებთ თეორემის ექსპლუატაციას მხოლოდ ამ გემრიელი კონკრეტულიდან:

დავუბრუნდეთ განტოლებას. ვინაიდან მისი წამყვანი კოეფიციენტია , ჰიპოთეტური რაციონალური ფესვები შეიძლება იყოს ექსკლუზიურად მთელი რიცხვი და თავისუფალი წევრი უნდა დაიყოს ამ ფესვებზე ნაშთის გარეშე. და "სამი" შეიძლება დაიყოს მხოლოდ 1, -1, 3 და -3. ანუ მხოლოდ 4 „ფესვების კანდიდატი“ გვყავს. და შესაბამისად თეორემა 1სხვა რაციონალური რიცხვები პრინციპში არ შეიძლება იყოს ამ განტოლების ფესვები.

განტოლებაში ცოტა მეტი "განმცხადებელი" არის: თავისუფალი ვადა იყოფა 1, -1, 2, -2, 4 და -4.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ რიცხვები 1, -1 არის შესაძლო ფესვების სიის "რეგულარული". (თეორემის აშკარა შედეგი)და საუკეთესო არჩევანი პირველი შემოწმებისთვის.

მოდით გადავიდეთ უფრო მნიშვნელოვან მაგალითებზე:

დავალება 3

გადაწყვეტილება: რადგან წამყვანი კოეფიციენტი , მაშინ ჰიპოთეტური რაციონალური ფესვები შეიძლება იყოს მხოლოდ მთელი რიცხვები, ხოლო ისინი უნდა იყვნენ თავისუფალი წევრის გამყოფები. "მინუს ორმოცი" დაყოფილია რიცხვების შემდეგ წყვილებად:
- სულ 16 "კანდიდატი".

და აქ მყისვე ჩნდება მაცდური აზრი: შესაძლებელია თუ არა ყველა უარყოფითი ან ყველა დადებითი ფესვის მოცილება? ზოგიერთ შემთხვევაში შეგიძლიათ! მე ჩამოვაყალიბებ ორ ნიშანს:

1) თუ ყველათუ მრავალწევრის კოეფიციენტები არაუარყოფითია, მაშინ მას არ შეიძლება ჰქონდეს დადებითი ფესვები. სამწუხაროდ, ეს არ არის ჩვენი შემთხვევა (ახლა, თუ მოგვცეს განტოლება - მაშინ დიახ, მრავალწევრის ნებისმიერი მნიშვნელობის ჩანაცვლებისას მკაცრად დადებითია, რაც ნიშნავს, რომ ყველა დადებითი რიცხვი (და ასევე ირაციონალური)არ შეიძლება იყოს განტოლების ფესვები.

2) თუ კენტი ხარისხების კოეფიციენტები არაუარყოფითია და ყველა ლუწი ხარისხებისთვის (მათ შორის უფასო წევრი)უარყოფითია, მაშინ მრავალწევრს არ შეიძლება ჰქონდეს უარყოფითი ფესვები. ეს ჩვენი საქმეა! თუ ყურადღებით დავაკვირდებით, ხედავთ, რომ როდესაც ნებისმიერი უარყოფითი "x" ჩანაცვლდება განტოლებაში, მარცხენა მხარე იქნება მკაცრად უარყოფითი, რაც ნიშნავს, რომ უარყოფითი ფესვები ქრება.

ამრიგად, კვლევისთვის დარჩა 8 ნომერი:

თანმიმდევრულად „დატვირთეთ“ ისინი ჰორნერის სქემის მიხედვით. ვიმედოვნებ, რომ უკვე დაეუფლეთ გონებრივ გამოთვლებს:

"დიუსის" გამოცდისას ბედი გველოდა. ამრიგად, არის განხილული განტოლების ფესვი და

რჩება განტოლების გამოკვლევა . ამის გაკეთება დისკრიმინანტის საშუალებით ადვილია, მაგრამ მეც ანალოგიურად ჩავატარებ ექსპონენციალურ ტესტს. პირველ რიგში, გაითვალისწინეთ, რომ თავისუფალი ვადა უდრის 20-ს, რაც ნიშნავს, რომ შესაბამისად თეორემა 1რიცხვები 8 და 40 გამოდის შესაძლო ფესვების სიიდან და მნიშვნელობები რჩება კვლევისთვის (ერთი აღმოიფხვრა ჰორნერის სქემის მიხედვით).

ტრინომის კოეფიციენტებს ვწერთ ახალი ცხრილის ზედა მწკრივში და ჩვენ ვიწყებთ შემოწმებას იგივე "ორით". რატომ? და რადგან ფესვები შეიძლება იყოს მრავლობითი, გთხოვთ: - ამ განტოლებას აქვს 10 იდენტური ფესვი. ოღონდ არ გადავუხვიოთ:

და აქ, რა თქმა უნდა, ცოტა მზაკვარი ვიყავი, ვიცოდი, რომ ფესვები რაციონალურია. ყოველივე ამის შემდეგ, თუ ისინი ირაციონალური ან რთული იქნებოდა, მაშინ მე მექნებოდა წარუმატებელი შემოწმება ყველა დარჩენილი რიცხვისთვის. ამიტომ, პრაქტიკაში იხელმძღვანელეთ დისკრიმინანტით.

უპასუხე: რაციონალური ფესვები: 2, 4, 5

გაანალიზებულ პრობლემაში გაგვიმართლა, რადგან: ა) უარყოფითი მნიშვნელობები მაშინვე დაეცა და ბ) ფესვი ძალიან სწრაფად ვიპოვნეთ (და თეორიულად შევძელით მთელი სიის შემოწმება).

მაგრამ სინამდვილეში სიტუაცია გაცილებით უარესია. გეპატიჟებით უყუროთ საინტერესო თამაშს სახელწოდებით "უკანასკნელი გმირი":

დავალება 4

იპოვეთ განტოლების რაციონალური ფესვები

გადაწყვეტილება: ჩართულია თეორემა 1ჰიპოთეტური რაციონალური ფესვების მრიცხველები უნდა აკმაყოფილებდეს პირობას (წაიკითხეთ "თორმეტი იყოფა ალზე"), და პირობის მნიშვნელები . ამის საფუძველზე ვიღებთ ორ სიას:

"list el":
და "ჩამოთვალეთ ისინი": (საბედნიეროდ, აქ რიცხვები ბუნებრივია).

ახლა შევადგინოთ ყველა შესაძლო ფესვის სია. პირველ რიგში, ჩვენ ვყოფთ "ალეს სიას" . სრულიად გასაგებია, რომ იგივე რიცხვები გამოვა. მოხერხებულობისთვის, მოდით დავდოთ ისინი ცხრილში:

ბევრი ფრაქცია შემცირდა, რის შედეგადაც მიიღება მნიშვნელობები, რომლებიც უკვე არის "გმირების სიაში". ჩვენ ვამატებთ მხოლოდ "ახალ ჩამოსულებს":

ანალოგიურად, ჩვენ ვყოფთ იგივე "ალეს სიას":

და ბოლოს

ამრიგად, ჩვენი თამაშის მონაწილეთა გუნდი დაკომპლექტებულია:


სამწუხაროდ, ამ ამოცანის პოლინომი არ აკმაყოფილებს „პოზიტიურ“ ან „უარყოფით“ კრიტერიუმებს და, შესაბამისად, ზედა ან ქვედა სტრიქონს ვერ გავუშვებთ. თქვენ უნდა იმუშაოთ ყველა რიცხვთან.

Როგორ ხასიათზე ხარ? მოდი, აწიე ცხვირი - არის კიდევ ერთი თეორემა, რომელსაც ფიგურალურად შეიძლება ეწოდოს "მკვლელის თეორემა" .... ... "კანდიდატები", რა თქმა უნდა =)

მაგრამ ჯერ თქვენ უნდა გადახედოთ ჰორნერის დიაგრამას მინიმუმ ერთი მთელინომრები. ტრადიციულად, ჩვენ ვიღებთ ერთს. ზედა სტრიქონში ვწერთ მრავალწევრის კოეფიციენტებს და ყველაფერი ჩვეულებრივად არის:

ვინაიდან ოთხი აშკარად არ არის ნული, მნიშვნელობა არ არის მოცემული მრავალწევრის ფესვი. მაგრამ ის ძალიან დაგვეხმარება.

თეორემა 2თუ ზოგიერთისთვის ზოგადადმრავალწევრის მნიშვნელობა არ არის ნულოვანი: , შემდეგ მისი რაციონალური ფესვები (თუ ისინი არიან)დააკმაყოფილოს პირობა

ჩვენს შემთხვევაში და ამიტომ ყველა შესაძლო ფესვი უნდა აკმაყოფილებდეს პირობას (მოდით დავარქვათ მას მდგომარეობა #1). ეს ოთხეული იქნება მრავალი „კანდიდატის“ „მკვლელი“. როგორც დემონსტრირება, მე გადავხედავ რამდენიმე შემოწმებას:

მოდით შევამოწმოთ კანდიდატი. ამისათვის ჩვენ ხელოვნურად წარმოვადგენთ მას წილადად, საიდანაც ნათლად ჩანს, რომ . გამოვთვალოთ შემოწმების სხვაობა: . ოთხი იყოფა "მინუს ორზე": რაც ნიშნავს, რომ შესაძლო ფესვმა გამოცდა გაიარა.

მოდით შევამოწმოთ ღირებულება. აქ ტესტის განსხვავებაა: . რა თქმა უნდა, და ამიტომ მეორე „ტესტის საგანიც“ რჩება სიაში.