ពង្រីកម៉ូឌុលកន្សោម៖

ផ្នែកទី 2. លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន។

ការពិតសំខាន់មួយទៀត៖ ម៉ូឌុលមិនដែលអវិជ្ជមានទេ។. លេខណាមួយដែលយើងយក - សូម្បីតែវិជ្ជមាន សូម្បីតែអវិជ្ជមាន - ម៉ូឌុលរបស់វាតែងតែប្រែទៅជាវិជ្ជមាន (ឬក្នុងករណីធ្ងន់ធ្ងរបំផុតគឺសូន្យ)។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលម៉ូឌុលត្រូវបានគេហៅថាជាតម្លៃដាច់ខាតនៃលេខ។

លើសពីនេះទៀត ប្រសិនបើយើងបញ្ចូលនិយមន័យនៃម៉ូឌុលសម្រាប់ចំនួនវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន នោះយើងទទួលបាននិយមន័យសកលនៃម៉ូឌុលសម្រាប់លេខទាំងអស់។ ឧទាហរណ៍៖ ម៉ូឌុលនៃលេខគឺស្មើនឹងលេខនេះផ្ទាល់ ប្រសិនបើលេខវិជ្ជមាន (ឬសូន្យ) ឬស្មើនឹងលេខផ្ទុយ ប្រសិនបើលេខអវិជ្ជមាន។ អ្នកអាចសរសេរនេះជារូបមន្ត៖

វាក៏មានម៉ូឌុលនៃសូន្យផងដែរ ប៉ុន្តែវាតែងតែស្មើនឹងសូន្យ។ ដូចគ្នា​នេះ​ផង​ដែរ លេខ​សូន្យ​គឺ​ជា​ចំនួន​តែ​មួយ​គត់​ដែល​មិន​មាន​ការ​ផ្ទុយ។

ដូច្នេះប្រសិនបើយើងពិចារណាមុខងារ $y=\left| x \right|$ ហើយព្យាយាមគូរក្រាហ្វរបស់វា អ្នកនឹងទទួលបាន "daw" បែបនេះ៖

គំរូក្រាហ្វម៉ូឌុល និងដំណោះស្រាយសមីការ

ពីរូបភាពនេះ អ្នកអាចមើលឃើញភ្លាមៗថា $\left| -m \right|=\left| m \right|$ ហើយ​គ្រោង​ម៉ូឌុល​មិន​ដែល​ធ្លាក់​ក្រោម​អ័ក្ស x ទេ។ ប៉ុន្តែនោះមិនមែនទាំងអស់នោះទេ៖ បន្ទាត់ក្រហមសម្គាល់បន្ទាត់ត្រង់ $y=a$ ដែលជាមួយនឹងវិជ្ជមាន $a$ ផ្តល់ឱ្យយើងនូវឫសពីរក្នុងពេលតែមួយ៖ $((x)_(1))$ និង $((x) _(2)) $ ប៉ុន្តែយើងនឹងនិយាយអំពីវានៅពេលក្រោយ។ :)

បន្ថែមពីលើនិយមន័យពិជគណិតសុទ្ធសាធ មានធរណីមាត្រមួយ។ ចូរនិយាយថាមានចំណុចពីរនៅលើបន្ទាត់លេខ៖ $((x)_(1))$ និង $((x)_(2))$ ។ ក្នុងករណីនេះកន្សោម $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ គឺគ្រាន់តែជាចំងាយរវាងចំនុចដែលបានបញ្ជាក់។ ឬប្រសិនបើអ្នកចង់ ប្រវែងនៃផ្នែកដែលភ្ជាប់ចំណុចទាំងនេះ៖

វាក៏ធ្វើតាមនិយមន័យនេះផងដែរដែលថាម៉ូឌុលគឺតែងតែមិនអវិជ្ជមាន។ ប៉ុន្តែនិយមន័យនិងទ្រឹស្តីគ្រប់គ្រាន់ - ចូរបន្តទៅសមីការពិតប្រាកដ។ :)

រូបមន្តមូលដ្ឋាន

ជាការប្រសើរណាស់, យើងបានស្វែងរកនិយមន័យ។ ប៉ុន្តែវាមិនងាយស្រួលជាងនេះទេ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយសមីការដែលមានម៉ូឌុលខ្លាំងណាស់នេះ?

ស្ងប់ស្ងាត់ ស្ងប់ស្ងាត់។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងអ្វីដែលសាមញ្ញបំផុត។ ពិចារណាអ្វីមួយដូចនេះ៖

\[\ ឆ្វេង| x\right|=3\]

ដូច្នេះ modulo$x$ គឺ 3 ។ តើ $x$ អាចស្មើនឹងអ្វី? ជាការប្រសើរណាស់ ការវិនិច្ឆ័យតាមនិយមន័យ $x=3$ នឹងសាកសមនឹងយើង។ ពិតជា៖

\[\ ឆ្វេង| 3\right|=3\]

តើមានលេខផ្សេងទៀតទេ? Cap ហាក់ដូចជាផ្តល់សញ្ញាថាមាន។ ឧទាហរណ៍ $x=-3$ — $\left| -3 \right|=3$, i.e. សមភាពដែលត្រូវការគឺពេញចិត្ត។

ដូច្នេះ​ប្រហែល​ជា​យើង​ស្វែង​រក​គិត​ថា​យើង​នឹង​រក​ឃើញ​លេខ​ទៀត? ប៉ុន្តែបំបែកចេញ៖ មិនមានលេខទៀតទេ។ សមីការ $\left| x \right|=3$ មានឫសពីរគឺ $x=3$ និង $x=-3$ ។

ឥឡូវនេះសូមធ្វើឱ្យស្មុគស្មាញដល់កិច្ចការបន្តិច។ អនុញ្ញាតឱ្យជំនួសឱ្យអថេរ $x$ មុខងារ $f\left(x\right)$ ព្យួរនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល ហើយនៅខាងស្តាំ ជំនួសឱ្យលេខបី យើងដាក់លេខបំពាន $a$។ យើងទទួលបានសមីការ៖

\[\ ឆ្វេង| f\left(x\right)\right|=a\]

អញ្ចឹងតើអ្នកសម្រេចចិត្តដោយរបៀបណា? ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នក៖ $f\left(x\right)$ គឺជាមុខងារបំពាន $a$ គឺជាលេខណាមួយ។ ទាំងនោះ។ ណាមួយ! ឧទាហរណ៍:

\[\ ឆ្វេង| 2x+1 \right|=5\]

\[\ ឆ្វេង| ១០x-៥ \\ ស្ដាំ |=-៦៥ \\]

សូមក្រឡេកមើលសមីការទីពីរ។ អ្នកអាចនិយាយអំពីគាត់ភ្លាមៗ៖ គាត់គ្មានឫសទេ។ ហេតុអ្វី? នោះជាការត្រឹមត្រូវ៖ ព្រោះវាតម្រូវឱ្យម៉ូឌុលស្មើនឹងចំនួនអវិជ្ជមាន ដែលមិនដែលកើតឡើង ចាប់តាំងពីយើងដឹងរួចហើយថាម៉ូឌុលគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ឬក្នុងករណីធ្ងន់ធ្ងរបំផុតគឺសូន្យ។

ប៉ុន្តែជាមួយនឹងសមីការទីមួយ អ្វីៗគឺសប្បាយជាង។ មានជម្រើសពីរ៖ មានកន្សោមវិជ្ជមាននៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល ហើយបន្ទាប់មក $\left| 2x+1 \right|=2x+1$ ឬកន្សោមនេះនៅតែអវិជ្ជមាន ក្នុងករណីនេះ $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1\right)=-2x-1$។ ក្នុងករណីដំបូង សមីការរបស់យើងនឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចជា៖

\[\ ឆ្វេង| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

ហើយភ្លាមៗនោះវាប្រែថាកន្សោមម៉ូឌុលរង $2x+1$ គឺពិតជាវិជ្ជមាន - វាស្មើនឹងលេខ 5។ នោះគឺ យើងអាចដោះស្រាយសមីការនេះដោយសុវត្ថិភាព - ឫសលទ្ធផលនឹងក្លាយជាចម្លើយមួយផ្នែក៖

អ្នកទាំងឡាយណាដែលមិនគួរឱ្យជឿជាពិសេសអាចព្យាយាមជំនួសឫសដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការដើម ហើយត្រូវប្រាកដថាពិតជានឹងមានលេខវិជ្ជមាននៅក្រោមម៉ូឌុល។

ឥឡូវសូមមើលករណីនៃកន្សោមម៉ូឌុលរងអវិជ្ជមាន៖

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right។\Rightarrow -2x-1=5 ព្រួញស្ដាំ 2x+1=-5\]

អូ! ជាថ្មីម្តងទៀត អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់៖ យើងបានសន្មត់ថា $2x+1 \lt 0$ ហើយជាលទ្ធផល យើងទទួលបាននោះ $2x+1=-5$ - តាមពិត កន្សោមនេះគឺតិចជាងសូន្យ។ យើងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល ខណៈពេលដែលដឹងច្បាស់ថាឫសដែលបានរកឃើញនឹងសមនឹងយើង៖

សរុបមក យើងទទួលបានចម្លើយពីរម្តងទៀត៖ $x=2$ និង $x=3$។ បាទ បរិមាណនៃការគណនាបានប្រែទៅជាច្រើនជាងបន្តិចនៅក្នុងសមីការសាមញ្ញបំផុត $\left| x \right|=3$ ប៉ុន្តែជាមូលដ្ឋានគ្មានអ្វីផ្លាស់ប្តូរទេ។ ដូច្នេះប្រហែលជាមានប្រភេទនៃក្បួនដោះស្រាយសកលមួយចំនួន?

បាទ ក្បួនដោះស្រាយបែបនេះមាន។ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងវិភាគវា។

ការកម្ចាត់សញ្ញាម៉ូឌុល

អនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានសមីការ $\left| f\left(x\right) \right|=a$ និង $a\ge 0$ (បើមិនដូច្នេះទេ ដូចដែលយើងដឹងរួចមកហើយ មិនមានឫសគល់ទេ)។ បន្ទាប់​មក​អ្នក​អាច​កម្ចាត់​សញ្ញា​ម៉ូឌុល​តាម​ច្បាប់​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

\[\ ឆ្វេង| f\left(x\right) \right|=a\Rightarrow f\left(x\right)=\pm a\]

ដូច្នេះសមីការរបស់យើងជាមួយម៉ូឌុលបំបែកជាពីរ ប៉ុន្តែដោយគ្មានម៉ូឌុល។ នោះហើយជាបច្ចេកវិទ្យាទាំងមូល! ចូរយើងព្យាយាមដោះស្រាយសមីការមួយចំនួន។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនេះ។

\[\ ឆ្វេង| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

យើងនឹងពិចារណាដោយឡែកពីគ្នានៅពេលដែលមានដប់ដែលមានបូកនៅខាងស្តាំ ហើយដាច់ដោយឡែកពីគ្នានៅពេលដែលវាមានដក។ យើង​មាន:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\ Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

អស់ហើយ! យើងទទួលបានឫសពីរ៖ $x=1.2$ និង $x=-2.8$។ ដំណោះស្រាយទាំងមូលយកពីរបន្ទាត់។

មិនអីទេ តោះមើលអ្វីដែលធ្ងន់ធ្ងរជាងនេះបន្តិច៖

\[\ ឆ្វេង| 7-5x \right|=13\]

ម្តងទៀត បើកម៉ូឌុលដោយបូក និងដក៖

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13 ព្រួញស្ដាំ -5x=-20 ព្រួញស្ដាំ x=4 ។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

ម្តងទៀតពីរបីជួរ - ហើយចម្លើយគឺរួចរាល់! ដូចដែលខ្ញុំបាននិយាយមិនមានអ្វីស្មុគស្មាញនៅក្នុងម៉ូឌុលទេ។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវចងចាំច្បាប់មួយចំនួន។ ដូច្នេះហើយ យើងបន្តទៅមុខទៀត ហើយបន្តការងារដែលពិបាកជាងនេះ។

ករណីខាងស្ដាំអថេរ

ឥឡូវពិចារណាសមីការនេះ៖

\[\ ឆ្វេង| 3x-2 \right|=2x\]

សមីការនេះគឺខុសគ្នាជាមូលដ្ឋានពីសមីការមុនទាំងអស់។ យ៉ាងម៉េច? ហើយការពិតដែលថាកន្សោម $2x$ គឺនៅខាងស្តាំនៃសញ្ញាស្មើគ្នា ហើយយើងមិនអាចដឹងជាមុនថាតើវាវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាននោះទេ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីឱ្យមាននៅក្នុងករណីនោះ? ដំបូងយើងត្រូវយល់ម្តងហើយម្តងទៀត ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការគឺអវិជ្ជមាន នោះសមីការនឹងមិនមានឫសគល់ទេ។- យើងដឹងរួចហើយថា ម៉ូឌុលមិនអាចស្មើនឹងចំនួនអវិជ្ជមានបានទេ។

ហើយទីពីរប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំនៅតែវិជ្ជមាន (ឬស្មើនឹងសូន្យ) នោះអ្នកអាចបន្តតាមរបៀបដូចគ្នាដូចពីមុន៖ គ្រាន់តែបើកម៉ូឌុលដោយឡែកពីគ្នាជាមួយសញ្ញាបូកហើយដាច់ដោយឡែកពីគ្នាដោយសញ្ញាដក។

ដូច្នេះ យើងបង្កើតច្បាប់សម្រាប់អនុគមន៍បំពាន $f\left(x\right)$ និង $g\left(x\right)$:

\[\ ឆ្វេង| f\left(x\right) \right|=g\left(x\right)\Rightarrow\left\(\begin(align)&f\left(x\right)=\pm g\left(x\right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\ end(align) \\ right.\]

ទាក់ទងនឹងសមីការរបស់យើង យើងទទួលបាន៖

\[\ ឆ្វេង| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\(\begin(align)&3x-2=\pm 2x, \\&2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

ជាការប្រសើរណាស់ យើងអាចដោះស្រាយតម្រូវការ $2x\ge 0$ តាមរបៀបណាមួយ។ នៅទីបញ្ចប់ យើងអាចជំនួសឫសគល់ដែលយើងទទួលបានពីសមីការទីមួយដោយឆោតល្ងង់ ហើយពិនិត្យមើលថាតើវិសមភាពមានឬអត់។

ដូច្នេះ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការដោយខ្លួនឯង៖

\[\begin(align)&3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2 ព្រួញស្ដាំ 3x=0 ព្រួញស្ដាំ x=0 ។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

មែនហើយ តើឫសទាំងពីរនេះមួយណាដែលបំពេញតម្រូវការ $2x\ge 0$? បាទទាំងពីរ! ដូច្នេះ ចម្លើយនឹងមានពីរលេខ៖ $x=(4)/(3)\;$ និង $x=0$។ នោះជាដំណោះស្រាយ។ :)

ខ្ញុំ​សង្ស័យ​ថា​សិស្ស​ម្នាក់​ចាប់​ផ្ដើម​អផ្សុក​ហើយ? ជាការប្រសើរណាស់ សូមពិចារណាសមីការដែលស្មុគស្មាញជាងនេះ៖

\[\ ឆ្វេង| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

ទោះបីជាវាមើលទៅអាក្រក់ក៏ដោយ តាមពិតវាគឺជាសមីការដូចគ្នានៃទម្រង់ "ម៉ូឌុលស្មើនឹងមុខងារ"៖

\[\ ឆ្វេង| f\left(x\right)\right|=g\left(x\right)\]

ហើយវាត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបដូចគ្នា៖

\[\ ឆ្វេង| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-(((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)&( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \\right), \\&x-((x )^(៣))\ge 0. \\\ បញ្ចប់(តម្រឹម) \right.\]

យើងនឹងដោះស្រាយវិសមភាពនៅពេលក្រោយ - វាពិតជាសាហាវពេក (តាមពិតទៅសាមញ្ញ ប៉ុន្តែយើងនឹងមិនដោះស្រាយវាទេ)។ សម្រាប់ពេលនេះ ចូរយើងពិនិត្យមើលសមីការលទ្ធផល។ ពិចារណាករណីទីមួយ - នេះគឺជាពេលដែលម៉ូឌុលត្រូវបានពង្រីកដោយសញ្ញាបូក៖

\[((x)^(៣))-៣((x)^(២))+x=x-((x)^(៣))\]

ជាការប្រសើរណាស់, នៅទីនេះវាមិនមែនជាគំនិតដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីប្រមូលអ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅខាងឆ្វេង, នាំយកស្រដៀងគ្នានិងមើលថាមានអ្វីកើតឡើង។ ហើយនេះជាអ្វីដែលកើតឡើង៖

\[\begin(align)&((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

ការដាក់កត្តារួម $((x)^(2))$ ចេញពីតង្កៀប យើងទទួលបានសមីការសាមញ្ញបំផុត៖

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)&((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម) \\ ស្តាំ។

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

នៅទីនេះ យើងបានប្រើទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់មួយនៃផលិតផល ដើម្បីជាប្រយោជន៍ដែលយើងបានរាប់ជាពហុនាមដើម៖ ផលិតផលគឺស្មើនឹងសូន្យ នៅពេលដែលកត្តាយ៉ាងហោចណាស់មួយស្មើនឹងសូន្យ។

ឥឡូវនេះតាមរបៀបដូចគ្នា យើងនឹងដោះស្រាយសមីការទីពីរ ដែលទទួលបានដោយការពង្រីកម៉ូឌុលដោយសញ្ញាដក៖

\[\begin(align)&((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(៣))-៣((x)^(២))+x=-x+((x)^(៣)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\&x\left(-3x+2\right)=0. \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

ជាថ្មីម្តងទៀតរឿងដូចគ្នា: ផលិតផលគឺសូន្យនៅពេលដែលយ៉ាងហោចណាស់កត្តាមួយគឺសូន្យ។ យើង​មាន:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \\right.\]

មែនហើយ យើងទទួលបានឫសបី៖ $x=0$, $x=1.5$ និង $x=(2)/(3)\;$ ។ មែនហើយ តើអ្វីនឹងទៅជាចម្លើយចុងក្រោយពីឈុតនេះ? ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមចងចាំថា យើងមានកម្រិតវិសមភាពបន្ថែម៖

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយកទៅក្នុងគណនីតម្រូវការនេះ? ចូរយើងជំនួសឫសគល់ដែលបានរកឃើញ ហើយពិនិត្យមើលថាតើវិសមភាពមានសម្រាប់ $x$ ទាំងនេះឬអត់។ យើង​មាន:

\[\begin(align)&x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rightarrow x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

ដូច្នេះ root $x=1.5$ មិនសមនឹងយើងទេ។ ហើយមានតែឫសពីរប៉ុណ្ណោះដែលនឹងឆ្លើយតប៖

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3)\]

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញសូម្បីតែក្នុងករណីនេះមិនមានអ្វីពិបាកទេ - សមីការជាមួយម៉ូឌុលតែងតែត្រូវបានដោះស្រាយដោយយោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយ។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវមានការយល់ដឹងល្អអំពីពហុនាម និងវិសមភាព។ ដូច្នេះហើយ យើងបន្តទៅកិច្ចការស្មុគ្រស្មាញបន្ថែមទៀត - វានឹងមិនមានមួយទេ ប៉ុន្តែម៉ូឌុលពីរ។

សមីការដែលមានម៉ូឌុលពីរ

រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានសិក្សាតែសមីការសាមញ្ញបំផុត - មានម៉ូឌុលមួយ និងអ្វីផ្សេងទៀត។ យើងបានផ្ញើ "អ្វីផ្សេងទៀត" នេះទៅផ្នែកផ្សេងទៀតនៃវិសមភាព ដែលនៅឆ្ងាយពីម៉ូឌុល ដូច្នេះនៅទីបញ្ចប់អ្វីៗទាំងអស់នឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការដូចជា $\left| f\left(x\right)\right|=g\left(x\right)$ ឬសូម្បីតែសាមញ្ញជាង $\left| f\left(x\right)\right|=a$។

ប៉ុន្តែសាលាមត្តេយ្យបានចប់ហើយ - វាដល់ពេលដែលត្រូវពិចារណាអ្វីមួយដែលធ្ងន់ធ្ងរជាងនេះ។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយសមីការដូចនេះ៖

\[\ ឆ្វេង| f\left(x\right)\right|=\left| g\left(x\right)\right|\]

នេះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ "ម៉ូឌុលគឺស្មើនឹងម៉ូឌុល" ។ ចំណុចសំខាន់ជាមូលដ្ឋានគឺអវត្តមាននៃលក្ខខណ្ឌ និងកត្តាផ្សេងទៀត៖ មានតែម៉ូឌុលមួយនៅខាងឆ្វេង ម៉ូឌុលមួយបន្ថែមទៀតនៅខាងស្តាំ - និងគ្មានអ្វីទៀតទេ។

ឥឡូវនេះ គេនឹងគិតថាសមីការបែបនេះពិបាកដោះស្រាយជាងអ្វីដែលយើងបានសិក្សាកន្លងមក។ ប៉ុន្តែទេ៖ សមីការទាំងនេះត្រូវបានដោះស្រាយកាន់តែងាយស្រួល។ នេះជារូបមន្ត៖

\[\ ឆ្វេង| f\left(x\right)\right|=\left| g\left(x\right)\right|\Rightarrow f\left(x\right)=\pm g\left(x\right)\]

ទាំងអស់! យើង​គ្រាន់តែ​ស្មើ​កន្សោម​ម៉ូឌុល​រង​ដោយ​ដាក់​បុព្វបទ​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ពួកវា​ដោយ​សញ្ញា​បូក ឬ​ដក។ ហើយបន្ទាប់មកយើងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលពីរ - ហើយឫសគឺរួចរាល់! គ្មានការរឹតបន្តឹងបន្ថែម គ្មានវិសមភាព។ល។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញណាស់។

តោះព្យាយាមដោះស្រាយបញ្ហានេះ៖

\[\ ឆ្វេង| 2x+3 \\ ស្ដាំ|= ឆ្វេង| 2x-7 \ ស្ដាំ |\]

សាលាបឋមសិក្សា Watson! ការបើកម៉ូឌុល៖

\[\ ឆ្វេង| 2x+3 \\ ស្ដាំ|= ឆ្វេង| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm ឆ្វេង(2x-7 \right)\]

ចូរយើងពិចារណាករណីនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា៖

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7\right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7 ។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

សមីការទីមួយមិនមានឫសគល់ទេ។ ព្រោះពេលណា $3=-7$? តើតម្លៃ $x$ ប៉ុន្មាន? “តើអ្វីទៅជា $x$? តើអ្នកបានគប់ដុំថ្មទេ? គ្មាន $x$ ទាល់តែសោះ” អ្នកនិយាយ។ ហើយអ្នកនឹងត្រឹមត្រូវ។ យើងទទួលបានសមភាពដែលមិនអាស្រ័យលើអថេរ $x$ ហើយក្នុងពេលតែមួយ សមភាពខ្លួនឯងគឺមិនត្រឹមត្រូវ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលមិនមានឫស។

ជាមួយនឹងសមីការទីពីរ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាងនេះបន្តិច ប៉ុន្តែក៏សាមញ្ញណាស់ដែរ៖

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានសម្រេចតាមព្យញ្ជនៈក្នុងពីរជួរ - យើងមិនរំពឹងអ្វីផ្សេងទៀតពីសមីការលីនេអ៊ែរទេ។ :)

ជាលទ្ធផល ចម្លើយចុងក្រោយគឺ៖ $x=1$។

អញ្ចឹងម៉េច? ពិបាក? ជាការពិតណាស់មិនមែនទេ។ តោះសាកល្បងអ្វីផ្សេងទៀត៖

\[\ ឆ្វេង| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

ជាថ្មីម្តងទៀតយើងមានសមីការដូចជា $\left| f\left(x\right)\right|=\left| g\left(x\right)\right|$។ ដូច្នេះហើយ យើងសរសេរវាឡើងវិញភ្លាមៗ ដោយបង្ហាញសញ្ញាម៉ូឌុល៖

\[((x)^(2))-3x+2=\pm ឆ្វេង(x-1 \right)\]

ឥឡូវនេះ ប្រហែលជាមាននរណាម្នាក់សួរថា “ហេ៎ តើសមហេតុសមផលបែបណា? ហេតុអ្វីបានជា បូក-ដក នៅខាងស្តាំ ហើយមិននៅខាងឆ្វេង? ស្ងប់ស្ងាត់ ខ្ញុំនឹងពន្យល់គ្រប់យ៉ាង។ ជាការពិត តាមរបៀបដ៏ល្អ យើងគួរតែសរសេរសមីការរបស់យើងឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវបើកតង្កៀប ផ្លាស់ទីពាក្យទាំងអស់ក្នុងទិសដៅមួយពីសញ្ញាស្មើគ្នា (ចាប់តាំងពីសមីការ ជាក់ស្តែងនឹងការ៉េនៅក្នុងករណីទាំងពីរ) ហើយបន្ទាប់មកស្វែងរកឫស។ ប៉ុន្តែអ្នកត្រូវតែទទួលស្គាល់៖ នៅពេលដែល "បូក-ដក" នៅពីមុខពាក្យបី (ជាពិសេសនៅពេលដែលពាក្យមួយក្នុងចំណោមពាក្យទាំងនេះជាកន្សោមការ៉េ) វាមើលទៅស្មុគស្មាញជាងស្ថានភាពនៅពេលដែល "បូក-ដក" ស្ថិតនៅពីមុខតែពីរ។ លក្ខខណ្ឌ។

ប៉ុន្តែគ្មានអ្វីរារាំងយើងពីការសរសេរសមីការដើមឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

\[\ ឆ្វេង| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \ ស្ដាំ |\]

តើមានអ្វីកើតឡើង? បាទ មិន​មាន​អ្វី​ពិសេស​ទេ៖ គ្រាន់​តែ​ប្ដូរ​ទៅ​ឆ្វេង និង​ស្ដាំ។ រឿងតូចតាច ដែលនៅទីបញ្ចប់នឹងសម្រួលដល់ជីវិតរបស់យើងបន្តិច។ :)

ជាទូទៅ យើងដោះស្រាយសមីការនេះ ដោយពិចារណាលើជម្រើសដោយបូក និងដក៖

\[\begin(align)&((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1\right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

សមីការទីមួយមានឫស $x=3$ និង $x=1$។ ទីពីរ ជាទូទៅជាការ៉េពិតប្រាកដ៖

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1\right))^(2))\]

ដូច្នេះ វាមានឫសតែមួយ៖ $x=1$។ ប៉ុន្តែយើងបានទទួលឫសនេះរួចហើយ។ ដូច្នេះមានតែពីរលេខប៉ុណ្ណោះដែលនឹងចូលទៅក្នុងចម្លើយចុងក្រោយ៖

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

បេសកកម្មបានបញ្ចប់! អ្នកអាចយកវាចេញពីធ្នើហើយញ៉ាំនំ។ មាន 2 ក្នុងចំណោមពួកគេ ជាមធ្យមរបស់អ្នក។ :)

ចំណាំសំខាន់. វត្តមាននៃឫសដូចគ្នាសម្រាប់កំណែផ្សេងគ្នានៃការពង្រីកម៉ូឌុលមានន័យថាពហុធាដើមត្រូវបាន decomposed ទៅជាកត្តាហើយក្នុងចំនោមកត្តាទាំងនេះវាចាំបាច់ត្រូវតែជារឿងធម្មតាមួយ។ ពិតជា៖

\[\begin(align)&\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\&\left| x-1 \right|=\left| \left(x-1\right)\left(x-2\right)\right|។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

លក្ខណៈសម្បត្តិម៉ូឌុលមួយ៖ $\left| a\cdot b \right|=\left| មួយ \\ ស្តាំ | \\ cdot \\ ឆ្វេង | b \right|$ (នោះគឺម៉ូឌុលនៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃម៉ូឌុល) ដូច្នេះសមីការដើមអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា

\[\ ឆ្វេង| x-1 \right|=\left| x-1 \\ ស្តាំ | \\ cdot \\ ឆ្វេង | x-2 \ ស្ដាំ |\]

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញយើងពិតជាមានកត្តារួមមួយ។ ឥឡូវនេះ ប្រសិនបើអ្នកប្រមូលម៉ូឌុលទាំងអស់នៅម្ខាង នោះអ្នកអាចយកមេគុណនេះចេញពីតង្កៀប៖

\[\begin(align)&\left| x-1 \right|=\left| x-1 \\ ស្តាំ | \\ cdot \\ ឆ្វេង | x-2 \\ ស្តាំ |; \\&\left| x-1 \\ ស្តាំ | - \\ ឆ្វេង | x-1 \\ ស្តាំ | \\ cdot \\ ឆ្វេង | x-2 \right|=0; \\&\left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left|x-2\right|\right)=0. \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

មែនហើយ ឥឡូវនេះ យើងរំលឹកថា ផលិតផលគឺស្មើនឹងសូន្យ នៅពេលដែលកត្តាយ៉ាងហោចណាស់មួយស្មើនឹងសូន្យ៖

\[\left[ \begin(align)&\left| x-1 \right|=0, \\&\left| x-2 \\ ស្តាំ | = ១ ។ \\\ បញ្ចប់ (តម្រឹម) \\ ស្តាំ។\]

ដូច្នេះ សមីការដើមដែលមានម៉ូឌុលពីរត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការសាមញ្ញបំផុតពីរដែលយើងបាននិយាយនៅដើមមេរៀន។ សមីការ​បែប​នេះ​អាច​ដោះស្រាយ​បាន​តែ​ពីរ​ជួរ​ប៉ុណ្ណោះ។ :)

ការកត់សម្គាល់នេះអាចហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញដែលមិនចាំបាច់ និងមិនអាចអនុវត្តបានក្នុងការអនុវត្ត។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ តាមការពិត អ្នកអាចនឹងជួបប្រទះនូវកិច្ចការដ៏ស្មុគស្មាញជាងកិច្ចការដែលយើងកំពុងធ្វើការវិភាគនៅថ្ងៃនេះ។ នៅក្នុងពួកវា ម៉ូឌុលអាចត្រូវបានផ្សំជាមួយពហុនាម ឫសនព្វន្ធ លោការីត ។ល។ ហើយ​ក្នុង​ស្ថានភាព​បែប​នេះ លទ្ធភាព​ក្នុង​ការ​បន្ទាប​កម្រិត​រួម​នៃ​សមីការ​ដោយ​ការ​ដាក់​អ្វី​មួយ​ចេញ​ពី​តង្កៀប​អាច​មាន​ប្រយោជន៍​ខ្លាំង​ណាស់។ :)

ឥឡូវនេះខ្ញុំចង់វិភាគសមីការមួយផ្សេងទៀតដែលនៅ glance ដំបូងអាចហាក់ដូចជាឆ្កួត។ សិស្សជាច្រើន "នៅជាប់" លើវា - សូម្បីតែអ្នកដែលជឿថាពួកគេមានការយល់ដឹងល្អអំពីម៉ូឌុល។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សមីការនេះរឹតតែងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយជាងអ្វីដែលយើងបានពិចារណាពីមុន។ ហើយប្រសិនបើអ្នកយល់ពីមូលហេតុ អ្នកនឹងទទួលបានល្បិចមួយទៀតសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការយ៉ាងឆាប់រហ័សជាមួយម៉ូឌុល។

ដូច្នេះសមីការគឺ៖

\[\ ឆ្វេង| x-((x)^(3)) \\ ស្ដាំ|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

ទេ នេះ​មិន​មែន​ជា​ការ​វាយ​ខុស​ទេ៖ វា​ជា​ការ​បូក​រវាង​ម៉ូឌុល។ ហើយយើងត្រូវស្វែងរកថាតើ $x$ មួយណាដែលផលបូកនៃម៉ូឌុលពីរគឺស្មើនឹងសូន្យ។ :)

មាន​បញ្ហា​អ្វី? ហើយបញ្ហាគឺថាម៉ូឌុលនីមួយៗគឺជាលេខវិជ្ជមាន ឬក្នុងករណីធ្ងន់ធ្ងរបំផុតគឺសូន្យ។ តើមានអ្វីកើតឡើងនៅពេលអ្នកបន្ថែមលេខវិជ្ជមានពីរ? ជាក់ស្តែង លេខវិជ្ជមានម្តងទៀត៖

\\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\ បញ្ចប់(តម្រឹម)\]

បន្ទាត់ចុងក្រោយអាចផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវគំនិតមួយ៖ ករណីតែមួយគត់ដែលផលបូកនៃម៉ូឌុលគឺសូន្យគឺប្រសិនបើម៉ូឌុលនីមួយៗស្មើនឹងសូន្យ៖

\[\ ឆ្វេង| x-((x)^(3)) \\ ស្ដាំ|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\(\begin(align)&\left|x-(((x)^(3)) \right|=0, \\& \left|((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(align)\right.\]

តើនៅពេលណាដែលម៉ូឌុលស្មើនឹងសូន្យ? មានតែនៅក្នុងករណីមួយ - នៅពេលដែលកន្សោមម៉ូឌុលរងស្មើនឹងសូន្យ៖

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2\right)\left(x-1\right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\ បញ្ចប់ (តម្រឹម) \\ ស្តាំ។

ដូច្នេះ យើងមានបីចំណុចដែលម៉ូឌុលទីមួយត្រូវបានកំណត់ទៅសូន្យ៖ 0, 1, និង −1; ក៏ដូចជាចំណុចពីរដែលម៉ូឌុលទីពីរគឺសូន្យ៖ −2 និង 1។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងត្រូវការម៉ូឌុលទាំងពីរឱ្យសូន្យក្នុងពេលតែមួយ ដូច្នេះក្នុងចំណោមលេខដែលបានរកឃើញ យើងត្រូវជ្រើសរើសលេខដែលរួមបញ្ចូលក្នុងសំណុំទាំងពីរ។ ជាក់ស្តែង មានលេខតែមួយប៉ុណ្ណោះ៖ $x=1$ - នេះនឹងក្លាយជាចម្លើយចុងក្រោយ។

វិធីសាស្រ្តបំបែក

ជាការប្រសើរណាស់, យើងបានគ្របដណ្តប់ bunch នៃភារកិច្ចរួចហើយនិងបានរៀនល្បិចជាច្រើន។ តើអ្នកគិតថានោះជាវាទេ? តែអត់ទេ! ឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាបច្ចេកទេសចុងក្រោយ - ហើយក្នុងពេលតែមួយសំខាន់បំផុត។ យើងនឹងនិយាយអំពីការបំបែកសមីការជាមួយម៉ូឌុល។ តើ​អ្វី​នឹង​ត្រូវ​ពិភាក្សា? ចូរយើងត្រលប់ទៅវិញបន្តិច ហើយពិចារណាសមីការសាមញ្ញមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍នេះ៖

\[\ ឆ្វេង| 3x-5\right|=5-3x\]

ជាគោលការណ៍ យើងដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការបែបនេះរួចហើយ ព្រោះវាជាស្តង់ដារ $\left| f\left(x\right)\right|=g\left(x\right)$។ ប៉ុន្តែសូមព្យាយាមមើលសមីការនេះពីមុំខុសគ្នាបន្តិច។ កាន់តែច្បាស់ សូមពិចារណាកន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា ម៉ូឌុលនៃលេខណាមួយអាចស្មើនឹងលេខខ្លួនឯង ឬវាអាចផ្ទុយពីលេខនេះ៖

\[\ ឆ្វេង| a \right|=\left\( \begin(align)&a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

តាមពិត ភាពមិនច្បាស់លាស់នេះគឺជាបញ្ហាទាំងមូល៖ ដោយសារលេខក្រោមការផ្លាស់ប្តូរម៉ូឌុល (វាអាស្រ័យលើអថេរ) វាមិនច្បាស់សម្រាប់យើងថាតើវាវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមានទេ។

ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើដំបូងយើងតម្រូវឱ្យលេខនេះវិជ្ជមាន? ឧទាហរណ៍ យើងទាមទារថា $3x-5 \gt 0$ - ក្នុងករណីនេះ យើងត្រូវបានធានាថានឹងទទួលបានលេខវិជ្ជមាននៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល ហើយយើងអាចកម្ចាត់ម៉ូឌុលនេះបានទាំងស្រុង៖

ដូច្នេះសមីការរបស់យើងនឹងប្រែទៅជាលីនេអ៊ែរ ដែលត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងងាយស្រួល៖

ពិត ការពិចារណាទាំងអស់នេះសមហេតុផលតែនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ $3x-5 \gt 0$ - យើងខ្លួនយើងផ្ទាល់បានណែនាំតម្រូវការនេះក្នុងគោលបំណងដើម្បីបង្ហាញម៉ូឌុលដោយមិនច្បាស់លាស់។ ដូច្នេះសូមជំនួស $x=\frac(5)(3)$ ដែលបានរកឃើញទៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនេះហើយពិនិត្យ៖

វាប្រែថាសម្រាប់តម្លៃដែលបានបញ្ជាក់នៃ $x$ តម្រូវការរបស់យើងមិនត្រូវបានបំពេញទេព្រោះ កន្សោមបានប្រែទៅជាស្មើសូន្យ ហើយយើងត្រូវការវាឱ្យធំជាងសូន្យយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។ សោកសៅ។ :(

តែមិនអីទេ! យ៉ាងណាមិញ មានជម្រើសមួយទៀត $3x-5 \lt 0$។ លើសពីនេះទៅទៀត៖ មានករណី $3x-5=0$ ផងដែរ - នេះក៏ត្រូវយកមកពិចារណាផងដែរ បើមិនដូច្នេះទេ ដំណោះស្រាយនឹងមិនពេញលេញ។ ដូច្នេះ សូមពិចារណាករណី $3x-5 \lt 0$៖

វាច្បាស់ណាស់ថាម៉ូឌុលនឹងបើកដោយសញ្ញាដក។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកស្ថានភាពចម្លែកមួយកើតឡើង: កន្សោមដូចគ្នានឹងបិទទាំងនៅខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំនៅក្នុងសមីការដើម:

ខ្ញុំឆ្ងល់ថាតើអ្វីទៅជា $x$ កន្សោម $5-3x$ នឹងស្មើនឹងកន្សោម $5-3x$? ពីសមីការបែបនេះ សូម្បីតែប្រធានក្រុមក៏ច្បាស់ជាស្រក់ទឹកមាត់ដែរ ប៉ុន្តែយើងដឹងថាសមីការនេះគឺជាអត្តសញ្ញាណមួយ ពោលគឺឧ។ វាជាការពិតសម្រាប់តម្លៃនៃអថេរណាមួយ!

ហើយនេះមានន័យថា $x$ ណាមួយនឹងសមនឹងយើង។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងមានដែនកំណត់៖

ម្យ៉ាងវិញទៀត ចម្លើយនឹងមិនមែនជាលេខតែមួយទេ ប៉ុន្តែជាចន្លោះពេលទាំងមូល៖

ជាចុងក្រោយ នៅមានករណីមួយទៀតដែលត្រូវពិចារណា៖ $3x-5=0$។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនេះ៖ នឹងមានសូន្យនៅក្រោមម៉ូឌុល ហើយម៉ូឌុលនៃសូន្យក៏ស្មើនឹងសូន្យដែរ (វាធ្វើតាមនិយមន័យដោយផ្ទាល់):

ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកសមីការដើម $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ នឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចនេះ៖

យើងបានទទួលឫសខាងលើរួចហើយ នៅពេលយើងពិចារណាករណី $3x-5 \gt 0$ ។ លើសពីនេះទៅទៀត ឫសនេះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ $3x-5=0$ - នេះគឺជាការដាក់កម្រិតដែលយើងខ្លួនយើងណែនាំដើម្បីទុកជាមោឃៈ។ :)

ដូច្នេះ បន្ថែមពីលើចន្លោះពេល យើងក៏នឹងពេញចិត្តជាមួយនឹងលេខដែលនៅចុងបញ្ចប់នៃចន្លោះនេះ៖

ចម្លើយចុងក្រោយសរុប៖ $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3)\right]$។ វាមិនមែនជារឿងធម្មតាទេក្នុងការឃើញការក្លែងបន្លំបែបនេះនៅក្នុងចម្លើយចំពោះសមីការសាមញ្ញ (ជាសំខាន់លីនេអ៊ែរ) ជាមួយម៉ូឌុល ជាការប្រសើរណាស់, ទទួលបានប្រើវា: ភាពស្មុគស្មាញនៃម៉ូឌុលស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាចម្លើយនៅក្នុងសមីការបែបនេះអាចមិនអាចទាយទុកជាមុនបានទាំងស្រុង។

អ្វី​ដែល​សំខាន់​ជាង​នេះ​ទៅ​ទៀត៖ យើង​ទើប​តែ​បាន​រុះរើ​ក្បួន​ដោះស្រាយ​សកល​សម្រាប់​ការ​ដោះស្រាយ​សមីការ​ជាមួយ​ម៉ូឌុល! ហើយក្បួនដោះស្រាយនេះមានជំហានដូចខាងក្រោមៈ

1. ស្មើម៉ូឌុលនីមួយៗក្នុងសមីការទៅសូន្យ។ ចូរយើងទទួលបានសមីការមួយចំនួន;
2. ដោះស្រាយសមីការទាំងអស់នេះ ហើយសម្គាល់ឫសនៅលើបន្ទាត់លេខ។ ជាលទ្ធផល បន្ទាត់ត្រង់នឹងត្រូវបានបែងចែកទៅជាចន្លោះពេលជាច្រើន ដែលម៉ូឌុលនីមួយៗត្រូវបានពង្រីកដោយឡែក។
3. ដោះស្រាយសមីការដើមសម្រាប់ចន្លោះពេលនីមួយៗ ហើយផ្សំចម្លើយ។

អស់ហើយ! នៅតែមានសំណួរតែមួយគត់: អ្វីដែលត្រូវធ្វើជាមួយឫសខ្លួនឯងដែលទទួលបាននៅជំហានទី 1? ឧបមាថាយើងមានឫសពីរគឺ $x=1$ និង $x=5$។ ពួកគេនឹងបំបែកបន្ទាត់លេខជា 3 ផ្នែក៖

ដូច្នេះតើចន្លោះពេលមានអ្វីខ្លះ? វាច្បាស់ណាស់ថាមានបីក្នុងចំណោមពួកគេ:

1. ខាងឆ្វេងបំផុត៖ $x \lt 1$ - ឯកតាខ្លួនវាមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេលទេ។
2. កណ្តាល៖ $1\le x \lt 5$ - នៅទីនេះមួយត្រូវបានរួមបញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេល ប៉ុន្តែប្រាំមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលទេ។
3. មួយស្តាំបំផុត៖ $x\ge 5$ — ទាំងប្រាំត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅទីនេះតែប៉ុណ្ណោះ!

ខ្ញុំគិតថាអ្នកបានយល់ពីគំរូរួចហើយ។ ចន្លោះពេលនីមួយៗរួមបញ្ចូលចុងខាងឆ្វេង ហើយមិនរាប់បញ្ចូលចុងខាងស្តាំទេ។

នៅ glance ដំបូង កំណត់ត្រាបែបនេះអាចហាក់ដូចជាមិនស្រួល មិនសមហេតុសមផល និងជាទូទៅប្រភេទឆ្កួតមួយចំនួន។ ប៉ុន្តែជឿខ្ញុំ៖ បន្ទាប់ពីការអនុវត្តតិចតួច អ្នកនឹងឃើញថានេះគឺជាវិធីសាស្រ្តដែលអាចទុកចិត្តបំផុត ហើយក្នុងពេលតែមួយមិនជ្រៀតជ្រែកជាមួយម៉ូឌុលដែលបង្ហាញដោយមិនច្បាស់លាស់។ វាជាការប្រសើរក្នុងការប្រើគ្រោងការណ៍បែបនេះជាជាងគិតរាល់ពេល៖ ផ្តល់ចុងឆ្វេង/ស្តាំទៅចន្លោះពេលបច្ចុប្បន្ន ឬ "បោះ" វាទៅបន្ទាប់។

នេះជាកន្លែងដែលមេរៀនបញ្ចប់។ ទាញយកភារកិច្ចសម្រាប់ដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង អនុវត្ត ប្រៀបធៀបជាមួយចម្លើយ ហើយជួបគ្នានៅមេរៀនបន្ទាប់ ដែលនឹងត្រូវបានឧទ្ទិសដល់វិសមភាពជាមួយម៉ូឌុល។ :)

ការណែនាំ

ប្រសិនបើម៉ូឌុលត្រូវបានតំណាងជាអនុគមន៍បន្ត នោះតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់របស់វាអាចជាវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន៖ |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

ម៉ូឌុលគឺសូន្យ ហើយម៉ូឌុលនៃចំនួនវិជ្ជមានណាមួយគឺជាម៉ូឌុលរបស់វា។ ប្រសិនបើអាគុយម៉ង់គឺអវិជ្ជមានបន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីបើកតង្កៀបសញ្ញារបស់វាផ្លាស់ប្តូរពីដកទៅបូក។ ដោយផ្អែកលើនេះ ការសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោមថាម៉ូឌុលផ្ទុយគឺស្មើគ្នា: |-x| = |x| = x ។

ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖ |a| = √b ² + c ² និង |a + b| ≤ |a| +|b|។ ប្រសិនបើអាគុយម៉ង់មានលេខវិជ្ជមានជាមេគុណ នោះវាអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាតង្កៀប ឧទាហរណ៍៖ |4*b| = 4*|b|។

ប្រសិនបើអាគុយម៉ង់ត្រូវបានបង្ហាញជាចំនួនកុំផ្លិច នោះសម្រាប់ភាពងាយស្រួលនៃការគណនា លំដាប់នៃលក្ខខណ្ឌនៃកន្សោមដែលដាក់ក្នុងតង្កៀបការ៉េត្រូវបានអនុញ្ញាត៖ |2-3| =|3-2| = 3-2 = 1 ព្រោះ (2-3) តិចជាងសូន្យ។

អំណះអំណាងដែលបានលើកឡើងក្នុងពេលដំណាលគ្នានៅក្រោមសញ្ញានៃឫសនៃលំដាប់ដូចគ្នា - វាត្រូវបានដោះស្រាយជាមួយ: √a² = |a| = ± ក។

ប្រសិនបើអ្នកមានភារកិច្ចនៅពីមុខអ្នកដែលមិនបញ្ជាក់ពីលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការពង្រីកតង្កៀបម៉ូឌុលនោះអ្នកមិនចាំបាច់កម្ចាត់ពួកវាទេ - នេះនឹងជាលទ្ធផលចុងក្រោយ។ ហើយប្រសិនបើអ្នកចង់បើកពួកវា នោះអ្នកត្រូវតែបញ្ជាក់សញ្ញា±។ ឧទាហរណ៍ អ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម √(2 * (4-b)) ² ។ ដំណោះស្រាយរបស់គាត់មើលទៅដូចនេះ៖ √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2*|4-b|។ ដោយសារសញ្ញានៃកន្សោម 4-b មិនស្គាល់ វាត្រូវតែទុកក្នុងវង់ក្រចក។ ប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមលក្ខខណ្ឌបន្ថែម ឧទាហរណ៍ |4-b| >

ម៉ូឌុលនៃលេខសូន្យគឺស្មើនឹងសូន្យ ហើយម៉ូឌុលនៃចំនួនវិជ្ជមានណាមួយគឺស្មើនឹងខ្លួនវា។ ប្រសិនបើអាគុយម៉ង់គឺអវិជ្ជមានបន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីបើកតង្កៀបសញ្ញារបស់វាផ្លាស់ប្តូរពីដកទៅបូក។ ដោយផ្អែកលើនេះ ការសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោមថាម៉ូឌុលនៃលេខផ្ទុយគឺស្មើគ្នា: |-x| = |x| = x ។

ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖ |a| = √b ² + c ² និង |a + b| ≤ |a| +|b|។ ប្រសិនបើអាគុយម៉ង់មានចំនួនគត់វិជ្ជមានជាមេគុណ នោះវាអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាតង្កៀប ឧទាហរណ៍៖ |4*b| = 4*|b|។

ម៉ូឌុលមិនអាចជាអវិជ្ជមានទេ ដូច្នេះចំនួនអវិជ្ជមានណាមួយត្រូវបានបំប្លែងទៅជាវិជ្ជមាន៖ |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2.5| = 2.5 ។

ប្រសិនបើអាគុយម៉ង់ត្រូវបានបង្ហាញជាចំនួនកុំផ្លិច នោះសម្រាប់ភាពងាយស្រួលនៃការគណនា វាត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃលក្ខខណ្ឌនៃកន្សោមដែលរុំព័ទ្ធក្នុងតង្កៀបការ៉េ៖ |2-3| =|3-2| = 3-2 = 1 ព្រោះ (2-3) តិចជាងសូន្យ។

ប្រសិនបើអ្នកមានភារកិច្ចនៅពីមុខអ្នកដែលមិនបញ្ជាក់ពីលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការពង្រីកតង្កៀបម៉ូឌុលនោះអ្នកមិនចាំបាច់កម្ចាត់ពួកវាទេ - នេះនឹងជាលទ្ធផលចុងក្រោយ។ ហើយប្រសិនបើអ្នកចង់បើកពួកវា នោះអ្នកត្រូវតែបញ្ជាក់សញ្ញា±។ ឧទាហរណ៍ អ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម √(2 * (4-b)) ² ។ ដំណោះស្រាយរបស់គាត់មើលទៅដូចនេះ៖ √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2*|4-b|។ ដោយសារសញ្ញានៃកន្សោម 4-b មិនស្គាល់ វាត្រូវតែទុកក្នុងវង់ក្រចក។ ប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមលក្ខខណ្ឌបន្ថែម ឧទាហរណ៍ |4-b| > 0 បន្ទាប់មកលទ្ធផលគឺ 2 * |4-b| = 2 * (4 - ខ) ។ ក្នុងនាមជាធាតុមិនស្គាល់ លេខជាក់លាក់មួយក៏អាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យផងដែរ ដែលគួរត្រូវយកមកពិចារណា ពីព្រោះ។ វានឹងប៉ះពាល់ដល់សញ្ញានៃការបញ្ចេញមតិ។

អត្ថបទនេះត្រូវបានឧទ្ទិសដល់បច្ចេកទេសសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការផ្សេងៗ និងវិសមភាពដែលមាន
អថេរនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល។

ប្រសិនបើពេលប្រឡងអ្នកជួបសមីការ ឬវិសមភាពជាមួយម៉ូឌុល អ្នកអាចដោះស្រាយវាបាន
ដោយមិនដឹងពីវិធីសាស្រ្តពិសេសណាមួយទាល់តែសោះ ហើយប្រើតែនិយមន័យម៉ូឌុលប៉ុណ្ណោះ។ តើ​វា​ជា​ការ​ពិត,
វាអាចចំណាយពេលមួយម៉ោងកន្លះនៃពេលវេលាប្រឡងដ៏មានតម្លៃ។

ដូច្នេះហើយ យើងចង់ប្រាប់អ្នកអំពីបច្ចេកទេសដែលជួយសម្រួលដល់ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាបែបនេះ។

ជាបឋមសូមឱ្យយើងចងចាំវា។

ពិចារណាប្រភេទផ្សេងៗគ្នា សមីការជាមួយម៉ូឌុល. (បន្ថែមលើវិសមភាពនៅពេលក្រោយ។ )

ម៉ូឌុលខាងឆ្វេង លេខស្តាំ

នេះជាករណីសាមញ្ញបំផុត។ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការ

មានតែលេខពីរប៉ុណ្ណោះដែលម៉ូឌុលគឺបួន។ ទាំងនេះគឺ 4 និង -4 ។ ដូច្នេះសមីការ
គឺស្មើនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នានៃសាមញ្ញពីរ៖

សមីការទីពីរមិនមានដំណោះស្រាយទេ។ ដំណោះស្រាយទីមួយ៖ x = 0 និង x = 5 ។

ចម្លើយ៖ ០; ៥.

អថេរទាំងនៅក្រោមម៉ូឌុល និងនៅខាងក្រៅម៉ូឌុល

នៅទីនេះអ្នកត្រូវពង្រីកម៉ូឌុលតាមនិយមន័យ។ . . ឬស្រមៃ!

សមីការចែកចេញជាពីរករណី អាស្រ័យលើសញ្ញានៃកន្សោមក្រោមម៉ូឌុល។
ម្យ៉ាងវិញទៀត វាស្មើនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នានៃប្រព័ន្ធពីរ៖

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធទីមួយ៖ ប្រព័ន្ធទីពីរមិនមានដំណោះស្រាយទេ។
ចម្លើយ៖ ១.

ករណីទីមួយ៖ x ≥ 3. ដកម៉ូឌុលចេញ៖

លេខដែលជាអវិជ្ជមាន មិនបំពេញលក្ខខណ្ឌ x ≥ 3 ដូច្នេះហើយមិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការដើមទេ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកមើលថាតើលេខនេះពេញចិត្តនឹងលក្ខខណ្ឌនេះដែរឬទេ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងធ្វើឱ្យមានភាពខុសគ្នានិងកំណត់សញ្ញារបស់វា:

ហេតុដូច្នេះហើយ ច្រើនជាងបីហើយជាឫសគល់នៃសមីការដើម

ករណីទី២៖ x< 3. Снимаем модуль:

ចំនួន ។ គឺធំជាង ហើយដូច្នេះមិនបំពេញលក្ខខណ្ឌ x< 3. Проверим :

មានន័យថា, ។ គឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម។

ដកម៉ូឌុលចេញតាមនិយមន័យ? វាគួរឱ្យខ្លាចសូម្បីតែគិតអំពីវាព្រោះអ្នករើសអើងមិនមែនជាការ៉េល្អឥតខ្ចោះទេ។ ចូរយើងប្រើការពិចារណាខាងក្រោមកាន់តែប្រសើរ៖ សមីការនៃទម្រង់ |A| = B គឺស្មើនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នានៃប្រព័ន្ធពីរ៖

ដូចគ្នា ប៉ុន្តែខុសគ្នាបន្តិច៖

ម្យ៉ាងទៀត យើងដោះស្រាយសមីការពីរគឺ A = B និង A = −B ហើយបន្ទាប់មកជ្រើសរើសឫសដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ B ≥ 0 ។

តោះ​ចាប់ផ្តើម។ ដំបូងយើងដោះស្រាយសមីការទីមួយ៖

បន្ទាប់មកយើងដោះស្រាយសមីការទីពីរ៖

ឥឡូវនេះក្នុងករណីនីមួយៗយើងពិនិត្យមើលសញ្ញានៃផ្នែកខាងស្តាំ៖

ដូច្នេះមានតែនិងសមរម្យ។

សមីការបួនជ្រុងជាមួយ |x| = t

តោះដោះស្រាយសមីការ៖

ចាប់តាំងពី វាជាការងាយស្រួលក្នុងការធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ |x| = t ។ យើង​ទទួល​បាន:

ចម្លើយ៖ ±១។

ម៉ូឌុលស្មើនឹងម៉ូឌុល

យើងកំពុងនិយាយអំពីសមីការនៃទម្រង់ |A| = |B|។ នេះគឺជាអំណោយនៃជោគវាសនា។ គ្មានការពង្រីកម៉ូឌុលតាមនិយមន័យ! វាសាមញ្ញ៖

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាសមីការ៖ . វាស្មើនឹងសំណុំដូចខាងក្រោមៈ

វានៅសល់ដើម្បីដោះស្រាយសមីការចំនួនប្រជាជននីមួយៗ ហើយសរសេរចម្លើយ។

ម៉ូឌុលពីរឬច្រើន។

តោះដោះស្រាយសមីការ៖

យើងនឹងមិនរំខានជាមួយម៉ូឌុលនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នាទេហើយបើកវាតាមនិយមន័យ - វានឹងមានជម្រើសច្រើនពេក។ មានវិធីសមហេតុផលជាង - វិធីសាស្រ្តនៃចន្លោះពេល។

កន្សោមនៅក្រោមម៉ូឌុលបាត់នៅចំណុច x = 1, x = 2 និង x = 3 ។ ចំណុចទាំងនេះបែងចែកបន្ទាត់លេខជាបួនចន្លោះពេល (ចន្លោះពេល)។ យើងសម្គាល់ចំណុចទាំងនេះនៅលើបន្ទាត់លេខ ហើយដាក់សញ្ញាសម្រាប់កន្សោមនីមួយៗនៅក្រោមម៉ូឌុលនៅលើចន្លោះពេលដែលទទួលបាន។ (លំដាប់នៃសញ្ញាគឺដូចគ្នានឹងលំដាប់នៃម៉ូឌុលដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងសមីការ។ )

ដូច្នេះយើងត្រូវពិចារណាករណីចំនួនបួន - នៅពេលដែល x ស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពេលនីមួយៗ។

ករណី 1: x ≥ 3. ម៉ូឌុលទាំងអស់ត្រូវបានដកចេញ "ដោយបូក"៖

តម្លៃលទ្ធផល x = 5 បំពេញលក្ខខណ្ឌ x ≥ 3 ដូច្នេះហើយជាឫសគល់នៃសមីការដើម។

ករណី 2: 2 ≤ x ≤ 3. ឥឡូវនេះ ម៉ូឌុលចុងក្រោយត្រូវបានដកចេញ "ដោយដក"៖

តម្លៃដែលទទួលបាននៃ x គឺសមរម្យផងដែរ - វាជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលដែលបានពិចារណា។

ករណី 3: 1 ≤ x ≤ 2. ម៉ូឌុលទីពីរ និងទីបីត្រូវបានយកចេញ "ដោយដក"៖

យើងទទួលបានសមភាពលេខត្រឹមត្រូវសម្រាប់ x ណាមួយពីចន្លោះពេលដែលបានពិចារណា ពួកវាបម្រើជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ។

ករណីទី 4: x ≤ 1 ≤ 1. ម៉ូឌុលទីពីរ និងទីបីត្រូវបានយកចេញ "ដោយដក"៖

គ្មានអ្វីថ្មីទេ។ យើងដឹងរួចហើយថា x = 1 គឺជាដំណោះស្រាយ។

ចម្លើយ៖ ∪ (5) ។

ម៉ូឌុលនៅក្នុងម៉ូឌុលមួយ។

តោះដោះស្រាយសមីការ៖

យើងចាប់ផ្តើមដោយការពង្រីកម៉ូឌុលខាងក្នុង។

1) x ≤ 3. យើងទទួលបាន៖

កន្សោមនៅក្រោមម៉ូឌុលបាត់នៅ . ចំណុចនេះជាកម្មសិទ្ធិរបស់ការពិចារណា
ចន្លោះពេល។ ដូច្នេះ​ហើយ យើង​ត្រូវ​ពិចារណា​ពីរ​ករណី​រង។

1.1) យើងទទួលបានក្នុងករណីនេះ:

តម្លៃ x នេះមិនល្អទេ ព្រោះវាមិនមែនជារបស់ចន្លោះពេលដែលកំពុងពិចារណា។

១.២). បន្ទាប់មក៖

តម្លៃ x នេះក៏មិនល្អដែរ។

ដូច្នេះសម្រាប់ x ≤ 3 មិនមានដំណោះស្រាយទេ។ ចូរបន្តទៅករណីទីពីរ។

2) x ≥ 3. យើងមាន៖

នៅទីនេះយើងមានសំណាង៖ កន្សោម x + 2 គឺវិជ្ជមានក្នុងចន្លោះពេលពិចារណា! ដូច្នេះ វា​នឹង​លែង​មាន​ករណី​រង​ទៀត​ហើយ៖ ម៉ូឌុល​ត្រូវ​បាន​ដក​ចេញ “ដោយ​បូក”៖

តម្លៃ x នេះស្ថិតក្នុងចន្លោះពេលដែលកំពុងពិចារណា ដូច្នេះហើយជាឫសគល់នៃសមីការដើម។

នេះជារបៀបដែលភារកិច្ចទាំងអស់នៃប្រភេទនេះត្រូវបានដោះស្រាយ - យើងបើកម៉ូឌុលដែលបានដាក់ជាវេនដោយចាប់ផ្តើមពីផ្នែកខាងក្នុង។