សមីការការ៉េពេញលេញណាមួយ។ ax2 + bx + c = 0អាចត្រូវបាននាំយកមកក្នុងចិត្ត x 2 + (b/a) x + (c/a) = 0ប្រសិនបើយើងបែងចែកពាក្យនីមួយៗដោយមេគុណ a មុន x2. ហើយប្រសិនបើយើងណែនាំសញ្ញាណថ្មី។ (b/a) = ទំនិង (c/a) = qបន្ទាប់មកយើងនឹងមានសមីការ x 2 + px + q = 0ដែលនៅក្នុងគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេហៅថា កាត់បន្ថយសមីការការ៉េ.

ឫសគល់នៃសមីការ quadratic កាត់បន្ថយ និងមេគុណ ទំនិង qមានទំនាក់ទំនងគ្នា។ នេះត្រូវបានបញ្ជាក់ ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតាដាក់ឈ្មោះតាមគណិតវិទូជនជាតិបារាំង Francois Vieta ដែលរស់នៅចុងសតវត្សទី១៦។

ទ្រឹស្តីបទ. ផលបូកនៃឫសនៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 + px + q = 0ស្មើនឹងមេគុណទីពីរ ទំយកជាមួយសញ្ញាផ្ទុយនិងផលិតផលនៃឫស - ទៅពាក្យឥតគិតថ្លៃ q.

យើងសរសេរសមាមាត្រទាំងនេះក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖

អនុញ្ញាតឱ្យមាន x ១និង x2ឫសផ្សេងគ្នានៃសមីការកាត់បន្ថយ x 2 + px + q = 0. នេះ​បើ​តាម​ទ្រឹស្ដី​របស់ Vieta x1 + x2 = -pនិង x 1 x 2 = q.

ដើម្បីបញ្ជាក់រឿងនេះ ចូរយើងជំនួសឫស x 1 និង x 2 ទៅក្នុងសមីការ។ យើងទទួលបានសមភាពពិតពីរ៖

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

ដកទីពីរចេញពីសមភាពទីមួយ។ យើង​ទទួល​បាន:

x 1 2 − x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

យើងពង្រីកពាក្យពីរដំបូងយោងទៅតាមភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េ៖

(x 1 − x 2)(x 1 − x 2) + p(x 1 − x 2) = 0

តាមលក្ខខណ្ឌ ឫស x 1 និង x 2 គឺខុសគ្នា។ ដូច្នេះយើងអាចកាត់បន្ថយសមភាពដោយ (x 1 − x 2) ≠ 0 និង express p ។

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p ។

សមភាពទីមួយត្រូវបានបង្ហាញ។

ដើម្បីបញ្ជាក់សមភាពទីពីរ យើងជំនួសសមីការទីមួយ

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 ជំនួសឱ្យមេគុណ p ចំនួនស្មើគ្នារបស់វាគឺ (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

ការបំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ យើងទទួលបាន៖

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q ដែលត្រូវបង្ហាញ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta គឺល្អព្រោះ ទោះបីជាមិនបានដឹងពីឫសគល់នៃសមីការការ៉េក៏ដោយ យើងអាចគណនាផលបូក និងផលរបស់វា។ .

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ជួយកំណត់ឫសចំនួនគត់នៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប៉ុន្តែសម្រាប់សិស្សានុសិស្សជាច្រើន នេះបណ្តាលឱ្យមានការលំបាកដោយសារតែពួកគេមិនស្គាល់ក្បួនដោះស្រាយច្បាស់លាស់នៃសកម្មភាព ជាពិសេសប្រសិនបើឫសគល់នៃសមីការមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា។

ដូច្នេះសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យមានទម្រង់ x 2 + px + q \u003d 0 ដែល x 1 និង x 2 គឺជាឫសរបស់វា។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta x 1 + x 2 = -p និង x 1 x 2 = q ។

យើងអាចសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោម.

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការពាក្យចុងក្រោយត្រូវនាំមុខដោយសញ្ញាដក នោះឫស x 1 និង x 2 មានសញ្ញាផ្សេងគ្នា។ លើសពីនេះទៀតសញ្ញានៃឫសតូចជាងគឺដូចគ្នានឹងសញ្ញានៃមេគុណទីពីរនៅក្នុងសមីការ។

ដោយផ្អែកលើការពិតដែលថានៅពេលបន្ថែមលេខដែលមានសញ្ញាផ្សេងគ្នាម៉ូឌុលរបស់ពួកគេត្រូវបានដកហើយសញ្ញានៃលេខធំជាងត្រូវបានដាក់នៅពីមុខលទ្ធផលអ្នកគួរតែបន្តដូចខាងក្រោម:

1. កំណត់កត្តាបែបនេះនៃចំនួន q ដូច្នេះភាពខុសគ្នារបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងលេខ p ។
2. ដាក់សញ្ញានៃមេគុណទីពីរនៃសមីការនៅពីមុខលេខតូចជាងនៃលេខដែលទទួលបាន។ ឫសទីពីរនឹងមានសញ្ញាផ្ទុយ។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ ១.

ដោះស្រាយសមីការ x 2 − 2x − 15 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត.

ចូរយើងព្យាយាមដោះស្រាយសមីការនេះដោយប្រើច្បាប់ដែលបានស្នើឡើងខាងលើ។ បន្ទាប់មកយើងអាចនិយាយបានច្បាស់ថាសមីការនេះនឹងមានឫសពីរផ្សេងគ្នា ពីព្រោះ ឃ \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0 ។

ឥឡូវនេះពីកត្តាទាំងអស់នៃលេខ 15 (1 និង 15, 3 និង 5) យើងជ្រើសរើសអ្នកដែលខុសគ្នាស្មើនឹង 2 ។ ទាំងនេះនឹងជាលេខ 3 និង 5 ។ យើងដាក់សញ្ញាដកនៅពីមុខលេខតូចជាង។ , i.e. សញ្ញានៃមេគុណទីពីរនៃសមីការ។ ដូច្នេះយើងទទួលបានឫសនៃសមីការ x 1 \u003d -3 និង x 2 \u003d 5 ។

ចម្លើយ។ x 1 = −3 និង x 2 = 5 ។

ឧទាហរណ៍ ២.

ដោះស្រាយសមីការ x 2 + 5x − 6 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត.

សូមពិនិត្យមើលថាតើសមីការនេះមានឫសគល់ឬអត់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញអ្នករើសអើង៖

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. សមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា។

កត្តាដែលអាចកើតមាននៃលេខ 6 គឺ 2 និង 3, 6 និង 1 ។ ភាពខុសគ្នាគឺ 5 សម្រាប់គូនៃ 6 និង 1 ។ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ មេគុណនៃពាក្យទីពីរមានសញ្ញាបូក ដូច្នេះលេខតូចនឹងមាន សញ្ញាដូចគ្នា។ ប៉ុន្តែមុនពេលលេខទីពីរនឹងមានសញ្ញាដក។

ចម្លើយ៖ x 1 = −6 និង x 2 = 1 ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ក៏អាចត្រូវបានសរសេរសម្រាប់សមីការ quadratic ពេញលេញមួយ។ ដូច្នេះប្រសិនបើសមីការ quadratic ax2 + bx + c = 0មានឫស x 1 និង x 2 បន្ទាប់មកពួកគេបំពេញសមភាព

x 1 + x 2 = -(b/a)និង x 1 x 2 = (c/a). ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទនេះនៅក្នុងសមីការការ៉េពេញលេញគឺមានបញ្ហាជាង ប្រសិនបើមានឫស យ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកវាគឺជាចំនួនប្រភាគ។ ហើយការធ្វើការជាមួយការជ្រើសរើសប្រភាគគឺពិបាកណាស់។ ប៉ុន្តែនៅតែមានផ្លូវចេញ។

ពិចារណាសមីការការ៉េពេញលេញ ax 2 + bx + c = 0. គុណផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំរបស់វាដោយមេគុណ a ។ សមីការនឹងយកទម្រង់ (ax) 2 + b(ax) + ac = 0 ។ ឥឡូវសូមណែនាំអថេរថ្មី ឧទាហរណ៍ t = ax ។

ក្នុងករណីនេះសមីការលទ្ធផលប្រែទៅជាសមីការបួនជ្រុងដែលកាត់បន្ថយនៃទម្រង់ t 2 + bt + ac = 0 ឫសដែល t 1 និង t 2 (ប្រសិនបើមាន) អាចត្រូវបានកំណត់ដោយទ្រឹស្តីបទ Vieta ។

ក្នុងករណីនេះឫសនៃសមីការ quadratic ដើមនឹងមាន

x 1 = (t 1/a) និង x 2 = (t 2/a) ។

ឧទាហរណ៍ ៣.

ដោះស្រាយសមីការ 15x 2 − 11x + 2 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត.

យើងបង្កើតសមីការជំនួយ។ ចូរគុណពាក្យនីមួយៗនៃសមីការដោយ ១៥៖

15 2 x 2 − 11 15x + 15 2 = 0 ។

យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ t = 15x ។ យើង​មាន:

t 2 − 11t + 30 = 0 ។

យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta ឫសនៃសមីការនេះនឹងមាន t 1 = 5 និង t 2 = 6 ។

យើងត្រលប់ទៅការជំនួស t = 15x:

5 = 15x ឬ 6 = 15x ។ ដូច្នេះ x 1 = 5/15 និង x 2 = 6/15 ។ យើងកាត់បន្ថយ និងទទួលបានចម្លើយចុងក្រោយ៖ x 1 = 1/3 និង x 2 = 2/5 ។

ចម្លើយ។ x 1 = 1/3 និង x 2 = 2/5 ។

ដើម្បីគ្រប់គ្រងដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta សិស្សត្រូវអនុវត្តឱ្យបានច្រើនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ នេះពិតជាអាថ៌កំបាំងនៃភាពជោគជ័យ។

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

វិធីសាស្រ្តមួយក្នុងចំណោមវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ quadratic គឺកម្មវិធី រូបមន្ត VIETAដែលត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាម FRANCOIS VIETE ។

គាត់ជាមេធាវីដ៏ល្បីល្បាញ ហើយបានបម្រើការនៅសតវត្សទី 16 ជាមួយស្តេចបារាំង។ ពេលទំនេរ គាត់បានសិក្សាផ្នែកតារាសាស្ត្រ និងគណិតវិទ្យា។ គាត់បានបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េ។

គុណសម្បត្តិនៃរូបមន្ត៖

1 . ដោយ​ការ​អនុវត្ត​រូបមន្ត អ្នក​អាច​រក​ឃើញ​ដំណោះ​ស្រាយ​បាន​យ៉ាង​ឆាប់​រហ័ស។ ដោយសារតែអ្នកមិនចាំបាច់បញ្ចូលមេគុណទីពីរទៅក្នុងការ៉េ បន្ទាប់មកដក 4ac ពីវា ស្វែងរកអ្នករើសអើង ជំនួសតម្លៃរបស់វាទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកឫស។

2 . ដោយគ្មានដំណោះស្រាយអ្នកអាចកំណត់សញ្ញានៃឫសយកតម្លៃនៃឫស។

3 . ដោយបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃកំណត់ត្រាពីរវាមិនពិបាកក្នុងការស្វែងរកឫសខ្លួនឯងទេ។ នៅក្នុងសមីការការ៉េខាងលើ ផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃមេគុណទីពីរដែលមានសញ្ញាដក។ ផលិតផលនៃឫសនៅក្នុងសមីការការ៉េខាងលើគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃមេគុណទីបី។

4 . យោងតាមឬសគល់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ សរសេរសមីការ quadratic នោះគឺ ដោះស្រាយបញ្ហាបញ្ច្រាស។ ឧទាហរណ៍ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាក្នុងទ្រឹស្តីបទ។

5 . វាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តរូបមន្តនៅពេលដែលមេគុណនាំមុខគឺស្មើនឹងមួយ។

គុណវិបត្តិ៖

1 . រូបមន្តមិនមែនជាសកលទេ។

ទ្រឹស្តីបទ Vieta ថ្នាក់ទី ៨

រូបមន្ត
ប្រសិនបើ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ x 2 + px + q \u003d 0 នោះ៖

ឧទាហរណ៍
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - ឫសគល់នៃសមីការ x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ។

P = −2, q = −3 ។

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = −1 3 = −3 = q ។

ទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាស

រូបមន្ត
ប្រសិនបើលេខ x 1, x 2, p, q ត្រូវបានភ្ជាប់ដោយលក្ខខណ្ឌ៖

បន្ទាប់មក x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ x 2 + px + q = 0 ។

ឧទាហរណ៍
ចូរបង្កើតសមីការបួនជ្រុងដោយឫសរបស់វា៖

X 1 \u003d 2 -? 3 និង x 2 \u003d 2 +? ៣.

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d ១.

សមីការដែលចង់បានមានទម្រង់៖ x 2 − 4x + 1 = 0 ។

I. ទ្រឹស្តីបទ Vietaសម្រាប់សមីការ quadratic កាត់បន្ថយ។

ផលបូកនៃឫសនៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 +px+q=0គឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរ យកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យទំនេរ៖

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q ។

ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។

ឧទាហរណ៍ 1) x 2 -x-30=0 ។នេះគឺជាសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ ( x 2 +px+q=0), មេគុណទីពីរ p=-1និងរយៈពេលឥតគិតថ្លៃ q=-30 ។ដំបូង ត្រូវប្រាកដថាសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យមានឫស ហើយឫស (ប្រសិនបើមាន) នឹងត្រូវបានបង្ហាញជាចំនួនគត់។ សម្រាប់ការនេះ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយដែលការរើសអើងជាការ៉េពេញនៃចំនួនគត់។

ការស្វែងរកអ្នករើសអើង ឃ=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

ឥឡូវនេះយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta ផលបូកនៃឫសត្រូវតែស្មើនឹងមេគុណទីពីរដែលយកជាមួយសញ្ញាផ្ទុយ i.e. ( - ទំ) ហើយផលិតផលគឺស្មើនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ ពោលគឺឧ។ ( q) បន្ទាប់មក៖

x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30 ។យើង​ត្រូវ​ជ្រើសរើស​លេខ​ពីរ​បែប​នេះ​ដើម្បី​ឱ្យ​ផលិតផល​របស់​វា​ស្មើ -30 ហើយផលបូកគឺ ឯកតា. ទាំងនេះគឺជាលេខ -5 និង 6 . ចម្លើយ៖ -៥; ៦.

ឧទាហរណ៍ 2) x 2 +6x+8=0 ។យើងមានសមីការ quadratic កាត់បន្ថយជាមួយនឹងមេគុណទីពីរ p=6និងសមាជិកឥតគិតថ្លៃ q=8. ត្រូវប្រាកដថាមានឫសចំនួនគត់។ ចូរយើងស្វែងរកអ្នករើសអើង ឃ១ ឃ១=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . ការរើសអើង D 1 គឺជាការ៉េដ៏ល្អឥតខ្ចោះនៃលេខ 1 ដូច្នេះឫសនៃសមីការនេះគឺជាចំនួនគត់។ យើងជ្រើសរើសឫសយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta: ផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹង -p=-6ហើយផលនៃឫសគឺ q=8. ទាំងនេះគឺជាលេខ -4 និង -2 .

តាមពិត៖ -4-2=-6=-p; −4∙(−2)=8=q។ ចម្លើយ៖ -៤; -២.

ឧទាហរណ៍ 3) x 2 +2x-4=0. នៅក្នុងសមីការ quadratic កាត់បន្ថយនេះ មេគុណទីពីរ p=2និងរយៈពេលឥតគិតថ្លៃ q=-4. ចូរយើងស្វែងរកអ្នករើសអើង ឃ១ចាប់តាំងពីមេគុណទីពីរគឺជាលេខគូ។ ឃ១=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. ការរើសអើងមិនមែនជាការេដ៏ល្អឥតខ្ចោះនៃចំនួននោះទេ ដូច្នេះយើងធ្វើ ការសន្និដ្ឋាន: ឫសគល់នៃសមីការនេះមិនមែនជាចំនួនគត់ ហើយមិនអាចរកឃើញដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ទេ។ដូច្នេះ​យើង​ដោះស្រាយ​សមីការ​នេះ​តាម​ធម្មតា​តាម​រូបមន្ត (ក្នុង​ករណី​នេះ​បើ​តាម​រូបមន្ត)។ យើង​ទទួល​បាន:

ឧទាហរណ៍ 4).សរសេរសមីការការ៉េដោយប្រើឫសរបស់វា if x 1 \u003d -7, x 2 \u003d ៤.

ការសម្រេចចិត្ត។សមីការដែលចង់បាននឹងត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់៖ x 2 +px+q=0លើសពីនេះទៅទៀតដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទ Vieta -p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . បន្ទាប់មកសមីការនឹងមានទម្រង់៖ x2 +3x-28=0 ។

ឧទាហរណ៍ 5).សរសេរសមីការការ៉េដោយប្រើឫសរបស់វា ប្រសិនបើ៖

II. ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតាសម្រាប់សមីការការ៉េពេញលេញ ax2+bx+c=0។

ផលបូកនៃឫសគឺដក ខចែក​ដោយ ក, ផលិតផលនៃឫសគឺ ជាមួយចែក​ដោយ ក៖

x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d គ / ក។

ថ្ងៃ​នេះ​សម​នឹង​ត្រូវ​ច្រៀង​ជា​ខ
នៅលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសទ្រឹស្តីបទ Vieta ។
មួយណាល្អជាង ចូរនិយាយថា ភាពស្ថិតស្ថេរនេះ៖
អ្នកគុណឫស - ហើយប្រភាគគឺរួចរាល់
នៅក្នុងលេខភាគ ជាមួយ, នៅក្នុងភាគបែង ក.
ហើយផលបូកនៃឫសក៏ជាប្រភាគផងដែរ។
ទោះបីជាមានដកប្រភាគនេះក៏ដោយ។
តើមានបញ្ហាអ្វី
នៅក្នុងលេខភាគ ក្នុង, នៅក្នុងភាគបែង ក.
(ដកស្រង់​ពី​រឿងព្រេង​សាលា)

នៅក្នុង epigraph ទ្រឹស្ដីគួរឱ្យកត់សម្គាល់របស់ François Vieta មិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យពិតប្រាកដទេ។ ជាការពិត យើងអាចសរសេរសមីការបួនជ្រុងដែលមិនមានឫសគល់ ហើយសរសេរចុះផលបូក និងផលរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ សមីការ x 2 + 2x + 12 = 0 មិនមានឫសពិតទេ។ ប៉ុន្តែ ខិតជិតជាផ្លូវការ យើងអាចសរសេរផលិតផលរបស់ពួកគេ (x 1 x 2 \u003d 12) និងផលបូក (x 1 + x 2 \u003d -2) ។ របស់យើង។ ខគម្ពីរនឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងទ្រឹស្តីបទជាមួយនឹងការព្រមានថា: "ប្រសិនបើសមីការមានឫស" i.e. ឃ ≥ 0 ។

ការអនុវត្តជាក់ស្តែងដំបូងនៃទ្រឹស្តីបទនេះគឺការចងក្រងនៃសមីការបួនជ្រុងដែលបានផ្តល់ឫស។ ទីពីរ៖ វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយសមីការ quadratic ជាច្រើន។ នៅពេលអភិវឌ្ឍជំនាញទាំងនេះ ជាដំបូងការយកចិត្តទុកដាក់គឺត្រូវបានទាញទៅសៀវភៅសិក្សារបស់សាលា។

នៅទីនេះយើងនឹងពិចារណាបញ្ហាស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀតដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ។

ឧទាហរណ៍ ១

ឫសមួយនៃសមីការ 5x 2 - 12x + c \u003d 0 គឺធំជាងទីពីរបីដង។ ស្វែងរកជាមួយ។

ការសម្រេចចិត្ត។

សូមឱ្យឫសទីពីរគឺ x2 ។

បន្ទាប់មកឫសដំបូង x1 = 3x2 ។

យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta ផលបូកនៃឫសគឺ 12/5 = 2.4 ។

ចូរបង្កើតសមីការ 3x2 + x2 = 2.4 ។

ដូច្នេះ x 2 \u003d 0.6 ។ ដូច្នេះ x 1 \u003d 1.8 ។

ចម្លើយ៖ c \u003d (x 1 x 2) a \u003d 0.6 1.8 5 \u003d 5.4 ។

ឧទាហរណ៍ ២

គេដឹងថា x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ x 2 − 8x + p = 0 ហើយ 3x 1 + 4x 2 = 29. រកទំ។

ការសម្រេចចិត្ត។

យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta x 1 + x 2 = 8 និងតាមលក្ខខណ្ឌ 3x 1 + 4x 2 = 29 ។

ដោយបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការទាំងពីរនេះ យើងរកឃើញតម្លៃ x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5 ។

ដូច្នេះហើយ p = 15 ។

ចម្លើយ៖ ទំ = ១៥ ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ដោយមិនគណនាឫសនៃសមីការ 3x 2 + 8 x - 1 \u003d 0 រក x 1 4 + x 2 4

ការសម្រេចចិត្ត។

ចំណាំថាយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta x 1 + x 2 = -8/3 និង x 1 x 2 = -1/3 ហើយបំលែងកន្សោម

ក) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 − 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 − 2x 1 x 2) 2 − 2 (x 1 x 2) 2 \u003d ((-8/3) 2 - 2 (-1/3)) 2 - 2 (-1/3) 2 \u003d 4898/9

ចម្លើយ៖ ៤៨៩៨/៩។

ឧទាហរណ៍ 4

នៅតម្លៃអ្វីនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a គឺជាភាពខុសគ្នារវាងឫសធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃសមីការ
2x 2 - (a + 1) x + (a - 1) \u003d 0 គឺស្មើនឹងផលិតផលរបស់ពួកគេ។

ការសម្រេចចិត្ត។

នេះគឺជាសមីការការ៉េ។ វានឹងមានឫស 2 ផ្សេងគ្នាប្រសិនបើ D > 0 ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត (a + 1) 2 - 8 (a - 1) > 0 ឬ (a - 3) 2 > 0 ។ ដូច្នេះហើយ យើងមានឫស 2 សម្រាប់ទាំងអស់ a, លើកលែងតែ a = 3 ។

សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ យើងសន្មត់ថា x 1 > x 2 ហើយទទួលបាន x 1 + x 2 \u003d (a + 1) / 2 និង x 1 x 2 \u003d (a - 1) / 2 ។ ដោយផ្អែកលើលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា x 1 - x 2 \u003d (a - 1) / 2 ។ លក្ខខណ្ឌទាំងបីត្រូវតែបំពេញក្នុងពេលដំណាលគ្នា។ ពិចារណាសមីការទីមួយ និងចុងក្រោយជាប្រព័ន្ធ។ វាត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងងាយស្រួលដោយវិធីសាស្ត្របន្ថែមពិជគណិត។

យើងទទួលបាន x 1 \u003d a / 2, x 2 \u003d 1/2 ។ ចូរយើងពិនិត្យមើលសម្រាប់អ្វី កសមភាពទីពីរនឹងត្រូវបានបំពេញ៖ x 1 x 2 \u003d (a - 1) / 2 ។ ចូរជំនួសតម្លៃដែលទទួលបាន ហើយយើងនឹងមាន៖ а/4 = (а – 1)/2 ។ បន្ទាប់មក a = 2. វាច្បាស់ណាស់ថា ប្រសិនបើ a = 2 នោះលក្ខខណ្ឌទាំងអស់គឺពេញចិត្ត។

ចម្លើយ៖ ពេល a = ២.

ឧទាហរណ៍ ៥

តើអ្វីជាតម្លៃតូចបំផុតនៃ a ដែលផលបូកនៃឫសនៃសមីការ
x 2 - 2a (x - 1) - 1 \u003d 0 គឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃឫសរបស់វា។

ការសម្រេចចិត្ត។

ជាដំបូង ចូរយើងនាំយកសមីការទៅជាទម្រង់ Canonical: x 2 - 2ax + 2a - 1 \u003d 0. វានឹងមានឫសប្រសិនបើ D / ​​4 ≥ 0. ដូច្នេះ៖ a 2 - (2a - 1) ≥ 0. ឬ (a - 1 ) 2 ≥ 0. ហើយលក្ខខណ្ឌនេះមានសុពលភាពសម្រាប់ a.

យើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Vieta៖ x 1 + x 2 \u003d 2a, x 1 x 2 \u003d 2a - 1. យើងគណនា

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2 ។ ឬបន្ទាប់ពីការជំនួស x 1 2 + x 2 2 \u003d (2a) 2 - 2 (2a - 1) \u003d 4a 2 - 4a + 2. វានៅសល់ដើម្បីធ្វើឱ្យសមភាពដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា: x 1 + x 2 \u003d x 1 2 + x 2 2 ។ យើងទទួលបាន៖ 2a \u003d 4a 2 - 4a + 2 ។ សមីការការ៉េនេះមានឫសពីរ៖ a 1 \u003d 1 និង a 2 \u003d 1/2 ។ តូចបំផុតនៃពួកគេគឺ -1/2 ។

ចម្លើយ៖ ១/២ ។

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកទំនាក់ទំនងរវាងមេគុណនៃសមីការ ax 2 + inx + c \u003d 0 ប្រសិនបើផលបូកនៃគូបនៃឫសរបស់វាស្មើនឹងផលគុណនៃការ៉េនៃឫសទាំងនេះ។

ការសម្រេចចិត្ត។

យើងនឹងបន្តពីការពិតដែលថាសមីការនេះមានឫសគល់ ដូច្នេះហើយទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta អាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះវា។

បន្ទាប់មកលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហានឹងត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 x 2 2 ។ ឬ៖ (x 1 + x 2) (x 1 2 - x 1 x 2 + x 2 2) \u003d (x 1 x 2) ២.

អ្នកត្រូវបំប្លែងកត្តាទីពីរ។ x 1 2 - x 1 x 2 + x 2 2 \u003d ((x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2) - x 1 x 2 ។

យើងទទួលបាន (x 1 + x 2) ((x 1 + x 2) 2 - 3x 1 x 2) \u003d (x 1 x 2) 2 ។ វានៅសល់ដើម្បីជំនួសផលបូកនិងផលិតផលនៃឫសតាមរយៈមេគុណ។

(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . កន្សោមនេះអាចបំប្លែងទៅជាទម្រង់យ៉ាងងាយស្រួល b (3ac - b 2) / a \u003d គ ២.សមាមាត្រត្រូវបានរកឃើញ។

មតិយោបល់។វាគួរតែត្រូវបានយកទៅក្នុងគណនីដែលទំនាក់ទំនងលទ្ធផលធ្វើឱ្យយល់បានតែបន្ទាប់ពីបានបំពេញផ្សេងទៀត: D ≥ 0 ។

ឧទាហរណ៍ ៧

ស្វែងរកតម្លៃនៃអថេរ a ដែលផលបូកនៃការ៉េនៃឫសនៃសមីការ x 2 + 2ax + 3a 2 - 6a - 2 \u003d 0 គឺជាតម្លៃធំបំផុត។

ការសម្រេចចិត្ត។

ប្រសិនបើសមីការនេះមានឫស x 1 និង x 2 នោះផលបូករបស់ពួកគេ x 1 + x 2 \u003d -2a និងផលិតផល x 1 x 2 \u003d 3a 2 - 6a - 2 ។

យើងគណនា x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2 \u003d (-2a) 2 - 2 (3a 2 - 6a - 2) \u003d -2a 2 + 12a + 4 \u003d -2 (a – 3) 2 + 22 ។

ឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់ថាកន្សោមនេះយកតម្លៃធំបំផុតនៅ a = 3 ។

វានៅសល់ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើសមីការការ៉េដើមពិតជាមានឫសនៅ \u003d 3។ យើងពិនិត្យដោយការជំនួស ហើយយើងទទួលបាន: x 2 + 6x + 7 \u003d 0 ហើយសម្រាប់វា D \u003d 36 - 28\u003e 0 ។

ដូច្នេះចម្លើយគឺ៖ សម្រាប់ a = 3 ។

ឧទាហរណ៍ ៨

សមីការ 2x 2 - 7x - 3 \u003d 0 មានឫស x 1 និង x 2 ។ ស្វែងរកផលបូកបីដងនៃមេគុណនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ ឫសនៃដែលជាលេខ X 1 \u003d 1 / x 1 និង X 2 \u003d 1 / x 2 ។ (*)

ការសម្រេចចិត្ត។

ជាក់ស្តែង x 1 + x 2 \u003d 7/2 និង x 1 x 2 \u003d -3/2 ។ យើងបង្កើតសមីការទីពីរដោយឫសរបស់វាក្នុងទម្រង់ x 2 + px + q \u003d 0 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើការអះអាងបញ្ច្រាសទៅទ្រឹស្តីបទ Vieta ។ យើងទទួលបាន៖ p \u003d - (X 1 + X 2) និង q \u003d X 1 X 2 ។

បន្ទាប់ពីជំនួសរូបមន្តទាំងនេះ ដោយផ្អែកលើ (*) បន្ទាប់មក៖ p \u003d - (x 1 + x 2) / (x 1 x 2) \u003d 7/3 និង q \u003d 1 / (x 1 x 2) \ u003d - 2/3 ។

សមីការដែលចង់បាននឹងយកទម្រង់៖ x 2 + 7/3 x − 2/3 = 0 ។ ឥឡូវនេះយើងអាចគណនាបានយ៉ាងងាយស្រួលនូវផលបូកបីដងនៃមេគុណរបស់វា៖

3(1 + 7/3 - 2/3) = 8. ចម្លើយដែលបានទទួល។

តើអ្នកមានសំណួរទេ? មិនដឹងប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ទេ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!

blog.site ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា

ចូរ​កំណត់​ឫសគល់​នៃ​សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​កាត់​បន្ថយ
(1) .
បន្ទាប់មកផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងមេគុណដែលយកជាមួយសញ្ញាផ្ទុយ។ ផលិតផលនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ៖
;
.

កំណត់ចំណាំអំពីឫសច្រើន។

ប្រសិនបើការរើសអើងនៃសមីការ (1) គឺសូន្យ នោះសមីការនេះមានឫសតែមួយ។ ប៉ុន្តែ ដើម្បី​ជៀសវាង​ការ​បង្កើត​ទម្រង់​ស្មុគស្មាញ វា​ជា​ទូទៅ​ត្រូវ​បាន​ទទួល​យក​ថា​នៅ​ក្នុង​ករណី​នេះ សមីការ (1) មាន​ឫស​ច្រើន ឬ​ស្មើ​ពីរ៖
.

ភស្តុតាងមួយ។

ចូរយើងស្វែងរកឫសនៃសមីការ (១)។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ៖
;
;
.

ស្វែងរកផលបូកនៃឫស៖
.

ដើម្បីស្វែងរកផលិតផលយើងអនុវត្តរូបមន្ត៖
.
បន្ទាប់មក

.

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ភស្តុតាងពីរ

ប្រសិនបើលេខ និងជាឫសគល់នៃសមីការ quadratic (1) បន្ទាប់មក
.
យើងបើកតង្កៀប។

.
ដូច្នេះ សមីការ (១) នឹងមានទម្រង់៖
.
ប្រៀបធៀបជាមួយ (១) យើងរកឃើញ៖
;
.

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទ Vieta បញ្ច្រាស

សូមឱ្យមានលេខតាមអំពើចិត្ត។ បន្ទាប់មក និងជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ
,
កន្លែងណា
(2) ;
(3) .

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទសន្ទនារបស់ Vieta

ពិចារណាសមីការការ៉េ
(1) .
យើងត្រូវបញ្ជាក់ថា ប្រសិនបើ និង , បន្ទាប់មក និងជាឫសគល់នៃសមីការ (1)។

ជំនួស (2) និង (3) ទៅ (1)៖
.
យើងដាក់ជាក្រុមលក្ខខណ្ឌនៃផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ៖
;
;
(4) .

ជំនួសក្នុង (4):
;
.

ជំនួសក្នុង (4):
;
.
សមីការត្រូវបានបំពេញ។ នោះគឺលេខគឺជាឫសនៃសមីការ (1) ។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េពេញលេញ

ឥឡូវពិចារណាសមីការការ៉េពេញលេញ
(5) ,
កន្លែងណា និងជាលេខមួយចំនួន។ និង។

យើងបែងចែកសមីការ (5) ដោយ៖
.
នោះគឺយើងទទួលបានសមីការខាងលើ
,
កន្លែងណា; .

បន្ទាប់មកទ្រឹស្តីបទ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េពេញលេញមានទម្រង់ដូចខាងក្រោម។

ចូរ​កំណត់​ឫសគល់​នៃ​សមីការ​ការ៉េ​ពេញលេញ
.
បន្ទាប់មកផលបូកនិងផលនៃឫសត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
;
.

ទ្រឹស្តីបទ Vieta សម្រាប់សមីការគូប

ដូចគ្នានេះដែរ យើងអាចបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងឫសនៃសមីការគូប។ ពិចារណាសមីការគូប
(6) ,
ដែលជាកន្លែងដែល , , គឺជាលេខមួយចំនួន។ និង។
ចូរបែងចែកសមីការនេះដោយ៖
(7) ,
កន្លែងណា , , ។
សូមឱ្យ , , ជាឫសគល់នៃសមីការ (7) (និងសមីការ (6)) ។ បន្ទាប់មក

.

ប្រៀបធៀបជាមួយសមីការ (៧) យើងរកឃើញ៖
;
;
.

ទ្រឹស្តីបទ Vieta សម្រាប់សមីការដឺក្រេទី 1

ដូចគ្នាដែរ អ្នកអាចរកឃើញទំនាក់ទំនងរវាងឫស , , ... , , សម្រាប់សមីការនៃសញ្ញាបត្រទី
.

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការសញ្ញាបត្រទី n មានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
;
;
;

.

ដើម្បីទទួលបានរូបមន្តទាំងនេះ យើងសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
.
បន្ទាប់មកយើងយកមេគុណនៅ , , , ... , ហើយប្រៀបធៀបពាក្យទំនេរ។

ឯកសារយោង៖
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាសម្រាប់វិស្វករ និងនិស្សិតនៃគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សា, Lan, 2009 ។
សង់​ទី​ម៉ែ​ត។ Nikolsky, M.K. Potapov et al ។ , ពិជគណិត: សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី 8 នៃស្ថាប័នអប់រំ, ទីក្រុងម៉ូស្គូ, ការអប់រំ, 2006 ។