ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏សំខាន់បំផុតនៃធរណីមាត្រ។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោមៈ ផ្ទៃដីនៃការ៉េដែលសង់នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណខាងស្តាំគឺស្មើនឹងផលបូកនៃតំបន់នៃការ៉េដែលសាងសង់នៅលើជើងរបស់វា។

ជាធម្មតាការរកឃើញនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះត្រូវបានសន្មតថាជាទស្សនវិទូក្រិកបុរាណនិងគណិតវិទូ Pythagoras (សតវត្សទី VI មុនគ។ ប៉ុន្តែការសិក្សាអំពីគ្រាប់ថ្នាំ Cuneiform របស់បាប៊ីឡូន និងសាត្រាស្លឹករឹតចិនបុរាណ (ច្បាប់ចម្លងនៃសាត្រាស្លឹករឹតចាស់ៗ) បានបង្ហាញថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះត្រូវបានគេស្គាល់ជាយូរមកហើយមុន Pythagoras ប្រហែលមួយសហស្សវត្សរ៍មុនគាត់។ គុណសម្បត្តិរបស់ Pythagoras គឺថាគាត់បានរកឃើញភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះ។

ប្រហែលជាការពិតដែលបានបញ្ជាក់នៅក្នុងទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរត្រូវបានបង្កើតឡើងជាលើកដំបូងសម្រាប់ត្រីកោណកែង isosceles ។ វាគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីមើល mosaic នៃត្រីកោណខ្មៅនិងពន្លឺដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ 1 ដើម្បីផ្ទៀងផ្ទាត់សុពលភាពនៃទ្រឹស្តីបទត្រីកោណ៖ ការ៉េដែលសង់នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុសមាន 4 ត្រីកោណ ហើយការ៉េដែលមានត្រីកោណ 2 ត្រូវបានសាងសង់នៅលើជើងនីមួយៗ។ ដើម្បីបញ្ជាក់ករណីទូទៅនៅក្នុងប្រទេសឥណ្ឌាបុរាណ ពួកគេមានវិធីពីរយ៉ាង៖ ត្រីកោណមុំខាងស្តាំចំនួនបួនដែលមានប្រវែងជើង ហើយត្រូវបានបង្ហាញជាការ៉េដែលមានជ្រុងម្ខាង (រូបភាពទី 2, ក និង 2, ខ) បន្ទាប់ពីនោះពួកគេបានសរសេរពាក្យមួយ “មើល!”។ ជាការពិត ការក្រឡេកមើលតួលេខទាំងនេះ យើងឃើញថានៅខាងឆ្វេងគឺជារូបដែលមិនមានត្រីកោណ ដែលមានការ៉េពីរដែលមានជ្រុង ហើយរៀងគ្នា តំបន់របស់វាស្មើនឹង និងនៅខាងស្តាំ - ការ៉េមួយជាមួយជ្រុង - តំបន់របស់វាគឺ ស្មើ។ ដូច្នេះហើយ ដែលជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អស់រយៈពេលពីរសហស្សវត្សរ៍ វាមិនមែនជាភស្តុតាងដែលមើលឃើញដែលត្រូវបានប្រើនោះទេ ប៉ុន្តែជាភ័ស្តុតាងស្មុគ្រស្មាញដែលបង្កើតឡើងដោយ Euclid ដែលត្រូវបានដាក់នៅក្នុងសៀវភៅដ៏ល្បីល្បាញរបស់គាត់ "Beginnings" (សូមមើល Euclid និង "Beginnings" របស់គាត់) Euclid បានបន្ទាបកម្ពស់ពី ចំនុចកំពូលនៃមុំខាងស្តាំទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស ហើយបានបង្ហាញថាការបន្តរបស់វាបែងចែកការ៉េដែលបានសាងសង់នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុសទៅជាចតុកោណកែងពីរ ដែលជាតំបន់ដែលស្មើនឹងតំបន់នៃការ៉េដែលត្រូវគ្នាដែលបានសាងសង់នៅលើជើង (រូបភាពទី 3)។ គំនូរ​ដែល​ប្រើ​ក្នុង​ភស្តុតាង​នៃ​ទ្រឹស្ដី​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​លេង​សើច​ថា "ខោ​ពីតាហ្គោរ"។ អស់រយៈពេលជាយូរមកហើយគាត់ត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជានិមិត្តសញ្ញាមួយនៃវិទ្យាសាស្ត្រគណិតវិទ្យា។

សព្វថ្ងៃនេះ ភ័ស្តុតាងផ្សេងៗគ្នាជាច្រើននៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រត្រូវបានគេស្គាល់។ មួយចំនួននៃពួកវាគឺផ្អែកលើភាគថាសនៃការ៉េដែលក្នុងនោះការ៉េដែលបានសាងសង់នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុសមានផ្នែកដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងភាគថាសនៃការ៉េដែលបានសាងសង់នៅលើជើង; ផ្សេងទៀត - នៅលើការបំពេញបន្ថែមទៅនឹងតួលេខស្មើគ្នា; ទីបី - នៅលើការពិតដែលថាកម្ពស់ធ្លាក់ចុះពីកំពូលនៃមុំខាងស្តាំទៅអ៊ីប៉ូតេនុសបែងចែកត្រីកោណខាងស្តាំទៅជាត្រីកោណពីរដែលស្រដៀងនឹងវា។

ទ្រឹស្តីបទ Pythagorean ផ្អែកលើការគណនាធរណីមាត្រភាគច្រើន។ សូម្បីតែនៅបាប៊ីឡូនបុរាណ វាត្រូវបានគេប្រើដើម្បីគណនាប្រវែងនៃកម្ពស់នៃត្រីកោណ isosceles ដោយប្រវែងនៃមូលដ្ឋាន និងចំហៀង ព្រួញនៃចម្រៀកដោយអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ និងប្រវែងនៃអង្កត់ធ្នូ និងបង្កើតទំនាក់ទំនង។ រវាងធាតុនៃពហុកោណធម្មតា។ ដោយមានជំនួយពីទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ ភាពទូទៅរបស់វាត្រូវបានបញ្ជាក់ ដែលធ្វើឱ្យវាអាចគណនាប្រវែងនៃផ្នែកដែលនៅទល់មុខមុំស្រួច ឬ obtuse៖

ពីការយល់ឃើញទូទៅនេះ វាកើតឡើងថា វត្តមាននៃមុំខាងស្តាំគឺមិនត្រឹមតែគ្រប់គ្រាន់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការបំពេញសមភាពផងដែរ។ រូបមន្ត (1) បង្កប់ន័យទំនាក់ទំនង រវាងប្រវែងអង្កត់ទ្រូង និងជ្រុងនៃប្រលេឡូក្រាម ដែលវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកប្រវែងមធ្យមនៃត្រីកោណពីប្រវែងនៃជ្រុងរបស់វា។

ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ រូបមន្តមួយក៏ត្រូវបានចេញដែលបង្ហាញពីតំបន់នៃត្រីកោណណាមួយក្នុងន័យនៃប្រវែងនៃជ្រុងរបស់វា (សូមមើលរូបមន្តរបស់ហេរ៉ុន)។ ជាការពិតណាស់ ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ក៏ត្រូវបានគេប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងផ្សេងៗផងដែរ។

ជំនួស​ឱ្យ​ការ​ការ៉េ​នៅ​ជ្រុង​នៃ​ត្រីកោណ​កែង អ្នក​អាច​បង្កើត​រាង​ណា​មួយ​ដែល​ស្រដៀង​គ្នា​ទៅ​នឹង​គ្នា (ត្រីកោណ​សមមូល រង្វង់​ពាក់កណ្តាល ។ល។)។ ក្នុងករណីនេះតំបន់នៃតួលេខដែលបានសាងសង់នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុសគឺស្មើនឹងផលបូកនៃតំបន់នៃតួលេខដែលបានសាងសង់នៅលើជើង។ ភាពទូទៅមួយទៀតត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរពីយន្តហោះទៅលំហ។ វាត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោមៈ ការេនៃប្រវែងអង្កត់ទ្រូងនៃរាងចតុកោណកែងប៉ារ៉ាឡែលគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃវិមាត្ររបស់វា (ប្រវែងទទឹងនិងកំពស់) ។ ទ្រឹស្តីបទស្រដៀងគ្នានេះក៏ជាការពិតផងដែរនៅក្នុងករណីពហុវិមាត្រ និងសូម្បីតែវិមាត្រគ្មានកំណត់។

ទ្រឹស្តីបទ Pythagorean មាននៅក្នុងធរណីមាត្រ Euclidean ប៉ុណ្ណោះ។ វាមិនកើតឡើងនៅក្នុងធរណីមាត្រ Lobachevsky ឬនៅក្នុងធរណីមាត្រដែលមិនមែនជា Euclidean ផ្សេងទៀតទេ។ មិនមាន analogue នៃទ្រឹស្តីបទ Pythagorean នៅលើស្វ៊ែរនោះទេ។ meridians ពីរបង្កើតបានជាមុំ 90° ហើយអេក្វាទ័រចងត្រីកោណរាងស្វ៊ែរស្មើគ្នានៅលើស្វ៊ែរ ដែលទាំងបីជាមុំខាងស្តាំ។ សម្រាប់គាត់មិនដូចនៅលើយន្តហោះទេ។

ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ចម្ងាយរវាងចំណុច និងប្លង់កូអរដោនេត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

.

បន្ទាប់ពីទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរៀនត្រូវបានរកឃើញ សំណួរបានកើតឡើងអំពីរបៀបស្វែងរកចំនួនបីដងនៃចំនួនធម្មជាតិដែលអាចជាជ្រុងនៃត្រីកោណកែង (សូមមើលទ្រឹស្តីបទដ៏អស្ចារ្យរបស់ Fermat)។ ពួកគេត្រូវបានរកឃើញដោយ Pythagoreans ប៉ុន្តែវិធីសាស្រ្តទូទៅមួយចំនួនសម្រាប់ការស្វែងរកចំនួនបីដងត្រូវបានគេស្គាល់សូម្បីតែចំពោះជនជាតិបាប៊ីឡូន។ គ្រាប់មួយក្នុងចំនោមគ្រាប់ cuneiform មាន 15 គ្រាប់បី។ ក្នុងចំនោមពួកគេមានបីដង ដែលរួមមានចំនួនច្រើន ដែលមិនអាចមានសំណួរក្នុងការស្វែងរកពួកវាដោយការជ្រើសរើស។

HIPPOCRATE នរក

រន្ធ Hippocratic គឺជាតួលេខដែលចងដោយធ្នូនៃរង្វង់ពីរ ហើយលើសពីនេះទៅទៀត ដោយប្រើកាំ និងប្រវែងនៃអង្កត់ធ្នូទូទៅនៃរង្វង់ទាំងនេះ ដោយប្រើត្រីវិស័យ និងបន្ទាត់ អ្នកអាចសង់ការ៉េដែលមានទំហំស្មើគ្នា។

ពីការធ្វើឱ្យទូទៅនៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រទៅពាក់កណ្តាលរង្វង់ វាកើតឡើងថាផលបូកនៃតំបន់នៃរន្ធពណ៌ផ្កាឈូកដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពនៅខាងឆ្វេងគឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃត្រីកោណពណ៌ខៀវ។ ដូច្នេះហើយ ប្រសិនបើយើងយកត្រីកោណកែងអ៊ីសូសេល នោះយើងទទួលបានរន្ធពីរ ផ្ទៃនៃឆ្នេរដែលនឹងស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផ្ទៃត្រីកោណ។ ការព្យាយាមដោះស្រាយបញ្ហានៃការបំបែករង្វង់មួយ (សូមមើលបញ្ហាបុរាណនៃវត្ថុបុរាណ) គណិតវិទូក្រិកបុរាណ Hippocrates (សតវត្សទី 5 មុនគ.ស) បានរកឃើញរន្ធជាច្រើនទៀត ដែលផ្នែកទាំងនោះត្រូវបានបង្ហាញជាផ្នែកនៃតួលេខ rectilinear ។

បញ្ជីពេញលេញនៃប្រហោង hippomarginal ត្រូវបានទទួលតែនៅក្នុងសតវត្សទី 19-20 ប៉ុណ្ណោះ។ តាមរយៈការប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តី Galois ។

សក្ដានុពលសម្រាប់ការច្នៃប្រឌិតជាធម្មតាត្រូវបានកំណត់គុណលក្ខណៈមនុស្សជាតិ ដោយបន្សល់ទុកនូវការវិភាគតាមបែបវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ វិធីសាស្រ្តជាក់ស្តែង និងភាសាស្ងួតនៃរូបមន្ត និងលេខ។ គណិតវិទ្យាមិនអាចចាត់ថ្នាក់ជាមុខវិជ្ជាមនុស្សសាស្ត្របានទេ។ ប៉ុន្តែដោយគ្មានភាពច្នៃប្រឌិតនៅក្នុង "មហាក្សត្រីនៃវិទ្យាសាស្ត្រទាំងអស់" អ្នកនឹងមិនទៅឆ្ងាយទេ - មនុស្សបានដឹងអំពីរឿងនេះជាយូរមកហើយ។ ឧទាហរណ៍ចាប់តាំងពីសម័យ Pythagoras ។

ជាអកុសល សៀវភៅសិក្សារបស់សាលាជាធម្មតាមិនពន្យល់ថានៅក្នុងគណិតវិទ្យាវាមានសារៈសំខាន់មិនត្រឹមតែទ្រឹស្តីបទ អ័ក្ស និងរូបមន្តប៉ុណ្ណោះទេ។ វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការយល់ដឹង និងមានអារម្មណ៍ថាគោលការណ៍គ្រឹះរបស់វា។ ហើយក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ សូមព្យាយាមដោះលែងចិត្តរបស់អ្នកពីភាពច្របូកច្របល់ និងសេចក្តីពិតបឋម - មានតែនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌបែបនេះទេ ដែលការរកឃើញដ៏អស្ចារ្យទាំងអស់បានកើតមក។

ការ​រក​ឃើញ​បែប​នេះ​រួម​បញ្ចូល​វត្ថុ​ដែល​យើង​ស្គាល់​សព្វ​ថ្ងៃ​ថា​ជា​ទ្រឹស្ដី​ពីតាហ្គោរ។ ដោយមានជំនួយរបស់វា យើងនឹងព្យាយាមបង្ហាញថា គណិតវិទ្យាមិនត្រឹមតែអាចទេ ប៉ុន្តែគួរតែរីករាយ។ ហើយថាការផ្សងព្រេងនេះគឺសមរម្យមិនត្រឹមតែសម្រាប់ nerds នៅក្នុងវ៉ែនតាក្រាស់, ប៉ុន្តែសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នាដែលមានចិត្តរឹងមាំនិងរឹងមាំនៅក្នុងស្មារតី។

ពីប្រវត្តិនៃបញ្ហា

និយាយយ៉ាងតឹងរ៉ឹង ទោះបីជាទ្រឹស្តីបទត្រូវបានគេហៅថា "ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ៉ា" ក៏ដោយ ក៏ Pythagoras ខ្លួនឯងក៏មិនបានរកឃើញវាដែរ។ ត្រីកោណកែង និងលក្ខណៈសម្បត្តិពិសេសរបស់វាត្រូវបានសិក្សាជាយូរមកហើយ។ មានទស្សនៈពីរចំណុចលើបញ្ហានេះ។ យោងតាមកំណែមួយ Pythagoras គឺជាមនុស្សដំបូងគេដែលស្វែងរកភស្តុតាងពេញលេញនៃទ្រឹស្តីបទ។ យោងទៅតាមមួយផ្សេងទៀត ភស្តុតាងមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ្នកនិពន្ធ Pythagoras ទេ។

ថ្ងៃ​នេះ​អ្នក​មិន​អាច​ពិនិត្យ​មើល​អ្នក​ណា​ត្រូវ និង​អ្នក​ណា​ខុស​ទៀត​ទេ។ គេគ្រាន់តែដឹងថា ភស្តុតាងនៃ Pythagoras ប្រសិនបើវាធ្លាប់មាន គឺមិននៅមានជីវិត។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានការផ្ដល់យោបល់ថា ភស្តុតាងដ៏ល្បីល្បាញពី Euclid's Elements អាចជាកម្មសិទ្ធិរបស់ Pythagoras ហើយ Euclid បានកត់ត្រាវាតែប៉ុណ្ណោះ។

វាត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរនាពេលបច្ចុប្បន្ននេះថាបញ្ហាអំពីត្រីកោណមុំខាងស្តាំត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងប្រភពអេហ្ស៊ីបពីសម័យរបស់ស្តេចផារ៉ោនអាមេនហេតទី 1 នៅលើបន្ទះដីឥដ្ឋបាប៊ីឡូនពីរជ្ជកាលរបស់ស្តេចហាំមូរ៉ាប៊ីនៅក្នុងសន្ធិសញ្ញាឥណ្ឌាបុរាណ Sulva Sutra និងការងារចិនបុរាណ Zhou ។ -ប៊ី សួនជីន។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរបានកាន់កាប់គំនិតរបស់គណិតវិទូតាំងពីបុរាណកាល។ ប្រហែល ៣៦៧ បំណែកនៃភ័ស្តុតាងផ្សេងៗដែលមានសព្វថ្ងៃនេះបម្រើជាការបញ្ជាក់។ គ្មានទ្រឹស្តីបទផ្សេងទៀតអាចប្រកួតប្រជែងជាមួយវាក្នុងន័យនេះទេ។ អ្នកនិពន្ធភស្តុតាងសំខាន់ៗរួមមាន Leonardo da Vinci និងប្រធានាធិបតីទី 20 នៃសហរដ្ឋអាមេរិក James Garfield ។ ទាំងអស់នេះនិយាយអំពីសារៈសំខាន់ខ្លាំងនៃទ្រឹស្តីបទនេះសម្រាប់គណិតវិទ្យា៖ ទ្រឹស្តីបទនៃធរណីមាត្រភាគច្រើនបានមកពីវា ឬតាមមធ្យោបាយមួយ ឬមធ្យោបាយផ្សេងទៀតដែលភ្ជាប់ជាមួយវា។

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ

សៀវភៅសិក្សារបស់សាលាភាគច្រើនផ្តល់ភស្តុតាងពិជគណិត។ ប៉ុន្តែខ្លឹមសារនៃទ្រឹស្តីបទគឺស្ថិតនៅក្នុងធរណីមាត្រ ដូច្នេះដំបូង ចូរយើងពិចារណាអំពីភស្តុតាងទាំងនោះនៃទ្រឹស្តីបទដ៏ល្បីល្បាញដែលផ្អែកលើវិទ្យាសាស្ត្រនេះ។

ភស្តុតាង ១

សម្រាប់ភ័ស្តុតាងដ៏សាមញ្ញបំផុតនៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រសម្រាប់ត្រីកោណកែង អ្នកត្រូវកំណត់លក្ខខណ្ឌដ៏ល្អ៖ អនុញ្ញាតឱ្យត្រីកោណមិនត្រឹមតែជាមុំខាងស្តាំប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានអ៊ីសូសែលផងដែរ។ មានហេតុផលដើម្បីជឿថាវាជាត្រីកោណដែលត្រូវបានពិចារណាដោយគណិតវិទូបុរាណ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ "ការេដែលសង់នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណកែងគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េដែលសង់នៅលើជើងរបស់វា"អាចត្រូវបានបង្ហាញដោយគំនូរខាងក្រោម៖

សូមក្រឡេកមើលត្រីកោណកែង ABC៖ នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុស AC អ្នកអាចសង់ការ៉េដែលមានត្រីកោណបួនស្មើនឹង ABC ដើម។ ហើយនៅលើជើង AB និង BC បានសាងសង់នៅលើការ៉េដែលនីមួយៗមានត្រីកោណស្រដៀងគ្នាពីរ។

ដោយវិធីនេះ គំនូរនេះបានបង្កើតមូលដ្ឋាននៃរឿងរ៉ាវ និងគំនូរជីវចលជាច្រើនដែលឧទ្ទិសដល់ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ។ ប្រហែលជាល្បីល្បាញបំផុត។ "ខោ Pythagorean គឺស្មើគ្នានៅគ្រប់ទិសទី":

ភស្តុតាង ២

វិធីសាស្រ្តនេះរួមបញ្ចូលគ្នានូវពិជគណិត និងធរណីមាត្រ ហើយអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាជាវ៉ារ្យ៉ង់នៃភស្តុតាងឥណ្ឌាបុរាណរបស់គណិតវិទូ Bhaskari ។

បង្កើតត្រីកោណកែងជាមួយជ្រុង a, b និង c(រូបទី 1) ។ បនា្ទាប់មកសង់ការ៉េពីរដែលមានជ្រុងស្មើនឹងផលបូកនៃប្រវែងនៃជើងទាំងពីរ - (a+b). នៅក្នុងការ៉េនីមួយៗ ធ្វើសំណង់ដូចក្នុងរូបភាពទី 2 និងទី 3 ។

ក្នុង​ការេ​ទី​មួយ បង្កើត​ត្រីកោណ​បួន​ដូច​គ្នា​ក្នុង​រូបភាព​ទី 1។ ជា​លទ្ធផល ការ​ការ៉េ​ពីរ​ត្រូវ​បាន​ទទួល៖ មួយ​មាន​ចំហៀង a ទីពីរ​ជាមួយ​ចំហៀង ខ.

ក្នុង​ការេ​ទី​ពីរ ត្រីកោណ​ស្រដៀង​គ្នា​ចំនួន​បួន​បាន​បង្កើត​ជា​ការ៉េ​ដែល​មាន​ជ្រុង​ស្មើ​នឹង​អ៊ីប៉ូតេនុស គ.

ផលបូកនៃផ្ទៃដីនៃការ៉េដែលបានសាងសង់ក្នុងរូបភាពទី 2 គឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃការ៉េដែលយើងសាងសង់ដោយចំហៀង c ក្នុងរូបទី 3 ។ នេះអាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់យ៉ាងងាយស្រួលដោយការគណនាតំបន់នៃការ៉េនៅក្នុងរូបភព។ 2 យោងតាមរូបមន្ត។ និងផ្ទៃនៃការ៉េចារឹកក្នុងរូបភាពទី 3. ដោយដកតំបន់នៃត្រីកោណកែងស្តាំចំនួនបួនដែលចារឹកក្នុងការ៉េពីផ្ទៃដីនៃការ៉េធំដែលមានជ្រុងម្ខាង។ (a+b).

ទម្លាក់ទាំងអស់នេះ យើងមាន៖ a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. ពង្រីកតង្កៀប ធ្វើការគណនាពិជគណិតចាំបាច់ទាំងអស់ ហើយទទួលបានវា។ a 2 + b 2 = a 2 + b 2. ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះតំបន់នៃសិលាចារឹកនៅក្នុង Fig.3 ។ ការ៉េក៏អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តប្រពៃណី S=c2. ទាំងនោះ។ a2+b2=c2អ្នក​បាន​បង្ហាញ​ពី​ទ្រឹស្ដី​ពីតាហ្គោរ។

ភស្តុតាង ៣

ភស្តុតាងឥណ្ឌាបុរាណដូចគ្នាត្រូវបានពិពណ៌នានៅក្នុងសតវត្សទី 12 នៅក្នុងសៀវភៅ "The Crown of Knowledge" ("Siddhanta Shiromani") ហើយជាអាគុយម៉ង់ចម្បងដែលអ្នកនិពន្ធប្រើបណ្តឹងឧទ្ធរណ៍ដែលនិយាយអំពីទេពកោសល្យគណិតវិទ្យានិងអំណាចនៃការសង្កេតរបស់សិស្សនិង អ្នកដើរតាម៖ "មើល!"

ប៉ុន្តែយើងនឹងវិភាគភស្តុតាងនេះឱ្យបានលម្អិតបន្ថែមទៀត៖

នៅខាងក្នុងការ៉េ បង្កើតត្រីកោណមុំខាងស្តាំចំនួនបួន ដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងគំនូរ។ ផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េធំដែលជាអ៊ីប៉ូតេនុសក៏ត្រូវបានសម្គាល់ ជាមួយ. ចូរហៅជើងនៃត្រីកោណ កនិង ខ. យោងតាមគំនូរផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េខាងក្នុងគឺ (a-b).

ប្រើរូបមន្តផ្ទៃការ៉េ S=c2ដើម្បីគណនាផ្ទៃដីនៃការ៉េខាងក្រៅ។ ហើយនៅពេលជាមួយគ្នាគណនាតម្លៃដូចគ្នាដោយបន្ថែមផ្ទៃដីនៃការ៉េខាងក្នុង និងផ្ទៃនៃត្រីកោណកែងបួន៖ (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

អ្នក​អាច​ប្រើ​ជម្រើស​ទាំងពីរ​ដើម្បី​គណនា​ផ្ទៃដី​នៃ​ការ៉េ​ដើម្បី​ប្រាកដថា​ពួកគេ​ផ្តល់​លទ្ធផល​ដូចគ្នា។ ហើយវាផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវសិទ្ធិក្នុងការសរសេរវា។ c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. ជាលទ្ធផលនៃដំណោះស្រាយអ្នកនឹងទទួលបានរូបមន្តនៃទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរ c2=a2+b2. ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ភស្តុតាង ៤

ភស្តុតាងចិនបុរាណដែលចង់ដឹងចង់ឃើញនេះត្រូវបានគេហៅថា "កៅអីកូនក្រមុំ" - ​​ដោយសារតែតួលេខដូចកៅអីដែលកើតឡើងពីសំណង់ទាំងអស់:

វាប្រើគំនូរដែលយើងបានឃើញរួចហើយនៅក្នុងរូបភាពទី 3 នៅក្នុងភស្តុតាងទីពីរ។ ហើយ​ជ្រុង​ខាង​ក្នុង​ដែល​មាន​ចំហៀង c ត្រូវ​បាន​គេ​សាងសង់​ដូច​គ្នា​នឹង​ភស្តុតាង​ឥណ្ឌា​បុរាណ​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឱ្យ​ខាង​លើ។

ប្រសិនបើអ្នកកាត់ចេញត្រីកោណមុំខាងស្តាំពណ៌បៃតងចំនួនពីរចេញពីគំនូរក្នុងរូបភាពទី 1 ផ្ទេរពួកវាទៅជ្រុងម្ខាងនៃការ៉េដោយផ្នែក C ហើយភ្ជាប់អ៊ីប៉ូតេនុសទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណលីឡាក់ អ្នកនឹងទទួលបានតួរលេខហៅថា "កូនក្រមុំ"។ កៅអី” (រូបភាពទី 2) ។ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់អ្នកអាចធ្វើដូចគ្នាជាមួយការ៉េក្រដាសនិងត្រីកោណ។ អ្នកនឹងឃើញថា "កៅអីកូនក្រមុំ" ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការ៉េពីរ: តូចមួយដែលមានចំហៀង ខនិងធំជាមួយចំហៀង ក.

សំណង់ទាំងនេះបានអនុញ្ញាតឱ្យគណិតវិទូចិនបុរាណ និងពួកយើងធ្វើតាមពួកគេ ឈានដល់ការសន្និដ្ឋាននោះ។ c2=a2+b2.

ភស្តុតាង ៥

នេះ​ជា​វិធី​មួយ​ទៀត​ដើម្បី​ស្វែង​រក​ដំណោះ​ស្រាយ​ចំពោះ​ទ្រឹស្ដី​ពីតាហ្គោរ ដែល​ផ្អែក​លើ​ធរណីមាត្រ។ វាត្រូវបានគេហៅថា Garfield Method ។

បង្កើតត្រីកោណកែង ABC. យើងត្រូវតែបញ្ជាក់ BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្តជើង ACនិងបង្កើតផ្នែកមួយ។ ស៊ីឌីដែលស្មើនឹងជើង AB. កាត់កែងទាប ADផ្នែកបន្ទាត់ ED. ចម្រៀក EDនិង ACគឺស្មើគ្នា។ ភ្ជាប់ចំណុច អ៊ីនិង អេក៏ដូចជា អ៊ីនិង ពីនិងទទួលបានគំនូរដូចរូបភាពខាងក្រោម៖

ដើម្បីបញ្ជាក់ប៉ម យើងងាកទៅរកវិធីសាស្រ្តដែលយើងបានសាកល្បងរួចហើយ៖ យើងរកឃើញផ្ទៃនៃតួលេខលទ្ធផលតាមពីរវិធី ហើយយកកន្សោមទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។

ស្វែងរកតំបន់នៃពហុកោណ គ្រែអាចត្រូវបានធ្វើដោយបន្ថែមតំបន់នៃត្រីកោណទាំងបីដែលបង្កើតវា។ និងមួយក្នុងចំណោមពួកគេ។ ERUមិនត្រឹមតែរាងចតុកោណប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងជា isosceles ទៀតផង។ យើង​ក៏​មិន​ភ្លេច​ដែរ។ AB=CD, AC=EDនិង BC=CE- វា​នឹង​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​យើង​សម្រួល​ដល់​ការ​ថត​និង​មិន​ផ្ទុក​លើស​ទម្ងន់​វា​។ ដូច្នេះ S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

ទន្ទឹមនឹងនេះដែរវាច្បាស់ណាស់។ គ្រែគឺជា trapezoid ។ ដូច្នេះយើងគណនាផ្ទៃដីរបស់វាដោយប្រើរូបមន្ត៖ SABED=(DE+AB)*1/2AD. សម្រាប់ការគណនារបស់យើង វាកាន់តែងាយស្រួល និងច្បាស់ជាងក្នុងការតំណាងឱ្យផ្នែក ADជាផលបូកនៃផ្នែក ACនិង ស៊ីឌី.

ចូរយើងសរសេរវិធីទាំងពីរដើម្បីគណនាផ្ទៃនៃតួលេខដោយដាក់សញ្ញាស្មើគ្នារវាងពួកវា៖ AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). យើងប្រើសមភាពនៃផ្នែកដែលគេស្គាល់រួចមកហើយ ហើយបានពិពណ៌នាខាងលើ ដើម្បីសម្រួលផ្នែកខាងស្តាំនៃសញ្ញាណៈ AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) ២. ហើយឥឡូវនេះ យើងបើកតង្កៀប និងបំប្លែងសមភាព៖ AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. ដោយបានបញ្ចប់ការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ យើងទទួលបានអ្វីដែលយើងត្រូវការ៖ BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. យើងបានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទ។

ជាការពិតណាស់ បញ្ជីភស្តុតាងនេះគឺនៅឆ្ងាយពីពេញលេញ។ ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ក៏អាចបញ្ជាក់បានដោយប្រើវ៉ិចទ័រ ចំនួនកុំផ្លិច សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ស្តេរ៉េអូមេទ្រី។ល។ ហើយសូម្បីតែអ្នករូបវិទ្យា៖ ប្រសិនបើឧទាហរណ៍ អង្គធាតុរាវត្រូវបានចាក់ចូលទៅក្នុងបរិមាណការ៉េ និងរាងត្រីកោណស្រដៀងនឹងអ្វីដែលបានបង្ហាញក្នុងគំនូរ។ តាមរយៈការចាក់រាវ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបញ្ជាក់ពីសមភាពនៃតំបន់ និងទ្រឹស្តីបទខ្លួនវាជាលទ្ធផល។

ពាក្យពីរបីអំពី Pythagorean triplets

បញ្ហានេះមានតិចតួច ឬមិនបានសិក្សានៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។ ទន្ទឹមនឹងនេះដែរវាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ខ្លាំងណាស់ហើយមានសារៈសំខាន់យ៉ាងខ្លាំងនៅក្នុងធរណីមាត្រ។ Pythagorean triples ត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យាជាច្រើន។ គំនិតរបស់ពួកវាអាចមានប្រយោជន៍ចំពោះអ្នកក្នុងការអប់រំបន្ថែម។

ដូច្នេះតើអ្វីទៅជាបីដង Pythagorean? ដូច្នេះគេហៅថាលេខធម្មជាតិ ប្រមូលជាបី ផលបូកនៃការេនៃពីរដែលស្មើនឹងលេខទីបីការ៉េ។

Pythagorean បីដងអាចជាៈ

• primitive (លេខទាំងបីគឺសំខាន់ទាក់ទងគ្នា);
• non-primitive (ប្រសិនបើលេខនីមួយៗនៃ triple ត្រូវបានគុណនឹងចំនួនដូចគ្នា នោះអ្នកទទួលបាន triple ថ្មីដែលមិនមែនជា primitive)។

សូម្បីតែមុនសម័យរបស់យើងក៏ដោយ ប្រជាជនអេស៊ីបបុរាណបានចាប់អារម្មណ៍យ៉ាងខ្លាំងចំពោះចំនួនបីដងពីតាហ្ក័រ៖ នៅក្នុងកិច្ចការដែលគេចាត់ទុកជាត្រីកោណមុំខាងស្តាំដែលមានជ្រុងនៃ 3.4 និង 5 ឯកតា។ ដោយវិធីនេះ ត្រីកោណណាមួយដែលជ្រុងរបស់វាស្មើនឹងលេខពី Pythagorean បីគឺតាមលំនាំដើមចតុកោណ។

ឧទាហរណ៍នៃព្យញ្ជនៈបីដង៖ (៣, ៤, ៥), (៦, ៨, ១០), (៥, ១២, ១៣), (៩, ១២, ១៥), (៨, ១៥, ១៧), (១២, ១៦, ២០) ), (១៥, ២០, ២៥), (៧, ២៤, ២៥), (១០, ២៤, ២៦), (២០, ២១, ២៩), (១៨, ២៤, ៣០), (១០, ៣០, ៣៤ ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) ជាដើម។

ការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃទ្រឹស្តីបទ

ទ្រឹស្តីបទ Pythagorean រកឃើញការអនុវត្តមិនត្រឹមតែនៅក្នុងគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មាននៅក្នុងស្ថាបត្យកម្ម និងសំណង់ តារាសាស្ត្រ និងសូម្បីតែអក្សរសិល្ប៍ផងដែរ។

ទីមួយអំពីការសាងសង់៖ ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងវាក្នុងបញ្ហានៃកម្រិតផ្សេងៗនៃភាពស្មុគស្មាញ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមក្រឡេកមើលបង្អួចរ៉ូម៉ាំង៖

ចូរសម្គាល់ទទឹងនៃបង្អួចជា ខបន្ទាប់មកកាំនៃរង្វង់ធំអាចត្រូវបានតំណាងថាជា រនិងបញ្ចេញមតិតាមរយៈ b: R = b/2. កាំនៃរង្វង់តូចជាងនេះក៏អាចត្រូវបានបង្ហាញជា b: r=b/4. នៅក្នុងបញ្ហានេះយើងចាប់អារម្មណ៍លើកាំនៃរង្វង់ខាងក្នុងនៃបង្អួច (សូមហៅវា។ ទំ).

ទ្រឹស្តីបទ Pythagorean ងាយស្រួលគណនា រ. ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើត្រីកោណមុំខាងស្តាំដែលត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយបន្ទាត់ចំនុចនៅក្នុងរូបភាព។ អ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណមានកាំពីរ៖ b/4+ ទំ. ជើងមួយគឺជាកាំ ខ/៤, មួយផ្សេងទៀត b/2-p. ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ យើងសរសេរ៖ (b/4+p)2 =(b/4)2 +(b/2-p)2. បន្ទាប់យើងបើកតង្កៀបនិងទទួលបាន b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. ចូរយើងបំប្លែងកន្សោមនេះទៅជា bp/2=b 2/4-bp. ហើយបន្ទាប់មកយើងបែងចែកពាក្យទាំងអស់ទៅជា ខយើងផ្តល់ឱ្យស្រដៀងគ្នាដើម្បីទទួលបាន 3/2*p=b/4. ហើយនៅទីបញ្ចប់យើងរកឃើញវា។ p=b/6- ដែលជាអ្វីដែលយើងត្រូវការ។

ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ អ្នកអាចគណនាប្រវែងនៃក្បូនសម្រាប់ដំបូល។ កំណត់ថាតើប៉មចល័តខ្ពស់ប៉ុណ្ណាដែលត្រូវការសម្រាប់សញ្ញាដើម្បីឈានដល់ការតាំងទីលំនៅជាក់លាក់មួយ។ ហើយថែមទាំងដំឡើងដើមឈើណូអែលជាលំដាប់នៅក្នុងការ៉េទីក្រុង។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញទ្រឹស្តីបទនេះមិនត្រឹមតែនៅលើទំព័រនៃសៀវភៅសិក្សាប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែវាច្រើនតែមានប្រយោជន៍ក្នុងជីវិតពិត។

បើនិយាយពីអក្សរសិល្ប៍វិញ ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរបានបំផុសគំនិតអ្នកនិពន្ធតាំងពីបុរាណកាលមក ហើយបន្តធ្វើរហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះ។ ជាឧទាហរណ៍ អ្នកនិពន្ធជនជាតិអាឡឺម៉ង់ Adelbert von Chamisso សតវត្សទីដប់ប្រាំបួនត្រូវបានបំផុសគំនិតដោយនាងឱ្យសរសេរ sonnet មួយ:

ពន្លឺនៃសេចក្តីពិតនឹងមិនរលាយបាត់ក្នុងពេលឆាប់ៗនេះទេ
ប៉ុន្តែ​ដោយ​មាន​ពន្លឺ​ចែងចាំង វា​ទំនង​ជា​មិន​រលាយ​ឡើយ។
ហើយដូចជារាប់ពាន់ឆ្នាំមុន
នឹងមិនបង្កឱ្យមានការសង្ស័យនិងជម្លោះ។

ឆ្លាតបំផុតនៅពេលវាប៉ះភ្នែក
ពន្លឺនៃសេចក្តីពិត សូមអរគុណព្រះ;
និងគោមួយរយក្បាល ចាក់ កុហក -
អំណោយត្រឡប់មកវិញនៃសំណាង Pythagoras ។

តាំង​ពី​ពេល​នោះ​មក ហ្វូង​គោ​ក៏​គ្រហឹម​យ៉ាង​ខ្លាំង៖
ដាស់តឿនកុលសម្ព័ន្ធគោជារៀងរហូត
ព្រឹត្តិការណ៍ដែលបានលើកឡើងនៅទីនេះ។

ពួកគេគិតថាវាដល់ពេលហើយ។
ហើយម្តងទៀតពួកគេនឹងត្រូវបូជា
ទ្រឹស្តីបទដ៏អស្ចារ្យមួយចំនួន។

(បកប្រែដោយ Viktor Toporov)

ហើយនៅក្នុងសតវត្សទី 20 អ្នកនិពន្ធសូវៀត Yevgeny Veltisov នៅក្នុងសៀវភៅរបស់គាត់ "ដំណើរផ្សងព្រេងនៃអេឡិចត្រូនិច" បានលះបង់ជំពូកទាំងមូលចំពោះភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ។ ហើយពាក់កណ្តាលជំពូកនៃរឿងអំពីពិភពលោកពីរវិមាត្រដែលអាចកើតមាន ប្រសិនបើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ក្លាយជាច្បាប់មូលដ្ឋាន និងសូម្បីតែសាសនាសម្រាប់ពិភពលោកតែមួយ។ វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការរស់នៅក្នុងវា ប៉ុន្តែក៏គួរឱ្យធុញជាងនេះផងដែរ៖ ឧទាហរណ៍ គ្មាននរណាម្នាក់នៅទីនោះយល់ពីអត្ថន័យនៃពាក្យ "ជុំ" និង " fluffy" នោះទេ។

ហើយនៅក្នុងសៀវភៅ "ដំណើរផ្សងព្រេងនៃអេឡិចត្រូនិច" អ្នកនិពន្ធតាមរយៈមាត់របស់គ្រូគណិតវិទ្យា តា រតនា និយាយថា "រឿងសំខាន់ក្នុងគណិតវិទ្យាគឺចលនានៃការគិត គំនិតថ្មីៗ"។ វាគឺជាការហោះហើរប្រកបដោយការច្នៃប្រឌិតដែលបង្កើតទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ - វាមិនមែនសម្រាប់គ្មានអ្វីដែលវាមានភស្តុតាងចម្រុះជាច្រើន។ វាជួយឱ្យលើសពីធម្មតា ហើយមើលអ្វីដែលធ្លាប់ស្គាល់នៅក្នុងវិធីថ្មីមួយ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

អត្ថបទនេះត្រូវបានបង្កើតឡើងដើម្បីឱ្យអ្នកអាចមើលហួសពីកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលាក្នុងគណិតវិទ្យា ហើយរៀនមិនត្រឹមតែភស្តុតាងទាំងនោះនៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា "ធរណីមាត្រ 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) និង "ធរណីមាត្រ 7-11 ” (A.V. Pogorelov) ប៉ុន្តែក៏មានវិធីចង់ដឹងចង់ឃើញផ្សេងទៀតដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទដ៏ល្បីល្បាញផងដែរ។ ហើយ​ក៏​មើល​ឧទាហរណ៍​អំពី​របៀប​ដែល​ទ្រឹស្តីបទ Pythagorean អាច​ត្រូវ​បាន​អនុវត្ត​ក្នុង​ជីវិត​ប្រចាំថ្ងៃ។

ទីមួយ ព័ត៌មាននេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទាមទារពិន្ទុខ្ពស់ជាងនៅក្នុងថ្នាក់គណិតវិទ្យា - ព័ត៌មានអំពីប្រធានបទពីប្រភពបន្ថែមគឺតែងតែត្រូវបានគេវាយតម្លៃខ្ពស់។

ទីពីរ យើង​ចង់​ជួយ​អ្នក​ឱ្យ​មាន​អារម្មណ៍​ថា​តើ​គណិតវិទ្យា​គួរ​ឱ្យ​ចាប់​អារម្មណ៍​ប៉ុណ្ណា។ ដើម្បីបញ្ចុះបញ្ចូលដោយឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ថាតែងតែមានកន្លែងសម្រាប់ការច្នៃប្រឌិតនៅក្នុងវា។ យើងសង្ឃឹមថាទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ និងអត្ថបទនេះនឹងជម្រុញអ្នកឱ្យធ្វើការស្រាវជ្រាវផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក និងការរកឃើញដ៏គួរឱ្យរំភើបនៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀត។

ប្រាប់យើងនៅក្នុងមតិយោបល់ ប្រសិនបើអ្នករកឃើញភស្តុតាងដែលបង្ហាញក្នុងអត្ថបទគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍។ តើអ្នកយល់ថាព័ត៌មាននេះមានប្រយោជន៍ក្នុងការសិក្សារបស់អ្នកទេ? អនុញ្ញាតឱ្យយើងដឹងពីអ្វីដែលអ្នកគិតអំពីទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ និងអត្ថបទនេះ - យើងនឹងរីករាយក្នុងការពិភាក្សារឿងទាំងអស់នេះជាមួយអ្នក។

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

ការវាស់វែងផ្ទៃនៃរូបធរណីមាត្រ។

§ 58. ទ្រឹស្ដីព្យញ្ជនៈ ១.

__________
1 Pythagoras គឺជាអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រជនជាតិក្រិចដែលរស់នៅប្រហែល 2500 ឆ្នាំមុន (564-473 មុនគ។
_________

ចូរឱ្យត្រីកោណកែងមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យភាគីណា ក, ខនិង ជាមួយ(dev. 267) ។

តោះសង់ការ៉េនៅសងខាង។ តំបន់នៃការ៉េទាំងនេះគឺរៀងៗខ្លួន ក 2 , ខ 2 និង ជាមួយ២. ចូរយើងបញ្ជាក់ ជាមួយ 2 = ក 2 + ខ 2 .

ចូរយើងសង់ការ៉េពីរ MKOR និង M"K"O"R" (រូបភាព 268, 269) ដោយយកផ្នែកម្ខាងនៃផ្នែកនីមួយៗដែលស្មើនឹងផលបូកនៃជើងនៃត្រីកោណ ABC មុំខាងស្តាំ។

ដោយបានបញ្ចប់ការសាងសង់ដែលបង្ហាញក្នុងគំនូរ 268 និង 269 នៅក្នុងការ៉េទាំងនេះ យើងនឹងឃើញថាការ៉េ MKOR ត្រូវបានបែងចែកជាពីរការ៉េដែលមានតំបន់។ ក 2 និង ខ 2 និង 4 ត្រីកោណកែងស្មើគ្នា ដែលនីមួយៗស្មើនឹង ត្រីកោណខាងស្តាំ ABC ។ ការេ M"K"O"R" ត្រូវ​បាន​បែង​ចែក​ជា​ចតុកោណ​មួយ (វា​ត្រូវ​បាន​ដាក់​ស្រមោល​ក្នុង​គំនូរ 269) និង​ត្រីកោណ​កែង​បួន​ដែល​នីមួយៗ​ក៏​ស្មើ​នឹង​ត្រីកោណ ABC ដែរ។ រាងចតុកោណកែងជារាងការ៉េ ដោយសារជ្រុងរបស់វាស្មើគ្នា (នីមួយៗស្មើនឹងអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណ ABC ពោលគឺឧ។ ជាមួយ) និងមុំត្រឹមត្រូវ។ / 1 + / 2 = 90°, មកពីណា / 3 = 90 °) ។

ដូច្នេះផលបូកនៃផ្ទៃដីនៃការ៉េដែលសាងសង់នៅលើជើង (ក្នុងគំនូរ 268 ការេទាំងនេះត្រូវបានដាក់ស្រមោល) គឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃការ៉េ MKOR ដោយគ្មានផលបូកនៃតំបន់នៃត្រីកោណស្មើគ្នាចំនួនបួន និងផ្ទៃដីនៃ ការ៉េ​ដែល​សង់​លើ​អ៊ីប៉ូតេនុស (ក្នុង​គំនូរ ២៦៩ ការ​ការ៉េ​នេះ​ក៏​មាន​ស្រមោល​ដែរ) គឺ​ស្មើ​នឹង​ផ្ទៃ​ការ៉េ M "K" O "R" ស្មើ​នឹង​ការ៉េ MKOR ដោយ​មិន​មាន​ផលបូក​នៃ​ផ្ទៃ​នៃ បួននៃត្រីកោណដូចគ្នា។ ដូច្នេះផ្ទៃដីនៃការ៉េដែលសាងសង់នៅលើអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណខាងស្តាំគឺស្មើនឹងផលបូកនៃតំបន់នៃការ៉េដែលបានសាងសង់នៅលើជើង។

យើងទទួលបានរូបមន្ត ជាមួយ 2 = ក 2 + ខ 2, កន្លែងណា ជាមួយ- អ៊ីប៉ូតេនុស កនិង ខ- ជើងនៃត្រីកោណកែង។

ទ្រឹស្តីបទ Pythagorean អាចត្រូវបានសង្ខេបដូចខាងក្រោម:

ការេនៃអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណខាងស្តាំគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃជើង។

ពីរូបមន្ត ជាមួយ 2 = ក 2 + ខ 2 អ្នកអាចទទួលបានរូបមន្តដូចខាងក្រោម:

ក 2 = ជាមួយ 2 - ខ 2 ;
ខ 2 = ជាមួយ 2 - ក 2 .

រូបមន្តទាំងនេះអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកផ្នែកដែលមិនស្គាល់នៃត្រីកោណកែងដែលផ្តល់ឱ្យភាគីទាំងពីររបស់វា។
ឧទាហរណ៍:

ក) ប្រសិនបើជើងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ក= 4 សង់ទីម៉ែត្រ, ខ\u003d 3 សង់ទីម៉ែត្រ បន្ទាប់មកអ្នកអាចរកឃើញអ៊ីប៉ូតេនុស ( ជាមួយ):
ជាមួយ 2 = ក 2 + ខ 2, i.e. ជាមួយ 2 = 4 2 + 3 2 ; ជាមួយ 2 = 25, មកពីណា ជាមួយ= √25 =5 (សង់ទីម៉ែត្រ);

ខ) ប្រសិនបើអ៊ីប៉ូតេនុសត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ជាមួយ= 17 សង់ទីម៉ែត្រនិងជើង ក= 8 សង់ទីម៉ែត្របន្ទាប់មកអ្នកអាចរកឃើញជើងមួយទៀត ( ខ):

ខ 2 = ជាមួយ 2 - ក 2, i.e. ខ 2 = 17 2 - 8 2 ; ខ 2 = 225, មកពីណា ខ= √225 = 15 (សង់ទីម៉ែត្រ) ។

លទ្ធផល៖ ប្រសិនបើនៅក្នុងត្រីកោណកែងពីរ ABC និង A 1 B 1 C 1 អ៊ីប៉ូតេនុស ជាមួយនិង ជាមួយ 1 គឺស្មើនិងជើង ខត្រីកោណ ABC ធំជាងជើង ខ 1 ត្រីកោណ A 1 B 1 C 1,
បន្ទាប់មកជើង កត្រីកោណ ABC តិចជាងជើង ក 1 ត្រីកោណ A 1 B 1 C 1 ។ (ធ្វើគំនូរបង្ហាញពីផលវិបាកនេះ។ )

ជាការពិតណាស់ ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ យើងទទួលបាន៖

ក 2 = ជាមួយ 2 - ខ 2 ,
ក 1 2 = ជាមួយ 1 2 - ខ 1 2

នៅក្នុងរូបមន្តដែលបានសរសេរ លេខ minuends គឺស្មើគ្នា ហើយ subtrahend ក្នុងរូបមន្តទីមួយគឺធំជាង subtrahend ក្នុងរូបមន្តទីពីរ ដូច្នេះភាពខុសគ្នាទីមួយគឺតិចជាងទីពីរ។
i.e. ក 2 < ក១២. កន្លែងណា ក< ក 1 .

លំហាត់។

1. ដោយប្រើគំនូរលេខ 270 បង្ហាញទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរសម្រាប់ត្រីកោណកែង isosceles ។

2. ជើងម្ខាងនៃត្រីកោណកែងគឺ 12 សង់ទីម៉ែត្រ មួយទៀតគឺ 5 សង់ទីម៉ែត្រ។ គណនាប្រវែងនៃអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណនេះ។

3. អ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណកែងគឺ 10 សង់ទីម៉ែត្រ ជើងម្ខាងគឺ 8 សង់ទីម៉ែត្រ។ គណនាប្រវែងជើងម្ខាងទៀតនៃត្រីកោណនេះ។

4. អ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណខាងស្តាំគឺ 37 សង់ទីម៉ែត្រ ជើងមួយរបស់វាគឺ 35 សង់ទីម៉ែត្រ។ គណនាប្រវែងជើងផ្សេងទៀតនៃត្រីកោណនេះ។

5. សង់ការ៉េពីរដងនៃផ្ទៃដីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

6. សាងសង់ការ៉េមួយពីរដងនៃផ្ទៃដីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ការណែនាំ។គូរអង្កត់ទ្រូងក្នុងការ៉េនេះ។ ការ៉េដែលបានសាងសង់នៅលើពាក់កណ្តាលនៃអង្កត់ទ្រូងទាំងនេះនឹងជារបស់ដែលចង់បាន។

7. ជើងនៃត្រីកោណកែងគឺ 12 សង់ទីម៉ែត្រ និង 15 សង់ទីម៉ែត្រ។ គណនាប្រវែងនៃអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណនេះជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវ 0.1 សង់ទីម៉ែត្រ។

8. អ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណកែងគឺ 20 សង់ទីម៉ែត្រ ជើងម្ខាងរបស់វាគឺ 15 សង់ទីម៉ែត្រ។ គណនាប្រវែងជើងម្ខាងទៀតទៅជិតបំផុត 0.1 សង់ទីម៉ែត្រ។

9. តើជណ្ដើរគួរមានប្រវែងប៉ុន្មានទើបអាចភ្ជាប់ទៅនឹងបង្អួចដែលមានកម្ពស់ 6 ម៉ែត្រ ប្រសិនបើចុងខាងក្រោមនៃជណ្ដើរគួរស្ថិតនៅចម្ងាយ 2.5 ម៉ែត្រពីអាគារ? (ខូច។ ២៧១។ )

សូមប្រាកដថា ត្រីកោណដែលអ្នកត្រូវបានផ្តល់ឱ្យគឺជាត្រីកោណកែង ព្រោះថាទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរៀនអនុវត្តតែចំពោះត្រីកោណកែងប៉ុណ្ណោះ។ នៅក្នុងត្រីកោណកែង មុំមួយក្នុងចំណោមមុំទាំងបីគឺតែងតែ 90 ដឺក្រេ។

• មុំខាងស្តាំនៅក្នុងត្រីកោណកែងត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយការ៉េជំនួសឱ្យខ្សែកោងដែលតំណាងឱ្យមុំមិនស្តាំ។

សម្គាល់ជ្រុងនៃត្រីកោណ។កំណត់ជើងជា “a” និង “b” (ជើងគឺជាជ្រុងដែលប្រសព្វគ្នានៅមុំខាងស្តាំ) និងអ៊ីប៉ូតេនុសជា “c” (អ៊ីប៉ូតេនុសគឺជាផ្នែកធំបំផុតនៃត្រីកោណខាងស្តាំដែលនៅទល់មុខមុំខាងស្តាំ)។

កំណត់ថាតើជ្រុងណាមួយនៃត្រីកោណដែលអ្នកចង់ស្វែងរក។ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកផ្នែកណាមួយនៃត្រីកោណកែងមួយ (ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរត្រូវបានគេស្គាល់) ។ កំណត់ថាតើភាគីណាមួយ (a, b, c) ត្រូវការស្វែងរក។

• ឧទាហរណ៍ បានផ្តល់អ៊ីប៉ូតេនុសស្មើនឹង 5 ហើយបានឱ្យជើងស្មើ 3 ក្នុងករណីនេះ អ្នកត្រូវស្វែងរកជើងទីពីរ។ យើងនឹងត្រលប់ទៅឧទាហរណ៍នេះនៅពេលក្រោយ។
• ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរមិនស្គាល់នោះ ចាំបាច់ត្រូវស្វែងរកប្រវែងនៃភាគីម្ខាងទៀតដែលមិនស្គាល់ ដើម្បីអាចអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរបាន។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន សូមប្រើអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន (ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបានផ្តល់តម្លៃនៃមុំមិនស្តាំមួយ)។

ជំនួសក្នុងរូបមន្ត a 2 + b 2 \u003d c 2 តម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យអ្នក (ឬតម្លៃដែលអ្នករកឃើញ) ។ចងចាំថា a និង b គឺជាជើង ហើយ c គឺជាអ៊ីប៉ូតេនុស។

• ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង សរសេរ៖ 3² + b² = 5² ។

ការ៉េ​ផ្នែក​នីមួយៗ​ដែល​ស្គាល់។ឬទុកដឺក្រេ - អ្នកអាចដាក់លេខការ៉េនៅពេលក្រោយ។

• ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើងសូមសរសេរ៖ 9 + b² = 25 ។

ញែកផ្នែកដែលមិនស្គាល់នៅផ្នែកម្ខាងនៃសមីការ។ដើម្បីធ្វើដូចនេះផ្ទេរតម្លៃដែលគេស្គាល់ទៅផ្នែកម្ខាងទៀតនៃសមីការ។ ប្រសិនបើអ្នករកឃើញអ៊ីប៉ូតេនុស នោះនៅក្នុងទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ វាត្រូវបានដាច់ឆ្ងាយនៅផ្នែកម្ខាងនៃសមីការ (ដូច្នេះគ្មានអ្វីត្រូវធ្វើទេ)។

• ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង ផ្លាស់ទី 9 ទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ ដើម្បីញែក b² ដែលមិនស្គាល់។ អ្នកនឹងទទួលបាន b² = 16 ។

យកឫសការេនៃផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ បន្ទាប់ពីមានមិនស្គាល់ (ការេ) នៅផ្នែកម្ខាងនៃសមីការ និងស្ទាក់ចាប់ (លេខ) នៅម្ខាងទៀត។

• ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង b² = 16. យកឫសការេនៃភាគីទាំងពីរនៃសមីការ ហើយទទួលបាន b = 4។ ដូច្នេះជើងទីពីរគឺ 4 ។

ប្រើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃ ព្រោះវាអាចអនុវត្តបានក្នុងស្ថានភាពជាក់ស្តែងមួយចំនួនធំ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ រៀនស្គាល់ត្រីកោណកែងក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃ - ក្នុងស្ថានភាពណាមួយដែលវត្ថុពីរ (ឬបន្ទាត់) ប្រសព្វគ្នានៅមុំខាងស្តាំ ហើយវត្ថុទីបី (ឬបន្ទាត់) តភ្ជាប់ (តាមអង្កត់ទ្រូង) កំពូលនៃវត្ថុពីរដំបូង (ឬ បន្ទាត់) អ្នកអាចប្រើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរដើម្បីស្វែងរកផ្នែកដែលមិនស្គាល់ (ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរត្រូវបានគេស្គាល់) ។

• ឧទាហរណ៍៖ ជណ្ដើរ​ដែល​ផ្អៀង​ទៅ​នឹង​អគារ។ បាតនៃជណ្តើរគឺ 5 ម៉ែត្រពីមូលដ្ឋាននៃជញ្ជាំង។ កំពូលជណ្តើរមានចម្ងាយ 20 ម៉ែត្រពីដី (ឡើងលើជញ្ជាំង)។ តើជណ្ដើរមានប្រវែងប៉ុន្មាន?
  • "5 ម៉ែត្រពីមូលដ្ឋានជញ្ជាំង" មានន័យថា a = 5; "គឺ 20 ម៉ែត្រពីដី" មានន័យថា b = 20 (នោះគឺអ្នកត្រូវបានផ្តល់ជើងពីរនៃត្រីកោណខាងស្តាំចាប់តាំងពីជញ្ជាំងនៃអាគារនិងផ្ទៃផែនដីប្រសព្វគ្នានៅមុំខាងស្តាំ) ។ ប្រវែងនៃជណ្ដើរគឺជាប្រវែងនៃអ៊ីប៉ូតេនុសដែលមិនស្គាល់។
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = គ²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = គ²
    • c = √425
    • c = 20.6 ។ ដូច្នេះប្រវែងប្រហាក់ប្រហែលនៃជណ្តើរគឺ 20,6 ម៉ែត្រ។

រឿងមួយដែលអ្នកអាចប្រាកដបានមួយរយភាគរយថា នៅពេលសួរថាតើការ៉េនៃអ៊ីប៉ូតេនុសជាអ្វី មនុស្សពេញវ័យនឹងឆ្លើយយ៉ាងក្លាហានថា "ផលបូកនៃការ៉េនៃជើង" ។ ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានដាំយ៉ាងរឹងមាំនៅក្នុងចិត្តរបស់មនុស្សដែលមានការអប់រំគ្រប់ៗរូប ប៉ុន្តែវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការសុំឱ្យនរណាម្នាក់បង្ហាញវា ហើយបន្ទាប់មកការលំបាកអាចកើតឡើង។ ដូច្នេះហើយ ចូរយើងចងចាំ និងពិចារណាវិធីផ្សេងគ្នានៃការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ។

ទិដ្ឋភាពសង្ខេបនៃជីវប្រវត្តិ

ទ្រឹស្តីបទ Pythagorean គឺធ្លាប់ស្គាល់ស្ទើរតែគ្រប់គ្នា ប៉ុន្តែសម្រាប់ហេតុផលមួយចំនួន ជីវប្រវត្តិរបស់អ្នកដែលផលិតវាមិនសូវពេញនិយម។ យើងនឹងជួសជុលវា។ ដូច្នេះ មុននឹងសិក្សាពីវិធីផ្សេងគ្នានៃការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ អ្នកត្រូវស្គាល់បុគ្គលិកលក្ខណៈរបស់គាត់ដោយសង្ខេប។

Pythagoras - ទស្សនវិទូ គណិតវិទូ អ្នកគិត មានដើមកំណើតពីថ្ងៃនេះ វាជាការលំបាកខ្លាំងណាស់ក្នុងការបែងចែកជីវប្រវត្តិរបស់គាត់ពីរឿងព្រេងដែលបានបង្កើតឡើងក្នុងការចងចាំរបស់បុរសដ៏អស្ចារ្យនេះ។ ប៉ុន្តែតាមការសរសេររបស់អ្នកដើរតាមរបស់គាត់ Pythagoras of Samos បានកើតនៅលើកោះ Samos ។ ឪពុក​គាត់​ជា​អ្នក​កាប់​ថ្ម​ធម្មតា ប៉ុន្តែ​ម្តាយ​គាត់​មក​ពី​គ្រួសារ​ថ្លៃថ្នូរ។

យោងទៅតាមរឿងព្រេងកំណើតរបស់ Pythagoras ត្រូវបានព្យាករណ៍ដោយស្ត្រីម្នាក់ឈ្មោះ Pythia ដែលក្មេងប្រុសនេះត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះថាជាកិត្តិយស។ តាម​ការ​ទស្សន៍ទាយ​របស់​នាង ប្រុស​ដែល​កើត​មក​នឹង​នាំ​មក​នូវ​អត្ថប្រយោជន៍ និង​សេចក្តី​ល្អ​ជា​ច្រើន​ដល់​មនុស្ស​ជាតិ។ នោះជាអ្វីដែលគាត់បានធ្វើ។

កំណើតនៃទ្រឹស្តីបទ

ក្នុងវ័យកុមារភាពរបស់គាត់ Pythagoras បានផ្លាស់ទៅប្រទេសអេហ្ស៊ីប ដើម្បីជួបជាមួយឥស្សរជនអេហ្ស៊ីបដ៏ល្បីល្បាញនៅទីនោះ។ បន្ទាប់ពីបានជួបជាមួយពួកគេ គាត់ត្រូវបានគេអនុញ្ញាតឱ្យទៅសិក្សា ជាកន្លែងដែលគាត់បានរៀននូវសមិទ្ធិផលដ៏អស្ចារ្យទាំងអស់នៃទស្សនវិជ្ជា គណិតវិទ្យា និងឱសថអេហ្ស៊ីប។

ប្រហែលជានៅប្រទេសអេហ្ស៊ីបដែល Pythagoras ត្រូវបានបំផុសគំនិតដោយភាពអស្ចារ្យ និងភាពស្រស់ស្អាតនៃពីរ៉ាមីត ហើយបានបង្កើតទ្រឹស្តីដ៏អស្ចារ្យរបស់គាត់។ នេះអាចធ្វើឱ្យអ្នកអានភ្ញាក់ផ្អើល ប៉ុន្តែអ្នកប្រវត្តិសាស្រ្តសម័យទំនើបជឿថា Pythagoras មិនបានបង្ហាញពីទ្រឹស្តីរបស់គាត់ទេ។ ប៉ុន្តែគាត់គ្រាន់តែបញ្ជូនចំណេះដឹងរបស់គាត់ទៅឱ្យអ្នកដើរតាមរបស់គាត់ដែលក្រោយមកបានបញ្ចប់ការគណនាគណិតវិទ្យាចាំបាច់ទាំងអស់។

ត្រូវ​ថា​ដូច​ដែល​វា​អាច​ទៅ​រួច សព្វ​ថ្ងៃ​នេះ​មិន​មាន​បច្ចេកទេស​មួយ​សម្រាប់​ការ​បង្ហាញ​ទ្រឹស្ដី​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ដឹង​នោះ​ទេ ប៉ុន្តែ​ជា​ច្រើន​នៅ​ពេល​តែ​មួយ។ សព្វថ្ងៃនេះយើងអាចទាយបានថាតើជនជាតិក្រិចបុរាណបានធ្វើការគណនារបស់ពួកគេយ៉ាងដូចម្តេច ដូច្នេះនៅទីនេះយើងនឹងពិចារណាវិធីផ្សេងគ្នានៃការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរ។

ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ

មុនពេលអ្នកចាប់ផ្តើមការគណនាណាមួយ អ្នកត្រូវស្វែងយល់ថាទ្រឹស្តីមួយណាដែលត្រូវបញ្ជាក់។ ទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរៀនស្តាប់ទៅដូចនេះ៖ "នៅក្នុងត្រីកោណដែលមុំមួយគឺ 90 o ផលបូកនៃការ៉េនៃជើងគឺស្មើនឹងការ៉េនៃអ៊ីប៉ូតេនុស" ។

សរុបមាន 15 នាក់។ វិធី​ផ្សេង​គ្នាភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ។ នេះគឺជាចំនួនដ៏ច្រើនគួរសម ដូច្នេះសូមយកចិត្តទុកដាក់លើការពេញនិយមបំផុតរបស់ពួកគេ។

វិធីសាស្រ្តមួយ។

ចូរកំណត់ជាមុននូវអ្វីដែលយើងមាន។ ទិន្នន័យនេះក៏នឹងអនុវត្តចំពោះវិធីផ្សេងទៀតនៃការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ដូច្នេះអ្នកគួរតែចងចាំភ្លាមៗនូវសញ្ញាណដែលមានទាំងអស់។

ឧបមាថាត្រីកោណកែងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយជើង a, b និងអ៊ីប៉ូតេនុសស្មើនឹង c ។ វិធីសាស្រ្តដំបូងនៃការបញ្ជាក់គឺផ្អែកលើការពិតដែលថាការេត្រូវតែត្រូវបានដកចេញពីត្រីកោណមុំខាងស្តាំ។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវគូរផ្នែកស្មើទៅនឹងជើងនៅក្នុងប្រវែងជើង a និងច្រាសមកវិញ។ ដូច្នេះវាគួរតែប្រែជាពីរជ្រុងស្មើគ្នានៃការ៉េ។ វានៅសល់តែគូរបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរប៉ុណ្ណោះ ហើយការ៉េគឺរួចរាល់។

នៅខាងក្នុងតួលេខលទ្ធផល អ្នកត្រូវគូរការ៉េមួយទៀតដែលមានផ្នែកម្ខាងស្មើនឹងអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណដើម។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះពីចំនុចកំពូល ac និង sv អ្នកត្រូវគូរផ្នែកប៉ារ៉ាឡែលពីរដែលស្មើនឹង c ។ ដូច្នេះ យើងទទួលបានជ្រុងបីនៃការ៉េ ដែលមួយក្នុងនោះជាអ៊ីប៉ូតេនុសនៃត្រីកោណមុំខាងស្តាំដើម។ វានៅសល់តែដើម្បីគូរផ្នែកទីបួនប៉ុណ្ណោះ។

ដោយផ្អែកលើតួលេខលទ្ធផល យើងអាចសន្និដ្ឋានថាផ្ទៃដីនៃការ៉េខាងក្រៅគឺ (a + b) 2 ។ ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលខាងក្នុងតួរលេខ អ្នកអាចមើលឃើញថា បន្ថែមពីលើការ៉េខាងក្នុង វាមានត្រីកោណកែងបួន។ តំបន់នៃគ្នាគឺ 0.5 av ។

ដូច្នេះតំបន់គឺ៖ 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2

ដូច្នេះ (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

ដូច្នេះហើយ ជាមួយនឹង 2 \u003d a 2 + in 2

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

វិធីទី ២៖ ត្រីកោណស្រដៀងគ្នា

រូបមន្តនេះសម្រាប់ភ័ស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័របានមកពីមូលដ្ឋាននៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពីផ្នែកនៃធរណីមាត្រអំពីត្រីកោណស្រដៀងគ្នា។ វានិយាយថាជើងនៃត្រីកោណកែងគឺជាសមាមាត្រមធ្យមទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុសរបស់វា ហើយផ្នែកអ៊ីប៉ូតេនុសដែលផុសចេញពីចំនុចកំពូលនៃមុំ 90 o ។

ទិន្នន័យដំបូងនៅតែដដែល ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើមភ្លាមៗជាមួយនឹងភស្តុតាង។ ចូរយើងគូរផ្នែក CD កាត់កែងទៅចំហៀង AB ។ ផ្អែកលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងលើ ជើងនៃត្រីកោណគឺស្មើគ្នា៖

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV។

ដើម្បីឆ្លើយសំណួរអំពីរបៀបដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ភស្តុតាងត្រូវតែដាក់ដោយការបំបែកវិសមភាពទាំងពីរ។

AC 2 \u003d AB * HELL និង SV 2 \u003d AB * DV

ឥឡូវនេះយើងត្រូវបន្ថែមវិសមភាពលទ្ធផល។

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV) ដែល AD + DV \u003d AB

វាប្រែថា:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

ហើយ​ដូច្នេះ:

AC 2 + CB 2 \u003d AB ២

ភ័ស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ និងវិធីផ្សេងៗនៃការដោះស្រាយវាទាមទារវិធីសាស្រ្តដ៏ច្រើនសម្រាប់បញ្ហានេះ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយជម្រើសនេះគឺជាផ្នែកមួយនៃការសាមញ្ញបំផុត។

វិធីសាស្រ្តគណនាមួយផ្សេងទៀត

ការពិពណ៌នាអំពីវិធីផ្សេងគ្នានៃការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ប្រហែលជាមិននិយាយអ្វីទេ រហូតដល់អ្នកចាប់ផ្តើមអនុវត្តដោយខ្លួនឯង។ វិធីសាស្រ្តជាច្រើនរួមបញ្ចូលមិនត្រឹមតែការគណនាគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងបង្កើតតួលេខថ្មីពីត្រីកោណដើមផងដែរ។

ក្នុងករណីនេះវាចាំបាច់ក្នុងការបំពេញត្រីកោណមុំខាងស្តាំមួយទៀត VSD ពីជើងរបស់យន្តហោះ។ ដូច្នេះឥឡូវនេះមានត្រីកោណពីរដែលមានជើងរួម BC ។

ដោយដឹងថាតំបន់នៃតួលេខស្រដៀងគ្នាមានសមាមាត្រជាការ៉េនៃវិមាត្រលីនេអ៊ែរស្រដៀងគ្នារបស់ពួកគេ បន្ទាប់មក៖

S avs * s 2 - S avd * ក្នុង 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (ពី 2 ទៅ 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

ពី 2 ទៅ 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + ក្នុង 2

ដោយសារជម្រើសនេះស្ទើរតែមិនសមរម្យពីវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗនៃការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរសម្រាប់ថ្នាក់ទី 8 អ្នកអាចប្រើបច្ចេកទេសខាងក្រោម។

មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ។ ពិនិត្យ

ប្រវត្ដិវិទូជឿថាវិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានប្រើជាលើកដំបូងដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទមួយនៅក្នុងប្រទេសក្រិកបុរាណ។ វាគឺសាមញ្ញបំផុតព្រោះវាមិនតម្រូវឱ្យមានការគណនាណាមួយឡើយ។ ប្រសិនបើអ្នកគូររូបភាពបានត្រឹមត្រូវ នោះភស្តុតាងនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលថា 2 + b 2 \u003d c 2 នឹងអាចមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់។

លក្ខខណ្ឌសម្រាប់វិធីសាស្រ្តនេះនឹងខុសគ្នាបន្តិចពីវិធីមុន។ ដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ ឧបមាថា ត្រីកោណខាងស្តាំ ABC គឺជា isosceles ។

យើងយកអ៊ីប៉ូតេនុស AC ជាផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េ ហើយគូរបីជ្រុងរបស់វា។ លើសពីនេះទៀតវាចាំបាច់ក្នុងការគូរបន្ទាត់អង្កត់ទ្រូងពីរនៅក្នុងការ៉េលទ្ធផល។ ដូច្នេះនៅខាងក្នុងវាអ្នកទទួលបានត្រីកោណ isosceles បួន។

ចំពោះជើង AB និង CB អ្នកក៏ត្រូវគូសការ៉េ ហើយគូរបន្ទាត់អង្កត់ទ្រូងមួយក្នុងពួកវានីមួយៗ។ យើងគូរបន្ទាត់ទីមួយពីចំនុច A ទីពីរ - ពី C ។

ឥឡូវអ្នកត្រូវមើលដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវរូបភាពលទ្ធផល។ ដោយសារមានត្រីកោណបួននៅលើអ៊ីប៉ូតេនុស AC ដែលស្មើនឹងដើមមួយ និងពីរនៅលើជើង នេះបង្ហាញពីភាពត្រឹមត្រូវនៃទ្រឹស្តីបទនេះ។

ដោយវិធីនេះ, អរគុណចំពោះវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរនេះ, ឃ្លាដ៏ល្បីល្បាញបានកើត: "ខោ Pythagorean គឺស្មើគ្នានៅគ្រប់ទិសទី" ។

ភស្តុតាងដោយ J. Garfield

James Garfield គឺជាប្រធានាធិបតីទី 20 នៃសហរដ្ឋអាមេរិក។ ក្រៅ​ពី​បន្សល់​ទុក​នូវ​ប្រវត្តិសាស្ត្រ​ជា​អ្នក​គ្រប់​គ្រង​សហរដ្ឋ​អាមេរិក គាត់​ក៏​ជា​អ្នក​បង្រៀន​ដោយ​ខ្លួន​ឯង​ផង​ដែរ។

នៅដើមអាជីពរបស់គាត់ គាត់គឺជាគ្រូបង្រៀនធម្មតានៅសាលាប្រជាប្រិយ ប៉ុន្តែភ្លាមៗនោះបានក្លាយជានាយកនៃគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សាមួយ។ បំណងប្រាថ្នាសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍន៍ខ្លួនឯងហើយបានអនុញ្ញាតឱ្យគាត់ផ្តល់នូវទ្រឹស្តីថ្មីនៃភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ។ ទ្រឹស្តីបទ និងឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយរបស់វាមានដូចខាងក្រោម។

ដំបូងអ្នកត្រូវគូរត្រីកោណមុំខាងស្តាំពីរនៅលើក្រដាសមួយដើម្បីឱ្យជើងមួយនៃពួកវាគឺជាការបន្តនៃទីពីរ។ ចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណទាំងនេះត្រូវតែភ្ជាប់គ្នាដើម្បីបញ្ចប់ដោយ trapezoid ។

ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថាផ្ទៃនៃ trapezoid គឺស្មើនឹងផលិតផលពាក់កណ្តាលនៃផលបូកនៃមូលដ្ឋានរបស់វានិងកម្ពស់។

S=a+b/2 * (a+b)

ប្រសិនបើយើងពិចារណាពីលទ្ធផល trapezoid ជាតួលេខដែលមានត្រីកោណចំនួនបីនោះ តំបន់របស់វាអាចត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម៖

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

ឥឡូវនេះយើងត្រូវធ្វើឱ្យស្មើគ្នានូវកន្សោមដើមទាំងពីរ

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + ក្នុង 2

ច្រើនជាងមួយភាគនៃសៀវភៅសិក្សាអាចត្រូវបានសរសេរអំពីទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ និងរបៀបបញ្ជាក់វា។ ប៉ុន្តែតើវាសមហេតុផលទេ នៅពេលដែលចំណេះដឹងនេះមិនអាចយកទៅអនុវត្តបាន?

ការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ

ជាអកុសល កម្មវិធីសិក្សារបស់សាលាទំនើបផ្តល់សម្រាប់ការប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទនេះតែក្នុងបញ្ហាធរណីមាត្រប៉ុណ្ណោះ។ និស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សានឹងចាកចេញពីជញ្ជាំងសាលាឆាប់ៗនេះ ដោយមិនដឹងពីរបៀបដែលពួកគេអាចអនុវត្តចំណេះដឹង និងជំនាញរបស់ពួកគេក្នុងការអនុវត្ត។

ជាការពិត មនុស្សគ្រប់រូបអាចប្រើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃរបស់ពួកគេ។ ហើយមិនត្រឹមតែក្នុងសកម្មភាពវិជ្ជាជីវៈប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងការងារផ្ទះធម្មតាទៀតផង។ ចូរយើងពិចារណាករណីមួយចំនួននៅពេលដែលទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ និងវិធីសាស្រ្តនៃភស្តុតាងរបស់វាអាចចាំបាច់បំផុត។

ការភ្ជាប់ទ្រឹស្តីបទ និងតារាសាស្ត្រ

វាហាក់ដូចជារបៀបដែលផ្កាយ និងត្រីកោណអាចភ្ជាប់គ្នានៅលើក្រដាស។ តាមពិតទៅ តារាសាស្ត្រគឺជាវិស័យវិទ្យាសាស្ត្រ ដែលទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយ។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាពីចលនានៃពន្លឺនៅក្នុងលំហ។ យើងដឹងថាពន្លឺធ្វើដំណើរក្នុងទិសដៅទាំងពីរក្នុងល្បឿនដូចគ្នា។ យើងហៅគន្លង AB ដែលកាំរស្មីពន្លឺធ្វើចលនា លីត្រ. ហើយពាក់កណ្តាលពេលវេលាដែលវាត្រូវការពន្លឺដើម្បីទទួលបានពីចំណុច A ដល់ចំណុច B ចូរយើងហៅ t. និងល្បឿននៃធ្នឹម - គ. វាប្រែថា: c*t=l

ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលធ្នឹមដូចគ្នានេះពីយន្តហោះផ្សេងទៀត ជាឧទាហរណ៍ ពីស្រទាប់អវកាសដែលផ្លាស់ទីក្នុងល្បឿន v បន្ទាប់មកជាមួយនឹងការសង្កេតលើសាកសពបែបនេះ ល្បឿនរបស់ពួកគេនឹងផ្លាស់ប្តូរ។ ក្នុងករណីនេះសូម្បីតែធាតុស្ថានីនឹងផ្លាស់ទីជាមួយល្បឿន v ក្នុងទិសដៅផ្ទុយ។

ឧបមាថា ខ្សែររឿងកំប្លែងកំពុងជិះទូកទៅខាងស្ដាំ។ បន្ទាប់មកចំនុច A និង B ដែលរវាងកាំរស្មីនឹងរំកិលទៅខាងឆ្វេង។ លើសពីនេះទៅទៀត នៅពេលដែលធ្នឹមផ្លាស់ទីពីចំណុច A ទៅចំណុច B ចំនុច A មានពេលដើម្បីផ្លាស់ទី ហើយស្របទៅតាមនោះ ពន្លឺនឹងមកដល់ចំណុច C ថ្មីរួចហើយ។ ដើម្បីស្វែងរកចម្ងាយពាក់កណ្តាលដែលចំនុច A បានផ្លាស់ប្តូរ អ្នកត្រូវគុណ ល្បឿននៃស្រទាប់ពាក់កណ្តាលនៃពេលវេលាធ្វើដំណើរនៃធ្នឹម (t ") ។

ហើយដើម្បីរកមើលថាតើកាំរស្មីអាចធ្វើដំណើរបានឆ្ងាយប៉ុណ្ណាក្នុងអំឡុងពេលនេះ អ្នកត្រូវកំណត់ផ្លូវពាក់កណ្តាលនៃដើមប៊ីចថ្មី ហើយទទួលបានកន្សោមដូចខាងក្រោមៈ

ប្រសិនបើយើងស្រមៃថាចំនុចនៃពន្លឺ C និង B ក៏ដូចជាបន្ទាត់អវកាស គឺជាចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណ isosceles នោះផ្នែកពីចំនុច A ដល់ liner នឹងបែងចែកវាទៅជាត្រីកោណខាងស្តាំពីរ។ ដូច្នេះ ដោយសារទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ អ្នកអាចរកឃើញចម្ងាយដែលកាំរស្មីអាចធ្វើដំណើរបាន។

ជា​ការ​ពិត​ណាស់ ឧទាហរណ៍​នេះ​មិន​ជោគជ័យ​បំផុត​ទេ ព្រោះ​មាន​តែ​មនុស្ស​តិច​ប៉ុណ្ណោះ​ដែល​អាច​មាន​សំណាង​គ្រប់គ្រាន់​ក្នុង​ការ​សាកល្បង​វា​ក្នុង​ការ​អនុវត្ត។ ដូច្នេះហើយ យើងពិចារណាលើការអនុវត្តជាក់ស្តែងបន្ថែមទៀតនៃទ្រឹស្តីបទនេះ។

ជួរបញ្ជូនសញ្ញាចល័ត

ជីវិតសម័យទំនើបមិនអាចស្រមៃបានទៀតទេ បើគ្មានស្មាតហ្វូន។ ប៉ុន្តែ​តើ​ពួកគេ​នឹង​មាន​ប្រយោជន៍​ដល់​កម្រិតណា​ប្រសិនបើ​ពួកគេ​មិនអាច​ភ្ជាប់​អតិថិជន​តាមរយៈ​ទំនាក់ទំនង​ទូរស័ព្ទ​បាន?!

គុណភាពនៃការទំនាក់ទំនងចល័តដោយផ្ទាល់អាស្រ័យលើកម្ពស់ដែលអង់តែនរបស់ប្រតិបត្តិករចល័តស្ថិតនៅ។ ដើម្បីគណនាពីចម្ងាយពីប៉មទូរសព្ទដែលទូរសព្ទអាចទទួលសញ្ញាបាន អ្នកអាចអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ។

ឧបមាថាអ្នកត្រូវស្វែងរកកម្ពស់ប្រហាក់ប្រហែលនៃប៉មស្ថានី ដើម្បីឱ្យវាអាចផ្សព្វផ្សាយសញ្ញាក្នុងរង្វង់ 200 គីឡូម៉ែត្រ។

AB (កម្ពស់ប៉ម) = x;

BC (កាំនៃការបញ្ជូនសញ្ញា) = 200 គីឡូម៉ែត្រ;

ប្រព័ន្ធប្រតិបត្តិការ (កាំនៃពិភពលោក) = 6380 គីឡូម៉ែត្រ;

OB=OA+ABOB=r+x

ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ យើងរកឃើញថាកម្ពស់អប្បបរមានៃប៉មគួរតែមាន 2.3 គីឡូម៉ែត្រ។

ទ្រឹស្តីបទ Pythagorean ក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃ

ចម្លែកណាស់ ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ អាចមានប្រយោជន៍សូម្បីតែក្នុងរឿងប្រចាំថ្ងៃ ដូចជាការកំណត់កម្ពស់ទូជាដើម។ នៅ glance ដំបូង មិនចាំបាច់ប្រើការគណនាស្មុគ្រស្មាញបែបនេះទេ ព្រោះអ្នកអាចធ្វើការវាស់វែងបានដោយប្រើរង្វាស់កាសែត។ ប៉ុន្តែមនុស្សជាច្រើនមានការភ្ញាក់ផ្អើលថាហេតុអ្វីបានជាបញ្ហាមួយចំនួនកើតឡើងក្នុងអំឡុងពេលដំណើរការដំឡើង ប្រសិនបើការវាស់វែងទាំងអស់ត្រូវបានគេយកច្រើនជាងភាពត្រឹមត្រូវ។

ការពិតគឺថាតុរប្យួរខោអាវត្រូវបានផ្គុំនៅក្នុងទីតាំងផ្ដេកហើយមានតែបន្ទាប់មកកើនឡើងហើយត្រូវបានដំឡើងប្រឆាំងនឹងជញ្ជាំង។ ដូច្នេះជញ្ជាំងចំហៀងនៃគណៈរដ្ឋមន្ត្រីនៅក្នុងដំណើរការនៃការលើករចនាសម្ព័ន្ធត្រូវតែឆ្លងកាត់ដោយសេរីទាំងនៅតាមបណ្តោយកម្ពស់និងអង្កត់ទ្រូងនៃបន្ទប់។

ឧបមាថាមានទូខោអាវដែលមានជម្រៅ 800 មីលីម៉ែត្រ។ ចម្ងាយពីជាន់ដល់ពិដាន - 2600 មម។ អ្នកផលិតគ្រឿងសង្ហារឹមដែលមានបទពិសោធន៍នឹងនិយាយថាកម្ពស់នៃគណៈរដ្ឋមន្ត្រីគួរតែមាន 126 មីលីម៉ែត្រតិចជាងកម្ពស់បន្ទប់។ ប៉ុន្តែហេតុអ្វីបានជាពិតប្រាកដ 126 មម? សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយ។

ជាមួយនឹងវិមាត្រដ៏ល្អនៃគណៈរដ្ឋមន្ត្រី ចូរយើងពិនិត្យមើលប្រតិបត្តិការនៃទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ៖

AC \u003d √AB 2 + √BC ២

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - អ្វីៗទាំងអស់ចូលគ្នា។

ចូរនិយាយថាកម្ពស់នៃគណៈរដ្ឋមន្ត្រីគឺមិនមែន 2474 ម, ប៉ុន្តែ 2505 មម។ បន្ទាប់មក៖

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 ម។

ដូច្នេះគណៈរដ្ឋមន្ត្រីនេះមិនសមរម្យសម្រាប់ការដំឡើងនៅក្នុងបន្ទប់នេះទេ។ ចាប់តាំងពីពេលលើកវាទៅទីតាំងបញ្ឈរ ការខូចខាតដល់រាងកាយរបស់វាអាចបណ្តាលមកពី។

ប្រហែលជាដោយបានពិចារណាវិធីផ្សេងគ្នានៃការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងៗគ្នា យើងអាចសន្និដ្ឋានថាវាលើសពីការពិតទៅទៀត។ ឥឡូវនេះអ្នកអាចប្រើព័ត៌មានដែលទទួលបានក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃរបស់អ្នកហើយត្រូវប្រាកដថាការគណនាទាំងអស់នឹងមិនត្រឹមតែមានប្រយោជន៍ប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងត្រឹមត្រូវផងដែរ។