ប៉ុន្តែលេខធម្មជាតិជាច្រើនត្រូវបានបែងចែកស្មើៗគ្នាដោយលេខធម្មជាតិផ្សេងទៀត។

ឧទាហរណ៍:

លេខ 12 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 1 ដោយ 2 ដោយ 3 ដោយ 4 ដោយ 6 ដោយ 12;

លេខ 36 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 1 ដោយ 2 ដោយ 3 ដោយ 4 គុណ 6 ដោយ 12 ដោយ 18 ដោយ 36 ។

លេខដែលលេខអាចបែងចែកបាន (សម្រាប់ 12 វាគឺ 1, 2, 3, 4, 6 និង 12) ត្រូវបានគេហៅថា ការបែងចែកលេខ. ចែកលេខធម្មជាតិ កគឺជាលេខធម្មជាតិដែលបែងចែកលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ កដោយគ្មានដាន។ លេខធម្មជាតិដែលមានកត្តាច្រើនជាងពីរត្រូវបានគេហៅថា សមាសធាតុ. ចំណាំថាលេខ 12 និង 36 មានការបែងចែកទូទៅ។ ទាំងនេះគឺជាលេខ៖ 1, 2, 3, 4, 6, 12. ការបែងចែកធំបំផុតនៃលេខទាំងនេះគឺ 12 ។

ការបែងចែកធម្មតានៃចំនួនពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ កនិង ខគឺ​ជា​លេខ​ដែល​លេខ​ទាំង​ពីរ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឲ្យ​គឺ​អាច​បែងចែក​បាន​ដោយ​មិន​មាន​សល់ កនិង ខ. ការបែងចែកទូទៅនៃលេខច្រើន (GCD)គឺ​ជា​ចំនួន​ដែល​បម្រើ​ជា​អ្នក​ចែក​សម្រាប់​ពួកគេ​នីមួយៗ។

ដោយសង្ខេប ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ កនិង ខត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖

ឧទាហរណ៍: gcd (12; 36) = 12 ។

ការបែងចែកលេខនៅក្នុងកំណត់ត្រាដំណោះស្រាយត្រូវបានបង្ហាញដោយអក្សរធំ "D" ។

ឧទាហរណ៍៖

gcd (7; 9) = 1

លេខ 7 និង 9 មានការបែងចែកធម្មតាតែមួយ - លេខ 1 ។ លេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ច្បាប់ចម្លងឈី ស្លេម.

លេខចម្លងគឺ​ជា​លេខ​ធម្មជាតិ​ដែល​មាន​ធាតុ​ចែក​ទូទៅ​តែ​មួយ - លេខ 1 ។ gcd របស់​ពួកគេ​គឺ 1 ។

Greatest Common Divisor (GCD) លក្ខណៈសម្បត្តិ។

• ទ្រព្យសម្បត្តិចម្បង៖ ការបែងចែកទូទៅធំបំផុត មនិង នត្រូវបានបែងចែកដោយផ្នែកទូទៅនៃលេខទាំងនេះ។ ឧទាហរណ៍៖ សម្រាប់លេខ 12 និង 18 ការបែងចែកធម្មតាបំផុតគឺ 6; វាត្រូវបានបែងចែកដោយការបែងចែកទូទៅនៃលេខទាំងនេះ: 1, 2, 3, 6 ។
• កូរ៉ូឡារីទី១៖ សំណុំនៃការបែងចែកទូទៅ មនិង នស្របពេលជាមួយនឹងសំណុំនៃការបែងចែក gcd( ម, ន).
• កូរ៉ូឡារីទី២៖ សំណុំនៃគុណទូទៅ មនិង នស្របពេលជាមួយនឹងសំណុំនៃ LCMs ច្រើន ( ម, ន).

ជាពិសេស នេះមានន័យថា ដើម្បីកាត់បន្ថយប្រភាគទៅជាទម្រង់ដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន វាចាំបាច់ក្នុងការបែងចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ gcd របស់ពួកគេ។

• ការបែងចែកលេខទូទៅធំបំផុត មនិង នអាចត្រូវបានកំណត់ថាជាធាតុវិជ្ជមានតូចបំផុតនៃសំណុំនៃបន្សំលីនេអ៊ែរទាំងអស់របស់ពួកគេ៖

ដូច្នេះ តំណាង​ឱ្យ​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​លីនេអ៊ែរ​នៃ​លេខ មនិង ន:

សមាមាត្រនេះត្រូវបានគេហៅថា សមាមាត្រ Bezoutនិងមេគុណ យូនិង v — មេគុណ bezout. មេគុណ Bézout ត្រូវ​បាន​គណនា​យ៉ាង​មាន​ប្រសិទ្ធភាព​ដោយ​ក្បួន​ដោះស្រាយ Euclid ដែល​បាន​ពង្រីក។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះត្រូវបានធ្វើជាទូទៅទៅសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ - អត្ថន័យរបស់វាគឺថាក្រុមរងនៃក្រុមដែលបង្កើតឡើងដោយសំណុំគឺរង្វិលហើយត្រូវបានបង្កើតដោយធាតុមួយ: gcd ( ក 1 , ក 2 , … , មួយ n).

ការគណនានៃការបែងចែកទូទៅធំបំផុត (gcd) ។

វិធីដ៏មានប្រសិទ្ធភាពក្នុងការគណនា gcd នៃចំនួនពីរគឺ ក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclidនិង គោលពីរក្បួនដោះស្រាយ. លើសពីនេះទៀតតម្លៃ GCD ( ម,ន) អាចត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលប្រសិនបើការពង្រីក Canonical នៃលេខត្រូវបានគេស្គាល់ មនិង នសម្រាប់កត្តាចម្បង៖

កន្លែងណាដែលបឋមដាច់ដោយឡែក និងជាចំនួនគត់មិនអវិជ្ជមាន (វាអាចជាសូន្យ ប្រសិនបើបឋមដែលត្រូវគ្នាមិននៅក្នុង decomposition)។ បន្ទាប់មក gcd ( ម,ន) និង LCM ( ម,ន) ត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត៖

ប្រសិនបើមានលេខលើសពីពីរ៖ GCD របស់ពួកគេត្រូវបានរកឃើញដោយយោងតាមក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោម៖

- នេះគឺជា GCD ដែលចង់បាន។

ផងដែរដើម្បីស្វែងរក ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតអ្នកអាចបំបែកលេខនីមួយៗដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាកត្តាសំខាន់។ បន្ទាប់មកសរសេរដោយឡែកពីគ្នាតែកត្តាទាំងនោះដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងអស់។ បន្ទាប់មកយើងគុណលេខដែលសរសេរចេញក្នុងចំណោមខ្លួនគេ - លទ្ធផលនៃគុណគឺជាអ្នកចែកទូទៅធំបំផុត .

ចូរយើងវិភាគការគណនានៃការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតមួយជំហានម្តងមួយៗ៖

1. បំបែកផ្នែកនៃលេខទៅជាកត្តាចម្បង៖

ការគណនាត្រូវបានសរសេរយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើរបារបញ្ឈរ។ នៅខាងឆ្វេងនៃបន្ទាត់ដំបូងសរសេរភាគលាភទៅខាងស្តាំ - ការបែងចែក។ បន្ថែមទៀតនៅក្នុងជួរឈរខាងឆ្វេងយើងសរសេរចុះតម្លៃនៃឯកជន។ ចូរយើងពន្យល់ភ្លាមៗជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។ ចូរយើងធ្វើកត្តាលេខ 28 និង 64 ទៅជាកត្តាសំខាន់។

2. យើងគូសបញ្ជាក់កត្តាចម្បងដូចគ្នានៅក្នុងលេខទាំងពីរ៖

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. យើងរកឃើញផលិតផលនៃកត្តាចម្បងដូចគ្នា ហើយសរសេរចម្លើយ៖

GCD (28; 64) = 2 ។ ២ = ៤

ចម្លើយ៖ GCD (28; 64) = 4

អ្នកអាចរៀបចំទីតាំងរបស់ GCD តាមពីរវិធី៖ នៅក្នុងជួរឈរមួយ (ដូចដែលបានធ្វើខាងលើ) ឬ "នៅក្នុងបន្ទាត់មួយ" ។

វិធីដំបូងដើម្បីសរសេរ GCD៖

ស្វែងរក GCD 48 និង 36 ។

GCD (48; 36) = 2 ។ ២. ៣ = ១២

វិធីទីពីរដើម្បីសរសេរ GCD៖

ឥឡូវនេះសូមសរសេរដំណោះស្រាយស្វែងរក GCD នៅក្នុងបន្ទាត់មួយ។ ស្វែងរក GCD 10 និង 15 ។

ឃ(១០) = (១, ២, ៥, ១០)

ឃ(១៥) = (១, ៣, ៥, ១៥)

D(10, 15) = (1, 5)

ចូរយើងដោះស្រាយបញ្ហា។ យើងមានខូឃីពីរប្រភេទ។ ខ្លះជាសូកូឡា ហើយខ្លះទៀតគឺធម្មតា។ មានសូកូឡាចំនួន 48 ដុំ និងសាមញ្ញចំនួន 36 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការធ្វើឱ្យចំនួនអំណោយអតិបរមាដែលអាចធ្វើបានពីខូគីទាំងនេះ ហើយពួកវាទាំងអស់ត្រូវតែប្រើ។

ជាដំបូង ចូរយើងសរសេរលេខចែកទាំងអស់នៃលេខទាំងពីរនេះ ព្រោះលេខទាំងពីរនេះត្រូវតែបែងចែកដោយចំនួនអំណោយ។

យើង​ទទួល​បាន

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

ចូរយើងរកឃើញក្នុងចំណោមអ្នកចែកនូវចំនួនធម្មតាដែលទាំងលេខទីមួយ និងលេខទីពីរមាន។

ការបែងចែកទូទៅនឹងមានៈ ១, ២, ៣, ៤, ៦, ១២។

លេខចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតគឺ 12។ លេខនេះត្រូវបានគេហៅថា ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតនៃ 36 និង 48 ។

ដោយផ្អែកលើលទ្ធផលយើងអាចសន្និដ្ឋានថាអំណោយចំនួន 12 អាចត្រូវបានធ្វើឡើងពីខូឃីទាំងអស់។ អំណោយមួយនោះនឹងមានខូគីសូកូឡាចំនួន 4 និងខូគីធម្មតាចំនួន 3 ។

ការស្វែងរកផ្នែករួមដ៏អស្ចារ្យបំផុត។

• លេខធម្មជាតិដ៏ធំបំផុតដែលលេខពីរ a និង b អាចបែងចែកបានដោយគ្មានសល់ត្រូវបានគេហៅថា ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខទាំងនេះ។

ពេលខ្លះអក្សរកាត់ GCD ត្រូវបានប្រើដើម្បីសរសេរអក្សរកាត់។

គូមួយចំនួននៃលេខមានមួយជាផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតរបស់ពួកគេ។ លេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា លេខ coprime ។ឧទាហរណ៍ លេខ 24 និង 35។ មាន GCD =1។

វិធីស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅបំផុត។

ដើម្បីស្វែងរកអ្នកចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុត វាមិនចាំបាច់ក្នុងការសរសេរចេញពីផ្នែកទាំងអស់នៃលេខទាំងនេះទេ។

អ្នកអាចធ្វើបានបើមិនដូច្នេះទេ។ ទីមួយ បញ្ចូលលេខទាំងពីរទៅជាកត្តាសំខាន់។

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

ឥឡូវនេះពីកត្តាដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការពង្រីកនៃលេខទីមួយយើងលុបទាំងអស់ដែលមិនត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការពង្រីកនៃលេខទីពីរ។ ក្នុងករណីរបស់យើងទាំងនេះគឺជា deuces ពីរ។

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

កត្តា 2, 2 និង 3 នឹងនៅតែមាន។ ផលិតផលរបស់ពួកគេគឺ 12។ លេខនេះនឹងក្លាយជាផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ 48 និង 36។

ច្បាប់នេះអាចត្រូវបានពង្រីកទៅករណីបី, បួន, ហើយដូច្នេះនៅលើ។ លេខ។

គ្រោងការណ៍ទូទៅសម្រាប់ការស្វែងរកការបែងចែកទូទៅធំបំផុត

• 1. បំបែកលេខទៅជាកត្តាសំខាន់។
• 2. ពីកត្តាដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការពង្រីកនៃចំនួនមួយក្នុងចំណោមចំនួនទាំងនេះ កាត់ចេញនូវចំនួនដែលមិនត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការពង្រីកនៃចំនួនផ្សេងទៀត។
• 3. គណនាផលគុណនៃកត្តាដែលនៅសល់។

ការស្វែងរកពហុគុណទូទៅតិចបំផុត (LCM) និងការបែងចែកទូទៅធំបំផុត (GCD) នៃចំនួនធម្មជាតិ។

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) យើងសរសេរកត្តាដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការពង្រីកនៃលេខទីមួយនៃលេខទាំងនេះហើយបន្ថែមទៅពួកគេនូវកត្តាដែលបាត់ 5 ពីការពង្រីកនៃលេខទីពីរ។ យើងទទួលបាន៖ 2*2*3*5*5=300។ បានរកឃើញ NOC, i.e. ផលបូកនេះ = 300។ កុំភ្លេចវិមាត្រ ហើយសរសេរចម្លើយ៖
ចម្លើយ៖ ម៉ាក់ផ្តល់ ៣០០ រូប្លិក្នុងម្នាក់ៗ។

និយមន័យនៃ GCD៖ការបែងចែកទូទៅបំផុត (GCD)លេខធម្មជាតិ កនិង ក្នុងដាក់ឈ្មោះលេខធម្មជាតិធំបំផុត គដល់ណា និង ក, និង ខបែងចែកដោយគ្មានសល់។ ទាំងនោះ។ គគឺ​ជា​ចំនួន​ធម្មជាតិ​តូច​បំផុត​ដែល​និង​ កនិង ខគឺពហុ។

ការ​រំលឹក:មានវិធីសាស្រ្តពីរចំពោះនិយមន័យនៃលេខធម្មជាតិ

• លេខដែលប្រើក្នុង : enumeration (លេខ) នៃធាតុ (ទីមួយ, ទីពីរ, ទីបី, ...); - នៅក្នុងសាលារៀនជាធម្មតា.
• បង្ហាញពីចំនួនធាតុ (គ្មាន pokemon - សូន្យ, មួយ pokemon, ពីរ pokemon, ... ) ។

លេខអវិជ្ជមាន និងមិនមែនចំនួនគត់ (សនិទាន, ពិត, ...) មិនមែនជាធម្មជាតិទេ។ អ្នក​និពន្ធ​ខ្លះ​រួម​បញ្ចូល​លេខ​សូន្យ​ក្នុង​សំណុំ​នៃ​លេខ​ធម្មជាតិ អ្នក​ខ្លះ​ទៀត​មិន​មាន។ សំណុំនៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់ជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា ន

ការ​រំលឹក:ចែកលេខធម្មជាតិ កហៅទៅលេខ ខ,ទៅណា កបែងចែកដោយគ្មានសល់។ ច្រើននៃចំនួនធម្មជាតិ ខហៅថាលេខធម្មជាតិ កដែលត្រូវបានបែងចែកដោយ ខដោយគ្មានដាន។ ប្រសិនបើលេខ ខ- ការបែងចែកលេខ កបន្ទាប់មក កច្រើននៃ ខ. ឧទាហរណ៍៖ 2 គឺជាផ្នែកចែកនៃ 4 និង 4 គឺជាពហុគុណនៃ 2 ។ 3 គឺជាផ្នែកចែកនៃ 12 ហើយ 12 គឺជាផលគុណនៃ 3 ។
ការ​រំលឹក:លេខធម្មជាតិត្រូវបានគេហៅថាបឋម ប្រសិនបើពួកវាត្រូវបានបែងចែកដោយគ្មានសល់តែដោយខ្លួនវាផ្ទាល់ និងដោយ 1។ Coprime គឺជាលេខដែលមានតែផ្នែកចែកធម្មតាតែមួយស្មើនឹង 1។

និយមន័យនៃវិធីស្វែងរក GCD ក្នុងករណីទូទៅ៖ដើម្បីស្វែងរក GCD (ការបែងចែកទូទៅធំបំផុត)ត្រូវការលេខធម្មជាតិជាច្រើន៖
1) បំបែកពួកវាទៅជាកត្តាសំខាន់។ (គំនូសតាងលេខបឋមអាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់រឿងនេះ។ )
2) សរសេរចេញពីកត្តាដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការពង្រីកមួយនៃពួកគេ។
3) លុបអ្នកដែលមិនត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការពង្រីកនៃចំនួនដែលនៅសល់។
4) គុណកត្តាដែលទទួលបានក្នុងកថាខ័ណ្ឌ 3) ។

កិច្ចការទី ២ លើ (NOK)៖នៅឆ្នាំថ្មី Kolya Puzatov បានទិញ hamsters 48 និង 36 កាហ្វេនៅក្នុងទីក្រុង។ Fekla Dormidontova ជាក្មេងស្រីដែលស្មោះត្រង់បំផុតនៅក្នុងថ្នាក់ បានទទួលភារកិច្ចបែងចែកទ្រព្យសម្បត្តិនេះទៅជាសំណុំអំណោយច្រើនបំផុតសម្រាប់គ្រូ។ តើចំនួនឈុតមានប៉ុន្មាន? តើសមាសភាពនៃឈុតគឺជាអ្វី?

ឧទាហរណ៍ 2.1 ។ ការដោះស្រាយបញ្ហានៃការស្វែងរក GCD ។ ស្វែងរក GCD ដោយជ្រើសរើស។
ការសម្រេចចិត្ត៖លេខនីមួយៗ 48 និង 36 ត្រូវតែបែងចែកដោយចំនួនអំណោយ។
១) សរសេរពាក្យចែក ៤៨:៤៨, ២៤, ១៦, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
២) សរសេរ​ពាក្យ​ចែក ៣៦:៣៦, ១៨, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 ជ្រើសរើសផ្នែកចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុត។ អុបឡាឡា! រក​ឃើញ​នេះ​គឺ​ជា​ចំនួន​នៃ​សំណុំ​នៃ 12 បំណែក​។
៣) ចែក ៤៨ គុណ ១២ យើងទទួលបាន ៤ ចែក ៣៦ គុណ ១២ យើងទទួលបាន ៣ កុំភ្លេចវិមាត្រ ហើយសរសេរចម្លើយ៖
ចម្លើយ៖ អ្នកនឹងទទួលបាន 12 ឈុត hamsters 4 និង 3 កាហ្វេក្នុងមួយឈុត។

ផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃចំនួនពីរគឺទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខទាំងនោះ។ នេះ។ តំណភ្ជាប់រវាង GCD និង NOCត្រូវបានកំណត់ដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ។

ផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃចំនួនគត់វិជ្ជមានពីរ a និង b គឺស្មើនឹងផលគុណនៃលេខ a និង b ដែលបែងចែកដោយការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ a និង b នោះគឺ LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).

ភស្តុតាង។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន M គឺជាពហុគុណនៃលេខ a និង b ។ នោះគឺ M ត្រូវបានបែងចែកដោយ a ហើយតាមនិយមន័យនៃការបែងចែក មានចំនួនគត់ k ដែលសមភាព M = a·k គឺពិត។ ប៉ុន្តែ M ក៏ត្រូវបានបែងចែកដោយ b បន្ទាប់មក k ត្រូវបានបែងចែកដោយ b ។

សម្គាល់ gcd(a, b) ជា d ។ បន្ទាប់មកយើងអាចសរសេរសមភាព a=a 1·d និង b=b 1·d ហើយ a 1 =a:d និង b 1 =b:d នឹងក្លាយជាលេខ coprime ។ ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌដែលទទួលបានក្នុងកថាខណ្ឌមុនដែល k ត្រូវបានបែងចែកដោយ b អាចត្រូវបានកែទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ a 1 d k ត្រូវបានបែងចែកដោយ b 1 d ហើយនេះដោយសារតែលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបែងចែកគឺស្មើនឹងលក្ខខណ្ឌដែល a 1 k ។ ត្រូវបានបែងចែកដោយ b មួយ។

យើងក៏ត្រូវសរសេរកូរ៉ូឡាសំខាន់ៗចំនួនពីរពីទ្រឹស្តីបទដែលបានពិចារណាផងដែរ។

ផលគុណទូទៅនៃចំនួនពីរគឺដូចគ្នាទៅនឹងផលគុណនៃផលគុណសាមញ្ញតិចបំផុត។

នេះជាការពិត ដោយសារពហុគុណទូទៅនៃលេខ M a និង b ត្រូវបានកំណត់ដោយសមភាព M=LCM(a, b) t សម្រាប់តម្លៃចំនួនគត់មួយចំនួន t ។

ផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃលេខវិជ្ជមាន coprime a និង b គឺស្មើនឹងផលិតផលរបស់វា។

ហេតុផលសម្រាប់ការពិតនេះគឺច្បាស់ណាស់។ ដោយសារ a និង b គឺជា coprime ដូច្នេះ gcd(a, b)=1 ដូច្នេះហើយ LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

ផលគុណទូទៅតិចបំផុតនៃចំនួនបី ឬច្រើន។

ការស្វែងរកផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃចំនួនបី ឬច្រើនអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការស្វែងរក LCM នៃចំនួនពីរជាបន្តបន្ទាប់។ របៀបដែលវាត្រូវបានធ្វើគឺត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។ a 1 , a 2 , … , k ស្របពេលជាមួយផលគុណទូទៅនៃលេខ m k-1 និង a k ដូច្នេះស្របគ្នានឹងគុណនៃ m k ។ ហើយដោយសារផលគុណវិជ្ជមានតិចបំផុតនៃលេខ m k គឺជាលេខ m k ខ្លួនវា នោះផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃលេខ a 1 , a 2 , … , a k គឺ m k ។

គន្ថនិទ្ទេស។

• Vilenkin N.Ya. ល។ គណិតវិទ្យា។ ថ្នាក់ទី៦៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ស្ថាប័នអប់រំ។
• Vinogradov I.M. មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីលេខ។
• លោក Mikhelovich Sh.Kh. ទ្រឹស្តីលេខ។
• Kulikov L.Ya. និងផ្សេងៗទៀត ការប្រមូលបញ្ហានៅក្នុងទ្រឹស្តីពិជគណិត និងលេខ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្សនៃ fiz.-mat ។ ឯកទេសនៃវិទ្យាស្ថានគរុកោសល្យ។

អត្ថបទនេះគឺអំពី ការស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុត (gcd)លេខពីរ ឬច្រើន។ ជាដំបូង សូមពិចារណាក្បួនដោះស្រាយ Euclid វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរក GCD នៃចំនួនពីរ។ បន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងរស់នៅលើវិធីសាស្រ្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងគណនា GCD នៃលេខដែលជាផលិតផលនៃកត្តាសំខាន់ទូទៅរបស់ពួកគេ។ បន្ទាប់មកទៀត យើងនឹងដោះស្រាយជាមួយនឹងការស្វែងរកអ្នកចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនបី ឬច្រើន ហើយថែមទាំងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃការគណនា GCD នៃចំនួនអវិជ្ជមានផងដែរ។

ការរុករកទំព័រ។

ក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid សម្រាប់ការស្វែងរក GCD

ចំណាំថាប្រសិនបើយើងងាកទៅរកតារាងបឋមពីដំបូងនោះ យើងនឹងដឹងថាលេខ 661 និង 113 គឺជាលេខសំខាន់ ដែលយើងអាចនិយាយបានភ្លាមៗថា ចែកទូទៅដ៏ធំបំផុតរបស់ពួកគេគឺ 1 ។

ចម្លើយ៖

gcd(661, 113)=1 .

ការស្វែងរក GCD ដោយកត្តាលេខទៅជាកត្តាសំខាន់

ពិចារណាវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីស្វែងរក GCD ។ ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតអាចត្រូវបានរកឃើញដោយការរាប់លេខទៅជាកត្តាចម្បង។ ចូរយើងបង្កើតច្បាប់៖ gcd នៃចំនួនគត់វិជ្ជមានពីរ a និង b គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃកត្តាបឋមទូទៅទាំងអស់នៅក្នុងកត្តាបឋមនៃ a និង b.

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយដើម្បីពន្យល់ពីច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរក GCD ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងដឹងពីការពង្រីកនៃលេខ 220 និង 600 ទៅជាកត្តាចម្បង ពួកគេមានទម្រង់ 220 = 2 2 5 11 និង 600 = 2 2 2 3 5 5 ។ កត្តាចម្បងទូទៅដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការពង្រីកលេខ 220 និង 600 គឺ 2, 2 និង 5 ។ ដូច្នេះ gcd(220, 600)=2 2 5=20 ។

ដូច្នេះប្រសិនបើយើងបំបែកលេខ a និង b ទៅជាកត្តាចម្បង ហើយស្វែងរកផលនៃកត្តារួមរបស់វា នោះវានឹងរកឃើញផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ a និង b ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការស្វែងរក GCD យោងទៅតាមច្បាប់ដែលបានប្រកាស។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃ 72 និង 96 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ចូរធ្វើកត្តាលេខ ៧២ និង ៩៦៖

នោះគឺ 72=2 2 2 3 3 និង 96=2 2 2 2 2 3 ។ កត្តាចម្បងទូទៅគឺ 2, 2, 2 និង 3 ។ ដូច្នេះ gcd(72, 96)=2 2 2 3=24 ។

ចម្លើយ៖

gcd(72, 96)=24 ។

នៅក្នុងការសន្និដ្ឋាននៃផ្នែកនេះ យើងកត់សំគាល់ថាសុពលភាពនៃច្បាប់ខាងលើសម្រាប់ការស្វែងរក gcd ធ្វើតាមពីទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបែងចែកទូទៅធំបំផុតដែលចែងថា GCD(m a 1 , m b 1) = m GCD(a 1 , b 1)ដែល m ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន។

ស្វែងរក GCD នៃលេខបីឬច្រើន។

ការស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនបី ឬច្រើនអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការស្វែងរក gcd នៃចំនួនពីរជាបន្តបន្ទាប់។ យើងបានលើកឡើងរឿងនេះនៅពេលសិក្សាលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ GCD ។ នៅទីនោះយើងបង្កើត និងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទ៖ ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខជាច្រើន a 1 , a 2 , … , a k គឺស្មើនឹងលេខ d k ដែលត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងការគណនាតាមលំដាប់នៃ gcd(a 1 , a 2) = d 2 , gcd(d 2 , a 3) = d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , … , GCD(d k-1, a k) = d k ។

សូមមើលពីរបៀបដែលដំណើរការនៃការស្វែងរក GCD នៃលេខជាច្រើនមើលទៅដូចដោយពិចារណាលើដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកអ្នកចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខទាំងបួន 78 294 570 និង 36 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ a 1 = 78 , a 2 = 294 , a 3 = 570 , a 4 = 36 ។

ជាដំបូង ដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយ Euclid យើងកំណត់ការបែងចែកទូទៅធំបំផុត d 2 នៃចំនួនពីរដំបូង 78 និង 294 ។ នៅពេលចែក យើងទទួលបានសមភាព 294=78 3+60 ; 78=60 1+18 ; 60=18 3+6 និង 18=6 3 ។ ដូច្នេះ ឃ ២ = GCD(78, 294)=6 ។

ឥឡូវ​យើង​គណនា d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). ជាថ្មីម្តងទៀតយើងអនុវត្តក្បួនដោះស្រាយ Euclid: 570=6·95 ដូច្នេះ d 3 =GCD(6, 570)=6 ។

វានៅសល់ដើម្បីគណនា d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). ដោយសារ 36 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 បន្ទាប់មក d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6 ។

ដូច្នេះ ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតនៃចំនួនបួនដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺ d 4 = 6 នោះគឺ gcd(78, 294, 570, 36) = 6 ។

ចម្លើយ៖

gcd(78, 294, 570, 36)=6 ។

ការបំបែកលេខទៅជាកត្តាសំខាន់ក៏អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនា GCD នៃលេខបីឬច្រើន។ ក្នុងករណីនេះ ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតត្រូវបានរកឃើញថាជាផលិតផលនៃកត្តាបឋមទូទៅទាំងអស់នៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឧទាហរណ៍។

គណនា GCD នៃលេខពីឧទាហរណ៍មុនដោយប្រើកត្តាចម្បងរបស់ពួកគេ។

ការសម្រេចចិត្ត។

យើងបំបែកលេខ 78 , 294 , 570 និង 36 ទៅជាកត្តាបឋម យើងទទួលបាន 78 = 2 3 13 , 294 = 2 3 7 7 , 570 = 2 3 5 19 , 36 = 2 2 3 . 3 ។ កត្តាសំខាន់ទូទៅនៃលេខទាំងបួនដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺលេខ 2 និង 3 ។ អាស្រ័យហេតុនេះ GCD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.