អត្ថបទនៃការងារត្រូវបានដាក់ដោយគ្មានរូបភាពនិងរូបមន្ត។
កំណែពេញលេញនៃការងារមាននៅក្នុងផ្ទាំង "ឯកសារការងារ" ជាទម្រង់ PDF

សេចក្តីផ្តើម

ពិភពនៃលេខពិតជាអាថ៌កំបាំង និងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ណាស់។ លេខមានសារៈសំខាន់ណាស់នៅក្នុងពិភពលោករបស់យើង។ ខ្ញុំចង់រៀនឱ្យបានច្រើនតាមដែលអាចធ្វើទៅបានអំពីប្រភពដើមនៃលេខ អំពីអត្ថន័យរបស់វានៅក្នុងជីវិតរបស់យើង។ តើ​ត្រូវ​អនុវត្ត​វា​ដោយ​របៀប​ណា ហើយ​តើ​ពួកគេ​មាន​តួនាទី​អ្វី​ខ្លះ​ក្នុង​ជីវិត​របស់​យើង?

កាល​ពី​ឆ្នាំ​មុន​ក្នុង​មេរៀន​គណិតវិទ្យា យើង​ចាប់​ផ្ដើម​សិក្សា​លើ​ប្រធាន​បទ "លេខ​វិជ្ជមាន និង​អវិជ្ជមាន"។ ខ្ញុំ​មាន​សំណួរ​មួយ​ថា តើ​លេខ​អវិជ្ជមាន​លេចឡើង​នៅ​ប្រទេស​ណា ដែល​អ្នក​វិទ្យាសាស្ត្រ​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​នេះ? នៅលើវិគីភីឌា ខ្ញុំបានអានថាចំនួនអវិជ្ជមានគឺជាធាតុនៃសំណុំនៃចំនួនអវិជ្ជមាន ដែល (រួមជាមួយនឹងសូន្យ) បានលេចឡើងនៅក្នុងគណិតវិទ្យានៅពេលដែលសំណុំនៃចំនួនធម្មជាតិត្រូវបានពង្រីក។ គោលបំណងនៃផ្នែកបន្ថែមគឺដើម្បីផ្តល់នូវប្រតិបត្តិការដកសម្រាប់លេខណាមួយ។ ជាលទ្ធផលនៃការពង្រីក សំណុំ (ចិញ្ចៀន) នៃចំនួនគត់ត្រូវបានទទួល ដែលរួមមានលេខវិជ្ជមាន (ធម្មជាតិ) លេខអវិជ្ជមាន និងសូន្យ។

ជាលទ្ធផលខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តស៊ើបអង្កេតប្រវត្តិសាស្រ្តនៃលេខអវិជ្ជមាន។

គោលបំណងនៃការងារនេះគឺដើម្បីសិក្សាពីប្រវត្តិនៃការកើតឡើងនៃចំនួនអវិជ្ជមាន និងវិជ្ជមាន។

វត្ថុនៃការសិក្សា - ចំនួនអវិជ្ជមាននិងលេខវិជ្ជមាន

ប្រវត្តិនៃចំនួនវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន

មនុស្សមិនអាចស៊ាំនឹងលេខអវិជ្ជមានក្នុងរយៈពេលយូរ។ លេខអវិជ្ជមានហាក់ដូចជាមិនអាចយល់បានចំពោះពួកគេ ពួកគេមិនត្រូវបានគេប្រើទេ ពួកគេគ្រាន់តែមិនឃើញអត្ថន័យច្រើននៅក្នុងពួកគេ។ លេខទាំងនេះបានលេចឡើងយឺតជាងលេខធម្មជាតិ និងប្រភាគធម្មតា។

ព័ត៌មានដំបូងអំពីចំនួនអវិជ្ជមានត្រូវបានរកឃើញក្នុងចំណោមគណិតវិទូចិននៅសតវត្សទី 2 មុនគ។ BC អ៊ី ហើយបន្ទាប់មក មានតែច្បាប់នៃការបូក និងដកនៃចំនួនវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានគេស្គាល់។ ក្បួនគុណ និងចែកមិនត្រូវបានអនុវត្តទេ។

បរិមាណវិជ្ជមាននៅក្នុងគណិតវិទ្យាចិនត្រូវបានគេហៅថា "ចេន", អវិជ្ជមាន - "ហ្វូ"; ពួកគេត្រូវបានបង្ហាញជាពណ៌ផ្សេងៗគ្នា៖ "ចេន" - ក្រហម "ហ្វូ" - ខ្មៅ។ នេះអាចឃើញនៅក្នុងសៀវភៅ Arithmetic in Nine Chapters (អ្នកនិពន្ធ Zhang Can)។ វិធីសាស្រ្តនៃការតំណាងនេះត្រូវបានប្រើនៅក្នុងប្រទេសចិនរហូតដល់ពាក់កណ្តាលសតវត្សទី 12 រហូតដល់ Li Ye បានស្នើការកត់សម្គាល់ងាយស្រួលជាងសម្រាប់លេខអវិជ្ជមាន - លេខដែលបង្ហាញពីលេខអវិជ្ជមានត្រូវបានកាត់ចេញដោយសញ្ញាដាច់ពីស្តាំទៅឆ្វេង។

មានតែនៅក្នុងសតវត្សទី 7 ប៉ុណ្ណោះ។ គណិតវិទូឥណ្ឌាបានចាប់ផ្តើមប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៃលេខអវិជ្ជមាន ប៉ុន្តែបានចាត់ទុកពួកគេថាមានការមិនទុកចិត្តខ្លះ។ Bhashara បានសរសេរដោយផ្ទាល់ថា: "មនុស្សមិនយល់ព្រមលើចំនួនអវិជ្ជមានអរូបី ... " ។ នេះជារបៀបដែលគណិតវិទូឥណ្ឌា Brahmagupta កំណត់ច្បាប់នៃការបូក និងដក៖ “ទ្រព្យ និងទ្រព្យគឺជាទ្រព្យ ផលបូកនៃបំណុលពីរគឺបំណុល។ ផលបូកនៃទ្រព្យ និងសូន្យគឺជាទ្រព្យ; ផលបូកនៃសូន្យពីរគឺសូន្យ ... បំណុលដែលដកពីសូន្យក្លាយជាទ្រព្យហើយទ្រព្យសម្បត្តិក្លាយជាបំណុល។ បើ​ចាំបាច់​យក​ទ្រព្យ​ពី​បំណុល ហើយ​បំណុល​ពី​ទ្រព្យ​គេ​យក​លុយ​គេ។ "ផលបូកនៃទ្រព្យសម្បត្តិពីរគឺទ្រព្យសម្បត្តិ។"

(+x) + (+y) = +(x + y)‏ (-x) + (-y) = - (x + y)

(-x) + (+ y) = - (x - y)‏ (-x) + (+ y) = +(y - x)

0 − (−x) = +x 0 − (+x) = −x

ប្រជាជនឥណ្ឌាបានហៅលេខវិជ្ជមានថា "dhana" ឬ "swa" (ទ្រព្យសម្បត្តិ) ហើយលេខអវិជ្ជមាន - "rina" ឬ "kshaya" (បំណុល) ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រឥណ្ឌាដែលព្យាយាមស្វែងរកឧទាហរណ៍នៃការដកបែបនេះនៅក្នុងជីវិតបានមកបកស្រាយវាពីទស្សនៈនៃការគណនាពាណិជ្ជកម្ម។ ប្រសិនបើអ្នកជំនួញមាន 5000 r ។ ហើយទិញទំនិញក្នុងតម្លៃ 3000 rubles គាត់មាន 5000 - 3000 \u003d 2000, r ។ ប្រសិនបើគាត់មាន 3,000 rubles ហើយទិញក្នុងតម្លៃ 5,000 rubles បន្ទាប់មកគាត់នៅតែជំពាក់បំណុល 2,000 rubles ។ យោងទៅតាមនេះវាត្រូវបានគេជឿថាការដក 3000 - 5000 ត្រូវបានធ្វើឡើងនៅទីនេះប៉ុន្តែលទ្ធផលគឺលេខ 2000 ដែលមានចំនុចនៅខាងលើមានន័យថា "បំណុលពីរពាន់" ។ ការបកស្រាយនេះគឺសិប្បនិម្មិត ពាណិជ្ជករមិនដែលរកឃើញចំនួនបំណុលដោយដក 3000 - 5000 ប៉ុន្តែតែងតែដក 5000 - 3000 ។

បន្តិចក្រោយមក នៅប្រទេសឥណ្ឌា និងចិនបុរាណ ពួកគេបានទាយជំនួសឱ្យពាក្យ "បំណុល 10 យន់" ដើម្បីសរសេរថា "10 យន់" ប៉ុន្តែគូរអក្សរបុរាណទាំងនេះដោយទឹកថ្នាំខ្មៅ។ ហើយសញ្ញា "+" និង "-" នៅសម័យបុរាណ មិនមែនជាលេខ ឬសម្រាប់សកម្មភាពទេ។

ជនជាតិក្រិចក៏មិនបានប្រើសញ្ញាដំបូងដែរ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រក្រិកបុរាណ Diophantus មិនទទួលស្គាល់លេខអវិជ្ជមានទាល់តែសោះ ហើយប្រសិនបើឫសអវិជ្ជមានត្រូវបានទទួលនៅពេលដោះស្រាយសមីការ នោះគាត់បានបោះបង់វាចោលថា "មិនអាចចូលបាន"។ ហើយ Diophantus បានព្យាយាមបង្កើតបញ្ហា និងបង្កើតសមីការក្នុងវិធីមួយដើម្បីជៀសវាងឫសអវិជ្ជមាន ប៉ុន្តែភ្លាមៗនោះ Diophantus នៃ Alexandria បានចាប់ផ្តើមបង្ហាញពីការដកដោយសញ្ញាមួយ។

ច្បាប់សម្រាប់ការដោះស្រាយជាមួយនឹងលេខវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមានត្រូវបានស្នើឡើងនៅដើមសតវត្សទី 3 នៅក្នុងប្រទេសអេហ្ស៊ីប។ ការណែនាំនៃបរិមាណអវិជ្ជមានបានកើតឡើងជាលើកដំបូងនៅក្នុង Diophantus ។ គាត់ថែមទាំងប្រើតួអក្សរពិសេសសម្រាប់ពួកគេ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ Diophantus ប្រើវេននៃការនិយាយដូចជា "អនុញ្ញាតឱ្យយើងបន្ថែមអវិជ្ជមានទៅភាគីទាំងពីរ" ហើយថែមទាំងបង្កើតច្បាប់នៃសញ្ញា: "អវិជ្ជមានគុណនឹងអវិជ្ជមានផ្តល់ឱ្យវិជ្ជមានខណៈពេលដែលអវិជ្ជមានគុណនឹងវិជ្ជមានផ្តល់ឱ្យ។ អវិជ្ជមាន។”

នៅទ្វីបអឺរ៉ុប លេខអវិជ្ជមានបានចាប់ផ្តើមប្រើពីសតវត្សទី 12-13 ប៉ុន្តែរហូតដល់សតវត្សទី 16 ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រភាគច្រើនបានចាត់ទុកពួកគេថា "មិនពិត" "ការស្រមើលស្រមៃ" ឬ "មិនសមហេតុផល" ផ្ទុយទៅនឹងចំនួនវិជ្ជមាន - "ពិត" ។ លេខវិជ្ជមានក៏ត្រូវបានបកស្រាយថាជា "ទ្រព្យសម្បត្តិ" និងលេខអវិជ្ជមាន - ជា "បំណុល" "កង្វះខាត" ។ សូម្បីតែគណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញ Blaise Pascal បានប្រកែកថា 0 − 4 = 0 ព្រោះគ្មានអ្វីអាចតិចជាងអ្វីទាំងអស់។ នៅទ្វីបអឺរ៉ុបលោក Leonardo Fibonacci នៃ Pisa បានចូលមកជិតដល់គំនិតនៃបរិមាណអវិជ្ជមាននៅដើមសតវត្សទី 13 ។ នៅក្នុងការប្រកួតប្រជែងក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយគណិតវិទូរបស់តុលាការនៃ Frederick II លោក Leonardo នៃ Pisa ត្រូវបានស្នើសុំឱ្យដោះស្រាយបញ្ហាមួយ: វាត្រូវបានទាមទារឱ្យស្វែងរករដ្ឋធានីរបស់មនុស្សជាច្រើន។ Fibonacci គឺអវិជ្ជមាន។ Fibonacci បាននិយាយថា "ករណីនេះមិនអាចទៅរួចទេលើកលែងតែការទទួលយកថាមនុស្សម្នាក់មិនមានដើមទុនប៉ុន្តែបំណុល" ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ លេខអវិជ្ជមានយ៉ាងច្បាស់លាស់ត្រូវបានប្រើប្រាស់ជាលើកដំបូងនៅចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 15 ដោយគណិតវិទូជនជាតិបារាំង Shuquet ។ អ្នកនិពន្ធសៀវភៅសរសេរដោយដៃលើនព្វន្ធ និងពិជគណិត វិទ្យាសាស្រ្តនៃលេខជាបីផ្នែក។ និមិត្តសញ្ញារបស់ Schücke កំពុងខិតជិតដល់សម័យទំនើប។

ការងាររបស់គណិតវិទូជនជាតិបារាំង រូបវិទ្យា និងទស្សនវិទូ René Descartes បានរួមចំណែកដល់ការទទួលស្គាល់លេខអវិជ្ជមាន។ គាត់បានស្នើឱ្យមានការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃលេខវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន - គាត់បានណែនាំបន្ទាត់កូអរដោនេ។ (១៦៣៧)។

លេខវិជ្ជមានត្រូវបានបង្ហាញនៅលើអ័ក្សលេខដោយចំណុចនៅខាងស្តាំនៃប្រភពដើម 0 លេខអវិជ្ជមាន - ទៅខាងឆ្វេង។ ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃចំនួនវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមានបានរួមចំណែកដល់ការទទួលស្គាល់របស់ពួកគេ។

នៅឆ្នាំ 1544 គណិតវិទូអាឡឺម៉ង់ Michael Stiefel ចាត់ទុកលេខអវិជ្ជមានជាលើកដំបូងថាជាលេខតិចជាងសូន្យ (ឧទាហរណ៍ "តិចជាងគ្មានអ្វី")។ ចាប់ពីពេលនោះមក លេខអវិជ្ជមានលែងត្រូវបានចាត់ទុកជាបំណុលទៀតហើយ ប៉ុន្តែតាមរបៀបថ្មីទាំងស្រុង។ Stiefel ខ្លួនឯងបានសរសេរថា "សូន្យគឺនៅចន្លោះលេខពិតនិងមិនសមហេតុសមផល ... "

ស្ទើរតែក្នុងពេលដំណាលគ្នាជាមួយ Stiefel លោក Bombelli Raffaele (ប្រហែល 1530-1572) ដែលជាគណិតវិទូ និងវិស្វករជនជាតិអ៊ីតាលី ដែលបានរកឃើញស្នាដៃរបស់ Diophantus ឡើងវិញបានការពារគំនិតនៃលេខអវិជ្ជមាន។

ដូចគ្នានេះដែរ Girard បានចាត់ទុកលេខអវិជ្ជមានពិតជាអាចទទួលយកបាន និងមានប្រយោជន៍ ជាពិសេសដើម្បីបង្ហាញពីការខ្វះខាតអ្វីមួយ។

រូបវិទូគ្រប់រូបតែងតែដោះស្រាយជាមួយលេខ៖ គាត់តែងតែវាស់វែងអ្វីមួយ គណនា គណនា។ នៅគ្រប់ទីកន្លែងនៅក្នុងឯកសាររបស់គាត់ - លេខលេខនិងលេខ។ ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលកំណត់ត្រារបស់អ្នករូបវិទ្យា អ្នកនឹងឃើញថានៅពេលសរសេរលេខ គាត់តែងតែប្រើសញ្ញា "+" និង "-" ។ (ឧទាហរណ៍៖ ទែម៉ូម៉ែត្រ ជម្រៅ និងកម្ពស់)

មានតែនៅដើមសតវត្សទី XIX ប៉ុណ្ណោះ។ ទ្រឹស្តីនៃលេខអវិជ្ជមានបានបញ្ចប់ការអភិវឌ្ឍន៍របស់វា ហើយ "លេខមិនសមហេតុផល" បានទទួលការទទួលស្គាល់ជាសកល។

និយមន័យនៃគំនិតនៃលេខ

នៅក្នុងពិភពសម័យទំនើប មនុស្សម្នាក់តែងតែប្រើលេខដោយមិនគិតពីប្រភពដើម។ បើគ្មានចំណេះដឹងពីអតីតកាលទេ មិនអាចយល់ពីបច្ចុប្បន្នបានទេ។ លេខគឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយនៃគណិតវិទ្យា។ គំនិតនៃចំនួនដែលបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងទំនាក់ទំនងជិតស្និទ្ធជាមួយនឹងការសិក្សានៃរ៉ិចទ័រ; ទំនាក់ទំនង​នេះ​បន្ត​រហូត​ដល់​សព្វ​ថ្ងៃ។ នៅគ្រប់សាខាទាំងអស់នៃគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប មនុស្សម្នាក់ត្រូវពិចារណាបរិមាណ និងការប្រើប្រាស់លេខខុសៗគ្នា។ លេខ ជា​ការ​អរូបី​ដែល​ប្រើ​ដើម្បី​កំណត់​បរិមាណ​វត្ថុ។ ដោយបានកើតឡើងនៅក្នុងសង្គមបុព្វកាលពីតម្រូវការនៃការរាប់ គោលគំនិតនៃចំនួនបានផ្លាស់ប្តូរ និងពង្រឹង ហើយប្រែទៅជាគំនិតគណិតវិទ្យាដ៏សំខាន់បំផុត។

មាននិយមន័យជាច្រើនសម្រាប់ពាក្យ "លេខ"។

និយមន័យវិទ្យាសាស្ត្រដំបូងនៃលេខត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ Euclid នៅក្នុងធាតុរបស់គាត់ដែលគាត់ច្បាស់ជាបានទទួលមរតកពីជនរួមជាតិរបស់គាត់ Eudoxus នៃ Cnidus (ប្រហែល 408 - ប្រហែល 355 មុនគ។ មួយ។ លេខគឺជាសំណុំដែលផ្សំឡើងដោយឯកតា។ នេះជារបៀបដែលគំនិតនៃចំនួនត្រូវបានកំណត់ដោយគណិតវិទូជនជាតិរុស្សី Magnitsky នៅក្នុងនព្វន្ធរបស់គាត់ (1703) ។ សូម្បីតែមុនពេល Euclid ក៏ដោយ អារីស្តូតបានផ្តល់និយមន័យដូចខាងក្រោមថា "ចំនួនគឺជាសំណុំដែលត្រូវបានវាស់ដោយជំនួយពីឯកតា" ។ នៅក្នុង "នព្វន្ធទូទៅ" របស់គាត់ (1707) រូបវិទូអង់គ្លេសដ៏អស្ចារ្យ មេកានិច តារាវិទូ និងគណិតវិទូ អ៊ីសាក់ ញូតុន បានសរសេរថា "តាមចំនួនយើងមានន័យថាមិនច្រើនទេ សំណុំនៃឯកតា ប៉ុន្តែសមាមាត្រអរូបីនៃបរិមាណមួយចំនួនទៅបរិមាណផ្សេងទៀតនៃចំនួនដូចគ្នា ប្រភេទ, យកជាឯកតា។ លេខមានបីប្រភេទ៖ ចំនួនគត់ ប្រភាគ និងអសមហេតុផល។ ចំនួនគត់គឺដែលត្រូវបានវាស់ដោយឯកតា; ប្រភាគ - ពហុគុណនៃឯកតា មិនសមហេតុផល - លេខដែលមិនសមស្របនឹងឯកតា។

គណិតវិទូ Mariupol S.F. Klyuykov ក៏បានរួមចំណែកដល់និយមន័យនៃគោលគំនិតនៃលេខផងដែរ៖ "លេខគឺជាគំរូគណិតវិទ្យានៃពិភពពិត ដែលបង្កើតឡើងដោយមនុស្សសម្រាប់ចំណេះដឹងរបស់គាត់" ។ គាត់ក៏បានណែនាំអ្វីដែលគេហៅថា "លេខមុខងារ" ទៅក្នុងចំណាត់ថ្នាក់ប្រពៃណីនៃលេខ មានន័យថាអ្វីដែលគេហៅថាមុខងារទូទាំងពិភពលោក។

លេខធម្មជាតិកើតឡើងនៅពេលរាប់វត្ថុ។ ខ្ញុំបានរៀនអំពីរឿងនេះនៅថ្នាក់ទី ៥ ។ បន្ទាប់មកខ្ញុំបានដឹងថាតម្រូវការរបស់មនុស្សក្នុងការវាស់វែងបរិមាណមិនតែងតែត្រូវបានបង្ហាញជាចំនួនទាំងមូលនោះទេ។ បន្ទាប់ពីការបន្ថែមនៃសំណុំលេខធម្មជាតិទៅជាប្រភាគ វាអាចបែងចែកចំនួនគត់ដោយចំនួនគត់ផ្សេងទៀត (លើកលែងតែការបែងចែកដោយសូន្យ)។ មានលេខប្រភាគ។ ដើម្បីដកចំនួនគត់ពីចំនួនគត់ផ្សេងទៀត នៅពេលដែលដកគឺធំជាងការកាត់នោះ ហាក់បីដូចជាមិនអាចទៅរួចក្នុងរយៈពេលយូរ។ គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍សម្រាប់ខ្ញុំគឺការពិតដែលថាអស់រយៈពេលជាយូរមកហើយគណិតវិទូជាច្រើនមិនទទួលស្គាល់លេខអវិជ្ជមានដោយជឿថាពួកគេមិនត្រូវគ្នានឹងបាតុភូតពិតប្រាកដណាមួយឡើយ។

ប្រភពដើមនៃពាក្យ "បូក" និង "ដក"

ពាក្យ​មក​ពី​ពាក្យ បូក - "ច្រើន" ដក - "តិច" ។ ដំបូង សកម្មភាពត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរទីមួយ p; ម គណិតវិទូជាច្រើនចូលចិត្ត ឬ ការលេចឡើងនៃសញ្ញាទំនើប "+", "-" គឺមិនច្បាស់លាស់ទាំងស្រុង។ សញ្ញា "+" ប្រហែលជាមកពីអក្សរកាត់ et, i.e. "និង" ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វាអាចកើតឡើងពីការអនុវត្តពាណិជ្ជកម្ម៖ វិធានការលក់ស្រាត្រូវបានសម្គាល់នៅលើធុងដោយសញ្ញា "-" ហើយនៅពេលដែលភាគហ៊ុនត្រូវបានស្ដារឡើងវិញ ពួកគេត្រូវបានកាត់ចេញ សញ្ញា "+" ត្រូវបានទទួល។

នៅប្រទេសអ៊ីតាលី អ្នកខ្ចីលុយ ឲ្យខ្ចីលុយ ដាក់នៅពីមុខឈ្មោះកូនបំណុល ចំនួនទឹកប្រាក់នៃបំណុល និងសញ្ញាចុចដូចជាដករបស់យើង ហើយនៅពេលដែលកូនបំណុលបានសងលុយវិញ ពួកគេបានកាត់វាចេញ ដូចជាការបូករបស់យើង។

សញ្ញាទំនើប "+" បានបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងប្រទេសអាឡឺម៉ង់ក្នុងទសវត្សរ៍ចុងក្រោយនៃសតវត្សទី 15 ។ នៅក្នុងសៀវភៅ Widmann ដែលជាការណែនាំអំពីគណនីសម្រាប់ពាណិជ្ជករ (1489) ។ ឆេក Jan Widman បានសរសេរ "+" និង "-" រួចហើយសម្រាប់ការបូក និងដក។

បន្តិចក្រោយមក អ្នកប្រាជ្ញអាឡឺម៉ង់ Michel Stiefel បានសរសេរ លេខនព្វន្ធពេញលេញ ដែលត្រូវបានបោះពុម្ពនៅឆ្នាំ ១៥៤៤។ វាមានធាតុបែបនេះសម្រាប់លេខ៖ 0-2; 0+2; 0-5; 0+7 ។ លេខនៃប្រភេទទីមួយដែលគាត់ហៅថា "តិចជាងគ្មានអ្វី" ឬ "ទាបជាងគ្មានអ្វី" ។ លេខនៃប្រភេទទីពីរដែលគាត់ហៅថា "ច្រើនជាងគ្មានអ្វី" ឬ "ខ្ពស់ជាងគ្មានអ្វី" ។ ជាការពិតណាស់អ្នកយល់ពីឈ្មោះទាំងនេះព្រោះ "គ្មានអ្វី" គឺ 0 ។

លេខអវិជ្ជមាននៅអេហ្ស៊ីប

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ទោះបីជាមានការសង្ស័យបែបនេះក៏ដោយ ក៏ច្បាប់សម្រាប់ការដោះស្រាយជាមួយនឹងចំនួនវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមានត្រូវបានស្នើឡើងរួចហើយនៅក្នុងសតវត្សទី 3 នៅក្នុងប្រទេសអេហ្ស៊ីប។ ការណែនាំនៃបរិមាណអវិជ្ជមានបានកើតឡើងជាលើកដំបូងនៅក្នុង Diophantus ។ គាត់ថែមទាំងប្រើតួអក្សរពិសេសសម្រាប់ពួកគេ (ឥឡូវនេះយើងប្រើសញ្ញាដកសម្រាប់នោះ) ។ ពិត អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រជជែកគ្នាថាតើនិមិត្តសញ្ញានៃ Diophantus មានន័យជាក់លាក់ចំនួនអវិជ្ជមាន ឬគ្រាន់តែប្រតិបត្តិការដក ពីព្រោះនៅក្នុងលេខអវិជ្ជមាន Diophantus មិនកើតឡើងក្នុងភាពឯកោទេ ប៉ុន្តែមានតែនៅក្នុងទម្រង់នៃភាពខុសគ្នាវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ ហើយគាត់ចាត់ទុកតែលេខវិជ្ជមានសនិទានថាជាចម្លើយក្នុងបញ្ហា។ ប៉ុន្តែនៅពេលជាមួយគ្នានោះ Diophantus ប្រើវេននៃការនិយាយបែបនេះថា "អនុញ្ញាតឱ្យយើងបន្ថែមអវិជ្ជមានទៅភាគីទាំងពីរ" ហើយថែមទាំងបង្កើតច្បាប់នៃសញ្ញា: "អវិជ្ជមានគុណនឹងអវិជ្ជមានផ្តល់ឱ្យវិជ្ជមានខណៈពេលដែលអវិជ្ជមានគុណនឹងវិជ្ជមាន។ ផ្តល់អវិជ្ជមាន” (ដែលជាធម្មតាត្រូវបានបង្កើតឥឡូវនេះ៖ “ដកមួយដោយដកផ្តល់បូក ដកមួយដោយបូកផ្តល់ដកមួយ”)។

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

លេខអវិជ្ជមាននៅអាស៊ីបុរាណ

បរិមាណវិជ្ជមាននៅក្នុងគណិតវិទ្យាចិនត្រូវបានគេហៅថា "ចេន", អវិជ្ជមាន - "ហ្វូ"; ពួកគេត្រូវបានបង្ហាញជាពណ៌ផ្សេងៗគ្នា៖ "ចេន" - ក្រហម "ហ្វូ" - ខ្មៅ។ វិធីសាស្រ្តនៃការតំណាងនេះត្រូវបានប្រើនៅក្នុងប្រទេសចិនរហូតដល់ពាក់កណ្តាលសតវត្សទី 12 រហូតដល់ Li Ye បានស្នើការកត់សម្គាល់ងាយស្រួលជាងសម្រាប់លេខអវិជ្ជមាន - លេខដែលបង្ហាញពីលេខអវិជ្ជមានត្រូវបានកាត់ចេញដោយសញ្ញាដាច់ពីស្តាំទៅឆ្វេង។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រឥណ្ឌាដែលព្យាយាមស្វែងរកឧទាហរណ៍នៃការដកបែបនេះនៅក្នុងជីវិតបានមកបកស្រាយវាពីទស្សនៈនៃការគណនាពាណិជ្ជកម្ម។

ប្រសិនបើអ្នកជំនួញមាន 5000 r ។ ហើយទិញទំនិញក្នុងតម្លៃ 3000 rubles គាត់មាន 5000 - 3000 \u003d 2000, r ។ ប្រសិនបើគាត់មាន 3,000 rubles ហើយទិញក្នុងតម្លៃ 5,000 rubles បន្ទាប់មកគាត់នៅតែជំពាក់បំណុល 2,000 rubles ។ យោងទៅតាមនេះវាត្រូវបានគេជឿថាការដក 3000 - 5000 ត្រូវបានធ្វើឡើងនៅទីនេះប៉ុន្តែលទ្ធផលគឺលេខ 2000 ដែលមានចំនុចនៅខាងលើមានន័យថា "បំណុលពីរពាន់" ។

ការបកស្រាយនេះគឺសិប្បនិម្មិតនៅក្នុងធម្មជាតិ ពាណិជ្ជករមិនដែលរកឃើញចំនួនបំណុលដោយដក 3000 - 5000 ប៉ុន្តែតែងតែដក 5000 - 3000។ លើសពីនេះ ដោយផ្អែកលើមូលដ្ឋាននេះ គេអាចពន្យល់បានត្រឹមតែច្បាប់សម្រាប់បូក និងដកប៉ុណ្ណោះ។ "លេខដែលមានចំនុច" ប៉ុន្តែគ្មានវិធីពន្យល់ពីច្បាប់នៃការគុណ ឬចែកឡើយ។

នៅក្នុងសតវត្ស V-VI លេខអវិជ្ជមានលេចឡើងហើយត្រូវបានចែកចាយយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងគណិតវិទ្យាឥណ្ឌា។ នៅក្នុងប្រទេសឥណ្ឌា លេខអវិជ្ជមានត្រូវបានប្រើប្រាស់ជាប្រព័ន្ធក្នុងវិធីជាច្រើនដូចដែលយើងធ្វើឥឡូវនេះ។ គណិតវិទូឥណ្ឌាបានប្រើលេខអវិជ្ជមានតាំងពីសតវត្សទី 7 ។ ន. e.: Brahmagupta បានបង្កើតច្បាប់សម្រាប់ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធជាមួយពួកគេ។ នៅក្នុងការងាររបស់គាត់ យើងបានអានថា “ទ្រព្យសម្បត្តិ និងទ្រព្យសម្បត្តិគឺជាទ្រព្យសម្បត្តិ ផលបូកនៃបំណុលពីរគឺបំណុល។ ផលបូកនៃទ្រព្យ និងសូន្យគឺជាទ្រព្យ; ផលបូកនៃសូន្យពីរគឺសូន្យ ... បំណុលដែលដកពីសូន្យក្លាយជាទ្រព្យហើយទ្រព្យសម្បត្តិក្លាយជាបំណុល។ បើ​ចាំបាច់​យក​ទ្រព្យ​ពី​បំណុល ហើយ​បំណុល​ពី​ទ្រព្យ​គេ​យក​លុយ​គេ។

ប្រជាជនឥណ្ឌាបានហៅលេខវិជ្ជមានថា "dhana" ឬ "swa" (ទ្រព្យសម្បត្តិ) ហើយលេខអវិជ្ជមាន - "rina" ឬ "kshaya" (បំណុល) ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងប្រទេសឥណ្ឌា មានបញ្ហាជាមួយនឹងការយល់ដឹង និងការទទួលយកចំនួនអវិជ្ជមាន។

លេខអវិជ្ជមាននៅអឺរ៉ុប

គណិតវិទូអ៊ឺរ៉ុបមិនបានយល់ព្រមជាយូរយារណាស់មកហើយ ដោយសារតែការបកស្រាយអំពី "បំណុលអចលនទ្រព្យ" បង្កឱ្យមានការងឿងឆ្ងល់ និងការសង្ស័យ។ ជាការពិត តើទ្រព្យ និងបំណុលអាច "បន្ថែម" ឬ "ដក" យ៉ាងដូចម្តេច តើអត្ថន័យពិតអាច "គុណ" ឬ "ការបែងចែក" នៃទ្រព្យដោយបំណុលមានអ្វីខ្លះ? (G.I. Glazer, ប្រវត្តិគណិតវិទ្យានៅសាលាថ្នាក់ទី IV-VI. Moscow, Education, 1981)

នោះហើយជាមូលហេតុដែលលេខអវិជ្ជមានបានឈ្នះកន្លែងរបស់ពួកគេនៅក្នុងគណិតវិទ្យាជាមួយនឹងការលំបាកយ៉ាងខ្លាំង។ នៅទ្វីបអឺរ៉ុប លោក Leonardo Fibonacci នៃ Pisa បានចូលមកជិតដល់គំនិតនៃបរិមាណអវិជ្ជមាននៅដើមសតវត្សទី 13 ប៉ុន្តែគណិតវិទូជនជាតិបារាំង Shuquet ដំបូងបានប្រើលេខអវិជ្ជមានយ៉ាងច្បាស់លាស់នៅចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 15 ។ អ្នកនិពន្ធសៀវភៅសរសេរដោយដៃលើនព្វន្ធ និងពិជគណិត វិទ្យាសាស្រ្តនៃលេខជាបីផ្នែក។ និមិត្ត​រូប​របស់ Schuke ខិត​មក​ដល់​ទំនើប​ហើយ (Mathematical Encyclopedic Dictionary. M., Sov. Encyclopedia, 1988)

ការបកស្រាយសម័យទំនើបនៃលេខអវិជ្ជមាន

នៅឆ្នាំ 1544 គណិតវិទូអាឡឺម៉ង់ Michael Stiefel ចាត់ទុកលេខអវិជ្ជមានជាលើកដំបូងថាជាលេខតិចជាងសូន្យ (ឧទាហរណ៍ "តិចជាងគ្មានអ្វី")។ ចាប់ពីពេលនោះមក លេខអវិជ្ជមានលែងត្រូវបានចាត់ទុកជាបំណុលទៀតហើយ ប៉ុន្តែតាមរបៀបថ្មីទាំងស្រុង។ Stiefel ខ្លួនឯងបានសរសេរថា: "សូន្យគឺនៅចន្លោះលេខពិតនិងមិនសមហេតុសមផល ... " (G.I. Glaser, ប្រវត្តិគណិតវិទ្យានៅថ្នាក់ទី IV-VI. Moscow, Education, 1981)

បន្ទាប់ពីនោះ Stiefel លះបង់ការងាររបស់គាត់ទាំងស្រុងចំពោះគណិតវិទ្យា ដែលគាត់ជាអ្នកបង្រៀនខ្លួនឯងដ៏អស្ចារ្យ។ ទីមួយនៅអឺរ៉ុបបន្ទាប់ពី Nikola Shuke បានចាប់ផ្តើមប្រតិបត្តិការជាមួយនឹងលេខអវិជ្ជមាន។

គណិតវិទូបារាំងដ៏ល្បីល្បាញ René Descartes in Geometry (1637) ពិពណ៌នាអំពី ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃចំនួនវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ លេខវិជ្ជមានត្រូវបានបង្ហាញនៅលើអ័ក្សលេខដោយចំណុចនៅខាងស្តាំនៃប្រភពដើម 0, អវិជ្ជមាន - ទៅខាងឆ្វេង។ ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃចំនួនវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាននាំឱ្យការយល់ដឹងកាន់តែច្បាស់អំពីធម្មជាតិនៃចំនួនអវិជ្ជមាន និងរួមចំណែកដល់ការទទួលស្គាល់របស់ពួកគេ។

ស្ទើរតែក្នុងពេលដំណាលគ្នាជាមួយ Stiefel, R. Bombelli Raffaele (ប្រហែល 1530-1572) ដែលជាគណិតវិទូ និងវិស្វករជនជាតិអ៊ីតាលី ដែលបានរកឃើញឡើងវិញនូវការងាររបស់ Diophantus ការពារគំនិតនៃលេខអវិជ្ជមាន។

ផ្ទុយទៅវិញ Bombelli និង Girard បានចាត់ទុកលេខអវិជ្ជមានពិតជាអាចទទួលយកបាន និងមានប្រយោជន៍ ជាពិសេសដើម្បីបង្ហាញពីការខ្វះខាតអ្វីមួយ។ ការរចនាសម័យទំនើបនៃលេខវិជ្ជមាននិងអវិជ្ជមានជាមួយនឹងសញ្ញា "+" និង "-" ត្រូវបានប្រើដោយគណិតវិទូជនជាតិអាល្លឺម៉ង់ Widman ។ កន្សោម "ទាបជាងគ្មានអ្វី" បង្ហាញថា Stiefel និងអ្នកផ្សេងទៀតគិតគូរពីចំនួនវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមានជាចំណុចនៅលើមាត្រដ្ឋានបញ្ឈរ (ដូចជាមាត្រដ្ឋាននៃទែម៉ូម៉ែត្រ)។ គំនិតដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅពេលក្រោយដោយគណិតវិទូ A. Girard នៃចំនួនអវិជ្ជមានជាចំណុចនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ជាក់លាក់មួយ ដែលមានទីតាំងនៅម្ខាងទៀតនៃសូន្យជាងចំនួនវិជ្ជមាន បានប្រែក្លាយទៅជាការសម្រេចចិត្តក្នុងការផ្តល់លេខទាំងនេះជាមួយនឹងសិទ្ធិនៃសញ្ជាតិ ជាពិសេសក្នុងនាមជា លទ្ធផលនៃការអភិវឌ្ឍន៍វិធីសាស្ត្រសម្របសម្រួលដោយ P. Fermat និង R. Descartes ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

នៅក្នុងការងាររបស់ខ្ញុំ ខ្ញុំបានស្វែងយល់ពីប្រវត្តិនៃលេខអវិជ្ជមាន។ ក្នុង​អំឡុង​ពេល​នៃ​ការ​ស្រាវ​ជ្រាវ​របស់​ខ្ញុំ ខ្ញុំ​បាន​សន្និដ្ឋាន​ថា​៖

វិទ្យាសាស្រ្តសម័យទំនើបជួបប្រទះបរិមាណនៃធម្មជាតិដ៏ស្មុគស្មាញបែបនេះ ដែលសម្រាប់ការសិក្សារបស់ពួកគេ ចាំបាច់ត្រូវបង្កើតប្រភេទលេខថ្មី។

នៅពេលណែនាំលេខថ្មី កាលៈទេសៈពីរមានសារៈសំខាន់ខ្លាំង៖

ក) វិធាននៃសកម្មភាពលើពួកគេត្រូវតែត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពេញលេញ និងមិននាំឱ្យមានភាពផ្ទុយគ្នា;

ខ) ប្រព័ន្ធថ្មីនៃលេខគួរតែរួមចំណែកដល់ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាថ្មី ឬកែលម្អដំណោះស្រាយដែលគេស្គាល់រួចហើយ។

រហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះ មានកម្រិតទូទៅចំនួនប្រាំពីរដែលទទួលយកបានជាទូទៅនៃលេខ៖ ធម្មជាតិ សនិទានភាព ពិត ស្មុគស្មាញ វ៉ិចទ័រ ម៉ាទ្រីស និងលេខឆ្លងកាត់។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រខ្លះស្នើឱ្យពិចារណាមុខងារជាលេខមុខងារ និងពង្រីកកម្រិតនៃភាពទូទៅនៃលេខដល់ដប់ពីរកម្រិត។

ខ្ញុំនឹងព្យាយាមសិក្សាសំណុំលេខទាំងអស់នេះ។

ឧបសម្ព័ន្ធ

POEM

"ការបន្ថែមលេខអវិជ្ជមាន និងលេខដែលមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា"

ប្រសិនបើអ្នកចង់បត់

លេខគឺអវិជ្ជមាន គ្មានអ្វីដែលត្រូវសោកស្ដាយឡើយ៖

យើងត្រូវស្វែងរកឱ្យបានឆាប់នូវផលបូកនៃម៉ូឌុល

បន្ទាប់មកយកសញ្ញាដកហើយបន្ថែមវាទៅវា។

ប្រសិនបើលេខដែលមានសញ្ញាផ្សេងគ្នាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

ដើម្បីស្វែងរកផលបូករបស់ពួកគេ យើងទាំងអស់គ្នានៅទីនោះ។

ម៉ូឌុលធំជាងគឺអាចជ្រើសរើសបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស។

ពីវាយើងដកលេខតូចជាង។

អ្វីដែលសំខាន់បំផុតគឺកុំភ្លេចសញ្ញា!

តើអ្នកនឹងដាក់មួយណា? - យើងចង់សួរ

យើងនឹងលាតត្រដាងអាថ៌កំបាំងដល់អ្នក វាមិនងាយស្រួលទេ

ចុះហត្ថលេខា ដែលម៉ូឌុលធំជាង សរសេរក្នុងចម្លើយ។

ច្បាប់សម្រាប់បន្ថែមលេខវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន

បន្ថែមដកជាមួយដក,

អ្នកអាចទទួលបានដក។

ប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមដក, បូក,

នោះ​នឹង​ក្លាយ​ជា​ការ​អាម៉ាស់​?!

ជ្រើសរើសសញ្ញានៃលេខ

អ្វី​ដែល​ខ្លាំង​ជាង​កុំ​ព្រហើន!

យកម៉ូឌុលរបស់ពួកគេ។

បាទ, ធ្វើឱ្យសន្តិភាពជាមួយនឹងលេខទាំងអស់!

ក្បួនគុណក៏អាចបកស្រាយបានតាមវិធីនេះ៖

"មិត្តរបស់មិត្តគឺមិត្តរបស់ខ្ញុំ": + ∙ + = + ។

"សត្រូវរបស់សត្រូវគឺមិត្តរបស់ខ្ញុំ": ─ ∙ ─ = + ។

"មិត្តរបស់សត្រូវគឺជាសត្រូវរបស់ខ្ញុំ": + ∙ ─ = ─។

"សត្រូវរបស់មិត្តគឺជាសត្រូវរបស់ខ្ញុំ": ─ ∙ + = ─ ។

សញ្ញាគុណជាចំនុច វាមានសញ្ញាបី៖

គ្របដណ្តប់ពីរនាក់ក្នុងចំណោមពួកគេទីបីនឹងផ្តល់ចម្លើយ។

ឧទាហរណ៍។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់សញ្ញានៃផលិតផល 2∙(-3)?

ចូរបិទសញ្ញាបូកនិងដកដោយដៃរបស់យើង។ មានសញ្ញាដក

គន្ថនិទ្ទេស

"ប្រវត្តិនៃពិភពលោកបុរាណ", ថ្នាក់ទី 5 ។ Kolpakov, Selunskaya ។

"ប្រវត្តិសាស្រ្តនៃគណិតវិទ្យានៅសម័យបុរាណ", E. Kolman ។

"សៀវភៅណែនាំរបស់សិស្ស" ។ គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ព VES, សាំងពេទឺប៊ឺគ។ ២០០៣

សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យាដ៏អស្ចារ្យ។ Yakusheva G.M. និងល។

Vigasin A.A., Goder G.I., "ប្រវត្តិសាស្រ្តនៃពិភពលោកបុរាណ", សៀវភៅសិក្សាថ្នាក់ទី 5, 2001

វិគីភីឌា។ សព្វវចនាធិប្បាយឥតគិតថ្លៃ។

ការកើតឡើង និងការអភិវឌ្ឍន៍នៃវិទ្យាសាស្ត្រគណិតវិទ្យា៖ សៀវភៅ។ សម្រាប់គ្រូ។ - អិមៈ ការត្រាស់ដឹង ឆ្នាំ១៩៨៧។

Gelfman E.G. "លេខវិជ្ជមាន និងលេខអវិជ្ជមាន" សៀវភៅគណិតវិទ្យាសម្រាប់ថ្នាក់ទី៦ ឆ្នាំ២០០១។

ក្បាល។ ed ។ M.D. Aksyonova ។ - M. : Avanta + ឆ្នាំ 1998 ។

Glazer G. I. "ប្រវត្តិសាស្រ្តនៃគណិតវិទ្យានៅសាលា", ទីក្រុងម៉ូស្គូ, "Prosveshchenie", ឆ្នាំ 1981

សព្វវចនាធិប្បាយរបស់កុមារ "ខ្ញុំស្គាល់ពិភពលោក" ទីក្រុងម៉ូស្គូ "ការត្រាស់ដឹង" ឆ្នាំ 1995 ។

ប្រវត្តិគណិតវិទ្យានៅសាលា ថ្នាក់ទី IV-VI ។ G.I. Glazer, Moscow, ការអប់រំ, 1981 ។

ទីក្រុងម៉ូស្គូ: ហ្វីល O-vo "WORD": OLMA-PRESS, 2005 ។

Malygin K.A.

វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា។ M., Sov ។ សព្វវចនាធិប្បាយ ឆ្នាំ ១៩៨៨។

Nurk E.R., Telgmaa A.E. "គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី 6" ទីក្រុងម៉ូស្គូ "ការត្រាស់ដឹង" ឆ្នាំ 1989

សៀវភៅសិក្សាថ្នាក់ទី ៥ ។ Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Schwarzburd ។

Fridman L. M. "Studying Mathematics" បោះពុម្ពឆ្នាំ 1994

E.G. Gelfman et al ។ , លេខវិជ្ជមាននិងអវិជ្ជមាននៅក្នុងរោងមហោស្រព Pinocchio ។ សៀវភៅ​គណិតវិទ្យា​សម្រាប់​ថ្នាក់​ទី​៦។ ការបោះពុម្ពលើកទី 3 កែតម្រូវ - Tomsk: Tomsk University Publishing House, 1998 ។

សព្វវចនាធិប្បាយសម្រាប់កុមារ។ ត.១១. គណិតវិទ្យា

លេខវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន
បន្ទាត់សំរបសំរួល
តោះទៅត្រង់។ យើងសម្គាល់ចំណុច 0 (សូន្យ) នៅលើវា ហើយយកចំណុចនេះជាប្រភពដើម។

ចូរ​យើង​ចង្អុល​បង្ហាញ​ដោយ​ព្រួញ​នូវ​ទិសដៅ​នៃ​ចលនា​តាម​បន្ទាត់​ត្រង់​ទៅ​ខាង​ស្ដាំ​នៃ​ប្រភព​ដើម។ ក្នុងទិសដៅនេះពីចំណុច 0 យើងនឹងពន្យារពេលលេខវិជ្ជមាន។

នោះគឺលេខដែលយើងស្គាល់រួចហើយ លើកលែងតែលេខសូន្យ ត្រូវបានគេហៅថាវិជ្ជមាន។

ជួនកាលលេខវិជ្ជមានត្រូវបានសរសេរដោយសញ្ញា "+" ។ ឧទាហរណ៍ "+8" ។

សម្រាប់ភាពខ្លី សញ្ញា "+" នៅពីមុខចំនួនវិជ្ជមានជាធម្មតាត្រូវបានលុបចោល ហើយជំនួសឱ្យ "+8" ពួកគេគ្រាន់តែសរសេរលេខ 8 ។

ដូច្នេះ "+3" និង "3" គឺជាលេខដូចគ្នា តែត្រូវបានកំណត់ខុសគ្នា។

ចូរជ្រើសរើសផ្នែកខ្លះប្រវែងដែលយើងនឹងយកជាការរួបរួម ហើយដាក់វាមួយឡែកជាច្រើនដងនៅខាងស្តាំចំនុច 0។ នៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកទីមួយ លេខ 1 ត្រូវបានសរសេរនៅចុងបញ្ចប់នៃទីពីរ - the លេខ ២ ជាដើម។

ការដាក់ផ្នែកមួយនៅខាងឆ្វេងនៃប្រភពដើម យើងទទួលបានលេខអវិជ្ជមាន៖ -1; -២; ល។

លេខអវិជ្ជមានប្រើដើម្បីសម្គាល់បរិមាណផ្សេងៗដូចជា៖ សីតុណ្ហភាព (ក្រោមសូន្យ) លំហូរ - នោះគឺ ប្រាក់ចំណូលអវិជ្ជមាន ជម្រៅ - កម្ពស់អវិជ្ជមាន និងផ្សេងទៀត។

ដូចដែលអាចមើលឃើញពីតួលេខ លេខអវិជ្ជមានគឺជាលេខដែលយើងស្គាល់រួចមកហើយ តែមានសញ្ញាដក៖ -8; -៥.២៥ ជាដើម។

• លេខ 0 មិនវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមានទេ។

អ័ក្សលេខជាធម្មតាត្រូវបានដាក់ផ្ដេកឬបញ្ឈរ។

ប្រសិនបើបន្ទាត់កូអរដោនេគឺបញ្ឈរ នោះទិសដៅឡើងពីប្រភពដើមជាធម្មតាត្រូវបានចាត់ទុកថាជាវិជ្ជមាន ហើយចុះពីប្រភពដើម - អវិជ្ជមាន។

ព្រួញបង្ហាញពីទិសដៅវិជ្ជមាន។

បន្ទាត់ត្រង់បានសម្គាល់៖
. ចំណុចយោង (ចំណុច 0);
. ផ្នែកតែមួយ;
. ព្រួញបង្ហាញពីទិសដៅវិជ្ជមាន;
បានហៅ បន្ទាត់សំរបសំរួល ឬបន្ទាត់លេខ។

លេខទល់មុខនៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ
ចូរគូសនៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេពីរចំណុច A និង B ដែលស្ថិតនៅចម្ងាយដូចគ្នាពីចំណុច 0 ទៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេង រៀងគ្នា។

ក្នុងករណីនេះប្រវែងនៃផ្នែក OA និង OB គឺដូចគ្នា។

នេះមានន័យថាកូអរដោនេនៃចំណុច A និង B ខុសគ្នាតែនៅក្នុងសញ្ញាប៉ុណ្ណោះ។


ចំណុច A និង B ក៏ត្រូវបានគេនិយាយថាស៊ីមេទ្រីអំពីប្រភពដើម។
កូអរដោនេនៃចំណុច A គឺវិជ្ជមាន "+2" កូអរដោនេនៃចំណុច B មានសញ្ញាដក "-2" ។
A (+2), B (-2) ។

• លេខដែលខុសគ្នាតែក្នុងសញ្ញាប៉ុណ្ណោះត្រូវបានគេហៅថាលេខផ្ទុយ។ ចំនុចដែលត្រូវគ្នានៃអ័ក្សលេខ (សំរបសំរួល) គឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងប្រភពដើម។

លេខនីមួយៗ មានលេខផ្ទុយតែមួយ. មានតែលេខ ០ ប៉ុណ្ណោះ ដែលមិនផ្ទុយគ្នា ប៉ុន្តែយើងអាចនិយាយបានថា វាផ្ទុយនឹងខ្លួនវាផ្ទាល់។

សញ្ញា "-a" មានន័យថាផ្ទុយពី "a" ។ ចងចាំថាអក្សរអាចលាក់ទាំងលេខវិជ្ជមាន និងលេខអវិជ្ជមាន។

ឧទាហរណ៍៖
-៣ គឺផ្ទុយពី ៣។

យើងសរសេរវាជាកន្សោម៖
-3 = -(+3)

ឧទាហរណ៍៖
-(-៦) - លេខទល់នឹងលេខអវិជ្ជមាន -៦ ។ ដូច្នេះ -(-6) គឺជាលេខវិជ្ជមាន 6 ។

យើងសរសេរវាជាកន្សោម៖
-(-6) = 6

ការបន្ថែមលេខអវិជ្ជមាន
ការបន្ថែមលេខវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមានអាចត្រូវបានញែកដោយប្រើបន្ទាត់លេខ។

ការបន្ថែមលេខតូចក្នុងតម្លៃដាច់ខាតត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងងាយស្រួលនៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេ ដោយគិតដោយបញ្ញាជាចំណុចដែលបង្ហាញពីលេខផ្លាស់ទីតាមអ័ក្សលេខ។

ចូរយកលេខមួយចំនួនឧទាហរណ៍ 3. ចូរយើងបង្ហាញវានៅលើអ័ក្សលេខដែលមានចំនុច A ។

ចូរបន្ថែមលេខវិជ្ជមាន 2 ទៅលេខ។ នេះនឹងមានន័យថាចំណុច A ត្រូវតែផ្លាស់ទីផ្នែកឯកតាពីរក្នុងទិសដៅវិជ្ជមាន ពោលគឺទៅខាងស្តាំ។ ជាលទ្ធផលយើងនឹងទទួលបានចំណុច B ជាមួយនឹងកូអរដោនេ 5 ។
3 + (+ 2) = 5

ដើម្បីបន្ថែមលេខអវិជ្ជមាន (-5) ទៅលេខវិជ្ជមាន ឧទាហរណ៍ ទៅ 3 ចំណុច A ត្រូវតែផ្លាស់ទី 5 ឯកតានៃប្រវែងក្នុងទិសដៅអវិជ្ជមាន ពោលគឺទៅខាងឆ្វេង។

ក្នុងករណីនេះកូអរដោនេនៃចំណុច B គឺ -2 ។

ដូច្នេះ លំដាប់នៃការបន្ថែមលេខសមហេតុសមផលដោយប្រើអ័ក្សលេខនឹងមានដូចខាងក្រោម៖
. សម្គាល់ចំណុច A នៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេដែលមានកូអរដោណេស្មើនឹងពាក្យទីមួយ។
. ផ្លាស់ទីវាចម្ងាយស្មើនឹងម៉ូឌុលនៃពាក្យទីពីរក្នុងទិសដៅដែលត្រូវនឹងសញ្ញានៅពីមុខលេខទីពីរ (បូក - ផ្លាស់ទីទៅខាងស្តាំដក - ទៅខាងឆ្វេង);
. ចំនុច B ដែលទទួលបាននៅលើអ័ក្សនឹងមានកូអរដោណេដែលនឹងស្មើនឹងផលបូកនៃលេខទាំងនេះ។

ឧទាហរណ៍។
- 2 + (- 6) =

ផ្លាស់ទីពីចំណុច - 2 ទៅខាងឆ្វេង (ចាប់តាំងពីមានសញ្ញាដកនៅពីមុខ 6) យើងទទួលបាន - 8 ។
- 2 + (- 6) = - 8

ការបន្ថែមលេខដែលមានសញ្ញាដូចគ្នា។
ការបន្ថែមលេខសនិទានគឺងាយស្រួលជាង ប្រសិនបើអ្នកប្រើគំនិតនៃម៉ូឌុល។

ឧបមាថាយើងត្រូវបន្ថែមលេខដែលមានសញ្ញាដូចគ្នា។
ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបោះបង់សញ្ញានៃលេខហើយយកម៉ូឌុលនៃលេខទាំងនេះ។ យើងបន្ថែមម៉ូឌុល ហើយដាក់សញ្ញានៅពីមុខផលបូក ដែលជារឿងធម្មតាសម្រាប់លេខទាំងនេះ។

ឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍នៃការបន្ថែមលេខអវិជ្ជមាន។
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5

• ដើម្បីបន្ថែមលេខនៃសញ្ញាដូចគ្នា អ្នកត្រូវបន្ថែមម៉ូឌុលរបស់ពួកគេ ហើយដាក់សញ្ញានៅពីមុខផលបូកដែលនៅពីមុខលក្ខខណ្ឌ។

ការបន្ថែមលេខដែលមានសញ្ញាផ្សេងៗគ្នា
ប្រសិនបើលេខមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា នោះយើងធ្វើសកម្មភាពខុសពីពេលបន្ថែមលេខដែលមានសញ្ញាដូចគ្នា។
. យើងបោះបង់សញ្ញានៅពីមុខលេខ នោះគឺយើងយកម៉ូឌុលរបស់ពួកគេ។
. ដកលេខតូចពីលេខធំ។
. មុនពេលភាពខុសគ្នាយើងដាក់សញ្ញាថាលេខដែលមានម៉ូឌុលធំជាងមាន។

ឧទាហរណ៍នៃការបន្ថែមលេខអវិជ្ជមាន និងលេខវិជ្ជមាន។
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5

ឧទាហរណ៍នៃការបន្ថែមលេខចម្រុះ។

ដើម្បីបន្ថែមលេខនៃសញ្ញាផ្សេងៗគ្នា៖
. ដកម៉ូឌុលតូចពីម៉ូឌុលធំជាង;
. មុននឹងលទ្ធផលខុសគ្នា សូមដាក់សញ្ញានៃលេខដែលមានម៉ូឌុលធំជាង។

ការដកលេខអវិជ្ជមាន
ដូចដែលអ្នកដឹង ការដកគឺផ្ទុយពីការបូក។
ប្រសិនបើ a និង b ជាលេខវិជ្ជមាន នោះការដកលេខ b ចេញពីលេខ a មានន័យថាការស្វែងរកលេខ c ដែលនៅពេលបន្ថែមទៅលេខ b ផ្តល់លេខ a ។
a − b = c ឬ c + b = a

និយមន័យនៃការដកគឺជាការពិតសម្រាប់លេខសនិទានទាំងអស់។ I.e ដកលេខវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមានអាចត្រូវបានជំនួសដោយការបន្ថែម។

• ដើម្បីដកលេខផ្សេងពីលេខមួយ អ្នកត្រូវបន្ថែមលេខផ្ទុយទៅ minuend ។

ឬម្យ៉ាងទៀត យើងអាចនិយាយបានថា ការដកលេខ b គឺជាការបូកដូចគ្នា ប៉ុន្តែមានលេខផ្ទុយនឹងលេខ ខ។
a - b = a + (- ខ)

ឧទាហរណ៍។
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2

ឧទាហរណ៍។
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2

• វាគឺមានតំលៃចងចាំកន្សោមខាងក្រោម។
• 0 - a = - ក
• a - 0 = ក
• a - a = 0

ច្បាប់សម្រាប់ដកលេខអវិជ្ជមាន
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញពីឧទាហរណ៍ខាងលើ ការដកលេខ b គឺជាការបូកជាមួយនឹងលេខទល់មុខនឹងលេខ ខ។
ច្បាប់នេះត្រូវបានរក្សាទុកមិនត្រឹមតែនៅពេលដកលេខតូចពីលេខធំប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដកលេខធំពីលេខតូចជាង ពោលគឺអ្នកតែងតែអាចរកឃើញភាពខុសគ្នារវាងលេខពីរ។

ភាពខុសគ្នាអាចជាលេខវិជ្ជមាន លេខអវិជ្ជមាន ឬសូន្យ។

ឧទាហរណ៍នៃការដកលេខអវិជ្ជមាន និងវិជ្ជមាន។
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
វាងាយស្រួលក្នុងការចងចាំច្បាប់សញ្ញាដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកាត់បន្ថយចំនួនតង្កៀប។
សញ្ញាបូកមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃលេខទេ ដូច្នេះប្រសិនបើមានបូកនៅពីមុខតង្កៀប នោះសញ្ញានៅក្នុងតង្កៀបមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។
+ (+ ក) = + ក

+ (-ក) = - ក

សញ្ញាដកនៅពីមុខតង្កៀបបញ្ច្រាសសញ្ញានៃលេខនៅក្នុងតង្កៀប។
- (+ ក) = - ក

- (- ក) = + ក

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីភាពស្មើគ្នាដែលថាប្រសិនបើមានសញ្ញាដូចគ្នាមុន និងនៅខាងក្នុងតង្កៀប នោះយើងទទួលបាន "+" ហើយប្រសិនបើសញ្ញាខុសគ្នានោះយើងទទួលបាន "-" ។
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0

ច្បាប់នៃសញ្ញាក៏ត្រូវបានរក្សាទុកផងដែរ ប្រសិនបើមិនមានលេខមួយនៅក្នុងតង្កៀបទេ ប៉ុន្តែជាផលបូកពិជគណិតនៃលេខ។
a-(-b+c)+(d-k+n)=a+b-c+d-k+n

សូមចំណាំថាប្រសិនបើមានលេខជាច្រើននៅក្នុងតង្កៀប ហើយមានសញ្ញាដកនៅពីមុខតង្កៀប នោះសញ្ញានៅពីមុខលេខទាំងអស់នៅក្នុងតង្កៀបទាំងនេះត្រូវតែផ្លាស់ប្តូរ។

ដើម្បីចងចាំច្បាប់នៃសញ្ញា អ្នកអាចធ្វើតារាងសម្រាប់កំណត់សញ្ញានៃលេខ។
ចុះហត្ថលេខាលើច្បាប់សម្រាប់លេខ

ឬរៀនច្បាប់សាមញ្ញ។

• អវិជ្ជមានពីរធ្វើឱ្យមានការបញ្ជាក់,
• ដងបូកដក ស្មើនឹងដក។

គុណលេខអវិជ្ជមាន
ដោយប្រើគោលគំនិតនៃម៉ូឌុលនៃចំនួនមួយ យើងបង្កើតច្បាប់សម្រាប់គុណចំនួនវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។

គុណលេខដែលមានសញ្ញាដូចគ្នា។
ករណីដំបូងដែលអ្នកអាចជួបប្រទះគឺការគុណលេខដែលមានសញ្ញាដូចគ្នា។
ដើម្បីគុណលេខពីរដែលមានសញ្ញាដូចគ្នា៖
. គុណម៉ូឌុលនៃលេខ;
. ដាក់សញ្ញា "+" នៅពីមុខផលិតផលលទ្ធផល (នៅពេលសរសេរចម្លើយ សញ្ញាបូកមុនលេខទីមួយនៅខាងឆ្វេងអាចត្រូវបានលុបចោល)។

ឧទាហរណ៍នៃគុណលេខអវិជ្ជមាន និងវិជ្ជមាន។
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6

គុណលេខដែលមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា
ករណីទីពីរដែលអាចកើតមានគឺការគុណលេខដែលមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា។
ដើម្បីគុណលេខពីរដែលមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា៖
. គុណម៉ូឌុលនៃលេខ;
. ដាក់សញ្ញា "-" នៅពីមុខការងារលទ្ធផល។
ឧទាហរណ៍នៃគុណលេខអវិជ្ជមាន និងវិជ្ជមាន។
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4

ច្បាប់សម្រាប់សញ្ញាសម្រាប់គុណ
ចងចាំក្បួននៃសញ្ញាសម្រាប់គុណគឺសាមញ្ញណាស់។ ច្បាប់នេះគឺដូចគ្នាទៅនឹងច្បាប់ពង្រីកវង់ក្រចក។

• អវិជ្ជមានពីរធ្វើឱ្យមានការបញ្ជាក់,
• ដងបូកដក ស្មើនឹងដក។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ "វែង" ដែលក្នុងនោះមានតែសកម្មភាពគុណទេសញ្ញានៃផលិតផលអាចត្រូវបានកំណត់ដោយចំនួនកត្តាអវិជ្ជមាន។

នៅ សូម្បីតែចំនួនកត្តាអវិជ្ជមាន លទ្ធផលនឹងមានភាពវិជ្ជមាន និងជាមួយ សេសបរិមាណគឺអវិជ្ជមាន។
ឧទាហរណ៍។
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =

ក្នុងឧទាហរណ៍មានមេគុណអវិជ្ជមានចំនួនប្រាំ។ ដូច្នេះសញ្ញានៃលទ្ធផលនឹងជាដក។
ឥឡូវនេះយើងគណនាផលិតផលនៃម៉ូឌុលដោយមិនអើពើនឹងសញ្ញា។
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728

លទ្ធផលចុងក្រោយនៃការគុណលេខដើមនឹងមានៈ
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728

គុណនឹងសូន្យ និងមួយ។
ប្រសិនបើក្នុងចំណោមកត្តាមានលេខសូន្យ ឬលេខវិជ្ជមាន នោះការគុណត្រូវបានអនុវត្តតាមច្បាប់ដែលគេស្គាល់។
. 0. a = 0
. ក. 0 = 0
. ក. 1 = ក
ឧទាហរណ៍:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
តួនាទីពិសេសក្នុងការគុណលេខសនិទានត្រូវបានលេងដោយឯកតាអវិជ្ជមាន (-១)។

• នៅពេលគុណនឹង (-1) លេខត្រូវបានបញ្ច្រាស។

តាមព្យញ្ជនៈ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះអាចសរសេរបាន៖
ក. (- ១) = (- ១) ។ a = - ក

នៅពេលបូក ដក និងគុណលេខសនិទានភាពជាមួយគ្នា លំដាប់នៃប្រតិបត្តិការដែលបានបង្កើតឡើងសម្រាប់លេខវិជ្ជមាន និងសូន្យត្រូវបានរក្សាទុក។

ឧទាហរណ៍នៃការគុណលេខអវិជ្ជមាន និងវិជ្ជមាន។

ការបែងចែកលេខអវិជ្ជមាន
របៀបចែកលេខអវិជ្ជមាន ងាយយល់ ដោយចងចាំថា ការបែងចែកគឺជាការបញ្ច្រាសនៃគុណ។

ប្រសិនបើ a និង b ជាលេខវិជ្ជមាន នោះការចែកលេខ a ដោយលេខ b មានន័យថារកលេខ c ដែលនៅពេលគុណនឹង b ផ្តល់លេខ a ។

និយមន័យនៃការបែងចែកនេះមានសុពលភាពសម្រាប់លេខសនិទានណាមួយ ដរាបណាផ្នែកចែកមិនសូន្យ។

ដូច្នេះ ឧទាហរណ៍ ចែកលេខ (-១៥) ដោយលេខ ៥ មានន័យថា រកលេខដែលនៅពេលគុណនឹងលេខ ៥ ផ្តល់លេខ (-១៥)។ លេខនេះនឹងមាន (-៣) ចាប់តាំងពី
(- 3) . 5 = - 15

មធ្យោបាយ

(- 15) : 5 = - 3

ឧទាហរណ៍នៃការបែងចែកលេខសនិទាន។
1. 10: 5 = 2 ចាប់តាំងពី 2 ។ ៥ = ១០
2. (− 4) : (− 2) = 2 ចាប់តាំងពី 2 . (- ២) = − ៤
3. (- 18) : 3 = − 6 ចាប់តាំងពី (- 6) . ៣ = − ១៨
4. 12: (− 4) = − 3, ចាប់តាំងពី (− 3) . (−4) = ១២

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីឧទាហរណ៍ដែល quotient នៃលេខពីរដែលមានសញ្ញាដូចគ្នាគឺជាលេខវិជ្ជមាន (ឧទាហរណ៍ 1, 2) ហើយកូតានៃលេខពីរដែលមានសញ្ញាផ្សេងគ្នាគឺជាលេខអវិជ្ជមាន (ឧទាហរណ៍ 3,4) ។

ច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកលេខអវិជ្ជមាន
ដើម្បីស្វែងរកម៉ូឌុលនៃកូតា អ្នកត្រូវបែងចែកម៉ូឌុលនៃភាគលាភដោយម៉ូឌុលនៃការបែងចែក។
ដូច្នេះ ដើម្បីចែកលេខពីរដែលមានសញ្ញាដូចគ្នា អ្នកត្រូវការ៖

. នាំមុខលទ្ធផលដោយសញ្ញា "+" ។
ឧទាហរណ៍នៃការបែងចែកលេខដែលមានសញ្ញាដូចគ្នា៖
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2

ដើម្បីបែងចែកលេខពីរដែលមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា៖
. បែងចែកម៉ូឌុលនៃភាគលាភដោយម៉ូឌុលនៃការបែងចែក;
. នាំមុខលទ្ធផលដោយសញ្ញា "-" ។
ឧទាហរណ៍នៃការបែងចែកលេខដែលមានសញ្ញាផ្សេងៗគ្នា៖
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
អ្នកក៏អាចប្រើតារាងខាងក្រោមដើម្បីកំណត់សញ្ញាដក។
ច្បាប់នៃសញ្ញានៅពេលបែងចែក

នៅពេលគណនាកន្សោម "វែង" ដែលមានតែការគុណនិងការបែងចែកលេចឡើងវាងាយស្រួលប្រើច្បាប់សញ្ញា។ ឧទាហរណ៍ដើម្បីគណនាប្រភាគ

អ្នកអាចយកចិត្តទុកដាក់ថានៅក្នុងភាគយកមានសញ្ញា "ដក" ចំនួន 2 ដែលនៅពេលគុណនឹងផ្តល់ "បូក" ។ វាក៏មានសញ្ញាដកបីនៅក្នុងភាគបែងផងដែរ ដែលនៅពេលគុណនឹងផ្តល់ដក។ ដូច្នេះនៅទីបញ្ចប់ លទ្ធផលនឹងនៅជាមួយសញ្ញាដក។

ការកាត់បន្ថយប្រភាគ (សកម្មភាពបន្ថែមទៀតជាមួយម៉ូឌុលនៃលេខ) ត្រូវបានអនុវត្តតាមរបៀបដូចពីមុន៖

• កូតានៃការបែងចែកសូន្យដោយលេខមិនសូន្យគឺសូន្យ។
• 0: a = 0, a ≠ 0
• កុំចែកនឹងសូន្យ!

ច្បាប់ដែលបានដឹងពីមុនទាំងអស់សម្រាប់ការបែងចែកដោយមួយក៏អនុវត្តចំពោះសំណុំនៃលេខសនិទាន។
. a: 1 = ក
. a: (- 1) = − ក
. a: a = 1
ដែល a ជាចំនួនសមហេតុផលណាមួយ។

ភាពអាស្រ័យរវាងលទ្ធផលនៃការគុណ និងការបែងចែក ដែលស្គាល់សម្រាប់លេខវិជ្ជមាន ក៏ត្រូវបានរក្សាទុកសម្រាប់លេខសនិទានទាំងអស់ (លើកលែងតែលេខសូន្យ)៖
. ប្រសិនបើ ក . b = គ; a = c: b; b = c: a;
. ប្រសិនបើ a: b = c; a = s ។ ខ; b=a: គ
ភាពអាស្រ័យទាំងនេះត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកកត្តាមិនស្គាល់ ភាគលាភ និងផ្នែកចែក (នៅពេលដោះស្រាយសមីការ) ក៏ដូចជាដើម្បីពិនិត្យមើលលទ្ធផលនៃគុណ និងចែក។

ឧទាហរណ៍នៃការស្វែងរកមិនស្គាល់។
x (−5) = ១០

x=10: (-5)

x=-2

សញ្ញាដកជាប្រភាគ
ចែកលេខ (-៥) ដោយ ៦ និងលេខ ៥ ដោយ (-៦) ។

យើងរំលឹកអ្នកថាបន្ទាត់នៅក្នុងសញ្ញាណនៃប្រភាគធម្មតាគឺជាសញ្ញាបែងចែកដូចគ្នា ហើយយើងសរសេរកូតានៃសកម្មភាពទាំងនេះជាប្រភាគអវិជ្ជមាន។

ដូច្នេះសញ្ញាដកក្នុងប្រភាគអាចជា៖
. មុនពេលប្រភាគ
. នៅក្នុងលេខភាគ;
. នៅក្នុងភាគបែង។

• នៅពេលសរសេរប្រភាគអវិជ្ជមាន អ្នកអាចដាក់សញ្ញាដកនៅពីមុខប្រភាគ ផ្ទេរវាពីភាគយកទៅភាគបែង ឬពីភាគបែងទៅភាគយក។

វាត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅពេលអនុវត្តប្រតិបត្តិការលើប្រភាគ ធ្វើឱ្យការគណនាកាន់តែងាយស្រួល។

ឧទាហរណ៍។ សូមចំណាំថាបន្ទាប់ពីដាក់សញ្ញាដកនៅពីមុខតង្កៀប យើងដកលេខតូចជាងចេញពីម៉ូឌុលធំជាងនេះដោយយោងទៅតាមច្បាប់សម្រាប់ការបន្ថែមលេខដែលមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា។


ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិផ្ទេរសញ្ញាដែលបានពិពណ៌នាជាប្រភាគ អ្នកអាចធ្វើសកម្មភាពដោយមិនស្វែងរកថាតើម៉ូឌុលណាមួយនៃចំនួនប្រភាគទាំងនេះធំជាង។

រួមមានលេខវិជ្ជមាន (ធម្មជាតិ) លេខអវិជ្ជមាន និងសូន្យ។

លេខអវិជ្ជមានទាំងអស់ ហើយមានតែពួកវាប៉ុណ្ណោះ ដែលតិចជាងសូន្យ។ នៅលើអ័ក្សលេខ លេខអវិជ្ជមានមានទីតាំងនៅខាងឆ្វេងសូន្យ។ សម្រាប់ពួកគេ ក៏ដូចជាសម្រាប់លេខវិជ្ជមាន ទំនាក់ទំនងលំដាប់ត្រូវបានកំណត់ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកប្រៀបធៀបចំនួនគត់មួយជាមួយលេខផ្សេងទៀត។

សម្រាប់លេខធម្មជាតិនីមួយៗ នមានលេខអវិជ្ជមានមួយ និងតែមួយគត់ តំណាងដោយ -nដែលបំពេញបន្ថែម នដល់សូន្យ៖

ទ្រឹស្តីពេញលេញ និងតឹងរ៉ឹងនៃចំនួនអវិជ្ជមានត្រូវបានបង្កើតឡើងតែនៅក្នុងសតវត្សទី 19 (William Hamilton និង Hermann Grassmann) ។

លេខអវិជ្ជមានដ៏ល្បីល្បាញ

សូម​មើល​ផង​ដែរ

អក្សរសិល្ប៍

• Vygodsky M. Ya ។សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាបឋម។ - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
• Glazer G.I.ប្រវត្តិគណិតវិទ្យានៅសាលា។ - M. : ការអប់រំ, 1964. - 376 ទំ។

កំណត់ចំណាំ

មូលនិធិវិគីមេឌា។ ឆ្នាំ ២០១០។

• ថ្មមួយ។
• អូហ្សូន (ភាពមិនច្បាស់លាស់)

សូមមើលអ្វីដែល "លេខអវិជ្ជមាន" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖

លេខអវិជ្ជមាន- ចំនួនពិតតិចជាងសូន្យ ឧ. បំពេញវិសមភាព a ... សព្វវចនាធិប្បាយពហុបច្ចេកទេសដ៏អស្ចារ្យ- 1.50 ។ ការចែកចាយ binomial អវិជ្ជមាន ការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X ដូចជាសម្រាប់ x = 0, 1, 2, ... និងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ c> 0 (ចំនួនគត់វិជ្ជមាន), 0< p < 1, где Примечания 1. Название… … វចនានុក្រម - សៀវភៅយោងនៃលក្ខខណ្ឌនៃបទដ្ឋាននិងឯកសារបច្ចេកទេស

លេខចចក- (W) លក្ខណៈបរិមាណនៃកម្រិតនៃសកម្មភាពព្រះអាទិត្យ; តំណាងឱ្យចំនួនកន្លែងពន្លឺព្រះអាទិត្យ និងក្រុមរបស់ពួកគេ បង្ហាញក្នុងទម្រង់ជាសូចនាករតាមលក្ខខណ្ឌ៖ W \u003d k (m + 10n) ដែល m គឺជាចំនួនសរុបនៃកន្លែងព្រះអាទិត្យទាំងអស់ដែលរៀបចំជាក្រុម ឬទីតាំង ...... បរិស្ថានវិទ្យារបស់មនុស្ស

លេខអវិជ្ជមានគឺជាលេខដែលមានសញ្ញាដក (-) ឧទាហរណ៍ -1, -2, -3 ។ អានដូចជា៖ ដកមួយ ដកពីរ ដកបី។

ឧទាហរណ៍កម្មវិធី លេខអវិជ្ជមានគឺជាទែម៉ូម៉ែត្រដែលបង្ហាញពីសីតុណ្ហភាពនៃរាងកាយ ខ្យល់ ដី ឬទឹក។ ក្នុងរដូវរងា នៅពេលដែលវាត្រជាក់ខ្លាំងនៅខាងក្រៅ សីតុណ្ហភាពគឺអវិជ្ជមាន (ឬដូចដែលមនុស្សនិយាយថា "ដក") ។

ឧទាហរណ៍ -១០ ដឺក្រេត្រជាក់៖

លេខធម្មតាដែលយើងបានពិចារណាពីមុនដូចជា 1, 2, 3 ត្រូវបានគេហៅថាវិជ្ជមាន។ លេខវិជ្ជមានគឺជាលេខដែលមានសញ្ញាបូក (+) ។

ពេល​សរសេរ​លេខ​វិជ្ជមាន សញ្ញា + មិន​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ចុះ​ទេ នោះ​ជា​ហេតុ​ធ្វើ​ឲ្យ​យើង​ឃើញ​លេខ ១, ២, ៣ ដែល​យើង​ស្គាល់។​ ប៉ុន្តែ​គួរ​ចាំ​ថា​លេខ​វិជ្ជមាន​ទាំង​នេះ​មើល​ទៅ​ដូច​នេះ៖ +1, + 2, +3 ។

ខ្លឹមសារមេរៀន

នេះគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ដែលលេខទាំងអស់ស្ថិតនៅ៖ ទាំងអវិជ្ជមាន និងវិជ្ជមាន។ ដូចតទៅ៖

បង្ហាញនៅទីនេះគឺជាលេខពី -5 ដល់ 5។ តាមពិត បន្ទាត់កូអរដោនេគឺគ្មានកំណត់។ តួលេខនេះបង្ហាញតែបំណែកតូចមួយរបស់វា។

លេខនៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេត្រូវបានសម្គាល់ជាចំនុច។ នៅក្នុងរូបភាព ចំណុចខ្មៅដិតគឺជាចំណុចចាប់ផ្តើម។ ការរាប់ថយក្រោយចាប់ផ្តើមពីសូន្យ។ នៅខាងឆ្វេងនៃចំណុចយោង លេខអវិជ្ជមានត្រូវបានសម្គាល់ ហើយនៅខាងស្តាំ លេខវិជ្ជមាន។

បន្ទាត់​កូអរដោណេ​បន្ត​មិន​កំណត់​ទាំងសងខាង។ Infinity នៅក្នុងគណិតវិទ្យាត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា ∞ ។ ទិសដៅអវិជ្ជមាននឹងត្រូវបានបង្ហាញដោយនិមិត្តសញ្ញា −∞ និងវិជ្ជមានដោយនិមិត្តសញ្ញា +∞ ។ បន្ទាប់មក យើងអាចនិយាយបានថា លេខទាំងអស់ពីដក infinity ទៅ plus infinity មានទីតាំងនៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេ៖

ចំណុចនីមួយៗនៅលើបន្ទាត់កូអរដោណេមានឈ្មោះ និងកូអរដោនេរបស់វា។ ឈ្មោះគឺជាអក្សរឡាតាំងណាមួយ។ សំរបសំរួលគឺជាលេខដែលបង្ហាញពីទីតាំងនៃចំនុចមួយនៅលើបន្ទាត់នេះ។ និយាយឱ្យសាមញ្ញ កូអរដោណេគឺជាលេខដូចគ្នាដែលយើងចង់សម្គាល់នៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ។

ឧទាហរណ៍ចំណុច A(2) អានជា "ចំណុច A ជាមួយកូអរដោនេ 2" ហើយនឹងត្រូវបានបង្ហាញនៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេដូចខាងក្រោមៈ

នៅទីនេះ កគឺ​ជា​ឈ្មោះ​នៃ​ចំណុច, 2 គឺ​ជា​កូអរដោណេ​នៃ​ចំណុច ក.

ឧទាហរណ៍ ២ចំណុច B(4) អានជា "ចំណុច B នៅកូអរដោនេ 4"

នៅទីនេះ ខជា​ឈ្មោះ​នៃ​ចំណុច, 4 គឺជា​កូអរដោណេ​នៃ​ចំណុច​នេះ ខ.

ឧទាហរណ៍ ៣ចំណុច M (−3) ត្រូវបានអានជា "ចំណុច M ជាមួយកូអរដោណេដកបី" ហើយនឹងត្រូវបានបង្ហាញនៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេដូចខាងក្រោមៈ

នៅទីនេះ មជា​ឈ្មោះ​ចំណុច −3 ជា​កូអរដោណេ​នៃ​ចំណុច M .

ពិន្ទុអាចត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរណាមួយ។ ប៉ុន្តែវាត្រូវបានទទួលយកជាទូទៅដើម្បីកំណត់ពួកវាដោយអក្សរធំឡាតាំង។ ជាងនេះទៅទៀត ការចាប់ផ្តើមនៃរបាយការណ៍ ដែលត្រូវបានគេហៅម្យ៉ាងទៀតថា ប្រភពដើមជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរធំ O

វាងាយស្រួលមើលថាលេខអវិជ្ជមានស្ថិតនៅខាងឆ្វេងនៃប្រភពដើម ហើយលេខវិជ្ជមានទៅខាងស្តាំ។

មានឃ្លាដូចជា "កាន់តែច្រើនទៅខាងឆ្វេង, តិច"និង "កាន់តែច្រើនទៅខាងស្ដាំ, កាន់តែច្រើន". អ្នកប្រហែលជាទាយរួចហើយថាយើងកំពុងនិយាយអំពីអ្វី។ ជាមួយនឹងជំហាននីមួយៗទៅខាងឆ្វេង ចំនួននឹងថយចុះចុះក្រោម។ ហើយជាមួយនឹងជំហាននីមួយៗទៅខាងស្តាំចំនួននឹងកើនឡើង។ ព្រួញចង្អុលទៅខាងស្តាំបង្ហាញពីទិសដៅវិជ្ជមាននៃការរាប់។

ប្រៀបធៀបលេខអវិជ្ជមាន និងវិជ្ជមាន

វិធាន 1 លេខអវិជ្ជមានណាមួយគឺតិចជាងចំនួនវិជ្ជមានណាមួយ។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងប្រៀបធៀបលេខពីរ៖ −5 និង 3. ដកប្រាំ តូចជាងជាងបី បើទោះបីជាការពិតដែលថាទាំងប្រាំចាប់ភ្នែកនៅក្នុងកន្លែងដំបូងដែលជាលេខធំជាងបី។

នេះគឺដោយសារតែ −5 គឺអវិជ្ជមាន ហើយ 3 គឺវិជ្ជមាន។ នៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ អ្នកអាចមើលឃើញកន្លែងដែលលេខ −5 និង 3 ស្ថិតនៅ

គេអាចមើលឃើញថា −5 ស្ថិតនៅខាងឆ្វេង និង 3 ទៅខាងស្តាំ។ ហើយយើងបាននិយាយថា "កាន់តែច្រើនទៅខាងឆ្វេង, តិច" . ហើយច្បាប់ចែងថាចំនួនអវិជ្ជមានណាមួយគឺតិចជាងចំនួនវិជ្ជមានណាមួយ។ ដូច្នេះវាធ្វើតាមនោះ។

−5 < 3

"ដកប្រាំគឺតិចជាងបី"

ក្បួនទី 2 ក្នុង​ចំណោម​លេខ​អវិជ្ជមាន​ទាំង​ពីរ លេខ​តូច​ជាង​គឺ​លេខ​មួយ​ដែល​ស្ថិត​នៅ​ខាង​ឆ្វេង​លើ​បន្ទាត់​កូអរដោណេ។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងប្រៀបធៀបលេខ -4 និង -1។ ដកបួន តូចជាងជាងដកមួយ។

នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថានៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ −4 មានទីតាំងនៅខាងឆ្វេងច្រើនជាង −1

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថា -4 ស្ថិតនៅខាងឆ្វេងនិង -1 ទៅខាងស្តាំ។ ហើយយើងបាននិយាយថា "កាន់តែច្រើនទៅខាងឆ្វេង, តិច" . ហើយច្បាប់ចែងថា លេខអវិជ្ជមានពីរ លេខដែលមានទីតាំងនៅខាងឆ្វេងនៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេគឺតិចជាង។ ដូច្នេះវាធ្វើតាមនោះ។

ដកបួនគឺតិចជាងដកមួយ។

ក្បួនទី 3 សូន្យគឺធំជាងចំនួនអវិជ្ជមានណាមួយ។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងប្រៀបធៀប 0 និង −3 ។ សូន្យ ច្រើនទៀតជាងដកបី។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថានៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ 0 មានទីតាំងនៅខាងស្តាំជាង −3

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថា 0 ស្ថិតនៅខាងស្តាំ និង −3 ទៅខាងឆ្វេង។ ហើយយើងបាននិយាយថា "កាន់តែច្រើនទៅខាងស្ដាំ, កាន់តែច្រើន" . ហើយច្បាប់និយាយថាសូន្យគឺធំជាងចំនួនអវិជ្ជមានណាមួយ។ ដូច្នេះវាធ្វើតាមនោះ។

សូន្យគឺធំជាងដកបី

ក្បួនទី 4 សូន្យគឺតិចជាងចំនួនវិជ្ជមានណាមួយ។

ឧទាហរណ៍ ប្រៀបធៀប 0 និង 4. សូន្យ តូចជាងជាង 4. ជាគោលការណ៍ នេះគឺច្បាស់លាស់ និងពិត។ ប៉ុន្តែយើងនឹងព្យាយាមមើលវាដោយភ្នែករបស់យើងម្តងទៀតនៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ៖

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថានៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ 0 មានទីតាំងនៅខាងឆ្វេងនិង 4 ទៅខាងស្តាំ។ ហើយយើងបាននិយាយថា "កាន់តែច្រើនទៅខាងឆ្វេង, តិច" . ហើយច្បាប់និយាយថាសូន្យគឺតិចជាងចំនួនវិជ្ជមានណាមួយ។ ដូច្នេះវាធ្វើតាមនោះ។

សូន្យគឺតិចជាងបួន

តើអ្នកចូលចិត្តមេរៀនទេ?
ចូលរួមជាមួយក្រុម Vkontakte ថ្មីរបស់យើង ហើយចាប់ផ្តើមទទួលបានការជូនដំណឹងអំពីមេរៀនថ្មី។

ជា​លេខ​ពិសេស វា​មិន​មាន​សញ្ញា។

ឧទាហរណ៍នៃការសរសេរលេខ៖ + ៣៦ , ៦ ; — ២៧៣; 142. (\displaystyle +36(,)6;\ -273;\ 142.)លេខចុងក្រោយមិនមានសញ្ញាទេ ដូច្នេះហើយគឺវិជ្ជមាន។

ចំណាំថា បូក និងដកបង្ហាញសញ្ញាសម្រាប់លេខ ប៉ុន្តែមិនមែនសម្រាប់អថេរព្យញ្ជនៈ ឬកន្សោមពិជគណិតទេ។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងរូបមន្ត -t; ក + ខ − (a 2 + b 2) (\displaystyle -t;\a+b;\ -(a^(2)+b^(2)))និមិត្តសញ្ញាបូកនិងដកមិនបញ្ជាក់ពីសញ្ញានៃកន្សោមដែលពួកគេនាំមុខទេ ប៉ុន្តែជាសញ្ញានៃប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ ដូច្នេះសញ្ញានៃលទ្ធផលអាចជាអ្វីក៏បាន វាត្រូវបានកំណត់តែបន្ទាប់ពីកន្សោមត្រូវបានវាយតម្លៃប៉ុណ្ណោះ។

បន្ថែមពីលើនព្វន្ធ គោលគំនិតនៃសញ្ញាមួយត្រូវបានប្រើនៅក្នុងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យា រួមទាំងសម្រាប់វត្ថុគណិតវិទ្យាដែលមិនមែនជាលេខ (សូមមើលខាងក្រោម)។ គោលគំនិតនៃសញ្ញាគឺមានសារៈសំខាន់ផងដែរនៅក្នុងសាខារូបវិទ្យាដែលបរិមាណរូបវន្តត្រូវបានបែងចែកជាពីរថ្នាក់ ហៅថាវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន - ឧទាហរណ៍ បន្ទុកអគ្គីសនី មតិវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន កម្លាំងផ្សេងៗនៃការទាក់ទាញ និងការច្រានចោល។

សញ្ញាលេខ

លេខវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន

សូន្យ​មិន​ត្រូវ​បាន​កំណត់​សញ្ញា​ណា​មួយ​នោះ​ទេ។ + 0 (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ +0)និង − 0 (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ -0)គឺជាលេខដូចគ្នានៅក្នុងនព្វន្ធ។ នៅក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា អត្ថន័យនៃនិមិត្តសញ្ញា + 0 (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ +0)និង − 0 (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ -0)អាចប្រែប្រួល មើលអំពីវា អវិជ្ជមាន និងសូន្យវិជ្ជមាន ; នៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ ការអ៊ិនកូដកុំព្យូទ័រនៃលេខសូន្យពីរ (ប្រភេទចំនួនគត់) អាចខុសគ្នា សូមមើលកូដផ្ទាល់។

ទាក់ទងនឹងខាងលើ ពាក្យដែលមានប្រយោជន៍មួយចំនួនទៀតត្រូវបានណែនាំ៖

• ចំនួន មិនអវិជ្ជមានប្រសិនបើវាធំជាង ឬស្មើសូន្យ។
• ចំនួន មិនវិជ្ជមានប្រសិនបើវាតិចជាង ឬស្មើនឹងសូន្យ។
• លេខវិជ្ជមានដែលមិនមែនជាសូន្យ និងលេខអវិជ្ជមានដែលមិនមែនជាសូន្យគឺជួនកាល (ដើម្បីបញ្ជាក់ថាពួកគេមិនមែនជាសូន្យ) ហៅថា "វិជ្ជមានយ៉ាងតឹងរឹង" និង "អវិជ្ជមានយ៉ាងតឹងរឹង" រៀងគ្នា។

វាក្យសព្ទដូចគ្នាជួនកាលប្រើសម្រាប់មុខងារពិត។ ឧទាហរណ៍មុខងារត្រូវបានគេហៅថា វិជ្ជមានប្រសិនបើតម្លៃរបស់វាទាំងអស់គឺវិជ្ជមាន, មិនអវិជ្ជមានប្រសិនបើតម្លៃទាំងអស់របស់វាគឺមិនអវិជ្ជមាន។

សម្រាប់ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់មុខងារ សូមមើលអត្ថបទ Square root#Complex numbers ។

ម៉ូឌុល (តម្លៃដាច់ខាត) នៃចំនួនមួយ។

ប្រសិនបើលេខ x (\ រចនាប័ទ្ម x)ទម្លាក់សញ្ញាតម្លៃលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា ម៉ូឌុលឬ តម្លៃ​ដាច់ខាតលេខ x (\ រចនាប័ទ្ម x)វាត្រូវបានសម្គាល់ | x | . (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម |x| ។)ឧទាហរណ៍: | ៣ | = 3; | − ៣ | = 3. (\displaystyle |3|=3;\|-3|=3.)

សម្រាប់លេខពិតណាមួយ។ a, b (\ រចនាប័ទ្ម a, b)ទ្រព្យសម្បត្តិខាងក្រោមរក្សា។

សញ្ញានៃវត្ថុដែលមិនមែនជាលេខ

សញ្ញាជ្រុង

តម្លៃនៃមុំនៅលើយន្តហោះត្រូវបានគេចាត់ទុកថាវិជ្ជមានប្រសិនបើវាត្រូវបានវាស់ច្រាសទ្រនិចនាឡិកាបើមិនដូច្នេះទេវាអវិជ្ជមាន។ ករណីពីរនៃការបង្វិលត្រូវបានចាត់ថ្នាក់ស្រដៀងគ្នា៖

• ការបង្វិលនៅលើយន្តហោះ - ឧទាហរណ៍ ការបង្វិលដោយ (–90°) គឺតាមទ្រនិចនាឡិកា។
• ការបង្វិលក្នុងលំហជុំវិញអ័ក្សតម្រង់ទិសជាទូទៅត្រូវបានចាត់ទុកថាជាវិជ្ជមាន ប្រសិនបើ "ច្បាប់ gimlet" ត្រូវបានពេញចិត្ត បើមិនដូច្នោះទេ វាត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអវិជ្ជមាន។

សញ្ញាទិសដៅ

នៅក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ និងរូបវិទ្យា ភាពជឿនលឿនតាមបន្ទាត់ត្រង់ ឬខ្សែកោងត្រូវបានបែងចែកតាមលក្ខខណ្ឌជាវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ ការបែងចែកបែបនេះអាចអាស្រ័យលើការបង្កើតបញ្ហា ឬនៅលើប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានជ្រើសរើស។ ជាឧទាហរណ៍ នៅពេលគណនាប្រវែងនៃធ្នូនៃខ្សែកោង ជារឿយៗវាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់សញ្ញាដកទៅប្រវែងនេះក្នុងទិសដៅមួយក្នុងចំណោមទិសដៅពីរដែលអាចធ្វើទៅបាន។

ចូលកុំព្យូទ័រ

ចំណុចសំខាន់បំផុត។
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
ដើម្បីតំណាងឱ្យសញ្ញានៃចំនួនគត់ កុំព្យូទ័រភាគច្រើនប្រើ