និយមន័យ 2.7 ។ គឺជាលេខចៃដន្យមួយគូ (X, យ)ឬចំណុចមួយនៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ (រូបភាព 2.11) ។
អង្ករ។ ២.១១.
អថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រគឺជាករណីពិសេសនៃអថេរចៃដន្យពហុវិមាត្រ ឬវ៉ិចទ័រចៃដន្យ។
និយមន័យ 2.8 ។ វ៉ិចទ័រចៃដន្យ -តើវាជាអនុគមន៍ចៃដន្យទេ? t,តម្លៃសម្រាប់តម្លៃណាមួយ។ tគឺជាអថេរចៃដន្យ។
អថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រត្រូវបានគេហៅថា បន្ត ប្រសិនបើកូអរដោនេរបស់វាបន្ត ហើយដាច់ពីគ្នា ប្រសិនបើកូអរដោណេរបស់វាដាច់។
ដើម្បីកំណត់ច្បាប់នៃការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រមានន័យថាបង្កើតការឆ្លើយឆ្លងរវាងតម្លៃដែលអាចធ្វើបានរបស់វានិងប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃទាំងនេះ។ យោងតាមវិធីនៃការកំណត់ អថេរចៃដន្យត្រូវបានបែងចែកទៅជាបន្ត និងដាច់ដោយឡែក ទោះបីជាមានវិធីទូទៅដើម្បីកំណត់ច្បាប់ចែកចាយនៃ RV ណាមួយក៏ដោយ។
អថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រដាច់ដោយឡែក
អថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រដាច់ដោយឡែកត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើតារាងចែកចាយ (តារាង 2.1) ។
តារាង 2.1
តារាងបែងចែក (ការបែងចែករួម) CB ( X, U)
ធាតុតារាងត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃតារាងចែកចាយ៖
ការចែកចាយលើកូអរដោនេនីមួយៗត្រូវបានគេហៅថា មួយវិមាត្រឬ បន្ទាប់បន្សំ:
រ 1> = P(X =.d,) - ការចែកចាយរឹមនៃ SW X;
p^2) = P(Y=y,)- ការចែកចាយរឹមនៃ SV U.
ការទំនាក់ទំនងនៃការចែកចាយរួមគ្នារបស់ CB Xនិង Y ដែលផ្តល់ដោយសំណុំនៃប្រូបាប [p ()), អ៊ី = 1,..., n,j = 1,..., t(តារាងចែកចាយ) និងការចែកចាយរឹម។
ដូចគ្នានេះដែរសម្រាប់ SV U ទំ-២)= X ទំ, g
បញ្ហា 2.14 ។ បានផ្តល់ឱ្យ៖
អថេរចៃដន្យ 2D បន្ត
/(X, y) dxdy- ធាតុនៃប្រូបាប៊ីលីតេសម្រាប់អថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រ (X, Y) - ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយអថេរចៃដន្យ (X, Y) ក្នុងចតុកោណកែងជាមួយជ្រុង cbc, ឌីនៅ dx, ឌី -* 0:
f(x, y) - ដង់ស៊ីតេចែកចាយអថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រ (X, Y) ។ កិច្ចការ / (x, y)យើងផ្តល់ព័ត៌មានពេញលេញអំពីការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រ។
ការចែកចាយរឹមត្រូវបានបញ្ជាក់ដូចខាងក្រោម: សម្រាប់ X - ដោយដង់ស៊ីតេចែកចាយនៃ CB X/,(x); នៅលើ យ- ដង់ស៊ីតេចែកចាយ SV f>(y)។
ការកំណត់ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រដោយមុខងារចែកចាយ
មធ្យោបាយសកលដើម្បីបញ្ជាក់ច្បាប់ចែកចាយសម្រាប់អថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រដាច់ដោយឡែក ឬបន្តគឺមុខងារចែកចាយ F (x, y) ។
និយមន័យ 2.9 ។ មុខងារចែកចាយ F(x, y)- ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងរួមគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍ (Xy), i.e. F(x0, yន) = = P(X y) បោះចោលលើយន្តហោះកូអរដោណេ ធ្លាក់ចូលទៅក្នុង quadrant គ្មានកំណត់ដែលមានចំនុចកំពូលនៅចំណុច M(x 0, អ្នក ខ្ញុំ)(នៅក្នុងតំបន់ដែលមានម្លប់នៅក្នុងរូបភាព 2.12) ។
អង្ករ។ ២.១២.រូបភាពនៃមុខងារចែកចាយ F( x, y)
មុខងារមុខងារ F(x, y)
- 1) 0 1;
- 2) F(-oo,-oo) = F(x,-oo) = F(-oo, y) = 0; F( oo, oo) = 1;
- 3) F(x, y)- មិនថយចុះនៅក្នុងអាគុយម៉ង់នីមួយៗ;
- 4) F(x, y) -បន្តនៅខាងឆ្វេងនិងខាងក្រោម;
- 5) ភាពជាប់លាប់នៃការចែកចាយ៖
F(x, X: F(x, oo) = F,(x); F(y, oo) - ការចែកចាយរឹមជាង Y F(អូ y) = F 2 (y) ។ការតភ្ជាប់ /(x, y)ជាមួយ F(x, y)៖
ទំនាក់ទំនងរវាងដង់ស៊ីតេរួម និងដង់ស៊ីតេរឹម។ ដាណា f (x, y) ។យើងទទួលបានដង់ស៊ីតេចែកចាយរឹម f (x), f 2 (y)" ។
ករណីនៃកូអរដោនេឯករាជ្យនៃអថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រ
និយមន័យ 2.10 ។ SW Xនិង យិនឯករាជ្យ(nc) ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយដែលទាក់ទងនឹង RVs នីមួយៗគឺឯករាជ្យ។ ពីនិយមន័យនៃ nc CB វាដូចខាងក្រោម:
- 1 ) Pij = p X) pf
- 2 ) F(x,y) = F l (x)F 2 (y) ។
វាប្រែថាសម្រាប់ SWs ឯករាជ្យ Xនិង យបានបញ្ចប់ និង
3 )f(x,y) = J(x)f,(y)។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាសម្រាប់ SWs ឯករាជ្យ Xនិង Y2) 3). ភស្តុតាង,ក) អនុញ្ញាតឱ្យ 2) ឧ។
ក្នុងពេលជាមួយគ្នា F(x,y) = f J f(u,v) dudv,តើវាមកពីណា 3);
ខ) អនុញ្ញាតឱ្យ 3 ឥឡូវនេះកាន់បន្ទាប់មក
ទាំងនោះ។ ពិត ២).
ចូរយើងពិចារណាកិច្ចការ។
បញ្ហា 2.15 ។ ការចែកចាយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយតារាងខាងក្រោម:
យើងបង្កើតការចែកចាយរឹម៖
យើងទទួលបាន P(X = 3, យូ = 4) = 0,17 * P(X = 3) P (Y \u003d 4) \u003d 0.1485 => => SV Xនិងអ្នកអាស្រ័យ។
មុខងារចែកចាយ៖
បញ្ហា 2.16 ។ ការចែកចាយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយតារាងខាងក្រោម:
យើងទទួលបាន P tl = 0.2 0.3 = 0.06; P 12 \u003d 0.2? 0.7 = 0.14; P2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; R 22 - 0.8 0.7 = 0.56 => SW Xនិង យ nz
បញ្ហា 2.17 ។ ដាណា /(x, y) = 1/st exp| -0.5(d "+ 2xy + 5d/2)]។ ដើម្បីស្វែងរក អូ)និង / អាយ)-
ការសម្រេចចិត្ត
(គណនាខ្លួនឯង)។
ជាញឹកញយ ពេលសិក្សាអថេរចៃដន្យ គេត្រូវដោះស្រាយជាមួយអថេរចៃដន្យពីរ បី ឬច្រើនជាងនេះ។ ជាឧទាហរណ៍ អថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រ $\left(X,\Y\right)$ នឹងពណ៌នាអំពីចំណុចបុករបស់ projectile ដែលអថេរចៃដន្យ $X,\Y$ គឺជា abscissa និង ordinate រៀងគ្នា។ ការអនុវត្តរបស់សិស្សដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យក្នុងអំឡុងពេលវគ្គត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយអថេរចៃដន្យទំហំ $n$ $\left(X_1,\X_2,\ \dots ,\X_n\right)$ ដែលអថេរចៃដន្យគឺ $X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n $ - ទាំងនេះគឺជាចំណាត់ថ្នាក់ដែលដាក់ក្នុងសៀវភៅថ្នាក់ក្នុងមុខវិជ្ជាផ្សេងៗ។
សំណុំនៃអថេរចៃដន្យ $n$ $\left(X_1,\X_2,\dots,\X_n\right)$ ត្រូវបានហៅ វ៉ិចទ័រចៃដន្យ. យើងដាក់កម្រិតខ្លួនយើងចំពោះករណី $\left(X,\Y\right)$។
អនុញ្ញាតឱ្យ $X$ ជាអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកជាមួយនឹងតម្លៃដែលអាចធ្វើបាន $x_1,x_2,\ \dots ,\x_n$, និង $Y$ ជាអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកជាមួយនឹងតម្លៃដែលអាចធ្វើបាន $y_1,y_2,\dots , \ y_n$ ។
បន្ទាប់មក អថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រដាច់ពីគ្នា $\left(X,\Y\right)$ អាចយកតម្លៃ $\left(x_i,\y_j\right)$ with probabilities $p_(ij)=P\left( \left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right)=P\left(X=x_i\right)P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$។ នៅទីនេះ $P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$ គឺជាប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌដែលអថេរចៃដន្យ $Y$ យកតម្លៃ $y_j$ ដែលបានផ្តល់ឱ្យថាអថេរចៃដន្យ $X$ យកតម្លៃ $x_i$ ។
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យ $X$ យកតម្លៃ $x_i$ គឺស្មើនឹង $p_i=\sum_j(p_(ij))$ ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យ $Y$ យកតម្លៃ $y_j$ គឺស្មើនឹង $q_j=\sum_i(p_(ij))$ ។
$$P\left(X=x_i|Y=y_j\right)=((P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right))\over (P\ ឆ្វេង(Y=y_j\right)))=((p_(ij))\over (q_j)))$$
$$P\left(Y=y_j|X=x_i\right)=((P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right))\over (P\ ឆ្វេង(X=x_i\right)))=((p_(ij))\over (p_i)).$$
ឧទាហរណ៍ ១ . ការចែកចាយអថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\backslash Y & 2 & 3 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(អារេ)$
អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ច្បាប់ចែកចាយសម្រាប់អថេរចៃដន្យ $X$ និង $Y$ ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកការចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌនៃអថេរចៃដន្យ $X$ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ $Y=2$ និងអថេរចៃដន្យ $Y$ ក្រោមលក្ខខណ្ឌ $X=0$។
តោះបំពេញតារាងខាងក្រោម៖
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\backslash Y & 2 & 3 & p_i & p_(ij)/q_1 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 & 0,4 & 0,29 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 & 0,41 & 0,54 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 & 0,19 & 0,17 \\
\hline
q_j & 0.52 & 0.48 & 1 & \\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0.68 & 0.32 & & \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(អារេ)$
ចូរយើងពន្យល់ពីរបៀបដែលតារាងត្រូវបានបំពេញ។ តម្លៃនៃជួរឈរបីដំបូងនៃជួរដេកបួនដំបូងត្រូវបានយកចេញពីលក្ខខណ្ឌ ។ ផលបូកនៃលេខនៃជួរ $2$th និង $3$th នៃជួរ $2$th ($3$th) ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងជួរ $4$th នៃជួរ $2$th ($3$th)។ ផលបូកនៃលេខនៅក្នុងជួរ $2$th និង $3$th នៃជួរ $4$th ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងជួរ $4$th នៃជួរ $4$th។
ផលបូកនៃលេខនៅក្នុងជួរ $2$th, $3$th និង $4$th នៃជួរ $2$th ($3$th) ត្រូវបានសរសេរក្នុងជួរ $5$th នៃជួរ $2$th ($3$th)។ លេខនីមួយៗក្នុងជួរ $2$th ត្រូវបានបែងចែកដោយ $q_1=0.52$ លទ្ធផលត្រូវបានបង្គត់ឡើងដល់ខ្ទង់ទសភាគពីរ ហើយសរសេរក្នុងជួរ $5$th។ លេខពីជួរ $2$th និង $3$th នៃជួរ $3$th ត្រូវបានបែងចែកដោយ $p_2=0.41$ លទ្ធផលត្រូវបានបង្គត់រហូតដល់ខ្ទង់ទសភាគពីរ ហើយសរសេរនៅជួរចុងក្រោយ។
បន្ទាប់មកច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ $X$ មានទម្រង់ដូចខាងក្រោម។
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.41 & 0.19 \\
\hline
\end(អារេ)$
ច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ $Y$ ។
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
យ & 2 & 3 \\
\hline
q_j & 0.52 & 0.48 \\
\hline
\end(អារេ)$
ការចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌនៃអថេរចៃដន្យ $X$ ក្រោមលក្ខខណ្ឌ $Y=2$ មានទម្រង់ដូចខាងក្រោម។
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_(ij)/q_1 & 0.29 & 0.54 & 0.17 \\
\hline
\end(អារេ)$
ការចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌនៃអថេរចៃដន្យ $Y$ ក្រោមលក្ខខណ្ឌ $X=0$ មានទម្រង់ដូចខាងក្រោម។
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
យ & 2 & 3 \\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0.68 & 0.32 \\
\hline
\end(អារេ)$
ឧទាហរណ៍ ២ . យើងមានខ្មៅដៃប្រាំមួយ ដែលពីរមានពណ៌ក្រហម។ យើងដាក់ខ្មៅដៃក្នុងប្រអប់ពីរ។ ដុំ $2$ ត្រូវបានដាក់ចូលទៅក្នុងទីមួយ និងពីរទៅទីពីរ។ $X$ គឺជាចំនួនខ្មៅដៃក្រហមនៅក្នុងប្រអប់ទីមួយ ហើយ $Y$ គឺនៅក្នុងប្រអប់ទីពីរ។ សរសេរច្បាប់ចែកចាយសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃអថេរចៃដន្យ $(X,\Y)$ ។
សូមឲ្យអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក $X$ ជាចំនួនខ្មៅដៃក្រហមក្នុងប្រអប់ទីមួយ ហើយអថេរចៃដន្យដាច់ដាច់ $Y$ ជាចំនួនខ្មៅដៃក្រហមក្នុងប្រអប់ទីពីរ។ តម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរចៃដន្យ $X,\Y$ គឺរៀងគ្នា $X:0,\1,\2$, $Y:0,\1,\2$។ បន្ទាប់មក អថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រដាច់ពីគ្នា $\left(X,\Y\right)$ អាចយកតម្លៃ $\left(x,\y\right)$ ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ $P=P\left(\left( X=x\right) \times \left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)\times P\left(Y=y|X=x\right)$, ដែល $P\left(Y=y|X=x\right)$ - ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌដែលអថេរចៃដន្យ $Y$ យកតម្លៃ $y$ ផ្តល់ថាអថេរចៃដន្យ $X$ យកតម្លៃ $x$ ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងតំណាងឱ្យការឆ្លើយឆ្លងរវាងតម្លៃ $\left(x,\y\right)$ និងប្រូបាប៊ីលីតេ $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right) \right)$ ដូចតារាងខាងក្រោម។
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\backslash Y & 0 & 1 & 2 \\
\hline
0 & ((1)\over (15)) & ((4)\over (15)) & ((1)\over (15)) \\
\hline
1 & ((4)\over (15)) & ((4)\over (15)) & 0 \\
\hline
2 & ((1)\ លើសពី (15)) & 0 & 0 \\
\hline
\end(អារេ)$
ជួរដេកនៃតារាងបែបនេះបង្ហាញពីតម្លៃ $X$ ហើយជួរឈរបង្ហាញតម្លៃ $Y$ បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេ $P\left(\left(X=x\right)\times\left(Y =y\right)\right)$ ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរដេក និងជួរឈរដែលត្រូវគ្នា។ ចូរយើងគណនាប្រូបាប៊ីលីតេដោយប្រើនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ និងទ្រឹស្តីបទផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យ។
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((1)\over (6))=((1)\over (15));$$
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^1_2\ cdot C^1_2)\over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((2\cdot 2)\over (6))=((4)\over (15)) ;$$
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=2\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((1)\over (6))=((1)\over (15));$$
$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^2_3)\over (C^2_4))=((2\cdot 4)\over (15))\cdot ((3)\over (6))=((4)\over (15)) ;$$
$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^1_1\cdot C^1_3)\over (C^2_4))=((2\cdot 4)\over (15))\cdot ((1\cdot 3)\over (6))=(( 4)\over(15));$$
$$P\left(\left(X=2\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_2)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_4) \over (C^2_4))=((1)\over (15))\cdot 1=((1)\over (15)))$$
ដោយសារនៅក្នុងច្បាប់នៃការចែកចាយ (តារាងលទ្ធផល) សំណុំនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងមូលបង្កើតជាក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេគួរតែស្មើនឹង 1។ សូមពិនិត្យមើលវា៖
$$\sum_(i,\j)(p_(ij))=((1)\over (15))+((4)\over (15))+((1)\over (15))+ ((4)\over (15))+((4)\over (15))+((1)\over (15))=1.$$
មុខងារចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រ
មុខងារចែកចាយអថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រ $\left(X,\Y\right)$ គឺជាអនុគមន៍ $F\left(x,\y\right)$ ដែលសម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ $x$ និង $y$ គឺស្មើនឹង ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការប្រតិបត្តិរួមគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរ $ \left\(X< x\right\}$ и $\left\{Y < y\right\}$. Таким образом, по определению
$$F\left(x,\y\right)=P\left\(X< x,\ Y < y\right\}.$$
សម្រាប់អថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រដាច់ដោយឡែក មុខងារចែកចាយត្រូវបានរកឃើញដោយការបូកសរុបប្រូបាបទាំងអស់ $p_(ij)$ ដែល $x_i< x,\ y_j < y$, то есть
$$F\left(x,\y\right)=\sum_(x_i< x}{\sum_{y_j < y}{p_{ij}}}.$$
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រ។
1 . មុខងារចែកចាយ $F\left(x,\y\right)$ ត្រូវបានកំណត់ នោះគឺ $0\le F\left(x,\y\right)\le 1$។
2 . $F\left(x,\y\right)$ ដែលមិនថយចុះសម្រាប់អាគុយម៉ង់នីមួយៗរបស់វាជាមួយនឹងការជួសជុលផ្សេងទៀត ពោលគឺ $F\left(x_2,\y\right)\ge F\left(x_1,\y\ ស្តាំ )$ សម្រាប់ $x_2>x_1$, $F\left(x,\y_2\right)\ge F\left(x,\y_1\right)$ សម្រាប់ $y_2>y_1$។
3 . ប្រសិនបើអាគុយម៉ង់យ៉ាងហោចណាស់មួយយកតម្លៃ $-\infty $ នោះមុខងារចែកចាយនឹងស្មើសូន្យ ពោលគឺ $F\left(-\infty ,\y\right)=F\left(x,\ - \\ infty \\ ស្តាំ ), \\ F \\ ឆ្វេង (- \\ infty , \\ - \\ infty \\ ស្តាំ) = 0$ ។
4 . ប្រសិនបើអាគុយម៉ង់ទាំងពីរយកតម្លៃ $+\infty $ នោះមុខងារចែកចាយនឹងស្មើនឹង $1$ ពោលគឺ $F\left(+\infty ,\+\infty \right)=1$។
5 . ក្នុងករណីដែលអាគុយម៉ង់មួយត្រូវយកតម្លៃ $+\infty $ មុខងារចែកចាយ $F\left(x,\y\right)$ ក្លាយជាមុខងារចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដែលត្រូវនឹងធាតុផ្សេងទៀត ពោលគឺ $ F\left(x,\+\infty\right)=F_1\left(x\right)=F_X\left(x\right),\F\left(+\infty,\y\right)=F_y\left (y\right) =F_Y\left(y\right)$។
6 . $F\left(x,\y\right)$ ត្រូវបានទុកជាបន្តសម្រាប់អាគុយម៉ង់នីមួយៗរបស់វា ឧ.
$$(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) F\left(x,\y\right)\)=F\left(x_0,\y\right),\(\mathop(lim) _(y\ ទៅ y_0-0) F\left(x,\y\right)\)=F\left(x,\y_0\right))$$
ឧទាហរណ៍ ៣ . អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រដាច់ដោយឡែក $\left(X,\Y\right)$ ត្រូវបានផ្តល់ដោយស៊េរីចែកចាយ។
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\backslash Y & 0 & 1 \\
\hline
0 & ((1)\over (6)) & ((2)\over (6)) \\
\hline
1 & ((2)\over (6)) & ((1)\over (6)) \\
\hline
\end(អារេ)$
បន្ទាប់មកមុខងារចែកចាយ៖
$F(x,y)=\left\(\begin(ម៉ាទ្រីស))
0,\នៅ\x\le 0,\y\le 0 \\
0,\ នៅ\ x\le 0,\ 0< y\le 1 \\
0,\សម្រាប់\x\le 0,\y>1 \\
0,\ នៅ\ 0< x\le 1,\ y\le 0 \\
((1)\ លើស (6)),\ នៅ\ 0< x\le 1,\ 0 < y\le 1 \\
((1)\over (6))+((2)\over (6))=((1)\over (2)),\ when\0< x\le 1,\ y>1 \\
0,\សម្រាប់\x>1,\y\le 0 \\
((1)\over (6))+((2)\over (6))=((1)\over (2)),\ពេល\x>1,\0< y\le 1 \\
((1)\over (6))+(((2)\over (6))+(2)\over (6))+((1)\over (6))=1,\for\x >1,\y>1 \\
\end(ម៉ាទ្រីស)\right.$
ការចែកចាយដាច់ពីគ្នាដោយចៃដន្យ
ជារឿយៗលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ត្រូវបានពិពណ៌នាដោយអថេរចៃដន្យជាច្រើន៖ . ជាឧទាហរណ៍ អាកាសធាតុនៅកន្លែងណាមួយនៅពេលជាក់លាក់នៃថ្ងៃអាចត្រូវបានកំណត់ដោយអថេរចៃដន្យដូចខាងក្រោមៈ X 1 - សីតុណ្ហភាព X 2 - សម្ពាធ X 3 - សំណើមខ្យល់; X 4 - ល្បឿនខ្យល់។
ក្នុងករណីនេះ មនុស្សម្នាក់និយាយអំពីអថេរចៃដន្យពហុវិមាត្រ ឬប្រព័ន្ធនៃអថេរចៃដន្យ។
ពិចារណាអថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រដែលតម្លៃដែលអាចមានគឺជាគូនៃលេខ។ តាមធរណីមាត្រ អថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រអាចត្រូវបានបកស្រាយថាជាចំណុចចៃដន្យនៅលើយន្តហោះ។
ប្រសិនបើសមាសធាតុ Xនិង យគឺជាអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក បន្ទាប់មកគឺជាអថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រដាច់ដោយឡែក ហើយប្រសិនបើ Xនិង យគឺបន្ត បន្ទាប់មកគឺជាអថេរចៃដន្យពីរវិមាត្របន្ត។
ច្បាប់នៃការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រគឺជាការឆ្លើយឆ្លងរវាងតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននិងប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា។
ច្បាប់នៃការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នាពីរវិមាត្រអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់នៃតារាងធាតុពីរ (សូមមើលតារាង 6.1) ដែលប្រូបាប៊ីលីតេដែលសមាសធាតុ Xបានយកអត្ថន័យ x ខ្ញុំ, និងសមាសភាគ យ- អត្ថន័យ y j .
តារាង 6.1.1 ។
|
y 1 |
y 2 |
y j |
y ម |
|||
|
x 1 |
ទំ 11 |
ទំ 12 |
ទំ 1j |
ទំ 1 ម។ |
||
|
x 2 |
ទំ 21 |
ទំ 22 |
ទំ 2j |
ទំ 2 ម។ |
||
|
x ខ្ញុំ |
ទំ i1 |
ទំ i2 |
ទំ អ៊ី |
ទំ អ៊ឹម |
||
|
x ន |
ទំ n1 |
ទំ ន២ |
ទំ nj |
ទំ nm |
ដោយសារព្រឹត្តិការណ៍បង្កើតជាក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាជាគូ ផលបូកនៃប្រូបាបគឺស្មើនឹង 1 ពោលគឺឧ។
ពីតារាង 6.1 អ្នកអាចរកឃើញច្បាប់នៃការចែកចាយនៃសមាសធាតុមួយវិមាត្រ Xនិង យ.
ឧទាហរណ៍ 6.1.1 . ស្វែងរកច្បាប់នៃការចែកចាយសមាសធាតុ Xនិង យប្រសិនបើការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់នៃតារាង 6.1.2 ។
តារាង 6.1.2 ។
ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើយើងជួសជុលតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់មួយ នោះការចែកចាយលទ្ធផលនៃបរិមាណ Xត្រូវបានគេហៅថាការចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌ។ ការចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា យ.
ឧទាហរណ៍ 6.1.2 . នេះបើយោងតាមការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងតារាង។ 6.1.2 ស្វែងរក៖ ក) ច្បាប់ចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌនៃសមាសភាគ Xបានផ្តល់ឱ្យថា; ខ) ច្បាប់ចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌ យបានផ្តល់ថា។
ការសម្រេចចិត្ត។ ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃសមាសធាតុ Xនិង យគណនាដោយរូបមន្ត
ច្បាប់ចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌ Xលក្ខខណ្ឌមានទម្រង់
ការគ្រប់គ្រង៖ ។
ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យជា មុខងារចែកចាយដែលកំណត់សម្រាប់គូនីមួយៗនៃចំនួនប្រូបាប៊ីលីតេនោះ។ Xទទួលយកតម្លៃតិចជាង X, ហើយត្រង់ណា យទទួលយកតម្លៃតិចជាង y:
តាមធរណីមាត្រ អនុគមន៍មានន័យថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃចំនុចចៃដន្យដែលធ្លាក់ចូលទៅក្នុងការេគ្មានដែនកំណត់ដែលមានចំនុចកំពូលនៅចំណុច (រូបភាព 6.1.1)។
ចូរយើងកត់សំគាល់លក្ខណៈសម្បត្តិ។
- 1. ជួរនៃអនុគមន៍ - , i.e. .
- 2. អនុគមន៍ - មុខងារមិនបន្ថយសម្រាប់អាគុយម៉ង់នីមួយៗ។
- 3. ទំនាក់ទំនងមានកម្រិត៖
នៅ , មុខងារចែកចាយនៃប្រព័ន្ធក្លាយជាស្មើនឹងមុខងារចែកចាយនៃសមាសភាគ X, i.e. .
ដូចគ្នានេះដែរ។
ដោយដឹង អ្នកអាចរកឃើញប្រូបាប៊ីលីតេនៃចំណុចចៃដន្យដែលធ្លាក់ក្នុងចតុកោណកែង ABCD ។
ពោលគឺ
ឧទាហរណ៍ 6.1.3. Bivariate អថេរចៃដន្យដែលកំណត់ដោយតារាងចែកចាយ
ស្វែងរកមុខងារចែកចាយ។
ការសម្រេចចិត្ត។ តម្លៃនៅក្នុងករណីនៃសមាសធាតុដាច់ដោយឡែក Xនិង យត្រូវបានរកឃើញដោយការបូកសរុបប្រូបាប៊ីលីតេទាំងអស់ជាមួយនឹងសន្ទស្សន៍ ខ្ញុំនិង j, សម្រាប់ការដែល, . បន្ទាប់មក ប្រសិនបើ និងបន្ទាប់មក (ព្រឹត្តិការណ៍និងមិនអាចទៅរួច)។ ដូចគ្នានេះដែរយើងទទួលបាន:
ប្រសិនបើហើយបន្ទាប់មក;
ប្រសិនបើហើយបន្ទាប់មក;
ប្រសិនបើហើយបន្ទាប់មក;
ប្រសិនបើហើយបន្ទាប់មក;
ប្រសិនបើហើយបន្ទាប់មក;
ប្រសិនបើហើយបន្ទាប់មក;
ប្រសិនបើហើយបន្ទាប់មក;
ប្រសិនបើហើយបន្ទាប់មក;
ប្រសិនបើហើយបន្ទាប់មក។
លទ្ធផលដែលទទួលបានត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់តារាង (៦.១.៣) នៃតម្លៃ៖
សម្រាប់ ការបន្តពីរវិមាត្រអថេរចៃដន្យ គំនិតនៃដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានណែនាំ
ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេធរណីមាត្រគឺជាផ្ទៃចែកចាយក្នុងលំហ
ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេពីរវិមាត្រមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ
3. មុខងារចែកចាយអាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃរូបមន្ត
4. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយអថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់នៅក្នុងតំបន់គឺស្មើនឹង
5. ដោយអនុលោមតាមលក្ខណៈសម្បត្តិ (4) នៃអនុគមន៍ រូបមន្តកើតឡើង៖
ឧទាហរណ៍ 6.1.4 ។មុខងារចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ
គូដែលបានបញ្ជាទិញ (X , Y) នៃអថេរចៃដន្យ X និង Y ត្រូវបានគេហៅថាអថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រ ឬវ៉ិចទ័រចៃដន្យនៃចន្លោះពីរវិមាត្រ។ អថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រ (X,Y) ត្រូវបានគេហៅថាប្រព័ន្ធនៃអថេរចៃដន្យ X និង Y ។ សំណុំនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេត្រូវបានគេហៅថាច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យនេះ។ អថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រដាច់ដោយឡែក (X, Y) ត្រូវបានចាត់ទុកថាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យប្រសិនបើច្បាប់ចែកចាយរបស់វាត្រូវបានគេស្គាល់៖
P(X=x i, Y=y j) = p ij, i=1,2...,n, j=1,2...,m
ការផ្តល់សេវា. ការប្រើប្រាស់សេវាកម្មនេះបើយោងតាមច្បាប់ចែកចាយដែលបានផ្តល់ឱ្យអ្នកអាចរកឃើញ:
- ស៊េរីចែកចាយ X និង Y ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា M[X], M[Y], បំរែបំរួល D[X], D[Y];
- covariance cov(x,y), មេគុណទំនាក់ទំនង r x,y, ស៊េរីចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌ X, ការរំពឹងទុកតាមលក្ខខណ្ឌ M;
ការណែនាំ។ បញ្ជាក់វិមាត្រនៃម៉ាទ្រីសចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ (ចំនួនជួរដេក និងជួរឈរ) និងទម្រង់របស់វា។ ដំណោះស្រាយលទ្ធផលត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងឯកសារ Word ។
ឧទាហរណ៍ #1 ។ អថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នាពីរវិមាត្រមានតារាងចែកចាយ៖
| យ/X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 10 | 0 | 0,11 | 0,12 | 0,03 |
| 20 | 0 | 0,13 | 0,09 | 0,02 |
| 30 | 0,02 | 0,11 | 0,08 | 0,01 |
| 40 | 0,03 | 0,11 | 0,05 | q |
ការសម្រេចចិត្ត។ យើងរកតម្លៃ q ពីលក្ខខណ្ឌ Σp ij = 1
Σp ij = 0.02 + 0.03 + 0.11 + … + 0.03 + 0.02 + 0.01 + q = 1
0.91+q = 1. Whence q = 0.09
ដោយប្រើរូបមន្ត ∑P(x ខ្ញុំយ j) = ទំ ខ្ញុំ(j=1..n) ស្វែងរកស៊េរីចែកចាយ X ។
M[y] = 1*0.05 + 2*0.46 + 3*0.34 + 4*0.15 = 2.59
ការបែកខ្ញែក D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
គម្លាតស្តង់ដារσ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0.64) = 0.801
ភាពឆបគ្នា cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0.11 + 3 10 0.12 + 4 10 0.03 + 2 20 0.13 + 3 20 0.09 + 4 20 0.02 + 1 30 0.02 + 2. 3 30 0.08 + 4 30 0.01 + 1 40 0.03 + 2 40 0.11 + 3 40 0.05 + 4 40 0.09 - 25.2 2.59 = -0.068
មេគុណទំនាក់ទំនង rxy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736
ឧទាហរណ៍ 2 ។ ទិន្នន័យនៃដំណើរការស្ថិតិនៃព័ត៌មានទាក់ទងនឹងសូចនាករទាំងពីរ X និង Y ត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងនៅក្នុងតារាងទំនាក់ទំនង។ ទាមទារ៖
- សរសេរស៊េរីចែកចាយសម្រាប់ X និង Y ហើយគណនាមធ្យោបាយគំរូ និងគម្លាតស្តង់ដារគំរូសម្រាប់ពួកវា។
- សរសេរស៊េរីចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌ Y/x និងគណនាមធ្យមភាគតាមលក្ខខណ្ឌ Y/x;
- ពណ៌នាក្រាហ្វិកបង្ហាញភាពអាស្រ័យនៃមធ្យមភាគតាមលក្ខខណ្ឌ Y/x លើតម្លៃនៃ X;
- គណនាមេគុណទំនាក់ទំនងគំរូ Y នៅលើ X;
- សរសេរគំរូសមីការតំរែតំរង់ដោយផ្ទាល់;
- តំណាងឱ្យធរណីមាត្រទិន្នន័យនៃតារាងទំនាក់ទំនង និងបង្កើតបន្ទាត់តំរែតំរង់។
សំណុំនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេត្រូវបានគេហៅថាច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យនេះ។
អថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រដាច់ពីគ្នា (X,Y) ត្រូវបានចាត់ទុកថាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យប្រសិនបើច្បាប់ចែកចាយរបស់វាត្រូវបានគេស្គាល់៖
P(X=x i, Y=y j) = p ij , i=1,2...,n,j=1,2...,m
| X/Y | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| 11 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 16 | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 21 | 0 | 3 | 6 | 2 | 0 |
| 26 | 0 | 0 | 45 | 8 | 4 |
| 31 | 0 | 0 | 4 | 6 | 7 |
| 36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
1. ការពឹងផ្អែកនៃអថេរចៃដន្យ X និង Y.
ស្វែងរកស៊េរីចែកចាយ X និង Y ។
ដោយប្រើរូបមន្ត ∑P(x ខ្ញុំយ j) = ទំ ខ្ញុំ(j=1..n) ស្វែងរកស៊េរីចែកចាយ X ។ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42.3
ការបែកខ្ញែក D[Y].
D[Y] = (20 2 * 6 + 30 2 * 9 + 40 2 * 55 + 50 2 * 16 + 60 2 * 14) / 100 - 42.3 2 = 99.71
គម្លាតស្តង់ដារ σ(y).
ចាប់តាំងពី, P(X=11,Y=20) = 2≠2 6, បន្ទាប់មកអថេរចៃដន្យ X និង Y ពឹងផ្អែក.
2. ច្បាប់ចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌ X.
ច្បាប់ចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌ X(Y=20).
P(X=11/Y=20)=2/6=0.33
P(X=16/Y=20)=4/6=0.67
P(X=21/Y=20)=0/6=0
P(X=26/Y=20)=0/6=0
P(X=31/Y=20)=0/6=0
P(X=36/Y=20)=0/6=0
ការរំពឹងទុកតាមលក្ខខណ្ឌ M = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
វ៉ារ្យ៉ង់តាមលក្ខខណ្ឌ D = 11 2 * 0.33 + 16 2 * 0.67 + 21 2 * 0 + 26 2 * 0 + 31 2 * 0 + 36 2 * 0 - 14.33 2 = 5.56
ច្បាប់ចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌ X(Y=30).
P(X=11/Y=30)=0/9=0
P(X=16/Y=30)=6/9=0.67
P(X=21/Y=30)=3/9=0.33
P(X=26/Y=30)=0/9=0
P(X=31/Y=30)=0/9=0
P(X=36/Y=30)=0/9=0
ការរំពឹងទុកតាមលក្ខខណ្ឌ M = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
វ៉ារ្យ៉ង់តាមលក្ខខណ្ឌ D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0.67 + 21 2 * 0.33 + 26 2 * 0 + 31 2 * 0 + 36 2 * 0 - 17.67 2 = 5.56
ច្បាប់ចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌ X(Y=40).
P(X=11/Y=40)=0/55=0
P(X=16/Y=40)=0/55=0
P(X=21/Y=40)=6/55=0.11
P(X=26/Y=40)=45/55=0.82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0.0727
P(X=36/Y=40)=0/55=0
ការរំពឹងទុកតាមលក្ខខណ្ឌ M = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
វ៉ារ្យ៉ង់តាមលក្ខខណ្ឌ D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0.11 + 26 2 * 0.82 + 31 2 * 0.0727 + 36 2 * 0 - 25.82 2 = 4.51
ច្បាប់ចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌ X(Y=50).
P(X=11/Y=50)=0/16=0
P(X=16/Y=50)=0/16=0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0.13
P(X=26/Y=50)=8/16=0.5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0.38
P(X=36/Y=50)=0/16=0
ការរំពឹងទុកតាមលក្ខខណ្ឌ M = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
វ៉ារ្យ៉ង់តាមលក្ខខណ្ឌ D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0.13 + 26 2 * 0.5 + 31 2 * 0.38 + 36 2 * 0 - 27.25 2 = 10.94
ច្បាប់ចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌ X(Y=60).
P(X=11/Y=60)=0/14=0
P(X=16/Y=60)=0/14=0
P(X=21/Y=60)=0/14=0
P(X=26/Y=60)=4/14=0.29
P(X=31/Y=60)=7/14=0.5
P(X=36/Y=60)=3/14=0.21
ការរំពឹងទុកតាមលក្ខខណ្ឌ M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
បំរែបំរួលតាមលក្ខខណ្ឌ D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0 + 26 2 * 0.29 + 31 2 * 0.5 + 36 2 * 0.21 - 30.64 2 = 12.37
3. ច្បាប់ចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌ Y.
ច្បាប់ចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌ Y(X=11).
P(Y=20/X=11)=2/2=1
P(Y=30/X=11)=0/2=0
P(Y=40/X=11)=0/2=0
P(Y=50/X=11)=0/2=0
P(Y=60/X=11)=0/2=0
ការរំពឹងទុកតាមលក្ខខណ្ឌ M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
វ៉ារ្យ៉ង់តាមលក្ខខណ្ឌ D = 20 2 * 1 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 0 - 20 2 = 0
ច្បាប់ចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌ Y(X=16).
P(Y=20/X=16)=4/10=0.4
P(Y=30/X=16)=6/10=0.6
P(Y=40/X=16)=0/10=0
P(Y=50/X=16)=0/10=0
P(Y=60/X=16)=0/10=0
ការរំពឹងទុកតាមលក្ខខណ្ឌ M = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
វ៉ារ្យ៉ង់តាមលក្ខខណ្ឌ D = 20 2 * 0.4 + 30 2 * 0.6 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 0 - 26 2 = 24
ច្បាប់ចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌ Y(X=21).
P(Y=20/X=21)=0/11=0
P(Y=30/X=21)=3/11=0.27
P(Y=40/X=21)=6/11=0.55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0.18
P(Y=60/X=21)=0/11=0
ការរំពឹងទុកតាមលក្ខខណ្ឌ M = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
បំរែបំរួលតាមលក្ខខណ្ឌ D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0.27 + 40 2 * 0.55 + 50 2 * 0.18 + 60 2 * 0 - 39.09 2 = 44.63
ច្បាប់ចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌ Y(X=26).
P(Y=20/X=26)=0/57=0
P(Y=30/X=26)=0/57=0
P(Y=40/X=26)=45/57=0.79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0.14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0.0702
ការរំពឹងទុកតាមលក្ខខណ្ឌ M = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
វ៉ារ្យ៉ង់តាមលក្ខខណ្ឌ D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0.79 + 50 2 * 0.14 + 60 2 * 0.0702 - 42.81 2 = 34.23
ច្បាប់ចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌ Y(X=31).
P(Y=20/X=31)=0/17=0
P(Y=30/X=31)=0/17=0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0.24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0.35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0.41
ការរំពឹងទុកតាមលក្ខខណ្ឌ M = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
បំរែបំរួលតាមលក្ខខណ្ឌ D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0.24 + 50 2 * 0.35 + 60 2 * 0.41 - 51.76 2 = 61.59
ច្បាប់ចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌ Y(X=36).
P(Y=20/X=36)=0/3=0
P(Y=30/X=36)=0/3=0
P(Y=40/X=36)=0/3=0
P(Y=50/X=36)=0/3=0
P(Y=60/X=36)=3/3=1
ការរំពឹងទុកតាមលក្ខខណ្ឌ M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
វ៉ារ្យ៉ង់តាមលក្ខខណ្ឌ D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 1 - 60 2 = 0
ភាពឆបគ្នា.
cov(X,Y) = M - M[X] M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 513 4 + 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25.3 42.3 = 38.11
ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យគឺឯករាជ្យ នោះភាពប្រែប្រួលរបស់ពួកគេគឺសូន្យ។ ក្នុងករណីរបស់យើង cov(X,Y) ≠ 0 ។
មេគុណទំនាក់ទំនង.
សមីការតំរែតំរង់លីនេអ៊ែរពី y ទៅ x គឺ៖
សមីការតំរែតំរង់លីនេអ៊ែរពី x ទៅ y គឺ៖
ស្វែងរកលក្ខណៈលេខចាំបាច់។
គំរូមានន័យថា៖
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42.3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25.3
ការបែកខ្ញែក៖
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42.3 2 = 99.71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25.3 2 = 24.01
តើយើងទទួលបានគម្លាតស្តង់ដារនៅឯណា៖
σ x = 9.99 និង σ y = 4.9
និងភាពឆបគ្នា៖
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 51 4 + 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42.3 25.3 = 38.11
ចូរកំណត់មេគុណជាប់ទាក់ទងគ្នា៖
ចូរសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់តំរែតំរង់ y(x)៖
និងការគណនាយើងទទួលបាន៖
yx = 0.38x + 9.14
ចូរសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់តំរែតំរង់ x(y)៖
និងការគណនាយើងទទួលបាន៖
x y = 1.59 y + 2.15
ប្រសិនបើយើងបង្កើតចំនុចដែលកំណត់ដោយតារាង និងបន្ទាត់តំរែតំរង់ យើងនឹងឃើញថាបន្ទាត់ទាំងពីរឆ្លងកាត់ចំនុចដែលមានកូអរដោណេ (42.3; 25.3) ហើយចំនុចទាំងនោះមានទីតាំងនៅជិតបន្ទាត់តំរែតំរង់។
សារៈសំខាន់នៃមេគុណទំនាក់ទំនង.
យោងតាមតារាងរបស់សិស្សដែលមានកម្រិតសារៈសំខាន់ α=0.05 និងដឺក្រេនៃសេរីភាព k=100-m-1 = 98 យើងរកឃើញ t crit:
t crit (n-m-1; α/2) = (98; 0.025) = 1.984
ដែល m = 1 គឺជាចំនួននៃអថេរពន្យល់។
ប្រសិនបើ t obs > t គឺសំខាន់ នោះតម្លៃដែលទទួលបាននៃមេគុណជាប់ទាក់ទងគ្នាត្រូវបានទទួលស្គាល់ថាសំខាន់ (សម្មតិកម្មទទេដែលអះអាងថាមេគុណជាប់ទាក់ទងគឺស្មើនឹងសូន្យត្រូវបានបដិសេធ)។
ចាប់តាំងពី t obl > t crit យើងបដិសេធសម្មតិកម្មដែលថាមេគុណជាប់ទាក់ទងគឺស្មើនឹង 0 ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត មេគុណជាប់ទាក់ទងគ្នាគឺមានសារៈសំខាន់ជាស្ថិតិ។
លំហាត់ប្រាណ. ចំនួននៃការចុចគូនៃតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យ X និង Y ក្នុងចន្លោះពេលដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងតារាង។ ពីទិន្នន័យទាំងនេះ ស្វែងរកមេគុណទំនាក់ទំនងគំរូ និងសមីការគំរូនៃបន្ទាត់តំរែតំរង់ត្រង់ Y នៅលើ X និង X នៅលើ Y ។
ការសម្រេចចិត្ត
ឧទាហរណ៍. ការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យពីរវិមាត្រ (X, Y) ត្រូវបានផ្តល់ដោយតារាងមួយ។ ស្វែងរកច្បាប់នៃការបែងចែកបរិមាណសមាសធាតុ X, Y និងមេគុណទំនាក់ទំនង p(X, Y)។
ទាញយកដំណោះស្រាយ
លំហាត់ប្រាណ. តម្លៃដាច់ពីរវិមាត្រ (X, Y) ត្រូវបានផ្តល់ដោយច្បាប់ចែកចាយ។ ស្វែងរកច្បាប់ចែកចាយនៃសមាសធាតុ X និង Y ភាពប្រែប្រួល និងមេគុណទំនាក់ទំនង។
