វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការត្រីកោណមាត្រមានពីរដំណាក់កាល៖ ការផ្លាស់ប្តូរសមីការដើម្បីទទួលបានវាសាមញ្ញប្រភេទ (សូមមើលខាងលើ) និង ការសម្រេចចិត្តទទួលបានសាមញ្ញបំផុត។ សមីការត្រីកោណមាត្រ។មានប្រាំពីរ វិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។

1. វិធីសាស្រ្តពិជគណិត។

(វិធីសាស្រ្តជំនួសនិងជំនួសអថេរ) ។

2. កត្តា។

ឧទាហរណ៍ 1. ដោះស្រាយសមីការ៖អំពើបាប x+ cos x = 1 .

ដំណោះស្រាយ។ ផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃសមីការទៅខាងឆ្វេង៖

អំពើបាប x+ cos x – 1 = 0 ,

ចូរ​យើង​បំប្លែង​និង​ធ្វើ​កត្តា​កន្សោម​ចូល

ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ៖

ឧទាហរណ៍ 2. ដោះស្រាយសមីការ៖ cos 2 x+ បាប x cos x = 1.

ដំណោះស្រាយ 2 x+ បាប x cos x– បាប ២ x– ខូស ២ x = 0 ,

អំពើបាប x cos x– បាប ២ x = 0 ,

អំពើបាប x(cos x– អំពើបាប x ) = 0 ,

ឧទាហរណ៍ 3. ដោះស្រាយសមីការ៖ cos 2 x- កូស ៨ x+ cos ៦ x = 1.

ដំណោះស្រាយ 2 x+ cos ៦ x= 1 + cos8 x,

2 cos 4 x cos 2 x= 2 cos² ៤ x ,

ខូស ៤ x · (cos 2 x– ខូស ៤ x) = 0 ,

ខូស ៤ x ២ បាប ៣ xអំពើបាប x = 0 ,

មួយ) cos 4 x= 0 , 2) ។ បាប ៣ x= 0 , 3). អំពើបាប x = 0 ,

3. នាំយកទៅ សមីការឯកសណ្ឋាន។ សមីការ បានហៅ ភាពដូចគ្នាពី ទាក់ទង អំពើបាបនិង cos , ប្រសិនបើ ទាំងអស់របស់វា។ លក្ខខណ្ឌនៃសញ្ញាបត្រដូចគ្នាទាក់ទងនឹង អំពើបាបនិង cosមុំដូចគ្នា។. ដើម្បីដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា អ្នកត្រូវការ៖ ក) ផ្លាស់ទីសមាជិកទាំងអស់របស់វាទៅផ្នែកខាងឆ្វេង; ខ) ដាក់កត្តាទូទៅទាំងអស់ចេញពីតង្កៀប; ក្នុង) ស្មើកត្តាទាំងអស់ និងតង្កៀបទៅសូន្យ។ ជី) វង់ក្រចកកំណត់ទៅសូន្យផ្តល់ឱ្យ សមីការដូចគ្នានៃដឺក្រេតិចជាង ដែលគួរបែងចែកដោយ cos(ឬ អំពើបាបម) ក្នុងកម្រិតឧត្តមសិក្សា; ឃ) ដោះស្រាយសមីការពិជគណិតលទ្ធផលដោយគោរពតាន់ . អំពើបាប 2 x+ ៤ បាប x cos x+ 5 cos 2 x = 2. ដំណោះស្រាយ៖ ៣ បាប ២ x+ ៤ បាប x cos x+ 5 cos 2 x= ២ បាប ២ x+ 2 cos 2 x , បាប ២ x+ ៤ បាប x cos x+ 3 cos 2 x = 0 , តាន់ ២ x+ ៤ តាន់ x + 3 = 0 , ពី​ទីនេះ y 2 + 4y +3 = 0 , ឫសគល់នៃសមីការនេះគឺ៖y 1 = - 1, y 2 = - 3 ដូច្នេះ 1) ត្នោត x= –1, 2) តាន់ x = –3,

4. ការផ្លាស់ប្តូរទៅពាក់កណ្តាលជ្រុង។

តោះមើលវិធីសាស្រ្តនេះជាមួយឧទាហរណ៍៖

ឧទាហរណ៍ ដោះស្រាយសមីការ៖ ៣អំពើបាប x- ៥ កូស x = 7.

ដំណោះស្រាយ៖ ៦ បាប ( x/ 2) cos ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =

7 sin² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 sin² ( x/ ២) – ៦ បាប ( x/ 2) cos ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

tan²( x/ ២) – ៣ តាន់ ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. ការណែនាំអំពីមុំជំនួយ។

ពិចារណាសមីការនៃទម្រង់:

កអំពើបាប x + ខ cos x = គ ,

កន្លែងណា ក, ខ, គ- មេគុណ;x- មិនស្គាល់។

ឥឡូវនេះ មេគុណនៃសមីការមានលក្ខណៈសម្បត្តិនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស។ ពោលគឺ៖ ម៉ូឌុល (តម្លៃដាច់ខាត) នៃនីមួយៗ ដែលមិនលើសពី 1 ហើយផលបូកនៃការ៉េរបស់ពួកគេគឺ 1. បន្ទាប់មកគេអាចកំណត់បាន។ ពួកគេរៀងៗខ្លួន របៀប cos និង sin (នៅទីនេះ - ហៅថា មុំជំនួយ) និងសមីការរបស់យើងគឺ

ប្រធានបទ៖"វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ" ។

គោលបំណងនៃមេរៀន៖

អប់រំ៖

បង្កើតជំនាញដើម្បីបែងចែកប្រភេទនៃសមីការត្រីកោណមាត្រ;

ការយល់ដឹងកាន់តែស៊ីជម្រៅអំពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ;

អប់រំ៖

ការអប់រំនៃចំណាប់អារម្មណ៍ការយល់ដឹងនៅក្នុងដំណើរការអប់រំ;

ការបង្កើតសមត្ថភាពក្នុងការវិភាគភារកិច្ច;

អភិវឌ្ឍន៍៖

ដើម្បីបង្កើតជំនាញដើម្បីវិភាគស្ថានភាពជាមួយនឹងជម្រើសជាបន្តបន្ទាប់នៃវិធីសមហេតុផលបំផុតចេញពីវា។

ឧបករណ៍៖ផ្ទាំងរូបភាពដែលមានរូបមន្តត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋាន កុំព្យូទ័រ ម៉ាស៊ីនបញ្ចាំង អេក្រង់។

ចូរចាប់ផ្តើមមេរៀនដោយនិយាយឡើងវិញនូវបច្ចេកទេសជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការណាមួយ៖ កាត់បន្ថយវាទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ តាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរ សមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ ax \u003d b, មួយការ៉េទៅជាទម្រង់ ax2+bx +c=0។ក្នុងករណីសមីការត្រីកោណមាត្រ ចាំបាច់ត្រូវកាត់បន្ថយពួកវាទៅជាសាមញ្ញបំផុតនៃទម្រង់៖ sinx \u003d a, cosx \u003d a, tgx \u003d a ដែលអាចដោះស្រាយបានយ៉ាងងាយស្រួល។

ជាដំបូង ជាការពិតសម្រាប់រឿងនេះ ចាំបាច់ត្រូវប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋានដែលត្រូវបានបង្ហាញនៅលើផ្ទាំងរូបភាព៖ រូបមន្តបន្ថែម រូបមន្តមុំទ្វេ កាត់បន្ថយគុណនៃសមីការ។ យើងដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការបែបនេះរួចហើយ។ ចូរយើងធ្វើម្តងទៀតនូវពួកគេមួយចំនួន៖

ទន្ទឹមនឹងនេះដែរមានសមីការដំណោះស្រាយដែលទាមទារចំណេះដឹងអំពីបច្ចេកទេសពិសេសមួយចំនួន។

ប្រធានបទនៃមេរៀនរបស់យើងគឺការពិចារណាលើបច្ចេកទេសទាំងនេះ និងការរៀបចំប្រព័ន្ធនៃវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។

វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។

1. ការបំប្លែងទៅជាសមីការចតុកោណ ទាក់ទងនឹងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយចំនួន អមដោយការផ្លាស់ប្តូរអថេរ។

យើងនឹងពិចារណាវិធីសាស្រ្តនីមួយៗដែលបានរាយបញ្ជីជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ ប៉ុន្តែយើងនឹងរស់នៅលើពីរចុងក្រោយដោយលម្អិតបន្ថែមទៀត ចាប់តាំងពីយើងបានប្រើពីរដំបូងរួចហើយក្នុងការដោះស្រាយសមីការ។

1. ការបំប្លែងទៅជាសមីការចតុកោណ ទាក់ទងនឹងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រណាមួយ។

2. ដំណោះស្រាយនៃសមីការដោយវិធីសាស្ត្រកត្តាកត្តា។

3. ដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នា។

សមីការដូចគ្នានៃសញ្ញាបត្រទីមួយ និងទីពីរត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃទម្រង់៖

រៀងគ្នា (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0) ។

នៅពេលដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា ផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការត្រូវបានបែងចែកពាក្យដោយពាក្យដោយ cosx សម្រាប់ (1) នៃសមីការ និងដោយ cos 2 x សម្រាប់ (2) ។ ការបែងចែកបែបនេះអាចធ្វើទៅបានព្រោះថា sinx និង cosx មិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយទេ - ពួកវារលាយបាត់នៅចំណុចផ្សេងៗគ្នា។ ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការដូចគ្នានៃសញ្ញាបត្រទីមួយ និងទីពីរ។

ចងចាំសមីការនេះ៖ នៅពេលពិចារណាវិធីសាស្ត្របន្ទាប់ - សេចក្តីផ្តើមនៃអាគុយម៉ង់ជំនួយ យើងនឹងដោះស្រាយវាតាមវិធីផ្សេង។

4. សេចក្តីផ្តើមនៃអាគុយម៉ង់ជំនួយ។

ពិចារណាសមីការដែលបានដោះស្រាយរួចហើយដោយវិធីសាស្ត្រមុន៖

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញលទ្ធផលដូចគ្នាត្រូវបានទទួល។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយទៀត៖

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណា ជាទូទៅវាច្បាស់ណាស់នូវអ្វីដែលសមីការដើមត្រូវបែងចែកទៅជា ដើម្បីណែនាំអំណះអំណាងជំនួយ។ ប៉ុន្តែវាអាចកើតឡើងដែលវាមិនច្បាស់ថាផ្នែកមួយណាដែលត្រូវជ្រើសរើស។ មានបច្ចេកទេសពិសេសមួយសម្រាប់រឿងនេះ ដែលឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាជាទូទៅ។ សូមឱ្យសមីការមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

វិធីសាស្រ្តក្នុងការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ ខ្លឹមសារ

• វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរ
• វិធីសាស្រ្តបំបែកឯកតា
• សមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នា។
• ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ៖
• រូបមន្តបន្ថែម
• រូបមន្តចាក់
• រូបមន្តអាគុយម៉ង់ទ្វេ

វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរ

ដោយជំនួស t = sinx ឬ t = cosx ដែល t∈ [−1;1] ដំណោះស្រាយនៃសមីការដើមត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាដំណោះស្រាយនៃសមីការបួនជ្រុង ឬសមីការពិជគណិតផ្សេងទៀត។

សូមមើលឧទាហរណ៍ ១-៣

ជួនកាលការជំនួសត្រីកោណមាត្រសកលត្រូវបានប្រើ៖ t = tg

ឧទាហរណ៍ទី 1 ឧទាហរណ៍ទី 2 ឧទាហរណ៍ទី 3 វិធីសាស្ត្រកត្តា

ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺថាផលនៃកត្តាជាច្រើនស្មើនឹងសូន្យ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំនោមពួកគេស្មើនឹងសូន្យ ខណៈពេលដែលកត្តាផ្សេងទៀតមិនបាត់បង់អត្ថន័យរបស់វា៖

f(x) g(x) h(x) … = 0⟺ f(x) = 0 ឬ g(x) = 0 ឬ h(x) = 0

ល។ ផ្តល់ថាកត្តានីមួយៗមាន

សូមមើលឧទាហរណ៍ ៤-៥

ឧទាហរណ៍ទី 4 ឧទាហរណ៍ទី 5 សមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នា។ សមីការនៃទម្រង់ sin x + b cos x = 0 ត្រូវបានគេហៅថាសមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នានៃដឺក្រេទីមួយ។

a sin x + b cos x = 0

មតិយោបល់។

ការបែងចែកដោយ cos x គឺត្រឹមត្រូវព្រោះដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ cos x = 0 មិនមែនជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ a sin x + b cos x = 0 ។

a sin x b cos x 0

a tg x + b = 0

tg x = -

សមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នា។

a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0

សមីការនៃទម្រង់ sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 ត្រូវបានគេហៅថាសមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នានៃដឺក្រេទីពីរ។

a tg2x + b tg x + c = 0

a sin2x b sin x cos x c cos2x 0

មតិយោបល់។ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការនេះ a \u003d 0 ឬ c \u003d 0 នោះសមីការត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រពង្រីក

សម្រាប់មេគុណ។

ឧទាហរណ៍ ៦

ឧទាហរណ៍ ៨ ឧទាហរណ៍ ៩ ឧទាហរណ៍ ១០ ឧទាហរណ៍ ១១ 1. រូបមន្តបន្ថែម៖

sin(x + y) = sinx cozy + cosx siny

cos (x + y) = cosx cozy − sinx siny

tgx + tgy

tg(x + y) =

1 - tgx tgy

sin(x − y) = sinx cozy + cosx siny

cos(x − y) = cosx cozy + sinx siny

tgx − tgy

tg (x − y) =

1 + tgx tgy

сtgx сtgy − ១

ctg (x + y) =

сtgу + с tgх

ctgx ctgy + 1

сtg (x − y) =

сtgу − с tgх

ឧទាហរណ៍ 12 ឧទាហរណ៍ 13 ការប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ 2. ទម្រង់​ការ​ចាក់៖

ក្បួនសេះ

ក្នុង​សម័យ​បុរាណ​ដ៏​ល្អ មាន​អ្នក​គណិត​វិទូ​ដែល​មាន​គំនិត​អវត្ដមាន ដែល​ពេល​ស្វែង​រក​ចម្លើយ ផ្លាស់ប្ដូរ ឬ​មិន​ប្ដូរ​ឈ្មោះ​មុខងារ ( ប្រហោងឆ្អឹងនៅ​លើ កូស៊ីនុស) ក្រឡេកមើលសេះដ៏ឆ្លាតវៃរបស់គាត់ ហើយនាងងក់ក្បាលតាមអ័ក្សកូអរដោណេ ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចំណុចដែលត្រូវនឹងពាក្យទីមួយនៃអាគុយម៉ង់ π/ 2 + α ឬ π + α .

ប្រសិនបើសេះងក់ក្បាលតាមអ័ក្ស អូបន្ទាប់មកគណិតវិទូបានពិចារណាថាចម្លើយត្រូវបានទទួល "បាទ ផ្លាស់ប្តូរ"ប្រសិនបើតាមបណ្តោយអ័ក្ស អូបន្ទាប់មក "ទេ កុំប្តូរ".

ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ 3. រូបមន្តអាគុយម៉ង់ពីរដង៖

sin2x = 2sinx cosx

cos2x = cos2x – sin2x

cos2x = 2cos2x − 1

cos2x = 1 – 2sin2x

1-tg2x

ctg 2x =

ctg2x − ១

ឧទាហរណ៍ 14 ការប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ 4. រូបមន្តកាត់បន្ថយសញ្ញាបត្រ៖

5. រូបមន្តមុំពាក់កណ្តាល៖

ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ 6. រូបមន្តបូក និងភាពខុសគ្នា៖ ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ 7. រូបមន្តផលិតផល៖ ច្បាប់ Mnemonic "ត្រីកោណមាត្រនៅក្នុងបាតដៃរបស់អ្នក"

ជាញឹក​ញាប់​ត្រូវ​ដឹង​ដោយ​ចិត្ត​នូវ​អត្ថន័យ cos, អំពើបាប, tg, ctgសម្រាប់មុំ 0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 °។

ប៉ុន្តែប្រសិនបើភ្លាមៗនោះតម្លៃណាមួយត្រូវបានបំភ្លេចចោលនោះអ្នកអាចប្រើច្បាប់នៃដៃ។

ច្បាប់៖ប្រសិនបើអ្នកគូរបន្ទាត់តាមម្រាមដៃតូច និងមេដៃ

បន្ទាប់មកពួកគេនឹងប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយហៅថា "ភ្នំតាមច័ន្ទគតិ"។

មុំ 90 °ត្រូវបានបង្កើតឡើង។ បន្ទាត់ម្រាមដៃតូចបង្កើតជាមុំ 0° ។

ដោយបានគូរកាំរស្មីពី "ភ្នំតាមច័ន្ទគតិ" តាមរយៈចិញ្ចៀនកណ្តាលម្រាមដៃសន្ទស្សន៍យើងទទួលបានមុំ 30 °, 45 °, 60 °រៀងគ្នា។

ការជំនួសជំនួស ន៖ 0, 1, 2, 3, 4 យើងទទួលបានតម្លៃ អំពើបាបសម្រាប់មុំ 0°, 30°, 45°, 60°, 90°។

សម្រាប់ cosការរាប់គឺស្ថិតនៅក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាស។

អ្នកអាចបញ្ជាទិញដំណោះស្រាយលម្អិតចំពោះបញ្ហារបស់អ្នក !!!

សមភាពដែលមានមិនស្គាល់នៅក្រោមសញ្ញានៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ (`sin x, cos x, tg x` ឬ `ctg x`) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការត្រីកោណមាត្រ ហើយយើងនឹងពិចារណារូបមន្តរបស់វាបន្ថែមទៀត។

សមីការសាមញ្ញបំផុតគឺ `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` ដែល `x` ជាមុំដែលត្រូវរក `a` គឺជាលេខណាមួយ។ ចូរយើងសរសេររូបមន្តឫសសម្រាប់ពួកវានីមួយៗ។

1. សមីការ `sin x=a` ។

សម្រាប់ `|a|>1` វាមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ជាមួយ `|a| \leq 1` មានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

រូបមន្តឫស៖ `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. សមីការ `cos x = a`

សម្រាប់ `|a|>1` - ដូចក្នុងករណីស៊ីនុស គ្មានដំណោះស្រាយក្នុងចំណោមចំនួនពិតទេ។

ជាមួយ `|a| \leq 1` មានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

រូបមន្តឫស៖ `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

ករណីពិសេសសម្រាប់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសក្នុងក្រាហ្វ។

3. សមីការ `tg x=a`

មានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ `a` ។

រូបមន្តឫស៖ `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. សមីការ `ctg x=a`

វាក៏មានដំណោះស្រាយចំនួនមិនកំណត់សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ `a` ផងដែរ។

រូបមន្តឫស៖ `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការត្រីកោណមាត្រក្នុងតារាង

សម្រាប់ប្រហោងឆ្អឹង៖
សម្រាប់កូស៊ីនុស៖
សម្រាប់តង់សង់ និងកូតង់សង់៖
រូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការដែលមានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស៖

វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ

ដំណោះស្រាយនៃសមីការត្រីកោណមាត្រណាមួយមានពីរដំណាក់កាល៖

• ប្រើដើម្បីបម្លែងវាទៅជាសាមញ្ញបំផុត;
• ដោះស្រាយសមីការសាមញ្ញលទ្ធផលដោយប្រើរូបមន្តខាងលើសម្រាប់ឫស និងតារាង។

ចូរយើងពិចារណាវិធីសាស្រ្តចម្បងនៃដំណោះស្រាយដោយប្រើឧទាហរណ៍។

វិធីសាស្រ្តពិជគណិត។

នៅក្នុងវិធីសាស្រ្តនេះ ការជំនួសអថេរមួយ និងការជំនួសរបស់វាទៅជាសមភាពត្រូវបានធ្វើឡើង។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖ `2cos^2(x+\frac\pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

ធ្វើការជំនួស៖ `cos(x+\frac \pi 6)=y` បន្ទាប់មក `2y^2-3y+1=0`,

យើងរកឃើញឫស៖ `y_1=1, y_2=1/2` ដែលករណីពីរដូចខាងក្រោម៖

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n` ។

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n` ។

ចម្លើយ៖ `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n` ។

ការបំបែកឯកតា។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖ `sin x + cos x = 1` ។

ដំណោះស្រាយ។ ផ្លាស់ទីទៅខាងឆ្វេងលក្ខខណ្ឌនៃសមភាពទាំងអស់៖ `sin x+cos x-1=0`។ ដោយប្រើ យើងបំប្លែង និងធ្វើកត្តាខាងឆ្វេង៖

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n` ។
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n` ។

ចម្លើយ៖ `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`។

ការកាត់បន្ថយទៅជាសមីការដូចគ្នា។

ដំបូងអ្នកត្រូវនាំយកសមីការត្រីកោណមាត្រនេះទៅជាទម្រង់មួយក្នុងចំណោមទម្រង់ពីរ៖

`a sin x + b cos x = 0` (សមីការដូចគ្នានៃសញ្ញាបត្រទីមួយ) ឬ `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (សមីការដូចគ្នានៃសញ្ញាបត្រទីពីរ)។

បន្ទាប់មកបំបែកផ្នែកទាំងពីរដោយ `cos x \ne 0` សម្រាប់ករណីទីមួយ និងដោយ `cos^2 x \ne 0` សម្រាប់ទីពីរ។ យើងទទួលបានសមីការសម្រាប់ `tg x`: `a tg x+b=0` និង `a tg^2 x + b tg x +c =0` ដែលត្រូវតែដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រដែលគេស្គាល់។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖ `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរសរសេរផ្នែកខាងស្តាំជា `1=sin^2 x+cos^2 x`៖

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` `sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x − 2 cos^2 x=0` ។

នេះគឺជាសមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នានៃដឺក្រេទីពីរ ដោយបែងចែកផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំរបស់វាដោយ `cos^2 x \ne 0` យើងទទួលបាន៖

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0` ។ សូមណែនាំការជំនួស `tg x=t` ជាលទ្ធផល `t^2 + t - 2=0` ។ ឫសគល់នៃសមីការនេះគឺ `t_1=-2` និង `t_2=1` ។ បន្ទាប់មក៖

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z` ។

ចម្លើយ។ `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z` ។

ទៅពាក់កណ្តាលជ្រុង

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖ `11 sin x − 2 cos x = 10` ។

ដំណោះស្រាយ។ ការអនុវត្តរូបមន្តមុំទ្វេ លទ្ធផលគឺ៖ `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

អនុវត្តវិធីសាស្ត្រពិជគណិតដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ យើងទទួលបាន៖

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z` ។

ចម្លើយ។ `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z` ។

សេចក្តីផ្តើមនៃមុំជំនួយ

នៅក្នុងសមីការត្រីកោណមាត្រ `a sin x + b cos x = c` ដែល a, b, c ជាមេគុណ និង x គឺជាអថេរ យើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`។

មេគុណ​នៅ​ផ្នែក​ខាង​ឆ្វេង​មាន​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​ស៊ីនុស និង​កូស៊ីនុស ពោល​គឺ​ផល​បូក​នៃ​ការ​ការ៉េ​របស់​វា​គឺ ១ ហើយ​ម៉ូឌុល​របស់​វា​គឺ​ច្រើន​បំផុត ១។ ចូរ​បញ្ជាក់​ពួកវា​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ `\frac a(sqrt (a^2+b^)។ 2))=cos \varphi`, `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` បន្ទាប់មក៖

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x = C` ។

ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យកាន់តែច្បាស់នូវឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖ `3 sin x + 4 cos x = 2` ។

ដំណោះស្រាយ។ បែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ `sqrt (3^2+4^2)` ​​យើងទទួលបាន៖

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`។

សម្គាល់ `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` ។ ចាប់តាំងពី `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` យើងយក `\varphi=arcsin 4/5` ជាមុំជំនួយ។ បន្ទាប់មកយើងសរសេរសមភាពរបស់យើងក្នុងទម្រង់៖

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

ដោយអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃមុំសម្រាប់ស៊ីនុស យើងសរសេរសមភាពរបស់យើងក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z` ។

ចម្លើយ។ `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z` ។

សមីការត្រីកោណមាត្រប្រភាគ-សនិទាន

ទាំងនេះគឺជាសមភាពជាមួយប្រភាគ នៅក្នុងភាគយក និងភាគបែងដែលមានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ។ `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`។

ដំណោះស្រាយ។ គុណ និងចែកផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដោយ `(1+cos x)`។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=`\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=`\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

ដោយសារភាគបែងមិនអាចជាសូន្យ យើងទទួលបាន `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`។

ស្មើភាគយកនៃប្រភាគទៅសូន្យ៖ `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`។ បន្ទាប់មក `sin x=0` ឬ `1-sin x=0`។

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z` ។

ដោយសារ `x \ne \pi + 2\pi n, n \in Z` ដំណោះស្រាយគឺ `x=2\pi n, n \in Z` និង `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ ក្នុង Z` ។

ចម្លើយ។ `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z` ។

ត្រីកោណមាត្រ និងសមីការត្រីកោណមាត្រ ជាពិសេស ត្រូវបានប្រើនៅក្នុងស្ទើរតែគ្រប់ផ្នែកទាំងអស់នៃធរណីមាត្រ រូបវិទ្យា និងវិស្វកម្ម។ ការសិក្សាចាប់ផ្តើមនៅថ្នាក់ទី 10 តែងតែមានភារកិច្ចសម្រាប់ការប្រឡង ដូច្នេះព្យាយាមចងចាំរូបមន្តទាំងអស់នៃសមីការត្រីកោណមាត្រ - ពួកគេប្រាកដជានឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់អ្នក!

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អ្នកមិនចាំបាច់ទន្ទេញវាទេ រឿងសំខាន់គឺត្រូវយល់ពីខ្លឹមសារ និងអាចសន្និដ្ឋានបាន។ វាមិនពិបាកដូចដែលវាហាក់ដូចជានោះទេ។ មើលដោយខ្លួនឯងដោយមើលវីដេអូ។